FACTORES Y PRODUCTOS guia 1.doc

8/17/2019 FACTORES Y PRODUCTOS guia 1.doc

1/14

GUIA DE APRENDIZAJE

Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico.

Expresión Algebraica: Conjunto de cantidades expresadas con letras y números unidos entre sí poroperaciones. Ejemplos:a) 4ax !y b) "a# b$ c) a % b c % d

Término: Expresi&n algebraica conformada exclusi'amente por productos y(o cuocientes.Ejemplo: #mn$

En un trmino *ay +ue distinguir el factor numrico y el factor literal.El facor n!mérico ,o coeficiente) +ue indica las 'eces +ue el factor literal se repite comosumando.En el trmino "m" el coeficiente es ".En el trmino #$ab el coeficiente es #$.El facor lieral- +ue es la letra con su exponente.En el trmino %a& el factor literal es a& En el trmino 'a"b% el factor literal es a"b%

Gra(o (e !n érmino algebraico: Corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal.Ejemplo:El grado de $x#y$ es / +ue resulta de sumar los exponentes # % 0 % $.

)lasificación (e las expresiones Algebraicas: las expresiones 1lgebraicas se clasifican de acuerdo alnúmero de trminos +ue la componen en:

a* +onomio: Expresi&n algebraica de un solo trmino.Ejemplos:a) !2 b) 3-"xy

b* Polinomio: Es una expresi&n algebraica +ue se obtiene al expresar cual+uier suma de monomios nosemejantes.Ejemplos:a) !x# % 4x "xy b) /x4 "x$ % x# % 4x % 5

6e acuerdo a la cantidad de sumando- el polinomio recibe otras denominaciones:

c* ,inomio: 7olinomio +ue consta de dos trminos.Ejemplos:a) "x#y % #x#y$

b) 4x % $y

(* Trinomio: 7olinomio +ue consta de tres trminos.Ejemplos:a) "x % /y % $


2/14

b) 0 % ab % $a# b

E-al!ación (e expresiones algebraicasE'aluar o 'alorar una expresi&n algebraica significa asignar un 'alor a cada 'ariable de los trminos yresol'er las operaciones indicadas en la expresi&n para determinar su 'alor final.

Ejemplo:8aloremos la expresi&n 4x#y "xy# xy- considerando +ue x 9 0 e y 9 #.

4x#y "xy# xy 9 4,0)## ",0) ## ,0) # 9 40# ",0) 4 ,0) # 9 ; % #3 % # 9 $3

Términos seme.anes6os trminos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal.Ejemplos:a) 4m y #m son trminos semejantes b) p+ y p#+ N/ son trminos semejantes

A(ición (e érminos algebraicos7ara sumar dos o más trminos algebraicos- stos deben ser trminos semejantesEjemplos:0. ;x 4x % $x x 9 /x#. #ab % /ab % 4ab ;ab ab 9 ab3. x#y % " x#y #x#y 9 4x#y

Eliminación (e parénesis


3/14

PR/DU)T/0 A1GE,RAI)/0 2 3A)T/RIZA)I4N

+!liplicación (e érminos algebraicos:=e debe multiplicar cada trmino del primer factor por cada trmino del otro factor- considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicaci&n de potencias de igual base- y luego reducir lostrminos semejantes- si los *ay.

Ejemplos:1. "xy# !x$y# 9

#. #xy,"x % 4y $xy) 9

$. ,$x #y),4x % "y)9

4. ,#a "b),a #b % "ab !) 9

En los productos algebraicos existen algunos casos +ue pueden ser resuelto a tra's de una regla cuyaaplicaci&n simplifica la obtenci&n del resultado. >stos productos reciben el nombre de pro(!cosnoables.

)!a(ra(o (el ,inomio:Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.?ultipli+uemos ,a % b),a % b) +ue puede expresarse como ,a % b)# y luego ,a b),a b) +ue puedeexpresarse como ,a b)#

5a 6 b*" 9 ,a % b),a % b) 9 a# % ab % ab % b# 9 a" 6 "ab 6 b"

5a 7 b*" 9 ,a b),a b) 9 a# ab ab % b# 9 a" 7 "ab 6 b"

En ambos casos 'emos +ue se tiene la misma estructura diferenciándose s&lo en un signo.@uego podemos enunciar +ue:

8 El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término9

@a estructura +ue representa esta f&rmula es:

6onde representa al primer trmino del binomio y al segundo.

