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8/14/2019 filelanguage and automata10
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C l o s u r e P r o p e r t i e s o f C F L ' s | S u b s t i t
u t i o n
I f a s u b s t i t u t i o n s a s s i g n s a C F L t o e v e
r y s y m b o l
i n t h e a l p h a b e t o f a C F L L , t h e n s L i s a C F
L .
P r o o f
T a k e a g r a m m a r f o r L a n d a g r a m m a r f o r
e a c h l a n g u a g e L
a
= s a
M a k e s u r e a l l t h e v a r i a b l e s o f a l l t h e s
e
g r a m m a r s a r e d i e r e n t .
3W e c a n a l w a y s r e n a m e v a r i a b l e s w h a t e v
e r
w e l i k e , s o t h i s s t e p i s e a s y .
R e p l a c e e a c h t e r m i n a l a i n t h e p r o d u c t
i o n s f o r
L b y S
a
, t h e s t a r t s y m b o l o f t h e g r a m m a r f o r
L
a
A p r o o f t h a t t h i s c o n s t r u c t i o n w o r k s i
s i n t h e
r e a d e r .
3 I n t u i t i o n : t h i s r e p l a c e m e n t a l l o w s
a n y
s t r i n g i n L
a
t o t a k e t h e p l a c e o f a n y
o c c u r r e n c e o f a i n a n y s t r i n g o f L
E x a m p l e
L = f 0
n
1
n
n 1 g , g e n e r a t e d b y t h e
g r a m m a r S ! 0 S 1 0 1
s 0 = f a
n
b
m
m n g , g e n e r a t e d b y t h e
g r a m m a r S ! a S b A A ! a A a b
s 1 = f a b ; a b c g , g e n e r a t e d b y t h e g r a m m a
r
S ! a b A A ! c
1 . R e n a m e s e c o n d a n d t h i r d S ' s t o S
0
a n d
S
1
, r e s p e c t i v e l y . R e n a m e s e c o n d A t o B
R e s u l t i n g g r a m m a r s a r e :
S ! 0 S 1 0 1
S
0
! a S
0
b A A ! a A a b
S
1
! a b B B ! c
2 . I n t h e r s t g r a m m a r , r e p l a c e 0 b y S
0
a n d 1 b y
S
1
. T h e c o m b i n e d g r a m m a r :
S ! S
0
S S
1
S
0
S
1
S
0
! a S
0
b A A ! a A a b
S
1
! a b B B ! c
C o n s e q u e n c e s o f C l o s u r e U n d e r S u b s t i
t u t i o n
1 . C l o s e d u n d e r u n i o n , c o n c a t e n a t i o n
, s t a r .
3P r o o f s a r e t h e s a m e a s f o r r e g u l a r
l a n g u a g e s , e . g . f o r c o n c a t e n a t i o n o f
C F L ' s
L
1
L
2
, u s e L = f a b g s a = L
1
, a n d
s b = L
2
1
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2 . C l o s u r e o f C F L ' s u n d e r h o m o m o r p h i s
m .
N o n c l o s u r e U n d e r I n t e r s e c t i o n
T h e r e a d e r s h o w s t h e f o l l o w i n g l a n g u a
g e L =
f 0
i
1
j
2
k
3 i = k a n d j = l g n o t t o b e a C F L .
3I n t u i t i v e l y , y o u n e e d a v a r i a b l e a n
d
p r o d u c t i o n s l i k e A ! 0 A 2 0 2 t o g e n e r a t
e
t h e m a t c h i n g 0 ' s a n d 2 ' s , w h i l e y o u n e e
d
a n o t h e r v a r i a b l e t o g e n e r a t e m a t c h i n
g 1 ' s
a n d 3 ' s . B u t t h e s e v a r i a b l e s w o u l d h a v
e
t o g e n e r a t e s t r i n g s t h a t d i d n o t i n t e r
l e a v e .
