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UNIVERSIDAD NACIONAL
SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
REA : MATEMATICA III
GRUPO : II
TEMA : RESOLUCIN DE LA RECUPERACION DE LA
TERCERA PRCTICA (GRUPO N6)
DOCENTE : MINAYA SALINAS Oscar Segundo
ALUMNA : FLORES ANTONIO Nataly
2015
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
Pgina 2
Matemtica III
UNASAM
FIC
RECUPERACIN DE LA TERCERA PRCTICA
MATEMATICA III
1. Sea un tringulo de lados a,b,c y permetro constante 2p si esta regin gira
alrededor de uno de sus lados, calcular el volumen mximo generado y para que
valores de los lados ocurre este volumen mximo, utilice multiplicadores de
Lagrange.
Solucin:
Reemplazando en (1)
x a-x
h
b c
V1 V2
a
2 2
1 2
2
2
2
( )
3 3
.......(1)3
4 ( )( )(p ): A ( )( )( )
2
h x h a xV v v
hV a
ah p p a p b cPero p p a p b p c h
a
2
4 4 ( )( )( )( )( )( ) ( )
3 3
p p a p b p cV a p a p b p c p
a a
Pgina 3
Matemtica III
UNASAM
FIC
Donde:
Optimizar V es lo mismo que optimizar f(a,b,c,) sujeto a la restriccin a+b+c-2p=0
2
( )( )( )( , , ) ( 2 )
( )( ) 0.....(2)
( )( )0........(3)
( )( )0........(4)
2 0..................(5)
p a p b p cf a b c a b c p
a
F pp b p c
a a
F p a p c
b a
F p a p b
c a
Fa b c p
De (3) y (4)
De (2) y (4)
( )( )( )( , , )
p a p b p cf a b c
a
( )( ) ( )( )p a p c p a p bb c
a a
2
2 2
2 2
( )( )( )( )
p p a p ba b p c
a a
p pc ap a
p a apc
p
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Matemtica III
UNASAM
FIC
Ahora reemplazando (5) tenemos:
En (6)
En el punto:
Pertenece a un mximo. Ahora reemplazando en funcin del volumen:
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 .........(6)
2 2
2( ) 2
2 2 2 2
2
2
a b c p
a c p
p a apa p
p
ap p a ap p
ap p a ap p
a ap
pa
2 22
32
2
3
4
pc p
pc
pc b
1
3 3, ,
2 4 4
p p pP
4 ( )( )( )
3
p a p b p cV p
a
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Matemtica III
UNASAM
FIC
El volumen mximo ocurre para:
33
3 3
4 2 4 4
3
2
8....... .
3 2 4 4 12
p p pp p p
V pp
p p p pV u Vol Maximo
3 3, ,c
2 4 4
p p pa b y
Pgina 6
Matemtica III
UNASAM
FIC
2. Hallar el volumen del solido limitado por:
z = 9 , z = 2x y , x=0
Solucion :
z = f (x+y) = 2x y
Intersectando el plano con la superficie
29z x y
=9
2
2
2
2
93
2
3 0
93 32 2 22 2 2 2
3 30
9 ( , )
( , ) 9
9
( 9)
( , ) 9 9
(9 )( 9 ) (9 ) 9(9 )
2 2
D
D
y
D
y
V f x y dydx
V f x y dydx
x y
y x
V f x y dydx x y dxdy
x yV y x x dy y y y dy
Pgina 7
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UNASAM
FIC
3 32 4 2 42 4 2 2 4
3 3
33 32 4 52 4 3
3 3 3
3 5 53 3
3
81 18 81 189 81 9 18 81
2 2
18 81 1 118 81 (6 81 )
2 2 2 5
1 3 ( 3)(6*3 81*3) (6*( 3) 81*3)
2 5 5
1 243(162 243 162 162
2 5
y y y yV y y y dy y y dy
y y yV dy y y dy y y
V
V
3
243 648243)
5 5
648
5V u
Pgina 8
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FIC
3. Sea S el slido encerrado por la superficie:
22 2
4
zx y yz
Calcular:
Solucin:
Sea:
Reemplazando en (1) tenemos:
Ahora:
Pero p > 0
2 2 24 4s
x y z dv
2 22 2 2 24 2
4 4s s
z zx y dv x y dv
)
)
2 cos( )
( ) cos(
( )sen(
x psen
y psen
z p
22 2 ............(1)
4
zx y yz
3 2 )
2 ( )cos( ) ( )
2 ( )cos
(2 )sen( )
0 (2
(
) ( )
( )p p sen s
p sen sen sen
p sen se
en
n
( ) ( )sen sen
Pgina 9
Matemtica III
UNASAM
FIC
Entonces analizamos dos casos:
Para el primer caso:
Para el segundo caso:
0 , 2
2 0 ,2
sen
sen
Entonces:
Tomamos a :
sen(2 )....( ) (
sen(2 )....(
).....( )...........( )
).....( )...........(( ))
sen
s
I
en I
) 0 0, (2 ) 0
2 2 2
2
02
( sen
k k
k
sen
k
2
22 2
2 2 22 22
0 0 0 02
2 2 23 32
0 0 0 02
( , , ) 2 ( , , )
4
2 (2 ) 2 (2 )
4 4 ..............( )
sen sen sen sen
sen sen sen sen
p p sen J p
zx y p
I p p sen dpd d p p sen dpd d
I p sen dpd d p sen dpd d
232
0 0 04 ...............(1)
sen sen
I p sen dpd d
Pgina 10
Matemtica III
UNASAM
FIC
Para 1:
Para 2:
2 23
02
4 ..............(2)sen sen
I p sen dpd d
(2 ) ( )4
232 2
0 0 0 0 0
0
4 42
0 0
24
00
4 44
( (2 )) ( ( ))
35cos(9 ) 3(15cos(7 ) 14(6cos(5 ) 5(2cos(3 ) 9cos( ))))( )
5040
128
315
sen sen
sen sen pI p sen dpd d
I sen sen sen d d
I sen d
I se
4
0
3
0
( )
128 ( ) 3 ( ) 3cos
315 4 8 8
128 3 16*
315 8 105
n d
sen senI
I
2 23
02
24
2
24
2
4
( (2 )sen( ))
3 1 1 1 1( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos(9 )
8 12 20 112 144
sen sen
I p sen dpd d
I sen sen d d
I sen d
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UNASAM
FIC
24
2
128( )
315
128 3 1 1(2 ) (4 )
315 8 4 32
128 3 16*
315 8 105
I sen d
I sen sen
I
Finalmente reemplazamos en :
2 2 23 32
0 0 0 02
4 4
16 16 32
105 105 105
sen sen sen sen
I p sen dpd d p sen dpd d
I
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FIC
4. Calcular :
Si D es la regin limitada por: x+y=1 , x=0 , y=0
Solucin:
Ahora:
cosD
x yI dxdy
x y
1
u x y
v x y
v x y
0y
u x
v x
u v
2 2
1 1
12 2( , )
1 1 2
2 2
u x y
v x y
u v v ux y
J u v
0x
u y
v y
u v
x+y=1
y
x
v=1
v=u -v=u
v
u
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UNASAM
FIC
1 1
0 0
1 1
0 0
12
1 1
0 0
0
1 1cos cos
2 2
1 1( (1) ( 1))dv
2 2
1 12 ( (1)dv sen(1) (1) (1) 0
2 2 2
(1)
2
v v
v v
v
v
u uI dudv dudv
v v
uI vsen dv vsen vsen
v
vI v sen vdv sen sen
senI
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Matemtica III
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FIC
5. Calcular:
Donde: U es el tetraedro limitado por los plano: x+y+z=0, x+y-z=0, x-y-z=0 y
2x-y=1.
Solucin:
Transformando el integrando se tiene:
Sean
Transformando la regin S se tiene
0 02 2 2
u w v w u vx y z u
Luego
( )( )U
x y z x y z dxdydz
u x y z
v x y z
w x y z
2
2
2
u wx
v wy
u vz
1( , , )
4J u v w
0 02 2 2
u w v w u vx y z v
0 02 2 2
u w v w u vx y z w
2 1 1 2 4 12
v wx y u w u v w
( , v, w) / u 0, v 0, w 0,2u v 4 1D u w
v
w
u
v=2u+4w-1
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FIC
Proyectando al plano uw v=0
Entonces 2u+4w=1
1/2
1/2
0
w
v
2 4 11 1 2 1 1 2 22 4 1 2 4 1
2 4 2 4
0 0 0 0 0 00
1 1 2
22 4
0 0
( )( ) ( , , )
1 1( ( )dw)du ( ( ( ) )dw)du
4 4 2
1 1( (2 4 1) )
8 18
U D
u wu uu w u w
u
x y z x y z dxdydz uvw J u v w
uvwuvdv w
wu u w dw du