equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf

8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf

1/27

1

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία σε Οικονομία μεΔύο Καταναλωτές και Έναν Παραγωγό

- Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από:

• Δύο καταναλωτές.

• Μία επιχείρηση.

• Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α.

1 1 1

2 2 2

( , )

( , )

U X A

U X A

: Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1

: Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 2

- Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις

συναρτήσεις χρησιμότητας:

όπου Χ i ( Ai) είναι η ποσότητα του αγαθού Χ ( Α) που καταναλώνει το

άτομο i=1,2.

- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματαπεριουσιών:


2/27

2

1 1 1 1

2 2 2 2

( , ) ( , 0)

( , ) ( ,0

X A

X A

e e e T

e e e T

= =

= = ) : Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή 2

: Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή 1

όπου e Χ i (e Ai) είναι η περιουσία που διαθέτει ο καταναλωτής i από το

αγαθό Χ ( Α).

- Κάθε καταναλωτής i κατέχει μερίδιο της επιχείρησης(δηλαδή εισπράττει μερίδιο θ i από τα κέρδη της επιχείρησης).

- H συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:

[0,1]iθ ∈

( ) , f L=

όπου είναι η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας και είναι

η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος εκ μέρους της επιχείρησης.

L

- Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού Χ στην οικονομία είναι:1 2 1 2 X X X S e e T T = + = +

- Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού Α στην οικονομία είναι:

1 2 A A AS e e A A= + + =


3/27

3

- Ορισμός. Μια κατανομή (allocation)

δείχνει τις ποσότητες των αγαθών που καταναλώνονται από κάθε

άτομο, τις χρησιμοποιούμενες ποσότητες εισροών και την ποσότητατου αγαθού που παράγεται από κάθε επιχείρηση στην οικονομία.

- Δηλαδή: Μια κατανομή περιγράφει τη χρήση των διαθέσιμων πόρων

στην οικονομία.

- Ορισμός. Μια κατανομή ονομάζεται

εφικτή ( feasible) για την οικονομία αν:

( )1 1 2 2( , ), (( , ), ( , ) X A X A L A

( )1 1 2 2( , ), (( , ), ( , ) X A X A L A

1 2 1 2

1 2

X X L T T

A A A

+ + ≤ +

+ ≤

- Δηλαδή: Μια κατανομή ονομάζεται εφικτή αν η συνολική ποσότητα

που καταναλώνεται από κάθε αγαθό δεν υπερβαίνει τη συνολική

διαθέσιμη ποσότητα αυτού του αγαθού στην οικονομία.


4/27

Ανταγωνιστική Ισορροπία

- Έστω ότι η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α

είναι p.

- Για κάθε διάνυσμα τιμών (w, p), το εισόδημα ( M i) του καταναλωτή

i είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και τo μερίδιο των κερδών

που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης:

, 1, 2.i Xi Ai i i i

M w e p e wT iθ π θ π = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ∀ =

- Ορισμός. Μια ανταγωνιστική (ή Βαλρασιανή) ισορροπία στην υπόεξέταση οικονομία αποτελείται από ένα διάνυσμα τιμών και

μια εφικτή κατανομή τέτοια ώστε:* * * *1 1 2 2(( , ), ( , ), ( *, *)) A X A L A

( *, *)w p

(i) Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τονεισοδηματικό του περιορισμό:

* * 2 * * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

* * 2 * * * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( , ) ( , ) , ( , ) :

( , ) ( , ) , ( , ) :

U X A U X A X A w X p A w T

U X A U X A X A w X p A w T

θ π

θ π

+

+

′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ ℜ + ≤ +

′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ ℜ + ≤ +


5/27

5

(ii) Κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον

τεχνολογικό περιορισμό:

2 ( *, *) ( , ) , ( , ) : ( ) L A L A L A A f Lπ π +′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ ℜ ≤(iii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται, δηλαδή η συνολική ζήτηση (D)

είναι ίση με τη συνολική προσφορά (S) για όλα τα αγαθά:

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) X X D S X w p X w p L w p T T = ⇔ + + = +i

1 2( , ) ( , ) ( , ) A A D S A w p A w p A w p= ⇔ + =i

(Συνθήκη Ισορροπίας

στην αγορά του αγαθού Χ)

όπου Li(w,p) είναι η συνάρτηση προσφοράς εργασίας του ατόμου i=1,2.

