En vue de l obtention du - Paul Sabatier University

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par :

Discipline ou spécialité :

Présentée et soutenue par

Président du jury :

Rapporteur :

Rapporteur :

Directeur de thèse :

Ecole doctorale :

Unité de Recherche :

CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENSvers une analyse symbolique des circuits quantiques

THÈSE

En vue de l’obtention du


L’Université Toulouse III – Paul Sabatier

Nano-physique

par : Nicolas RENAUD le 17 novembre 2009

M. Jean-Pierre Launay

Mme. Françoise Remacle

M. Stephan Roche

M. Christian Joachim

M. Mark Ratner

M. Thierry Amand

Science de la matière

Groupe NanoScience CEMES

CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENSune analyse symbolique des circuits quantiques


Paul Sabatier

le 17 novembre 2009

JURY

Science de la matière

NanoScience CEMES

CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENS une analyse symbolique des circuits quantiques

i

THESE

PRESENTEE DEVANT

L’UNIVERSITE DE TOULOUSE

Par Nicolas Renaud

En vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSITE DE TOULOUSESPECIALITE NANO-PHYSIQUE

CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENSvers une analyse symbolique des circuits quantiques

SOUTENUE LE 17 NOVEMBRE 2009 DEVANT

President du jury M. Jean-Pierre LaunayDirecteur de these M. Christian JoachimRapporteur Mme. Francoise RemacleRapporteur M. Stephan Roche

M. Mark RatnerM. Thierry Amand

Ecole doctorale : Science de la matiere

Unite de Recherche : Groupe NanoScience CEMES

ii

Ce travail de these a ete effectue dans le magnifique cadre du CEMES, anciennement

LOE et nouvellement baptise Campus Gaston Dupouy. Mes premiers remerciementss

vont donc au gens travaillant, ou ayant travaille, pour que ce campus soit aussi agreable

qu’il l’est aujourd’hui.

Je tiens a remercier les membres de mon jury, tout particulierement Jean-Pierre Lau-

nay, qui a bien voulu en etre le president ainsi que mes rapporteurs, Francoise Remacle

et Stephan Roche pour le soin qu’ils ont apportes dans l’examination de mon travail.

Je tiens egalement a remercier Thierry Amand pour ses corrections detaillees ainsi que

Mark Ratner pour etre venu de si loin malgre la barriere de la langue.

Mes plus sinceres remerciements vont bien entendu a mon directeur de these, Chris-

tian Joachim, qui au dela des techniques et des methodes m’a communiquer son enthou-

siasme (parfois) debordant. Car la recherche c’est avant tout de l’envie, pour toutes ces

envies partagees : Merci.

Parce qu’on prend toujours la suite de quelqu’un, profitant avidement de son travail :

merci Ivan. Pour ses heures passees a se moquer de mes codes, mes defaites memorables

au ping-pong, m’avoir convaincu que j’etais capable de faire de l’escalade ou encore nos

soirees Dubliners : eskerrik asko, comme on dit par chez toi l’ami.

Faire la liste exhaustive et detaillee de tout les gens avec lesquels j’ai apprecie passer

ces trois ans serait vraiment trop long. Alors au hasard et dans le desordre : Oliv’ et ses

bandelettes protectrices, Ben’j et son anglais no regels, Florient et ses 4mm de graisse,

Florent et la seule machine au monde a faire ca, Jacques et ses avions qui decollent a

l’heure, Couette et sa couette, Cook et son nez, Mohamed et les mysteres de la chimie,

Dodo et sa nappe, la famille Garcelot, Pepette et sa chemise mauve, Nelson et sa Nelso-

nette, Houria ca pique dans la bouche, Gringo et sa dent, La petite et la mouette, Gonz

et les Gondole, la mafia espagnole, Chris et Marion parce qu’on est jamais assez impair,

Eeva pour tout transformer en or ...

Bien entendu, je ne peut pas finir ces remerciements sans parler de la famille. Alors

pour le support apporte pendant ces trois ans, mais aussi pendant les 24 avant : Les

Tilleuls et a la Pacouline, merci ! !

Nico

Table des matieres

1 La Mecanisation du Calcul 1A - L’electronique moleculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3B - Traitement quantique de l’information . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 · Le calcul quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 · Le calcul quantique Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . 6

C - Organisation de ce travail de these . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Controle de la trajectoire 13A - Trajectoire des systeme quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 · Definition de la trajectoire dans l’espace des etats . . . . . . 132 · Trajectoires des polyenes cycliques . . . . . . . . . . . . . . 163 · Controle de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

B - Controle de la distance D(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 · Calcul de D(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 · Conditions de resonances de D(t) . . . . . . . . . . . . . . . 213 · Controle des resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 · Conditions d’interference et d’anti-resonance de D(t) . . . . 275 · Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

C - Controle de la frequence Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 · Calcul de Ω par filtrage de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 322 · Calcul de Ω par filtrage de Green . . . . . . . . . . . . . . . 363 · Comparaison des filtrages de Green et de Fourier . . . . . . 394 · Interferences et resonances frequentielles . . . . . . . . . . . 40

D - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Perturbation des trajectoires 51A - Perturbations internes du Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 · Perturbation sur le controle de D(t) . . . . . . . . . . . . . . 522 · Perturbation sur le controle de Ω . . . . . . . . . . . . . . . 553 · Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

B - Perturbations dues a l’environnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iii

iv TABLE DES MATIERES

1 · Modele de Fano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 · Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

C - Fidelite des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60D - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Portes logiques controlees en distance 65A - Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B - Conditions de resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1 · Systeme a deux etats : oscillations de Rabi . . . . . . . . . . 662 · Systeme a trois etats : equations diophantiennes . . . . . . . 69

C - Methode des groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 · Groupe cyclique et trajectoire periodique . . . . . . . . . . . 722 · Implantation de Portes logiques . . . . . . . . . . . . . . . . 743 · Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

D - Perturbation des systemes optimises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 · Perturbation interne du Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . 822 · Interaction avec l’environnement . . . . . . . . . . . . . . . . 84

E - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Portes logiques controlees en frequence 89A - Methode des Heff inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B - Interferences dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1 · Presentation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952 · Tables de Karnaugh ponderees . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 · Implantation des fonctions Booleennes de deux variables . . 984 · Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

C - Resonances frequentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 · Presentation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022 · Implantation des fonctions Booleennes de deux variables . . 1053 · Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

D - Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116E - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6 Processus de mesure 121A - Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B - Mesure de Ω par courant tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1 · Relation entre Ω et Pa→b dans un cas simple . . . . . . . . . 1232 · Relation entre Ω et Pa→b dans le cas general . . . . . . . . . 1303 · Generalisation a N electrodes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344 · Application aux portes logiques . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

TABLE DES MATIERES v

7 Realisation de QHC 143

A - Molecules Aromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

1 · Rotation d’un groupe chimique . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2 · Manipulation STM d’atomes de surfaces . . . . . . . . . . . 156

3 · Application d’un champ electrique . . . . . . . . . . . . . . 160

B - Structuration de systemes periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1 · Structuration d’un mono-feuillet de graphene . . . . . . . . 165

2 · Modification d’une surface de Si(001)-(2×1)-H . . . . . . . . 168

C - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8 Montee en complexite 177

A - Interferometres Quantiques Generalises . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1 · Presentation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2 · Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3 · Fonction Booleenne usuelles de N variables . . . . . . . . . . 181

4 · Fonction a plusieurs sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B - Circuits Spectraux Quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

1 · Presentation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2 · Fonctions usuelles de M variables . . . . . . . . . . . . . . . 187

3 · Realisation d’un demi-additioneur . . . . . . . . . . . . . . . 189

4 · Realisation d’un additionneur-complet . . . . . . . . . . . . 191

5 · Realisation d’un additionneur 2 bits . . . . . . . . . . . . . . 194

C - Performances des architectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

1 · Duplications des donnees d’entree . . . . . . . . . . . . . . . 199

2 · Parallelisation du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

3 · Amplitude du signal de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4 · Dimensions du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

D - Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Conclusion 207

Perspectives 211

Representation des trajectoires 217

A - Representation de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

1 · Systemes a deux etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2 · Systemes a N etats et sphere de Bloch reduite . . . . . . . . 222

B - Representation de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

vi TABLE DES MATIERES

Calcul des Esperances de D(t) et Ω 229C - Esperance de D(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229D - Esperance de Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Interferometres quantiques generalises 233

Expression Booleenne de la partie imaginaire de Ω(E) 239

Calcul du T (E) 243

Liste des publications 249

Chapitre 1

La Mecanisation du Calcul

En etablissant un lien entre l’algebre de Boole [1] et les regles de connexion

des circuits electriques, Claude Shannon fut le premier a dessiner des circuits elec-

triques capables d’effectuer n’importe quelle operation arithmetique [2]. Il donna

ainsi le schema de ce qui deviendra une des briques de base de l’electronique

moderne : l’additionneur binaire. Ce circuit permet de calculer la somme, S =

sk+1, sk, sk−1, . . . , s1, s0, de deux nombres binaires A = ak, ak−1, . . . , a1, a0 et

B = bk, bk−1, . . . , b1, b0. L’addition de a0 et b0 donne la somme s0 et la retenue

c1 qui doit etre ajoute a a1 et b1 et ainsi de suite. Le circuit est alors construit

directement a partir des expressions symboliques des si et ci (voir figure 1.1) [2].

Les repercussions de cette revolution sont encore visibles aujourd’hui puisque ce

circuit est, a quelques ameliorations pres [3], omnipresent dans l’electronique mo-

derne.

En 1947, une deuxieme revolution propulsa l’architecture de Shannon au pre-

mier plan de l’industrie mondiale : le transistor. Les extraordinaires proprietes de

ce composant [4, 5] lui permirent de remplacer rapidement les interrupteurs et les

diodes utilises jusqu’alors pour la realisation des circuits logiques. La miniaturisa-

tion de ces dispositifs, encore d’actualite [6], a lance une course a l’augmentation

des ressources de calculs implantees sur une surface donnee, illustree par la desor-

mais celebre loi de Moore [7]. Pourtant, l’utilisation de cette approche pose des

problemes importants pour le futur developpement de l’electronique.

1

2 CHAPITRE 1. LA MECANISATION DU CALCUL

a) b)

Fig. 1.1 – Circuit original imagine par C.E. Shannon pour l’addition de deuxnombres. Le circuit de gauche permet d’effectuer la somme : a0 + b0, donnant lebit de poids faible de S, s0 = a0 ⊕ b0 et la retenue c1 = a0 · b0. Le circuit dedroite permet de d’effectuer la somme aj + bj + cj donnant le j-ieme bit de S,sj = aj ⊕ bj ⊕ cj et la (j+1)-ieme retenue cj+1 = aj · bj · cj [2].

Le premier probleme provient de la constante miniaturisation des transistors.

Est-il possible de reduire ce composant a la taille d’une seule molecule ou d’un seul

atome ? Si la reponse a cette question s’avere positive, comment alors continuer

d’augmenter la densite d’integration ?

Un deuxieme probleme provient de la miniaturisation du circuit. En effet, pour

que les lois de Kirchoff restent valides, deux composants doivent etre separes par

une distance minimale d’une dizaine de nanometres [8, 9] afin que la phase de

l’electron soit perdue [10]. Cette separation spatiale minimale limite de fait la mi-

niaturisation du circuit dans son ensemble.

Enfin, un dernier probleme porte sur le traitement des informations. Chaque

donnee est generalement dupliquee a differents endroits du circuit (il y a par

exemple deux a0 et deux b0 dans le circuit 1.1a). Devant commander plusieurs

transistors, chaque donnee doit etre portee a differents endroits ce qui engendre

A -. L’ELECTRONIQUE MOLECULAIRE 3

un probleme d’encombrement sur le circuit. De plus, chaque calcul est effectue par

etape, en propageant des informations d’une etape a une autre. Sur le circuit 1.1,

les retenues cj se propagent, ce qui implique que le calcul de sj ne peut se faire

que si sj−1 et cj ont deja ete calcules. Bien que cette propagation de la retenue

ait aujourd’hui ete contournee grace a une architecture legerement differente [3], la

propagation des donnees et leur duplication en differents endroits du circuit restent

deux contraintes fortes de l’approche de Shannon.

A - L’electronique moleculaire

Afin de repondre au probleme de la miniaturisation des composants, A. Aviram

et M. Ratner proposent en 1974, d’utiliser une molecule unique connectee a deux

electrodes metalliques comme une diode [11, 12, 13]. Ils proposent donc d’utiliser

le caractere quantique du transfert electronique intramoleculaire, pour realiser un

dispositif de l’electronique classique. Ce premier composant moleculaire n’est mal-

gre tout pas modifiable de l’exterieur et ne presente qu’une seule fonction : laisser

passer le courant dans un sens et le bloquer dans l’autre.

Les premiers composants pouvant changer d’etat sous une action exterieure

sont imagines en 1982 par Aviram [14, 15]. Bien d’autres auteurs, avec parmi eux

F.L. Carter [16], et C. Joachim [17], ont propose d’autres commutateurs bases par

exemple sur la modulation de la transparence d’une jonction tunnel en changeant

la conformation d’une molecule y residant. Tous ces dispositifs presentent deux

conformations stables, couplant ou decouplant les deux extremites de la molecule,

assurant ainsi la fonction d’interrupteur.

En 1988 Aviram etend le concept d’electronique moleculaire aux portes logiques

et aux memoires [18]. Utilisant les lois de Shannon et les interrupteurs moleculaires,

il propose les premiers circuits moleculaires realisant des fonctions logiques simples

[19]. Avec la realisation de transistors grace a une seule molecule de C60 [20] ou

un seul nanotube de carbone [21], cette approche a rapidement propose de nom-

breux dispositifs [22, 23]. Neanmoins, tout comme dans les circuits classiques, les


nano-fils metalliques reliant ces composants moleculaires doivent etre suffisamment

longs pour que le circuit fonctionne correctement.

Pour resoudre le probleme de la miniaturisation du circuit dans son ensemble,

F.L. Carter a propose, des 1984, d’incorporer tout les fils et les parties actives d’un

circuit a l’interieur d’une seule molecule [16], la considerant alors comme une petite

unite de calcul autonome. Cette approche a permis l’implantation de fonctions

logiques dans une seule molecule [24, 25, 26] allant meme jusqu’a la realisation

d’un additionneur binaire [27]. Neanmoins elle se heurte a la nature lineaire de la

superposition des courants a travers une molecule. Les dispositifs issus de cette

approche contiennent donc le plus souvent des elements non lineaires, ce qui rend

leur synthese d’autant plus difficile [26]. De plus, se limitant a l’architecture de

Shannon, ces circuits ne proposent pas un traitement des informations different

des circuits classiques.

Fig. 1.2 – Porte logique monomoleculaire realisant une fonc-tion OR. Les entrees logiquessont encodees dans les tensionsappliquees en B et C alors quela sortie est lue grace a l’inten-site du courant mesure en A[24].

B -. TRAITEMENT QUANTIQUE DE L’INFORMATION 5

B - Traitement quantique de l’information

De nombreuses pistes ont ete explorees pour proposer un traitement des infor-

mations different de celui propose par l’approche de Shannon [5]. Il a par exemple

ete propose de faire de la logique tout-optique [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37],

ou a base de micro-onde [38, 39, 40, 41]. Les propositions les plus novatrices sont

certainement celle basees sur l’utilisation des proprietes quantiques du traitement

de l’information.

1 · Le calcul quantique

Les bases du calcul quantique ont ete etablies au milieu des annees 80 par R.

Feynman et D. Deutsch [42, 43, 44, 45]. S’appuyant sur le principe de superposi-

tion de la mecanique quantique, cette approche propose de trouver une solution au

probleme de la duplication des donnees et de paralleliser les operations. Ainsi, les

bits de donnees sont encodes dans le vecteur d’onde initial du systeme, |Ψ〉. Ces

bits ne prennent plus exclusivement les valeurs 0 ou 1, mais peuvent prendre des

valeurs superposees, a la fois 0 et 1 : |Ψ〉 = c0|0〉+c1|1〉 avec pour seule condition :

|c0|2 + |c1|2 = 1. Une operation menee sur ce bit d’information donne la superposi-

tion des resultats obtenus si ce bit etait egal a 0 ou a 1. Cet algorithme permet de

realiser la meme operation, qui doit neanmoins etre reversible [46, 47], mais cal-

culee pour differentes valeurs des donnees d’entree. Bien d’autres algorithmes ont

ensuite ete proposes pour tirer profit des ressources de calcul qu’offre un systeme

quantique [48, 49], et de nombreux ouvrages reprennent en detail les principes et

les avancees du calcul quantique [50].

Bien que tres prometteur, le calcul quantique a attire quelques critiques de

la communaute scientifique [51]. Une des premieres porte sur l’absence totale de

resistance au bruit de ces circuits [4, 52]. En effet, a cause de l’utilisation de la

superposition des etats, un bit d’entree proche de “1”, dont la fonction d’onde

est : |Ψ〉 = limε→0

(ε|0〉+

√1− ε2|1〉), peut tout aussi bien etre une superposition

particuliere d’etats ou un “1” errone [4]. Cette approche necessite par consequent

un controle important du bruit auquel le systeme est soumis [53].


2 · Le calcul quantique Hamiltonien

Une approche plus recente propose egalement un traitement quantique de l’in-

formation. Cette approche, baptisee Calcul Quantique Hamiltonien, abregee QHC,

propose de controler la trajectoire, ρ(t), d’un systeme quantique a travers son es-

pace de Hilbert afin de construire des dispositifs electroniques realisant des fonc-

tions Booleennes [54, 55, 56]. Les donnees d’entree, α, sont encodees dans des

parametres bien identifes du Hamiltonien, H(α), du systeme. Un changement de

la valeur de ces parametres deforme ρ(t) et cette deformation est utilisee pour

encoder les donnees de sortie. Differentes caracteristiques de ρ(t) peuvent etre uti-

lisees pour encoder ces donnees : la distance D(τm) entre ρ(t) et un etat cible a un

temps donne ou encore la frequence d’evolution dominante, notee Ω, de ρ(t) dans

la direction de cet etat cible.

Les travaux de J. Fiurasek et I. Duchemin ont deja demontre les innovations que

cette approche apporte dans le traitement des informations [57, 58]. Ces circuits

quantiques peuvent calculer plusieurs operations en parallele en ne necessitant pas

de duplication des donnees d’entree. Aucune regle d’architecture n’etant connue

avant notre travail, la construction de ces circuits est jusqu’a present assuree par

un long processus d’optimisation numerique.

Fig. 1.3 – Demi-additioneur realiseen suivant l’approche QHC. Les don-nees d’entrees sont encodees dans lesangles Θ1 et Θ2 et les deux sortiesdans les probabilites |〈φAND|Ψ(t)〉|2 et|〈φXOR|Ψ(t)〉|2. L’evolution du systemeest declenchee par sa preparation dansun etat non stationnaire |φIN〉 et estcontrolee par les angles Θi. Des millionsde molecules ont du etre testees afin deconverger vers celle-ci [57].

C -. ORGANISATION DE CE TRAVAIL DE THESE 7

C - Organisation de ce travail de these

Pour assurer le developpement du calcul quantique Hamiltonien, il est primor-

dial de trouver les regles sous-jacentes qui gouvernent cette architecture quantique.

L’etude des proprietes de ρ(t) va nous permettre de formuler les expressions sym-

boliques respectees par ces circuits quantiques et ainsi de formuler ces regles.

Pour cela, nous mettrons en avant lors du chapitre 2 les conditions que doit

respecter le systeme pour que D(t) et Ω s’annulent ou au contraire soient maxi-

males. L’impact des perturbations, qu’elles soient engendrees par une source de

bruit ou par la presence de continuum, sera aborde au chapitre 3. La fidelite des

trajectoires vis-a-vis d’une trajectoire ideale y sera egalement definie.

Les chapitres 4 et 5 seront consacres a la realisation de portes logiques dans

des systemes quantiques. Le chapitre 4 traitera du controle de D(t) alors que le 5

abordera celui de Ω. Lors de ces deux chapitres nous proposerons des methodes de

construction des systemes quantiques basees sur les expressions symboliques des

fonctions qu’ils realisent.

Les moyens de mesure possibles des sorties de ces fonctions logiques seront

abordes au chapitre 6. Nous mettrons l’accent sur le lien existant entre Ω et le co-

efficient de transmission electronique au travers du systeme. Une fois ce lien etabli,

le resultat des portes logiques controlees en frequence pourra etre simplement me-

sure grace au courant tunnel parcourant les systemes les realisant. En appliquant

les methodes de construction du chapitre 5 a des systemes moleculaires simples,

nous presenterons au chapitre 7 des schemas d’implantation realistes dont une,

realisant une fonction NOR, est en cours d’etude experimentale.

Enfin, lors du chapitre 8, nous generaliserons les solutions d’implantations pre-

sentees au chapitre 5 a des fonctions logiques complexes. Nous menerons egalement

l’etude comparative des performances de l’approche QHC permettant de mettre en

avant ses points forts, tel que la parallelisation de differentes operations logiques,

et ses faiblesses, comme la faible restoration des donnees d’entree.


Bibliographie

[1] George Boole, Thoemmes Press, Facsimile of 1847 edition (1998)The Mathematical Analysis of Logic

[2] Claude Edwin Shannon, Master’s thesis, MIT, (1936)A symbolic Analysis of relay and switching circuits, .

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[4] R. Landauer, IEEE Trans. Electron Devices 43(1996) page 1637Need for a critical assessment

[5] R. Landauer, Physica A 168(1990) page 75Advanced technology and truth in advertising

[6] J. Kavalieros et al., IEEE Trans. VLSI Technology (2006)Tri-Gate Transistor Architecture with High-k Gate Dielectrics ...

[7] G.E. Moore, Electronics, 38(1965)Cramming more components onto integrated circuits

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Chapitre 2

Controle de la trajectoire des

systemes quantiques

A - Trajectoire des systemes quantiques dans leur

espace des etats

1 · Definition de la trajectoire dans l’espace des etats

L’evolution au cours du temps de l’operateur densite, ρ(t) = |Ψ(t)〉〈Ψ(t)|, asso-

cie a un systeme quantique, represente par le Hamiltonien H suppose independant

du temps, est regie par l’equation [1, 2, 3] :

d

dtρ(t) =

1

i~[H, ρ(t)] (2.1)

L’operateur ρ(t) decrit l’evolution au cours du temps des populations et des co-

herences des etats et contient toutes les informations de la trajectoire du systeme

dans son espace des etats, E . L’operateur H se decompose sur une base discrete

d’etats, |φ1〉, |φ2〉, . . . , |φN〉, appelee base locale, comme :

13

14 CHAPITRE 2. CONTROLE DE LA TRAJECTOIRE

H =

|φ1〉 |φ2〉 |φN〉

h11 h12 . . . . . .

h†12 h22 . . . . . ....

.... . .

......

. . .

hN−1,N

h†N−1,N hNN

(2.2)

ou chaque etats |φi〉 peut par exemple representer une orbitale atomique du systeme

[4, 5, 6]. Puisque H est independant du temps, la resolution de (2.1) est immediate

et donne :

ρ(t) = U(t) |ψa〉〈ψa| U †(t) (2.3)

ou |ψa〉 = |Ψ(t = 0)〉 est l’etat initial de l’evolution et U(t) l’operateur d’evolution

temporel, definit comme [2] :

U(t) = e−iHt/~ (2.4)

Le calcul de ρ(t) peut donc s’effectuer en calculant |Ψ(t)〉 et en formant ensuite la

matrice |Ψ(t)〉〈Ψ(t)|. Au cours de cette evolution, la probabilite de presence d’un

etat donne, ρb = |ψb〉〈ψb|, est donnee par [2] :

Pab(t) = Tr[ρ(t)ρb] (2.5)

a) Calcul de |Ψ(t)〉

Le calcul de |Ψ(t)〉 peut se faire directement a partir de l’operateur d’evolution

temporel. La diagonalisation du Hamiltonien H donne les valeurs propres de cet

operateur : λ1, λ2, . . . , λN et ses vecteurs propres : |Ψ1〉, |Ψ2〉, . . . , |ΨN〉. Le

Hamiltonien s’ecrit alors : H = U† S U ou U est la matrice de changement

de base, formee par les vecteurs propres . . . , |Ψi〉, . . . et S est la representation

diagonale du Hamiltonien. |Ψ(t)〉 peut alors etre exprimee en fonction des valeurs

A -. TRAJECTOIRE DES SYSTEME QUANTIQUES 15

propres et des vecteurs propres de H en appliquant le theoreme spectral a (2.4)

[7, 8] :

|Ψ(t)〉 = U† e−iSt/~ U|Ψa〉 (2.6)

Pour les cas ou les expressions de U et S sont connues, cette methode mene

a l’expression analytique de |Ψ(t)〉. Cette expression peut egalement etre obtenue

par la transformee de Laplace de l’equation de Schrodinger regissant son evolution

temporelle [9] :

i~d|Ψ(t)〉dt

= H|Ψ(t)〉 ←→(pI+

i

~H

)|Ψ(p)〉 = |Ψ(0)〉 (2.7)

ou p est la variable conjuguee de t. La composante de |Ψ(p)〉 sur un des etats de

la base locale, |φn〉, est alors donnee par :

〈φn|Ψ(p)〉 =1

det(pI+ i

~H)An(p) =

An(p)

ΠNj=1(p− pj) (2.8)

ou An(p) est le determinant de la matrice formee a partir de(pI + i

~H)

ou la

nieme colonne a ete remplacee par |Ψ(0)〉. Le calcul du coefficient 〈φn|Ψ(t)〉, qui

s’appuie sur les poles de (2.8), est alors simplement donne par la transformee

de Laplace inverse de (2.8), et necessite l’expression analytique des zeros, notes

pi, du polynome det(pI + i

~H). Cette methode de calcul s’avere particulierement

interessante si la complexite de l’expression des vecteurs propres de H rend le

calcul direct de |Ψ(t)〉 par le propagateur temporel difficile. Neanmoins le calcul

analytique des poles de (2.8) etant equivalent au calcul des valeurs propres du

Hamiltonien, cette methode ne peut en aucun cas amener une solution qui est

inaccessible par la methode du propagateur temporel [9].

b) Representation de la trajectoire

La trajectoire ρ(t) d’un systeme contenant N etats quantiques est definie par

N2 coefficients complexes, tous etant une superposition de N(N−1)2

sinusoıdes. La

representation de ρ(t) necessite par consequent une methode adaptee. Pour les sys-

temes quantiques contenant deux etats, une representation bien connue est celle


de Bloch, qui construit a partir des elements de ρ(t) une courbe evoluant a la

surface d’une sphere, appelee alors sphere de Bloch [10, 13]. Cette methode peut

etre adaptee aux systemes contenant N etats quantiques, en ne considerant seule-

ment qu’une restriction de ρ(t), notee ρ|φi〉,|φj〉(t), sur un sous-espace de dimension

deux sous-tendu par les deux etats |φi〉 et |φj〉. Cette trajectoire restreinte peut

alors etre representee dans une sphere, appelee sphere de Bloch reduite (cf Annexe

A). La trace de ρ|φi〉,|φj〉(t) n’etant a priori pas egale a 1, cette trajectoire peut

penetrer l’interieur de la sphere meme si le systeme n’est pas en interaction avec

un continuum. D’autres methodes de representation sont bien entendu possibles.

Celle de Majorana [11, 12], utilisant la projection stereographique inverse sur une

sphere des racines d’un polynome, construit a partir de |Ψ(t)〉, est sans doute la

plus commune (cf Annexe A). Neanmoins de par sa simplicite, la representation

de Bloch reste la plus facilement comprehensible et sera utilisee dans la suite pour

representer les trajectoires des systemes quantiques etudies.

2 · Trajectoires des polyenes cycliques

Pour illustrer le concept de trajectoire, calculons la trajectoire quantique d’un

electron, dans le reseau π d’un polyene cyclique, dans l’approximation de Huckel

simple [6, 14, 16]. Les expressions analytiques des valeurs propres et des vecteurs

propres de ces systemes nous permettent de calculer |Ψ(t)〉 directement grace a

l’operateur d’evolution. Le Hamiltonien du reseau π d’un polyene cyclique est

donne sur sa base locale par :

H =

|φ1〉 |φ2〉 |φ3〉 . . . |φN−1〉 |φN〉

e ω 0 . . ω

ω e ω . . .

0 ω e. . . . .

. .. . . . . . . . . .

. . .. . . e ω

ω . . . ω e

(2.9)

Les vecteurs propres, |Ψl〉 et les valeurs propres, el, de ce systeme s’ecrivent [6, 15] :


|Ψl〉 =1√N

N∑ν=1

[cos(

2π(ν − 1)l

N) + sin(

2π(ν − 1)l

N)

]|φν〉 (2.10)

el = e+ 2ω cos

(2π

N(N − 1 + l)

)(2.11)

ou l prends les valeurs : 0, 1...., N . Supposons que l’etat initial de l’evolution,

|ψa〉, soit completement localise sur une seule des orbitales pz du systeme. Puisque

tout les etats sont equivalents, nous choisissons |ψa〉 = |φ1〉. Inversant l’equation

(2.10), la decomposition de cet etat sur la base propre du systeme s’ecrit : |ψa〉 =1√N

∑Nn=1 |Ψn〉. L’equation (2.6) donne alors :

|Ψ(t)〉 =1

N

N∑ν=1

[N∑n=1

e−ient/~(

cos(2π(ν − 1)n

N) + sin(

2π(ν − 1)n

N)

)]|φν〉

(2.12)

Il est alors possible de former la matrice densite du systeme ρ(t) = |Ψ(t)〉〈Ψ(t)|.Appliquons l’expression (2.12) au cas du benzene pour lequel N = 6 [18]. Notre

choix se porte sur le benzene puisque de part la commensurabilitee de ses valeurs

propres [6], sa trajectoire quantique est une courbe algebrique fermee (cf Annexe

A). Afin d’alleger les expressions nous posons ici ~ = 1, il vient alors :

|Ψ(t)〉 =1

3

(cos(2ωt) + 2 cos(ωt)

)|φ1〉 − i

3

(sin(ωt) + sin(2ωt)

)(|φ2〉+ |φ6〉)

+1

3

(cos(2ωt)− cos(ωt)

)(|φ3〉+ |φ5〉)− i

3

(sin(2ωt)− 2 sin(ωt)

)|φ4〉(2.13)

Afin d’obtenir une visualisation simple de la trajectoire, une coupe de l’hypersphere

a la surface de laquelle evolue ρ(t) doit etre effectuee. Selon le choix des deux etats

supportant le sous-espace de restriction, la portion de trajectoire representee n’est

bien entendu pas la meme. Les coordonnees dans la sphere de Bloch reduite des

restrictions ρ|φ1〉,|φ2〉(t) et ρ|φ1〉,|φ4〉(t) sont donnees par :


T12 =

X (t) = 19

(2 cos2(2ωt) + 5 cos2(ωt) + 3 cos(3ωt) + cos(ωt)− 2

)

Y (t) = −19

(sin(4ωt) + 3 sin(3ωt) + sin(ωt) + 2 sin(2ωt)

)

Z(t) = 0

T14 =

X (t) = 19

(2 cos2(2ωt) + 8 cos2(ωt) + 4 cos(ωt)− 5

)

Y (t) = −19

(sin(4ωt) + 4 sin(ωt)− 4 sin(2ωt)

)

Z(t) = 0

Ces nephroıdes [17] definies dans le plan (X ,Y ) sont representees sur la figure 2.1.

Le fait qu’elles ne passent jamais par le centre de la sphere, indique qu’une partie

de la trajectoire reste toujours dans le sous-espace de restriction. L’etude de l’ordre

et du genre des courbes algebriques obtenues par restriction de la trajectoire ρ(t)

sur un sous-espace, reste une question interessante mais qui ne rentre pas dans le

cadre de cette these.

a) b)

Fig. 2.1 – Representation de la trajectoire d’un electron, initialement localise dansune seule orbitale du reseau π d’un benzene dans le modele de Huckel simple. Selonle choix des etats sous-tendant le sous-espace de restriction, representes ici par desspheres a la surface de la sphere de Bloch reduite, differentes courbes sont obtenues.


3 · Controle de la trajectoire

Supposons que nous disposions d’un parametre variable dans le Hamiltonien

du systeme. Un changement de ce parametre deforme naturellement la trajectoire.

Reprenons l’exemple du benzene. Supposons qu’il nous est possible de controler

la valeur du couplage, α, entre l’etat |φ2〉 du reseau π du benzene et un etat

supplementaire isole denergie e. Representons alors ρ|φ1〉,|φ4〉(t) en fonction de la

valeur de α :

α = ω4

α = ω2

α = 2ω3

α = 3ω4

α = ω

Fig. 2.2 – Trajectoire ρ|φ1〉,|φ4〉 d’un benzene initialement prepare sur l’etat |φ1〉et dont l’etat |φ2〉 interagit avec un etat isole au travers d’un couplage α. Plus lavaleur de α augmente, plus la trajectoire initiale est deformee.

La deformation provoquee par une variation de α peut etre mise a contribution

pour controler differentes caracteristiques de ρ(t). La distance, D(τp), entre ρ(τp)

et un etat particulier du systeme, ρb = |ψb〉〈ψb| appele etat cible dans toute la

suite, peut varier drastiquement en fonction des parametres de controles. On peut

par exemple forcer le systeme a atteindre l’etat cible au temps τp ou au contraire

le forcer a appartenir l’espace complementaire de ρb a ce temps. On appelle ce

controle un controle en distance. Un autre controle possible est celui de la fre-

quence dominante de ρ(t) dans la direction ρb. Cette fonction, qui est donnee par

la projection de ρ(t) dans la direction de ρb, est une superposition de N(N−1)2

fonc-

tions oscillantes, chacune ayant un poids different dans la serie de Fourier de cette

fonction. La frequence dominante d’evolution, Ω, est celle dont le poids est le plus

fort. Une variation de Ω entraıne donc une acceleration ou au contraire une de-

celeration de ρ(t) dans la direction ρb. Ce controle est appele controle en frequence.


Maintenant que nous avons mis en avant la deformation des trajectoires in-

duite par une modification du Hamiltonien, et les possibilites de controles que cela

implique, nous allons etudier plus en details au cours des paragraphes 2-B et 2-C

les solutions de controles en distance et en frequence proposees ici.

B - Controle de la distance D(t)

1 · Calcul de D(t)

Une mesure possible de la distance [19, 20, 21, 22] , D(t), entre ρ(t) et l’etat

cible ρb, est donnee par la distance de Hilbert-Schmidt normalisee [19] :

D(ρ(t), ρb) =1

2Tr|ρ(t)− ρb| (2.14)

avec |A| =√A†A. Cette distance est nulle lorsque ρ(t) atteint l’etat cible et egale

1 quand ces deux etats sont orthogonaux. Elle depend du Hamiltonien, H, du

systeme et peut donc etre controlee par un changement des parametres hij. Dans

le cas ou ces deux etats sont purs cette distance s’ecrit simplement comme :

D(t) = |1− Tr[ρ(t)ρb]| = [|1− Pab(t)|]1/2 (2.15)

Posons que l’etat initial, |ψa〉, et l’etat cible, |ψb〉, se decomposent sur la base

propre du systeme comme :

|ψa〉 =N∑n=1

in|Ψn〉 et |ψb〉 =N∑n=1

cn|Ψn〉 (2.16)

et que les coefficient cn et in soient tous reels. Alors la probabilite Pab(t) s’exprime

en fonction des differences deux a deux des valeurs propres de H : ωnm = λn−λm~ ,

comme [9] :

Pab(t) =N∑n=1

i2nc2n + 2

N−1∑n=1

N∑m>n

incnimcmcos(ωnmt) (2.17)

B -. CONTROLE DE LA DISTANCE D(T ) 21

2 · Conditions de resonances de D(t)

Pour un controle efficace en distance, il faut qu’a un temps donne, τp, la distance

D(t) entre ρ(t) et l’etat cible ρb puisse valoir 0, c’est a dire que la trajectoire du

systeme atteigne completement ρb. La trajectoire est alors appelee resonante dans

la direction ρb. PuisqueD(t) depend uniquement de Pab(t), tout nos calculs peuvent

porter sur les proprietes que doit presenter cette fonction presque periodique pour

atteindre 1. La condition de resonance s’ecrit alors comme :

Pab(τp) =N∑n=1

i2nc2n + 2

N−1∑n=1

N∑m>n

incnimcmcos(ωnmτp) = 1 (2.18)

Nous allons montrer que trois conditions sont necessaires pour realiser (2.18). Ces

conditions peuvent se resumer comme :

– les coefficients du developpement de l’etat initial et de l’etat final sur la base

propre du systeme doivent respecter : |cn| = |in|,– le Hamiltonien doit presenter des valeurs propres commensurables, s’ecrivant

toutes comme λn = Zkn, avec Z reel et kn un entier. Il genere ainsi une

trajectoire periodique dans l’espace de Hilbert du systeme,

– si ωnm = kn − km est paire alors cnincmim > 0 et cnincmim < 0 si ωnm est

impaire

Ces conditions sont loin d’etre respectees par tout les Hamiltoniens, et seul certains

Hamiltoniens tres specifiques peuvent generer une trajectoire periodique entre deux

etats de leur base locale. La demonstration de ces trois conditions est donnee dans

notre publication [27] de maniere detaillee, nous les redemontrons ici de maniere

plus intuitives.

a) Condition sur les coefficients cn et in

Par hypothese l’etat cible, |ψb〉, est l’etat qu’atteint |Ψ(t)〉 a un certain temps τp :

|ψb〉 = e−iHτp/~|ψa〉 =N∑n=1

in|Ψn〉 (2.19)

avec in = cne−iλnτp/~. Nous avons egalement impose que in soit reel. L’unique

solution pour satisfaire cette condition est : e−iλnτp/~ = ±1. Ainsi il vient :


|cn| = |in| (2.20)

Le developpement de l’etat initial et de l’etat cible sur la base propre du systeme

est donc soumis a une condition de symetrie dans cette base qui sera developpee

a la section B.3 de ce chapitre.

b) Commensurabilite des valeurs propres

Si quelque soit n, e−iλnτp/~ = ±1, alors toute les valeurs propres de H s’ecrivent

comme :

λn = knπ~τp

kn ∈ Z (2.21)

le rapport de deux valeurs propres : λn/λm = kn/km est un donc nombre rationnel

et par consequent ces deux valeurs propres sont commensurales entre elles.

De plus si e−iλnτp/~ = ±1 alors (e−iλnτp/~)2 = e−iλn2τp/~ = 1. Au temps τ = 2τp,

cn = in et par consequent |ψ(2τp)〉 = |ψa〉 : l’evolution est revenue a son point de

depart, elle est par consequent periodique [34, 35, 36].

c) Parite des frequence reduites

D’apres (2.20), les coefficients in peuvent s’ecrire comme : in = (−1)xncn, xn pre-

nant les valeurs 0 ou 1, on peut alors ecrire :

Pab(t) =N∑n=1

c4n + 2

N−1∑n=1

N∑m=n+1

(−1)xn+xmc2nc

2m cos(ωnmτp) (2.22)

La seule solution pour satisfaire l’equation (2.18), est que Pab(t) =(∑N

n=1 c2n

)2

.

Pour cela il faut que :

N−1∑n=1

N∑m=n+1

(−1)xn+xmc2nc

2m cos(ωnmτp) =

N−1∑n=1

N∑m=n+1

c2nc

2m (2.23)


c’est a dire que :

(−1)xn+xm cos(ωnmτp) = 1 (2.24)

Par consequent si le cos(ωnmτp) = 1 alors xn + xm doit etre pair, signifiant que

cnincmim > 0. Si au contraire cos(ωnmτp) = −1 alors xn + xm doit etre impair et

donc cnincmim < 0. La valeur du cosinus est entierement determine par les valeurs

des kn present dans l’expression des valeurs propres suivant : cos(ωnmτp) = −1

si la frequence reduite ωnm = kn − km est paire et cos(ωnmτp) = 1 sinon. Par

consequent pour que la trajectoire atteigne |ψb〉 il faut que cnincmim > 0 si la

frequence reduite, ωnm, est paire et que cnincmim < 0 si ωnm est impaire .

3 · Controle des resonances d’un systeme a trois etats

Pour illustrer le controle des trajectoires, etudions celle d’un systeme quantique

presentant trois etats. Le controle des systemes a deux etats, beaucoup plus simple,

est brievement traite dans l’annexe A. L’expression exacte de |Ψ(t)〉 permet la

determination des valeurs des parametres menant a une trajectoire resonante entre

l’etat initial et l’etat cible. Il est alors possible de controler la distance minimale

atteinte entre ρ(t) et l’etat cible en fonction de la variation de ces parametres.

