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Estadística para Ingeniería 2 (CE55), ciclo 2013-1
Item Type info:eu-repo/semantics/learningObject
Authors Huamán, Enit; Tarazona, Enver
Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Rights info:eu-repo/semantics/closedAccess
Download date 21/07/2022 05:07:14
Link to Item http://hdl.handle.net/10757/292963
1
Estudios Profesionales para Ejecutivos - EPE
CURSO : Estadística para Ingeniería 2 ÁREA : Ciencias TIPO DE MATERIAL : Separata del curso
AUTORES : Enit Huamán Cotrina
Enver Tarazona
COORDINADOR DEL : Enit Huamán Cotrina CURSO CICLO : 2013-1 VERSIÓN : 01
Copyright : Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas - UPC
2
Capítulo 1
Muestreo y distribuciones muestrales
1.1 Introducción
En este capítulo se indicara como usar el muestreo aleatorio simple para seleccionar una
muestra a partir de una población y como se pueden emplear los datos obtenidos para
calcular las estimaciones puntuales para una media, variancia y proporción
poblacionales. Se describe el concepto de distribución muestral, el teorema del límite
central y los diferentes métodos de muestreo probabilísticos y no probabilísticos.
1.2 Muestreo aleatorio simple
Existen diferentes métodos para seleccionar una muestra a partir de una población; uno
de los más comunes es el muestreo aleatorio simple. La definición de este método y el
proceso de selección de la muestra dependen de si la población es finita o infinita.
Muestreo para poblaciones finitas
Una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población finita de tamaño N , es una
muestra seleccionada de tal manera que cada muestra posible de tamaño n tenga la
misma probabilidad de ser seleccionada.
Para seleccionar una muestra aleatoria simple de una población finita es necesario
enumerar los elementos de la población. Los elementos se eligen usando números
aleatorios generados a partir de una tabla o computadora hasta completar el tamaño de
muestra requerido.
Al elegir una muestra aleatoria simple es posible que se repitan algunos de los números
aleatorios generados. Si se decide elegir solamente una vez cada elemento en la
muestra, todos los números aleatorios ya utilizados no se vuelven a tomar en cuenta. La
selección de la muestra en esta forma se conoce como muestreo sin reemplazo. Si se
decide seleccionar los elementos de la muestra incluyéndolos más de una vez se
realizaría un muestreo con reemplazo. El muestreo con reemplazo es una forma válida
de identificar una muestra aleatoria simple. Sin embargo lo que se usa con mayor
frecuencia es el muestreo sin reemplazo. Cuando se mencione muestreo aleatorio simple
se asumirá que el muestreo se hizo sin reemplazo.
3
Muestreo para poblaciones infinitas
Si la población es infinita no es posible usar un procedimiento de selección con
números aleatorios por que es imposible hacer una lista de sus elementos. En este caso
se debe determinar un procedimiento de selección para seleccionar los elementos en
forma independiente y evitar que algunos elementos tengan mayores probabilidades de
ser elegidos.
Una muestra aleatoria simple de una población infinita es aquella que se selecciona de
tal forma que se satisfacen las siguientes condiciones:
Cada elemento seleccionado proviene de la misma población.
Cada elemento se selecciona en forma independiente.
1.3 Estimación puntual
Para estimar el valor de un parámetro poblacional se utiliza una característica
correspondiente en la muestra que se denomina estadístico.
Ejemplo 6.1: Los ingenieros A y B desean evaluar cierta marca de dispositivos
electrónicos por lo que seleccionaron, de forma separada, muestras aleatorias simples de
100 dispositivos electrónicos. La duración (en horas) de los dispositivos seleccionados
se muestra en la hoja Dispositivos.
Suponga que los ingenieros desean estimar la duración promedio de todos los
dispositivos electrónicos de esta marca (media poblacional ), una medida de
dispersión para la duración de estos dispositivos (por ejemplo la variancia poblacional 2 ) y la proporción de dispositivos electrónicos con una duración menor a las 25 horas
(proporción poblacional p ). En este caso deben utilizar los estadísticos: x la media
muestral, 2s la variancia muestral y p la proporción muestral, respectivamente. Los
resultados obtenidos por el ingeniero A son:
Duración A
Media 39.7 Varianza de la muestra 73.1941414
Proporción 0.04
Tamaño de muestra 100
Los valores numéricos obtenidos para x , 2s y p se les llama estimaciones puntuales
de los parámetros. Es de esperar que ninguna de las estimaciones puntuales sea
exactamente igual al parámetro correspondiente. El valor absoluto de la diferencia entre
una estimación puntual insesgada y el parámetro poblacional correspondiente se llama
error de muestreo.
4
Ejemplo 6.2: Para la media, varianza y proporción muestral los errores de muestreo
son x , 2 2s y p p , respectivamente.
1.4 Introducción a las distribuciones muestrales
Ejemplo 6.3: Las estimaciones puntuales obtenidas por el ingeniero B son:
Duración B
Media 37.05 Varianza de la muestra 62.085443
Proporción 0.075
Tamaño de muestra 100
Estos resultados indican que se han obtenido diferentes valores para las estimaciones
puntuales utilizando los datos obtenidos por el ingeniero B. Suponga que se lleva a cabo
el mismo proceso de selección de una nueva muestra aleatoria simple de 100
dispositivos electrónicos, una y otra vez, calculando en cada ocasión las estimaciones
puntuales de la media, varianza y proporción. De este modo se puede empezar a
identificar la variedad de valores que pueden tener estas estimaciones.
En el curso anterior se definió una variable aleatoria como una descripción numérica del
resultado de un experimento. Si se considera que un experimento es el proceso de elegir
una muestra aleatoria simple, la media muestral x es la descripción numérica del
resultado del experimento. En consecuencia x es una variable aleatoria y por lo tanto
tiene valor esperado, variancia y una distribución de probabilidad. A la distribución de
x se le conoce como distribución muestral de la media. El conocimiento de esta
distribución muestral y de sus propiedades permitirá realizar afirmaciones
probabilísticas acerca de lo cercano que se encuentre la media muestral de la media
poblacional.
1.5 Distribución muestral de la media
El objetivo de esta sección es describir las propiedades de la distribución muestral de la
media incluyendo el valor esperado, desviación estándar y la forma de su distribución.
Tal como se menciono, el conocimiento de la distribución muestral de x permitirá
hacer afirmaciones probabilísticas acerca del error de muestreo incurrido cuando se
utiliza x para estimar .
Valor esperado:
Desviación estándar:
Población finita Población infinita
1
N n
Nn
n
El factor 1
N n
N
se conoce como factor de corrección para población finita.
5
Teorema central del límite
Cuando se desconoce la distribución de la población se utiliza uno de los teoremas más
importantes de la estadística: el teorema del límite central. La distribución muestral del
a media se puede aproximar mediante una distribución de probabilidad normal siempre
que el tamaño de muestra sea grande. Se puede suponer que la condición de muestra
grande se cumple para muestras aleatorias simples de por lo menos 30 elementos. Sin
embargo, si la población tiene distribución normal, la distribución muestral de x tiene
una distribución de probabilidad normal para cualquier tamaño de muestra.
En resumen, si se utiliza una muestra aleatoria simple grande, 30n , el teorema del
límite central permite considerar que la distribución muestral de x se puede aproximar
con una distribución de probabilidad normal. Cuando la muestra aleatoria simple es
pequeña, 30n , solo se puede considerar que la distribución muestral de la media es
normal si se supone que la población tiene una distribución de probabilidad normal.
1.6 Distribución muestral de la proporción
Para determinar lo cercano que esta la proporción muestral p de la proporción
poblacional p es necesario comprender las propiedades de la distribución muestral de
la proporción p , se valor esperado, desviación estándar y la forma de su distribución.
Valor esperado: p
Desviación estándar:
Población finita Población infinita
1
1
p p N n
n N
1p p
n
Como en el caso de x se observa que la diferencia entre las ecuaciones para
poblaciones finitas e infinitas se hace despreciable si el tamaño de la población finita es
grande con respecto al tamaño de muestra por lo que se sigue la misma regla general
mencionada para la media muestral en la sección anterior.
Para conocer la forma de la distribución muestral de la proporción se debe aplicar el
teorema del límite central para aproximar la distribución muestral con una distribución
de probabilidad normal, siempre que el tamaño de muestra sea grande. En el caso de p
se puede considerar que el tamaño de la muestra es grande cuando 50n .
1.7 Otros métodos de muestreo
Se ha descrito el procedimiento para el muestreo aleatorio simple y las propiedades de
las distribuciones muestrales de x y p cuando se usa ese muestreo. Sin embargo, el
muestreo aleatorio simple no es el único método de muestreo con el que se cuenta.
Existen otras alternativas que en algunos casos presentan ventajas sobre éste.
6
Muestreo aleatorio estratificado
En este tipo de muestreo primero se divide a los elementos de la población en grupos
llamados estratos, de tal manera que cada elemento de la población pertenece a uno y
solo un estrato. La base de formación de los estratos, por ejemplo, género, nivel socio
económico, grado de instrucción, etc., queda a discreción de quien diseña la muestra.
Sin embargo los mejores resultados se obtienen cuando los elementos de cada estrato
son tan semejantes como sea posible. Después de formar los estratos se toma una
muestra aleatoria simple de cada uno de ellos.
Muestreo por conglomerados
En este tipo de muestreo se divide primero a los elementos de la población en conjuntos
separados llamados conglomerados. Cada elemento de la población pertenece a uno y
solo a un grupo. A continuación se toma una muestra aleatoria simple de los
conglomerados. Todos los elementos dentro de cada conglomerado muestreado forma la
muestra. El muestreo por conglomerados tiende a proporcionar los mejores resultados
cuando sus elementos son heterogéneos o diferentes. Una de las principales aplicaciones
del muestreo por conglomerados es el muestre por áreas, en el que los conglomerados
son las manzanas de un distrito u otras áreas bien definidas.
Muestreo sistemático
En algunos casos, en especial cuando es hay grandes poblaciones, puede ser difícil la
elección de una muestra aleatoria simple cuando se determina primero un número
aleatorio y después se busca en la lista de elementos de la población hasta encontrar el
elemento correspondiente. Una alternativa al muestreo aleatorio simple es el muestreo
sistemático.
Suponga que se desea elegir una muestra de tamaño 50 de una población con 5000
elementos, se podría muestrear un elemento de cada 5000 50 100 en la población.
Una muestra sistemática en este caso implica seleccionar al azar uno de los primeros
100 elementos de la lista de la población. Se identifican los demás elementos de la
muestra comenzando por el primero obtenido al azar y a continuación seleccionando
cada 100º elemento. Como que el primer elemento se seleccionó de manera aleatoria,
generalmente se asume que un muestreo sistemático tiene las propiedades de una
muestra aleatoria simple.
Muestreo por conveniencia
Los métodos de muestreo que se han descrito se llaman técnicas de muestreo
probabilístico. Los elementos seleccionados de la población tienen una probabilidad
conocida de ser incluidos en la muestra. La ventaja del muestreo probabilístico es que la
distribución del estadístico se puede identificar. Se pueden usar fórmulas para
determinar las propiedades de la distribución muestral que pueden ser usadas para
7
establecer afirmaciones probabilísticas acerca de posibles errores de muestreo asociados
con los resultados de la muestra.
El muestreo por conveniencia es una técnica de muestreo no probabilístico. Como su
nombre lo indica, la muestra se identifica principalmente por conveniencia. Se
incorporan elementos en la muestra sin probabilidades preestablecidas o conocidas de
selección. Un profesor que lleva a cabo una investigación universitaria puede usar
alumnos voluntarios para formar una muestra, tan solo porque dispone fácilmente de
ellos y participan como elementos a un costo pequeño o nulo.
Muestreo por juicio
Otra técnica de muestreo no probabilístico es el muestreo por juicio. En este método la
persona más capaz en el tema del estudio selecciona a los elementos de la población que
se siente son los más representativos de esa población. Con frecuencia, este método es
una manera relativamente fácil de seleccionar una muestra. Un reportero puede
muestrear a dos o tres congresistas si considera que ellos reflejan la opinión general de
todos los demás congresistas. Sin embargo la calidad de los datos muestrales depende
del juicio de la persona que eligió la muestra.
8
Capítulo 2
Estimación por intervalos
2.1 Introducción
Una estimación por intervalo de un parámetro poblacional se construye al restar y
sumar un valor, denominado margen de error, a una estimación puntual. Todas las
estimaciones por intervalo que se desarrollan en este capítulo serán de la forma:
Estimación puntual ± Margen de error
La inclusión del margen de error proporciona la información de precisión acerca de la
estimación. Las distribuciones muestrales de x y p que se presentaron en el capítulo
anterior son importantes en la obtención de la estimación respectiva por intervalo para
la media y proporción poblacionales.
2.2 Error muestral
En general, la diferencia en valor absoluto de entre un estimador puntual insesgado y el
parámetro al cual estima se conoce como error de muestreo. Para el caso de la media
muestral x que estima a y la proporción muestral p que estima a p , los errores de
muestreo se definen como:
Error de muestreo = x
Error de muestreo = p p
En la práctica no se puede determinar el valor del error muestral por que no se conoce
exactamente el valor del parámetro poblacional. Sin embargo, la distribución de
muestreo del estadístico se puede usar para hacer declaraciones de probabilidad acerca
de este error.
2.3 Nivel de confianza
El nivel de confianza es la probabilidad a priori de que el intervalo a calcular contenga
al verdadero valor del parámetro. Si un procedimiento de estimación por intervalos es
tal que en el 95% de los intervalos construidos se encuentra el parámetro poblacional, se
dice que la estimación por intervalo está determinada con un 95% de confianza. El nivel
de confianza expresado como un valor decimal recibe el nombre de coeficiente de
confianza.
9
2.4 Estimación por intervalo de una media
poblacional
Caso 1: Variancia poblacional conocida
El procedimiento para estimar por intervalo una media poblacional suponiendo que la
población tiene distribución normal y que se conoce la variancia poblacional 2 es:
Población infinita
1 2 1 2x z x zn n
( ) ( )
√
Población finita
1 2 1 21 1
N n N nx z x z
N Nn n
( ) ( )
√ √
donde x es la media muestral, 1 es el coeficiente de confianza, la desviación
estándar poblacional, n el tamaño de muestra, N el tamaño de la población y 1 2z es
el valor de distribución normal estándar que deja una probabilidad acumulada de
1 2 .
Ejemplo 2.1: Un proceso de producción es implementado de tal forma que el tiempo
de producción por artículo es una variable aleatoria con desviación estándar 1.41
minutos. Suponga que se decide hacer algunos cambios de modo que el tiempo medio
de producción disminuya; la variancia sin embargo, se sabe que permanecerá constante.
Hechos los cambios, se toma una muestra aleatoria de 20 artículos y se registran sus
tiempos de producción con los cuales se obtiene un tiempo medio muestral de 9.45
minutos. Estime mediante un intervalo de confianza del 95% el tiempo medio de
producción por artículo.
Se tiene: 1.41 , 40n , 9.45x y 1 0.95 .
0.975 0.975x z x zn n
1.41 1.419.45 1.96 9.45 1.96
20 20
8.83 10.07
10
El intervalo anterior brinda un 95% de confianza de contener el tiempo medio de
producción por artículo.
Caso 2: Variancia poblacional desconocida
Si no existe base suficiente para suponer que se conoce la desviación estándar de la
población , se utiliza la desviación estándar muestral s . En estas condiciones el
procedimiento de estimación por intervalo se basa en una distribución de probabilidad
conocida como distribución t.
La distribución t es una familia de distribuciones de probabilidad que depende de un
parámetro conocido como los grados de libertad. A medida que aumentan la cantidad
de grados de libertad, la diferencia entre la distribución t y la distribución de
probabilidad normal estándar se hace más y más pequeña.
El procedimiento para estimar por intervalo una media poblacional suponiendo que la
población tiene distribución normal y que se conoce la variancia poblacional 2 es:
Población infinita
1, 2 1, 2n n
s sx t x t
n n
( ) ( )
√
Población finita
1, 2 1, 21 1
n n
s N n s N nx t x t
N Nn n
( ) ( )
√ √
donde x es la media muestral, 1 es el coeficiente de confianza, s la desviación
estándar muestral, n el tamaño de muestra, N el tamaño de la población y 1, 2nt es el
valor de la distribución t con 1n grados de libertad que deja una probabilidad de 2
hacia la derecha.
Ejemplo 2.2: Cuando funciona correctamente, un proceso produce frascos de champú
cuyo contenido promedio es 200 gramos. Los datos en la hoja Champú corresponden al
contenido, en gramos, de una muestra aleatoria de 9 frascos seleccionadas a partir de un
lote. Asumiendo que la distribución del contenido de los frascos de champú tiene
distribución normal calcule un intervalo de confianza del 98% para el contenido medio
de champú por frasco.
11
Se tiene: 9n y 1 0.98 . Con los datos de la muestra: 203.56x y 6.1260s .
8,0.01 8,0.01
s sx t x t
n n
6.1260 6.1260203.56 2.896 203.56 2.896
9 9
197.64 209.47
El intervalo anterior brinda un 98% de confianza para el contenido medio de champú
por frasco. El intervalo de confianza para una media poblacional también se puede
obtener directamente con Excel y Minitab.
Contenido
Media 203.555556
Nivel de confianza (98.0%) 5.91456245
Límite Inferior 197.640993
Límite Superior 209.470118
T de una muestra: Contenido Media del
Error
Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 98%
Contenido 9 203.56 6.13 2.04 (197.64, 209.47)
Determinación del tamaño de la muestra
Si se ha seleccionado un margen de error deseado antes de realizar el proceso de
muestreo, se pueden aplicar los procedimientos de esta sección para determinar el
tamaño de muestra necesario. Sea E el error máximo de muestreo, es decir
1 2E z
n
Despejando n se obtiene la siguiente fórmula para el tamaño de muestra:
2 2
1 2
2E
zn
En la ecuación anterior el valor de E es el margen de error que el usuario está dispuesto
a aceptar y el valor de 1 2z se obtiene del nivel de confianza usado para construir el
intervalo. Aunque se debe tomar en cuenta la preferencia del usuario, lo que se elige con
mayor frecuencia es un 95% de confianza.
12
Por último, para aplicar la fórmula del tamaño de muestra se requiere conocer el valor
de la desviación estándar poblacional, lo que en la mayoría de casos no se cumple. Sin
embargo, podemos aplicar dicha fórmula si contamos con un valor preliminar o valor de
planeación de . En la práctica se puede optar por uno de los siguientes
procedimientos:
Usar la desviación estándar calculada en una muestra elegida anteriormente de la
misma población.
Llevar a cabo un estudio piloto para seleccionar una muestra preliminar de
elementos. La desviación estándar muestral de ella se puede usar como el valor de
planeación de .
Dividir el rango muestral entre cuatro y usar el resultado como una aproximación
de la desviación estándar poblacional.
Ejemplo 2.3: Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de
automóvil. Se sabe que el diámetro de estos anillos tiene distribución aproximadamente
normal con una desviación estándar igual a 0.01 mm. Suponga que se desea realizar una
estimación del diámetro promedio de los anillos producidos al 98% de confianza y con
un margen de error de 0.005 mm. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para cumplir con
las condiciones anteriores?
222 2
0.99
2 2
2.33 0.0121.7156 22
E 0.005
zn
anillos
2.5 Estimación por intervalo de una proporción
poblacional
El empleo de la distribución normal como aproximación de la distribución muestral de
p se basa en la condición de muestras grandes. Se usará la distribución muestral de p
para hacer aseveraciones probabilísticas acerca del error muestral siempre que se use
esta proporción muestral para estimar la proporción poblacional. El intervalo de
confianza para una proporción poblacional es:
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
p p p pp z p p z
n n
( ) ( )√ ( )
donde p es la proporción muestral, 1 es el coeficiente de confianza, n el tamaño
de muestra y 1 2z es el valor de distribución normal estándar que deja una
probabilidad acumulada de 1 2 .
13
Ejemplo 2.4: Las compañías de seguros automovilísticos están analizando la
posibilidad de aumentar las tarifas para las personas de género masculino que usan
teléfonos mientras conducen. Una compañía especializada asegura que los conductores
de sexo masculino tienen esta actitud en mayor proporción que los conductores de sexo
femenino. Una muestra aleatoria de 350 conductores hombres permitió observar que 70
hombres usaban teléfonos mientras conducían. Con un nivel de confianza del 99%,
¿Qué puede afirmarse sobre la proporción de hombres que usan teléfonos mientras
conducen?
Se tiene: 350n , 70
ˆ 0.2350
p y 1 0.99 .
n
ppZpp
n
ppZp
ˆ1ˆˆ
ˆ1ˆˆ 995,0995,0
0.2 1 0.2 0.2 1 0.20.2 2.575 0.2 2.575
350 350p
0.145 0.255p
El intervalo anterior brinda un 99% de confianza de contener la proporción de hombres
que usan teléfonos mientras conducen. El intervalo de confianza para una proporción
poblacional también se puede obtener directamente con Minitab.
Prueba e IC para una proporción Muestra X N Muestra p IC de 99%
1 70 350 0.200000 (0.144926, 0.255074)
Uso de la aproximación normal.
Determinación del tamaño de la muestra
Para determinar el tamaño de muestra necesario para obtener una estimación de una
proporción poblacional con determinado margen de error o nivel de precisión. Los
argumentos usados son muy parecidos a los utilizados en la determinación del tamaño
de muestra con el cual se estima una media poblacional. Sea E el margen de error
deseado, es decir
1 2
1E
p pz
n
Despejando n se obtiene la siguiente fórmula para el tamaño de muestra:
2
1 2
2
1
E
z p pn
14
En esta ecuación el usuario debe especificar el margen de error deseado E y el nivel de
confianza. Como se desconoce la proporción poblacional, la fórmula requiere de un
valor de plantación para p . En la práctica este valor se puede elegir mediante uno de
los siguientes procedimientos:
Usar la proporción calculada en una muestra elegida anteriormente de la misma
población.
Llevar a cabo un estudio piloto para seleccionar una muestra preliminar de
elementos. La proporción muestral de ella se puede usar como el valor de
planeación para p .
Usar el juicio para elegir el mejor valor de p .
Si no se aplica ninguna de las alternativas anteriores, usar 0.5p .
Ejemplo 2.5: Uno de los resultados de un sondeo de opinión indica que el 35% de
limeños está de acuerdo con que se firme el TLC con Estados Unidos de Norteamérica.
Suponga que se decide realizar un nuevo sondeo cuyos resultados tenga un margen de
error máximo del 3% y que el nivel de confianza sea del 92%. ¿De qué tamaño deberá
ser la muestra de la investigación para que cumpla con las condiciones planteadas?
2 20.96
2 2
1 1.7507 0.35 0.65774.75 775
E 0.03
z p pn
limeños.
2.6 Estimación por intervalo de una variancia
poblacional
En muchas situaciones reales, como el control de calidad en procesos de producción, se
necesita estimar el valor de la variancia o desviación estándar poblacional. El
procedimiento para realizar la estimación por intervalo, suponiendo que la población
tiene distribución normal, es:
Variancia poblacional
2 2
2
2 2
1; 2 1;1 2
1 1
n n
n s n s
Desviación estándar poblacional
2 2
2 2
1; 2 1;1 2
1 1
n n
n s n s
donde n es el tamaño de muestra, 2s la variancia poblacional, s la desviación estándar
poblacional, 1 es el coeficiente de confianza, 2
1; 2n y 2
1;1 2n son los valores de
la distribución Chi-cuadrado con 1n grados de libertad que dejan una probabilidad
hacia la derecha de 2 y 1 2 respectivamente.
Ejemplo 2.6: Suponga que en el Ejemplo 7.2 se desea obtener un intervalo para la
desviación estándar del contenido de los frascos de champú al 98% de confianza.
Entonces:
15
2 2
2 2
8;0.01 8;0.99
1 1n s n s
2 29 1 6.1260 9 1 6.1260
20.0902 1.6465
3.8657 13.5033
El intervalo anterior brinda un 98% de confianza de contener para la desviación
estándar del contenido de los frascos de champú. El intervalo de confianza para una
desviación estándar poblacional también se puede obtener directamente con Minitab.
Prueba e IC para una desviación estándar: Contenido Método
El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal.
El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua.
Estadísticas
Variable N Desv.Est. Varianza
Contenido 9 6.13 37.5
Intervalos de confianza de 98%
IC para IC para
Variable Método Desv.Est. varianza
Contenido Estándar (3.87, 13.50) (14.9, 182.3)
Ajustado (4.26, 10.52) (18.2, 110.7)
2.7 Intervalo de confianza para el cociente de
varianzas poblacionales 2
2
2
1 /
Si S21 y S
22 son las varianzas de muestras independientes de tamaño n1 y n2 de
poblaciones normales respectivamente, entonces un intervalo de confianza para 2
2
2
1 / con un nivel de confianza del ( 1 ) 100%:
)2/,1,1(2
2
2
1
2
2
2
1
)2/,1,1(
2
2
2
1
12
211
.1
.
nn
nn
FS
S
FS
S
Ejemplo:
Una compañía tiene una política singular relativa a los bonos de fin de año
destinados al personal gerencial de bajo rango (los bonos son expresados como
un porcentaje del salario anual). El director de personal considera que el sexo del
empleado influye en los bonos recibidos, para esto toma muestras de 16 mujeres
y 25 hombres que desempeñan cargos gerenciales y registra los porcentajes del
salario anual percibido obteniéndose los datos siguientes:
16
Mujeres Hombres
9,8 11,9 9,0 6,9 10,4 9,6 12,0 8,9 9,8
8,0 6,7 9,3 8,7 9,7 10,4 7,9 12,0 10,1
8,4 7,7 9,0 7,6 8,7 11,2 9,7 9,4 9,4
7,7 6,2 8,4 9,2 9,3 8,8 9,0 10,0 9,2
8,9 10,2 8,7 9,2 9,0
Calcule un intervalo de confianza del 95% para la razón de varianzas de los
porcentajes de salario anual de las mujeres y los hombres.
Solución:
Calculamos los estadísticos:
Mujeres Hombres
x 8,4063 9,660 F(15, 24, 0.025) = 2.4374
s 1,3718 0,9883 F(24, 15, 0.025) = 2.7007
n 16 25
Reemplazando los valores en la fórmula:
)7007.2()9883.0(
)3718.1(
4374,2
1
)9883.0(
)3718.1(2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
0.7905 5.2033
Interpretación: Con 95% de confianza, de 0,7905 a 5,2033 se encontrará el
cociente de las varianzas de los porcentajes de salario anual de las mujeres y
los hombres.
2.8 Intervalo de confianza para diferencia de
medias poblacionales (µ1-µ2) con muestras
independientes
Sean 1 2x y x las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y
n2 tomadas de poblaciones con varianzas poblacionales conocidas. Cuando las
muestras son grandes ó las poblaciones son normales, un intervalo de confianza
para la diferencia de medias poblacionales (1 - 2) puede ser calculado según
cada uno de los siguientes casos:
Caso 1: Cuando las muestras provienen de poblaciones Normales y
las varianzas poblacionales 2
1 y 2
2 son conocidas
Si 21 xyx son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y
n2 de poblaciones con varianzas conocidas 2
1 y 2
2 , respectivamente, un
intervalo de confianza de ( 1 ). 100% para 21 está dado por:
17
2
2
2
1
2
12/12121
2
2
2
1
2
12/121
nnzxx
nnzxx
Si el muestreo es sin reemplazo y las poblaciones finitas de tamaños N1 y N2, el
intervalo de confianza será:
11)(
2
22
2
2
2
1
11
1
2
12/12121
N
nN
nN
nN
nzxxIC
Ejemplo: Para comparar dos métodos de ventas, se aplicaron a 200 vendedores elegidos al azar el
método tradicional y a otra muestra de 250 vendedores el método nuevo resultando las
calificaciones promedio respectiva de 13 y 15 (cientos de soles). Suponga que las
varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16 (cientos de soles2). Halle un intervalo de
confianza del 95% para la diferencia de las medias.
Solución:
La estimación puntual de 21 es 2151321 xx . Con 0,05 se encuentra el
valor z, que deja un área de 0,025 a la derecha y por lo tanto un área de 0,975 a la
izquierda, es 96,1975,0z . De aquí que el intervalo de confianza del 96% es:
250
16
200
996,12
250
16
200
996,12
21
efectuando las operaciones indicadas se tiene: 3529,16471,2 21
Interpretación:
“Con 95% de confianza entre -2,6 y -1,4 se encontrará la diferencia de niveles medios
de ventas obtenidos con los métodos evaluados”.
Caso 2: Cuando las muestras provienen de poblaciones Normales,
las varianzas poblacionales 2
1 y 2
2 son desconocidas
Caso 2.1 Pero Iguales ( 2
1 = 2
2 )
Si 21 xyx son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1
y n2 respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas
iguales pero desconocidas, un intervalo de confianza de (1 – ).100% para
21 está dado por:
21
2
2/,22121
21
2
2/,221
11112121 nn
Stxxnn
Stxx pnnpnn
21
2
2/,22121
11)(
21 nnStxxIC pnn
donde : 2nn
S)1n(S)1n(S
21
2
22
2
112
p
donde 2/,221 nnt con (n1 + n2 – 2) grados de libertad, deja un área de /2 a la
derecha.
18
Si el muestreo es sin reemplazo y las poblaciones finitas de tamaños N1 y N2, el
intervalo de confianza será:
1
1
1
1)(
2
22
21
11
1
2
2/,22121 21 N
nN
nN
nN
nStxxIC pnn
Ejemplo:
Los siguientes datos, registrados en minutos, representan el tiempo de atención por
ventanilla de dos terminalistas:
Terminalista 1 Terminalista 2
5,1
17
14
2
1
1
1
s
x
n
8,1
19
16
2
2
2
2
s
x
n
Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia 21 del
tiempo promedio de atención para los dos terminalistas, suponga poblaciones
normales con varianzas iguales.
Solución:
La estimación puntual de 21 es 2191721 xx .
La estimación de la varianza común, S2
p, es
6607,121614
)8,1)(116()5,1)(114(2
pS
Al tomar la raíz cuadrada obtenemos Sp = 1,2887. Con el uso de 01,0 , encontramos
que t(28,0.005) =2,763 para v = 14 + 16 - 2 = 28 grados de libertad, y por lo tanto el
intervalo de confianza del 99% es:
16
1
14
1)2887,1(763,22
16
1
14
1)2887,1(763,22 12
efectuando las operaciones indicadas se tiene: 6969,03031,3 12
Interpretación:
“Con 99% de confianza entre -3.3 y -0,7 minutos se encontrará la diferencia de tiempos
promedios de atención para los dos terminalistas”.
Caso 2.2 Pero Diferentes ( 2
1 ≠ 2
2 )
Si 2
22
2
11 Syxy,Syx son las medias y varianzas de muestras pequeñas e
independientes de distribuciones aproximadamente normales con varianzas
desconocidas y diferentes, un intervalo de confianza de (1 – ).100% para
21 está dado por:
2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 21 2, / 2 , 2
1 2 1 2
v v
S S S Sx x t x x t
n n n n
19
( ) ( ) ( )√
Donde )2/,( vt es el valor t con
11 2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
1
21
nn
n
S
n
S
v
n
S
n
S
grados de libertad, que
deja un área de / 2 a la derecha. v es un valor entero por redondeo simple.
Si el muestreo es sin reemplazo y las poblaciones finitas de tamaños N1 y N2, el
intervalo de confianza será:
11)(
2
22
2
2
2
1
11
1
2
12/,2121
N
nN
n
S
N
nN
n
StxxIC v
Ejemplo: El gerente de una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca
A o de la B para su flotilla de taxis. Se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de
cada marca. Los neumáticos se utilizaron hasta que se gastan. Los resultados son:
Marca A
kilométros0005s
kilómetros30036x
2
1
1
Marca B
kilométros1006s
kilómetros10038x
2
2
2
Calcule un intervalo de confianza de confianza de 90% para la diferencia de
rendimiento promedio de ambas marcas de neumáticos. Suponga que la diferencia de
kilómetros de rendimiento se distribuyen de forma aproximadamente normal con
varianzas distintas.
Solución:
Representamos con 21 y las medias poblacionales, respectivamente, para los
tiempos promedios de duración de los neumáticos que producen las compañía A y B.
La estimación puntual de 21 es 80011003830036xx 21 .
Como las varianzas son desconocidas y diferentes, debemos encontrar un intervalo de
confianza de 90% aproximado basado en la distribución t con v grados de libertad,
donde
2279.21
112112
12
6100
12
5000
v2
12
61002
12
5000
2
Con el uso de 10.0 , encontramos que t(22,0.05) = 1.717 para v = 22 grados de
libertad, y por lo tanto el intervalo de confianza del 90% es:
20
12
6100
12
5000717.11800
12
6100
12
5000717.11800 21
efectuando las operaciones indicadas se tiene: 8.17472.1852 21
Interpretación:
“Con 90% de confianza entre -1852 y -1748 días se encontrará la diferencia de
rendimiento promedio de ambas marcas de neumáticos.”
2.9 Intervalo de confianza para la diferencia de
proporciones poblacionales (p1-p2)
Si 21 pyp son las proporciones de éxitos en muestras aleatorias de tamaño n1 y
n2, respectivamente, un intervalo de confianza aproximado de ( 1 ) . 100%
para la diferencia de proporciones poblacionales p1 – p2, está dado por:
2
22
1
11
2/12121
2
22
1
11
2/121
)ˆ1.(ˆ)ˆ1.(ˆˆˆ
)ˆ1.(ˆ)ˆ1.(ˆˆˆ
n
pp
n
ppzpppp
n
pp
n
ppzpp
2
22
1
11
2/12121
)ˆ1.(ˆ)ˆ1.(ˆˆˆ)(
n
pp
n
ppzppppIC
Si el muestreo es sin reemplazo y las poblaciones finitas de tamaños N1 y N2, el
intervalo de confianza será:
1
)ˆ1.(ˆ
1
)ˆ1.(ˆˆˆ)(
2
22
2
22
1
11
1
11
2/12121N
nN
n
pp
N
nN
n
ppzppppIC
Dado que la distribucion muestral de la diferencia de proporciones no es Normal
para aproximarla a dicha distribucion se requiere tamaños de muestras grandes
(n1>50 y n2>50)
Ejemplo:
Una empresa realiza un estudio para determinar si el ausentismo de los
trabajadores en el turno de día es diferente al de los trabajadores en el turno
nocturno. Se realiza una comparación de 100 trabajadores de cada turno. Los
resultados muestran que 27 trabajadores diurnos han faltado por lo menos cinco
veces durante el año anterior, mientras que 49 trabajadores nocturnos han faltado
por lo menos cinco veces. Halle un intervalo del 98% de confianza, para la
diferencia de proporciones de trabajadores de los turnos que faltaron cinco veces
o más al año.
21
Solución:
p1: proporción de trabajadores diurnos que han faltado por lo menos cinco veces
durante el año anterior
p2: proporción de trabajadores nocturnos que han faltado por lo menos cinco
veces durante el año anterior
27,0ˆ1 p 49,0ˆ 2 p Z0.99 = 2,33
100
)51.0(49.0
100
)73.0(27.033.249.027.0)( 21 ppIC
0642.03758.0 21 pp
Interpretación: Con 95% de confianza, de -0.3758 a -0.0642 se encontrará la
diferencia de proporción de trabajadores que faltaron por lo menos cinco veces
durante el año anterior de ambos turnos de trabajo. En el turno nocturno
faltaron más.
Ejercicios
1. Un ingeniero realiza el control de calidad del proceso de envasado de un producto,
Por resultados obtenidos de estudios anteriores, se puede considerar que el
contenido del volumen de llenado en el envase tiene aproximadamente una
distribución normal Los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases del
producto de 500 ml, se muestran en la hoja Proceso,
a. Uno de los criterios para decidir si el proceso de envasado está bajo control
indica el contenido promedio debe ser precisamente 500 ml, Con un nivel de
confianza del 90%, ¿se podría decir que el proceso de envasado está bajo
control?
b. Un segundo criterio para indicar que el proceso se encuentra bajo control es
verificar que la desviación estándar no sea mayor de 10 ml, Calcule el intervalo
de confianza del 95% para la desviación estándar del contenido de los envases,
Si el ingeniero a afirmado que la variabilidad del proceso está bajo control, ¿qué
se podría concluir al contrastar la afirmación del ingeniero con el intervalo de
confianza?
2. Una muestra de los sueldos de 61 profesionales en ejercicio que viven en Enigma
City dio como promedio y desviación estándar 3465 y 124 nuevos soles
respectivamente, Enigma City es un poblado pequeño y cuenta actualmente con
8740 profesionales en ejercicio, Con un nivel de confianza del 90%:
a. Calcule e intérprete un intervalo de confianza para el sueldo promedio de los
profesionales en ejercicio de Enigma City,
b. Calcule e intérprete un intervalo de confianza para la desviación estándar de los
sueldos de los profesionales en ejercicio de Enigma City,
22
3. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas
para evaluar la función eléctrica de su producto, Todos los reproductores de discos
compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse, Una muestra aleatoria
de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas,
Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores
de discos compactos de la población que fallan en una o más pruebas,
4. Una empresa investigadora de mercados desea determinar la preferencia del
electorado hacia cierto candidato a la alcaldía durante el mes de septiembre, Para
esto selecciona una muestra de 500 electores del distrito de los cuales 300 dijeron
votar por el mencionado candidato,
a. Según la empresa, la proporción de electores en el mes de septiembre a favor del
candidato se encuentra en el intervalo [0,5571 , 0,6429], ¿Cuál es el nivel de
confianza usado?
b. ¿Cuál es el tamaño de muestra a utilizar si se desea estimar esta misma
proporción durante el mes de octubre usando un nivel de confianza del 98% y un
error de estimación no mayor del 5%?
5. Un ingeniero de control de calidad quiere estimar la proporción de elementos
defectuosos en un lote de lámparas, ¿Cuál es el tamaño de la muestra si se quiere
estimar la proporción real, con un margen de error del 1%, utilizando un nivel de
confianza de 95%?
6. El departamento de control de calidad de una empresa informó a la gerencia que en
un primer estudio realizado al proceso de fabricación de un componente para
teléfonos celulares de 900 componentes inspeccionados, se había estimado que el
porcentaje de productos no adecuados a la norma de calidad era de 11% 3,1%, Sin
embargo, en el informe presentado no se precisó el nivel de confianza respectivo,
a. Calcule el nivel de confianza utilizado en el primer estudio realizado por el
departamento de control de calidad,
b. Si se considera que el nivel de confianza utilizado en este primer estudio es
adecuado pero que para realizar un segundo estudio el error no debe superar el
2,1%, ¿Cuántos productos deben ser inspeccionados?,
23
Capítulo 3
Prueba de hipótesis.
3.1 Introducción
La prueba de hipótesis involucra una suposición elaborada sobre algún parámetro de la
población. A partir de la información proporcionada por la muestra, se verificará la
suposición sobre el parámetro estudiado. La hipótesis que se contrasta se llama hipótesis
nula (Ho).
Partiendo de los resultados obtenidos de la muestra, o bien rechazamos la hipótesis nula
a favor de la hipótesis alterna, o bien no rechazamos la hipótesis nula y suponemos que
nuestra estimación inicial del parámetro poblacional podría ser correcto.
El hecho de no rechazar la hipótesis nula no implica que ésta sea cierta. Significa
simplemente que los datos de la muestra son insuficientes para inducir un rechazo de la
hipótesis nula.
3.2 Conceptos generales
La hipótesis que se contrasta es rechazada o no en función de la información muestral.
La hipótesis alternativa se especifica como opción posible si se rechaza la nula.
Tipos de errores
Información muestral
Aceptar H0 Rechazar H0
La
realidad
H0 es cierta No hay error Error I
H0 es falsa Error II No hay error
Error Tipo I
Ocurre cuando se rechaza una hipótesis H0 que es verdadera. La probabilidad de error
tipo I viene a ser la probabilidad de rechazar H0 cuando ésta es cierta.
)IError(P
El valor (nivel de significación) es fijado por la persona que realiza la investigación
(por lo general varía entre 1% -10%)
24
Error Tipo II
Ocurre cuando se acepta una hipótesis H0 que es falsa, la probabilidad de error tipo II es
la probabilidad de aceptar H0 cuando ésta es falsa.
)IIError(P
Debido a que el valor real del parámetro es desconocido este error no puede ser fijado.
Potencia de prueba o Poder de Prueba
Es la probabilidad de rechazar una hipótesis planteada cuando esta es falsa.
1pruebadePotencia
Pasos a seguir en una Prueba de Hipótesis
Paso 1: Planteo de hipótesis.
Paso 2: Nivel de significación.
Paso 3: Prueba estadística.
Paso 4: Suposiciones.
Paso 5: Regiones críticas. Criterios de decisión.
Paso 6: Realización de la prueba.
Paso 7: Resultados y conclusiones.
Procedimiento general en una Prueba de Hipótesis
Sea el parámetro que representa: )/,pp,,p,,( 2
2
2
2121
21
1. Planteo de las hipótesis.
01
00
01
00
01
00
:
:
:
:
:
:
H
H
H
H
H
H
2. Fijar el nivel de significación
3. Pruebas estadísticas
4. Supuestos
)F,( positiva asimétrica ónDistribuci
t) (Z, simétrica ónDistribuciE
2
25
a) Supuestos para: )/,,,( 2
2
2
21
21
Población(es) normalmente distribuida(s).
Muestra(s) tomada(s) al azar.
b) Supuestos para: 21 pp,p
Muestra(s) tomada(s) al azar.
Muestra(s) grande(s)
5. Regiones críticas
6. Estadístico de prueba.
7. Resultados y conclusiones.
3.3 Prueba de hipótesis para una media poblacional
()
Caso 1: Cuando muestra proviene de una población Normal y la
varianza poblacional (2) es conocida
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
00 :H 00 :H 00 :H
01 :H 01 :H 01 :H
Estadístico de prueba:
n
XZ
/
0
Normal(0,1)
donde:
X : Es la media muestral.
0 : Es el valor supuesto de la media poblacional en la hipótesis nula.
: Es la desviación estándar de la población.
n: Es el tamaño de la muestra.
N(0,1): Es la distribución normal estándar.
Si la población es finita (de tamaño N) y la fracción de muestreo n/N es
mayor que 0.05, entonces se debe agregar el factor de corrección para
poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de prueba con lo cual se
obtiene:
Bilateral
Unilateral Unilateral
26
0c
1
XZ
N n
Nn
Normal(0,1)
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
)(c zz )2/1(c zz )1(c zz
donde es el nivel de significación de la prueba, y z(), z(1-/2) y z(1-) son los
cuantiles de la distribución normal estándar.
Caso 2: Cuando la muestra proviene de una población Normal, la
varianza poblacional (2) es desconocida
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
00 :H 00 :H 00 :H
01 :H 01 :H 01 :H
Estadístico de prueba:
nS
XT
/
0 t(n-1)
donde:
X : Es la media muestral.
0 : Es el valor supuesto de la media poblacional en la hipótesis nula.
S : Es la desviación estándar de la muestra.
n: Es el tamaño de la muestra.
t(n-1): Es la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad.
Si la población es finita (de tamaño N) y la fracción de muestreo n/N es
mayor que 0.05, entonces se debe agregar el factor de corrección para
poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de prueba con lo cual se
obtiene:
0c
1
XT
S N n
Nn
t(n-1)
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
),1(c ntt )2/,1(c ntt ),1(c ntt
donde es el nivel de significación de la prueba, y ( ) y ( ) son
los cuantiles de la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad.
27
Ejemplo
Una empresa eléctrica fabrica focos cuya duración se distribuye de forma
aproximadamente normal con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas.
Pruebe la hipótesis de que 800 horas contra la alternativa 800 horas si una
muestra aleatoria de 28 focos tiene una duración promedio de 784 horas. Utilice un
nivel de significancia de 0.05.
Solución.
Sea X: Duración de los focos (horas)
X~ Normal(800 , 402)
1. Planteo de hipótesis.
800:H
800:H
1
0
2. Nivel de significación.
05.0
3. Prueba estadística
)1.0(~/
_
Nn
xZ
4. Supuestos.
Población normal.
Muestra tomada al azar.
5. Regiones críticas. Criterios de decisión.
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
Áreas
Criterios
Si -1.96 Zc 1.96 No se rechaza
H0
Si Zc < -1.96 o Zc > 1.96 Se
rechaza H0
6. Cálculos
12.228/40
800784Zc
7. Conclusiones.
Con 5% de nivel de significación y a partir de la información muestral, el tiempo
promedio de duración de los focos es diferente de 800 horas.
0.025 0.025
1.96 -1.96
0.95
28
3.4 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional
(2)
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha 2
0
2
0 :H 2
0
2
0 :H 2
0
2
0 :H
2
0
2
1 :H 2
0
2
1 :H 2
0
2
1 :H
Estadístico de prueba:
2
0
22 )1(
Sn 2
)1( n
donde:
n : Es el tamaño de la muestra.
S 2 : Es la variancia de la muestra.
2
0 : Es el valor supuesto de la variancia poblacional en la hipótesis nula.
2
)1( n : Es la distribución Chi-cuadrado con n – 1 grados de libertad.
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha 2
)1,1(
2
0 n 2
)2/1,1(
2
0 n ó
2
)2/,1(
2
0 n
2
),1(
2
0 n
donde es el nivel de significación de la prueba, y 2
)1,1( n , 2
)2/1,1( n ,
2
)2/,1( n y 2
),1( n son los cuantiles de la distribución Chi-cuadrado con n –
1 grados de libertad.
Ejemplo
Se reporta que la desviación estándar de la resistencia al rompimiento de ciertos cables
producidos por una compañía es 240 lb. Después de que se introdujo un cambio en el
proceso de producción de estos cables, la resistencia al rompimiento de una muestra de
8 cables mostró una desviación estándar de 300 lb. Investigue la significancia del
aumento aparente en la variación usando un nivel de significancia de 0.05. Asuma
normalidad.
Solución.
Sea X: Resistencia al rompimiento de cierto tipo de cable
X~ Normal( , 2402)
1. Planteo de hipótesis.
22
1
22
0
240:H
240:H
29
2. Nivel de significación.
05.0
3. Prueba estadística
2
)1(2
22 ~
)1(
n
sn
4. Supuestos.
Población normal.
Muestra tomada al azar.
5. Regiones críticas. Criterios de decisión.
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
Áreas
Criterios
Si 07.142
c No se rechaza
H0
Si 07.142
c Se rechaza H0
6. Cálculos
938.10240
300)18(2
22
c
7. Conclusiones.
Con 5% de nivel de significación y la información muestral es insuficiente para
afirmar que la variación de la resistencia al rompimiento ha aumentado.
3.5 Prueba de hipótesis para la proporción
poblacional (p)
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
00 :H pp 00 :H pp 00 :H pp
01 :H pp 01 :H pp 01 :H pp
Estadístico de prueba:
n
pp
pPZ
)1(
ˆ
00
0
N(0,1)
0.05 0.95
30
donde:
P : Es la proporción muestral.
p0 : Es el valor supuesto de la proporción poblacional en la hipótesis nula.
n: Es el tamaño de la muestra.
N(0,1): Es la distribución normal estándar.
Si la población es finita (de tamaño N) y la fracción de muestreo n/N es
mayor que 0.05, entonces se debe agregar el factor de corrección para
poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de prueba con lo cual se
obtiene:
0c
0 0
ˆ
(1 )
1
P pZ
p p N n
n N
Normal(0,1)
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
)(c zz )2/1(c zz )1(c zz
donde es el nivel de significación de la prueba, y z(), z(1-/2) y z(1-) son los
cuantiles de la distribución normal estándar.
Ejemplo
RRS, el minorista de electrodomésticos, anunció que vende el 21% de todos los
computadores caseros. ¿Esta afirmación se confirma si 120 de los 700 propietarios de
computadores caseros se los compraron a RRS? Tome 05.0 .
Solución.
Sea p: Proporción de propietarios de computadores caseros que compraron en RRS.
1 Planteo de hipótesis.
21.0p:H
21.0p:H
1
0
2 Nivel de significación.
05.0
3 Prueba estadística
)1.0(~)1(
ˆNormal
n
pp
ppZ
4 Supuestos.
Muestra tomada al azar.
Muestra grande.
31
5 Regiones críticas. Criterios de decisión.
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
Áreas
Criterios
Si -1.96 Zc 1.96 No
se rechaza H0
Si Zc < -1.96 o Zc >
1.96 Se rechaza H0
6 Cálculos
505.2
700
)21.01(21.0
21.0700
120
Zc
7 Conclusiones.
Con 5% de nivel de significación y a partir de la información muestral, RRS no
vende el 21% de todos los computadores caseros.
3.6 Pruebas de hipótesis para dos varianzas
poblacionales 2
1 y 2
2
Para esta prueba de hipótesis solo se desarrollará el caso bilateral debido a que
esta prueba indicará si dos muestras independientes provienen de poblaciones
con varianzas homogéneas o heterogéneas
Hipótesis:
Caso Único
Bilateral
2
2
2
10 :H
2
2
2
11 :H
Estadístico de prueba:
2
2
2
1c
S
SF 1,1 21 nnF
donde:
n1 : Es el tamaño de la muestra proveniente de la población 1.
n2 : Es el tamaño de la muestra proveniente de la población 2. 2
1S : Es la varianza de la muestra de la población 1. 2
2S : Es la varianza de la muestra de la población 2.
1,1 21 nnF : Es la distribución F con n1–1 y n2–1 grados de libertad.
0.025 0.025
1.96 -1.96
0.95
32
Regiones de rechazo de H0:
Caso Único
Bilateral
2/1,1,1 21 nnc FF ó
2/,1,1 21 nnc FF
donde es el nivel de significación de la prueba, y 2/1,1,1 21 nnF y
2/,1,1 21 nnF son los cuantiles de la distribución F con n1 – 1 y n2 – 1 grados
de libertad.
Ejemplo
Diecisiete latas de CROC Aid presentan una media de 17.2 onzas, con una desviación
estándar de 3.2 onzas, y 13 latas de Energy Pro producen una media de 18.1 onzas y s =
2.7 onzas. Asumiendo varianzas iguales y distribuciones normales en los pesos de la
población, ¿Se puede afirmar con 5% de significación que las varianzas de los pesos son
iguales?
Solución.
Sean
X1: Contenido de una lata de gaseosa CROC Aid (onzas) X1 ~ Normal( 1 , 2
1 )
X2: Contenido de una lata de gaseosa Energy Pro (onzas) X2 ~ Normal( 2 , 2
2 )
1. Planteo de hipótesis.
2
2
2
11
2
2
2
10
:H
:H
2. Nivel de significación.
05.0
3. Prueba estadística
)1,1(
2
2
2
1
2
2
2
1
21~
1 nnc F
S
SF
Bajo H0, que las varianzas son iguales, se tiene,
)1,1(2
2
2
1
21~ nnc F
S
SF
4. Supuestos.
Poblaciones normales.
Muestras tomadas al azar.
5. Regiones críticas. Criterios de decisión.
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
33
Áreas
Criterios
Si 0.346 Fc 3.152 No se rechaza H0
Si Fc < 0.346 o Fc > 3.152 Se rechaza H0
6. Cálculos
405.1)7.2(
)2.3(2
2
2
2
2
1 S
SFc
7. Conclusiones.
Con 5% de nivel de significación la información muestral es insuficiente para rechazar
que las varianzas de los pesos son iguales.
3.7 Pruebas de hipótesis para dos medias
poblacionales (1 y 2)
Caso 1: Cuando las muestras provienen de poblaciones Normales y
las varianzas poblacionales 2
1 y 2
2 son conocidas
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
k 210 :H k 210 :H k 210 :H
k 211 :H k 211 :H k 211 :H
Estadístico de prueba:
2
2
2
1
2
1
21
nn
kXXZ c
Normal(0,1)
donde:
1X : Es la media muestral para la muestra 1.
2X : Es la media muestral para la muestra 2. 2
1 : Es la varianza de la población 1. 2
2 : Es la varianza de la población 2.
n1 : Es el tamaño de la muestra 1.
n2 : Es el tamaño de la muestra 2.
k : Es el valor supuesto para la diferencia entre las medias poblacionales en
la hipótesis nula.
Normal(0,1): Es la distribución normal estándar.
Si las poblaciones son finitas (de tamaños N1 y N2) y las fracciones de
muestreo n1/N1 y n2/N2 son mayores que 0.05, entonces se debe agregar el
0.025 0.025
3.152 0.346
34
factor de corrección para poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de
prueba con lo cual se obtiene:
1 2c
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 21 1
X X kZ
N n N n
n N n N
Normal(0,1)
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
)(c zz )2/1(c zz )1(c zz
donde es el nivel de significación de la prueba, y z(), z(1-/2) y z(1-) son los
cuantiles de la distribución normal estándar.
Caso 2: Muestras independientes, varianzas poblacionales desconocidas y homogéneas
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
k 210 :H k 210 :H k 210 :H
k 211 :H k 211 :H k 211 :H
Estadístico de prueba:
2
2
1
2
21
n
S
n
S
kXXT
pp
c
221 nnt
con
2
11
21
2
22
2
112
nn
SnSnS p
donde:
1X : Es la media de la muestra 1.
2X : Es la media de la muestra 2. 2
1S : Es la varianza de la muestra 1. 2
2S : Es la varianza de la muestra 2. 2
pS : Es la varianza muestral ponderada.
n1 : Es el tamaño de la muestra 1.
n2 : Es el tamaño de la muestra 2.
k : Es el valor supuesto para la diferencia entre las medias poblacionales en
la hipótesis nula.
221 nnt : Es la distribución t de Student con n1 + n2 – 1 grados de libertad.
35
Si las poblaciones son finitas (de tamaños N1 y N2) y las fracciones de
muestreo n1/N1 y n2/N2 son mayores que 0.05, entonces se debe agregar el
factor de corrección para poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de
prueba con lo cual se obtiene:
1 2c
2 2
1 1 1 1
1 1 2 11 1
p p
X X kT
S SN n N n
n N n N
221 nnt
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
),2(c 21 nntt )2/,2(c 21 nntt ),2(c 21 nntt
donde es el nivel de significación de la prueba, y ),2( 21 nnt y )2/,2( 21 nnt
son los cuantiles de la distribución t de Student con n1 + n2 – 1 grados de
libertad.
Ejemplo
Diecisiete latas de CROC Aid presentan una media de 17.2 onzas, con una desviación
estándar de 3.2 onzas, y 13 latas de Energy Pro producen una media de 18.1 onzas y s =
2.7 onzas. Asumiendo varianzas iguales y distribuciones normales en los pesos de la
población, ¿Se puede afirmar con 5% de significación que los pesos promedio son
iguales?
Solución.
Sean
X1: Contenido de una lata de gaseosa CROC Aid (onzas) X1 ~ Normal( 1 , 2 )
X2: Contenido de una lata de gaseosa Energy Pro (onzas) X2 ~ Normal( 2 , 2 )
1. Planteo de hipótesis.
211
210
:H
:H
2. Nivel de significación.
05.0
3. Prueba estadística
)2(
21
2
21
_
2
_
1
21~
11
)()(
nn
p
c t
nnS
xxt
donde:
2nn
s)1n(s)1n(S
21
2
22
2
112
p
4. Supuestos.
Poblaciones normales.
Muestras tomadas al azar.
36
5. Regiones críticas. Criterios de decisión.
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
Áreas
Criterios
Si -2.048 tc 2.048 No se rechaza
H0
Si tc < -2.048 o tc > 2.048 Se rechaza
H0
6. Cálculos
815.0
13
1
17
1976.8
)0()1.182.17(tc
7. Conclusiones.
Con 5% de nivel de significación la información muestral es insuficiente para
rechazar que los pesos promedios de los dos tipos de gaseosas son iguales.
Caso 2: Muestras independientes, varianzas poblacionales desconocidas y heterogéneas
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
k 210 :H k 210 :H k 210 :H
k 211 :H k 211 :H k 211 :H
Estadístico de prueba:
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
kXXT
vt
con
11 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
v
donde:
1X : Es la media de la muestra 1.
0.025 0.025
t(28, 0.025) = 2.048 -2.048
0.95
37
2X : Es la media de la muestra 2. 2
1S : Es la varianza de la muestra 1. 2
2S : Es la varianza de la muestra 2.
n1 : Es el tamaño de la muestra 1.
n2 : Es el tamaño de la muestra 2.
k : Es el valor supuesto para la diferencia entre las medias poblacionales en
la hipótesis nula.
vt : Es la distribución t de Student con v grados de libertad.
Si las poblaciones son finitas (de tamaños N1 y N2) y las fracciones de
muestreo n1/N1 y n2/N2 son mayores que 0.05, entonces se debe agregar el
factor de corrección para poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de
prueba con lo cual se obtiene:
1 2c
2 2
1 1 1 2 1 1
1 1 2 11 1
X X kT
S N n S N n
n N n N
vt
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
),(c vtt )2/,(c vtt ),(c vtt
donde es el nivel de significación de la prueba, y ),( vt y )2/,( vt son los
cuantiles de la distribución t de Student con v grados de libertad.
Ejemplo 8.6.- Diecisiete latas de CROC Aid presentan una media de 17.2 onzas, con una
desviación estándar de 3.2 onzas, y 13 latas de Energy Pro producen una media de 18.1
onzas y s = 1.1 onzas. Asumiendo varianzas diferentes y distribuciones normales en los
pesos de la población, ¿Se puede afirmar con 5% de significación que los pesos promedio
son iguales?
Solución.
Sean X1: Contenido de una lata de gaseosa CROC Aid (onzas) X1 ~ Normal( 1 , 2 )
X2: Contenido de una lata de gaseosa Energy Pro (onzas) X2 ~ Normal( 2 , 2 )
1. Planteo de hipótesis.
211
210
:H
:H
2. Nivel de significación.
05.0
38
3. Prueba estadística
)(
2
2
2
1
2
1
21
_
2
_
1 ~)()(
vc t
n
S
n
S
xxt
donde
1n1n
n
S
n
S
v
2
2
n
S
1
2
n
S
2
2
2
2
1
2
1
2
22
1
21
4. Supuestos.
Poblaciones normales.
Muestras tomadas al azar.
5. Regiones críticas. Criterios de decisión.
Antes de hallar las regiones se debe determinar el valor de v:
2166.20
113117
13
1.1
17
2.3
2
13
1.12
17
2.3
222
22
v
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
Áreas
Criterios
Si -2.080 tc 2.048 No se rechaza H0
Si tc < -2.080 o tc > 2.048 Se rechaza H0
6. Cálculos
079.1
13
1.1
17
2.3
)0()1.182.17(
22
ct
7. Conclusiones.
Con 5% de nivel de significación la información muestral es insuficiente para
rechazar que los pesos promedios de los dos tipos de gaseosas son iguales.
3.8 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos
proporciones poblacionales (p1-p2).
Hipótesis:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
0 1 2H : p p 0 1 2H : p p 0 1 2H : p p
1 1 2H : p p 1 1 2H : p p 1 1 2H : p p
0.025 0.025
t(21, 0.025) = 2.080 -2.088
0.95
39
Estadístico de prueba:
√ ( ) (
)
( )
con
1 1 2 2
1 2
ˆ ˆn P n PP
n n
donde:
1P : Es la proporción de la muestra 1.
2P : Es la proporción de la muestra 2.
n1: Es el tamaño de la muestra 1.
n2: Es el tamaño de la muestra 2.
N(0,1): Es la distribución normal estándar.
Si las poblaciones son finitas (de tamaños N1 y N2) y las fracciones de
muestreo n1/N1 y n2/N2 son mayores que 0.05, entonces se debe agregar el
factor de corrección para poblaciones finitas en el cálculo del estadístico de
prueba con lo cual se obtiene:
√ ( ) (
)
( )
Regiones de rechazo de H0:
Caso 1
Unilateral izquierda
Caso 2
Bilateral
Caso 3
Unilateral derecha
)(c zz )2/1(c zz )1(c zz
donde es el nivel de significación de la prueba, y z(), z(1-/2) y z(1-) son los
cuantiles de la distribución normal estándar.
Ejemplo:
En una prueba de calidad de dos comerciales de televisión se pasó cada uno en
un área de prueba seis veces, durante un período de una semana. La semana
siguiente se llevó a cabo una encuesta telefónica para identificar a quiénes
habían visto esos comerciales. A las personas que los vieron se les pidió
definieran el principal mensaje en ellos. Se obtuvieron los siguientes resultados:
Comercial Personas que lo
vieron
Personas que recordaron el
mensaje principal
A
B
150
200
63
60
40
Use = 0.05 para probar la hipótesis de que no hay diferencia en las
proporciones que recuerdan los dos comerciales.
Solución:
Sea p1: Proporción de personas que recordaron el mensaje principal del
comercial A.
Sea p2: Proporción de personas que recordaron el mensaje principal del
comercial B.
Hipótesis:
211
210
pp:H
pp:H
Nivel de significación: 05.0
Estadístico de prueba:
√ ( )(
) ( )
Supuestos: Muestras tomada al azar.
Muestras grandes.
Valores críticos y regiones de rechazo y no rechazo:
Criterios
Si -1.96 Zc 1.96 no se rechaza
H0
Si Zc < -1.96 o Zc > 1.96 se rechaza
H0
Cálculos:
63 60
150 200 2.3281 1
(0.351)(0.649)150 200
cZ
Conclusión: Existe suficiente evidencia estadística, con un
nivel de significación del 5% de que las
proporciones de recordación son diferentes.
0.95
-1.96 1.96
0.025 0.025
41
Ejercicios
1. Debido al tiempo excesivo que demanda trasladarse hacia el sitio de trabajo, la
oficina en donde usted trabaja en el centro de la ciudad está considerando espaciar
las horas de trabajo para sus empleados. El gerente considera que los empleados
demoran en promedio 50 minutos para llegar al trabajo. Para una muestra aleatoria
de setenta empleados, resulta que en promedio demoran 47,2 minutos con una
desviación estándar de 18.9 minutos. Fije en 5% y pruebe la hipótesis.
2. Una escuela de negocios local afirma que sus estudiantes graduados obtienen
trabajos mejor remunerados que el promedio nacional. Los salarios pagados a todos
los graduados de las escuelas de negocios en su primer trabajo mostraron una
media de 20 soles la hora. Una muestra aleatoria de 10 alumnos graduados del
último año de la mencionada escuela mostró los siguientes salarios por hora en su
primer trabajo:
16,50 ; 19,00 ; 22,00 ; 21,50 ; 21,00 ; 16,50 ; 17,00 ; 21,00 ; 21,50 ; 22,00
Como usted no cree en la afirmación de dicha escuela, evalúe el salario de los
graduados de esta escuela de comercio con un nivel de significación del 5%.
3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz con queso pesan, en
promedio, 5,23 onzas con una desviación estándar de 0,24 onzas. Pruebe la hipótesis
de que 5.5 onzas contra la hipótesis alternativa, 5.5 onzas en el nivel de
significancia de 0.05
4. Usando una muestra de nueve días durante los últimos 9 meses, un dentista ha
tenido las siguientes cantidades de pacientes: 22, 25, 20, 18, 15, 22, 24, 19 y 26. Si
la cantidad de pacientes atendidos por día tiene una distribución normal,
a. ¿con estos datos se rechazaría la hipótesis de que el promedio de pacientes
atendido por día durante los últimos seis meses no es superior a 22? Use un nivel
de significación del 5%. Interprete el resultado.
b. ¿con estos datos se rechazaría la hipótesis de que la varianza en la cantidad de
pacientes atendidos por día en los últimos seis meses es igual a 10? Use un nivel
de significación del 10%. Interprete el resultado.
5. En cierta universidad se estima que el 25% de los estudiantes van en bicicleta a la
universidad. ¿Esta parece ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de
90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la universidad?
Utilice un nivel de significancia de 0,05.
6. Un investigador desea verificar si existe evidencia de una diferencia en la resistencia
media entre dos tipos de material para embalaje. La descripción de las lecturas en
pie-libra de la resistencia al impacto de los dos tipos de embalaje se muestra a
continuación.
Características Embalaje A Embalaje B
Media 1,2367 0,9778
Varianza 0,0042 0,0024
Observaciones 9 9
42
a. ¿Cuál es la hipótesis planteada?, ¿Es una hipótesis unilateral o bilateral?
b. A partir de los datos obtenidos compruebe la hipótesis y concluya con 2% de
nivel de significación. Asuma poblaciones normales.
7. Dos encuestas independientes sobre salarios, realizados en dos áreas metropolitanas
muy distintas entre si, revelaron la siguiente información con respecto a los sueldos
promedios de los operadores de equipo pesado.
Área A B
Media $6,50 / h. $7,00 / h.
Desviación Estándar $4,50 /h. $ 2,00 / h.
Tamaño de la muestra 15 24
Suponga que los datos provienen de poblaciones normales. ¿Se puede concluir que
los sueldos promedios son diferentes con un %5
8. Una agencia de seguros local desea comparar los gastos medios ocasionados por
daños en accidentes similares en dos modelos de automóviles. Nueve ejemplares del
primer modelo y siete del segundo modelo son sometidos a una colisión controlada
obteniendo los siguientes gastos, en dólares, por daños sufridos:
Colisión 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelo 1 345 310 305 345 355 375 320 310 305
Modelo 2 340 325 345 310 315 280 290
Si se supone que los gastos por daños en ambos modelos de automóviles siguen una
distribución normal, a un nivel de significación del 5%:
a. ¿Se puede afirmar que la variabilidad de los gastos por daños para cada modelo
de auto son iguales?
b. ¿Parece haber alguna diferencia en el gasto medio ocasionado por las colisiones
de cada modelo de auto?
9. Un patrocinador de un programa especial de televisión afirma que el programa
representa un atractivo mayor para los televidentes hombres que para las mujeres,
pero el personal de producción del programa piensa que es igual el porcentaje de
televidentes hombres y mujeres que ven el programa especial. Si una muestra
aleatoria de 300 hombres y otra de 400 mujeres reveló que 120 hombres y 120
mujeres estaban viendo el programa especial de televisión. Al nivel de significación
del 5%, ¿se podría decir que el patrocinador tiene la razón?
10. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestas por correo
influyen en la tasa de respuesta. El artículo “The Impact of Cover Design and First
Questions on Response Rates for a Mail Survey of Skydivers” (Leisure Sciences,
1991, pp. 67-76) probó esta teoría al experimentar con diferentes diseños de
portadas. Una portada era sencilla; la otra utilizó la figura de un paracaidista. Los
investigadores especularon que la tasa de devolución sería menor para la portada
sencilla.
43
Portada Número enviado Número devuelto
Sencilla 207 104
Paracaidista 213 109
¿Apoya esta información la hipótesis de los investigadores? Pruebe las hipótesis
pertinentes usando un nivel de significación del 5%.
11. El empleo de equipo de cómputo en las empresas está creciendo con una rapidez
vertiginosa. Un estudio reciente, en la que participaron 15 empresas del sector
industrial, reveló que 184 de 616 adultos trabajan utilizando con regularidad una
computadora personal, una microcomputadora, un terminal de computadora o un
procesador de texto en su trabajo. Se seleccionó otra muestra de 450 adultos, de 10
empresas del sector salud, en la muestra se obtuvo que 105 adultos utilizan con
regularidad una computadora persona, una microcomputadora, un terminal de
computadora o un procesador de texto en su trabajo ¿Existe diferencias
significativas entre los porcentajes de adultos, de las empresas del sector industria y
de salud, que utilizan algún equipo de cómputo en su trabajo? Use un nivel de
significación del 5%.
44
Capítulo 4
Prueba Chi Cuadrado
Una de las mayores utilidades de la distribución Ji-Cuadrado está en que permite
comparar frecuencias observadas (frecuencias obtenidas en un experimento o
muestreo) con frecuencias esperadas según un modelo supuesto (hipótesis nula).
Esta característica de la distribución Ji-cuadrado permite efectuar las siguientes
pruebas:
1. Prueba de independencia.
2. Prueba de homogeneidad de subpoblaciones.
3. Pruebas de bondad de ajuste a una distribución de probabilidades.
La metodología en cada uno de los tres casos es muy similar. La diferencia principal
está en la forma en que se calculan las frecuencias esperadas, ya que estas
dependerán de la hipótesis nula en cuestión.
Prueba de Independencia.
Esta prueba permite evaluar si dos variables son independientes entre sí. Suponga
que la primera variable permite clasificar a cada observación en una de r categorías
y que la segunda variable permite clasificar a cada observación en una de c
categorías. A la tabla que muestra ambas variables y las frecuencias observadas en
cada una de las r×c categorías resultantes se le conoce como tabla de contingencia
r×c.
Variable 2
Columna
1
Columna
2 . . .
Columna
c
Variable
1
Fila 1
Fila 2
.
.
.
Fila r
Esta prueba es especialmente útil cuando se trata de analizar la independencia entre
dos variables en escala nominal. Cuando las variables están en escala ordinal,
intervalo o razón, existen otros procedimientos más adecuados, como por ejemplo
mediante el cálculo de coeficientes de correlación (en un capítulo posterior se verá
el caso del coeficiente de correlación de Pearson, útil para analizar asociación lineal
entre dos variables cuantitativas).
45
Ejemplo.
Para determinar si existe una relación entre la calificación de un empleado en el
programa de capacitación y su rendimiento real en el trabajo, se tomó una muestra
de 400 casos de los archivos y se obtuvo las frecuencias observadas que se presentan
en la siguiente tabla de contingencia 3×3.
Calificación en el programa de
capacitación Total
Debajo del
promedio Promedio
Sobre el
promedio
Rendimiento real en
el trabajo
(calificación del
empleador)
Deficiente 23 60 29 112
Promedio 28 79 60 167
Muy bueno 9 49 63 121
Total 60 188 152 400
Con el nivel de significación 0,01, ¿La calificación del rendimiento del trabajador
está asociada con la calificación en el programa de capacitación?
Solución
Las variables que se muestran en la tabla son:
Variable 1: Calificación del rendimiento real en el trabajo, con 3 categorías:
Deficiente, promedio y muy bueno.
Variable 2: Calificación en el programa de entrenamiento, con 3 categorías: Debajo
del promedio, promedio o sobre el promedio.
La prueba de independencia compara las frecuencias observadas frente a las
frecuencias esperadas bajo el supuesto de que ambas variables sean independientes.
Para calcular las frecuencias esperadas se utiliza la siguiente fórmula:
tablalla de Total
fila) la de(Totalxcolumna)lade(Totalesperada Frecuencia
La siguiente tabla muestra tanto las frecuencias observadas como las esperadas
(entre paréntesis)
Calificación en el programa de
capacitación Total
Debajo del
promedio Promedio
Sobre el
promedio
Rendimiento real en
el trabajo
(calificación del
empleador)
Deficiente 23 (16,80) 60 (52,64) 29 (42,56) 112
Promedio 28 (25,05) 79 (78,49) 60 (63,46) 167
Muy bueno 9 (18,15) 49 (56,87) 63 (45,98) 121
Total 60 188 152 400
46
Pasos para realizar la prueba de independencia
1) Formulación de las hipótesis
H0: La calificación del rendimiento real de un empleado en el trabajo es
independiente de la calificación en el programa de capacitación.
H1: La calificación del rendimiento real de un empleado en el trabajo no es
independiente de la calificación en el programa de capacitación.
2) Fijación del nivel de significación: 0,01.
3) Estadístico de prueba
gl)1)(1(con~)( 2
1
2
2
c
crve
eok
i i
ii
4) Áreas y criterio de decisión.
Los grados de libertad para el estadístico Ji-cuadrado son (3-1)(3-1) = 4.
Criterio:
Si 2
c > 13,277 se rechaza H0
Si 2
c ≤ 13,277 no se rechaza H0.
5) Cálculos previos
18,2098,45
)98,4563(...
05,25
)05,2528(
80,16
)80,1623( 2222
c
6) Conclusión: Con nivel de significación 0,01 se rechaza la hipótesis nula. Por lo
tanto hay evidencia estadística suficiente para aceptar que la calificación del
rendimiento real de un empleado en el trabajo depende de la calificación en el
programa de entrenamiento.
Nota. (Corrección de Yates)
Cuando la muestra es menor de 50, cuando algunas frecuencias esperadas son
menores que 5, o cuando el grado de libertad del estadístico de prueba es igual a 1,
es recomendable aplicar la corrección de Yates; con esta corrección, el estadístico
de prueba es el siguiente:
k
i i
iicrv
e
,eo
1
2
2
2
c gl)1)(1(con50
0,01
2 0,01
= 13,277
47
Salida de MINITAB:
Chi-Square Test: Debajo del promedio, Promedio, Sobre el promedio Expected counts are printed below observed counts
Chi-Square contributions are printed below expected counts
Debajo del Sobre el
promedio Promedio promedio Total
1 23 60 29 112
16.80 52.64 42.56
2.288 1.029 4.320
2 28 79 60 167
25.05 78.49 63.46
0.347 0.003 0.189
3 9 49 63 121
18.15 56.87 45.98
4.613 1.089 6.300
Total 60 188 152 400
Chi-Sq = 20.179, DF = 4, P-Value = 0.000
Prueba de Homogeneidad de Proporciones
Esta prueba permite analizar si la distribución de probabilidades de una variable
categórica es la misma en r poblaciones.
Ejemplo.
Muestras de tres tipos de materiales, sujetos a cambios extremos de temperatura,
produjeron los resultados que se muestran en la siguiente tabla:
Material A Material B Material C Total
Desintegrados 41 27 22 90
Permanecieron intactos 79 53 78 210
Total 120 80 100 300
Use un nivel de significación de 0,05 para probar si, en las condiciones establecidas,
la probabilidad de desintegración es la misma para los tres tipos de materiales.
Pasos para realizar la prueba de homogeneidad de proporciones
1) Formulación de las hipótesis
H0: p1 = p2 = p3, donde pi corresponde a la probabilidad de desintegración con el
material i.
H1: No todas las proporciones son iguales.
2) Fijación del nivel de significación: 0,05.
48
3) Estadístico de prueba
gl)1)(1(con~)( 2
1
2
2
c
crve
eok
i i
ii
4) Áreas y criterios de decisión.
Los grados de libertad para el estadístico Ji-cuadrado son (2-1)(3-1) = 2.
Criterios:
Si 2
c > 5,991 se rechaza H0
Si 2
c ≤ 5,991 no se rechaza H0
5) Cálculos previos
Material A Material B Material C Total
Desintegrados 41 (36) 27 (24) 22 (30) 90
Permanecieron intactos 79 (84) 53 (56) 78 (70) 210
Total 120 80 100 300
575,470
)7078(...
84
)8479(
36
)3641( 2222
c
6) Con nivel de significación de 0,05 no se rechaza la hipótesis nula; los datos son
insuficientes para rechazar que la probabilidad de desintegración es la misma
para los tres tipos de materiales.
Salida de MINITAB:
Chi-Square Test: Material A, Material B, Material C Expected counts are printed below observed counts
Chi-Square contributions are printed below expected counts
Material A Material B Material C Total
1 41 27 22 90
36.00 24.00 30.00
0.694 0.375 2.133
2 79 53 78 210
84.00 56.00 70.00
0.298 0.161 0.914
Total 120 80 100 300
Chi-Sq = 4.575, DF = 2, P-Value = 0.101
0,05
2 0,05
= 5,991
49
Ejercicios
1) Un criminalista realizó una investigación para determinar si la incidencia de ciertos
tipos de crímenes varían de una parte a otra en una ciudad grande. Los crímenes
particulares de interés son asalto, robo, hurto y homicidio. La siguiente tabla
muestra el número de delitos cometidos en tres áreas de la ciudad durante el año
pasado:
Frecuencias observadas Frecuencias esperadas
Tipo de
delito
Distrito Tipo de
delito
Distrito
I II III I II III
Asalto 162 310 258 Asalto 171,1 348,9 210,0
Robo 118 196 193 Robo 118,9 242,3 145,8
Secuestro 451 996 458 Secuestro 446,6 910,5 547,9
Homicidio 18 25 10 Homicidio 12,4 25,3 15,2
¿Se puede concluir a partir de estos datos con un nivel de significación de 0,01 que
la ocurrencia de estos tipos de crimen no es independiente del distrito de la ciudad?
2) De acuerdo con un estudio de la Universidad Johns Hopkins publicado en el
American Journal of Public Health, las viudas viven más que los viudos. Considere
los siguientes datos de sobrevivencia de 100 viudas y 100 viudos después de la
muerte del cónyuge:
Años vividos Viuda Viudo
Menos de 5
De 5 a 10
Más de 10
25
42
33
39
40
21
¿Se puede concluir con un nivel de significación de 0,05 que las proporciones de
viudas y viudos son iguales con respecto a los diferentes períodos que un cónyuge
sobrevive a la muerte de su compañero?
3) Un estudio de la relación entre las condiciones de las instalaciones en gasolineras y
la agresividad en el precio de la gasolina, reporta los siguientes datos basados en una
muestra de 441 gasolineras. Al nivel de significación del 1%, ¿sugiere la
información que las condiciones de las instalaciones y la política de precios son
independientes entre sí?
Condición de la
instalación
Política de precios
Agresiva Neutral No agresiva
Anticuada 24 15 17
Condición estándar 52 73 80
Moderna 58 86 36
50
Capítulo 5
Diseños Experimentales
5.1. Introducción
Un experimento diseñado es una prueba o serie de pruebas en las cuales se inducen
cambios deliberados en las variables de entrada (factores controlables) de un
proceso o sistema, de manera que sea posible observar e identificar las causas de los
cambios en la variable de salida (variable respuesta).
Suponga por ejemplo que un exportador desea evaluar el efecto de tres métodos de
empaque y dos sustancias preservantes en el tiempo de duración de cierto alimento.
El exportador podría entonces realizar una serie de experimentos para evaluar cuál
de las 6 combinaciones entre método de empaque y sustancia preservante da
mejores resultados; a cada una de estas 6 combinaciones se les denomina
tratamientos. Suponga que el exportador decide realizar 5 repeticiones del
experimento con cada tratamiento. Como las condiciones ambientales (humedad,
temperatura, etc.) pueden influir en el tiempo de duración del producto, los 6
tratamientos deben ser sometidos a prueba en cada réplica en forma simultánea.
Dado que el tiempo de duración promedio del producto es de aproximadamente 10
días, el exportador decide realizar una réplica quincenal (por ejemplo, empezar la
primera réplica con los 6 tratamientos el día primero, la segunda el día 15, la tercera
el día primero del siguiente mes y así sucesivamente).
Este ejemplo ayuda a definir los siguientes términos:
Factor: Es una variable independiente o de entrada que puede afectar los resultados
del experimento. Los factores se pueden clasificar en controlables y no
controlables.
Factor en estudio: Un factor en estudio es aquel cuyos valores son controlados y
cuyo efecto será evaluado en los resultados del experimento. El interés principal del
experimentador es evaluar el efecto de estos factores. En el ejemplo anterior, el
método de empaque y la sustancia preservante son dos factores en estudio. A los
distintos valores de los factores en estudio que son evaluados se les llama niveles
del factor. En el ejemplo, el factor método de empaque tiene 3 niveles y el factor
sustancia preservante 2 niveles.
Factor de bloqueo: Es un factor cuyo efecto en la variable respuesta no es de
interés para el experimentador, pero cuyo efecto debe ser controlado para disminuir
la variabilidad en los resultados del experimento. En el ejemplo, cada repetición del
experimento es llevada a cabo en una quincena diferente. Se puede anticipar que
habrá diferencias de temperatura y humedad entre quincenas, diferencias que se sabe
pueden afectar los resultados del experimento. Por lo tanto, en este ejemplo, las
quincenas deben ser consideradas como bloques.
51
Tratamiento: Es un conjunto de procedimientos cuyo efecto se mide y compara con
los de otros tratamientos. Un tratamiento corresponde a una combinación de los
niveles de los factores en estudio, pudiendo ser estos uno o más.
Unidad experimental: Es la unidad a la cual se le aplica un tratamiento y en la cual
se mide el efecto de un tratamiento. En el ejemplo, la unidad experimental podría ser
un empaque de alimento.
Variable respuesta: Es la variable en la cual se evaluarán los efectos de los
tratamientos. En el ejemplo, la variable respuesta puede ser el tiempo de duración
observado de cada empaque.
Error experimental: Es la variabilidad existente entre los resultados de unidades
experimentales tratadas en forma similar. Cualquier factor no controlable contribuye
al error experimental. El error experimental proviene de dos fuentes principales:
variabilidad inherente al material experimental (en el ejemplo, habrán diferencias
entre las distintas muestras de alimentos sometidas a cada tratamiento y en cada
réplica) y variabilidad resultante de cualquier falta de uniformidad en la realización
física del experimento (en el ejemplo, si las muestras de alimento son colocadas en
posiciones diferentes sobre un anaquel, estarán sometidas a diferencias de luz, calor,
humedad, polvo, etc.).
Cualquier problema experimental involucra dos aspectos:
El diseño del experimento
El análisis estadístico de los datos.
Estos dos temas están estrechamente ligados, ya que el método de análisis depende
del diseño empleado.
52
Es importante en este tipo de análisis estadísticos que el experimentador haya
seguido de cerca todos los pasos del experimento, desde el diseño del mismo, hasta
el análisis final de los datos. Analizar datos cuya recogida no fue planificada puede
traer ciertos problemas:
Datos inconsistentes: Por cambios debidos al tiempo, envejecimiento, reparaciones,
etc. Esto provoca que los datos recogidos no sean consistentes lo que obviamente
traerá confusiones en la interpretación.
Variables altamente correlacionadas: Cuando dos variables del proceso están
correlacionadas, se pueden producir dos tipos diferentes de situación engañosa al
analizar datos recogidos durante las operaciones habituales.
1. Confusión de los efectos.
2. Relación no causal. Variable oculta.
En este capítulo se presentan tres casos de análisis:
El diseño completamente al azar (DCA): Este es un diseño en el que solo se
contempla un factor de estudio.
El diseño de bloques completos al azar (DBCA): Este es un diseño en el que se
contempla un factor de estudio y un factor de bloqueo.
El experimento factorial axb: Este es un diseño con dos factores en estudio, con
a y b niveles respectivamente.
5.2. Diseño Completamente al Azar
Suponga que se cuenta con los resultados de k muestras aleatorias independientes,
cada una de tamaño ni, obtenidas desde k diferentes poblaciones y se desea probar la
hipótesis de que las medias de estas k poblaciones son todas iguales. Las
poblaciones que se desea comparar suelen ser producto de la aplicación de distintos
tratamientos a ciertas unidades de análisis. Considere por ejemplo el caso en el que
se desea comparar el efecto de 5 programas de incentivos en la productividad de los
Variable1Variable1
Variable2Variable2Variable3Variable3
ConfusiónConfusión
Variable1Variable1
Variable2Variable2Variable3Variable3
ConfusiónConfusión
Variable1Variable1 Variable2Variable2
Variable3Variable3
Relación no causalRelación no causal
Variable1Variable1 Variable2Variable2
Variable3Variable3
Relación no causalRelación no causal
53
trabajadores; en este caso, los 5 programas de incentivos serían los 5 tratamientos
aplicados (los cuales definen las 5 poblaciones que se van a comparar), y la unidad
de análisis sería un trabajador (quien recibe el tratamiento).
Los datos a analizar pueden arreglarse en una tabla como la que se muestra a
continuación:
Tratamiento
Muestra
Tratamiento
1
Tratamiento
2
. . . Tratamiento
k
1
2
3
.
.
.
ni
y11
y12
y13
.
.
.
11ny
y21
y22
y23
.
.
.
21ny
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
yk1
yk2
yk3
.
.
.
kny1
Totales yi. y1. y2. . . . yk.
En esta tabla
.
1
in
i ij
j
y y
Defina al total de las 1
.k
i
i
n n
observaciones por
.. .
1 1 1
ink k
i ij
i i j
y y y
Para probar la hipótesis de que las muestras se obtuvieron de k poblaciones con
medias iguales se harán varias suposiciones. Con más precisión, se supondrá que las
poblaciones son normales y que tienen variancias iguales.
Si i denota la media de las i-ésima población y 2 denota la variancia común de
las k poblaciones, se puede expresar cada observación yij como i más el valor de
un componente aleatorio:
para 1,2,..., ; 1,2,...,ij i ij iy i k j n
Para lograr uniformidad en las ecuaciones correspondientes a clases de diseño más
complicados, se acostumbra reemplazar i por i , donde es la media general
para todas las poblaciones y i es el efecto del i-ésimo tratamiento, con
k
i i10 .
54
Con estos nuevos parámetros se puede escribir el modelo para este diseño de la
siguiente manera:
iijiij njkiparay ...,,2,1;...,,2,1
donde:
yij : La j- ésima observación en la i-ésima muestra.
: Parámetro de la media poblacional.
i : Efecto del i-ésimo tratamiento.
ij : Error aleatorio asociado a la observación yij, donde ij ~ N(0, 2 )
Tabla del análisis de variancia
Fuente de
variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Fc
Tratamientos k – 1
n
y
n
yk
i i
i
2
1
2
SC(Tr) 1
SC(Tr)CM(Tr)
k CME
)Tr(CM
Error n. – k SC(Tr)SCTSCE kn
SCECME
Total n. – 1
n
yy
k
i
n
j
ij
2
1 1
2SCT
Asumiendo el cumplimiento de los supuestos antes mencionados, y que en realidad
no hay diferencias entre los tratamientos, la cantidad Fc del cuadro de Análisis de
Variancia seguiría una distribución F con los grados de libertad de tratamientos y
del error. Entonces, se puede utilizar esta distribución para evaluar la hipótesis nula
de que no hay diferencias entre las medias de los tratamientos.
Ejemplo.
El vicepresidente de mercadeo de un banco importante planea poner en marcha
cierto tipo de promociones para atraer nuevos clientes en cuatro sucursales del
banco. Él está convencido de que diferentes tipos de promociones atraerán a
personas de diferentes grupos de ingreso, por lo que, de haber diferencias entre los
ingresos promedio de los clientes de cada sucursal, se optará por un programa de
promociones distinto para cada una. Considere a los montos de los depósitos como
una medida representativa de los ingresos de los clientes. En la siguiente tabla se
presentan datos para una muestra aleatoria de 7 depósitos desde cada sucursal (en
miles de soles) ¿Debe el vicepresidente optar por un programa de promociones
distinto para cada sucursal? Evalúe esta posibilidad con un nivel de significación del
5%.
55
Depósito Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 1 5,3 3,3 3,6 4,3 2 2,6 4,6 2,8 2,5 3 3,6 2,1 4,5 1,8 4 3,8 3,5 3,8 3,0 5 2,7 5,0 1,9 3,9 6 5,1 2,8 4,1 3,5 7 4,2 2,5 5,1 4,1
Total Yi. 27,3 23,8 25,8 23,1 Y.. = 100
Solución.
H0: 1 = 2 = 3 = 4 = 0
H1: Al menos un i ≠ 0
Los totales para las cuatro muestras son, respectivamente, 27,3, 23,8, 25,8 y 23,1, el
gran total es 100, y los cálculos con que se obtienen las sumas de cuadrados
necesarias son los siguientes:
1429,35728
)100(
.
2
24
1
7
1
n
yi j
ij
5686,11429,3577
)1,23()8,25()8,23()3,27(SC(Tr)
0171,2714,357)1,4(...)6,2()3,5(SCT
2222
222
La tabla del análisis de variancia es:
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrado
medio Fc Ft
Tratamientos 4 – 1 = 3 1,5686 0,5229 0,4931 3,01
Error 28 – 4 = 24 25,4486 1,0604
Total 28 – 1 = 27 27,0171
Puesto que el valor obtenido para Fc es menor que 3,01, que corresponde al valor F
0,05 con 3 y 24 grados de libertad, la hipótesis nula no puede ser rechazada con un
nivel de significación de 0,05; se concluye entonces que no se puede rechazar la
hipótesis de que las medias de los depósitos en las 4 sucursales son iguales y la
recomendación sería no implementar programas de promociones diferentes para
cada sucursal.
56
A continuación se presenta la salida del SPSS para el análisis de variancia para una
vía de este ejemplo, junto con las pruebas para la verificación de los supuestos.
Supuesto de Homogeneidad de Variancias:
H0: 2
4
2
3
2
2
2
1 (esto es, la variancia es la misma en las cuatro sucursales)
H1: Al menos una variancia es diferente.
4
3
2
1
3.02.52.01.51.00.5
Su
cu
rsa
l
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
Test Statistic 0.19
P-Value 0.980
Test Statistic 0.04
P-Value 0.988
Bartlett's Test
Levene's Test
Test for Equal Variances for Depósitos
Con un valor de probabilidad de 0.98, el resultado de esta prueba indica que no hay
suficiente evidencia estadística para rechazar el supuesto de homogeneidad de
variancias.
Supuesto de Normalidad:
H0: Los errores del modelo tienen distribución normal.
H1: Los errores del modelo no tienen distribución normal.
57
210-1-2
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
RESI1
Pe
rce
nt
Mean 5.551115E-17
StDev 0.9708
N 28
KS 0.081
P-Value >0.150
Probability Plot of RESI1Normal
Con un valor de probabilidad de 0.150, el resultado de esta prueba indica que no hay
suficiente evidencia estadística para rechazar el supuesto de normalidad.
Análisis de Variancia:
General Linear Model: Depósitos versus Sucursal Factor Type Levels Values
Sucursal fixed 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for Depósitos, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Sucursal 3 1.569 1.569 0.523 0.49 0.690
Error 24 25.449 25.449 1.060
Total 27 27.017
S = 1.02974 R-Sq = 5.81% R-Sq(adj) = 0.00%
5.3. Prueba para la diferencia de medias
Se supone que el experimentador tiene a su disposición mediciones relativas a
varios tratamientos. El análisis de variancia indica si hay evidencias de que al menos
una de las medias sea diferente o no. Cuando se rechaza la hipótesis nula, el análisis
de variancia no revela cuál o cuáles de las medias son significativamente diferentes;
en estos casos se deben utilizar otras pruebas estadísticas.
58
Método de Comparaciones Múltiples: Prueba de Tukey-Kramer:
Cuando el experimentador desea determinar todos los pares de medias que se puede
concluir que difieren de otro (µi vs µj) se utilizan las pruebas de comparaciones
múltiples, como la de Tukey-Kramer. Con esta prueba, con el fin de probar todas
las hipótesis nulas simultaneas H0: µi - µj = 0, los estadísticos de prueba son:
√
(
)
Donde CME es el cuadrado medio del error del Análisis de Varianza, Ji y Jj son los
tamaños de muestra de los tratamientos i y j respectivamente.
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a las mediciones de los pesos de recubrimiento
de estaño de discos por cuatro laboratorios diferentes.
Laboratorio A Laboratorio B Laboratorio C Laboratorio D Total
0,25 0,18 0,19 0,23
0,33 0,28 0,25 0,30
0,22 0,21 0,27 0,28
0,30 0,23 0,24 0,28
0,27 0,25 0,18 0,24
0,28 0,20 0,26 0,34
0,32 0,27 0,28 0,20
0,24 0,19 0,24 0,18
0,31 0,24 0,25 0,24
0,26 0,22 0,20 0,28
0,20 0,29 0,21 0,22
0,28 0,16 0,19 0,21
Total 3,26 2,72 2,76 3,00 11,740
Media 0,272 0,227 0,230 0,250
La tabla del análisis de variancia es:
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrado
medio
Fc Ft
Laboratorios 3 0,0156 0,0052 3,133 2,82
Error 44 0,0728 0,0017
Total 47 0,0884
Determine qué medias difieren de las otras. Use un nivel de significación 05.0 .
59
Desarrollando el ejemplo utilizando el MINITAB se obtienen los siguientes
resultados:
0.100.050.00-0.05-0.10
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
RESI2
Pe
rce
nt
Mean -8.67362E-18
StDev 0.03937
N 48
KS 0.077
P-Value >0.150
Probability Plot of RESI2Normal
D
C
B
A
0.100.090.080.070.060.050.040.030.02
La
bo
rato
rio
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
Test Statistic 0.96
P-Value 0.810
Test Statistic 0.26
P-Value 0.852
Bartlett's Test
Levene's Test
Test for Equal Variances for Pesos de Recubrimiento
¿Cuáles son las hipótesis?
Ho: ………………………………………………
H1: ………………………………………………
¿Cuáles son las hipótesis?
Ho: ………………………………………………
H1: ………………………………………………
60
General Linear Model: Pesos de Recubrimiento versus Laboratorio Factor Type Levels Values
Laboratorio fixed 4 A, B, C, D
Analysis of Variance for Pesos de Recubrimiento, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Laboratorio 3 0.015558 0.015558 0.005186 3.13 0.035
Error 44 0.072833 0.072833 0.001655
Total 47 0.088392
S = 0.0406854 R-Sq = 17.60% R-Sq(adj) = 11.98%
Unusual Observations for Pesos de Recubrimiento
Pesos de
Obs Recubrimiento Fit SE Fit Residual St Resid
42 0.340000 0.250000 0.011745 0.090000 2.31 R
R denotes an observation with a large standardized residual.
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Pesos de Recubrimiento
All Pairwise Comparisons among Levels of Laboratorio
Laboratorio = A subtracted from:
Laboratorio Lower Center Upper
B -0.08940 -0.04500 -0.000604
C -0.08606 -0.04167 0.002729
D -0.06606 -0.02167 0.022729
Laboratorio --------+---------+---------+--------
B (--------*--------)
C (--------*--------)
D (--------*--------)
--------+---------+---------+--------
-0.050 0.000 0.050
Laboratorio = B subtracted from:
Laboratorio Lower Center Upper --------+---------+---------+-------
-
C -0.04106 0.003333 0.04773 (--------*--------)
D -0.02106 0.023333 0.06773 (--------*--------)
--------+---------+---------+-------
-
-0.050 0.000 0.050
Laboratorio = C subtracted from:
Laboratorio Lower Center Upper --------+---------+---------+--------
D -0.02440 0.02000 0.06440 (--------*--------)
--------+---------+---------+--------
-0.050 0.000 0.050
61
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable Pesos de Recubrimiento
All Pairwise Comparisons among Levels of Laboratorio
Laboratorio = A subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Laboratorio of Means Difference T-Value P-Value
B -0.04500 0.01661 -2.709 0.0456
C -0.04167 0.01661 -2.509 0.0724
D -0.02167 0.01661 -1.304 0.5651
Laboratorio = B subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Laboratorio of Means Difference T-Value P-Value
C 0.003333 0.01661 0.2007 0.9971
D 0.023333 0.01661 1.4048 0.5032
Laboratorio = C subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Laboratorio of Means Difference T-Value P-Value
D 0.02000 0.01661 1.204 0.6276
Estos resultados pueden resumirse en un diagrama de líneas como el que se muestra a
continuación. La idea es que los tratamientos unidos por una línea no presentan
diferencias significativas.
B C D A
0,227 0,230 0,250 0,272
5.4. Diseño con Bloques Completos al Azar
Se supone que el experimentador tiene a su disposición mediciones relativas a a
tratamientos aplicados sobre b bloques. Los bloques son utilizados para controlar
una fuente de variabilidad adicional a los tratamientos, que aunque no es el objetivo
fundamental de la investigación, puede ser identificada de antemano. Esto puede
ocurrir por ejemplo en experimentos en donde los datos se toman por días, y en
donde se sabe que los resultados pueden diferir entre los distintos días, o cuando
cada tratamiento es evaluado en un mismo individuo (una persona, una máquina,
etc), de modo que se espera que existan diferencias en los resultados atribuibles a
cada individuo. En términos más generales, la idea es que las observaciones sean lo
más homogéneas dentro del bloque y heterogéneas entre bloques.
Los bloques son completos porque todos los tratamientos aparecen en igual número,
usualmente una vez, dentro de cada bloque, y son al azar por que los tratamientos
son asignados aleatoriamente dentro de cada bloque.
62
Los datos a analizar pueden arreglarse en una tabla como la que se muestra a
continuación:
Bloques
Tratamientos Totales
T1 T2 T3 ... Ti ... Ta
B1 y11 y21 y31 ... yi1 ... ya1 1.y
B2 y12 y22 y32 ... yi2 ... ya2 2.y
B3 y13 y23 y33 ... yi3 ... ya3 3.y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
Bj y1j y2j y3j ... yij ... yaj jy.
. . . . ... . ... .
Bb y1b y2b y3b ... yib ... yab by.
Totales .1y .2y .3y ... .iy ... .ay ..y
Cada observación puede ser expresada con el siguiente modelo lineal.
ijjiijy bjai ,...,2,1 ; ,...,2,1 para
donde:
yij : Es la observación relativa al i-ésimo tratamiento del j-ésimo bloque.
: Es la gran media
i : Es el efecto del i-ésimo tratamiento.
j : Es el efecto del j-ésimo bloque.
ij : Es el error aleatorio correspondiente a la observación yij.
En este modelo se tiene que:
0011
b
j
j
a
i
i
63
Las sumas de cuadrados se pueden calcular con las siguientes fórmulas:
a
i
b
j
ijab
yy
1
2
..
1
2SCT
ab
y
b
ya
i
i
2
..
1
2
.SC(Tr)
ab
y
a
yb
j
j2
..
1
2
.SCB
SCBSC(Tr)SCTSCE
Tabla del análisis de variancia
Fuente de
variación
Grados de
libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio F
Tratamientos a - 1 ab
y
b
ya
i
i
2
..
1
2
.SC(Tr)
1
SC(Tr)CM(Tr)
a
CME
)Tr(CMFT
Bloques b - 1 ab
y
a
yb
j
j2
..
1
2
.SCB
1
SCBCMB
b
Error (a - 1)(b - 1) SCBSC(Tr)SCTSCE )1)(1(
SCECME
ba
Total ab - 1
a
1i
2
..b
1j
2
ijab
yySST
Observe que en la tabla se puede obviar el valor de F para probar el efecto de los
bloques, la razón es que el experimento se diseñó para probar un solo factor. La
formación de bloques se hizo para eliminar tal variación del término CME. Pero, el
estudio no se diseñó para detectar las diferencias individuales para los niveles del
bloque.
Ejemplo
Se han tomado muestras de aguas subterráneas de cinco diferentes zonas de depósito
de aguas tóxicas por cada una de las tres agencias siguientes: la EPA, la compañía
propietaria de los lugares de depósito y un asesor independiente dedicados a asuntos
de ingeniería. Cada muestra fue analizada buscando detectar la presencia de cierto
contaminante por todos los métodos de laboratorio que la agencia que recolectó la
muestra suele emplear. Se consideraron los siguientes resultados:
64
Lugar A Lugar B Lugar C Lugar D Lugar E Suma
Agencia 1 23,8 7,6 15,4 30,6 4,2 81,6
Agencia 2 19,2 6,8 13,2 22,5 3,9 65,6
Agencia 3 20,9 5,9 14 27,1 3 70,9
Suma 63,9 20,3 42,6 80,2 11,1 218,1
¿Existe alguna razón para creer que las agencias no son, en sus mediciones,
consistentes entre sí? ¿Difiere una zona de depósito con respecto a cualquier otra en
su nivel de contaminación? Utilice un nivel de significación de 0,05.
Solución
1. Las hipótesis nula y alterna son.
igualessonlastodasNoH
H
:
:
1
3210
2. El nivel de significación: 05,0 .
3. Criterio:
Para tratamientos, se rechaza la hipótesis nula si F > 4,46, el valor de F0,95 para 2
y 8 grados de libertad.
Para bloques, se rechaza la hipótesis nula si F > 3,84, el valor de F0,95 para 4 y 8
grados de libertad.
4. Cálculos.
Sustituyendo a = 3, b. = 5, y1. = 81,6, y2. = 65,6, y3. = 70,9 y.. = 218,1, y
97,43361 1
2
a
i
b
j
ijy en las expresiones para calcular la suma de cuadrados, se
obtiene:
17,3171)15(
)1,218( 2
23
1
5
1
ab
yi j
ij
96,21SCBSC(Tr)SCTSCE
26,111717,31713
)1,11(...
3
)9,63(SCB
57,2617,31715
)9,70(
5
)5,65(
5
)6,81(SC(Tr)
80,116517,317197,4336SCT
22
222
65
El cuadro de análisis de variancia es.
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrado
medio
F Ft
Tratamientos 3 – 1 = 2 26,57 13,29 4,84 4,46
Bloques 5 – 1 = 4 1117,26 279,32
Error (3-1)(5-1)=8 21,96 2,75
Total (3)(5) – 1 = 14 1165,80
5. Decisión.
Para tratamientos, como F > 4,46, concluimos que existen diferencias
significativas entre las agencias.
A continuación se presentan los resultados obtenidos con MINITAB para el
análisis de variancia.
General Linear Model: Contaminante versus Agencias, Lugares Factor Type Levels Values
Agencias fixed 3 Agencia 1, Agencia 2, Agencia 3
Lugares fixed 5 A, B, C, D, E
Analysis of Variance for Contaminante, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Agencias 2 26.57 26.57 13.29 4.84 0.042
Lugares 4 1117.26 1117.26 279.32 101.75 0.000
Error 8 21.96 21.96 2.75
Total 14 1165.80
S = 1.65685 R-Sq = 98.12% R-Sq(adj) = 96.70%
Unusual Observations for Contaminante
Obs Contaminante Fit SE Fit Residual St Resid
11 22.5000 25.3133 1.1318 -2.8133 -2.33 R
R denotes an observation with a large standardized residual.
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Contaminante
All Pairwise Comparisons among Levels of Agencias
Agencias = Agencia 1 subtracted from:
Agencias Lower Center Upper -+---------+---------+---------+-----
Agencia 2 -6.194 -3.200 -0.2065 (---------*---------)
Agencia 3 -5.134 -2.140 0.8535 (---------*---------)
-+---------+---------+---------+-----
-6.0 -3.0 0.0 3.0
Agencias = Agencia 2 subtracted from:
Agencias Lower Center Upper -+---------+---------+---------+-----
Agencia 3 -1.934 1.060 4.054 (---------*---------)
-+---------+---------+---------+-----
-6.0 -3.0 0.0 3.0
66
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable Contaminante
All Pairwise Comparisons among Levels of Agencias
Agencias = Agencia 1 subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Agencias of Means Difference T-Value P-Value
Agencia 2 -3.200 1.048 -3.054 0.0375
Agencia 3 -2.140 1.048 -2.042 0.1642
Agencias = Agencia 2 subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Agencias of Means Difference T-Value P-Value
Agencia 3 1.060 1.048 1.012 0.5906
5.5. Experimento Factorial axb.
Usualmente en los experimentos se desea estudiar el efecto de dos o más factores.
Por diseño factorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del
experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los
factores.
Por ejemplo.
Factor A: con a niveles
Factor B: con b niveles.
Entonces cada réplica puede contener todas la ab combinaciones de los tratamientos.
5.5.1. Tipos de modelos
Modelo de efectos fijos
Cuando el investigador sólo está interesado en estudiar ciertos niveles de los
factores involucrados y por lo tanto la selección no es aleatoria. Los resultados sólo
serán útiles para los niveles considerados en el estudio y las hipótesis están referidas
a las medias de los niveles seleccionados. En esta sección solo se tratará el caso de
un experimento factorial con dos factores fijos.
Modelo de efectos aleatorios
Cuando el investigador está interesado en un gran número de posibles niveles, y no
es posible estudiarlos todos, la mejor manera de estudiarlos es seleccionar
aleatoriamente una cantidad de niveles de la población de niveles de cada factor en
estudio. Los resultados podrán generalizarse para toda población de niveles. En este
caso las hipótesis están referidas a la variancia de los factores.
67
Modelo de efectos mixtos
Cuando los niveles de algunos de los factores son elegidos aleatoriamente y los
niveles de los otros factores, también considerados en el estudio, son fijados por el
investigador.
5.5.2. Diseño factorial de dos factores
En la práctica se suele trabajar con diseños de dos factores, A y B, donde cada factor
tiene dos o más niveles.
Ejemplo
Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se
someterá a variaciones de temperatura extrema. El único parámetro de diseño que
puede seleccionar en este punto es el material de la placa o ánodo de la batería y
tiene tres elecciones posibles. Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíe al
campo, el ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas extremas en las que
operará el dispositivo, pero sabe por experiencia que la temperatura probablemente
afectará la vida efectiva de la batería. El ingeniero decide probar los tres materiales
de la placa con tres niveles de temperatura, 15, 70 y 125°F, ya que estos niveles de
temperatura son consistentes con el medio ambiente donde se usará finalmente el
producto. Se prueban cuatro baterías con cada combinación del material de la placa
y la temperatura, y las 36 pruebas se corren de manera aleatoria. La tabla siguiente
muestra los resultados obtenidos.
Vida en horas de las baterías
Tipo de
material (A)
Temperatura (B)
15°F 70°F 125°F
M1 130 155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
M2 150 188 136 122 25 70
159 126 106 115 58 45
M3 138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
¿Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería?
Las observaciones de un experimento factorial de este tipo pueden describirse con el
siguiente modelo:
( )
donde:
1,2,...,
1,2,...,
1,2,...,
ijk i j ij ijky
i a
j b
k n
68
En este modelo es el efecto de la media global, i es el efecto del nivel i-ésimo
del factor A, j es el efecto del nivel j-ésimo del factor B, ( )ij es el efecto de la
interacción entre i y j , y ijk es un componente de error aleatorio. Se supone que
los errores tienen distribución normal con media cero y variancia constante.
5.5.3. Pruebas de hipótesis
Asumiendo que ambos factores son fijos las hipótesis a probar están dadas por:
Efecto principal del factor A:
0 1 2
1
: ... 0
: al menos un 0
a
i
H
H
Efecto principal del factor B:
0 1 2
1
: ... 0
: al menos un 0
b
j
H
H
Efecto de la interacción entre ambos factores:
0
1
: ( ) 0 ,
: al menos un ( ) 0
ij
ij
H i j
H
5.5.4. Descomposición de la suma de cuadrados
En este diseño, el cuadro de análisis de variancia está dado por:
Fuentes de
Variación
Grados de Libertad
(gl)
Sumas de
Cuadrados (SC)
Cuadrados Medios
(CM) Fc
A a – 1 SC(A) SC( )
gl( )
A
A
CM( )
CM(Error)
A
B b – 1 SC(B) SC( )
gl( )
B
B
CM( )
CM(Error)
B
AB (a – 1)(b-1) SC(AB) SC( )
gl( )
AB
AB
CM( )
CM(Error)
AB
Error
Experimental ab( n – 1) SC(Error)
SC(Error)
gl(Error)
Total abn – 1 SC(Total)
69
A continuación se presenta el cuadro de análisis de variancia para el ejemplo tratado
en esta sección:
Fuentes de
Variación
Grados de
Libertad (gl)
Sumas de
Cuadrados (SC)
Cuadrados
Medios (CM) Fc p
A 2 10683,72 5341,86 7,911 0,0020
B 2 39118,72 19559,36 28,968 0,0000
AB 4 9613,78 2403,44 3,560 0,0186
Error
Experimental 27 18230,75 675,21
Total 35 77646.97
Los resultados de este análisis indican lo siguiente:
Para el factor A: Se rechaza H0, por lo que se concluye que hay diferencias
significativas en el tiempo medio de duración de las baterías dependiendo del tipo
de material.
Para el factor B: Se rechaza H0, por lo que se concluye que hay diferencias
significativas en el tiempo medio de duración de las baterías dependiendo de la
temperatura.
Para la interacción: Se rechaza H0, por lo que se concluye que existe un efecto de
interacción entre el tipo de material y la temperatura.
Como la interacción es significativa, las comparaciones entre las medias de uno de
los factores pueden ser empañadas por la interacción AB. En estos casos, es
recomendable basar las conclusiones en un gráfico como el que se muestra a
continuación:
0.0
25.0
50.0
75.0
100.0
125.0
150.0
175.0
15 °F 70 °F 125 °F
Vid
a p
rom
ed
io
Temperatura
Gráfica tipo de material-temperatura
M1
M2
M3
70
De este gráfico se pueden desprender las siguientes conclusiones:
Cuando la temperatura de operación es de 15°F, aparentemente los tres
materiales resultan igualmente eficientes.
Cuando la temperatura de operación es de 70°F, el material M3 parece ser la
mejor opción seguido del material M2.
Cuando la temperatura de operación es de 125°F, el material M3 parece ser la
mejor opción. Con los materiales M1 y M2 se obtienen rendimientos más bajos
e indistinguibles.
A continuación se muestra el análisis efectuado con MINITAB:
General Linear Model: Vida (horas) versus Tipo De Material, Temperatura Factor Type Levels Values
Tipo De Material fixed 3 M1, M2, M3
Temperatura fixed 3 125°F, 15°F, 70°F
Analysis of Variance for Vida (horas), using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Tipo De Material 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002
Temperatura 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000
Tipo De Material*Temperatura 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019
Error 27 18230.8 18230.8 675.2
Total 35 77647.0
S = 25.9849 R-Sq = 76.52% R-Sq(adj) = 69.56%
Unusual Observations for Vida (horas)
Vida
Obs (horas) Fit SE Fit Residual St Resid
2 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R
8 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R
R denotes an observation with a large standardized residual.
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Vida (horas)
All Pairwise Comparisons among Levels of Tipo De Material
Tipo De Material = M1 subtracted from:
Tipo De
Material Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+--
M2 -1.162 25.17 51.50 (---------*----------)
M3 15.588 41.92 68.25 (----------*---------)
----+---------+---------+---------+--
0 25 50 75
Tipo De Material = M2 subtracted from:
Tipo De
Material Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+--
M3 -9.579 16.75 43.08 (----------*---------)
----+---------+---------+---------+--
0 25 50 75
71
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable Vida (horas)
All Pairwise Comparisons among Levels of Tipo De Material
Tipo De Material = M1 subtracted from:
Tipo De Difference SE of Adjusted
Material of Means Difference T-Value P-Value
M2 25.17 10.61 2.372 0.0628
M3 41.92 10.61 3.951 0.0014
Tipo De Material = M2 subtracted from:
Tipo De Difference SE of Adjusted
Material of Means Difference T-Value P-Value
M3 16.75 10.61 1.579 0.2718
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Vida (horas)
All Pairwise Comparisons among Levels of Temperatura
Temperatura = 125°F subtracted from:
Temperatura Lower Center Upper ---+---------+---------+---------+---
15°F 54.34 80.67 107.00 (----*----)
70°F 17.09 43.42 69.75 (-----*----)
---+---------+---------+---------+---
-50 0 50 100
Temperatura = 15°F subtracted from:
Temperatura Lower Center Upper ---+---------+---------+---------+---
70°F -63.58 -37.25 -10.92 (-----*----)
---+---------+---------+---------+---
-50 0 50 100
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable Vida (horas)
All Pairwise Comparisons among Levels of Temperatura
Temperatura = 125°F subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Temperatura of Means Difference T-Value P-Value
15°F 80.67 10.61 7.604 0.0000
70°F 43.42 10.61 4.093 0.0010
Temperatura = 15°F subtracted from:
Difference SE of Adjusted
Temperatura of Means Difference T-Value P-Value
70°F -37.25 10.61 -3.511 0.0044
72
Ejercicios
1) Para determinar la mejor disposición de los instrumentos sobre el tablero de control
de un aeroplano, se prueban tres distintos arreglos simulando una situación de
emergencia y se observa el tiempo de reacción requerido para corregir la avería. Los
tiempos de reacción (en décimas de segundo) de 28 pilotos (aleatoriamente
asignados a los diversos arreglos) son los siguientes:
Total
Disposición 1 14 13 9 15 11 13 14 10 12 111
Disposición 2 10 12 9 7 11 8 12 9 10 13 101
Disposición 3 11 5 9 10 6 8 8 7 6 70
282
2 3030ijy
a) Con un nivel de significación de 0.01 pruebe si se puede rechazar la hipótesis
nula de que las diferencias entre las disposiciones no tienen efecto alguno.
b) De rechazar la hipótesis nula en a), realice la prueba de Duncan.
2) En un estudio se investigó la importancia de los valores éticos corporativos entre
personas que se especializan en mercadotecnia. Los datos siguientes muestran las
puntuaciones sobre la evaluación realizada; las puntuaciones más altas indican
valores éticos mayores.
a) Indique el modelo lineal e intérprete sus componentes.
b) Usando 0,05 pruebe si hay diferencias significativas en la importancia de
los valores entre los tres grupos.
Gerentes de
mercadotecnia
Investigadores de
mercadotecnia
Publicidad
5432
ijy
5 2 8
5 3 9
4 2 6
5 4 9
4 3 6
4 4 8
Total 27 18 46
3) Un ingeniero industrial prueba cuatro diferentes disposiciones de los anaqueles de
una tienda de departamentos que cuenta con seis cuadrillas de trabajadores para
ensamblar. Cada cuadrilla monta los anaqueles en cada una de las cuatro diferentes
disposiciones y se mide el tiempo que emplean (en minutos).
73
Arreglo 1 Arreglo 2 Arreglo 3 Arreglo 4 Total
Cuadrilla A 48,2 53,1 51,2 58,6 211,1
Cuadrilla B 49,5 52,9 50,0 60,1 212,5
Cuadrilla C 50,7 56,8 49,9 62,4 219,8
Cuadrilla D 48,6 50,6 47,5 57,5 204,2
Cuadrilla E 47,1 51,8 49,1 55,3 203,3
Cuadrilla F 52,4 57,2 53,5 61,7 224,8
Total 296,5 322,4 301,2 355,6 1275,7
Sabiendo que, 53,281682
ijy , pruebe con un nivel de significación de 0,01 si
las cuatro disposiciones producen distintos tiempos promedio de montaje.
4) En un estudio se asignan tres dietas por un período de tres días a cada uno de seis
sujetos en un diseño de bloques completos al azar. A los sujetos, que juegan el papel
de bloques, se les asignan las siguientes tres dietas en orden aleatorio.
Dieta 1: mezcla de grasa y carbohidratos
Dieta 2: alta en grasa
Dieta 3: alta en carbohidratos
Al final del período de tres días cada sujeto se coloca un aparato para caminata y se
mide el tiempo de agotamiento en segundos. Se registraron los siguientes datos:
Sujeto Total
Dieta I II III IV V VI
1 84 35 91 57 56 45 368
2 91 48 71 45 61 61 377
3 122 53 110 71 91 122 569
Total 297 136 272 173 208 228 1314
a) Defina el modelo en términos del problema.
b) Utilice nivel de significación de 0,01 para determinar si hay diferencias
significativas entre las dietas.
5) Una empresa de pedidos por correo diseñó un experimento factorial para investigar
el efecto que tiene el tamaño de un anuncio en revistas y el diseño mismo del
anuncio, sobre la cantidad de pedidos recibidos (en miles). Se consideraron tres
diseños de anuncios y dos tamaños de anuncios. Los datos que se obtuvieron
aparecen en la tabla siguiente. Aplique el procedimiento de análisis de variancia
para experimentos factoriales e investigue si hay efectos apreciables debidos al tipo
de diseño, tamaño del anuncio o interacción entre esos dos factores. Use 05,0 .
74
Tamaño del anuncio
Pequeño Grande Total
58822 ijky Diseño
A
8 12 20
12 8 20
14 16 30
B
22 26 48
14 30 44
20 30 50
C
10 18 28
18 14 32
15 17 32
Total 84 133 171
6) Se diseñó un experimento factorial para determinar si hay diferencias significativas
en el tiempo necesario para traducir del inglés a otra lengua con dos sistemas de
traducción computarizado. Como se cree que un factor importante es el idioma al
que se va a traducir, se hicieron traducciones con ambos sistemas para tres idiomas
distintos; español, francés y alemán. Use los datos siguientes para el tiempo de
traducción, en horas.
Sistema Idioma
Español Francés Alemán
Sistema 1
8 10 12
12 14 16
10 12 14
Sistema 2
6 14 16
10 16 22
14 20 24
a) Defina el modelo aditivo lineal e intérprete sus componentes.
b) Determine si hay diferencias importantes debidas al programa de traducción, al
idioma y a su interacción. Use .05,0α
7) El Director de un supermercado
está interesado en estudiar el
efecto llamado de estantería en las
ventas de un producto. El producto
se encuentra situado en A: a nivel
alcance, B: nivel de las manos, C:
a nivel de la vista. Para realizar el
experimento, los supermercados
han sido clasificados según su
tamaño. Analice los datos
considerando un nivel de
significación del 5%. Identifique el modelo y sus componentes, los factores, los
niveles del factor y la variable respuesta. Determine, si es posible, la mejor
combinación de niveles de los factores.
Tamaño del
Supermerca
do
Ubicación en la estantería
A nivel
alcance
Nivel de
las
manos
A nivel
de la
vista
Pequeño
55 67 76
60 83 83
62 74 80
Grande
80 85 92
98 97 103
84 90 98
75
Capítulo 6
Análisis de Correlación y Regresión
6.1 Introducción
El análisis de regresión lineal y de correlación comprende el estudio de los datos
muestrales para saber si dos o más variables de una población están relacionadas entre
sí.
El análisis de regresión lineal da como resultado una ecuación matemática que
describe cierta relación determinada. La ecuación puede usarse para estimar o predecir
los valores de una variable cuando se conocen o se suponen conocidos los valores de
otra variable.
El análisis de correlación da como resultado un número que resume el grado de
relación lineal existente entre dos variables. Es útil en un trabajo exploratorio cuando el
investigador desea encontrar el grado o la fuerza de esa relación.
6.2 El diagrama de dispersión
El primer paso en el análisis de regresión, es construir una gráfica de los datos
muestrales en un plano bidimensional. Esta gráfica se denomina diagrama de dispersión.
El diagrama de dispersión indica frecuentemente el tipo de tendencia de y con respecto a
x. Esta tendencia puede ser lineal o no lineal. En el primer caso se estimará una recta y
en el segundo caso una curva.
Ejemplo
Un comerciante al menudeo lleva a cabo un estudio para determinar la relación entre los
gastos semanales de publicidad y las ventas. Se registran los siguientes datos:
Costos de publicidad ($) Ventas ($)
40 500
20 400
25 395
20 365
30 475
50 510
40 490
20 420
50 560
40 525
25 420
50 525
Elabore el diagrama de dispersión de los datos.
76
Solución:
El diagrama es el siguiente:
6.3 El método de los mínimos cuadrados
El método más empleado para ajustar una línea recta a un conjunto de puntos es
conocido mínimos cuadrados, cuya recta resultante tiene dos características importantes:
La suma de las desviaciones verticales de los puntos con relación a la recta es cero;
y
La suma de los cuadrados de las desviaciones es mínima (es decir, ninguna otra
recta daría una menor suma de cuadrados de tales desviaciones)
Simbólicamente el valor que se minimiza es:
n
1i
2
ii )yy(
Los valores de 10 y que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones,
son las soluciones de las llamadas ecuaciones normales de la recta de regresión:
n
1i
2
i1
n
1i
i0i
n
1i
i
n
1i
i10
n
1i
i
xxyx
xny
Diagrama de dispersión del costo de publicidad y
las ventas
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60
Costo de publicidad ($)
Ve
nta
s (
$)
77
Resolviendo las ecuaciones simultáneas para 10 y tenemos:
xˆyˆy
xxn
yxyxn
ˆ102
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
1
La línea recta estimada
La línea recta tiene dos importantes componentes:
La pendiente de la recta y
La ordenada de la recta (el valor de y) en determinado punto (cuando x = 0)
La ecuación lineal es la siguiente:
i10i xˆˆy
Ejemplo 9.2.- Estime la ecuación de la recta del ejemplo anterior.
Nº Costos de
publicidad ($), x Ventas ($), y xy x2 y2
1 40 500 20000 1600 250000
2 20 400 8000 400 160000
3 25 395 9875 625 156025
4 20 365 7300 400 133225
5 30 475 14250 900 225625
6 50 510 25500 2500 260100
7 40 490 19600 1600 240100
8 20 420 8400 400 176400
9 50 560 28000 2500 313600
10 40 525 21000 1600 275625
11 25 420 10500 625 176400
12 50 525 26250 2500 275625
Suma 410 5585 198675 15650 2642725
9543,301ˆ7843,4)410()15650(12
)5585)(410()198675(12ˆ021
Pendiente Punto de corte
78
Descomposición de la varianza total.
La distancia )yy( i se puede descomponer de la siguiente manera:
)yy()yy()yy( iiii
Elevando al cuadrado ambos miembros y aplicando sumatorias se tiene:
)yy()yy(2)yy()yy(
)yy()yy()yy(
i
n
1i
i
n
1i
2
ii
n
1i
2
i
n
1i
2
iii
n
1i
2
i
Operando algebraicamente se obtiene la siguiente relación:
SSESSRSST
)yy()yy()yy(n
1i
2
ii
n
1i
2
i
n
1i
2
i
Sumas de Cuadrados
n
y
y)yy(SST
2n
1i
in
1i
2
i
n
1i
2
i
n
x
xˆ)xx(ˆ)yy(SSR
2n
1i
in
1i
2
i
2n
1i
2
i
2n
1i
2
i 11
SSRSST)yy(SSEn
1i
2
ii
X
Y
(xi, yi)
i10i xˆˆy
xi
yi
x
y
yyi
ii yy
yyi
79
Coeficiente de determinación y de no determinación
El coeficiente de determinación (r2) y de no determinación (1-r
2) se calcula de la
siguiente manera:
SST
SSR1)r1(
y SST
SSRr
2
2
El coeficiente de determinación (r2) expresa el porcentaje de la variabilidad total que es
explicada por la regresión.
Error estándar de la estimación.
El error estándar de la estimación mide la variabilidad, o dispersión, de los valores
muestrales y observados alrededor del plano de regresión.
CMEn
SSE
pn
SSESe
2
Donde p es el número de parámetros a estimar.
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación expresa el grado de asociación lineal que existe entre dos
variables X e Y, donde el coeficiente de correlación poblacional se denota por
varía dentro del intervalo de -1 y 1.
Si 0 entonces indicará que no existe correlación o asociación entre las variables
mientras que cuando se acerca a 1 o a -1 indicará que existe una asociación fuerte, y
cuando es exactamente 1 ó -1 la asociación es perfecta.
