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FiltrosdeKalmanenhidrologiacuteaprediccionesdedescargasfluvialesparalaoperacioacutenoacuteptimadeembalsesJuanBValdeacutes

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JuanBValdes

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FIL TROS DE KALMAN EN HIDROLOGIA PREDICCIONES DE DESCARGAS FLUVIALES PARA LA OPERACION OPTIMA DE EMBALSES

Juan B ValdM

JesOs M Velazquez

Ignacio Rodrfguez-Iturbe

Informe Tecnico N 80 - 2

Septlembre de 1980

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Decanato Estudios de Postgrado

Postgrado en Planificaci6n e Ingenierla de Recursos Hldricos

~

( - 1 shy

AGRADECIMIENTOS

Los resultados que se presentan en este informe provienen

del Proyecto Filtros de Kalman en Hidrologa Predicciones de Descargas Fluviales para la Operacion Optima de Embalses fi shy

nanciado parcialmente p~r el CONICIT bajo el Ndeg Sl-O~49 La i~

presion de este informe fue pOsible mediante un subsidio del

CONICIT Ambas contribuciones se agradecen profundamente

I Introducci6n

Uno de los problemas m~s importantes en hidrologa es la

predicci6n de caudales en tiempo real Para poder realizar esta

predicci6n es necesario postular una relaci6n causal entre la

precipitaci6n en varios puntos de la cuenca en diferentes

instantes de tiempo y el caudal medio en un da determinado

Esta relaci6n causal se la denomina funci6n de respuesta de la

cuenca y pondera las contribuciones individuales de precipitashy

cion de cada sector de la cuenca en la escorrenta Una vez

postulada esta relacion causal 0 sea esta funci6n de respuesta

teorica sus componentes deben ser evaluados p~r medio de un

metodo de estimacion

La funci6n de respuesta puede tomar diversas formas se la

puede suponer totalmente como un modelo de caja-negra 0 puede

describir el proceso lluvia-escorrenta con gran detalle la reshy

lacion puede ser totalmente determinstica 0 estoc~stica 0 una

combinacion de ambas lineal 0 no lineal variante 0 invariante

en el tiempo etc

Una de las funciones de respuesta m~s utilizadas en hidroshy

logfa es el hidrograma unitario propuesto originalmente por

Sherman (1932) El hidrograma unitario es una funci6n de respue~

ta lineal e invariante enel tiempo

La aplicaci6n de modelos de caja negra basados en la teoshy

rfa del an~lisis de sistemas para la simulacion de las series de

~

P1igina

I 11 Introduccion 1

12 Revision de la literatura 7 II El filtro de Kalman-Bucy 10

21 Descripci6n teorica del filtro 10 22 Procedimiento para la evaluaci6n

de ~(t+llt+l) y ~(t+1It+l) 13 III Aplicaciones del filtro de Kalman a

hidrologa 16

31 Evaluaci6n de la funci6n de resshypuesta de una cuenca 16

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

19 33 Algunas extensiones del modelo 24

IV Extensiones al modelo de Predicci6n en tiel1po real de caudales 32 41 Seleccion de la estructura del filtro

de Kalman usando teora Bayesiana 34 42 Modelo de Prediccion con Multiples

Estados 48

43 Aplicaciones del modelo de Multiples Estados

59 REFE RENClAS

67

2

cauda1es ha sido muy intensa en la ~ltima decada Bajo este esshy

quema las variables de entrada al esquema son relacionadas con

las variables de salida del mismo por medio de la funci6n de

respuesta del sistema la cual es frecuentemente usada para preshy

dicci6n yo simulacion

Dooge (1973) da una buena sntesis de los diferentes enfoshy

ques utilizados para la evaluaci6n de esta funcion de respuesshy

tao

Puesto que las funciones de respuesta a ser ev~luadas por

los diferentes modelos de predicci6n 0 utilizan el hidrograma

unitario 0 son una extension de el se describir1i en esta Introshy

ducci6n con algo de deta11e su metodo de estimaci6n

Supongamos que una tormenta determinada de duraci6n T ti~

ne un hietograma de la forma mostrada en la Figura 11 La canshy

tidad de lluvia cada en la cuenca durante el perodo dT es

igual a

P (T) i () dTA (1-1)

donde

A area de 1a cuenca

i() intensidad promedio en el intervalo

(T T+dT)

P (T) l1uvia cada en e1 intervalo (TT+dT)

La contribuci6n de PIT) al escurrimiento en el intervalo

t es la siguiente

__

bull iI

-3shy

- 4 shy

ltf

q (t) P (T)U(t-TT)

(l -2)i(T)U(t-T) d I (t I

donde

porci6n del caudal total escurrido en el

intervalo t debido a la precipitaci6n peT)

q (t)

u (t-T T) ordenada de la funci6n de respuesta (hidrpound

1 grama unitario) para una tormenta de durashy

ci6n T que relaciona get) con P(T)

Debido a la suposici6n de que el sistema es lineal se pueshy

de utilizar e1 principio de superposici6n para determinar el capound

dal escurrido en el perfodo t

Por 10 tanto

Q(t) A li(T) u(t-TT) d (1- 3)=--_~I o

donde

QOI Q(t) caudal total escurrido en el tiempo t

La ecuaci6n (1~3) es la conocida integral de convoluci6n de

Duhamel Si la precipitaci6n se representa en una forma discreta

la integral de la ecuaci6n (1-3) se reduce a una sumatoria 0

seaQ(t) t

Q(t) A E i(r) ult-rT) 61 (l-4a) y=o La ecuac16n (1-4) se puede representar en forma matricial

FIGURA If INFLUENCIA DE LA PRECIPITACION DEL

INTERVALo 1i EN EL ESCURRIMIENTO EN EL INTERVA LO

- 5 shy

de la siguiente manera

Q (1) Al2(t) (h4b)

donde

l2 (tl vector de (kx1) elementos que contieshy

nen la precipitaci6n en cada instante

de tiempo desde 0 hasta t

vector de componentes del hidrograma unitario

y para todo el hidrograma de salida nos queda

A P U (1-5)

donde

P matriz cuyas columnas son los vectores de

precipitaciones desplazadas

9

La evaluaci6n de la funci6n de~espuesta en el caso lineal

e invariante en el tiempo se reduc~a la resoluci6n de un sisteshy

ma de ecuaciones algebralcas lineales para el caso discreto y la

resoluci6n de una ecuaci6n integral para el caso contfnuo

Como se mencionara antes las ecuaciones (1-3) (1-4) y (1-5)

presuponen que el sistema es lineal e invariante en el tiempo La

hip6tesis de linealidad pu~de ser 0 no apropiada dependiendo de

la cuenca en estudio Amorocho y Orlob (1961) proponen para reshy

- 6 shy

solver este problema considerar integrales de convoluci6n de

6rdenes mayores

La hip6tesis de invarianza en el tiempo est~ relacionada

con el hecho de que las ordenadas de la funci6n de respuesta

pueden cambiar durante una tormenta yo ser funci6n de los difeshy

rentes perfodos del cicIo hidro16gico de la cuenca (perfodos seshy

cas Y h~edos) Si el sistema es considerado como variante en

el tiampo la ecuaci6n (1-3) se transforma en

(1-6)Q(t) AJ~(T) u(t-TtT) dT

o

present~ndose problemas te6ricos y pr~cticos en la estimaci6n

de U(t-TtT)

Este trabajo presenta los resultados de la investigaci6n

llevada a cabo en el postgrado en Planificac16n e Ingeniera de

Recursos Hfdricos de la Universidad Sim6n Bolfvar para utl1izar

el filtro de_Kalman-Bucy (Kalman 1960 Kalman y Bucy 1961) en

la identificaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca su

usa posterior en la predicci6n de caudales en tiempo real y poshy

sibles soluciones a los problemas de no linealidad Y falta de

estacionaridad frecuentemente encontrada en las funciones de

respuestas hidro16gicas en el mundo real

Este informe est~ dividido en cuatro partes

i) Teorfa del filtro de Kalman

- 7 shy

ii) Formulaci6n del modelo b~sico de predicci6n

iii) Discriminaci6n de la estructura del modelo

iv) Modelo general basadoen mGltiples estados

1 2 Revision de la 11teratura

En esta secci6n se presentar~ una breve revisi6n de la liteshy

ratura solamente en 10 que eOncierne al usa del filtro de Kalman

en la predicei6n de deseargas fluviales en particular su usa en

tiempo real Una descripci6n m~s detallada puede eneontrarse en

Rodriguez-Iturbe y otros (1978) En los Gltimos anos se han proshy

puesto un gran ntimero de metodos para la utilizaci6n del filtro

de Kalman en predicci6n Dos muestras de ella son el Workshop

Recent Developments in Real-Time Forecasting and Control of

Water Resource Systems organizado por el International Institute

for Applied System AnalYSis (IIASA) en Laxenburg Austria (1976)

y la Conferencia Chapman sobre Applications of Kalman Filter to

Hydraulics Hydrology and Water Resources organizada en la Unishy

versidad de Pittsburgh (1978)

El procedimiento mas freeuentemente utilizado en tiempo

real es el uso de modelos de regresi6n con una estimaci6n recurshy

siva de sus par~metros 0 sea el caudal pronostieado para el peshy

riodo t es expresado como una funci6n lineal de caudales observashy

dos en intervalos de tiempos anteriores Ylo de precipitaci6n

Los par~metros son recursivamente estimados por medio deminimos

cuadrados (Kashyap y Rao 1973 1~74) En este enfoque esta imshy

- 8 shy

plicito que las observaciones son sin errores y que la secuenshy

cia de errores del modelo de regresi6n es rUido blanco estacioshy

nario Una ramificaci6n de este enfoque usando el filtro de Kalshy

man fue propuesto por Hino (1973) y se basa en la estimaci6n del

hidrograrna unitario instantaneo (HUI) En este enfoque el estado

del sistema es el HUI discretizado de la cuenca en vez de los

caudales La ecuaci6n de estado esta dada por un camino aleatoric

(random walk) con estadisticas conocidas El enfoque usa en

la ecuaci6n de mediei6n una correlaci6n discreta de las entradas

(precipitaci6n) con la funei6n de respuesta del sistema (el HUI)

y se supone conocido el error de medieion Si el estado del sisshy

tema se supone constante el metodo se reduce a una estimaei6n

recursiva por minimos cuadrados de las ordenadas del HUI Una

extensi6n de este enfoque fue desarrollado en la Universidad

Simon Bolivar y se presenta en detalle en este informe ~odr1guez-

Iturbe y otros 1978 Valdes y otros 1978 Vel~zquez 1980)

Otra extensi6n del metodo fue propuesta por sz8110si-Nagy (1975)

en la eual se usa un algoritmo recursivo sub-6ptimo para la esshy

timaci6n de las estadisticas de los terminos de error en las

ecuaciones de estado y en la de medici6n Todini y Bouillot

(1975) han propuesto un model ARMA lineal e invariante cayos

parametros son estimados por medio de un filtro de Kalman Este

modelo fue posteriormente mOdificado para tener en euenta la no

linealidad del sistema por medio de un umbral basado en el 1nshy

dice de precipitaci6n antecedente (API) (Todini y otros 1976)

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

~

( - 1 shy

AGRADECIMIENTOS

Los resultados que se presentan en este informe provienen

del Proyecto Filtros de Kalman en Hidrologa Predicciones de Descargas Fluviales para la Operacion Optima de Embalses fi shy

nanciado parcialmente p~r el CONICIT bajo el Ndeg Sl-O~49 La i~

presion de este informe fue pOsible mediante un subsidio del

CONICIT Ambas contribuciones se agradecen profundamente

I Introducci6n

Uno de los problemas m~s importantes en hidrologa es la

predicci6n de caudales en tiempo real Para poder realizar esta

predicci6n es necesario postular una relaci6n causal entre la

precipitaci6n en varios puntos de la cuenca en diferentes

instantes de tiempo y el caudal medio en un da determinado

Esta relaci6n causal se la denomina funci6n de respuesta de la

cuenca y pondera las contribuciones individuales de precipitashy

cion de cada sector de la cuenca en la escorrenta Una vez

postulada esta relacion causal 0 sea esta funci6n de respuesta

teorica sus componentes deben ser evaluados p~r medio de un

metodo de estimacion

La funci6n de respuesta puede tomar diversas formas se la

puede suponer totalmente como un modelo de caja-negra 0 puede

describir el proceso lluvia-escorrenta con gran detalle la reshy

lacion puede ser totalmente determinstica 0 estoc~stica 0 una

combinacion de ambas lineal 0 no lineal variante 0 invariante

en el tiempo etc

Una de las funciones de respuesta m~s utilizadas en hidroshy

logfa es el hidrograma unitario propuesto originalmente por

Sherman (1932) El hidrograma unitario es una funci6n de respue~

ta lineal e invariante enel tiempo

La aplicaci6n de modelos de caja negra basados en la teoshy

rfa del an~lisis de sistemas para la simulacion de las series de

~

P1igina

I 11 Introduccion 1

12 Revision de la literatura 7 II El filtro de Kalman-Bucy 10

21 Descripci6n teorica del filtro 10 22 Procedimiento para la evaluaci6n

de ~(t+llt+l) y ~(t+1It+l) 13 III Aplicaciones del filtro de Kalman a

hidrologa 16

31 Evaluaci6n de la funci6n de resshypuesta de una cuenca 16

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

19 33 Algunas extensiones del modelo 24

IV Extensiones al modelo de Predicci6n en tiel1po real de caudales 32 41 Seleccion de la estructura del filtro

de Kalman usando teora Bayesiana 34 42 Modelo de Prediccion con Multiples

Estados 48

43 Aplicaciones del modelo de Multiples Estados

59 REFE RENClAS

67

2

cauda1es ha sido muy intensa en la ~ltima decada Bajo este esshy

quema las variables de entrada al esquema son relacionadas con

las variables de salida del mismo por medio de la funci6n de

respuesta del sistema la cual es frecuentemente usada para preshy

dicci6n yo simulacion

Dooge (1973) da una buena sntesis de los diferentes enfoshy

ques utilizados para la evaluaci6n de esta funcion de respuesshy

tao

Puesto que las funciones de respuesta a ser ev~luadas por

los diferentes modelos de predicci6n 0 utilizan el hidrograma

unitario 0 son una extension de el se describir1i en esta Introshy

ducci6n con algo de deta11e su metodo de estimaci6n

Supongamos que una tormenta determinada de duraci6n T ti~

ne un hietograma de la forma mostrada en la Figura 11 La canshy

tidad de lluvia cada en la cuenca durante el perodo dT es

igual a

P (T) i () dTA (1-1)

donde

A area de 1a cuenca

i() intensidad promedio en el intervalo

(T T+dT)

P (T) l1uvia cada en e1 intervalo (TT+dT)

La contribuci6n de PIT) al escurrimiento en el intervalo

t es la siguiente

__

bull iI

-3shy

- 4 shy

ltf

q (t) P (T)U(t-TT)

(l -2)i(T)U(t-T) d I (t I

donde

porci6n del caudal total escurrido en el

intervalo t debido a la precipitaci6n peT)

q (t)

u (t-T T) ordenada de la funci6n de respuesta (hidrpound

1 grama unitario) para una tormenta de durashy

ci6n T que relaciona get) con P(T)

Debido a la suposici6n de que el sistema es lineal se pueshy

de utilizar e1 principio de superposici6n para determinar el capound

dal escurrido en el perfodo t

Por 10 tanto

Q(t) A li(T) u(t-TT) d (1- 3)=--_~I o

donde

QOI Q(t) caudal total escurrido en el tiempo t

La ecuaci6n (1~3) es la conocida integral de convoluci6n de

Duhamel Si la precipitaci6n se representa en una forma discreta

la integral de la ecuaci6n (1-3) se reduce a una sumatoria 0

seaQ(t) t

Q(t) A E i(r) ult-rT) 61 (l-4a) y=o La ecuac16n (1-4) se puede representar en forma matricial

FIGURA If INFLUENCIA DE LA PRECIPITACION DEL

INTERVALo 1i EN EL ESCURRIMIENTO EN EL INTERVA LO

- 5 shy

de la siguiente manera

Q (1) Al2(t) (h4b)

donde

l2 (tl vector de (kx1) elementos que contieshy

nen la precipitaci6n en cada instante

de tiempo desde 0 hasta t

vector de componentes del hidrograma unitario

y para todo el hidrograma de salida nos queda

A P U (1-5)

donde

P matriz cuyas columnas son los vectores de

precipitaciones desplazadas

9

La evaluaci6n de la funci6n de~espuesta en el caso lineal

e invariante en el tiempo se reduc~a la resoluci6n de un sisteshy

ma de ecuaciones algebralcas lineales para el caso discreto y la

resoluci6n de una ecuaci6n integral para el caso contfnuo

Como se mencionara antes las ecuaciones (1-3) (1-4) y (1-5)

presuponen que el sistema es lineal e invariante en el tiempo La

hip6tesis de linealidad pu~de ser 0 no apropiada dependiendo de

la cuenca en estudio Amorocho y Orlob (1961) proponen para reshy

- 6 shy

solver este problema considerar integrales de convoluci6n de

6rdenes mayores

La hip6tesis de invarianza en el tiempo est~ relacionada

con el hecho de que las ordenadas de la funci6n de respuesta

pueden cambiar durante una tormenta yo ser funci6n de los difeshy

rentes perfodos del cicIo hidro16gico de la cuenca (perfodos seshy

cas Y h~edos) Si el sistema es considerado como variante en

el tiampo la ecuaci6n (1-3) se transforma en

(1-6)Q(t) AJ~(T) u(t-TtT) dT

o

present~ndose problemas te6ricos y pr~cticos en la estimaci6n

de U(t-TtT)

Este trabajo presenta los resultados de la investigaci6n

llevada a cabo en el postgrado en Planificac16n e Ingeniera de

Recursos Hfdricos de la Universidad Sim6n Bolfvar para utl1izar

el filtro de_Kalman-Bucy (Kalman 1960 Kalman y Bucy 1961) en

la identificaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca su

usa posterior en la predicci6n de caudales en tiempo real y poshy

sibles soluciones a los problemas de no linealidad Y falta de

estacionaridad frecuentemente encontrada en las funciones de

respuestas hidro16gicas en el mundo real

Este informe est~ dividido en cuatro partes

i) Teorfa del filtro de Kalman

- 7 shy

ii) Formulaci6n del modelo b~sico de predicci6n

iii) Discriminaci6n de la estructura del modelo

iv) Modelo general basadoen mGltiples estados

1 2 Revision de la 11teratura

En esta secci6n se presentar~ una breve revisi6n de la liteshy

ratura solamente en 10 que eOncierne al usa del filtro de Kalman

en la predicei6n de deseargas fluviales en particular su usa en

tiempo real Una descripci6n m~s detallada puede eneontrarse en

Rodriguez-Iturbe y otros (1978) En los Gltimos anos se han proshy

puesto un gran ntimero de metodos para la utilizaci6n del filtro

de Kalman en predicci6n Dos muestras de ella son el Workshop

Recent Developments in Real-Time Forecasting and Control of

Water Resource Systems organizado por el International Institute

for Applied System AnalYSis (IIASA) en Laxenburg Austria (1976)

y la Conferencia Chapman sobre Applications of Kalman Filter to

Hydraulics Hydrology and Water Resources organizada en la Unishy

versidad de Pittsburgh (1978)

El procedimiento mas freeuentemente utilizado en tiempo

real es el uso de modelos de regresi6n con una estimaci6n recurshy

siva de sus par~metros 0 sea el caudal pronostieado para el peshy

riodo t es expresado como una funci6n lineal de caudales observashy

dos en intervalos de tiempos anteriores Ylo de precipitaci6n

Los par~metros son recursivamente estimados por medio deminimos

cuadrados (Kashyap y Rao 1973 1~74) En este enfoque esta imshy

- 8 shy

plicito que las observaciones son sin errores y que la secuenshy

cia de errores del modelo de regresi6n es rUido blanco estacioshy

nario Una ramificaci6n de este enfoque usando el filtro de Kalshy

man fue propuesto por Hino (1973) y se basa en la estimaci6n del

hidrograrna unitario instantaneo (HUI) En este enfoque el estado

del sistema es el HUI discretizado de la cuenca en vez de los

caudales La ecuaci6n de estado esta dada por un camino aleatoric

(random walk) con estadisticas conocidas El enfoque usa en

la ecuaci6n de mediei6n una correlaci6n discreta de las entradas

(precipitaci6n) con la funei6n de respuesta del sistema (el HUI)

y se supone conocido el error de medieion Si el estado del sisshy

tema se supone constante el metodo se reduce a una estimaei6n

recursiva por minimos cuadrados de las ordenadas del HUI Una

extensi6n de este enfoque fue desarrollado en la Universidad

Simon Bolivar y se presenta en detalle en este informe ~odr1guez-

Iturbe y otros 1978 Valdes y otros 1978 Vel~zquez 1980)

Otra extensi6n del metodo fue propuesta por sz8110si-Nagy (1975)

en la eual se usa un algoritmo recursivo sub-6ptimo para la esshy

timaci6n de las estadisticas de los terminos de error en las

ecuaciones de estado y en la de medici6n Todini y Bouillot

(1975) han propuesto un model ARMA lineal e invariante cayos

parametros son estimados por medio de un filtro de Kalman Este

modelo fue posteriormente mOdificado para tener en euenta la no

linealidad del sistema por medio de un umbral basado en el 1nshy

dice de precipitaci6n antecedente (API) (Todini y otros 1976)

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

~

P1igina

I 11 Introduccion 1

12 Revision de la literatura 7 II El filtro de Kalman-Bucy 10

21 Descripci6n teorica del filtro 10 22 Procedimiento para la evaluaci6n

de ~(t+llt+l) y ~(t+1It+l) 13 III Aplicaciones del filtro de Kalman a

hidrologa 16

31 Evaluaci6n de la funci6n de resshypuesta de una cuenca 16

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

19 33 Algunas extensiones del modelo 24

IV Extensiones al modelo de Predicci6n en tiel1po real de caudales 32 41 Seleccion de la estructura del filtro

de Kalman usando teora Bayesiana 34 42 Modelo de Prediccion con Multiples

Estados 48

43 Aplicaciones del modelo de Multiples Estados

59 REFE RENClAS

67

2

cauda1es ha sido muy intensa en la ~ltima decada Bajo este esshy

quema las variables de entrada al esquema son relacionadas con

las variables de salida del mismo por medio de la funci6n de

respuesta del sistema la cual es frecuentemente usada para preshy

dicci6n yo simulacion

Dooge (1973) da una buena sntesis de los diferentes enfoshy

ques utilizados para la evaluaci6n de esta funcion de respuesshy

tao

Puesto que las funciones de respuesta a ser ev~luadas por

los diferentes modelos de predicci6n 0 utilizan el hidrograma

unitario 0 son una extension de el se describir1i en esta Introshy

ducci6n con algo de deta11e su metodo de estimaci6n

Supongamos que una tormenta determinada de duraci6n T ti~

ne un hietograma de la forma mostrada en la Figura 11 La canshy

tidad de lluvia cada en la cuenca durante el perodo dT es

igual a

P (T) i () dTA (1-1)

donde

A area de 1a cuenca

i() intensidad promedio en el intervalo

(T T+dT)

P (T) l1uvia cada en e1 intervalo (TT+dT)

La contribuci6n de PIT) al escurrimiento en el intervalo

t es la siguiente

__

bull iI

-3shy

- 4 shy

ltf

q (t) P (T)U(t-TT)

(l -2)i(T)U(t-T) d I (t I

donde

porci6n del caudal total escurrido en el

intervalo t debido a la precipitaci6n peT)

q (t)

u (t-T T) ordenada de la funci6n de respuesta (hidrpound

1 grama unitario) para una tormenta de durashy

ci6n T que relaciona get) con P(T)

Debido a la suposici6n de que el sistema es lineal se pueshy

de utilizar e1 principio de superposici6n para determinar el capound

dal escurrido en el perfodo t

Por 10 tanto

Q(t) A li(T) u(t-TT) d (1- 3)=--_~I o

donde

QOI Q(t) caudal total escurrido en el tiempo t

La ecuaci6n (1~3) es la conocida integral de convoluci6n de

Duhamel Si la precipitaci6n se representa en una forma discreta

la integral de la ecuaci6n (1-3) se reduce a una sumatoria 0

seaQ(t) t

Q(t) A E i(r) ult-rT) 61 (l-4a) y=o La ecuac16n (1-4) se puede representar en forma matricial

FIGURA If INFLUENCIA DE LA PRECIPITACION DEL

INTERVALo 1i EN EL ESCURRIMIENTO EN EL INTERVA LO

- 5 shy

de la siguiente manera

Q (1) Al2(t) (h4b)

donde

l2 (tl vector de (kx1) elementos que contieshy

nen la precipitaci6n en cada instante

de tiempo desde 0 hasta t

vector de componentes del hidrograma unitario

y para todo el hidrograma de salida nos queda

A P U (1-5)

donde

P matriz cuyas columnas son los vectores de

precipitaciones desplazadas

9

La evaluaci6n de la funci6n de~espuesta en el caso lineal

e invariante en el tiempo se reduc~a la resoluci6n de un sisteshy

ma de ecuaciones algebralcas lineales para el caso discreto y la

resoluci6n de una ecuaci6n integral para el caso contfnuo

Como se mencionara antes las ecuaciones (1-3) (1-4) y (1-5)

presuponen que el sistema es lineal e invariante en el tiempo La

hip6tesis de linealidad pu~de ser 0 no apropiada dependiendo de

la cuenca en estudio Amorocho y Orlob (1961) proponen para reshy

- 6 shy

solver este problema considerar integrales de convoluci6n de

6rdenes mayores

La hip6tesis de invarianza en el tiempo est~ relacionada

con el hecho de que las ordenadas de la funci6n de respuesta

pueden cambiar durante una tormenta yo ser funci6n de los difeshy

rentes perfodos del cicIo hidro16gico de la cuenca (perfodos seshy

cas Y h~edos) Si el sistema es considerado como variante en

el tiampo la ecuaci6n (1-3) se transforma en

(1-6)Q(t) AJ~(T) u(t-TtT) dT

o

present~ndose problemas te6ricos y pr~cticos en la estimaci6n

de U(t-TtT)

Este trabajo presenta los resultados de la investigaci6n

llevada a cabo en el postgrado en Planificac16n e Ingeniera de

Recursos Hfdricos de la Universidad Sim6n Bolfvar para utl1izar

el filtro de_Kalman-Bucy (Kalman 1960 Kalman y Bucy 1961) en

la identificaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca su

usa posterior en la predicci6n de caudales en tiempo real y poshy

sibles soluciones a los problemas de no linealidad Y falta de

estacionaridad frecuentemente encontrada en las funciones de

respuestas hidro16gicas en el mundo real

Este informe est~ dividido en cuatro partes

i) Teorfa del filtro de Kalman

- 7 shy

ii) Formulaci6n del modelo b~sico de predicci6n

iii) Discriminaci6n de la estructura del modelo

iv) Modelo general basadoen mGltiples estados

1 2 Revision de la 11teratura

En esta secci6n se presentar~ una breve revisi6n de la liteshy

ratura solamente en 10 que eOncierne al usa del filtro de Kalman

en la predicei6n de deseargas fluviales en particular su usa en

tiempo real Una descripci6n m~s detallada puede eneontrarse en

Rodriguez-Iturbe y otros (1978) En los Gltimos anos se han proshy

puesto un gran ntimero de metodos para la utilizaci6n del filtro

de Kalman en predicci6n Dos muestras de ella son el Workshop

Recent Developments in Real-Time Forecasting and Control of

Water Resource Systems organizado por el International Institute

for Applied System AnalYSis (IIASA) en Laxenburg Austria (1976)

y la Conferencia Chapman sobre Applications of Kalman Filter to

Hydraulics Hydrology and Water Resources organizada en la Unishy

versidad de Pittsburgh (1978)

El procedimiento mas freeuentemente utilizado en tiempo

real es el uso de modelos de regresi6n con una estimaci6n recurshy

siva de sus par~metros 0 sea el caudal pronostieado para el peshy

riodo t es expresado como una funci6n lineal de caudales observashy

dos en intervalos de tiempos anteriores Ylo de precipitaci6n

Los par~metros son recursivamente estimados por medio deminimos

cuadrados (Kashyap y Rao 1973 1~74) En este enfoque esta imshy

- 8 shy

plicito que las observaciones son sin errores y que la secuenshy

cia de errores del modelo de regresi6n es rUido blanco estacioshy

nario Una ramificaci6n de este enfoque usando el filtro de Kalshy

man fue propuesto por Hino (1973) y se basa en la estimaci6n del

hidrograrna unitario instantaneo (HUI) En este enfoque el estado

del sistema es el HUI discretizado de la cuenca en vez de los

caudales La ecuaci6n de estado esta dada por un camino aleatoric

(random walk) con estadisticas conocidas El enfoque usa en

la ecuaci6n de mediei6n una correlaci6n discreta de las entradas

(precipitaci6n) con la funei6n de respuesta del sistema (el HUI)

y se supone conocido el error de medieion Si el estado del sisshy

tema se supone constante el metodo se reduce a una estimaei6n

recursiva por minimos cuadrados de las ordenadas del HUI Una

extensi6n de este enfoque fue desarrollado en la Universidad

Simon Bolivar y se presenta en detalle en este informe ~odr1guez-

Iturbe y otros 1978 Valdes y otros 1978 Vel~zquez 1980)

Otra extensi6n del metodo fue propuesta por sz8110si-Nagy (1975)

en la eual se usa un algoritmo recursivo sub-6ptimo para la esshy

timaci6n de las estadisticas de los terminos de error en las

ecuaciones de estado y en la de medici6n Todini y Bouillot

(1975) han propuesto un model ARMA lineal e invariante cayos

parametros son estimados por medio de un filtro de Kalman Este

modelo fue posteriormente mOdificado para tener en euenta la no

linealidad del sistema por medio de un umbral basado en el 1nshy

dice de precipitaci6n antecedente (API) (Todini y otros 1976)

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

__

bull iI

-3shy

- 4 shy

ltf

q (t) P (T)U(t-TT)

(l -2)i(T)U(t-T) d I (t I

donde

porci6n del caudal total escurrido en el

intervalo t debido a la precipitaci6n peT)

q (t)

u (t-T T) ordenada de la funci6n de respuesta (hidrpound

1 grama unitario) para una tormenta de durashy

ci6n T que relaciona get) con P(T)

Debido a la suposici6n de que el sistema es lineal se pueshy

de utilizar e1 principio de superposici6n para determinar el capound

dal escurrido en el perfodo t

Por 10 tanto

Q(t) A li(T) u(t-TT) d (1- 3)=--_~I o

donde

QOI Q(t) caudal total escurrido en el tiempo t

La ecuaci6n (1~3) es la conocida integral de convoluci6n de

Duhamel Si la precipitaci6n se representa en una forma discreta

la integral de la ecuaci6n (1-3) se reduce a una sumatoria 0

seaQ(t) t

Q(t) A E i(r) ult-rT) 61 (l-4a) y=o La ecuac16n (1-4) se puede representar en forma matricial

FIGURA If INFLUENCIA DE LA PRECIPITACION DEL

INTERVALo 1i EN EL ESCURRIMIENTO EN EL INTERVA LO

- 5 shy

de la siguiente manera

Q (1) Al2(t) (h4b)

donde

l2 (tl vector de (kx1) elementos que contieshy

nen la precipitaci6n en cada instante

de tiempo desde 0 hasta t

vector de componentes del hidrograma unitario

y para todo el hidrograma de salida nos queda

A P U (1-5)

donde

P matriz cuyas columnas son los vectores de

precipitaciones desplazadas

9

La evaluaci6n de la funci6n de~espuesta en el caso lineal

e invariante en el tiempo se reduc~a la resoluci6n de un sisteshy

ma de ecuaciones algebralcas lineales para el caso discreto y la

resoluci6n de una ecuaci6n integral para el caso contfnuo

Como se mencionara antes las ecuaciones (1-3) (1-4) y (1-5)

presuponen que el sistema es lineal e invariante en el tiempo La

hip6tesis de linealidad pu~de ser 0 no apropiada dependiendo de

la cuenca en estudio Amorocho y Orlob (1961) proponen para reshy

- 6 shy

solver este problema considerar integrales de convoluci6n de

6rdenes mayores

La hip6tesis de invarianza en el tiempo est~ relacionada

con el hecho de que las ordenadas de la funci6n de respuesta

pueden cambiar durante una tormenta yo ser funci6n de los difeshy

rentes perfodos del cicIo hidro16gico de la cuenca (perfodos seshy

cas Y h~edos) Si el sistema es considerado como variante en

el tiampo la ecuaci6n (1-3) se transforma en

(1-6)Q(t) AJ~(T) u(t-TtT) dT

o

present~ndose problemas te6ricos y pr~cticos en la estimaci6n

de U(t-TtT)

Este trabajo presenta los resultados de la investigaci6n

llevada a cabo en el postgrado en Planificac16n e Ingeniera de

Recursos Hfdricos de la Universidad Sim6n Bolfvar para utl1izar

el filtro de_Kalman-Bucy (Kalman 1960 Kalman y Bucy 1961) en

la identificaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca su

usa posterior en la predicci6n de caudales en tiempo real y poshy

sibles soluciones a los problemas de no linealidad Y falta de

estacionaridad frecuentemente encontrada en las funciones de

respuestas hidro16gicas en el mundo real

Este informe est~ dividido en cuatro partes

i) Teorfa del filtro de Kalman

- 7 shy

ii) Formulaci6n del modelo b~sico de predicci6n

iii) Discriminaci6n de la estructura del modelo

iv) Modelo general basadoen mGltiples estados

1 2 Revision de la 11teratura

En esta secci6n se presentar~ una breve revisi6n de la liteshy

ratura solamente en 10 que eOncierne al usa del filtro de Kalman

en la predicei6n de deseargas fluviales en particular su usa en

tiempo real Una descripci6n m~s detallada puede eneontrarse en

Rodriguez-Iturbe y otros (1978) En los Gltimos anos se han proshy

puesto un gran ntimero de metodos para la utilizaci6n del filtro

de Kalman en predicci6n Dos muestras de ella son el Workshop

Recent Developments in Real-Time Forecasting and Control of

Water Resource Systems organizado por el International Institute

for Applied System AnalYSis (IIASA) en Laxenburg Austria (1976)

y la Conferencia Chapman sobre Applications of Kalman Filter to

Hydraulics Hydrology and Water Resources organizada en la Unishy

versidad de Pittsburgh (1978)

El procedimiento mas freeuentemente utilizado en tiempo

real es el uso de modelos de regresi6n con una estimaci6n recurshy

siva de sus par~metros 0 sea el caudal pronostieado para el peshy

riodo t es expresado como una funci6n lineal de caudales observashy

dos en intervalos de tiempos anteriores Ylo de precipitaci6n

Los par~metros son recursivamente estimados por medio deminimos

cuadrados (Kashyap y Rao 1973 1~74) En este enfoque esta imshy

- 8 shy

plicito que las observaciones son sin errores y que la secuenshy

cia de errores del modelo de regresi6n es rUido blanco estacioshy

nario Una ramificaci6n de este enfoque usando el filtro de Kalshy

man fue propuesto por Hino (1973) y se basa en la estimaci6n del

hidrograrna unitario instantaneo (HUI) En este enfoque el estado

del sistema es el HUI discretizado de la cuenca en vez de los

caudales La ecuaci6n de estado esta dada por un camino aleatoric

(random walk) con estadisticas conocidas El enfoque usa en

la ecuaci6n de mediei6n una correlaci6n discreta de las entradas

(precipitaci6n) con la funei6n de respuesta del sistema (el HUI)

y se supone conocido el error de medieion Si el estado del sisshy

tema se supone constante el metodo se reduce a una estimaei6n

recursiva por minimos cuadrados de las ordenadas del HUI Una

extensi6n de este enfoque fue desarrollado en la Universidad

Simon Bolivar y se presenta en detalle en este informe ~odr1guez-

Iturbe y otros 1978 Valdes y otros 1978 Vel~zquez 1980)

Otra extensi6n del metodo fue propuesta por sz8110si-Nagy (1975)

en la eual se usa un algoritmo recursivo sub-6ptimo para la esshy

timaci6n de las estadisticas de los terminos de error en las

ecuaciones de estado y en la de medici6n Todini y Bouillot

(1975) han propuesto un model ARMA lineal e invariante cayos

parametros son estimados por medio de un filtro de Kalman Este

modelo fue posteriormente mOdificado para tener en euenta la no

linealidad del sistema por medio de un umbral basado en el 1nshy

dice de precipitaci6n antecedente (API) (Todini y otros 1976)

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 5 shy

de la siguiente manera

Q (1) Al2(t) (h4b)

donde

l2 (tl vector de (kx1) elementos que contieshy

nen la precipitaci6n en cada instante

de tiempo desde 0 hasta t

vector de componentes del hidrograma unitario

y para todo el hidrograma de salida nos queda

A P U (1-5)

donde

P matriz cuyas columnas son los vectores de

precipitaciones desplazadas

9

La evaluaci6n de la funci6n de~espuesta en el caso lineal

e invariante en el tiempo se reduc~a la resoluci6n de un sisteshy

ma de ecuaciones algebralcas lineales para el caso discreto y la

resoluci6n de una ecuaci6n integral para el caso contfnuo

Como se mencionara antes las ecuaciones (1-3) (1-4) y (1-5)

presuponen que el sistema es lineal e invariante en el tiempo La

hip6tesis de linealidad pu~de ser 0 no apropiada dependiendo de

la cuenca en estudio Amorocho y Orlob (1961) proponen para reshy

- 6 shy

solver este problema considerar integrales de convoluci6n de

6rdenes mayores

La hip6tesis de invarianza en el tiempo est~ relacionada

con el hecho de que las ordenadas de la funci6n de respuesta

pueden cambiar durante una tormenta yo ser funci6n de los difeshy

rentes perfodos del cicIo hidro16gico de la cuenca (perfodos seshy

cas Y h~edos) Si el sistema es considerado como variante en

el tiampo la ecuaci6n (1-3) se transforma en

(1-6)Q(t) AJ~(T) u(t-TtT) dT

o

present~ndose problemas te6ricos y pr~cticos en la estimaci6n

de U(t-TtT)

Este trabajo presenta los resultados de la investigaci6n

llevada a cabo en el postgrado en Planificac16n e Ingeniera de

Recursos Hfdricos de la Universidad Sim6n Bolfvar para utl1izar

el filtro de_Kalman-Bucy (Kalman 1960 Kalman y Bucy 1961) en

la identificaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca su

usa posterior en la predicci6n de caudales en tiempo real y poshy

sibles soluciones a los problemas de no linealidad Y falta de

estacionaridad frecuentemente encontrada en las funciones de

respuestas hidro16gicas en el mundo real

Este informe est~ dividido en cuatro partes

i) Teorfa del filtro de Kalman

- 7 shy

ii) Formulaci6n del modelo b~sico de predicci6n

iii) Discriminaci6n de la estructura del modelo

iv) Modelo general basadoen mGltiples estados

1 2 Revision de la 11teratura

En esta secci6n se presentar~ una breve revisi6n de la liteshy

ratura solamente en 10 que eOncierne al usa del filtro de Kalman

en la predicei6n de deseargas fluviales en particular su usa en

tiempo real Una descripci6n m~s detallada puede eneontrarse en

Rodriguez-Iturbe y otros (1978) En los Gltimos anos se han proshy

puesto un gran ntimero de metodos para la utilizaci6n del filtro

de Kalman en predicci6n Dos muestras de ella son el Workshop

Recent Developments in Real-Time Forecasting and Control of

Water Resource Systems organizado por el International Institute

for Applied System AnalYSis (IIASA) en Laxenburg Austria (1976)

y la Conferencia Chapman sobre Applications of Kalman Filter to

Hydraulics Hydrology and Water Resources organizada en la Unishy

versidad de Pittsburgh (1978)

El procedimiento mas freeuentemente utilizado en tiempo

real es el uso de modelos de regresi6n con una estimaci6n recurshy

siva de sus par~metros 0 sea el caudal pronostieado para el peshy

riodo t es expresado como una funci6n lineal de caudales observashy

dos en intervalos de tiempos anteriores Ylo de precipitaci6n

Los par~metros son recursivamente estimados por medio deminimos

cuadrados (Kashyap y Rao 1973 1~74) En este enfoque esta imshy

- 8 shy

plicito que las observaciones son sin errores y que la secuenshy

cia de errores del modelo de regresi6n es rUido blanco estacioshy

nario Una ramificaci6n de este enfoque usando el filtro de Kalshy

man fue propuesto por Hino (1973) y se basa en la estimaci6n del

hidrograrna unitario instantaneo (HUI) En este enfoque el estado

del sistema es el HUI discretizado de la cuenca en vez de los

caudales La ecuaci6n de estado esta dada por un camino aleatoric

(random walk) con estadisticas conocidas El enfoque usa en

la ecuaci6n de mediei6n una correlaci6n discreta de las entradas

(precipitaci6n) con la funei6n de respuesta del sistema (el HUI)

y se supone conocido el error de medieion Si el estado del sisshy

tema se supone constante el metodo se reduce a una estimaei6n

recursiva por minimos cuadrados de las ordenadas del HUI Una

extensi6n de este enfoque fue desarrollado en la Universidad

Simon Bolivar y se presenta en detalle en este informe ~odr1guez-

Iturbe y otros 1978 Valdes y otros 1978 Vel~zquez 1980)

Otra extensi6n del metodo fue propuesta por sz8110si-Nagy (1975)

en la eual se usa un algoritmo recursivo sub-6ptimo para la esshy

timaci6n de las estadisticas de los terminos de error en las

ecuaciones de estado y en la de medici6n Todini y Bouillot

(1975) han propuesto un model ARMA lineal e invariante cayos

parametros son estimados por medio de un filtro de Kalman Este

modelo fue posteriormente mOdificado para tener en euenta la no

linealidad del sistema por medio de un umbral basado en el 1nshy

dice de precipitaci6n antecedente (API) (Todini y otros 1976)

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 7 shy

ii) Formulaci6n del modelo b~sico de predicci6n

iii) Discriminaci6n de la estructura del modelo

iv) Modelo general basadoen mGltiples estados

1 2 Revision de la 11teratura

En esta secci6n se presentar~ una breve revisi6n de la liteshy

ratura solamente en 10 que eOncierne al usa del filtro de Kalman

en la predicei6n de deseargas fluviales en particular su usa en

tiempo real Una descripci6n m~s detallada puede eneontrarse en

Rodriguez-Iturbe y otros (1978) En los Gltimos anos se han proshy

puesto un gran ntimero de metodos para la utilizaci6n del filtro

de Kalman en predicci6n Dos muestras de ella son el Workshop

Recent Developments in Real-Time Forecasting and Control of

Water Resource Systems organizado por el International Institute

for Applied System AnalYSis (IIASA) en Laxenburg Austria (1976)

y la Conferencia Chapman sobre Applications of Kalman Filter to

Hydraulics Hydrology and Water Resources organizada en la Unishy

versidad de Pittsburgh (1978)

El procedimiento mas freeuentemente utilizado en tiempo

real es el uso de modelos de regresi6n con una estimaci6n recurshy

siva de sus par~metros 0 sea el caudal pronostieado para el peshy

riodo t es expresado como una funci6n lineal de caudales observashy

dos en intervalos de tiempos anteriores Ylo de precipitaci6n

Los par~metros son recursivamente estimados por medio deminimos

cuadrados (Kashyap y Rao 1973 1~74) En este enfoque esta imshy

- 8 shy

plicito que las observaciones son sin errores y que la secuenshy

cia de errores del modelo de regresi6n es rUido blanco estacioshy

nario Una ramificaci6n de este enfoque usando el filtro de Kalshy

man fue propuesto por Hino (1973) y se basa en la estimaci6n del

hidrograrna unitario instantaneo (HUI) En este enfoque el estado

del sistema es el HUI discretizado de la cuenca en vez de los

caudales La ecuaci6n de estado esta dada por un camino aleatoric

(random walk) con estadisticas conocidas El enfoque usa en

la ecuaci6n de mediei6n una correlaci6n discreta de las entradas

(precipitaci6n) con la funei6n de respuesta del sistema (el HUI)

y se supone conocido el error de medieion Si el estado del sisshy

tema se supone constante el metodo se reduce a una estimaei6n

recursiva por minimos cuadrados de las ordenadas del HUI Una

extensi6n de este enfoque fue desarrollado en la Universidad

Simon Bolivar y se presenta en detalle en este informe ~odr1guez-

Iturbe y otros 1978 Valdes y otros 1978 Vel~zquez 1980)

Otra extensi6n del metodo fue propuesta por sz8110si-Nagy (1975)

en la eual se usa un algoritmo recursivo sub-6ptimo para la esshy

timaci6n de las estadisticas de los terminos de error en las

ecuaciones de estado y en la de medici6n Todini y Bouillot

(1975) han propuesto un model ARMA lineal e invariante cayos

parametros son estimados por medio de un filtro de Kalman Este

modelo fue posteriormente mOdificado para tener en euenta la no

linealidad del sistema por medio de un umbral basado en el 1nshy

dice de precipitaci6n antecedente (API) (Todini y otros 1976)

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 9 -

Katayama (1976) us6 estimaci6n p~r m~xima verosimilitud para evashy

luar los par~metros de un modelo ARMA junto con el criterio de

informaci6n de Akaike (1974ab) para elegir el orden del modelo

Por su parte Ivakhnenko (196819701971) ha propuesto un m6shy

todo heur1sticQ el Group Method of Data Handling (GMDH) el cual

evita la selecci6n a priori de la estructura del modelo y fue us~

doen simulaci6n hidro16gica por Ikeda y sawaragi (1976) El comshy

portamiertto del sistema se descubre por medio de una serie de

Volterra Un enfoque m~s basado en la f1sica del proceso fue proshy

puesto por Lorent (1976)

Todos los modelos presentados hasta ahora son modelos basados

en la teor1a de sistemas El anico trabajo en el rea de modelos

conceptuales de lluvia-escorrentla es el realizado p~r Kitanidis

y Bras (1978) en e1 cua1 el modelo del National Weather Service

es operado ffon Line ff usando el filtro de Kalman para la estimacion

de los contenidos de humedad en los diversos componentes del moshy

delo Las predicciones realizadas de esta manera son sensiblemenshy

te superiores a la operacion del modelo NWS off line es decir

sin usar el filtro

- 10 shy

El filtro de Kalman-BUCYII

En este capitulo se har~ una descripcion te6rica general

del filtro de Kalman Y de su soluci6n para que en los proximos 1a

captulos se presenten sus aplicaciones en hidrolog bull

Descripci6n te6rica del filtro21

El filtro de Kalman estsect basado en dos ecuaciones 1a pri shy

que representa la din~ica mera eS la ecuaci6n de diferencias

del proceso y se puede escribir en la siguiente forma

~cuacion de diferenciasi)

(21) ~ (tl~(tl + ~ (t) ~(tl +~(t)i(tl

~ (t+l)

donde Vector (nxl) que representa el estado

~ (t+1)

del sistema en el tiempo t+l

idem a ~ (t+l) pero en el intervalo t ~ (tl

Vector (mx1) que representa las entradasget)

del control del sistema

vector (pxl) que representa el ruido ~(tl

del sistema descrito en la ecuaci6n (21)

son matrices conocidas de dimensioshy~(t) BCt) y ~(t)

nes apropiadas

La segunda ecuaci6n eS la de medicion que representa las

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 11 shy

observaclones que miden el estado del sistema

ii) Ecuaci6n de medici6n

~(t) f(t) ~(t) + 1(t) (2-2)

donde

~(t) Vector (rxl) que contiene las medicloshy

nes actuales del estado del sistema

~(t) Vector (rxl) que representa el ruido

en las mediciones

f(t) Matriz conocida de dimensiones apropi~

das

Con estas dos ecuaciones el filtro de Kalman trata de obshy

tener un estimador 6ptimo en el sentido de una menor varianza

ae predicci6n del estado del sistema ~ (tit) basado en las

observaciones pasadas del estado del sistema

~(t) (l) (2) bullbullbullbull(t) (2-3)

Y dei vector de control de e~tradas

U(t-l) U(l) U(2) bullbullbullbullbull bullbullbullbull UCt-I) (2-4)

Este estimador 6ptimo de ~ 6 ~Ct) se define como la media

de la distribuci6n condicional de (t) dados ~(t) y Q(t-l) 0

sea

(tlt) = E ~(t) I(t) Q(t-l) (215)

donde el termino (tit) indica-que se ha usado toda la inshy

- 12 shy

formaci6n disponible hasta el tiempo t en la obtenci6n del esti shy

mador del estado del sistema

Para obtener (tit) es necesario hacer las siguientes hishy

p6tesis

i) El estado inicial ~(O) es un vector (nxl) de componentes

aleatorios norrnalmente distribuidos con media conocida ~ (0) y

matriz de covarianza conocida L (0)0 sea

E ~(O) = ~ (D) (2-6a)

Cov ~(O)I~(O)= ~(O) (2-6b)

ii) El vector S (t) esti compuesto por p elementos aleatorios

distribuidos normalmente con media cero e independientes en el

tiampo Su varianza as necesario definirla a traveuros de la matriz

de covariancia ~ (t) que tiene las siguientes caracteristlcas

Cov ~(t)I~(T) = ~(t)Ot (2-7)

donde

es el delta de Kroenecker que es

otT o cuando t 4 T

otT 1 cuando t T

iii) El vector ~(t) esti formado de (rxl) elementos aleatorios

normalmente dlstribufdos con media cer~ y con matriz de covarian

cia a ser definida de acuerdo con las siguientes caracteristicas

cova (t) a (t) II (t) 0 (2-8)

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 13 shy

iv) ~(t) Y aCT) se asurnen mutuamente independientes para todos

los valores de t y T

v) El vector get) es una secuencia deterministica conocida

vi) Las matrices ~(t) ~(t) pound(t) y L(t) son todas determintsti shy

ticas y especificadas de antemano

Estas sets hip6tesis junto con la linealidad de las ecuashy

ciones (2-1) y (2-2) implican que la distribuci6n de probabilidad

del estado del sistema ~(t) condicional en ~(t) y g(t-1) es

Gaussiana y por 10 tanto se 10 puede definir totalmente por sus

dos primeros momentos 0 sea

E ~(t) I~(t) g(t-1) ~(tlt) (2-9a)

Var ~(t) I(tl g(t-I) 1(tlt) (2-9b)

El filtro de Kalman es un algoritmo poderoso que puede ser

usado para evaluar ~(tlt) y 1(tlt) en cada intervalo de tiempo y

actualiz~ndolo cuando se disponga de nuevas mediciones ~(t) sobre

el estado del sistema ~(t) bull

22 Procedimiento para la evaluaci6n de x(t+ilt+1) y E(t+1It+l)

A continuaci6n se dar~n las ecuaciones para actualizar los

estimadores de los momentos de la distribuci6n de x(t+1) es decir

su media ~(t+1) y su variancia 1(t+1) Esta actualizaci6n se reashy

liza en dos oportunidades antes y despu~s de 1a observaci6n de

~(t)

- 14 shy

Evaluaci6n de Ii matriz condicional de covariancia E(tlt) i)

_ lnicializaci6n en t=O (2-10)

1(010) = 1(0)

Ecuaci6n de predicci6n de la matriz de covariancia

( 2-11)1(t+1I t ) = ~(t) 1(tlt)~(t)+k(t) ~(t) k(t)

Ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de covarianza

1(t+1 It) - 1(t+llt)1(t+1 It+1)

pound(t+l) pound(t+l) 1(t+llt)pound (t+l) +

(2-12a)n(t+1)-1 pound(t+1) 1(t+1I t )

Ganancia del filtro (2-I2b)(t+l)~(t+1) = 1(t+1It+1) pound (t+1)

Evaluaci6n de la media condicional x(t+Ilt+l)11)

_ Inicializaci6n en t=O

(2-13) ~(010) = ~ (0)

Ecuaci6n de predicci6n de la media

(2-14)(t+IJt) = ~(t) i(tlt) + (t)g(t)

Clculo de los residuos (innOvaciones)

(2-15)pound(t+I)= ~(t+1) - pound(t+l)g(t+1I t )

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 15 shy

Actualizaci6n de la evaluaci6n de la media

i(t+llt+l) = i(t+llt) + ~(t+l) ~(t+l) (2-16)

Con este procedimiento se van evaluando en cada intervalo

los dos primeros momentos de la distribuci6n condicional del e~

tado del sistema antes y despues de realizar mediciones sobre

el estado del mismo

La recursividad del filtro de Kalman permite actualizar rshy

pidamente las estimaciones del vector de medias y la matriz de

covarianza del estado del sistema puesto que toda la informaoi6n

bsica est representada en la media y covariancia del estado

del sistema en el intervalo de tiempo anterior Ms aUn eligienshy

do los estimadores de ~(t) de la forma senalada anteriormente

estamos garantizando la elecci6n de un estimador de ~(t) con la

mnima varianCia

Por supuesto esta condici6n de optimalidad se cumple si

todas las hip6tesis hechas se verifican en la aplicaci6n del

filtro

- 16 shy

III - Aplicaoiones del filtro de Kalman a hidrologa

En este captulo se detallarn algunas de las aplicaciones

que puede tener el filtro de Kalman en hidrologa poniendose e~

pecial enfasis en la predicci6n de caudales en tiempo real facshy

tor indispensable para realizar una operaci6n 6ptima en una obra

hidralHica

Los dos aspectos a ser considerados son

i) Identificaci6n de la funci6n de respuesta de una

cuenca es decir su hidrograma unitario

il) Predicci6n en tiempo real de caudales en cuencas

con registro de corta duraci6n

Estos dos aspectos tienen una gran relevancia para Veneshy

zuela donde ka escasez de registros de larga duraci6n impide el

usc de tecnicas ms sofisticadas de anlisis hidrol6gico

31 - Evaluaci6n de la funci6n de respuesta de una cuenca

El hidrograma de salida de una determinada cuenca fue reshy

presentado en la ecuaci6n (1-4) en el Captulo I como la convoshy

luci6n de la funci6n de respuesta de la cuenca con la precipitashy

ci6n sobre la misma Hay varios metodos como se mencionara

anteriormente para la identificaci6n del hidrograma unitario

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

Imiddot

- 17 shy

de una cuenca La identificaci6n de la funci6n de respuesta tamshy

bi~n puede realizarse usando el filtro de Kalman como se 10 deshy

tallarlti a continuaci6n

El caudal de salida de la cuenca en el intervalo Q(t) es

m

OCt) A b i(t-T) U(T)8 (3-1)=0

cuyas variables ya han sido definidas en el Capitulo I El

efecto de errores tanto en la estructura del modelo como en la

medici6n se puede representar incluyendo un t~rmino aleatoriO

0(t) en la ecuaci6n (3-1) y queda

m

o t) A E i(t-t) U(TT)8T + 0(t) (3-2) T=O

donde Set) es una variable aleatoria normalmente distribuida

con media cero y variancia IT(t) Esta variancia puede asumirse

constante a 10 largo del tiempo 0 que sea una funci6n del cau_

dal La ventaja del primero es que es flticil la estimaci6n de

IT(t) mientras que en el segundo caso tiene una hip6tesis

mltis realista de la variancia

Los terminos de middotla ecuaci6n (3 -1) pueden ser definidos

de la siguiente manera

~ (t) U(O) U(l) bullbullbullbullbullbull U(m) 13-3)

es un vector m- dimensional cuyos elementos son las ordenadas

- 18 shy

del HUI (Hidrograma Unitario Instantltineo) y que recibirlti el nomshy

bre de vector de estado de acuerdo a la terminologa del filshy

tro de Kalman

Definamos ahora el vector m-dimensional pound(t) de la siguiepound

te manera

pound(t) itt) i(t-l) i(t-2) bullbullbullbull i(t-m) (3-4)

Con estas definiciones la ecuaci6n (3-2) queda de la siguiepound

te forma

Q(t) = pound (t) ~ (t) + S(t) (3-5)

Bsta ecuaci6n tiene la misma forma funcional que la ecuaci6n

llamada ecuaci6n de medici6n en el filtro Para poder usar la

metodologia del filtro es necesario como se ha visto antes deshy

finir laecuaci6n de diferencias 0 ecuaci6n de estado que reshy

presenta la dinltimica del sistema En el caso del Hidrograma Un~

tario de una cuenca las ordenadas del mismo se suponen normalmenshy

te constantes en el sentido de que son invariantes en el tiempo

p~r 10 tanto la ecuaci6n de estado tiene la siguiente forma

~(t+1) ~(t) (3-6)

la cual es una versi6n simplificada de la ecuaci6n (2-1) y en

la cual se han hecho las siguientes hip6tesisl

~(t) I

g(t) Q

~(t) = Q

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 19 shy

Con estas dos ecuaciones se puede usar el procedimiento

propuesto p~r Kalman para ir actualizando el estimador de la

funci6n de respuesta de una cuenca (tlt) a medida que se vaya

recopilando nueva informaci6n

32 Predicci6n en tiempo real de caudales

La evaluaci6n dela funci6n de respuesta de una cuenca es

s6lo una etapa intermedia en el objetivo final que es la preshy

dicci6n de caudales en tiempo real

Dos procedimientos pueden suponerse en este momento Uno

es el usar la ultima funci6n de respuesta evaluada para realishy

zar predicciones de caudales futuros Este es el procedimiento

utilizado normalmente en hidrolog1a ver por ejemplo Natale y

Todini (1976) Este procedimiento sin embargo desaprovecharta

la estructura recursiva del filtro para poder actualizar la fUll

ci6n de respuesta de acuerdo a la bondad de las predicciones

pasadas

El caudal a la salida de la cuenca puede ser representado

como una funci6n de

i) caudales pasados en el mismo sitio

ii) caudales presentes y pasados en sitios aguas

arriba de la cuenca

iii) precipitaciones presentes y pasadas sobre la

cuenca

- 20 shy

y la forma general del modelo es similar a la vista anteriormenshy

te 0 sea

mno nk (3-7)a Q(t-l) + E E bkjPk(t-j) + aCt)Q(t) 1 i

k =1 j=li=1

donde

nUmero de t~rminos autoregresivosn o

nUmero de estaciones de precipitaci6n Y dem

caudales aguas arriba

nUmero de t~rminos en la estaci6n=nk

Esta ecuaci6n puede reducirse simplemente a la forma del

filtro de Kalman donde

(3-a)Q(t) pound (t) ~(t) + G(t)

y el vector pound (t) contiene los caudales y precipitaciones pasashy

das el vector ~(t) contiene los elementos de todas las funcioshy

nes de respuestas de todas las estaciones consideradas

La ecuaci6n que representa la dinimica del sistema se sushy

pone la misma que para el caso de la identificaci6n de la funshy

ci6n de respuesta 0 sea

(3-9)~(t+l) = ~(t)

Hay sin embargo una diferencia fundamental con el caso del

I

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 22 shy

- 21 shy

HU En~1 caso anterior la funci6n de respuesta representada por

el HUI se supone invariante en el tiempo y la ecuaci6n (3-9) es

te6ricamente correcta En el caso de predicci6n en tiempo real

ese no es el caso y la funci6n de respuesta cambiar~ por ejemshy

plo entre el invierno y el verano Hay rtos sin embargo espeshy

cialmente aquellos con cuencas de gran tamano como es el caso

del rto Orinoco en que las variaciones en las descargas no son

abruptas sino que ocurren en una forma suave y por 10 tanto las

variaciones en la funci6n de respuesta tambi~n ocurren suavemenshy

teo La justificaci6n de la ecuaci6n de estado es en este caso

operacional pues el estimador de ~(t) ir~ variando conttnuarnenshy

te tratando de adaptarse a las condiciones caffibiantes de la cue~

ca

Para este caso particular el filtro de Ralman da las siguie~

tes ecuaciones para la estimaci6n del estado del sistema (tlt)

y su covariancia (tltJ ElIas son

i) Actualizaci6n de la matriz de covariancia (tltJ

(tltJ = (tt-l) - (tlt-l) pound (t) pound (t) (tt-1) pound(t) +

+ IT (t) (t) (t t-1) (3-10)

(tt-l1 = (t-llt-l) (3-11)

con la condicion inicial

( -1) cov ~(O) ~(O)

Actualizacion del estimador del estado del sistema (tltl il)

erl2) (tlt-l) + g(t)r(t)

(t

donde

= Z(t)-pound(t) (tlt)innovacion del filtror (t) 1

(t)pound(t) JJ(tl shyganancia del filtro

con la condici6n inicial

(3-11) (-1) E 2pound(b)

Por 10 tanto para poder usar el filtro hay que realizar

hip6tesis sobre los siguientes par~metros

vector de medias Y matriz de covariancia deli)

estado inicial del sistema 0 sea ~(O) Y (O)

Variancia del termino aleatorio 0 sea net)ii)

iii) Estructura del modelo 0 sea n q m

Hay varios m~todos para realizar la determinacion de esshy

tos parametros bull Procedimientos basados en discrirninacion de moshy

delos basados en la teorta Bayesiana parecen dar los mejores reshy

sultados como se ver~ en una proxima secci6n

En este estudio se adopt6 despu~s de un exhaustivo an~li-

sis los siguientes valores

L

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 23 shy

iJ Valor esperado del estado inicial

E ( ~ (0) ] = Q

ii) Matriz de covariancia del estado inicial

f (0) lCI (3-14)

donde K es un escalar 10 suficientemente granshy

de que refleja la incertidumbre de ~os valores

supuestos para R (0)

iii) Variancia del t~rmino aleatorio e (t)

lI(t) cgtQ(t-l) (3-15)

o sea se hizo la variancia una funci6n del vashy

lor del caudal medido anterior De esta manera

se mantiene constante e1 coeficiente de variashy

ci6n de las descargas

iv) Estructura del modelo 0 sea no m nk En este

caso se hizo un an~lisis de las funciones de re~

pUesta definidas para cada estaci6n y cada per~

do de predicci6n para obtener los valores corresshy

pondientes de no m y nk mediante la calibraci6n

del modelo

Sin embargo este no es el caso en hidrologa donde Jiempre

es posible asumir conocimiento a priori sobre la respuesta del

1

- 24 shy

sistema Un procedimiento para obtener estimadores del estashy

do inicial del sistema ~(O) es la utilizaci6n del enfoque geoshy

morfo16gico propuesto p~r Rodrguez-Iturbe y Vald~s (1979) en

el cua1 se deriva e1 HUI de una cuenca utilizando caracterstishy

cas geomorfo16gicas de la misma

33 Algunas extensiones del modelo

Autocorrelaci6n en los residuos

La teora de identificaci6n de variables de estado propuesshy

ta p~r Kalman y Bucy est~ basada en varias hip6tesis Una de

elIas es que tanto el ruido en la ecuaci6n de estado como el

ruido en 1a de observaci6n es ruido gaussiano blanco El mode10

b~sico presentado en las ecuaciones (3-8) y (3-9) s610 considera

ruido en la ecuaci6n de observaci6n e1 cual est~ definido como

a(t) Q(t) - pound (t) ~(t) (3-16)

Si se considera que pound (t) es una medici6n puntual de un

proceso espacial en a1gunan ocasiones pound (1) sobreestimar~ la canshy

tidad tooal de lluvia sobre la cuenca y en otras la subestimar~

E1 error debido a la estimaci6n incorrecta del proceso espacia1

p~r medio de pound(t) se propagar~ en la estimaci6n de Q(t) duranshy

te todo e1 interva10 de tiempo que dure la influencia del composhy

nente de pound(t) en e1 sisteuroma 0 sea la memoria del sistema Si

la duraci6n de esta influencia es menor que el intervalo de tiemshy

po se puede afirmar que act y a(t+l) son errores indepenshy

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 25 -

- 26 shy bull

j

dientes en caso contrario G(t) y G(t+l) estarn correlacionashy

dos

En general el error 0(t) estar correlacionado con los

errores en los pr6ximos intervalos comprendidos p~r la memoria

del sistema Por 10 tanto 0(t) agrupa errores de dos clases

o(t) w(t)+ n (t) (3-16)

donde wet) est referido al error de estimaci6n causado por

errores en pound (t) y n (t) es un ruido blanco debido al carcter

estocstico del sistema Elprimer valor wet) se puede defi shy

nir como

wet) f 0 (t-I) 0 (t-2) bullbullbullbull 0 (t-n) (3-17)

10 que implica que es una funci6n de errores pasados 0 sea es

la parte autocorreaacionada del error 0(t)

Si se asume que la funci6n de correlaci6n entre los erroshy

res es del tipo exponencial 0 sea

Corr f0 (t) G (t-+ll) pU (3-18)

y la ecuaci6n (3-17) se puede escribir sin perdida de generali shy

dad como

wet) p0 (t-I) (3-19)

y p~r 10 tanto

0(t) p(t) G(t-I) + net) (3-20)

donde

pet) coeficiente de autocorrelaci6n

termino aleatorio no correlacionadon(t)

Reemplazando G(t) definido en la ecuaci6n (3-20) en la ecuashy

ci6n de medici6n (3-8) se define

(3-22)ZIt) = pound (t) (t) + p(t) 0(t-l) + J(t)

cumpliendose que la secuencia de errores n (t) son no correlacioshy

nados

El coeficiente de autocorrelaci6n pet) puede ser asumido coshy

nocido y el proceso de predicci6n se reduce a la estimaci6n de

Q (t) definido como

(3-23)Q (t) Q(t) - pet) 0(t-1) = pound (t)(t) + net)

Si por el contrario el valor de pet) se desconoce y hay que

estimarlo el necesario aumentar el vector de variables de estado

del sistema para poder estimar su valor por medio del filtro de

Kalman El modelo queda reformulado de la siguiente forma

l (t)

(t+1) I (3-24)

p (t-1)p (t)

y la ecuaci6n de medici6n queda

Q(t) pound(t)(t)+p(t)0(t-l)+nt) ( 3-25)

------~~~~~~-~-----

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

I - 28 shy- 27

siendo p (t) el va1or estimado de p en el tiempo t Si del an~Ll I y sis de los residuos surgiera la evi-lcia que sea necesario para J

(3-28)una mejor representaci6n del proceso incorporar m~s t~rminos K [ x l(t)mn + (I-x) O(t)mn 1S (t)

autoregresivos se podr1a expresar el termino aleatorio Set) coshy

mo una combinaci6n lineal de K errOres pasadoso sea donde l(t) representa el hidrograma de entrada al canal OCt) el K hidrograma de salida y set) es el almacenamiento en el canal

S(t) l ai S(t-l) + net) (3-26) i=1 El metodo Muskingurn para trampnsito en canales asurne que la

y utilizar el filtro para estimar el vector K x 1 de coeficienshy la unidad pudi~ndose representar de formaraz6n min es igual a tes representado por las ecuaciones (3-27) ydiscreta el sistema

Debe mencionarse sin embargo que esto incrementa el ndmero (3-28) como

de par~metros a estimar y por 10 tanto el tamano de sistema por (3-29)O(t+l) CIl(t+l) + C2l(t) + cO(t)

10 que no es recomendable un ndmero excesivo

donde se curnple

( 3-30)Cl+C2+Ca I

El modelo propuesto para predicciones de caudal basado en dependientes de los valores K Y xsiendo ClC2Ca coeficientes precipitaci6n puede tambi~n ser usado para realizar predicciones

Reemplazando sucesivamente valores de 0 (t) en la ecuaci6n en un determinado sitio de un r10 en base a mediciones de caudal

(3-29) se tiene en sitios aguas arriba del mismo

Las ecuaciones de continuidad y almacenamiento en un canal p p-I (3-31)o(T)I (t-T) + C Q(tmiddotmiddotP+l)oCt) r se pueden expresar como

T=O

siendo oTi~I2 bullbullbull constantes obtenidas a partir de CIC2CdS(t) l(t) - OCt) (3-27) dt Considerando que se cumple

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 29 shy

cP- Ilim o P co

(3-32)

es posible eliminar el ultimo t~rmino de (3-31) y se reduce a

P

o (t) E lt5 T I (t-1) (3-33)10

definiendo QT(t) como el estimador de en el tiempo t el proshy

ceso de tranSito de avenidas se puede expresar en la terminolo_

gfa del filtro de Kalman

i) Ecuacion de estado

Q(t) S(t-I) (3-34)

if) Ecuaci6n de observaci6n

q(t) [(t)2(t)+A(t) (3-35)

donde

2( t) 0 0 6 1 bullbullbull op (3-36)

I(t) f I(t)I(t-I) bull I(t_p) (3-37)

Y se puede utilizar el filtro de Kalman para la estimaci6n de ( (t) bull

El termino A(t) representa el error de medici6n el cual se

debe asumir no correlacionado El estado inicial itO) y la matri

de varianza-covarianza Io(O) deben determinarse 0 formularse dIe

forma Similar a la usada anteriormente reoreSentando 1a inform~ ci6n disponible

-

- 30 shy

En el caso especial de prediccion de caudal en un rfo en bashy

se a caudales observados en varios afluentes la ecuacion (3-33)

se puede formular como

L P

Q(t) E K=I

E 1=0

a (T) I (t-T)k K

( 3-38)

y hay que redefinir los vectores pound(t) y Itt) usados en el planshy

teamiento de Kalman como

sect(t) sectl (t) sect (t) bullbull L (t) ( 3-39a)

