Estadistica MRC PUCP

5/23/2018 Estadistica MRC PUCP

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Profesor : Sandro Paz ColladoCurso : Principios de Estadstica Taller de MinitabDiplomado Gestin de la Calidad en Laboratorios de Ensayos y/o Calibracin ISO/IEC 17025:2005Material de referencia 2008-II

____________________________________________________________________INSTITUTO PARA LA CALIDAD 2008. Prohibida su reproduccin total o parcial sin permiso del autory del Instituto para la Calidad de la Pontificia Universidad Catlica del Per.

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MATERIAL DE

REFERENCIA


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Profesor : Sandro Paz ColladoCurso : Principios de EstadsticaDiplomado en Gestin de la Calidad en Laboratorios de Ensayos y/o Calibracin ISO/IEC 17025:2005Material de referencia 2008-I

__________________________________________________________________________________INSTITUTO PARA LA CALIDAD 2008. Prohibida su reproduccin total o parcial sin permiso del autory del Instituto para la Calidad de la Pontificia Universidad Catlica del Per.

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1. ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1.1Distribucin de probabilidades de una variable aleatoriadiscreta

Es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados posibles parauna variable aleatoria tal que una probabilidad de ocurrencia est asociadaa cada resultado. La ley que relaciona los valores de x con los valores de susrespectivas probabilidades se denomina funcin de probabilidad. Porejemplo, para el caso del lanzamiento de un dado, la probabilidad que salga1 es 1/6, igual a la probabilidad de que salga 2 o cualquier otro nmero.

Entonces la ley que relaciona los valores de x con sus respectivasprobabilidades ser f(x)=1/6.

Cmo sera si es el lanzamiento de un dado, pero dos veces? Para este casoes necesario hacer una tabla como la siguiente:

Valoresposibles de X

Alternativas con los dados Nmerode

alternativas

Probabilidad

2 1 y 1 1 1/363 1 y 2, 2 y 1 2 2/364 1 y 3, 3 y 1, 2 y 2 3 3/365 1 y 4, 4 y 1, 2 y 3, 3 y 2 4 4/366 1 y 5, 5 y 1, 2 y 4, 4 y 2, 3 y 3 5 5/367 1 y 6, 6 y 1, 2 y 5, 5 y 2, 3 y 4, 4 y 3 6 6/368 2 y 6, 6 y 2, 3 y 5, 5 y 3, 4 y 4 5 5/369 3 y 6, 6 y 3, 4 y 5, 5 y 4 4 4/3610 4 y 6, 6 y 4, 5 y 5 3 3/3611 5 y 6, 6 y 5 2 2/3612 6 y 6 1 1/36

TOTAL 36 1


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1.2 Funcin densidad de una variable aleatoria continua

Se denomina funcin densidad f(x) de una variable aleatoria contina a lafuncin que satisface:

=

=

+

b

adxxfbxaP

dxxf

xtodoparaxf

).()(

1).(

0)(

En los dos siguientes puntos se presentan caractersticas y propiedades delos valores esperados y desviaciones estndar. Esos temas son solamenteinformativos, no es necesario que el nivel de entendimiento de estos temas

sea alto.

1.3 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria

variable aleatoria discreta in

i

ixx pxE .1

)( =

== Valor

esperado variable aleatoriacontinua

+

== dxxfxE xx ).(.)(

variable aleatoria

discreta = =

n

iixix px1

22

.)( Varianzavariable aleatoria

continua +

= dxxfxx ).(.)( 22

variable aleatoriadiscreta =

=n

i

ixix px1

2 .)( Desviacin

estndar variable aleatoriacontinua

+

= dxxfxx ).(.)( 2


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1.3.1 Propiedades del valor esperado E(x) y de la varianzaVar(x)

Propiedad Condicin

E(aX + b) = a E(X) + b Cuando a y b son constantes

Como casos particulares se tieneE(b) = bE(X + b) = E(X) + bE(aX) = a E(X)

E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y) Cuando X e Y son variables aleatorias,a y b son constantes

Como casos particulares se tieneE(X + Y) = E(X) + E(Y)E(X Y) = E(X) E(Y)