Ejemplos:a) ,x % !)# 9 x# % #x! % !# 9 x# % 04x % 45 b) ,#a $b)# 9 ,#a)# ##a$b % ,$b)# 9 4a# 0#ab % 5b#


4/14

0!ma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos trminos por su diferencia.?ultipli+uemos la suma de ,a % b) por su diferencia- o sea ,a b)

,a % b),a b) 9 a# ab % ab b# 9 a# b#

7odemos obser'ar +ue el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir-8 El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer términomenos el cuadrado del segundo9

Ejemplos:a) ,#x % "y),#x "y) 9 ,#x)# ,"y)# 9 4x# #"y#

b) ,!m# % "n$),!m# "n$) 9 ,!m#)# ,"n$)# 9 45m4 #"n/

+!liplicación (e ,inomios con !n Término )omnEste producto notable corresponde a la multiplicaci&n de binomios ,x % a) por ,x % b)- siendo eltrmino común Aa9.

6esarrollemos # ejemplos para extraer una conclusi&n.

,x % $),x % &) 9 x# % $x % "x % 0" 9 x# % ;x % 0"Bbser'a +ue " % $ 9 ; y +ue "$ 9 0"

,x !),x % #) 9 x# % #x !x 04 9 x# "x 04Bbser'a +ue ! % # 9 " y +ue !# 9 04

@a estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:

Concluimos entonces +ue

8El pro(!co (e binomios con !n érmino comn es ig!al al cuadrado del primer término, más lasuma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos

distintos9

Ejemplos:a) ,x % /),x % 0#) 9 x# % ,/ % 0#)x % /0# 9 x# % 0; x % !# b) ,a % !),a $) 9 a# % ,! $)a % !$ 9 a# % 4a #0


5/14

3A)T/RIZA)I4N

actoriar una expresi&n algebraica es *allar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresi&n propuesta.

3acori;ar !n polinomio c!


6/14

GUIA DE EJER)I)I/0 >

Objetivos: Deberása) Expresar el valor numérico de una expresión algebraica que resulta al sustituir los factoresliterales por valores numéricos luego efectuar las operaciones indicadas.

!) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos:

1) "# $ si "% & ............................................ #) n3 $ si n%1'............................................

3) a1 $ si a% 1&' ............................................() ## $ si %*............................................

&) +a , 3)# si a%& ............................................ *) +& , a)3 $ si a%-1 ............................................

!!) i a%1 $ b% -1 $ c%# $ d% / $ e%' 0 determine el valor de cada una de las siguientesexpresiones:

) a, b % ....................................... 2) #a - b , c %.......................................

) +a , b) 4 c % ....................................... 1') +c,d)4e ,ab %.......................................

11) +a-b)# , +c-d)# %....................................... 1#) d# - ea - b %.......................................

13) a , d %....................................... 1() a , a - c%....................................... b c b

1&) a , d %....................................... 1*) + a , b-c)# %....................................... d c


7/14

!!!) Eval5a cada una de las siguientes expresiones:

1) 6rea de un cuadrado: 6c 6c %a

# 0 si a vale 1& cms.12) 7olumen de un cubo: 7c7c % a

3 0 si a vale 1& cms.

1) 7olumen de una esfera: ( π r3 si π%

301( r%#(cms. 3

#') Energ8a 9inética % mv# i m%&grs. v% 1'cmsseg #

#1) 7olumen de un cilindro π r #

; $ ! π %301( $ r% 10# cms. ;%#*cms.

##) 9alcule el per8metro de unrectángulo delados a% (0# m b% #03 m

#3) 9ompleta el siguiente cuadro:

6 b c a , b < c a# - bc #a -3b#

1 -# 3

& ' -1

/ -( -#

#3 1 12

-# 3 1

' 1 -#

/ 1 1(


8/14

' -1 -1

UNIDAD: =as fracciones en lengua>e algebraico.

GUIA DE EJER)I)I/0 "

1. Resuelve:

1. (x + 5)²= 11. (6x - 8y)² =

2. (x - 7)² = 12. (0,2x – 3)² =

3. (a + 1)² = 13. (5a - 0,3)² =

4. (m + 21)²=14. ( 4

$ x – 5)²

5. (x - 2)² =15. =

6.(x – 18)² =

_ _

16. ( 0,7 a + 0,2 b)2 =

7. (p + 5q)² = 17. ( ;0 x – y) 2 =

8. (x – 3y)² = 18. ( 0,3M -0, 5 N )2 =

9. (2x + 6)² =19. ( 8m – ½ )2 =

10. (3x - 5)² = 20. ( 2 m + 6m22 )2 =

!!.- 9alcula las siguientes sumas por diferencia:

a) (a + 3)(a - 3)=

b) (x + 7)(x - 7)=


9/14

!) (m - 12)(m + 12)=

") (y + 27)(y - 27)=

#) (2a - 6)(2a + 6)=

$) (3x - 4y)(3x + 4y)=

%) (4m + 7pq)(4m - 7pq)=

&) (a2 + b2)(a2 - b2)=

') (5x2 - 8y2)(5x2 + 8y2)=

) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)=

) (2*5 m + 3*4 )(2*5 m + 3*4 )=

) (1 - 3*8 a)(1 + 3*8 a)=

DDD. 6#aa '%/'## p"/!

a) (a + 3)(a + 7)=

b) (x + 8)(x - 5)=

!) (m - 9)(m - 3) =

") (2x + 5)(2x + 4) =

#) (7m - 6)(7m + 1) =

$) (m2 + 8)(m2 – 2) =

%) (8 + a)(5 + a) =


10/14

&) (-6 + x)(3 + x) =

GUIA DE TRABAJO Álgebra FactorizaciónIdentifica de que producto notable proviene cada expresión:1) 6x – 12 !!"!!#!!) 2)!!"!!#!!) 2$a % 12ab

&) $x – '( !!"!!#!!) $) !!"!!#!!) 1x # 1*x2

*) !!"!!#!!) 1$+2n % ,+n 6) 6x$ # &x& % 2x2 ) !!"!!#!!%!!--)

,) $+2 % 2 a+ !!"!!%!!) ') $a&bx % $bx !!"!!%!!)

.)"!!!%!!!--) 2 +2 # 2+ % 1 1) x2 % 26x % 2* "!!!-%!!!-)"!!!-%!!!-)

11) "!!!%!!!--) 2 (2 # 1( % 2* 12) $c2 – 2cd % 2*d2 "!!!# !!!--) 2

1&) "!!!%!!!--) 2 (2 % 6( % . 1$) "!!! % !!--) 2 /2 % $/ % $

1*) "!!!# !!!--) 2 .a2 # 12 ab % $b2 16) "!!! # !!!--) 2 $x2 – 2x( % 2*(2

1,) "!!!# !!!--) 2 $.x2 # 1$x % 1 1') 16+2 # $+n % 2*n2 "!!!#!!!--) 2

1.) "!!!# !!!)"!!!% !!) (2 # $ 2) "!!!--%!!!!)"!!!!# !!!!)$x2 # .

21) "!!!# !!!)"!!!% !!) a2 # 1 22) "!!!--# !!!)"!!!% --!!) +2 # 2*

2&) $.x2 # &6(2 "!!!% !!!)"!!!# !!) 2$) "!!!% !!!)"!!!# !!)121p2 # $q2

2*) "!!!# !!!)"!!!% !!)16a2b2 # $. 26) "!!!# !!!)"!!!% !!) +2n$ # x'

2,) "!!!% !!!)"!!!# !!)0 # x$ 2' "!!!# !!!)"!!!% !!) ) n2 # $a2 (2 .x2

2.)!!!!!!!!!!!!- 2ab % $a2b # 6ab2 &)!!!!!!!!!!!!!!- b2 # &b – 2'

&1)!!!!!!!!2x(2 # *x( % 1x2 ( # *x2 (2 &2)!!!!!!!!!!!!!!- z2 % 6z % '

&&)!!!!!!!!!!--*a % 2*ab &$)!!!!!!!!!!-- bx % bx2 –bx&

&*) !!!!!!!!!!!-$ # 12( % .(2 &6) !!!!!!!!!!a2x2 # b$ ($


11/14

?@a AerminéB ?Aan rápidoB

Cuc;as que so capo.

&,) !!!!!!!!!!!!x2 # x % 0 &') !!!!!!!!!!!!!!--x2 % $x % $

&.)!!!!!!!!!!!!!!&6+2 # 12+n % n2 $)!!!!!!!!!!!!!! $a2 # 12ab % .b2

II- Factoriza las siguientes expresiones algebraicas-

1) 6x # 6( 1')a

x

%a

"

2) .a % .b

1.) x2 % .x % 1'

&) *x – * 2) +2 # &+ – 1

$)1'+ – 12 21) x2 # *x % 6

*) $'x % 6 22) x2 # x – &

6) 'x % 16( # &2z 2&) x2 – 2*

,) 1'a % 2,b # $*c 2$) +2 – 1$$

') ax – a( 2*) . # x2

.) x( – x 26) x2 # 1$x % $.

