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ERRAR ES UN
PLACER
El uso de los errores para el desarrollo del
pensamiento matemático
Eduardo Mancera Martínez
Introducción
Generalmente lo errores son aspectos que se tratan de evitar en las
conversaciones y los trabajos científicos, entre matemáticos los errores son
frecuentemente tema de sorna o inicio de desprestigio, entre maestros de
matemáticas, son preocupación y tabú, pero en las computadoras es más
divertido equivocarse que hacer las cosas bien.
Los errores son fuente de conocimiento que podemos explotar para profundizar
en el pensamiento matemático, esto no es nuevo ha sido el motor del devenir
matemático.
En efecto, la ciencia en general, la matemática en particular, ha podido
avanzar gracias a los errores cometidos por diversos personajes, los
descubrimientos no se realizan de una vez y para siempre, son aproximaciones
al conocimiento que tienen sentido en una época, en una etapa del desarrollo de
la humanidad. Por ello es posible que lo descubierto hoy sea mejorado
posteriormente, pero el hecho de que se haya planteado cierto conocimiento da
pie para que se profundice en él y pueda ser revalorado y purificado.
Para muestra basta un botón, recordemos que grandes matemáticos como
Diofanto, Stevin, Descartes, Mc Laurin, Euler, D´ Alambert, Carnot, Laplace e
incluso Cauchy rechazaron como válidos a los números negativos. Sin embargo,
en la escuela básica estos se manejan como si fueran algo muy familiar. Los
errores provocados por esas concepciones limitadas ahora resultan simplezas.
Por ello no exagerado afirmar que en los errores existe una fuente inagotable
de conocimiento que para aprovecharla debe ser atendida, no rechazada.
Incluso en los errores enciontramos un aspecto motivacional importante dado
que a veces implican aspectos simpáticos e ingeniosos.
Con este trabajo, producto de la recopilación, casi morbosa al inicio y
posteriormente jocosa, se trata de mostrar la importancia de los errores en la
formación matemática de los individuos, no sólo como lección ejemplar sino
como una interesante experiencia de aprendizaje y a veces motivo solaz.
Este no es un tema de interés reciente, en 1912 Thomas J. McCormack
presentó, en la universidad de Illinois, un trabajo titulado: On the Psychology
of errors in elementary mathematics, el cual posteriormente se publicó en
conocida revista [1, en éste se caracterizan los errores y se proponen algunas
aplicaciones a la educación.
Por otra parte, en la investigación en educación matemática el error es el
material de análisis frecuente sobre el cual se respaldan muchos desarrollos e
incluso se explican a nivel de pertinecia. Muestra de ello es el estudio realizado
en Inglaterra por un equipo de investigadores quienes desarrollaron un
proyecto conocido como CSMS (Concepts in secondary mathematics and
Science), dicho estudio, que se llevó a cabo de 1974 a 1979, consiste en un
interesante análisis de los errores que cometen los estudiantes, el reporte de
esta investigación se publicó hasta 1981 2. En este caso la detección de
errores y su descripción y clasificación permitió desarrollar muchas de las
teorías actuales sobre la construcción de conceptos y el desarrollo de materiales
didácticos.
La revista Focus on Learning Problems in Mathematics, dedicó un número
completo al tema que nos ocupa 3, en este número se analizan diversos tipos
de errores y su relación con la enseñanza de ciertos conceptos matemáticos.
Algunos matemáticos también han encontrado en los errores problemas dignos
de estudio, ya sea por que plantean acertijos o pasatiempos o por que sugieren
teoremas interesantes, muestra de ello lo encontramos en los libros de Ogilvy y
Anderson 4, Damorvad 5, Kraitchick 6, y en diversos números de revistas
como Scripta Mathematica 7 y School, Science and Mathematics 8.
Lakatos en algunos de sus escritos 9 muestra como la discusión de los errores
detectados en algunas teorías permiten la transformación o enriquecimiento de
éstas, por ejemplo, cuando el autor analiza el trabajo de Cauchy, afirma:
Pero si los errores de Cauchy no fueron más que flagrantes descuidos ¿Cómo
es que uno de ellos sólo fue subsanado en 1847 por Seidel y el otro tan sólo en
fecha tardía como en 1870 por Heine?
La consideración de algunos errores ha permitido explicar el desarrollo de
ciertos conceptos y el nacimiento de nuevas teorías, las cuales tal vez no se
hubieran desarrollado sin dichos equívocos.
El uso del término “error” en algunos trabajos de la antigüedad, podría ser
desproporcionado y se preferirá hablar de “concepciones limitadas”, siendo este
matiz totalmente válido, pues decimos que un procedimiento es correcto o no a
partir de los elementos que conforman las teorías actuales. Sin embargo, con
ello hacemos juiocios que no corresponden a los marcos donde se genera la
situación original; Lakatos tenía esto en mente cuando planteó:
“Cauchy no cometió en absoluto ningún error, si no que probó un teorema
totalmente distinto, sobre secuencias transfinitas de funciones que Cauchy-
convergen sobre el continuo de Leibniz”
Esto es, el teorema demostrado por Cauchy es válido en un sistema donde *
es una extensión del sistema de los números reales , pero es falso al
considerarlo sólo en .
El matiz de “concepción limitada”, que se da a los errores detectados en la
historia de la matemática, puede ser válido también en el caso de los errores
cometidos por los estudiantes, puesto que muchos de sus equívocos pueden
explicarse a través de los métodos que los propios estudiantes desarrollan con
el tiempo, siendo válidos de manera parcial; es decir, los estudiantes proceden
de maneras equivocadas porque algunos procedimientos son válidos para ellos,
dentro de sus propios esquemas.
Existe gran interés por los errores matemáticos, todos sabemos que a veces es
más divertido equivocarse que acertar, como sucede en los juegos de video o en
algún software en docde una secuencia de aciertos no conduce a ciertos sonidos
de advertencia o a que aparezca en pantalla algún personaje divertido.
Modificando la letra de una conocida canción argentina, se puede decir: “Errar
es un placer ... errando espero al acierto que yo quiero ...”
La integración de esta recopilación se llevó a cabo considerando dos aspectos:
los problemas de la enseñanza y el trabajo matemático. La mayoría de los
ejemplos que se incluyen son parte del folklore matemático pero han sido
extraidos de diversos materiales escritos, sobre todo de revistas especializadas
a las cuales se hará mención en la bibliografía general para apoyar al curioso
en sus propias indagaciones.
Cabe mencionar que un trabajo que sirve de base para este tipo de
acercamientos es el de Robert Carman publicado en 1971 por Mathematics
Teacher y denominado Mathematical Mistakes. Muchos de los ejemplos y
situaciones planteadas por este autor fueron consideradas desde diferentes
perspectivas por diversos autores y son desarrolladas también en este trabajo.
El artículo de Carman es un inventario muy amplio de errores y situaciones
interesantes que se presentan de manera cotidiana.
¿CUÁNDO UN ERROR NO LO ES?
Existen muchas situaciones en las que se considera como incorrecto un
procedimiento pero en realidad es matemátiicamente válido. Estas situaciones
se presentan cuando el procedimiento viola algunas de las reglas generales que
se emseñan en la escuela.
Así un procedimiento considerado como incorrecto puede tener algunas
excepciones, lo cual no invalida la regla, pero nos mete en aprietos y conduce a
vergonzantes situaciones.
Tradicionalmente se califica si se ha aplicado un método adecuadamente pero
no si se ha comprendido y se ha analizado adecuadamente, estos casos curiosos
que tambalean las reglas son sumamente interesantes para la curiosidad
matemática.
Veremos algunos de estos casos que pueden hacer flaquear nuestros principios.