1 2[ή, ισοδύναμα: ( , ) ( , ) ( , ) L L D S L w p L w p L w p= ⇔ = +


στην Αγορά του Αγαθού Α)

- Παρατήρηση. Γνωρίζουμε ότι η συνθήκη μεγιστοποίησης της

χρησιμότητας για τον καταναλωτή 1 είναι (βλ . Week 2, σελ. 27 ):

1 11

1 1

/ (1)/

U X w MRS p U A∂ ∂= =∂ ∂


στην Αγορά Εργασίας )]


6/27

6

2 22

2 2

/ (2)/

U X w MRS p U A

∂ ∂= =∂ ∂

- Η συνθήκη μεγιστοποίησης των κερδών για την επιχείρηση είναι

(βλ . Week 5, σελ. 6 ):

- Όμοια, η συνθήκη μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τον

καταναλωτή 2 είναι:

(3) Lw

MP p

=

- Στην ανταγωνιστική ισορροπία, οι συνθήκες (1) έως (3) πρέπει ναισχύουν ταυτόχρονα:

1 2 (4)

L

w MRS MRS MP

p= = =

- Δηλαδή: Σε κάθε ανταγωνιστική ισορροπία, ο οριακός λόγος

υποκατάστασης πρέπει να είναι ίδιος για τους καταναλωτές 1, 2

και ισούται με το οριακό προϊόν της εργασίας (ενώ ταυτόχρονα

είναι ίσος με το λόγο των τιμών των αγαθών Χ , Α στην αγορά).


7/27

7

- Παράδειγμα 1.

▪ Έστω μια οικονομία που αποτελείται από:

• Δύο καταναλωτές: 1 και 2.• Μία επιχείρηση.


- Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τιςσυναρτήσεις χρησιμότητας:

1/ 2 1/ 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

( , )

( , )

U X A X A

U X A A

=

=

- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα:

1 1 1

2 2 2

( , ) (1,0)

( , ) (0,0) X A

X A

e e e

e e e

= =

= =

- Ο καταναλωτής 2 είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης.

- Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:( ) f L L= =


8/27

8

- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να

υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία.

1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το

εισόδημα κάθε καταναλωτή.

- Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p.

• Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*.

- To εισόδημα του καταναλωτή 1 είναι η αγοραία αξία της

περιουσίας του:1 1 1 X Aw e p e w= ⋅ + ⋅ =

- To εισόδημα του καταναλωτή 2 είναι τα κέρδη που εισπράττει ως

ιδιοκτήτης της επιχείρησης:

2 M π =

2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για

κάθε καταναλωτή.


9/27

9

Καταναλωτής 1

1 1

1/ 2 1/ 2

1 1 1 1 1{ , }

1 1

1 1

max ( , )

. .

0 1, 0

A U X A X A

s t wX A w

X A

Χ =+ ≤

≤ ≤ ≥

(UMP 1)

- Η λύση του UMP 1 είναι:

(Συναρτήσεις Ζήτησης των αγαθών Χ, Α

για τον καταναλωτή 1)( )1 11

( ), ( ) ,2 2

w

X w A w

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠(5)

1( ) 1/ 2 L w⇒ = (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας

για τον καταναλωτή 1)(6)


2

2 2 2{ }

2

2

max ( )

. .0

AU A A

s t A A

π

=

≤≥

(UMP 2

)


10/27

10


2

( ) A w π = (Συνάρτηση Ζήτησης του αγαθού Αγια τον καταναλωτή 2)(7)

{ , }max Π

. .

