Exercices RDM 2

8/15/2019 Exercices RDM 2

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Le principe du travail virtuel (semaine 10)

1. Déplacement virtuel, travail virtuel, forces actives etforces réactives

2. Degrés de liberté et coordonnées généralisées3. Principe du travail virtuel4. Variation d’un terme d’énergie potentielle5. Stabilité de la position d’équilibre

© Alain Hébert, 2003


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MEC2420Semaine 10 2

Le travail virtuel effectué par un ensemble de forces F , F , F et F agissantsur une particule en équilibre statique est donné par

Aperçu

1 2 3 4

δ U = F 1 · δ r + F 2 · δ r + F 3 · δ r + F 4 · δ r =i

F i · δ r

ou est un déplacement virtuel , c’est à dire, undéplacement infinitésimal dans une directionquelconque, cohérente avec les contraintes duproblème .Par la suite, on pose pour tout déplacementvirtuel

On obtient la première loi de Newton:

δ U = 0δ x avec δ y = δ z = 0δ y avec δ x = δ z = 0δ z avec δ x = δ y = 0

=i

F x,i δ x +i

F y,i δ y +i

F z,i δ z

F x = 0 , F y = 0 et F z = 0

δ r


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MEC2420Semaine 10 3

Une force active est capable de faire un travail virtuel (forces P et R )Une force réactive ne fait aucun travail virtuel (forces O et O )

Le travail virtuel est donné par

Le principe du travail virtuel s’écrit pour tout déplacementOn obtient:

qui représente la condition d’équilibre statique du corps rigide (1ère loi).

Forces actives et réactives

x y

δ U = − P a δθ + Rb δθδ U = 0 δθ

P a − Rb = 0


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MEC2420Semaine 10 4

! Système idéal : un ensemble inter-connecté de corps rigides où lesforces internes sont incapables de faire du travail (càd., les forcesinternes sont réactives)

! Coordonnée généralisée : élément d’un ensemble de variablesindépendantes permettant de déterminer complètement la configurationd’un système

! Degrés de liberté : le nombre de coordonnées généralisées requis pourdéterminer complètement la configuration d’un système est le nombre

de degrés de liberté

Définitions

1 degré de liberté 2 degrés de liberté


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MEC2420Semaine 10 5

“Le travail virtuel fait par les forces et couples actifs sur un systèmemécanique idéal en équilibre est nul pour tous et chacun des déplacementsvirtuels cohérents avec les contraintes.”

On écritoù est un indice de variable généralisée.Avantages:

! Il n’est pas nécessaire de démembrer les systèmes non rigides pour

obtenir les équations d’équilibre statique! Il n’est pas nécessaire de prendre en compte les forces réactives.

Désavantages:! Si un système est non idéal, il faut prendre en compte le travail virtuel

fait par les forces internes non réactives" Systèmes comportant des membrures élastiques" Systèmes avec friction

Principe du travail virtuel

δ U = 0 ∀ δ qi avec δ q j = 0 si j ≠ ii = 1 , I

Le principe du travail virtuel devient difficile à appliquer.


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MEC2420Semaine 10 6

Chacune des deux barres possède une masse et une longueur . La barrede droite est sujette à une force active P comme illustré. Calculez la valeurde l’angle correspondant à la position d’équilibre.

Solution: L’expression du travail virtuel s’écritoù

donc:

Exemple 9/1m l

θ

δ U = P δ x + 2 mg δ h

x = 2 l sin θ

2 h = l2

cos θ

2et

δ x = ∂ x

∂θ

δθ = l cos θ

2 δθ et δ h =

∂ h

∂θ δθ = −

l

4 sin

θ

2 δθ


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MEC2420Semaine 10 7

On substitue et dans l’expression du travail virtuel pour obtenir

Le principe du travail virtuel permet d’écrire

Remarque 1: Pour résoudre le même problème avec une approche de DCL, ilaurait fallu démembrer la structure et équilibrer toutes les forces, actives et réactives.Remarque 2: Si x et y sont des variables généralisées, alors

Exemple 9/1 – suiteδ x δ h

P l cos θ

2 δθ − 2mg

l

4 sin

θ

2 δθ = 0

tan θ

2 =

2P mg

ou θ = 2 tan − 1 2P mg

δ [f ( x )] = ∂ f ∂

x

δ x

δ [f ( x, y )] = ∂ f ∂ x

δ x + ∂ f ∂ y

δ y


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MEC2420Semaine 10 8

Une force horizontale P est appliquée àl’extrémité gauche du système de trois barresarticulées illustré. Ces trois barres sontidentiques, de masse et de longueur .Calculez les valeurs d’équilibre des angles ,

et .

Exemple 9/4

mθ 1

θ 2 θ 3

Solution: Le travail virtuel fait par les forces actives est:δ U = P δ x + mg δ h 1 + mg δ h 2 + mg δ h 3

= P δ (sin θ 1 + sin θ 2 + sin θ 3 ) + mg2

δ (cos θ 1 ) + mg δ cos θ 1 + 12

cos θ 2

+ mg δ cos θ 1 + cos θ 2 + 12

cos θ 3

= P (cos θ 1 δθ 1 + cos θ 2 δθ 2 + cos θ 3 δθ 3 ) − 5mg2

sin θ 1 δθ 1 − 3mg2

sin θ 2 δθ 2

− mg2

sin θ 3 δθ 3


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MEC2420Semaine 10 9

Application du principe du travail virtuel(a) Déplacement virtuel de ; On pose

(b) Déplacement virtuel de ; On pose

(c) Déplacement virtuel de ; On pose

Donc:

Exemple 9/4 – suite

θ 1

θ 2

θ 3

δθ 2 = δθ 3 = 0

δθ 1 = δθ 3 = 0

δθ 1 = δθ 2 = 0

δ U = P cos θ 1 δθ 1 − 5mg2

sin θ 1 δθ 1 = 0

δ U = P cos θ 2 δθ 2 − 3mg

2 sin θ 2 δθ 2 = 0

δ U = P cos θ 3 δθ 3 − mg

2 sin θ 3 δθ 3 = 0

θ 1 = tan − 1 2P 5mg θ 2 = tan − 1 2P

3mg θ 3 = tan − 1 2P

mget,


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MEC2420Semaine 10 10

La hauteur du cric est contrôlée par un cylindre hydraulique qui permetd’ajuster la position horizontale de A. Déterminez la force de compressiondans la tige du piston qui permettra de soulever une charge P lorsque lahauteur est égale à h.

Problème 9/4


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L’assemblage est composé de n sections identiques, chacune comportantdeux barres identiques de masse m. Déterminez la force horizontale P requise pour maintenir l’assemblage en position d’équilibre à un angle .Est-ce que P dépends du nombre n de sections?

Problème 9/5

θ


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Exprimez la force de compression C du cylindre hydraulique en fonction del’angle . La masse du mécanisme de levage est négligeable par rapport à lamasse m du véhicule.

Problème 9/12

θ


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Un mécanisme de levage est fixé à l’arrière d’un camion, comme illustré. Laposition de la plate-forme est contrôlée par un cylindre hydraulique quiapplique une force au point C . Les membrures sont fixées au camion pardes pivots libres aux points A, B et F . Déterminez la force P transmise par lecylindre afin de maintenir la plate-forme dans la position illustrée. La massede la plate-forme et des membrures peut-être négligée par rapport à lamasse de la caisse de 250 kg dont le centre de masse est en G .

Problème 9/14


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Le système comporte un câble rigide demasse nulle et fixé au point A. Le câble estsoumis à trois forces, appliquées auxpoints B et C , selon les directionsillustrées. En utilisant le principe du travailvirtuel, calculez les distances a et b enposition d’équilibre.Suggestion : utiliser a et b commevariables généralisées.

Problème 9/17


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Le travail fait sur une membrure élastique eststockée dans la membrure sous forme d’énergiepotentielle élastique V . Si F est la force de

compression, on a:

où x est l’élongation ou la compression duressort.

La variation en énergie potentielle élastiquerésultant d’un déplacement virtuel est

Énergie potentielle élastique

e

V e = x

0F dx =

x

0kx dx =

1

2kx 2

δ V e =∂ V e

∂ xδ x = kx δ x

δ x


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L’énergie potentielle gravitationnelle V d’uncorps est le travail fait sur le corps par uneforce opposée au poids du corps pouratteindre une position située à une hauteur h par rapport à un plan de référence.

La variation en énergie potentiellegravitationnelle résultant d’un déplacement

virtuel est

Énergie potentielle gravitationnelle

g

V g = mgh

δ h

δ V g = ∂ V g

∂ h δ h = mg δ h


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“Le travail virtuel fait par les forces et couples actifs (autres que ceux prisesen compte par les termes d’énergie potentielle) sur un système mécaniqueidéal en équilibre égale la variation correspondante en énergie potentielleélastique et gravitationnelle pour tous et chacun des déplacements virtuelscohérents avec les contraintes.”

On écritoù est un indice de variable généralisée.

Principe du travail virtuel

δ U − (δ V e + δ V g ) = 0 ∀ δ qi avec δ q j = 0 si j ≠ ii = 1 , I

δ U travail virtuel fait par les forces et couples actifs (autres queceux prises en compte par les termes d’énergie potentielle)


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Les deux membrures, chacune de masse m, se déplacent dans le planvertical comme illustré. Une force horizontale P cause l’écartement desmembrures. À mesure que l’angle entre les membrures augmente, la tigelégère AB compresse un ressort de constante k . Si le ressort est non-compressé en position , déterminez la force P d’équilibre pour unangle donné.

Exemple 9/6

θ

θ = 0θ


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Solution: Les termes d’énergie potentielle élastique et gravitationnelle sontdonnés par

Le travail virtuel fait par P est

Le principe du travail virtuel s’écrit

Donc:


V e = 1

2k 2b sin

θ

2

2

= 2 kb2 sin2 θ

2

V g = 2mg − b cos θ

2

δ U = P δ 4b sin θ

2 = P

∂

∂θ4b sin

θ

2δθ = 2P b cos

θ

2 δθ

δ U − (δ V e + δ V g ) = 2 P b cos θ

2 δθ − δ 2kb2

sin2 θ

2 − 2mgb cos θ

2

= 2P b cos θ

2 − ∂

∂θ2kb2 sin2

θ

2 − 2mgb cos

θ

2 δθ

= 2P b cos θ

2 − 2kb2 sin

θ

2 cos

θ

2 + mgb sin

θ

2 δθ

= 0 .

P = kb sin θ

2 +

12

mg tan θ

2

et


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Le ressort du système illustré est non-étiré lorsque . Calculez laconstante k du ressort qui permettra l’équilibre du système en positiondans le plan vertical. Les masses des membrures sont négligeablescomparées à m.

Problème 9/22 θ = 0

θ

blè 9/23


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Déterminez la valeur d’équilibre de x pour le système ressort–barre illustré.Le ressort est caractérisé par une constante k et est non-étiré lorsque x = 0.La force F agit dans la direction de la barre, et la masse de la barre estnégligeable.

Problème 9/23

P blè 9/27


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Le mécanisme illustré comporte un ressort de constante k dont la longueurau repos est nulle et deux membrures dont la plus longue, de masse m, ason centre de masse en B. La masse de la petite membrure est négligeable.Déterminez la valeur d’équilibre de pour une valeur donnée de la forceverticale P .

Problème 9/27

θ


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P blè 9/41


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Simuler la poutre illustrée qui comporte trois membrures de longueurségales et reliées aux points A, B et C par des articulations élastiques deconstante K dans le plan horizontal. Déterminez la déflection y de l’extrémitédroite de la poutre, pour de faibles rotations des membrures, lorsqu’unecharge P y est appliquée.

Problème 9/41

Problème 9/42


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Une barre de longueur a+b de masse négligeable repose sur deux ressorts,comme illustré. Une masse M est supportée par la barre, à une distance a duressort gauche. En supposant que la friction est suffisante pour empêcher lamasse de glisser, déterminez les valeurs d’équilibre de et de . Laconstante de ressort est égale à k et la longueur au repos de chaque ressortest égale à H .

Problème 9/42

h 1 h 2

a b

h 1

M

h 2

Problème 9/43


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MEC2420Semaine 10

Problème 9/43Le système illustré comporte deuxmembrures reliées par une articulation, ellemême fixée au plafond. La membrure de

gauche est deux fois plus longue et deuxfois plus massive que celle de droite. Lesmembrures sont reliées par un ressorttorsionnel de masse nulle et de constanteK , dont la position au repos correspond à lasituation où les deux membrures sont àangle droit. En utilisant le principe dutravail virtuel, calculez

26

θ 1

θ 2

les valeurs à l’équilibre des angles et dans la situation où la cons-tante K du ressort est infinie (i.e., le ressort est totalement rigide)

les valeurs à l’équilibre des angles et dans la situation où K = 300N/radian. La masse de la membrure de gauche est de 2 kg et sa longueurest de 6 m. Suggestion : On supposera que la constante du ressort estsuffisamment élevée pour permettre la linéarisation des fonctionstrigonométriques autour de la position calculée en (a).

(a)

(b) θ 1

θ 2

Stabilité de la position d’équilibre


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Considérons le cas d’un système mécanique dont! le mouvement s’accompagne de variations d’énergies potentielles

gravitationnelle et élastique! aucun travail n’est accompli par des forces non-potentielles

Le principe du travail virtuel s’écrit:

La seconde dérivée donne une indication de la stabilité du système. Pour unsystème à un degré de liberté:

Stabilité de la position d équilibre

δ (V g + V e ) = δ V = 0 ou ∂ V

∂ q i = 0 ; i = 1 , I

d 2 V

dq 21> 0 syst`eme stable;

d 2 V

dq 21< 0 syst`eme instable .

Exemple 9/7


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Les extrémités d’une barre de masse m sontcontraintes à circuler dans des guides verticauxet horizontaux. Examinez les conditions destabilité des positions d’équilibre. Le ressort, deconstante k , est non-étiré lorsque x = 0.

Solution: Le terme d’énergie potentielle est égal à

Donc:

Les conditions d’équilibre s’écrivent

Exemple 9/7

x

θ

b

k x

y

x

θ

b

k x

y

V = V e + V g = 1

2kb2 sin2 θ +

1

2mgb cos θ

dV dθ

= kb2 sin θ cos θ − 12

mgb sin θ = kb2 cos θ − 12

mgb sin θ = 0

sin θ = 0 et cos θ = mg2 kb



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Solution 1 ( ):

Solution 2 ( ):

car


sin θ = 0

d2 V dθ 2

= kb2 (2 − 1) −12

mgb = kb2 1 − mg2 kb

= positif (stable) si k > mg/ 2b= négatif (instable) si k < mg/ 2 b

cos θ = mg2 kb

d2 V dθ 2

= kb2 2mg2 kb

2− 1 −

12

mgbmg2 kb

= kb2 mg2 kb

2 − 1 < 0 instablek > mg/ 2b

d2 V dθ 2

= kb2 (2 cos 2 θ − 1) −12

mgb cos θ

Problème 9/19


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L’énergie potentielle d’un système mécanique est donnée par la relation

où x est une coordonnée généralisée permettant de définir la configurationde ce système à un degré de liberté. Déterminez les valeurs d’équilibre de x et la condition de stabilité de chaque valeur.

Problème 9/19

V = 6 x 4 − 3 x 2 + 5

Problème 9/30


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La barre uniforme AB possède une masse m et son extrémité gauche A estlibre de circuler dans une fente horizontale. L’extrémité B est attachée à unetige verticale qui compresse un ressort lorsque le point B se déplace vers lebas. Le ressort est non-compressé en position . Déterminez l’angled’équilibre (autre que la position non physique ), et trouvez laconstante du ressort qui assurera la stabilité.

Problème 9/30

θ = 0θ = 90 ◦θ

Problème 9/31


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Un système de retenue pour lampe en forme de parallélogramme estreprésenté dans le plan vertical. Si la longueur de repos du ressort est b /2,déterminez la constante de ressort k correspondant à une valeur d’équilibre

pour . La masse de la lampe et de sa plaque triangulaire est m. Vérifiez lastabilité de la position d’équilibre pour les valeurs de comprises entre

Problème 9/31

θ = 2 sin − 1 (1 / 4) 29 ◦ à θ = 180 ◦θ

θ

Problème 9/35


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Déterminez les valeurs d’équilibre de et la condition de stabilitécorrespondante pour la roue asymétrique reposant sur un plan incliné de10 . La friction statique est suffisante pour empêcher la roue de glisser. Le

centre de masse est situé au point G .

Problème 9/35

o

θ

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