E Q U I V A L E N T E S D I S C R E T O S

7

INTRODUCCIÓN

En el ámbito de los sistemas en tiempo continuo, existen diversos métodos para diseñar

compensadores de manera que permitan mejorar las condiciones de respuesta ya sea en

estado estacionario1 o en estado transitorio2.

Para el control de sistemas digitales, se pueden determinar dos alternativas: la primera es

modelar el sistema en continuo y basados en los métodos de diseño existentes, diseñar un

compensador apropiado para mejorar la respuesta dinámica del sistema y por último

transformar la función resultante al dominio de z. La segunda alternativa es encontrar una

función discreta que pueda tener aproximadamente las mismas características (en el rango

de frecuencias específico) que una función de transferencia H(s) dada.

Figura 1. Ilustración global de la aplicación de los Equivalentes Discretos

Tres maneras de abordar la solución a la alternativa mencionada, son presentadas a

continuación:

Integración numérica3.

Asignación de polos y ceros entre los dominios de s y z.

Equivalencia de retención.

1 En un sistema físico en estado estacionario (SS- Steady State), las características del mismo no varían con el tiempo. 2 En un sistema físico en estado transitorio, las variables del sistema presentan variaciones con el tiempo. 3 El término “integración numérica” se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

H(s) H (z) Equivalente

Discreto

8

El primer método está basado en la integración numérica de la ecuación diferencial que

describe el diseño dado. Existen muchas técnicas de integración numérica pero sólo

fórmulas simples basadas en las reglas del rectángulo y del trapecio son presentadas en

este escrito. El segundo método está basado en la comparación de los dominios de s y z.

Nótese que la respuesta natural de un filtro continuo con un polo ubicado en un punto

y período de muestreo T, representa la respuesta de un filtro discreto con un polo en

. Esta fórmula puede ser usada para asignar los polos y ceros de un diseño

continuo del filtro dado en los polos y ceros de una aproximación del filtro en discreto. El

tercer método se basa en la toma de muestras de una señal de entrada, la extrapolación

entre muestras para formar una aproximación a dicha señal y el pasar esta aproximación a

través de la función de transferencia del filtro dada.

En este trabajo se profundiza sobre los tres métodos existentes para hallar equivalentes

discretos comparando la calidad de la aproximación en el dominio de la frecuencia

entregada por cada uno, así como la facilidad de cálculo de los diseños; exponiendo

ejemplos y simulaciones en MATLAB.

9

1. DISEÑO POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA

El concepto fundamental para el diseño de equivalentes discretos por integración numérica,

es el de representar la función de transferencia del filtro H(s) entregada como una ecuación

diferencial y derivar una ecuación en diferencia cuya solución es una aproximación de la

ecuación diferencial.

Por ejemplo, el sistema

( )( )

( )

U s aH s

E s s a

[1.1]

es equivalente a la ecuación diferencial

( )( ) ( )

du ta u t a e t

dt

[1.2]

Ahora, si escribimos la ecuación (1.2) en su forma integral tenemos

( ) ∫ [ ( ) ( )]

( ) ∫ [ ] ( )

∫ [ ]

( )

( ) [( ) ] ∫ [ ]

( ) [1.3]

Donde la ∫ [ ]

( ) equivale al área bajo la curva de ( ) en el

intervalo: ( ) y se denomina como área incremental.

10

Muchas reglas han sido desarrolladas basadas en cómo se aproxima el término de área

incremental.

1.1. Regla Rectangular en Adelanto. Esta primera aproximación ,también conocida como

la regla de Euler, en donde se aproxima el área teniendo en cuenta el rectángulo

visto por delante de ( ) (ver figura 2), el cual tiene ancho T y toma la amplitud

del rectángulo como el valor del integrando en ( ) dando como resultado:

( ) [( ) ] { [( ) ] [( ) ]}

( ) ( ) [( ) ] [( ) ] [1.4]

La función de transferencia correspondiente a la Regla Rectangular en Adelanto en

este caso es:

( )

( )

( )

[1.5]

Figura 2. Regla rectangular en adelanto

11

1.2. Regla rectangular en atraso. Una segunda regla se desprende de tomar la amplitud

del rectángulo de aproximación como el valor visto hacia atrás desde hasta

( ) . La ecuación resultante es:

( ) [( ) ] { ( ) ( )}

( ) [( ) ]

( ) [1.6]

La función de transferencia para la Regla Rectangular en Atraso es:

( )

( )

( )

[1.7]

Figura 3. Regla rectangular en atraso

1.3. Regla Trapezoidal. Una última regla para aproximar el área bajo la curva es la Regla

Trapezoidal, también llamada método tustin o transformación bilineal. Con esta

12

regla el área bajo la curva es el área del trapecio formado por el promedio de los dos

rectángulos vistos en las dos reglas anteriores. La ecuación en diferencia aproximada

es:

( ) [( ) ]

{ [( ) ] [( ) ] ( ) ( )}

( ) ( ⁄ )

( ⁄ ) [( ) ]

⁄

( ⁄ ) { [( ) ] ( )} [1.8]

