ESTRUCTURA II Libro Teoria de Factores Comjpleto

8/10/2019 ESTRUCTURA II Libro Teoria de Factores Comjpleto

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TEORIA DE FACTORES - F -

2008

ESTRUCTURA II

TEORIA DE FACTORES

La solucin de prticos de varios pisos, en mallas rectangulares cerradas con columnas

verticales y vigas horizontales sometidas a acciones horizontales aplicadas a los niveles de los

dinteles, puede ser abordada por varios mtodos.

Si se aplican mtodos exactos se pueden contar entre otros con el planteamiento de las

ecuaciones de Maney, con las ecuaciones de equilibrios de momentos en cada nudo y los de

equilibrio de fuerzas horizontales en cada piso, para formar el sistema que permite determinar

los corrimientos un giro por cada uno y un desplazamiento lateral por piso tambin se puede

acudir a el mtodo ficticio en la que se calcularn tantas etapas de desplazamiento como pisos

existan, dentro de los mtodos aproximados se pueden mencionar mtodo del prtico simple,

mtodo del cantiliver mtodo del factor y el mtodo da Newton, el uso de los mtodos exactos

llevan a sistemas de ecuaciones cuyo orden aumenta con el numero de vanos y de pisos, y en el

caso da apoyos ficticios a la repeticin de muchos procesos idnticos de clculos lo que los hace

en varios casos difciles da aplicar. Los mtodos aproximados basados en cierta hiptesis ms o

menos valida y en la experiencia de sus creadores arrojan muchas veces resultados un tanto

mayorados. Abarcaremos el concepto de PRTICO EQUIVLENTE, formado por un solo eje de

columna, en la cual los desplazamientos laterales relativos de cada piso, sean iguales a los del

prtico real.


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Para poder transformar un prtico en su equivalente en condicin fundamental que las columnas

de cada entrepiso tenga la misma altura.

La teora de factores fue planteada inicialmente per el investigador checoslovaco Klouce y

complementada por el Ingeniero Alejandro Segovia, se va a aplicar esta teora en la solucin

constante y altura igual.

Los prticos que obedecen a los principios de factores que estn sometidos a la accin de

cargas horizontales aplicadas a los niveles de los dinteles, los giros en los nudos de cada nivel

son iguales entre si. Esta propiedad que es caracterstica fundamental de este tipo de prtico

permite considerar que en los puntos medios de las vigas se produce un punto de inflexin de la

elstica o articulacin que permite pensar en algunas simplificaciones para su clculo.

Esta propiedad se ve confirmada con el hecho de que los momentos finales en los extremos decada una de las vigas son de igual magnitud y signo.

PRTICO REAL

P1

P2

P3

1

2

3

Absoluto

PRTICO EQUIVALENTE

1

2

3

P1

P2

P3

PRTICO REAL

Absoluto1

2

3

1

2

3

PRTICO EQUIVALENTE


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Todo lo anterior equivale a suponer loa diversos prticos aislados que se pueden formar

obtenindose un prtico equivalente, en la cual la rigidez a flexin de las columnas da cada

entrepiso

La rigidez da cada viga as la suma de las rigideces de las vigas de cada nivel del prtico real

multiplicada por "3"

Si se denomina "V" a la suma da las rigideces KV, de la viga en cada nivel es entonces en el prtico equivalente, la rigidez de cada viga es:

La carga horizontal que acta a nivel de cualquier viga en el prtico equivalente es la carga total

correspondiente a ese nivel en el prtico real.

Todas la a propiedades del prtico equivalente de uno que cumple el principio de factores, se

basan en el principio de superposicin de tal manera que es evidente el porque al valor de las

rigideces de sus columnas. En cuanto a las rigideces de las vigas, si en el prtico real, estas son

de accin constante, es claro que al considerar antimetria por la igualdad de sus giros en sus

extremos y superponer sus rigideces simplificadas, contribuye para la viga correspondiente del

prtico equivalente con los valores.

P1

P2

P3

PRTICO QUE OBEDECE A EL PRINCIPIO DE FACTORES PRTICO EQUIVALENTE

P1

P2

P3

3V1

3V2

3V3

Kc

Kc

Kc


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Entre las simplificaciones se pueden hacer las siguientes:

a)SIMPLIFICACIN DE PRTICOS 'USLADOS

Es posible considerar prticos aislados formados por una sola de las columnas del prtico total y

las vigas correspondientes simplificadas por antrimetrias.

