Equations Reducible to Quadratic Equations Exercise 4 · PDF fileEquations Reducible to Quadratic Equations Exercise 4.2 Solve the following equations: 1. x x4 2− + =6 8 0 Solution:

Equations Reducible to Quadratic EquationsExercise 4.2

Solve the following equations:

1. 4 26 8 0x x− + =Solution:

4 26 8 0x x− + =Let 2y x= and 2 4y x=The above equation becomes: 2 6 8 0y y− + =

2

2

6 8 0

4 2 8 0

( 4) 2( 4) 0

( 2)( 4) 0

y y

y y y

y y y

y y

− + =− − + =

− − − =− − =2 0y − = and 4 0y − =2y = 4y =

As, 2y x= 2 2x = 2 4x =

2x = ± 2x = ±solution set = { 2, 2,2, 2}− −

2. 2 110 3x x− −− =Solution:

2 1

2 1

10 3

3 10 0

x x

x x

− −

− −

− =− − =

Let 1y x−= and 2 2y x−=The above equation becomes: 2 3 10 0y y− − =

2 5 2 10 0

( 5) 2( 5) 0

( 2)( 5) 0

y y y

y y y

y y

− + − =− + − =

+ − =2y = − 5y =

As, 1y x−=1 2x− = − 1 5x− =

1 1 1( ) ( 2)x− − −= − 1 1 1( ) (5)x− − −=1

2x = − 1

5x =

solution set = 1 1

{ , }2 5

−

Mathematics Notes for FSc Part-I Prepared by Bilal

3. 6 39 8 0x x− + =Solution:

6 39 8 0x x− + =Let 3y x= and 2 6y x=The above equation becomes: 2 9 8 0y y− + =

2 8 8 0

( 8) 1( 8) 0

( 1)( 8) 0

y y y

y y y

y y

− − + =− − − =

− − =1y = 8y =

As, 3y x=3 1x = 3 8x =

First take: 3 1x =3 1 0x − =

2( 1)( 1) 0x x x− + + =1 0x − = 2 1 0x x+ + =

1x = 1 1 4

2x

− ± −= by using quadratic formula

1 3

2x

− ± −=

1 3

2

ix

− ±=

Now take: 3 8 0x − =3 3( ) (2) 0x − =

2( 2)( 2 4) 0x x x− + + =2 0x − = 2 2 4 0x x+ + =

2x = 2 4 16

2x

− ± −=

2 12

2x

− ± −=

2 2 3

2x

− ± −=

2( 1 3)

2x

− ± −=

1 3x = − ± −

Hence, solution set = 1 3

{1,2, , 1 3}2

i− ± − ± −


4. 6 38 19 27 0x x− − =Solution:Let 3y x= and 2 6y x=The above equation becomes: 28 19 27 0y y− − =Use quadratic formula,Here, 8a = , 19b = − and 27c = −

2( 19) ( 19) 4(8)( 27)

2(8)y

− − ± − − −=

19 1225

16y

±=

19 35

16y

±=

19 35

16y

+= 19 35

16y

−=

54

16y = 16

16y

−=

27

8y = 1y = −

As, 3y x=3 27

8x = 3 1x = −

First take: 3 27

8x =

3 270

8x − =

3 33( ) ( ) 0

2x − =

23 3 9( )( ) 0

2 2 4

xx x− + + =

30

2x − = 2 3 9

02 4

xx + + =

3

2x =

23 3 9( ) 4(1)( )

2 2 42(1)

x− ± −

=

3 99

2 42

x− ± −

=

3 272 4

2x

− ± −=


3 (9)(3)2 4

2x

− ± −=

3 32 2

2

ix

− ±=

3 33

2 22

x− ± −

=

3( 1 3 )

22

ix

− ±=

3( 1 3 )

4

ix

− ±=

Now take: 1y = −3 1x = −3 1 0x + =

2( 1)( 1) 0x x x+ + + =1 0x + = 2 1 0x x+ + =

1x = − 1 1 4

2x

− ± −= by using quadratic formula

1 3

2x

− ± −=

1 3

2

ix

− ±=

Hence, solution set = 3 1 3 3( 1 3 )

{ 1, , , }2 2 4

i i− ± − ±−

5. 2 1

5 58 6x x+ =Solution:

2 1

5 58 6x x+ =

Let 1

5y x= and 2

2 5y x=The above equation becomes:

2 8 6y y+ =2 6 8 0y y− + =2 4 2 8 0

( 4) 2( 4) 0

( 2)( 4) 0

y y y

y y y

y y

− − + =− − − =

− − =


2 0y − = 4 0y − =2y = 4y =

As, 1

5y x=1

5 2x =1

5 4x =1

5 55( ) (2)x =1

5 55( ) (4)x =32x = 1024x =

solution set = {32,1024}

6. ( 1)( 2)( 3)( 4) 24x x x x+ + + + =Solution:

2 2

2 2

( 1)( 2)( 3)( 4) 24

( 1)( 4)( 2)( 3) 24

( 4 4)( 3 2 6) 24

( 5 4)( 5 6) 24

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

+ + + + =+ + + + =+ + + + + + =+ + + + =

Let 2 5y x x= +The above equation becomes:

2

2

( 4)( 6) 24

6 4 24 24

10 0

( 10) 0

y y

y y y

y y

y y

+ + =+ + + =+ =

+ =0y = 10 0y + =

As, 2 5y x x= +2 5 0x x+ = 2 5 10 0x x+ + =

( 5) 0x x + = 5 25 4(1)(10)

2(1)x

− ± −= Using Quadratic formula

0x = 5 0x + = 5 15

2x

− ± −=

5x = − 5 15

2

ix

− ±=


{0, 5, }2

i− ±−

7. ( 1)( 5)( 8)( 2) 880 0x x x x− + + + − =Solution:

2 2

( 1)( 5)( 8)( 2) 880 0

( 1)( 8)( 2)( 5) 880 0

( 8 8)( 5 2 10) 880 0

x x x x

x x x x

x x x x x x

− + + + − =− + + + − =+ − − + + + − =


2 2( 7 8)( 7 10) 880 0x x x x+ − + + − =Let 2 7y x x= +The above equation becomes:

2

2

( 8)( 10) 880 0

10 8 80 880 0

2 960 0

y y

y y y

y y

− + − =+ − − − =+ − =

2 4 4(1)( 960)

2y

− ± − −= by using Quadratic formula

2 3844

2y

− ±=

2 62

2y

− ±=

2 62

2y

− += 2 62

2y

− −=

30y = 32y = −As, 2 7y x x= +

2 7 30x x+ = 2 7 32x x+ = −2 7 30 0x x+ − = 2 7 32 0x x+ + =

2 10 3 30 0x x x+ − − =7 49 4(1)(32)

2x

− ± −=

( 10) 3( 10) 0x x x+ − + = 7 79

2x

− ± −=

( 3)( 10) 0x x− + = 7 79

2

ix

− ±=

3 0x − = 10 0x + =3x = 10x = −


{ 10,3, }2

i− ±−

8. ( 5)( 7)( 6)( 4) 504 0x x x x− − + + − =Solution:

2 2

2 2

( 5)( 7)( 6)( 4) 504 0

( 5)( 4)( 6)( 7) 504 0

( 4 5 20)( 7 6 42) 504 0

( 20)( 42) 504 0

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

− − + + − =− + + − − =+ − − − + − − =− − − − − =

Let 2y x x= −The above equation becomes:( 20)( 42) 504 0y y− − − =

2 42 20 840 504 0y y y− − + − =


2

2

62 336 0

( 62) ( 62) 4(1)(336)

2(1)

62 2500

2

y y

y

y

− + =

− − ± − −=

±=

62 50

2y

±=

62 50

2y

+= 62 50

2y

−=

56y = 6y =As, 2y x x= −

2 56x x− = 2 6x x− =2 56 0x x− − = 2 6 0x x− − =2 8 7 56 0x x x− + − = 2 3 2 6 0x x x− + − =( 8) 7( 8) 0x x x− + − = ( 3) 2( 3) 0x x x− + − =

( 7)( 8) 0x x+ − = ( 2)( 3) 0x x+ − =7 0x + = 8 0x − = 2 0x + = 3 0x − =

7x = − 8x = 2x = − 3x =Hence, solution set = { 2,3, 7,8}− −

9. ( 1)( 2)( 8)( 5) 360 0x x x x− − − + + =Solution:

