OPTICS II Section de Physique Cours: Pr. Romuald Houdré Exercices: Nicolas Descharmes

Série 5 - corrigé Rayonnement du corps noir, photométrie

19 mars 2012

Exercice 1 – Cryostat à Hélium

a) On a affaire à un transfert thermique uniquement de type radiatif du fait du vide entre les deux enceintes.

b) Le rayonnement extérieur fournit de la chaleur à l’hélium qui par conséquent s’évapore par le tube. Sans ce tube la pression augmenterait au cour du temps. Le bilan énergétique s’écrit :

Chaleur fournie à l’hélium pendant dt : δQ/dt = σTamb4(4πR2

2)-σTHe4(4πR1

2)

La chaleur latente d’évaporation correspond à la quantité d’énergie nécessaire pour évaporer une mole d’hélium. La masse d’hélium évaporée pendant τ = 1 h est donc :

mHe = (MHe/L)δQ = (4πσMHe/L)(Tamb4R2

2-THe4R1

2)τ

δQ = 4π*5.67.10-8*((293)4(6.10-2)2-(4.2)4(3.10-2)2) ≈ 18.9 W

mHe = 18.9*(4/82)*3600 ≈ 3.3 kg

c) La chaleur fournie à l’hélium pendant dt devient : δQ/dt=σTN24(4πR2)-σTHe

4(4πR12)

En prenant R ≈ R1 qui est l’optimum pour évaporer le moins d’hélium, on obtient : δQ/dt ≈ σ(TN2

4-THe4)(4πR1

2) ≈ 0.022 W

D’où pendant 1h : mHe = 4 g

La chaleur reçue par l’azote liquide est δQ/dt ≈ 18.88 W. La chaleur latente de vaporisation de l’azote est 198.4 J/g, i.e. environ 10 fois plus grande que celle de l’hélium (82/4=20.5 J/g). La masse évaporée est donc 10 fois plus petite. Par ailleurs le prix de l’azote liquide (environ 5 centimes d’euro par litre) est environ 100 fois moins cher que celui de l’hélium liquide. On comprend ainsi l’intérêt d’utiliser le réservoir d’azote intermédiaire.

Exercice 2 – Couplage dans une fibre optique

1. Schéma

Ouverture numérique et étendue optique en sortie d'une fibre optique.

Pour qu’il puisse y avoir guidage optique, il est nécessaire que n2, indice du cœur, soit supérieur à n1, indice de la gaine. Il existe alors un angle θc avec l’axe optique en dessous duquel tout rayon incident sur le cœur de la fibre sera guidé par réflexion totale interne. On définit l’ouverture

2

numérique (NA) d’une fibre comme étant NA = n.sin θc où n est l’indice de réfraction du milieu dans lequel se trouve la facette de la fibre, généralement l’air.

2. Etendue optique de la fibre

€

Ufibre = πS fibre sin2θ =Ω fibre =

π2d2

4NA2

3. Dans le meilleur des cas l'optique de couplage de la fibre permettra de coupler l'intensité du corps noir émise dans la même étendue optique que l'étendue optique de la fibre établie à la question précédente.

4. Pour une plage spectrale allant de λ1 à λ2, la puissance maximale couplée dans la fibre est alors :

€

Pmax = LdU∫ =Ufibre Lλ(T)λ1

λ2

∫

5. La source émet comme un corps noir qui est un émetteur Lambertien :

€

L =Mπ

=σT 4

π et :

€

Pmax =UfibreσT 4

π

u3

eu −1du

u1

u2

∫

u3

eu −1du

0

∞

∫=152π3

σd2NA2T 4 u3

eu −1du

u1

u2

∫ avec

€

u =hcλkBT

6. Application numérique : NA = 0.22, d= 100 µm, T = 5000 K, gamme spectrale = 800-1100 nm.

En calculant numériquement l'intégrale :

€

x 3

ex −12.55

3.5

∫ dx =1.33, on trouve : Pmax = 565 µW.

Exercice 3 – Densité d’états 1D, 2D et 3D d’un milieu uniforme.

a) Pour un l’électron on peut relier l’énergie E au vecteur d’onde par:

€

E = ω =p2

2m+V =

2k 2

2m+V

On en déduit la relation de dispersion

€

2m ω −V( )2

= k 2 qui s’écrit encore

€

ω =2m

k 2 +V

b) Pour l’onde électromagnétique on a

€

ω =cn

k avec n l’indice du milieu et c la vitesse de

la lumière dans le vide. Pour s’affranchir de la valeur absolue on peut réécrire:

€

ω 2 =cn⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

k 2

c) La densité d’état

€

ρ0(ν) est le nombre de modes par unité de fréquence et par unité de volume. Pour la calculer il suffit de compter tous les états propres dans le milieu uniforme.

d) 3D signifie ici que la particule est libre de se propager dans les 3 directions de l’espace.

2D signifie ici que la particule est libre de se propager dans seulement 2 directions de l’espace: il y a 2 degrés de liberté, x et y (par exemple) dans l’espace réel, et donc kx et ky

3

dans l’espace réciproque (encore appelé l’espace des k). Cela correspond par exemple à un puits quantique pour l’électron (il peut se propager dans le plan du puits) ou à une cavité Fabry-Perot dans le cas du photon.

1D signifie ici que la particule est libre de se propager dans seulement 1 directions de l’espace: il y a 1 seul degré de liberté. Cela correspond par exemple à un fil quantique pour l’électron (il peut se propager le long du fil) ou à une fibre optique dans le cas du photon.

0D signifie ici que la particule ne se propage pas: elle est confinée dans les trois directions de l’espace. Cela correspond par exemple à une boîte quantique pour l’électron ou à une micro cavité sphérique dans le cas du photon.

Cas 3D: soit un cube de dimensions Lx, Ly, Lz (très grandes). Les fréquences spatiales de

modes sont

€

ki =2niπLi

, ni =1,2,...

un état occupe un volume

€

π 3

LxLyLz dans l’espace réciproque.

Quand on passe de k à k+dk le volume de l’espace réciproque s’accroît de

€

dV = d 43πk 3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 4πk 2dk .

Le nombre d’états permis par unité de volume est donc:

€

dnLxLyLz

=

12⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 3

4πk 2dk

π 3

LxLyLzLxLyLz

=k 2

π 2 dk

comme

€

2m ω −V( )2

= k 2 on en déduit:

€

ρ3D

ω (ω) =m3 / 2

2π 23 / 2ω

Cas 2D:

€

dnLxLy

=

12⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

2πkdk

π 3

LxLyLxLy

=kπdk et donc:

€

ρ2Dω (ω) =

m2π

Cas 1D:

€

dnLx

=1πdk et donc:

€

ρ1Dω (ω) =

1π

m2π

1ω

e) La seule chose qui change est la relation de dispersion

€

ω 2 =cn⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

k 2 . On obtient (en

prenant en compte les deux polarizations de la lumière):

€

ρ3Dν (ν ) =

8πν 2

c 3,

4

€

ρ2Dν (ν ) =

4πνc 2

€

ρ1Dν (ν ) =

4c

€

ρ0Dν (ν ) = δ ν( )

Remarque importante: on a utilisé les notations

€

ρν (ν) et

€

ρω (ω) pour bien faire la distinction entre un nombre d’états

€

N par unité de féquence et un nombre d’états

€

N par unité de fréquence angulaire . En effet

€

dN = ρν (ν)dν = ρω (ω)dω et comme

€

dν = dω / 2π( ) on a

€

ρν (ν) = 2π × ρω (ω) .

f) Quand il y a plusieurs niveaux confinés il faut considéré la somme sur tous les niveaux. Par exemple dans le cas de l’électrons 1D on obtient:

€

ρ1Dω (ω) =

1π

m2π

1ω −ω ii

∑ ,ω >ω i avec

€

ω i les énergies confinées dans le fil

quantique.

Et dans le cas du photon 1D:

€

ρ1Dν (ν ) =

4νc ν 2 −ν i

2i∑ ,ν > ν i avec

€

ν i les fréquences de coupure du guide d’onde.

Les courbes sont alors:

g) Soit dN le nombre de modes qui sont contenus entre ω et ω+dω ou bien entre k et k+dk.

Par définition, on a :

€

ρ0ω (ω) =

1Ld

dNdω

ou bien

€

ρ0k (k) =

1Ld

dNdk

, par ailleurs il est plus commode de considérer le

module de k ou k2 et de définir

€

ρ0k 2 (k 2) =

1Ld

dNd k 2

.

ρ3D ρ2D ρ1D ρ0

D

ρ3D ρ2D ρ1D ρ0

D

E E E E

E E E E

Electron

Photon

5

On a également

€

ρ0k 2 (k 2) =

12π /L( )d

∫ δ k 2(ω) − k '2( )dk' qui exprime juste le fait de

compter les modes, chacun avec un poids (2π/L)d. En éliminant dN entre les expression de

€

ρ0ω (ω) et

€

ρ0k 2 (k 2), on obtient directement:

€

ρ0

ω (ω) =dk 2(ω)

dωd k '

(2π )d δ k 2(ω) − k'2[ ]∫

h) Pour les états propres d'un l’électron libre,

€

E = ω =2k 2

2m et

€

dk 2(ω)dω

=2m

Pour l’onde électromagnétique,

€

k =ωc n

et

€

dk 2(ω)dω

=2ωc /n( )2

i) Il faut évaluer

€

d k '

2π( )d∫ δ k 2(ω) − k'2[ ]

En 1D on obtient:

€

dk '2π( )

δ k 2(ω) − k'2[ ]−∞

+∞

∫ = 2 dk'2

2π( )dk'dk'2

δ k 2(ω) − k'2[ ]0

+∞

∫ =dk '2

2π( )1k 'δ k 2(ω) − k '2[ ]

0

+∞

∫

En utilisant

€

f (x)δ x − a[ ]dx =−∞

+∞

∫ f (a): on a

€

dk '2

2π( )δ k 2(ω) − k'2[ ]

0

+∞

∫ =1

2πk(ω)

En 2D on obtient en utilisant le passage en coordonnées cylindriques:

€

dkx 'dky '2π( )2

δ k 2(ω) − k'2[ ]−∞

+∞

∫ = 2π k 'dk'2π( )2

δ k 2(ω) − k'2[ ]0

+∞

∫ =dk '2

4π( )δ k 2(ω) − k'2[ ]

0

+∞

∫

en utilisant

€

f (x)δ x − a[ ]dx =−∞

+∞

∫ f (a) on a:

€

dk '2

4π( )δ k 2(ω) − k'2[ ]

0

+∞

∫ =14π

en 3D on obtient en utilisant le passage en coordonnées sphériques:

€

dkx 'dky 'dkz '2π( )3

δ k 2(ω) − k'2[ ]−∞

+∞

∫ =2πk'dk '2

2π( )3δ k 2(ω) − k '2[ ]

0

+∞

∫

en utilisant

€

f (x)δ x − a[ ]dx =−∞

+∞

∫ f (a) on a:

€

dkx 'dky 'dkz '2π( )3

δ k 2(ω) − k'2[ ]−∞

+∞

∫ =k(ω)4π 2

En utilisant la relation de dispersion

€

2m ω −V( )2

= k 2 et en fixant le potentiel V à 0, on

obtient:

€

ρ0

ω (ω) =

m3 / 2

2π 23 / 2ω 3D

m2π

2D

1π

m2π

1ω

1D

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

6

j) On utilise les résultats de la question précédente pour le calcul de

€

d k '

2π( )d∫ δ k 2(ω) − k'2[ ]

ainsi que ceux de la question e) pour une onde électromagnétique. On obtient avec la relation de dispersion adéquate:

€

ρ0

ω (ω) =

ω 2

2π 2(c /n)33D

ω2π (c /n)2

2D

1π (c /n)

1D

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

Remarque: ici on a considéré qu’une seule polarization, et par ailleurs

€

ρν (ν) = 2π × ρω (ω) (c.f.

€

dν = dω / 2π( ) et

€

ρν (ν)dν = ρω (ω)dω )