La rigidez K de la columna del prtico aislado es la propia de asta en el prtico real y las de las

vigas con sus rigideces de antimetra. Kant = K+ala carga actuante a nivel de dinteles cada uno

de estos prticos es la parte de la carga total proporcional de la rigidez de la columna, por lo cual

se puede determinar con la frmula

---------En la que: = Carga horizontal actuante a nivel del dintel (de los dinteles) del prtico real,= Carga en el prtico aislado Suma de las rigideces del prtico real en lo referente a las columnas

K1 K2 K3 K4

L1/2 L2/2 L3/2

P

L1 L2 L3

Kv1+ av1

K1

P1 P2 Kv1+ av1

K2

Kv2+ av2 P3 Kv2+ av2

K3

Kv3+ av3 P4 Kv3+ av3

K4


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PORTICOS AISLADOS DE UNO TOTALQUE CUMPLE EL PRINCIPIO DE FACTORES

El clculo de los prticos aislados puede hacerse aplicando el mtodo C existiendo tres

alternativas para la determinacin de los momentos finales en los extremos de barra del

prtico real.

a) Se calculan todos los prticos aislados, determinndose los momentos en los extremos de

columna y vigas que los componen, estos momentos son los finales en el prtico real.

b) Se calcula un solo prtico aislado siendo suficiente determinar los giros, en los nudos

respectivos y los valores de. Como el giro obtenido en cada nivel del prtico aislado es igual para

todos los nudos de ese nivel en el prtico real y en un valor nico por cada piso, se puedencalcular los momentos finales a partir de estos valores, con la sola aplicacin de las ecuaciones

de Maney. Si las vigas y columnas son de seccin constante, se tiene;

Momento en cualquier extremo de viga

Momento en cabeza de columna

Momento en die ds columna

En stas dos ultimas expresiones: = giro nicos de los nudos del nivel superior (cabeza decolumna)= giro nico de los nudos del nivel inferior (pie de columna).

c) Luego de determinar los corrientes en un solo prtico aislado, con los valores de obtenidos en cada nivel, se puede entrar en el prtico real considerando que los momentos

iniciales en cabeza y pie de columna son en cada entrepiso. Como estos momentosdesequilibran los nudos del prtico real.

CALCULO DEL FACTOR F METODO APROXIMADO

* para prticos no arriostrados


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Con los mismos principios planteados anteriormente se plantea la matriz con las siguientes

caractersticas:

Kv

Kc + a

Kv

Kc + a

Kv

Kc + a Kc + a

PISO SUPERIOR

Kc + a Kc + a Kc + a Kc + a

Kv

Kc + a

Kv

Kc + a Kc + a

Kv

Kc + a

PISO INTERMEDIO

Kc + a Kc + a Kc + a Kc + a

Kv

Kc

Kv

Kc

Kv

Kc Kc

PISO BAJO


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El elemento de unin a la viga con las columnas por facilidad de principios y procedimiento de

clculo viene a hacer el desequilibrante .en cada nudo. Estoproduce un efecto de esfuerzo y deformacin en cada nudo.

Esta especie de deformacin es el nexo de unin entre nudo y nudo y est determinado de la

siguiente forma: por tanto la formula quedaraplanteada de la siguiente forma:

( )

FACTORES F EN ESTRUCTURAS SOMETIDAS A CARGAS HORIZONTALES

El origen de los factores F, tiene lugar en el problema esquematizado en la siguiente figura,

dado un prtico de barra de seccin constante, con columnas de igual altura y bajo una carga

horizontal a nivel de las vigas, se investiga la posibilidad de formar un prtico equivalente que,

sometida a idntica carga presenta el mismo desplazamiento horizontal

EL PORTICO EQUIVALENTE

La solucin se inicia con el estudio de una estructura como la de la figura superior con rigideces

elegidas, para una primera tentativa, en la siguiente forma

RIGIDEZ DEL DINTEL= RIGIDEZ DE LA COLUMNA=

PORTICO REAL PORTICO EQUIVALENTE

S

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

K1 K2 K3 K4 K5


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De acuerdo a lo que hemos estudiado, los momentos estn dados por:

Termino de desplazamiento =

Es necesario calcularlos, para luego obtener los momentos finales en los extremos de las

barras.

La comprobacin del clculo para las tres alternativas, consiste en probar que se cumple la

ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales en cada nivel.

S F.V

H K1

RIGIDECES

M

M

S

H

T

DEFORMACIONESMOMENTOS Y ESF. CORTANTE PRTICO EQUIVALENTE

S F.V

c=


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SEGUNDA SIMPLIFICACION DE CALCULO DE PORTICOS QUE CUMPLEN EL PRINCIPIO

DE FACTORES

EL PORTICO EQUIVALENTE

La segunda posibilidad de clculo basada en la propiedad de los prticos que cumplen el

principio de factores sometidos a acciones horizontales aplicadas a los niveles de los dinteles,

es la mas importante y la que lleva a la formacin del prtico equivalente.

Debido al punto de inflexin que se produce en la mitad de la viga del prtico real se puede

doblar a este a manera de biombo, hasta hacer coincidir todas sus columnas en un solo eje y a

las vigas en una simplificacin por antimetra.

PORTICO DE UN PISO QUE CUMPLE EL PRINCIPIO DE FACTORES DOBLADO A MANERA DE BIOMBO

PORTICO DE MAS DE UN PISO QUE CUMPLE EL PRINCIPIO DE FACTORES DOBLADO A LA MANERA DE BIOMBO

PRTICO

P

Articulacin

Kv1

Kv2

Kv3

K1

K2

K3

K4

DOBLAJE

K1

K2

K3K4

1.5Kv1.5Kv

Viga Simple.Apoyada

3Kv

Kc

P

PRTICO

EQUIVALENTE

PRTICO

K1

K2K3

K4

K5

K6

K7

K8

P2

P1Kv1

Kv2

Kv3

Kv4

Kv5

Kv61

2

1

1

2

2

2

2

1.5Kv1.5Kv

1.5Kv1.5Kv

DOBLAJE

3KvS

KcS

P1

3KvI

KcI

P2

PRTICOEQUIVALENTE


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Como se puede ver un prtico equivalente tiene en general todas las caractersticas de una torre

recta y simtrica, simplificada por antimetria y en consecuencia para calcularlo se puede aplicar

el mtodo C.

PARA VIGAS:

PARA COLUMNAS:

Como en el prtico equivalente no existen cargas en los claros, los momentos de

empotramientos perfectos en vigas y columnas son cero, por lo que para este, las ecuaciones

quedan:

EN VIGAS:

EN COLUMNAS:

Adicionalmente el trmino por desplazamiento queda.

Debido a la propiedad fundamental de un prtico que cumple el principio de factores sometidos a

carga horizontal aplicada a nivel de los dinteles y a las caractersticas y modos de formacin de

su equivalente, los corrimientos obtenidos en este, un giro B en cada nudo y un giro por

desplazamiento .


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Para cada entrepiso, son iguales a los correspondientes corrimientos del prtico real.

Esta caracterstica puede observarse al resolver un ejemplo.

Luego de calcular los momentos finales en los extremos de vigas y columnas del prtico

equivalente se pueden determinar los momentos en los extremos de barras del prtico real por

simple proporcionalidad .

METODO C

INTRODUCCION

Desarrollado inicialmente para dar solucin a torres rectas y simtricas de un tramo, el mtodo

C se ha constituido en una de las contribuciones ms importantes para analizar diversos tipos

de prticos sometidos a la accin de cargas horizontales. El enunciado anterior es muy amplio,

abarcando la solucin de las mencionadas torres, vigas vierendell, prticos articulados con

columnas , prticos con diafragma, estructura con torsin en planta, anlisis de vibraciones en

edificios, etc.

ECUACION DE EQUILIBRIO DE FUERZAS HORIZONTALES

HIPOTESIS

Se va a deducir la ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales para prticos que se cumplen

las siguientes condiciones:

1. Las barras son de ejes rectos y pueden ser seccin variable.

2. Las columnas deben ser verticales.

3. Las vigas pueden ser horizontales o inclinadas.

4. El tipo de sustentacin en las columnas en las bases de prtico o entre piso pueda ser

cualquiera.

5. No se consideran deformaciones axiales.


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DEDUCCION

En un prtico como en el de la figura, si se aplica la ecuacin de los 5 giros con desplazamiento

se obtiene un sistema incompleto de ecuaciones que no permiten resolver el problema, pues

existen los desplazamientos laterales uno por piso. Para poder completar el sistema es

necesario plantear una ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales por nivel.

CUERPO LIBRE DE TRES PISOS AISLADOS

Aislando los tres pisos superiores cortando en dos pes las columnas correspondientes,

definiendo:

4

3

2

1

H1

Q

P

L

H2

H3

H4

H5


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P= Suma de todas las componentes horizontales de las fuerzas que actan en y sobre el nivel

del entrepiso considerado de izquierda a derecha.

EQ= Resultante de las componentes horizontales de las fuerzas que actan en las columnas del

entrepiso considerado, positiva de izquierda a derecha y planteando la condicin esttica de

equilibrio de fuerzas horizontales se tiene:

En el cual H son los cortesde los pies de las columnas u n el numero total de las columnas, H

es positivo de izquierda a derecha.

Aislando las columnas bajo el entrepiso considerado, y analizando una representativa, se tiene

que H es:

Componente yisosttica de y M y M los momentos en cabeza de pie de columna aislada,aplicando Maney para los momentos mM y M en funcin de los corrimientos existentes se tiene:

En la que es el desplazamiento relativo entre cabeza y pie y los cuales reemplazada en la

ecuacin, luego se agrupan trminos semejantes indican que:

( ) ( )

H

H

Q

L


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Luego, con las ecuaciones de las rigideces b y b y t se tiene:

Formula en la cual:

Corte de empotramiento perfecto en el pie de la columna, positivo de derecha a izquierda,

reemplazando en la ecuacin general de corte en los pies de las columnas y separando lostrminos de la sumatoria se tiene:

Definiendo:

Suma de las rigideces a corte de las columnas o corte total de piso bajo el entrepiso

considerado.

Suprimiendo por facilidad los subndices y colocando todos los trminos calculables en el

miembro izquierdo se tiene que:


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En cualquier columna se cumple que:

definiendo

Puede quedar as:

Que es la ecuacin general de equilibrio de fuerzas horizontales, de la cual despejando se

obtiene que:

Que ser la expresin de la mencionada ecuacin que siempre se utilizar consideracionessobre la ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales se va a analizar la ecuacin de equilibrio

de fuerzas horizontales en forma rpida, ya que se vio en el ao anterior.

En la determinacin del corte se deber tener muy en cuenta la significacin y signos de sus

componentes.

a.- F= resultante de las fuerzas horizontales actuantes en Y sobre el dintel del entrepiso

considerado, positivo de izquierda a derecha.

HF= sumatoria de los cortes de empotramientos perfectos en las cabezas de las columnas, espositiva de derecha a izquierda. Para cada columna, considerando que los momentos de

empotramientos perfectos son anti horarios HFse calcular con la conocida formula:

Q

H

H

Luego:

Positivo de derecha a izquierda


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Estos corrimientos en el prtico equivalente no son los exactos del prtico real, as los giros de

cada nivel son una especie de promedio los que se produce en el prtico real en ese nivel y lo

son muy cercanos a los del respectivo entrepiso.

En todos los (trminos de desplazamientos obteniendo para cada entrepiso se pasa al prticoreal introduciendo los momentos) iniciales por desplazamiento k en cabeza y pie de columnapara luego determinar los giros en los nudos la influencia de k produce un momento y a la vezes el desequilibrante del prtico real y finalmente establecer los valores de los momentos porsegunda etapa que es exacta.

AJUSTE POR CORTANTE

Como para los prticos que se analizan, los factores "F" que se analizan con buen criterio, o

calculados con la frmula analtica, no son los exactos para cumplir totalmente con los objetivos

bsicos del prtico equivalente = , aunque si tienen una buena aproximacin, se hacenecesario un ajuste por esfuerzos cortante para que se cumpla con la aprobacin final delequilibrio de fuerzas horizontales en cada entrepiso.

Esta correccin se basa en las siguientes premisas:

1. A pesar de la aceptable aproximacin que se puede conseguir para "F" los giros por

desplazamientos del prtico equivalente, no son iguales aunque si cercanos a los

correspondientes del prtico real, y en consecuencia los momentos calculados en los extremos

1 1

2 2

3 3

P1

P2

P3

F1V1

F2V2

F3V3

Kc

Kc

Kc

P1

P2

P3

F1V1

F2V2

F3V3

c1

c2

c3


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de las barras debido a la introduccin de los Klleva un pequeo error al tratar de comprobar lacondicin de equilibrio de fuerzas horizontales, en cada piso ya no se cumple que el valor de "S"

de cada entrepiso sea igual a suma de los cortes a los pies de cada columna.

2. Para que se cumpla la igualdad requerida se debe introducir en el miembro de derecha, un

factor de multiplicacin "f, de tal manera que:

Como para prticos en mallas rectangulares con cargas horizontales aplicadas a los niveles de

los dinteles, en cualquier columna de un entrepiso dado, en el piso de la columna responde a la

ecuacin.

En la que para este caso Mc y Mc' son los momentos en su cabeza y pie respectivamente

producido por los momentos iniciales k, y L su altura, la ecuacin queda:

Debido a que L es constante para las columnas de cada entrepiso y dejando f se tiene:

Con este factor de correccin "f se debe hacer el ajuste de los momentos Mc y Mc' de cada

columna del entrepiso para el cual se lo determina que los momentos finales en sus cabezas y

pie se calcularan con las ecuaciones:


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TORRES RECTAS Y SIMETRICAS CON VARRAS DE SECCION VARIABLE

HIPOTESIS

Se van a estudiar torres rectas, con barras de seccin variables como la del ejemplo en la que

se cumplen las siguientes condiciones:

1. Son de un solo vano

2. Debe existir simtrica de estructura

3. Los pies de las columnas inferiores estn empotrados

4. El estado de carga puede ser cualquiera

Para resolver este tipo de prticos, aplicamos el principio de superposicin y adems se divide el

clculo en dos etapas.

a. Estado de carga simtrica

b. Estado de carga Antimtrica

Se debe tener en cuenta que la aplicacin del factor de ajuste por cortante ", es aceptabledesde el punto de vista del diseo cuando el error que se produce en la comprobacin inicial del

equilibrio de fuerzas horizontales vara en un 10%, vale decir, cuando " toma valores

L/2 L/2

CL


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comprendido entre 9 y 1.10, siendo evidente que cuando "toma el valor de "1" arroja valoresmenores que 0.9 o mayores que 1.10 se debe acudir a mtodos iterativos.

Para tener una idea adicional de la exactitud del procedimiento utilizando es a veces conveniente

calcular el valor del giro por desplazamiento que se produce en cada entrepiso del prtico real

por efecto de los momentos iniciales, y luego compararlos con los correspondientes del prtico

equivalente, por esto se aplicar la ecuacin:

En general para prticos comunes la aplicacin del mtodo descrito basada en la formacin del

prtico equivalente lleva a soluciones muy satisfactorias y no es necesario recurrir a los mtodos

iterativos.

AJUSTE DE LOS MOMENTOS EN VIGAS

Es evidente que al hacer el ajuste de los momentos de las columnas se producen pequeos

desequilibrios en los nudos del prtico real, para conseguir el equilibrio final de cualquier nudodebe corregir los momentos en los extremos de vigas que llegan a l. Mediante una distribucin

proporcional a los momentos obtenidos en dichos extremos por la introduccin del pequeo

desequilibrio inducido.


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ESTADO SIMTRICO

La solucin de este estado puede abordar considerando nicamente la mitad del prtico,

asumiendo para los elementos horizontales de la vida virtual de simetra Kv = K - a.

Dada la simetra de carga y de estructura no existen desplazamientos transversales

desconocidos y los giros de los nudos de izquierda son iguales en magnitud pero de signo

contrario a los correspondientes nudos de la derecha resolviendo la cadena abierta se determina

los giros en el prtico simplificado y aplicando las ecuaciones de Maney los momentos en los

extremos de las barras.

ESTADO ANTIMETRICO - MTODO C

Se analizar a este estado utilizando tambin el correspondiente prtico simplificando, en el cual

la rigideces de las vigas son las rigideces virtuales, de antimtrica dada por la ecuacin

Ka = K+a.

CL

P/2

P1/2 P1/2

P2/2

P2/2

P3/2

P3/2

P/2

CL

P/2

P1/2 P1/2

P2/2

P2/2

P3/2

P3/2


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Debido a la antimetra de carga, son incgnitas del problema un giro por nudo, y un

desplazamiento lateral por piso, y en consecuencia las ecuaciones de equilibrio no son

suficientes para solucionar el problema.

Con lo mtodos comunes de clculo ser necesario plantear adicionalmente una ecuacin dt

equilibrio de fuerzas horizontales por cada piso, para obtener un sistema de ecuaciones

completo, o en efecto aplicar el mtodo de apoyos ficticios, con los cuales los estados c

analizarse se aumentan.

El objeto del presente estudio es obtener las ecuaciones de los momentos finales en los

extremos de barras del prtico simplificado, calculndolo una sola vez para lo cual es necesario

considerar simultneamente en cada entrepiso, las correspondientes ecuaciones de equilibrio y

de fuerzas horizontales; lo que da origen al mtodo "C".

Aislando una columna cualquiera del prtico simplificado, se tiene que las expresiones finales de

los momentos en los extremos de barra, aplicando, las ecuaciones de Maney.

La expresin final de desplazamiento , est dado por la ecuacin genial de equilibrio defuerzas horizontales particularizadas para este caso, pues en el prtico simplificado cada

entrepiso est constituido por una sola columna, y en consecuencia.


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Reemplazando y agrupan trminos semejantes, las expresiones finales de los momentos en los

extremos de las columnas se transforman en:

( )

Dimensionalmente se tiene que los factores tienen unidades de longitud:

[

] *

+ [

]

Y en consecuencia los trminos bS/t y bS/t tienen unidades de momentos

[ ] *

+

Los otros factores que intervienen tienen unidades de momentos, y son iguales entre si, pues

recordando expresiones:


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Que son las expresiones finales de los momentos en cabeza y pie de una columna, del prtico

simplificado correspondiente a una torre simtrica con carga antimtrica, para la correcta

aplicacin de estas ecuaciones conviene tener muy presente la definicin de S

P = Es la suma de todas las fuerzas horizontales que actan en y sobre el dintel del entrepiso

considerado positivo de izquierda a derecha.

HF = Es el corte de empotramiento perfecto en la cabeza de la columna positiva de derecha a

izquierda.

Debe notarse que con las ecuaciones del mtodo "C" se vana reducir a la mitad, el nmero de

incgnitas a determinarse en la solucin de torres rectas y simtricas con cargas antimtrica,

pues el desplazamiento "" de cada entrepiso, ha sido sustituido por su expresincorrespondiente en funcin de las cargas horizontales que actan sobre la estructura, que son

datos del problema, y los giros finales y ' en cabeza y pie de columna.

Si se compara las ecuaciones del mtodo "C" con las ecuaciones completa de Maney se puede

notar que su forma es similar, con las circunstancias de que en las del mtodo "C" no aparecen


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los trminos de desplazamientos existen analogas evidentes entre los dos tipos de ecuaciones,

las que se encuentran resumidas en el siguiente cuadro.

ANALOGA ENTRE LAS ECUACIONES DE MANEY Y LAS ECUACIONES DEL METODO C

Solucin de torres rectas y simtricas con cargas antimetricas, aplicando las ecuaciones del

mtodo C

Aislando un nudo cualquiera de un prtico simplificado, tenemos la siguiente nomenclatura:

MS = momento en el pie de la columna superior, que concurre al nudo aislado

MI = momento en la cabeza de la columna inferior

Mv = momento de viga

Y estableciendo la ecuacin de equilibrio de momento en el nudo se tiene que:


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En funcin de los efectos de las cargas exteriores, de los giros superior (OS) inferior (OI)y del

giro propio, los momentos en los extremos de barras que intervienen en esta ecuacin de

equilibrio del nudo aislado tienen la forma:

Que se obtienen aplicando para los extremos de columnas las ecuaciones del mtodo C para

las vigas las ecuaciones de Maney correspondiente a este caso.

Reemplazando estas ecuaciones, y agrupando trminos semejantes, y denominando

Caractersticas del nudo inicial

Desequilibrio inicial del nudo se tiene:

Que es la ecuacin de los tres giros, del mtodo 2c2 que sugiere la posibilidad la aplicacin de

la cadena abierta, que conducir a un sistema tridiagonal de ecuaciones simtricas, en que las

constantes de transmisin son (-).

METODOLOGA DLA SOLUCIN

Debemos aplicar la cadena abierta para la solucin de torres rectas y simtricas con antimtrica

aplicando el mtodo "C", el anlisis se reduce a la confeccin de las planillas de rigideces y de


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clculo, para lo cual es necesario conocer previamente las rigideces y los momentos inciales en

los extremos de cada barra del prtico simplificado: De acuerdo a esto se sugiere la siguiente

metodologa ordenada:

CALCULO DE RIGIDECES

Para cada viga de la torre, se calcularn las rigideces a flexin K y a, y para el prtico

simplificado de rigidez virtual de antimetria. Kant = K + a para cada columna del prtico

simplificado se calcularn las rigideces a flexin y empuje b y b', y la rigidez a corte t, vale

recordar que:

Con estos valores se determinarn las rigieses del mtodo "C".

PLANILLA DE RIGIDECES

Con los datos del paso anterior se calcular la planilla de rigideces, de la cadena abierta en

vertical del prtico simplificado se tendr presente que la caracterstica inicial en cualquier nudo

responde a la ecuacin.

Y que en todos los casos la constante de transmisin es (-C)

A=K + a

cS

cI


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CALCULO DE MOMENTOS INICIALES EN EXTREMO DE BARRA

Para las vigas del prtico simplificado se determinaran los momentos de empotramiento perfecto

Mfv se debe tener en cuenta que este momento inicial debe ser calculadopara la viga total de la

torre.

Para las columnas debern determinarse previamente los cortes Sde cada entrepiso

Con estos valores se calcularan iniciales en cabeza y pie de columna:

PLANILLA DE CALCULO

Es similar a la cadena abierta de un piso, pero calculada en sentido vertical. En esta planiolla se

anotaran los momentos iniciales, los desequilibrantes de cada nudo.

Para luego calcular los giros y por ltimo determinar los momentos en los extremos de barra.

Durante el clculo se tendr mucho cuidado en los signos de la constante de barra. Durante el

clculo se tendr mucho cuidado en los signos de la constante de transmisin (-C), en algunasocasiones es conveniente calcular el valor del desplazamiento relativo de cada entrepiso.

Una vez determinado los momentos finales en los extremos de las barras del prtico

simplificado, se conocen ya de toda la torre pues por las simetra de estructura y la antimetria de

carga en la parte no analizada, se producen momentos iguales en magnitud y signos a los de la

parte analizada.


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COMPROBACIN

Se debe cumplir la ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales en cada entrepiso, para esto

basta calcular los cortes en los pies de las columnas, el cual debe ser igual en magnitud pero de

signo contrario a la suma de fuerzas horizontales actuantes sobre el nivel considerado y sobre

sus respectivas columnas.

TORRES RECTAS Y SIMTRICAS CON CARGAS ANTIMETRICAS CON COLUMNAS

INFERIORES

ARTICULADAS EN LA BASE

En este caso se modifica la forma de calcular los momentos finales en la cabeza de la columna

inferior, mantenindose para el resto del prtico caractersticas similares a las analizadas

anteriormente y en consecuencia la forma de aplicar el mtodo "C".

La expresin del momento final en la cabeza de la columna inferior est dada por la ecuacin:

La que en este caso "" es el giro en el nudo inferior del prtico simplificado y el desplazamientotransversal relativo entre los extremos de la columna.

La ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales, toma en este caso:

Reemplazando esta expresin en la ecuacin del momento en la cabeza de la columna

considerada, y agrupando trminos semejantes se tiene:

El factor que multiplica al giro es cero pues:


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Lo que se obtiene partiendo de las identidades y para barra apoyada empotrada:

Con lo que queda: m = mf+ SLEn consecuencia si los pies de la columna inferior de una torre

recta y simtrica, con carga antimtrica estn simplemente apoyadas el momento en la cabeza

de la columna inferior en el prtico simplificado en un momento isosttico, es evidente que eneste caso, para la aplicacin del mtodo "C" no interviene la rigidez de la columna inferior, con

esta caracterstica, el clculo del resto del prtico simplificado se hace en la forma conocida.

TORRES RECTAS Y SIMTRICAS CON COLUMNAS DE SECCIN CONSTANTES,

SOMETIDO A UN ESTADO ANTIMETR1CO DE CARGA

GENERALIDADES.

El anlisis de este tipo de torres est incluido dentro del caso general de torres rectas y

simtricas.

Dada su enorme aplicacin en la solucin de problemas ms complejos, como en el caso de

prticos de varios vanos sometidos a la accin de cargas horizontales se va a profundizar su

estudio.

ECUACION DE EQUILIBRIO DE FUERZAS HORIZONTALES PARA PORTICOS CON

COLUMNAS DE ACCION CONSTANTE

Para barras de seccin constante se sabe que:


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Con las cuales las ecuaciones de Maney, para los momentos en los extremos de barra quedan:

En la ecuacin general de equilibrio de fuerzas horizontales

Relacionadas con lo anterior y levando a barras de seccin constante la ecuacin queda:

Si todas las columnas de entrepiso tienen la misma altura, se tiene:

Sumatoria de las rigideces a flexin de las columnas de entrepiso.

De la cual despeando

Que es una expresin de enorme utilidad en el anlisis de prticos de vanos y pisos, con

columnas de seccin constantes sometidos a las cargas horizontales, nicamente cuando la


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altura de todas las columnas del entrepiso considerado sea la misma; caso contrario se aplicara

la formula:

SOLUCION DE TORRES RECTAS Y SIMETRICAS CON COLUMNAS DE SECCION

CONSTANTE SOMETIDA A UN ESTADO ANTIMETRICO DE CARGAS, FORMA

PARTICULAR DEL METODO C

Para el anlisis de una torre de este tipo, se calculo tambin el prtico simplificado

Las ecuaciones del mtodo C para este caso se pueden deducir, siguiendo los pasos similares

anteriores, tenemos el trmino de desplazamiento

En esta parte se van a deducir las mencionadas ecuaciones anteriores, a partir del caso

general:

En lo que:

( )

Seccin constante


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Con lo que:

( ) ( )

Aunque la aplicacin practica seguir conservndose la forma general, se recordara siempre

que para las columnas de secciones constantes.

si tambin las vigas de las torres son de seccin constantes, vale recordar que:

La metodologa de la solucin es idntica a la explicada anteriormente, aunque en el calculo de

las rigideces no se necesita determinar b y b y t y en el de los momentos iniciales basta recordar

que en la cabeza y pie de columnas, y alos momentos de empotramiento perfecto se le sumara

el termino . para l, calculamos de trminos de desplazamientos se aplicara:

Si los pies de klas columnas inferiores, estn simplemente apoyadas, el momento en la cabeza

de la columna correspondiente, es un momento isosttico dado por la ecuacin


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MTODO DE APOYO FICTICIO

Junto con el mtodo de anlisis Matricial, el de apoyo ficticio es el ms general y exacto en la

resolucin de prticos que sufren desplazamientos verticales y horizontales, estos prticos

pueden ser regulares e irregulares con cualquier tipo de carga.

Debido a las cargas aplicadas, los elementos como vigas y columnas se deforman, debido a que

las deformaciones son relativamente pequeas se pueden aplicar la superposicin de efectos,

as la resolucin de prticos se hace en N+1 etapas siendo N el nmero de desplazamiento o

grados de libertad, y la "1" es la etapa debido a la carga esttica la carga ssmica.

En cada etapa de clculo se obtiene giros, momentos y cortes, en general efectos de influencia

los cuales sern superpuestos para obtener el efecto total y si se mantienen las mismas

hiptesis el clculo de prticos planos son en general muy exacto.

Para realizar el clculo lo hacemos en etapas, liberando un apoyo ficticio a la vez y calculamos

los efectos de influencia, giros y momentos debido a un desplazamiento unitario, luego

determinamos las reacciones de apoyos ficticios, en estas etapas el desequilibrante es la rigidez

a corte de los elementos que se desplazan.


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ETAPA I.-Doy un desplazamiento unitario en el primer nivel " " = 1 mientras que en los dems

niveles no se desplazan, el desplazamiento es positivo si es horario y es negativa si es anti-

horario.

Se considera un desplazamiento en cada nivel de viga o ejes de columnas, despreciando las

deformaciones axiales de dichos elementos por ser muy pequeas.

PROCESO DE CALCULO

ETAPA CERO.-Calculamos el prtico sometido a la carga "p" sin desplazamiento, para esto se

somete al prtico a una inmovilizacin total, y as no se desplaza, en caso de carga ssmica. Las

fuerzas aplicadas a nivel de Dintel, los efectos de influencia son cero debido a que estas fuerzas

aplicadas en los nudos no producen momento de empotramiento, por lo tanto las reacciones de

apoyo ficticio de la etapa cero son iguales a las fuerzas ssmicas aplicadas a nivel de dintel.

ETAPA 2.-Doy un desplazamiento unitario en el segundo nivel, mientras que los dems niveles

no se desplazan = 1 se calculan giros momentos y cortes y reacciones de influencia, este

proceso de repite, hasta llegar a el ltimo piso, una vez terminado el proceso volvemos a el

prtico original, para el cual calculamos los efectos totales realizando la superposicin.

Una vez encontrados todas las reacciones, deben de cumplirse los teoremas de Betty - Maxwell

o los teoremas de reciprocidad, encontrando los verdaderos desplazamientos para afectarlos por

la etapa correspondiente y sern los momentos finales aunque tambin puede ser los giros

finales.


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ESTRUCTURA II Libro Teoria de Factores Comjpleto