1) +2 – + 2,) p2 % 12pq % &6q2

11) x # x2 2') x2 # 2x( % (2

12) 'a2 % ab 2.) 2*x2 # $.(2

1&) $x2 % x( # 2x &) .16 x2 # '1$(2

1$) 6ab # 12a % 'ac &1) x2 #&x % 2

1*) 12x(2 # $2x2 ( % *$x( &2) 12x2 # x – 6

16) x(2 # x2 ( % x2 (2 &&) $x2 % 12x % .

1,) 163 % 'b &$) ,p # ,


12/14

4nidad I: Álgebra Factorización

GUIA DE TRABAJO 4

FACTOR COMUN MONOMIO1) +.) % (x , #' #) +.) %(x - 1*

3) +.) % (2a - #(ab () +.) %#'x - #&x#

&) +.) % (x# , x *) +.) %2x( - #(x3 , 3#x#

) +.) %(m# - #' am 2) +.) %12a3b - *b

) +.) % 1#n3 < *m# 1') +.) %m < #1n , (#

11) +.) % ax , bx 1#) +.) %%# <

13) +.) %3ab , 3'ac - #ad 1() +.) %('a < #(a , 2a

1&) +.) %&a# < 1&a# , #&a 1*) +.) %*x#n , 1#x3n# < 3'x(n3

TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorización como cuadrado de binomioE>ercicios: =os siguientes polinomios ?son trinomios ordenados perfectosB

1)+.)# % (m# - 2m , ( #) +.)# %x# , 1'x , #&

3) +.)# %# - 1' , #& () +.)# % (c# - #'cd , #&d#

&) +.)# %# , * , *) +.)# % ;# , (; , 2

) +.)# %a# - 1# ab , (b# 2) +.)# % (x# - #'x , #&#

) +.)# %(x# - 1(x , 1 1') +.)# %1*m# - 3'mn , #&n#

v) DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO: uma !or di"erencia

EFEG9!9!H: Escribe como suma por diferencia:

1)+..)+.)% (# - 1 #) +..)+.)% 1*x# -

3) +..)+.)% #&a# - 1 () +..)+.)% (m# - #&

&) +..)+.)% x# - 3*# *) +..)+.)% 1((p# - ''q#

) +..)+.)% 21a#b# - 1'' 2) +..)+.)% m#n( < x1#


13/14

) +..)+.)% #&n# - (a# 1') +..)+.)% I - #&x2 1*# x#

EFEG9!9!H D!7EGH: Jactoria:1) #ab , (a#b - *ab# % #) #'x# - &x , 1'x# - &x## %

3) b# - 3b - #2 % ()# , * , 2 %

&) &a , #&ab % *) bx - ab , x# - ax%

) *x# - (ax - bx , *ab % 2) ax , a , x , %

) 2x# - 1#2 % 1') ( - 1# , # %

11) x( - # % 1#) a#x# - b(( %

13) x# , #x , 1 - # % 1() x# - # - (x , ( %

1&) a# - x# , #x - # % 1*) + a , b)# - + c,d)# %

1) a# , #ab , b# - c# , #cd - d# % 12) +a , 3)# - +3a - *)# %

1) x3 , x# , x , 1 % #') 3a( , a3 , 1&a , & %

#1) x# , (x , ( % ##) a# , 1#ab , 3*b# %

#3) x# , #(x , 1*# % #() 3*m# - 1#mn , n# %

#&) (a# - 1#ab , b# % #*) x# - x , I %

#) a+ x,1) , b+x,1) % #2) x+#a,b) , p+#a , b)%

#)x# + p , q) , # + p , q) % 3') 1 - x , & + 1 - x) %

31) a + # , x ) - # - x % 3#) a# , 1 - b + a# , 1 ) %

33) + x , )+ n , 1 ) - 3 + n , 1 ) % 3() + a , 1 ) + a - 1 ) - # + a , 1)%

3&) a+ a , b) - b + a , b) % 3*) + #x , 3) + 3 - r ) - +#x -r) +3 -r)%

3) a , ab , ax , bx % 32) ab , 3a , #b , * %

3) ab - #a - &b , 1'% (') #ab , #a - b - 1 %

(1) 3x# - 3bx , x - b % (#) *ab , (a - 1&b - 1'%

(3) sm - bm , sn - bn % (() 3x3 - ax# - x , 3a %

(&) 3a - b# , #b#x - *ax % (*) a3 , a# , a , 1%


14/14

Documents

FACTORES Y PRODUCTOS guia 1.doc