, 0

L AwL

s t A L

L A

= −

=

≥

{ }max Π (1 )

. . 0

Lw L

s t L

= −

≥⇔ (PMP)

3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε

επιχείρηση.

- Η λύση του PMP είναι:

( ) L w = (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας)

0 , αν 1w>

0 , αν 1w≥ = , αν 1w∞ <

(8)


11/27

11

(Συνάρτηση Προσφοράς)

( )w =

0 , αν 1w >

0 , αν 1w≥ =

, αν 1w∞ <

( )wπ =

0 , αν 1w ≥

, αν 1w∞ <

(Συνάρτηση Κερδών)

(9)

(10)

4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές καιλύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας.

1

1

1 2

( ) ( ) (11)

[ή, ισοδύναμα: ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) (12)

L L

X X

A A

D S L w L w

D S X w L w

D S A w A w A w

= ⇔ =

= ⇔ + =

= ⇔ + =

i

i

(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας )

(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά

του Αγαθού Α)

- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας καιλύνουμε ως προς w.


του αγαθού Χ ) ]


12/27

12

• Για w < 1, είναι:(6)

1

(8)

( ) ( ) 1/ 2 : Αδύνατο L w L w= ⇔ ∞ =

• Για w > 1, είναι:

• Για w = 1, είναι:

- Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*=1) για να υπολογίσουμε

τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας:

(6)

1

(8)

( ) ( ) 0 1/ 2 : Αδύνατο L w L w= ⇔ =

(6)

1(8)

( ) ( ) 1/ 2 L w L w L= ⇔ =

* * * * * * *

1 1 2 1 2* 0, 1/ 2, 1/ 2, 0 1/ 2, 0 A L L A A U U π = = = = = = ⇒ = =

- Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι:

( ) ( )( )

* * * * * *

1 1 2 2

* *

1 2

( *, *) (1, 1)

( , ), ( , ), ( , ) (1/ 2, 1/ 2), (0,0), (1/2, 1/2)

, (1/ 2, 0)

w p

X A X A L A

U U

=

==

(Τιμές Ισορροπίας)

(Κατανομή

Ισορροπίας)

(Χρησιμότητες Ισορροπίας)


13/27

13






1/ 2 1/ 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

( , )

( , )

U X A X A

U X A A

=

=- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα:

1 1 1

2 2 2

( , ) (1,0)

( , ) (0,0)

X A

X A

e e e

e e e

= =

= =

- Ο καταναλωτής 2 είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης.

- Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:( ) 2 f L L= =


14/27

14



1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε τοεισόδημα κάθε καταναλωτή.



- To εισόδημα του καταναλωτή 1 είναι η αγοραία αξία της

περιουσίας του:1 1 1 X Aw e p e w= ⋅ + ⋅ =

- To εισόδημα του καταναλωτή 2 είναι τα κέρδη που εισπράττει ως

ιδιοκτήτης της επιχείρησης:

2 M π =

2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για



15/27

15


1 1

1/ 2 1/ 2

1 1 1 1 1{ , }

1 1

1 1

max ( , )

. .

0 1, 0

A U X A X A

s t wX A w

X A

Χ=

+ ≤

≤ ≤ ≥

(UMP 1)


(Συναρτήσεις Ζήτησης των αγαθών Χ, Α

για τον καταναλωτή 1)( )1 11

( ), ( ) ,2 2

w

X w A w

⎛ ⎞=

⎜ ⎟⎝ ⎠

(13)

1( ) 1/ 2 L w⇒ = (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας



2

2 2 2{ }

2

2

max ( )

. .0

AU A A

s t A A

π

=

≤≥

(UMP 2 )


16/27

16


2

( ) A w π = (Συνάρτηση Ζήτησης του αγαθού Α


{ , }max Π

. . 2

, 0

L AwL

s t A L

L A

= −

=

≥

{ }max Π 2

. . 0

L L wL

s t L

= −

≥⇔ (PMP)




2

( ) 1/ L w w= (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας)(16)( ) 2 /w w= (Συνάρτηση Προσφοράς)

( ) 1/w wπ = (Συνάρτηση Κερδών)

(17)

(18)


17/27

17

4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και

λύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας.

