18/03/58

1

Internal Forces7

Engineering Mechanics: Statics in SI Units, 12e

1

2

Chapter Objectives

• วิธีภาพตดัสาํหรบัการหาแรงภายในช้ินส่วนของโครงสรา้ง

• การเขียนสมการสาํหรบัคา่แรงภายในแบบแรงเฉือนและโมเมนตต์ลอดช้ินส่วน

Chapter Outline

1. Internal Forces Developed in Structural Members (แรงภายในท่ีเกิดขึ้ นในช้ินส่วนของโครงสรา้ง)

2. Shear and Moment Equations and Diagrams (สมการและแผนภาพสาํหรบัแรงเฉือนและโมเมนต)์

3. Relations between Distributed Load, Shear and Moment (ความสมัพนัธร์ะหวา่งแรงแบบแผ่‐แรงเฉือน‐โมเมนต)์

18/03/58

2

3

7.1 Internal Forces Developed in Structural Members

• การออกแบบช้ินส่วนใด ๆ ของโครงสรา้งหรือเคร่ืองจกัร คือการใชว้สัดุท่ีสามารถ

ตา้นทานแรงภายในท่ีเกิดข้ึนในช้ินส่วนน้ันได้

• แรงภายในเหล่าน้ีสามารถหาไดจ้ากวิธีภาพตดั

• แรงตามแกน (Axial force) N กระทาํตั้งฉากกบัรอยตดัของคาน

• แรงเฉือน (Shear force) V, กระทาํตามแนวรอยตดั (ตั้งฉากกบัแกนของคาน)

• โมเมนต ์M หรือนิยมเรียก โมเมนตด์ดั (Bending moment)

Positive sign convention

4

7.1 Internal Forces Developed in Structural Members

• สาํหรบั 3D แรงภายในและโมเมนตก์ระทาํต่อรอยตดัแสดงดงัรปู

• Ny คือแรงตั้งฉาก (normal force), Vx และ Vz คือแรงเฉือน (shear force)

• My คือโมเมนตบิ์ด (torisonal or twisting moment), Mx และ Mz คือ

โมเมนตด์ดั (bending moment)

18/03/58

3

5

7.1 Internal Forces Developed in Structural Members

Procedure for AnalysisSupport Reactions (แรงปฏิกิริยาท่ีฐาน)

• กอ่นการตดั section ใหค้าํนวณหาแรงปฏิกิริยาท่ีฐานไว ้

Free‐Body Diagrams

• เขียนแรงทั้งหมดท่ีกระทาํต่อ FBD ไวท่ี้ตาํแหน่งของมนั

• พิจารณาเลือก FBD ท่ีมีแรงจาํนวนน้อย หรือวิเคราะหไ์ดง้า่ยกวา่

• แสดงองคป์ระกอบ x, y, z ของแรงและโมเมนต์

• เขียนแรงภายใน N, V, M ท่ีรอยตดั โดยสมมุติทิศทางไว ้

Equations of Equilibrium

• คาํนวณคา่ คาํตอบทิศท่ีถกูตอ้งดจูากเคร่ืองหมาย +-

6

Example 7.3

Determine the internal force, shear force and the bending moment acting at point B of the two‐member frame.

18/03/58

4

7

Solution

8

Solution

18/03/58

5

9

7.2 Shear and Moment Equations and Diagrams

• คาน (Beam) คือช้ินส่วนโครงสรา้งท่ีถกูออกแบบเพ่ือรองรบัแรงหรือ

น้ําหนักบรรทุกท่ีกระทาํในแนวตั้งฉากกบัแกนของช้ินส่วน

• คานชว่งเด่ียว (simply supported beam) มีท่ีรองรบัตรงปลายเป็น

pin หน่ึงดา้น และอีกดา้นเป็น roller

• คานยืน่ (cantilever beam) มีท่ีรองรบัตรงปลายเป็น fix และอีกดา้น

เป็นปลายยืน่

simply supported beam  cantilever beam

10

7.2 Shear and Moment Equations and Diagrams

• ในการออกแบบคาน จาํเป็นตอ้งหาคา่แรงเฉือนและโมเมนตต์ลอดทั้งคาน

• สามารถหาคา่ท่ีทุก ๆ จุดบนคานไดด้ว้ยวิธีภาพตดั โดยเขียนใหเ้ป็นฟังกช์นั

กบัระยะ x ใด ๆ ตลอดคาน V(x) และ M(x)

• V(x) และ M(x) มกัไมต่่อเน่ืองท่ีจุดท่ีแรงแบบแผ่เปล่ียนแปลง หรือมีแรง

แบบจุดกระทาํ ดงัน้ันจึงควรพิจารณาสมการเป็นชว่ง ๆ เชน่ x1, x2, x3

• กราฟของ V(x) และ M(x) เรียกวา่ Shear Force Diagram (SFD) และ

Bending Moment Diagram (BMD)

SFD BMD

18/03/58

6

11

7.2 Shear and Moment Equations and Diagrams

Procedure for AnalysisSupport Reactions

• หาแรงและโมเมนตท่ี์กระทาํต่อคาน แลว้แตกใหเ้ป็น

องคป์ระกอบท่ีขนานและตั้งฉากกบัแกนคาน

Shear and Moment Functions

• กาํหนดพิกดั x โดยเฉพาะ โดยมีจุดเร่ิมตน้ท่ีปลายซา้ย

ของคาน โดยกาํหนดเป็นชว่ง ๆ แต่ละชว่งถึงจุดท่ีมีแรง

แบบจุดกระทาํ หรือแรงแบบแผ่เปล่ียนแปลง

• ตดัคานท่ีระยะ x ใด ๆ วาด FBD โดยแสดง V และ Mตามระบบเคร่ืองหมายบวก (sign convention)

• หา V และ M จากสมดุลของ FBD ช้ินท่ีงา่ย

sign convention

12

7.2 Shear and Moment Equations and Diagrams

Procedure for Analysis

Shear and Moment Diagrams

• วาดกราฟ SFD ระหวา่ง V กบั x และ BMD ระหวา่ง M กบั x โดยคา่ท่ี

คาํนวณไดเ้ป็น + ใหเ้ขียนเหนือแกน x ส่วนคา่ ‐ เขียนใตแ้กน x

• มกัเขียน SFD & BMD ต่อจาก FBD ของคาน

18/03/58

7

13

Example 7.7

Draw the shear and bending moments diagrams for the shaft. The support at A is a thrust bearing and the support at C is a journal bearing.

14

Solution

Support Reactions (หาจากสมดุลของทั้งคาน แสดงค่าไวใ้นหนา้ต่อไป)

FBD of the shaft

18/03/58

8

15

Solution

Shear diagram

Internal shear force is always positive within the shaft AB.

Just to the right of B, the shear force changes sign and remains at constant value for segment BC.

Moment diagram 

Starts at zero, increases linearly to B and therefore decreases to zero.

Mmax = 5 kN.m

16

7.3 Relations between Distributed Load, Shear and Moment

Distributed Load

• พิจารณาคาน AD ภายใตแ้รงกระทาํจากแรงแบบแผ่ w = w(x) และแรงแบบจุด

(F1, F2) และโมเมนตแ์บบจุด (M1, M2)

• พิจารณาแรงท่ีกระทาํในแนวด่ิงใด ๆ ใหมี้เคร่ืองหมายบวก ถา้แรงมีทิศทางข้ึน

18/03/58

9

17

Distributed Load

• ตดั FBD สาํหรบัช้ินส่วนเล็ก ๆ ท่ีมีความยาว ∆x และอยูบ่นตาํแหน่ง x ใด ๆ

โดยท่ีไมมี่แรงแบบจุดหรือโมเมนตแ์บบจุดกระทาํในส่วนน้ี

• เขียน V และ M ในทิศทางบวกตามนิยาม

• แรงลพัทเ์ขียนไดคื้อ ∆F = w(x) ∆x 

และอยูท่ี่ตาํแหน่ง k (∆x) จากดา้นขวา

0<k<1 (k=0.5 สาํหรบั uniform load)

7.3 Relations between Distributed Load, Shear and Moment

18

7.3 Relations between Distributed Load, Shear and Moment

Relations between Distributed Load and Shear

and

18/03/58

10

19

7.3 Relations between Distributed Load, Shear and Moment

Relations between Shear and Moment

20

7.3 Relations between Distributed Load, Shear and Moment

Concentrated Force and Couple Moment (แรงและโมเมนตแ์บบจุด)

• สาํหรบัแรงแบบจุดท่ีกระทาํทิศข้ึน

จะทาํใหค้า่แรงเฉือนเพ่ิมข้ึน

• สาํหรบัโมเมนตแ์บบจุดท่ีกระทาํทิศตามเข็ม

จะทาํใหค้า่โมเมนตภ์ายในเพ่ิมข้ึน

FV

0MM

18/03/58

11

21

Example 7.8

Draw the shear and moment diagrams for the cantilever beam.

22

Solution

18/03/58

12

23

Example 7.9

Draw the shear and moment diagrams for the overhang beam.

24

Solution