Quebrando quebrados
Un error muy conocido y discutido en diversos artículos y libros de acertijos o
curiosidades matemáticas, es la cancelación:
16
64
1
4
Si dedicamos un poco de tiempo a analizar esta situación, podemos darnos
cuenta que es la aplicación de un teorema totalmente válido, valga la
redundancia:
Para constatarlo supongamos que a, b y c son dígitos no nulos y que ab y bc
representan a los números que se pueden escribir con dichos dígitos, de este
modo el caso general del ejemplo anterior se puede expresar por medio de la
siguiente igualdad:
ab
bc
a
c
la cual puede escribirse de la forma:
10
10
a b
b c
a
c
después de algunas transformaciones algebraicas sencillas, obtenemos:
10
10
10 10
10 10
10 10
a b
b c
a
c
c a b a b c
ac cb ab ac
ac ac ab cb
( ) ( )
Por lo tanto:
9 10ac b a c ( )
Si a=b se obtiene:
9 10
9 10
9 10
10 10
2
2
2
ac a a c
ac a ac
ac ac a
ac a
a c
( )
Análogamente si a=c, se obtiene:
9 10
9 9
2
2
a b a a
a ab
a b
( )
lo cual nos conduce a soluciones triviales como:
11
11
1
1
22
22
2
2
33
33
3
3
44
44
4
4
En un análisis superficial podemos observar que como a, b y c son dígitos no
nulos, se tendrían que analizar:
9 7293 casos.
En realidad, descartando las soluciones triviales serían por lo menos 700. Sin
embargo, un análisis más detallado, como el de Ellie Johnson 14, reduce
mucho el problema.
En efecto, sin tratar de abarcar todas las situaciones y acabar con la curiosidad
del lector por un exceso de información, podemos considerar los siguientes
casos:
a) Si b=6, nuestra última ecuación se convierte en:
ac
c
2
20 3
Como a y c son positivos debe ocurrir que:
20 3 0 c
de ahí que:
c 6
Por otro lado, como a es un entero, se cumple la relación:
2 20 3c c
de esto se concluye que:
4 c
Así que, c debe satisfacer la condición:
4 c 6
De lo anterior obtenemos algunas soluciones, las cuales corresponden a
algunos de los siguientes casos:
1) a=1, b=6, c=4.
2) a=2, b=6, c=5.
3) a=6, b=6, c=6.
de ahí que algunas soluciones son:
16
64
1
4
26
65
2
5
66
66
6
6
b) Análogamente, si b=9, de la igualdad
9 10ac b a c ( )
Obtenemos la expresión:
ac
c
10
debido a que a y c son positivos, el denominador también lo es:
10-c0
esto es
c9
También, dado que a es un entero, se cumple la desigualdad:
10-cc
de ahí que:
5c9
Analizando todas las posibilidades para este caso se encuentra que:
19
95
1
5
49
98
4
8
99
99
9
9
Queda al lector analizar poco más de 430 casos. Esto se puede simplificar
mucho, para ello puede consultar los trabajos de Ellie Johnson 14.
Existen muchos casos similares que son presentados en artículos como los de
Robert A. Carman y Ellie Johnson 14.
103
206
13
26
102
204
12
24
102
206
12
36
506
506
56
56
728
224
78
24
217
775
21
75
484
847
4
7
3544
7531
344
731
143185
1701856
1435
17056
2666
6665
266
665
26
65
2
5
Para el matemático inquieto este tipo de situaciones le plantean problemas que
pueden abordarse en los espacios de ocio, cuando se dejan las altas o bajas
dimensiones, las categorías o los topos.
Esfumando potencias
Otra situación interesante se presenta cuando se cancelan exponentes, por
ejemplo:
a b
c
a b
c
2 2
2
Lo cual desde un punto de vista general es un procedimiento equivocado, pero
existen casos, como cuando a =2, b=3 y c=13
5, en donde se cunple la igualdad:
2 3
13
5
2 3
13
5
2 2
2
Por lo general siempre nos preocupa determinar si una regla se utilizó bien o
mal, pero no si es válida en algunos casos.
Ejemplos similares pueden construirse a partir de la siguiente igualdad
algebraica:
a b
a b
a b
a b
a b
a b
2 2
2 22 2 2
donde a+b 0.
También puede presentarse un caso como el siguiente:
a b
c d
a b
c d
3 3
3 3
Como sabemos esto no es válido en general, pero en el siguiente caso particular
si lo es:
37 13
37 24
37 13
37 24
3 3
3 3
ejemplos similares se obtienen de la identidad:
a b
a a b
a b
a a b
3 3
3 3
donde a a b3 30 y 2 0a b .
Otras cancelaciones de exponentes similares y que no conducen a resultados
incorrectos son:
3 25 38
7 20 39
3 25 38
7 20 39
4 4 4
4 4 4
49 175 107
39 92 100
49 175 107
39 92 100
5 5 5
5 5 5
3 19 22
10 15 23
3 19 22
10 15 23
6 6 6
6 6 6
2 2 2
2 2 2
3 5 8
7 7
3 5 8
7 7
4 4 4
4 4
2 2 2
2 2
2 3 10 11
1 5 8 12
2 3 10 11
1 5 8 12
2 3 10 11
1 5 8 12
3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
Procedimientos erróneos ... pero ...válidos.
¿Se suman fracciones ... o ... razones?
En todos los niveles educativos encontramos estudiantes que realizan la suma
de fracciones como sigue:
a
b
c
d
a c
b d
este procedimiento incorrecto en genaral, resulta válido en algunos casos,
veamos como se pueden determinar dichos casos.
Si despejamos a obtenemos:
a
b
c
d
a c
b d
ad bc
bd
a c
b d
ad bc b d a c bd
adb ad b c bdc adb dbc
ad b c
ab c
d
2 2
2 2
2
2
Con esta expresión podemos determinar algunas soluciones enteras, por
ejemplo:
18
3
8
2
2 18 3 8
6
36 24
6
12
62
18
3
8
2
18 8
3 2
10
52
( ) ( )
Otro ejemplo es:
12
2
3
1
1 12 2 3
2
12 6
2
6
23
12
2
3
1
12 3
2 1
9
33
( ) ( )
Por otra parte, si nos referimos a situaciones en las que una representación (o
un significante) puede interpretarse de varias maneras (esto es, admite varios
significados), entonces el símbolo a
b, puede referirse a una fracción o una
razón.
En caso de que a
b se refiera a una razón, también seria válido que
a
b
c
d
a c
b d
.
En efecto, consideremos que un jugador de beisbol en un encuentro de cinco
oportunidades al bat pudo pegar de hit en tres ocasiones, en un segundo
partido de siete oportunidades al bat bateó un hit en cinco oportunidades.
PRIMER JUEGO
OPORTUNIDADESHITS
53
SEGUNDO JUEGO
OPORTUNIDADESHITS
75
De este modo de 12 oportunidades la bat bateó 8 hits.
PRIMER Y
OPORTUNIDADESHITS
128
SEGUNDO JUEGO
En símbolos se puede escribir esta situación de la siguiente manera:
3
5
5
7
3 5
5 7
8
12
Si hacemos la suma de razones como se hacen las de las fracciones,
encontramos un resultado totalmente incoherente con la situación aludida.
¡¡¡¡¡¡¡¡ 3
5
5
7
21 25
35
46
35
!!!!!!!!
Diferencia de fracciones rápida
Con las fracciones hay otras situaciones que conviene reflexionar, por ejemplo
los siguientes casos se desarrollaron multiplicando solamente los
denominadores:
1
3
1
4
1
12
1
7
1
8
1
56
1
123
1
124
1
15252
Lo cual es la aplicación de un teorema correcto:
1 1 11
a b abb a
Donde a y b son distintos de cero.
La demostración resulta muy sencilla:
Caso
1 1 1
1 1 1
1 1
1
1
a b ab
a b ab
a
a
ab
ab a a
b a
( )
Caso
b a
ab a a
a
a
ab
a b ab
a b ab
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1
( )
Problema de raíz
Siguiendo con el manejo de las fracciones, podemos considerar casos en los que
algunos estudiantes confunden a los números mixtos con la multiplicación de
un entero y una fracción, de tal suerte que cometen errores como el siguiente:
ab
ca
b
c
Esto se confunde a con:
ab
ca
b
c
Lo cual en realidad es confundir:
ab
ca
b
c
observe que si a=r 2 y s=a
b la igualdad anterior la podemos escribir como:
r s r s2
(donde r y s son enteros positivos), despejando s obtenemos:
sr
r
2
2 1
donde r 1
entonces algunas soluciones son:
44
94
4
92
4
9
99
89
9
83
9
8
1616
1516
16
154
16
15
Productos notables
Muchos se preguntan por qué a los productos notables se les denomina así, la
razón es que es “notable” que nadie se los aprenda. Muestra de ello es la
frecuente equivocación relativa a elevar al cuadrado un binomio elevando al
cuadrado los elementos que lo componen, aunque esto también sucede cuando
se manejan otro tipo de potencias de binomios.
Por ejemplo, dada la expresión:
x a x b x c 2 2 2
se comete el “error” de realizar las potencias de la siguiente manera:
x a x b x c2 2 2 2 2 2
Sin embargo, al analizar con cuidado la situación, obtendríamos que esto es
válido si a + b = c. En efecto, si esto se cumple podemos hacer lo siguiente:
x a x b x c 2 2 2
x ax a x bx b x cx c2 2 2 2 2 22 2 2
x x a b x b x xc c2 2 2 2 22 2
x xc a x b x xc c2 2 2 2 2 22 2 , puesto que a + b = c
x a x b x c2 2 2 2 2 2
Esto puede generalizarse como sigue:
Si c = ad + be de la igualdad:
dx a ex b x c 2 2 2
se puede pasar a la igualdad:
d x a e x b x c2 2 2 2 2 2 2 2
La demostración es muy sencilla, un ejemplo es el siguiente:
2 1 4 3 14 2 1 4 3 142 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x
Escribir una “costra porosa”, perdón, una cosa por otra
¿Se multiplica o se suma?
Quién no ha escrito algo pensando en otra cosa, por ejemplo, si ab
c es un
número mixto, se puede haber confundido una operación por otra:
11
34 1
1
34
11
78 1
1
78
11
1213 1
1
1213
Esto es consecuencia de la identidad:
11
1 11
1n
nn
n ( ) ( )
Lo cual se puede interpretar como:
( ) ( ) ( ) ( )11
1 11
1 n
nn
n
Despreciando a las fracciones
En ocasiones también se omiten términos, por ejemplo:
311
221
1
331 21
73
74
3
137 4
Las forma de construir este tipo de casos es un tanto complicada, pero se puede
iniciar un análisis de la siguiente manera:
Supongamos que a, s y r son enteros positivos tales que s divide a a, es decir,
existe un entero m con el cual:
a ms
Sea t un entero tal que t divide a a + r, esto es, hay un entero n con la
propiedad de:
a r nt
de lo anterior se obtienen las igualdades:
a r
s
a
s
r
sm
r
s
y a n
r
t
multiplicando los últimos miembros de cada una desigualdades tenemos:
mr
sn
r
tmn
mr
t
nr
s
r
stmn
ar ar r r
stmn
2 2 2
Lo anterior permite encontrar algunos casos para este caso.
Como una extensión de esta situación se puede plantear la siguiente igualdad:
22
134
1
65
1
52 4 5
Números mixtos o multiplicaciones
Por la forma en que se escriben los números mixtos se suele caer en errores
como confundirlos como una multiplicación indicada, veamos el siguiente
ejemplo:
62
34
4
5
20
3
24
5
480
1532
Que es lo mismo que el desarrollo:
62
34
4
56 4
24
5
8
3
2
3
4
524
24
5
8
3
8
1532
pero puede suceder que se concatenen una serie de errores que nos conduzcan
al mismo resultado, veamos:
62
34
4
56 4
2
3
4
56 4
10
15
12
1524
120
1532
Se pueden construir por tanteo varios de este tipo de ejemplos, dejamos al
lector que de vuelo a su imaginación para emprender esta tarea.