2 2

2 2

( 1)( 2)( 8)( 5) 360 0

( 2 2)( 5 8 40) 360 0

( 3 2)( 3 40) 360 0

x x x x

x x x x x x

x x x x

− − − + + =− − + + − − + =− + − − + =

Let 2 3y x x= −The above equation becomes:

2

2

2

( 2)( 40) 360 0

( 40 2 80) 360 0

38 280 0

28 10 280 0

y y

y y y

y y

y y y

+ − + =− + − + =

− + =− − + =

( 28) 10( 28) 0y y y− − − =( 10)( 28) 0y y− − =

10 0y − = 28 0y − =As, 2 3y x x= −

2 3 10 0x x− − = 2 3 28 0x x− − =2 5 2 10 0x x x− + − = 2 7 4 28 0x x x− + − =( 5) 2( 5) 0x x x− + − = ( 7) 4( 7) 0x x x− + − =

( 2)( 5) 0x x+ − = ( 4)( 7) 0x x+ − =


2 0x + = 5 0x − = 4 0x + = 7 0x − =2x = − 5x = 4x = − 7x =

Hence, solution set = { 2,5, 4,7}− −

10. ( 1)(2 3)(2 5)( 3) 945x x x x+ + + + =Solution:( 1)(2 3)(2 5)( 3) 945x x x x+ + + + =

2 2

2 2

2 2

( 1)( 3)(2 3)(2 5) 945

( 3 3)(4 10 6 15) 945

( 4 3)(4 16 15) 945

( 4 3)(4( 4 ) 15) 945

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

+ + + + =+ + + + + + =+ + + + =+ + + + =


2

2

( 3)(4 15) 945

4 15 12 45 945 0

4 27 900 0

y y

y y y

y y

+ + =+ + + − =+ − =

227 (27) 4(4)( 900)

2(4)y

− ± − −= by using quadratic formula

27 729 14400

8y

− ± +=

27 15129

8y

− ±=

27 123

8y

− ±=

27 123

8y

− += 27 123

8y

− −=

12y = 75

4y = −

As, 2 4y x x= +

2 4 12x x+ = 2 754

4x x+ = −

2 4 12 0x x+ − = 2 754 0

4x x+ + =

2 6 2 12 0x x x+ − − =75

4 16 4(1)( )4

2x

− ± −=

( 6) 2( 6) 0x x x+ − + = 4 16 75

2x

− ± −=


( 2)( 6) 0x x− + = 4 59

2x

− ± −=

2 0x − = 6 0x + = 4 59

2

ix

− ±=

2x = 6x = −


{ 6,2, }2

i− ±−

11. 2(2 7)( 9)(2 5) 91 0x x x− − + − =Solution:

2(2 7)( 9)(2 5) 91 0x x x− − + − =(2 7)( 3)( 3)(2 5) 91 0x x x x− − + + − =(2 7)( 3)( 3)(2 5) 91 0x x x x− + − + − =

2 2(2 6 7 21)(2 5 6 15) 91 0x x x x x x+ − − + − − − =2 2(2 21)(2 15) 91 0x x x x− − − − − =

Let 22y x x= −The above equation becomes:( 21)( 15) 91 0y y− − − =

2( 15 21 315) 91 0y y y− − + − =2 36 224 0y y− + =2 28 8 224 0y y y− − + =( 28) 8( 28) 0y y y− − − =

( 8)( 28) 0y y− − =8 0y − = 28 0y − =

As, 22y x x= −22 8 0x x− − = 22 28 0x x− − =

Using Quadratic formula: 22 8 7 28 0x x x− + − =( 1) 1 4(2)( 8)

2(2)x

− − ± − −= 2 ( 4) 7( 4) 0x x x− + − =

1 65

4x

±= (2 7)( 4) 0x x+ − =

2 7 0x + = 4 0x − =7

2x = − 4x =

Hence, solution set = 7 1 65

{4, , }2 4

±−


12. 2 2( 6 8)( 14 48) 105x x x x+ + + + =Solution:

2 2( 6 8)( 14 48) 105x x x x+ + + + =2 2( 4 2 8)( 8 6 48) 105

( 4) 2( 4)( ( 8) 6( 8)) 105

( 2)( 4)( 6)( 8) 105

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

+ + + + + + =+ + + + + + =

+ + + + =Rearranging we have,( 2)( 8)( 4)( 6) 105x x x x+ + + + =

2 2

2 2

( 8 2 16)( 6 4 24) 105

( 10 16)( 10 24) 105

x x x x x x

x x x x

+ + + + + + =+ + + + =


2

2

2

( 16)( 24) 105

24 16 384 105 0

40 279 0

40 (40) 4(1)(279)

2(1)

40 1600 1116

2

40 484

240 22

2

y y

y y y

y y

y

y

y

y

+ + =+ + + − =+ + =

− ± −=

− ± −=

− ±=

− ±=

40 22

2y

− += 40 22

2y

− −=

9y = − 31y = −As, 2 10y x x= +

2 10 9x x+ = − 2 10 31x x+ = −2 10 9 0x x+ + = 2 10 31 0x x+ + =

2 9 9 0x x x+ + + =10 100 4(1)(31)

2x

− ± −=

( 9) 1( 9) 0x x x+ + + = 10 100 124

2x

− ± −=

( 1)( 9) 0x x+ + = 10 24

2x

− ± −=

1 0x + = 9 0x + = 10 24

2

ix

− ±=


1x = − 9x = − 10 2 6

2

ix

− ±=

2( 5 6 )

2

ix

− ±=

5 6x i= − ±Hence, solution set = { 1, 9 5 6 }i− − − ±

13. 2 2( 6 27)( 2 35) 385x x x x+ − − − =Solution:

2 2

2 2

( 6 27)( 2 35) 385

( 9 3 27)( 7 5 35) 385

( ( 9) 3( 9))( ( 7) 5( 7)) 385

( 3)( 9)( 5)( 7) 385

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

+ − − − =+ − − − + − =+ − + − + − =

− + + − =Rearranging we have,

2 2

2 2

( 3)( 5)( 9)( 7) 385

( 5 3 15)( 7 9 63) 385

( 2 15)( 2 63) 385

x x x x

x x x x x x

x x x x

− + + − =+ − − − + − =+ − + − =


2

2

2

( 15)( 63) 385

63 15 945 385

78 945 385 0

78 560 0

y y

y y y

y y

y y

− − =− − + =− + − =− + =

2( 78) ( 78) 4(1)(560)

2(1)y

− − ± − −= by using quadratic formula

78 6084 2240

2

78 3844

278 62

2

y

y

y

± −=

±=

±=

78 62

2y

+= 78 62

2y

−=

70y = 8y =As, 2 2y x x= +

2 2 70x x+ = 2 2 8x x+ =2 2 70 0x x+ − = 2 2 8 0x x+ − =


2 4 4(1)( 70)

2(1)x

− ± − −= 2 4 2 8 0x x x+ − − =

2 4 71

2x

− ± ×= ( 4) 2( 4) 0x x x+ − + =

2 2 71

2x

− ±= ( 2)( 4) 0x x− + =

2( 1 71)

2x

− ±= 2 0x − = 4 0x + =

1 71x = − ± 2x = 4x = −Hence, solution set = { 4,2, 1 71}− − ±

14. 2 14.2 9.2 1 0x x+ − + =Solution:

2 14.2 9.2 1 0x x+ − + =2 1

2

4.2 .2 9.2 1 0

8.2 9.2 1 0

x x

x x

− + =− + =

Let 2xy = 2 2 2 2( ) (2 ) 2x xy y= ⇒ =The above equation becomes:

2

2

8 9 1 0

8 8 1 0

8 ( 1) 1( 1) 0

(8 1)( 1) 0

y y

y y y

y y y

y y

− + =− − + =

− − − =− − =

8 1 0y − = 1 0y − =1

8y = 1y =

As, 2xy =1

28

x = 2 1x =

312 ( )

2x = 02 (2)x = 0 1a∴ =

32 (2)x −= 11( ) aa

−∴ = 0x =

3x = −Hence, solution set = { 3,0}−

15. 62 2 20 0x x− ++ − =Solution:

62 2 20 0x x− ++ − =62 2 .2 20 0x x−+ − =


612 .2 20 0

2x

x+ − =

Let 2xy =The above equation becomes:

164 20 0yy

+ − =

2

2

2

2

6420

64 20

20 64 0

16 4 64 0

( 16) 4( 16) 0

( 4)( 16) 0

y

y

y y

y y

y y y

y y y

y y

+ =

+ =− + =− − + =

− − − =− − =4 0y − = 16 0y − =

As, 2xy =2 4 0x − = 2 16 0x − =2 4x = 2 16x =

22 2x = 42 2x =2x = 4x = b ca a b c∴ = ⇒ = Hence, 22 2 2x x= ⇒ = , and

42 2 4x x= ⇒ =Hence, solution set = {2,4}

16. 34 3.2 128 0x x+− + =Solution:

34 3.2 128 0x x+− + =34 3.2 .2 128 0x x− + =

4 24.2 128 0x x− + =2(2 ) 24.2 128 0x x− + =

22 24.2 128 0x x− + = ( )m n mna a∴ =Let 2xy = 2 2 2 2( ) (2 ) 2x xy y= ⇒ =The above equation becomes:

2

2

24 128 0

16 8 128 0

( 16) 8( 16) 0

( 8)( 16) 0

y y

y y y

y y y

y y

− + =− − + =

− − − =− − =8 0y − = 16 0y − =8y = 16y =

As, 2xy =


2 8x = 2 16x =32 2x = 42 2x =

3x = 4x =Hence, solution set = {3,4}

17. 2 13 12.3 81 0x x− − + =Solution:

2 13 12.3 81 0x x− − + =2 1

2

3 .3 12.3 81 0

312.3 81 0

3

x x

xx

− − + =

− + =

Let 3xy = 2 23 xy =The above equation becomes:

2

2

2

2

12 81 03

3681

3

36 243

36 243 0

yy

y y

y y

y y

− + =

− = −

− = −− + =

2( 36) ( 36) 4(1)(243)

2(1)y

− − ± − −= by using quadratic formula

36 1296 972

2

36 324

236 18

2

y

y

y

± −=

±=

±=

36 18

2y

+= 36 18

2y

−=

27y = 9y =As, 3xy =3 27x = 3 9x =

33 3x = 23 3x =3x = 2x =

Hence, solution set = {2,3}


18. 21 1( ) 3( ) 4 0x x

x x+ − + − =

Solution:21 1

( ) 3( ) 4 0x xx x

+ − + − =

Let 1

y xx

= +

The above equation becomes:2

2

3 4 0

4 4 0

( 4) 1( 4) 0

( 1)( 4) 0

y y

y y y

y y y

y y

− − =− + − =

− + − =+ − =1 0y + = 4 0y − =

1y = − 4y =

As, 1

y xx

= +

11x

x+ = − 1

4xx

+ =

2 11

x

x

+ = −2 1

4x

x

+ =

2 1x x+ = − 2 1 4x x+ =2 1 0x x+ + = 2 4 1 0x x− + =

1 1 4

2x

− ± −= ( 4) 16 4

2x

− − ± −= by using quadratic formula

1 3

2x

− ± −= 4 12

2x

±=

1 3

2

ix

− ±= 4 4 3

2x

± ×=

4 2 3

2x

±=

2(2 3)

2x

±=

2 3x = ±


{ ,2 3}2

i− ± ±


19. 22

1 14 0x xx x

+ − + + =

Solution:2

2

1 14 0x xx x

+ − + + =

Rearranging we have,2

2

1 14 0x x

x x+ + + − =

Add “2” to both the sides for completing the square, 2 22

1 1( ) 2x x

x x∴ + = + +

22

1 12 4 2x x

x x+ + + + − =

21 1( ) 6x x

x x+ + + =

Let 1

y xx

= +


2

6 0

3 2 6 0

( 3) 2( 3) 0

( 2)( 3) 0

y y

y y y

y y y

y y

+ − =+ − − =

+ − + =− + =2 0y − = 3 0y + =2y = 3y = −

As, 1

y xx

= +

12x

x+ = 1

3xx

+ = −

2 12

x

x

+ =2 1

3x

x

+ = −

2 2 1 0x x− + = 2 3 1 0x x+ + =2 4 4

2x

± −= 3 9 4

2x

− ± −=

2 0

2x

±= 3 5

2x

− ±=

1x =


{1, }2

− ±


20. 21 1( ) 3( ) 0x x

x x− + + =

Solution:21 1

( ) 3( ) 0x xx x

− + + =

22

1 12 3( ) 0x xx x

− + + + =

22

1 12 2 3( ) 2x x

x x− + + + + = Add “2” to both sides for completing the square

22

2

1 12 3( ) 2 2

1 1( ) 3( ) 4 0

x xx x

x xx x

+ + + + = +

+ + + − =

Let 1

y xx

= +


2

3 4 0

4 4 0

( 4) 1( 4) 0

( 1)( 4) 0

y y

y y y

y y y

y y

+ − =+ − − =

+ − + =− + =1 0y − = 4 0y + =1y = 4y = −

As, 1

y xx

= +

11x

x+ = 1

4xx

+ = −

2 11

x

x

+ =2 1

4x

x

+ = −

2 1x x+ = 2 1 4x x+ = −2 1 0x x− + = 2 4 1 0x x+ + =

( 1) 1 4

2x

− − ± −= (4) 16 4

2x

− ± −=

1 3

2x

± −= 4 12

2x

− ±=

1 3

2

ix

±= 4 4 3

2x

− ± ×=

4 2 3

2x

− ±=


2( 2 3)

2x

− ±=

2 3x = − ±


{ , 2 3}2

i± − ±

21. 4 3 22 3 3 2 0x x x x− − − + =Solution:

4 3 22 3 3 2 0x x x x− − − + = divide both sides by 2x2

2

3 22 3 1 0x x

x x− − − + =

22

1 12( ) 3( ) 1x x

x x+ − + = add “4” both sides for completing the square

22

1 12( ) 3( ) 4 1 4x x

x x+ − + + = +

22

1 12( 2 ) 3( ) 1 4x x

x x+ + − + = + the 4 becomes “2” inside the parenthesis,

because it is multiplying by 2. 21 1

2( ) 3( ) 5x xx x

+ − + =

Let 1

y xx

= +

The above equation becomes:22 3 5 0y y− − =22 5 2 5 0

(2 5) 1(2 5) 0

( 1)(2 5) 0

y y y

y y y

y y

− + − =− + − =

+ − =1 0y + = 2 5 0y − =

1y = − 2 5y =5

2y =

As, 1

y xx

= +

11x

x+ = − 1 5

2xx

+ =

2 11

x

x

+ = −2 1 5

2

x

x

+ =

2 1 0x x+ + = 2 51

2

xx + =


1 1 4

2x

− ± −= 2 51

2

xx − = −

1 3

2x

− ± −=22 5

12

x x− = −

1 3

2

ix

− ±= 22 5 2x x− = −

22 5 2 0x x− + =22 4 2 0x x x− − + =

2 ( 2) 1( 2) 0x x x− − − =(2 1)( 2) 0x x− − =2 1 0x − = 2 0x − =

1

2x = 2x =

Hence, solution set = 1 1 3

{ ,2, }2 2

i− ±

22. 4 3 22 3 4 3 2 0x x x x+ − − + =Solution:

4 3 22 3 4 3 2 0x x x x+ − − + = divide both sides by 2x

22

22

22

2

3 22 3 4 0

1 12( ) 3( ) 4

1 12( 2 ) 3( ) 4 4

1 12( ) 3( ) 0

x xx x

x xx x

x xx x

x xx x

+ − − + =

+ + − =

− + + − = −

− + − =

Let 1

y xx

= −

The above equation becomes:22 3 0

(2 3) 0

y y

y y

+ =+ =

0y = 2 3 0y + =3

2y = −

As, 1

y xx

= −

10x

x− = 1 3

2xx

− = −


2 10

x

x

− =2 1 3

2

x

x

− = −

2 1 0x − = 2 31

2

xx − = −

2 1x = 2 31

2

xx + =

1x = ±22 3

12

x x+ =

2

2

2

2 3 2

2 3 2 0

2 4 2 0

2 ( 2) 1( 2) 0

(2 1)( 2) 0

x x

x x

x x x

x x x

x x

+ =+ − =+ − − =+ − + =

− + =2 1 0x − = 2 0x + =

1

2x = 2x = −

Hence, solution set = 1

{ 1, 2, ,}2

± −

23. 4 3 26 35 62 35 6 0x x x x− + − + =Solution:

4 3 26 35 62 35 6 0x x x x− + − + = divide both sides by 2x2

2

35 66 35 62 0x x

x x− + − + =

22

1 16( ) 35( ) 62x x

x x+ − + = − Add “12” to both sides for completing the square.

22

1 16( 2 ) 35( ) 62 12x x

x x+ + − + = − + (12 becomes 2 inside brackets, because brackets

are multiplying by 6.)21 1

6( ) 35( ) 50x xx x

+ − + = −

Let 1

y xx

= +

The above equation becomes:26 35 50 0y y− + =

2( 35) ( 35) 4(6)(50)

2(6)y

− − ± − −=

35 1225 1200

12y

± −=


35 25

12y

±=

35 5

12y

±=

35 5

12y

+= 35 5

12y

−=

10

3y = 5

2y =

As, 1

y xx

= +

1 10

3xx

+ = 1 5

2xx

+ =

2 1 10

3

x

x

+ =2 1 5

2

x

x

+ =

2 101

3

xx + = 2 5

12

xx + =

2 101

3

xx − = − 2 5

12

xx − = −

23 101

3

x x− = −22 5

12

x x− = −

23 10 3x x− = − 22 5 2x x− = −23 10 3 0x x− + = 22 5 2 0x x− + =

2( 10) ( 10) 4(3)(3)

2(3)x

− − ± − −=

2( 5) ( 5) 4(2)(2)

2(2)x

− − ± − −=

10 100 36

6x

± −= 5 25 16

4x

± −=

10 64

6x

±= 5 9

4x

±=

10 8

6x

±= 5 3

4x

±=

10 8

6x

+= 10 8

6x

−= 5 3

4x

+= 5 3

4x

−=

3x =1

3x = 2x =

1

2x =


{2, ,3, }2 3


24. 4 22 4

6 16 10 0x x

x x− + − + =

Solution:4 2

2 4

6 16 10 0x x

x x− + − + =

4 24 2

1 16( ) 10x x

x x+ − + = −

4 24 2

1 12 6( ) 10 2x xx x

+ + − + = − +

2 2 22 2

1 1( ) 6( ) 8x x

x x+ − + = −

Let 22

1y x

x= +


2

6 8 0

4 2 8 0

( 4) 2( 4) 0

( 2)( 4) 0

y y

y y y

y y y

y y

− + =− − + =

− − − =− − =2 0y − = 4 0y − =2y = 4y =

As, 22

1y x

x= +

22

12x

x+ = 2

2

14x

x+ =

First take: 22

12x

x+ =

Add “2” to both sides for completing the square2

2

12 2 2xx

+ + = +

2 22

1( ) 4x

x+ =

22

12x

x+ = ±

22

12x

x+ = 2

2

12x

x+ = −

4

2

12

x

x

+ =4

2

12

x

x

+ = −

4 21 2x x+ = 4 21 2x x+ = −4 22 1 0x x− + = 4 22 1 0x x+ + =

2 2( 1) 0x − = 2 2( 1) 0x + =


2 1 0x − = 2 1 0x + =2 1x = 2 1x = −

1x = ± x i= ±

Now take: 22

14x

x+ =

4

2

14

x

x

+ =

4 21 4x x+ =4 24 1 0x x− + =

Let 2u x=The above equation becomes:

2 4 1 0u u− + =2( 4) ( 4) 4(1)(1)

2(1)u

− − ± − −=

4 12

2u

±=

4 4 3

2u

± ×=

4 2 3

2u

±=

2 3u = ±As, 2u x=

2 2 3x = ±

2 3x = ± ±

Hence, solution set = { 1, , 2 3}i± ± ± ±


Documents

Equations Reducible to Quadratic Equations Exercise 4 · PDF fileEquations Reducible to Quadratic Equations Exercise 4.2 Solve the following equations: 1. x x4 2− + =6 8 0 Solution: