Fisica Generale A - COnnecting REpositories · 2013. 7. 9. · Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale: 12 Esempi 1. Moto rettilineo uniformemente accelerato. 2

7. Problema Fondamentale della

Dinamica del Punto Materiale

Fisica Generale A

http://campus.cib.unibo.it/2427/

September 30, 2010

Notazione: Derivate Spaziali e Temporali

• Per rendere più compatta la notazione, si usa indicare le derivate

rispetto a una coordinata spaziale mediante apici:

e le derivate rispetto al tempo mediante punti, posti sopra il simbolo

della funzione:

• La presenza simultanea di derivate rispetto a coordinate spaziali e rispetto al tempo si verifica nella equazione delle onde, che vedremo

più avanti, nel modulo di Fisica Generale B.

f x,t( ) =df

dx, f x,t( ) =

d2 f

dx2, f x,t( ) =

d3 f

dx3,…, f

n( )x,t( ) =

dn f

dxn

2Domenico Galli – Fisica Generale A – 7. Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale

f x,t( ) =df

dt, f x,t( ) =

d2 f

dt2, f x,t( ) =

d3 f

dt3,…, f

(n)

x,t( ) =dn f

dt n

Notazione: Simboli di Landau

• Date due funzioni f e g, consideriamo il limite:

con x0 finito o infinito.

• Se è finito si dice che f è dominata da g in x0:

• In particolare: – Se = 0 si dice che f è trascurabile rispetto a g in x0:

– Se = 1 si dice che f è equivalente a g in x0:

limx x

0

f x( )g x( )

=

f x( ) = O g x( )( ) per x x0 (“O grande”)

f x( ) = o g x( )( ) per x x

0 (“O piccola”)

f x( ) g x( ) per x x0


Funzioni Iperboliche


Funzioni Circolari Funzioni Iperboliche

Funzioni Iperboliche (II)



Funzioni Iperboliche (III)

sinh x =exex

2

cosh x =ex+ e

x

2

tanh x =sinh x

cosh x=exex

ex+ e

x

cosh2x sinh

2x = 1

sin x =eixeix

2i

cos x =eix+ e

ix

2

tan x =eixeix

i eix+ e

ix( )

cos2x + sin

2x = 1



Equazioni Differenziali Ordinarie

• Sono equazioni nelle quali l’incognita è una funzione f (nelle equazioni algebriche l’incognita è un numero):

• L’equazione coinvolge la funzione f (t), la variabile indipendente t e le derivate di diverso ordine della funzione f :

• Esempio (oscillatore armonico smorzato e forzato):

F t, f t( ), f t( ), f t( ), f t( ),…, f(n)

t( ) = 0, F : n+2

f : t x, f : , x = f t( ) = x t( )

x t( ) +mx t( ) +

k

mx t( )

F0

mcos t( ) = 0


Equazioni Differenziali Ordinarie (II)

• I teoremi di Eulero e di Peano-Picard garantiscono, sotto certe condizioni, l’esistenza e l’unicità della soluzione del problema di Cauchy, ovvero di un’equazione differenziale, date le condizioni iniziali:

F t, f t( ), f t( ), f t( ), f t( ),..., f(n)

t( ) = 0

f 0( ) = x0,0f 0( ) = x0,1f 0( ) = x0,2

f(n 1)

0( ) = x0,n 18Domenico Galli – Fisica Generale A – 7. Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale

Forze Dipendenti da Posizione, Velocità e

Tempo

• Esistono forze che dipendono dalla posizione occupata dal punto materiale (forze posizionali), come la forza di gravità, la forza elettrostatica, la forza elastica esercitata da una molla, ecc.

• Altre forze dipendono dalla velocità del punto materiale, come la resistenza viscosa, la resistenza idraulica, la forza magnetica, ecc.

• Altre ancora dipendono esplicitamente dal tempo, come quella esercitata dal dispositivo in figura.

m



Tempo (II)

• Dipendenza esplicita significa che la dipendenza dal tempo non è causata dalla modificazione della posizione o della velocità nel tempo. P.es., se un punto è soggetto a una forza proporzionale alla velocità e la velocità cresce nel tempo, la dipendenza è implicita:

• Quando la dipendenza dal tempo è esplicita, la forza varia col tempo anche se posizione e velocità restano invariate.

F = F v( )v = v t( )

F = F v t( )( )

F = F t( ) m



Tempo (III)

• Nel caso più generale la dipendenza di una forza dal tempo si può scrivere:

e la sua derivata totale rispetto al tempo si scrive:

• Se la dipendenza è nota, dal II principio della dinamica si può calcolare l’accelerazione:

F = F P t( ),v t( ),t( )

d F

d t=

F

x

d x

d t+

F

y

d y

d t+

F

z

d z

d t+

F

vx

dvx

d t+

F

vy

dvy

d t+

F

vz

dvz

d t

dipendenza implicita

+F

tdipendenza

esplicita

F = F P,v ,t( )

a =

1

mF P,v ,t( )


Problema Fondamentale

• Il problema che consiste nel prevedere il moto di un punto materiale sottoposto a forze conosciute, in un prestabilito Sistema di Riferimento, si chiama problema fondamentale della dinamica del punto materiale.

• Più precisamente, il problema fondamentale della dinamica del punto materiale consiste, a partire dalla conoscenza delle forze:

e della posizione e della velocità iniziali:

nel determinare una descrizione del moto del punto materiale:


F = F P,v ,t( )

P = P t( )

P 0( ) = P0 , v 0( ) = v0

Problema Fondamentale (II)

• In coordinate cartesiane, il problema fondamentale della dinamica del punto materiale consiste, a partire dalla conoscenza delle forze:

e della posizione e della velocità iniziali:

nel determinare una descrizione del moto del punto materiale:


Fx= F

xx, y, z,v

x,vy,vz,t( )

Fx= F

xx, y, z,v

x,vy,vz,t( )

Fx= F

xx, y, z,v

x,vy,vz,t( )

x = x t( )y = y t( )z = z t( )

x 0( ) = x0y 0( ) = y0z 0( ) = z0

,

x 0( ) = v0xy 0( ) = v0 yz 0( ) = v0z

Problema Fondamentale (III)

• Per affrontare il problema, si utilizza il secondo principio della dinamica per ricavare l’accelerazione:

e si ottiene così, in coordinate cartesiane:

• Si tratta di un sistema di 3 equazioni differenziali del II ordine le cui incognite sono le 3 funzioni:

x t( ) =1

mF

xx t( ), y t( ), z t( ),x t( ), y t( ), z t( ),t( )

y t( ) =1

mF

yx t( ), y t( ), z t( ),x t( ), y t( ), z t( ),t( )

z t( ) =1

mF

zx t( ), y t( ), z t( ),x t( ), y t( ), z t( ),t( )

F = F P t( ),v t( ),t( ) a =1

mF P t( ),v t( ),t( )


F = ma

x = x t( )y = y t( )z = z t( )

Problema Fondamentale – Caso

Unidimensionale

• Nel caso particolare in cui il punto materiale abbia un solo grado di libertà si ha una sola equazione del II ordine, con due condizioni iniziali:

x t( ) =1

mF x t( ),x t( ),t( )

x 0( ) = x0x 0( ) = v0x


• Nel caso ancor più particolare di un punto materiale con un solo grado di libertà e di una forza indipendente dalla posizione, il sistema diviene:

e si può ridurre a una sola equazione differenziale del I ordine in v:

L’equazione parametrica del moto si ottiene per integrazione diretta:

x t( ) = x 0( ) + v t( )d t0

t


Problema Fondamentale – Caso Unidimensionale

– Forza Indipendente dalla Posizione

x t( ) =1

mF x t( ),t( )

x 0( ) = x0x 0( ) = v0x

v t( ) =1

mF v t( ),t( )

v 0( ) = v0x

Problema Fondamentale della Dinamica del Punto

Materiale: 12 Esempi

1. Moto rettilineo uniformemente accelerato.

2. Caduta libera di un grave nel vuoto.

3. Moto di un proiettile nel vuoto.

4. Moto di un corpo soggetto a resistenza viscosa.

5. Caduta libera di una sfera con resistenza viscosa.

6. Moto di un corpo soggetto a resistenza idraulica.

7. Caduta libera di una sfera con resistenza idraulica.

8. Sfera lanciata verso l’alto con resistenza idraulica.

9. Oscillatore armonico.

10. Pendolo semplice.

11. Oscillatore smorzato.

12. Oscillatore forzato.


1. Moto Rettilineo Uniformemente

Accelerato

• Punto materiale vincolato a una rotaia rettilinea sotto l’azione di una forza costante di modulo F.

• Condizioni iniziali: posizione x0, velocità v0.

• Poiché l’accelerazione è costante, il moto è uniformemente accelerato. Risolvendo:

a t( ) = v t( )F

m

x 0( ) = x0

v 0( ) = v0

dv

dt=F

mdv =

F

mdt dv

v 0( )

v t( )

=F

md t

0

t

vv0

v t( )=F

mt0

t

v t( ) v0=F

mt 0( ) =

F

mt

v t( ) = v0+

F

mt


1. Moto Rettilineo Uniformemente

Accelerato (II)

• A partire dalla velocità, possiamo calcolare lo spostamento:


dx

dt= v

0+F

mt d x = v

0+F

mt d t d x = v

0+F

mt d t

0

t

x 0( )

x t( )

xx0

x t( )= v

0t +1

2

F

mt2

0

t

x t( ) x0= v

0t +1

2

F

mt2

x t( ) = x0+ v

0t +

1

2

F

mt

2

2. Caduta Libera di un Grave nel Vuoto

• Punto materiale non vincolato.

• Agisce soltanto la forza peso diretta lungo l’asse z con verso opposto all’orientamento dell’asse:

• Il moto, in generale, non è unidimensionale. Tuttavia diviene unidimensionale per una particolare scelta delle condizioni iniziali (velocità iniziale nulla o parallela alla forza):

F = mgk̂ a =F

m= gk̂ xı̂ + y ˆ + zk̂ = gk̂

xı̂ + y ˆ + z + g( ) k̂ = 0

a t( ) = v t( ) = g k̂r 0( ) = h k̂

v 0( ) = 0x

z

yF

k̂

ı̂

ˆ


2. Caduta Libera di un Grave nel Vuoto (II)

• Per componenti:

• Risolvendo: dv

x

d t= 0

dvy

d t= 0

dvz

d t= g

dvx= 0

dvy= 0

dvz= gd t

dvx

vx0( )

vxt( )

= 0

dvy

vy0( )

vyt( )

= 0

dvz

vz0( )

vzt( )

= g d t

0

t

vx 0

vxt( )= 0

vy0

vyt( )= 0

vz 0

vzt( )= g t

0

t


vx= 0

vy= 0

vz= g

vx

0( ) = 0

vy

0( ) = 0

vz

0( ) = 0

x 0( ) = 0

y 0( ) = 0

z 0( ) = h

2. Caduta Libera di un Grave nel Vuoto (III)

• Integrando nuovamente:

vx 0

vx

t( )= 0

vy

0

vy

t( )= 0

vz 0

vz

t( )= g t

0

t

vx

t( ) 0 = 0

vy

t( ) 0 = 0

vz

t( ) 0 = g t 0( )

vx

t( ) = 0

vy

t( ) = 0

vz

t( ) = g t

d x

d t= 0

d y

d t= 0

d z

d t= g t

d x = 0d y = 0d z = g td t

d x

x 0( )

x t( )

= 0

d y

y 0( )

y t( )

= 0

d z

z 0( )

z t( )

= g td t0

t

x0

x t( )= 0

y0

y t( )= 0

zh

z t( )= g

t2

20

t


2. Caduta Libera di un Grave nel Vuoto (IV)

• Il moto di caduta è indipendente dalla massa del grave.

• Ovviamente si tratta di un moto rettilineo lungo la verticale verso il basso e uniformemente accelerato.

x0

x t( )= 0

y0

y t( )= 0

zh

z t( )= g

t2

20

t

x t( ) 0 = 0

y t( ) 0 = 0

z t( ) h = gt2

2

02

2

x t( ) = 0

y t( ) = 0

z t( ) = h1

2g t2


3. Moto di un Proiettile nel Vuoto

• La forza è la stessa del caso precedente:

• Cambiano, tuttavia, le condizioni iniziali:

• Scelti gli assi in modo opportuno, per componenti:

F = mgk̂ a =F

m= gk̂ xı̂ + y ˆ + zk̂ = gk̂

xı̂ + y ˆ + z + g( ) k̂ = 0

a t( ) = v t( ) = g k̂r 0( ) = 0v 0( ) = v

0cos ı̂ + sin k̂( )

x

z

yF

k̂

ı̂

ˆv0

vx= 0

vy= 0

vz= g

vx0( ) = v

0cos

vy0( ) = 0

vz0( ) = v

0sin

x 0( ) = 0y 0( ) = 0z 0( ) = 0


3. Moto di un Proiettile nel Vuoto (II)

dvx

d t= 0

dvy

d t= 0

dvz

d t= g

dvx= 0

dvy= 0

dvz= g d t

dvx

vx

0( )

vx

t( )

= 0

dvy

vy

0( )

vy

t( )

= 0

dvz

vz

0( )

vz

t( )

= g d t

0

t

vx

v0

cos

vx

t( )= 0

vy

0

vy

t( )= 0

vz

v0

sin

vz

t( )= g t

0

t

vx

t( ) v0cos = 0

vy

t( ) 0 = 0

vz

t( ) v0sin = g t 0( )

vxt( ) = v

0cos

vyt( ) = 0

vzt( ) = v

0sin g t


• Integrando:

3. Moto di un Proiettile nel Vuoto (III)


d x

d t= v

0cos

d y

d t= 0

d z

d t= v

0sin g t

d x = v0cos d t

d y = 0

d z = v0sin g t( )d t

d x

x 0( )

x t( )

= v0cos d t

0

t

d y

y 0( )

y t( )

= 0

d z

z 0( )

z t( )

= v0sin g t( )d t

0

t

x0

x t( )= v

0cos t

0

t

y0

y t( )= 0

z0

z t( )= v

0sin( )t g

t2

20

t

x t( ) 0 = v0cos( )t

y t( ) 0 = 0

z t( ) 0 = v0sin( )t g

t2

2


3. Moto di un Proiettile nel Vuoto (IV)

• Si nota che il moto è indipendente dalla massa e avviene nel piano xz, contenente . Inoltre la proiezione del punto materiale sull’asse x si muove di moto uniforme, mentre la proiezione sull’asse z si muove di moto uniformemente accelerato.

x t( ) = v0cos( )t

y t( ) = 0

z t( ) = v0sin( )t g

t2

2

v0


x

z

yF

k̂

ı̂

ˆv0

3. Moto di un Proiettile nel Vuoto (V)

• L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando t:

• Si tratta dell’equazione di una parabola.

• Si dice gittata la distanza a cui il punto materiale raggiunge nuovamente il suolo.

t =x

v0cos

z = v0sin( )

x

v0cos

g1

2

x2

v0

2cos

2

z = tan( )xg

2v0

2cos

2x

2

(traiettoria)

v0

x

z

Cx

maxz

maxx


3. Moto di un Proiettile nel Vuoto (VI)

• La gittata è una delle due soluzioni dell’equazione algebrica z(x) = 0.

• A parità di velocità iniziale v0, la gittata (nel vuoto) è massima se è massimo sin(2 ), ovvero se = /4 rad = 45°.

tan( )xg

2v0

2cos

2x

2= 0 x tan

g

2v0

2cos

2x = 0

x = 0

x =2v

0

2cos

2tan

g=v0

2

g2cos sin =

v0

2

gsin 2( )

xC=v0

2

gsin 2( ) (gittata nel vuoto)


v0

x

z

Cx

maxz

maxx

3. Moto di un Proiettile nel Vuoto (VII)

• La quota massima zmax si raggiunge quando vz = 0 (punto di inversione: vz > 0 prima e vz < 0 dopo):

• La quota massima zmax si raggiunge (nel vuoto) a metà gittata.

vz= v

0sin gt = 0 t

max=v0sin

g

xmax

= v0cos( )t

max=v0sin

gv0cos =

1

2

v0

2

gsin 2( )

zmax

= v0sin( )t

maxgtmax

2

2=v0sin

gv0sin

1

2gv0

2sin

2

g2

zmax

=1

2

v0

2

gsin

2


v0

x

z

Cx

maxz

maxx

xmax

=1

2xC

Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso

• Consideriamo un corpo sferico in moto in un fluido viscoso.

• Se esso si muove lentamente, gli strati di fluido scorrono gli uni sugli altri senza creare vortici (flusso laminare).

• Se invece la velocità cresce, iniziano a formarsi i vortici (flusso turbolento). Esistono, come vedremo, diversi tipi di regime turbolento.

• La forza resistente che il fluido oppone al movimento del corpo dipende in modo non semplice dalla velocità, in quanto, al variare della velocità può anche cambiare il regime.


Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (II)

• Un parametro importante per individuare il regime è il numero di Reynolds, ovvero il numero puro:

dove F è la densità del fluido, la sua viscosità, v la velocità della sfera e r il suo raggio.

• Se R < 1 il flusso è laminare: lo strato di fluido a contatto con la sfera, detto strato limite, è in quiete rispetto a essa e gli strati successivi scorrono gli uni sugli altri senza arrotolarsi, con un moto frenato dall’attrito di scorrimento.

R <1


R =2r

Fv

Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (III)

• Quando il flusso è laminare la forza resistente è proporzionale alla velocità. Si parla in questo caso di resistenza viscosa.

dove è la viscosità del fluido, v la velocità della sfera e r il suo raggio.

• Se invece R > 1 il flusso è turbolento.

• Se R [1, 40] i vortici rimangono localizzati dietro la sfera e si muovono solidali con essa, cosicché la sfera trascina dietro di sé una porzione di fluido, detto fluido morto. Si parla, in questo regime, di flusso vorticoso stazionario.

F

v

= v , = 6 r

R <1

R 20

(formula di Stokes)


Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (IV)

• Se R [40, 2 105] i vortici iniziano a staccarsi dalla sfera, trascinati dal fluido, cosicché la sfera lascia dietro di sé una scia di vortici liberi (vortici di Karman), detta scia turbolenta. Poiché il distacco dei vortici avviene periodicamente nel tempo, il flusso viene detto flusso vorticoso periodico.

• Al crescere di R, i vortici non hanno più tempo per diffondersi in una regione ampia di fluido e iniziano a riempire una banda sottile dietro la sfera in cui il flusso è caotico e irregolare.

R 100


Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (V)

• La forza resistente, nella regione R [2 104, 2 105] risulta proporzionale al quadrato della velocità (si parla di resistenza idraulica):

• Al crescere di R la banda vorticosa avanza verso la sfera.

• Quando R 2 105 la banda vorticosa raggiunge il punto in cui le linee di flusso abbandonano la sfera (strato limite turbolento). In questo regime la forza resistente diminuisce con la velocità (crisi di attrito).

F

i= vv = v

2v̂

R 106


R 100

Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (VI)

• Nel caso più generale la forza resistente può essere parametrizzata utilizzando il coefficiente adimensionale CD, detto coefficiente di penetrazione (o coefficiente di trascinamento):

dove S è la sezione della sfera (area del cerchio massimo),

F è la densità del fluido.

Fr= v( )vv = v( )v 2v̂

v( ) =1

2SC

Dv( )

F


Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (VII)

crisi di attrito

laminare

turbolento stazionario

turbolento periodico


R

100

10

1

100.1 1 2 5 102

103

104

105

106

CD

CD

R

1 2 53 4 105

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (VIII)

• Se R < 1 ritroviamo la legge di Stokes (resistenza viscosa, proporzionale alla velocità e dipendente dalla viscosità):

• Se invece R [2 104, 2 105] ritroviamo la resistenza idraulica proporzionale al quadrato della velocità e indipendente dalla viscosità:

CDv( ) =

24

R=12

rFv

v( ) =1

2r212

rFv

F=6 r

v

F =6 r

v

vv = 6 rv

CDcost cost

F = vv


R = 1.54

R = 140

R = 26

Foto di S. Taneda, da Van Dyke, Milton, An

Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, Stanford, 1982.

Domenico Galli – Fisica Generale A – 7. Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale

Moto di un Corpo in un Fluido Viscoso (IX) 4. Moto di un Corpo Soggetto a Resistenza

Viscosa

• Consideriamo un punto materiale appoggiato su di un piano orizzontale (la gravità è compensata dalla reazione vincolare) e soggetto soltanto a resistenza viscosa.

• Poiché la resistenza viscosa ha sempre la stessa direzione della velocità il moto è unidimensionale.

• Fissiamo gli assi in modo che l’asse x sia orientato come la velocità iniziale.

• L’equazione differenziale e le condizioni iniziali si scrivono:

a t( ) =mv t( )

x 0( ) = 0

v 0( ) = v0


4. Moto di un Corpo Soggetto a Resistenza

Viscosa (II)

• Risolvendo il problema di Cauchy:

• La velocità decresce con legge esponenziale:

v =

dv

d t=

mv t( )

dv

v

=md t

dv

vv 0( )

v t( )

=md t

0

t

lnvv0

v t( )=

mt0

t

lnv t( ) lnv0=

mt 0( ) =

mt

lnv t( )v0

=mt

v t( )v0

= e mt

v t( ) = v0e m

t

v t( )

t0

0vv

t



Viscosa (III)


• Si osservi che lo spostamento del punto tende asintoticamente al valore:

v =d x

d t= v

0e m

t

d x = v0e m

t

d t d x = v0e m

t

d t

0

t

x 0( )

x t( )

x0

x t( )= v

0

me m

t

0

t

x t( ) 0 = v0

me m

t

+ v0

me0

x t( )t

x = v0

m

t

xx


x t( ) = v0

m1 e m

t

5. Caduta Libera di una Sfera con

Resistenza Viscosa

• Agisce la forza peso, diretta lungo l’asse z con verso opposto all’orientamento dell’asse, la spinta di Archimede, diretta lungo l’asse z con il medesimo orientamento dell’asse e la resistenza viscosa, diretta come la velocità ma con verso opposto:

dove è la densità della sfera, r il suo raggio e V il suo volume; F è la densità del fluido e la sua viscosità.

F = Fp+ F

a+ F

r=

F( )Vgk̂ v

Fp= mg k̂ = Vg k̂

Fa=

FVg k̂ (peso del liquido spostato)

Fr= v = 6 rv (

sfera= 6 r)

x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa



Resistenza Viscosa (II)

• Posto:

si ha:

• Osserviamo che le componenti x e y sono soggette allo stesso moto dell’esercizio precedente. Se vx(0) = vy(0) = 0 allora il moto è unidimensionale, lungo l’asse z.

a =F

m=

F( )VV

g k̂mv = g k̂ v

xı̂ + y ˆ + zk̂ = g k̂ xı̂ + y ˆ + zk̂( )x + x( ) ı̂ + y + y( ) ˆ + z + z + g( ) k̂ = 0

=m

, = 1 F


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Viscosa (III)

• Consideriamo perciò le condizioni iniziali:

• Poiché il moto avviene lungo l’asse z, consideriamo soltanto l’equazione lungo l’asse z:

v t( ) = g k̂ v t( )r 0( ) = h k̂

v 0( ) = 0

vzt( ) = g v

zt( )

z 0( ) = h

vz0( ) = 0


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Viscosa (IV)

vz=dv

z

d t= g v

zt( )

dvz

g + vz

= d t

dvz

g + vz

vz0( )

vzt( )

= d t

0

t

ln g + vz

0

vzt( )

= t0

t

ln g + vzt( ) ln g = t 0( ) = t




Resistenza Viscosa (V)

ln g + vzt( ) ln g = t ln

g + vzt( )

g

= t

g + vzt( )

g

= et

g + vzt( ) = g e

tvzt( ) = g e

t1( )

vzt( ) =

m1

F g e mt

1

v

zv

t

• Si osservi che la velocità tende a un valore limite (velocità limite) e il moto tende a un moto rettilineo uniforme.

vzt( ) t

v = g =m1

F g



Resistenza Viscosa (VI)


vz=d z

d t= g e t

1( ) d z = g e t1( )d t

d zz 0( )

z t( )

= g e t1( )d t

0

t

zh

z t( )= g

1e t t

0

t

z t( ) h = g1e t t +

1

z t( ) = h g t2g e t

1( )

t

zh



Resistenza Viscosa (VII)

• Si osservi ancora una volta che il moto tende asintoticamente a un moto rettilineo uniforme (l’ultimo tratto della curva z = z(t) si avvicina a una retta):

• Il moto dipende dalla massa (corpi più pesanti cadono più velocemente): – In assenza di resistenza viscosa (nel vuoto) la

curva è un arco di parabola e il moto non dipende dalla massa.

z t( ) = hm1

F

g tm2

21

F

g e mt

1

z t( ) = Om1

F

g t per t

t

zh



Idraulica

• Consideriamo un punto materiale appoggiato su di un piano orizzontale (la gravità è compensata dalla reazione vincolare) e soggetto soltanto a resistenza idraulica.

• Poiché la resistenza idraulica ha sempre la stessa direzione della velocità il moto è unidimensionale.

• Fissiamo gli assi in modo che l’asse x sia orientato come la velocità iniziale, con l’origine nella posizione iniziale del punto materiale.

v0

O

x



Idraulica (II)

• Occorre prestare particolare attenzione quando si passa dall’espressione vettoriale della forza alla sua componente lungo l’asse x.

• Infatti, mentre per la resistenza viscosa le espressioni:

assicurano sempre di per sé che la forza sia opposta alla velocità, nel caso della resistenza idraulica, per avere la forza sempre opposta alla velocità dovremo scrivere:

affidando il compito al versore e alla funzione sgn(x).

F = v

Fx= v

x

F = v2v̂

Fx= v

x

2sgn v

x( )

sgn x( ) =1 se x < 0

0 se x = 0

+1 se x > 0


v̂


Idraulica (III)

• Omettendo il pedice x per le componenti, si ha:

• Se la velocità iniziale è concorde all’asse x, poiché il moto non si inverte mai, il segno della velocità rimane sempre concorde all’asse x: sgn(v) = 1.

a t( ) = v t( ) = sgn v t( )( )mv2t( )

x 0( ) = 0

v 0( ) = v0 > 0

a t( ) = v t( ) =mv2t( )

x 0( ) = 0

v 0( ) = v0> 0



Idraulica (IV)


• La velocità decresce nel tempo, tendendo asintoticamente a zero.

dv

d t=

mv

2t( )

dv

v2=

md t

dv

v2

v 0( )

v t( )

=m

d t

0

t

1

vv

0

v t( )

=m

t0

t 1

v t( )+

1

v0

=m

t 0( ) =m

t

1

v t( )=

1

v0

+m

t

v t( ) = Om 1

tt

0

0vv

t


v t( ) =1

1

v0

+m

t


Idraulica (V)


• Ricordando la primitiva:

si ottiene:

x0

x t( )=mlnmt +1

v0

0

t

x t( ) =mlnmt +1

v0

ln1

v0

d x

d t=

1

1

v0

+mt

d x =1

1

v0

+mt

d t d x =d t

1

v0

+mt

0

t

x 0( )

x t( )

d x

kx + q=

1

kln kx + q( ) + C



Idraulica (VI)

• Si osservi che lo spostamento pare aumentare indefinitamente col tempo.

• In realtà, quando la velocità scende oltre un certo limite, la resistenza diventa di tipo viscoso e la forza diviene proporzionale alla prima potenza della velocità, per cui il punto, per quanto abbiamo visto, si ferma.

x t( ) =m

lnm

t +1

v0

1

v0

=m

lnm

v0t +1

x t( ) =mlnmv0t +1

t

x

F v

F v2

Qui, a causa del rallentamento, la resistenza diventa di tipo viscoso



Resistenza Idraulica

• Agisce la forza peso, la spinta di Archimede, e la resistenza idraulica, diretta come la velocità ma con verso opposto:

dove è la densità della sfera S la sua sezione e V il suo volume; F è la densità del fluido e la sua viscosità e CD il coefficiente di penetrazione (adimensionale).

F = F

p+ F

a+ F

r=

F( )Vgk̂ v2v̂

Fp= mg k̂ = Vg k̂

Fa=

FVg k̂ (peso del liquido spostato)

Fr= v

2v̂ =

1

2SC

D Fv2v̂ ( =

1

2SC

D F)


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Idraulica (II)

• Posto:

si ha:

• Se il moto è unidimensionale, lungo l’asse z. Consideriamo perciò le condizioni iniziali:

a =F

m=

F( )VV

g k̂m

v2v̂ = g k̂ g

v2

w2v̂

0 0

ˆ0 k=v v oppure

v t( ) = g k̂ gv2 t( )w2v̂ t( )

r 0( ) = h k̂

v 0( ) = 0

= 1 F , w2=mg


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Idraulica (III)

• Poiché il moto avviene lungo l’asse z, consideriamo soltanto l’equazione lungo l’asse z:

dove sgn(v) = 1 in quanto il moto è verso il basso e non si inverte.

• Ricordando che:

vzt( ) = g g

vz

2 t( )w2

sgn vz( )

1

z 0( ) = h

vz0( ) = 0

dvz

d t= g 1

vz

2t( )

w2

dvz

1vz

2

w2

= gd t

dvz

w=1

wdv

z

dvz

w

1vz

2

w2

=g

wd t


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Idraulica (IV)

arctanhv

z

w0

vz

t( )

=g

wt

0

t

arctanhv

zt( )

warctanh 0( )

0

=g

wt 0( ) =

g

wt

• Si ha:

• Ricordando la primitiva si ha:

d x

1 x2= arctanh x + C

N.B. :

sin x =e

ixe

ix

2i

cos x =e

ix+ e

ix

2

tan x =e

ixe

ix

i eix+ e

ix( )

sinh x =e

xe

x

2

cosh x =e

x+ e

x

2

tanh x =e

xe

x

ex+ e

x


dv

z

w

1v

z

2

w2

vz

0( )

vz

t( )

=g

wd t

0

t


Resistenza Idraulica (V)

v

zv

t

• Poiché si ha la velocità limite:

• Il moto tende a un moto rettilineo uniforme.

vzt( ) t

v =m1

F g

arctanhvzt( )w

=g

wt v

zt( ) = w tanh

g

wt

vz

t( ) =m

1F g tanh

m1

F g t

tanh x =exex

ex+ e

x x1

= 1F

w2=

mg



Resistenza Idraulica (VI)


• Ricordando la primitiva:

si ha:

d z

d t= w tanh

g

wt d z = w tanh

g

wt d t

d z

z 0( )

z t( )

= w tanhg

wt d t

0

t

tanh t( )d t =1

lncosh t( ) + C

zh

z t( )= w

w

glncosh

g

wt

0

t



Resistenza Idraulica (VII)

• E poiché si ha:

• Il moto dipende dalla massa (corpi più pesanti cadono più velocemente).

t

zh

cosh0 = 1 lncosh0 = 0

z t( ) h =w2

glncosh

g

wt +

w2

glncosh 0( )

z t( ) = hw2

glncosh

g

wt

z t( ) = hmlncosh

m1

F g t


cosh0 =e0+ e

0

2=1+1

2= 1

= 1F

w2=mg


Resistenza Idraulica (VIII)

• Si osservi che per t :

• Il moto tende asintoticamente a un moto rettilineo uniforme (l’ultimo tratto della curva z = z(t) si avvicina a una retta).

z t( ) = Om1

F g t per t

coshg

wt =O

1

2e

g

wt

lncoshg

wt =O

g

wt

z t( ) =Ow2

g

g

wt =O wt( )


t

zh

cosh x =ex+ e

x

2x

1

2ex

z t( ) = hw2

glncosh

g

wt

= 1F

w2=

mg

8. Sfera Lanciata verso l’Alto con

Resistenza Idraulica

• Nell’esempio precedente (caduta libera di una sfera con resistenza idraulica) abbiamo considerato l’equazione e le condizioni iniziali:

(velocità iniziale nulla, quota iniziale h).

• Consideriamo ora la stessa equazione con diverse condizioni iniziali:

(velocità iniziale verso l’alto e quota iniziale nulla).

v t( ) = g k̂ gv2 t( )w2v̂ t( )

r 0( ) = h k̂

v 0( ) = 0

v t( ) = g k̂ gv2 t( )w2v̂ t( )

r 0( ) = 0

v 0( ) = v0k̂


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Idraulica (II)

• Come nell’esempio precedente, poiché il moto avviene lungo l’asse z, consideriamo soltanto l’equazione lungo l’asse z:

Si osservi che in questo caso, differentemente dal caso precedente, vz mantiene segno positivo: .

• Ricordando che:

vzt( ) = g g

vz

2t( )

w2sgn v

z( )+1

z 0( ) = 0

vz0( ) = v0 > 0

dvz

d t= g 1+

vz

2t( )

w2

dvz

1+vz

2

w2

= gd t

dvz

w=1

wdv

z

dvz

w

1+vz

2

w2

=g

wd t

sgn vz

( ) = +1

Nell’esempio precedente l’accelerazione era concorde con la velocità. In questo caso invece l’accelerazione è discorde con la velocità.


x

z

yFp

k̂

ı̂

ˆFa


Resistenza Idraulica (III)

dvz

w

1+vz

2

w2

vz0( )

vzt( )

=g

wd t

0

t

arctanvz

wv0

vzt( )

=g

wt0

t

arctanvzt( )w

arctanv0

w=

g

wt 0( ) =

g

wt

• Ricordando la primitiva si ha: d x

1+ x2= arctan x + C

N.B. :

sin x =eixeix

2i

cos x =eix+ e

ix

2

tan x =eixeix

i eix+ e

ix( )

sinh x =exex

2

cosh x =ex+ e

x

2

tanh x =exex

ex+ e

x

N.B. : d x

1 x2= arctanh x +C



Resistenza Idraulica (IV)

• Il modulo v della velocità diminuisce nel tempo a partire dal valore iniziale v0 finché il punto materiale si ferma.

• Prima che ciò accada, tuttavia, la resistenza diviene di tipo viscoso.

arctanvzt( )w

arctanv0

w=

g

wt

vzt( ) = w tan arctan

v0

w

g

wt

vzt( ) =

m1

F g tan arctan

mg 1 F

v0 m

1F g t

= 1F

w2=mg



Resistenza Idraulica (V)

• Integrando nuovamente, posto , si ha:

d z

d t= w tan arctan

v0

w

g

wt

d z = w tang

wt d t = w tan

g

wt d t

d z

z 0( )

z t( )

= w tang

wt d t

0

t

z0

z t( )= +w

w

glncos

g

wt

0

t

z t( ) =w2

glncos

g

wt lncos

= arctan v0w( )

tan t +( )d t =1

lncos t +( ) + C

tan x( ) = tan x



Resistenza Idraulica (VI)

z t( ) =w

2

glncos

g

wt lncos =

w2

gln

cosg

wt

cos

= 1F

w2=mg

= arctanv0

w

z t( ) =mln

cosm1

F g t arctan v0

mg 1 F

cosarctan v0

mg 1 F t

z


9. Oscillatore Armonico

• Consideriamo un punto materiale soggetto a una forza elastica, per cui valga la legge di Hooke:

• Se si sceglie l’origine in corrispondenza della posizione a riposo della molla, si ha:

F = k l l

0( ) ı̂ F

00l l <

Ox

0l

00l l >

F

m

F

x= kx

ax=

k

mx

x +k

mx = 0

x 0( ) = x0

x 0( ) = 0(Oscillatore armonico)


9. Oscillatore Armonico (II)

• Si tratta di un’equazione differenziale del II ordine a coefficienti costanti.

• Cerchiamo una soluzione della forma:

(in quanto l’esponenziale è una funzione proporzionale alle sue derivate, e noi dobbiamo avere ).

• Per trovare , sostituiamo nell’equazione:

x = Ce

t

x = C et

x = C2et

x +k

mx = 0 C

2et+k

mC e

t= 0

x x


x =k

mx x

9. Oscillatore Armonico (III)

• Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono:

• Avremo quindi due tipi di soluzione possibili:

C2+

k

me

t= 0 t

2+k

m= 0 (Equazione caratteristica)

= ±ik

m dove i = 1

x t( ) = C1eik

mt

x t( ) = C2eik

mt


9. Oscillatore Armonico (IV)

• Essendo l’equazione lineare, la somma di due soluzioni è ancora una soluzione.

• La soluzione più generale sarà quindi:

• Questa soluzione è in generale complessa (sono complessi gli esponenti e possono essere complesse anche le costanti C1 e C2).

• A noi però interessano soltanto soluzioni reali:

– Dobbiamo ora cercare delle relazioni tra C1 e C2 che limitino le possibili soluzioni a quelle reali.

• Indichiamo con l’asterisco (*) la coniugazione complessa.

x t( ) = C

1e

ik

mt

+ C2e

ik

mt

(integrale generale)


9. Oscillatore Armonico (V)

• Ricordando che un numero complesso può essere scritto in “forma algebrica” o in “forma esponenziale”:

si ha:

• Le soluzioni reali hanno perciò la forma:

x = a + ib x*= a ib

x = Aei

x*= Ae

i

x

A+

,a,b

ei= cos + isin

A = a2+ b

2

tan =b

a

a = Acos

b = Asin

x

x + x*= 2a

x x*

i= 2b

x t( ) = Ce

ik

mt

+ C*e

ik

mt


9. Oscillatore Armonico (VI)

• Ovvero, posto:

si ha:

C =A

2ei

C*=A

2ei

x t( ) =A

2eieik

mt

+A

2eieik

mt

=A

2eieik

mt

+ eieik

mt

=

= Ae

ik

mt+

+ ei

k

mt+

2= Acos

k

mt +

x t( ) = Acosk

mt + (integrale generale reale)

2m

k

m

k x

t

cos x =e

ix+ e

ix

2


9. Oscillatore Armonico (VII)

• Per risolvere il problema di Cauchy:

occorre fissare i parametri dell’integrale generale in modo da soddisfare le condizioni iniziali:

x +k

mx = 0

x 0( ) = x0

x 0( ) = 0

x t( ) = Acosk

mt + x 0( ) = Acos = x

0

x t( ) =k

mAsin

k

mt + x 0( ) =

k

mAsin = 0

Acos = x0

Asin = 0

A2cos

2+ A

2sin

2= x

0

2A = x

0

x0cos = x

0

x0sin = 0

cos = 1

sin = 0= 0


9. Oscillatore Armonico (VIII)

• Si tratta di un moto periodico di periodo:

Infatti:

x t( ) = x0cos

k

mt (soluzione del problema di Cauchy)

T = 2m

k

x t +T( ) = x0cos

k

mt + 2

m

k= x

0cos

k

mt + 2 =

= x0cos

k

mt = x t( ) t

0xx

tT


9. Oscillatore Armonico (IX)

• In un moto oscillatorio si definisce inoltre frequenza il numero di oscillazioni per unità di tempo:

e pulsazione (o frequenza angolare) la quantità:

= 2 =2

T=

k

m

=1

T=

1

2

k

m

lettera greca “ni” o “nu”


10. Pendolo Semplice

• Si chiama pendolo semplice un punto vincolato a muoversi lungo una circonferenza giacente su di un piano verticale.

• Supponiamo che il vincolo sia ideale, che siano assenti forze resistenti di qualunque tipo e che l’unica forza attiva sia la forza peso.

• Sia m la massa del punto materiale e l il raggio della circonferenza.

• Per il II principio della dinamica:

ma = mgk̂ + R

C

l

s mgk̂

t̂n̂R

P


10. Pendolo Semplice (II)

• Consideriamo le componenti intrinseche (tangente, normale, binormale): – In direzione binormale non vi sono forze né moto.

• Dalla prima si trova la legge oraria. Dalla seconda si trova la reazione vincolare.

t̂

n̂

ms = mg sin

ms2

l= R

nmg cos

l = g sin

ml2 2

l= R

nmg cos

mgk̂

R

P

C

l

s

t̂n̂

+g

lsin = 0

Rn= ml 2

+ mg cos

s = l

s = l

s = l


10. Pendolo Semplice (III)

• Consideriamo il problema di Cauchy:

• L’equazione differenziale è del II ordine a coefficienti costanti, ma non è lineare.

• La sua soluzione è piuttosto complicata e contiene una funzione, detta senamplitudine [sn(u|m)] che fa parte delle cosiddette funzioni ellittiche di Jacobi.

• Queste funzioni possono essere espresse come primitive di funzioni note, oppure come sviluppo in serie di funzioni, ma non per mezzo di un numero finito di funzioni elementari.

+g

lsin = 0

0( ) =0

0( ) = 0


+g

l= 0

0( ) =0

0( ) = 0

10. Pendolo Semplice (IV)

• Affronteremo la soluzione generale più avanti, utilizzando metodi di calcolo numerico.

• Per ora affrontiamo soltanto il caso di piccole oscillazioni.

• Poiché la serie di Taylor per il seno si scrive:

fermandosi al secondo ordine si ha la formula:

• Dunque per piccole oscillazioni si può scrivere:

sin x = xx3

3!+x5

5!

x7

7!+ = 1( )

n x2n+1

2n +1( )!n=0

sin x = x +O x

3( ) x 0 sin x = x + o x2( ) x 0

(piccole oscillazioni)


10. Pendolo Semplice (V)

• L’equazione diviene uguale a quella dell’oscillatore armonico se si effettuano le sostituzioni:

• L’integrale generale reale sarà perciò:

e la soluzione del problema di Cauchy sarà:

x, g k, l m

t( ) = Acosg

lt + , A

t( ) = 0cos

g

lt ,

00 tT


C

l

smgk̂

t̂n̂R

P

10. Pendolo Semplice (VI)

• Analogamente all’oscillatore armonico, periodo, frequenza e pulsazione sono dati da:

T = 2l

g

=1

T=

1

2

g

l

= 2 =2

T=

g

l


• Consideriamo nuovamente un punto materiale soggetto a una forza elastica, per cui valga la legge di Hooke:

• Supponiamo che su di esso agisca anche una forza di resistenza viscosa:

• Se si sceglie l’origine dell’asse x in corrispondenza della posizione a riposo della molla, si ha:

11. Oscillatore Smorzato


Fe= k l l

0( ) ı̂

Fx= kx v

x

F = v 0l

mk

ax=

k

mxmvx

11. Oscillatore Smorzato (II)

• Si tratta di un’equazione differenziale del II ordine a coefficienti costanti.

• Cerchiamo una soluzione della forma:

(in quanto l’esponenziale è una funzione proporzionale alle sue derivate).

x = Ce

t

x = C et

x = C2et


x +m

x +k

mx = 0

x 0( ) = x0

x 0( ) = 0(Oscillatore Smorzato)

11. Oscillatore Smorzato (III)

• Per trovare , sostituiamo nell’equazione:

• Si tratta di un’equazione algebrica di II grado. Il suo discriminante è:

x +mx +

k

mx = 0 C

2et+mC e

t+k

mC e

t= 0

C2+m

+k

met= 0 t

2+m

+k

m= 0 (Equazione caratteristica)

=

2

m2

4k

m=

1

m2

24mk( )


< 2 mk < 0

11. Oscillatore Smorzato (IV)

• Distinguiamo i 3 casi di discriminante positivo, nullo e negativo.

• Se (oscillatore sottosmorzato) si hanno 2 soluzioni distinte complesse coniugate:

• L’integrale generale sarà quindi la somma delle 2 soluzioni:

=2m

±

2

4m2

k

m=

2m± i

k

m

2

4m2 dove i = 1

x t( ) = C

1e

2m+ i

k

m

2

4m2

t

+ C2e

2mi

k

m

2

4m2

t


11. Oscillatore Smorzato (V)

• Poiché ci interessano soltanto soluzioni reali, prendiamo

x t( ) = e 2mt

C1e

ik

m

2

4m2

t

+ C2e

ik

m

2

4m2

t

(integrale generale)

C2= C

1

*:

x t( ) = e 2mt

Ce

ik

m

2

4m2t

+C*e

ik

m

2

4m2t

=

= e 2mt A

2eie

ik

m

2

4m2t

+A

2eie

ik

m

2

4m2t

=

=A

2e 2m

t

e

ik

m

2

4m2t+

+ e

ik

m

2

4m2t+


11. Oscillatore Smorzato (VI)

• Si tratta di un moto oscillatorio di pulsazione:

e ampiezza

che decresce nel tempo con legge esponenziale.

x t( ) = Ae 2mt e

ik

m

2

4m2

t+

+ e

ik

m

2

4m2

t+

2

x t( ) = Ae 2mt

cosk

m

2

4m2

t + se < 2 mk

=k

m

2

4m2

Ae 2mt

(integrale generale reale)

x

t


11. Oscillatore Smorzato (VII)

• Per risolvere il problema di Cauchy occorre calcolare la velocità e imporre le condizioni iniziali:

x t( ) =2mAe 2m

t

cosk

m

2

4m2t + Ae 2m

t k

m

2

4m2sin

k

m

2

4m2t +

x 0( ) = Acos = x0

x 0( ) =2mAcos

k

m

2

4m2Asin = 0

2mx0=

k

m

2

4m2Asin Asin =

2mx0

k

m

2

4m2

=x0

4mk2


11. Oscillatore Smorzato (VIII)

• La soluzione del problema di Cauchy sarà pertanto:

A2= A

2cos

2+ A

2sin

2= x

0

2+

2x0

2

4mk2=4mk x

0

2

4mk2

tan =Asin

Acos=

4mk2

x t( ) = x0

4mk

4mk2e 2m

t

cosk

m

2

4m2t arctan

4mk2

se < 2 mk


> 2 mk > 0

x t( ) = A1e

2m+

2

4m2

k

mt

+ A2e

2m

2

4m2

k

mt

se > 2 mk

11. Oscillatore Smorzato (IX)

• Se (oscillatore sovrasmorzato) si hanno 2 soluzioni reali distinte:

• L’integrale generale sarà quindi la somma delle 2 soluzioni:

• Se si pone , si ottiene l’integrale generale reale:

=2m

±

2

4m2

k

m

x t( ) = C1e

2m+

2

4m2

k

mt

+C2e

2m

2

4m2

k

mt

se > 2 mk

C

1= A

1, C

2= A

2

x

t


11. Oscillatore Smorzato (X)


x t( ) = A1

2m+

2

4m2

k

me

2m+

2

4m2

k

mt

+ A2

2m

2

4m2

k

me

2m

2

4m2

k

mt

x 0( ) = A1 + A2 = x0

x 0( ) = A12m

+

2

4m2

k

m+ A

22m

2

4m2

k

m= 0

A1=2m

+

2

4m2

k

m

2

2

4m2

k

m

x0, A

2=

2m+

2

4m2

k

m

2

2

4m2

k

m

x0


11. Oscillatore Smorzato (XI)

• La soluzione del problema di Cauchy sarà:

x t( ) = 2m+

2

4m2

k

m

2

2

4m2

k

m

x0e

2m+

2

4m2

k

mt

+2m

+

2

4m2

k

m

2

2

4m2

k

m

x0e

2m

2

4m2

k

mt

se > 2 mk


= 2 mk = 0

11. Oscillatore Smorzato (XII)

• Se infine (oscillatore criticamente smorzato) si hanno 2 soluzioni reali coincidenti:

• Si dimostra che in questo caso l’integrale generale ha la forma:

• Se si pone , si ottiene l’integrale generale reale:

1=

2=

2m

x t( ) = C1+ C

2t( )e 2m

t

se = 2 mk

C

1= A

1, C

2= A

2

x t( ) = A

1+ A

2t( )e 2m

t

se = 2 mk

x

t


11. Oscillatore Smorzato (XIII)


• La soluzione del problema di Cauchy sarà:

x t( ) = A2e 2m

t

2mA1+ A

2t( )e 2m

t

x 0( ) = A1= x

0

x 0( ) = A22mA1= 0

A1= x

0

A2=2mx0

x t( ) = x01+2mt e 2m

t

se = 2 mk


11. Oscillatore Smorzato (XIV)

• In conclusione:

• Se il moto è caratterizzato da un’oscillazione sinusoidale la cui ampiezza decresce nel tempo con legge esponenziale (moto oscillatorio smorzato).

• Se l’oscillatore si avvicina con legge esponenziale (senza oscillare) al punto di equilibrio (moto aperiodico smorzato).

• Infine se l’oscillatore si avvicina alla posizione di equilibrio nel minor tempo possibile (moto aperiodico criticamente smorzato).

< 2 mk

= 2 mk

2 mk


11. Oscillatore Smorzato (XV)

moto oscillatorio smorzato

moto aperiodico criticamente smorzato

moto aperiodico fortemente smorzato

< 2 mk

> 2 mk

= 2 mk

x

x

x

t

t

t


12. Oscillatore Forzato

• Supponiamo che sul punto materiale, oltre alla forza elastica e alla resistenza viscosa, agisca anche una forza esterna dipendente periodicamente dal tempo (dipendenza esplicita):

mkF

Fx= kx v

x+ F

0cos t( )

ax=Fx

m=

k

mxmvx+F0

mcos t( )

x +mx +

k

mx =

F0

mcos t( ) (Oscillatore smorzato e forzato)


12. Oscillatore Forzato (II)

• L’equazione differenziale è non-omogenea.

• L’integrale generale di una equazione differenziale non-omogenea è la somma di 2 termini:

– L’integrale generale dell’omogenea corrispondente;

– Una soluzione particolare della non-omogenea.

• L’integrale generale dell’omogenea corrispondente definisce lo stato transitorio (che si estingue nel tempo ed è di scarso interesse);

• La soluzione particolare della non-omogenea definisce lo stato stazionario (che persiste).

• Già conosciamo l’integrale generale dell’omogenea corrispondente. Cerchiamo una soluzione della non-omogenea.


12. Oscillatore Forzato (III)

• Cerchiamo la soluzione della non-omogenea nella forma:

• Poiché è più facile lavorare con gli esponenziali che non con le funzioni trigonometriche, cerchiamo la soluzione complessa:

• La soluzione reale sarà poi la sua parte reale:

x t( ) = Acos t +( )

xCt( ) = Aei t+( )

xCt( ) = i Ae

i t+( )

xCt( ) = 2

Aei t+( )

x t( ) = x

Ct( )( ) = Ae

i t+( )( ) = Acos t +( )


12. Oscillatore Forzato (IV)

• Sostituendo nell’equazione:

• Poiché questa uguaglianza deve valere t, si ha:

x +m

x +k

mx =

F0

me

i t

2Ae

i t+( )+

mi Ae

i t+( )+

k

mAe

i t+( )=

F0

me

i t

2Ae

i+

mi Ae

i+

k

mAe

i=

F0

m

2+

mi +

k

mAe

i=

F0

m


12. Oscillatore Forzato (V)

• Essendo , si ha:

Aei=F0

m

1

k

m

2+ im

=F0

m

k

m

2im

k

m

2

2

+

2

m2

2

x = x x*

A = Aei=F0

m

k

m

2im

k

m

2

2

+

2

m2

2

k

m

2+ im

k

m

2

2

+

2

m2

2

=

=F0

m

1

k

m

2

2

+

2

m2

2


12. Oscillatore Forzato (VI)

• Per cui la soluzione particolare reale della non-omogenea sarà:

= arg Aei( ) = arctan

Aei( )

Aei( )

= arctan m

k

m

2

x t( ) =F0

m

1

k

m

2

2

+

2

m2

2

cos t + arctan m

k

m

2

x

t


12. Oscillatore Forzato (VII)

• Vediamo ora per quale valore di l’ampiezza A è massima. Occorre trovare un minimo della funzione:

• Poniamo dunque uguale a zero la derivata:

k

m

2

2

+

2

m2

2

d

d

k

m

2

2

+

2

m2

2= 2

k

m

22( ) + 2

2

m2

=

= 4k

m+

2+

2

2m2

= 0

= 0

=k

m

2

2m2


12. Oscillatore Forzato (VIII)

• Se , allora A ha un minimo per il valore 0 e un massimo per l’altro valore.

• Se invece , allora A ha un massimo per il valore 0.

• Dunque nel caso di un oscillatore debolmente smorzato, l’ampiezza delle oscillazioni è massima quando:

cioè quando la frequenza eccitante /2 è circa uguale alla frequenza propria dell’oscillatore libero

0/2

(risonanza).

< 2 mk

> 2 mk

=k

m

2

2m2=

k

m=

0per 2 mk

frequenza angolare propria dell’oscillatore smorzato

frequenza angolare propria dell’oscillatore libero


12. Oscillatore Forzato (IX)

• Si osservi inoltre che in prossimità della risonanza:

• La differenza di fase tra forza e spostamento alla risonanza è circa 90° (lo spostamento è massimo quando la forza è nulla e viceversa).

m

k

m

2k

m

= arctanm

k

m

2k

m2rad = 90º


12. Oscillatore Forzato (X)

A

0

0

k m

2 k m

3 k m

F0

mk

2F0

mk

3F0

mk = 0

= 0.4 mk

= 0.8 mk

= 2 mk

= 4 mk


12. Oscillatore Forzato (XI)

• Si osserva la risonanza quando i vetri di una finestra, o qualche parte di un’auto si mettono in vibrazione eccitati da un suono o da un rumore di una certa frequenza (autobus, camion, ecc.). Se la frequenza cambia la vibrazione cessa.

• La risonanza viene studiata sia su scala astronomica (oscillazione dell’atmosfera terrestre forzata dalla Luna), sia su scala atomica (assorbimento della luce da parte di cristalli di cloruro di sodio), nucleare (risonanza magnetica nucleare) e subnucleare (particelle di vita molto breve).


http://campus.cib.unibo.it/2427/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected]

http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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Fisica Generale A - COnnecting REpositories · 2013. 7. 9. · Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale: 12 Esempi 1. Moto rettilineo uniformemente accelerato. 2