¿Por qué multiplicar si es más fácil sumar?
Algunos prefieren sumar a multiplicar, lo cual puede resultar muy conveniente
cuando se tienen que realizar muchas multiplicaciones, por ejemplo si se desea
resover la siguiente ecuación:
( )( ) ( )( )5 3 7 2 11 6 3
5 3 7 2 11 6 3
12 5 14 7
7 5 14 12
2 2
1
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
Ahora veamos que:
( )( ) ( )( )
( ( ))( ( )) ( ( ))( ( ))
( )( ) ( )( )
5 3 7 2 11 6 3
5 3 1 7 2 1 11 6 1 3 1
5 3 7 2 11 6 3 1
2 5 5 2
10 10
x x x x
De tal modo que !x = 1 es la solución correcta!
¿multiplicar? ... bueno, ¡pero no tanto!
Hay quienes aceptan multiplicar pero aborrecen hacerlo cuando se involucran
cocientes; sin embargo, pueden eliminarse los cocientes y no pasará nada:
x x x xx
x x x xx
x x x x x x x x
4 3 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
12
11
2
1
1 1
La igualdad se cumple, el lector puede verificarlo con facilidad.
Errores de imprenta.
El matemático curioso también puede encontrar en los errores de otros, incluso
que ni siquiera piensan o están interesados en hacer matemáticas, una fuente
importante de teoremas interesantes. Por ejemplo, los errores en el trabajo
mecanográfico o de imprenta pueden ser importantes en tanto que no indican
lo que se desea comunicar, pero tal vez corregirlos sea irrelevante, dado que de
una u otra forma de escribir puede referirse al mismo resultado:
Algunos casos de este tipo pueden ser:
Exponentes caídos
225
3125
25
31
5
11 91
31129
1
3
2 ; 11 931
311293
1
3
2 ; 11 9331
3112933
1
3
2 ; …
21 49
112124
9
11
2
13 76
71327
6
7
2 ; 13 7 857 1426
71 327 857 142
6
7
2 , , , , , ; …
3 425 34 4254 , ; 3 4250 34 42504 , ; …
31 325 312 3252 , ; 31 3 250 3123 2502 , , , ; …
9 1 91 122 2
8 2 82 222 2
Estos, dos ultimos casos se refieren a:
a b a b2 2 2 2
lo cual es válido si a + b -10 y a b.
Otros casos son:
2 2 22
9
4
9
4
3
2
3
2
27
8
27
8
2
3
2
3
3 3 3 31
3
1
3
3
8
3
8
8
3
3
11
8
3 3
11
Signos de las operaciones innecesarios
73 9 42 7 3942 ; 73 9 420 7 39420 ; …
Si incluimos casos en los que los exponentes se desaparecen, tenemos:
12 33 12332 2
1 5 3 1533 3 3
3 7 1 3713 3 3
9 4 7 4 94743 3 3 3
3 4 3 5 34353 4 3 5
Orden de las cifras irrelevante
102 402 201 204
213 936 312 639
213 624 312 426
12 42 21 24
13 62 31 26
Operaciones y orden de cifras irrelevantes
21 87 1827
27 81 2187
35 41 1435
86 251 21586
Raíces cuadradas mal colocadas
22
32
2
3
33
83
3
8
22
72
2
7
22
32
2
3
En general se tiene la identidad:
aa
aan
nn
n
1
1
1
1
donde a 1
Factoriales innecesarios
1!=1
2!=2
1!+4!+5!= 145
4!+0!+5!+8!+5!=40585
Robert A. Carman [11] incluye en su artículo muchos estos ejemplos pero
destaca un error de imprenta que sin duda es muy interesante:
2 9 25925 2
que es la única solución de la ecuación:
x z xyzxy x
