ExerciciosPropostos_AMatIII

Instituto Politecnico de Tomar - Escola Superior de Tecnologia de Abrantes

Curso de Licenciatura em Tecnologias de Informacao e Comunicacao

Matematica IIIExercıcios propostos − 2007/2008

1. Num determinado dia, o gabinete medico de uma universidade efectuou 73 consultas a alunos,tendo classificado estes segundo a faculdade a qual pertenciam:

Psicologia (P) Engenharia (E) Letras (L)Farmacia (F) Medicina (M) Outras (O)

os resultados obtidos foram:

E L F E L E E P F L O E E P O M E E O EP O E F O E O E E L O L O E L F L E L EL E P L F O E O L P E E L E M L E M E EO E O P P E F E O E E P F

(a) Construa a tabela de frequencias.

(b) Represente graficamente os dados atraves de um diagrama de barras (utilize as frequenciasrelativas).

(c) Determine a moda da distribuicao.

2. As cores dos automoveis vendidos num Stand, durante um determinado perıodo de tempoforam as seguintes:

preta branca vermelha preta brancaazul cinzento vermelha branca vermelhaverde preta preta vermelha brancacreme vermelha branca azul cinzenta

(a) Faca um resumo dos dados atraves de um quadro estatıstico qualitativo.

(b) Quantos automoveis de cor preta foram vendidos?

(c) Qual a percentagem de automoveis vendidos de cor vermelha?

(d) Qual a proporcao de automoveis vendidos de cores preta e branca?

(e) Construa o grafico de sectores para estes dados.

(f) Represente graficamente o quadro estatıstico da alınea a), atraves de um grafico debarras.

(g) Qual a moda da distribuicao?

1

Matematica III - Exercıcios Propostos 2

3. Uma conhecida locutora de televisao privada, contou o numero de cartas de amor que rece-beu, diariamente, num perıodo de 100 dias uteis. As observacoes foram as seguintes:

0 2 1 1 1 2 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 0 3 1 20 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 0 0 1 0 1 02 1 2 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 3 1 2 2 10 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 1 20 5 0 1 1 1 0 0 2 0 2 2 0 1 0 2 2 1 0 0


(b) Indique o numero de dias em que a locutora nao recebeu nenhuma carta.

(c) Qual a percentagem de dias em que a locutora recebeu no mınimo 2 cartas?

(d) Qual a proporcao de dias em que a locutora recebeu pelo menos 2 cartas?

(e) Represente graficamente as frequencias absolutas acumuladas e o respectivo polıgonointegral.

(f) Determine a media, a mediana e a moda da distribuicao.

4. Um pesquisador de uma estacao de radio, aborda ao acaso, 30 pessoas e pergunta-lhes aidade. O resultado do inquerito foi o seguinte:

30 18 16 42 35 32 37 32 40 2621 23 39 39 34 15 14 21 22 2526 27 28 21 39 43 44 39 40 22

(a) Resuma a informacao obtida num quadro de distribuicao de frequencias.

(b) Apresente os dados na forma de um histograma de frequencias absolutas.

(c) Use os dados para fazer o polıgono de frequencias relativas.

5. Em 2002 o investimento de um grupo de empresas do sector agrıcola foi o seguinte em u.m.:

11 17 2 3 5 20 13 12 15 190 20 4 7 17 10 14 8 9 103 2 22 9 19 7 7 12 14 912 1 2.5 25 18 10 10 4.5 5 7

(a) Construa uma tabela de distribuicao de frequencias.

(b) Com base no quadro anterior calcule valores aproximados para a moda, media, medianae quartis.


6. A listagem seguinte refere-se aos montantes de 40 emprestimos pessoais de uma companhiafinanceira, em u.m..

900 500 450 1900 1200 1250 2500 550 1650 12001000 550 950 600 750 1300 850 350 1400 700300 1100 300 1600 1500 1000 1800 900 500 6502000 1000 2000 450 750 850 600 3000 350 1500

(a) Suponha que se deseja organizar os montantes de emprestimos numa distribuicao defrequencias com um total de 7 intervalos de classe. Supondo intervalos de classe, comamplitudes iguais, qual seria a amplitude conveniente para os intervalos desta distri-buicao?

(b) Construa a distribuicao de frequencias para os dados da tabela comecando a primeiraclasse no limite inferior de 300 u.m..e usando a amplitude de 400 u.m..para os intervalosde classe.

(c) Construa o histograma para a distribuicao de frequencias relativas.

(d) Construa o polıgono de frequencias relativas para a distribuicao.

(e) Descreva a curva de frequencias em termos de assimetria.

(f) Construa o polıgono de frequencias absolutas.

7. Recolheu-se aleatoriamente uma amostra de 200 pecas de uma maquina, que foram posteri-ormente distribuıdas por 10 depositos, consoante os respectivos comprimentos (em cm). Osvalores obtidos encontram-se registados no quadro a seguir.

Deposito Classes de comprimento (cm) Numero de pecas

1 [55.5, 58.5[ 22 [58.5, 61.5[ 73 [61.5, 64.5[ 224 [64.5, 67.5[ 135 [67.5, 70.5[ 446 [70.5, 73.5[ 367 [73.5, 76.5[ 328 [76.5, 79.5[ 139 [79.5, 82.5[ 2110 [82.5, 85.5] 10

Construa os histogramas e os polıgonos, das frequencias absolutas e relativas, simples eacumuladas.


8. De uma pauta onde estavam registados os resultados finais da disciplina de Informatica,registaram-se as seguintes classificacoe, variando entre 7 e 14:

11 8 11 8 12 14 7 11 10 712 7 11 12 10 7 8 11 8 78 10 10 7 10 13 7 10 7 108 10 13 12 13 14 11 14 14 128 11 12 11 12 13 11 7 12 10

(a) Elabore uma tabela de frequencias para estes resultados.

(b) Quantos alunos reprovaram a disciplina?

(c) Qual a percentagem de alunos que tiveram 8 valores?

(d) Qual a proporcao de alunos com nota inferior a 12 valores?

(e) Quantos alunos tiveram nota compreendida entre 8 e 12 valores, inclusive?

(f) Represente graficamente as frequencias absolutas simples e o polıgono de frequencias.

(g) Determine a media, a mediana, a moda, a variancia, a amplitude inter-quartil, o 8ºdecil e o 40º percentil.

9. Os dados que se seguem referem-se ao comprimento total (em centımetros) de uma coleccaode achegas (peixe de rio) de um lago de barragem.

29.9 40.2 37.8 19.7 30.0 29.7 19.4 39.224.7 20.4 19.1 34.7 33.5 18.3 19.4 27.338.2 16.2 36.8 33.1 41.4 13.6 32.2 24.319.1 37.4 23.8 33.3 31.6 20.1 17.2 13.337.7 12.6 39.6 24.6 18.6 18.0 33.7 38.2

(a) Calcule a media, a mediana, o desvio-padrao, a amplitude total e a amplitude inter-quartil. Interprete os valores obtidos.

(b) Encontre um valor tal que 60% dos peixes observados tenham comprimento superior aesse valor.

(c) Faca um agrupamento dos dados em classes.

i. Construa a tabela de frequencias.

ii. Represente as frequencias relativas simples e acumuladas e os respectivos polıgonos.

iii. Com base na tabela construıda em (c)iii), calcule valores aproximados para amedia, para a mediana e para a variancia.

iv. Indique a classe modal e interprete-a. Calcule um valor aproximado para a moda.

(d) Por motivos relacionados com a actividade piscatoria, e usual proceder a um controlo dapopulacao de achegas baseado nas seguintes classes para os comprimentos dos peixes:

menos de 12cm; [12,15[; [15,18[; [18,20[; [20,25[; [25,30[; 30cm ou mais


i. Construa a tabela de frequencias.

ii. Represente as frequencias relativas simples e acumuladas e os respectivos polıgonos.

iii. Com base nesta classificacao, calcule valores aproximados para a media, para amediana e para a variancia.

(e) Compare os valores obtidos em (a), (c)iii) e (d)iii).

10. Num inquerito as condicoes de vida da populacao de Faro (I.N.E.), averiguou-se qual onumero de indivıduos por famılia. De um total de 109 famılias interrogadas obtiveram-se osseguintes resultados:

N.º de indivıduos por famılia 3 4 5 6 7 8 9 10 11

N.º de famılias 37 32 23 8 4 2 2 0 1


(b) Represente graficamente as frequencias relativas, simples e acumuladas, e os respectivospolıgonos.

(c) Indique o numero de famılias com menos de 5 indivıduos e a percentagem de famıliascom 6 indivıduos no maximo.

(d) Determine:

i. O n.º medio de indivıduos por famılia.

ii. A mediana e a moda da distribuicao.

iii. O desvio padrao.

iv. O 1º quartil, o 3º quartil, o 1º decil e o 90º percentil.

11. Determine a media, a mediana e a moda para cada um dos conjuntos de dados:

(a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6

(b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7

(c) 51.6, 48.7, 50.3, 49.5, 48.9

(d) 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7

12. A tabela seguinte apresenta a distribuicao de frequencias das alturas de 100 estudantes dosexo masculino de uma determinada universidade.

Alturas (cm) N.º de estudantes

[151, 159[ 5[159, 167[ 18[167, 175[ 42[175, 183[ 27[183, 191] 8


Determine:

(a) a media e a mediana das alturas;

(b) a classe modal e a moda;

(c) a amplitude inter-quartil;

(d) o desvio padrao;

(e) o 2º decil e o 70º percentil.

13. Considere num dado momento, a distribuicao dos habitantes de um predio segundo classesde idades:

Idade (anos) N.ºde habitantes

[10, 15[ 3[15, 20[ 7[20, 25[ 16[25, 30[ 12[30, 35[ 9[35, 40[ 5[40, 45[ 2[45, 50] 1

(a) Determine a idade media dos habitantes do predio.

(b) Qual a idade do habitante do predio, que tem tantas pessoas mais novas do que ele,quantas as mais velhas?

(c) Determine a classe modal e a moda.

(d) Entre que idades se situam os 25% dos habitantes mais velhos e os 25% mais novos?

(e) Determine o desvio padrao.

(f) Estude a distribuicao quanto a simetria e ao achatamento.

14. O quadro a seguir representa a distribuicao de 100 operarios de uma empresa, segundo osalario horario (em u.m.).

Salario N.º operarios

[400, 450[ 10[450, 500[ 20[500, 550[ 38[550, 600[ 25[600, 650] 7

(a) Calcule o valor das medidas de centralizacao.

(b) Determine o valor do desvio padrao.


(c) Caracterize a assimetria e o achatamento da distribuicao.

(d) De entre a media, a mediana e a moda, qual dos valores utiliza:

i. para dizer qual o salario mais frequente?

ii. para calcular, aproximadamente, a soma necessaria para efectuar o pagamento dostrabalhadores?

iii. para ter uma hipotese em duas de que o salario de um operario considerado aoacaso, nao ultrapasse esse valor?

15. No quadro que se segue estao classificados os pesos de 1000 cigarros, seleccionados consecu-tivamente a saıda de uma maquina (cerca de 40 segundos de fabrico).

Classes (gramas) N.ºde cigarros Classes (gramas) N.º de cigarros

[1.04, 1.06[ 17 [1.20, 1.22[ 126[1.06, 1.08[ 15 [1.22, 1.24[ 112[1.08, 1.10[ 27 [1.24, 1.26[ 88[1.10, 1.12[ 47 [1.26, 1.28[ 69[1.12, 1.14[ 63 [1.28, 1.30[ 42[1.14, 1.16[ 85 [1.30, 1.32[ 31[1.16, 1.18[ 117 [1.32, 1.34[ 16[1.18, 1.20[ 129 [1.34, 1.36] 16

(a) Construa o histograma e o polıgono de frequencias.

(b) Qual o peso medio de cigarros produzidos?

(c) Caracterize a dispersao relativa, a assimetria e o achatamento do processo produtivo.

16. Se a variavel X, representar as notas obtidas por um aluno, num dado conjunto de provas,determine as expressoes analıticas correspondentes a media aritmetica e ao desvio-padraoda variavel que resulta das seguintes alteracoes.

(a) Adicao de y pontos a cada uma das notas obtidas pelo aluno.

(b) Aumento de p% em cada uma das notas obtidas pelo aluno.

17. Numa pequena empresa o salario medio dos homens e de 120 u.m. com desvio padrao 45u.m. e o das mulheres e em media 90 u.m., com desvio padrao 36 u.m.. Quais os salariosque apresentam maior dispersao relativa: os dos homens ou os das mulheres?


18. As pecas que saem de uma linha de producao sao marcadas defeituosas (D) ou nao defeituosas(N). As pecas vao sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a uma paragem quandose obtenham duas pecas defeituosas consecutivas ou quando se tenham registado quatropecas. Descreva o espaco de resultados desta experiencia.

19. Lanca-se 3 vezes uma moeda equilibrada:

(a) Defina o espaco amostral desta experiencia.

(b) Calcular a probabilidade de obter:

i. exactamente duas faces;

ii. pelo menos uma face.

20. Sejam A, B e C tres acontecimentos associados a uma experiencia aleatoria. Exprima emnotacao de acontecimentos:

(a) pelo menos um dos acontecimentos ocorre;

(b) apenas o acontecimento A ocorre;

(c) exactamente um dos acontecimentos ocorre;

(d) exactamente dois dos acontecimentos ocorrem;

(e) ocorrem simultaneamente nao mais de dois acontecimentos.

21. Considere o tempo de vida (em horas) de certo dispositivo electronico. Admita queΩ = t : t > 0, A = t : t > 800, B = t : 600 < t < l000 e C = t : 0 < t < 700.Descreva e interprete:

(a) A ∪B (b) A ∩ C (c) B ∪ C

(d) B ∩ C (e) A (f) B

22. Um par de dados e lancado uma vez e observam-se as faces que ficam viradas para cima.

(a) Descreva o espaco de resultados associado a esta experiencia

(b) Se em vez de lancar dois dados uma vez, lancasse um dado duas vezes, como descreveriao espaco de resultados associado a esta nova experiencia?

(c) Descreva os seguintes acontecimentos:A = “A soma do numero de pintas das faces observadas nos dois dados e igual a 6”B = “O produto do numero de pintas das faces observadas nos dois dados e ımpar”C = “Pelo menos um dos numeros e igual a 1”

(d) Calcule as probabilidades de realizacao dos acontecimentos:A, B, A ∩B, A ∩ C, A ∪B


23. Suponha que o nascimento de rapaz e o nascimento de rapariga sao acontecimentos equi-provaveis e que num colegio de rapazes se faz um inquerito aos que tem apenas um irmaoou uma irma, concluindo-se que ha 140 rapazes nessas condicoes, e que destes ha 93 que temuma irma e 47 que tem um irmao. Estes resultados parecem-lhe compatıveis com o modeloproposto a partida?

24. Verificou-se que de entre os dadores de sangue, de um determinado centro medico,1 em 3tem sangue O+, 1 em 15 tem sangue O-, 1 em 3 tem A+ e 1 em 16 tem A-. Seleccionou-sealeatoriamente um dador. Qual a probabilidade de que tenha sangue

(a) do tipo O+? E do tipo O?

(b) do tipo A?

(c) de nenhum dos tipos O e A?

25. Sejam A e B acontecimentos tais que P (A) = 0.25, P (B) = 0.50 e P (A∩B) = 0.20. Calculea probabilidade de:

(a) A nao se realizar;

(b) A se realizar mas B nao;

(c) se realizar pelo menos um;

(d) pelo menos um nao se realizar;

(e) B se realizar mas A nao;

(f) A se realizar ou B nao se realizar;

(g) nenhum se realizar.

26. Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferencia da populacao de certa cidadepelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, e dada pelosseguintes valores (percentagens sobre o total da populacao):

Consumidores das marcas

A: 51 A e B: 28B: 62 A e C: 21 A,B, C:10C: 40 B e C: 24

Qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso nessa cidade, seja consumidora:

(a) Das marcas A ou B.

(b) Somente de A e C.

(c) Somente de C.

(d) De pelo menos uma das marcas.

(e) De nenhuma delas.


27. Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer, tais que: P (A ∪ B) = 78 , P (A ∩ B) = 1

4 eP (A) = 5

8 .Calcule P (A), P (B) e P (A ∩B).

28. Tres atletas participam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar e duas vezesmaior que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a de C. Qual a probabilidadede cada um dos atletas ganhar a prova?

29. Numa entrevista um economista afirmou que considerava a ”melhoria”da situacao economicatao provavel como a sua ”estagnacao”. No entanto encarava a ”melhoria”como duas vezesmais provavel que a ”quebra”da actividade economica.

(a) Que espaco de resultados esta implıcito nestas observacoes?

(b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaco?

30. Sejam A e B dois acontecimentos com probabilidades 34 e 1

2 , respectivamente. Podem A e Bser disjuntos?

31. Numa reserva de caca sabe-se que existem 2 especies de perdizes, estando alguns animaisafectados por determinada doenca. Utilizando a tabela de classificacao seguinte:

Perdizes afectadas Perdizes nao afectadas

Especie A 12% 40%Especie B 9% 39%

responda as seguintes questoes:

(a) Tomada uma perdiz ao acaso, qual a probabilidade de estar afectada? E qual a proba-bilidade de pertencer a especie A?

(b) Tomada uma perdiz ao acaso, verifica-se que e da especie A. Qual a probabilidade deestar afectada? E qual a probabilidade de nao estar afectada?

(c) Tomada uma perdiz ao acaso, verifica-se que esta doente. Qual a probabilidade depertencer a especie A? E qual a probabilidade de pertencer a especie B?

32. Em certa escola 25% dos estudantes foram reprovados em matematica, 15% em quımica e10% em matematica e quımica. Um estudante e seleccionado aleatoriamente.

(a) Se ele foi reprovado em quımica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em ma-tematica?

(b) Se foi reprovado em matematica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em quımica?

(c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matematica ou em quımica?


33. Numa certa cidade 40% da populacao tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15%tem cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa e seleccionada aleatoriamente.

(a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter tambem olhos castanhos?

(b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de nao ter cabelos castanhos?

(c) Qual a probabilidade de nao ter nem olhos nem cabelos castanhos?

(d) Se ela nao tem olhos castanhos, qual a probabilidade de ter cabelos castanhos?

34. Uma loja de brinquedos emprega 3 mulheres para fazer embrulhos durante a epoca de Natal.Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preco 3% das vezes; Helenaembrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preco 8% das vezes; Joana, que embrulhaos restantes presentes, esquece-se de tirar o preco 5% das vezes.

(a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter preco?

(b) Suponha que tinha ido a essa loja, verificando em casa que o seu presente ainda tinhapreco. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana.

35. Parte dos acidentes escolares devem-se a acidentes laboratoriais; 25% dos estudantes naoleem as instrucoes que acompanham os produtos que manipulam, e entre os que as leemainda ha 10% dos acidentes devido a falta de precaucao na utilizacao desses produtos. Quale a probabilidade de que um estudante que nao le as instrucoes venha a ter um acidente, see de 0.7 a probabilidade de que um acidentado nao tenha lido as instrucoes?

36. Rui entrou na universidade e foi informado de que ha 30% de possibilidade de vir a receberuma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa de estudo a probabilidade de se licenciar ede 0.85, enquanto que no caso de nao obter a bolsa a probabilidade de se licenciar e apenasde 0.45.

(a) Diga ao Rui qual a probabilidade de que se licencie.

(b) Se daqui a uns anos encontrar o Rui ja licenciado, qual a probabilidade de que tenharecebido bolsa de estudo?

37. Dos candidatos a um emprego 30% sao mulheres e 70% sao homens; 60% das mulheres e40% dos homens tem estudos superiores Determine a probabilidade de que um candidatoseleccionado aleatoriamente:

(a) Seja uma mulher, sabendo que tem estudos superiores.

(b) Seja um homem e nao tenha estudos superiores.


38. Um pomar produz macas vermelhas e amarelas na proporcao de 1 para 3. Sabendo queaparecem “bichadas”10% das macas e que destas 60% sao amarelas, determine:

(a) A probabilidade de se colher uma maca “bichada” sabendo que ela e amarela.

(b) A probabilidade de se colher uma maca “sa” sabendo que ela e vermelha.

39. Numa fabrica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuicao por classes e por idadese a seguinte:

Idades Homens Mulheres

Ate 21 anos 5 3De 21 ate 50 anos 30 18Mais de 50 anos 15 9

(a) Qual a probabilidade da pessoa escolhida, ao acaso, ser mulher ?

(b) Qual a probabilidade da pessoa escolhida, ao acaso, ser homem, sabendo-se que temmais de 50 anos ?

(c) Os acontecimentos A = “a pessoa escolhida e homem”e B = “a pessoa escolhida temmais de 50 anos”sao ou nao acontecimentos independentes ? Justifique a resposta.

40. Os acontecimentos A e B com probabilidades respectivamente 0.4 e 0.3 sao independentes.Determine a probabilidade da realizacao de um e um so dos dois acontecimentos.

41. As probabilidades de tres atiradores A, B e C acertarem no alvo sao iguais a 0.75, 0.80 e0.90, respectivamente. Determine a probabilidade de:

(a) Os tres atiradores acertarem simultaneamente.

(b) Pelo menos um atirador acertar.

42. Sendo P (A) = 0.5 e P (A ∪B) = 0.7, determine:

(a) P(B) sendo A e B independentes.

(b) P(B) sendo A e B mutuamente exclusivos.

(c) P(B) sendo P (A/B) = 0.5.

43. Sejam A e B dois acontecimentos com probabilidades nao nulas. Indique se A e B podemser simultaneamente independentes e mutuamente exclusivos.


44. Assumindo igual probabilidade para cada sexo, determine a funcao de probabilidade davariavel ”numero de rapazes numa famılia de 3 criancas”.

45. Uma caixa contem quatro bolas numeradas de 1 a 4. Extraem-se duas bolas da caixa. Definaa v.a. X que representa a soma dos numeros observados nas bolas extraıdas, supondo que aextraccao e feita:

(a) sem reposicao

(b) com reposicao

46. Verifique se as funcoes indicadas podem ser funcoes massa de probabilidade de algumavariavel aleatoria.

(a) f(x) =15

, para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

(b) f(x) =x + 114

, para x = 1, 2, 3, 4.

(c) f(x) =

0 1 2 3p3 3p2(1− p) 3p(1− p)2 (1− p)3

, com 0 < p < 1

47. Sendo a funcao de probabilidade de X indicada por:

X 0 1 2 3

f(x) 110

15 k 1

10

(a) Indique o valor de k (k ∈ R).

(b) Deduza a funcao de distribuicao de X.

(c) Determine o valor de a, a ∈ 0, 1, 2, 3, que verifica P (X ≤ a) ≥ 0.5 e P (X < a) < 0.5.

Como se designa o valor de a.

(d) Calcule P (X = 3|X ≥ 1).

48. A variavel aleatoria discreta X, apresenta a seguinte funcao de distribuicao:

F (x) =

0, se x < 10.1, se 1 ≤ x < 20.4, se 2 ≤ x < 30.9, se 3 ≤ x < 4

1, se x ≥ 4

(a) Deduza f(x) e represente graficamente as duas funcoes.

(b) Calcule P (X ≤ 2) e P (X > 1).


49. A funcao probabilidade da variavel aleatoria que designa o numero de pecas defeituosasnuma amostra e definida por,

f(x) =

0.512, x = 00.384, x = 10.096, x = 20.008, x = 3

0, outros x

(a) Represente-a graficamente.

(b) Determine F (x).

(c) Calcule: P (X ≥ 1); P (X < 2) e P (1 < X ≤ 4).

50. Seja a variavel aleatoria Y com funcao de probabilidade:

f(y) =

y2 + 1

k, y = −2, −1, 0, 1, 2

0, outros valores de y

(a) Determine k de forma a f(y) ser efectivamente uma funcao de probabilidade.

(b) Faca a representacao grafica de f(y).

51. Sabendo que uma v.a. X tem a seguinte funcao de distribuicao

F (x) =

0, se x < 012 , se 0 ≤ x < 123 , se 1 ≤ x < 21, se x ≥ 2

Determine a sua funcao massa de probabilidade.

52. Considere a seguinte funcao:

F (x) =

0, se x < 014 , se 0 ≤ x < 134 , se 1 ≤ x < 21, se x ≥ 2

(a) Diga se F (x) pode ser funcao de distribuicao de uma v.a. X.

(b) Determine a sua funcao massa de probabilidade.

(c) Determine P (0 ≤ X ≤ 2), P (0 < X ≤ 2), P (0 ≤ X < 2), P (0 < X < 2).

(d) Se X fosse uma v.a. contınua, poderiam os resultados da alınea anterior ser diferentes,uns em relacao aos outros?


53. Determine E(X) e Var(X) das distribuicoes discretas dos exercıcios 44, 47, 48 e 49.

54. Seja X a v.a. com a seguinte funcao de probabilidade:

x 2 3 4 5 6 7 8

p(x) .10 .35 .20 .10 .10 .08 .07

(a) Calcule o valor medio, a moda e a mediana.

(b) Qual o valor da variancia, do desvio padrao, do 1º, do 2º e 3º quartis?

(c) Classifique a distribuicao quanto a simetria.

55. O numero de chamadas telefonicas recebidas no PBX de uma empresa e as suas probabili-dades num intervalo de 3 minutos sao:

Nº de chamadas 0 1 2 3 4 5

Probabilidade 0.60 0.20 0.10 0.04 0.03 0.03

(a) Determine o numero esperado de chamadas num intervalo de 3 minutos.

(b) Qual o afastamento medio dos valores em relacao ao valor esperado?

56. Uma confeitaria estabeleceu um registo de vendas (ver tabela abaixo) para um certo tipo debolo. Determine o numero esperado de bolos encomendados.

Nº de Bolos/dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Probabilidade 0.02 0.07 0.12 0.20 0.20 0.18 0.10 0.10 0.01

57. Considere a seguinte funcao de probabilidade:

f(x) =

x2

14, x = 1, 2, 3

0, outros valores de x.

(a) Mostre que a funcao de probabilidade satisfaz as probabilidades de qualquer funcao deprobabilidade e represente-a graficamente.

(b) Deduza a funcao de distribuicao e represente-a graficamente.

(c) Calcule P (X = 1|X ≤ 2).

(d) Determine E(X) e var (X).


58. Relativamente a distribuicao da variavel X, sabe-se que:

E(X) = 6 e E(X2) = 62

Sendo Y uma outra variavel aleatoria e sabendo que Y =12X + 3, determine:

(a) E(Y).

(b) var(Y) e σY .

59. Considere o exercıcio 44. Determine E(X+2) e Var(2X+1).

60. Considere o exercıcio 47. Determine E(2) e Var(2), E(4X) e Var(4X), E(3X2+5X) .

61. Seja X uma v.a. definida da seguinte forma:

X =

m− 1 m m + 3 m + 5k + 1

8k

8k − 1

8k

8

, com k, m ∈ R

(a) Determine K e m de modo que E(X) =14.

(b) Calcule E(3X − 2), E(X2), E(|X|), var(3X − 2), var(X2), var(|X|).

62. Suponha que a v.a. X representa o numero de veıculos que passam numa certa estrada auma determinada hora. Admite-se que o comportamento desta v.a. e tal que a probabili-dade de passar um determinado numero de veıculos e sempre igual a 90% da probabilidadecorrespondente a passagem do numero de veıculos imediatamente inferior.

(a) Sendo p = P (X = 0), obtenha a expressao analıtica da f.m.p.

(b) Determine p.

(c) Calcule P (2 ≤ X < 10).

63. Considere a v.a. X, contınua, com funcao densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:

f(x) =

12x, 0 < x < 2

0, outros valores de x

(a) Faca a sua representacao grafica e mostre que se trata de uma f.d.p..

(b) Deduza a funcao de distribuicao e represente-a graficamente.

(c) Calcule P (X ≤ 1), P ( 14 < X ≤ 1

2 ) e P (X > 32 ).

(d) CalculeP (X < 1| 12 < X < 2).

(e) Calcule E(X) e Var(X).


64. A v.a. X e caracterizada pela seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

x2, −1 < x ≤ 0x, 0 < x ≤ 1112 , 1 < x < 30, outros valores de x

(a) Represente-a graficamente e verifique que se trata de uma funcao densidade de proba-bilidade.

(b) Determine F (x).

(c) Calcule P ( 12 < X < 2), P (X > − 2

3 ) e P (X < 12 ).

(d) Determine E(X) e Var(X).

(e) Sabendo que Y = 32X e Z = 3− X

2 , determine E(Y ), V ar(Y ), E(Z) e σZ ..

65. Uma variavel aleatoria contınua tem a seguinte funcao densidade:

f(x) =

0, x < 0k, 0 ≤ x < 1k(2− x), 1 ≤ x < 20, x ≥ 2

Determine:

(a) k.

(b) P (X < 1.5).

(c) o valor esperado e o desvio padrao de X.

(d) a funcao de distribuicao.

(e) os 1º, 2º e 3º quartis.

66. Sabendo que a duracao (em minutos) de uma conversa telefonica e uma variavel aleatoria Tcom funcao densidade de probabilidade:

f(t) =

ke−

t

3 , t > 00, t ≤ 0

, com k ∈ R

(a) Calcule o valor de k.

(b) Obtenha a funcao de distribuicao.

(c) Calcule:

i. A probabilidade de uma conversa durar mais de tres minutos.

ii. A probabilidade de uma conversa durar mais de tres minutos e menos de cinco.


iii. A probabilidade de uma conversa durar mais de tres minutos dado que a conversaja dura a 2 minutos.

(d) Determine a mediana, a amplitude inter-quartil e o 1º percentil. Interprete os valoresobtidos.

67. Uma variavel aleatoria X tem a seguinte funcao densidade:

f(x) =

x− 1, 1 ≤ x < 23− x, 2 ≤ x < 3

0, outros valores de x

(a) Faca o grafico da funcao densidade.

(b) Calcule o valor medio e o desvio padrao.

(c) Determine a mediana e a amplitude inter-quartil.

(d) Obtenha a funcao de distribuicao de X.

(e) Calcule P (2 ≤ X ≤ 2.2).

68. Seja X uma v.a. contınua com f.d.

f(x) =

0, x < 0

x2, 0 ≤ x < 11, x ≥ 1

(a) Deduza a f.d.p..

(b) Calcule E(ex).

69. A quantidade de pao (expressa em kg) vendida diariamente numa padaria e uma variavelaleatoria com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

5k

2, 0 ≤ x < 5

k(10− x), 5 ≤ x < 100, c.c.

, com k ∈ R

(a) Determine k.

(b) Calcule a quantidade media de pao vendido diariamente na referida padaria.

(c) Qual a probabilidade de num determinado dia a venda de pao ser superior a 8Kg?

(d) Determine a quantidade mınima de pao que deve ser fabricada diariamente de forma asatisfazer pelo menos80% dos pedidos.


70. As vendas semanais do produto A (em toneladas) comportam-se de forma aleatoria de acordocom a seguinte funcao densidade:

f(y) =

0.04y + 0.13, 1 ≤ y ≤ 5

0, c.c.

(a) Calcule E(Y) e var(Y).

(b) Qual o valor medio das vendas mensais ?

(c) Para o produto A o lucro obtido em cada semana e uma variavel aleatoria definida por:X = 200Y − 60. Calcule E(X) e Var(X).

71. Seja Y uma v.a. contınua com f.d.

F (y) =

0, y ≤ 3

1− k

yθ, y > 3

, com k ∈ R e θ ∈ R+

(a) Deduza a f.d.p.

(b) Determine k.

(c) Para θ = 2, determine E(Y) e Var(Y).

72. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supoe-se no entanto que40% dessas garrafas contem realmente uma menor quantidade de lıquido do que o volumeindicado no rotulo. Tendo adquirido 6 garrafas, qual a probabilidade de:

(a) Duas delas conterem menos de um litro ?

(b) No maximo 2 conterem menos de um litro ?

(c) Pelo menos 2 conterem menos de 1 litro ?

(d) Todas conterem menos de 1 litro ?

(e) Todas conterem o volume indicado no rotulo ?

(f) Qual a probabilidade de nas 100 garrafas existentes num supermercado, haver mais de30 com volume inferior ao indicado no rotulo ?

73. Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra,calcule a probabilidade de um vendedor que visite num dia 16 pessoas:

(a) Realizar 5 vendas. entre 4 e 8 vendas.

(b) Realizar quando muito 2 vendas.

(c) Realizar no maximo 10 vendas.

(d) Realizar pelo menos 12 vendas.


(e) Realizar no mınimo 3 vendas.

(f) Se o vendedor visitar 16 pessoas diariamente, qual o numero medio diario de vendas ?

74. Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um e de 1/2. Calculea probabilidade de ficar bem:

(a) Em pelo menos 1 exame.

(b) Em exactamente um exame.

75. Qual a probabilidade de, em 10 lancamentos de um dado perfeito:

(a) Se obterem 5 faces par ?

(b) Se obterem 5 faces superiores a 4 ?

76. Admite-se ser 0.4 a probabilidade de que um cliente que entre num supermercado realizedespesa superior a 10.000 u.m..

(a) Qual a probabilidade de, em 3 clientes:

i. nenhum realizar despesa superior a 10.000 u.m.?

ii. no mınimo 2 gastarem mais de 10.000 u.m.?

(b) Qual a probabilidade de, em 15 clientes:

i. nenhum realizar despesa superior a 10.000 u.m.?

ii. no mınimo 2 gastarem mais de 10.000 u.m.?

77. Um estudo encomendado pela empresa M permitiu apurar que aproximadamente 60% dosseus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face a empresa, 30% uma atitudehostil e 10% uma atitude nao definida. Qual a probabilidade de num grupo de 12 trabalha-dores:

(a) Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face a empresa ?

(b) No maximo 2 terem uma atitude bem definida ?

(c) Qual o numero esperado de trabalhadores com atitude hostil ?

78. Suponha que X tem distribuicao binomial e que p = 0.2 e E(X) = 1. Calcule n e var(X).

79. Suponha que X tem distribuicao binomial, com parametros n e p; sabendo que E(X) = 5 evar(X) = 4, determine n e p.


80. Seja X uma v.a. geometrica de parametro p. Mostre que:

(a) P (X = x + 1) = qP (X = x)

(b) F (X) = 1− qx

(c) P (X ≥ x + y |X ≥ x) = P (x > y)

81. Seja X uma v.a. geometrica com media 2.5. Calcule

(a) P (X = 1); P (X ≤ 3; P (X ≥ 4).

(b) O valor esperado e o desvio-padrao de X.

82. A probabilidade de determinado equipamento, usado regularmente, se avariar, por semana,e de 0.001. Calcule a probabilidade de funcionar:

(a) durante 1 ano (considere 52 semanas).

(b) no maximo 45 semanas.

(c) no mınimo 30 semanas.

(d) entre 30 e 45 semanas (inclusive).

83. Um indivıduo, no trajecto que faz todas as manhas para o trabalho, passa por um determi-nado semaforo. Sabendo que esse semaforo esta verde em 20% das vezes que o indivıduo porla passa, calcule a probabilidade do indivıduo:

(a) encontrar pela 1ª vez o sinal verde na 4ª manha.

(b) nao encontrar a luz verde por 10 manhas consecutivas.

(c) encontrar a luz verde 6 manhas consecutivas.

84. Determinou-se estatisticamente que, em cada cinco licenciados a procura do primeiro em-prego, so um tem experiencia em micro-computadores na optica do utilizador. Uma empresacolocou anuncios nos jornais, a que responderam um elevado numero de licenciados.

(a) Determine o numero esperado de candidatos a entrevistar ate se encontrarem quatrocom a referida experiencia.

(b) Calcule a probabilidade de ter que entrevistar 10 candidatos ate encontrar quatro coma referida experiencia.


85. O numero de chamadas que chegam num perıodo de 5 minutos a central telefonica de umaempresa, e uma v.a. com distribuicao de Poisson, de parametro λ = 10. Calcule a probabi-lidade, de num perıodo de 5 minutos:

(a) Chegarem exactamente 8 chamadas.

(b) Chegarem menos de 5 chamadas.

(c) Chegarem, no mınimo, 3 chamadas.

(d) Chegarem pelo menos 20.

(e) Nao chegar nenhuma.

(f) Escreva a expressao analıtica da funcao probabilidade da v.a. em questao.

86. Numa fabrica o numero de acidentes por semana segue uma lei de Poisson, de parametroigual a 2. Calcule a probabilidade de que:

(a) numa semana haja menos de um acidente;

(b) numa semana se verifiquem 4 acidentes;

(c) num mes se verifiquem entre 4 e 6 acidentes (inclusive).

87. Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distribuicaode Poisson de parametro 5. Nos ultimos 300 dias seguiu uma polıtica de adquirir 8 artigospor dia, tendo verificado que em 21 desses dias, o seu stock nao chegou para satisfazer asencomendas. Quantos produtos (no mınimo) devera ele passar a adquirir por dia se quiserfazer baixar para 0.03 a probabilidade da ruptura de stock ?XtitNota: Os produtos nao vendidos no proprio dia sao inutilizados.

88. Uma central telefonica recebe, em media, 600 chamadas por hora, mas so tem capacidadepara, no maximo, fazer 20 ligacoes por minuto. Utilizando uma distribuicao adequada,calcule a probabilidade de que num dado minuto, a central nao consiga satisfazer todas aschamadas que recebe.

89. Um professor, baseado na sua experiencia passada, sabe que ha uma probabilidade iguala 0.001 de chegar tarde a qualquer aula e que o facto de chegar atrasado a uma aula naoinfluencia a hora de chegada as outras aulas. Sabendo que num semestre, ele tem de dar 100aulas, calcule:

(a) a probabilidade de nunca chegar atrasado;

(b) a probabilidade de so chegar atrasado a uma aula;

(c) as probabilidades das alıneas anteriores, usando a aproXimacao a Poisson.


90. Admite-se que 5% da producao de certa fabrica seja defeituosa. Numa encomenda de 100unidades, qual a probabilidade de se encontrarem:

(a) 2 defeituosas.

(b) No maximo 2 defeituosas.

91. Se a probabilidade de um carro furar um pneu durante a passagem pela ponte sobre o Tejofor de 0.0004, qual a probabilidade de que em 10.000 carros haja menos de 3 a sofrer talpercalco ?

92. Uma certa companhia aerea, tendo observado que 5% das pessoas que fazem reserva numvoo nao comparecem para embarque, vende 100 bilhetes num aviao com 95 lugares. Quala probabilidade de que exista um lugar disponıvel para qualquer pessoa que efectivamentecompareca para o embarque?

93. A procura diaria para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuicao de Poisson.Sabendo que a procura media diaria e de 3 produtos e que o stock diario e mantido em 6unidades, calcule:

(a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos.

(b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock.

(c) O numero esperado de clientes que ficam por satisfazer.

(d) O novo stock diario, a assegurar de maneira que a probabilidade de ruptura seja nomaximo de 0.004.

(e) Em media quantos produtos sao vendidos por dia, na hipotese:

i. de a loja poder satisfazer todo e qualquer pedido ?

ii. estar limitada ao stock diario de 6 unidades ?

(f) Qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no maximo 3 diascom vendas inferiores a 2 produtos ?

(g) Durante o ano, qual o numero esperado de dias com procura superior a 2 produtos ?

94. A v.a. X segue uma distribuicao Normal de parametros µ = 20 e σ2 = 9. Determine asseguintes probabilidades:

(a) P (X≤ 23);

(b) P (X≤ 40).

(c) P (X< 14).

(d) P (X> 21).


(e) P (X> 17).

(f) P (21.5 <X< 25).

(g) P (16.2 <X< 18.8).

(h) P (17 <X< 29.3).

Determine os valores de a e b tais que:

(i) i. P (X≤ a) = 0.9332;

ii. P (X≤ b) = 0.1788.

(j) i. P (X≥ a) = 0.9989;

ii. P (X> b) = 0.0062.

95. O tempo requerido para executar certa tarefa e uma v.a. com distribuicao Normal commedia 72 min. e desvio padrao 12 min.Calcule a probabilidade de que:

(a) A tarefa leve mais de 93 minutos.

(b) Nao leve mais de 65 minutos.

(c) Leve entre 63 e 78 minutos.

Determine os valores de a e b tais que:

(d) P (X> a) = 0.2514.

(e) P (X< b) = 0.0054.

96. Sabe-se que a v.a. X tem distribuicao Normal com parametros µ = 3 e σ = 2. Calcule:

(a) i. P (X< 4);

ii. P (X< 5);

iii. P (X> 15).

(b) i. P (X< 1);

ii. P (X< −1);

iii. P (X> 2);

iv. P (X> 3).

(c) i. P (4 <X< 5);

ii. P (−1 ≤ X ≤ 2);

iii. P (2 <X< 5).


97. O tempo (em minutos) que um operario leva a executar certa tarefa e uma v.a. com distri-buicao Normal. Sabe-se que a probabilidade de o operario demorar mais de 13 minutos e de0.0668 e a demorar menos de 8 minutos e de 0.1587.

(a) Calcule o tempo medio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio padrao.

(b) Calcule a probabilidade de o operario demorar entre 9 e 12 minutos a executa-la.

98. Calcule a media e o desvio padrao da variavel X ∩N(µ;σ2), sabendo que P (X≥ 3) = 0.8413e P (X≥ 9) = 0.0228.

99. O diametro de um cabo electrico tem distribuicao normal de valor medio (desconhecido) edesvio padrao 0.02.Se considerar defeituoso um cabo cujo diametro difira do valor medio mais de 0.025, qual aprobabilidade de encontrar um cabo defeituoso?

100. Seja X uma v.a. com distribuicao N(4, 32). Calcule o valor medio e o desvio-padrao deY = 2X+7.

101. O conteudo de certo tipo de garrafas e aleatorio e com distribuicao Normal de media 1 edesvio padrao 0.020. Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidadede este ficar com um volume de lıquido superior a 3.1 litros ?

102. Extrai-se uma amostra aleatoria de dimensao 100, de uma populacao da qual se conhece ovalor medio e o desvio padrao, respectivamente 20 e 5.

(a) o que pode dizer acerca da distribuicao de probabilidade da media, X ?

(b) calcule P (X ≥ 20.75).

103. As pontuacoes obtidas com um teste psicotecnico distribuem-se de uma forma aproXimadamenteNormal, sendo a pontuacao media de 50p. e o desvio padrao de 10p.. Qual a probabilidadede, em 20 pessoas submetidas a esse teste, se registarem 5 com pontuacoes inferiores a 41.6pontos ?

104. A distribuicao dos rendimentos familiares de certo bairro de 5000 famılias e satisfatoriamenterepresentada por uma lei Normal de media 180 u.m. e variancia 25 u.m..

(a) Qual o numero esperado de famılias nesse bairro auferindo entre 175 e 188 u.m. ?

(b) Qual a percentagem de famılias ganhando menos de 163 u.m. ?


(c) Qual o rendimento maximo auferido pelo grupo das 500 famılias de menores proveitos?

105. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supoe-se que 40% dessasgarrafas contem realmente uma menor quantidade de lıquido do que o indicado no rotulo.Em 100 garrafas existentes numa loja, qual a probabilidade de:

(a) Haver 30 com menos de 1 litro ?

(b) Haver nao mais de 30 com menos de um litro ?

(c) Haver mais de 45 com menos de 1 litro ?

(d) Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro ?

106. O numero de avarias que uma maquina tem por dia e aleatorio e segue distribuicao de Poissonde media 0.2. Qual a probabilidade de num ano (365 dias), se registarem:

(a) 76 avarias ?

(b) Entre 70 e 75 avarias ?

(c) Mais de 77 avarias ?

(d) No maximo 70 ?

107. O numero de chamadas que chegam num perıodo de 5 minutos a central telefonica de umaempresa e uma variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parametro 10. Calcule aprobabilidade de:

(a) Em 1/2 hora, chegarem:

i. 65 chamadas.

ii. Pelo menos 70 chamadas.

(b) Num dia (8 horas) chegarem:

i. Menos de 900 chamadas.

ii. Entre 900 e 1000 (inclusive) chamadas.

Nota: Considere que a maquina funciona nos 365 dias do ano.

108. Um stand de automoveis possui diversos tipos de peca. Sabe-se que a probabilidade de quealguma peca se esgote durante um mes e igual a 0.25. Determine a probabilidade de:

(a) no fim de um ano se esgotem 2 tipos de pecas.

(b) no fim de um ano nao se esgote qualquer tipo de peca.

(c) em 10 anos, o numero de tipos de pecas que se esgotam variar entre 2 e 6.


109. O gerente de uma oficina mecanica de automoveis sabe que num determinado cruzamentose registam em media 2 acidentes por semana.

(a) Determine a probabilidade de que num mes (4 semanas) se registem pelo menos 5acidentes.

(b) Determine a probabilidade de que num determinado mes ocorra um acidente por se-mana.

(c) O numero de acidentes neste cruzamento foi registado durante um ano (52 semanas).Qual a probabilidade de que se tenham registado entre 97 e 120 acidentes, inclusive?

110. Seja X uma v.a. com distribuicao χ2 com 19 graus de liberdade.

(a) Determine o valor a, tal que P (X< a) = 0.05.

(b) Determine um valor aproximado da P (8.91 <X< 22.72).

111. Seja Y uma v.a. com distribuicao χ2 com 12 graus de liberdade. Determine a e b, por formaa que P (a < Y < b) = 0.95, admitindo que P (Y < a) = P (Y > b).

112. Determine:

(a) χ20.95;4.

(b) χ20.01;26.

(c) χ20.5;13.

(d) χ20.025;9.

113. Seja X uma v.a. com distribuicao t-student com 7 graus de liberdade.

(a) Determine o valor a, tal que P (X> a) = 0.01.

(b) Determine um valor aproximado da P (−1.4 <X< 2.99).

114. Seja X uma v.a. com distribuicao t-student com 10 graus de liberdade. Determine o valora, tal que:

(a) P (X> a) = 0.05.

(b) P (X≤ a) = 0.1.

(c) P (−a <X< a) = 0.98.


115. Determine:

(a) t0.025;18.

(b) t0.95;24.

(c) t0.9;19.

(d) t0.005;1.

116. Seja X uma v.a. com distribuicao F-snedcor com 20 e 30 graus de liberdade. Determine ovalor a, tal que:

(a) P (X> a) = 0.05.

(b) P (X< a) = 0.01.

117. Determine:

(a) F0.05;10,2.

(b) F0.01;20,10.

(c) F0.975;1,20.

(d) F0.95;4,10.

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