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アルゴリズムとデータ構造

第３回基本的なデータ構造（リスト、スタック、キュー）

2

今年度の授業計画回 日付 曜日 時間 担当者 内容

1 2019年4月4日 木曜日 2 喜田ガイダンス

2 2019年4月9日 火曜日 4 喜田アルゴリズムと計算量

3 2019年4月11日 木曜日 2 有村 基本的なデータ構造(1) リスト・スタック・キュー

4 2019年4月16日 火曜日 4 有村 基本的なデータ構造(2) ヒープ

5 2019年4月18日 木曜日 2 有村 基本的なデータ構造(3) 再帰アルゴリズム

6 2019年4月23日 火曜日 4 喜田探索のためのデータ構造(1) 二分探索木・AVL木

7 2019年4月25日 木曜日 2 喜田探索のためのデータ構造(2) 木の巡回

2019年4月30日 火曜日 祝日

2019年5月2日 木曜日 祝日

8 2019年5月7日 火曜日 4 有村 探索のためのデータ構造(3) 最適二分探索木

9 2019年5月9日 木曜日 2 有村 探索のためのデータ構造(4) ハッシュ

10 2019年5月14日 火曜日 4 喜田整列のアルゴリズム（１）

11 2019年5月16日 木曜日 2 喜田整列のアルゴリズム（２）

12 2019年5月21日 火曜日 4 喜田グラフとネットワークのアルゴリズム（１）

13 2019年5月23日 木曜日 2 喜田グラフとネットワークのアルゴリズム（２）

14 2019年5月28日 火曜日 4 有村 アルゴリズム関連の最近の話題

15 2019年5月30日 木曜日 2 有村 アルゴリズム関連の最近の話題（予備）

16 2019年6月4日 火曜日 4 有村・喜田 試験

出席・試験・成績について出席

毎回出席簿を付けます

欠席する場合は欠席届を提出してください

様式は工学部学生便覧の最終ページにあります

欠席届の無い場合は無断欠席とみなします

試験

科目最終回（１６回目）に行う予定です

持ち込みは不可です

成績

シラバスの通りです（授業への参加態度10％，レポート20％，学期末試験70％）

3

ビッグデータ，人工知能，・・・，アルゴリズム

ワトソン君• IBMリサーチ (2011/02/16)• クイズ番組で人間に勝利！• 100万冊の本を読んで回答• 人工知能と自然言語，

アルゴリズム，検索の技術で

From http://www-06.ibm.com/ibm/jp/lead/ideasfromibm/watson/

米国の人気クイズ番組「ジョパディ！」のワトソン君クイズ王に挑戦中

AlphaGo• Google DeepMindが開発したコンピ

ュータ囲碁プログラム• 2015年10月にプロ囲碁棋士をハン

ディなしで破った• 2017年5月には世界トップ棋士であ

る柯潔（コ・ジェ）に勝利• DNNとモンテカルロ木探索

4

screenshot: DeepMind/YouTube

授業で学ぶデータ構造の範囲

機械語のデータ型

レジスタ値とその番地

基本データ型

char, int, large int, double, 構造データ型

配列（array），構造体（struct） 基本的データ構造

リスト（linked list），スタック（stack），待ち行列（queue）

先進的データ構造

二分探索木（binary search tree），平衡探索木（balanced search tree），ハッシュ表（hash table）

昔の言語も持っている型（C，Pascal）

機械語（型がない）

最近の言語（C++，Java, etc.）

この「アルゴリズムとデータ構造」で学ぶところ

「プログラミング」

5

6

データ構造

データ構造とは

セル(cell)の集合にある構造を与えたもの

データを格納する基本単位

Algorithms + Data Structures = Programs

Niklaus Wirth （二クラウス・ビルト）が書いた本の題名

Niklaus Wirth(1934-)はスイスの計算機科学者。コンピュータ言語Pascalの設計者。１９８４年にチューリング賞受賞。

抽象データ型 (Abstruct Data Type)とは？

データ型を，それに適用される一組の操作で抽象的に定めたもの．

データ操作

Linked List

CREATEINSERTDELETE. . . . .

• データ構造（のAPI）を「抽象データ型」ともいう．• データ構造には，「それは何か（What）」と「それをどのように実現す

るか？（How）」の二つの面がある．

• 現代的なプログラム言語やライブラリーはこの考え方に基づく．（例：C++，Java，Ruby, Python などなど）

7

重要

前回の内容:第２回 アルゴリズムと計算量

8

よいアルゴリズムとは？

いろいろな性能

計算時間

メモリサイズ

外部記憶への入出力数

ネットワークの通信量

ほかの要素

モジュラリティ Modularity再利用可能性 Reusability読みやすさ Readability移植しやすさ Portability ...