E(a X b Y) = a b E(X) E(Y)X e Y son variables aleatoriasindependientes, a y b son constantes

E(X1. X2. . . Xn) = E(X1) . E(X2) . . .E(Xn)

X1, X2, X3, . . . , Xn son n variablesaleatorias independientes

==

=

n

i

ii

n

i

ii XEaXaE11

)(. X1, X2, X3, . . . , Xn son n variablesaleatorias independientes, y a1, a2, ... ,anson n constantes

Propiedad Condicin

Var (x) = E(x2) - 2 Caso de varianza

Var (aX + b) = a2Var(X) Cuando a y b son constantes

Como casos particulares se tieneVar (b) = 0Var (X + b) = Var (X)Var (aX) = a2Var (X)

Var (aX + By) = a2Var(X) + b2Var(Y)X e Y son dos variables aleatoriasindependientes, a y b son dosconstantes

Como casos particulares se tieneVar (X + Y) = Var (X) + Var(Y)Var (X Y) = Var (X) + Var (Y)

==

=

n

i

ii

n

i

ii XVaraXaVar1

2

1

)(. X1, X2, X3, . . . , Xn son n variablesaleatorias independientes, y a1, a2, a3, .


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. . , anson n constantes

1.4 Distribucin Binomial

El experimento consiste en una serie de n intentos, donde n se fija antes

de realizar el experimento. Los intentos son idnticos y cada uno de ellospuede resultar en una de dos alternativas, como un xito o fracaso. Unintento en particular no influye en el resultado de cualquier otro, por esodecimos que no son independientes. Adems la probabilidad de xito esconstante de un intento a otro y lo denotamos como p.

Entonces para n intentos y la probabilidad p de xito en cualquierintento, la probabilidad de tener x xitos en los n intentos est dado por:

xnxn

xxX ppCP

= = )1(.)(

para: x = 0,1 ,2, . . . n

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribucin binomial conparmetros n y p y se denota X ~ B (n, p)

Media: x= E(x)= n . p

Varianza: )1(..2 ppnx =

Por ejemplo, de resultados previos en una central telefnica se sabe que sepierden un 1% de las llamadas (p = 0.01). Si en un da entran 120 llamadas,cul es la probabilidad de que se pierdan 3 llamadas? Aqu primerodecimos que hay dos posibilidades, que se pierda o no la llamada(asumimos xito y fracaso respectivamente). Adems se asume que el 1% dellamadas perdidas se mantiene y que una llamada se pierda no influye en elresultado de la siguiente; entonces, la probabilidad de que se pierdanexactamente 3 llamadas de un total de 120 sera:

0867.099.001.0!117!3

!120)01.01(01.0)3( 1173312031203 =

=== CXP

Para saber la probabilidad de perder hasta 3 llamadas, hay que calcularP(X3) y eso es igual a P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.9670

(verificar ese valor). Pero si decimos que nos interesa saber cul es laprobabilidad de que se pierdan ms de 3 llamadas, ya que por poltica de laempresa se considera que ms de 3 llamadas perdidas es una falta grave,entonces lo que se desea P(X>3) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + = 1 -P(X3) = 0.0330. Es decir, de 100 das en los cuales se tenga 120 llamadas,3.3 das en promedio habr por encima de 3 llamadas perdidas y seconsiderar una falta grave para la empresa.


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1.2 Distribucin Hipergeomtrica

Consideremos N elementos, de los cuales M son considerados xitos y por

lo tanto N-M como fracasos. Como en el caso de la distribucin binomialestamos interesados en saber la probabilidad de obtener x xitos en unamuestra de n elementos. El experimento consiste en extraer al azar y sinsustitucin n elementos de un conjunto de N elementos, M de los cuales sonxitos y N-M son fracasos. En este caso, a diferencia de la distribucinBinomial, el tamao de la muestra n es grande con respecto a N tamao dela poblacin. La probabilidad de obtener de x xitos en la muestra de nelementos es:

N

n

MNxn

Mx

C

CCxP

=

.)(

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribucin hipergeomtricacon parmetros N, M, n y p y se denota X ~ H (n, N, M)

Media:

N

MnxEx

.)( ==

Varianza:

).(

)).(.(.