El est es “r” y se calcula mediante la siguiente fórmula:
2n
1i
i
n
1i
2
i
2n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
yyn.xxn
yxyxn
r
80
6.4 Análisis de regresión no lineal
Se ha visto que los modelos lineales son útiles en muchas situaciones y aunque la
relación entre la variable respuesta y las variables regresoras no sea lineal, en muchos
casos, la relación es “linealizable” en el sentido de que transformando (tomar logaritmos,
calcular la inversa,...) la variable respuesta y/o algunas variables regresoras la relación
es lineal. Sin embargo, existen situaciones en que la relación no es lineal y tampoco es
linealizable, por ejemplo, si el modelo de regresión es el siguiente: i
xx
iiiey
2
.
En esta sección veremos algunos modelos linealizables.
La transformación de datos nos permite linealizar la relación entre dos variables, se
realiza cuado se sospecha y luego se verifica que no existe dependencia lineal entre las
variables en estudio. Las transformaciones que pueden mejorar el ajuste y la capacidad
de predicción del modelo son muy numerosas. Aquí se presenta algunas de las
trasformaciones.
Forma funcional que relaciona y con x Transformación apropiada Forma de regresión lineal simple
Exponencial : 1
0
xy e yy ln* Regresión de *y vs. x
Potencia: 1
0y x * ln ; * lny y x x Regresión de *y vs. *x
Polinomial: 2
0 1 2y x x Regresión de y vs. x e x2
Según que el diagrama de dispersión de los datos tienda a algunas de estas
funciones es que se deberá escoger el modelo adecuado.
Diagramas que describen las funciones de la tabla anterior.
a. Función exponencial
81
Procedimiento para la selección del mejor modelo
1. Hallar el coeficiente de determinación R2 de los modelos lineal, cuadrático,
exponencial y potencia.
2. Ordenarlos de mayor a menor según su R2.
3. Realizar el análisis del modelo que tenga el mayor R2, verificar si su coeficiente
de regresión es significativamente diferente de cero.
4. Si no se demuestra que el coeficiente de regresión modelo que tiene mayor R2 es
significativamente diferente de cero, se debe pasar a evaluar el siguiente modelo
con mayor R2, hasta encontrar un modelo cuyo coeficiente sea
significativamente diferente de cero.
Ejemplo:
Los siguientes datos representan el porcentaje usable de cierto tipo de
neumáticos radiales de alto rendimiento (y) después de haber sido empleados el
número de millas (x):
Millas conducidas (en miles) x Porcentaje usable y
1 98,2
2 91,7
5 81,3
10 64,0
20 36,4
30 32,6
40 17,1
a. Estime la mejor ecuación para el conjunto de datos.
b. Compruebe la existencia de modelo. Use nivel de significación 0.05.
c. Pronostique con 95% de confianza el porcentaje usable de los neumáticos,
luego se recorrer 25000 millas.
b. Función potencia
82
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación
múltiple 0.989301
Coeficiente de determinación
R^2 0.9787165
R^2 ajustado 0.9744598
Error típico 0.1041876
Observaciones 7
y = -2.04x + 91.66
R² = 0.9332
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50
% u
sab
le, y
Millas conducidas, x
Diagrama de dispersión
y = 99.496e-0.043x
R² = 0.9787
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50
% u
sab
le, y
Millas conducidas, x
Diagrama de dispersión
83
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Promedio de los
cuadrados F
Valor crítico
de F
Regresión 1 2.4958 2.4958 229.9241 0.0000
Residuos 5 0.0543 0.0109
Total 6 2.5501
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%
Superior
95%
Intercepción 4.6001 0.0587 78.3686 0.0000 4.4492 4.7510
Millas conducidas (en
miles) x -0.0428 0.0028 -15.1632 0.0000 -0.0500 -0.0355
6.5 Regresión Múltiple
El objetivo del Análisis de Regresión Lineal Múltiple es relacionar una variable
respuesta y con un conjunto de variables predictoras x1, x2,…, xk, utilizando un
modelo lineal. Lo que se desea es poder estimar el valor medio de y y/o predecir
valores particulares de y a observar en el futuro cuando las variables predictoras
toman valores específicos.
6.5.1 Elección de las variables de predicción
Se debe tomar en cuenta los siguientes pasos para la selección de variables de un
modelo de regresión lineal múltiple:
Identificar la variable dependiente y las variables de predicción o predictoras
que se van a incluir en el modelo.
Seleccionar una muestra aleatoria, y registrar todas las variables para cada
elemento de la muestra.
Identificar las relaciones entre las variables de predicción y la dependiente, y
entre las propias variables de predicción (matriz de correlaciones).
6.5.2 El modelo de regresión lineal múltiple
kk xxxy 22110
donde:
y : variable respuesta que se quiere predecir.
0, 1,…, k : coeficientes de regresión.
x1, x2,…, xk : variables predictoras independientes.
: error aleatorio.
6.5.3 Supuestos del modelo de regresión lineal múltiple
Los errores tienen distribución normal.
Los errores tienen media igual a cero y varianza igual a 2.
84
Los errores aleatorios, digamos i, j, asociados a cualquier par de valores de la
variable dependiente y, son independientes.
6.5.4 Ecuación de regresión muestral
A partir de los datos de la muestra, se encuentran las estimaciones de los
parámetros:
kk xxxy ˆ...ˆˆˆˆ22110
donde:
y : valor estimado de la variable dependiente.
k ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆ210 : estimaciones puntuales de los parámetros poblacionales.
x1, x2,... , xk : son las variables predictoras .
Estimación de los parámetros el modelo
Para estimar los parámetros del modelo de regresión lineal múltiple también se
utiliza el método de mínimos cuadrados. Considere una muestra de n observaciones:
nnkknnnn
kk
kk
xxxxy
xxxxy
xxxxy
...
...
...
3322110
2223322221102
1113312211101
Esta muestra puede ser expresada en forma matricial de la siguiente manera:
n
k
nknn
k
k
n xxx
xxx
xxx
y
y
y
2
1
2
1
0
21
22221
11211
2
1
...1
...1
...1
εβXY
Donde εXβY .
El estimador de mínimos cuadrados para el vector β es:
YXXXβ'' 1)(ˆ
Las propiedades estadísticas del estimador del vector de parámetros β son:
12 )()ˆ(Cov
)ˆ(E
XXβ
ββ
'
85
6.5.5 Coeficiente de regresión
Los valores k ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆ210 se conocen como coeficientes de regresión estimados.
Un coeficiente de regresión estimado específico mide el cambio promedio en la
variable dependiente debido a un incremento de una unidad en la variable predictora
correspondiente, manteniendo constantes las otras variables de predicción.
Los errores estándar y la covarianza de los estimadores k ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆ210 se
determinan mediante los elementos de la matriz 1)( XX
' de la siguiente manera:
kkkkk
k
k
k
cccc
cccc
cccc
cccc
...
...
...
...
210
2222120
1121110
0020100
1
XX´
Los errores estándar de los coeficientes estimados k ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆ210 son:
kkc
c
c
c
k
ˆ
22ˆ
11ˆ
00ˆ
2
1
0
El estimador de 2 , la varianza de los errores es:
pnS
SCE2
Donde p es el número de parámetros a estimar.
6.5.6 El error estándar de la estimación
El error estándar de la estimación mide la variabilidad, o dispersión, de los valores
muestrales y observados alrededor del plano de regresión.
CMESCE
pn
Se
6.5.7 Coeficiente de determinación múltiple (r2)
El coeficiente de determinación múltiple mide el porcentaje de la variabilidad de y
que se puede explicar mediante las variables de predicción. Un valor de r2 cercano a
86
1 significa que la ecuación es muy exacta porque explica una gran porción de la
variabilidad de y. Se define como:
SCT
SCR2 r
Por cada variable independiente adicional en el modelo, el coeficiente de
determinación incrementará su valor. Por tal razón se suele calcular el coeficiente de
determinación corregido, útil para comparar el poder predictivo de modelos
alternativos con diferente número de variables independientes:
)1(1
1 22
corregido rpn
nr
6.5.8 Pruebas de hipótesis
Una vez que se ha recogido una muestra aleatoria, se han medido las variables, y se
ha examinado la matriz de correlaciones para determinar aquellas combinaciones de
variables que son de interés, se analizan los modelos con el mejor potencial. El
objetivo es encontrar la mejor ecuación para predecir y después decidir si ésta
ecuación satisface las necesidades de exactitud del analista.
6.5.8.1 Pruebas individuales
Las hipótesis nula y alternante para las pruebas individuales son:
0:H
0:H
1
0
i
i
y el estadístico de prueba es:
)(
ˆ
c ~ˆ
pn
i tt
I
Donde iicsi
ˆ
6.5.8.2 Prueba conjunta
Las hipótesis nula y alternante para la prueba conjunta son:
cero de diferente es un menos Al:H
0...:H
1
210
i
k
y el estadístico de prueba es:
),1(c ~CME
CMRpnpFF
87
6.5.9 Intervalos de confianza para los coeficientes de regresión
Los intervalos de confianza para los coeficientes de regresión se construyen a partir
de su estimación puntual y el error estándar como se muestra a continuación:
iipnjj cst )2/,(ˆ)(LC
6.5.10 Multicolinealidad
Cuando existe multicolinealidad es difícil distinguir qué cantidad del efecto
observado se debe a una variable de predicción individual. En otras palabras, si dos
variables están altamente correlacionadas, proporcionan casi la misma información
en el pronóstico.
Cuando dos variables tienen una alta correlación, los coeficientes k ˆ,...,ˆ,ˆ10 ,
estimadores de k ,..., 10 no son confiables. La estimación k de k puede no
ser siquiera cercana al valor de su correspondiente parámetro e inclusive podría ser
negativo cuando debiera ser positivo.
Regla práctica para seleccionar las variables predictoras en regresión múltiple.
Una variable predictora debe tener una correlación fuerte con la variable
dependiente.
Una variable predictora no debe tener una correlación demasiado alta con
ninguna otra variable predictora. (La correlación entre dos variables predictoras
debe estar muy por debajo de la menor de las dos correlaciones entre las
variables predictoras y la variable dependiente).
Cuando se produce la multicolinealidad, si el analista sólo quiere usar el modelo de
regresión para hacer pronósticos, la multicolinealidad puede no causar ninguna
dificultad seria.
Las consecuencias adversas son:
Las estimaciones de los coeficientes de regresión fluctúan de manera notoria de
una muestra a otra (alta variabilidad).
Una variable independiente que tiene una relación positiva con la variable
dependiente puede producir un coeficiente de regresión negativo si la
correlación con otra variable independiente es alta.
Con frecuencia se usa la regresión múltiple como una herramienta interpretativa
para evaluar la importancia relativa de las distintas variables independientes.
Cuando las variables independientes se intercorrelacionan, explican la misma
varianza en el pronóstico de la variable dependiente. Por esto, es difícil separar
la influencia individual de cada variable independiente cuando la
multicolinealidad está presente.
88
6.5.11 SELECCIÓN DE VARIABLES EN REGRESIÓN
La Selección de variables o también llamada selección de un subconjunto de
predictoras es un procedimiento estadístico que es importante por diversas razones,
entre estas están:
a) No todas las variables predictoras tienen igual importancia, por lo tanto es más
eficiente trabajar con un modelo donde las variables importantes estén presentes
y las que tienen poca importancia no aparezcan.
b) Algunas variables pueden perjudicar la confiabilidad del modelo, especialmente
si están correlacionadas con otras, luego se hace necesario eliminarlas.
c) Computacionalmente es más fácil trabajar con un conjunto de variables
predictoras pequeño.
d) Es más económico recolectar información para un modelo con pocas variables.
e) Si se reduce el número de variables entonces el modelo se hace más
parsimonioso. Se dice que un modelo es parsimonioso si consigue ajustar bien
los datos pero usando la menor cantidad de variables predictoras posibles. Es
más conveniente porque sus predicciones son más confiables y además es más
robusto que el modelo original.
Desde que empezó a trabajarse en esta área en los años 60 y gracias al desarrollo de las
computadoras se han introducido muchos métodos de selección de variables. Aquí
describiremos sólo algunos de ellos.
A) Métodos “Stepwise”
La idea de este método (Efromyson, 1962) es elegir el mejor modelo pero incluyendo (o
excluyendo) una sola variable predictora en cada paso de acuerdo a ciertos criterios. El
proceso secuencial termina cuando una regla de parada se satisface.
Hay tres algoritmos posibles:
“Backward Elimination” (Eliminación hacia atrás)
En este caso se comienza con el modelo completo y en cada paso se va eliminando una
variable. Si resultara que todas las variables predictoras son no significativas entonces
no se hace nada. En caso contrario en cada paso la variable que se elimina del modelo es
aquella que satisface cualquiera de estos requisitos equivalentes:
a. Aquella variable que tiene el estadístico de F o de T (sin tomar en cuenta el signo)
más pequeño entre las variables incluidas aún en el modelo.
b. Aquella variable que produce la menor disminución en el R2 al ser eliminada del
modelo.
c. Aquella variable que tiene la correlación parcial más pequeña (en valor absoluto)
con la variable de respuesta, tomando en cuenta las variables que quedarían en el
modelo
.
Toda variable que es eliminada ya no vuelve a entrar.
El proceso termina cuando se cumple una de las siguientes condiciones:
89
a. Se llega a un modelo con un número prefijado p* de variables predictoras.
b. El valor de la prueba de F para todas las variables incluidas en el modelo son
mayores que un número prefijado F-out (por lo general este valor es 4, o es el que
corresponde a un nivel de significación dado, digamos del 10%). O en forma
equivalente, se para cuando el valor absoluto del estadístico de T para cada variable
es mayor que la raíz cuadrada de F-out (por lo general, |t|>2).
“Forward Selection” (Selección hacia adelante)
Aquí se empieza con la regresión lineal simple que considera como variable predictora a
aquella que está más altamente correlacionada (sin tomar en cuenta el signo) con la
variable de respuesta.
Si esta primera variable no es significativa entonces se para el proceso y se considera el
modelo , de lo contrario en el siguiente paso se añade al modelo la variable que
reúne cualquiera de estos requisitos equivalentes:
a) Aquella variable que tiene el estadístico de F o de T (sin tomar en cuenta el signo)
más grande entre las variables no incluidas aún en el modelo.
b) Aquella variable que produce el mayor incremento en el R2 al ser añadida al
modelo.
c) Aquella variable que tiene la correlación parcial más alta (en valor absoluto) con la
variable de respuesta, tomando en cuenta las variables ya incluidas en el modelo.
Toda variable que es añadida al modelo ya no puede salir.
El proceso termina cuando se cumple una de las siguientes condiciones:
a) Se llega a un modelo con un número prefijado p* de variables predictoras.
b) El valor de la prueba de F para cada una de las variables no incluidas aun en el
modelo es menor que un número prefijado F-in (por lo general este valor es 4, o el F
correspondiente a un nivel de significación prefijado, digamos 15%). O en forma
equivalente se para cuando el valor absoluto del estadístico de t es menor que la raíz
cuadrada de F-in (por lo general, |t|<2).
“Stepwise Selección” (Selección Paso a Paso)
Se puede considerar como una modificación del método “Forward”. Es decir
empezamos con un modelo de regresión simple y en cada paso se puede añadir una
variable en forma similar al método forward, pero se coteja si alguna de las variables
que ya están presentes en el modelo puede ser eliminada. Aqui se usan F-out y F-in con
F-in ≤ F-out. El proceso termina cuando ninguna de las variables que no han entrado
aún tiene importancia suficiente como para entrar al modelo.
90
Ejercicios
1) A doce unidades de acero reducido en frío con contenidos diferentes de cobre y
diferentes temperaturas de recocido se les mide su dureza con los resultados que se
muestran en la siguiente tabla. Ajuste una ecuación de la forma
exxy 22110 , donde x1 representa el contenido de cobre, x2 representa la
temperatura de recocido y y representa la dureza.
Dureza (Rockwell 30-T) Contenido de cobre (%) Temperatura del recocido
(grados F)
78.9
65.1
55.2
56.4
80.9
69.7
57.4
55.4
85.3
71.8
60.7
58.9
.02
.02
.02
.02
.10
.10
.10
.10
.18
.18
.18
.18
1000
1100
1200
1300
1000
1100
1200
1300
1000
1100
1200
1300
¿Cuál es el modelo estimado? ¿Qué porcentaje de la variabilidad total de la dureza
es explicado por el modelo? Evalúe la presencia de multicolinealidad.
2) La siguiente información se refiere a la ventas anuales (miles de dólares) de una
gran compañía distribuidora de partes para automóviles y los factores que se supone
la afectan como el número de tiendas al menudeo, el tamaño del parque automotor
(en millones de unidades), el ingreso personal total de la población (en miles de
millones de dólares), la antigüedad promedio de los automóviles (en años) y el
número de supervisores.
Ventas
anuales : Y
(mdd)
Número de
tiendas al
menudeo : X1
Número de
automóviles
registrados : X2
(millones)
Ingreso
Personal
(mmdd): X3
Antigüedad promedio
de los automóviles
(años) : X4
Número de
supervisores :
X5
37.702 1739 9.27 85.4 3.5 9
24.196 1221 5.86 60.7 5.0 5
32.055 1846 8.81 68.1 4.4 7
3.611 120 3.81 20.2 4.0 5
17.625 1096 10.31 33.8 3.5 7
45.919 2290 11.62 95.1 4.1 13
29.600 1687 8.96 69.3 4.1 15
8.114 241 6.28 16.3 5.9 11
20.116 649 7.77 34.9 5.5 16
12.994 1427 10.92 15.1 4.1 10
a) Determine el mejor modelo de regresión. Realice la selección de variables
usando el método Stepwise. Utilice un nivel de significación de 0,05.
b) Interprete los coeficientes del modelo estimado