1

1

1 2

( ) ( ) (19)

[ή, ισοδύναμα: ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) (20)

L L

X X

A A

D S L w L w

D S X w L w

D S A w A w A w

= ⇔ == ⇔ + =

= ⇔ + =

i

i

(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας )


του Αγαθού Α)

- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας και

λύνουμε ως προς w.


του αγαθού Χ ) ]

(14)

1(16)

( ) ( ) 2 L w L w w= ⇔ =

- Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*= ) για να υπολογίσουμε

τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας:


2

* * * * *

1 1 2

* 3/ 4 *

1 2

* 2 / 2, 2, 1/ 2, 2 / 2, 2 / 2

2 , 2 / 2

A L L A A

U U

π

−

= = = = = =

⇒ = =


18/27

18

( ) ( )

( )

* * * * * *

1 1 1 2 2 2

* *

* * 3/4

1 2

( *, *) ( 2, 1)

( , , ),( , , ) (1/ 2, 2 / 2, 1/2), (0, 2 / 2, 0)

( , ) (1/ 2, 2)

, (2 , 2 / 2)

w p

X A L X A L

L A

U U −

=

=

=

=


(ΚατανομήΙσορροπίας)


w

01L ,L1/ 2

•Ε

( ) L w

1( ) L w

Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας

* 2w =

Π άδ 3


19/27

19






1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( , ) ln ln

( , ) ln ln

U X A X A

U X A X A

= +

= +

- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα:

1 1 1

2 2 2

( , ) (1,0)( , ) (2,0)

X A

X A

e e ee e e

= =

= =

- Οι καταναλωτές μοιράζονται εξίσου τα κέρδη της επιχείρησης.

- Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:( ) 2 f L L= =

Α λ θ ύ θ δ λ ί ά ά


20/27

20



1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε τοεισόδημα κάθε καταναλωτή.



- To εισόδημα του κάθε καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της

περιουσίας του και το μερίδιο των κερδών που εισπράττει ωςιδιοκτήτης της επιχείρησης:

1 1 1

2 2 2

/ 2 / 2

/ 2 2 / 2

X A

X A

M w e p e w

M w e p e w

π π

π π

= ⋅ + ⋅ + = +

= ⋅ + ⋅ + = +2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για



21/27

21


1 1 1 1 1 1 1{ , }

1 1

1 1

max ( , ) ln ln

. . / 2

0 1, 0

A U X A X A

s t wX A w

X A

π

Χ= +

+ ≤ +

≤ ≤ ≥

(UMP 1)


(Συναρτήσεις

Ζήτησης για τον

καταναλωτή 1)( )1 1( ), ( ) X w A w =

2 2, , αν / 2

4 4

w ww

w

π π π

+ +⎛ ⎞≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1, / 2 , αν / 2wπ π ≤

(21)

(Συνάρτηση Προσφοράς

Εργασίας

για τον καταναλωτή 1)1( ) L w⇒ =

2, αν / 24

www

π

π

−≥

0 , αν / 2w π ≤

(22)


22/27

22


2 22 2 2 2 2

{ , }

2 2

2 2

max ( , ) ln ln

. . 2 / 2

0 2, 0

X A

U X A X A

s t wX A w

X A

π

= +

+ ≤ +

≤ ≤ ≥

(UMP 1)


(Συναρτήσεις

Ζήτησης για τονκαταναλωτή 2)( )2 2( ), ( ) X w A w = 4 4

, , αν / 44 4

w ww

w

π π π

+ +⎛ ⎞≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2, / 2 , αν / 4wπ π ≤

(23)

(Συνάρτηση Προσφοράς

Εργασίας

για τον καταναλωτή 2)2 ( ) L w⇒ =

4, αν / 44

www

π

π

−≥

0 , αν / 4w π ≤

(24)

3 Λύνου ε ο ρόβλη α εγ ο οίη ης ων κερδών γ α κάθε


23/27

{ , }max Π

. . 2

, 0

L A wL

s t A L

L A

= −

=

≥

{ }max Π 2

. . 0

L L wL

s t L

= −

≥⇔ (PMP)




2( ) 1/ L w w=

( ) 2 /

(Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας)(25)

w w= (Συνάρτηση Προσφοράς)

( ) 1/w wπ = (Συνάρτηση Κερδών)

(26)

(27)

4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές καιλύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας.

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) (28)

[ή, ισοδύναμα: ( ) ( ) ( ) 3

L L

X X

D S L w L w L w

D S X w X w L w

= ⇔ = +

= ⇔ + + =

i


στην Αγορά του αγαθού Χ ) ]


στην Αγορά Εργασίας )



24/27

1 2( ) ( ) ( ) (29)

A A D S A w A w A w= ⇔ + =i (Συνθήκη Ισορροπίας

στην Αγορά του Αγαθού Α)

- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας καιλύνουμε ως προς w.

• Για w ≤ π / 4 , είναι:

(22),(24)

1 2 2(25)

1( ) ( ) ( ) 0 : Αδύνατο L w L w L w

w= + ⇔ =

(27)

1/ 2w⇔ ≤

• Για π / 4 ≤ w ≤ π / 2 , είναι:

(27)

1/ 2 2 / 2w⇔ ≤ ≤(22),(24)

1 2(25)

( ) ( ) ( ) 5/2 : Απορρίπτεται L w L w L w w= + ⇔ =

• Για w ≥ π / 2 , είναι:

(22),(24)

1 2(25)

( ) ( ) ( ) 1 L w L w L w w= + ⇔ =

(27)

2 / 2w⇔ ≥

- Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*=1) για να υπολογίσουμε

τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τις χρησιμότητες ισορροπίας:

* * * * * ** 1 2 1 1/ 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4A L L L A A


25/27

25


1 2 1 2

* * * *

1 2 1 2

* 1, 2, 1, 1/ 4, 3 / 4, 3 / 4, 5 / 4,

3 / 4, 5 / 4 ln(9 /16), ln(25 /16)

A L L L A A

X X U U

π = = = = = = =

= = ⇒ = =

( ) ( )

( ) ( )

* * * * * *1 1 1 2 2 2

* *

* *

1 2

( *, *) (1, 1)

( , , ), ( , , ) (3/ 4, 3/ 4, 1/ 4), (5/ 4, 5/ 4, 3/ 4)

( , ) (1,2)

, ln(9/16), ln(25/16)

w p

X A L X A L

L A

U U

=

=

=

=


(Κατανομή

Ισορροπίας)


Γραφική Απεικόνιση Ισορροπίας

- Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση κερδών (27) στις (22), (24) καιγράφουμε τις συναρτήσεις προσφοράς εργασίας ως εξής:

(Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας

για τον καταναλωτή 1)1( ) L w =

2

1 1 , αν 2 2

2 4w

w− ≥

0 , αν 2 2w ≤(30)


26/27

26

(Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας

για τον καταναλωτή 2)2( ) L w =

211 , αν 1/ 2

4w

w− ≥

0 , αν 1/ 2w ≤

(31)

- Αθροίζουμε τις (30), (31) και παίρνουμε την αγοραία συνάρτηση

προσφοράς εργασίας:

( )S L w =

0 , αν 1/ 2w ≤

211 , αν 1/2 2 / 2

4w

w− ≤ ≤

2

3 1 , αν 2 / 22 2 ww− ≥

(Αγοραία Συνάρτηση

Προσφοράς Εργασίας)(32)


27/27

27

w

01L ,L

Ε

( ) L w

Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας

2 / 2

1/2

•

( )S L w

3/2 1/2 1

w*=1

Documents

equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf