Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
��
��� �� 1
1.1 ����������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ��������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
��� ������������ 11
2.1 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 ��������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 ����������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 ��������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
��� ������� 26
3.1 �������������������� . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.3 ������������������ . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii ��
3.5.1 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.1 ����������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.2 ����������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.3 ��������������������� . . . . . . . . . 46
3.6.4 �������������������� . . . . . . . . . . 50
3.6.5 ������������������ . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.8 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.9 ��������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9.2 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.9.3 ������DZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.10 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.10.1 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.10.2 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.10.3 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.10.4 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.1 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.2 ��������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.12 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12.1 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12.2 ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.12.3 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
��� ������ 95
4.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 ��—���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.3 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
�� iii
4.3 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.1 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4.1 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4.2 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.1 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.2 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.3 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
��� ����������� 129
5.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.1.1 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.1.2 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.3 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 �—���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5.1 ���� ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5.2 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.3 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6.1 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6.2 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6.3 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.4 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6.5 ������ ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.7 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.8 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
��� �������� 158
6.1 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
iv ��
6.2 ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2.2 � ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2.3 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2.4 θ−Æ�������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2.5 Z−Æ�������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.6 Grad-Shafrnov�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.1 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.2 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3.3 �—���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5.1 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5.2 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.5.3 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.5.4 ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
��� ��������� 195
7.1 ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1.1 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1.2 ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.1.3 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4 ����������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.5 Kramers-Kronig�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.6 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.7 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
��� �������(����) 219
8.1 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.1.1 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.1.2 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
�� v
8.1.3 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.2 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.1 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.2.2 ����������������� . . . . . . . . . . . . . . 227
8.2.3 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.2.4 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.5 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.3 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3.1 ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.3.2 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3.3 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.4 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.5 ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
��� ���������� 252
9.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2 ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.3 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.3.1 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.3.2 ��� K-dV�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.4 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.5 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
��� ������������� 277
10.1 ����������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.1.1 ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.1.2 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.1.3 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.2 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.3 ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.3.1 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.3.2 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.3.3 ��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.3.4 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
vi ��
10.3.5 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
���� ���������� 299
11.1 ��������� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.2 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.2.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.2.2 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.2.3 ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.3 Yvon-Born-Green��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.4 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.4.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.4.2 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.5 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.5.1 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.5.2 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
11.6 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.7 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
���� ��������� 319
12.1 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.2 ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
12.3 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.4 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
12.5 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.5.1 ���������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.6 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.7 ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.8 ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.9 ����������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
12.10 ���������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.10.1 �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.10.2 ���������Fresnel��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
12.10.3 ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
12.10.4 �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
�� vii
12.10.5 ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34112.11 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
viii ��
��� ��
1.1 �����������
�����������������������������������
����DZ����������������������“���”��������������DZ����Æ������������������������
���������������DZ���������������������
������DZ�����������������������������
�������������������������������������
�����DZ�������������������������������
���������������� ��������������������
�������������������������������������
��������������������������������
���������������( 99%��)��������������������������������������������
�������������������������������
�����������������������������DZ������
����� �����DZ�����������������������DZ
����������������������������������
������������������
�������������������������������
�������������������������������������
���������������DZ������������DZ���
�������� ����������������DZ���������
��������� —��������������mK����������DZ����������� �������DZ���DZ��������
2 ��
����������—������������������������ ���
���������������������� �����������
����������������DZ�����������������
�������������������������DZ � �������
����������������������������������
��������������������DZ���������������
��������������������������DZ�������
������������������DZ��������������
������������������������������������
���������������������������
�������������������������DZ�����
�������������������������� ������
���� �����������������������������
���������������������������������
������������������������������
1.2 ���������������
1.2.1 ����������
������������������������������
����������������� ����������������
�����������������������������������
�� �������������DZ����������� ����
�����������������������������������
������������� ���� �����������DZ�
����������� ���������������������
��������� �� �������DZ������������
��DZ��� ��������DZ��������������������
�����������������������������������
������������� ���� ����� �����DZDZ���
���� �����������
1.2 ��������������� 3
1.2.2 ����������
����������DZ� ��������������
��������������������������������
����������������������DZ������
������������������������������������
���������������������� ���������
���������������������������������
���
���������������������������������
������������������������������
��������������������������������
�����������������������������������
�(��������)�
����������������������������
�������������� ��������������DZ�
��������������������������� � ���
��������DZ�������������������� �����
�������������������� ���������
DZ������������ ��������
��
����
�����������������������������
�����������������������������������
����� ���� ��
������
1. ������������������������� 1980�����������������������������������������
��
4 ��
2. F. F. Chen�������������������� 1980��������������������DZ��������������������
3. ��������������������� 1983��
4. ���(N. A. Krall)������(A. W. Trivelpieece)�������������������� 1983��������
5. ����������������������������������1988�����������������������������������������
6. �������������������������������2006�������������������� ��� �
������
1. L. Spizter, Physics of Ionized Gas (Interscience Publishers, New York, 1956). ���������������������������������
���
2. C. L. Longmire, Elementary Plasma Physics (Interscience Publishers, New York,1963). ������������
3. R. C. Davidson, Methods in Nonlinear Plasma Theory (Academy, New York, 1972).��������������� �������� ���������
���������������������������������
���������������DZ����������� Physics ofPlasmas����
4. S. Ichimaru, Basic Principles of Plasma Physics (Benjamin, Massachusetts, 1973).��������������� ���
5. V. L. Ginzburg, The Propagation of Electromagnetic Waves in Plasmas (Pergamon,Oxford, 1970). ������������������������������������������
1.2 ��������������� 5
6. A. I. Akhiezer, et al, Plasma Electrodynamics (Pergamon Press, Oxford, 1975), Vols.I and II. ���������������������������������
7. A. F. Alexandrov, L. S. Bogdankevich, and A. A. Rukhadze, Principles of Plasma
Electrodynamics (Springer, Berlin, 1984). ������������������������������������ �
8. W. L. Kruer, The Physics of Laser Plasma Interactions (Addison-Wesley, New York,1988). ��������������������� ����������� � ������������������
9. T. H. Stix, Waves in Plasmas (American Institute of Physics, New York, 1992). ������������������
10. S. Ichimaru, Statistical Plasma Physics (Addison-Wesley, Redwood City, 1992),Vols. 1 & 2. �������������������������������������
11. J. Wesson, Tokamaks (Clarendon Press, Oxford, 1997). ������������������� ����
12. T. J. M. Boyd and J. J. Sanderson, The Physics of Plasmas (Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2003). �������������������� ��
13. S. Atzeni and J. Meyer-ter-Vehn, The Physics of Inertial Fusion (Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 2004). ��� ���������
14. Reviews of Plasma Physics. ���/����������������������������������������������������
�����������DZ����������� �
������
����������������������������DZ����
�������������������������� L. D. Landau����� E. M. Lifshitz ��������������������������������������
6 ��
• Volume I, Mechanics
• Volume II, The Classical Theory of Fields
• Volume V, Statistical Physics I
• Volume VI, Fluid Mechanics
• Volume VIII, Electrodynamics of Continuous Media
• Volume X, Physical Kinetics
����
������������������������ � ���
� ��
a · (b× c) = b · (c× a) = c · (a× b), (1.1)
a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c, (1.2)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c), (1.3)
∇×∇ψ = 0, (1.4)
∇ · (∇× a) = 0, (1.5)
∇× (∇× a) = ∇(∇ · a)−∇2a, (1.6)
∇ · (ψa) = a · ∇ψ + ψ∇ · a, (1.7)
∇× (ψa) = ∇ψ × a+ ψ∇× a, (1.8)
∇(a · b) = (a · ∇)b+ (b · ∇)a+ a× (∇× b) + b× (∇× a), (1.9)
∇ · (a× b) = b · (∇× a)− a · (∇× b), (1.10)
∇× (a× b) = a(∇ · b)− b(∇ · a) + (b · ∇)a− (a · ∇)b. (1.11)
1.2 ��������������� 7
����
����������� ����� S ������DZ V������
DZ df���� ∫V
∇ ·Ad3r =∫S
A · df , (1.12)∫V
∇ψd3r =∫S
ψdf , (1.13)∫V
∇×Ad3r =
∫S
df ×A, (1.14)∫V
(φ∇2ψ +∇φ · ∇ψ)d3r =∫S
φ∇ψ · df , (1.15)∫V
(φ∇2ψ − ψ∇2φ)d3r =
∫S
(φ∇ψ − ψ∇φ) · df . (1.16)
���� C ������DZ S������DZ df������DZ dl��
�� ∫S
(∇×A) · df =∮C
A · dl, (1.17)∫S
df ×∇ψ =
∮C
ψdl. (1.18)
����
������������������ ��������� ����
��� ����� �� (ρ, φ, z)��������������������
��� �
∇u =∂u
∂ρeρ +
1
ρ
∂u
∂φeφ +
∂u
∂zez, (1.19)
∇ · u =1
ρ
∂
∂ρ(ρuρ) +
1
ρ
∂
∂φ(uφ) +
∂
∂z(uz) , (1.20)
(∇× u)ρ =1
ρ
∂uz∂φ
− ∂uφ∂z
, (1.21a)
(∇× u)φ =∂uρ∂z
− ∂uz∂ρ
, (1.21b)
(∇× u)z =1
ρ
∂(ρuφ)
∂ρ− 1
ρ
∂uρ∂φ
, (1.21c)
∇2u =1
ρ
∂
∂ρ
(ρ∂u
∂ρ
)+
1
ρ2∂2u
∂φ2+∂2u
∂z2. (1.22)
8 ��
�� �� (r, θ, φ)����������������������� �
∇u =∂u
∂rer +
1
r
∂u
∂θeφ +
1
r sin θ
∂u
∂φez, (1.23)
∇ · u =1
r2∂
∂r
(r2ur
)+
1
r sin θ
∂
∂θ(sin θuθ) +
1
r sin θ
∂uφ∂φ
, (1.24)
(∇× u)r =1
r sin θ
[∂(sin θuφ)
∂θ− ∂uθ
∂φ
], (1.25a)
(∇× u)θ =1
r sin θ
[∂ur∂φ
− ∂(r sin θuφ)
∂r
], (1.25b)
(∇× u)φ =1
r
[∂(ruθ)
∂r− ∂ur
∂θ
], (1.25c)
∇2u =1
r2∂
∂r
(r2∂u
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂u
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2u
∂φ2. (1.26)
�����������
������� ����� ������� ��������DZ
��������� ���� ��������
����������������
∇ · E = 4πρ,
∇× E = −1
c
∂B
∂t,
∇ ·B = 0,
∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
cj.
���������� ����� ���������� DZ
∇ · E =ρ
ε0,
∇×E = −∂B∂t,
∇ ·B = 0,
∇×B =1
c2∂E
∂t+ μ0j.
1.2 ��������������� 9
��� ��� ���
� c (μ0ε0)−1/2
�� E/√4πε0 E
���√ε0/4πD D
����√4πε0ρ ρ
�����√μ0/4πB B
���� H/√4πμ0 H
���√4π/μ0M M
��� 4πε0σ σ
��� ε0ε ε
��� μ0μ μ
�� R/4πε0 R
�� L/4πε0 L
�� 4πε0C C
� 1.1: ������� ���� ������ �
�������� ������������(1.1)� �������� �����
������ �������� DZ
∇ · E =ρ
ε0,
����� ����������������������� ����
������E����� ����
E → E√4πε0
, ρ→√4πε0ρ
��������� ������
∇ · E = 4πρ.
�����DZ�������������� �������� �����
����� ��������DZ
λDe =
√T
4πne2.
10 ��
��� ����� ���� �����
�� m (L) 102 cm (L)
�� kg (M) 103 g (M)
�� s (T) 1 s (T)
�� Hz (T−1) 1 Hz (T−1)
� N (MLT−2) 105 dyne (MLT−2)
�� J (ML2T−2) 107 erg (ML2T−2)
�� W (ML2T−3) 107 erg/s (ML2T−3)
�� C (TI) 3×109 statcoulomb (M1/2L3/2T−1)
���� C/m3 (TIL−3) 3×103 statcoul/cm3 (M1/2L−3/2T−1)
�� A (I) 3×109 statampere (M1/2L3/2T−2)
���� A/m2 (IL−2) 3×105 statamp/cm2 (M1/2L−1/2T−2)
�� V/m (MLT−3I−1) 13 × 10−4 statvolt/cm (M1/2L−1/2T−1)
�� V (ML2T−3I−1) 1300 statvolt (MLT−3I−1)
���� C/m2 (TIL−2) 3×105 dipole moment/cm3 (M1/2I−1/2T−1)
��� C/m2 (TIL−2) 12π × 105 statvolt/cm (M1/2I−1/2T−1)
��� siemens/m (T3I2M−1L−3) 9×109 s−1 (T−1)
�� Ω (ML2T−3I−2) 19 × 10−11 s/cm (TL−1)
�� F (T4I2M−1L−2) 9×1011 cm (L)
��� Wb (ML2T−2I−1) 108 G/cm2 (M1/2L3/2T−1)
����� T (MT−2I−1) 104 G (M1/2L−1/2T−1)
���� A/m (IL−1) 4π × 10−3 Oe (M1/2L−1/2T−1)
� 1.2: ����������������������
�� ne��������������
ne→ ne√4πε0
,
��������� ������
λDe =
√ε0T
ne2.
��� ���� ������������������1.2
��� ������������
������������������������� 10����������� 20�����������������������������������������������DZ������������������������
��������������������������������������
������������������������������DZ������
��������������������
2.1 ��������������
����������������������������������
�������������������������������������
������DZ�������������������
��������������Q������������������
��������������������������
∇2φ = −4πe(Zni − ne)− 4πQδ(r), (2.1)
�� δ(r)DZ δ−��� ni DZ������� ne DZ������� Z DZ�������
���� ��������������������� φ�������
��
ni = n0ie−Zeφ/T , (2.2a)
ne = n0eeeφ/T , (2.2b)
�� T DZ�������� n0e � n0i ����������� Q�������
12 ������������
|eφ/T | � 1����������
ni = n0i(1− Zeφ/T ), (2.3a)
ne = n0e(1 + eφ/T ), (2.3b)
���������(2.1)�DZ
∇2φ−(4πZ2e2n0i
T+
4πe2n0e
T
)φ = −4πQδ(r). (2.4)
�������� λD����DZ
1
λ2D≡ 4πZ2e2n0i
T+
4πe2n0e
T=
4πe2n0e(Z + 1)
T, (2.5)
����(2.4)�DZ
∇2φ− 1
λ2Dφ = −4πQδ(r). (2.6)
��������� φ(r → ∞) → 0��DZ
φ(r) =Q
re−r/λD . (2.7)
�����������������Q���������� �� 0���
������������ �������������DZ φ = Q/εr��
� εDZ���������������� Q��������DZ��������
��� ����������������������������DZ����
��������������������������������������
��������������DZ�����������������������
����������������������������
���������DZ������DZ�DZ��� |eφ/T | ∼ 1������
������������������ �����������DZ����
����������������������������������DZ
���������������� �������������������
��DZ����������“ �” ����������������������������������������� �������
�������������������������������DZ��
��������������������������������DZ�
�����������������������������DZ��DZ�
2.2 ��������������� 13
����������������������������������
�������������������������������������
������������������
���������������������������������
����������������������������������
������������������������ nα = nα0 exp(−Zαeφ/Tα)�
�����������������������������������DZ
λDα =
(Tα
4πe2αnα
)1/2
= 7.434× 102[Tα(eV)]1/2[nα(cm−3)]−1/2|Zα|−1 (cm), (2.8)
���� α������� ZαDZ������ �������������
�DZ
λ−2D =
∑α
λ−2Dα. (2.9)
2.2 ���������������
�������������������������������
� Q ������������������������������
����������������������������������
vTe = (T/me)1/2 �������� λDe ������DZ�������������
���
τpe =λDe
vTe
=
√me
4πnee2. (2.10)
���������������������������
��������������������� �������—���������������������������� τpe ���������
����������������������������������� τpe
������������������������������ τ > τpe �
L > λDe��������������������������� ���
���������Æ��(2.10)����������Æ����������������� x = 0�������������� δx�����
������������� ���������������� �����
��DZ
E = 4πeneδx,
14 ������������
�� ne ������������������������ x = 0�����
�������������� ������� x = 0� ���������DZ
nemed2δx
dt2= −eneE = −4πn2
ee2δx,
������ ����� ��DZ
ωpe =
√4πe2ne
me
= 5.641× 104[ne(cm−3)]1/2 (rad/sec). (2.11)
���DZ�DZ���� �� ���DZ��� ���������
���������������������������������
����������������������������������
������������������������������
2.3 �������������
����� ��������������� ��DZ���������
�����������������������������������
��������DZ��������������������������
�����������������
������DZ
n(r, t) =
N∑i=1
δ[r− ri(t)]. (2.12)
��������DZ
nk(t) =1
V 1/2
∫V
n(r, t)e−ik·rd3r =1
V 1/2
N∑i=1
e−ik·ri(t).
� nk(t)���� ��
nk(t) =1
V 1/2
N∑i=1
(−ik · vi)e−ik·ri,
nk(t) =1
V 1/2
N∑i=1
[−(k · vi)
2 − ik · vi
]e−ik·ri.
2.3 ������������� 15
���������������������������������
������������DZ
vi = − 1
m
∂
∂ri
∑j �=i
(Ze)2
|ri − rj|+ (�����������).
��Z�����������������
(Ze)2
r=
1
V 1/2
∑k
4π(Ze)2
V 1/2k2eik·r,
�������(�k = 0����)�����������������������
vi = − 1
m
∂
∂ri
∑j �=i
∑q
4π(Ze)2
V q2eiq·(ri−rj) = −i4π(Ze)
2
mV 1/2
∑q �=0
q
q2nq(t)e
iq·ri.
���������DZ
nk(t) = − 1
V 1/2
N∑i=1
(k · vi)2e−ik·ri − 4πe2
mV
∑q �=0
N∑i=1
k · qq2
nq(t)ei(k−q)·ri
= − 1
V 1/2
∑i
(k · vi)2e−ik·ri − 4πe2
mV 1/2
∑q �=0
k · qq2
nq(t)nk−q(t)
� �������� q = k�������� nk=0 = N/V 1/2����
nk(t) +4πn(Ze)2
mnk(t) = − 1
V 1/2
∑i
−(k · vi)2e−ik·ri − 4πe2
mV 1/2
∑q �=0,k
k · qq2
nq(t)nk−q(t).
(2.13)��(2.13)���� ������� ������������
��������� �������������������������
������
��(2.13)������DZ
1
V 1/2
N∑i=1
−(k · vi)2e−ik·ri ∼ k2
T
mnk(t).
������ DZ
ω2pnk(t).
���� ω2p � k2T/m���������� ��������� ������
���DZ
k2λ2D � 1,
16 ������������
�������������������������������������
������������������� k2λ2D � 1�������������
��������
����������������������� |e2/n−1/3T | � 1����
������������������������ ���� ��
�������������������������������DZ
�����������
2.4 �����������
��������������������������������
��������� ������������������������
������������� ����������������������
�������—� ���������������������������������������������DZ (2π�)3���
������DZ 1/2������� ������������� � 2�����
���������� ���������� 0������ pF (�����)���������������������
N = 2
∫d3pd3r
(2π�)3= V
8π
(2π�)3
∫ pF
0
p2dp =V p3F3π2�3
,
��������������
pF = (3π2)1/3n1/3e �, (2.14)
�� ne = N/V ��������������������DZ����
εF = (3π2)2/3n2/3e (�2/2me) = 0.3646
( ne
1021cm−3
)2/3eV. (2.15)
������������� εF�������������������
��������������DZ �������� �����������
�����DZ�������������������
Te � εF. (2.16)
������� �������������������������
���
n−1/3e � h
mevTe
=h√meTe
, (2.17)
2.5 ��������������� 17
�������
Te � n2/3e
h2
me∼ εF.
����(2.16)���(2.17)��������������������������Υe����DZ
Υe =TeεF. (2.18)
� Υe � 1����������Υe � 1������—� �����DZ�������������DZ���� ���������
��������� �������������������������
�� ���� �������������—� ����������φ������DZ�
ne = n0eF3/2[(μ− eφ)/T ]/F3/2(μ/T ),
�� μ������ F3/2(x)��—� ���������� ����������������� ������������������� �
��
λ2De =
√T 2 + ε2F4πnee2
. (2.19)
2.5 ���������������
����������������������������������
�������������������������������������
������� �DZ����������������
DZ ����������������������DZ�������
��������DZ���������������DZ ne ��������
�������DZ (4πne/3)−1/3�����������������DZ
Uee ∼e2
(4πne/3)−1/3, (2.20)
�� (4πne/3)−1/3DZ�DZWigner-Seitz������������������DZ
Ee ∼ Te, (2.21)
�����������DZ����������������
Γe =Uee
Ee= 2.32
( ne
1021cm−3
)1/3(TeeV
)−1
. (2.22)
18 ������������
�����������—�������������� ����������������� 1����������������������
� ���������DZ�������������������� 1���
������������������������������à > 170����
������������� ������������������������
������������������������������������DZ�
��������������������� �����������
������������������DZ���������������
���DZ������������ � ������������DZ ��
������������DZ�� ����� 1 � à � 170���������
�DZ�����������������������������
��������������������
N =4π
3neλ
3De =
1
3√3Γ
3/2e
.
���������� Γe � 1��� N � 1�������������� 1���
���������������������������� g�
g =1
4πneλ3De
, (2.23)
� g = 0��������������������������� �� g � 1
������ gDZ���������������� ���
���������������� ��������me����
eDZ���������������������� Te����� neDZ����
�������������DZ������������������DZ N
�� � N ���������������� nm����� nT ����� ne
������������������������������������
����������������������� ���������
limN→∞
λDe = limN→∞
√Te
4πnee2= lim
N→∞
√(nT )
4π(ne)2= λDe,
limN→∞
ωpe = limN→∞
√4πnee2
me= lim
N→∞
√4π(nee)2
(neme)= ωpe.
��������������� g�����
limN→∞
g =1
4πλ3De
limN→∞
1
Nn= 0.
2.5 ��������������� 19
�������������������� � �������������
��
������������DZ�������������me� e� Te� ne��
������������������������
[mxe(1/ne)
yT ze e] = 1,
������DZ(�� 1.1)
[e] = [��]1/2[��]3/2[��]−1,
����������
x+ z + 1/2 = 0, 3y + 2z + 3/2 = 0, − 2z − 1 = 0.
��������
x = 0, y = −1/6, z = −1/2.
���������
(en1/6e T−1/2
e )3 = (8π3/2/neλ3De)
−1.
��������(2.22)��������������� Te�� ����
εF�����Æ�����DZ εF�������DZ
Γe =Uee
εF. (2.24)
����������� ���� ������� DZ���������
������ ���������������DZ����������(2.15)����������� n2/3 ���������������� n1/3 ����
��������DZ 0���������������������������
������������������ e2(4πne/3)1/3 � εF����
ne �32
27π3a3B= 2.58× 1023 cm−3, (2.25)
�� aB = �2/mee
2���������(2.25)�����DZ�����������
20 ������������
2.6 ��������
��������������������������������
����������������(��)�����������������������������������������������
����������������������� ��
����DZ����������������������������
������������������������DZ
∑i
νiAi = 0, (2.26)
�� Ai������������� νi���������������
�� ������� 2H2+O2 − 2H2O= 0���� νi��DZ νH2 = 2� νO2 = 1�
νH2O = −2�����������������������������
��������� ∑i
νiμi = 0. (2.27)
�� μi � i�������DZ ��������������
����DZ
μi = T lnPi + χi(T ), (2.28)
�� Pi �� i������ χi ������������� Pi ����� P
��DZ Pi = ciP��� ci = Ni/N �� i��������N =∑
iNi���
���Ni� i����������������DZ�������χiDZ
χi(T ) = ε0i − cpiT lnT − Tζi, (2.29)
�� cpi �������� ζi �����������������DZ
cp = 5/2�
����� (2.28)��������(2.27)��
∑i
νiμi = T∑l
νi lnPi +∑i
νiχi = 0.
����
KP (T ) = e−∑
νiχi/T , (2.30)
2.6 �������� 21
�������� ���DZ
∏i
P νii = KP (T ). (2.31)
������DZ Pi = ciP������
∏i
cνii = P−∑νiKP (T ) ≡ Kc(P, T ). (2.32)
��(2.31)(2.32)�DZ�����������KP (T )�Kc(P, T )�DZ������
������������������������
��������������
A0 = A1 + e−, A1 = A2 + e−, · · · ,
��������(2.32)� � νn−1 = 1� νn = −1� ν = −1���������
cn−1
cnc= PK
(n)P (T ), (n = 1, 2, · · · ),
�� c0 ��������� c1� c2� · · ·� �������� c �������
K(n)P (T )�� n�������������������������������
�������
c = c1 + 2c2 + 3c3 + · · · .
�����������������������������
����� χi��� ��DZ
χn = εn − (5/2)T lnT − T ln[gn(ma/2π�
2)3/2],
χ = −(5/2)T lnT − T ln[2(me/2π�
2)3/2],
�� ma ������ me ������ gn ���� ������� ����
�(2.30)������K(n)P (T )���DZ
K(n)P (T ) =
gn−1
2gn
(2π
me
)3/2�3
T 5/2eIn/T ,
�� In = εn − εn−1����� n���������� ����������
��������� ��������
cacic
= PK(1)P (T ) = (na + ni + ne)
ga2gi
(2π
me
)3/2�3
T 3/2eI/T , (2.33)
22 ������������
� 2.1: ������������—�����������
������������� ni DZ����� na DZ������� gi DZ��� �
�� gaDZ����� ��� I DZ�������������DZ
α =ni
na + ni,
���
c = ci =α
1 + α, ca =
1− α
1 + α,
������(2.33)������������
α =1√
1 + PK(1)P (T )
. (2.34)
2.7 �������
������������������������
���������������������� �DZ�������
� ������� T � εF������������������������
��������������������������� T � εF���
�������������������������������������
����������������� ����������
�������� g (���� Γ )����������� �DZ����������������� g → 0�����������������������
DZ������������������� ������������(2.1)�������������—�����������������������������DZ���������������
�������������������(��)���������� ���
2.8 �� 23
�����������������������������������
��������� �������������
��������������������������������
��DZ��������������������������� �����
��������� ���������������������
2.8 ��
1. ����������������DZ 10 keV�����DZ 1014 cm−3��
���������������������������������
��
2. ������������������DZ���
(1) ����������DZ ne ∼ 1021 cm−3� Te ∼ 5 keV�
(2) ������������DZ ne ∼ 1022 cm−3� Te ∼ 50 eV�
(3) ������������DZ ne ∼ 1026 cm−3� Te ∼ 5 eV�
�������������������������������
�����
3. ��������������
(1) � 0◦ C� 760 mm���������
(2) � �(20◦ C)����DZ 10−3 torr�������
4. ���������λD�ND�
(1) ����� n ∼ 1 cm−3�T ∼ 0.01 eV�
(2) ������ n ∼ 106 cm−3�T ∼ 0.1 eV�
(3) ���� n ∼ 109 cm−3�T ∼ 2 eV�
(4) �� n ∼ 108 cm−3�T ∼ 0.1 eV.
24 ������������
5. ����������
∇2φ− 1
λ2Dφ = −4πQδ(r)
������ φ(r → ∞) = 0���
6. �����������������������DZTe� Ti������DZ
Z�����DZ ne����������� λD�
7. ���� Z = 1�����������������������
8. �����������������DZ ne ���DZ T ����������
��DZ 0�� x = 0��������DZ φ0��������������
��������������������������DZZ = 1�
9. ���� x = ±d������������DZ φ = 0���������
�����������DZ q���DZ n���
(1)�������������DZ
φ = 2πqn(d2 − x2);
(2) �� d > λD ������������������������
��������
10. ������DZ R�������������������������DZ
ne�����DZ ni� ne� ni������
(1) �� r = ∞��DZ�������� ��� �
(2) ������ r = 0����!��
(3) � R = 100 km�ne = 106 cm−3(����� F �����)������������������
11. ����DZ a�����������������������DZ ne����
�����DZ ni������ ne = ni�������������������
����� ���� ��� ���� ���
2.8 �� 25
12. ������������������������������������������
ne = ne0 exp [−(mgz − eφ)/T ]
ni = ni0 exp [−(mgz + eφ)/T ]
�� g DZ���������� z �����������������DZ T�
� φ�����d2φ
dz2= −4πe(ni − ne).
��������������������������
13. ����������������������� 1������
���� nλ3D DZ���� 1.
14. �������DZ�(1) n = 1010 cm−3�(2) n = 1013 cm−3�(3) n = 1019 cm−3
������������!��
15. �!�����������������������DZ 105 K���DZ 1012
cm−3����������������
16. ���DZ 1014 cm−3 �������� 1 cm������ 1%�������
������� �����
17. ������DZ 3× 104 K���DZ 1012 cm3��������������Æ
����������
��� �������
�����������������������������������
�������������������������������������
��������������������������������������
�������DZ������������������������������
��������������������������������
�����������������������������������
����������������������������������
�����������������������������������
�������������������������������������
���������������������������������DZ���
������������������������������ �����
�������������������������������������
�����������������������������������
������������
3.1 ��������������������
����������������������������������
����������������������������������
���—�����������������������
3.1.1 ����������
����������������������������� r�� r��
�� t�����������������������������������
3.1 �������������������� 27
���������������������������� v ≡ r�����
��������������DZ����������
���������������������������������
����������
S =
∫ tb
ta
L(v)dt, (3.1)
� ta� tb� ������ � �DZ�L(v)��������������
���DZ��������������������������������
����������� S ����������������������
�����(3.1)����� L(v)dt�������������� ���
���������DZ�������� ��� xμ = (ct, r)�������(��� μ = 0, 1, 2, 3)����������
ds2 = dxμdxμ = c2dt2 − dr2 (3.2)
������������DZ ds2������������������
dτ =√
1− v2/c2dt = ds/c,
��������������������
L(v) = α
√1− v2
c2, (3.3)
� ����������������������������
������(3.3)���� ���������������������
��� v/c� 1������(3.3)��� (v/c)2��� ���
L(v) ≈ α− αv2
2c2,
���������������������DZ�������������
���������������DZ
L(v) = −α v2
2c2. (3.4)
������������������������������
L(v) =1
2mv2 (3.5)
28 �������
�m�������� ��(3.4)�(3.5)��������α�
α = −mc2.
��������������������
L(v) = −mc2√
1− v2/c2, (3.6)
���������DZ
S = −mc2∫ tb
ta
√1− v2/c2dt = −mc
∫ tb
ta
ds. (3.7)
������������������������������������
�������������� ���������
3.1.2 ����������
������������������������������������
�����DZ���������
p =∂L
∂v. (3.8)
���������(3.6)��(3.8)��������DZ
p =mv√
1− v2/c2. (3.9)
��������������DZ
E = p · v − L. (3.10)
�(3.6)�(3.9)��(3.10)��������DZ
E =mc2√
1− v2/c2. (3.11)
���������������������(3.9)�(3.11)����
p = E v
c2. (3.12)
���� DZ��� ����������������������
�(3.9)�(3.11)����������DZ
H = c√m2c2 + p2. (3.13)
3.1 �������������������� 29
��������p/mc� 1� ������mc2����������DZ
H =p2
2m.
��������������������
δS = −mc∫ tb
ta
δ(ds) = 0.
�� ds = (dxμdxμ)1/2�� δ(ds) = d(δs)����
δS = −mc∫ tb
ta
dxμdδxμ
ds= −mc
∫ tb
ta
uμdδxμ.
� uμ = dxμ/ds�����������������
δS = −mcuμδxμ|tbta +mc
∫ tb
ta
δxμduμds
ds. (3.14)
�������������������� � �����������
������������� δS = 0�������� � ������
� δxμ(ta) = δxμ(tb) = 0��� ta� tb��� δxμ������� δS = 0�����
��������duμds
= 0. (3.15)
����������������
����(3.1)���������������� a������� b��
�������������������� S ��DZ����������
���� δxμ(ta) = 0������������� duμ/ds = 0�����(3.14)�DZ
δS = −mcuμδxμ, (3.16)
���� δxμ(tb)�DZ δxμ�����(3.16)��������������������
pμ = − ∂S
∂xμ= mcuμ, (3.17)
�������������� �� p�������������
pμ = (E/c,p), pμ = (E/c,−p), (3.18)
�� pμ � pμ ��DZ����������(3.18)DZ�������������������������������
30 �������
3.1.3 ������������������
����������������������������������
������������������DZ������������������
������������DZ
S = −mc2∫ tb
ta
√1− v2/c2dt+
∫ tb
ta
Lintdt, (3.19)
� Lint����������������������� S ���������
�������������������Lintdt�DZ�����������
�����������������������������������
�������������������������������������
��� xμ = (ct, r)�����������������Aμ = (φ,A)DZ����
���������������������������������
��������������
−ecAμdx
μ = e
[1
cA · v− φ
]dt,
� e�������������������������DZ
Lint =e
cA · v − eφ. (3.20)
���������������DZ�
L(r,v, t) = −mc2√1− v2
c2+e
cA · v − eφ. (3.21)
��������������DZ
L =1
2mv2 +
e
cA · v − eφ (3.22)
�������� ���DZ
P =∂L
∂v=
mv√1− v2/c2
+e
cA = p+
e
cA. (3.23)
� p������(3.9)������������������������������������������
����������DZ
E = P · v − L =mc2√
1− v2/c2+ eφ. (3.24)
3.2 ������������ 31
�����DZ�� ��������������������������
H =
√m2c4 + c2
(P− e
cA)2
+ eφ. (3.25)
���������������DZ
H =1
2m
(P− e
cA)2
+ eφ. (3.26)
3.2 ������������
����������������������
δS = δ
∫ tb
ta
Ldt = 0.
����������������������������DZ
L = L(r,v, t).
��������DZ
δS =
∫ tb
ta
L(r+ δr,v + δv, t)dt−∫ tb
ta
L(r,v, t)dt
=
∫ tb
ta
[∂L
∂rδr+
∂L
∂vδv
]dt.
������������������� δv ≡ δ(dr/dt) = d(δr)/dt�����
�����������
δS =∂L
∂vδr
∣∣∣∣tb
ta
+
∫ tb
ta
[∂L
∂r− d
dt
(∂L
∂v
)]δrdt. (3.27)
�DZ� �������� δr(ta) = δr(tb) = 0���� �� δr��������
����—�������d
dt
(∂L
∂v
)=∂L
∂r. (3.28)
���������(3.21)����—������(3.28)����
d
dt
(p+
e
cA)= ∇
(ecA · v − eφ
). (3.29)
�������
∇(a · b) = (a · ∇)b+ (b · ∇)a+ b× (∇× a) + a× (∇× b).
32 �������
��� r� v�����������
e
c∇ (A · v) = e
c(v · ∇)A+
e
cv × (∇×A)
�����dA
dt=∂A
∂t+ (v · ∇)A,
��(3.29)��DZdp
dt= −e
c
∂A
∂t− e∇φ+
e
cv × (∇×A).
�����E� B�
E = −1
c
∂A
∂t−∇φ, B = ∇×A, (3.30)
�������������������
dp
dt= eE+
e
cv ×B, (3.31)
������ p�������DZ
p = E v
c2=
mv√1− v2/c2
.
�������� p = mv��������(3.31)��DZ
mdv
dt= eE+
e
cv ×B. (3.32)
�������DZ��� DZ����� S ���������������
������ � ���������������� S ���� ���
���� S = S(t, r)����������(3.27)�������� ������� r → r+ δr��������DZ
δS =∂L
∂v· δr.
������� S �DZ�� r����� r����� r → r+ δr������
δS =∂S
∂r· δr
��������������������
∂S
∂r=∂L
∂v= P. (3.33)
3.3 �������� 33
��������������
dS
dt= L(r,v, t).
�����(3.33)��������������DZ
dS
dt=∂S
∂t+ v · ∂S
∂r=∂S
∂t+P · v.
�� dS/dt�����������
∂S
∂t= −P · v + L = −H(P, r, t). (3.34)
������� ������(3.33)� ������������������
∂S
∂t+H
(∂S
∂r, r, t
)= 0. (3.35)
������—������������������DZ��������������������������—���������DZ
(∇S − e
cA)2
− 1
c2
(∂S
∂t+ eφ
)2
+m2c2 = 0. (3.36)
��������Æ���DZ(∂S
∂xμ+e
cAμ
)(∂S
∂xμ+e
cAμ
)= m2c2. (3.37)
3.3 ��������
��������������������������������
��������������������������������� �
������������� DZ����
L = L(qi, qi, t),
� {qi}DZ�������� {qi}DZ�����������—���������DZ
d
dt
(∂L
∂qi
)=∂L
∂qi. (3.38)
����—������(3.38)����������������������������������� ����� qi������������� �
�� pi�������� qi�DZ���� ����������������
34 �������
������ �������������������������������
����� z���� ∂L/∂z = 0������ z����������
�
Pz =∂L
∂vz= pz +
e
cAz = const. (3.39)
������ ������ ������ L����������Æ ϕ����� �
���������
Pϕ =mr2ϕ√1− v2/c2
+e
crAϕ = const. (3.40)
������ ������ ����������������ϕ− αz�� α���
��������������
∂L
∂z+ α
∂L
∂ϕ= 0,
���������∂L
∂z+ α
∂L
∂ϕ= const. (3.41)
������ ��������������� ∂L/∂t = 0������
dH
dt= −∂L
∂t= 0, (3.42)
��������DZ��������
3.4 ����������
����������������������������������
�������������������� ������������
�������DZ��������������������������
�����
������������������������ ����������
�����DZ
L =1
2m1r
21 +
1
2m2r
22 − U(|r1 − r2|). (3.43)
�m1,2��������� U(r)����������������������
��� ������������R����� r�������
R =m1r1 +m2r2m1 +m2
, r= r1 − r2. (3.44)
3.4 ���������� 35
��������������R����� r� ����
r1 = R+m2
m1 +m2r, r2 = R− m1
m1 +m2r. (3.45)
�(3.45)����(3.43)������
L =1
2(m1 +m2)R
2 +1
2
m1m2
m1 +m2r2 − U(r) (3.46)
������R���������������������
∂L
∂R= (m1 +m2) R = m1r1 +m2r2
����������������� R = 0������(3.46)��� ���
m =m1m2
m1 +m2
, (3.47)
�����(3.46)��DZ
L =1
2mr2 − U(r) (3.48)
������� ���DZ����DZm������ U(r)���� ��
����� (r, ϕ)�����(3.48)���DZ
L =1
2m
(r2 + r2ϕ2
)− U(r). (3.49)
���� ϕ���������������������
M = mr2ϕ =�, (3.50)
��������������������������DZ�������
E =1
2m
(r2 + r2ϕ2
)+ U(r) =
1
2mr2 +
M2
2mr2+ U(r) =�. (3.51)
������������������������������������
�������������������������������������
���
E =1
2mv20 , (3.52)
� v0��������������������DZ
M = mρv0, (3.53)
36 �������
� ��������
�������(3.51)������������
r =dr
dt= ±
√v20 − 2U(r)/m− ρ2v20/r
2. (3.54)
�������(3.50)��������DZ
dϕ
dt=dϕ
dr
dr
dt=ρv0r2.
��������(3.54)����
dϕ
dr=
mρv0/r2√
m2v20 − 2mU(r)−m2ρ2v20/r2. (3.55)
���(3.54)�(3.55)�����������������������������������U(r)DZ
U(r) = −Ze2
r, (3.56)
� Z �����������(3.56)����(3.55)������������ ρ⊥ = Ze2/mv20�Æ�����DZ
dϕ
dr=
ρ/r2√1 + 2ρ⊥/r − (ρ/r)2
,
� r����
ϕ = arccosρ/r − ρ⊥/ρ√1 + ρ2⊥/ρ2
+ constant. (3.57)
DZ������������� f � ε�
f =ρ2
ρ⊥, ε =
√1 +
ρ2
ρ2⊥, (3.58)
����(3.57)������DZ �����(3.57)����DZ���
f
r= 1 + ε cosϕ. (3.59)
�����(3.54)������DZ
dr
dt= ±v0
√1 + 2
ρ⊥r
− ρ2
r2.
3.4 ���������� 37
Ze
θs
� 3.1: ��������������θs��Æ������������� Æ�
���� r���
t =ρ⊥v0
∫(r/ρ⊥)d(r/ρ⊥)√(r/ρ⊥ + 1)2 − ε2
,
������ r/ρ⊥ + 1 = ε cosh ξ������������� τ0 = ρ⊥/v0��
��
t = τ0 (ε sinh ξ − ξ) ,
�������DZ �����������������������
r = ρ⊥ (ε cosh ξ − 1) , t = τ0 (ε sinh ξ − ξ) , (3.60a)
x = ρ⊥ (ε− cosh ξ) , y = ρ⊥√ε2 − 1 sinh ξ. (3.60b)
�����DZ����
ρ⊥ =Ze2
mv20, τ0 =
ρ⊥v0, ε =
√1 +
ρ2
ρ2⊥. (3.61)
�(3.1)��������������������� ����������Æ θs ����� ρ����������
������������������������ ���(3.1)� ������� x−� Æ� �DZ
tanϕin = limξ→−∞
y
x=
√ε2 − 1,
������ x−� Æ� �DZ
tanϕout = − limξ→+∞
y
x= −
√ε2 − 1.
38 �������
��Æ θs���������� Æ�
θs = ϕout − ϕin.
������������ θs�
tanθs2
=1
tanϕin=ρ⊥ρ. (3.62)
������ ρ = ρ⊥ ����Æ �� 90◦������ ρ⊥ ����� 90◦���
�������������� ρ⊥ ����Æ�� θs ≈ ρ/ρ⊥ � 1������
����� �
�����������������������DZ
U(r) =e2
r,
���������������������������
r = ρ⊥ (ε cosh ξ + 1) , t = τ0 (ε sinh ξ + ξ) , (3.63a)
x = ρ⊥ (cosh ξ + ε) , y = ρ⊥√ε2 − 1 sinh ξ. (3.63b)
�������DZ
ρ⊥ =e2
mv20, τ0 =
ρ⊥v0, ε =
√1 +
ρ2
ρ2⊥. (3.64)
����� ��(3.62)��������
tanθs2
=ρ⊥ρ. (3.65)
������� σ ������������ �v0�������
��������������������Æ θs DZ����� dN ������
��Æ�� θs → θs + dθs���������n����������������
��������DZ
dσ =dN
n. (3.66)
���Æ θs ����� ρ���������������Æ�� θs → θs + dθs��
�������������� ρ(θs) → ρ(θs) + dρ(θs)������������Æ�
� θs → θs + dθs��������DZ dN = n2πρ(θs)dρ(θs)��������DZ
dσ = 2πρdρ. (3.67)
3.5 �������������� 39
�����������������������������(3.65)����������� �����
dσ =
(Ze2
2mv20
)21
sin4(θs/2)2π sin θsdθs, (3.68)
��
dσ
dΩ=
(Ze2
2mv20
)21
sin4(θs/2). (3.69)
����������������������������
3.5 ��������������
��������������������������� ������
������������������������������������
�� ������������� �����������������
3.5.1 �������������
��������� �������������������������
�������DZ� ����� ���������DZ��������
��������� E��DZ x−�������DZ z−�������������� DZ
E = E0 cos(kz − ωt)ex, (3.70a)
B = E0 cos(kz − ωt)ey, (3.70b)
�� ω� k��DZ����������������(3.70)�������A�
��
A =cE0
ωsin(kz − ωt)ex. (3.71)
��������� kz − ωt���DZ���������(3.71)�DZ��������� η ≡ kz − ωt�
����(3.71)������������DZ
L = −mc2(1− v2/c2)1/2 +eE0
ωvx sin η. (3.72)
40 �������
��������� x� y����������
P⊥ = p⊥ +e
cA = const. (3.73)
� P⊥���� x − y���� ����p⊥���� x − y���������DZ
���(3.72)������ kz − ωt = k(z − ct)���� z��� t������
�������
H − cPz = const. (3.74)
�
H = [m2c4 + c2(P− eA/c)2]1/2 = (m2c4 + c2p2)1/2,
��������� Pz = pz ��� z−�� ��������������������������������������������
ωt→ t, kr → r, p/mc→ p, H/mc2 → γ, eA/mc2 → A. (3.75)
������(3.73)�(3.74)���DZ
p⊥ +A = const, (3.76)
γ − pz = const. (3.77)
��������(3.76)�������DZ ����������� x− z����
���
px = −a sin η, py = 0, (3.78)
�
a =eE0
mωc(3.79)
�����������������(3.77)�������DZ (1+a2/2)1/2��
��
γ − pz = (1 + a2/2)1/2. (3.80)
��������� γ = (1 + p2x + p2z)1/2��������� pz�
pz = − a2 cos 2η
4(1 + a2/2)1/2. (3.81)
�����(3.80)���������������DZ�����������DZ �
3.5 �������������� 41
z
x
a2
8(1+a2/2)
a√1+a2/2
k
E
� 3.2: ������������8�����(�����DZ0�����)�
���������
p = γdr
dt= γ
dr
dη
dη
dt= (pz − γ)
dr
dη.
(3.78)�(3.80)�(3.81)�� � �����
x = − a√1 + a2/2
cos η, (3.82a)
z =a2
8(1 + a2/2)sin 2η. (3.82b)
���(3.82)�������� ����������� �������������������������������������
�������������DZ“8” ����(3.2)��� a = 1���������
��������������������������v×B/c�����
��B�����DZ ω��������DZDZω��������������
���� 2������� a → ∞������DZ√2����DZ 1/4����
��DZ 4√2������ a → 0������� �DZ���� a/8 � 1���
����������������������������������
42 �������
������������������������������������
���������������������������������DZ�
�������������������� ���������������
����������������� a��������������
����������� ���(3.70)������DZ I = (c/8π)E20������
� a�����������
a =
[Iλ20
1.37× 1018W/cm2 · μm2
]1/2, (3.83)
���� I ���DZW/cm2����� λ0���DZ μm�������������DZ 1μm���������� 1018W/cm2�������������
3.5.2 �������������
����DZ���������������������DZ��������
�� z��������������DZ
E = E0 (cos ηex + sin ηey) , (3.84a)
B = E0 (− sin ηex + cos ηey) , (3.84b)
��������A�DZ
A =cE0
ω(sin ηex − cos ηey) . (3.85)
��������������DZ
L = −mc2(1− v2/c2)1/2 +eE0
ω(vx sin η − vy cos η). (3.86)
����(3.86)����������
p⊥ +e
cA = const, (3.87a)
H − cPz = const. (3.87b)
��������(3.75)�������������������������������(3.87a)���������DZ ��������DZ
px = −a sin η, (3.88a)
py = a cos η. (3.88b)
3.6 ������������ 43
�������������DZ������DZ ��������DZ
γ =√1 + a2. (3.89)
������������������
x = − a√1 + a2
cos η, y = − a√1 + a2
sin η, (3.90)
���DZ
r =a√
1 + a2. (3.91)
���������� a → ∞������������� r → λ0/2π������
�����������������������������������
�DZ
μ = eω
2π(πr2) =
ecλ04π
a2
1 + a2. (3.92)
������� μ → ecλ0/4π�
��������� ������������������������
������������������������������������
�DZ����������������������������������
�������������������������
3.6 ������������
3.6.1 �����������
����������������������E =const������� z−������������ φ�� DZ φ = −Ez��DZ����������A = 0�
��������DZ
L = −mc2√
1− v2
c2+ eEz. (3.93)
�DZ���� x� y��� x� y���������������������
px = p0x = const, py = py0 = const. (3.94)
���� �������������������������������
� x−������������ py0 = 0�
44 �������
�DZ������(3.93)���������������DZ�������
H =√m2c4 + c2p2 − eEz = const. (3.95)
���������DZ ����
z =1
eE
√m2c4 + c2p2x0 + c2p2z =
1
eE
√E20 + c2p2z,
� E20 = m2c4 + c2p2x0������� z−��������—�������
z−�������pz =
∂L
∂z= eE,
��� pz = eEt��������DZ pz(t = 0) = 0������
z =1
eE
√E20 + c2e2E2t2. (3.96)
����������(3.12)������� x−��������
x =c2p0x√
E20 + c2e2E2t2
.
������� �� t = 0������ x− y����� ������
x =cp0xeE
arcsin h
(ceEt
E0
). (3.97)
��������DZ
z =E0eE
cosh
(eE
cp0xx
)
3.6.2 �����������
������������������������� z−�� B = Bez��
���������DZ
L = −mc2√1− v2/c2 +
e
cA · v. (3.98)
�����������������������
H =√m2c4 + c2p2 = E = const.
���������������������� �����������
��DZA = Bxey�DZ���DZA = −Byex���������DZA = Bxey����
��DZ
L = −mc2√1− v2/c2 +
e
cBxvy .
3.6 ������������ 45
�� y� z���������
Py = py +e
cBx = const, Pz = pz = pz0 = const.
��������DZA = −Byex�������DZ
L = −mc2√1− v2/c2 − e
cByvx.
�� x� z���������
Px = px −e
cBy = const, Pz = pz = pz0 = const.
���������������DZ���������������������
�������
px −e
cBy = const, py +
e
cBx = const, pz = pz0 = const. (3.99a)√
m2c4 + c2p2 = E = const. (3.99b)
�����������������(3.99a)����
dx
dt=pxc
2
E = ωc(y − y0),dy
dt=pyc
2
E = −ωc(x− x0), (3.100)
�
ωc =ecB
E , (3.101)
�������� ��������(3.100)��DZ���������(3.39)���������DZ−eBy0/c� eBx0/c�� x0� y0����� ���(3.100)����DZ
d
dt[(x+ iy)− (x0 + iy0)] = −iωc [(x+ iy)− (x0 + iy0)] ,
����������
x+ iy = x0 + iy0 + ae−iωct,
� a��������������DZ a = rc exp(−iα + iπ/2)��� rc� α�DZ
��������
x+ iy = x0 + iy0 + irce−i(ωct+α),
������������������
x = x0 + rc sin(ωct+ α), y = y0 + rc cos(ωct+ α). (3.102)
46 �������
�������DZ
vx = rcωc cos(ωct+ α), vy = −rcωc sin(ωct + α). (3.103)
��� ������ v⊥�
v2⊥ = v2x + v2y = r2cω2c , (3.104)
������DZ
vx = v⊥ cos(ωct+ α), vy = −v⊥ sin(ωct + α).
����� ������������� ���(3.104)����������� ����������������������������������
���
m =e
2cr× v, (3.105)
��������������
m = − v2⊥E2c2B
ez. (3.106)
���������������������� ������������
���������������������DZ ��
μ =v2⊥E2c2B
. (3.107)
�������� E ≈ mc2����� ���� ����� �����
W⊥�
μ ≈ mv2⊥2B
=W⊥B. (3.108)
3.6.3 ����������������������
��������������������������������� �
�������������������������� ���������
�������������DZ���������������������
������ z−����� y−������(3.32)��������DZ(������)
mx =e
cyB, my = eE − e
cxB, mz = 0. (3.109)
3.6 ������������ 47
�����������
z = v�t. (3.110)
��� ��������������DZ
d
dt(x+ iy) + iωc(x+ iy) = i
e
mE,
� ωcDZ����������� ��� ωc = eB/mc�������DZ
x+ iy = ae−iωct +cE
B,
� a = v⊥ exp(−iα)��������� ��� αDZ ����
x = v⊥ cosωct +cE
B, y = −rc sinωct. (3.111)
��� � 2π/ωc��������
〈x〉 ≡ ωc
2π
∫ 2π/ωc
0
xdt =cE
B, 〈y〉 = 0,
�
vE = 〈r〉 = cE×B
B2. (3.112)
���������������������� vE�����������
������� ����DZ ���������(3.111)���� �������������������DZ���������������������
���
v = vE + vc, (3.113)
� vc = (v⊥ cosωct,−v⊥ sinωct)������� ������ vc���
mdvc
dt=e
cvc ×B.
�����������������������������������
�����������DZ��������� vE/c � 1�����������
�������E
B� 1. (3.114)
���(3.111)��� �� t = 0������ ��������DZ
x =v⊥ωc
sinωct+cE
Bt, y =
v⊥ωc
(cosωct− 1). (3.115)
48 �������
����(3.113)��������DZ����DZ����� ��������
r(t) = ξ(t) +R(t),
� ξ(t) = (v⊥/ωc)(sinωct, cosωct)��� ����� R(t) = (vEt,−v⊥/ωc)��
��������������������������� ����
�����
��� ������������������ DZ
r = R(t) + ρ(t),
v = v�b+ vE + v⊥c.
��
R(t) = v�b+ vEt+ v⊥c,
ρ(t) =v⊥ωc
a,
�����������������������������������
������� ������ �������������������
� �����DZ���������� ���� ����������
���������������������
��(3.112)����������������������������������������������������������������
���1�������������������������������
������������������K �K ′� K ′��K x−��� V �
�������������������DZ
Ex = E ′x, Ey =
E ′y + V B′
z/c√1− V 2/c2
, Ez =E ′
z − V B′y/c√
1− V 2/c2,
1����������������������DZ
Fμν =∂Aν
∂xμ− ∂Aμ
∂xν,
�� Aμ DZ���������� φ��� A���DZ Aμ = (φ,A)���������������
DZ
Fμν =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 Ex Ey Ez
−Ex 0 −Bz By
−Ey Bz 0 −Bx
−Ez −By Bx 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , Fμν =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
���������������������������
3.6 ������������ 49
Bx = B′x, By =
B′y − V E ′
z/c√1− V 2/c2
, Bz =B′
z + V E ′y/c√
1− V 2/c2.
����K �������DZB = Bez� E = Eey� E/B < 1���������
�� ������ V = (E/B)c�����K ′�����DZ
E′ = 0, B′ =√1− E2/B2B.
�������K ′�����������������K ′������ ���
���������K ′�������������������������
��K �������������������� �����������
������������������������������������
����������������
x
z
y
x’
y’
z’
B
E
B’
V
� 3.3: �� ���� ���������������
�����K ���������� �����������������
������K ′������������������������� ��
�����������������������������2�������
�����������������
2������������������������
B2 − E2 = invariance, E ·B = invariance.
���������������������������������������������
������������������������DZ�����
50 �������
3.6.4 ���������������������
����������������������� ���������
��������� y−���� z−�����������������
φ = −Ey, A = −Byex. (3.116)
��������DZ
L = −mc2√
1− v2/c2 +e
cA · v − eφ
= −mc2√
1− v2/c2 − e
cByvx + eEy. (3.117)
���(3.117)����� x� z������������������
Px = px −e
cBy = const, (3.118a)
Pz = pz = const, (3.118b)
H =√m2c4 + c2[P− (e/c)A]2 − eEy = const. (3.118c)
DZ������������� ��� t = 0������ �������
���(3.118)�DZ
px =eB
cy, c2p2x + c2p2y = 2mc2eEy + e2E2y2. (3.119)
DZ�������������������������������
px,ymc
→ px,y,x, y
c/(ωc)→ x, y, ωct→ t. (3.120)
� ωc = eB/mc�����(3.119)��DZ
px = y, p2x + p2y = 2E
By +
E2
B2y2,
���������� DZ�� y����
px = y, py =√
2βy − (1− β2)y2. (3.121)
� β = E/B��������������
x =px√
1 + p2x + p2y, y =
py√1 + p2x + p2y
.
3.6 ������������ 51
���������(3.121)� DZ�� y�����
x =y
1 + βy, y =
√2βy − (1− β2)y2
1 + βy. (3.122)
���(3.121)�(3.122)��� x��� t���� DZ�� y������(3.121)�(3.122)����������� �������������
� β = 1�����
px = y, py =√
2y, x =y
1 + y, y =
√2y
1 + y.
����������
px = y, py =√2y, x =
√2y
3y, t =
√2y
3(y + 3).
���� y��� t����������������DZ������������
��DZ
y = [3√2x/2]2/3.
� β < 1�����
px = y, py =√
2βy − (1− β2)y2,
x =βπ
2(1− β2)3/2−
√2βy − (1− β2)y2
(1− β2)− β
(1− β2)3/2arcsin
β − (1− β2)y
β,
t =π
2(1− β2)3/2− β
√2βy − (1− β2)y2
(1− β2)− 1
(1− β2)3/2arcsin
β − (1− β2)y
β.
������DZ(x− βt)2
β2/(1− β2)+
[y − β/(1− β2)]2
β2/(1− β2)2= 1.
������������� ���� ��� x−���DZ β/(1 − β2)1/2�
���� y−���DZ β/(1 − β2)����������� ��DZ����
���DZ [βt, β/(1 − β2)]����� x−���������DZ β������
��
� β > 1�����
px = y, py =√
2βy + (β2 − 1)y2,
52 �������
x =− β
(β2 − 1)3/2ln
[β + (β2 − 1)y] + (β2 − 1)1/2[2βy + (β2 − 1)y2]1/2
β
+
√2βy + (β2 − 1)y2
(β2 − 1),
t =− 1
(β2 − 1)3/2ln
[β + (β2 − 1)y] + (β2 − 1)1/2[2βy + (β2 − 1)y2]1/2
β
+β[2βy + (β2 − 1)y2]1/2
β2 − 1.
������DZ[y + β/(β2 − 1)]2
β2/(β2 − 1)2− (x− βt)2
β2/(β2 − 1)= 1.
�������� ���� y � 1��������� � x ∼ y/(β2 −1)1/2�
����������������E/B � 1�������������
�������������������������E/B � 1�����
3.6.5 ������������������
���������� ������������������������
�������� ���������������������������
DZ��������������������
��������������������� F������������
F��� ���������DZ
md2r
dt2=e
cv×B+ F. (3.123)
����������DZ����� �� vc�������� vF�
v = vc + vF, (3.124)
�(3.124)������(3.123)��
mvc =e
cvc ×B+
e
cvF ×B+ F.
�� ������� mvc = (e/c)vc ×B���������������
DZ �e
cvF ×B+ F = 0.
3.7 ���� 53
�������B������������� vF�
vF =cF×B
eB2. (3.125)
������������������������������������
������������� ���������������������
������DZ
j =∑α
nαeαvFα =c(∑
α nαFα)×B
B2, (3.126)
� α� ����������������������� Fα = mαg����DZ
����������DZ
jg = cρg ×B
B2, (3.127)
� �������������������������������
���������
3.7 ����
���������������������������������
������������������������������DZ�����
�����������������������������������
����������
�� ������������
dz
dt= f(z, t, θ). (3.128)
��� f ��� θ�������DZ 2π�
dθ
dt=
1
ε, (3.129)
� ε� 1����Æ��������(3.128)�������������������������DZ����DZ������������
������ ��� t� θ�DZ�������� ����������
���
z(t, θ) = Z(t) + εξ(Z, t, θ), (3.130)
54 �������
� Z(t)�����������ξ(Z, t, θ)� θ���������������
����� ��DZ �
〈ξ(Z, t, θ)〉 ≡ 1
2π
∮ξ(Z, t, θ)dθ = 0.
�(3.130)����(3.128)��
dZ
dt+ ε
dZ
dt· ∇ξ + ε
∂ξ
∂t+∂ξ
∂θ= f(z, t, θ). (3.131)
����(3.131)������� ε��������������DZ��� ε
����
ξ = ξ0(Z, t, θ) + εξ1(Z, t, θ) + ε2ξ2(Z, t, θ) + · · · , (3.132a)dZ
dt= F0(Z, t) + εF1(Z, t) + ε2F2(Z, t) + · · · . (3.132b)
���(3.130)�(3.132a)����(3.131)����
dZ
dt+∂ξ0∂θ
+ ε
[dZ
dt· ∇ξ0 +
∂ξ0∂t
+∂ξ1∂θ
]+ · · · = f(z, t, θ). (3.133)
��(3.132b)����(3.133)�� ��������������
F0(Z, t) +∂ξ0∂θ
+ ε
[F1(Z, t) + F0 · ∇ξ0 +
∂ξ0∂t
+∂ξ1∂θ
]= f(Z, t, θ) + ε(ξ0 · ∇)f . (3.134)
� ��(3.134)��� ������
F0(Z, t) +∂ξ0∂θ
= f(Z, t, θ). (3.135)
������ ��������������������� ���
F0(Z, t) = 〈f(Z, t, θ)〉, (3.136a)
ξ0(Z, t, θ) =
∫ θ
0
[f(Z, t, θ′)− 〈f〉]dθ′. (3.136b)
� ��(3.134)����������
F1(Z, t) + F0 · ∇ξ0 +∂ξ0∂t
+∂ξ1∂θ
= (ξ0 · ∇)f (3.137)
����� ������������������ ��
F1(Z, t) = 〈(ξ0 · ∇)f〉. (3.138)
�����������������(�� ��)�
dZ
dt= 〈f(Z, t, θ)〉 + ε〈(ξ0 · ∇)f〉+O(ε2). (3.139)
3.8 ���� 55
3.8 ����
�����������������������������������
���������������������������������DZ��
���������������
���������������DZλ0a/2π����������a� 1��
����������������������������������
�����������������������������������
��
������DZ
E = E0(r) cos θ,
� E0(r)�����������������������������
dθ
dt=ω
ε,
� ω ��������ε����Æ���������������∇ × E =
(1/c)∂B/∂t�������DZ
B = −ε cω(∇× E0) sin θ.
��������DZ
dv
dt=
e
εm
[E0(r) cosωt− ε
1
ωv× (∇× E0(r)) sinωt
]. (3.140)
����������DZ������������DZ��������
������������������DZ�������������DZ��
����
dr
dt= v, (3.141a)
dv
dt=
e
εm
[E0 cos θ − ε
1
ωv× (∇× E0) sin θ
]. (3.141b)
����������DZ�����������
r = R+ εξ1(R,U, t, θ) + ε2ξ2(R,U, t, θ) + · · · ,
v = U+ u0(R,U, t, θ) + εu1(R,U, t, θ) + · · · ,
56 �������
������(3.141)���DZ
dR
dt+ ε
dR
dt· ∂ξ1∂R
+ εdU
dt· ∂ξ1∂U
+ ε∂ξ1∂t
+ εdθ
dt
∂ξ1∂θ
+O(ε2) = U+ u0 +O(ε1), (3.142)
dU
dt+dR
dt· ∂u0
∂R+dU
dt· ∂u0
∂U+∂u0
∂t+dθ
dt
∂u0
∂θ+O(ε1)
=e
εmE0(R) cos θ +
e
m
[ξ1 · ∇E0 cos θ −
1
ωu0 × (∇×E0) sin θ −
1
ωU× (∇×E0) sin θ
]+O(ε1),
(3.143)
�������DZ���
dR
dt= U0(R,U, t) + εU1(R,U, t) +O(ε2),
dU
dt= A0(R,U, t) + εA1(R,U, t) +O(ε2),
�������(3.142)�(3.143)��
U0 + ω∂ξ1∂θ
+O(ε1) = U + u0 +O(ε1), (3.144)
A0 +U0 ·∂u0
∂R+A0 ·
∂u0
∂U+∂u0
∂t+ω
ε
∂u0
∂θ+ ω
∂u1
∂θ+O(ε1)
=e
εmE0(R) cos θ +
e
m
[ξ1 · ∇E0 cos θ −
1
ωu0 × (∇×E0) sin θ −
1
ωU× (∇×E0) sin θ
]+O(ε1),
(3.145)
� ��(3.144)�ε0���������
U0 + ω∂ξ1∂θ
= U + u0, (3.146)
�������� ���������������
U0 = U. (3.147)
��������
ω∂ξ1∂θ
= u0 (3.148)
� ��(3.145)�ε−1�������
ω∂u0
∂θ=
e
mE0 cos θ, (3.149)
3.8 ���� 57
� ��(3.145)�ε0�������
A0 +U0 ·∂u0
∂R+A0 ·
∂u0
∂U+∂u0
∂t+ ω
∂u1
∂θ
=e
m
[ξ1 · ∇E0 cos θ −
1
ωu0 × (∇× E0) sin θ −
1
ωU× (∇× E0) sin θ
](3.150)
���(3.150)����� �������
A0 =e
m
[〈cos θξ1〉 · ∇E0 −
1
ω〈u0 sin θ〉 × ∇ ×B0
], (3.151)
����(3.149)� ���� 〈u0〉 = 0��
u0 =e
mωE0 sin θ. (3.152)
������(3.148)������ ����〈ξ1〉 = 0��
ξ1 = − e
mω2E0 cos θ. (3.153)
���(3.152)�(3.153)����(3.151)��������������
A0 = − e2
2m2ω2E0 · ∇E0 −
e2
2m2ω2E0 × (∇× E0)
= − e2
4m2ω2∇E2
0 .
���������
Fp = − e2
4mω2∇E2
0 , (3.154)
��������������DZ
md2R
dt2= Fp.
���������� I = cE20/8��������������� ��
Fp = − 2πe2
mcω2∇I = − e2λ2
2πmc3∇I. (3.155)
������������������� ���� �����������
����������� �������������������������
��������������������������������������
���������
58 �������
3.9 ���������������
�������������������������� �������
���������������������������������
�������������������������������
�����������DZ ����������������������
�������������������������������� �
������ �������—������������DZ����
� 3.4: ������������
3.9.1 ��������
��������������������������� �
����������������������������������
�������������∣∣∣∣v⊥ωc
∇B
∣∣∣∣ � B,
∣∣∣∣ v�ωc
∇B
∣∣∣∣ � B,
� v⊥� v���� ��������ωc�������� ����
��������|(v⊥/ωc)∇B|
B,|(v‖/ωc)∇B|
B.
��DZ����������DZ����������������������
��DZ�����DZ ����
ε ∼ E
B.
������ ∣∣∣∣ ∂B
Bωc∂t
∣∣∣∣ ∼ ε2.
����������������� �� ���
3.9 ��������������� 59
������������DZ
d2r
dt2=
e
mE(r, t) +
1
ε
e
mc
dr
dt×B(r, t). (3.156)
� ε���������������Æ������������������
�������������� ε = 1�DZ�����������������
����������DZ��������������(3.156)�����DZ�������
dr
dt= v, (3.157a)
dv
dt=
e
mE(r, t) +
1
εωcv × n0(r, t). (3.157b)
� ωc = eB/mc�n0 = B/B ��������������� r�������
����� DZ����
v = v�n0 + v⊥(n1 cos θ + n2 sin θ), (3.158)
� θ������� Æ�n1,2�� ������ �������
ni · nj =
{1, when i = j,
0, when i = j., n0 · (n1 × n2) = 1.
���� v���(3.158)����(3.157b)������ �� n0� n1 cos θ +
n2 sin θ��� −n1 sin θ + n2 cos θ���������� n0� n1�� n2 ��� ��
�������
dr
dt= v�n0 + v⊥(n1 cos θ + n2 sin θ), (3.159a)
dv�dt
=e
mE · n0 + v⊥n0·(n1 cos θ + n2 sin θ), (3.159b)
dv⊥dt
= (e
mE− v�n0) · (n1 cos θ + n2 sin θ), (3.159c)
dθ
dt= −1
εωc + n1 · n2 +
1
v⊥
( emE− v�n0
)· (−n1 sin θ + n2 cos θ) (3.159d)
����������DZ
ni =∂ni
∂t+ v�(n0 · ∇)ni + v⊥ {cos θ(n1 · ∇)ni + sin θ(n2 · ∇)ni} , (i = 0, 1, 2).
60 �������
�����������(3.159)���������
dr
dt= v�n0 + v⊥(n1 cos θ + n2 sin θ), (3.160a)
dv�dt
= a0 + a1 cos θ + a2 sin θ + a3 cos 2θ + a4 sin 2θ, (3.160b)
dv⊥dt
= b0 + b1 cos θ + b2 sin θ + b3 cos 2θ + b4 sin 2θ, (3.160c)
dθ
dt= −1
εωc + c0 − c1 sin θ + c2 cos θ − c3 sin 2θ + c4 cos 2θ. (3.160d)
���(3.160)������DZ
a0 =e
mE · n0 +
v2⊥2∇ · n0,
a1 = v⊥
(∂n0
∂t+ v�T
)· n1, a2 = v⊥
(∂n0
∂t+ v�T
)· n2,
a3 =v2⊥2(T110 − T220), a4 =
v2⊥2(T120 + T210) (3.161)
b0 = −v�v⊥2
∇ · n0,
b1 =
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n1,
b2 =
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n2,
b3 = −v�v⊥2
(T110 − T220), b4 = −v�v⊥2
(T120 + T210) (3.162)
c0 = n1 ·∂n2
∂t+ v�T102 −
v�2(T210 − T120),
c1 =1
v⊥
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n1 − v⊥T122,
c2 =1
v⊥
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n2 − v⊥T211,
c3 = −v�2(T110 − T220), c4 = −v�
2(T210 + T120). (3.163)
����� ai� bi� ci � v⊥� v�� r�� t�����DZ����������
�
Tijk = ni · (nj · ∇)nk, i, j, k = 0, 1, 2, (3.164a)
T = (n0 · ∇)n0. (3.164b)
3.9 ��������������� 61
����������T���� ����������� ���
���� ni��� ���������� Tijk ����
Tijk + Tjik = 0, T · n0 = 0,
T110 + T220 = ∇ · n0.
��������(3.160)�������
r = R+ ερ1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ρ2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.165a)
v� = U� + εξ�1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ξ�2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.165b)
v⊥ = U⊥ + εξ⊥1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ξ⊥2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.165c)
θ = Θ+ εξθ1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ξθ2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.165d)
dR
dt= U0(R, U�, U⊥, t) + εU1(R, U�, U⊥, t) + · · · , (3.166a)
dU�
dt= A�0(R, U�, U⊥, t) + εA�1(R, U�, U⊥, t) + · · · , (3.166b)
dU⊥dt
= A⊥0(R, U�, U⊥, t) + εA⊥1(R, U�, U⊥, t) + · · · , (3.166c)
dΘ
dt= −1
εΩ−1(R, U�, U⊥, t) + Ω0(R, U�, U⊥, t) + · · · . (3.166d)
������ ρ� ξ��� Θ���DZ �
���(3.165)�(3.166)����(3.160)�����������(�������)�����������DZ
U0 = U�n0, (3.167)
A�0 = a0(R, U�, U⊥, t) =e
mE · n0 +
U2⊥2∇ · n0, (3.168)
A⊥0 = b0(R, U�, U⊥, t) = −U�U⊥2
∇ · n0, (3.169)
Ω−1 = ωc, (3.170)
62 �������
���������DZ
ρ1 = −U⊥ωc
(n1 sin Θ− n2 cosΘ), (3.171a)
ξ�1 = − 1
ωc
(a1 sin Θ− a2 cosΘ +
a32sin 2Θ− a4
2cos 2Θ
), (3.171b)
ξ⊥1 = − 1
ωc
(b1 sinΘ− b2 cosΘ +
b32sin 2Θ− b4
2cos 2Θ
), (3.171c)
ξθ1 =
(U⊥ω2c
n1 · ∇ωc −c1ωc
)cosΘ +
(U⊥ω2c
n2 · ∇ωc −c2ωc
)sinΘ (3.171d)
− 1
2ωc(c3 cos 2Θ + c4 sin 2Θ).
��������DZ
U1 =U2⊥
2ωc
(n0 · ∇ × n0)n0 +1
ωc
(eE
m− U2
⊥2ωc
∇ωc − U2�T
)× n0, (3.172)
A�1 =U�
2ωc
n0 ·[2e
mT× E− U2
⊥ωc
T×∇ωc − U2⊥∇×T
], (3.173)
A⊥1 =U⊥2ωc
n0 ·{
1
ωc∇ωc ×
(eE
m− U2
�T
)−∇×
(eE
m− U2
�T
)+eE
m[n0 · (∇× n0)]
}
(3.174)
���������������DZ
U� +U2⊥
2ωc(n0 · ∇ × n0),
�������DZ������� ��� U� � ����������
�DZ�
U⊥ − U⊥U�
2ωc(n0 · ∇ × n0),
DZ��� U⊥� �������������
dR
dt= U�n0 +
1
ωc
(e
mE− U2
⊥2ωc
∇ωc − U2�T
)× n0, (3.175a)
dU�
dt= n0 ·
(e
mE−U2
⊥2ωc
∇ωc
)− U�
2ωcn0 ·
[(2eE
m− U2
⊥ωc
∇ωc
)×T
], (3.175b)
dU⊥dt
=U�U⊥2ωc
n0 · ∇ωc −U⊥2ωc
n0 ·[U2�
ωc
∇ωc ×T− ∇ωc
ωc
× eE
m+
e
m∇× E
]. (3.175c)
3.9 ��������������� 63
3.9.2 ��������������
����������������������������������
�DZ
d2R
dt2+d2ξ
dt2= e
[E(R) + (ξ · ∇)E+
1
2(ξξ : ∇∇)E
]+e
c
(vD + ξ
)×B. (3.176)
����������� ������������������
���������DZ �������� ������������
�������
0 = eE+e
2〈(ξξ : ∇∇)〉E+
e
cvD ×B. (3.177)
��(3.177)��������� ����������
〈(ξξ : ∇∇)〉E =r2c2
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2
)E =
1
2∇2
⊥E,
�∇⊥� �������� �������� ������������
������DZ
R =
(1 +
r2c4∇2
⊥
)E×B
B2. (3.178)
������������������
������������������ �� �� (rc/LE)2�����
������������������������������ ��
(rc/LB)�
3.9.3 ������DZ
���������������������������������
�������������������������������������
�������
�������DZdv
dt=
e
m
[E(t) +
1
cv ×B
].
��� v = v′ + vE = v′ + cE(t)×B/B2�DZ�� ���������E� = 0��
dv′
dt=
e
mcv′ ×B− dvE
dt,
64 �������
����DZ�������������−mdvE/dt�������������
��DZ
vP = − mc
eB2
dvE
dt×B =
c2m
eB2
dE⊥dt
. (3.179)
��������������������������������
����DZ����������������������������
jP =∑α
eαnαvPα =ρc2
B2
dE⊥dt
, (3.180)
� ρDZ��������
������������� �������DZ����������
��������Æ��DZ ω���������
P = ij
ω=ρc2
B2E⊥,
��������D�������DZ
D = E+ 4πP = εE,
� ������������� ����������������
������DZ�
ε = 1 +4πρc2
B2. (3.181)
3.10 ���������
�������DZ���������������������������
�������������������������������������
���������������������������� ����
3.10.1 ��
����������������������������������
����������DZ��������������������
3.10 ��������� 65
���������
�����������������������������������
�������������DZ
mdv
dt= e
[E+
1
cv ×B(t)
].
���������� ����������������������
�DZ���������������������DZ
dW⊥dt
= eE · v = eE · v⊥.
�DZ�������
dW⊥ = eE · dr⊥.
�� ���������DZ
ΔW⊥ =
∫ 2π/ωc
0
eE · dr⊥ ≈ e
∮E · dr⊥
= e
∫(∇×E) · df = −e
c
∫∂B
∂t· df
=eπr2cc
dB
dt,
������������������������� ��������
����������DZ�������������������DZ
dW⊥dt
≈ ΔW⊥2π/ωc
= μdB
dt. (3.182)
���������������DZ
W⊥ =mv2⊥2
= μB,
������������
dW⊥dt
= Bdμ
dt+ μ
dB
dt. (3.183)
���(3.182)��� �����dμ
dt= 0.
������������������ �������
66 �������
���������
�������������������������(3.175b)����� ������DZ
md2s
dt2= −μ∂B
∂s. (3.184)
�������� ����DZ v� = ds/dt����(3.184)����� ds/dt�
��������� �������������
d
dt
(1
2mv2
�
)= m
d2s
dt2ds
dt= −μ∂B
∂s
ds
dt= −μdB
dt. (3.185)
��� �������������DZ
d
dt
(1
2mv2⊥
)=
d
dt(μB) = μ
dB
dt+B
dμ
dt. (3.186)
�DZ����������������������������
d
dt
(1
2mv2
�+
1
2mv2⊥
)= 0 (3.187)
����������(3.185)�(3.186)��(3.187)����
dμ
dt= 0.
������������������ ��DZ�����
�����������
��������������������DZ������������
����������������������������� ���DZ
������ ������������������ T� ���
�����
Tdλ/dt� λ.
�������DZ
H = H(p, q;λ). (3.188)
�������� λDZ�����
dEdt
=∂H
∂t=∂H
∂λ
dλ
dt. (3.189)
3.10 ��������� 67
���������������⟨dEdt
⟩≈ dλ
dt
⟨∂H
∂λ
⟩=dλ
dt
1
T
∫ T
0
∂H
∂λdt. (3.190)
���� λ������������������ dλ/dt���
� ��� q = ∂H/∂p���������� DZ
T =
∫ T
0
dt =
∮dq
∂H/∂p.
����(3.190)���DZ⟨dEdt
⟩=dλ
dt
∮dq(∂H/∂λ)/(∂H/∂p)∮
dq/(∂H/∂p). (3.191)
������������������ λ DZ�������DZ����
����������������DZ������� p = p(q; E , λ)������E = H [q, p(q; E , λ);λ]����� λ������
∂H
∂λ+∂H
∂p
∂p
∂λ= 0,
�(∂H/∂λ)
(∂H/∂p)= −∂p
∂λ. (3.192)
��� E = H [q, p(q; E , λ);λ]��� E ������∂H
∂p
∂p
∂E = 1,
�1
(∂H/∂p)=∂p
∂E (3.193)
�(3.192)�(3.193)��(3.191)������⟨dEdt
⟩= −dλ
dt
∮dq(∂p/∂λ)∮dq(∂p/∂E) .
��������∮ (∂p
∂E
⟨dEdt
⟩+∂p
∂λ
dλ
dt
)dq =
d
dt
∮p(q; E , λ)dq = 0.
����������DZ���
dI
dt= 0,
�
I =
∮p(q; E , λ)dq/2π. (3.194)
68 �������
3.10.2 ��
��������� �������������������������
���� ����������� ����������������DZ�
��
� 3.5: ��������
����������������������� E = W� + μB������
z0�����
E − μB(z = 0) = 0,
��������� ��������������� z−������������� −z0�DZ�������������� ������� z = 0���DZW0�
���� v�0� ���������� �������� �����
������������ �����DZ
W�0 +W⊥0 = W⊥(z = z0) (3.195)
� z0 ∈ {z|B(z) � Bmax}��������� ������ ���
W�0 + μBmin = μB � μBmax.
�����W⊥0
W�0 +W⊥0� μBmin
μBmax=Bmin
Bmax,
��v2⊥0
v2�0 + v2⊥0
� Bmin
Bmax
. (3.196)
����Æ�Æ θ0�
θ0 = arctanv⊥0
v�0, (3.197)
3.10 ��������� 69
v⊥
v�
���
���θc
� 3.6: ������������� �������� ���� θ < θc
�θ > π − θc ���������������������
���� η�
η =Bmax
Bmin. (3.198)
��������Æ�Æ�����Æ θc������ �
θ0 > θc = arcsin
√1
η. (3.199)
��������������������������������
������������������ ��DZ������������
�������� �������������DZ
f =1
4π
∫ π−θc
θc
sin θdθ
∫ 2π
0
dϕ =
√1− 1
η. (3.200)
3.10.3 ����
��������������� ���������� ���������
������
J = J(E , s, t) =∮v�ds = 2
∫ s
s1
v�ds, (3.201)
70 �������
� ds��� � � s1,2������ ��� ����������
����������DZ������������������
τbτB
� 1,
�� τb DZ��������������� τB ����������Æ���
�� J ��������������
����� E = mv2�/2 + μB����
v� = ±√
2
m(E − μB).
����� J ��DZ
J = J(E , s, t) =∫ s
s1
√2
m(E − μB)ds. (3.202)
��� t��
dJ
dt=
(∂J
∂t
)E,s
+
(∂J
∂E
)s,t
dEdt
+
(∂J
∂s
)E,t
ds
dt
= −∫ s
s1
(μ
m
∂B
∂t
)ds√
2(E − μB)/m
+
(v�v� +
μ
m
∂B
∂t+μ
mv�∂B
∂s
)∫ s
s1
ds√2(E − μB)/m
+ v�
√2
m(E − μB)− v�
∫ s
s1
μ
m
∂B
∂s
ds√2(E − μB)/m
,
��� �� v� = 0���
dJ
dt= −
∫ s
s1
(μ
m
∂B
∂t
)ds√
2(E − μB)/m+μ
m
∂B
∂t
∫ s
s1
ds√2(E − μB)/m
= −∫ s
s1
(μ
m
∂B
∂t
)ds
v�+μ
m
∂B
∂t
∫ s
s1
ds
v�
= −∫ τb
0
μ
m
∂B
∂tdt+
μ
m
∂B
∂t
∫ τb
0
dt
= − μ
m
[B(τb)− B(0)− τb
∂B
∂t
]
∼ O(τb/τB)2.
���������������� τb ����� ������� J �
������������������������
3.10 ��������� 71
�������������������������������
�������������������� �������� �����
������ ����������� �����������������
�� �������� �����������������������
����������� ����� ������� v� =√
2(W − μB)/m
�� � ��������������������������� ��
���� �������� L1�� L2��� B(L2) < B(L1)�������W
��(����������)�� ������� v�(L2) > v�(L1)���DZ��
L2������ L1������
J(L2) =
∮L2
v�ds >
∮L1
v�ds = J(L1),
��� J �������� J ����������������������
��� ���
�DZ J ��������������������������������
����������� J �����������
v�L = v′�L′.
�������������
v′�=L
L′v� > v�.
�����������������������������
3.10.4 �����
��������� �������������������������
������������������������������������
����������������DZ���������
Φ =
∫B · df .
DZ�� Φ��������� ��� (α, β, s)������ α(r, t)�
β(r, t)���� ���������� ������DZ�� s��� ��
��� α� β�������
A = α∇β, B = ∇α×∇β.
72 �������
��� Φ� μ� J������ E ���� t������ μ� J ���������
��� E � t����
Φ(E , t) =∮
A · dl =∮α∇β · dl =
∮αdβ.
���������DZ
dΦ
dt=∂Φ
∂E 〈E〉� +∂Φ(E , t)∂t
,
� 〈E〉�� ������������ � ����������
∂Φ
∂E =
∮∂α
∂E dβ =1
e
∮dβ
〈β〉=τpe
∂Φ
∂t=
∮∂α
∂tdβ = −1
e
∮ 〈E〉�〈β〉
dβ = −τpe〈〈E〉�〉p
� τp������������� 〈〈E〉�〉p���������������������
dΦ
dt=τpe
[〈W 〉� − 〈〈W 〉�〉p
].
�� dΦ/dt�DZ ����������������DZ ��
⟨dΦ
dt
⟩p
= 0.
3.11 �������������
� ���� � ��������� ��������������
���������
3.11.1 ��������������
����� ��������� �������������������
�����
2πRBt =4π
cI0,
� I0�� ��������������DZ
Bt(R) =2I0cR
. (3.203)
3.11 ������������� 73
z
R⊕�
⊗Bt
∇Bt
(a) z
R⊕ ⊕ ⊕
� � �E
⊗Bt
∇Bt
(b)
E × B
� 3.7: ����������� ����(a) ������� ��������(b) ����������������������
��������������������DZ
vD =c
eBtR(W⊥ + 2W�)n× b =
c
e(2I0/c)(W⊥ + 2W�) ez.
��(3.7)� �� ������������������������������������������������������������
����������������������������������
���������DZ�������������������� ���
3.11.2 ���������������
��������
� ������������������Bt�������
������Bp������ ������������������
����DZ��������
Bp =2I(r)
cr=
4π
cr
∫ r
0
jϕ(r)rdr, (3.204)
� jϕ(r)������������������� ����DZ
B = Btet +Bpep =B0R0
Ret +Bpep.
�������������R = R0 + r cos θ�� θ�������Æ� R0�
������� ���� r/R0 � 1�������
B = B0
(1− r
R0cos θ
)et +Bp(r)ep. (3.205)
74 �������
j
Bp Bt
� 3.8: � ������ ��������������������������Bt������������������Bp��������
������ ��������
�������������� �������� ��������
����� ��������������������!������
�������������������� ����������DZ���
���� �����������������������ÆDZΔθ��
Δθ =2nπ
m,
� n�mDZ ������� ��m��� ������ ���� ��
������� �����!�������� ������������!��
�������Δθ������ �� �DZ���� � ��DZ����
����ÆΔθ���������
ι = limN→∞
1
N
N∑i=1
Δθi (3.206)
�� ��������� r/R0 � 1���
ι ≈∫ 2πR0
0
dθ
dzdz ≈ 2π
R0Bp
rBt
����������
�������� ������DZ�������� �����
��� ��������� ���������� �����������
3.11 ������������� 75
�������������������������������������
�������������������������� �����
������ ����������������� ���������
�������������������
������ 1/R� ������ ��������� �����
������ �������� ��������������������
��������������� ������������� �����
� ���� ������������� ���������DZ��
����� ������������DZ������������������
�������DZ����������DZ�����������������
�������������������������DZ�����DZ�����
���������DZ����)�
� ����DZ
η =Bmax
Bmin
=R0 + r
R0 − r,
� R0�� ����� r�����������������
v2⊥0
v2�0 + v2⊥0
� Bmin
Bmax
���
v�0v⊥0
�√
2r
R0 − r.
�������ÆDZ
θc = arcsin
√R0 − r
R0 + r.
���������������������� ����������
DZ
ftrap =
√2r
R0 + r. (3.207)
����
�������������� ����������������
����DZ
ω ≈ ιv�
2πR0
=Bp
Bt
v�r. (3.208)
76 �������
z
R{
d
������
��
� 3.9: �������������DZ������������������������������� d�
������ �������������� z−����DZ
vD =c(2W� +W⊥)
eRBt
≈ 2cW�
eRBt
.
������������������DZ
dR
dt= ωz,
dz
dt= −ω(R− Rc) + vD,
� Rc������������������������DZ
(R− Rc − vD/ω)2 + z2 = const. (3.209)
������������������DZ
d =vDω
≈ r
R
v�ωcp
, (3.210)
� ωcp = eBp/mc��(3.9)���������������������� ��
����
������������ ������������ ���DZ
dB/ds��������� DZ
B ≈ B0
(1− r
R0cos θ
),
3.11 ������������� 77
�� ������� θ � 1������
dB
ds≈ rB0
R0
d(θ2/2)
ds. (3.211)
������� ���DZ
rdθ/ds = Bp/B (3.212)
����(3.211)�(3.212)���������
θ = (Bp/rB)s. (3.213)
�(3.212)�(3.213)��(3.211)��
dB
ds=
(Bp
rB
)2rB0
R0s ≈
(Bp
rB0
)2rB0
R0s. (3.214)
���� �����DZ
d2s
dt2= − μ
m
dB
ds.
���(3.214)�����
d2s
dt2= −
(v⊥Bp
rB0
)2 (r
2R0
)s.
� ωb = (v⊥Bp/rB0)(r/2R0)1/2��� ωb���������� ���������
d2s
dt2= −ω2
bs.
������DZ
s = sb sinωbt.
�����(3.213)� θ ∝ s���
θ = θb sinωbt. (3.215)
�� θb�����������Æ���������
B(θb)
B(0)= 1 +
(v�0v⊥0
)2
(3.216)
78 �������
�����
θb =v�0v⊥0
(2R0
r
)1/2
.
�������������������� �������� v⊥ � v��
����DZ
vD =cW⊥eRBt
,
�����������DZ
dr
dt= vD sin θ ≈ vDθ, (3.217)
��Æ���(3.215)����DZdθ
dt= ωbθb cosωbt = ωbθb
√1− (θ/θb)2. (3.218)
���(3.217)�(3.218)����dr
dθ=
vDωbθb
θ√1− (θ/θb)2
.
�������������������
(r − r0)2 =
(θbvDωb
)2 (1− θ2/θ2b
). (3.219)
�������������� θbvD/ωb��
Δr =v�0ωcp
. (3.220)
� ωc = eBp/mc�
3.12 ��
3.12.1 �����������
DZ���������������������������������
������DZ
dr
dt= v�n0 + v⊥(n1 cos θ + n2 sin θ) (3.221a)
dv�dt
= a0 + a1 cos θ + a2 sin θ + a3 cos 2θ + a4 sin 2θ, (3.221b)
dv⊥dt
= b0 + b1 cos θ + b2 sin θ + b3 cos 2θ + b4 sin 2θ, (3.221c)
dθ
dt= −1
εωc + c0 − c1 sin θ + c2 cos θ − c3 sin 2θ + c4 cos 2θ. (3.221d)
3.12 �� 79
z
R
��
������
� 3.10: ������������ �����������������������
����� ai� bi� ci��DZ
a0 =e
mE · n0 +
v2⊥2∇ · n0,
a1 = v⊥
(∂n0
∂t+ v�T
)· n1, a2 = v⊥
(∂n0
∂t+ v�T
)· n2,
a3 =v2⊥2(T110 − T220), a4 =
v2⊥2(T120 + T210)
b0 = −v�v⊥2
∇ · n0,
b1 =
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n1,
b2 =
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n2,
b3 = −v�v⊥2
(T110 − T220), b4 = −v�v⊥2
(T120 + T210)
c0 = n1 ·∂n2
∂t+ v�T102 −
v�2(T210 − T120),
c1 =1
v⊥
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n1 − v⊥T122,
c2 =1
v⊥
[e
mE− v�
(∂n0
∂t+ v�T
)]· n2 − v⊥T211,
c3 = −v�2(T110 − T220), c4 = −v�
2(T210 + T120).
���������� r���� v⊥� v�����������Æ θ�
80 �������
��������(3.221)�������
r = R+ ερ1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ρ2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.222a)
v� = U� + εξ�1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ξ�2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.222b)
v⊥ = U⊥ + εξ⊥1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ξ⊥2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.222c)
θ = Θ+ εξθ1(R, U�, U⊥,Θ, t) + ε2ξθ2(R, U�, U⊥,Θ, t) + · · · , (3.222d)
dR
dt= U0(R, U�, U⊥, t) + εU1(R, U�, U⊥, t) + · · · , (3.223a)
dU�
dt= A�0(R, U�, U⊥, t) + εA�1(R, U�, U⊥, t) + · · · , (3.223b)
dU⊥dt
= A⊥0(R, U�, U⊥, t) + εA⊥1(R, U�, U⊥, t) + · · · , (3.223c)
dΘ
dt= −1
εΩ−1(R, U�, U⊥, t) + Ω0(R, U�, U⊥, t) + · · · . (3.223d)
����� ρ� ξ������
〈ρ〉 = 〈ξ〉 = 0. (3.224)
���(3.222)�(3.223)����(3.221a)�(3.221b)�(3.221c)�������ε1���
U0 + εU1 − Ω−1∂ρ1
∂Θ+ ε
(U0 ·
∂ρ1
∂R+ A�0
∂ρ1
∂U�
+ A⊥0∂ρ1
∂U⊥+ Ω0
∂ρ1
∂Θ− Ω−1
∂ρ2
∂Θ
)
= U�n0 + U⊥(n1 cosΘ + n2 sinΘ) + εU�(ρ1 · n0)
+ εU⊥(ρ1 · ∇)n1 cosΘ + εU⊥(ρ1 · ∇)n2 sinΘ
+ εξ�1n0 + εξ⊥1(n1 cosΘ + n2 sinΘ) + εU⊥ξθ1(−n1 sinΘ + n2 cosΘ),
3.12 �� 81
A�0 + εA�1 − Ω−1∂ξ�1∂Θ
+ ε
(U0 ·
∂ξ�1∂R
+ A�0∂ξ�1∂U�
+ A⊥0∂ξ�1∂U⊥
+ Ω0∂ξ�1∂Θ
− Ω−1∂ξ�2∂Θ
)
= a0 + a1 cosΘ + a2 sin Θ + a3 cos 2Θ + a4 sin 2Θ
+ ε
(ρ1 ·
∂a0∂R
+ ξ�1∂a0∂U�
+ ξ⊥1∂a0∂U⊥
)
+ ε
(ρ1 ·
∂a1∂R
+ εξ�1∂a1∂U�
+ εξ⊥1∂a1∂U⊥
)cosΘ− εa1ξθ1 sin Θ
+ ε
(ρ1 ·
∂a2∂R
+ εξ�1∂a2∂U�
+ εξ⊥1∂a2∂U⊥
)sinΘ + εa2ξθ1 cosΘ
+ ε
(ρ1 ·
∂a3∂R
+ εξ�1∂a3∂U�
+ εξ⊥1∂a3∂U⊥
)cos 2Θ− 2εa3ξθ1 sin 2Θ
+ ε
(ρ1 ·
∂a4∂R
+ εξ�1∂a4∂U�
+ εξ⊥1∂a4∂U⊥
)sin 2Θ + 2εa4ξθ1 cos 2Θ,
A⊥0 + εA⊥1 − Ω−1∂ξ⊥1
∂Θ+ ε
(U0 ·
∂ξ⊥1
∂R+ A�0
∂ξ⊥1
∂U�
+ A⊥0∂ξ⊥1
∂U⊥+ Ω0
∂ξ⊥1
∂Θ− Ω−1
∂ξ⊥2
∂Θ
)
= b0 + b1 cosΘ + b2 sinΘ + b3 cos 2Θ + b4 sin 2Θ
+ ε
(ρ1 ·
∂b0∂R
+ ξ�1∂b0∂U�
+ ξ⊥1∂b0∂U⊥
)
+ ε
(ρ1 ·
∂b1∂R
+ εξ�1∂b1∂U�
+ εξ⊥1∂b1∂U⊥
)cosΘ− εb1ξθ1 sin Θ
+ ε
(ρ1 ·
∂b2∂R
+ εξ�1∂b2∂U�
+ εξ⊥1∂b2∂U⊥
)sin Θ + εb2ξθ1 cosΘ
+ ε
(ρ1 ·
∂b3∂R
+ εξ�1∂b3∂U�
+ εξ⊥1∂b3∂U⊥
)cos 2Θ− 2εb3ξθ1 sin 2Θ
+ ε
(ρ1 ·
∂b4∂R
+ εξ�1∂b4∂U�
+ εξ⊥1∂b4∂U⊥
)sin 2Θ + 2εb4ξθ1 cos 2Θ,
���(3.222)�(3.223)����(3.221d)�������ε0���
− 1
εΩ−1 + Ω0 − Ω−1
∂ξ⊥1
∂Θ
= −1
εωc − ρ · ∇ωc + c0 − c1 sinΘ + c2 cosΘ− c3 sin 2Θ + c4 cos 2Θ,
���������
U0 = U�n0, A�0 = a0, A⊥0 = b0, Ω−1 = ωc, (3.225)
82 �������
−Ω−1∂ρ1
∂Θ= U⊥(n1 cosΘ + n2 sin Θ), (3.226a)
−Ω−1∂ξ�1∂Θ
= a1 cosΘ + a2 sin Θ + a3 cos 2Θ + a4 sin 2Θ, (3.226b)
−Ω−1∂ξ⊥1
∂Θ= b1 cosΘ + b2 sinΘ + b3 cos 2Θ + b4 sin 2Θ, (3.226c)
−Ω−1∂ξ⊥1
∂Θ= −rho · ∇ωc − c1 sinΘ + c2 cosΘ− c3 sin 2Θ + c4 cos 2Θ, (3.226d)
U1 = U⊥〈(ρ1 · ∇)(n1 cosΘ + n2 sinΘ)〉+ 〈ξ⊥1(n1 cosΘ + n2 sin Θ)〉
+ U⊥〈ξθ1(−n1 sinΘ + n2 cosΘ)〉, (3.227)
A�1 = ∇a1 · 〈ρ cosΘ〉+ ∂a1∂U�
〈ξ�1 cosΘ〉+ ∂a1∂U⊥
〈ξ⊥1 cosΘ〉 − a1〈ξθ1 sin Θ〉
+∇a2 · 〈ρ sinΘ〉+ ∂a2∂U�
〈ξ�1 sinΘ〉+ ∂a2∂U⊥
〈ξ⊥1 sinΘ〉+ a2〈ξθ1 cosΘ〉
+∇a3 · 〈ρ cos 2Θ〉+ ∂a3∂U�
〈ξ�1 cos 2Θ〉+ ∂a3∂U⊥
〈ξ⊥1 cos 2Θ〉 − 2a3〈ξθ1 sin 2Θ〉
+∇a4 · 〈ρ sin 2Θ〉+ ∂a4∂U�
〈ξ�1 sin 2Θ〉+ ∂a4∂U⊥
〈ξ⊥1 sin 2Θ〉+ 2a4〈ξθ1 cos 2Θ〉, (3.228)
A⊥1 = ∇b1 · 〈ρ cosΘ〉+ ∂b1∂U�
〈ξ�1 cosΘ〉+ ∂b1∂U⊥
〈ξ⊥1 cosΘ〉 − b1〈ξθ1 sinΘ〉
+∇b2 · 〈ρ sinΘ〉+ ∂b2∂U�
〈ξ�1 sinΘ〉+ ∂b2∂U⊥
〈ξ⊥1 sinΘ〉+ b2〈ξθ1 cosΘ〉
+∇b3 · 〈ρ cos 2Θ〉+ ∂b3∂U�
〈ξ�1 cos 2Θ〉+ ∂b3∂U⊥
〈ξ⊥1 cos 2Θ〉 − 2b3〈ξθ1 sin 2Θ〉
+∇b4 · 〈ρ sin 2Θ〉+ ∂b4∂U�
〈ξ�1 sin 2Θ〉+ ∂b4∂U⊥
〈ξ⊥1 sin 2Θ〉+ 2b4〈ξθ1 cos 2Θ〉. (3.229)
�������(3.226)������(3.224)��
ρ1 = −U⊥ωc
(n1 sin Θ− n2 cosΘ), (3.230a)
ξ�1 = − 1
ωc
(a1 sin Θ− a2 cosΘ +
a32sin 2Θ− a4
2cos 2Θ
), (3.230b)
ξ⊥1 = − 1
ωc
(b1 sinΘ− b2 cosΘ +
b32sin 2Θ− b4
2cos 2Θ
), (3.230c)
ξθ1 =
(U⊥ω2c
n1 · ∇ωc −c1ωc
)cosΘ +
(U⊥ω2c
n2 · ∇ωc −c2ωc
)sinΘ (3.230d)
− 1
2ωc(c3 cos 2Θ + c4 sin 2Θ).
3.12 �� 83
������������(3.230)��������
〈ρ cosΘ〉 = U⊥2ωc
n2,
〈ρ sinΘ〉 = −U⊥2ωc
n1,
〈ρ cos 2Θ〉 = 〈ρ sin 2Θ〉 = 0,
〈ξ�1 cosΘ〉 = 1
2ωca2 =
U⊥U�
2ωcT · n2,
〈ξ�1 sinΘ〉 = − 1
2ωca1 = −U⊥U�
2ωc �
T · n1,
〈ξ�1 cos 2Θ〉 = 1
4ωc
a4 =U2⊥
8ωc
(T120 + T210),
〈ξ�1 sin 2Θ〉 = − 1
4ωca3 = −U2
⊥8ωc
(T110 − T220),
〈ξ⊥1 cosΘ〉 = 1
2ωc
b2 =1
2ωc
( emE− U2
�T)· n2,
〈ξ⊥1 sin Θ〉 = − 1
2ωcb1 = − 1
2ωc
( emE− U2
�T)· n1,
〈ξ⊥1 cos 2Θ〉 = 1
4ωcb4 = −U�U⊥
8ωc(T120 + T210),
〈ξ⊥1 sin 2Θ〉 = − 1
4ωc
b3 =U�U⊥8ωc
(T110 − T220),
〈ξθ1 sinΘ〉 = 1
2ωc
(U⊥ωc
n2 · ∇ωc − c2
)
=1
2ωc
[(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)· n2 + U⊥T211
]
〈ξθ1 cosΘ〉 = 1
2ωc
(U⊥ωc
n1 · ∇ωc − c1
)
=1
2ωc
[(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)· n1 + U⊥T122
],
〈ξθ1 sin 2Θ〉 = − c44ωc
=U�
8ωc(T210 + T120),
〈ξθ1 cos 2Θ〉 = − c34ωc
=U�
8ωc(T110 − T220),
������������������ ∂n0/∂t���������
∇a1 · 〈ρ cosΘ〉+∇a2 · 〈ρ sinΘ〉 = U2⊥U�
2ωc
[n2 · ∇(T · n1)− n1 · ∇(T · n2)] .
84 �������
∇b1 · 〈ρ cosΘ〉+∇b2 · 〈ρ sinΘ〉
=U⊥2ωc
{n2 · ∇
[( emE− U2
�T)· n1
]− n1 · ∇
[( emE− U2
�T)· n2
]}
∂a1∂U�
〈ξ�1 cosΘ〉+ ∂a2∂U�
〈ξ�1 sinΘ〉 = U2⊥U�
2ωc[(T · n1)(T · n2)− (T · n2)(T · n1)]
= 0,
∂b1∂U�
〈ξ�1 cosΘ〉+ ∂b2∂U�
〈ξ�1 sinΘ〉 = U⊥U2�
ωc
[(T · n1)(T · n2)− (T · n2)(T · n1)]
= 0,
∂a1∂U⊥
〈ξ⊥1 cosΘ〉+ ∂a2∂U⊥
〈ξ⊥1 sinΘ〉
=U�
2ωc
{(T · n1)
[( emE− U2
�T)· n2
]− (T · n2)
[( emE− U2
�T)· n1
]}
=U�
2ωc
(T× e
mE)· n0,
∂b1∂U⊥
〈ξ⊥1 cosΘ〉+ ∂b2∂U⊥
〈ξ⊥1 sinΘ〉 = 0 + 0 = 0,
− a1〈ξθ1 sin Θ〉+ a2〈ξθ1 cosΘ〉
= −U⊥U�
2ωc
(T · n1)
[(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)· n2 + U⊥T211
]
+U⊥U�
2ωc(T · n2)
[(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)· n1 + U⊥T122
]
= −U⊥U�
2ωc
[T×
(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)]· n0 −
U2⊥U�
2ωc[(T · n1)T211 − (T · n2)T122]
= −U⊥U�
2ωc
[T×
(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥
)]· n0 −
U2⊥U�
2ωc[(T · n1)T211 − (T · n2)T122] ,
− b1〈ξθ1 sin Θ〉+ b2〈ξθ1 cosΘ〉
= − 1
2ωc
[( emE− U2
�T)· n1
] [(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)· n2 + U⊥T211
]
+1
2ωc
[( emE− U2
�T)· n2
] [(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥+U2�
U⊥T
)· n1 + U⊥T122
]
= − 1
2ωc
n0 ·{( e
mE− U2
�T)× U⊥ωc
∇ωc
}
− U⊥2ωc
{[( emE− U2
�T)· n1
]T211 −
[( emE− U2
�T)· n2
]T122
}
3.12 �� 85
∇a3 · 〈ρ cos 2Θ〉+∇a4 · 〈ρ sin 2Θ〉 = 0 + 0 = 0,
∇b3 · 〈ρ cos 2Θ〉+∇b4 · 〈ρ sin 2Θ〉 = 0 + 0 = 0,
∂a3∂U�
〈ξ�1 cos 2Θ〉+ ∂a4∂U�
〈ξ�1 sin 2Θ〉 = 0 + 0 = 0,
∂b3∂U�
〈ξ�1 cos 2Θ〉+ ∂b4∂U�
〈ξ�1 sin 2Θ〉
= −U⊥U2⊥
16ωc
(T110 − T220)(T120 + T210) +U⊥U2
⊥16ωc
(T120 + T210)(T110 − T220)
= 0,
∂a3∂U⊥
〈ξ⊥1 cos 2Θ〉+ ∂a4∂U⊥
〈ξ⊥1 sin 2Θ〉
= −U�U2⊥
8ωc
(T120 + T210)(T110 − T220) +U�U
2⊥
8ωc
(T120 + T210)(T110 − T220)
= 0,
∂b3∂U⊥
〈ξ⊥1 cos 2Θ〉+ ∂b4∂U⊥
〈ξ⊥1 sin 2Θ〉
=U2�U⊥
16ωc(T110 − T220)(T120 + T210)−
U2�U⊥
16ωc(T120 + T210)(T110 − T220)
= 0,
− 2a3〈ξθ1 sin 2Θ〉+ 2a4〈ξθ1 cos 2Θ〉
= −U2⊥U�
8ωc(T110 − T220)(T210 + T120) +
U2⊥U�
8ωc(T210 + T120)(T110 − T220)
= 0,
− 2b3〈ξθ1 sin 2Θ〉+ 2b4〈ξθ1 cos 2Θ〉
=U2�U⊥
8ωc(T110 − T220)(T210 + T120)−
U2�U⊥
8ωc(T120 + T210)(T110 − T220)
= 0
86 �������
��������������������� �
U1 =U2⊥
2ωc
[(n2 · ∇)n1 − (n1 · ∇)n2 − T211n1 + T122n2]
+1
2ωc
{[( emE− U2
�T)· n2
]n1 −
[( emE− U2
�T)· n1
]n2
}
− 1
2ωc
[(U2⊥ωc
∇ωc −e
mE+ U2
�T
)· n2
]n1
+1
2ωc
[(U2⊥ωc
∇ωc −e
mE+ U2
�T
)· n1
]n2
=U2⊥
2ωc(n0 · ∇ × n0)n0 +
1
ωc
(eE
m− U2
⊥2ωc
∇ωc − U2�T
)× n0,
A�1 =U2⊥U�
2ωc
[n2 · ∇(T · n1)− n1 · ∇(T · n2)] +U�
2ωc
(T× e
mE)· n0
− U⊥U�
2ωc
[T×
(U⊥ωc
∇ωc −eE
mU⊥
)]· n0 −
U2⊥U�
2ωc[(T · n1)T211 − (T · n2)T122]
=U�
2ωc
n0 ·[T×
(2e
mE− U2
⊥ωc
∇ωc
)]
+U2⊥U�
2ωc[n2 · ∇(T · n1)− n1 · ∇(T · n2) + (T · n2)T122 − (T · n1)T211]
=U�
2ωc
n0 ·[T×
(2e
mE− U2
⊥ωc
∇ωc
)]− U2
⊥U�
2ωc
n0 · ∇ ×T
=U�
2ωcn0 ·
[2e
mT×E− U2
⊥ωc
T×∇ωc − U2⊥∇×T
],
A⊥1 =U⊥2ωc
{n2 · ∇
[( emE− U2
�T)· n1
]− n1 · ∇
[( emE− U2
�T)· n2
]}
− 1
2ωc
n0 ·{( e
mE− U2
�T)× U⊥ωc
∇ωc
}
− U⊥2ωc
{[( emE− U2
�T)· n1
]T211 −
[( emE− U2
�T)· n2
]T122
}
= −U⊥2ωc
n0 ·{( e
mE− U2
�T)× ∇ωc
ωc
}
− U⊥2ωc
n0 ·{∇×
( emE− U2
�T)− E(n0 · ∇ × n0)
}
= −U⊥2ωc
n0 ·[( emE− U2
�T)× ∇ωc
ωc+∇×
( emE− U2
�T)− eE
m(n0 · ∇ × n0)
].
������������������
U =
[U� +
U2⊥
2ωc(n0 · ∇ × n0)
]n0 +
1
ωc
(eE
m− U2
⊥2ωc
∇ωc − U2�T
)× n0, (3.231)
3.12 �� 87
dU�
dt=
(eE
m− U2
⊥2ωc
∇ωc
)· n0 +
U�
2ωc
[2e
mT× E− U2
⊥ωc
T×∇ωc − U2⊥∇×T
]· n0, (3.232)
dU⊥dt
=U⊥U�
2ωc
∇ωc · n0
+U⊥2ωc
[∇ωc
ωc
×( emE− U2
�T)−∇×
( emE− U2
�T)+ (n0 · ∇ × n0)
eE
m
]· n0
(3.233)
��������� ��
U� +U2⊥
2ωcn0 · ∇ × n0 → U�, (3.234)
U⊥ − U�U⊥2ωc
n0 · ∇ × n0 → U⊥, (3.235)
�����������������
dR
dt= U�n0 +
1
ωc
(e
mE− U2
⊥2ωc
∇ωc − U2�T
)× n0, (3.236a)
dU�
dt= n0 ·
(e
mE−U2
⊥2ωc
∇ωc
)− U�
2ωcn0 ·
[(2eE
m− U2
⊥ωc
∇ωc
)×T
], (3.236b)
dU⊥dt
=U�U⊥2ωc
n0 · ∇ωc −U⊥2ωc
n0 ·[U2�
ωc∇ωc ×T− ∇ωc
ωc× eE
m+
e
m∇× E
]. (3.236c)
������ ∂ωc/∂t�
����(3.236)������� ���������
d
dt
(mU2
⊥ωc
)= −mU
2⊥
ω2c
(n0 · ∇ × eE
m+∂ωc
∂t
)= 0.
3.12.2 ������
��������
[(n1 · ∇)n2 − (n2 · ∇)n1] = T112n1 − T221n2 − n0(n0 · ∇ × n0) (3.237)
�� n0 = n1 × n2����
∇× n0 = ∇× (n1 × n2) = n1∇ · n2 − n2∇ · n1 + (n2 · ∇)n1 − (n1 · ∇)n2,
��� �� n0��
n0 · ∇ × n0 = T021 − T012.
88 �������
����
[(n1 · ∇)n2 − (n2 · ∇)n1] = T112n1 + T212n2 + T012n0 − T121n1 − T221n2 − T021n0,
�� T212 = T121 = 0����
[(n1 · ∇)n2 − (n2 · ∇)n1] = T112n1 − T221n2−n0(n0 · ∇ × n0).
����
[(n1 · ∇)a2 − (n2 · ∇)a1] = a1T112−a2T221 − a0(n0 · ∇ × n0) + n0 · ∇ × a. (3.238)
�� ai = a · ni���
[(n1 · ∇)(a · n2)− (n2 · ∇)(a · n1)]
= a · (n1 · ∇)n2 + n2 · (n1 · ∇)a− a · (n2 · ∇)n1 − n1 · (n2 · ∇)a
= a · [(n1 · ∇)n2 − (n2 · ∇)n1] + [n2 · (n1 · ∇)a− n1 · (n2 · ∇)a] ,
��(3.237)�����
n2 · (n1 · ∇)a− n1 · (n2 · ∇)a = (n1 × n2) · (∇× a),
���
[(n1 · ∇)a2 − (n2 · ∇)a1] = a· [T112n1 − T221n2−n0(n0 · ∇ × n0)] + n0 · ∇ × a
= a1T112 − a2T221 − a0(n0 · ∇ × n0) + n0 · ∇ × a.
����
n0 · (n0 · ∇)(∇× n0) = n0 · ∇ ×T− (n0 · ∇ × n0)∇ · n0. (3.239)
�����∇(n0 · n0) = 2(n0 · ∇)n0 + 2n0 × (∇× n0) = 0����
∇×T = −∇× [n0 × (∇× n0)]
= −{n0∇ · (∇× n0)− (∇× n0)(∇ · n0) + [(∇× n0) · ∇]n0 − (n0 · ∇)(∇× n0)} ,
���∇ · ∇ × n0 = 0� n0 · [(∇× n0) · ∇]n0 = 0���
n0 · ∇ ×T = (n0 · ∇ × n0)(∇ · n0) + n0 · (n0 · ∇)(∇× n0).
3.12 �� 89
ds
b
db
B
�c
dθ
� 3.11: ��������
3.12.3 ��������
��� (n0 · ∇)���������� n0 · n0 = 1��
0 = (n0 · ∇)(n0 · n0) = 2n0 · (n0 · ∇)n0 = 2n0 ·T,
����T = (n0 ·∇)n0� ��������(3.11)������(n0 ·∇)n0 = ∂n0/∂s
��� �������� �������� � �DZ
ds = �cdθ.
�� �c��� ����������� �n0����DZ
|dn0| = dθ =ds
�c.
� dn0��DZ�� ����������� ����DZn����
T =∂n0
∂s= − n
�c. (3.240)
90 �������
��
1. ���������������������������� ���
2. �����dH
dt= −∂L
∂t.
� L�H ��������������
3. !�����������������
A = Breϕ/2, φ = −E0r2/2a.
����������������Æ����Æ
ΔϕT = π[1− (1− 4eE0/maω2c )
−1/2].
4. �������� z−����������������H − cPz ����
����H ������ Pz ��� z−�������
5. �������������������������(3.63)��
6. ��������������������������� z−�� t = 0��
��������DZ �� ��������DZ p0�
7. ����������DZ
L(x, x) =x2
2− 1
2ω2x2.
!����—��������������
8. ����� ������E = Eey �����B = Bez� E = B�����
�������
9. �������������������
B = Bez, E =Ea
arer.
���� z−������������Æ�DZ
ϕ = −cEa
aB.
���� 3�������������
3.12 �� 91
10. !��������By�∂By/∂xDZ�����B = (0, By, B0)�������
�����
11. ����� E = E0 cos(ωt + θ0)������������E0 � θ0 DZ��
��������������E0DZ���������� E0(0) = 0�!��
��� ���������� �
12. ��������������������� ���
(1) 0.5G��������DZ 104 eV����
(2) B = 5× 10−5 G��DZ 3× 105 m/s���������
(3) ��������DZ 104 eV� He+���B = 500G.
13. ������������������������� n(r)���DZ
λ���� ∂n/∂r = −n/λ�
(1) ��E = −∇φ����� λ������
(2) ���� vE = vth�� rc = 2λ�
14. ������Q����� Te = Ti = 0.2 eV�����������DZ 2× 103
G�� ��������DZ
n = n0 exp[exp
(−r2/a2
)− 1
],
�� a = 10−2 m�n0 = 1017 m−3������������n = n0 exp(eφ/T )�
(1) ������� (vE)max�
(2) � (vE)max���������� vg � �
(3) � BDZ"������K+(A = 39)� ���� a�
15. ����������DZ 0.3 G� ����������� 1/r3����
��� 1 eV��� 3 × 104 eV��������������� r = 5R (RDZ����)������DZ n = 105 m−3
�
(1) ���������������
92 �������
(2) ����������
(3) ������������������
(4) ���������
16. ��������������� ����������DZ I�� t = 0�DZ�
���� ��� �� φ���DZ�� I����������� �����
(1) ��������� I� B����� vE������� v∇B�
������ vR�����
(2) � I = 500 A� φ = 560 V�� ��DZ 1 mm�!���� ��� 1 cm������������� 10 cm������� φDZ �
17. ����Rm = 5���������������� ������ ���
DZW = 103eV� ������v⊥ = v��������Vm = 104m/s�������L = 1010m�
(1) ������������������������������
(2) ��� ����������#���
18. �J�����������������
19. ��������������� μ������ T⊥ ��� B �������
�������������DZ����� ����! �������
��
20. �����B�������������
n(r) = n0 exp(−r2/r20), ni = ne = n0 exp(eφ/T ).
(1) ������ vE ������ v∇p���������
(2) ��������������
21. ������ B = 4 × 103 G� n0 = 1016 m−3� T = 0.25 eV����� �����B�#�#�
22. �������������ωc�ωp���������
3.12 �� 93
23. !������������∇ · E = 4πρ�∇ ·B = 0��� ��DZ���
�����DZDZ���
24. !�������� ������������ �����������
25. �����������B = Bz(x)ez ���� E = Eyey ���������
�����������
26. �DZ 10 keV��DZ 5× 1020 m−3��������B = 5 T��������������� ������ ���
27. ����������� �����5V/m���������
(1) ���������
(2) �����������
28. ����� T = 10 keV�� n = 1020 m−3������ B = 4 T����� Rc = 5 m�
(1)�������������
(2)"������
29. ����������� 1 ��� 8 T�DZ 1 T�! �����������������
30. ���������DZ 5������DZ n = 1020 m−3�� TD = TT = 50
keV�Te = 10 keV��������������������
31. �������������� ���
jφ = j0φ(1− r/a), (0 � r � a),
�������Aφ�Æ��Bθ�
32. �� �������������������DZR0 = 5 m� a = 1.5 m�� ��� ��������������
94 �������
33. ������E�����B��������� ���W⊥�����
����������
34. ������ ��������������������������������
35. ������������������� ��������������������������������������������
�DZ������(inverse Faraday effect)�����DZn������(� ��������DZM = nμ������������DZB= 4πM�)
36. ����������� E = E0[cos(kz − ωt)ex + sin(kz − ωt)ey]�����
�� B = B0ez �������DZm��� e�������
37. !� ����������������������
38. ��� �� ����������DZ 0.351 μm���������1015W/cm2 ������ 10.6μm������� ����������������������������
39. ������� ����DZ
μ =mU2
⊥2B
.
����(3.175)��dμ
dt= 0.
��� ������
���������DZ�������������������������
�������������������������������������
���������������������������DZ���������
�����������������������������������DZ��
�����������������������������DZ�����
����������������������������������
��������������������������������������
����������������������������������� �
�������������������������������������
��������������������������������������
�������������������−Z����������������������������������������������������
��������������������������������
4.1 �������
�����������������������������������
∇ ·B = 0, ∇×E = −1
c
∂B
∂t, (4.1a)
∇ · E = 4πρ, ∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
cj, (4.1b)
�� E� B��������� j� ������������������
���� (φ,A)����
E = −∇φ− 1
c
∂A
∂t, (4.2a)
B = ∇×A, (4.2b)
96 ������
���(4.2)���������(4.1)����������������(4.1a)�DZ����������(4.1b)��DZ
∇2φ+1
c
∂
∂t(∇ ·A) = −4πρ, (4.3a)
∇2A− 1
c2∂2A
∂t2= −4π
cj+∇(∇·A) +
1
c
∂
∂t(∇φ). (4.3b)
��������1
c
∂φ
∂t+∇ ·A = 0, (4.4)
��(4.3)��������������
∇2φ− 1
c2∂2
∂t2φ = −4πρ(r, t), (4.5a)
∇2A− 1
c2∂2A
∂t2= −4π
cj(r, t), (4.5b)
������(4.5)����DZ
φ(r, t) =
∫ρ(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′| d3r′ + φ0, (4.6a)
A(r, t) =1
c
∫j(r′, t− |r− r′|/c)
|r− r′| d3r′ +A0, (4.6b)
�� φ0 � A0 ������������������������������
���� j� ρ���������� φ0 = 0� A0 = 0�����������
������
�������������������������������
����������������������������Æ� r′ ����
������� r���
r � r′.
���������������������
|r− r′| ≈ r − r′ · n,
�� n = r/r�������������(4.6)���DZ
φ(r, t) ≈ 1
r
∫ρ(r′, t− r/c+ r′ · n/c)d3r′, (4.7a)
A(r, t) ≈ 1
cr
∫j(r′, t− r/c+ r′ · n/c)d3r′. (4.7b)
4.1 ������� 97
z
y
x
r
r′
r-r′
o
� 4.1: �� r���� r′���������������������
��
��(4.7b) ���������(�� r′)�����A������� t− r/c
��������������DZA = A(r, t− r/c)�DZ���������
�(4.7b)��������
A(r, t) ≈ 1
cr
∫j(r′, t′)δ[t′ − (t− r/c+ r′ · n/c)]d3r′dt′. (4.8)
���������������DZ
j(r, t) = ev(t)δ[r− r0(t)], (4.9)
�� r0(t) ����� ��v(t) �������������(4.9)����(4.8)� ��A(r, t)���DZ����
A(r, t) =e
cr
∫v(t′)δ[r′ − r0(t
′)]δ[t′ − (t− r/c+ r′ · n/c)]d3r′dt′
=e
cr
∫v(t′)δ[t′ − (t− r/c+ r0(t
′) · n/c)]dt′. (4.10)
� δ−������δ[f(x)] =
δ(x− x0)
|f ′(x0)|, (4.11)
�� f(x)��������� x0 ��� f(x)���������������
����DZ
A(r, t) =e
cr
v(t′)1− n · v(t′)/c. (4.12)
98 ������
�� t′����������
t′ − 1
cn · r0(t′) = t− r/c. (4.13)
��������������DZ�������������DZ n���
��������������������������������
DZ
E = B× n.
���������������DZ� ���� ����������
A���(4.7b)���(4.7b)���(4.2b)���������������
B(r, t) = ∇×A(r, t− r/c) ≈ 1
c
∂A
∂t×n (4.14)
���(4.14)��������� 1/r2�����������������DZ
B =1
c
∂A
∂t×n, E = B× n. (4.15)
����������������DZ
S =c
4πB2n. (4.16)
�������� I���������������������� r2d���
����
dI =c
4πB2(t)r2dΩ. (4.17)
�� dΩ�������� ���Æ�����(4.17)���������r2dΩ�����������������
��������������������������������
������������������������������������
�����������������������Æ dΩ����DZ
dE =
∫ ∞
−∞dIdt =
c
4π
∫ ∞
−∞B2(t)r2dtdΩ. (4.18)
DZ�������������B��� ���
B =
∫ ∞
−∞Bωe
−iωtdω
2π, (4.19)
�� Bω ������ �����������
Bω =
∫ ∞
−∞B(t)eiωtdt. (4.20)
4.1 ������� 99
����������������� ������B−ω = B∗ω�������
������� ��������
dEndΩ
=c
4π
∫ ∞
−∞|Bω|2r2
dω
2π=
c
(2π)2
∫ ∞
0
|Bω|2r2dω, (4.21)
�d2EnωdωdΩ
=c
(2π)2|Bω|2r2, (4.22)
��(4.22)���� ���
���������������������������
(4.14)������Bω ����� �� (∂A/∂t)ω ������
Bω =1
c
(∂A
∂t
)ω
× n. (4.23)
���� ������(∂A/∂t)ωDZ
(∂A
∂t
)ω
=
∫ ∞
−∞
∂A(r, t− r/c)
∂teiωtdt,
������� τ = t− r/c��� ���DZ
(∂A
∂t
)ω
= eiωr/c∫ ∞
−∞
∂A(r, τ)
∂τeiωτdτ. (4.24)
�(4.12)����(4.24)� ������ τ �����DZ�� t′�������
(∂A
∂t
)ω
=e
creiωr/c
∫ ∞
−∞
d
dt′
[v(t′)
1− n · v(t′)/c
]eiω[t
′−n·r0(t′)/c]dt′. (4.25)
���������� ���������DZ
Bω =e
c2reiωr/c
∫ ∞
−∞
d
dt
[v(t)× n
1− n · v(t)/c
]eiωt−ik·r0(t)dt. (4.26)
�� k = ωn/c �����������(4.26)�������������dv/dt = 0�����(4.26) ����DZ 0������������������
��������������(4.26)� �������
Bω = ieω
c2reiωr/c
∫ ∞
−∞[n× v(t)]eiωt−ik·r0(t)dt. (4.27)
100 ������
�(4.26)�(4.27)����(4.22)�������������� ����
d2EnωdωdΩ
=e2
4π2c3
∣∣∣∣∫ ∞
−∞
d
dt
[v(t)× n
1− n · v(t)/c
]eiωt−ik·r0(t)dt
∣∣∣∣2
(4.28)
=e2ω2
4π2c3
∣∣∣∣∫ ∞
−∞[n× v(t)]eiωt−ik·r0(t)dt
∣∣∣∣2
. (4.29)
���������������(4.28)������������������
d
dt
[v(t)× n
1− n · v(t)/c
]≈ v(t)× n,
�����
k · r0(t) ∼ω
cvt� ωt,
��������������������(4.28)����DZ
d2EnωdωdΩ
=e2
4π2c3
∣∣∣∣∫ ∞
−∞v(t)× neiωtdt
∣∣∣∣2
(4.30)
�� ����� ���DZ
d = er, (4.31)
�������(4.30)����DZ
d2EnωdωdΩ
=1
4π2c3
∣∣∣∣∫ ∞
−∞d× neiωtdt
∣∣∣∣2
. (4.32)
�DZ���������� �����������������������
������������ �����
d2EnωdωdΩ
=1
4π2c3
∣∣∣dω × n∣∣∣2 . (4.33)
�����Æ����dEωdω
=2
3πc3
∣∣∣dω
∣∣∣2 (4.34)
����������DZ 2π/ω0�������DZ������������
�����������DZ�� ��
B(t) =∞∑
n=−∞Bne
−inω0t, (4.35)
4.2 ���� 101
��Bn�������� ���DZ��B�������� ����
� Bn = B∗−n�������� ������ �����DZ
Bω =∞∑
n=−∞
∫ ∞
−∞Bne
i(ω−nω0)tdt = 2π∞∑
n=−∞δ(ω − nω0)Bn. (4.36)
�(4.35)��(4.18)���
dEndΩ
=c
4πr2∫ ∞
−∞
∞∑n,m=−∞
Bn ·Bme−i(n+m)ω0tdt
=c
4πr2∫ ∞
−∞dt
∞∑n=−∞
|Bn|2.
����������,dPn
dΩ=
c
2πr2
∞∑n=1
|Bn|2. (4.37)
��� n� �����DZ ω = nω0��������DZ
d2Pnω
dωdΩ=
c
2πr2
∞∑n=1
δ(ω − nω0) |Bn|2 , (4.38)
���� ω� ���
����������������������� ��������
��DZ
Bn = ie
c2r
nω20
2πeinω0r/c
∫ 2π/ω0
0
n× v(t)einω0[t−n·r0(t)/c]dt
= ie
c2r
nω20
2πeinω0r/c
∮einω0[t−n·r0/c]n× dr0, (4.39)
������DZdP
dΩ=
∞∑n=1
e2n2ω40
(2π)3c3
∣∣∣∣∮einω0[t−n·r0/c]n× dr0
∣∣∣∣2
. (4.40)
4.2 ����
�������������� ��������������������
������������������������������(4.38)������������������������ ����������������
��������������������������
102 ������
Ze
−e γγ
r
� 4.2: �������������������
4.2.1 ��—����������
�������������������� DZ
d = −ere + Zeri. (4.41)
�� re � ri ���������� ������ ���������
�� �������������������� ����R�����
r�����
d = (Z − 1)R−(
1
me
+Z
mi
)emr.
��m = memi/(me +mi)������������������������
�� ��������������������
d = −(
1
me
+Z
mi
)emr. (4.42)
�������������������mi � me��m ≈ me��������
�����������DZ
d ≈ −er (4.43)
�������������DZ��������� ��� ���
(d)ω =
∫de
iωtdt. (4.44)
���������� �����������
(x)ω =
∫ ∞
−∞xeiωtdt, (y)ω =
∫ ∞
−∞yeiωtdt.
��������� ���(3.60)���������DZ
x = − 1
m
∂U
∂x=Ze2
m
x
r3=ρ⊥τ 20
ε− cosh ξ
(ε cosh ξ − 1)3, (4.45a)
y = − 1
m
∂U
∂y=Ze2
m
y
r3=
√ε2 − 1ρ⊥τ 20
sinh ξ
(ε cosh ξ − 1)3. (4.45b)
4.2 ���� 103
�(4.45)��(4.44)��
(x)ω =ρ⊥τ0
∫ ∞
−∞
ε− cosh ξ
(ε cosh ξ − 1)2eiν(ε sinh ξ−ξ)dξ, (4.46)
(y)ω =
√ε2 − 1ρ⊥τ0
∫ ∞
−∞
sinh ξ
(ε cosh ξ − 1)2eiν(ε sinh ξ−ξ)dξ. (4.47)
������������� ν ≡ ωτ0��������
d
dξ
1
ε cosh ξ − 1= − ε sinh ξ
(ε cosh ξ − 1)2,
(y)ω �����(4.47)����������
(y)ω = i
√ε2 − 1
ερ⊥ω
∫ ∞
−∞eiν(ε sinh ξ−ξ)dξ.
��������������
Kiν(z) =1
2e−νπ/2
∫ ∞
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ, (4.48)
K ′iν(z) =
1
2e−νπ/2
∫ ∞
−∞
z − ν cosh ξ
(z cosh ξ − ν)2eiz sinh ξ−iνξdξ, (4.49)
��Kν(z)�������������� (x)ω � (y)ω ���DZKiν ����
(x)ω = 2ρ⊥ωeνπ/2K ′iν(νε), (4.50)
(y)ω = i2
√ε2 − 1
ερ⊥ωeνπ/2Kiν(νε). (4.51)
��(4.50)�(4.51)����∣∣∣dω
∣∣∣2 = e2m2[|(x)ω|2 + |(y)ω|2
]= 4e2ρ2⊥ω
2eνπ[K ′2
iν(νε) +ε2 − 1
ε2K2
iν(νε)
].
�������(4.34)����������������� ��� v0����
��������������
dEωdω
=16
3(2π)c3e2v2eνπν2
[K ′
iν(νε)2 +
ε2 − 1
ε2Kiν(νε)
2
]. (4.52)
4.2.2 ���������
���������������DZ�����������������
��������(4.52)������������DZ������������
104 ������
������������������������������������
���������������������������������
�����������(4.52)������������DZ�����DZ����������������������������������������
���DZ v�������� ρ → ρ+ dρ������DZ 2πnivρdρ��� ni ����
���������������������� ρ�� 2πnivρdρ��������
����������� v → v + d3v����DZ
fe(v) =ne
(2π)3/2v3eexp
(−v2/2v2e
), (4.53)
�� ve = (Te/me)1/2��������ne�������������������
�������������������������� ω → ω + dω�����
��DZ
dPω
dω=
∫d3v
∫ ∞
0
2πρdρdEωdω
fe(v)v
=16ninee
2
3c31
(2π)3/2v3e
∫v3e−v2/2v2e eνπd3v
×∫ ∞
0
ν2[K ′
iν(νε)2 +
ε2 − 1
ε2Kiν(νε)
2
]ρdρ. (4.54)
�������(4.54) ����� ρ ����� ε � ρ ��� ε =√1 + ρ2/ρ2⊥�������������
∫ ∞
0
ν2[K ′
iν(νε)2 +
ε2 − 1
ε2Kiν(νε)
2
]ρdρ
= ρ2⊥
∫ ∞
1
[K ′
iν(νε)2 +
ε2 − 1
ε2Kiν(νε)
2
](νε)d(νε)
= ρ2⊥
∫ ∞
ν
[K ′
iν(z)2 +
(1− ν2
z2
)Kiν(z)
2
]zdz.
DZ�����������Kiν ��������
d2Kiν
dz2+
1
z
dKiν
dz−(1− ν2
z2
)Kiν = 0,
�����������
z
[K ′2
iν +
(1− ν2
z2
)K2
iν
]=
d
dz(zKiνK
′iν) .
4.2 ���� 105
��� ∫ ∞
ν
[K ′
iν(z)2 +
(1− ν2
z2
)Kiν(z)
2
]zdz = −νKiν(ν)K
′iν(ν),
���������������DZ
dPω
dω= −16nine
3c32
(2π)1/2v3e
∫v5e−v2/2v2eeνπνρ2⊥Kiν(ν)K
′iν(ν)dv. (4.55)
��(4.55) �������� v �������������� �
�������������������������������� ν � 1��
Kiν(ν)������
eνπ/2Kiν(ν) =
∫ ∞
0
cos [ν (sinh ξ − ξ)] dξ,
��������� �� sinh ξ − ξ � 1�������� sinh ξ � ξ����
����
eνπ/2Kiν(ν) ≈∫ ∞
0
cos(ν sinh ξ)dξ = K0(ν) ≈ ln2
γν,
�� ln γ = 0.5772 . . .����� �
eνπ/2K ′iν(ν) ≈ −1
ν.
�������������(4.55)����
dPω
dω=
32neni
3c3Z2e6
(2π)1/2v3em2e
∫ ∞
0
ve−v2/2v2e ln2mv3
γωZe2dv, for ω � τ−1
0 . (4.56)
��������
dPω
dω=
32e6Z2neni
3(2π)1/2c3m2eve
ln
[mev
3e
ωZe2
(2
γ
)5/2]. (4.57)
������� ν � 1���������� �� sinh ξ − ξ � 1���
�� ξ � 1�������������
eνπ/2Kiν(ν) ≈∫ ∞
0
cos
[1
6νξ3]dξ =
21/3π
32/3ν1/3Γ(2/3),
eνπ/2K ′iν(ν) ≈ −
∫ ∞
0
ξ sin
[1
6νξ3]dξ = −22/331/6Γ(2/3)
2ν2/3,
�����������(4.55)����
dPω
dω=
32π
3c3Z2e6
(6π)1/2v3em2e
∫ve−v2/2v2edv, for ω � τ−1
0 . (4.58)
106 ������
2Δτ
a(t)
� 4.3: ����������������������������Δτ�����
DZ��
��������������������������������������
��DZmv2min/2 = �ω � Te����
dPω
dω=
32πe6Z2neni
3(6π)1/2c3m2eve
exp (−�ω/Te) . (4.59)
�������������������������(1) � Z2 ������
�����������������Z−�������������Z �
���������(2) � T1/2e �����������������������DZ
�������������������(3) ��������� �����(4) ��������������������
4.2.3 �����������
������� ��������������� ������ |t| < Δτ �
��������������������������������
{v(t) = 0, when |t| < Δτ,
v(t) ≈ 0, when |t| > Δτ.
��4.3������������������������������ ���� �����������������������DZ������
��������������������������������
4.2 ���� 107
�����������(4.30)���
d2EnωdωdΩ
=e2
4π2c3
∣∣∣∣∫ ∞
−∞v(t)× neiωtdt
∣∣∣∣2
(4.60)
���������������� ωΔτ � 1��������(4.60)����DZ
d2EnωdωdΩ
≈ e2
4π2c3
∣∣∣∣∫ Δτ
−Δτ
v(t)× neiωtdt
∣∣∣∣2
≈ e2
4π2c3
∣∣∣∣∫ Δτ
−Δτ
v(t)× ndt
∣∣∣∣2
=e2
4π2c3|Δv × n|2 , (4.61)
�� Δv = v(Δτ) − v(−Δτ) ≈ Δv(+∞) − Δv(−∞) �������������
�(4.61)����Æ����dEωdω
=2e2
3πc3|Δv|2 .
�����������DZ
|Δv| = 2v sinθs2. (4.62)
�� θs���Æ����������Æ��������DZ
tanθs2
=ρ⊥ρ,
���
sinθs2
=ρ⊥√ρ2 + ρ2⊥
.
�����������������������DZ
dEωdω
=8Z2e6
3πc3m2v21
ρ2⊥ + ρ2.
����������������DZ
dPω
dω=
∫dEωdω
fe(v)v2πniρdρd3v
=32Z2e6nine
3(2π)1/2c3m3/2e T
1/2e
∫ ∞
0
e−v2/2vdv
∫ ρmax
0
ρdρ
ρ2 + ρ2⊥
=32Z2e6nine
3(2π)1/2c3m3/2e T
1/2e
∫ ∞
0
e−v2/2v ln
√1 +
ρ2max
ρ2⊥dv. (4.63)
108 ������
��������������� ωΔτ � 1�
�����������������DZ
|v| = ρ⊥τ 20 (ε cosh ξ − 1)2
,
���� ξ ��� t�DZ t = τ0(ε sinh ξ − ξ)������� ξ = 0�������
��DZ ρ⊥/τ 20 (ε − 1)2�� cosh ξ = 3��������DZ���������
��� | sinh ξ − ξ| ∼ 1��������
Δτ ∼ τ0ε = τ0
√1 +
ρ2
ρ2⊥. (4.64)
� ωΔτ � 1�������(4.63)���������DZ√1 +
ρ2max
ρ2⊥∼ 1
ωτ0. (4.65)
�(4.65)����(4.63)� ��
dPω
dω=
32Z2e6nine
3(2π)1/2c3m2eve
∫ ∞
0
e−v2/2v lnmv3ev
3
ωZe2dv
=32Z2e6nine
3(2π)1/2c3m2eve
ln
[mev
3e
ωZe2
(2
γ
)3/2]. (4.66)
�����DZ���������(4.56)�����������(4.66)������������������������������(4.66)��(4.56)������������������������������������
DZ���DZ √1 +
ρ2max
ρ2⊥=
2
γ
1
ωτ0, (4.67)
����������(4.56)��������
4.3 ����
�����������������������������������
����������������DZ��������������������
�������������������������������
4.3 ���� 109
z
y
x
B
n
θ
o
� 4.4: �������������������
4.3.1 ��������
��4.4��������� z−���� n� x − z ��� n� z−���ÆDZ θ���
n = (sin θ, 0, cos θ).
��������������� ����DZ
v(t) = c (β⊥ cosωct,−β⊥ sinωct, β�) ,
r0(t) = c
(β⊥ωc
sinωct,β⊥ωc
cosωct, β�t
).
�� β⊥ = v⊥/c������������β⊥ = v�/c�����������
���
n× v(t) = c (β⊥ cos θ sinωct, β⊥ cos θ cosωct− β� sin θ,−β⊥ sin θ sinωct) ,
k · r0(t) =ω
ωc
β⊥ sin θ sinωct + ωtβ� cos θ.
�������(4.27)������ ����������
(Bω)x = ieω
creiωr/cβ⊥ cos θ
∫ ∞
−∞ei(1−β� cos θ)ωt−i(ω/ωc)β⊥ sin θ sinωct sinωctdt, (4.68a)
(Bω)y = ieω
creiωr/c
∫ ∞
−∞ei(1−β� cos θ)ωt−i(ω/ωc)β⊥ sin θ sinωct (β⊥ cos θ cosωct− β� sin θ) dt,
(4.68b)
(Bω)z = −ieωcreiωr/cβ⊥ sin θ
∫ ∞
−∞ei(1−β� cos θ)ωt−i(ω/ωc)β⊥ sin θ sinωct sinωctdt. (4.68c)
110 ������
����
e−iz sinφ =∞∑
n=−∞Jn(z)e
−inφ, (4.69)
�� δ−���������δ(ω) =
1
2π
∫ ∞
−∞eiωtdt, (4.70)
�� Jn(z)�����������(4.68) ��������DZ
Bω = 2π
∞∑n=−∞
δ [(1− β� cos θ)ω − nωc]Bn
=2π
1− β� cos θ
∞∑n=−∞
δ
[ω − nωc
1− β� cos θ
]Bn. (4.71)
��(4.71) � δ−�������������������
ω =nωc
1− β� cos θ. (4.72)
��(4.71) ��� ���BnDZ
(Bn)x = ieω
creiωr/c
β⊥ cos θ
2i{Jn+1[(ω/ωc)β⊥ sin θ]− Jn−1[(ω/ωc)β⊥ sin θ]} , (4.73a)
(Bn)y = ieω
creiωr/c
{β⊥ cos θ
2[Jn+1[(ω/ωc)β⊥ sin θ] + Jn−1[(ω/ωc)β⊥ sin θ]]
−β� sin θJn[(ω/ωc)β⊥ sin θ]} , (4.73b)
(Bn)z = −ieωcreiωr/c
β⊥ sin θ
2i{Jn+1[(ω/ωc)β⊥ sin θ]− Jn−1[(ω/ωc)β⊥ sin θ]} . (4.73c)
�����������
Jn−1(z) + Jn+1(z) =2n
zJn(z),
Jn−1(z)− Jn+1(z) = 2J ′n(z),
��(4.73)����������
(Bn)x = −eωcreiωr/cβ⊥ cos θJ ′
n[(ω/ωc)β⊥ sin θ], (4.74a)
(Bn)y = ieω
creiωr/c
[ nωc
ω tan θ− β� sin θ
]Jn[(ω/ωc)β⊥ sin θ], (4.74b)
(Bn)z =eω
creiωr/cβ⊥ sin θJ ′
n[(ω/ωc)β⊥ sin θ]. (4.74c)
4.3 ���� 111
������������������������ DZ
dPobs
dΩ= lim
T→∞1
2T
∫ T
−T
cr2
4πdt
∫ ∞
−∞Bωe
−iωtdω
2π·∫ ∞
−∞Bω′e−iω′tdω
′
2π
= limT→∞
1
2T
∫ T
−T
cr2
4πdt
∞∑n,m=−∞
Bn ·Bm
(1− β� cos θ)2e−i(n+m)ωct/(1−β� cos θ)
=cr2
2π
∞∑n=1
|Bn|2(1− β� cos θ)2
. (4.75)
��������(4.75)���������������������������������������������������������
���DZ
dP
dΩ=cr2
2π
∞∑n=1
|Bn|2(1− β� cos θ)
. (4.76)
��(4.75)�(4.76)������ 1− β� cos θ�����������������
���
t′(1− β� cos θ)−c
ωc
sinωct′ = t− r/c,
�����������������DZ Δt′ = 2π/ωc�����������DZ
Δtobs = Δt′(1 − β� cos θ)�������������������������
����������� 1 − β� cos θ�������������������
��
������ ���(4.74)����(4.75)�������������
dP
dΩ=
∞∑n=1
e2n2ω2c
2πc(1− β� cos θ)3
{β2⊥J
′2n
[nβ⊥ sin θ
1− β� cos θ
]+
(cos θ − β�
sin θ
)2
J2n
[nβ⊥ sin θ
1− β� cos θ
]}.
(4.77)������������ ��������(4.77)����DZ
dP
dΩ=
∞∑n=1
dPn
dΩ. (4.78)
���� n� �������(4.77)�������� β� = 0���������
DZ������(4.77)�� β� = 0� β⊥ = β����
dP
dΩ=
∞∑n=1
e2n2ω2c
2πc
[β2J ′2
n (nβ sin θ) + tan−2 θJ2n(nβ sin θ)
](4.79)
112 ������
�� ���DZ���������
ω = nωc.
���(4.77)���������������� ����
Pn =∞∑n=1
2e2ω2c
(1− β2� )3/2β⊥c
[β2⊥nJ
′2n
(2nβ⊥√1− β2
�
)− (1− β2)n2
∫ β⊥/√
1−β2�
0
J2n(2nξ)dξ
].
(4.80)����� β� = 0���
Pn =
∞∑n=1
2e2ω2c
βc
[β2nJ ′
2n (2nβ)− (1− β2)n2
∫ β
0
J2n(2nξ)dξ
]. (4.81)
�����������
∞∑n=1
∫ x
0
n2J2n(2nz)dz =x3
6(1− x2)3,
∞∑n=1
nJ ′2n(2nz) =
z
2(1− z2)2,
�������������
P =2
3
e2ω2cβ
2⊥
(1− β2)2c. (4.82)
4.3.2 ���������
����������������(4.77)��������������������������������(4.53)��������������������DZ
d2P
dωdΩ=
2πnec3
(2π)3/2v2e
∫ ∞
0
β⊥dβ⊥
∫ ∞
−∞dβ� exp
[− (β2
⊥ + β2�)
2(Te/mec2)
]e2ω2
2πc(1− β� cos θ)
×∞∑n=1
δ
[ω − nωc
1− β� cos θ
]{β2⊥J
′2n [(ωβ⊥/ωc) sin θ] +
(cos θ − β�
sin θ
)2
J2n [(ωβ⊥/ωc) sin θ]
}.
��������� β⊥ � 1�β� � 1������� ��DZ� nβ⊥ � 1�����
��������������
Jn(z) =zn
n!2n+ o(zn),
4.4 ����� 113
-e(ω0,k0)
incident�wave
scattering�wave
(ωs,ks)
� 4.5: ����������������� ������������
��� cos θ � β���
d2P
dωdΩ≈ 2πnec
3
(2π)3/2v3e
e2ω2
2πc
∫ ∞
0
β⊥dβ⊥
∫ ∞
−∞dβ� exp
[− (β2
⊥ + β2�)
2(Te/mec2)
]
×∞∑n=1
δ [ω − nωc − ωβ� cos θ]
{n2n
(n!)222nβ2n⊥(cos2 θ + 1
)sin2(n−1) θ
}
=nee
2ω
(2π)3/2ve
1 + cos2 θ
cos θ
∑n
n2n
2nn!
(Temec2
)n
sin2(n−1) θ exp
[− (ω − nωc)
2
2(Te/mec2)(ω cos θ)2
].
������������ Te/mec2 � 1��� ������� ��� n���
������� �� ������ ���DZ
d2P2/dωdΩ
d2P1/dωdΩ∼ 8Temec2
.
��DZ T ∼ 5 keV���d2P2/dωdΩ
d2P1/dωdΩ∼ 0.08.
4.4 �����
4.4.1 ���������
����������������� ��DZ�����DZ��������
������������������������������������
����������������������������������
����������������������������������
�����������������������������—�����DZ�����������������������������������
114 ������
��������������������������������
���������������������������������DZ
mev = −eE0 cos[k0 · r0(t)− ω0t], (4.83)
�� r0����� ��E0 cos (ω0t− k0 · r)���������ω0� k0����
����������������������������DZ�������
�������������� ���DZ�����
�DZ�����������(4.26)��������� �����DZ
Bωs =−ec2r
eiωsr/c
∫ ∞
−∞v(t)× neiωst−iks·r0(t)dt, (4.84)
�� ks = (ωs/c)ns���������������(4.83)��(4.84)��
Bωs =(e2/mec
2)
r(E0 × ns)e
iωsr/c
∫ ∞
−∞cos[k0 · r0(t)− ω0t]e
iωst−iks·r0(t)dt. (4.85)
�DZ������������� ���DZ���������� ���
����
r0(t) = vt, (4.86)
�� v���������������� �(4.86) ���(4.85)� ��������
Bωs = πrer(E0 × ns)e
iωsr/c {δ[ωs(1− ns · v/c)− (ω0 − k0·v)]
+δ [ωs(1− ns · v/c) + (ω0 − k0·v)]} . (4.87)
�� re = e2/mec2 ���������DZ������������� ��
�(4.87)����(4.36)�������������������(4.38)������������
d2Pnsωs
dΩdωs
=c
8πr2e(E0 × ns)
2δ[ωs(1− ns · v/c)− (ω0 − k0·v)]. (4.88)
��������������ωs > 0����(4.88)������������������������
ωs =ω0 − k0 · v1− ns · v/c
. (4.89)
�����������������������������������
�DZ ω0 − k0 · v��������������DZDZω0 − k0 · v���������
4.4 ����� 115
�DZ������������DZ (ω0 − k0 · v)/(1 − ns·v/c)�����������������������������������(4.89)���DZ������������DZ������������������(4.89)����DZ
ωs ≈ ω0 + [(ω0/c)ns − k0] · v = ω0 + k · v, (4.90)
��
k = (ω0/c)ns − k0 (4.91)
�DZ�����
�����DZ����������(4.88)�����������������
dPns
dΩ=
c
8πr2e(E0 × ns)
2. (4.92)
������������DZ���������������������
dσT
dΩ=dPn/dΩ
cE20/8π
= r2e sin2 θ, (4.93)
�� θ���� n���������Æ����������Æ�����
���������
σT =8π
3r2e . (4.94)
4.4.2 ����������
��������������������������� �������
���������������� �������� ����������
�����������DZ�����������������������
����������������������������
��� N �����������������������������
������(4.85)���
Bωs =rer(E0 × ns)e
iωsr/c
N∑i=1
∫ ∞
−∞cos[k0 · ri(t)− ω0t]e
iωst−iks·ri(t)dt. (4.95)
�� ri�� i��������DZ��������������������
��������
n(r, t) =N∑i=1
δ(r− ri(t)). (4.96)
116 ������
�� n(r, t)������������������ ��DZ
nk(t) =N∑i=1
e−ik·ri(t). (4.97)
��(4.97)������(4.95)�������DZ
Bωs =1
2
rer(E0 × ns)e
iωsr/cN∑i=1
∫ ∞
−∞
[eik0·rie−iω0t + e−ik0·rieiω0t
]eiωst−iks·ridt
=1
2
rer(E0 × ns)e
iωsr/c
∫ ∞
−∞
[nks−k0(t)e
i(ωs−ω0)t + nks+k0(t)ei(ωs+ω0)t
]dt. (4.98)
����Æ dΩ�������DZ
dE =c
4πr2dΩ
∫Bωs ·B−ωs
dωs
2π. (4.99)
�(4.98)����(4.99)����
dEns
dΩ=cr2e16π
(E0 × ns)2
∫ ∞
−∞
dωs
2π
∫ ∞
−∞
[nks−k0(t)e
i(ωs−ω0)t + nks+k0(t)ei(ωs+ω0)t
]dt
×∫ ∞
−∞
[n−ks−k0(t
′)e−i(ωs+ω0)t′ + n−ks+k0(t′)e−i(ωs−ω0)t′
]dt′. (4.100)
���������������������������
dEns
dΩ=cr2e16π
(E0 × ns)2
∫ ∞
−∞
dωs
2π
×∫dtdt′
[〈nks−k0(t)n
∗ks−k0
(t′)〉ei(ωs−ω0)(t−t′) + 〈nks+k0(t)n∗ks+k0
(t′)〉ei(ωs+ω0)(t−t′)].
(4.101)
��������������
〈nk(t)n∗k′(t′)〉 = 0, when k = k′.
�DZ ∫ ∞
−∞
dωs
2π〈nks+k0(t)n
∗ks+k0
(t′)〉ei(ωs+ω0)(t−t′)
=
∫ −∞
∞(−)
dωs
2π〈n−ks+k0(t)n
∗−ks+k0
(t′)〉e−i(ωs−ω0)(t−t′)
=
∫ ∞
−∞
dωs
2π〈n∗
ks−k0(t)nks−k0(t
′)〉ei(ωs−ω0)(t′−t).
4.4 ����� 117
������� k����� ω�
k = ks − k0, ω = ωs − ω0,
��(4.101)���DZ
dEns
dΩ=cr2e8π
(E0 × ns)2
∫ ∞
−∞
dω
2π
∫dtdt′〈nk(t)n
∗k(t
′)〉eiω(t−t′)
=cr2e8π
(E0 × ns)2
∫ ∞
−∞
dω
2π
∫ ∞
−∞dt
∫ ∞
−∞dτ〈n∗
k(t)nk(t + τ)〉eiωτ . (4.102)
�������������� 〈n∗k(t)nk(t+ τ)〉��������� t���
����� ���������
dPns
dΩ=cr2e8π
(E0 × ns)2
∫ ∞
−∞
dω
2π
∫ ∞
−∞dτ〈n∗
k(t)nk(t + τ)〉eiωτ .
�����DZ
d2Pnsω
dωdΩ=cr2e8π
(E0 × ns)2N
1
2πN
∫ ∞
−∞dτ〈n∗
k(t)nk(t+ τ)〉eiωτ .
����� �� S(k, ω)�
S(k, ω) =1
2πN
∫ ∞
−∞dτ〈n∗
k(t)nk(t+ τ)〉eiωτ , (4.103)
���������������������������DZ
d2Pnsω
dωdΩ= I0Nr
2e sin
2 θS(k, ω). (4.104)
�� I0 = cE20/8π������������ θ�������������Æ�
��� �����������������������������
������� �����������������������DZ
〈n∗k(t)nk(t+ τ)〉 =
⟨N∑
i,j=1
eik·[ri(t)−rj(t+τ)]
⟩=
⟨N∑i=1
e−ik·vjτ
⟩+
⟨N∑
i,j=1i �=j
eik·[ri(t)−rj(t+τ)]
⟩
������������� ���DZ������������
〈n∗k(t)nk(t+ τ)〉 =
⟨N∑i=1
e−ik·vjτ
⟩=
N
(2π)3v3e
∫e−v2/2v2ee−ik·vτd3v
=N
(2π)1/2ve
∫ ∞
−∞e−v2
�/2v2ee−ikv�τdv�.
118 ������
����� ��DZ
S(k, ω) =1
(2π)3/2ve
∫ ∞
−∞dτeiωτ
∫ ∞
−∞e−v2
�/2v2ee−ikv�τdv�
=1
(2π)1/2ve
∫ ∞
−∞δ(ω − kv�)e
−v2�/2v2edv�
=1
(2π)1/2kveexp
[− ω2
2k2v2e
]. (4.105)
����������DZ
d2Pnωs
dωsdΩ=
1√2πkve
I0r2eN sin2 θ exp
[− ω2
2k2v2e
]. (4.106)
������������������������������������
�������������������������������������
����������
4.5 ��
������������� ��������������������
��������������������������� �����
�������������������
4.5.1 �������������
���������������
d2F
dz2+
1
z
dF
dz−(1 +
ν2
z2
)F = 0. (4.107)
����������� Iν(z)� Kν(z)���DZ�������������
���������������Kv(z)������DZ
Kν(z) =1
2
∫ ∞
−∞e−z cosh ξ−νξdξ, (−π/2 < arg z < π/2). (4.108)
������(4.108)�Kiν(z)�����DZ
Kiν(z) =1
2
∫ ∞
−∞e−z cosh ξ−iνξdξ. (4.109)
4.5 �� 119
�����(4.109)�����Kiν(z)�K ′iν(z)���������
Kiν(z) =1
2e−νπ/2
∫ ∞
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ, (4.110)
K ′iν(z) =
1
2e−νπ/2
∫ ∞
−∞
z − ν cosh ξ
(z cosh ξ − ν)2eiz sinh ξ−iνξdξ. (4.111)
�������(4.109) ���������� t = ξ + iπ/2��� cosh(t −iπ/2) = −i sinh t����
Kiν(z) =1
2e−νπ/2
∫ ∞+iπ/2
−∞+iπ/2
eiz sinh t−iνtdt. (4.112)
���������������
∫ ∞+iπ/2
−∞+iπ/2
eiz sinh t−iνtdt =
∫ ∞
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ.
� ξ−����������������� exp (iz sinh ξ − iνξ)�� ξ−���� ������� ∫
C
eiz sinh t−iνtdt = 0,
��??���� ����DZ
C : −∞ → ∞ → ∞+ iπ/2 → −∞+ iπ/2 → −∞. (4.113)
�������
∫ ∞
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ =
∫ ∞+iπ/2
−∞+iπ/2
eiz sinh ξ−iνξdξ +
∫ −∞+iπ/2
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ
+
∫ ∞
∞+iπ/2
eiz sinh ξ−iνξdξ.
������
∫ −∞+iπ/2
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ =
∫ ∞
∞+iπ/2
eiz sinh ξ−iνξdξ = 0.
DZ�����������
ξ = ρeiφ,
� ρ→ ∞������ 0 < Im ξ < π/2����
0 < ρ sin φ < π/2, ρ→ ∞.
120 ������
Re ξ
Im ξ
0
C
iπ/2
φ
ρ
� 4.6: � ������� C�
���� ρ� 1�� φ� 1����
ξ = ρ+ iρφ.
���
∫ ∞
∞+iπ/2
eiz sinh ξ−iνξdξ = limρ→∞
∫ 0
π/2ρ
eiz sinh(ρ+iρφ)−iν(ρ+iρφ)ρeiφidφ
= limρ→∞
∫ 0
π/2ρ
eiz sinh ρ cos(ρφ)−z cosh ρ sin(ρφ)−iνρ+νρφeiφid(ρφ)
= limρ→∞
i
∫ 0
π/2
eiz sinhρ cos θ−iνρ−iνρe−z cosh ρ sin θ+νθdθ
����� (0, π/2)�� sin θ������� exp(−z cosh ρ sin θ)�� ρ������
�������� ∫ ∞
∞+iπ/2
eiz sinh ξ−iνξdξ = 0.
��� ∫ −∞+iπ/2
−∞eiz sinh ξ−iνξdξ = 0.
�������(4.110)��������(4.109)����� z > 0���������K ′
iν(z)���DZ�
������
K ′iν(z) = −1
2
∫ ∞
−∞cosh ξe−z cosh ξ−iνξdξ. (4.114)
�(4.114)������
K ′iν(z) =
1
2
∫ ∞
−∞
iν sinh ξ − z
(z sinh ξ + iν)2e−z cosh ξ−iνξdξ.
4.5 �� 121
�������� t = ξ + iπ/2����
K ′iν(z) =
1
2e−νπ/2
∫ ∞+iπ/2
−∞+iπ/2
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνtdt.
�����
∫ ∞
−∞
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνtdt =
∫ ∞+iπ/2
−∞+iπ/2
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνtdt.
����������� (ν/z) < 1�DZ��������
∫C
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνt = i2πRes
[z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνt, t = i arccos
ν
z
].
�� C �������(4.113)���������������
Res[z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνt, t = i arccos
ν
z
]
= limt→i arccos(z/ν)
d
dt
[(t− i arccos
ν
z)2
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνt
]
= 0.
��
∫ −∞+iπ/2
−∞
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνtdt =
∫ ∞
∞+iπ/2
z − ν cosh t
(z cosh t− ν)2eiz sinh t−iνtdt = 0
�������(4.111)���
4.5.2 ���������
DZ�������� ���������(4.76)��������������������
sin θ′ =
√1− β2
� sin θ
1− β� cos θ, cos θ′ =
cos θ − β�1− β� cos θ
,
sin θ =
√1− β2
� sin θ′
1 + β� cos θ′, cos θ =
cos θ′ + β�1 + β� cos θ′
.
122 ������
�����
sin θdθ =1− β2
�
(1 + β� cos θ′)2sin θ′dθ′,
1− β� cos θ =1− β2
�
1 + β� cos θ′,
cos θ − β�sin θ
=(1− β�)
1/2
tan θ′,
nβ⊥1− β� cos θ
sin θ =nβ⊥√1− β2
�
sin θ′,
�� ���DZ
Pn =e2n2ω2
c
(1− β2� )
2
∫ π
0
{β2⊥J
′2n
[nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
]+
1− β2�
tan2 θ′J2n
[nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
]}(1 + β� cos θ
′) sin θ′dθ′
=e2n2ω2
c
(1− β2� )2
∫ π
0
{β2⊥J
′2n
[nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
]+
1− β2�
tan2 θ′J2n
[nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
]}sin θ′dθ′.
����������
Jn−1(z)− Jn+1(z) = 2J ′n,
Jn−1(z) + Jn+1(z) =2n
zJn,
���������������
J2n−1(z) + J2
n+1(z) = 2J ′2(z) + 2n2
z2J2n(z),
��
β2⊥J
′2n
[nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
]+
1− β2�
tan2 θ′J2n
[nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
]
=β2⊥2
[J2n−1 + J2
n+1 − 21− β2
�
β2⊥ sin2 θ′
J2n
]+
1− β2�
tan2 θ′J2n
=β2⊥2
(J2n−1 + J2
n+1
)− (1− β2
�)J2
n
�����
Pn =e2n2ω2
c
(1− β2� )2
∫ π
0
{β2⊥2
[J2n−1
(nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
)+ J2
n+1
(nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
)]
−(1− β2�)J2
n
(nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
)}sin θ′dθ′.
4.5 �� 123
�������������������
J2n(z) =
1
π
∫ π
0
J0 (2z sin ξ) cos(2nξ)dξ,
���
Pn =e2n2ω2
c
(1− β2� )2
1
π
∫ π
0
sin θ′dθ′∫ π
0
dξJ0
(2nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
sin ξ
)
×[β2⊥2
cos[2(n− 1)ξ] +β2⊥2
cos[2(n + 1)ξ]− (1− β2�) cos(2nξ)
]
=e2n2ω2
c
(1− β2� )2
I,
����I1��DZ
I1 =1
π
∫ π
0
sin θ′dθ′∫ π
0
dξJ0
(2nβ⊥ sin θ′√
1− β2�
sin ξ
)
×[β2⊥2
cos[2(n− 1)ξ] +β2⊥2
cos[2(n+ 1)ξ]− (1− β2�) cos(2nξ)
],
���������
∫ π/2
0
J0(z sin θ′) sin θ′dθ′ =
sin z
z.
���
I =
√1− β2
�
2nβ⊥
1
π
∫ π
0
dξ sin
(2nβ⊥ sin ξ√
1− β2�
)β2⊥
sin ξ
{cos[2(n− 1)ξ] + cos[2(n+ 1)ξ]− 2(1− β2
�) cos 2nξ
}.
�����������
J2n(z) =1
π
∫ π
0
cos(z sin θ) cos(2nθ)dθ,
���∫ z
0
J2n(ξ)dξ =1
π
∫ z
0
dξ
∫ π
0
cos(ξ sin θ) cos(2nθ)dθ =1
π
∫ π
0
sin(z sin θ)
sin θcos(2nθ)dθ.
�����
I =
√1− β2
�
2nβ⊥
∫ 2nβ⊥/√
1−β2�
0
{β2⊥[J2(n−1)(ξ) + J2(n+1)(ξ)
]− 2(1− β2
�)J2n(ξ)
}dξ.
124 ������
���������������
J2(n−1)(ξ) + J2(n+1)(ξ) = 4J ′′2n(ξ) + 2J2n(ξ),
�����
I =
√1− β2
�
2nβ⊥
∫ 2nβ⊥/√
1−β2�
0
dξ{4β2
⊥J′′2n(ξ) + 2β2
⊥J2n(ξ)− 2(1− β2�)J2n(ξ)
}
=
√1− β2
�
2nβ⊥
[4β2
⊥J′2n
(2nβ⊥√1− β2
�
)− 4n(1− β2)
∫ β⊥/√
1−β2�
0
J2n(2nξ)dξ
].
������� ���DZ
Pn =2e2ω2
c
(1− β2� )3/2β⊥
[β2⊥nJ
′2n
(2nβ⊥√1− β2
�
)− (1− β2)n2
∫ β⊥/√
1−β2�
0
J2n(2nξ)dξ
].
4.5.3 ������
������ ����������������� γ � 1��� γ = (1 −β2)−1/2 ������������������������� �������
���� n � 1��� ��������������������������
������DZ����������� β� = 0�
����������������
J2n(2nβ) =1
π
∫ π
0
cos [2n(ξ − β sin ξ)] dξ, (4.115)
� n � 1����(4.115) ������� ξ � 1��� ����������
�
J2n(2nβ) ≈1
π
∫ ∞
0
cos
[2n
(ξ − βξ + β
ξ3
6
)]dξ. (4.116)
������������ β → 1� 1 − β ≈ 1/2γ2���������������
���
J2n(2nβ) ≈1
π
∫ ∞
0
cos
[2n
(1
2γ2ξ +
ξ3
6
)]dξ =
1
n1/3Ai(n2/3γ−2),
�� Ai(x)���������DZ
Ai(x) =1
π
∫ ∞
0
cos
(xξ +
ξ3
3
)dξ. (4.117)
4.5 �� 125
u = n2/3γ−2�����
J ′2n(2nβ) ≈ − 1
n2/3Ai′(u),
∫ β
0
J2n(2nξ)dξ ≈1
2n
∫ ∞
u
Ai(u′)du′.
��� n� ��������DZ
Pn ≈ 2e4B2
m2c3γ2
[−n1/3Ai′(u)− n1/3
2u
∫ ∞
u
Ai(u′)du′]
= −2e4B2u1/2
m2c3γ
[Ai′(u) +
1
2u
∫ ∞
u
Ai(u′)du′].
� u� 1�����
Pn ≈ −2e4B2n1/3
m2c3γ2Ai′(0) = 0.52
e4B2n1/3
m2c3γ2, when 1 � n� γ3.
� u� 1�����
Pn ≈ e4B2n1/2
2√πm2c3γ5/2
exp
[−2
3nγ−3
], when n� γ3.
��� ����DZ
n ∼ γ3.
������ ��������
ω ∼ eB
mcγγ3 =
eB
mcγ2.
������������ ωc = eB/mcγ���������������
����
������������������
Ai(u) =1
π
√u
3K1/3
(2
3u3/2
),
Ai′(u) = − u√3πK2/3
(2
3u3/2
),
126 ������
� 4.7:
�
Ai′(u) +1
2u
∫ ∞
u
Ai(u′)du′ =u√3π
[−K2/3
(2
3u3/2
)+
1
2
∫ ∞
u
u′1/2K1/3
(2
3u′3/2
)du′]
=u√3π
[∫ ∞
ξ
K ′2/3(x)dx+
1
2
∫ ∞
ξ
K1/3(x)dx
]
=u√3π
[∫ ∞
ξ
(−1
2K1/3 −
1
2K5/3
)dx+
1
2
∫ ∞
ξ
K1/3(x)dx
]
= − u
2√3π
∫ ∞
ξ
K5/3(x)dx,
�� ξ = 2u3/2/3 = (2/3)nγ−3 = (2/3)(ω/ωc)γ−3� � Pn�����
dP = Pndn = Pndω
ωc,
�����
dP = dω
√3
2π
e3B
mc2F
(2ω
3ωcγ3
),
��
F (x) = x
∫ ∞
x
K5/3(ξ)dξ.
����(4.7)������ F (x)�������� x = 0.29��������
DZ 0.92���� F (x)������� ������������ ����
������� 0.44ωcγ3���� ����DZ n ≈ 0.44γ3�
��
1. �����(4.6)����������Lienard-Wiechert�
φ =e
R− v ·R/c, A =ev
c(R− v ·R/c) ,
4.5 �� 127
��R = r− r0(t′)� t′DZ��
2. ���������� a(t)��� ��DZ aω����������∫ ∞
−∞a2(t)dt =
∫ ∞
−∞|aω|2
dω
2π,
���� �� aω ���DZ
aω =
∫ ∞
−∞a(t)eiωtdt.
[��� δ−�������� δ(ω) =∫∞−∞ exp(−iωt)dt/(2π)�]
3. ����(4.18)�����(4.21)�
4. �� z < 0����������������DZ 0�����DZ t0����
��������� v������������������� ���
����������� t < t0��������������������
���
5. � β ���������������������������DZ v��
����������������������������
6. ������������������ �����DZ����������������������������������������
���� dEω/dω����
2ωK1(ω) =
∫ ∞
−∞
1
(t2 + 1)3/2e−iωtdt,
2ωK0(ω) =
∫ ∞
−∞
t
(t2 + 1)3/2e−iωtdt.
�
7. ���������������������DZ�� ��
A =∞∑l=1
An exp(−ilω0t),
��2π/ω0�����������
Al =ω0
2π
e
creilω0r/c
∮exp [ilω0(t− r0 · n/c)] dr0,
�� r0(t)����� ��
128 ������
8. ��������� ���(4.74)�
9. �������������������������������������DZ
ωs − ω0 = (ks − k0) · v,
�� ω0,s� k0,s�������������� v�������
��� �����������
�����������������������������������
�������������DZ����������������DZ������
�����������������������������DZ�������
������������DZ��DZ����������������������
������������������������������������
����������������������������DZ�DZ�����
���������������������DZ���������������
����������������
f =n(r, t)
(2π)3/2v3T (r, t)exp
{− [v − u(r, t)]2
2v2T (r, t)
}, (5.1)
�� vT (r, t) = [T (r, t)/m]1/2 ��������T (r, t)��������������
�������������������������������������
��������������������������������������
�������������������������������������
�����������������������������������
��������Æ���� L�Æ���� T ������������� λ
������� τ��
L� λ, T � τ, (5.2)
�����������������������������������
����DZ������������������������������
�����������������������������������
�������������DZ����������MHD������������������������ ����������DZ�������
���������������������������������
����� ������������
130 �����������
z
y
x
dfu
V(ρ,u, ε)o
� 5.1: ������ V ���������������������������
��������
5.1 �������
������DZ������������������������
�����������������������������������
������� ������������������������
��������������������� ���� �����
���
5.1.1 ���������
������������������������������� �
��������������DZ������������� �
�����
������������������������������
���������������
��(5.1)��������������������� V��������
������� S����DZ df���� V ��� ����������
�� V �����DZ ∮S
ρu · df =∫V
∇ · (ρu)d3r, (5.3)
5.1 ������� 131
�� ������� u��������������������� V ��
�������DZ
− d
dt
∫V
ρd3r = −∫V
∂ρ
∂td3r. (5.4)
�DZ������ V ��������������������� V����
�(5.3)���(5.4)����������
− d
dt
∫V
ρd3r =
∮S
ρu · df ,
∫V
[∂ρ
∂t+∇ · (ρu)
]d3r = 0.
�DZ V ����������� ����� ��������DZ�����
�∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0. (5.5)
����������������� ρu�����������
���������������������������������
������������� ρ =������������(5.5)��DZ
∇ · u = 0. (5.6)
�������DZ�
����
������� V ������������������ V ������
��DZd
dt
∫V
ρud3r =
∫V
∂
∂t(ρu)d3r.
���������������������DZ����� ��� V �����
����DZ ∮S
ρuu · df =∫V
∇ · (ρuu)d3r.
�������������� V ������������� �����
������������������������ V ���������
����������DZ ∮S
Pdf =
∫V
(∇P )d3r,
132 �����������
�� P ������������������������������
�����������DZF��� V ���������������DZ∫V
ρFd3r,
���������� ������� �
−∫V
∂
∂t(ρu)d3r =
∮S
ρuu · df+∮S
Pdf−∫V
ρFd3r.
�DZ V � ������������
∂
∂t(ρu) +∇ · (ρuu) +∇P = ρF. (5.7)
�����(5.5)�����(5.7)�� �����
ρ
[∂u
∂t+ (u · ∇)u
]= −∇P + ρF. (5.8)
��(5.8)�DZ������������������������������DZ��������
����������������������������������
Πik = Pδik + ρuiuk (5.9)
�DZ
Π = P I+ ρuu,
�� I��������(5.9)DZ�DZ�������������������������(5.7)���DZ�������
∂
∂t(ρu) +∇ ·Π = 0. (5.10)
����
�������� V ������������� �����������
�� ∫V
(1
2ρu2 + ρε
)d3r,
�� ��������������DZ�������� V ���������
���DZ� ∮S
(1
2ρu2 + ρε
)u · df =
∫V
∇ ·[(
1
2ρu2 + ρε
)u
]d3r,
5.1 ������� 133
������� V ���������������������������
���� V ���������������DZ
∮S
Pu · df =∫V
∇ · (Pu) d3r.
�DZ���������
− d
dt
∫V
(1
2ρu2 + ρε
)d3r =
∮S
(1
2ρu2 + ρε
)u · df+
∮S
Pu · df .
���� V �������
∂
∂t
(1
2ρu2 + ρε
)+∇ ·
[(1
2ρu2 + ρε+ P
)u
]= 0. (5.11)
������������ h������DZ
h = ε+ P/ρ,
������DZ∂
∂t
(1
2ρu2 + ρε
)+∇ ·
[(1
2ρu2 + ρh
)u
]= 0. (5.12)
����������������DZ���������������� ���
�������������(5.12)��������������DZ
Q = ρ(u2/2 + h
)u. (5.13)
����(5.12)���DZ�������������������������(5.12)�� ���DZ
ρ
[∂ε
∂t+ (u · ∇)ε
]− P
ρ
[∂ρ
∂t+ (u · ∇)ρ
]= 0. (5.14)
�� V = 1/ρ�� ��DZ
dε
dt+ P
dV
dt= 0, (5.15)
�� d/dt����������� �������
d
dt=
∂
∂t+ u · ∇.
134 �����������
���������������
Tds = dε+ PdV, (5.16)
�� s��������������(5.15)�����DZ
ds
dt= 0. (5.17)
�������������������� ������������
����������������
ds =δQ
T,
��������������������������������DZ�
��DZ���DZ����������������������������
�� δQ = 0�����������������(5.17)����������(5.17)DZ������
����
���(5.5)�����(5.8)������(5.12)���������� ρ��
� u������� ����������������DZ��������(�� ����������)���� �(���� � �� P��� u)����������� P��� � ���������������
������������ P�� V ��� T �����������
P = P (V, T ) (5.18)
�DZ����������������������������������
�����DZ������������ ��������������
����������������������DZ����
������������������������������
DZ������������� ���������DZ�
P = nT =ρT
m, (5.19)
��m������ ���� n�������������������
������DZ
s = − 1
mlnP +
cPm
lnT +1
m(cP + ξ), (5.20)
5.1 ������� 135
�� cP �������� ������������� �������
cp =5
2, ξ =
3
2ln
m
2π�2. (5.21)
����������������������� s =const����(5.20)�
T cP /P = const.
���������(5.19)����
Pρ−γ = const, (5.22)
�� γ = cP/(cP − 1) = cP/cV ��� cV ��������
5.1.2 ����������
�� ������(5.7)��������������������������������������������������������
������������������������� ��������DZ
����������DZ
Πik = Pδik + ρuiuk + πik = −σik + ρuiuk. (5.23)
�� πik �DZ�������������������������
�DZ���������������������� πik ��������
����������������������������������
������������ ∂ui/∂xk������Æ��Ω����������
����DZ u = Ω× r����DZ�������
∂ui∂xk
+∂uk∂xi
������������������� u = Ω× r�DZ���� πik ���
������� ����� �������������� DZ
πik = −η(∂ui∂xk
+∂uk∂xi
− 2
3δik∂ul∂xl
)− ζδik
∂ul∂xl
, (5.24)
���� η� ζ ���������DZ����� ζ ��DZ���������
�������������������������������� �
������������������
136 �����������
����(5.24)�(5.23)�������������������������
ρ
[∂u
∂t+ (u · ∇)u
]= −∇P + η∇2u+ (ζ + η/3)∇ (∇ · u) + ρF. (5.25)
���������—�������
����������������������������DZ���
�����������������������������������
�����������DZ
Ekin =1
2ρ
∫V
u2d3r.
�����������DZ
Ekin =1
2
∫∂
∂t(ρu2)d3r =
∫ρu · ∂u
∂td3r.
��—������(5.25)����
∂ui∂t
= −uk∂ui∂xk
− 1
ρ
∂P
∂xi− 1
ρ
∂πik∂xk
,
��������������DZ
∂
∂t
(ρu2/2
)= ρui
[−uk
∂ui∂xk
− 1
ρ
∂P
∂xi− 1
ρ
∂πik∂xk
]
= −ρuk∂
∂xk(uiui/2)− ui
∂P
∂xi− ui
∂πik∂xk
= −ρuk∂
∂xk
[u2/2 + P/ρ
]− ∂
∂xk(uiπik) + πik
∂ui∂xk
.
����������∇ · u = 0���� ���DZ
∂
∂t
(ρu2/2
)= − ∂
∂xk
[ρuk
(u2/2 + P/ρ
)+ uiπik
]+ πik
∂ui∂xk
. (5.26)
�������� ������������� ρuk(u2/2 + P/ρ)�������
������� uiπik ���DZ������(��)� ����������DZ������������������
��(5.26)��������������������
Ekin = −∮ [
ρuk(u2/2 + P/ρ
)− uiσ
′ik
]dfk +
∫πik
∂ui∂xk
d3r, (5.27)
5.1 ������� 137
������������DZ������
Ekin =
∫πik
∂ui∂xk
d3r =1
2
∫πik
(∂ui∂xk
+∂uk∂xi
)d3r.
����������∇ · u = 0���������DZ πik = −η(∂uk/∂xi + ∂ui/∂xk)�
�����
Ekin = −η2
∫ (∂ui∂xk
+∂uk∂xi
)2
d3r. (5.28)
������������������������ Ekin < 0����(5.28)���� ������������ �����
5.1.3 ����������
�� �������(5.12)��������������������� �����������������������DZ������� �����
������������������������������������
�����������������
q = −κ∇T, (5.29)
�� κ�DZ� ������������� ���������������
����DZ�������������������DZu · π [���(5.26)]���������������������DZ
∂
∂t
(1
2ρu2 + ρε
)+∇ ·
[(1
2ρu2 + ρh
)u+ u · π − κ∇T
]= 0, (5.30)
�����DZ
Q =(u2/2 + h
)ρu+ u · π − κ∇T. (5.31)
�����(5.30)DZ����DZ��������
ρT
(∂s
∂t+ u · ∇s
)= −πik
∂ui∂xk
+∇ · (κ∇T ). (5.32)
��(5.32)��� �������� �������������������� ��DZ�� ����������
��������������DZ
ρε =3
2nT, (5.33)
138 �����������
�� n��������T�������������������������
�DZ�����(5.33)����DZ��������������������������� g = 1/4πnλ3D ���������� (5.33) ������(5.30)������������������������
3
2n
(∂T
∂t+ u · ∇T
)= −P∇ · u− πik
∂ui∂xk
+∇ · (κ∇T ). (5.34)
����������� ��������������� ����
������� �������������������� κ� η�� ζ�
�����DZ�����������������������DZ
S =
∫ρsd3r,
��������DZ
S =
∫∂(ρs)
∂td3r.
���������∂(ρs)
∂t= −s∇ · (ρu) + ρ
∂s
∂t.
�����������������������(5.32)�DZ
ρT
(∂s
∂t+ u · ∇s
)=η
2
(∂ui∂xk
+∂uk∂xi
− 2
3δik∇ · u
)2
+ ζ(∇ · u)2 +∇ · (κ∇T ), (5.35)
�����
∂(ρs)
∂t= −s∇ · (ρu)− ρu · ∇s + 1
T∇ · (κ∇T )
+η
2T
(∂ui∂xk
+∂uk∂xi
− 2
3δik∇ · u
)2
+ζ
T(∇ · u)2.
���������DZ
S = −∫
∇ · (ρsu) d3r +∫
1
T∇ · (κ∇T )d3r +
∫ζ
T(∇ · u)2d3r
+
∫η
2T
(∂ui∂xk
+∂uk∂vi
− 2
3δik∇ · u
)2
d3r
= −∫
∇ · (ρsu) d3r +∫
∇ ·(κ∇TT
)d3r +
∫κ(∇T )2T 2
d3r
+
∫ζ
T(∇ · u)2d3r +
∫η
2T
(∂ui∂xk
+∂uk∂vi
− 2
3δik∇ · u
)2
d3r.
5.2 ������������� 139
u(a, t)
a
r(a, t)
z
y
x
o
� 5.2: � ���������������������������������DZ�� a�������
������������������DZ��������������
��� �����DZ��������
S =
∫κ(∇T )2T 2
d3r +
∫ζ
T(∇ · v)2d3r +
∫η
2T
(∂ui∂xk
+∂uk∂vi
− 2
3δik∂ul∂xl
)2
d3r. (5.36)
���DZ��� S > 0����� κ� η�� ζ �����
5.2 �������������
���� �����������������������������
���������DZ�DZ�������� �DZ�DZ�� �����
�DZ����������������� ������������
�� �DZ� �������� ��DZ� �� ���� �� ��
�������������� ������������������
��� �
������������������������ x ������DZ�
������� DZ a������������������������
�� x����� �� (τ, a)����� (t, x)���DZ
t = τ, x = a+ ξ(a, τ), (5.37a)
ξ(a, τ) =
∫ τ
0
u(a, τ ′)dτ ′. (5.37b)
140 �����������
�� ξ(a, τ)����DZ�� DZ a�����DZ τ �� � u(a, τ)����DZ�
� DZ a����������� ��������(5.37)���������� �
∂
∂x=
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]−1
∂
∂a, (5.38a)
∂
∂t=
∂
∂τ− u(a, τ)
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]−1
∂
∂a. (5.38b)
������ (5.38)�������� �
∂
∂t+ u
∂
∂x=
∂
∂τ. (5.39)
���� (5.38a)�(5.39)�����������DZ
∂ρ
∂τ+ ρ
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]−1
∂u
∂a= 0.
��∂
∂τ
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′ =∂u(a, τ)
∂a,
�����DZ∂
∂τ
{ρ
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]}
= 0.
���������
ρ(a, τ)
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]= ρ(a, 0). (5.40)
������DZ
ρ
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]∂u
∂τ= −∂P
∂a,
�����(5.40)����
∂u
∂τ= − 1
ρ(a, 0)
∂P
∂a. (5.41)
����(5.17)�� �� ������
∂s(a, τ)
∂t= 0. (5.42)
��������������
P (a, τ)[ρ(a, τ)]−γ = P (a, 0)[ρ(a, 0)]−γ. (5.43)
5.3 �� 141
������(5.40)�(5.41)�(5.43)� ������� ρ(a, τ) � u(a, τ)����
u(a, τ)��� � ��(5.37)���������� �������� �������
������ ������������������� ��������
�������� �� ��������������������
������������� �� ��DZ�� �� �����
��������
5.3 ��
DZ���������������������������������
���������������������������
�DZ����� ���������DZ ���������������
�������������������������DZ��������
���
ρ = ρ0 + δρ, P = P0 + δP,
�� ρ0� P0����������� δρ� δP����������
���������������������
∂δρ
∂t+ ρ0∇ · u = 0.
���������
ρ0∂u
∂t= −∇δP.
�������������� s(ρ, P ) =const�����DZ���DZP = P (s, ρ)�
�DZ����������������������DZ
δP =
(∂P
∂ρ
)s
δρ.
������DZ
ρ0∂u
∂t= −
(∂P
∂ρ
)s
∇δρ.
������ u���� � cs =√
(∂P/∂ρ)s���������
∂2
∂t2δρ− c2s∇2δρ = 0. (5.44)
142 �����������
��������������� cs������������������DZ�
�����
������������� Pρ−γ =const������(∂P
∂ρ
)s
=γP
ρ,
����������� P = nT = ρT/m���m�������������
�������
cs =
√γT
m. (5.45)
��� ����� γ = cP/cV = 5/3�����DZ
cs =
√5T
3m. (5.46)
���������������������������� exp[i(k ·r−ωt)]���������� ���(5.44)������������������
ω2 = k2c2s. (5.47)
���������������������������������
DZ����
������������������ �DZ�������������
DZ(���������)�
δE = δ
(ρε+
1
2ρu2)
≈ ∂(ρε)
∂ρδρ+
1
2
∂2(ρε)
∂ρ2(δρ)2 +
1
2ρ0u
2.
��������������
∂(ρε)
∂ρ= ε+ ρ
(∂ε
∂ρ
)s
,
������ � dε = Tds− PdV = Tds+ (P/ρ2)dρ���� (∂ε/∂ρ)s = P/ρ2��
����
[∂(ρε)/∂ρ]s = ε+ P/ρ = h.
[∂2(ρε)/∂ρ2]����DZ
[∂2(ρε)/∂ρ2]s = [∂h/∂ρ]s =
(∂h
∂P
)s
(∂P
∂ρ
)s
= c2s(∂h/∂p)s.
5.4 ��—������ 143
�������� dh = Tds + V dP = Tds + (1/ρ)dP���� (∂h/∂P )s = 1/ρ�
���
[∂2(ρε)/∂ρ2]s = c2s/ρ.
���� ������������
δE = h0δρ+c2s2
(δρ)2
ρ0+
1
2ρ0u
2.
��������������∫δρdV = 0����������������DZ
∫V
[1
2ρ0u
2 +c2s2ρ0
(δρ)2]d3r.
� ���������DZ�����������DZE�
E =1
2ρ0u
2 +c2s2ρ0
(δρ)2 (5.48)
���������������DZ������ (x − cst)���������
� δρ = ρ0u/cs����������DZ
E = ρ0u2. (5.49)
���������DZ
Q = ρ[u2/2 + h
]u ≈ ρhu = (h0ρ+ δP )u,
�� h0ρu��DZ�����������������DZ������� ���
�� ������� h0(δρ)������������DZ
Q = δPu. (5.50)
�������� δP = csρ0u����������DZ
Q = csρ0u2n = csEn. (5.51)
5.4 ��—������
��������������������������������
������������(��������������������)�
144 �����������
ρ2
ρ1
g∇ρ
� 5.3: ��������������������������—������
����������������������������������
������������—�������������������—����������������
�����������������������������������
��(������)���������5.3���������������������������������
�������DZ��������
∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0, (5.52a)
ρ∂u
∂t+ ρ(u · ∇)u = −∇P + ρg, (5.52b)
�� gDZ�����������DZ�����������(5.52a)�(5.52b)����
∂δρ
∂t+∇ · (ρ0u) = 0, (5.53a)
ρ0∂u
∂t= −∇δP + δρg, (5.53b)
�� δρ� δP ����������������������������
DZ�������������������DZ�
dρ
dt=∂ρ
∂t+ u · ∇ρ = 0. (5.54)
��������(5.54)DZ������
∂δρ
∂t+ u · ∇ρ0 = 0. (5.55)
5.4 ��—������ 145
��������(5.55) ������(5.53a)���������
∇ · u = 0. (5.56)
������������������ �
��������� z−������ g = −gez�������������������� ∂ρ0/∂x = ∂ρ0/∂y = 0��� ∂ρ0/∂z �= 0�����������
����(5.53b)�(5.55)�(5.56)����� ���
ρ0∂ux∂t
= −∂δP∂x
, (5.57a)
ρ0∂uy∂t
= −∂δP∂y
, (5.57b)
ρ0∂uz∂t
= −∂δP∂z
− δρg, (5.57c)
∂δρ
∂t+ uz
∂ρ0∂z
= 0 (5.57d)
∂ux∂x
+∂uy∂y
+∂uz∂z
= 0. (5.57e)
�����������DZ��� �
(ux, uy, uz, δP, δρ) = [Ux(z), Uy(z), Uz(z), Q(z), R(z)]eikxx+ikyy−iωt, (5.58)
�������(5.57)�DZ
−iωρ0Ux = −ikxQ, (5.59a)
−iωρ0Uy = −ikyQ, (5.59b)
−iωρ0Uz = −∂Q∂z
− Rg, (5.59c)
−iωR + Uz∂ρ0∂z
= 0, (5.59d)
ikxUx + ikyUy +∂Uz
∂z= 0. (5.59e)
����(5.59a)�(5.59b)�(5.59e)����Ux� Uy�
ωρ0∂Uz
∂z= −ik2Q,
�� k2 = k2x + k2y�����(5.59c)�(5.59d)�����R�
∂Q
∂z= iωρ0Uz + i
g
ωUz∂ρ0∂z
.
146 �����������
������������Q���������� Uz ������
∂
∂z
(ρ0∂Uz
∂z
)= k2ρ0Uz
(1 +
g
ω2ρ0
∂ρ0∂z
). (5.60)
����������������������������∂ρ0/∂z = 0�
����(5.60)��DZ∂2Uz
∂z2= k2Uz. (5.61)
����������� �
Uz = Ae+kz +Be−kz.
�������������DZ 0���������������������
������������ Uz �������� �
Uz =
{We+kz, z < 0,
We−kz, z > 0, (5.62)
��W = Uz(z = 0)�������������
����������������������� z����DZ�����
�����������(5.60)�����������∫ 0+
0− dz��
−kW (ρz>0 + ρz<0) =k2Wg
ω2(ρz>0 − ρz<0).
�������������
ω2 = −kg (ρz>0 − ρz<0)
(ρz>0 + ρz<0). (5.63)
������A��DZ�����
A =(ρz>0 − ρz<0)
(ρz>0 + ρz<0). (5.64)
� ρz>0 > ρz<0�� ω2 < 0����������� �����������
��������� �DZ
γ = |ω| =√kgA. (5.65)
5.5 ��
�������������������������������
����������������������������������� �
����������������������������� ��������
����������������������������
5.5 �� 147
shock front
D
shocked
ρ1,u1, T1
unshocked
ρ0,u0, T0
� 5.4: ��������������������������������
5.5.1 ����������
�����������������������������������
�������������������������������DZ��
∂ρ
∂t+∂(ρu)
∂x= 0.
���������� D ����������������������
� ξ = x−Dt�������DZ
d
dξ[ρ(u−D)] = 0.
�������������������������∫ D+0
D−0
d
dξ[ρ(u−D)] dξ = 0.
����������������
ρ1(u1 −D) = ρ0(u0 −D), (5.66)
��� 1���������� 0�� �������������������
��������������������(5.66)��DZ
ρ1u1 = ρ0u0. (5.67)
�����������
P1 + ρ1u21 = P0 + ρ0u
20, (5.68)
��������
(ρ1u21/2 + ρ1ε1 + P1)u1 = (ρ0u
20/2 + ρ0ε0 + P0)u0. (5.69)
148 �����������
��(5.69)�������(5.67)�����
u21/2 + h1 = u20/2 + h0. (5.70)
�� h = ε+ P/ρ������
5.5.2 �����
��(5.67)�(5.68)�(5.70)������������������� V =
1/ρ��(5.67)�V0V1
=u0u1,
����(5.67)�(5.68)���������������������������������
u20 = V 20
P1 − P0
V0 − V1,
u21 = V 21
P1 − P0
V0 − V1.
�����������DZ
u0 − u1 =√(P1 − P0)(V0 − V1).
���DZ
ε1(P1, V1)− ε0(P0, V0) =1
2(P0 + P1)(V0 − V1). (5.71)
����DZ
h1 − h0 =1
2(P1 − P0)(V0 + V1) (5.72)
����DZ�������������������
P1 = H(V1, P0, V0). (5.73)
5.5.3 ��������
��������DZ�����
ε = cV T =1
γ − 1PV, h = cpT =
γ
γ − 1PV.
5.5 �� 149
V
P� 5.5: ������������������������������DZ������
���������
P1
P0
=(γ + 1)V0 − (γ − 1)V1(γ + 1)V1 − (γ − 1)V0
,
V1V0
=(γ − 1)P1 + (γ + 1)P0
(γ + 1)P1 + (γ − 1)P0,
T1T0
=P1V1P0V0
,
u20 =V02[(γ − 1)P0 + (γ + 1)P1],
u21 =V02
[(γ + 1)P0 + (γ − 1)P1]2
[(γ − 1)P0 + (γ + 1)P1].
������� P1/P0 → ∞��
ρ1ρ0
=V0V1
=γ + 1
γ − 1,
��� ���� γ = 5/3�������������������DZ4�����
������������������������������������
������������������� ����� Pρ−γ =const���������DZ����
�������������DZ(u0c0
)2
=(γ − 1) + (γ + 1)P1/P0
2γ> 1,
(u1c1
)2
=(γ − 1) + (γ + 1)P0/P1
2γ< 1.
150 �����������
��� u0���������������������� ���������
�������������������������������������
P1/P0 ≈ 1�� u0 ≈ u1 ≈ c0 ≈ c1����������������� �����
����������� ������������������������
���������������
S1 − S0 = cV lnP1V
γ1
P0Vγ0
= cV ln
{P1
P0
[(γ − 1)(P1/P0) + (γ + 1)
(γ + 1)(P1/P0) + (γ − 1)
]γ}.
������� S1 ≈ S0����������
S1/S0 = cV ln
[P1
P0
(γ − 1
γ + 1
)γ]→ ∞.
���� ������������������������
��������������������DZ���������
�����DZ���������������������������
������������������������������
5.6 �������
�����������������������������������
����������� ������������������������
��������
fα =nα(r, t)
(2π)3/2v3Tα(r, t)
exp
{−m[v − uα(r, t)]
2
2Tα
}, (α = e, i).
������������������������������������
����
��������������������������������
�����DZ
τe =3m
1/2e T
3/2e
4√2πZ2e4ni ln Λ
, (5.74a)
τi =3m
1/2i T
3/2i
4√πZ4e4ni ln Λ
, (5.74b)
5.6 ������� 151
�� ln �����������������DZ
λe = veτe =3T 2
e
4√2πZ2e4ni ln Λ
,
λi = viτi =3T 2
i
4√πZ4e4ni ln Λ
.
������������������������������������
L� max(λe, λi), Δτ � max(τe, τi). (5.75)
5.6.1 �����
�������� �������������������������
�������∂nα
∂t+∇ · (nαuα) = 0, (α = e, i). (5.76)
�� n���������u�������������������
��������������DZ
∂nα
∂t+∇ · (nαuα) = Sα,
�� S�������� �������/������������/������DZ�
5.6.2 ����
����������DZ�����������������������
���������������������������������DZ���
��������������������������DZ
mαnα
(∂uα
∂t+ uα · ∇uα
)= Zαenα
(E+
1
cuα ×B
)−∇Pα −∇ · πα +Rα, (5.77)
�� πα������(��—�����—��)������ ���������Rα���������� �������
��������������������������������
��������
|ωcατα| � 1,
152 �����������
�� ωcα������������������������������
�������� z−�����
πzz = −η0Wzz,
πxx = −1
2η0(Wxx +Wyy)−
1
2η1(Wxx −Wyy)− η3Wxy,
πyy = −1
2η0(Wxx +Wyy)−
1
2η1(Wxx −Wyy) + η3Wxy,
πxy = πyx = −η1Wxy +1
2η3(Wxx −Wyy),
πxz = πzx = −η2Wxz − η4Wyz,
πyz = πzy = −η2Wyz + η4Wxz.
��
Wik =∂ui∂xk
+∂uk∂xi
− 2
3δik∇ · u.
���������DZ
ηi0 = 0.96niTiτi,
ηi1 =3
10
niTiω2ciτi
, ηi2 = 4ηi1,
ηi1 =1
2
niTiωci
, ηi4 = 2ηi3.
�������(Z = 1)DZ
ηe0 = 0.73neTeτe,
ηe1 = 0.51neTeω2ceτe
, ηe2 = 4ηe1,
ηe1 = −1
2
neTe|ωce|
, ηe4 = 2ηe3.
����������
Re +Ri = 0.
�����������Re ������������ u = ue − ui �������
���������
Re= Ru +RT ,
5.6 ������� 153
����� Z = 1���
Ru = −mene
τe(0.51u� + u⊥) = ene
(j�σ�
+j⊥σ⊥
),
RT = −0.71ne∇�Te −3
2
ne
|ωce|τeb×∇Te.
�� σ��������� �� σ⊥�������� ��j��������
�������j⊥���������� b������
5.6.3 ����
������������ ������������ ��������
������������� ����������������������DZ
3
2nα
(∂Tα∂t
+ uα · ∇Tα)
= −Pα∇ · uα −∇ · qα − παik∂uαi∂xk
+Qα, (5.78)
����DZ
qe = qeu + qe
T ,
��
qeu = neTe
(0.71u� +
3
2
b× u
|ωce|τe
),
qeT =
neTeτeme
(−3.16∇�Te −
4.66
ω2ceτ
2e
∇⊥Te −5
2|ωce|τeb×∇Te
).
����DZ
qi =nTiτimi
(−3.9∇�Ti −
2
ω2ciτ
2i
∇⊥Ti −5
2ωciτib×∇Ti
).
���������������
Qi =3me
mi
n
τe(Te − Ti) ,
������ ������������������
Qe = −Re · u−Qi =j2�
σ�+j2⊥σ⊥
+1
enej ·RT − 3me
mi
n
τe(Te − Ti) .
�������� ������DZ�DZ Braginskii�������� S. I.Braginskii��������������������������������������
154 �����������
5.6.4 ������
������� ����������DZ����������������
������������������������������������
��������������������������������� ���
�������
∇×B =4π
cj,
����������������
∇× E = −1
c
∂B
∂t.
�����������������������������������
���������
Zni ≈ ne.
�������� ������������������������
������
E+1
cui ×B =
1
c
1
enej×B− ∇Pe
ene− ∇ · πe
ene+
Re
ene. (5.79)
����DZ���� ���
5.6.5 ����������
����������������������������������
��������������������������������������
�����������������������������������
∂nα
∂t+∇ · (nαuα) = 0,
nαmα
(∂uα
∂t+ uα · ∇uα
)= eαnα
(E+
1
cuα ×B
)−∇Pα.
����� ���� �DZ������������������� �
�������� �
Pαn−γα =�.
5.7 ��������� 155
���������� γ = 3����������� γ = 1�����������
���������
∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
c
∑α
eαnαuα,
∇×E = −1
c
∂B
∂t,
∇ ·B = 0,
∇ · E = 4π∑α
eαnα.
5.7 ����������
��������������������������������
����������������������������������
��
������� ��������������������������
������������������������������������
������������������������������
ρ = mini +mene ≈ mini,
ρu = miniui +meneue ≈ miniui.
������������������������u = ui���������
��������������
∂
∂t(mini) +∇ · (miniui) = 0.
�∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0.
���������������������
ρ
(∂u
∂t+ u · ∇u
)= (Zni − ne)E+
1
c(Zeniui − eneue)×B−∇(Pe + Pi).
������ ������������Zni ≈ ne����������
��� ��������������DZ�����������������
�����
j = Zeniui − eneue
156 �����������
��������������������
ρ
(∂u
∂t+ u · ∇u
)= −∇P +
1
cj×B,
�� P = Pe + Pi����������
���������� �������������������DZ
∇×B =4π
cj,
∇× E = −1
c
∂B
∂t.
�������� �����
j = σ
(E+
1
cu×B
).
����������������� � ���������
E = −1
cu×B.
�������������
∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0,
ρ
(∂u
∂t+ u · ∇u
)= −∇P +
1
cj×B,
∇×B =4π
cj,
∇× E = −1
c
∂B
∂t,
E = −1
cu×B.
5.8 ��
1. ����(5.5)������(5.7) �����(5.8)�
2. �����(5.5)������(5.7)������(5.11)���(5.14)���
5.8 �� 157
3. �����DZ� �� ��������������������� ��� �
4. ����� ����������������������������������DZ�������������DZP = nT + aT 4/4��
DZs = (1/m) ln(T 3/2/n) + aT 3/nm���TDZ�����nDZ���������
a = 4π2/45�3c3����������
5. � ���������DZP0���DZρ0����������������
DZUs� ������������DZUp�� ��������������
���
��� ��������
������������������������������������
�������������������������������������
�������
6.1 �����
��������������DZ
∂B
∂t= ∇× (u×B) . (6.1)
������������������������������� C�����
������������6.1�����C �������DZ
Φ =
∫S
B · df ,
�� S ����� C ���������������������������
�������DZ����������������������������
������������������������������������
����DZdΦ
dt=
∫S
∂B
∂t· df +
∮B · (u× dl).
������ C �����DZ��� S �������������(6.1)����
dΦ
dt=
∫S
[∂B
∂t−∇× (u×B)
]· df = 0.
�������������������������������������
�������������������������������������
�����������������������
6.1 ����� 159
B
u(r, t)
dl
S
C
� 6.1: ���������������C �����������
����������������������
∇× (a× b) = (b · ∇) a+ (∇ · b) a− (a · ∇)b− (∇ · a)b,
��(6.1)���DZ∂B
∂t= (B · ∇)u− (u · ∇)B− (∇ · u)B.
�����d
dt=
∂
∂t+ u · ∇,
���������������DZ
dB
dt= (B · ∇)u+ (∇ · u)B. (6.2)
����������������DZ
∇ · u = −1
ρ
dρ
dt. (6.3)
�(6.3)���������(6.2)���������
d
dt
(B
ρ
)=
(B
ρ· ∇)u (6.4)
���������������������� ��� δl����������
��������������DZ t������������DZ u��������
�����������������DZu+ δl · ∇u���6.2������� ���� dt�������������������������DZ dt(δl · ∇)u����
δl�����DZdδl
dt= (δl · ∇)u. (6.5)
160 ��������
u + δl · ∇u
u
Bδl
� 6.2: �����������δl����DZ���������������DZ��������
���(6.4)�������� δl��� B/ρ�����������DZ δl�
B/����������������DZDZ��������������
DZ�DZ������������DZ����������������
�����������DZ���DZ������������B/�����
�����������������������������������
��������������������������������������
�����������
�� δl� B/ρ��������������������������
��������������������������������6.2�����������DZ dS0���DZl0��������������������
������������DZ����������������������
� B0dS0 = BdS���DZ�������������DZ��������
������ ρ0l0dS0 = ρldS������
B0
ρ0l0=B
ρl. (6.6)
�������� ρ =const���(6.6)�DZ
B = (B0/l0)l, (6.7)
��������������
6.2 ������ 161
� 6.3: ��
6.2 ������
��������������������������������
����� ������������������������������
����������������������������� ���
�����������DZ����������������������
������ ���������������� ��������
����� ��������������������������
�����������������������DZ��������
6.2.1 ��������
�������������������������DZ
1
cj×B−∇P = 0, (6.8)
�������������������������������
B · ∇P = 0, j · ∇P = 0, (6.9)
������������������DZ�������������� j��
� B�������������������������������
�������������������������������������
��������������
P (x, y, z) = const.
�����
162 ��������
���(6.8)���������B�������������� ���
j⊥ =cB×∇P
B2. (6.10)
���������������������������������
���
�� ����������� ������������ �����
������������������������������DZ−∇P/(ne +
ni)����������������� ne,iDZ�������������
����� ��DZ
ve,iD = − c∇P ×B
(ne + ni)ee,iB2,
�� ee,i����������������DZ����� ���� ���
jD =∑e,i
ne,iee,ive,iD = −c∇P ×B
B2. (6.11)
���������� ������������������������
��������� ������
���������������������������������
� ��������
j =c
4π∇×B = αB,
�� ����� ���������������DZ����������
������������ ����������������������
��������� �������
6.2.2 �������
���������������� u = 0������(??)����
∂
∂xi
[P +
(B2
8πδik −
1
4πBiBk
)]= 0. (6.12)
(6.12)������������������������� ��������� ��������������������������������
��������DZ���DZ�������������������
6.2 ������ 163
�������������������DZ�������������
�(�����������)���
β =P
P +B2/8π. (6.13)
�������� �� β ����������DZ�������
�����������������
������������������������� ������
� ���� � ��������DZ� ��������������
���DZ V ��������DZ
F =1
4π
∫V
∇ · (BB) dV =1
4π
∮S
B (B · df) ,
�� S �����������DZ���������������� V DZ����
��������������������������6.4������
1
4π
∮S
B (B · df) = 1
4π[B2 (B2S2)−B1 (B1S1)] ,
�� B1,2� S1,2��� V �����������������DZ�������
���������������������������B2S2 = B1S1 = ��
�� ������������DZ
Fc =Φ
4π(B2 −B1) .
����� �������DZ��������������6.4���� ��������� ��� ��������������������
���������������������������DZ������� �
���� �������������
6.2.3 ����
������(6.12)������������ �����(6.12)�����DZ
∂Πik/∂xi = 0, (6.14)
�� Πik ���DZ�����������
Πik = Pδik +1
8πB2δik −
1
4πBiBk. (6.15)
164 ��������
B1Φ
B2Φ
B2
B1
dS1 dS2
� 6.4: ��������������������������� ��
������(6.14)�������������
∂
∂xi(Πikxk) = Πii.
������������ S ������ V ����∫V
ΠiidV =
∫V
∂
∂xi(Πikxk) dV =
∮S
Πikxkdfi. (6.16)
�(6.15)��(6.16)����∫V
(3P +
1
8πB2
)dV =
∮S
[(P +
1
8πB2
)r− 1
4π(B · r)B
]· df . (6.17)
�����������������������������������
�� P = 0���������������������������
��������� P = 0���������� 1/r3�����(6.17)����DZ�����������������������������������
�������������������DZ������������
����� ��������������������������������
��(6.17)����������������(6.17)����������
6.2.4 θ−Æ��������
����������� ��DZ����������������
������� �������������� θ−Æ������ z−Æ���������Æ������
����������������������� r������ (er, eθ, ez)�
����DZ4π
cj = −dBz
dreθ +
1
r
d(rBθ)
drez. (6.18)
6.2 ������ 165
B(r)
j
� 6.5: θ−Æ�����������
�(6.18)������(6.8)�������DZ
d
dr
[P +
B2θ +B2
z
8π
]= − B2
θ
4πr. (6.19)
�� θ−Æ������Æ��DZ�Bθ = 0����������Bz = B����
���θ−Æ�����P (r) +
B2(r)
8π=B2
0
8π. (6.20)
�� B0������ �����
�����(6.20)�������������������������� ��������������������������������
�����������������������������������
������������DZ
μα = −W⊥α
Bb,
��W⊥α� α�������� b�����������������MDZ
M =∑
naμα = −b
B
∑α
naW⊥α.
���������������������������������
M = −b
B
∑α
nαT = −b
BP,
166 ��������
�� T ������������������������P =∑
α nαT����
�����������DZ
Bs = 4πM = −4πP
Bb. (6.21)
�������������������������
��(6.21)�� β ����������DZB0����DZBd�����
�
P +(B0 +Bd)
2
8π=B2
0
8π,
����������Bd����
Bd
(1− 1
2
Bd
B0
)=
4πP
B0
.
�� β������Bd/B0 � 1��� Bd ≈ 4πP/B0 = Bs������������
�����
�����������������
js = c∇×M = −c∇×(P
Bb
)= cb×∇
(P
B
), (6.22)
�DZ����������� z �����∇× b = 0�����������
���������������� ���� θ−Æ������������������� ����� ����������
Vα∇B =
cW⊥α
eαB2b×∇B,
������ ���� ��DZ
jd =∑α
eαnaVα∇B =
c
B2b×∇B
∑α
nαW⊥α.
���������������������������
jd =cP
B2b×∇B. (6.23)
�(6.22)�(6.23)�����
j = cb× ∇PB
=cB×∇P
B2.
����������������DZ������������ ���
6.2 ������ 167
j(r)
B
� 6.6: z−Æ�����������
6.2.5 Z−Æ��������
��Z−Æ���������DZ�Bz = 0���Æ��Bθ = B���6.6��� ���(6.19)�����DZ
dP (r)
dr= − B
4πr
d(rB)
dr. (6.24)
�������� r2��� r� r = 0����������� r = a��
(r2P )r=a − 2
∫ a
0
rPdr = − 1
8π(rB)2r=a.
�������� �DZ����
2
∫ a
0
rPdr =1
8π(rB)2r=a. (6.25)
����������(6.18)��
4π
cj =
1
r
d
dr(rB),
�������� r��� r� r = 0�����������r = a��
(rB)r=a =4π
c
∫ a
0
rj(r)dr. (6.26)
��(6.26)���������������
I0 = 2π
∫ a
0
rj(r)dr. (6.27)
168 ��������
����(6.25)�(6.26)�(6.27)����
2
∫ a
0
rPdr =I20
2πc2. (6.28)
�����
〈P 〉 = 1
πa2
∫ a
0
2πrPdr,
����(6.28)����DZI20 = 2πa2c2〈P 〉.
�������DZ� Z−Æ����������������������������������������
��������������������
P = ne(r)T + ni(r)T = ne(r)T (1 + 1/Z),
�� Z �������� ne,i����������������
I20 = 4πc2T (1 + 1/Z)
∫ a
0
ne(r)rdr = 2c2T (1 + 1/Z)Ne, (6.29)
�� Ne = 2π∫ a
0nerdr��������
6.2.6 Grad-Shafrnov��
����������������������������������
�Æ�� ������������� (R, φ, z)��Æ�� �����DZ
Ψ(R, z) =
∫ R
0
2πR′Bz(R′, z)dR′, (6.30)
�� Bz ���� z����������Bz ����DZ
Bz =1
2πR
∂Ψ
∂R. (6.31)
BRDZ����� �Ψ�� �����∇ ·B = 0������� ��
1
R
∂
∂R(RBR) +
∂Bz
∂z= 0.
��(6.31)������
BR = − 1
2πR
∂Ψ
∂z. (6.32)
6.2 ������ 169
����(6.31)�(6.32)������������������ �����
B · ∇Ψ = 0. (6.33)
�������������Ψ =���������DZ���Ψ��Æ���
��� � ������������� �����DZ
I(R, z) =
∫ R
0
2πR′jz(R′, z)dR′. (6.34)
���������
jz =1
2πR
∂I
∂R. (6.35)
�������������������������������∇ · j = 0��
������(6.35)���DZ�� jR��DZ I � ��
jR = − 1
2πR
∂I
∂z. (6.36)
�������������� I =������DZ
j · ∇I = 0. (6.37)
����������������DZ���������DZ
jR = − c
4π
∂Bφ
∂z, (6.38a)
jφ =c
4π
(∂BR
∂z− ∂Bz
∂R
)(6.38b)
jz =c
4πR
∂
∂R(RBφ) . (6.38c)
�(6.31)�(6.32)��(6.38b)����������DZ� ��
jφ = − c
8π2R
[∂2Ψ
∂R2− 1
R
∂Ψ
∂R+∂2Ψ
∂z2
]. (6.39)
���(6.38c)����� 2πR�� R�����������Bφ ����DZ I �
��
Bφ =2I
cR. (6.40)
�������������������DZ� I � �����������
jR = − 1
2πR
∂I
∂z, jφ = − c
8π2RΔΨ, jz =
1
2πR
∂I
∂R, (6.41)
170 ��������
BR = − 1
2πR
∂Ψ
∂z, Bφ =
2I
cR, Bz =
1
2πR
∂Ψ
∂R, (6.42)
��
Δ∗Ψ ≡ ∂2Ψ
∂R2− 1
R
∂Ψ
∂R+∂2Ψ
∂z2.
�� �������������B��� j����������
B · ∇P = 0, j · ∇P = 0.
�(6.35)�(6.36)����������� j · ∇P = 0��
jR∂P
∂R+ jz
∂P
∂z=
1
2πR
(−∂I∂z
∂P
∂R+∂I
∂R
∂P
∂z
)= 0.
��
∇I ×∇P = eφ
(∂I
∂z
∂P
∂R− ∂I
∂R
∂P
∂z
)= 0.
������∇Ψ×∇P = 0��������
∇Ψ ‖ ∇P, ∇I ‖ ∇P. (6.43)
�����������DZ���� �������� ����� P� � I
��������������������������� P ����
� � I ��DZÆ�� �Ψ� ��
P = P (Ψ), I = I(Ψ). (6.44)
�������������������(6.8)�����DZ
jφBz − jzBφ = c∂P
∂R, (6.45a)
jRBφ − jφBR = c∂P
∂z, (6.45b)
jzBR = jRBz. (6.45c)
�DZ�� B��� j��� P �����DZ Ψ� ��������(6.45)������DZ��Æ�� �Ψ�������(6.39)�(6.40)������(6.45a)��� I
� P �� � ���������������
Δ∗Ψ+8π2
c2dI2
dΨ+ 16π3R2dP
dΨ= 0. (6.46)
6.3 ����������� 171
����� Grad-Shafranov�������� ���������������������� jφBz�� ���Æ��������������
��� �������� jzBφ��Æ��� ������������
����� ������������
Grad-Shafranov ������� Ψ �������������� Grad-Shafranov �� ���������� Grad-Shafranov �����������I � P ���� Ψ� ���6.7�������� ������� �������� ���
� 6.7: ���������� �������� ������
6.3 �����������
���������������������������������
������ ����������������� �������
��������������������� �������������� �
��������������������������������DZ
��������������������������������
�������������� ��������������������
����������
6.3.1 ��������
����� ������� ����������� ������
172 ��������
������������ �������������������������
�������������������������������������
��������� �����������������
�������������������
∂ρ1∂t
= −∇ · (ρ0u), (6.47a)
ρ0∂u
∂t= −∇P1 +
1
4π[(∇×B0)×B1 + (∇×B1)×B0] , (6.47b)
∂B1
∂t= ∇× (u×B0), (6.47c)
∂P1
∂t= −u · ∇P0 − γP0∇ · u, (6.47d)
�� γ = cp/cv ���������������������� r0����
��� � ��DZ ξ(r0, t)����������������������
����������DZ
u(r, t) =∂
∂tξ(r0, t), (6.48)
�� r = r0 + ξ(r0, t)������(6.48)���������(6.47a)�������(6.47c)����(6.47d)�����������������������������DZ � ξ� ��
ρ1 = −∇ · (ρ0ξ), (6.49a)
B1 = ∇× (ξ ×B0), (6.49b)
P1 = −ξ · ∇P0 − γP0∇ · ξ. (6.49c)
���(6.49)��(6.47b)���������� ����
ρ0∂2ξ
∂t2= ∇ (ξ · ∇P0 + γP0∇ · ξ) + 1
4π(∇×B0)× [∇× (ξ ×B0)]
+1
4π{∇ × [∇× (ξ ×B0)]} ×B0. (6.50)
����
�������(6.50) ������ ����������������������� �������������������������
������������ S0DZ������������ ���������
� ��������������������� �����������
6.3 ����������� 173
� S0DZ ����������B0 · ∇P0 = 0��������������
�DZ�� S0���DZ n0��������(6.12)�����n0��
n0 · ∇(P0 +
B20
8π
)=
1
4πn0· (B0 · ∇)B0. (6.51)
�� (B0 · ∇)B0�����������������������(6.51)������������(6.51)�� ���������������
P0 +B2
i0
8π=B2
e0
8π,
�� Bi0� Be0��� ���������������������������
��������������
��������������������� ������� �
S1�DZ������
P0 + P1 +1
8π(Bi0 +Bi1)
2 =1
8π(Be0 +Be1)
2 . (6.52)
���������������� ��������
r = r0 + ξnn0,
�� r0����� � S0����� n0���� ���� ξn = ξ · n0�����
�������������
P0(r) = P0(r0) + (ξ · ∇)P0(r0),
P1(r) = −(ξ · ∇)P0(r0)− γP0(r0)∇ · ξ,
[Bi0(r) +Bi1(r)]2 = B2
i0(r0) + (ξ · ∇)B2i0(r0) + 2Bi0(r0) ·Bi1(r0)
[Be0(r) +Be1(r)]2 = B2
e0(r0) + (ξ · ∇)B2e0(r0) + 2Be0(r0) ·Be1(r0)
��� �����(6.52)����
−γP0∇ · ξ +1
4πBi0 ·Bi1 +
1
8πξn∂B2
i0
∂n=
1
4πBe0 ·Be1 +
1
8πξn∂B2
e0
∂n, (6.53)
������������� � S0��
���� ��������������������� �����
�����
n ·Be = n ·Bi,
174 ��������
��������� ������ �� S ��
d
dt
∫S
Be · df =d
dt
∫S
Bi · df .
��������������������DZ������
∫S
[∂Be
∂t−∇× (u×Be)
]· df = 0.
� S ��������
n · ∂Be
∂t= n · ∇ × (u×Be).
�������������� �����DZ
n0 ·Be1 = n0 · ∇ × (ξ ×Be0) (6.54)
�������
�������������������������
∇×Be1 = 0. (6.55)
���������� � ψ�����
Be1 = ∇ψ. (6.56)
����(6.55)��������DZ∇ ·B1e = 0��������
∇2ψ = 0. (6.57)
��������� ����(6.54)��
n0 · ∇ψ = n0 · ∇ × (ξ ×Be0). (6.58)
�������� ����
n0 · ∇ψ = 0. (6.59)
6.3 ����������� 175
�����
����������������DZ����� ���������
������������������������������������DZ
exp(−iωt)������ ξ������������
ξ(r, t) =∑n
ξn(r)e−iωnt.
����������
−ω2nρ0ξn(r) = F[ξn(r)].
��������DZ���� ����Æ����� ωn ��Æ�� ξn ��
ωn����Æ����Æ� ω2n > 0���� ������������� �
������Æ� ω2n < 0���� �������������� ������
6.3.2 �������������
����������������������������������
��DZ a����������������DZ
B0i = (0, 0, B0), B0e = (0, Bφ(r), Bz),
�� B0 � Bz ���� Bφ(r)����������������Æ���
��������DZ I�����DZ
Bφ(r) =2I
cr.
������������������� ����������������
�DZ P0�DZ���������������DZ�����
����������������������(6.47b) ���DZ������������∇×B0 = 0����
ρ0∂2ξ
∂t2= −∇P1 +
1
4π(∇×B1i)×B0i. (6.60)
DZ����������������������∇ · ξ = 0������DZ
P1 = −(ξ · ∇)P0 − γP0∇ · ξ = 0,
176 ��������
�������������������������������DZ
B1i = ∇× (ξ ×B0i) = (Bi0 · ∇)ξ = B0∂ξ
∂z.
��� �� ������
ξ(r, t) = ξ(r) exp (imφ+ ikz − iωt) , (6.61)
���������DZ
Bi1 = ikB0ξ.
������(6.60)�DZ
−ω2ρ0ξ =ikB0
4π(∇× ξ)×B0i. (6.62)
��(6.62)������������������
B0i · ∇2ξ = 0, (6.63)
��
∇2ξz = 0. (6.64)
��� ���(6.61)����(6.64)��������������[d2
dr2+
1
r
d
dr−(k2 +
m2
r2
)]ξz(r) = 0, (6.65)
��(6.65)������ ��1�������������������
� Im(x) � Km(x) ������ Im(x) � x = 0 ���� x 1�����
Im(x) ∼ exp(x)/√2πx�Km(x)� x = 0������
K0(x) ∼ ln2
γx, Km(x) ∼
(n− 1)!
2
(x2
)−m
,
x 1�����Km(x) ∼√π/2x exp(−x)����������������
�������������(6.65)����DZ
ξz(r) = ξz(a)Im(kr)
Im(ka). (6.66)
1�����DZ [d2
dr2+
1r
d
dr+(
1 − m2
r2
)]f(r) = 0.
6.3 ����������� 177
����(6.62)����DZ
−ω2ρ0ξr = ikB2
0
4π(∇× ξ)φ. (6.67)
��
(∇× ξ)φ =∂ξr∂z
− ∂ξz∂r
= ikξr − kξz(a)I ′m(kr)Im(ka)
,
����(6.67)������������� �
ξr(r) = − ik2(B20/4π)ξz(a)
k2(B20/4π)− ρ0ω2
I ′m(kr)Im(ka)
. (6.68)
���������������� �ψDZ������
ψ(r, t) = ψ(r) exp (imφ + ikz − iωt) .
�� ψ(r)��� ξz(r)�����
[d2
dr2+
1
r
d
dr−(k2 +
m2
r2
)]ψ(r) = 0.
����������������� �
ψ(r) = ψ(a)Km(kr)
Km(ka). (6.69)
�� ��������������DZ���������� ���
����� �������(6.53)��
1
4πBi0(a) ·Bi1(a) =
1
4πBe0(a) ·Be1(a) +
1
8πξr(a)
∂B20e
∂r
∣∣∣∣r=a
.
������������∝ 1/r�������� ��
∂
∂rB2
e0(r)
∣∣∣∣r=a
= −2B2
φ(a)
a.
�
Be0(a) ·Be1(a) = [Bez +Bφ] · ∇ψ = i[kBz +
m
aBφ
]ψ(a),
Bi0(a) ·Bi1(a) = ikB20ξz(a),
���ikB2
0
4πξz(a) =
i
4π
[kBz +
m
aBφ(a)
]ψ(a)− 1
4πaξr(a)B
2φ(a). (6.70)
178 ��������
���� ��(6.58)� ����������
n0 ·Be1 = er · ∇ψ = kψ(a)K ′
m(ka)
Km(ka),
n0 · [∇× (ξ ×Be0)] = er · ∇ × [(ξφBz − ξzBφ)er − ξrBzeφ + ξrBφez]
= i(kBz +
m
aBφ
)ξr(a).
�����
i(kBz +
m
aBφ
)ξr(a) = kψ(a)
K ′m(ka)
Km(ka)(6.71)
��� ���(6.70)�(6.71)���� �� ξz(a)� ψ(a)��������
������������������DZ��������������
4πρ0ω2
k2= B2
0 −[Bz +
m
kaBφ(a)
]2 I ′m(ka)Km(ka)
Im(ka)K ′m(ka)
−B2φ(a)
I ′m(ka)(ka)Im(ka)
. (6.72)
�� ω2 > 0����������
����(6.72)������������������DZ������������������������(�DZ I ′m/Im > 0�K ′
m/Km < 0)�DZ������� k · B0e = kBz + (m/a)Bφ = 0��DZ����������������DZ
�����������������������������DZ������
���������������������������������
�������
�����������������(6.72)��������������Bz = 0�m = 0��������(6.72)�DZ
ω2 =B2
0k2
4πρ0
[1−
B2φ(a)
B20
I ′0(ka)(ka)I0(ka)
]. (6.73)
������� �����
I ′0(x)xI0(x)
� 1/2,
���(6.54)����
ω2 � B20k
2
4πρ0
[1−
B2φ(a)
2B20
].
������
B20 >
1
2B2
φ(a) =2I2
c2a2, (6.74)
6.3 ����������� 179
� 6.8: �������������������������
�����������������������������6.8� �����������
������Bz = 0�m = 1�������� �����
Kn−1(x)−Kn+1(x) = −2n
xKn(x),
Kn−1(x) +Kn+1(x) = −2K ′n(x),
����(6.72)�DZ
ω2 =B2
0k2
4πρ0
[1 +
B2φ
B20
I ′1(ka)K0(ka)
(ka)I1(ka)K ′1(ka)
]. (6.75)
��K0(ka)/K1(ka) < 0������������������� ka→ 0�����
�� ���� I1(x) ≈ (x/2)�K0(x) ≈ ln(2/γx)�K1(x) ≈ 1/x����
ω2 =B2
0k2
4πρ0
(1−
B2φ
B20
ln2
γka
). (6.76)
���������������������������DZ�������DZ��
� m = 1����������������������������� �
�����������DZ������������������������
���
180 ��������
� 6.9: ������(kink instability).
������ Bz �= 0�������������������� ka � 1��
�� I ′m(x)/Im(x) ≈ m/x�K ′m(x)/Km(x) ≈ −m/x�������(6.72)����
4πρ0ω2 = k2B2
0 +(kBz +
m
aBφ
)2− m
a2B2
φ. (6.77)
�����
ω2 � ω2min =
B2φ
4πρ0a2
(m2B2
0
B2z +B2
0
−m
). (6.78)
���DZ ka = −mBzBφ/(B2z + B2
0)��� ω2����� ω2min���������
�������
P0 +B2
0
8π=B2
z +B2φ(a)
8π,
����������������Æ���Bz Bφ(a)���������
β = P0/[(B2z +B2
φ)/8π] ≈ P0/(B2z/8π)��������� ω2
min��DZ�����
ω2min =
B2φ
4πρ0a2m
(1− β
2− βm− 1
), (6.79)
��� ���� β ������� m = 1�m = 2�������������
�� Bz/Bφ�������������m = 1�m = 2������������
�����������������������������������
���� L�����������DZ kmin = 2π/L�����m = 1�������
6.3 ����������� 181
������(6.77)DZ
4πρ0ω2 = k2min(B
20 +B2
z ) + 2kmin
aBzBφ.
�������Æ��� Bz Bφ�������� β ����������
�� B0 ≈ Bz���DZ����� ω2 > 0� ��
Bφ
Bz
< kmina =2πa
L. (6.80)
������ Kruskal-Shafranov�������������������������� ���
6.3.3 ��—������
�������������������—���������������DZ
B0(z) = (Bx(z), By(z), 0),
�����DZ
g = (0, 0,−g).
��� x− y������
u(r, t) = u(z) exp(ikxx+ ikyy − iωt).
��������������
∇ · u = ik · u+duzdz
= 0,
���� k = (kx, ky, 0)�
������������DZ
ρ0∂u
∂t= −∇
(P1 +
1
4πB0 ·B1
)+
1
4π(B0 · ∇B1 +B1 · ∇B0) + ρ1g, (6.81)
�����������DZ
∂P1
∂t= −u · ∇P0 = −uzP ′
0,
∂B1
∂t= B0 · ∇u− u · ∇B0 = i(k ·B0)u− uzB
′0,
∂ρ1∂t
= −u · ∇ρ0 = −uzρ′0,
182 ��������
���(6.81)����������������������
−ρ0ω2u = k
[iuzP
′0 +
1
4π(k ·B0)(B0 · u) +
i
4πuz(B0 ·B′
0)
]− 1
4π(k ·B0)
2u
+ ez
[(uzP
′0)
′ − i
4π[(k ·B0)(B0 · u)]′ +
1
4π[uz(B0 ·B′
0)]′ + uzρ
′0g
](6.82)
������� k��
−[ρ0ω
2 − (k ·B0)2/4π
](k · u) = k2
[iuzP
′0 +
1
4π(k ·B0)(B0 · u) +
i
4πuz(B0 ·B′
0)
].
������� k · u����
−iuz[ρ0ω
2 − (k ·B0)2/4π
]= k2
[iuzP
′0 +
1
4π(k ·B0)(B0 · u) +
i
4πuz(B0 ·B′
0)
],
����
1
4π(k ·B0)(B0 · u) = −iuz
k2[ρ0ω
2 − (k ·B0)2/4π
]− iuzP
′0 −
i
4πuz(B0 ·B′
0).
�����������(6.82)� z−����������� uz ������
d
dz
[(ρ0ω
2 − (k ·B0)2
4π
)duzdz
]− k2
(ρ0ω
2 − (k ·B0)2
4π
)uz − k2g
dρ0dz
uz = 0. (6.83)
�������� �������������������(6.83)�DZ
u′′z − k2uz = 0,
����������� ��������� ���DZ
uz =
{uz(0)e
−kz, z > 0
uz(0)ekz, z < 0
. (6.84)
�(6.84)����(6.83)��� z� z = 0−� z = 0+����
−k[(ρ1 + ρ2)ω
2 − (k ·B0)2
2π
]uz(0)− k2g(ρ1 − ρ2)uz(0) = 0.
��������
ω2 = −kg(ρ1 − ρ2)
ρ1 + ρ2+
(k ·B0)2
2π(ρ1 + ρ2). (6.85)
� k ·B0 �= 0�����������
6.4 �������� 183
6.4 ��������
�����������������������������������
����������������������DZ
Q = Q0 +Q1ei(k·r−ωt),
�� Q1 ������ Q0����� k� ω���������������
���������DZ���������������DZ�������DZ�
�������������
Q1/Q0 � 1.
�����DZ�����������������������������
�����
∂ρ1∂t
= −ρ0∇ · u, (6.86a)
ρ0∂u1
∂t= −∇P1 +
1
cj1 ×B0, (6.86b)
P1ρ0 = γP0ρ1, (6.86c)∂B1
∂t= ∇× (u×B0), (6.86d)
���������∂
∂t= −iω, ∇ = ik,
��������������DZ�������
ωρ1 = ρ0k · u, (6.87a)
ωρ0u1 = kP1 +i
cj1 ×B0, (6.87b)
P1ρ0 = γP0ρ1, (6.87c)
ωB1 = −k× (u×B0) (6.87d)
���������DZ
j1 = ic
4πk×B1, (6.88)
����(6.87c)��(6.87b)����
ωu1 = kc2s(ρ1/ρ0) +1
4πρ0B0 × (k×B1),
184 ��������
z
y
x k
B0θ
� 6.10: �����������
�� c2s = (∂P/∂ρ)s = γP0/ρ0������������������������
�����������
ωB1 = −k× (u×B0), (6.89a)
ωρ1 = ρ0k · u, (6.89b)
ωu = kc2s(ρ1/ρ0) +B0 × (k×B1)/4πρ0. (6.89c)
�(6.89a)���������������(6.10)���������DZ x−���� k��� B0�����DZ x− y�����(6.89a)�����DZ
ωB1y = −kB0xuy + kB0yux,
ωB1z = −(k ·B0)uz.
�(6.89b)��(6.89c)�����������
ux = k2c2sux/ω2 − kB0yB1y/4πωρ0,
uy = −kB0xB1y/4πωρ0,
uz = −(k ·B0)B1z
4πωρ0.
��������DZ����������������
uz = −(k ·B0)B1z
4πωρ0, B1z = − 1
ω(k ·B0)uz; (6.90)
6.4 �������� 185
ωB1y = −kB0xuy + kB0yux, (6.91a)
ux = k2c2sux/ω2 + kB0yB1y/4πωρ0, (6.91b)
uy = −kB0xB1y/4πωρ0. (6.91c)
�������(6.90)����
ω2 =(k ·B0)
2
4πρ0. (6.92)
��� k��������ÆDZ θ����
ω2 = k2v2A cos2 θ, (6.93)
�� vA =√B2
0/4πρ0 �� �������� ����E = u× B/c� �
������DZ�
E =1
cuzB0 (sin θex − cos θey) .
������ �������������DZ��������� �����
�������
�� �����������������������������
������� ��������������� ρ1 = 0� �������
DZ������������������������������
−∇B2
8π≈ − 1
8π∇(B2
0 + 2B0 ·B1) = 0.
��� ����
1
4πB · ∇B ≈ 1
4π
(B0x
∂
∂x+B0y
∂
∂y
)Bz1ez =
i
4πkB0xB1z.
������������� θ = 0���
ω2 = k2v2A.
�� ������� ��� vA =√B0/4πρ0 ������� �DZ B2
0/4π�
���DZ ρ0��� ������� θ = 0������� y−��������������������������������� ���������
� z−������������������������� y−�������
186 ��������
B = B0ex + B1ez
uz = −cEy/B0
� 6.11: ���������������� ��������DZ���� ������� ������ ��������������������
������������� ����� y−���������������� z−��������������(6.91)�����������
ω2
k2=
B20x
4πρ0+
B20y
4πρ0(1− k2c2s/ω2). (6.94)
����������
(ω/k)2f,s =1
2
{v2A + c2s ±
[(v2A + c2s
)2 − 4c2sv2A cos2 θ
]1/2}. (6.95)
����DZ��������������������������������
����������DZ�������DZ����������������
������������DZ
− 1
8π∇B2 = − 1
4π∇(B0 ·B1) = − ik
4πB0yB1yex,
� �DZ
1
4πB · ∇B =
1
4π
(B0x
∂
∂x+B0y
∂
∂y
)(B1yey)
=ik
4πB0xB1yey.
���������(θ = 0)��
(ω/k)2f = max(v2A, c2s), (ω/k)
2f = min(v2A, c
2s),
���������DZ ����������DZ ����DZ��������
�����
ux = k2c2sux/ω2,
uy = −kB0B1y/4πωρ0, ωB1y = −kB0uy,
6.5 ������� 187
���������DZ���������������������������
����������������������� ����������
����DZ ����������DZ ���
�����������(θ = π/2)����������DZ
(ω/k)2f = v2A + c2s, (ω/k)2s = 0.
�����������DZ
ωB1y = kB0ux,
ux = k2c2sux/ω2 + kB0B1y/4πωρ0,
uy = 0.
��� ����������������������������
��������������
6.5 �������
� ������������DZ �������������������
�������������������������(�������������)������������������������������������ ��������� ��DZ�������������
�����������������������������������
�����������������������
6.5.1 ����
����������DZ
∂ρ
∂t= −∂(ρuk)
∂xk,
∂(ρui)
∂t= − ∂
∂xk(Pδik + ρuiuk + δikB
2/8π − BiBk/4π),
∂
∂t(ρu2/2 + ρε+ B2/8π) = − ∂
∂xk[(ρu2/2 + ρε+ P )uk + ukB
2/4π − Bk(B · u)/4π].
����� �����������������������������
��
[ρun]1 = [ρun]0 = j, (6.96)
188 ��������
[(u2/2 + ε+ P/ρ)ρun + un(B2 − B2
n)/4π −Bn(Bt · ut)/4π]1
= [(u2/2 + ε+ P/ρ)ρun + un(B2 −B2
n)/4π − Bn(Bt · ut)/4π]0, (6.97)
[P + ρu2n + (B2t − B2
n)/8π]1 = [P + ρu2n + (B2t − B2
n)/8π]0, (6.98)
[ρunut − BnBt/4π]1 = [ρunut − BnBt/4π]0 (6.99)
�� n ������������ t��������������������
∇ ·B = 0����������������
[Bn]1 = [Bn]0 = Bn. (6.100)
������������DZ��������������E = −u × B/c�
������
[Bnut −Btun]1 = [Bnut −Btun]0. (6.101)
��(6.96)�(6.100)���(6.99)���DZ
(Bt1 −Bt0) =4π
Bn
j(ut1 − ut0). (6.102)
��(6.101)���DZ(V1Bt1 − V0Bt0) = (Bn/j)(ut1 − ut0), (6.103)
�� V = 1/ρ�����������(6.102)�(6.103)�������Bt1 −Bt0��
� V1Bt1 − V0Bt0������������ ��Bt1�Bt0�������B1�B0
� �����������
���(6.102)�(6.103)��������
j2(V1Bt1 − V0Bt0) =B2
n
4π(Bt1 − Bt0). (6.104)
���(6.97)��DZ
j(h1 − h0) +1
2j3(V 2
1 − V 20 ) +
1
2j(u2t1 − u2t0) +
j
4π(V1B
2t1 − V0B
2t0)
=Bn
4π(Bt1 · ut1 −Bt0 · ut0),
��������� (j/2)(u2t1 − u2t0)− (B2n/32π
2j)(B2t1 − B2
t0)��
j(h1 − h0) +1
2j3(V 2
1 − V 20 ) +
j
4π(V1B
2t1 − V0B
2t0)−
B2n
32π2j(B2
t1 − B2t0)
= −1
2j
[(ut1 −
Bn
4πjBt1
)2
−(ut0 −
Bn
4πjBt0
)2].
6.5 ������� 189
���(6.102) ����DZ������
(h1 − h0) +1
2j2(V 2
1 − V 20 ) +
1
4π(V1B
2t1 − V0B
2t0)−
B2n
32π2j2(B2
t1 − B2t0) = 0. (6.105)
��(6.98)������������ ��� ��
j2 =P1 − P0 + (B2
t1 − B2t0)/8π
V0 − V1(6.106)
������(6.105)��������������������������
ε1 − ε0 =1
2(P1 + P0)(V0 − V1) +
1
16π(V0 − V1)(Bt1 −Bt0)
2. (6.107)
���������� ����
6.5.2 ����
������������������DZ�������Bt = 0� ut1 = 0�
����������������DZ�
[ρu]1 = [ρu]0 = j,
[P + ρu2]1 = [P + ρu2]0,
[(u2/2 + ε+ p/ρ)ρu]1 = [(u2/2 + ε+ p/ρ)ρu]0,
������� ��������������
6.5.3 ����
������������������DZ�������Bn = 0� Bt1� Bt0
�������DZ
[ρu]1 = [ρu]0 = j,
[(u2/2 + ε+ P/ρ)ρu+ uB2/4π]1 = [(u2/2 + ε+ P/ρ)ρu+ uB2/4π]0,
[P + ρu2 +B2/8π]1 = [P + ρu2 +B2/8π]0,
������������������DZ
[(u2/2 + ε+ P/ρ) +B2/4πρ]1 = [(u2/2 + ε+ P/ρ)ρu+B2/4πρ]0.
190 ��������
�
r =ρ1ρ0,
��u1u0
=ρ0ρ1
=1
r,
������(6.101)��������������
[Bu]1 = [Bu]0,
��B1
B0=u0u1
= r.
���DZ����������DZ
ε =PV
γ − 1=
P
(γ − 1)ρ,
�����M�
M =u0cs,
�� c2s = (∂P/∂ρ)s = γP0/ρ0�����������������������
�M2
2(1− 1/r2) =
1
γ − 1(R/r − 1) + (r − 1)
v2Ac2s, (6.108)
�� R = P1/P0������������������������
M2(1− 1/r) =1
γ(R− 1) +
1
2(r2 − 1)
v2Ac2s
(6.109)
��������R���������
r2 − rM2(γ − 1) + 2 + γv2A/c
2s
(γ − 2)(v2A/c2s)
+γ + 1
γ − 2
M2
(v2A/c2s)
= 0. (6.110)
�����������DZ
r1r2 =γ + 1
γ − 2
M2
(v2A/c2s).
� γ < 2�� �����DZ��������������������� �
�r > 1���
γ + 1
2− γ
M2
(v2A/c2s)
= r2 + rM(γ − 1) + 2 + γv2A/c
2s
(2− γ)(v2A/c2s)
> 1 +M2(γ − 1) + 2 + γv2A/c
2s
(2− γ)(v2A/c2s)
6.5 ������� 191
shock front
D
B1 B0
� 6.12: ������������������������������(c2s +
v2A)1/2��
�����
M2
(v2A/c2s)> 1 +
1
(v2A/c2s),
�
u20 > v2A + c2s. (6.111)
�� ��������������������� (v2A + c2s)1/2���(6.111)���
��������������������
6.5.4 ���
�����������Æ�� 0� π/2������������DZ����
���������� u��� B���������������DZ�
�������������������������
u0 ×B0 = 0.
192 ��������
��������DZ x−�����DZ y−�����
u0y = u0xB0y/Bx.
�� B0x = B1x = Bx��������������DZ�
u1y = u1xB1y/Bx.
��������DZu1yu0y
=u1xu0x
B1y
B0y=
1
r
B1y
B0y. (6.112)
��������(6.99)����
u1yu0y
− 1 =v2Au20
(B1y
B0y
− 1
), (6.113)
�� v2A = B20/4πρ0 �������� �����(6.112)��(6.113)���
B1y/B0y��u1yu0y
=u20 − v2Au20 − rv2a
=1
r
B1y
B0y
, (6.114)
������������������������(6.97)���������
ρ1u1x
(u212
+γ
γ − 1
P1
ρ1
)= ρ0u0x
(u202
+γ
γ − 1
P0
ρ0
),
���
P2
P1= r +
(γ − 1)ru202c2s
(1− u21
u20
)
= r + r(γ − 1)
2
u20c2s
[1− cos2 θ
r2− sin2 θ
(u20 − v2Au20 − rv2a
)2]. (6.115)
���(6.114)�B1y
B0y= 1 +
(r − 1)u20(u20 − rv2A)
,
��� u20 > rv2A > v2A��� B1y > B0y��� B1x = B0x����������
B1 > B0�������������������������(6.114)DZ����DZ
B1y
B0y
=1
1 + (r − 1)u20/r(v2A − u20)
,
��� u20 < v2A < rv2A���� B1y < B0y��������������������
������������� u20 = rv2A� � B0y = 0� u20 = v2A� � B1y = 0��
��������DZswitch on�switch off����������� �����
6.5 ������� 193
� 6.13: �������switch on�switch off��������
��
1. ����� �������������� �
Tik =
(P +
B2
8π
)δik −
BiBk
4π
��DZ����
⎛⎜⎜⎝
P +B2/8π 0 0
0 P +B2/8π 0
0 0 P − B2/8π
⎞⎟⎟⎠ .
2. ������DZ104G�������������β = 1%������
DZn = 1018m−3���DZ105eV������ ���������
3. �����n = 7 × 1021m−3����DZ������DZ1keV�10keV������ �������
4. ��DZ0.1m������1016������ ���������
�DZ107K�
194 ��������
5. �����������
(B · ∇)j = (j · ∇)B, ∇ · (B×∇p) = 0.
6. 2 × 106A������DZ1m��������������������DZn =
1020m−3���DZT = 10keV���������� ��������(1) ���(2)j×B��
7. ������������������
∇×B = αB,
��α����� ���αDZ����B��Helmholtz��
(∇2 + α2)B = 0.
8. �� �Ψ/Ψ0 =
1
2
(bR2
0 +R2)z2 +
1
8(a− 1)(R2 − R2
0)2,
dP
dΨ= − a
16π3Ψ0,
dI2
dΨ= − c2
8π2bR2
0Ψ0
��Grad–Shafranov�����a�b�R0���Ψ =const���������������DZ������R = R0�z = 0���������� ����
�������������
9. �����������������DZb����������������(6.72)�DZ
4πρ0ω2
k2= B2
0 −[Bz +
m
kaBθ(a)
]2 I ′m(ka)Im(ka)
[Km(ka)I
′m(kb)− Im(ka)K
′m(kb)
K ′m(ka)I
′m(kb)− I ′m(ka)K ′
m(kb)
]
− B2θ(a)
ka
I ′m(ka)Im(ka)
.
[����������� �������DZ0��∂ψ/∂r|r=b = 0�]
10. ��������������������
11. � �DZ����������DZ
ε =1
γ − 1
P
ρ.
�����������u20/c2s > 1���������P1/P0 → ∞������
���DZρ1/ρ0 = (γ + 1)/(γ − 1)���c2s�������������
��� ���������
�����������������������������������
���DZ���������������������������������
����������DZ��������������������������
�������������������DZ������������������
�����DZ������������������������������
�����
7.1 ����
7.1.1 ���
�������������������
∇×E = −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0, (7.1a)
∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
cj, ∇ · E = 4πρ. (7.1b)
�� ���� j�������� E� B����������������
������������������������������DZ������
���������������������
�����������������������������������
�� j(t, r)�����������DZ
j(t, r) =
⟨∑α
eαvαδ(r− rα)
⟩, (7.2)
�� vα������������ eα �������� δ(r)����δ−��� 〈· · · 〉��������������������������������������
196 ���������
������������dvα
dt=
eαmα
E(t, r), (7.3)
������������������������������������
���������
vα(t) =eαmα
∫ t
E[t′, r(t′)]dt′. (7.4)
��(7.4)���������DZ t�����������������������
���������������������
�������(7.4)����(7.2)���������������������������DZ���������������������������
��������DZ�������������������������DZ
������������������������������DZ���
j(r, t) = σE(r, t).
�����������������������������������
�������������������DZ�������
ji(r, t) =
∫ ∫ t
−∞Sik(r, r
′, t, t′)Ek(r′, t′)dt′d3r′, (7.5)
�� ji ����� i���� Ek ����� k������� Sik ��������
�������������������DZ����������������
������������ Sik(r, r′, t, t′)��������� r − r′��������
� t− t′�� r− r′ = ρ� t− t′ = τ���(7.5)����DZ
ji(r, t) =
∫ ∞
0
∫Sik(ρ,τ)Ej(r− ρ, t− τ)d3ρdτ. (7.6)
����DZ��� Sik(ρ,τ)��������������
��������������������DZ��������������
�DZ��� Sik ��������������������������DZ�
���������������� j� E��DZ����������
j(r, t) =
∫j(k, ω)ei(k·r−ωt)dωd
3k
(2π)4, j(k, ω) =
∫j(r, t)ei(ωt−k·r)dtd3r,
E(r, t) =
∫E(k, ω)ei(k·r−ωt)dωd
3k
(2π)4, E(k, ω) =
∫E(r, t)ei(ωt−k·r)dtd3r,
7.1 ���� 197
�� j(k, ω)� E(k, ω)��������������������������
��������DZ
ji(k, ω) = σik(k, ω)Ek(k, ω), (7.7)
�� σik(k, ω)������������ Sik(ρ,τ)��
σik(k, ω) =
∫ ∞
0
∫Sik(ρ, τ)e
i(ωτ−k·ρ)d3ρdτ. (7.8)
�����������DZ��DZ�������������������
����������������DZ��
�DZ�� j��� E������������� Sik(ρ, τ)��DZ������
����(7.8)�������������������
σik(−k,−ω) = σ∗ik(k, ω) (7.9)
7.1.2 ����
���������������������� ���������—���� P����������������������
∂P
∂t= j, (7.10a)
∇ ·P = −ρ, (7.10b)
���������������� ∂ρ/∂t + ∇ · j = 0���������
(7.10a)�(7.10b)���������� ������������—�����D��������
�� P���DZ
D = E+ 4πP. (7.11)
�������D��������(7.1)�������
∇× E = −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0 (7.12a)
∇×B =1
c
∂D
∂t, ∇ ·D = 0. (7.12b)
���(7.5)��������������������������(7.10)�������������DZ������������D��� E������
�������������������������������������
198 ���������
���������DZ� �����������������������
�������������������������������DZ
Di(r, t) = Ei(r, t) +
∫ t
−∞
∫Kik(r, r
′, t, t′)Ek(r′, t′)d3r′dt′, (7.13)
�����Kij ������������������
��(7.13)���������D��� E��������������DZ t
���������������DZ�������������������
�������������������DZ������D(r,t)����� r
���������������������������������
����D��� E������������DZ�������������
����������DZ�������������������������
������������������������������������
���������������(7.13)�����Kik ���������
r− r′��������� t− t′�� r− r′ = ρ� t− t′ = τ���(7.5)���DZ
Di(r, t) = Ei(r, t) +
∫ ∞
0
∫Kij(ρ, τ)Ej(r− ρ, t− τ)d3ρdτ. (7.14)
��������D��� E��DZ����������
D(r, t) =
∫D(k, ω)ei(k·r−ωt)dωd
3k
(2π)4, D(k, ω) =
∫D(r, t)ei(ωt−k·r)dtd3r,
E(r, t) =
∫E(k, ω)ei(k·r−ωt)dωd
3k
(2π)4, E(k, ω) =
∫E(r, t)ei(ωt−k·r)dtd3r,
��D� E����������DZ
Di(k, ω) = εik(k, ω)Ek(k, ω), (7.15)
�� εik(k, ω)������������DZ
εik(k, ω) = δik +
∫ ∞
0
∫Kik(ρ, τ)e
i(ωτ−k·ρ)d3ρdτ. (7.16)
�������������������������������� k�
�DZ�����D��� E�������������Kik(ρ, τ)��DZ��
��������(7.16)����������������
εik(−k,−ω) = ε∗ik(ω,k). (7.17)
7.1 ���� 199
���������������������DZ�����������
������������������������������������
��������� ����(7.7)�(7.10)��(7.11)���
Di = εikEk = Ei + 4πPi = Ei + i4π
ωji = δikEk + i
4π
ωσikEk,
�����
εik(ω,k) = δik + i4π
ωσik(ω,k). (7.18)
7.1.3 ���������
���� εik(k, ω)����� k�������������������
������DZ�����������DZ��������DZ�� k����
���������������������������� k������
������������DZ
εik(k, ω) = εt(k, ω)(δik − kikk/k2) + εl(k, ω)kikk/k
2, (7.19)
� εt(k, ω)� εl(k, ω)��� ω��� k�������� ���
��������DZ��(7.19)����������E����� k��
������������DZ
D = εlE,
��� E����� k����������DZ
D = εtE.
������ εl � εt ���DZ�������������� k = 0��
���������������DZ��������������
εik(k = 0, ω)�����DZ������ εik(k = 0, ω)���DZ ε(ω)δik ����
� ε(ω)����������� k = 0������ εl� εt�����
εt(k = 0, ω) = εl(k = 0, ω) = ε(ω). (7.20)
�������������(7.17)��������� εl������
εt�������
εl(k,−ω) = ε∗l (k, ω), εt(k,−ω) = ε∗t (k, ω). (7.21)
200 ���������
�������� εl� εt�������������DZ������
εl(k, ω) = ε′l(k, ω) + iε′′l (k, ω), εt(k, ω) = ε′t(k, ω) + iε′′t (k, ω).
���������(7.21)��������� εl,t ���������� ω ���
������
ε′l,t(k,−ω) = ε′l,t(k, ω), ε′′l,t(k,−ω) = −ε′′l (k, ω). (7.22)
�� ������������ �������������������
������������������������������������
������������������ �������������
�������������������������������������
���������� �������������DZ vT /νc��� vT �����
����� νc���������������DZ vT/ω��� ω�������
��������������DZ
L ∼ min (vT/νc, vT/ω) .
�� kL � 1����������� kL � 1���������������
���� νc � ω��� L ∼ vT/ω��������������� �����
������������������������������������
����� vT = 0�����������
������������������������� �������
�� 10−10 m���������������������������������������� ������������������ x—������������DZ�������
��������� ������������������DZ����
������D��������P�������P����������
������ EDZ���������B� �����������������
�������(7.12a)������� B����� E������������
��� E������DZ������DZ�����������������
��� ������������H�������M = 0� B = H�����
������������������������
�����������������E�������B������D�
����H��DZ���������������� ��������
��������DZ��DZ���DZ����DZ������DZ��������DZ
7.2 ���������� 201
������M�DZ��������DZ����� P�DZ����������
���������������
j = c∇×M+∂P
∂t,
����H�DZ
B = H+ 4πM,
�����D�DZ
D = E+ 4πP,
�����������������������(7.1b)����DZ
∇×H =1
c
∂D
∂t, ∇ ·D = 0.
DZ�������������D�H� E� B�����DZ������
����������� �� �������������DZ�����
������ ε� μ������
D(k, ω) = ε(k, ω)E(k, ω), H(k, ω) =1
μ(k, ω)B(k, ω). (7.23)
�������������DZ���������������DZ����
�������� εl ������ εt���������������
���������������������� (εl(k, ω), εt(k, ω))���
(ε(k, ω), μ(k, ω))���
7.2 ����������
���������(7.12)��� ���������
−∇ ·( c
4πE×B
)=
1
4π
(E · ∂D
∂t+B · ∂B
∂t
). (7.24)
������� �����(7.24)�����������������������������������������������������
����(7.24)�������DZ��������������DZ������DZ������������ �������������������� �DZ�
���������������������������� ��������
�����������������(7.24)�����DZ������������
202 ���������
�� �������������� ����������������
������ ������������������������������
���������������������������������
�(7.24)����������������Q� �������������
����������������
��������������������DZ
E(r, t) =1
2
[E0e
i(k·r−ωt) + E∗0e
−i(k·r−ωt)],
�� E0 ������������������(7.15)����������������DZ
Di(r, t) =1
2
[εij(ω,k)E0je
i(k·r−ωt) + εij(−ω,−k)E∗0je
−i(k·r−ωt)]
=1
2
[εij(ω,k)E0je
i(k·r−ωt) + ε∗ij(ω,k)E∗0je
−i(k·r−ωt)],
��������������(7.17)�������������DZ
∂Di
∂t=
1
2
[−iωεij(ω,k)E0je
i(k·r−ωt) + iωε∗ij(ω,k)E∗0je
−i(k·r−ωt)].
�����DZ�� ��������������(7.24)��������������������������DZ�������
Q =iω
16π
[ε∗ij(ω,k)− εji(ω,k)
]E0iE
∗0j . (7.25)
������� εij ��DZ������������
εij = εHij + εAij ,
��
εHij =1
2
(εij + ε∗ji
), εAij =
1
2
(εij − ε∗ji
).
��
ε∗ij = εHji − εAji,
��(7.25)���DZ
Q = − iω
8πεAjiEiE
∗j , (7.26)
�������������������������������������
�����������������������
εij(ω,k) = εt(ω, k)(δij − kikj/k2) + εl(ω, k)kikj/k
2,
7.3 ���������� 203
�������DZ
εAij(ω,k) = iε′′t (ω, k)(δij − kikj/k2) + iε′′l (ω, k)kikj/k
2.
�����������������������DZ
Q =ω
8πε′′l (ω, k)|El|2. (7.27)
�������������������DZ
Q =ω
8πε′′t (ω, k)|Et|2. (7.28)
�������������������������� ����Q > 0��
� ���DZ�����������������
ε′′l,t(ω, k) > 0, for ω > 0. (7.29)
��� ����������� ���±∞������� ω ��
��DZ����������
7.3 ����������
�������������������������(7.24)���DZ������������������������(7.24)������������������������
��������� �������������DZ������
�������������� ���������������������
���� ����������������DZ
E(t, r) = E0(t, r)ei(k0·r−ω0t), B(t, r) = B0(t, r)e
i(k0·r−ω0t), (7.30)
�� E0(t, r) � B0(t, r) ������������������(7.30)���(7.24)���DZ
1
16π
[(E+ E∗) ·
(∂D
∂t+∂D∗
∂t
)+ (B+B∗) ·
(∂B
∂t+∂B∗
∂t
)].
����������Æ � 2π/ω0�������
1
16π
[E · ∂D
∗
∂t+ E∗ · ∂D
∂t+B · ∂B
∗
∂t+B∗ · ∂B
∂t
].
204 ���������
���������������������
∂Di(r, t)
∂t=
∂
∂t
∫Dω,k;ie
i(k·r−ωt)d3kdω
(2π)4
=
∫−iωεik(ω,k)Eω,k;ke
i(k·r−ωt)d3kdω
(2π)4, (7.31)
�� Eω,k;k���������
Eω,k;k =
∫E0k(t, r)e
i(k0·r−ω0t)e−i(k·r−ωt)d3rdt
= E0k(ω − ω0,k− k0) (7.32)
�� E0k(ω − ω0,k − k0)����������������� ������
���������������� k0 � ω0 ����(7.31)�����ωεik(ω,k)� (ω0,k0) �����
∂Di(r, t)
∂t≈ −i
∫ [ω0εik(ω0,k0) + (ω − ω0)
∂(ωεik)
∂ω
+(k− k0) ·∂(ωεik)
∂k
]Eω,k;ke
i(k·r−ωt)d3kdω
(2π)4, (7.33)
�(7.32)����(7.33)�������∫E0k(ω − ω0,k− k0)e
i[(k−k0)·r−(ω−ω0)t]d3kdω
(2π)4= E0k(t, r),
���
∂Di(r, t)
∂t=
[−iω0εik(ω0,k0)E0k +
∂(ωεik)
∂ω
∂E0k
∂t− ∂(ωεik)
∂k· ∂E0k
∂r
]ei(k0·r−ω0t). (7.34)
����(7.34)����
E · ∂D∗
∂t= Ei
∂D∗i
∂t
= iω0ε∗ikE0iE
∗0k +
[∂(ωε∗ik)∂ω
]ω=ω0k=k0
E0i∂E∗
0k
∂t−[∂(ωε∗ik)∂k
]ω=ω0k=k0
· E0i∇E∗0k,
E∗ · ∂D∂t
= E∗i
∂Di
∂t
= −iω0εikE∗0iE0k +
[∂(ωεik)
∂ω
]ω=ω0k=k0
E∗0i
∂E0k
∂t−[∂(ωεik)
∂k
]ω=ω0k=k0
· E∗0i∇E0k.
7.3 ���������� 205
�������������������
ε∗ik = εki,
�����
E · ∂D∗
∂t+ E∗ · ∂D
∂t=∂(ωεik)
∂ω
∂ (E∗0iE0k)
∂t− ω
∂εik∂k
· ∇ (E∗0iE0k) .
DZ���������������������������������
B · ∂B∗
∂t+B∗ · ∂B
∂t=
∂
∂t(B0iB
∗0i) .
�������������������
1
16π
∂
∂t
[∂(ωεik)
∂ωE∗
0iE0k +B0iB∗0i
]+∇·
[c
8πRe (E∗
0 ×B0)−ω
16π
∂εik∂k
E∗0iE0k
]= 0. (7.35)
��������������������������DZ
U =1
16π
[∂(ωεik)
∂ωE∗
i Ek +BiB∗i
], (7.36)
����DZ��������������� 0�����������DZ
S =c
8πRe (E∗ ×B)− ω
16π
∂εik∂k
E∗i Ek. (7.37)
�������������������DZ
∂U
∂t+∇ · S = 0. (7.38)
��DZ�������������������������
∂U
∂t+∇ · (Uvg) = 0. (7.39)
������� ���������������� ����������
��������������� vg ������������� vg ����
��������� ����������������(7.38)�(7.39)�����������������DZ
vg =S
U. (7.40)
��������������������������DZ
U =1
16π
∂(ωεl)
∂ω|El|2, (7.41)
206 ���������
U =1
16π
∂
∂ω
[ω
(εt −
k2c2
ω2
)]|Et|2. (7.42)
�������������DZ�����
∂(ωεl)
∂ω> 0,
∂
∂ω
[ω
(εt −
k2c2
ω2
)]> 0. (7.43)
����������������DZ
S = − ω
16π
∂εl(ω, k)
∂k|El|2n, (7.44)
�� n = k/k��� ����������DZ
S = − ω
16π
∂
∂k
[εt(ω, k)−
c2k2
ω2
]|Et|2n (7.45)
7.4 ��������������
����� εij(ω,k)��(7.16)������������� ����Kij ���� τ ����������������(7.16)����
εij(ω,k) = δij +
∫ ∞
0
∫Kij(τ,ρ)e
i(ωτ−k·ρ)d3ρdτ. (7.46)
�� Kij(τ,ρ) ���� τ ���� ����������������
�� τ → ∞ ��������� Kij(τ,ρ) ���������������
���������������������������� εij(ω,k) ���
ω = ω′ + iω′′ ����������������DZ����������
(7.46)��������������� exp(−ω′′τ)����� Kij(τ,ρ)���
����� ���� ω′′ > 0���(7.46)�����������������( ω′′ = 0 )DZ��� ����������������ω = 0������
������������������(7.46)����DZ�������������������������������������������
�����������������
�������������������������(7.13)�� t
�DZ���������� t�DZ���������DZ����������
���������������������DZ��������������
(7.46)���� τ ������� 0�∞�����−∞�∞�
7.4 �������������� 207
�������(7.46)����
εij(−ω∗,−k) = ε∗ij(ω,k). (7.47)
��������(7.17)������������������������������
εl,t(−ω∗, k) = ε∗l,t(ω, k). (7.48)
������ �������
εl,t(iω′′, k) = ε∗l,t(iω
′′, k). (7.49)
��(7.49)������� εl,t���������
������������� ��������� εij �����
�� δij���
εij(|ω| → ∞,k) = δij, (Imω > 0). (7.50)
��������� ���� ω′′ → +∞�������������e−ω′′τ ����(7.46)����������������������� ω′�
�������� eiω′τ�(7.46)����DZ���
������ εl,t��������(1)������������(2)�����DZ����(3) εl,t(|ω| → ∞, k) = 1�������������� εl,t�����
�����������(1)�� ���� k� �������������
�������� εl,t���DZ���(2) ����������� εl,t(ω = 0, k)��
�� 1�(3) ��������������DZ�������������������
1
2πi
∫C
dα(ω)
dω
dω
α(ω)− a. (7.51)
�� α(ω) = εl,t(ω, k)− 1����� C DZ��������� ���������
��������������� εl,t(ω, k)− 1 − a�������������
�����1���� aDZ��� ���������� εl.t(ω,k)� ω���
����������� εl,t(ω, k)− 1 − a� ω ������DZ������
1����������������f(z)�����C��������������������
f(z)�C���������C������
1
2πi
∫C
f ′(z)
f(z)dz = N − P,
��N�P����f(z)�C������������(����k�������k������)�
208 ���������
�(7.51)�� εl,t(ω, k)− 1− a����������������������DZ
�� a����
Re ω
Im ω
0
C
a a0
Im α
Re α
C ′
0
� 7.1: ���������� C (��)������� α����� C ′�
DZ�����(7.51)�������DZ���
1
2πi
∫C
dα(ω)
dω
dω
α(ω)− a=
1
2πi
∫C′
dα
α− a.
�� C ′��� α���������������C ��� α���� α : C → C ′�
���������(7.50)�� ω ������� ������ α = 0��
ω = 0�����������α0 = εl,t(ω = 0, k)−1�ω������������
� α���� ����������α�������������� 7.1����DZ�������������� ε′l,t(−ω, k) = ε′(ω, k)� ε′′l,t(−ω, k) = −ε′′l,t(ω, k)�� ε′′l,t(ω > 0, k) > 0��� � α = 0�� α = α0 ��������� C ′ �� α
��������������(7.51)����DZ 1 ( 0 < a < α0 )���DZ 0 (a < 0� a > α0 )�������� 0� α0 ���� �� a��� εl,t(ω, k) = 1 + a
����������������������������� ����
���������������DZ�������������������
��������DZ��������������������������
� a��� εl,t(ω, k) = 1 + a�����������������������DZ
εl,t(ω = 0, k) > 1������������������� εl,t(ω = 0, k)�����
� 1������ εl,t(ω, k) = 0���������DZ������������
�����DZ���������DZ 1�
7.5 Kramers-Kronig�� 209
Im z
Re z
C
ω
� 7.2: ��(7.52)�������
7.5 Kramers-Kronig��
��������� ∫C
εij(z,k)− δijz − ω
dz, (7.52)
�� ω�� ������� C �� ω′����� ωDZ�����������
�� �����������������������������C ���
���� ∫C
εij(z,k)− δijz − ω
dz = 0. (7.53)
������� εij(|ω| → ∞,k) → δij���(7.53)�����������DZ 0�
�����
P
∫ ∞
−∞
εij(z,k)− δijz − ω
dz − iπ [εij(ω,k)− δij ] = 0,
�� P ��������������������� ε′ij(ω,k)��� ε′′ij(ω,k)�
������
ε′ij(ω,k)− δij =1
πP
∫ ∞
−∞
ε′′ij(z,k)
z − ωdz, (7.54a)
ε′′ij(ω,k) = −1
πP
∫ ∞
−∞
ε′ij(z,k)− δij
z − ωdz, (7.54b)
������ Kramers-Kronig������������������������������������Kramers-Kronig��������������������������������������������������
��
210 ���������
����� εij ����������������������
ε′l,t(ω, k)− 1 =1
πP
∫ ∞
−∞
ε′′l,t(z, k)
z − ωdz, (7.55a)
ε′′l,t(ω, k) = −1
πP
∫ ∞
−∞
ε′l,t(z, k)− 1
z − ωdz. (7.55b)
�� ε′′l,t(ω, k)� ω����������(7.55a)����DZ�
ε′l,t(ω, k)− 1 =2
πP
∫ ∞
0
zε′′l,t(z, k)
z2 − ω2dz. (7.56)
�������������������������DZ��������
���
ω → ∞����������������� �
εt,l ∼ 1− 4πnee2
meω2= 1−
ω2pe
ω2,
���(7.56)��DZ
2
πP
∫ ∞
0
zε′′l,t(z, k)
z2 − ω2dz = − 2
πω2
∫ ∞
0
zε′′l,t(z, k)dz.
��������������
∫ ∞
0
ωε′′l,t(ω, k)dω =π
2ω2pe. (7.57)
��������� ∫ ∞
0
ω Im1
εl,t(ω, k)dω = −π
2ω2pe (7.58)
������������������������������
• ����εik����DZ
εik(ω,k) = εl(ω, k)kikkk2
+ εt(ω, k)
(δik −
kikkk2
).
• ������������������εl,t(|ω| → ∞, k) = 1�
•εl,t(−ω, k) = ε∗l,t(ω, k).
7.6 ��������������� 211
ε′l,t(ω, k)− 1 =1
πP
∫ ∞
−∞
ε′′l,t(z, k)
z − ωdz,
ε′′l,t(ω, k) = −1
πP
∫ ∞
−∞
ε′l,t(z, k)− 1
z − ωdz.
∫ ∞
0
ωε′′l,t(ω, k)dω =π
2ω2pe,∫ ∞
0
ω Im1
εl,t(ω, k)dω = −π
2ω2pe
• �����������ε′′l,t(ω > 0, k) > 0
• ���������������
∂(ωε′l)∂ω
> 0,∂
∂ω
[ω
(ε′t −
k2c2
ω2
)]> 0.
�������������
• �������������������������������������������������������
7.6 ���������������
�������������������������������
����������������������������������
���� ���������������������
����������������������������������
����������������������������������
��������������������DZ�����������DZ��
������������������������������������
������������������������������������
����������������������������������
212 ���������
���������������DZ v�������DZ E�����������
�����������DZdEdt
= eE · v.
����� E����������������������������
�������������������EDZ 0�������������
�����������������DZ 0�
����������������������������������
�����������������DZ
F ≡ −dEdl
= −dEdt
dt
dl= −e
vE · v. (7.60)
DZ������������ ������������E���������DZ
���������������������������� �������
�������������������
DZ����������������������������
∇× E = −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0 (7.61a)
∇×B =1
c
∂D
∂t+
4π
cjext, ∇ ·D = 4πρext, (7.61b)
�� jext� ρext������������������DZ
jext = qvδ(r− vt), ρext = qδ(r− vt). (7.62)
��������������������DZ�������
Eω,k = Elω,k + Et
ω,k. (7.63)
���
k× Etω,k =
ω
cBω,k, k ·B = 0, (7.64a)
k×Bω,k = −ωcDω,k − i
4π
cjω,k, k ·Dω,k = −i4πρω,k, (7.64b)
�� jω,k� ρω,k����������������
jω,k =
∫jext(r, t)ei(ωt−k·r)dtd3r = 2πqvδ(ω − k · v),
ρω,k =
∫ρext(r, t)ei(ωt−k·r)dtd3r = 2πqδ(ω − k · v).
7.6 ��������������� 213
���������������Dω,k;i = εij(ω,k)Eω,k;j���(7.63)����
εij =kikjk2
εl(ω, k) +
(δij −
kikjk2
)εt(ω, k),
�����DZ
Dω,k = εlElω,k + εtE
tω,k. (7.65)
���(7.65)����(7.64)����
Elω,k = −i 4π
kεlρω,k,
Etω,k = −i4π
c
ω
c
jω,k − (k · jω,k)k/k2εtω2/c2 − k2
���DZ
Eω,k = Elω,k + Et
ω,k
= −i2(2π)2qδ(ω − k · v)[ω
c2v
εtω2/c2 − k2− ω2
c2k/k2
εtω2/c2 − k2+
k/k2
εl
].
���������������������������
E(r, t) =
∫Eω,ke
i(k·r−ωt)dωd3k
(2π)4.
���������DZ
F = −qv
∫v · Eω,ke
i(k·r−ωt)dωd3k
(2π)4
= i2(2π)2q2
v
∫ [ω
c2v2
εtω2/c2 − k2− ω2
c2(k · v)/k2εtω2/c2 − k2
+(k · v)/k2
εl
]
× δ(ω − k · v)ei(k·r−ωt)dωd3k
(2π)4.
������������������������r = vt����� ω ���
���
F = i2q2
(2π)2v
∫v2 − (k · v)2/k2
εt(k · v, k)(k · v)2 − k2c2(k · v)d3k
+ i2q2
(2π)2v
∫(k · v)
k2εl(k · v, k)d3k. (7.66)
������������������������������
214 ���������
��������������������DZ������DZ�����
�(7.66)�����������������������������DZ����� ��������������������DZ�����������
�������������������������������������
������������������������������������
� ω = kvμ��� μ��� k��� v���Æ�������
F = iq2
πv2
∫dk
k
∫ kv
−kv
ω
εl(ω, k)dω.
��������������������������������DZ
F = − q2
πv2
∫dk
k
∫ kv
−kv
Im
[1
εl(ω, k)
]ωdω.
��������������������� v � (T/m)1/2�������
�� ���±∞ ��������(7.58)����
F =q2ω2
pe
v2
∫ kmax
kmin
dk
k. (7.67)
��������(7.67)������ �� ������������� ������� ���� ��������������������
����������������DZ������������������
����������������������������������
�������������DZ����DZ�����������������
����������������� �������
ωp − k · v = 0,
�� ωp����������� kmin = ωp/v��������������DZ
Fcollective =q2ω2
pe
v2
∫ kD
ωp/v
dk
k=q2ω2
pe
v2lnkDv
ωp,
�� kD = 2π/λD� λD �����
k > kD ������DZ������������������DZ�����
��������������������������� kmax�����
���������������� ���
kmax = αmv2/|qe|2,
7.7 ��������������� 215
��m������ ����DZ1��������
Findividual =q2ω2
pe
v2lnkmax
kD,
������DZ
F = Fcollective + Findividual =q2ω2
pe
v2lnkmaxv
ωp. (7.68)
7.7 ���������������
��������������� ���������������
��������������������(7.12)���
ik×E = iω
cB, ik ·B = 0,
ik×B = −iωcD, ik ·D = 0,
����� ���
Di = εij(ω,k)Ej.
����������������
k(k · E)− k2E+ω2
c2ε : E = 0,
��ε���������������������������(kikj − k2δij +
ω2
c2εij
)Ej = 0. (7.69)
�������������������� ������DZ�������
����������(7.69)����DZ���
det
(kikj − k2δij +
ω2
c2εij
)= 0. (7.70)
������������������������������������
�������������������������(7.69)��������������
��������������������������������
��� εl(ω, k)������ εt(ω, k)�������
εij(ω,k) = εt(ω, k)(δij − kikj/k2) + εl(ω, k)kikj/k
2
216 ���������
����(7.69)���{[
ω2
c2εt(ω, k)− k2
] (δij − kikj/k
2)+ω2
c2εl(ω, k)kikj/k
2
}Ej = 0. (7.71)
��� k��DZ��������E��DZ�����������������
����
E = El + Et, El · k = Elk, Et · k = 0.
���������(7.71)��DZ������
ω2
c2εl(ω, k)El = 0,[
ω2
c2εt(ω, k)− k2
]Et = 0.
����������������DZ
εl(ω, k) = 0, (7.72a)
ω2
c2εt(ω, k)− k2 = 0. (7.72b)
���(7.72a)�����������(7.72b)������������
7.7 ��������������� 217
��
1. �����������DZ εij(ω,k)����������� q ��
�����DZ
φ(r) =q
2π
∫exp(ik · r)kikjεij(0,k)
d3k.
2. ��������������������
εij = εt(δij − kikj/k2) + εl(kikj/k
2),
�� kikjεij = k2εl�
3. ����������������ω = 0�DZ
εl(0,k) = 1 +1
(kλD)2,
������� q����������
4. ��������(7.23)����� ε(ω, k)��� μ(ω, k)�DZ������
DZ����������� εl(ω, k)������ εt(ω, k)������
��
ε(ω, k) = εl(ω, k),
1
μ(ω, k)= 1 +
ω2
c2k2[εl(ω, k)− εt(ω, k)] .
5. ���(7.33)����(7.34)�
6. ������������� ω → ∞��������
εt,l = 1−ω2pe
ω2,
�������� ∫ ∞
−∞ω Im
[1
εl,t(ω, k)
]dω = −πω2
pe.
[���� ���� ∫C
1/εl,t − 1
z − ωdz,
������ C �����������������ω�����]
218 ���������
7. ��������������∫ ∞
0
[εl,t(iω, k)− 1] dω =
∫ ∞
0
ε′′l,t(ω, k)dω.
[����� z−���� ����∫C
z [εl,t(z, k)− 1]
z2 + ω2dz,
���� C DZ������������]
8. ������������������������DZ
U =1
16π
∂(ωεl)
∂ω|El|2,
S = − ω
16π
∂εl(ω, k)
∂k|El|2n,
�� n�� �����������DZ
vg = ndω(k)
dk
∣∣∣∣εl[ω(k),k]=0
.
9. �������������������������DZ
U =1
16π
∂
∂ω
[ω
(εt −
k2c2
ω2
)]|Et|2,
S = − ω
16π
∂
∂k
[εt(ω, k)−
k2c2
ω2
]|Et|2n,
�� n�� �������������DZ
vg = ndω(k)
dk
∣∣∣∣εl[ω(k),k]−c2k2/ω2=0
.
��� �������(����)
������������DZ����������������������
�������������������������������������
��DZ����������������������������������
������������
8.1 ������������
�����������������������������������
��������������������������������������
������������������
8.1.1 �����
DZ�������������DZ��������������������
������������DZ������������������������
���DZ���������������������DZ���������
�������������������������������������
������DZ��������������������
����������������������������������DZ
������������������������������������
��������������
∂nα
∂t+∇ · (nαuα) = 0, (8.1a)
mαnα
(∂uα
∂t+ uα · ∇uα
)= −∇Pα + eα
(E+
1
cuα ×B
), (8.1b)
d
dt
(Pαn
−γαα
)= 0, (8.1c)
220 �������(����)
� α����������� nα������ uα������ Pα�
���� γα�������
�������������������������������(8.1)��������������������DZ����������������
�������������������������������
�����������������������������������
�������������
����������������������������������
� �����������������������
∇× E = −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0 (8.2a)
∇×B =1
c
∂D
∂t, ∇ ·D = 0. (8.2b)
8.1.2 ��������������
���� ��DZ�������������������������
����� εij��DZ��������������������������DZ�
������� �����������������������������
��������(8.1)��������
∂nα1
∂t+ nα0∇ · uα = 0,
nα0mα∂uα
∂t= nα0eαE−∇Pα1,
Pα1/Pα0 = γαnα1/nα0.
�������������������∂/∂t = −iω�∇ = ik������
nα1
nα0=
k · uα
ω,
uα = ieαmαω
E+ kγαPα0
nα0mαωnα1,
������������������������
uα − γαv2Tαk(k · uα)/ω
2 = ieαmαω
E,
� vTα = (Tα/mα)1/2����Æ����������� DZ����(
δij − γαv2Tα
ω2/k2kikjk2
)uαj = i
eαmαω
Ei,
8.1 ������������ 221
������������
uαi = ieαmαω
(δij +
γαv2Tα
ω2/k2 − γαv2Tα
kikjk2
)Ej.
����������DZ
ji =∑α
eαnα0uαi = i∑α
nα0e2α
mαω
[(δij −
kikjk2
)+
ω2/k2
ω2/k2 − γαv2Tα
kikjk2
]Ej
����������� ∂P/∂t = j���� P = ij/ω������������
Pi = −∑α
nα0e2α
mαω2
[(δij −
kikjk2
)+
ω2/k2
ω2/k2 − γαv2Tα
kikjk2
]Ej.
��������D = E+ 4πP����
Di = δijEj −∑α
4πnα0e2α
mαω2
[(δij −
kikjk2
)+
ω2/k2
ω2/k2 − γαv2Tα
kikjk2
]Ej .
��������������������
εij = δij −∑α
ω2pα
ω2
(δij −
kikjk2
)−∑α
ω2pα
ω2
ω2/k2
ω2/k2 − γαv2Tα
kikjk2
=
[1−
∑α
ω2pα
ω2
](δij −
kikjk2
)+
[1−
∑α
ω2pα
ω2 − γαk2v2Tα
]kikjk2
�������������������
εl(ω, k) = 1−∑α
ω2pα
ω2 − γαk2v2Tα
, (8.3a)
εt(ω, k) = 1−∑α
ω2pα
ω2. (8.3b)
�� ω → ∞�����
εl,t ∼ 1−∑
α ω2pα
ω2≈ 1−
ω2pe
ω2,
��� k → 0�����
εl = εt = 1−∑
α ω2pα
ω2≈ 1−
ω2pe
ω2.
��������� ω2������������� �������������
���������������
������������������������������ ���
�����������������������������������
��������������
222 �������(����)
8.1.3 ����������
��������������������������(8.3)�����(7.72)�������������������������������� ���
��
���������������������������
ω2pi =
4πni0Z2e2
mi=Zme
miω2pe,
���
c2i = γiv2i , c
2e = γev
2e ,
�������DZ
εl(ω, k) = 1−ω2pi
ω2 − k2c2i−
ω2pe
ω2 − k2c2e= 0. (8.4)
�����������DZ �����������������
�∂E/c∂t�������������������� ����������
��(8.4)����
ω2 = ±
√(ω2pi + k2c2i + ω2
pe + kc2e2
)2
− k4c2i c2e − k2ω2
pic2e − k2ω2
pec2i
+ω2pi + k2c2i + ω2
pe + kc2e2
. (8.5)
���������������(8.5)��DZ�� �����������������������(8.4)��� ������ ωpi � ωpe����(8.4)���������������(8.4)�DZ
1−ω2pe
ω2 − k2c2e= 0.
�������������
ω2 = ω2pe + k2c2e = ω2
pe
(1 + γek
2λ2De
). (8.6)
��������(8.5)����������DZ�������������(8.6)�������������������������������������
8.1 ������������ 223
���DZ�������������������������������
������ueui
= − mi
Zme
1− k2c2i /ω2
1− k2c2e/ω2≈ − mi
Zme
.
���������������������DZ�������������
�����������������DZ���������(8.6)��γe��DZ3.���������DZ�����(8.4)�DZ
−ω2pi
ω2 − k2c2i−
ω2pe
ω2 − k2c2e= 0.
�������������
ω2 = k2ω2pec
2i + ω2
pic2e
ω2pe + ω2
pi
≈ k2(ZγeTe + γiTi
mi
). (8.7)
����������DZ��������������������� ��
�
cs =
√ZγeTe + γiTi
mi. (8.8)
���(8.7)�����������������∣∣∣∣ ω2
pi
ω2 − k2c2i
∣∣∣∣� 1.
�����(8.7)������������������
k2λ2De � 1,
����������������� ����������������
�� ����������������������������
�������DZ��� ��DZ�������������������
��������DZ
ueui
= − mi
Zme
1− k2c2i /ω2
1− k2c2e/ω2= 1.
�������������
������������������ �����������
����DZ�������������������
γe = 1, γi = 3.
224 �������(����)
���������������������������������
�������(8.4)�DZ
1−ω2pi
ω2 − k2c2i= 0.
��������
ω2 = ω2pi + k2c2i = ω2
pi
(1 + γik
2λ2Di
). (8.9)
����������DZ�������������������� ���
�(8.9)����� ∣∣∣∣ ω2pe
ω2 − k2c2e
∣∣∣∣� 1.
�����(8.9)������
k2λ2De � 1,
�������������������������������
���������� ���������������������
�DZ
ueui
= − mi
Zme
1− k2c2i /ω2
1− k2c2e/ω2≈ 1
γek2λ2De
� 1,
����������������
��7.3�����������DZ
U =1
16π
∂(ωεl)
∂ω|El|2
=ω2
8π
∑α
ω2pα
(ω2 − k2c2α)2|El|2 .
�������������������(8.6)��
U =1
16π
[1 +
(1 + 2γek
2λ2De
)]|El|2 ,
��������������������������DZ |El|2/16π� �������������DZ (1 + 2γek
2λ2De) |El|2 /16π�� k → 0���������
�������
8.2 ������������ 225
��
��������������������������(7.72)�(8.3b)����������
ω2
c2
[1−
∑α ω
2pα
ω2
]− k2 = 0,
��������
ω2 = k2c2 +∑α
ω2pα ≈ k2c2 + ω2
pe. (8.10)
������������DZ����������������������
��������������������������������
��7.3�����������DZ
U =1
16π
∂
∂ω
[ω
(εt −
k2c2
ω2
)]|Et|2
=1
16π
(1 +
ω2pe
ω2+k2c2
ω2
)|Et|2 .
����������������������������������
�����DZ |Et|2 /16π������������������DZ (ωpe/ω)2 |Et|2 /16π�
����������DZ (kc/ω)2 |Et|2��������������
U =1
8π|Et|2 .
��������������� k → 0�����������������
��������
8.2 ������������
���������������������������������
����������������������������DZ������DZ�
�������������������������������������
���������DZ�������DZ�������������������
������� k�DZ����������B0�
226 �������(����)
8.2.1 �����������
����������������������������������
�����������������������������DZ
∂nα
∂t+ nα0∇ · uα = 0, (8.11a)
mα∂uα
∂t= eα
(E+
1
cuα ×B0
)− 1
nα0
∇Pα1, (8.11b)
Pα1
Pα0= γα
nα1
nα0. (8.11c)
�������� �����������������
uα = ieαE
mαω+ i
ωcα
ωuα × b+
c2eω2/k2
n(n · uα), (8.12)
� b������� n������� ωca����������
ωcα =eαB0
mαc,
��������� �
DZ���������������� z−���� k�x− z��������
���� �����
Δα;ijuα;j = ieαmαω
Ei, (8.13)
���Δα��DZ
Δα;ij =
⎛⎜⎜⎝
1− k2xc2α/ω
2 −iωcα/ω −kxkzc2α/ω2
iωcα/ω 1 0
−kxkzc2α/ω2 0 1− k2zc2α/ω
2
⎞⎟⎟⎠ . (8.14)
������(8.13)�����������DZ
uα;i = ieαmαω
Δ−1α;ijEj , (8.15)
�Δ−1α �Δα������ ���DZ
Δ−1α;ij =
1
|Δα|
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1− k2zc2α
ω2iωcα
ω
(1− k2zc
2α
ω2
)kxkzc
2α
ω2
−iωcα
ω
(1− k2zc
2α
ω2
)1− k2c2α
ω2−iωcα
ω
kxkzc2α
ω2
kxkzc2α
ω2iωcα
ω
kxkzc2α
ω21− ω2
cα
ω2− k2xc
2α
ω2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠, (8.16)
8.2 ������������ 227
|Δα|� Δα�����
|Δα| =(1− ω2
cα
ω2
)(1− k2zc
2α
ω2
)− k2xc
2α
ω2. (8.17)
�����DZ
ji =∑α
eαnα0uα;i =∑α
ie2αnα0
mαωΔ−1
α;ijEj ,
����������������
εij = δij −∑α
ω2pα
ω2Δ−1
α;ij , (8.18)
8.2.2 ������������������
����
��������������������������������
�����Æ�cαDZ�������Δ−1α ����DZ���
Δ−1α;ij =
1
1− ω2cα/ω
2
⎛⎜⎜⎜⎝
1 iωcα
ω0
−iωcα
ω1 0
0 0 1− ω2cα
ω2
⎞⎟⎟⎟⎠ . (8.19)
������������� DZ����
εij =
⎛⎜⎜⎝
S −iD 0
iD S 0
0 0 P
⎞⎟⎟⎠ , (8.20)
��
S = 1−∑a
ω2pα
ω2 − ω2cα
, D =∑α
ω2pαωcα
ω(ω2 − ω2cα)
, P = 1−∑α
ω2pα
ω2. (8.21)
�����B0 → −B0���� ωcα → −ωcα����
εij(ω,k;B0) = εji(ω,k;−B0).
������������������������� �����������
��������������� εij = ε∗ji�
228 �������(����)
� ω → ∞�������������
S ∼ 1−∑
α ω2pα
ω2≈ 1−
ω2pe
ω2, (8.22a)
D ∼∑
α ω2pαωcα
ω3∼ 0, (8.22b)
P = 1−∑α
ω2pα
ω2≈ 1−
ω2pe
ω2, (8.22c)
�� εij ∼ (1− ω2pe/ω
2)δij��� ω → 0�����
limω→0
S = 1 +∑α
ω2pα
ω2cα
= 1 +4πρc2
B20
= 1 +c2
v2A, (8.23a)
limω→0
D = − limω→0
∑α
ω2pα
ωωcα
= −4πc
B0
limω→0
∑α nαeαω
= 0, (8.23b)
limω→0
P = − limω→0
ω2pα
ω2= −∞. (8.23c)
����
���������ÆDZ θ���������������(??)���������������∣∣∣∣∣∣∣∣
S − n2 cos2 θ −iD n2 sin θ cos θ
iD S − n2 0
n2 sin θ cos θ 0 P − n2 sin2 θ
∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (8.24)
� n = ck/ω����������(8.24) ����������
An4 − Bn2 + C = 0, (8.25)
��
A = P cos2 θ+ S sin2 θ, B = SP (1+ cos2 θ) + (S2 −D2) sin2 θ, C = P (S2 −D2). (8.26)
DZ������������ �
R = S +D = 1−∑α
ω2pα
(ω + ωcα)ω, (8.27a)
L = S −D = 1−∑α
ω2pα
(ω − ωcα)ω. (8.27b)
8.2 ������������ 229
�����(8.25)���(8.26)��� �
A = P cos2 θ + S sin2 θ, B = SP (1 + cos2 θ) +RL sin2 θ, C = PRL. (8.28)
��������(8.25)��� DZ�����
tan2 θ = − P (n2 −R)(n2 − L)
(n2 − P )(Sn2 − RL).(8.29)
���(8.25)����������������������������
n2 =1
2A
(B ±
√B2 − 4AC
). (8.30)
� n2 > 0����� �������������������� n2 < 0����
���������DZ�����n2 = 0������DZ�����������
���������������������� n2 = ∞������DZ��������������������������� ��
8.2.3 ����������
�������������������������������
���(8.25)����� C = 0����������������C = PRL����
�����DZ
P = 0, R = 0, or L = 0.
�������������� �������� ��������
� P = 0�����DZ��������
ωp =√ω2pe + ω2
pi ≈ ωpe. (8.31)
� R = 0������DZ������
ωR ≈√ω2pe + ω2
ce/4 + |ωce|/2. (8.32)
� L = 0������DZ�������
ωL ≈√ω2pe + ω2
ce/4− |ωce|/2. (8.33)
����������������������DZ�����������
��������������(8.32)�(8.33)�� ωR ���������
|ωce|� ωL����������� |ωce|�
230 �������(����)
������ n → ∞����(8.30)�� A → 0 ������������
�(8.28)�� A�����A = 0��������
tan2 θ = −PS. (8.34)
����������������DZ��(8.34)����������������� P � S � ���������� ������� �����
� ����������������� θ = 0���������������
DZ P = 0� S = ∞������DZ
ωres = ωpe, |ωci|, |ωce|, (8.35)
���DZ����������������������� θ = π/2������
���������DZ P = ∞� S = 0������DZ
ωres = 0, ωLH, ωHH , (8.36)
��
ωLH =ω2pe + ω2
pi + ω2ce + ω2
ci
2−
√(ω2pe + ω2
pi + ω2ce + ω2
ci
2
)2
− ω2peω
2ci − ω2
piω2ce − ω2
ceω2ci
≈ [ω2ci + ω2
piω2ce/(ω
2pe + ω2
ce)]1/2, (8.37)
ωHH =ω2pe + ω2
pi + ω2ce + ω2
ci
2+
√(ω2pe + ω2
pi + ω2ce + ω2
ci
2
)2
− ω2peω
2ci − ω2
piω2ce − ω2
ceω2ci
≈ (ω2pe + ω2
ce)1/2. (8.38)
���DZ ����������������������������
������������
ωLH =
{(ω2
ci + ω2pi)
1/2, when ω2ce � ω2
pe,
(|ωceωci|)1/2, when ω2ce � ω2
pe.
������������������������������ x−���������������������������������������
�� ωpe �������������������������B0���
���������� y−������������������������
8.2 ������������ 231
x
y
B0
E1
� 8.1: ���� ����������������������DZ�������DZ���
����������������������������������
����������������������������������
���
�����������������������������������
������������ B0 ��DZ ω � �����������
��DZ���������� x−��������DZ�������������������������� y−�������� x−��DZ�������ω = (|ωceωci|)1/2 ������������ x−����������������������DZ���� ������� �����������
�������� ��������������������������DZ
���
�������� �������DZ
0 < ωres1 < |ωci|,
ωLH < ωres2 < min(|ωce|, ωpe),
max(|ωce|, ωpe) < ωres3 < ωHH .
������������������������������������
���������������DZ������������
��� �������� ����������������
232 �������(����)
����������(8.25)�� n = n(ω, θ)�������⎛⎜⎜⎝
S − n2 cos2 θ −iD n2 sin θ cos θ
iD S − n2 0
n2 sin θ cos θ 0 P − n2 sin2 θ
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
Ex
Ey
Ez
⎞⎟⎟⎠ = 0. (8.39)
�����������������������������������
�����������
uα;i = ieαmαω
Δ−1α;ijEj ,
��� �����������������
������������ ���(8.39)���������
limn→∞
Ex
Ez
= − limn→∞
P − n2 sin2 θ
n2 sin θ cos θ=
sin θ
cos θ=kxkz,
limn→∞
Ey
Ex
= − limn→∞
iD
S − n2= 0,
���������������������������������
�����������������������������������
���� θ = 0������������������������������
�������������������
����������������������������DZ����
��(������)���������������������������� �����������DZ�����
8.2.4 ���������
��������������� θ = 0���(8.39)DZ⎛⎜⎜⎝
S − n2 −iD 0
iD S − n2 0
0 0 P
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
Ex
Ey
Ez
⎞⎟⎟⎠ = 0. (8.40)
��������������������� �����(8.40)������������ (
S − n2 −iDiD S − n2
)(Ex
Ey
)= 0, (8.41a)
PEz = 0. (8.41b)
8.2 ������������ 233
z
y
xR L
B0
kR kL
� 8.2: ��������������
������������������������������������
�
P = 0, or ω2 =∑α
ω2pα.
���������������������������DZ��������
��������DZ�������������� �������������
��������������������������������������
������������ ���������
������DZ
n2 = S ±D. (8.42)
��������(8.41a)�������������������8.2����������������������������������DZ����
���
Ey
Ex= −i, for n2 = S +D = R,
Ey
Ex= i, for n2 = S −D = L.
�����(8.42)�����������������������������������������
234 �������(����)
����
��� ���� ω → 0�����(8.22)���������
ω2 = k2v2A
1 + v2A/c2, (8.43)
���� ����������������������(8.43)������� 1DZ 1 + v2A/c
2��������������������������
� ����������� v2A/c2�����
�� ������������������������������
���������� uαi = i(eα/mαω)Δ−1α;ijEj ������ �� ω → 0�
���
limω→0
(eα/mαω)Δ−1α;ij =
⎛⎜⎜⎝
0 c/B0 0
−c/B0 0 0
0 0 ieα/maω
⎞⎟⎟⎠ ,
����������������DZ(uαx
uαy
)=
(0 c/B0
−c/B0 0
)(Eαx
Eαy
),
�� uα = cE×B0/B20�
� ����� �����������DZ��� ���������
���������������������� ��D → 0�����
������������������� ��DZ���������
���
����������������
R = 1−ω2pe + ω2
pi
(ω − |ωce|)(ω + ωci).
��������������������� |ωci|�� ������ |ωce|�� ω2
pe/|ωce|���������
ω =k2c2|ωce|ω2pe
, for |ωci| � ω � |ωce|, ω2pe/|ωce|. (8.44)
��������DZ�������������������
vg =dω
dk=
2c
ωpe
√|ωce|ω, (8.45)
8.2 ������������ 235
�������������������� ���������������
����������� ������������������
���������� ������������������������
��
�������� ����������������������
����������������������� ������� �����
����������
���������������������������������
���������������DZω������� s������DZ
t =
∫s
ds
vg=
∫s
ωpe(s)ds
2c√ω|ωce(s)|
.
�����
�����������������
ω2 = k2c2 + ω2pe
(1± ωce√
k2c2 + ω2pe
), for ω � |ωce|, (8.46)
� +����� −������������������������������������������������������������
������������
�������������������������� x−���
E(z = 0, t) = E0exe−iωt =
1
2E0 [(ex + iey) + (ex − iey)] e
−iωt.
��������DZ d�����������DZ
E(z = d, t) =E0
2(ex + iey)e
ikRd−iωt +E0
2(ex − iey)e
ikLd−iωt.
����������������������E� x� y���DZ
Ex(z = d)
Ey(z = d)= −iexp(ikRd) + exp(ikLd)
exp(ikRd)− exp(ikLd)
=1
tan[(kL − kR)d/2],
������ x−���ÆDZ
ϕ = arctanEy
Ex
=kL − kR
2d. (8.47)
236 �������(����)
+ =
⊗ B0
EL ER Eout
� 8.3: ����������������������
� 8.4: �����������
����������������������������������
� �� ���������������������������
����������
kL − kR =ω
c(nL − nR) ≈
ω2pe|ωce|
cω2√1− ω2
pe/ω2.
���ÆDZ
ϕ =(ne/nc)
2√
1− ne/nc
eB0d
mec2. (8.48)
����������������
8.2 ������������ 237
8.2.5 ���������
� θ = π/2����������������(8.39)DZ⎛⎜⎜⎝
S −iD 0
iD S − n2 0
0 0 P − n2
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
Ex
Ey
Ez
⎞⎟⎟⎠ = 0. (8.49)
�����DZ
n2 = P
n2 = RL/S.
������������������� n2 = P �������������
�������������������������������������
�������������������������������������
��DZ�����������DZ
ω2 = ω2pe + c2k2.
����� n2 = RL/S �����������������������
������DZ��Ex
Ey
= iS − n2
S= i
D
S.
����� ���DZ�� ��������DZ����
���
����� ���� ω → 0������
R → S, L→ S, S → 1 +c2
v2A, D → 0
������ �������
ω2 = k2v2A
1 + v2A/c2. (8.50)
�� �����DZ����
������� �������������� ���������
����� �����������������������������
�(8.49)������ ��� x−���������DZ����������y−���� ������������ x−������������� �����������DZ�������������
238 �������(����)
� 8.5: ���������
����
������
D → 0, S → 1, R→ 1, L→ 1,
��������������������������
���� tan2 θ = −P/S�� S = 0���DZ Ey/Ex = −iS/D = 0�����
������DZ������ S = 0�
1−ω2pe
ω2 − ω2ce
−ω2pi
ω2 − ω2ci
= 0.
�������������� ����DZ�( )���� DZωHH � ωLH�
�������������������� �����������
ω < ωLH �����DZ� ���� ����DZ ������ ωL < ω < ωHH
�����DZ�������DZ��DZ������ ω > ωR����DZ��� �
�����DZ���������
8.3 ������������
�������������������������������
��������������������������������
��������DZ��������������� �����DZ�
8.3 ������������ 239
8.3.1 ���
�������������� ����(8.16)�� kz = 0����
Δ−1α;ij =
1
1− ω2cα/ω
2 − k2c2α/ω2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 iωcα
ω0
−iωcα
ω1− k2c2α
ω20
0 0 1− ω2cα
ω2− k2c2α
ω2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (8.51)
�(8.51)����(8.18)��
εij =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1−∑α
ω2pα
ω2 − ω2cα − k2c2α
−i∑α
ωcαω2pα
ω(ω2 − ω2cα − k2c2α)
0
i∑α
ωcαω2pα
ω(ω2 − ω2cα − k2c2α)
1−∑α
ω2pα(ω
2 − k2c2α/ω2)
ω2(ω2 − ω2cα − k2c2α)
0
0 0 1−∑α
ω2pα
ω2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
≡
⎛⎜⎜⎝
S ′ −iD′ 0
iD′ S ′′ 0
0 0 P
⎞⎟⎟⎠ .
�����DZ ⎛⎜⎜⎝
S ′ −iD′ 0
iD′ S ′′ − n2 0
0 0 P − n2
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
Ex
Ey
Ez
⎞⎟⎟⎠ = 0 (8.52)
���DZ
(P − n2)[S ′(S ′′ − n2)−D′2] = 0.
�����������DZ�������
n2 = (S ′S ′′ −D′2)/S ′,
� ����
S ′ = 1−∑α
ω2pα
ω2 − ω2cα − k2c2α
≈ 1 +∑α
ω2pα
ω2cα
= 1 +c2
v2A,
S ′′ = 1−∑α
ω2pα(ω
2 − k2c2α)
ω2(ω2 − ω2cα − k2c2α)
≈ 1 +∑α
ω2pα
ω2cα
− k2
ω2
∑α
ω2pαc
2α
ω2cα
= 1 +c2
v2A− c2sv2An2
240 �������(����)
D′ =∑α
ωcαω2pα
ω(ω2 − ω2cα − k2c2α)
≈ −∑α
ω2pα
ωω2cα
= 0.
����DZ
ω2 = k2(v2A + c2s)/(1 + v2A/c2),
� c2s = [(Z +1)γT/mi]1/2������������������������
���������������������
8.3.2 ���
����������������������������������
���������������������(8.52)���
S ′ = 1−∑α
ω2pα
ω2 − ω2cα − k2c2α
= 0 (8.53)
��� D′ � S ′ DZ������DZ������ Ey = 0�� Ex ����DZ 0�
����������� x−�����������(8.53)�������DZ����� �������������������DZ������DZ����
�(8.53)����������DZ���������������
ω2 = ω2ce + ω2
pe + k2c2e = ω2HH + k2c2e. (8.54)
������ ����������ω2 � ω2ce����
S ′ ≈ 1 +ω2pe
ω2ce + k2c2e
−ω2pi
ω2 − ω2ci − k2c2i
= 0
����� ��������
ω2 = ω2ci + k2c2i +
ω2ce + k2c2e
ω2HH + k2c2e
ω2pi. (8.55)
� ω2pe � ω2
ce�
ω2 ≈ ω2ci + k2c2i +
ω2ce + k2c2e
ω2pe + k2c2e
ω2pi = ω2
LH + k2c2s.
� ω2pe � ω2
ce�
ω2 ≈ ω2ci + ω2
pi + k2c2i = ω2LH + k2c2i .
8.3 ������������ 241
z,B0
x
k
wave front
� 8.6: �������������������������������������������DZ������DZ��������
8.3.3 �������
�� ��������������������DZ���������
�����������DZ ωci� ��������������������
����������������� ω2 ≈ ω2ci �����������
��
tan2 θ = −PS
= −1−
∑a ω
2pα/ω
2
1 −∑
a ω2pα/(ω
2 − ω2cα)
≈ −ω2pe/ω
2ci
ω2pi/(ω
2 − ω2ci)
=ω2pe
ω2pi
ω2ci − ω2
ω2≈ 2mi
Zme
ωci − ω
ω.
�� θ �= π/2�������������������� (Zme/2mi) tan2 θ � 1��
���DZ ω ≈ ωci����� θ �= π/2�����������������
����������������DZ�������������������
��������������������������������
����DZ�����������������������������
���
∇ ·D = 0.
� ������� ��������������
kiDi(ω,k) = 0.
�������������Di = εijEj��������
εijkiEj = 0.
242 �������(����)
������������������Ej = (kj/k)E������
εijkikjE = 0.
�� E �= 0����������
εijkikj = 0.
�DZ��� x− z�����������DZ
εxxk2x + εzzk
2z + 2εxzkxkz = 0.
DZ������������������ k2zc2e/ω
2ci � 1����
εzz = 1−ω2pi
ω2−ω2pe
ω2
1− ω2ce/ω
2 − k2xc2e/ω
2
(1− ω2ce/ω
2)(1− k2zc2e/ω
2)− k2xc2e/ω
2
≈ 1−ω2pi
ω2+
ω2pe
k2zc2e
,
εxx = 1−ω2pi
ω2 − ω2ci
−ω2pe
ω2
1− k2zc2e/ω
2
(1− ω2ce/ω
2)(1− k2zc2e/ω
2)− k2xc2e/ω
2
≈ 1−ω2pi
ω2 − ω2ci
+ω2pe
ω2ce
≈ 1−ω2pi
ω2 − ω2ci
,
εxz = −ω2pe
ω2
kxkzc2e/ω
2
(1− ω2ce/ω
2)(1− k2zc2e/ω
2)− k2xc2e/ω
2
≈ −ω2pe
ω2ce
kxkz,
����DZ (1−
ω2pi
ω2 − ω2ci
)k2x +
ω2pe
c2e= 0.
��� ω2pe/k
2xc
2e � 1�����������������
ω2 = ω2ci + k2xc
2s.
8.4 ������� 243
8.4 �������
����������������������������������
�������� �������������������������
����—����������������������—�������
�������������� z = 0������������DZ
ε =
{ε2 = 1− ω2
pe/ω2, when z < 0,
ε1 = 1, when z > 0.
������������������������������������
�������������������
�������������
∇×E = −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0, (8.57a)
∇×B =1
c
∂D
∂t,∇ ·D = 0. (8.57b)
��������������������
E = (Ex, 0, Ez)e−κ|z|eiqx−iωt, (8.58a)
B = (0, By, 0)e−κ|z|eiqx−iωt, (8.58b)
��������DZ ω������� x−��������DZ q������
�������DZ ���(8.58)���������(8.57)�������
iqB1y = −iωcε1E1z, (8.59a)
iqB2y = −iωcε2E2z, (8.59b)
κ1B1y = −iωcε1E1x, (8.59c)
−κ2B2y = −iωcε2E2x, (8.59d)
�(8.57b)��������
−κ1E1x − iqE1z = iω
cB1y, (8.60a)
κ2E2x − iqE2z = iω
cB2y, (8.60b)
244 �������(����)
������
iqE1x − κ1E1z = 0, (8.61a)
iqE2x + κ2E2z = 0. (8.61b)
����������������� ���� ����������
���������
B1y = B2y, (8.62a)
E1x = E2x, (8.62b)
ε1E1z = ε2E2z. (8.62c)
���(8.59a)�(8.59c)�(8.60a)����
κ1 =
√q2 − ε1
ω2
c2=√q2 − ω2/c2. (8.63)
������(8.59b)�(8.59d)�(8.60b)����
κ2 =
√q2 − ε2
ω2
c2=√q2 − εω2/c2. (8.64)
���(8.61)����(8.60)����(−κ1 +
q2
κ1
)E1x = i
ω
cB1y,(
κ2 −q2
κ2
)E2x = i
ω
cB2y.
������(8.62)�����������
κ1(1− q2/κ21) + κ2(1− q2/κ22) = 0. (8.65)
�(8.63)�(8.64)����(8.65)����������������ε1κ1
+ε2κ2
= 0. (8.66)
����������������������(8.67)�������������������
ω2 =ω2pe + 2q2c2 −
√ω4pe + 4q4c4
2. (8.67)
�������������(8.7)�����������8.8����������������������� �����������������
���������
8.4 ������� 245
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
q/(ωpe
/c)
ω/ω
pe
� 8.7: ������������
� 8.8: ������������
246 �������(����)
8.5 ���
��������������������������������
��������������������������������DZ�
��
�������B0� z−����������� x−��������������������������������������� k� y − z�
��� k = kyey + kzez�� ky � kz��������������
��������� ��� �����
ω/kz � vA,
������������������DZ����������DZϕ��
E = −∇φ.
������DZ
me∂ue
∂t= e∇φ− e
cue ×B0 −
∇Pe
n0(x).
� ���z���
me∂uez∂t
= e∂φ
∂z− Te∂n1e/∂z
n0(x).
������� ��������������������������
n1e = n0eφ
Te.
����������∂n1i
∂t+ ui · ∇n0 + n0∇ · ui = 0,
min0∂ui
∂t= −en0∇φ+ n0
e
cui ×B0.
����DZ����� exp[i(kyy + kzz − ωt)]��������DZ
−iωn1i + uixdn0(x)
dx+ in0k · ui = 0,
−imin0ωui = −ien0φk+ en0ui ×B0/c.
��� x−������ uix = cEy/B0����� y−������ ����������������� kz �������������� z−������������������� z−���������������������DZ
0 = −iωn1i + uixdn0(x)
dx+ in0k · ui ≈ −iωn1i +
−ikycϕB0
dn0(x)
dx,
8.5 ��� 247
��������DZ
n1i = −kycφωB0
dn0
dx
��������������������� n1e = n1i����
n0eφ
Te= −kycφ
ωB0
dn0
dx,
���������� φ�DZ����������
ωi = − kyTec
en0B0
dn0
dx=
kyv2Te
|ωce|Ln
,
�� Ln�������
Ln = −(
1
n0
dn0
dx
)−1
> 0.
�� ����������������������DZ
VD =c(−∇Pe/n0)×B0
(−e)B20
= −cTedn0/dx
eB0n0ey =
v2Te
|ωce|Lney,
������� �
ω = k ·VD = ωi.
����������� ωi = kyvD �DZ���
248 �������(����)
��
1. ��������������������
(1) ω2 = k2c2/(1 + c2/v2A) (� ��)�
(2) ω = k2c2ωcl/ω2p (���)�
(3) ω2 − ωω2p/(ω − ωce) = k2c2, ω → ωce (�����)�
2. ��� ����������������������������
3. ����Ti = 0������������� ��������DZ
ω = kcs(1 + k2λ2De)−1/2.
4. �������������������� DZ
E21
4π=
1
2w,
B21
4π=
1
2w(1− ω2
pe/ω2),
1
2meneu21 =
1
2wω2pe
ω2,
��
w =E2
1
4π+B2
1
4π+
1
2mnu21.
�E1�B1�u1��������������������
5. ��������������������������������������������
6. ������u0����������������
7. ���(5)��������������� �����
∇ · (εE) = 0,
���ε� �������������������
8. ��������������−mnνev����� ������������ ���DZ����Im(ω)������
8.5 ��� 249
9. ���������������������������������DZn0�
(1) ��������������������������������
(2) ��Ti = 0�Te �= 0���������Boltzmann����Poisson�������������
10. �����������������������������DZ�m3�
������n0�����K+�κn0�����Cl−�1 − κn0������κ =
0.6�����0.03m������n0�����
11. �8cm��������������8mm�����������������
(1) ��������������1/10�������������
����(�������2π��)�
(2) ����������������������
12. �������������������������������������ξ������������ω2 = ω2
pe + ω2ce�
13. ��������������������������
14. ����B���Æθ���������
(1) ���������
(2) ������ω2��������θ → 0�θ → π/2�������
�ω��������������������������
(3) ��x = cos θ�y = 2ω2/ω2HH�a = ω2
HH/2ωcωp������DZ����
�(y − 1)2
12+x2
a2= 1.
(4) �����ωc > ωp�������ω1(�����)����ωp(����θ > 0)��ω2(�����)���ωc�ωHH�����ωp > ωc�
�ω1 �ωc�ω2�ωp�ωHH��
250 �������(����)
15. ���������������x = 0����x��������� �
��������x = 0������������������
16. ����������� �������
17. ����������������������������� ��������������� ����
18. �����������������������������
19. �����������DZ �����(ωceωci)1/2����������
�������������������������������
20. ����������������������������DZ
k2zc2
ω2=
ω2pi
ω2ci − ω2
− k2rc2
2ω2+
[ω4pi
(ω2ci − ω2)2
+
(k2rc
2
2ω2
)2]1/2
,
��kz�kr��DZ����������
21. ���������������������� ����
22. ������������������Ex�Ey���� �
F (ω)(Ex − iEy) = 0, G(ω)(Ex + iEy) = 0,
������R�F (ω) = 0�G(ω) �= 0���L�G(ω) = 0�F (ω) �= 0�
23. ���������ω = ωce/2������������������
24. ������ω � ωce����������ω1/2�
25. ������ (����������)�������������
26. �103G��������������8mm��������������100cm�������������π/4���������
27. ����������DZn0���M1����DZ(1− ε)n0���M2���
�DZεn0��Ti1 = Ti2 = 0�Te �= 0�
(1) ���������������
8.5 ��� 251
(2) �εDZ�����ω2������
28. ��������������������������������k�����B0���ω0 = (ωceωci)
1/2����������������
�νe � ω0�νe � ω0���������
29. ����������� ����
(1) �����n ∼ 107m−3�B ∼ 10−3G�
(2) ��n ∼ 1012m−3�B ∼ 10G�
(3) ���n ∼ 1011m−3�B ∼ 1G�
(4) ����n ∼ 1020m−3�B ∼ 104G�
(5) ������n ∼ 1028m−3�B ∼ 103G.
30. ������������ ��������
31. ������������������� �������������������������M1�M2(M1 > M2)�������DZA1�A2(A1 +
A2 = 1)�
(1) ���� �������������������������ω2
pe�ωce(A1ωci+Aωci2)�ωciωci2(A1ωci2+A2ωci1)/(A1ωci1+A2ωci2)�
(2) �(1)��� �����������������������������������
32. �� ���� �������DZ100G.
33. ��� �������������������������
34. ������B0������������ �������
35. �������������DZ���DZ
q =ω
c
√ω2pe − ω2
ω2pe − 2ω2
.
36. �����������������ω/q < c�
��� ����������
������������������������������������
�������������������������������������
��������������������������������������
����DZ��������������������������������
�������������������������������������
������������������—�����������������������������������DZ�����������������
��∂u
∂t+ u
∂u
∂x= F. (9.1)
�� F DZ���� u∂u/∂xDZ�������������������������
����������������������������DZ�������DZ
u = cos kx,
������������������������������
u∂u
∂x= −k cos kx sin kx = −k
2sin 2kx.
�������������������������������������
���
DZ���������������������������������
���(9.1)������������������� u0������ u0 ����
�(9.1)������∂u1∂t
+ u0∂u1∂x
= F.
F DZ 0�������DZ�������
u(x, t) = u0 + u1 cos k(x− u0t),
9.1 ������� 253
����������� u0��������� u0���������������
��������������� �����������������
���������
9.1 �������
�����������������DZ����������������
��������������������DZ��������������
��� x−�������������������DZ∂u
∂t+ u
∂u
∂x= − e
me
E, (9.2)
�� u������ E�����������
∂E
∂x= 4πe(n0 − ne), (9.3)
�� n0������� ne������������
∂ne
∂t+∂(neu)
∂x= 0. (9.4)
��������
∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
cj,
� x−��������∂E
∂t= 4πeneu. (9.5)
�����(9.3)������� u������(9.5)����
∂E
∂t+ u
∂E
∂x= 4πen0u. (9.6)
��������d
dt=
∂
∂t+ u
∂
∂x,
��(9.2)�(9.6)�����DZ
du
dt= − e
meE,
dE
dt= 4πeneu. (9.7)
���������������
d2u
dt2+ ω2
peu = 0, (9.8)
254 ����������
�� ω2pe = 4πn0e
2/me �����������������������
��������������DZ������������������
�(9.7)�(9.8) �DZ�����DZ������������DZ����������������������������������������
��������(9.2)�(9.3)�(9.4)�(9.6)�����������������DZ��������� (a, τ)������� (x, t)����DZ
t = τ, x = a + ξ(a, τ), (9.9)
�� ξ(a, t)����DZ���DZ a������DZ τ �����������
ξ(a, τ)� DZ
ξ(a, τ) =
∫ τ
0
u(a, τ ′)dτ ′, (9.10)
�� u(a, τ)�����DZ a���������� 5.2��������������������(9.5)�������(9.6)�����������DZ
∂
∂τu(a, τ) = − e
meE(a, τ), (9.11)
∂E
∂τ= 4πen0u(a, τ). (9.12)
∂
∂τ
{n(a, τ)
[1 +
∫ τ
0
∂u(a, τ ′)∂a
dτ ′]}
= 0. (9.13)
���(9.11)�(9.12) ���E�����������������
∂2
∂τ 2u(a, τ) + ω2
peu(a, τ) = 0. (9.14)
�����������������������DZ��������
�(9.14)������(9.14)����DZ
u(a, τ) = U(a) cosωpeτ + V (a) sinωpeτ. (9.15)
�(9.15)���(9.11)�������������
E(a, τ) =ωpeme
e[U(a) sinωpeτ − V (a) cosωpeτ ] . (9.16)
���(9.13)��� τ �����������
n(a, τ) =n(a, 0)[
1 +1
ωpe
∂U(a)
∂asinωpeτ +
1
ωpe
∂V (a)
∂a(1− cosωpeτ)
] . (9.17)
9.1 ������� 255
��(9.15)�(9.16)�(9.17)�����������������������U(a)� V (a)����������U(a)�����DZ���������(9.15)��
U(a) = u(a, 0). (9.18)
V (a)������DZ������� t = 0������DZ
∂E(a, 0)
∂a= 4πe [n0 − n(a, 0)] .
���(9.16)� ���
∂V (a)
∂a= ωpe
[n(a, 0)
n0
− 1
]. (9.19)
�������������������������DZ�����
t = τ, x = a+ ξ(a, τ), (9.20a)
ξ(a, τ) =U(a)
ωpesinωpeτ +
V (a)
ωpe(1− cosωpeτ). (9.20b)
����(9.20)��� ���������� (a, τ) DZ���� (x, t)��
������(9.15)�(9.16)�(9.17)��������������������������������(9.20)������������������� a���
����������� x���������
������� �� ���������������������DZ
����������DZ������������DZ
n(a, 0) = n0(1 + Δcos ka). (9.21)
u(a, 0) = U(a) = 0. (9.22)
�(9.21)�(9.22)�(9.15)�(9.16)�(9.17)��������������������������
u(a, τ) =ωpe
kΔsin ka sinωpeτ, (9.23a)
E(a, τ) = −me
eω2pe
Δ
ksin ka cosωpeτ, (9.23b)
n(a, τ) = n01 + Δcos ka
1 + Δcos ka(1− cosωpeτ). (9.23c)
256 ����������
���������������DZ
t = τ, kx = ka+ α(τ) sin ka, (9.24)
��
α(τ) = 2Δ sin2(ωpeτ/2).
���� ��� |Δ| � 1����� a ≈ x�����(9.23)� Δ���
�����������
u(x, t) =ωpe
kΔsin kx sinωpet,
E(x, t) = −me
eω2pe
Δ
ksin kx cosωpet,
n(x, t) = n0(1 + Δcos kx cosωpet).
���������������DZDZ��������������
���������������������������������
�� ωpet = π/2� 3π/2�� n(x, t) = n0� ωpet = π �� α(τ) = 2Δ����
kx = ka + 2Δ sin ka��� �� Δ > 0�� kx = (2n + 1)π����������
� ���
nmax(ωpet = π) =1−Δ
1− 2Δn0.
Δ = 0.45��� ����5.5n0���������������������
������� �����9.1��������������������
���������������������������������
����������(9.24)��� sin ka� cos ka� kx�����������
sin ka�DZ kx�� ��
sin ka(x, t) =
∞∑n=1
an(t) sinnkx. (9.25)
����DZ
an(t) = (−1)n+1 2
nα(t)Jn[nα(t)], (9.26)
�� Jn(x)��������� �������������
9.1 ������� 257
� 9.1: Δ = 0.45������������������������
�(9.25)�(9.26)�(9.23)��������������������
u(x, t) =ωpe
kΔ
∞∑n=1
(−)n+1 2
nα(t)Jn[nα(t)] sinnkx sinωpet, (9.27a)
E(x, t) = −me
e
ω2pe
kΔ
∞∑n=1
(−)n+1 2
nα(t)Jn[nα(t)] sinnkx cosωpet, (9.27b)
n(x, t) = n0 +2n0Δ
α(t)
∞∑n=1
(−)n+1Jn[nα(t)] cosnkx cosωpet (9.27c)
������ ���������������������������
DZ k���������������������������������
� �� ������DZ�� t > 0������������������
��������� 50%�������������DZ�� �������
��������� 1 > |Δ| > 1/2�����DZ� |Δ| > 1/2����� ����
���������������������������DZ������
������������������� |Δ| > 1/2����������
� ����� �������DZ�������������������
��—��������������������������������������������������Æ��������������
�9.2����Δ = 0.45� Δ = 0.6���������������������
���������������������������
��������DZ���������� ���������������
258 ����������
� 9.2: Δ = 0.45�Δ = 0.6�����������
��������������������������������DZ
�������������a < b�������������������
�����DZ���
a + ξ(a, τ) < b+ ξ(b, τ).
�������������������
∂ξ(a, τ)
∂a> −1. (9.28)
�����(9.28)�����������������������(9.28)���������� ��
9.2 �������
����������������������DZ����������
����� ����������� �������������������
�������������������������������������
������������������������������������
����
������������������(9.9)�(9.10)����������������������DZ
∂p
∂τ= −eE. (9.29)
���(9.29)���� τ �������� �(9.12)����
∂2p
∂τ 2= −4πe2n0u = −ω2
pe
p√1 + (p/mc)2
. (9.30)
9.2 ������� 259
���������������� u = p/me
√1 + (p/mec)2�DZ��������
�����������������
ωpeτ → τ, p/mec→ p,
����(9.30)�DZ∂2p
∂τ 2+
p√1 + p2
= 0. (9.31)
�������������������� �� p � 1���(9.31)���������
∂2p
∂τ 2+ p = 0.
���(9.31)���������
1
2
(∂p
∂τ
)2
+√
1 + p2 = C(a), (9.32)
�� C(a)������������� a��������DZC =√1 + p2m(a)�
�� pm(a)�������������DZ������� a������(9.32)������������
∫dp√
(1 + p2m)1/2 − (1 + p2)1/2
=√2τ.
������DZ
T =√2
∫ pm
−pm
dp√(1 + p2m)
1/2 − (1 + p2)1/2, (9.33)
����DZ
ω =2π
T=
π√2∫ pm0
dp/√(1 + p2m)
1/2 − (1 + p2)1/2. (9.34)
���
I[pm(a)] =
√2
π
∫ pm
0
dp√(1 + p2m)
1/2 − (1 + p2)1/2, (9.35)
����������� pm(a)����������� ω = 1/I(pm)�������
�����������������������������������
260 ����������
������(9.35)������ �������������������� �������������� 1� pm � 1������
I[pm(a)] ≈2
π
∫ pm(a)
0
dp
(p2m − p2)1/2[1− (p2m + p2)/4]1/2
≈ 2
π
∫ pm
0
1 + (p2m + p2)/8
(p2m − p2)1/2dp
= 1 +3
16p2m(a).
������DZ
ω = 1− 3
16p2m(a). (9.36)
��������������� ���������������������
�������� ��
��� ��� pm � 1����
I(pm) ≈√2
π
∫ pm
0
dp√pm − p
=2√2
πp1/2m
������DZ
ω =π
2√2p
1/2m
. (9.37)
���������������DZ���
���������� ����������� ����������
����������������������� ������������
n =n0(1 + Δcos ka)
1 + Δcos ka[1− cosωτ − (3/8)Δ2τ sin2 ka sinωτ ], (9.38)
��
ω = 1− 3
16Δ2 sin2 ka,
kx = ka+ 2Δ sin2 ωτ sin ka.
���(9.38)�������������������������������
������������������������������������
����������������
9.3 ������� 261
9.3 �������
9.3.1 �����
�������������������������������(�� ����)�����������������������������������������������������
�������������������������������� �
�����DZ���������������� x−�������������DZ
0 = e∂φ
∂x− 1
ne
∂Pe
∂x.
������������������������������ ∂Pe/∂x =
Te∂ne/∂x� �������
ne = n0 exp
(eφ
Te
). (9.39)
��� ������� φ���������������DZ
∂ni
∂t+
∂
∂x(niui) = 0, (9.40a)
∂ui∂t
+ ui∂ui∂x
= − e
mi
∂φ
∂x. (9.40b)
����DZ�������������������������������
���∂2φ
∂x2= −4πe(ni − ne). (9.41)
���������
x
λDe→ x, ωpit→ t,
ni
n0→ n,
eφ
Te→ φ,
uics
→ u,
�����(9.40)�����(9.41)�DZ
∂2φ
∂x2= eφ − n, (9.42a)
∂n
∂t+∂(nu)
∂x= 0, (9.42b)
∂u
∂t+ u
∂u
∂x= −∂φ
∂x. (9.42c)
262 ����������
������ (φ, n, u)�������� η = x−Mt���M ������
���������� ∂/∂z = d/dη� ∂/∂t = −Md/dη���(9.42)�DZ
φ′′ = exp(φ)− n, (9.43a)
−Mn′ + (nu)′ = 0, (9.43b)
−Mu′ + uu′ = −φ′. (9.43c)
���(9.43b)������n(u−M) = −M. (9.44)
���������������� |η| → ∞� n = 1� u = 0����(9.43c)������
1
2(u−M)2 = −φ+
1
2M2. (9.45)
����������� φ(|η| → ∞) = 0�����(9.44)�(9.45)��� ��� u�
n =M
(M2 − 2φ)1/2. (9.46)
���(9.46)�(9.43a)��������� φ�����
d2φ
dη2= exp(φ)− M
(M2 − 2φ)1/2. (9.47)
���������������� φ′(|η| → ∞) = 0����
1
2φ′2 + V (φ) = 0, (9.48)
�� V (φ)DZ
V (Φ) = 1− eφ +M2[1−
√1− 2φ/M2
], (9.49)
��(9.48)�����DZ 1����DZ 0�������� V (x)�������
�����������DZ1
2x2 + V (x) = 0.
���� |t| → ∞������� x → 0��� V (x)��������������
�����DZ������� V (x)������������������
�� x � M2/2���DZ x(|t| → ∞) = 0������������ (0,M2/2)��
�������� (0,M2/2)������ V (x)��������������
��
V (x = 0) =dV (x)
dx
∣∣∣∣x=0
= 0,d2V (x)
dx2
∣∣∣∣x=0
= 1/M2 − 1
9.3 ������� 263
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−0.4
−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
x
V(x
)
� 9.3: M = 1.58���� V (x)�
���M > 1�� x = 0��� V (x) � ����M < 1�� x = 0��
� V (x)� ����M < 1���� V (x)� (0,M2/2)��������
���� 0������M ���� 1�M > 1����� (0,M2/2)����
��������9.3�M = 1.58�����DZ�������������
DZ 0���������� V (M2/2) � 0������������M � ���
M � 1.5852�
���� ���������������������������
(1, 1.5852)����������� � 1.2564�
������������������� 1� δM = M − 1������
δM � 1������ V (φ)��
V (φ) ≈ −φ2δM +1
3φ3,
��(9.48)�DZ1
2φ′2 =
1
3φ2(3δM − φ).
���������������������� �
φ = 3δMsech2(√δM/2η). (9.50)
��������DZ 3δM�������DZ (δM)−1/2��� ����������
���������������������9.4����������
9.3.2 ��� K-dV��
��������������������������������
��������K-dV����� ε ≡ δM���������������
264 ����������
−20 −10 0 10 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
η
Φ(η
)
� 9.4: δM = 0.1������������
����� (ε� 1)������(9.50)����� DZ√2
2
[ε1/2(x− t)− ε3/2t
].
������ �����(9.42)��������
ξ = ε1/2(x− t), τ = ε3/2t, (9.51)
��������DZ�
∂
∂x= ε1/2
∂
∂ξ,∂
∂t= ε3/2
∂
∂τ− ε1/2
∂
∂ξ. (9.52)
��� n�φ� u��������� εDZ����
n = 1 + εn1 + ε2n2 + · · · , (9.53a)
φ = εφ1 + ε2φ2 + · · · , (9.53b)
v = εu1 + ε2u2 + · · · . (9.53c)
��(9.52)���(9.53)���(9.42a)�DZ
ε∂2
∂ξ2(εφ1 + ε2φ2 + · · ·
)= 1+(εφ1+ε
2φ2+· · · )+ 1
2!(εφ1+· · · )2+· · ·−(1+εn1+ε
2n2+· · · ).
�����
ε(n1 − φ1) + ε2(∂2φ1
∂ξ2+ n2 − φ2 −
1
2φ21
)+ · · · = 0.
ε� ε2����DZ�����
n1 = φ1,
9.3 ������� 265
∂2φ1
∂ξ2+ n2 − φ2 −
1
2φ21 = 0.
�����(9.42b)��DZ
ε5/2∂n1
∂τ− ε3/2
∂n1
∂ξ− ε5/2
∂n2
∂ξ+ ε3/2
∂u1∂ξ
+ ε5/2∂(n1u1)
∂ξ+ ε5/2
∂u2∂ξ
+ · · · = 0.
�����
ε3/2(∂u1∂ξ
− ∂n1
∂ξ
)+ ε5/2
[∂n1
∂τ− ∂n2
∂ξ+∂(n1u1)
∂ξ+∂u2∂ξ
]+ · · · = 0.
ε3/2� ε5/2����DZ������
∂u1∂ξ
− ∂n1
∂ξ= 0,
∂n1
∂τ− ∂n2
∂ξ+∂(n1u1)
∂ξ+∂u2∂ξ
= 0.
��(9.42c)��DZ
ε5/2∂u1∂τ
− ε3/2∂u1∂ξ
− ε5/2∂u2∂ξ
+ ε5/2u1∂u1∂ξ
+ · · · = −ε3/2∂φ1
∂ξ− ε5/2
∂φ2
∂ξ+ · · · ,
�����
ε3/2(∂φ1
∂ξ− ∂u1
∂ξ
)+ ε5/2
(∂u1∂τ
+ u1∂u1∂ξ
− ∂u2∂ξ
+∂φ2
∂ξ
)+ · · · = 0.
ε3/2� ε5/2����DZ������
∂φ1
∂ξ− ∂u1
∂ξ= 0,
∂u1∂τ
+ u1∂u1∂ξ
− ∂u2∂ξ
+∂φ2
∂ξ= 0.
��������������
φ1 = n1,∂n1
∂ξ=∂u1∂ξ
,∂u1∂ξ
=∂φ1
∂ξ, (9.54)
∂2φ1
∂ξ2− φ2 −
1
2φ21 + n2 = 0, (9.55a)
∂n1
∂τ− ∂n2
∂ξ+∂(n1u1)
∂ξ+∂u2∂ξ
= 0, (9.55b)
∂u1∂τ
− ∂u2∂ξ
+ u1∂u1∂ξ
+∂φ2
∂ξ= 0. (9.55c)
266 ����������
����(9.54)������
φ1 = n1 = u1. (9.56)
��� �������������������������������
�(9.56)����(9.55)��
∂2n1
∂ξ2− φ2 −
1
2n21 + n2 = 0, (9.57a)
∂n1
∂τ− ∂n2
∂ξ+ 2n1
∂n1
∂ξ+∂u2∂ξ
= 0, (9.57b)
∂n1
∂τ− ∂u2
∂ξ+ n1
∂n1
∂ξ+∂φ2
∂ξ= 0. (9.57c)
���(9.57a)� �����
∂3n1
∂ξ3=∂(φ2 − n2)
∂ξ+ n1
∂n1
∂ξ. (9.58)
���(9.57b)���(9.57c)����
2∂n1
∂τ+∂(φ2 − n2)
∂ξ+ 3n1
∂n1
∂ξ= 0. (9.59)
���(9.58)�(9.59)������� n1���
∂n1
∂τ+ n1
∂n1
∂ξ+
1
2
∂3n1
∂ξ3= 0. (9.60)
������ K-dV���� D. J. Korteweg� G. de Vries� 1895���������������(9.56)���������������������DZ������������ ���(9.60)����.
K-dV��(9.60)������DZ��������
η = ξ −Mτ,
��K-dV����DZ
−Mn′ + nn′ +1
2n′′′ = 0.
�����������
−Mn +1
2n2 +
1
2n′′ = A.
9.4 ������ 267
�������� η = ±∞�� n1 = n′1 = n′′
1 = 0������A = 0� ����
������
1
4
(dn
dη
)2
+1
6n3 − 1
2Mn2 = 0.
����������������������
∫dn
n√M − n/3
=√2η.
�������DZ−2arc tanh(√
1− n/3M)/√M������
n = 3Msech2
(√M
2η
).
�� �����������������������
9.4 ������
�������������� ������ 1015 W����� ���� ���������� 1021 W/cm2� �������� ����
��������� �������������������� ������
������� ��DZ���������������������DZ���
���
� ������������
∇× E = −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0 (9.61a)
∇×B =1
c
∂E
∂t− 4π
cenu, ∇ · E = 4πe(n0 − n). (9.61b)
�������DZ∂p
∂t+ (u · ∇)p = −eE− e
cu×B. (9.62)
���������(9.61)�(9.62)��������DZ������������������ x− V t������������ x−���� V DZ������DZ
�����������
ωpe
c(x− V t) = η, V/c = β, (9.63)
268 ����������
�� ωpe = 4πn0e2/meDZ������������������
∂
∂x=ωpe
c
d
dη,∂
∂t= −ωpeβ
d
dη.
����������������DZ
ωpe
cex × E′ =
ωpe
cβB′,
ωpe
cex ·B′ = 0. (9.64a)
ωpe
cex ×B′ = −ωpe
cβE′ − 4π
cenu,
ωpe
cex ·E′ = 4πe(n0 − n). (9.64b)
���� ��� ����������DZ
−ωpeβp′ +
ωpe
c(ex · u)p′ = −eE− e
cu×B. (9.65)
��������������� E� � B DZ�����������
�������(9.62)������������ ������(9.64a)������������
B =1
βex × E, (9.66)
���(9.64b)������� ex��
ωpe
cβ(ex · E′) = −4π
cen(ex · u). (9.67)
���(9.64b)����(9.67)�����������������
n =n0β
β − (ex · u)/c. (9.68)
���(9.64b)������� ex��
ωpe
cex × (ex ×B′) = −ωpe
cβ(ex × E′)− 4π
cen(ex × u)
���(9.64a)����� �����������
B′ = −4πen(ex × u)
ωpe(β2 − 1). (9.69)
���(9.65)��� ex��
−ωpe(β − ex · u/c)(ex × p′) = −e(ex × E)− e
cex × (u×B)
= −eβB− e
c[(ex ·B)u− (ex · u)B]
= −e(β − ex · u/c)B,
9.4 ������ 269
B =ωpe
eex × p′. (9.70)
�����(9.70)� ���������(9.69)��
(ex × p)′′ =e
ωpe
B′ = − 4πne2
ω2pe(β
2 − 1)(ex × u). (9.71)
���(9.68) ��� n����
(ex × p)′′ = −mc β
β2 − 1
ex × u/c
β − ex · u/c. (9.72)
���(9.65)��� ex��� ����
−ωpe[(β − ex · u/c)(ex · p′)]′ = −e(ex · E′)− e
cex · (u×B)′. (9.73)
����(9.70)���(9.73)����DZ
−ecex · (u×B)′ = −ωpe
c[u · p′ − (u · ex)(ex · p′)]′ ,
������(9.73)��������
[β(ex · p′)− (u · p′)/c]′ =e
ωpe(ex · E′). (9.74)
��(9.67)���(9.74)������(9.68) ��� n�����
[β(ex · p′)− (u · p′)/c]′ = −mc ex · u/cβ − ex · u/c
. (9.75)
��(9.72)�(9.75)�������� �������������p/mec→ p����������������DZ�
d2
dη2
(βpx −
√1 + p2
)+
px
β√1 + p2 − px
= 0, (9.76a)
d2pydη2
+β
β2 − 1
py
β√1 + p2 − px
= 0, (9.76b)
d2pzdη2
+β
β2 − 1
pz
β√1 + p2 − px
= 0. (9.76c)
����������������Ex = 0�����������(9.67)��������� �����DZDZ������������ ���DZDZ�����
��(9.76a)����d2
dη2
√1 + p2 = 0.
270 ����������
�������DZ√1 + p2 = C1η + C2��� C1 � C2 ������������
������
p2 = p20 = const., (9.77)
�����(9.76b)�(9.76c)����
d2pydη2
+1
(β2 − 1)√
1 + p20py = 0, (9.78a)
d2pzdη2
+1
(β2 − 1)√1 + p20
pz = 0. (9.78b)
����(9.77)���(9.78)��� DZ
px = p0 cos(ωη + α), py = ±p0 sin(ωη + α), (9.79)
���� α�������� ω�DZ
ω =1
(β2 − 1)1/2(1 + p20)1/4. (9.80)
�������������������(9.63)����������
ω =β
(β2 − 1)1/2(1 + p20/m2c2)1/4
ωpe. (9.81)
�� p0��������
��������������
ω
k=
c
ε1/2, (9.82)
������ �����DZω
k= V = βc,
����(9.81)� β DZ�� ω� ωpe�� p0���
β2 =1
1− (ω2pe/ω
2)(1 + p20/m2c2)1/2
,
����������������DZ�
ε = 1−ω2pe
ω2(1 + p20/m2c2)1/2
. (9.83)
9.4 ������ 271
���������������DZ�������������(9.64a)���� ���(9.70)����
E = βωpe
ep′,
����� �(9.79)� ���
Ex = −ωep0 sin[ω(x/V − t)], (9.84a)
Ey = ±ωep0 cos[ω(x/V − t)], (9.84b)
��������� p0 ���������DZ p20 = e2E20/m
2��� E0 DZ�����
����������������� �DZ
ε = 1−ω2pe
ω2[1 + (eE0/mωc)2]1/2. (9.85)
���(9.84)������� ���DZ���������� �����������������������������������������
�����������������������
������ ������������������� ε > 0� ε = 0��
���������������������� ne = nc������������
����� ���������������������(9.85)��DZ
εt = 1− ne
nc
√1 + Iλ2/1.38× 1018
,
�� I DZ ���������DZW/cm2� λDZ ������DZ μm����DZ 1μm�� ����� � 1.38 × 1020W/cm2��� ��� 10�����������������DZ�����(relativistic transparency)��DZ����� ε��
����������������� �������������������
������������������� ����������������DZ
�������
�������� ������� �����������������
��DZ�����������������DZ�������� ux = 0����
����(9.67)� Ex = 0����������� ������ �������
����������������������� x− y�����������
�DZ��� x− y����� ��������������� p� 1�� ��
272 ����������
� py �� px�����������������DZ
d2pxdη2
+pxβ2
=1
β
[pyd2pydη2
+
(dpydη
)2], (9.86a)
d2pydη2
+1
β2 − 1py = 0. (9.86b)
��
px = − p20β
(3β2 + 1)cos[2η/(β2 − 1)1/2
], (9.87a)
py = p0 sin[η/(β2 − 1)1/2
], (9.87b)
���(9.86)������
9.5 ��
��φ�ϕ�����DZ
φ = ϕ+ z sinϕ, (9.88)
��ϕ�0���2π��φDZ�0���2π�������sinϕ�φ�������
DZ2π�������sinϕ�DZφ��� ��
sinϕ =
∞∑n=1
fn(z) sin nφ. (9.89)
�������fn��������
�DZ���������������� ��
eiz sinϕ =
∞∑n=−∞
Jn(z)einϕ, (9.90)
Jn−1(x) + Jn+1(x) =2n
xJn(x), (9.91)
��������� �
Jn(x+ y) =∞∑
k=−∞Jk(x)Jn−k(y). (9.92)
9.5 �� 273
�� �(9.92)�������
Jn
(m∑i=1
xi
)=
∞∑k1=−∞
· · ·∞∑
km−1=−∞Jn−k1−...−km−1(x1)Jk1(x2) . . . Jkm−1(xm) (9.93)
eiϕ =
∞∑n=−∞
aneinφ, (9.94)
����DZ
an =1
2π
∫ 2π
0
eiϕe−inφdφ =1
2π
∫ 2π
0
eiϕe−inφ dφ
dϕdϕ, (9.95)
��φ�ϕ�����(9.88)����
dφ
dϕ= 1 + z cosϕ = 1 +
z
2eiϕ +
z
2e−iϕ,
����(9.95)��
an =1
2π
∫ 2π
0
eiϕ(1 +
z
2eiϕ +
z
2e−iϕ
)e−inφdϕ
=1
2π
∫ 2π
0
[z2+ eiϕ +
z
2ei2ϕ]e−inφdϕ.
��
eiφ = ei(ϕ+z sinϕ) = eiϕeiz sinϕ = eiϕ∞∑
n=−∞Jk(z)e
ikϕ =∞∑
k=−∞Jk−1(z)e
ikϕ,
n > 0����
e−inφ =
[ ∞∑k=−∞
Jk−1(z)e−ikϕ
]n
=∞∑
m=−∞e−imϕ
∞∑k1,...kn−1=−∞
Jm−n−(k1−1)−···−(kn−1−1)(z)Jk1−1(z) . . . Jkn−1(z)
=∞∑
m=−∞e−imϕJm−n(nz).
274 ����������
n < 0����
e−inφ = ei|n|φ =
[ ∞∑k=−∞
Jk−1(z)eikϕ
]|n|
=∞∑
m=−∞eimϕ
∞∑k1,...kn−1=−∞
Jm−|n|−(k1−1)−···−(kn−1−1)(z)Jk1−1(z) . . . Jk|n|−1(z)
=∞∑
m=−∞eimϕJm−|n|(|n|z)
���n > 0���DZ
an =[z2J−n(nz) + J1−n(nz) +
z
2J2−n(nz)
]
=(1− n)
nJ1−n(nz) + J1−n(nz)
= (−)n−1 1
nJn−1(nz)
n < 0���DZ
an =[z2J−|n|(|n|z) + J−1−|n|(|n|z) +
z
2J−2−|n|(|n|z)
]
=(−1− |n|)
|n| J−1−|n| + J−1−|n|
= (−)|n|1
|n|J|n|+1(|n|z)
���(9.94)�������
sinϕ =
∞∑n=1
an sinnφ+
−∞∑n=−1
an sin nφ
=∞∑n=1
(−)n−1 1
nJn−1(nz) sin nφ−
∞∑n=1
(−)n1
nJn+1(nz) sin nφ
=∞∑n=1
(−)n−1 1
n[Jn−1(nz) + Jn+1(nz)] sin nφ
=
∞∑n=1
(−)n−1 2
nzJn(nz) sin nφ.
����(9.89)����DZ
fn(z) = (−)n−1(2/nz)Jn(nz). (9.96)
9.5 �� 275
��
1. ���� �B = B0ez����������� ���� �������
�����������������x���t� �����������
���x−��������∂2
∂τ 2ux(a, τ) + ω2
HHux(a, τ) = 0,
��ω2HH = ω2
pe + ω2ce�������(a, τ)�����(9.9)�(9.10)����
����
2. �������������� �����������������������DZ
ω = ωpe
(1− 3
16u2m
),
��um�����������
3. ��������x − y���� �����������������
�(9.76)���DZ
d2pxdη2
+pxβ2
=1
β
[pyd2pydη2
+
(dpydη
)2],
d2pydη2
+1
β2 − 1py = 0.
�������������
px(0) = − p20β
(3β2 + 1), px(0) = 0,
py(0) = 0, py(0) = p0(β2 − 1)−1/2,
���
4. K-dV�������������������V (x, τ)DZ����������
∂2
∂x2ψ(x, τ) + [E − V (x, τ)]ψ(x, τ) = 0,
��EDZ�����V (x/τ)�����Æ���������Æ�E�����
�τ� ����V (x, t)�������K-dV���
∂V
∂τ− 6V
∂V
∂x+∂3V
∂x3= 0,
276 ����������
�ψ(x, τ)���x�����|x| → ∞������������Æ�E�������τ�[ �����������V (x, τ) DZψ(x, τ)�����K-dV��������������
dE
dτψ2 =
∂Q
∂x,
��Q�ψ���]
��� �������������
�����������������������������������
��������������������������������������
��������������������������������������
�������������������������������������
�������������������������������������
��������������������������������
10.1 ������������������
�����������������������������������
�������������������������������������
������������DZ������������������������
���������������Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)������DZ���������������
10.1.1 �������������
�����������������������������������
����������DZ��������������������������
������������DZ
E = E(r) exp (−iωt) , B = B(r) exp(−iωt). (10.1)
�������������������������������������
��DZ���������������
∂ue
∂t= − e
mE(r)e−iωt. (10.2)
278 �������������
����������������������������
j = −ene(r)ue =iω2
pe(r)
4πωE, (10.3)
������� ωpe(r)����������� r��������������
����������
∇×E = iω
cB, (10.4a)
∇×B = −iωcε(r)E, (10.4b)
��
ε(r) = 1−ω2pe(r)
ω2= 1− ne(r)
nc
, (10.5)
�����������DZ��������
nc = ω2me/4πe2 (10.6)
���DZ ω����� �� ������(10.4)�������������������
∇2E−∇(∇ · E) + ω2
c2εE = 0, (10.7a)
∇2B+ω2
c2εB+
1
ε∇ε× (∇×B) = 0. (10.7b)
������������������������������ ��
�(10.7)�������(1)�������������������(2)���������������������
����������������������������������
������������������� �������������
��(10.3)���������
∇ · j = i
4πω∇ ·[ω2pe(r)E
].
��������∂
∂t(−eδne) +∇ · j = 0,
�� δne����������
eδne = −∇ ·[ω2pe(r)
4πω2E
]= −∇ ·
[ne
4πncE
].
10.1 ������������������ 279
�� ����∇ · E = −4πeδne����
∇ · (εE) = 0.
������DZ
∇ · E = −E · ∇εε
=E · ∇ne
nc(1− ne/nc). (10.8)
�����������������������������������
��������������������������� δne������
������������� ω�� ω = ωpe(r)�������������
����������������������������������
���������� ��������DZ���������������
10.1.2 ���������
����������������DZ��������������
������������� z����� z−��������������x−������
ne(r) = ne(z), ε = ε(ω, z),
E = exE(z) exp (−iωt) , B = eyB(z) exp(−iωt).
�(10.7a)������DZd2
dz2Ex +
ω2
c2εEx = 0. (10.9a)
�(10.7b)������DZ
d2
dz2By +
ω2
c2εBy −
1
ε
dε
dz
dBy
dz= 0, (10.10a)
������ ������(10.9a)�������
�����WKB���
����������������������������WKB����������������������� x−��� Ex = E�
�(10.9a)���d2E
dz2+ω2
c2ε(ω, z)E = 0. (10.11)
280 �������������
������(10.11)������
E(z) = E0(z) exp
[iω
c
∫ z
ψ(z′)dz′]. (10.12)
�(10.12)����(10.11)����
c2
ω2
d2E0
dz2+ i
2c
ωψdE0
dz− ψ2E0 + i
c
ω
dψ
dzE0 + εE0 = 0 (10.13)
�� c/ω = λ0/2π��� λ0 ������������ d/dz ∼ 1/L��� L��
���������������(10.13)�������
c2
ω2
d2E0
dz2∼(λ0L
)2
E0,c
ωψdE0
dz∼(λ0L
)ψE0,
c
ω
dψ
dzE0 ∼
(λ0L
)ψE0.
�����������Æ� L������������ λ0 ���� λ0/L
������� ε = λ0/L������(10.13)��� ε0�DZ �������
��� ψ����
−ψ2E0 + εE0 = 0. (10.14)
�����
ψ(z) =√ε(ω, z). (10.15)
������ ε1�DZ ����������������
2ψdE0
dz+dψ
dzE0 = 0. (10.16)
�����DZ
E0(z) =const√ψ. (10.17)
� �������(10.15)�(10.17)���(10.12)���������(10.36)�WKB���
E(z) =EFS
ε1/4exp
(iω
c
∫ z√ε(ω, z′)dz′
), (10.18)
�� EFS �������������������������DZ
B = −i cω∇× E ≈ eyEFSε
1/4 exp
(iω
c
∫ z√ε(ω, z′)dz′
). (10.19)
�������������������DZ�����������������
����������������
10.1 ������������������ 281
����(10.18)� ε−1/4 �������� ���������������
�������������������(�7.3����)�����������DZ
S =1
8π
kc2
ω|E|2. (10.20)
�������� ε− c2k2/ω2 = 0�� kc2/ω = ε1/2c���������������
��DZ
S =c
8πε1/2|E|2. (10.21)
�DZ���������������������������������
���c
8πε1/2|E|2 = c
8πE2
FS,
������ |E| = EFS/ε1/4�
���WKB��������(10.11)������������ (λ0/L)2
� (c2/ω2)(d2E0/dz2)����WKB������� DZ
∣∣∣∣d2E0
dz2
∣∣∣∣�∣∣∣∣ωc
dψ
dzE0
∣∣∣∣ =∣∣∣∣2ωc ψ
dE0
dz
∣∣∣∣ (10.22)
� E0(z)������(10.18)���(10.22)����
∣∣∣∣∣5
16
1
ε2
(dε
dz
)2
− 1
4
1
ε
d2ε
dz2
∣∣∣∣∣�∣∣∣∣ ω2c
1
ε1/2dε
dz
∣∣∣∣ . (10.23)
�������� ��
∣∣∣∣∣5
16
1
ε2
(∂ε
∂z
)2∣∣∣∣∣�
∣∣∣∣ ω2c1
ε1/2∂ε
∂z
∣∣∣∣ , (10.24a)
∣∣∣∣141
ε
∂2ε
∂z2
∣∣∣∣�∣∣∣∣ ω2c
1
ε1/2∂ε
∂z
∣∣∣∣ , (10.24b)
����(10.23)������������������� λ(z) = 2π/(ωε1/2/c)��
�(10.24)��� ∣∣∣∣λ∂ε∂z∣∣∣∣� 2π|ε|. (10.25)
��(10.25)�WKB������ �
282 �������������
��������
�������������� z0���� ε(ω, z0) = 0����DZDZ��
����WKB����� (10.25)���������WKB������������������ z0������(10.11)�����������DZ������� ε(ω, z)�����������
����������� ε(ω, z)��������
ε(ω, z) = ε(ω, z0) + (z − z0)∂ε/∂z + · · · ,
� ∂ε(z0)/∂z �= 0���������������������DZ��� ��
�����������DZ������
ne =
{0, z < 0,
nczL, z > 0,
����������DZ
ε = 1− z
L. (10.26)
�����(10.11)DZd2E
dz2+ω2
c2
(1− z
L
)E = 0. (10.27)
�� ��� ξ�
ξ = (ω2/c2L)1/3(z − L),
���(10.27)�DZd2E
dξ2− ξE = 0. (10.28)
����DZ������������������������������
�������
������������(10.28)������ DZ������� Ai(x)��
����� Bi(x)������
E(ξ) = αAi(ξ) + βBi(ξ).
���� α� β �� ���� ξ → ∞�� Bi(ξ) → ∞�����������DZ�������� ����������������� β = 0�����DZ
E(ξ) = αAi(ξ).
10.1 ������������������ 283
���������������� ������������(10.26)������������ � z = 0���� ξ = −(ωL/c)2/3�� (ωL/c) 1����
�������������������Ai(ξ)������
Ai(−ξ) ∼ |ξ|−1/4
√π
cos
(2|ξ|3/2
3− π
4
), when ξ 1,
���
Ez=0 =α√
π(ωL/c)1/6
{exp
[i
(2
3
ωL
c− π
4
)]+ exp
[−i(2
3
ωL
c− π
4
)]}
=α
2√π(ωL/c)1/6
ei(2ωL/3c−π/4)
[1 + exp
{−i(4
3
ωL
c− π
2
)}].
������ z = 0�����DZ����������DZ���������
�������������������������� �����
����DZ
Ez=0 = EFS {1 + exp (−iΦ)} ,
�� EFS ����������� ��������
α = 2√π(ωL/c)1/6EFSe
−i(2ωL/3c−π/4),
Φ =4
3
ωL
c− π
2.
�������� ������DZ
E(ξ) = 2√π(ωL/c)1/6EFSe
−i(2ωL/3c−π/4)Ai(ξ). (10.29)
����������������� ξ ≈ −1� (z − L) = −(c2L/ω2)1/3 ����
����������DZ
∣∣∣∣Emax
EFS
∣∣∣∣2
≈ 3.6(ωL/c)1/3.
��������������DZB = −i(c/ω)(∂E/∂z)ey��
B(ξ) = −i2√π(c/ωL)1/6EFSAi
′(ξ). (10.30)
������ � ξ = 0������DZ
|B (ξ = 0) | = 2√π(c/ωL)1/6EFSAi
′(0) = 0.9175(c/ωL)1/6. (10.31)
284 �������������
10.1.3 ���������
�����������������������������
���������������������������DZ����
�������������������DZ������ s����
������������� p�����������
�����DZ s��
������������������ z�������DZ� y − z �
���������� x−����������DZ
∂2Ex
∂y2+∂2Ex
∂z2+ω2
c2ε(ω, z)Ex = 0 (10.32)
�DZ���������� z−������ y−�������������ky = (ω/c) sin θ��� θ������Æ��
Ex = E(z) exp
(iω sin θ
cy
),
���������
d2E(z)
dz2+ω2
c2[ε(z)− sin2 θ
]E(z) = 0. (10.33)
�������(10.11)���������� ε(z)− sin2 θ = 0�������
����������� ���� ε = 1 − ne(z)/nc��������
��DZ
ne(z)/nc = cos2 θ,
������DZ����� ne = ncz/L����������������
� z = L cos2 θ�
�����DZ p��
� p��������������E · ∇ne �= 0����������
�����DZ ����������������������������
�����������������������������
��������DZ������� ���������� p������
���������������������
10.1 ������������������ 285
���� y − z�����DZ�� p���������DZ
E = Eyey + Ezez.
������DZ
∂2Ey
∂y2+∂2Ey
∂z2+ω2
c2ε(ω, z)Ey +
∂ ln ε(z)
∂z
∂Ey
∂y= 0, (10.34)
∂2Ez
∂y2+∂2Ez
∂z2+ω2
c2ε(ω, z)Ez +
∂
∂z
[Ez∂ ln ε(z)
∂z
]= 0. (10.35)
����� x−���������DZ∂2Bx
∂y2+∂2Bx
∂z2− ∂ ln ε
∂z
∂Bx
∂z+ω2
c2ε(ω, z)Bx = 0. (10.36)
���������(10.36)����
Bx = B(z) exp [i(ωt− sin θωy/c)] ,
���������
d2B
dz2− ∂ ln ε(z)
∂z
dB
dz+ω2
c2[ε(ω, z)− sin2 θ
]B = 0. (10.37)
���������∇×B = iωεE�������������
Ez =sin θB(z)
ε(z).
���� ε(z) = 0������ ε→ 0������
�������� ��� �������������������
�����������������������B(z = L)����� ��
���B(z = L cos2 θ)���������� ��� ��������DZ s
������
B(z = L) ≈ e−βB(z = L cos2 θ) = 0.9EFS(c/ωL)1/6e−β,
������ �DZ
β =
∫ L
L cos2 θ
ω
c
√z
L− cos2 θdz = (2ωL/3c) sin3 θ.
����������DZ
B(z = L) = 0.9EFS(c/ωL)1/6 exp
(−2ωL sin3 θ
3c
).
286 �������������
�����������DZ
Ez(z = L) =Ed
ε(z),
�����
τ = (ωL/c)1/3 sin θ,
���
Ed =EFS√2πωL/c
φ(τ).
�� φ(τ) = 2.3τ exp(−2τ 3/3)�
������������������������������� DZ
ε = 1−ω2pe
ω(ω + iν),
�� ν�������� ν � ω�������DZ
Iabs = limν→0
∫ ∞
0
νE2
z
8πdz =
1
8πlimν→0
∫ ∞
0
νsin2 θB2(z)
|ε|2 dz
=1
8πlimν→0
∫ ∞
0
ν
(1− z/L)2 + (z/L)2(ν/ω)2sin2 θB2(z)dz
=ωL
8πlimν→
∫(ν/ω)2
(1− z/L)2 + ν2sin2 θB2(z)d(z/L)
=ωL
8π
∫πδ(z/L− 1) sin2 θB2(z)d(z/L)
=ωL
8E2
d .
�����DZ I = cE2FS/8����������DZ
fabs =IabsI
=φ2(τ)
2.
10.1����������� (ωL/c)1/3 sin θ��������������Æ
DZ ���������DZ ��DZ������������������
����������������������������������
����DZ���� �������������������������
10.2 �����
���������������������������������
����������������������������������
10.2 ����� 287
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(ωL/c)1/3 sinθf ab
s
10.1: ���������(ωL/c)1/3 sin θ������
�� z−�������������������������������������� ����������������������������
��������� ��� ������������������
���DZ��������������DZ�����������������
������� vg = c(1− ne/nc)1/2�������������������
��������
vph = c(1− ne/nc)1/2.
��������������� �� ne/nc � 1��������
������������������������������������
�����DZ
γ =1√
1− v2ph/c2=
ωl
ωpe,
�� ωl ��������� ωl/ωpe 1�������������������
�������������������������������������
��DZ��������������������������������
�����
����������������������������DZ
∂δn
∂t+ ne∇ · u = 0, (10.38a)
me∂u
∂t= −eE+ Fp, (10.38b)
∇ · E = −4πeδn, (10.38c)
288 �������������
�� δn����� ne �������� Fp ���������(�3.10�)�
Fp = − e2
4meω2∇E2
l , (10.39)
�� El���������������������������DZ
I =c
8πE2
l ,
�������� DZ
Fp = −∇ I
2cnc
.
����� φp�����������
φp = − I
2cenc, (10.40)
��������DZ
Fp = e∇φp. (10.41)
����� φ������������ E = −∇φ� ��(10.38b)������
me∂
∂t∇ · u = −e∇ · E+∇ · Fp
= e∇2φ+ e∇2φp.
�������(10.38a)� ���(10.38c)� ���� u���� δn��
�� (∂2
∂t2+ ω2
pe
)∇2φ = −ω2
pe∇2φp.
������������� φ�����
(∂2
∂t2+ ω2
pe
)φ = −ω2
peφp. (10.42)
��(10.42)�����������������������
������ z−��������������������� φp �����
���� z − vgt���� z ��� t�DZ������������ φp���
��
φp(r, z, t) = φ0(r)f0(z − vgt) (10.43)
10.2 ����� 289
�� f0����������� φ0���������������(10.43)���(10.42)��������������
φ = φ0(r)f(z − vgt), (10.44)
�� f ������ (∂2
∂t2+ ω2
pe
)f = −ω2
pef0. (10.45)
�� ���
ξ = z − vgt, τ = t,
����(10.45)�DZ (d2
dξ2+ k2p
)f(ξ) = −k2pf0(ξ). (10.46)
�� kp = ωpe/vg��������������� ξ → +∞�� f0(ξ) = 0�����
���������������DZ����������� f(ξ) → 0����
� �DZ
f(ξ) = kp
∫ ∞
ξ
f0(ξ′) sin[kp(ξ − ξ′)]dξ′. (10.47)
��������������������
f0(ξ) = Imax exp
(− ξ2
2L2
).
������(10.47)�������
f(ξ) = i
√2π
4(kpL)Imaxe
−ikpξ−(kpL)2/2
×[ei2kpξ erf
(ξ/L+ ikpL√
2
)+ erf
(−ξ/L+ ikpL√
2
)− ei2kpξ + 1
].
�� erf(x)�� ���� ξ → −∞��
f(ξ) =√2πImaxkpLe
−(kpL)2/2 sin kpξ. (10.48)
�(10.48)������������������������������������� kpL��������� kpL = 1������������DZ
fmax/Imax =√2πe−1/2 = 1.52.
10.2������ kpL = 1��������������������
290 �������������
-3 -2 -1 0 1
-1
0
1
kpξ/2π
f(ξ)
/I max
激激激激
10.2: kpL = 1����������������������� ����
����
10.3 ������
��������������������kpL 1������
�����������������������������������
��������������������DZ��������������
����������������������������������
��������������������������������
��������������������(������������)�
10.3.1 ����������
����������������� ���������������
������(������������)����������������������������
���������������������������������
������������������������������
������������
B = ∇×A, (10.49a)
E = −∇φ− 1
c
∂A
∂t. (10.49b)
10.3 ������ 291
�� ������
∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
cj,
����������������
(1
c2∂2
∂t2−∇2
)A = −1
c
∂
∂t∇φ+
4π
cj. (10.50)
���������DZ���������������� �������
�������
j = jt + jl.
����������
∇ · jt = 0. (10.51)
���������DZ
0 =∂ρ
∂t+∇ · j = ∂ρ
∂t+∇ · jl.
����������������
∇2φ = −4πρ.
� ��� ���������������
∇ ·(∂
∂t∇φ− 4πjl
)= 0.
�����∂
∂t∇φ = 4πjl. (10.52)
����(10.50)�DZ (1
c2∂2
∂t2−∇2
)A =
4π
cjt. (10.53)
DZ�������������A · ∇ne = 0������ ��������
�������������
∂ut
∂t≈ − e
mE =
e
mc
∂A
∂t,
����� ut = (e/mc)A�������DZ
jt = −eneut = −e2ne
mcA, (10.54)
292 �������������
����A�����DZ
(1
c2∂2
∂t2−∇2
)A = −4πe2
mc2neA. (10.55)
�������DZ�����
A = A0 +As,
����������������������
ne = ne0 + δne,
�������DZ
(∂2
∂t2− c2∇2 + ω2
pe
)As = −4πe2
mδneA0. (10.56)
���������������� �������������
��
���������������������������������
�������������������������������������
��� ���������������
10.3.2 ������������
�������������������DZ��������������
����������DZ���������DZ
∂ne
∂t+∇ · (neue) = 0,
∂ue
∂t+ ue · ∇ue = − e
me
(E+
1
cue ×B
)− ∇Pe
neme
.
�������DZDZ���DZ��������ue = uet + uel���
B =∇×A =mec
e∇× uet =
mec
e∇× ue,
����������������∇× vel = 0��������
−ue · ∇ue − ue × (∇× ue) = −1
2∇ (ue · ue) ,
10.3 ������ 293
������������DZ
∂uel
∂t=
e
me∇φ− 1
2∇(uel +
eA
mec
)2
− ∇Pe
neme.
�������������������
∂ne1
∂t+ ne0∇ · uel = 0,
∂uel
∂t=
e
me∇φ− e2
m2ec
2∇ (A0 ·As)
2 − 3v2Te
ne0∇δne.
������������DZ γ = 3� v2Te = Te/meDZ�����������
���������� ��� ��� φ����������������
�� (∂2
∂t2− 3v2Te∇2 + ω2
pe
)δne =
n0e2
m2ec
2∇2(A0 ·As).
��������������������������������
��
10.3.3 ���������
����������������������������������
�e
m∇φ− e2
m2c2∇ (A0 ·As)
2 − v2Te
n0∇δne = 0,
�������������������������������������
��DZ γ = 1������������������������������
�������DZ∂δni
∂t+ ni0∇ · uil = 0,
∂uil
∂t= −Ze
mi
∇φ,
���������������� ����DZ������DZ��������
������������������������� ���������
∂2δni
∂t2− ni0Ze
mi∇2φ = 0
����������
δne = Zδni
294 �������������
���������������DZ(∂2
∂t2− c2s∇2
)δne =
Zn0e2
memic2∇2(A0 ·As).
������������������DZ�����������
������DZ�������
10.3.4 ������
������������������������������
������� ��������������������������
���� �������������������� �������
DZ�������� ��
������������DZ(∂2
∂t2− c2∇2 + ω2
pe
)As = −4πe2
meδneA0,(
∂2
∂t2− 3v2Te∇2 + ω2
pe
)δne =
n0e2
m2ec
2∇2(A0 ·As).
��������DZ
A0 = A0 cos(k0 · r− ω0t),
�������������������������
(ω2 − k2c2 − ω2pe)As(k, ω) =
4πe2
2me
A0[δne(k− k0, ω − ω0) + δne(k+ k0, ω + ω0)],
(ω2 − 3k2v2Te − ω2pe)δne(k,ω) =
k2e2n0
2m2ec
2A0 · [As(k− k0, ω − ω0) +As(k+ k0, ω + ω0)].
��������������DZ (k, ω)���������DZ (k− k0, ω − ω0)
� (k + k0, ω + ω0)������������������������DZ
�����������������������DZ�����������
������������������������ δne(k− 2k0, ω − 2ω0)�
δne(k+ 2k0, ω + 2ω0)��������
ω2 − ω2epw =
ω2pek
2v2osc4
[1
D(ω − ω0,k− k0)+
1
D(ω + ω0,k+ k0)
].
��
D(ω,k) = ω2 − k2c2 − ω2pe,
10.3 ������ 295
vosc =eE0
meω0c=
eA0
mec2.
����������������� ���������������
��� 1/D(ω + ω0,k+ k0)����
(ω2 − ω2epw)[(ω − ω0)
2 − (k− k0)2 − ω2
pe] =ω2pek
2v2osc4
.
�����������
ω = ωepw + iγ, γ � ωepw
������
(ωepw − ω0)2 − (k− k0)
2 − ω2pe = 0.
���������
γ =kvosc4
[ω2pe
ωepw(ω0 − ωepw)
]1/2.
����������������������������������
����������������������������������
DZ νe��������DZ νs������
(γ + νe)(γ + νs) = γ20 .
���������������DZ
γ0 ≥√νeνs.
10.3.5 �������
�������������������������� ����
����������������DZ(∂2
∂t2− c2∇2 + ω2
pe
)As = −4πe2
meδneA0,(
∂2
∂t2− c2s∇2
)δne =
Zn0e2
memic2∇2(A0 ·As).
�������� ����������������
ω2 − k2c2s =k2v2oscω
2pi
4
[1
D(ω − ω0,k− k0)+
1
D(ω + ω0,k+ k0)
].
296 �������������
����������DZ
γ =1
2√2
k0voscωpi√ω0k0cs
.
�������������������DZ
γ >√νiνs.
���������������������������������
����������������������(two plasmon decay instability)����������(Langmuir decay instability)�����������(ion-acousticdecay instability)����������������������DZ���������������������������������DZ��������
�����������������������������DZ������
����������������������� DZ
EM → EM + IAW (stimulated Brillouin scattering);
EM → EM + EPW (stimulated Raman scattering);
EM → EPW + EPW (two plasmon decay instability);
EM → EPW + IAW (ion-acoustic decay instability);
EPW → EPW + IAW (Langmuir decay instability).
��������������������������������������
������������������������������� ���
���������������������������������
��� � �����������������������������
��������� ���������������������������
�������������
��
�����������������(10.28)��
E(ξ) =
∫C
F (s)esξds. (10.57)
�����������(10.28)����∫C
(s2 − ξ)F (s)esξds = 0. (10.58)
10.3 ������ 297
�����
− F (s)esξ∣∣C+
∫C
[s2F (s) +
dF (s)
ds
]esξds = 0. (10.59)
�����������������F (s)������
dF
ds+ s2F = 0.
�����DZ
F (s) = exp(−s3/3). (10.60)
�������������������
F (s)esξ∣∣C= exp(−s3/3 + sξ)
∣∣C= 0. (10.61)
������������ s−��������������
−π6< arg(s) <
π
6,π
2< arg(s) <
5π
6, − 5π
6< arg(s) < −π
2, (10.62)
� |s| → ∞��exp(−s3/3 + sξ)�������DZ �������������
�� �������������������������������
�������������������������DZ
fn(ξ) =1
2πi
∫Cn
e−s3/3+sξds, n = 1, 2, 3. (10.63)
n = 1����DZAi(ξ)�DZ��������� ξ��������������
������
Ai(ξ) =2
π
∫ ∞
−∞cos
(x3
3+ ξx
)dx. (10.64)
�������(10.63)���������������DZ���������
f2(ξ) = e−i2π/3Ai(ξe−i2π/3),
f2(ξ) = ei2π/3Ai(ξei2π/3).
���������
Bi(ξ) = i[f2(ξ)− f3(ξ)],
DZ���������Ai(ξ)��������������10.3���������
298 �������������
−15 −10 −5 0 5
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
Ai(x
)
−15 −10 −5 0 5−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x
Bi(x
)
10.3: �������Ai(x)�������Bi(x)����
����DZ��������� �
Ai(ξ) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
√ξ
3
[I−1/3
(2
3ξ3/2)− I1/3
(2
3ξ3/2)]
, for ξ > 0,√|ξ|3
[J1/3
(2
3|ξ|3/2
)+ J−1/3
(2
3|ξ|3/2
)], for ξ < 0,
Bi(ξ) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
√ξ
3
[I−1/3
(2
3ξ3/2
)+ I1/3
(2
3ξ3/2)]
, for ξ > 0,√|ξ|3
[J−1/3
(2
3|ξ|3/2
)− J−1/3
(2
3|ξ|3/2
)], for ξ < 0.
� ξ → +∞������������
Ai(ξ) ∼ ξ−1/4
2√πexp
[−2ξ3/2
3
],
Bi(ξ) ∼ ξ−1/4
2√πexp
[2ξ3/2
3
].
� ξ → −∞������������
Ai(ξ) ∼ |ξ|−1/4
√π
cos
(2|ξ|3/2
3− π
4
),
Bi(ξ) ∼ |ξ|−1/4
√π
sin
(2|ξ|3/2
3− π
4
).
�������� ξ = −1.018793��������DZ
Aimax = 0.5356.
���� ����������
�����������������������������������
������DZ�����������������DZ�������������
��������������������DZ����������������
��������������������������������������
�������������������������������������
������������������������� g��DZ��������
��������������
11.1 �����������������
�����������N ����������������������
����
wN = AN exp(−EN/T ), (11.1)
�� EN � N �������� T ������� AN ��������������
���������DZ����
EN =
N∑i=1
p2i
2m+ ΦN , (11.2)
�� pi ������� ΦN �������������������������
���N ��������������DZ
wN =1
N !
1
(2π�)3N1
QN(V, T )exp
[−(
N∑i=1
p2i2m
+ ΦN
)/T
], (11.3)
�� �DZ�����QN(V, T )������� �DZ
QN(V, T ) =1
N !
∫exp
[− 1
T
(N∑i=1
p2i /2m+ ΦN
)]d3Npd3Nr
(2π�)3N, (11.4)
300 ����������
����� d3Npd3Nr � d3p1d3r1 · · · d3pNd3rN ������(11.4)��������
�����DZ�������������
∫ ∞
−∞exp
(− p2
2mT
)dp =
√2πmT,
����������DZ
QN(V, T ) =(2πmT )3N/2
N !(2π�)3N
∫exp [−ΦN/T ] d
3Nr =1
N !λ3NTZN(V, T ), (11.5)
��
λT =2π�√2πmT
(11.6)
��������������ZN(V, T )�DZ������ �DZ
ZN(V, T ) =
∫e−ΦN/Td3Nr. (11.7)
�������������QN(V, T )�������������DZ
F (V, T ) = −T lnQN (V, T ). (11.8)
���������������������DZ
dF (V, T ) = −SdT − PdV, (11.9)
�� S ������ P �����������(11.8)(11.9)��������������
S = −(∂F
∂T
)V
, P = −(∂F
∂V
)T
. (11.10)
�������������������������������������
���������������
����������������������������������
��������������DZ
ΦN = 0,
����(11.7)����������DZZ idN = V N
������������DZ
QidN(V, T ) =
V N
N !λ3NT.
11.2 ������������ 301
�������� lnN ! ≈ N lnN −N ������������������
F id = −NT[ln
V
λ3TN+ 1
]. (11.11)
����������(11.10)��������������
S = N
(ln
V
λ3TN+
5
2
), P =
NT
V= nT. (11.12)
�� n = N/V ��������
���������������DZ
QN (V, T ) = QidN(V, T )
ZN(V, T )
V N. (11.13)
������������������DZ
F = F id + F ex, (11.14)
�� F ex��������������������������� �DZ
F ex = −T lnZN(V, T )
V N. (11.15)
11.2 ������������
�������������N ���������������������
�����������������������������
� N �����������(11.3)�������������������N ��������������
DN(r1, · · · , rN) =∫wN
N∏i=1
d3pi=exp(−ΦN/T )
ZN(V, T ). (11.16)
���������N ��������DN �����������������
������DZ����������������������
������������� ������������������
�� s���������
Gs(r1, · · · rs), s = 1, 2, · · · (11.17)
302 ����������
������� ��������
1
V sGs(r1, · · · rs)d3r1 · · ·d3rs
��� s�������������� r1 → r1 + d3r1, · · · , rN → rs + d3rs����
��� �������Gs���������DN �����DZ
Gs(r1, · · · rs) = V s
∫V
· · ·∫V
DN (r1, · · · , rN)N∏
i=s+1
d3ri. (11.18)
������������Gs��������������������
�
A =∑
1≤i1<···<is≤N
a(ri1 , · · · ris), (11.19)
�� a � N ������� s ��� �������(11.19)����N !/s!(N − s)! ��� s ������������ DN ��������
�(11.19)�����DZ
〈A〉 =∫V
· · ·∫V
ADN(r1, · · · , rN)N∏i=1
d3ri
=N !
V ss!(N − s)!
∫V
· · ·∫V
a(r1, · · · rs)Gs(r1, · · · rs)s∏
i=1
d3ri. (11.20)
�DZ������������������������ �������
�������������������������DZ
Φ =∑
1�i<j�N
φ(rij), (11.21)
�� φ(rij)� i���� j ������������ rij ������ ���
������(11.20)�������������DZ
U = 〈Φ〉 = N(N − 1)
2V 2
∫V
∫V
φ(r12)G2(r1, r2)d3r1d
3r2
= Vn2
2
∫φ(r)G2(r)d
3r.
������������������������������������
�������������������� ���G2(r1, r2) = G(r12)��
�������� ��
N, V → ∞, limN,V→∞
N
V= n. (11.22)
11.2 ������������ 303
���� ����������������������������
�����������G2������������������
11.2.1 ��������
����������������(11.14)(11.15)�������������������DZ��������������������������
���������� ��� 0� 1���������������
�����������DZ
λΦ = λ∑
1�i<j�N
φ(rij). (11.23)
�� λ = 0����������� λ = 1������������������
����(11.8)���(11.23)��������DZ
F (V, T ;λ) = −T ln
[1
N !λ3NT
∫V
· · ·∫V
exp (−λΦ/T )N∏i=1
d3ri
], (11.24)
�����(11.24)����� ���
∂F (λ)
∂λ=
∫V· · ·∫VΦexp (−λΦ/T )
∏i
d3ri
∫V· · ·∫Vexp (−λΦ/T )
∏i
d3ri=V
2n2
∫φ(r)G2(r;λ)d
3r, (11.25)
�� G2(λ; r)�����DZ(11.23)������������
G2(r;λ) = V 2
∫V· · ·∫Vexp (−λΦ/T )
N∏i=3
d3ri
∫V· · ·∫Vexp (−λΦ/T )
N∏i=1
d3ri
.
��(11.25)���� λ������� F (V, T ;λ = 0)������������
���� F id���(11.23)����DZ
F = F id +V
2n2
∫ 1
0
dλ
∫V
φ(r)G2(r;λ)d3r. (11.26)
����(11.15)����
F ex =V
2n2
∫ 1
0
dλ
∫V
φ(r)G2(r;λ)d3r. (11.27)
304 ����������
11.2.2 ���������
����������������G2(r;λ)����� P = −(∂F/∂V )T �
���(11.26)������������������������� ����DZ����������������������������������DZ�
�����
���������QN ����(11.8)��������(11.10)������������������DZ
P = T∂ lnQN
∂V= T
1
QN
∂QN
∂V. (11.28)
DZ������ ∂QN/∂V����������
QN (V, T ;λ) = λ3N∫
· · ·∫
V
exp
[−
∑1�i<j�N
φ(λrij)/T
]N∏i=1
d3ri, (11.29)
�� λ�������������� λ = 1��� QN(V, T ;λ = 1) = QN(V, T )�
�λ �= 1����(11.29)�����������r→ λr����
QN(V, T ;λ) =
∫· · ·∫
V ′
exp
[−
∑1�i<j�N
φ(rij)/T
]N∏i=1
d3ri = QN (V′, T ).
���V ′ ���V �������V ′
V= λ3.
��
∂QN (V, T )
∂V= lim
V ′→V
QN (V′, T )−QN(V, T )
V ′ − V= lim
λ→1
QN (V, T ;λ)−QN(V, T ; 1)
V λ3 − V
= limε→0
QN (V, T ; 1 + ε)−QN (V, T ; 1)
V (1 + 3ε)− V=
1
3V
[∂QN (V, T ;λ)
∂λ
]λ=1
. (11.30)
�QN(V, T ;λ) ���λ ����
∂QN (V, T ;λ)
∂λ=
3N
λQN − λ3N
T
∫· · ·∫
V
∑1�i<j�N
rijφ′(λrij)e−
∑1�i<j�N φ(λrij)/T
N∏i=1
d3ri.
���� λ = 1����
∂QN (V, T ;λ)
∂λ
∣∣∣∣λ=1
= 3NQN − N(N − 1)
2T
∫· · ·∫
V
rijφ′(rij)e−
∑1�i<j�N φ(rij)/T
N∏i=1
d3ri
= 3V QN
[n− n2
6T
∫rdφ(r)
drG2(r)d
3r
],
11.2 ������������ 305
���������DZ
P =T
3V QN
[∂QN (V, T ;λ)
∂λ
]λ=1
= nT − n2
6
∫rdφ(r)
drG2(r)d
3r. (11.31)
11.2.3 ������
������DZ������������W ����� V �����
���������W ������������������
fW (r) =
{1, if r ∈ W,
0, if r /∈ W.(11.32)
�����W �����DZ
NW =
N∑i=1
fW (ri). (11.33)
��������DZ
〈NW 〉 = N
V
∫V
fW (r)G1(r)d3r = n
∫W
G1(r)d3r.
�� G1 ��������������������������� ��
����� V �����������������G1 = 1��������
〈NW 〉 = nW�
�W �������DZ
⟨(NW − 〈NW 〉)2
⟩=
∫V
· · ·∫V
{N∑i=1
[fW (ri)− α]
}2
DN
N∏i=1
d3ri, (11.34)
�� α =∫WG1d
3r/V����(11.34)������������
⟨(NW − 〈NW 〉)2
⟩= 2
∫V
· · ·∫V
DN
∑1�i<j�N
[fW (ri)− α] [fW (rj)− α]
N∏i=1
d3ri
+
∫V
· · ·∫V
DN
N∑i=1
[fW (ri)− α]2N∏i=1
d3ri
=N(N − 1)
V 2
∫V
∫V
G2(r1, r2) [fW (r1)− α] [fW (r2)− α] d3r1d3r2
+N
V
∫V
G1(r) [fW (r)− α] d3r,
306 ����������
� ����������������
N(N − 1)
V 2
∫V
∫V
G2(r1, r2) [fW (r1)− α] [fW (r2)− α] d3r1d3r2
=N(N − 1)
V 2
∫W
∫W
[G2(r1, r2)−G1(r1)G1(r2)]d3r1d
3r2,
N
V
∫V
G1(r) [fW (r)− α] d3r = 〈NW 〉(1− 〈NW 〉
N
),
����W ������DZ
⟨(NW − 〈NW 〉)2
⟩=N(N − 1)
V 2
∫W
∫W
[G2(r1, r2)−G1(r1)G1(r2)]d3r1d
3r2+〈NW 〉(1− 〈NW 〉
N
).
��W DZ�������������������������������
��
〈δn2〉 = n + n2
∫[G2(r)− 1]d3r. (11.35)
11.3 Yvon-Born-Green���
������������������������������
�����������������������������������
�����������������������������������
���������������������������
�����(11.16)����� ri (1 � i � s)�����
∂DN
∂ri+
1
T
∂ΦN
∂riDN = 0. (11.36)
���������� V s����� rs+1, · · · , rN �����������
� �(11.18)����
∂Gs
∂ri+
1
TV s
∫V
· · ·∫V
∂ΦN
∂riDN
N∏i=s+1
d3ri = 0, (1 � i � s). (11.37)
��� ∂ΦN/∂ri�������
∂ΦN
∂ri=
∂
∂ri
∑1�k<j�s
φ(|rk − rj|) +∂
∂ri
∑s+1�j�N
φ(|ri − rj |)
≡ ∂Φs
∂ri+
∂
∂ri
∑s+1�j�N
φ(|ri − rj|),
11.3 Yvon-Born-Green��� 307
�� Φs =∑
1�k<j�s φ(|rk − rj|)� s��������������(11.37)������DZ
V s
∫V
· · ·∫V
∂ΦN
∂riDN
N∏i=s+1
d3ri = V s
∫V
· · ·∫V
[∂Φs
∂ri+
∂
∂ri
∑s+1�j�N
φ(|ri − rj|)]DN
N∏i=s+1
d3ri
=∂Φs
∂riGs +
N − s
V
∫V
∂φ(|ri − rs+1|)∂ri
Gs+1d3rs+1.
����(11.37)��DZ
∂Gs
∂ri+
1
T
∂Φs
∂riGs +
1
T
N − s
V
∫V
∂φ(|ri − rs+1|)∂ri
Gs+1d3rs+1 = 0, (1 � i � s). (11.38)
��������� ��(11.36)���������� s���������
�����������(11.38)����� s���������� s + 1��
������������ s = 1, · · · , N������� N ��������
������������DN ��� �� ����������
�����������(11.38)������������(11.38)�����������������������������
�������������������(11.38)� DZ�����������������������������������(11.38)� ��DZ����� ����������������������� (11.38)��������������
���������������������N �������������
���������������������������(11.38)����� ������������������
∂Gs
∂ri+
1
T
∂Φs
∂riGs +
n
T
∫V
∂φ(|ri − rs+1|)∂ri
Gs+1d3rs+1 = 0, (1 � i � s). (11.39)
�����DZ Yvon-Born-Green�� ���DZ YBG�� ����� (11.39)�������������������������
�������� �������������������������
���������
Gs(r1, · · · rs)−s∏
i=1
G1(ri) → 0, for all the |ri − rj | → ∞. (11.40)
������
limV→∞
1
V
∫V
G1(r)d3r = 1, (11.41)
308 ����������
limV→∞
1
V
∫V
Gs+1(r1, · · · rs+1)d3rs+1 = Gs(r1, · · · rs). (11.42)
11.4 ����
�DZ YBG���������������������������—������������������������������ �������
�� r0���������������� �������������
��� �����������������Lennard-Jones�������
φ(r) = 4u(R−12 − R−6), R = r/r0.
�� u��������������������� ������������
��� ��������� ����������� ��� 1/r6������
����� �������������������� ���������
�������������������������������������
������������������ � r0������ � n1/3 ���DZ��
nr30 � 1�������� 1��� ���������������������
����(11.39)� ���nr30�������� nr30DZ�����������
����(11.39)��������������(11.31)�������������������������������
11.4.1 �������
�������������DZ��(������ nr30 )���������������
Gs = G(0)s + nG(1)
s + n2G(2)s + · · · (11.43)
����(11.43)��YGB�� (11.39)�� ���� n�������
∂G(0)s
∂ri+
1
T
∂Φs
∂riG(0)
s = 0, (1 � i � s) (11.44)
∂G(1)s
∂ri+
1
T
∂Φs
∂riG(1)
s +1
T
∫∂φ(|ri − rs+1|)
∂riG
(0)s+1d
3rs+1 = 0, (1 � i � s) (11.45)
���������DZ
G(0)s (r1, · · · rs)−
s∏i=1
G(0)1 (ri) → 0, for all the |ri − rj| → ∞, (11.46)
11.4 ���� 309
G(1)s (r1, · · · rs)−
s∑i=1
G(1)1 (ri)
∏j �=i
G(0)1 (rj) → 0, for all the |ri − rj| → ∞, · · · (11.47)
��
limV→∞
1
V
∫V
G(0)1 (r)d3r = 1, lim
V→∞1
V
∫V
G(1)1 (r)d3r = 0. (11.48)
��������������
G(0)s = C(0)
s (r1, . . . , rs) exp (−Φs/T ) ,
�������(11.44)��
∂C(0)s
∂ri= 0, (1 � i � s).
������ C(0)s ��������(11.46)���� C
(0)s = [C
(0)1 ]s������
�(11.48)���� C(0)1 = 1�������������������
G(0)s = exp (−Φs/T ) , G
(0)1 = 1. (11.49)
������(11.49)������(11.45)����
∂G(1)s
∂ri+
1
T
∂Φs
∂riG(1)
s +1
T
∫∂φ(|ri − rs+1|)
∂riexp (−Φs+1/T ) d
3rs+1 = 0. (11.50)
����������DZ�����
1
T
∂φ(|ri − rs+1|)∂ri
e−Φs+1/T = −e−Φs/T∂
∂riexp
{− 1
T
s∑j=1
φ(|rj − rs+1|)}
= −e−Φs/T∂
∂ri
s∏j=1
[1 + f(|rj − rs+1|)] ,
����������
Φs+1 = Φs +
s∑j=1
φ(|rj − rs+1|), (11.51)
������
f(r) = exp [−φ(r)/T ]− 1. (11.52)
����(11.50)��DZ
∂G(1)s
∂ri+
1
T
∂Φs
∂riG(1)
s = e−Φs/T∂
∂ri
∫ s∏j=1
[1 + f(|rj − rs+1|)] d3rs+1. (11.53)
310 ����������
��(11.53)�������������
1 +
s∑j=1
f(|rj − rs+1|)
����������� f(r)� � r����������∫f(r)d3r����
���������������
∂
∂ri
∫ [1 +
s∑i=j
f(|rj − rs+1|)]d3rs+1 = 0.
����(11.53)�������
∂G(1)s
∂ri+1
T
∂Φs
∂riG(1)
s = e−Φs/T∂
∂ri
∫ { s∏j=1
[1 + f(|rj − rs+1|)]− 1−s∑
j=1
f(|rj − rs+1|)}d3rs+1.
(11.54)�����������������
G(1)s = C(1)
s (r1, · · · , rs) exp (−Φs/T ) , (11.55)
������(11.54)���������C(1)s ���
∂C(1)s
∂ri=
∂
∂ri
∫ { s∏j=1
[1 + f(|rj − rs+1|)]− 1−s∑
j=1
f(|rj − rs+1|)}d3rs+1.
����������
C(1)s =
∫ { s∏i=1
[1 + f(|ri − rs+1|)]− 1−s∑
i=1
f(|ri − rs+1|)}d3rs+1 + ks,
�� ks DZ�����������������������������
���DZ������������DZ
G(1)s = e−Φs/T
∫ { s∏i=1
[1 + f(|ri − rs+1|)]− 1−s∑
i=1
f(|rs − rs+1|)}d3rs+1. (11.56)
��(11.49)(11.56)��������������������
Gs = e−Φs/T
{1 + n
∫ [ s∏i=1
[1 + f(|ri − rs+1|)]− 1−s∑
i=1
f(|ri − rs+1|)]d3rs+1
}
(11.57)����������������G2����(11.57)��s = 2����
G2(r) = e−φ(r)/T
[1 + n
∫f(|r− r′|)f(r′)d3r′
]. (11.58)
11.5 ������ 311
11.4.2 ����
������������������������������(11.58)����(11.31)����
P
nT= 1− n
6T
∫rdφ
dre−φ/T
[1 + n
∫f(|r− r′|)f(r′)d3r′
]d3r. (11.59)
���
− 1
T
dφ
dre−φ/T =
d
dre−φ(r)/T =
d
drf(r),
��(11.59)������DZ
− n
6T
∫rdφ
dre−φ(r)/T d3r = −n
2
∫f(r)d3r.
��(11.59)������DZ
− n2
6T
∫∫rdφ
dre−φ(r)/T f(|r− r′|)f(r′)d3rd3r′ = n2
6
∫∫rdf(r)
drf(|r− r′|)f(r′)d3rd3r′.
� r������∫∫rdf(r)
drf(|r− r′|)f(r′)d3rd3r′ = −2
∫∫f(r)f(|r− r′|)f(r′)d3rd3r′,
��������������������������
p
nT= 1− β1
2n− 2β2
3n2 − · · · , (11.60)
���� β1 β2DZ
β1 =
∫f(r)d3r, β2 =
1
2
∫∫f(|r− r′|)f(r)f(r′)d3rd3r′. (11.61)
�� β1 β2�DZ����� �����
11.5 ������
����������������������������������
�����DZ���
φ(r) ∝ 1
r.
����� ������������������������������
���∫f(r)d3r����������������������������
��������
312 ����������
11.5.1 �������
���������� ������������DZ����������
� ����DZ������������������������DZ�
���������DZ��������
��������(11.39)����DZ���������������(11.39)��� s = 2 i = 1��� s = 2�� Φ2 = φ(r12) = e2/r12�����������
∂G2
∂r1+
1
T
∂φ(r12)
∂r1G2 +
n
T
∫V
∂
∂r1φ(r13)G3d
3r3 = 0. (11.62)
DZ����������������������������
G2(r1, r2) = G1(1)G1(2) + C(1, 2)
G3(r1, r2, r3) = G1(1)G1(2)G1(3) + C(1, 2) + C(2, 3) + C(1, 3) +R(1, 2, 3),
�� C ��������� R� ����������������� ���
������������� ���������� C → 0� �������
����������� ���� ������R → 0�
�����������G1 = 1��������������������
∂C(1, 2)
∂r1+
1
T
∂φ(r12)
∂r1[1 + C(1, 2)] +
n
T
∫V
∂φ(r13)
∂r1[C(2, 3) +R(1, 2, 3)]d3r3 = 0.
DZ������������������ ���������������
��������� ���������������������
∂C(1, 2)
∂r1+
1
T
∂φ(r12)
∂r1[1 + C(1, 2)] +
n
T
∫V
∂φ(r13)
∂r1C(2, 3)d3r3 = 0. (11.63)
�����������
∂2C
∂2r1+
1
T
∂2φ(r12)
∂r21[1 + C(1, 2)] +
1
T
∂φ
∂r1· ∂C∂r1
+n
T
∫V
∂2φ(r13)
∂r21C(2, 3)d3r3 = 0.
����∂2φ(r12)
∂r21= −4πe2δ(r1 − r2),
∂2φ(r13)
∂r21= −4πe2δ(r1 − r3),
���
∂2C(1, 2)
∂2r1+
1
T
∂φ
∂r1· ∂C(1, 2)
∂r1− 4πne2
TC(1, 2) =
4πe2
T[1 + C(1, 2)]δ(r1 − r2).
11.5 ������ 313
�� C(1, 2)�������� ��C(1, 2) = C(r12)������DZ
∂2C(r)
∂2r+
1
T
∂φ(r)
∂r· ∂C(r)
∂r− 4πne2
TC(r) =
4πe2
T[1 + C]δ(r).
������������
1
r2d
dr
(r2dC
dr
)− e2
T
1
r2dC
dr− C
λ2D=
4πe2
T[1 + C]δ(r). (11.64)
�� λD ��������
������ ������������� � e2/T��������
n−1/3������� λD����� �����������������
� r > λD���� r�������� r/λD → r����
d2C
dr2+
2
r
dC
dr− g
1
r2dC
dr− C = 0.
�� g = 1/4πnλ3D �����������������������������
������ g � 1���� ����� g������������
d2C
dr2+
2
r
dC
dr− C = 0.
�������� C(r → ∞) = 0�DZ
C(r) = const × e−r
r.
������������� �����������������������
����
� r ∼ n−1/3����� r�������� r/n−1/3 → r����
d2C
dr2+
2
r
dC
dr− g2/3
(4π)1/31
r2dC
dr− (4π)2/3g2/3C = 0.
����� g2/3�������
C(r) = const × 1
r.
� r ∼ e2/T ����� r�������� r/(e2/T ) → r����
d2C
dr2+
2
r
dC
dr− 1
r2dC
dr− g2C = 0.
314 ����������
����� g2�������
C = const + const × e−1/r.
������������� �����������������������
���������DZ����������� ���������������
��������������
�������������������������������
����DZ
C(r) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−1 + exp(−e2/Tr) +O(g2), r � e2
T,
− e2
Tr+O(g2/3), r ∼ n−1/3,
− e2
Trexp(−r/λD) +O(g), r � λD.
(11.65)
����(11.65)��������������
C(r) = −1 + exp
[− e2
Tre−r/λD
]. (11.66)
���������O(g)����(11.66)����� �����(11.65)�������(11.66)��������DZ
G2(r) = exp
[− e2
Tre−r/λD
]. (11.67)
��(11.1)��������(11.67)���� g = 10−4��������������
����������� ���� ����������������0� 1�
��������DZ��������� C(r)��� �� �������
��������������������O(g)���������������
����������������������� ������������
���������� ��� ��������� g2������ g������
������������������������������ g����
������(11.65)�(11.66)������� r ∼ n−1/3 � �����(11.65)��������� O(g2/3)���������������������������
���� g����������������DZ�
11.5.2 �����
������������������������������DZ���
�������������������������������������
11.5 ������ 315
10−4
10−2
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/λD
G2(r
)
� 11.1: ������g = 10−4���������������� ��� �
��(11.31)���������� � g�������������������
��
G2 � 1− e2
Trexp(−r/λD). (11.68)
������������������������
P = nT − n2
6
∫r∂φ
∂rG2(r)d
3r
= nT − T
24πλ3D.
�����P
nT= 1− 1
24πnλ3D= 1− g
6. (11.69)
�������������������������������������
�������� g � 1������������������������� �
�������������������������������������
������������������ g�����������������DZ�
���������������������������������
��������������DZ��������������������
�����������DZ
E =3
2NT
(1− g
3
), (11.70)
316 ����������
�DZ
S = N
[(ln
V
λ3TN+
5
2
)+
5
6g
], (11.71)
�������DZ
F = −NT[(
lnV
λ3TN+ 1
)+
1
3g
]. (11.72)
11.6 ����������
� ���������������� ����������������
��� g � 1�������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
�����
DZ������������������������� �����
��������DZZe��������DZ a��� �� ����� a��
������ ���� �DZ
4
3πa3 =
V
Ni
=1
ni
(11.73)
��ni ���������������������������������
4π
3a3ne = Z,
������DZ
ne =3Z
4πa3.
�������������DZZe��������DZ a� ��������
����������DZ
φe(r) = − 3Ze
4πa3
∫r′<a
d3r′
|r− r′| = −3Ze
2a+Ze
2a
(ra
)2.
�������������DZ
−1
2
∫r<a
3Ze
4πa3φe(r)d
3r =3
5
(Ze)2
a.
�����������DZ
−∫r<a
Ze
rned
3r = −3
2
(Ze)2
a
11.7 �� 317
������������DZ
U =3
5
(Ze)2
a− 3
2
(Ze)2
a= −0.9
(Ze)2
a. (11.74)
�DZ�������������������
����(11.74)��������������������������������������
11.7 ��
1. ���������� V ��������������� �
2Ekin +
N∑i=1
ri · Fi = 0,
�� ri� i���� � Fi� i��������� Ekin�������
Ekin =
N∑i=1
1
2mv2i ,
� (· · · )�������
(· · · ) = limτ→∞
∫ τ
0
(· · · )dt.
2. �����������������������������������1������ �������������[�������������������⟨
N∑i=1
ri · Fi
⟩= −
⟨N∑i=1
ri ·∂ΦN
∂ri
⟩− P
∮∂V
r · df ,
�� ΦN ��������������]
3. �������������������������DZ����������������DZ
φ(r) =
{+∞ for r < r0,
0 for r > r0.
�������� �����
318 ����������
4. �����������������DZ
ε =3
2nT(1− g
3
).
5. �����������������DZ
F = −NT[ln
V
λ3TN+ 1 +
g
3
].
���� ���������
������������������������������������
�������������������������������������
��������������������������������������
���������������������
12.1 �����
�����������������������������������
������������������������������������
���������
�����������N��������������� �N(t; r1,p1; . . . rN ,pN )
�������
∂�N∂t
+
N∑i=1
{∂�N∂ri
· ∂HN
∂pi− ∂�N∂pi
· ∂HN
∂ri
}= 0, (12.1)
��
HN =N∑i=1
p2i2m
+∑
1�i<j�N
φ(|ri − rj|), (12.2)
���������(12.2)��(12.1)��
∂�N∂t
+
N∑i=1
vi ·∂�N∂ri
−N∑i=1
∂
∂ri
[ ∑1�k<j�N
φ(|rk − rj|)]· ∂�N∂pi
= 0. (12.3)
������������ s��������������Fs(t; r1,p1; · · · ; rs,ps)�
�� �N ���DZ
Fs(t; r1,p1; · · · ; rs,ps) = V s
∫Ω
· · ·∫Ω
�N(t; r1,p1; · · · ; rN ,pN)N∏
i=s+1
d3rid3pi, (12.4)
320 ���������
�� Ω������������(12.3)�N − s��������������
∂Fs
∂t+
s∑i=1
vi ·∂Fs
∂ri−
s∑i=1
∂
∂ri
( ∑1�k<j�s
φ(|rk − rj|))
· ∂Fs
∂pi
=N − s
V
s∑i=1
∫∂φ(|ri − rs+1|)
∂ri· ∂Fs+1
∂pi
d3rs+1d3ps+1,
�����������
∂Fs
∂t+
s∑i=1
vi ·∂Fs
∂ri−
s∑i=1
∂Φs
∂ri· ∂Fs
∂pi
= n
s∑i=1
∫∂φ(|ri − rs+1|)
∂ri· ∂Fs+1
∂pid3rs+1d
3ps+1. (12.5)
��
Φs =∑
1�i<j�s
φ(|ri − rj|),
� s�������������(12.5)�������������� Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon���������������������������DZBBGKY����������������������� s = 1��
∂F1
∂t+ v1 ·
∂F1
∂r1= n
∫∂φ(|r1 − r2|)
∂r1· ∂F2
∂p1
d3r2d3p2. (12.6)
� s = 2��
∂F2
∂t+ v1 ·
∂F2
∂r1+ v2 ·
∂F2
∂r2− ∂φ(|r1 − r2|)
∂r1· ∂F2
∂p1
− ∂φ(|r1 − r2|)∂r2
· ∂F2
∂p2
= n
∫ [∂F3
∂p1· ∂φ(|r1 − r3|)
∂r1+∂F3
∂p2· ∂φ(|r2 − r3|)
∂r2
]d3r3d
3p3. (12.7)
12.2 ������
�����������������������������������
������������� r0��������� n−1/3 ���� nr30 � 1�
�������(12.7)�����������∫∂F3
∂p1· ∂φ(|r1 − r3|)
∂r1d3r3d
3p3 ∼ (nr30)∂φ(r)
∂r
∂F2
∂p1.
12.2 ������ 321
���������������� �������������
∂F2
∂t+ v1 ·
∂F2
∂r1+ v2 ·
∂F2
∂r2− ∂φ(|r1 − r2|)
∂r1· ∂F2
∂p1
− ∂φ(|r1 − r2|)∂r2
· ∂F2
∂p2
= 0.
�����DZdF2(t; r1,p1; r2,p2)
dt= 0, (12.8)
��������� (r1,p1)� (r2,p2)������������������
H2 =p21
2m+
p22
2m+ φ(|r1 − r2|).
����(12.8)����DZ
F2[t; r1(t),p1(t); r2(t),p2(t)] = F2[t0; r10,p10; r20,p20].
�� {r1(t),p1(t); r2(t),p2(t)}�������DZ t������ {r10,p10; r20,p20}�����DZ t0 �������������DZ����������DZ����
�������������������DZ t0��������������
�������������������
F2(t0; r10,p10; r20,p20) = F1(t0; r10,p10)F1(t0; r20,p20). (12.9)
���������������������������(12.6)��� �������������
∂F1
∂t+ v1 ·
∂F1
∂r1= C(F ), (12.10)
�� C(f)DZ���������������
C(F ) = n
∫∂φ(|r1 − r2|)
∂r1· ∂
∂p1{F1(t0; r10,p10)F1(t0; r20,p20)}d3r2d3p2. (12.11)
������� ��������DZ���������� r0�����
� 10−10������������������������������
��������������(12.11)������������������������������������DZ
C(F ) = n
∫∂φ(|r1 − r2|)
∂r1· ∂
∂p1{F1(t0;p10)F1(t0;p20)}d3r2d3p2. (12.12)
����� ���� F1(t0;p10)F1(t0;p20)�������DZ��� ����
��������������
322 ���������
��� ���(12.8)�
d
dtF1(t0;p10)F1(t0;p20)
=d
dtF1[t0;p10(r1,p1; r2,p2)]F1[t0;p20(r1,p1; r2,p2)]
=
(v1 ·
∂
∂r1+ v2 ·
∂
∂r2− ∂φ(r12)
∂r1· ∂
∂p1
− ∂φ(r12)
∂r2· ∂
∂p2
)F1(t0;p10)F1(t0;p20)
= 0.
�������(12.12)�� ∂/∂p2 ��������DZ������� p10 �
p20������������� (r1 − r2)������
C(F ) =
∫vrel ·
∂
∂r{F1(t0;p10)F1(t0;p20)}d3rd3p2,
�� vrel = v1 − v2����������������������DZ z−��������
vrel ·∂
∂r= vrel
∂
∂z,
� z�����
C(F ) =
∫{F1(t0;p10)F1(t0;p20)}z=∞
z=−∞vrelρdρdφd3p2.
� z = −∞�����������
p10 = p1, p20 = p2,
� z = ∞��������� ���� (p10,p20)���� ���������
��DZ (p1,p2)���� (p10,p20)��DZ���� ��
p10 = p′1(ρ), p20 = p′
2(ρ),
��� ����������DZ
ρdρdφ = dσ,
r0v
� t− t0 �L
v,
���� L������������������������ t0� t���
�����������
C(F ) =
∫[F1(t,p
′1)F1(t,p
′2)− F1(t,p1)F1(t,p2)] vreldσd
3p2. (12.13)
12.3 ������ 323
��� ������
∂F1(t, r1,p1)
∂t+ v1 ·
∂F1(t, r1,p1)
∂r1=
∫[F1(t,p
′1)F1(t,p
′2)− F1(t,p1)F1(t,p2)] vreldσd
3p2
(12.14)
12.3 ������
�����������������������������������
���������� ��������������
F αβ2 (t; ra,pa; rβ,pβ) = fα(t; r,p)fβ(t; r
′,p′) + P αβ2 (t; r,p; r′,p′), (12.15)
�� fα(t, r,p)� α����������������������������
������������ g = 1/4πnλ3D �����������������
�� DZ��������������� g�����������������
�������������������
∂fα∂t
+ v · ∂fα∂r
− ∂
∂r
∑β
nβ
[∫φαβ(|r− r′|)fβ(t; r′,p′)d3r′d3p′
]· ∂fα∂p
= 0.
�����
Φ(t, r) =1
eα
∑β
nβ
∫φαβ(|r− r′|)fβ(t; r′,p′)d3r′d3p′,
=∑β
nβ
∫eβ
|r− r′|fβ(t; r′,p′)d3r′d3p′ (12.16)
������������� �������������������
������∂fα∂t
+ v · ∂fα∂r
− eα∂Φ
∂r· ∂fα∂p
= 0, (12.17)
���(12.16)�����∇2� ���������
∇2
(1
r
)= −4πδ(r),
���
∇2Φ = −4π∑β
eβnβ
∫fβ(t; r,p)d
3p. (12.18)
324 ���������
�����(12.17)���������—�����
��������������������������������
�����������������������������������
������ ���������������DZ
∂fα∂t
+ v · ∂fα∂r
− eα
(E+
1
cv×B
)· ∂fα∂p
= 0, (12.19)
�� E� B�����������������������
∇×B =1
c
∂E
∂t+
4π
cj, ∇ · E = 4πρ, (12.20a)
∇× E= −1
c
∂B
∂t, ∇ ·B = 0. (12.20b)
����������������������
j =∑α
eαnα
∫vfα(t, r,p)d
3p, ρ =∑α
eαnα
∫fα(t, r,p)d
3p. (12.21)
�������������������������� Te � mec2���
����������������������������DZ�
∂fα∂t
+ v · ∂fα∂r
− eαmα
(E+
1
cv×B
)· ∂fα∂v
= 0, (12.22)
������ f�� t��� r����� v���������������
������DZ
j =∑α
eαnα
∫vfα(t, r,v)d
3v, ρ =∑α
eαnα
∫fα(t, r,v)d
3v. (12.23)
�� BBGKY������������������������DZ��������������������DZ�����������
�������� �� ���������������������
�������������
12.4 ��������
�������������(12.19)�(12.20)�(12.21)���������������������������������������������
12.4 �������� 325
���������������� εl(ω, k)�������������
������������������DZ���������������
����������������������DZ
fa(t, r,v) = fαM(v) + δfα(t, r,v), (12.24)
��
fαM =1
(2π)3/2v3αexp
(− v2
2v2α
), (12.25)
DZ�� ������������������ vα = (Tα/mα)1/2 �����
���� δfα���������������� ������
|δfα/fαM | � 1. (12.26)
�����������������������������
∂δfα∂t
+ v · ∂δfα∂r
+eαmα
E · ∂fαM∂v
= 0, (12.27)
∇ · E = 4π∑α
eαnα
∫δfαd
3v. (12.28)
�������(12.27)�(12.28)�����
δfα,E ∝ eik·r−iωt.
������(12.27)��
δfα = − eαmα
E · ∂fαM/∂vi(k · v − ω)
, (12.29)
������� �������������
δρ =∑α
eαnα
∫δfαd
3p = −[∑
α
e2αnα
mα
∫∂fαM/∂v
i(k · v − ω)d3v
]· E.
���������������∇ · P = −δρ���� ik · P = −δρ�� ������������
D(ω,k) = E(ω,k) + 4πP = εl(ω, k)E(ω,k),
���������DZ
εl(ω, k) = 1−∑α
ω2pα
k2
∫k · ∂fαM/∂vk · v − ω
d3v, (12.30)
326 ���������
�� ω2pα = 4πnαe
2α/mα � α ������������������(12.30)�
��������������������� k ��DZ z−������(12.25)��(12.30)����������� k����������
εl(ω, k) = 1−∑α
ω2pα
k
∫ ∞
−∞
∂FαM/∂vzkvz − ω
dvz, (12.31)
��
FaM (vz) =
∫fαM(v)dvxdvy =
1
(2π)1/2vαexp
(− v2z2v2Tα
), (12.32)
�������������
�������(12.31)������� vz ����DZ��������
�������������
ω = kvz = k · v. (12.33)
������� ���� �� �� DZ������� �����
ω → ω + i0. (12.34)
���������� ������ ����� ������������
����
E ∝ e−iωt+δt → 0 as t→ −∞, .
�� δ → +0����������������� ����� ����
��������������������� eδt ��� t → +∞������� �����������DZ������� �� ��������� ���
���������������DZ
εl = 1−∑α
ω2pα
k
∫ ∞
−∞
∂FαM/∂vzkvz − ω − i0
dvz. (12.35)
�(12.32)������
εl(ω, k) = 1 +∑α
1
(kλDα)2
[1 +
ω√2kvα
1√π
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ω/
√2kvα − i0
dz
](12.36)
�� λDα = (Tα/4πnαe2α)� α�����������(12.36)����������
�������������������������������
Z(ξ) =1√π
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ξ − i0
dz. (12.37)
12.5 �������� 327
���������������������������DZ
εl(ω, k) = 1 +∑α
1
(kλDα)2[1 + ξαZ(ξα)] , (12.38)
�� ξα = ω/√2kvα�
���������� εt(ω, k)DZ���������� ��������
������������������
εt(ω, k) = 1 +∑α
ω2pα
ω2ξαZ(ξα). (12.39)
12.5 ��������
�������� Z(ξ)�����������������������
�������������������������������������
��(12.37)�����������Z(ξ)��������������
������������������������������DZ
Z(ξ) =1√π
∫C
exp(−z2)z − ξ
dz, (12.40)
�� C �� z−������������������ ξ ��������
12.1������ (12.34)���DZ����C �� ξ �����������
����� C ����������������DZ
Z(ξ) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1√π
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ξ
dz, if Im ξ > 0,
1√πP
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ξ
dz + i√πe−ξ2, if Im ξ = 0,
1√π
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ξ
dz + i2√πe−ξ2 , if Im ξ < 0,
(12.41)
�����������������(12.41)� �����������
�������������DZ����DZ���������������
�������������� ξ−���DZ����(������)�
Z(ξ) = i√π exp(−ξ2)− 2e−ξ2
∫ ξ
0
ep2
dp. (12.42)
�� ξDZ����������������� 12.2������������������������
328 ���������
Re z
Im z
ξ
Im ξ > 0
C
(a)
Re z
Im z
ξ
Im ξ = 0
C
(b)
Re z
Im z
ξ
Im ξ < 0
C
(c)
12.1: ��������������������������Z(ξ)������
0 1 2 3 4-0.4
0
0.4
0.8
1.2
ξ
Re[Z(ξ)]Im[Z(ξ)]
12.2: �DZ�����������������
12.6 ���� 329
12.5.1 �����������
���������������������������(12.36)��� ���������������DZ���mi → ∞�����������DZ
εl(ω, k) = 1 +1
(kλDe)2
[1 +
ω√2kve
Z
(ω√2kve
)].
������ω√2kve
→ xe, (kλDe)−1 → α,
������������DZ
εl = 1 + α2 [1 + xeZ(xe)] . (12.43)
���� ω ������� xe = iy� ����(12.48)�(12.43)������DZ
εl = 1 + α2{1−√πy exp(y2)[1− erf(y)]}.
������������������������������ y = 0���
εl(0, k) = 1 + α2.
� y 1�� ����������
erf(y) ∼ 1− exp(−y2)πy
∞∑k=0
(−1)kΓ(k + 1/2)
y2k,
���
εl ∼ 1 +α2
2y2+ · · · .
��� y → +∞�� εl → 1������������ � y �� ������
1 + α2���� 1������������������� 12.3������������� ������������������������ω��
ω → ±∞������DZ� 1�
12.6 ����
��������������������� �������������
�������DZ
εl = 1 + α2
[1− 2e−x2
e
∫ xe
0
ep2
dp
]+ iπ1/2α2xe exp(−x2e),
330 ���������
12.3: ��������εl�����������
�� α = (kλDe)−1� xe = ω/
√2kvTe�����������������DZ���
���������������
ε′′l = π1/2α2xe exp(−x2e) > 0, when ω > 0.
��������������DZ��������������������
�������������� �DZ
Q =ω
8πε′′l |E|2 =
ω
8π1/2|E|2α2xe exp(−x2e).
������ �����������������������������
�����������������DZ�������������������
�����������DZ������� 1946��������������������������������DZ����������������
�����������������������
��� ��������������DZ
E(x, t) = ReE0ei(kz−ωt)eδt,
�� δ����� t = −∞����� ����� ������������
w = w0 + δw, z = z0 + δz,
�� w��������� z������� w0� z0� ���������� δw
� δz0�����������������������������
12.6 ���� 331
����������������������������DZ
medδw
dt= −eE(t, z0) = −eReE0e
ikt(w0−ω/k)etδ,
����
δw = − e
meRe
E(t, z0)
ik(w0 − ω/k) + δ,
δz = − e
me
ReE(t, z0)
[ik(w0 − ω/k) + δ]2.
��������������� � ���DZ
q = −ewE(t, z) = −e(w0 + δw)E(t, z0 + δz)
= −ew0(∂E/∂z0)δz − eδwE(t, x0)
=e2
2me|E|2Re
{−iω + δ
[ik(w0 − ω/k) + δ]2
}
=e2
2me|E|2 δ(δ2 + ω2 − k2w2
0)
[k2(w0 − ω/k)2 + δ2]2
=e2
2m|E|2 d
dw0
w0δ
δ2 + k2(w0 − ω/k)2.
������������������ ��������������� ��
Q = ne
∫ ∞
−∞qf(w0)dw0
= − ne
2me
e2|E|2∫ ∞
−∞
w0δ
δ2 + k2(w0 − ω/k)2df(w0)
dw0
dw0,
���� ���
limδ→0
δ
δ2 + x2= πδ(x),
�
Q = − ne
2mee2|E|2π
∫1
kδ(w0 − ω/k)w0
df(w0)
dw0dw0
= −ω2pe
8|E|2 1
kw0df(w0)
dw0
∣∣∣∣w0=ω/k
=ω
8π1/2|E|2α2xe exp(−x2e).
������� �������� �����
�� �me
4πnee2
∫ ∞
0
ωε′′l (ω, k)dω =π
2.
332 ���������
12.7 �������
���������������������������������DZ�
��������DZ������������DZ
εl(ω, k) = 1 + α2 [1 + xeZ(xe)]
����������������
εl(ω, k) = 0.
������������ ω ������������DZ������� εl ��
z = ρ exp(−iπ/4)���(������������)� ���������
Im εl =
√π
2α2ρ
{sin(ρ2)[1 + 2S(ρ)] + cos(ρ2)[1 + 2C(ρ)]
}= 0,
Re εl = 1 + α2{1 +
√π/2ρ[cos ρ2(1 + 2S(ρ))− sin2 ρ(1 + 2C(ρ))]
}= 0.
�����������
S(x) ∼ 1
2− 1√
2πxcos x2 +O(1/x2),
C(x) ∼ 1
2+
1√2πx
sin x2 +O(1/x2),
�������DZ
Im εl ∼ 2√πα2ρ sin(ρ2 + π/4) = 0.
���
ρ2 = 3π/4 + 2mπ,
���������DZ 0 (�����������DZ��������)���������
(kλD)2 = 2π(2m+ 3/4)1/2 − 1,
��������DZ������m��������������������
���� 12.4��������� �� k������
��������� α2 1�(������������)�����������
| Imω/Reω| � 1,
12.7 ������� 333
12.4: ����εl(ω, k) = 0���������������
�������������������������������
ω = ωr + iγ, |γ/ω| � 1.
�����������
εl(ω, k) = Re εl(ωr, k) + iγ∂ Re εl∂ωr
+ i Im εl = 0,
�������DZ
Re εl(ωr, k) = 0,
γ = − Im εl(ωr, k)
(∂ Re εl/∂ωr).
�����������������������������
ωr/kvTe 1.
��������� �����������������
Re εl = 1 + α2
[− 1
(ωr/kvTe)2− 3
(ωr/kvTe)4
]= 0,
��������DZ
ω2r = ω2
pe + 3k2v2Te = ω2pe(1 + 3k2λ2De).
334 ���������
�����DZγ
|ωr|= −
√π
8α3 exp
[−1
2α2 − 3
2
].
���� |γ/ωγ| � 1������ � α 1������������������
12.8 ����
���� ��������������� ��������������
� � ����������������DZ
εl = 1 + α2 [1 + xeZ(xe)] + α2ZTeTi
[1 + xiZ(xi)] ,
��
xe =ω√2kvTe
, xi =ω√2kvT i
.
������������������������������
vT i �ω
k� vTe,
������������������
xe � 1, xi 1.
������
εl = 1 + α2(1 + iπ1/2xe) + α2ZTeTi
(− 1
2x2i− 3
4x4i+ iπ1/2xie
−x2i
).
��DZ���
1 + α2 + α2ZTeTi
(− 1
2x2i− 3
4x4i
)= 0.
������DZ (ωr
kvi
)2
=α2
1 + α2
ZTeTi
,
�������� (ωr
kvi
)2
=ZTeTi
������DZ
γ
ωr= −
[√π
8
Zme
mi+
√π
2
(ZTeTi
)3/2
e−ZTe/2Ti
].
12.9 ����������� 335
�����������������
ZTeTi
1.
�����ω
k=
√ZTemi
��������ZTe/Ti 1������������������
γ
ωr= −
√π
8
Zme
mi.
12.9 �����������
������������������� �� �������� �
���������� S(k, ω)������������DZ
S(k, ω) =1
2πN
∫ ∞
−∞dτ〈n∗
k(t)nk(t+ τ)〉eiωτ . (12.44)
�������������������������������
����������������������������������
������������� n(r, t)������������� k = 0� ω = 0�
���������DZ���������������������������
�������������������������������������
���������������DZ���������� �������
���������������������������� ������
� �������������������������������
��������������������
�����N ����N/Z ������������������� i���
��������������DZ
∇ ·D = −4πeδ(r− ri0 − vit),
������������������������������������
�������������D = εlE = −εl∇φ��� ε(ω,k)�����
ε exp(ik · r− iωt) = ε(ω,k) exp(ik · r− iωt)������
∇ · (ε∇φ) = 4πeδ(r− ri0 − vit),
336 ���������
���� ������������
φik(t) =
4πe
εl(k · vi,k)k2e−ik·(ri0+vit).
��� φik(t)��DZ����������� �������DZ�������
������������DZ���������������
∂δfe∂t
+ v · ∂δfe∂r
− eE · ∂fM∂p
= 0.
�������������
∂δfek(t)
∂t+ ik · vδfek(t) + ikeφi
k(t) ·∂fM∂p
= 0
�DZ φik(t) ∝ exp(−ik · vit)�������DZ
δfek(t) =4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
e−ik·(ri0+vit).
���� i�������������DZ
δnk(t) =
[1 +
∫d3p
4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
]e−ik·(ri0+vit)
���� j���������������DZ
δnk(t) = −Z∫d3p
4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
e−ik·(Ri0+Vit).
����������DZ
δnk(t) =N∑i=1
[1 +
∫d3p
4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
]e−ik·(ri0+vit)
− Z
N/Z∑j=1
∫d3p
4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
e−ik·(Ri0+Vit)
12.9 ����������� 337
�������DZ
S(ω,k) =1
2πN
∫ ∞
−∞dτ〈n∗
k(t)nk(t+ τ)〉eiωτ
=1
2πN
∫ ∞
−∞dτeiωτ
⟨{N∑i=1
[1 +
∫d3p
4πe2
ε∗l (k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
]eik·(ri0+vit)
−ZN/Z∑j=1
∫d3p
4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
e−ik·(Ri0+Vit)
⎫⎬⎭
×{
N∑i=1
[1 +
∫d3p
4πe2
ε∗l (k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
]e−ik·(ri0+vit+viτ)
−ZN/Z∑j=1
∫d3p
4πe2
εl(k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
e−ik·(Ri0+Vit+Viτ)
⎫⎬⎭⟩.
�����������DZ������������������
〈eik·ri0e−ik·ri′0〉 = δi,i′, 〈eik·Rj0e−ik·Rj′0〉 = δj,j′, 〈eik·rj0e−ik·Rj0〉 = 0.
���
S(ω,k) =1
2πN
∫ ∞
−∞dτeiωτ
⟨N∑i=1
∣∣∣∣1 +∫d3p
4πe2
ε∗l (k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
∣∣∣∣ e−ik·viτ
⟩
+Z2
2πN
∫ ∞
−∞dτeiωτ
⟨N/Z∑i=1
∣∣∣∣∫d3p
4πe2
ε∗l (k · vi,k)k2k · ∂fM/∂pk · (vi − v)
∣∣∣∣ e−ik·Viτ
⟩
=1
2πN
N
(2π)3/2v3e
∫ ∞
−∞dτeiωτ
∫d3v′
∣∣∣∣1 +∫d3p
4πe2
εl(k · v′,k)k2k · ∂fM/∂pk · (v′ − v)
∣∣∣∣ e−v′2/2v2ee−ik·v′τ
+Z2
2πN
N/Z
(2π)3/2v3i
∫ ∞
−∞dτeiωt
∫d3v′
∣∣∣∣∫d3p
4πe2
εl(k · v′,k)k2k · ∂fM/∂pk · (v′ − v)
∣∣∣∣ e−v′2/2v2i e−ik·v′τ .
�� τ ����� ∫ ∞
−∞dτei(ω−k·v′)τ = 2πδ(ω − k · v′),
���
S(ω,k) =1
(2π)3/2v3e
∫d3v′
∣∣∣∣1 +∫d3p
4πe2
εl(k · v′,k)k2k · ∂fM/∂pk · (v′ − v)
∣∣∣∣ e−v′2/2v2eδ(ω − k · v′)
+Z
(2π)3/2v3i
∫d3v′
∣∣∣∣∫d3p
4πe2
εl(k · v′,k)k2k · ∂fM/∂pk · (v′ − v)
∣∣∣∣ e−v′2/2v2i δ(ω − k · v′).
338 ���������
�����DZ������� k�������� k��������������
��������
S(ω,k) =1
(2π)1/2ve
∫dv′
�
∣∣∣∣1 +∫d3p
4πe2
εl(kv′�,k)k2
k · ∂fM/∂pkv′� − k · v
∣∣∣∣ e−v′2�/2v2e δ(ω − kv′
�)
+Z
(2π)1/2vi
∫dv′
�
∣∣∣∣∫d3p
4πe2
εl(kv′�,k)k2
k · ∂fM/∂pkv′� − k · v
∣∣∣∣ e−v′2�/2v2eδ(ω − kv′
�).
����
S(ω,k) =1
(2π)1/2kve
∣∣∣∣1 +∫d3p
4πe2
εl(ω,k)k2k · ∂fM/∂pω − k · v
∣∣∣∣2
exp
[− ω2
2k2v2e
]
+Z
(2π)1/2kvi
∣∣∣∣∫d3p
4πe2
εl(ω,k)k2k · ∂fM/∂pω − k · v
∣∣∣∣2
exp
[− ω2
2k2v2i
].
��������DZ
χe(ω, k) =4πe2
k2
∫d3p
k · ∂fM/∂pω − k · v ,
���������������DZ
S(ω,k) =1
(2π)1/2kve
∣∣∣∣1 + χe(ω, k)
εl(ω, k)
∣∣∣∣2
exp
[− ω2
2k2v2e
]+
Z
(2π)1/2kvi
∣∣∣∣χe(ω, k)
εl(ω, k)
∣∣∣∣2
exp
[− ω2
2k2v2i
].
12.10 ����������������
12.10.1 ��������������
���� Im ξ > 0����������
1
z − ξ= i
∫ ∞
0
dte−i(z−ξ)t,
���������(12.41)����
Z(ξ) =i√π
∫ ∞
−∞exp(−z2)dz
∫ ∞
0
exp[−i(z − ξ)t]dt
=i√π
∫ ∞
0
dt exp(iξt− t2/4
) ∫ ∞
−∞dz exp
[−(z + it/2)2
]
= i exp(−ξ2)∫ ∞
0
dt exp[−(t/2− iξ)2]
= i√π exp(−ξ2)− 2e−ξ2
∫ ξ
0
ep2
dp.
12.10 ���������������� 339
Im z < 0� 1/(x− z)����DZ����
1
z − ξ= −i
∫ ∞
0
dtei(z−ξ)t.
����������
Z(ξ) = i√π exp(−ξ2)− 2e−ξ2
∫ ξ
0
ep2
dp. (12.45)
����� ����������� ξ−�������
12.10.2 ���������Fresnel���
������ξ = ρ exp(−iπ/4)�������������DZFresnel������(12.45)��ξ = ρ exp(−iπ/4)����
Z(ρe−iπ/4) = iπ1/2eiρ2 − 2eiρ
2
e−iπ/4
∫ ρ
0
e−it2dt
= iπ1/2eiρ2
{1 +
2
π1/2eiπ/4
[∫ ρ
0
cos(t2)dt− i
∫ ρ
0
sin(t2)dt
]},
��Fresnel��
S(x) =
√2
π
∫ x
0
sin(t2)dt,
C(x) =
√2
π
∫ x
0
cos(t2)dt,
���
Z(ρe−iπ/4) = i√πeiρ
2{1 + (2i)1/2[C(ρ)− iS(ρ)]}. (12.46)
�ρ 1�� �Fresnel������
C(x) ≈ 1
2, S(x) ≈ 1
2,
���
Z(ρe−iπ/4) ≈ 2π1/2ei(ρ2+π/2) when ρ 1. (12.47)
340 ���������
12.10.3 �������������
���� ξ = iy���� y�������������������
Z(iy) = i√π exp(y2)[1− erf(y)], (12.48)
������ erf(x)��DZ
erf(y) =2√π
∫ y
0
e−p2dp.
12.10.4 ���������
����������������� ���(12.45)����
−2e−ξ2∫ ξ
0
ep2
dp = −2
∫ ξ
0
e−(ξ2−p2)dp = −2∞∑n=0
(−)nξ2n+1
n!
∫ 1
0
(1− t2)ndt
= −√πξ
∞∑n=0
(−)nξ2n
Γ(n+ 3/2).
���
Z(ξ) = i√πe−ξ2 −
√πξ
∞∑n=0
(−)nξ2n
Γ(n+ 3/2). (12.49)
�|ξ| 1�����������������������������
����������DZ�������������DZ
Z(ξ) =1√πP
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ξ
dz + i√πe−ξ2 .
�ξ 1�����������DZ
1√πP
∫ ∞
−∞
exp(−z2)z − ξ
dz ∼ − 1√π
1
ξP
∫ ∞
−∞
exp(−z2)1− (z/ξ)
dz
= − 1√πξ
∫ ∞
−∞
∞∑n=0
(z
ξ
)n
e−z2dz
= − 1√πξ
∫ ∞
−∞
∞∑n=0
(z
ξ
)2n
e−z2dz
= −∞∑n=0
Γ(n + 1/2)√πξ2n+1
.
12.11 �� 341
�������������������
Z(ξ) ∼ i√πe−ξ2 −
∞∑n=0
Γ(n + 1/2)√πξ2n+1
, when Im ξ = 0.
�����������������DZ
Z(ξ) ∼ i√πσe−ξ2 −
∞∑k=0
Γ(k + 1/2)√πξ2k+1
, (12.50)
��
σ =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
0, when Im ξ > 0,
1, when Im ξ = 0,
2, when Im ξ < 0.
�DZ�������������������������
Z(ξ) = i√π(1− ξ2)− ξ(2− 4ξ2/3) + · · · , (12.51a)
Z(ξ) ∼ i√πσe−ξ2 −
(1
ξ+
1
2ξ3+
3
4ξ5+ · · ·
)when |ξ| 1. (12.51b)
12.10.5 ����
���(12.45)���� �����������������������
dZ
dξ= −2(1 + ξZ),
Z(ξ = 0) = iπ1/2.
���������DZ������������������
��DZ����������������� ���
12.11 ��
1. �������������������������DZ
εt(ω, k) = 1 +∑α
ω2pα
ω2ξαZ(ξα).
2. ����Imx < 0����������������DZ
Z(x) = i√π exp(−x2)− 2e−x2
∫ x
0
ep2
dp.
342 ���������
0 1 2 3 4-0.4
0
0.4
0.8
1.2
ξ
Re[Z(ξ)]Im[Z(ξ)]
3. �������������|ω| → ∞�������������
εl(ω, k) ∼ 1−ω2pe
ω2.
��
Braginskii���, Braginskii equations, 153
Kruskal-Shafranov stable criterion, 181
Yvon-Born-Green����Yvon-Born-Greenhierarchy, 307
�����Alfven wave, 185������Attwood number, 146�����Airy equation, 282
��������surface plasma wave, 243
�������Boltzmann distribution, 11����wave zone, 96����wave breaking, 257����� Poisson’s equation, 11�����trapped particle, 75
���magnetic mirror, 68����mirror ratio, 69�������magnetohydrodynamics, 129���magnetic flux surface, 74����magnetoacoustic wave, 186
��������one component plasma,17
��������one-component plasma,312
���guiding center, 47, 58�����Debye length, 12
�����Debye screening, 11������plasma parameter, 18���������plasma permittivity,
325���������plasma dispersion func-
tion, 326��������plasma coupling pa-
rameter, 17�����lower hybrid wave, 240������lower-hybrid frequency, 230����electromagnetic wave, 225����electric conductivity, 197������electric polarization, 197�������current flux function, 169������electric induction, 197��������electron plasma wave,
222�������classical electron radius,
114
��������dynamic form factor, 117
�����Faraday rotation, 235�����Fermi energy, 16�����radiation intensity, 98������Vlasov equation, 323
�����upper-hybrid wave, 240������upper-hybrid frequency, 230
344 ��
�����resonance absorption, 284Æ�Æ�pinch angle, 68����proper time, 27������generalized Ohm’s law, 154���—������Hamilton-Jacobi equa-
tion, 33
��������Helmholtz free energy,300
�������chemical equilibrium con-stant, 21
�����toroidal magnetic field, 73�����cyclotron radiation, 108
���shock wave, 146������laser wakefield, 286��������laser wakefield accel-
erator, 287�����cluster expansion, 312
����poloidal magnetic field, 73������poloidal magnetic flux func-
tion, 168�����permittivity, 198
��������electrostatic ion cyclotronwave, 241
�����local thermal equilibrium, 129�����adiabatic equation, 134
�����spatial dispersion, 198�����Coulomb logarithm, 151
������Lagrangian, 27����,sausage instability, 179� ���Landau damping, 330
������Langmiur frequency, 14������Langmiur oscillation, 14������ion-sphere model, 316�����ion-acoustic wave, 223����ideal gas, 300
������continuity equation, 130�����critical density, 278����Liuoville theorem, 319
�����Rutherford’s formula, 39������Loerentz invariance, 27
���—�������Navier-Stokes equa-tion, 136
������kink instability, 179��—�������Euler—Lagrange equa-
tion, 31�����Euler equation, 132�����dipole radiation, 100�����partition function, 299
����drift wave, 246����drift approximation, 58�����frequency dispersion, 198
���thermal conductivity, 137��—� ����Rayleigh-Taylor in-
stability, 144
�����Saha’s equation, 22����whistler wave, 234
�����time dispersion, 198�������stimulated Brillouin scat-
tering, 294
�� 345
������stimulated Raman scatter-ing, 294
������Thomson scattering, 113
����passing particle, 75�����tokamak, 72
�����virial coefficient, 311����configuration integral, 300
�� �banana orbit, 75
��� �cyclic coordinate, 33
�����ponderomotive force, 57�����Hugoniot relation, 148
�������reduced distribution func-tion, 301
�������viscous stress tensor, 135�����canonical distribution, 299
������law of mass action, 21
����equation of state, 134����self-consistent field, 323��� �stopping power, 212������the principle of least ac-
tion, 31������priciple of least action,
27����action, 27
����,bremsstralung radiation, 101