ここでは，計算時間とメモリサイズで測る

計算時間

メモリサイズ

2016/04/07

9

第3回基本データ構造

今日の内容：

リスト

配列／連結リスト／双連結リストによる実装

スタック

スタックの応用（再帰呼び出し）

キュー

ポイント

ポインタを用いたデータ構造

抽象データ型とその実装

11

リストとは？ （抽象データ型として）

0個以上の要素を一列にならべたものA

12

空リスト：要素を含まないリストのこと リストの長さ：要素数n Ai: 最初から i 番目の要素（1 ≦ i ≦ n） リスト中の場所を指示するための「位置」をも

つ

太郎

二郎

花子

道子

A1 AnA2 A3リストA

重要

リストに対する操作

INSERT(x,p,L) : リストL（要素数n）の位置pの次

の位置に要素xを挿入

DELETE(p,L) : リストLの位置pの次の位置の次

の要素を削除

FIND(i,L) : リストLのi番目のセルの内容を返す

LAST(L) : リストLの最後のセルの位置を返す

PREVIOUS(p,L) : リストLにおいて、位置pの１つ

前のセルの位置を返す

13

太郎

二郎

花子

道子

14

リスト

リストとは要素を０個以上１列に並べたもの

（注意）リストは連結リストを指すことが多い

[リスト a0,a1,…,an-1の実現法]

1. 配列(array)

2. 連結リスト(linked list)

3. 双方向連結リスト(doubly linked list)

a0 a1 ・・・ an-1

n個の連続領域に格納

an-1 nulla1a0init ・・・

ポインタで次の要素の格納領域を指す

an-1 nulla1a0init ・・・null ・・・ final

ポインタで前後の要素の格納領域を指す

太郎

二郎

花子

道子

重要

復習：ポインタとは？

ポインタ （pointer）セルの位置を示すデータ

機械語レベルでは、セルの番地そのもの

プログラミングにおいては、その値を具体的に知る必要はない。

15

ポインタは番地

16

ポインタ p

132 値 x

5

C言語の場合

ポインタpが指す変数の値xを、x = *pで表す。

変数xを指すポインタpを p = &x で取り出せる。

レジスタレベルでみた計算機

17

リスト

リストとは要素を０個以上１列に並べたもの

（注意）リストは連結リストを指すことが多い

[リスト a0,a1,…,an-1の実現法]

1. 配列(array)

2. 連結リスト(linked list)

3. 双方向連結リスト(doubly linked list)

a0 a1 ・・・ an-1

n個の連続領域に格納

an-1 nulla1a0init ・・・

ポインタで次の要素の格納領域を指す

an-1 nulla1a0init ・・・null ・・・ final

ポインタで前後の要素の格納領域を指す

太郎

二郎

花子

道子

リスト：

配列(array)による実装

18

a1 a2 a3 a4

配列 int a[100]; % 100個の整数a[0],a[1],…,a[99]からなる配列

1. 配列(array) n個の連続領域に格納

a0 a1 ・・・ an-1

0 1 ・・・ n-1

n=4

リスト：連結リスト(linked list)による実装

要素を保持する「セル」をポインタでつないで，リストを表す．

途中への挿入削除を効率よくで行える

19

an nulla1-1head ・・・ ai-1 ai ・・・

a1 a2 a3 a4n=4

*セル = 区切られた箱や部屋のこと

セル*の構造体（C言語のコード）

typedef struct _cell {int element;struct cell *next;

} cell;

ダミーのセル

先頭(head)

aicellelement next

セル*（箱図）

要素 次のポインタ

20

C言語によるリストの定義(1/3)

連結リスト

typedef struct cell {int element;struct cell *next;

} cell;

cell *init=NULL; %空のリスト

void list_add(int x) { %整数要素xを先頭へ追加

cell *new=(cell *)malloc(sizeof(cell));new->element=x;new->next=init;init=new;

}

struct cell {・・・}： 構造体cellを・・・と定義

typedef ・・・ cell： ・・・をデータタイプcell型として定義

initはcell型データを指すポインタ型

sizeof(cell)： cell型のデータサイズ（バイト）

malloc(n)：nバイトのメモリーを確保

(cell *)malloc(n)： 確保したnバイトの領域をcell型データ格納領域とみなす。

重要

aicell

要素

elementcellへのポインタ

next

22

C言語によるリストの定義(2/3)typedef struct cell {

int element;struct cell *next;