0i(t)= oi oi oi bullbull oi - bull 0 I p

( 3-39b)

(t) = 1(t)2(t) bullbull (t) (3-39c)

I It) Ii (t) Ii (t-I) Ii t-2) bullbullbull Ii (t-p) (3-39d)-1

donde Ii(t) es el caudal medido en el punto i en el tiempo t

Predicci6n de caudales por medio de transito de avenidas y

relaciones lluvia-escorrentfa

Al modelar el transito de una crecida en un canal se debe

contemplar el aporte lateral al mismo El caudal de salida estashy

ra compuesto por el escurrimiento superficial sub-superficial

y basico de la cuenca Los dos primeros son producto directo de

la lluvia en la zona de aporte lateral al canal y por 10 tanto

no son estimados en un determinado tramo por el caudal que enshy

tra el cual acumula toda la informacion de la cuenca aguas arrishy

ba

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 31 shy

Para e1 modelaje combinado la ecuaci6n de observaci6n se pu~

de formu1ar como

M N

Q(t) Qo + l ~ (t-T) Uk (T)Xk k=l T=l

c p

+ r l 0KT I(t-T) ( 3-40) k=l T=O

expresion que agrupa linealmente las ecuaciones (3-33) y (3-38)

El modelo de Kalman se plantea como sigue

Ecuaci6n de estado

~(t) J 1e(t-l)

Ipet) ~ p(t-l) J (3-41)

itt) i(t-l)

Ecuaci6n de observaci6n

Q(t) [pound(tlG(t-1)t I(t)J[~(t)P(t)i(traquo) +I(t) ( 3-42)

Redifiniendose G(t) como

G(t) Q(t) - fsctl I (t) ~(t) i (t) ( 3-43)

y se puede usar el procedimiento standard del filtro de Kalman

- 32 -

Extensiones al modelo de Predicci6n en tiempo real de

caudales

IV

El modelo de predicci6n en tiempo real de caudales presentado

en el captulo anterior aunque de una estructura relativamente

simple tiene todava ciertas limitaciones que es necesario analizar

ElIas son

i) Identificaci6n de la matriz de varianza-covarianzadel

ruido en las observaciones y del sistema ieste ultimo

si es incorporado al modelo)

ii) Identificaci6n de LOS valores iniciales del estado del

sistema 0 sea R(O) y E(O)

iii) Identificaci6n de la memoria del sistema m y n

iv) Representaci6n por el modelo de predicci6n de transici2

nes y cambios reales en la estructura del sistema

Para los problemas de identificaci6n se cree que el procedimienshy

to mas conveniente es usar discriminaci6n Bayeasiana como se ver~

en la pr6xima secci6n Otro enfoque es usar algoritmos adaptivos

que se basen en el analisis de la secuencia de innovaciones pero

que no son parte de la estructura del filtro de Kalman y por 10 tanshy

to operan fuera de la estructura del mismo (ver por ejemploSzo110sishy

Nagy 1976 1977) El tipo particular de algoritmo a ser usado deshy

pendera del tipo de aplicacion del filtro 0 sea si las variables

de estado son los componentes del HUI 0 las descargas

Con respecto a la cuarta limitaci6n la cual es la representashy

ci6n por el modelo de predicci6n tanto de transiciones como de camshy

bios en la estructura del sistema hidro16qico es decir un cambio en

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 33 shy

sus parampmettos Cambios en la estructura del sistema tienen que ser

incorporados en la ecuaci6n de estado del filtro trazando los proshy

blemas los problemas de identificaci6n de las caractersticas estashy

dsticas del mismo El problema de distinguir entre cambios transishy

torios y cambios estructurales del sistema en un esquema de m~ltiples

mOdelos se discutir~ en la secci6n 43 de este Capitulo

- 34 shy

41 - Selecci6n de la estructura del Filtro de Kalman usando

teora Bayesiana

En los modelos descriptos en el Capitulo anterior es necesario

asumir el valor de ciertos parampmetros que definen la estructura del

filtro de Kalman a utilizar Parampmetros tales como la memoria del

sistema y los estimadores a priori de las variables de estado y de

las matrices de varianza-covarianza La determinaci6n de estos par~meshy

tros no est~ totalmente definida dependiendo enmuchas casos de cri shy

terios empricos y subjetivos

A fin de poder comparar diferentes alternativas de valores para

estos parampmetros se formu16 un modele de discriminaci6n de modelos

hidro16gicos utilizando para ello teoria Bayesiana

Discriminaci6n Bayesiana se debe entender comomiddot el procedimiento

por medio del cual se asignan probabilidades a posteriori a cada moshy

delo de que sea el modelo verdadero del sistema La teora de discri shy

minaci6n Bayesiana ha sido usada en hidrologia para discriminar modeshy

los de extremos por Wood y Rodriguez-rturbe (1975) y para modelos de

regresi6n p~r Valdes y otros (1979 1980)

El proceso de discriminaci6n es recursivo siendo repetido despul

de que nueva observaci6n es disponib1e Cuando se han procesado un ali

n~ro de observaciones es de esperarse que el modelo cor recto tendramp

asignada la m~s alta probabilidad Para algunos casos se puede demosshy

trar te6ricamente que almoqelo correcto Ie seramp asignado la mamps alt

probabilidad

La probabilidad a posteriori de que un modelo sea el verdadero s

evalrta utilizando e1 teorema de Bayes de la siguiente forma

I l

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

35 shy

(4-1)P (Mimuestra) P(muestra)

donde

P (Mimuestra) probabilidad a posteriori de que el

modele Mi sea el modelo verdadero

p (Mi) Probabilidad a priori de que el moshy

delo Mi sea el correcto

P (muestraMi) Probabilidad de la muestra condicional

en el modelo i

P (muestra) constante de normalizaci6n definida

como

N (4-21r P(muestraMj) P~Mj)

j=1

Cuando una nueva informaci6n es disponible la probabilidad

a posteriori se convierte en la probabilidad a priori del modelo

Mi Los valores iniciales de la probabilidad a priori pueden

ser asumidos de acuerdo al juicio de quien utilize el modelo 0

en el caso de que no haya preferencia por ninguno de los modelos

puede asumirse como uniforme esto es

(4-3)p [~1i 1 iN

donde N es el nGmero de modelos que se est~n analizando El otro

termino en el lado derecho de la ecuaci6n (4-1 ) puede descomposhy

~~

- 36 shy

nerse en dos partes

P(muestraMi)=Pg(t) IMi=Pq(t) Ig(t-1)MiP~(t-l) IMi (4-4 )

donde

pg(t) IMi Probabilidad de la serie hist6rica

set) condicional en el modelo i

pq (t) IMil Probabilidad de observar el valor

~(t) condicional en el modelo i

La probabilidad a posteriori de que cada modelo sea el vershy

dadero puede obtenerse por medio de la relaci6n recurs iva resulshy

tarite de reemplazar la ecuaci6n (4-4) con la ecuaci6n (4-1)

Bajo la suposici6n de normalidadla distribuci6n condicional

de q(t) en el modelo i y en la serie g(t-I) es normal con momenshy

tos

Eq (t) Ig(t-1) Mi =1 (t) ~i (t-1) (l-5a)

vaiq (t) I g (t-I) Mil = =1 (t) Ii (t-l) pound(t)+0 (t) (4-5b)

donde

pound1 (t) vector que contiene caudales y preshy

cipitaciones pasadas consid~rado

de acuerdo a lamemoria del modelo i

estimador de las variables de estado~i(t)

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

1 1

- 37 shy

del modelo i en el tiempo t

l Ct) estimador de la matriz de varianshy-~

za-covarianza del modelo i

411 - Ejemplos del uso del modelo de discriminaci6n Bayesiana

para ident1ficar los parmetros del filtro

Se llevaron a cabo experimientos controlados para poder anashy

li~ar el comportamiento del modelo de discriminaci6n Bayesian~ en

la identificaci6n de los parametros del filtro Para ello se gen~

raron trazas sint~ticas p~r uno de los modelos y la serie generashy

da fue supuesta ser la muestra hist6rica Se utilizaron las predicshy

ciones de varios modelos de diferente estructura como entrada al

modelo de discriminaci6n para ver si el procedimiento verdaderashy

mente discrimina es decir si asigna la probabilidad a posterioshy

ri mas alta al modelo correcto Para medir el comportamiento de

cada modele se usaron los criterios num~ricos aceptados por la

Organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO 1975) en su comparaci6n

de modelos conceptuales Tambien se elaboraron estos criter10s

num~ricos para las predicciones hechas por el modelo compuesto

Bayesiano es decir aquel en que las predicciones de cada modeshy

10 son ponderados p~r su probabilidad a posteriori Obviamente

en aplicaciones en el mundo real no se conocera cual es el modelo

correcto y el modelo a ser seleccionado debera ser aquel que meshy

jor se comporte ante los criterios de la WMO 0 criterios similashy

- 38 shy

res En tales circunstancias Y cuando el procedimiento de disshy

criminaci6n no senala claramente a un modelo determinado el uso

del modelo compuesto es el curs~ mas recomendable

Discriminaci6n de modelos con memorias alternativas

Para hacer inferencias acerca de la memoria del sistema en

traza hist6ri shymodelos de pron6stico hidro16gico se gener6 una

ca de caudales en una cuenca en particular con la siguiente esshy

tructura 5

(4-6)q(t)=~ + r P(t-T+1)SCT) + e(t) o

11

donde

q(t) caudal en el 1nstante t

coeficientes elegidos arbitrar1amentefl 10( o

precipitaci6n media ponderada sobre laf(t)

cuenca

E(t) termino aleatorio con media cero Y varianza

0 2 elegida arbitrariamente pound

Se analizaron modelos con tres longitudes de memoria lineal

diferentes El primero tiene 5 terminos de memoria lineal el seshy

gundo 10 Y el tercero 15 Todos los modelos tenian los mismos vashy

lores iniciales y la misma variancia del termino Set) La traza

hist6rica fue generada por el modelo 1 Y los resultados despues

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 39 shy

de haber usado 1100 observaciones se muestran en la Tabla 41

Como se puede ver en la Tabla el procedimiento de discriminaci6n

asign6 una probabilidad a posteriori- cercana a 1 al m~delo correpound

to Las estadfsticas de la WMO no favorecen notablemente al Moshy

delo 1 sobre el 2 aunque el Modelo 3 es claramente eliminado Deshy

be tenerse en cuenta sin embargo que elIas estn definidas para

evaluar el CDlPlrtamiento de un modelo de predicci6n ms que en la

identificaci6n de los parametros de un modelo La variaci6n de las

probabilidades a posteriori de los modelos como funci6n del tamafio

de la cuenca se puede ver en la Figura 4bull 1

Discriminaci6n de modelos con la misma estructura pero diferente

variancia del termino G(t)

Otra de las hip6tesis necesarias para el empleo del modelo

de predicci6n de caudales que se mostr6 en el Capftulo Illes

la definici6n de la varianza del ruido en la ecuaci6n de medici6n

G(t) Para poder discriminar hip6tesis alternativas de Var [G(traquo)

se llev6 a cabo un experimento similar al descripto anteriormente

Se gener6 una traza hist6rica con un valor particular de

var(G(traquo) y se analizaron tres modelos con identicos valores ini shy

ciales del estado del sistema memoria del sistema perc diferenshy

tes hip6tesis de Var (G(traquo) El modelo correcto fue el Modelo 1

y los resultados se muestran en la Tabla 42 Como ae puede ver

en la Tabla 42 el procedimiento de discriminaci6n asign6 una pr2

babilidad a posteriori de 1 al modelo correcto Mas a6n el proshy

- ~ - _iiJflilOSiliJJfSiii _ iIgt-a w

-40shy

P (Mi)C E EMEJDRIA LINEIgtL av r ~

0894 -0047 0323 098551

0889 -0049 0326 0012102

00032140 -0479 0659153

1095 -0150 0385 canpuesto

Bayesiano

Var (e) ~ 03q(t-1)

NGnero de observaciones = 1100

Estad1sticas 1M) (1975) n ]12

Coeficienta de variaci6n C [ l (q(t) - ~(traquo)2Inv

nmiddot A r (q(t) - q(traquo) InEnor relative Er

q

Iq(t) - ~(t) I InError absoluto

q

TABIA 41 - Resultados de la Discriminaci6n de rrcdelos con

rrerrorias alternativas

----------_ -------- shy

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 42 shy-41shy

00

PROBABI LIOADES

A POSTERIORI

F IMit

to

10

I MODELO var(e (traquo) Cv Ea P (Hi)

1 03 089 ~047 033 100

2 06 089 -047 033 000

3 09 089 -046 033 000

Compuesto 089 -046 033

Hemoria lineal 6 MODELO 1

OOlLO 2 Numero de observaciones 1100 MOOILO

TABLA 42

Resultados de la discriminaci6n de modelos con hip6tesis

alternativas sobre var(S(traquo)

- shy-

-----shy------~-=-----shy

90

80

70

60

00

-

00 lOO 000 700 9 CO I 00 1300

TAMANO OE LA MUE9TRA

FIGURA 41 VARIAOICN Olt LA PROSASILIOAOIt9 A P09TltRICRIOCMO FUNoCN

OEl TAMANO DE LA MUeSTRA

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

I

- 43

cedimiento discrimin6 al modele correcto muy rgpidamente como

se puede ver en la Figura 42 Estos resultados se acentuan cua~

do las hip6tesis sobre la Var [-e(traquo) difieren notablemente del

valor correcto Ur experimento similar al anterior pero con e1

Modelo 2 teniendo una varianza var[e(t) )=1q (t-1) y e1 3 con

Var lett) )=2q (t-1) discrimin6 al Modelo 1 aun mgs rgpidamente

Discriminaci6n de valores alternativos de E(O)

Cuando se present6 el modelo de predicci6n en tiempo real

de caudales en el Captulo III se hizo la hip6tesis de que el

estado inicial del sistema quedaba totalmente caracterizado por

10 siguiente

R(O) pound

~(O) K

donde K era un nUmero grande (1000 10000 etc) Esto ha side

denominado el procedimiento de la ignorancia total (ignorance

approach) Este procedimiento en su forma general consiste en

asignar cualquier valor a R(O) con tal de hacer ~(O) 10 sufi shy

cientemente grande en 6rdenes de- magnitud con respecto a R(O)

El filtro de Kalman irg autoajustgndose en relativamente corto

tiempo a pesar de los valores iniciales debido a que es muy inshy

sensible a valores muy variados de R(o) y de ~(O) Esto fue veshy

rificado usantlo el procedimiento de discriminaci6n Bayesiana

para 10 cual se compararon valores alternativos de la matriz

- 44 shy

00

MOOELD 1

MOOELO 2

10 MOOELO 3 PfotOBABILIOAOES

A POSTERIOR 60

pOI IIv1I I

0 40

30

201

ot shy shy700 00 1100 1300

TAMANO DE LA MUESTRA 100 lOO 00

FIGURA 42 VARIAOION CE LA PROSAS1L1CADES A POSTERIOR OOMO FuNOION

CEL TAMANO DE LA MUItSTRA_

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 45 shy

E(O) (lOaD 10000 I5000) manteniendose el resto de los par~shy

metros iguales en todos los modelos y se uso la misma serie anteshy

rior Los resultados se muestran en la Tabla 43De los resultados

se puede ver que el procedimiento no discrimina a ningun modelo

Para nosotros esto demuestra que la hipotesis de ignorancia toshy

tal sobre el estado inicial del sistema es muy razonable y que no

se justifica un an~lisis detallado Obviamente esto es hecho a cosshy

ta de observaciones y cuando existen pocas hay que tener un mayor

cuidado al definir ~(O) y I(O) bull

Discriminaciones de modelos con estructuras diferentes

Hasta este momento solo se dejo variar uno de los par~metros

del filtro en los experimentos En este ultimo ejemplo se ~upuso

que todos los par~metros son desconocidos y se usc una serie geneshy

rada por uno de los modelos (el Modelo 1) para compararlos Los reshy

sultados se muestran en la Tabla 44 y se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana asigno una probabilidad de 10

al modelo correcto haciendolo despues de haber procesado 200 obsershy

vaciones Se llevaron a cabo varios experimentos similares todos

ellos con resultados satisfactorios

De todos los ejemplos analizados se puede ver que el procedishy

miento de discriminacion Bayesiana es un metodo efectivo y r~pido

para poder discriminar estructuras alternativas del filtro usado en

el modelo de prediccion de caudales

- 46 shy

P (Mi) MODELO I (0) C v Er Ea

1

2

3

Compuesto

1000r

10000r

15000r

089

089

089

089

-004

-005

-005

-005

033

033

033

033

0334

0327

0338

Memoria lineal

NUmero de Observaciones

6

1100

TABLA 43

Resultados de la discriminacion de modelos con hip6tesis

alternativas de Ilo)

bull 4 bullbull

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

- 47 shy

MODELO 1 (0) Var (9(1raquo) MEMORIA LINEAL pOI (Mil

1 LOOOI 03q(t-1) 6 Loa 2 100001 O 6q (t-1) 12 000

3 150001 O 9q (t-1) 10 000

TABLA 44

Resultados de la discriminaci6n de mode10s a1ternativos

con va10res diferentes en sus parSmetros

l_~ gt_

48 shy

42 Modelo de Predicci6n con M61tiplesEstados

421 Introducci6n

El modelo de predicci6n presentado en el Capitulo III tiene

la limitaci6n tal como se mencion6 anteriormente de que la funshy

I ci6n de respuesta del sistema es invariante en el tiempo 10 cual

estaba representado en 1a ecuaci6n de estado simplificada (3-9)

Se afirm6 en ese momenta que aunque eso no fuera te6ricamenteshy

correcto al haber cambios paulatinos en la funci6n de respuestaI la ecuaci6n de estado era todavia operacionalmente aceptable I j Cuando se este en el caso en e1 cual la funci6n de respuestal I cambie mSs abruptamente la ecuaci6n de estado (3-9) ya no es vSli shy

l

da y debe ser modificada La forma mSs simple para llevar a cabo

1 esta modificaci6n es suponer que la ecuaci6n de estado es te6ricashy

mente variante en el tiempo La nueva ecuaci6n de estado es la si shy1

guiente

~(t+1) ~(t) + 5 (4-7)

con

E[5(tl J = 0 (4-8a)

Cov rl (tl5 (t) J ~OtT (4-8b)

El proceso de esHmaci6n de ~(tlt) sigue haciendo uso de la

ecuaci6n (3-12) pero la ecuaci6n de actualizaci6n de la matriz de

1(tlt) dada anteriormente por (3-10) es ahora

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

II i i

- 49 shy

~(tltl = ~(tlt-1) +1 -(~(tlt-ll pound (t)

pound (t) ~(tlt-1)pound(t)+rr(t)

(~(tlt-l) (4-9)

No se cree desde un punto de vista hidro16gico que el represhy

sentar e1 sistema p~r la nueva ecuaci6n de estado dada p~r (4-7) sea

un m~todo conveniente El representar el sistema de esa manera no

resuelve el problema b~sico que es hacer que el modelo sea capaz

de distinguir entre una transici6n debido a un repentino incremento

en la precipitaci6n y un cambio poundeal en la funci6n de respuesta La

dificultad existe en que aparentemente hay que escoger entre un

sistema sensible el cual responder~ r~pidamente a carnbios reales si

ocurren pero que tambi~n responder~ a transiciones y sistemas poco

o nada sensibles que no reaccionaran a errores en medici6n de los

datos de entrada y a transiciones pero tampoco 10 har~n cuando

ocurran cambios en la estructura del sistema Puesto que variacioshy

nes absolutas en la entrada son ~s comunes que cambios reales en

la respuesta del sistema muy frecuentemente se opta p~r sistemas

insensibles dando lugar como 10 senalan Harrison y Stevens (1971)

a que cuando ocurran cambios en la estructura el modelo no los

senale y se mueva lentamente ~acia su nivel dando por resultado

que los pron6sticos realizados durante ese perodo difieran notashy

blemente de los valores observados

- 50 shy

En principio se pueden observar tres posibles estados en los

cua1es se puede encontrar el sistema estable de transici6n estrupound

tural y transiente estoc~stico En el estado estable la funci6n

de respuesta no tiene variaci6n el estado de transici6n estructural

i como su nombre 10 indica implica cambios en la estructura del sist~

rna los cuales se traducen en cambios en la funci6n de respuesta yI

e1 transiente estoc~stico esta relacionado con bruscas fluctuaciones

debidas al caracter probabilstico intrnseco del sistema Lo ante-

I 1 rior significa que si se asume una variabilidad constante en el tiemshy

po el modelo no tiene una senal clara de los carnbios que estan

ocurriendo cuando alteraciones bruscas se hacen presentes en el sisshy

tema la consecuencia directa es la lenta reacci6n en el cambio de

Ila funci6n de re~puesta en el modelo 10 que implicagrandes diferenshy

cias entre la serie real y la serie de predicciones

1 En esta secci6n se presentar~ 1a teora necesaria para que modeshy

los basados en el filtro de Kalman identifiquen los estados de transishyI t ci6n y cambie la estructura de la funci6n de transferencia a fin de i 1 que la respuesta refleje e1 estado m~s probable del sistema A nivel I metodo16gico esto implicaf ~

i) la matriz de varianza-covarianza de los errores es funci6n

de los estados en que potencialmente puede estar el sistema

ii) mediante analisis discriminante Bayesiano como se viera en ~

la secci6n anterior se escoge el nuevo estado del Sistema esto es

se determina la probabilidad a posteriori de que cada posible estado

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

422

Ii ill

- 51 shy

sea el verdadero y se realiza la predicci6n en base a la integrashy

ci6n sobre todos los posibles estados

ES posible probar como en efecto se hace que el modelo con

mtlltiples estados produce erroresde predicci6n con menor varianshy

za que los generados p~r el modelo de predicci6n presentado en el Ii Capftulo III

Modelo de predicci6n de un estado f

ifi j El modelo de predicci6n de un estado esmiddotmuy similar al preshy

sentado en el Capftulo III El modelo tiene la siguiente estrucshy Jji

tura II

- Ecuaci6n de Estado

l It) lIt-i) + pound(t-1) + pound(t) II 14-10)

poundIt) = poundIt-l) + It) 14-11)

donde

poundIt) es el cambio es las ordenadas de la funci6n de

respuesta entre el tiempo t y el t-1

~(t) es el vector de ruido del sistema

lIt) es la funci6n de respuesta del sistema en el tiempo t

fIt) es el vector de ruido correspondiente a pound(t) en la

ecuaci6n de estado

-----~--~bull- -bullbull-~-- bull ------~bull --_shy

- 52 shy

_ Ecuaci6n de Observaci6n

q (t) = (t) let) + E(t) 14-12 )

El estado del sistema como en el caso anterior sigue una

distribuci6n normal con momentos

E (l (t) pound (traquo) = l It) (traquo) (4-13)

E (Il (t) - Itraquo (l(t) - (traquo) -Ldt) 14-14a)

E (Il It) - (traquo 1poundlt) - It))1 2 It) 14-14b)

E (pound It) - It) )(poundIt) - It))) alt) 14-14c)

siendo representado en adelante este conjunto demomentos como

sectl It) ( It) It) I It) L2(t) I (t) ) (4-15)

Los t~rminos de ruido pound(t) (t)Elt) se asumen multinormalshy

mente distribuidos con media cero y matrices de varianza-covarianshy

za Qdt) Qa(t) y Rlt) respectivamente

Usando la notaci6n propia del filtro de Kalman se tienen esshy

t~madores ~ de sectl de la forma

~(tdt2) (ltdt2) (tdt2) r(tdt) Idtlt2) Ldt I t2l

(4-16)

donde ~(tlt2) est~ definido como el conjunto de momentos para la

distribuci6n de las variables de estado en el tiempo t dado que

I ~

- 53 shy

se tiene informaci6n disponible hasta el tiempo t Para el caso

de tl=t Y t2=t-l los estimadores 8(tlt-l) obtenidos en base a

la estructura dinsectmica del sistema para el tiempo t y estsectn defi

nidos como

(tlt-l) (t-lt-l) + ~(t-llt-l) (4-l7a)

~(tlt-l) = ~(t-llt-l) ( 4-l7b)

II(tt-l)= II(t-llt-l) + I2(t-llt-l) + I~(t-llt-l)

+ Ialtt-llt-l) + Qdt) (4-17c)

I21tl t-l) I2(t-llt-l) + [(t-llt-l) ( 4-l7d)

I(tlt-l) I3(t-llt-l) + Q2(t-lt-l) (4-17e)

Los estimadores (tit) obtenidos en base a la combinaci6n

Bayesiana de (tit-I) y la informaci6n de la medici6n en el tiempo

t representan la informaci6n a posteriori del sistema y estsectn de

finidos como

(tlt) (t It-I KI(t)Idtlt)pound(t) (4-lBa)

~(tlt) = ~(tlt-l) Kl (t) I2 (tit)pound (t) (4-1Bb)

II(tlt)= II(tlt-l) - K2 (t)II(tlt-l)pound(t)pound(t)Il(tt-l) (4-1Bc)

I21tt)= I21tlt-l) - K21t)Idtlt-l)pound(t)pound (t)I21tlt-l) (4-1Bd)

I(tt)= Ialttlt-l) - K21t)I21tlt-l)pound(t)pound (t)21tlt-l) (4-1Be)

L

- 54 shy

~

iii

donde K I (t) Y K2 (t) estan definidos como

middoti KI (t) (q(t) - pound(t)(tlt-l)) R(t) (4-19a)

~li -I

Ji

-of

K21t) (pound (t)Idtlt-l)pound(t) + R(t)) (4-l9b)

La obtenci6n de 8(tlt) a partir de ~(t-llt-l) gl(t) g2(t)R(t)

y q(t) se sintetiza como

~ (t It) f3 ~ (t-ll t-l) gl (t) g2 (t) R(t) q (t) (4-20 ) ~

donde f3 es el operador que representa la combinaci6n Bayesiana de la

informaci6n tal como se ha propuesto en el conjunto de ecuaciones

(4-17) (4-18) y (4-19)

423 Definici6n Te6rica del Modelo de Predicci6n con Multiples

Estados

A continuaci6n se presenta el desarrollo para el caso en que se

considera que el sistema puede estar en uno de varios estados posishy

bles los cuales estan caracterizados por las matrices de varianzashy

covarianza de los diferentes terminos del ruido

Sea N el nGmero de estados posibles en los cuales el sistema

puede estar y Pj(t) la probabilidad a priori de que el sistema este

en el estado en el tiempo t Los terminos del ruido se asumen

gaussianos pero ahora con_matrices de varianza-covarianza dependienshy

tes del estado del sistema esta dependencia se indicarsect por medio

de Un sublndice adicional quedando el estado del sistema definido

- 55 shy

por el siguiente conjunto de par~etros

Ilj (t) (t) Qlj (t) Q2j (t) Rj (traquo) (4-21)

La Tabla 45 da los tamafios relativos pra cada t~rmino de

error como funci6n del estado del sistema

La funci6n de distribuci6n a posteriori del vector de variashy

bles de estado obtenida en base a 1a integraci6n sobre todas las

funciones de distribuci6n a posteriori de todos los posibles estashy

dos sera de la forma

f(Q(t)pound(traquo) ~yen P (t)f) (8 (titraquo (4-22)J -J

j=l

donde (t) representa la probabilidad a posteriori de que el sisshy

tema se encuentre en el estado j en el tiempa t (tit) es el esshy

timador de ~(t) candicionado a que el sistema este en el estado j

en el tiempo t y f j

(middot) la funci6n de distribuci6n a posteriori de

las variables de estado condicionada en que el sistema este en el

estado j en el tiempo t

La funci6n de probabilidad a posteriori de las variables de

estado condicionales en el sistema en el tiempo t-l estuviese en el

estado i Y que el tiempo t se encuentre en el estado j sigue una

ley de distribuci6n normal multivariada que se puede expresar como

f(Q(t)pound(t) IS(t) = jS(t-i) = i)MN(~ij(tltraquo (4-23)

donde set) representa el estado del sistema en el tiempo t y elt~(tl

- 56

ESTADO VARIANZA

~ (t) Il (t) get)

NORMAL

TRANSIENTE ESTRUCTURAL

TRANSIENTE ESTOCASTICO

Mnima

Mnima

Mnima

Mnima

Grande

Minima

Normal

Normal

Grande

TABLA 45

Tamanos relativos de las varianzas de los terminos de

ruido como funci6n del estado del sistema

- 57 shy

es el conjunto de par~etros que la definen

Los estimadores e (tit) son obtenidos a partir de la combinashy-1)

ci6n Bayesiana de la informaci6n del estado i en el tiempo t-l y

del estado j en el tiempo t Esta cOmbinaci6n de informaci6n tiene

la misma forma que la definida en ela ecuaci6n (4-20) y para este

caso est~ determinada como

~ij (tit) =a(~i (t-llt-1) 9j (t) 92j (t) R j (t) q(traquo) (4-24)

La funci6n de distribuci6n incondicional del vector de variashy

bles de estado definida en base a una suma ponderada de las funcioshy

nes de distribuci6n para todas las posibles transiciones es equivashy

lente a la definida en la ecuaci6n (4-22)

N N f[(t) pound(t)] L L Pij (t)MN(~ij (titraquo (4-25)

j=1 j=1

donde Pij(t) es la probabilidad aposteriori de que una transici6n

del estado i al estado j haya ocurrido una vez que se ha procesado

la informaci6n q(t)

PI (t) = PreSet) jS(t-1) ilq(t)q(t-1) bullbullbull ) (4-26)-1)

En base al teorema de Bayes el valor de Pij(t) est~ definido

como

- 58 shy

pdq(t) IS(t) = jS(t-l) = iq(t-1)q(t-2) bullbull Pij (t) c

PrS(t) = jIS(t-1) = iq(t-l)q(t-2) bullbullbull

PrS (t-I) ilq(t-l) q(t-2) bullbullbull

iq(t-1) q(t-2) bullbull L q(t) IS(t) jS(t-l)

P j (t) bull Pi (t-I)

c

C 1

exp q(t) -c (t)

-(tit-I)

I bull IT j (t) Ai (t

2nVij 2Vij

(4-27)

donde L() representa la funci6n de verisimilitud Y Vij est~ defin

como

(4-2S)c(tlL (t t-1)c(t) + R(t)Vij - 1) - )

y C representa una constante de proporcionalidad

Los estimadores ~j(tlt) de la distribuci6n del vector de varj

bles de estado independiente del estado en el tiempo t-l se obtier

en base a una combinaci6n lineal ponderada de todas las posibles

transiciones del estado i al estado j

N (4-29(t) (t)L i=1

- 59 shy

H(tll)=L N

Pimiddot (t) H1 (t It) P~ (t) (4-30a)-J J - J J

11

N j(tlt) L Pij(t)1j(t l l)Pj(t) (4-30b)

i=1

N P (t) ] [ lj(tI1) L iL- [Llj(t1t)+[(t1t) (tit) j(tlt) (tit)

P~(t) _ 1 J i=1 J

(4-30c)

t2j (tit) yen [l2 (tlt)+[Hj (tlt)-Hi (tit)] [Bj (tlt)-B (tlP(t) c- 1 J - -J - -1J 11 j

(4-30d)

19j(tlt) = yen [l3ij(tlt)+ (t1t)-ij (tit)] (tlt)=Bij(t 11 Pj(t)

(4-30e)

El procedimiento expresado en lasf6rmulas (4-29) y (4-30) pre

va la informaci6n m~s relevante de las variables de estado y garantiza

que la distribuci6n a posteriori tenga la misma forma estructural que

la 1nformaci6n a priori 10 que permite el procesamiento secuencial de

la informaci6n a medida que ~sta se produce

4 3 APLICACIONES DEL MODELO DE MULTIPLES ESTADOS

La validaci6n del modelo de predicci6n propuesto fue realizada en

base a predicc10nes con un dfa de adelanto hechas en la cuenca del rfo

i I

- 60 -

Caronf con un ~rea de escurr1miento de aproximadamente 98000 Km

Se realizaron predicciones diarias en los sitios de San Pedro y

Arekuna durante el perfodo 1968-1971

Dada la corta longitud de la serie estudiada no se consider6

conveniente utilizar una parte de ella para prop6sitos de calibrashy

ci6n de par~metros de modelo y la parte restante para verificaci6n

del mismo Se pas6 directamente a la fase de verificaci6n con la

serie completa y no se cree se introduzcan mayores problemas dadas

las caracterfsticas del filtro de Kalman

El estado inicial del sistema se defini6 segan el estado de

absoluta ignoranci~ que se describiera en la Secci6n 32 es deshy

eir

(4-31)(olo) pound(010) = Q

(4-32a)IdOIO) l(olo) KI

(4-32b)IdOla) Q

Por esta raz6n se debe considerar un perfodo de estabilizaci6n

del proceso de filtrado de informaci6n de tal forma de no incluirshy

10 en las estadfsticas num~ricas evitando sesgos en las mismas las

cuales se calculan a partir del momento en que se considera que el

modelo ha alcanzado un estado estable para prop6sitos de predicci6n

Bste perfodo fue un ano en este ejemplo

Predicci6n en San Pedro

La predicci6n en San Pedro fue realizada usando el modelo de p

I

- 61 shy

dicci6n descrito en el Captulo III es decir sin considerar el moshy

delo con mGltiples estado~ El modelo de predicci6n se formu16 en

base ados estaciones de caudal Arekuna situada aguas arriba en

el ro caron y La Paragua situada en el ro del mismo nombre

afluente del caron en San Pedro Para este caso la ecuaci6n de

observaci6n del modelo de variables de estado esta definida como

2 ~ q(tl qO(t) + l l hjlt) qj(t-r) + ~It) 14-33)

j=l r=l

donde qjet) representa el caudal en la estaci6n j en el tiempo t

para j=12

estaci6n j

y hjltl las ordenadas de

en el tiempo t

la funci6n de respuesta de la

La comparaci6n de

predicciones obtenidas

los hidrograma

se presenta en

s de la serie real y de las

la Fig44 donde se puede noshy

tar un ajuste muy satisfactorio entre los dos hidrogramas esto es

debido en parte a la bondad de la informaci6n base que al estar fu~

damentada en caudales refleja intrnsecamente los cambios estructushy

rales de la funci6n de respuesta de cada una de las estaciones consishy

deradas no siendo necesario utilizar modelos orientados hacia la

consideraci6n del problema de varianza en el tiempo de la funci6n de

transferencia

La subcuenca del rio caronen Arekuna cubre un area de

46000 Km 2 en este purito se realizaron predicciones de caudal en

- 62 shy

M~

12000 ~ fshy

-~ I~ -- shy

1 I == ~~~~~ ~I

~ I--shy

~ ~llf1 T l- I--- shy

I UI I

] IVv + __

1- J I I

1 I II I 1

11000

10000

900

oimiddotmiddotmiddotmiddot i-f--shy

~ fl 10ri

I ~ f- t-

if ~ I AI I

I~I J 1J 01- f------1-shy I Xl

000

100

600

00

-shy0 a

-_~____ L-shy L_

to iOC 30 10 20 30 40 to 0lA8

FIGURA 44 PAEOICOION EN 8A1 PEORO

- 55 shy

por el siguiente conjunto de par~etros

Ilj (t) (t) Qlj (t) Q2j (t) Rj (traquo) (4-21)

La Tabla 45 da los tamafios relativos pra cada t~rmino de

error como funci6n del estado del sistema

La funci6n de distribuci6n a posteriori del vector de variashy

bles de estado obtenida en base a 1a integraci6n sobre todas las

funciones de distribuci6n a posteriori de todos los posibles estashy

dos sera de la forma

f(Q(t)pound(traquo) ~yen P (t)f) (8 (titraquo (4-22)J -J

j=l

donde (t) representa la probabilidad a posteriori de que el sisshy

tema se encuentre en el estado j en el tiempa t (tit) es el esshy

timador de ~(t) candicionado a que el sistema este en el estado j

en el tiempo t y f j

(middot) la funci6n de distribuci6n a posteriori de

las variables de estado condicionada en que el sistema este en el

estado j en el tiempo t

La funci6n de probabilidad a posteriori de las variables de

estado condicionales en el sistema en el tiempo t-l estuviese en el

estado i Y que el tiempo t se encuentre en el estado j sigue una

ley de distribuci6n normal multivariada que se puede expresar como

f(Q(t)pound(t) IS(t) = jS(t-i) = i)MN(~ij(tltraquo (4-23)

donde set) representa el estado del sistema en el tiempo t y elt~(tl

- 56

ESTADO VARIANZA

~ (t) Il (t) get)

NORMAL

TRANSIENTE ESTRUCTURAL

TRANSIENTE ESTOCASTICO

Mnima

Mnima

Mnima

Mnima

Grande

Minima

Normal

Normal

Grande

TABLA 45

Tamanos relativos de las varianzas de los terminos de

ruido como funci6n del estado del sistema

- 57 shy

es el conjunto de par~etros que la definen

Los estimadores e (tit) son obtenidos a partir de la combinashy-1)

ci6n Bayesiana de la informaci6n del estado i en el tiempo t-l y

del estado j en el tiempo t Esta cOmbinaci6n de informaci6n tiene

la misma forma que la definida en ela ecuaci6n (4-20) y para este

caso est~ determinada como

~ij (tit) =a(~i (t-llt-1) 9j (t) 92j (t) R j (t) q(traquo) (4-24)

La funci6n de distribuci6n incondicional del vector de variashy

bles de estado definida en base a una suma ponderada de las funcioshy

nes de distribuci6n para todas las posibles transiciones es equivashy

lente a la definida en la ecuaci6n (4-22)

N N f[(t) pound(t)] L L Pij (t)MN(~ij (titraquo (4-25)

j=1 j=1

donde Pij(t) es la probabilidad aposteriori de que una transici6n

del estado i al estado j haya ocurrido una vez que se ha procesado

la informaci6n q(t)

PI (t) = PreSet) jS(t-1) ilq(t)q(t-1) bullbullbull ) (4-26)-1)

En base al teorema de Bayes el valor de Pij(t) est~ definido

como

- 58 shy

pdq(t) IS(t) = jS(t-l) = iq(t-1)q(t-2) bullbull Pij (t) c

PrS(t) = jIS(t-1) = iq(t-l)q(t-2) bullbullbull

PrS (t-I) ilq(t-l) q(t-2) bullbullbull

iq(t-1) q(t-2) bullbull L q(t) IS(t) jS(t-l)

P j (t) bull Pi (t-I)

c

C 1

exp q(t) -c (t)

-(tit-I)

I bull IT j (t) Ai (t

2nVij 2Vij

(4-27)

donde L() representa la funci6n de verisimilitud Y Vij est~ defin

como

(4-2S)c(tlL (t t-1)c(t) + R(t)Vij - 1) - )

y C representa una constante de proporcionalidad

Los estimadores ~j(tlt) de la distribuci6n del vector de varj

bles de estado independiente del estado en el tiempo t-l se obtier

en base a una combinaci6n lineal ponderada de todas las posibles

transiciones del estado i al estado j

N (4-29(t) (t)L i=1

- 59 shy

H(tll)=L N

Pimiddot (t) H1 (t It) P~ (t) (4-30a)-J J - J J

11

N j(tlt) L Pij(t)1j(t l l)Pj(t) (4-30b)

i=1

N P (t) ] [ lj(tI1) L iL- [Llj(t1t)+[(t1t) (tit) j(tlt) (tit)

P~(t) _ 1 J i=1 J

(4-30c)

t2j (tit) yen [l2 (tlt)+[Hj (tlt)-Hi (tit)] [Bj (tlt)-B (tlP(t) c- 1 J - -J - -1J 11 j

(4-30d)

19j(tlt) = yen [l3ij(tlt)+ (t1t)-ij (tit)] (tlt)=Bij(t 11 Pj(t)

(4-30e)

El procedimiento expresado en lasf6rmulas (4-29) y (4-30) pre

va la informaci6n m~s relevante de las variables de estado y garantiza

que la distribuci6n a posteriori tenga la misma forma estructural que

la 1nformaci6n a priori 10 que permite el procesamiento secuencial de

la informaci6n a medida que ~sta se produce

4 3 APLICACIONES DEL MODELO DE MULTIPLES ESTADOS

La validaci6n del modelo de predicci6n propuesto fue realizada en

base a predicc10nes con un dfa de adelanto hechas en la cuenca del rfo

i I

- 60 -

Caronf con un ~rea de escurr1miento de aproximadamente 98000 Km

Se realizaron predicciones diarias en los sitios de San Pedro y

Arekuna durante el perfodo 1968-1971

Dada la corta longitud de la serie estudiada no se consider6

conveniente utilizar una parte de ella para prop6sitos de calibrashy

ci6n de par~metros de modelo y la parte restante para verificaci6n

del mismo Se pas6 directamente a la fase de verificaci6n con la

serie completa y no se cree se introduzcan mayores problemas dadas

las caracterfsticas del filtro de Kalman

El estado inicial del sistema se defini6 segan el estado de

absoluta ignoranci~ que se describiera en la Secci6n 32 es deshy

eir

(4-31)(olo) pound(010) = Q

(4-32a)IdOIO) l(olo) KI

(4-32b)IdOla) Q

Por esta raz6n se debe considerar un perfodo de estabilizaci6n

del proceso de filtrado de informaci6n de tal forma de no incluirshy

10 en las estadfsticas num~ricas evitando sesgos en las mismas las

cuales se calculan a partir del momento en que se considera que el

modelo ha alcanzado un estado estable para prop6sitos de predicci6n

Bste perfodo fue un ano en este ejemplo

Predicci6n en San Pedro

La predicci6n en San Pedro fue realizada usando el modelo de p

I

- 61 shy

dicci6n descrito en el Captulo III es decir sin considerar el moshy

delo con mGltiples estado~ El modelo de predicci6n se formu16 en

base ados estaciones de caudal Arekuna situada aguas arriba en

el ro caron y La Paragua situada en el ro del mismo nombre

afluente del caron en San Pedro Para este caso la ecuaci6n de

observaci6n del modelo de variables de estado esta definida como

2 ~ q(tl qO(t) + l l hjlt) qj(t-r) + ~It) 14-33)

j=l r=l

donde qjet) representa el caudal en la estaci6n j en el tiempo t

para j=12

estaci6n j

y hjltl las ordenadas de

en el tiempo t

la funci6n de respuesta de la

La comparaci6n de

predicciones obtenidas

los hidrograma

se presenta en

s de la serie real y de las

la Fig44 donde se puede noshy

tar un ajuste muy satisfactorio entre los dos hidrogramas esto es

debido en parte a la bondad de la informaci6n base que al estar fu~

damentada en caudales refleja intrnsecamente los cambios estructushy

rales de la funci6n de respuesta de cada una de las estaciones consishy

deradas no siendo necesario utilizar modelos orientados hacia la

consideraci6n del problema de varianza en el tiempo de la funci6n de

transferencia

La subcuenca del rio caronen Arekuna cubre un area de

46000 Km 2 en este purito se realizaron predicciones de caudal en

- 62 shy

M~

12000 ~ fshy

-~ I~ -- shy

1 I == ~~~~~ ~I

~ I--shy

~ ~llf1 T l- I--- shy

I UI I

] IVv + __

1- J I I

1 I II I 1

11000

10000

900

oimiddotmiddotmiddotmiddot i-f--shy

~ fl 10ri

I ~ f- t-

if ~ I AI I

I~I J 1J 01- f------1-shy I Xl

000

100

600

00

-shy0 a

-_~____ L-shy L_

to iOC 30 10 20 30 40 to 0lA8

FIGURA 44 PAEOICOION EN 8A1 PEORO

- 57 shy

es el conjunto de par~etros que la definen

Los estimadores e (tit) son obtenidos a partir de la combinashy-1)

ci6n Bayesiana de la informaci6n del estado i en el tiempo t-l y

del estado j en el tiempo t Esta cOmbinaci6n de informaci6n tiene

la misma forma que la definida en ela ecuaci6n (4-20) y para este

caso est~ determinada como

~ij (tit) =a(~i (t-llt-1) 9j (t) 92j (t) R j (t) q(traquo) (4-24)

La funci6n de distribuci6n incondicional del vector de variashy

bles de estado definida en base a una suma ponderada de las funcioshy

nes de distribuci6n para todas las posibles transiciones es equivashy

lente a la definida en la ecuaci6n (4-22)

N N f[(t) pound(t)] L L Pij (t)MN(~ij (titraquo (4-25)

j=1 j=1

donde Pij(t) es la probabilidad aposteriori de que una transici6n

del estado i al estado j haya ocurrido una vez que se ha procesado

la informaci6n q(t)

PI (t) = PreSet) jS(t-1) ilq(t)q(t-1) bullbullbull ) (4-26)-1)

En base al teorema de Bayes el valor de Pij(t) est~ definido

como

- 58 shy

pdq(t) IS(t) = jS(t-l) = iq(t-1)q(t-2) bullbull Pij (t) c

PrS(t) = jIS(t-1) = iq(t-l)q(t-2) bullbullbull

PrS (t-I) ilq(t-l) q(t-2) bullbullbull

iq(t-1) q(t-2) bullbull L q(t) IS(t) jS(t-l)

P j (t) bull Pi (t-I)

c

C 1

exp q(t) -c (t)

-(tit-I)

I bull IT j (t) Ai (t

2nVij 2Vij

(4-27)

donde L() representa la funci6n de verisimilitud Y Vij est~ defin

como

(4-2S)c(tlL (t t-1)c(t) + R(t)Vij - 1) - )

y C representa una constante de proporcionalidad

Los estimadores ~j(tlt) de la distribuci6n del vector de varj

bles de estado independiente del estado en el tiempo t-l se obtier

en base a una combinaci6n lineal ponderada de todas las posibles

transiciones del estado i al estado j

N (4-29(t) (t)L i=1

- 59 shy

H(tll)=L N

Pimiddot (t) H1 (t It) P~ (t) (4-30a)-J J - J J

11

N j(tlt) L Pij(t)1j(t l l)Pj(t) (4-30b)

i=1

N P (t) ] [ lj(tI1) L iL- [Llj(t1t)+[(t1t) (tit) j(tlt) (tit)

P~(t) _ 1 J i=1 J

(4-30c)

t2j (tit) yen [l2 (tlt)+[Hj (tlt)-Hi (tit)] [Bj (tlt)-B (tlP(t) c- 1 J - -J - -1J 11 j

(4-30d)

19j(tlt) = yen [l3ij(tlt)+ (t1t)-ij (tit)] (tlt)=Bij(t 11 Pj(t)

(4-30e)

El procedimiento expresado en lasf6rmulas (4-29) y (4-30) pre

va la informaci6n m~s relevante de las variables de estado y garantiza

que la distribuci6n a posteriori tenga la misma forma estructural que

la 1nformaci6n a priori 10 que permite el procesamiento secuencial de

la informaci6n a medida que ~sta se produce

4 3 APLICACIONES DEL MODELO DE MULTIPLES ESTADOS

La validaci6n del modelo de predicci6n propuesto fue realizada en

base a predicc10nes con un dfa de adelanto hechas en la cuenca del rfo

i I

- 60 -

Caronf con un ~rea de escurr1miento de aproximadamente 98000 Km

Se realizaron predicciones diarias en los sitios de San Pedro y

Arekuna durante el perfodo 1968-1971

Dada la corta longitud de la serie estudiada no se consider6

conveniente utilizar una parte de ella para prop6sitos de calibrashy

ci6n de par~metros de modelo y la parte restante para verificaci6n

del mismo Se pas6 directamente a la fase de verificaci6n con la

serie completa y no se cree se introduzcan mayores problemas dadas

las caracterfsticas del filtro de Kalman

El estado inicial del sistema se defini6 segan el estado de

absoluta ignoranci~ que se describiera en la Secci6n 32 es deshy

eir

(4-31)(olo) pound(010) = Q

(4-32a)IdOIO) l(olo) KI

(4-32b)IdOla) Q

Por esta raz6n se debe considerar un perfodo de estabilizaci6n

del proceso de filtrado de informaci6n de tal forma de no incluirshy

10 en las estadfsticas num~ricas evitando sesgos en las mismas las

cuales se calculan a partir del momento en que se considera que el

modelo ha alcanzado un estado estable para prop6sitos de predicci6n

Bste perfodo fue un ano en este ejemplo

Predicci6n en San Pedro

La predicci6n en San Pedro fue realizada usando el modelo de p

I

- 61 shy

dicci6n descrito en el Captulo III es decir sin considerar el moshy

delo con mGltiples estado~ El modelo de predicci6n se formu16 en

base ados estaciones de caudal Arekuna situada aguas arriba en

el ro caron y La Paragua situada en el ro del mismo nombre

afluente del caron en San Pedro Para este caso la ecuaci6n de

observaci6n del modelo de variables de estado esta definida como

2 ~ q(tl qO(t) + l l hjlt) qj(t-r) + ~It) 14-33)

j=l r=l

donde qjet) representa el caudal en la estaci6n j en el tiempo t

para j=12

estaci6n j

y hjltl las ordenadas de

en el tiempo t

la funci6n de respuesta de la

La comparaci6n de

predicciones obtenidas

los hidrograma

se presenta en

s de la serie real y de las

la Fig44 donde se puede noshy

tar un ajuste muy satisfactorio entre los dos hidrogramas esto es

debido en parte a la bondad de la informaci6n base que al estar fu~

damentada en caudales refleja intrnsecamente los cambios estructushy

rales de la funci6n de respuesta de cada una de las estaciones consishy

deradas no siendo necesario utilizar modelos orientados hacia la

consideraci6n del problema de varianza en el tiempo de la funci6n de

transferencia

La subcuenca del rio caronen Arekuna cubre un area de

46000 Km 2 en este purito se realizaron predicciones de caudal en

- 62 shy

M~

12000 ~ fshy

-~ I~ -- shy

1 I == ~~~~~ ~I

~ I--shy

~ ~llf1 T l- I--- shy

I UI I

] IVv + __

1- J I I

1 I II I 1

11000

10000

900

oimiddotmiddotmiddotmiddot i-f--shy

~ fl 10ri

I ~ f- t-

if ~ I AI I

I~I J 1J 01- f------1-shy I Xl

000

100

600

00

-shy0 a

-_~____ L-shy L_

to iOC 30 10 20 30 40 to 0lA8

FIGURA 44 PAEOICOION EN 8A1 PEORO

- 59 shy

H(tll)=L N

Pimiddot (t) H1 (t It) P~ (t) (4-30a)-J J - J J

11

N j(tlt) L Pij(t)1j(t l l)Pj(t) (4-30b)

i=1

N P (t) ] [ lj(tI1) L iL- [Llj(t1t)+[(t1t) (tit) j(tlt) (tit)

P~(t) _ 1 J i=1 J

(4-30c)

t2j (tit) yen [l2 (tlt)+[Hj (tlt)-Hi (tit)] [Bj (tlt)-B (tlP(t) c- 1 J - -J - -1J 11 j

(4-30d)

19j(tlt) = yen [l3ij(tlt)+ (t1t)-ij (tit)] (tlt)=Bij(t 11 Pj(t)

(4-30e)

El procedimiento expresado en lasf6rmulas (4-29) y (4-30) pre

va la informaci6n m~s relevante de las variables de estado y garantiza

que la distribuci6n a posteriori tenga la misma forma estructural que

la 1nformaci6n a priori 10 que permite el procesamiento secuencial de

la informaci6n a medida que ~sta se produce

4 3 APLICACIONES DEL MODELO DE MULTIPLES ESTADOS

La validaci6n del modelo de predicci6n propuesto fue realizada en

base a predicc10nes con un dfa de adelanto hechas en la cuenca del rfo

i I

- 60 -

Caronf con un ~rea de escurr1miento de aproximadamente 98000 Km

Se realizaron predicciones diarias en los sitios de San Pedro y

Arekuna durante el perfodo 1968-1971

Dada la corta longitud de la serie estudiada no se consider6

conveniente utilizar una parte de ella para prop6sitos de calibrashy

ci6n de par~metros de modelo y la parte restante para verificaci6n

del mismo Se pas6 directamente a la fase de verificaci6n con la

serie completa y no se cree se introduzcan mayores problemas dadas

las caracterfsticas del filtro de Kalman

El estado inicial del sistema se defini6 segan el estado de

absoluta ignoranci~ que se describiera en la Secci6n 32 es deshy

eir

(4-31)(olo) pound(010) = Q

(4-32a)IdOIO) l(olo) KI

(4-32b)IdOla) Q

Por esta raz6n se debe considerar un perfodo de estabilizaci6n

del proceso de filtrado de informaci6n de tal forma de no incluirshy

10 en las estadfsticas num~ricas evitando sesgos en las mismas las

cuales se calculan a partir del momento en que se considera que el

modelo ha alcanzado un estado estable para prop6sitos de predicci6n

Bste perfodo fue un ano en este ejemplo

Predicci6n en San Pedro

La predicci6n en San Pedro fue realizada usando el modelo de p

I

- 61 shy

dicci6n descrito en el Captulo III es decir sin considerar el moshy

delo con mGltiples estado~ El modelo de predicci6n se formu16 en

base ados estaciones de caudal Arekuna situada aguas arriba en

el ro caron y La Paragua situada en el ro del mismo nombre

afluente del caron en San Pedro Para este caso la ecuaci6n de

observaci6n del modelo de variables de estado esta definida como

2 ~ q(tl qO(t) + l l hjlt) qj(t-r) + ~It) 14-33)

j=l r=l

donde qjet) representa el caudal en la estaci6n j en el tiempo t

para j=12

estaci6n j

y hjltl las ordenadas de

en el tiempo t

la funci6n de respuesta de la

La comparaci6n de

predicciones obtenidas

los hidrograma

se presenta en

s de la serie real y de las

la Fig44 donde se puede noshy

tar un ajuste muy satisfactorio entre los dos hidrogramas esto es

debido en parte a la bondad de la informaci6n base que al estar fu~

damentada en caudales refleja intrnsecamente los cambios estructushy

rales de la funci6n de respuesta de cada una de las estaciones consishy

deradas no siendo necesario utilizar modelos orientados hacia la

consideraci6n del problema de varianza en el tiempo de la funci6n de

transferencia

La subcuenca del rio caronen Arekuna cubre un area de

46000 Km 2 en este purito se realizaron predicciones de caudal en

- 62 shy

M~

12000 ~ fshy

-~ I~ -- shy

1 I == ~~~~~ ~I

~ I--shy

~ ~llf1 T l- I--- shy

I UI I

] IVv + __

1- J I I

1 I II I 1

11000

10000

900

oimiddotmiddotmiddotmiddot i-f--shy

~ fl 10ri

I ~ f- t-

if ~ I AI I

I~I J 1J 01- f------1-shy I Xl

000

100

600

00

-shy0 a

-_~____ L-shy L_

to iOC 30 10 20 30 40 to 0lA8

FIGURA 44 PAEOICOION EN 8A1 PEORO

I

- 61 shy

dicci6n descrito en el Captulo III es decir sin considerar el moshy

delo con mGltiples estado~ El modelo de predicci6n se formu16 en

base ados estaciones de caudal Arekuna situada aguas arriba en

el ro caron y La Paragua situada en el ro del mismo nombre

afluente del caron en San Pedro Para este caso la ecuaci6n de

observaci6n del modelo de variables de estado esta definida como

2 ~ q(tl qO(t) + l l hjlt) qj(t-r) + ~It) 14-33)

j=l r=l

donde qjet) representa el caudal en la estaci6n j en el tiempo t

para j=12

estaci6n j

y hjltl las ordenadas de

en el tiempo t

la funci6n de respuesta de la

La comparaci6n de

predicciones obtenidas

los hidrograma

se presenta en

s de la serie real y de las

la Fig44 donde se puede noshy

tar un ajuste muy satisfactorio entre los dos hidrogramas esto es

debido en parte a la bondad de la informaci6n base que al estar fu~

damentada en caudales refleja intrnsecamente los cambios estructushy

rales de la funci6n de respuesta de cada una de las estaciones consishy

deradas no siendo necesario utilizar modelos orientados hacia la

consideraci6n del problema de varianza en el tiempo de la funci6n de

transferencia

La subcuenca del rio caronen Arekuna cubre un area de

46000 Km 2 en este purito se realizaron predicciones de caudal en

- 62 shy

M~

12000 ~ fshy

-~ I~ -- shy

1 I == ~~~~~ ~I

~ I--shy

~ ~llf1 T l- I--- shy

I UI I

] IVv + __

1- J I I

1 I II I 1

11000

10000

900

oimiddotmiddotmiddotmiddot i-f--shy

~ fl 10ri

I ~ f- t-

if ~ I AI I

I~I J 1J 01- f------1-shy I Xl

000

100

600

00

-shy0 a

-_~____ L-shy L_

to iOC 30 10 20 30 40 to 0lA8

FIGURA 44 PAEOICOION EN 8A1 PEORO

ZOGQr- I ~

Ii - 63 shy

base a cuatro estaciones de precipitaci6n Arekuna Wonken Kavashy

nayen y Uriman pound1 n~ero de estaciones utilizado implica una muy

baja densidad de estaciones para la superficie cubierta

La formulaci6n de la ecuaci6n de observaci6n para este caso

es

qt) qOt)

4

+ L Tj

L hjtlcjt-T) + etl (4-34)

j=l p=l

donde Cj~ representa la precipitaci6n en la estaci6n j en el tie~

po t y hjt) las ordenadas de las diferentes funciones de respuesshy

ta en el tiempo t

En Arekuna se realizaron predicciones con el modelo original

de predicci6n y con el modelo de multiples estados reflejando los

resultados de este ultimo una ganancia significativa en 10 que resshy

pecta a errores de predicci6n tal como puede observarse en las

Figuras 45 Y 46

La Fig 45 presenta la comparaci6n de los hidrogramas en la

epoca baja del ro y en ella se puede notar una constante sobrepreshy

dicci6n del modelo problema que es resuelto al utilizar el modelo

con multiples estados

En las epocas altas del ro Fig46 se presenta un problema

similar al de las epocas bajas la subpredicci6n continuada de caushy

dales cuando se utiliza el modelo original 10 cual no sucede cuando

se usa el modelo de multiples estados

-M3S

~ 64 ~

o 10 20 30 40 eo to TO 80 ill 0 100 110 120 ISO lt40 ISOo OIAe

FIGURA 415 PREOIOOION EN AREKUNA

7500 I

00 I

i 1

M~e

~~~~~~~~

-- - -- MOOpoundLO ORIGWAL ~- - MOOElClS MULTiPLESI poundAOOS

001~~~~~4 ~~m ~ AIpound

ll)o

CIA

FIGURA 46 PREOIOOION EN AREKUNA

3MJDEW m35 m35 E C m35 C limEa Er Ea v2 2

ID ID Cbservaclo

Predicc10n

4905

4851 032 bull010 050

7115

7110 bull 040 000 056

1198

1206 024 009 033

12440

12613 019

Prediccian en Arekuna

Observado

Prediccian Mode10 Original

Predicc10n Modelo en

Milltiples Estados

2494

2537

2497

154

131

017

001

193

bull 174

4138

3545

3917

139

044

131

033

182

122

798

1251

746 bull

507

209

567

001

589

296

6425

6502

6428

143

015

TABIA 46 - Estadtsticas de 1a WMO para los rtos San Pedro y Arekuna

- 67 shy

REFERENCIAS

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View publication statsView publication stats

3MJDEW m35 m35 E C m35 C limEa Er Ea v2 2

ID ID Cbservaclo

Predicc10n

4905

4851 032 bull010 050

7115

7110 bull 040 000 056

1198

1206 024 009 033

12440

12613 019

Prediccian en Arekuna

Observado

Prediccian Mode10 Original

Predicc10n Modelo en

Milltiples Estados

2494

2537

2497

154

131

017

001

193

bull 174

4138

3545

3917

139

044

131

033

182

122

798

1251

746 bull

507

209

567

001

589

296

6425

6502

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143

015

TABIA 46 - Estadtsticas de 1a WMO para los rtos San Pedro y Arekuna

- 67 shy

REFERENCIAS

Akaike H U974a) Stochastic Theory of Minimal Realization IEEE Trans on Automatic Control Vol AC-19 pp 667-674 Dec

Akaike H (l974b) A New Look at the Statistical Model Identification IEEE Trans on Automatic Control Vol AC-19 pp716-726 Dec

Amorocho J and Orlob GT (1961) Nonlinear Analysis of Hydrologic Sistems Water Resources Center Univ Calif (Berkeley) Contrib 40

Dooge J (1973) Linear Theory of Hydrologic Systems United States Department of Agriculture Tech Bulletin 1468

Harrison PJ and CF Stevens (1971) A Bayesian Approach to Short-term Forecasting Oper Res Quart 2 (4) 341-362 l87l

Hino M (197 3) On Line Prediction of Hydrologic Systems Proc XVth Conference IAHR Istambul p 121-129

Ikeda S and Sawaragi Y (1976) Nonlinear Forecasting Models of Water Flow and Quality by Heuristic Self-Organization Methods IIASA Workshop on Recent Developments in Real~Time Forecasting on Water Resources Systems Laxenburg Austria October 1976

Ivakhenko AG (1968) The Group Method of Data Handling A Rival of the Method of Stochastic Approximation Soviet Automatic Control Vol 13 No3 pp45-55

Ivakhenko AG (1970) Heuristic Self-Organization in Problems of Engineering Cybernetics Automatica Vol6 pp 207-219

Ivakhenko AG (19711 Polynomial Theory of Complete system IEEE Trans on Systems-Man and CybernetiCS Vol SMC-l pp 364-378

Kalman RE (1960) A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems J Basic Eng 82 pp34-45

Kalman RE and RS Bucy (1961) New Results in Linear Filter ing and Prediction Theory Trans ASME Ser D J Basic Eng 83 pp 95-107

Kashyap RL and Rao AR U9731 Real Time Recursive Predicshytion of River Flows Automatica Vol 9 pp175-l83

Katayama T (1976) Application of Maximum Likelihood Identification to a River Flow prediction IIASA Workshop on Recen Developments in Real-Time Forecasting and Control of Water Resource Systems Laxenburq Austria October

i

- 68 -

Kitanidis PR and RL Brs U97Bl Real-Time Forecastin of River Flows Report No 235 MIT cambridge Mass

Lorent B (1976 River FloW Prediction and Simulation Mode IIASA Workshop on Recent Developments in Real Timte Forecasting al control of Water Resources Systems Laxenburg Austria

Natale L and Todfni E (1976a) A Stable Estimator for Lil Models 1 water Resources Research 12(4) pp667-67L

Natale L and Todini E (l976b A Stable Estimator for Lil ModelS 2 Real World HydrologiC Application Water Resources Research Vol12 No4 pp 672-676

organizaci6n Meteoro16gica Mundial (WMO) (1975) Inter shycomparison of Conceptual Models Used in operational Hydrologic F( casting Geneva switzerlimd 172 pages

Rodr~guez-Iturbe L JBValdos and J VelAzquez (1978) Key note Lecture on the Applications of Kalman Filter in Rainfall shyRunoff Studies Chapman ConferenCE on Applications of Kalman Fi togt Hydrology Hydraulics and water Resources

Rodr~guez-Iturbe I and JB Valdos (1979) The Geomorphololt Structure of HydrologiC Response Water Resources Research VoL Ndeg6 pp 1409-1420

Sherman LK (l932)Streamflow from Rainfall by the Unit-Gral Method Eng News Record Vol 108 pp501-505middot

Szollosi-Nagy A (1975) An Adaptive Identification and prediction Algorithm for the Real-Time Forecasting of Hydrologic

TimeSElries International Institute for Applied Systems Analys REl)9rt RM-75-22 Laxenburg Austria

SZollosi-Nagy A Todini E and E Wood (19771 A Stateshyel for Real Time Forecasting of Hydrological Time Series JOl Hydrological Sciences 4(1) 61-67

and Bouillot D (1975) A Rainfall-Runoff Kalml in System Simulation in Water Resources ed GC North Holland Publishing Co Amsterdam

Szollosi-Nagy A and Wood BF l976 Adapti Parameter Estimation Algorithms for Real-Time HydrologiC

Case Study paper at the IIASAWMO workshop on Tl lopments in Real-Time Forecasting and Control of Watel

Systems Laxenburg Austria

JM Velazquez and I Rodr1guez-Iturbe (1978) of Hydrologic Forecasting Model Based on the Kall

Cnapman Conference on Application of Kalman Filter to lics and Water Resources

- 69 shy

Va1d~s JB GJ Vicen~ and to Rodrfguez-tturbe Choosing Among Hydrologic Regression Model WllterResources Research 15(2) April 1979

Vol

~

Vald~s JB L Rodrfguez-Iturbe and GJ Vicens Choosing Among Hydrologic Regresmiddotsion Models 2 Extensions to the Standard Mode1 Water Resources Research Vo1 16 en 1980

Velzquez JM (1980) Modelo de Kalman can Ml1ltiples Estados 2 para predieei6n de caudales Proe IX Congreso Latinoamericano de Hidral1liea Mlrida Venezuela

Wood EF and t Rodrfguez-Iturbe (1975) A Bayesian to Analizing Uncertainty Among Flood Frequency Models Water Resources Research Vol 11 (il) pp 839-843

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Ivakhenko AG (19711 Polynomial Theory of Complete system IEEE Trans on Systems-Man and CybernetiCS Vol SMC-l pp 364-378

Kalman RE (1960) A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems J Basic Eng 82 pp34-45

Kalman RE and RS Bucy (1961) New Results in Linear Filter ing and Prediction Theory Trans ASME Ser D J Basic Eng 83 pp 95-107

Kashyap RL and Rao AR U9731 Real Time Recursive Predicshytion of River Flows Automatica Vol 9 pp175-l83

Katayama T (1976) Application of Maximum Likelihood Identification to a River Flow prediction IIASA Workshop on Recen Developments in Real-Time Forecasting and Control of Water Resource Systems Laxenburq Austria October

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Kitanidis PR and RL Brs U97Bl Real-Time Forecastin of River Flows Report No 235 MIT cambridge Mass

Lorent B (1976 River FloW Prediction and Simulation Mode IIASA Workshop on Recent Developments in Real Timte Forecasting al control of Water Resources Systems Laxenburg Austria

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Natale L and Todini E (l976b A Stable Estimator for Lil ModelS 2 Real World HydrologiC Application Water Resources Research Vol12 No4 pp 672-676

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Rodr~guez-Iturbe L JBValdos and J VelAzquez (1978) Key note Lecture on the Applications of Kalman Filter in Rainfall shyRunoff Studies Chapman ConferenCE on Applications of Kalman Fi togt Hydrology Hydraulics and water Resources

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Sherman LK (l932)Streamflow from Rainfall by the Unit-Gral Method Eng News Record Vol 108 pp501-505middot

Szollosi-Nagy A (1975) An Adaptive Identification and prediction Algorithm for the Real-Time Forecasting of Hydrologic

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SZollosi-Nagy A Todini E and E Wood (19771 A Stateshyel for Real Time Forecasting of Hydrological Time Series JOl Hydrological Sciences 4(1) 61-67

and Bouillot D (1975) A Rainfall-Runoff Kalml in System Simulation in Water Resources ed GC North Holland Publishing Co Amsterdam

Szollosi-Nagy A and Wood BF l976 Adapti Parameter Estimation Algorithms for Real-Time HydrologiC

Case Study paper at the IIASAWMO workshop on Tl lopments in Real-Time Forecasting and Control of Watel

Systems Laxenburg Austria

JM Velazquez and I Rodr1guez-Iturbe (1978) of Hydrologic Forecasting Model Based on the Kall

Cnapman Conference on Application of Kalman Filter to lics and Water Resources

- 69 shy

Va1d~s JB GJ Vicen~ and to Rodrfguez-tturbe Choosing Among Hydrologic Regression Model WllterResources Research 15(2) April 1979

Vol

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Vald~s JB L Rodrfguez-Iturbe and GJ Vicens Choosing Among Hydrologic Regresmiddotsion Models 2 Extensions to the Standard Mode1 Water Resources Research Vo1 16 en 1980

Velzquez JM (1980) Modelo de Kalman can Ml1ltiples Estados 2 para predieei6n de caudales Proe IX Congreso Latinoamericano de Hidral1liea Mlrida Venezuela

Wood EF and t Rodrfguez-Iturbe (1975) A Bayesian to Analizing Uncertainty Among Flood Frequency Models Water Resources Research Vol 11 (il) pp 839-843

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Va1d~s JB GJ Vicen~ and to Rodrfguez-tturbe Choosing Among Hydrologic Regression Model WllterResources Research 15(2) April 1979

Vol

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Vald~s JB L Rodrfguez-Iturbe and GJ Vicens Choosing Among Hydrologic Regresmiddotsion Models 2 Extensions to the Standard Mode1 Water Resources Research Vo1 16 en 1980

Velzquez JM (1980) Modelo de Kalman can Ml1ltiples Estados 2 para predieei6n de caudales Proe IX Congreso Latinoamericano de Hidral1liea Mlrida Venezuela

Wood EF and t Rodrfguez-Iturbe (1975) A Bayesian to Analizing Uncertainty Among Flood Frequency Models Water Resources Research Vol 11 (il) pp 839-843

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