H o w e v e r , t h e s i m p l e r l a n g u a g e f 0
i
1
j
2
k
3 i =
k g i s a C F L .
3 A g r a m m a r :
S ! S 3 A
A ! 0 A 2 B
B ! 1 B
L i k e w i s e t h e C F L f 0
i
1
j
2
k
3 j = l g
T h e i r i n t e r s e c t i o n i s L
N o n c l o s u r e o f C F L ' s U n d e r C o m p l e m e n
t
P r o o f 1 : S i n c e C F L ' s a r e c l o s e d u n d e r u
n i o n ,
i f t h e y w e r e a l s o c l o s e d u n d e r c o m p l e m
e n t ,
t h e y w o u l d b e c l o s e d u n d e r i n t e r s e c t i
o n b y
D e M o r g a n ' s l a w .
P r o o f 2 : T h e c o m p l e m e n t o f L a b o v e i s
a
C F L . H e r e i s a P D A P r e c o g n i z i n g i t :
3G u e s s w h e t h e r t o c h e c k i 6= k o r j 6= l
S a y w e w a n t t o c h e c k i 6= k
3A s l o n g a s 0 ' s c o m e i n , c o u n t t h e m o n t h
e
s t a c k .
3I g n o r e 1 ' s .
3 P o p t h e s t a c k f o r e a c h 2 .
3 A s l o n g a s w e h a v e n o t j u s t e x p o s e d t h
e
b o t t o m - o f - s t a c k m a r k e r w h e n t h e r s t
3
c o m e s i n , a c c e p t , a n d k e e p a c c e p t i n g a
s
l o n g a s 3 ' s c o m e i n .
3 B u t w e a l s o h a v e t o a c c e p t , a n d k e e p
a c c e p t i n g , a s s o o n a s w e s e e t h a t t h e
i n p u t i s n o t i n L 0
1
2
3
C l o s u r e o f C F L ' s U n d e r R e v e r s a l
J u s t r e v e r s e t h e b o d y o f e v e r y p r o d u c t
i o n .
2
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C l o s u r e o f C F L ' s U n d e r I n v e r s e
H o m o m o r p h i s m
P D A - b a s e d c o n s t r u c t i o n .
K e e p a b u e r " i n w h i c h w e p l a c e h a f o r
s o m e i n p u t s y m b o l a
R e a d i n p u t s f r o m t h e f r o n t o f t h e b u e
r
O K .
W h e n t h e b u e r i s e m p t y , i t m a y b e r e l o a d
e d
w i t h h b f o r t h e n e x t i n p u t s y m b o l b , o r w
e
m a y c o n t i n u e m a k i n g - m o v e s .
T e s t i n g E m p t i n e s s o f a C F L
A s f o r r e g u l a r l a n g u a g e s , w e r e a l l y t a
k e a
r e p r e s e n t a t i o n o f s o m e l a n g u a g e a n d a
s k w h e t h e r
i t r e p r e s e n t s ;
I n t h i s c a s e , t h e r e p r e s e n t a t i o n c a n b
e a C F G
o r P D A .
3O u r c h o i c e , s i n c e t h e r e a r e a l g o r i t h m
s t o
c o n v e r t o n e t o t h e o t h e r .
T h e t e s t : U s e a C F G ; c h e c k i f t h e s t a r
t
s y m b o l i s u s e l e s s ?
T e s t i n g F i n i t e n e s s o f a C F L
L e t L b e a C F L . T h e n t h e r e i s s o m e p u m p i n
g -
l e m m a c o n s t a n t n f o r L
T e s t a l l s t r i n g s o f l e n g t h b e t w e e n n a n
d 2 n , 1
f o r m e m b e r s h i p a s i n n e x t s e c t i o n .
I f t h e r e i s a n y s u c h s t r i n g , i t c a n b e p u
m p e d ,
a n d t h e l a n g u a g e i s i n n i t e .