La función de transferencia correspondiente para la Regla Trapezoidal es:

( ) ( )

( )

( )

(

) [

]

[1.9]

Figura 4. Regla trapezoidal

13

Al comparar ( )a

H ss a

con las tres aproximaciones obtenidas por cada uno de los

métodos, podemos notar que el resultado puede obtenerse al reemplazar s como se

muestra en la siguiente tabla:

Método Aproximación

1Regla en adelanto

1Regla en atraso

2 1Regla trapezoidal

1

zs

T

zs

Tz

zs

T z

Tabla 1. Reemplazo de s de acuerdo al método utilizado

Cada aproximación puede ser mostrada como un mapeo del plano s al plano z. Un mayor

entendimiento de los mapas pueden ser obtenidos considerándolos graficamente, por

ejemplo, como el eje es el límite entre polos de un sistema estable y polos de un

sistema inestable, es interesante saber cómo se mapea el eje por las tres reglas y dónde

aparece la mitad izquierda (estable) del plano s en el plano z según las reglas.

Para graficar la región z, de las expresiones de la tabla 1 podemos despejar el valor de z. El

resultado se muestra en la tabla 2.

Tabla 2. Aproximación en términos de z de cada método

Método Aproximación

Regla en adelanto 1

1Regla en atraso

1

12Regla trapezoidal

12

z Ts

zTs

Ts

zTs

14

Figura 5. Representación de la región de estabilidad en el plano z para cada aproximación

2. CORRELACIÓN DE POLOS Y CEROS

Un método simple pero efectivo de obtener un equivalente discreto para una función de

transferencia continua, se obtiene mediante la extrapolación de la relación entre el plano s y

el plano z. Si tenemos la transformada z de las muestras de una señal continua ( )e t , los

polos de la transformada discreta ( )E z están relacionados con los polos de ( )E s teniendo

sTz e . De igual forma podemos ir a través del proceso de transformada z, para localizar

los ceros de ( )E z .

La técnica de correlación de polos y ceros consiste en un grupo de reglas heurísticas para

localizar los polos y ceros, y ajustando la ganancia de la transformada z podríamos describir

el equivalente discreto de una función de transferencia que se aproxime a la función de

transferencia ( )H s entregada.

15

Las reglas son las siguientes:

2.1. Todos los polos de H(s) se mapean de acuerdo con la siguiente relación:

sTz e [2.0]

Si H(s) tiene un polo en s = - a, entonces ( )zpH z tiene un polo en:

aTz e [2.1]

En el caso de que H(s) tenga un polo complejo de la forma –a+bj, ( ) tendrá un polo

en:

jz re [2.2]

Donde y .

2.2. Todos los ceros de carácter finito son mapeados igual que los polos, es decir, se utiliza

la ecuación [2.0]. Si H(s) tiene un cero en s = -a, entonces ( )zpH z tiene un cero en

aTz e .

2.3. En el caso dado que los ceros del sistema se encuentren en el infinito ( )s , estos

serán mapeados en el punto z = -1. La razón para esto es que el mapeo de las

frecuencias reales para hasta está dentro del círculo unitario desde

hasta .

Por tanto, el punto representa de un modo real la máxima frecuencia posible en

la función de transferencia discreta, por tanto es apropiado decir que si H(s) es cero a la

máxima frecuencia continua, la magnitud de la función discreta será de cero en ,

la cual como se ha dicho es la frecuencia más alta que será capaz de procesar el filtro

digital.

16

Si no se desea que exista retraso en la respuesta del sistema todos los ceros en

deberán ser mapeados a z = -1

Si se desea un retraso de una muestra para permitir a la computadora el tiempo

necesario para computar la salida, entonces solo uno de los ceros en el infinito es

mapeado en z = infinito y los otros en z = -1. Con esta elección se está dejando la

función discreta con un número finito de ceros uno menos que el número finito de

polos.

2.4. La ganancia del filtro digital es seleccionada para concordar con la ganancia de H(s)

en el centro de la banda o en cualquier otro punto crítico similar. En la mayoría de las

aplicaciones de control, la frecuencia crítica es s = 0 y por tanto típicamente

seleccionamos la ganancia de tal modo que:

0 1( ) ( )s zp zH s H z [2.3]

3. EQUIVALENTES DE RETENCIÓN

3.1. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN CERO

Con la técnica de aproximación de equivalentes de retención se busca diseñar un

sistema discreto que con una entrada compuesta de muestras de ( )e t

, tenga una

salida que se aproxime a la salida de la función ( )H s

cuando su entrada es la función

continua ( )e t

.

El equivalente de retención discreto es construido aproximando ( )e t

a las muestras

( )e k con un filtro de retención y luego, pasando

( )he t a través de la función de

transferencia ( )H s

entregada.

17

Figura 6. Aproximación a e(t) por medio del equivalente retención

La figura muestra la aproximación a la señal continua ( )e t

utilizando la retención ( )he t

de las muestras ( )e k

, en el intervalo entre kT y ( 1)k T

. Esta operación es la

retención de orden cero (ZOH).

El equivalente de retención de orden cero para ( )H s

está dada por:

( ) ( )z{ ( )

}

3.2. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN UNO CAUSAL

La figura 6 muestra la salida de un retenedor de orden uno (FOH). Se observa que

entre instantes de muestreo, la salida del retenedor ( ) está dada por:

( ) ( ) ( ) [( ) ]

18

Figura 7. Salida de un FOH

En su forma más general

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [

] ( )

( )

( ) [

] ( )

( ) ( )

( )

Suponiendo que ( ) es un escalón unitario: ( ) ( )

( ) [

] ( )

( ) ( )

( )

Transformando…

( ) [

]

( ) ( )

19

3.3. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN UNO NO CAUSAL

Este equivalente de retención puede ser construido si suponemos que su respuesta

impulsiva es la que se muestra en la figura 8, en donde se extrapola la muestra a fin de

conectar muestra a muestra con una línea recta. También es llamado el equivalente de

retención triangular para distinguirlo del retenedor de primer orden causal.

Figura 8. Extrapolación de un impulso hacia y

La transformada de Laplace del filtro de extrapolación que sigue al muestre del impulso es:

2

2Ts Tse e

Ts

[2.5]

Por lo tanto, el equivalente discreto correspondiente es:

( ) ( )

z{ ( )

}

[2.6]

20

2. EJEMPLO

Siendo: ( )

Hallar el equivalente discreto utilizando:

a) Método de Integración numérica Rectangular en Adelanto.

b) Método de Integración numérica Rectangular en Atraso.

c) Método de Integración numérica Tustin

d) Equivalente polos y ceros

e) Equivalente retención orden cero

f) Equivalente retención primer orden no causal

a) Método de Integración numérica Rectangular en Adelanto.

( )

Siendo

, el equivalente discreto del método rectangular en avance, tenemos

que:

( )

( )

( )

b) Método de Integración Numérica Rectangular en Avance.

( )

21

Siendo

, el equivalente discreto del método rectangular en avance, tenemos

que:

( )

( )

( )

c) Método de Integración Numérica Trapezoidal.

( )

Siendo ( )

( ), el equivalente discreto del método integración trapezoidal tenemos

que:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

d) Equivalente polos y ceros

( )

Analizando la función de transferencia tenemos que:

- El G(s), tiene un polo en s= -5. El polo en G(z) se mapeará en

22

- Puesto que G(s), no posee un cero, para mapear se debe añadir un cero en el

infinito.

- Puesto que al agregar un cero en el infinito, supone la frecuencia mas alta en

continua, se debe tener en cuenta que en dominio discreto, la frecuencia más alta

está limitada por el teorema de muestreo ws/2. Es decir que el punto G(jws/2),

corresponde al punto (-1,0), en el plano z.

Por lo tanto G(jws/2), correponde a

, que correspon de al cero en el infinito del

factor z= .

De manera que ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )

Si se quiere que el sistema tenga un retardo, no se mapea el cero en el infinito como

z=-1, quedando:

( ) ( )

( )

e) Equivalente retención orden cero

Por la definición del equivalente de retención de orden cero (ecuación 2.4) tenemos:

1 ( )( ) (1 )ho

H sH z z

s

¢

Reemplazando H(s):

1

5

5( ) (1 )hosH z z

s

¢

23

1 5( ) (1 )

( 5)hoH z z

s s

¢

Según la tabla, la transformada de ( )

a

a s a es

1

1 1

(1 )

(1 )(1 )

aT

aT

e z

z e z

, entonces H(z)

quedaría:

5 11

1 5 1

(1 )( ) (1 )

(1 )(1 )

T

T

e zH z z

z e z

5 1

5 1

(1 )( )

(1 )

T

T

e zH z

e z

f) Equivalente retención primer orden no causal

Por la definición de equivalente de retención de orden uno no causal tenemos:

2

2

( 1) ( )( )tri

z H sH z

Tz s

¢

( )

( ) ( )

{ ( )

}

( ) ( )

{

}

( ) ( )

(

( )

)

( ) ( ( )

( )

( )

( ) )

24

3. CONCLUSIONES

Al estudiar los distintos métodos y técnicas para hallar equivalentes discretos de funciones

de transferencia continuas, se puede concluir en definitiva, que el equivalente discreto

constituye una herramienta indispensable y muy valiosa para el análisis y la manipulación

de funciones de transferencia continuas que se necesiten trabajar con sistemas discretos.

La aproximación que ofrece cada método o técnica, depende en gran medida, de la

frecuencia de muestreo. En especial cuando se tratan del equivalentes discretos por

retención.

25

4. ANEXOS

Anexo 1. Funciones en Matlab para computar funciones de transferencia con el comando

c2d

Anexo 2. Gráficas de la función de transferencia con los diferentes métodos y técnicas

Programa en Matlab:

Gráfica ZOH

26

Gráfica FOH

Gráfica Tustin

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

27

Gráfica Matched

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

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BIBLIOGRAFÍA

FRANKLIN, POWELL, Gene F., J. David. Digital Control of Dynamic Systems. Stanford

University, Third Edition. 1998.