} cell;

cell *init=NULL; %空のリスト

void list_add(int x) { %整数要素xを先頭へ追加

cell *new=(cell *)malloc(sizeof(cell));new->element=x;new->next=init;init=new;

}

init3 6

NULL

element領域

next領域

list_add(5)を実行すると

new

①メモリの確保

new5

②elementの代入

init3 6

NULL

③nextにinitポインタをコピーnew

5

init3 6

NULL

④initにnewポインタをコピー

23

C言語によるリストの定義(3/3)

双方向連結リストtypedef struct cell {

int element;struct cell *prev;struct cell *next;

} cell;

cell *init=NULL; %空のリストcell *final=NULL;void list_add(int x) { %整数要素xを先頭へ追加

cell *new=(cell *)malloc(sizeof(cell));new->element=x;new->next=init;new->prev=NULL;if(init==NULL) final=new;else init->prev=new;init=new;

}

cell型は１つ前のデータを指すポインタprevももつ

最後尾のデータを指すポインタfinalも必要

先頭に追加する場合は１つ前のデータはなし

最初に格納されたデータが最後尾のデータ（finalが指すデータ)となる

２つ目以降に格納されたデータはprevポインタを新しい先頭データを指すように更新する

重要

24

連結リストが得意な処理（挿入）INSERT(x,p,L) : リストL（要素数n）の位置pの次の位置に要素xを挿入

a0 a1 ・・・ ai ・・・ an-1ai-1

p

a0 a1 ・・・ ai ・・・ an-1ai-1 x最悪/平均時間計算量はΘ(n)

配列の場合

p

x

an-1 nulla1a0init ・・・ ai-1 ai ・・・

an-1 nulla1a0init ・・・ ai-1 ai ・・・

連結リストの場合

最悪/平均時間計算量はΘ(1)

an-1 nulla0

init・・・null ・・・

finalai-1 ai ・・・・・・

an-1 nulla0

init・・・null ・・・

finalai-1 ai ・・・・・・

p

x

双方向連結リストの場合

最悪/平均時間計算量はΘ(1)

重要

考えてみよう

25

連結リストが得意な処理（削除）DELETE(p,L) : リストL（要素数n）の位置pの次の位置の次の要素を削除

a0 a1 ・・・ ai ・・・ an-1ai-1

p

a0 a1 ・・・ ai+1 ・・・ an-1ai-1

最悪/平均時間計算量はΘ(n)

配列の場合

an-1 nullai-1a0init ・・・ ai ai+1 ・・・

p連結リストの場合

最悪/平均時間計算量はΘ(1)

ai-1 ai ai+1 ・・・・・・

p双方向連結リストの場合

最悪/平均時間計算量はΘ(1)

ai+1

an-1 nullai-1a0init ・・・ ai+1 ・・・

・・・・・・

ai-1 ai+1 ・・・・・・・・・・・・

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配列が得意な処理（i番目の要素へのアクセス）FIND(i,L) : リストL（要素数n）のi番目のセルの内容を返すLAST(L) : リストL（要素数n）の最後のセルの位置を返すPREVIOUS(p,L) : リストL（要素数n）において、位置pの１つ前のセルの位置を返す

a0 a1 ・・・ ai ・・・ an-1ai-1

配列の場合

an-1 nullai-1a0init ・・・ ai ai+1 ・・・

連結リストの場合

双方向連結リストの場合

ai+1aFIND(i,L) : Θ(1)LAST(L) : Θ(1)PREVIOUS(p,L) : Θ(1)

p

FIND(i,L) LAST(L)PREVIOUS(p,L)

FIND(i,L) : Θ(n), LAST(L) : Θ(n), PREVIOUS(p,L) : Θ(n)

p

連続領域であるためi番目の要素や前後の要素に１ステップでアクセス可能

PREVIOUS(p,L) LAST(L)

＝

FIND(i,L)＝

an-1 nulla0

init・・・null ・・・

finalai-1 ai ・・・・・・

p

FIND(i,L) : Θ(n), LAST(L) : Θ(1), PREVIOUS(p,L) : Θ(1)PREVIOUS(p,L) LAST(L)FIND(i,L)

＝

27

配列による連結リストの実現

a1 a2 ・・・a0 an-1 an-2

2 4 6 9 7 ・・・1 -1 m-1 5 -1

0 1 2 3 4 5 6 m-3 m-2 m-1

free_init 0 init 3

メリット•メモリー確保、解放の時間を節約できる。•メモリー使用量を制御できる。•ガベージコレクションの必要がない。

ちょっとむずかしい！

スタックとキュー

特別な（制限された）リストのいろいろ

28

29

スタック(stack)スタックとは

要素の挿入、削除がいつも先頭からなされるリスト

LIFO(last-in-fast-out)[基本操作]TOP(S) スタックSの先頭の位置を返すPOP(S) スタックSの先頭の要素を削除PUSH(x,S) スタックSの先頭に要素xを挿入

a0

a1

a2 PUSH(a2,S)

a0

a1

a2

a0

a1

a2POP(S)

TOP(S)

重要

30

スタックの実現法

a0 a1 ・・・ ・・・ai

i

すべての操作の時間計算量はΘ(1)

配列による実現

a0 nullaitop ・・・連結リストによる実現

すべての操作の時間計算量はΘ(1)

top

S

=TOP(S)

a0 a1 ・・・ ・・・ai

i+1top

S ai+1

PUSH(ai+1,S) POP(S)

ai-1

TOP(S)=

a0 nullaitop ・・・ai-1

ai+1

PUSH(ai+1,S) POP(S)

重要

31

スタックの応用例（関数呼び出し）プログラム（階乗n!の計算）

int factorial(int n) {if(n==1) return 1;else return n*factorial(n-1);

}

実行コードシークエンス

1: if n≠1 then goto 32: return 13: r=factorial(n-1)4: return n*r

局所変数n 3

実行コード1:2:3:4:

3実行アドレス

n 2

1:2:3:4:

n=3, 戻り:4スタック

n

1:2:3:4:

n=3, 戻り:4n=2, 戻り:4

n=3, 戻り:4スタック

3

3

1:2:3:4: 4

1

2

n 2

1:2:3:4: 4

n

factorial(3) factorial(2)

factorial(1)

3

6

待ち行列（キュー）とは？

要素の挿入は最後尾、削除は先頭からなされるリスト

FIFO(fast-in-fast-out)ともいう

32

[基本操作] TOP(Q) キューQの先頭の位置を返す

ENQUEUE(x,Q) 要素xをキューQの最後尾に入れる

DEQUEUE(Q) 先頭の要素をキューQから除く

「エンキュー」、「デキュー」と読む

A 1 , A 2 , . . . , A nC D E FA B

G H I

重要

33

待ち行列(キュー, queue)待ち行列(キュー）とは

要素の挿入は最後尾、削除は先頭からなされるリスト

FIFO(fast-in-fast-out)

[基本操作]TOP(Q) キューQの先頭の位置を返すENQUEUE(x,Q) 要素xをキューQの最後尾に入れるDEQUEUE(Q) 先頭の要素をキューQから除く

a0 a1 a2ENQUEUE(a2,Q)

a0 a1 a2

TOP(Q)

a0 a1 a2

DEQUEUE(Q)

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キューの実現法

・・・ ・・・a0

j

すべての操作の時間計算量はΘ(1)

配列による実現

ai nulla0front ・・・

連結リストによる実現

front

Q

TOP(Q)

ENQUEUE(ai+1,Q)

a1

TOP(Q)=

aia0front ・・・a1 ai+1

ENQUEUE(ai+1,S)

ai ・・・

=

(j+i)%nrear0 n-1

DEQUEUE(Q)

a1

・・・ ・・・a0

front

Q ai ・・・

(j+i+1)%nrear0 n-1

a1 ai+1

・・・ ・・・

(j+1)%nfront

ai ・・・

(j+i+1)%nrear0 n-1

a1 ai+1

j

rear

null rear

aifront ・・・a1 ai+1 null rear

DEQUEUE(Q)すべての操作の時間計算量はΘ(1)

A4 A5 A1 A2 A3

0 1 2 3 4 5

frontrear

配列で巡回リストを表わす． キューの長さ n が限定された場合

先頭と末尾がつながって，輪になったリスト

要素の位置を，n の剰余演算で決定.

配列によるキューの実現

front から i 番目の要素 = Element[ (front + i) mod n ]

Element

ex. Elem[(head + 5) mod n] (head = 1 and n = 6)= Elem[7 mod 6] = E[1]

35

考えてみよう