I f t h e r e i s n o s u c h s t r i n g , t h e n n , 1 i s a
n
u p p e r l i m i t o n t h e l e n g t h o f s t r i n g s , s
o t h e
l a n g u a g e i s n i t e .
3 T r i c k : I f t h e r e w e r e a s t r i n g z = u v w x
y
o f l e n g t h 2 n o r l o n g e r , y o u c a n n d a
s h o r t e r s t r i n g u w y i n L , b u t i t ' s a t m o s
t
n s h o r t e r . T h u s , i f t h e r e a r e a n y s t r i n
g s
o f l e n g t h 2 n o r m o r e , y o u c a n r e p e a t e d l
y
c u t o u t v x t o g e t , e v e n t u a l l y , a s t r i n
g
w h o s e l e n g t h i s i n t h e r a n g e n t o 2 n , 1
T e s t i n g M e m b e r s h i p o f a S t r i n g i n a C F
L
S i m u l a t i n g a P D A f o r L o n s t r i n g w d o e s n
' t
q u i t e w o r k , b e c a u s e t h e P D A c a n g r o w i t
s s t a c k
i n d e n i t e l y o n i n p u t , a n d w e n e v e r n i s h
, e v e n i f
t h e P D A i s d e t e r m i n i s t i c .
3
-
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T h e r e i s a n O n
3
a l g o r i t h m n = l e n g t h
o f w t h a t u s e s a d y n a m i c p r o g r a m m i n g
"
t e c h n i q u e .
3 C a l l e d C o c k e - Y o u n g e r - K a s a m i C Y K
a l g o r i t h m .
S t a r t w i t h a C N F g r a m m a r f o r L
B u i l d a t w o - d i m e n s i o n a l t a b l e :
3R o w = l e n g t h o f a s u b s t r i n g o f w
3 C o l u m n = b e g i n n i n g p o s i t i o n o f t h e
s u b s t r i n g .
3E n t r y i n r o w i a n d c o l u m n j = s e t o f
v a r i a b l e s t h a t g e n e r a t e t h e s u b s t r i n
g o f
w b e g i n n i n g a t p o s i t i o n j a n d e x t e n d i n
g
f o r i p o s i t i o n s .
3I n r e a d e r , t h e s e e n t r i e s a r e d e n o t e
d
X
j i + j 1
, i . e . , t h e s u b s c r i p t s a r e
t h e r s t a n d l a s t p o s i t i o n s o f t h e
s t r i n g r e p r e s e n t e d , s o t h e r s t r o w i
s
X
1 1
X
2 2
; : : : ; X
n n
, t h e s e c o n d r o w i s
X
1 2
X
2 3
; : : : ; X
n 1 n
, a n d s o o n .
B a s i s : r o w 1 X
i i
= t h e s e t o f v a r i a b l e s A s u c h
t h a t A ! a i s a p r o d u c t i o n , a n d a i s t h e s y
m b o l a t
p o s i t i o n i o f w
I n d u c t i o n : A s s u m e t h e r o w s f o r s u b s t r
i n g s o f
l e n g t h u p t o m , 1 h a v e b e e n c o m p u t e d , a n
d
c o m p u t e t h e r o w f o r s u b s t r i n g s o f l e n g
t h m
W e c a n d e r i v e a
i
a
i + 1
a
j
f r o m A i f t h e r e i s a
p r o d u c t i o n A ! B C B d e r i v e s a n y p r e x o
f
a
i
a
i + 1
a
j
, a n d C d e r i v e s t h e r e s t .
T h u s , w e m u s t a s k i f t h e r e i s a n y v a l u e o
f k
s u c h t h a t
3 i k j
3B i s i n X
i k
3 C i s i n Xk + 1 j
E x a m p l e
I n c l a s s , w e ' l l w o r k t h e t a b l e f o r t h e g
r a m m a r :
S ! A S S B A B
A ! a
B ! b
a n d t h e s t r i n g a a b b
4