1NN

nNMNMn2

2x

=

Verifique la probabilidad de que al tomar una muestra de 15 facturas de untotal de 45, en donde se sabe que hay 10 facturas con errores, 3 de lasfacturas seleccionadas tengan errores es 0.2904.

1.3 Distribucin de Poisson

Se usa en situaciones en los que hay eventos aleatorios por unidad detiempo o espacio (continuo) y en donde se desea conocer las probabilidadesde un nmero especfico de xitos (discreto). Por ejemplo, para determinar

el nmero de imperfecciones (discreto) en el tejido de la tela, por cada 10metros de tela (continuo), se debe asumir que la probabilidad de xito esconstante y que la ocurrencia de xito en cualquier intervalo esindependiente de la ocurrencia en otro intervalo


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!

.)/(

x

eP

x

xX

= =

X = nmero de xitos por unidad

= nmero esperado de xitos por unidad o promedio deocurrencias

e = constante cuyo valor es 2,71828

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribucin de Poisson conparmetro y se denota X ~ P ()

Media: x= E(x)=

Varianza: =2

x

Por ejemplo, se sabe que el nmero de autos (discreto) que llegan a un peajecada hora (continuo) y necesitan cambio para realizar el pago es 15 (=15autos/hora). Entonces la probabilidad de que en una hora lleguenexactamente 20 autos sin tener el pago exacto es:

0418.0!20

1571828.2 2015

)15/20( =

=

== XP

Si lo que se desea es la probabilidad de que en un turno de 2 horas lleguen

25 autos sin el pago exacto, entonces debe cambiar a 15 x 2 = 30autos/2horas y la probabilidad sera:

0511.0!25

3071828.2 2530

)30/25( =

=

== XP

1.4 Distribucin exponencial

Otra distribucin importante es la distribucin exponencial ya que serelaciona con la distribucin de Poisson, porque si la cantidad de eventos

que suceden en un intervalo sigue una distribucin de Poisson confrecuencia , el tiempo entre ocurrencias de eventos tiene una distribucinexponencial con parmetro = 1/. Se usa mucho la distribucinexponencial en aplicaciones de teoras de colas y como modelo paradescribir la vida o tiempo hasta la falla de un dispositivo.La funcin densidad de probabilidad es:


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=

00

0;01

)(

/

xpara

xparaexf

x

Se dice que X tiene una distribucin exponencial con parmetro y sedenota X~E(). Para distintos valores de parmetro , la curva de ladistribucin tiene diferente forma:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Expo(1.5) Expo(3)

Media: x= E(x) = Varianza:22 =x

2. INTERVALOS DE CONFIANZA

2.1 Intervalo de confianza para una proporcin

Supngase que se toma una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin grandey que x observaciones de esta muestra pertenecen a una clase de inters. Entonces

nxp / = es un estimador puntual de la proporcin de la poblacin p que pertenece aesta clase.

Por otra parte, se sabe que la distribucin de muestreo de p es aproximadamentenormal con media p y varianza p(l - p)/n, siempre y cuando p no est muy prximoa 0 1 y si n sea relativamente grande. Entonces, un intervalo de confianzaaproximado del 100 (1 - ) % para la proporcin p (de la poblacin) es:


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n

ppZpp

n

ppp

)-1(

)-1(Z- )2/1()2/1( +

Seleccin del tamao de la muestra

Teniendo en cuenta que p es el estimador puntual de p, puede definirse el error de

estimacin como E= pp . Adems, se tiene una confianza aproximada del 100(1 -

) % de que este error es menor que npp

Z )-1(

2/1

.

En situaciones donde es factible seleccionar el tamao de la muestra, puedeescogerse n de modo que exista una confianza del 100(1 - )% de que este error es

menor que algn valor especificado E. Si se hace npp

ZE )-1(

2/1 = y se despeja

para n,

( )ppE

zn 1

2

2/1

=

Para poder utilizar la ecuacin anterior. se requiere una estimacin de p. Si se tiene

una estimacin p de alguna muestra anterior, entonces puede emplearse este valoren la ecuacin en lugar de p; tambin es vlido hacer una estimacin subjetiva de p

o tomar una muestra preliminar (piloto) para calcularp , utilizarlo en la frmula yobtener el nmero de observaciones adicionales que se necesitan.

Otra forma para calcular n. utiliza el hecho de que el tamao de la muestra obtenidaal aplicar la frmula siempre es mximo para p=0.5 y esto puede emplearse paraobtener una cota superior sobre n.

Ejemplo 1.6:

Un fabricante de bateras est interesado en estimar la fraccin de unidades no

conformes producidas. En una muestra aleatoria de 800 bateras se encontraron 10unidades no conformes. Estime el intervalo de confianza para la proporcin al 95%


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2.2 Intervalo de confianza para una proporcin

Supngase que se toma una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin grandey que x observaciones de esta muestra pertenecen a una clase de inters. Entonces

nxp / = es un estimador puntual de la proporcin de la poblacin p que pertenece aesta clase.

Por otra parte, se sabe que la distribucin de muestreo de p es aproximadamentenormal con media p y varianza p(l - p)/n, siempre y cuando p no est muy prximoa 0 1 y si n es relativamente grande.

Entonces, un intervalo de confianza aproximado del 100 (1 - ) % para laproporcin p (de la poblacin) es:

n

ppZpp

n

ppp

)-1(

)-1(Z- )2/1()2/1( +

Seleccin del tamao de la muestra

Teniendo en cuenta que p es el estimador puntual de p, puede definirse el error deestimacin como

E= pp . Adems, se tiene una confianza aproximada del 100(1 - ) % de que este

error es menor quen

ppZ

)-1(2/1 .

En situaciones donde es factible seleccionar el tamao de la muestra, puede

escogerse n de modo que exista una confianza del 100(1 - )% de que este error esmenor que algn valor especificado E. Si se hace

n

ppZE

)-1(2/1 = y se despeja

para n,

Datos:

p =800

10= 0.0125

= 800 = 5%

Solucin:

)2/1(Z = 1.96

n

ppZppn

ppp

)

-1(

)

-1(Z- )2/1()2/1( +

0202.00048.0 p


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( )ppE

zn 1

2

2/1

=

Para poder utilizar la ecuacin anterior se requiere una estimacin de p. Si se tieneuna estimacin p de alguna muestra anterior, entonces puede emplearse este valor

en la ecuacin en lugar de p; tambin es vlido hacer una estimacin subjetiva de po tomar una muestra preliminar (piloto) para calcular , utilizarlo en la frmula yobtener el nmero de observaciones adicionales que se necesitan.

Ejemplo 4.5:

Un fabricante de bateras est interesado en estimar la fraccin de unidades noconformes producidas. En una muestra aleatoria de 800 bateras se encontraron 10unidades no conformes. Estime el intervalo de confianza para la proporcin al 95%

2.3 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones

Supngase que existen dos proporciones de inters, ply p2y es necesario obtener unintervalo de confianza del 100(1 - ) % para la diferencia de stas, pl - p2; para locual se toman dos muestras independientes de tamao n1y n2de dos poblaciones.

Sean xly x2el nmero de observaciones en cada una de las muestras que pertenecena la clase de inters correspondiente. Por consiguiente, podemos utilizar 111 / nxp = y

222 / nxp = (proporciones muestrales) para el clculo de un estimador puntual

21 pp , de la diferencia de las proporciones verdaderas y un intervalo de confianza

aproximado del 100(1 - )% para dicha diferencia ser


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( ) ( ) ( ) ( )

2

22

1

112/12121

2

22

1

112/121

11

11

n

pp

n

ppZpppp

n

pp

n

ppZpp

+

+

+

Ejemplo:

Se usan dos tipos diferentes de mquinas de moldeado por inyeccin para hacerpiezas de plstico. Una pieza de considera no conforme si presentan mermaexcesiva. Se seleccionan dos muestras aleatorias cada una de tamao 300,encontrndose 15 y 8 unidades no conformes. Construya un intervalo de confianzaal 95% para la diferencia de las proporciones. El intervalo incluye al cero?

3. PRUEBA DE HIPTESIS

3.1 Prueba de hiptesis de comparacin de dos proporciones

Ejemplo 5.4:

Un estudio muestra que 16 de 200 tractores producidos en una lnea de montajerequirieron de grandes ajustes antes de que pudiera embarcrseles, en tanto que lomismo fue cierto para 14 de 400 tractores producidos en otra lnea de montaje. Enel nivel de significacin de 0.01, apoya esto la afirmacin de que la segunda lnea

de produccin realiza un mejor trabajo?La salida del MINITAB para la prueba respectivas es:

Test and Confidence Interval for Two Proportions

Sample X N Sample p

1 16 200 0.080000

2 14 400 0.035000

Estimate for p(1) - p(2): 0.045

99% CI for p(1) - p(2): (-0.00978938, 0.0997894)

Test for p(1) - p(2) = 0 (vs > 0): Z = 2.38 P-Value = 0.009

4. ANLISIS DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD


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9.1.Definiciones

RepetibilidadPrecisin bajo condiciones donde los resultados de ensayos independientesson obtenidos con el mismo mtodo y el mismo objeto de ensayo, en el

mismo laboratorio, realizado por el mismo operador usando el mismoequipo dentro de un intervalo de tiempo corto (ISO 5725-1).

ReproducibilidadPrecisin bajo condiciones donde los resultados de ensayos son obtenidoscon el mismo mtodo y el mismo objeto de ensayo, en diferenteslaboratorios, usando diferentes operadores y diferentes equipos (ISO 5725-1).

9.2.Uso de Excel para calcular la Repetibilidad yReproducibilidad

Se debe construir una tabla con los datos, tal como se muestra acontinuacin

Promedio

Muestra Med1 Med2 Prom Var Med1 Med2 Prom Var Med1 Med2 Prom Var

1 21 20 20.5 0.5 20 20 20.0 0.0 19 21 20.0 2.0 20.17

2 24 23 23.5 0.5 24 24 24.0 0.0 23 24 23.5 0.5 23.67

3 20 21 20.5 0.5 19 21 20.0 2.0 20 22 21.0 2.0 20.504 27 27 27.0 0.0 28 26 27.0 2.0 27 28 27.5 0.5 27.17

5 19 18 18.5 0.5 19 18 18.5 0.5 18 21 19.5 4.5 18.83

6 23 21 22.0 2.0 24 21 22.5 4.5 23 22 22.5 0.5 22.33

7 22 21 21.5 0.5 22 24 23.0 2.0 22 20 21.0 2.0 21.83

8 19 17 18.0 2.0 18 20 19.0 2.0 19 18 18.5 0.5 18.50

9 24 23 23.5 0.5 25 23 24.0 2.0 24 24 24.0 0.0 23.8310 25 23 24.0 2.0 26 25 25.5 0.5 24 25 24.5 0.5 24.67

11 21 20 20.5 0.5 20 20 20.0 0.0 21 20 20.5 0.5 20.33

12 18 19 18.5 0.5 17 19 18.0 2.0 18 19 18.5 0.5 18.33

1323 25 24.0 2.0 25 25 25.0 0.0 25 25 25.0 0.0 24.67

14 24 24 24.0 0.0 23 25 24.0 2.0 24 25 24.5 0.5 24.17

15 29 30 29.5 0.5 30 28 29.0 2.0 31 30 30.5 0.5 29.67

16 26 26 26.0 0.0 25 26 25.5 0.5 25 27 26.0 2.0 25.83

17 20 20 20.0 0.0 19 20 19.5 0.5 20 20 20.0 0.0 19.83

18 19 21 20.0 2.0 19 19 19.0 0.0 21 23 22.0 2.0 20.3319 25 26 25.5 0.5 25 24 24.5 0.5 25 25 25.0 0.0 25.00

20 19 19 19.0 0.0 18 17 17.5 0.5 19 17 18.0 2.0 18.17

22.30 0.75 22.28 1.18 22.60 1.05

Analista 1 Analista 2 Analista 3

13

En el encabezado de las columnas estn los analistas que participan en elestudio de R&R, cada uno debe ejecutar el ensayo de la muestra por lomenos dos veces (dos rplicas). Para realizar este anlisis, tal como estpresentado en el documento, por lo menos deben existir dos analistas.

Cada analista ensaya varias muestras (20 en el ejemplo adjunto) y la ensayados veces. (1) Se calcula luego el promedio de las mediciones de un analistapara cada muestra.

2


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Se calcula el promedio de todos los promedios por cada analista (2). Esto serepite para todos los analistas que estn participando en el estudio.

Por cada muestra se calcula un promedio de todas las medidas realizadaspor todos los analistas (3).

Construccin de ANOVA

Con los datos indicados en verde (ver ejemplo) se construye la tabla deANOVA. Primero se determina el nmero de analistas (an), el nmero demedidas realizada por cada uno de ellos (me) y el nmero de muestrasanalizadas (mu) (4)

Nmero de anal istas 3

Nmero de medidas 2

Nmero de muestras 20

Fuentes SS df MS

Analistas 2.617 2 1.308

Muestras 1185.425 19 62.391

Error 86.550 98 0.883

Total 1274.592 119 10.711

ANOVA

4

67 5

8

Se determinan los grados de libertad df (nmero de elementos menos 1; lasuma de los df de todas las fuentes debe ser igual a los df totales) (5). Los dftotales se calculan como el nmero total de datos menos 1. Luego se calculalas medias cuadrticas (MS) usando las siguientes frmulas (6):

MSanalista = mu x me x Varianza de los promedios por analista

MSmuestra = an x me x Varianza de los promedios por muestra

MStotal = Varianza de todos los datos

Tener en cuenta que no hay frmula para MSerror, eso se calculaposteriormente. Luego se calcula la suma de cuadrados SS, multiplicandocada MS por su correspondiente df (7).

La columna de suma de cuadrados es aditiva, es decir la suma de cuadradosde todas las fuentes debe ser igual a la suma de cuadrados totales. Por


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diferencia se encuentra la SS del error y luego se divide entre los grados delibertad df para hallar el valor MSerror (8)

Repetibilidad y Reproducibilidad

A continuacin se presentan las ecuaciones para la siguiente tabla

EVALUACIN DEL SISTEMA DE MEDICINVar DesvEst % Contrib

Total Gage R&R 0.8938 0.9454 8.02%Repetibilidad 0.8832 0.9398 7.92%

Reproducibilidad 0.0106 0.1031 0.10%Entre muestras 10.2513 3.2018 91.98%Total 11.1451 3.3384 100.00%

Repetibilidad = MSerror

Reproducibilidad = (MSanalista MSerror) / (me x mu)

Varianza entre muestras = (MSmuestras MSerror) / (an x me)

Total Gage R&R = Repetibilidad + Reproducibilidad

La desviacin estndar se calcula como la raz cuadrada de la varianza y elporcentaje de contribucin es respecto al total de la varianza. Por ejemplo el% de contribucin de las muestras se calcula como % contrib_muestras=

10.2513/11.1451 = 91.98%.

Usando ANOVA de ExcelOtra forma de construir la tabla de repetibilidad y reproducibilidad es conel uso del comando ANOVA de Excel. Para ello, la tabla de datos tiene queordenarse de una forma diferente, tal como se muestra a continuacin.

Muestra Analista 1 Analista 2 Analista 3

1 21 20 19

20 20 21

2 24 24 23

23 24 24

3 20 19 20


16/21



-16-

21 21 22

4 27 28 27

27 26 28

5 19 19 18

18 18 21

6 23 24 2321 21 22

20 19 18 19

19 17 17

Para usar ANOVA de Excel hay que seguir la siguiente secuencia:

Herramientas > Anlisis de datos > Anlisis de varianza de dos factores convarias muestras por grupo.

El rango de entrada es toda la tabla de datos, incluyendo los ttulos; las filapor muestra es el nmero de repeticiones que se hacen del ensayo; Alfa es elnivel de confianza, suele ser 5%; y el rango de salida es la primera celda endonde va a aparecer el resultado.

De todo el reporte resultante, es importante la ltima tabla, que es laANOVA propiamente dicha, de ella se puede construir la tabla derepetibilidad y reproducibilidad. Las frmulas para ello las puede encontraren el documento de Excel adjunto.

5. GRFICAS DE CONTROL

Una grfica de control es un trazo estadstico que por lo general se calcula apartir de datos agrupados, que muestran la conducta de una caractersticade un proceso en el transcurso del tiempo.

Algunas de las estadsticas que se vigilan por medio de grficos de controlincluyen los promedios y rangos de los valores tomados para cadaagrupacin de datos.

Las grficas de control se emplean para vigilar la estabilidad de un proceso.Se agregan los lmites de control a la grfica como ayuda para decidircundo ajustar el proceso. Estos lmites se basan en la variabilidadinherente del proceso y su valor terico es de + / - 3 desviacionesestndares de las mediciones obtenidas. Es de hacer notar que los lmites decontrol no son los de la especificacin: estos se establecen fuera del proceso.Se construyen grficas de control que indican la conducta de un procesoparticular en forma grfica.


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Los datos se clasifican en: Variables (cuando provienen de valorescontinuos como tiempo, longitud, volumen, etc.) y Atributos (cualidades ocaractersticas, por ejemplo, bueno o malo).

El Doctor Walter Shewhart desarroll en los aos 20 la teora del Control

Estadstico de la Calidad. Analiz diferentes procesos y concluy que todoslos procesos de manufactura mostraban variacin. La variacin de cualquiercaracterstica que queramos medir en un proceso puede ser estimada apartir de los parmetros de su distribucin estadstica. Cambios en ladistribucin pueden ser revelados si graficamos estos parmetros enfuncin del tiempo. Las muestras consisten usualmente en medicionesagrupadas.

Los grficos de datos por variables se basan en tamaos de grupos de 4 a 10mediciones. Los grficos de atributos normalmente requieren grupos de 50y hasta cientos de mediciones. Con estas medidas se obtienen los Lmites deControl, con una extensin entre el Lmite de Control Superior y el Inferior

de 6 veces la desviacin estndar del proceso estudiado.

La distancia que hay entre los Lmites de Control Superior e Inferior definela variacin que hay en el proceso. Las mediciones que se salgan de losLmites de Control nos indican que han ocurrido desviaciones que debenser corregidas inmediatamente. Los puntos que estn dentro de los Lmitesde Control son parte normal del proceso y no reflejan ningncomportamiento especial de este.

Pasos para construir una Grfica de Control por Variables:

1. Cuando se trabaja con variables, es mejor emplear datos agrupados.Es decir, la data generada por un proceso se agrupa en el mismo ordenen el que los datos se van obteniendo. Es muy importante que serespete el orden, ya que de lo contrario la grfica no reflejara larealidad del proceso.

2. Determinar la cantidad de datos que formarn un sub-grupo. Estetamao depende de la facilidad con la que podamos obtener los datos.El menor tamao de sub-grupo es de 2 unidades. Con 2 unidades porsub-grupo no se requiere tomar muchos datos, pero la informacin noser muy precisa. Normalmente se emplea tamao de sub-grupo de 4a 5 unidades para grficas por variables.

3. Determinar la cantidad de sub-grupos para representar en la grfica.Con 25 sub-grupos representados en el orden en que se obtuvieron sepueden trazar los lmites de control superior e inferior del proceso.

4. Obtener el promedio y rango de cada sub-grupo. El promedio ser lasuma de los valores dividido entre la cantidad de valores, y el rango ladiferencia entre el mayor y menor valor de cada sub-grupo.


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5. Obtener el promedio de los promedios y el promedio de rangos. Enambos casos es la suma total respectiva dividido entre la cantidad desub-grupos.

6. Calcular los lmites de control para los promedios. Los lmites decontrol de promedios se obtienen con la frmula:

LCS = promedio global + A2 * promedio de rangos.LCI = promedio global A2 * promedio de rangos

7. Calcular los lmites de control para los rangos. Los lmites de controlde rangos se obtienen con la frmula:

LCSR = D4 * promedio de rangosLCIR = D3 * promedio de rangos.

8. Efectuar la grfica de control colocando en el eje horizontal la posicinen que se obtuvo cada subgrupo, comenzando por la 1 y siguiendosecuencialmente. Colocar en el eje vertical el promedio de cada sub-grupo. Esta grfica se puede realizar siempre y cuando todos losrangos caigan dentro de los lmites de rangos y todos los promedioscaigan dentro de los lmites de control de promedios. Si algn puntocae fuera de los lmites, debe ser retirado y no tomado en cuenta paraestablecer los lmites de control. Este punto que cay fuera nos indicala presencia de una causa especial que debe ser resuelta.

NOTA: A2, D4 y D3 se obtienen en tablas estadsticas (ver anexo 1).


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Rcord de Asistencia

20

25

30

35

40

45

1 3 5 7 911

13

15

17

19

Da

Minuto

Las grficas de control por atributos se calculan a partir de sub-grupos quemuestran la conducta de una caracterstica de proceso en el tiempo. Lasgrficas de control por atributos muestran la conducta de las fraccionesdefectuosas p. Tambin pueden mostrar nmero de defectos c o nmerode defectos por unidad u. Estas ltimas grficas derivan de la primera,por lo que la discusin siguiente se centrar en la grfica p.

Los pasos para desarrollar una grfica de control por atributos son:

1. Determinar el proceso a vigilar. Se utiliza grfica por atributos cuandose trata, por ejemplo, de observar el nmero de defectos por artculoproducido en una seccin de una fbrica o empresa cualquiera.

2. Determinar el tamao de sub-grupo y la frecuencia en la que seefectuar la medicin. Esto depende del costo de efectuar el muestreo.Cuando se trabaja con atributos, el tamao de sub-grupo debe sermayor que cuando se trabaja con variables, para obtener un mismonivel de informacin. Esto es porque por atributos, los artculos solotienen informacin del tipo: bueno o malo. Por variables lainformacin es continua.

3. Registrar los datos.

4. Calcular la fraccin defectuosa para cada sub-grupo. La fraccindefectuosa es el nmero de unidades defectuosas en el sub-grupodividido entre la cantidad de unidades que conforman el sub-grupo.


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5. Trazar las fracciones defectuosas en la grfica. El el eje horizontal va elorden en el que se obtienen los datos y en el eje vertical la fraccindefectuosa.

6. Obtener la fraccin defectuosa global (p prom). Es la cantidad total de

defectos dividido entre la cantidad total de observaciones.

7. Calcular los lmites de control:

( )p1n

p3pLC =

8. Trazar los lmites de control y verificar que no existan puntos que sesalgan de estos lmites. En caso algn punto salga de estos lmites,eliminarlo y volver a calcular los lmites. Los puntos que caen fuera delos lmites de control indican la presencia de causas especiales que

deben ser eliminadas para que el proceso vuelva a estar bajo controlestadstico.

ANEXO 1

Factores para Calcular Lmites de Control:

Tamaode Sub-grupo

A2 D3 D4

2 1.88 0 3.2673 1.023 0 2.5744 0.729 0 2.2825 0.577 0 2.114

10 0.308 0.223 1.77720 0.18 0.415 1.585

Es importante, a estas alturas, dar algunas precisiones en el empleo de grficos decontrol:

1. Aunque fueron concebidos para dotar a los operarios en las fbricas de uncriterio para la seleccin o rechazo de productos elaborados en serie, la mayoraplicacin de los grficos de control se encuentra en el rea administrativa. Ud.puede, por ejemplo, controlar la asistencia de sus trabajadores con el uso de unagrfica de control por variables. De esta manera se puede predecir si eltrabajador llegar tarde o no, de acuerdo a cul sea su lmite de control superior.


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Lo invito a pensar en otros usos tiles de los grficos de control en el reaadministrativa.

2. En general todo evento debe ser analizado bajo principios estadsticos. Todoevento repetitivo, por su parte, debera ser analizado con el empleo de grficos de

control.

3. Cuando los resultados de un proceso se encuentran variando en ciertos lmites, yen una forma aleatoria, se dice que el proceso es estable. Los lmites entre loscuales vara el proceso son, necesariamente, los lmites de control superior einferior del proceso.

4. No debemos confundir los lmites de control con los de especificacin. Loslmites de especificacin los pone el cliente y los define bajo sus propiasnecesidades. Los lmites de control reflejan la capacidad del proceso.

5. Capacidad del proceso es el rango que hay entre el lmite de control inferior y el

lmite de control superior en un proceso.

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