Prenons le systeme a trois etats le plus simple :

H =

|φa〉 |φc〉 |φb〉( )0 α 0α e α0 α 0


Les deux parametres de controles α et e, doivent permettre de deformer la tra-

jectoire pour qu’elle atteigne completement l’etat cible ou contraire qu’elle s’en

ecarte. L’expression de Pab(t) est necessaire pour trouver les valeurs de ces pa-

rametres menant a une trajectoire resonante. Les valeurs propres et les vecteurs

propres de ce systeme sont donnes par :

λ0 = 0

λ± = 12

(e±√e2 + 8α2

) U = 1√2

|Ψ+〉 |Ψ0〉 |Ψ−〉

cos θ 1 sin θ

cos θ −1 sin θ√2 sin θ 0 −√2 cos θ

〈φa|〈φb|〈φc|

avec cos θ =√

12

+ |e|2√e2+8α2 . La preparation initiale du systeme sur |φa〉 mene a la

probabilite de presence de l’etat |φb〉 [49] :

Pab(t) = 1/4[1 + cos4(θ) + sin4(θ) + 2 cos2(θ) sin2(θ) cos(Ω0t)

−2 sin2(θ) cos(Ω+t)− 2 cos2(θ) cos(Ω−t)]

(2.25)

avec :

Ω0 =√e2 + 8α2, et Ω± =

e

2± Ω0

2(2.26)

La definition de U montre que la condition : |cn| = |in|, est respectee par ce systeme

quelque soit la valeur des parametres de controle. En revanche la commensurabilite

des valeurs propres, regie par l’equation :

nλ+ = mλ− n,m ∈ Z (2.27)

n’est a priori pas respectee. En injectant dans cette equation les expressions des

valeurs propres, on trouve la condition necessaire a une trajectoire periodique :

e =√

2|(n+m)|√−nm α (2.28)


avec bien entendu nm < 0. Les trois frequences d’evolutions composants le spectre

de ρ(t) peuvent alors toutes s’exprimer en fonction des parametres n etm : Ω+,0,− =√2−nm|n|, |m|, |n−m|. Seule les frequences reduites, c’est a dire la partie entiere

de ces frequences, sont importantes. Elles sont donnees par :

ω+ = |n| p+ = −1

2cos2 θ (2.29)

ω0 = |m| p0 = −1

2sin2 θ (2.30)

ω− = |n−m| p− = cos2 θ sin2 θ (2.31)

ou les p+,0,− sont les poids de chacune des frequences, directement tires de l’equa-

tion (2.25). Ces poids correspondent bien entendu aux differents produits cnincmim.

La condition reliant les paritees des frequences reduites aux signes de ces coeffi-

cients nous indique alors que pour avoir une evolution resonante il faut que n et

m soient tous les deux impairs.

Les coordonnees de la trajectoire restreinte ρ|φa〉,|φb〉 sont, en posant ~ = 1 pour

eviter de surcharger les expressions, donnees par :

Tab =

X (t) = cos2 θ cos(λ+t) + sin2 θ cos(λ−t)

Y (t) = cos2 θ sin(λ+t) + sin2 θ sin(λ−t)

Z(t) = 12(cos4 θ + sin2 θ − 1) + cos2 θ sin2 θ cos ((λ+ − λ−)t)

(2.32)

La periode de ces cycloıdes spheriques est atteinte quand les trois termes oscillants

composant la trajectoire se synchronisent. Il est facile de montrer que la valeur de

cette periode est :

τp =~|α|

√2|nm|π (2.33)

Afin d’illustrer les trajectoires resonantes nous donnons quelques exemples sur

la figure 2.3. Le parametre de controle est ici le rapport entre e/α qui selon sa

valeur donne une trajectoire periodique resonante ou au contraire une trajectoire

pseudo-periodique. Le controle e/α sur la valeur maximale de Pab(t) est represente


sur la figure 2.4. On y voit clairement apparaıtre des maximums qui correspondent

au cas resonants et des minimums qui correspondent au cas periodique mais non

resonants, c’est a dire lorsque la condition reliant les poids des frequences et leur

parite n’est pas respectee [49].

Fig. 2.3 – Probabilites Pab(t) et trajectoires dans la sphere de Bloch reduites soustendu par |φa〉 et |φb〉. Ces quatres cas sont resonants.

Fig. 2.4 – Les maximums,observes sur la variationde l’amplitude maximale dePab(t) en fonction du para-metre de controle e/α, cor-respondent au trajectoiresresonnantes pour les diffe-rentes valeurs de n et m [9].


4 · Conditions d’interference et d’anti-resonance de D(t)

Maintenant que nous connaissons les conditions pour que la trajectoire atteigne

completement un etat cible, il est tout naturel d’etudier les cas ou cette trajectoire

doit appartenir au sous-espace orthogonal a l’etat cible. Il faut donc pour cela que

la probabilite de presence Pab(τp) respecte :

Pab(τp) =N∑n=1

i2nc2n + 2

N−1∑n=1

N∑m>n

incnimcmcos(ωnmτp) = 0 (2.34)

Deux situations respectent cette condition : l’interference dynamique et l’antire-

sonance. Nous allons montrer que bien que la premiere constitue un phenomene

que nous n’avons pas encore rencontre, la deuxieme est similaire aux conditions de

resonances vu dans le paragraphe precedent.

a) Interference dynamique

Une situation respecte la condition (2.34) quelque soit t. En effet si l’etat initial

et l’etat cible appartiennent a deux sous-espaces propres orthogonaux, c’est a dire

si :

cnin = 0 ∀ n (2.35)

alors Pab(t) reste nulle au cours du temps. Cette configuration definit une relation

d’interference, appelee dans la suite interference dynamique, entre l’etat initial et

l’etat cible. Bien que ces deux etats soient physiquement relies dans la base locale

du systeme, la trajectoire ρ(t) ne peut atteindre l’un en etant partie de l’autre. Un

exemple bien connu est l’interferometre quantique dont le Hamiltonien est donne

par [25, 48] :

H =

|φ1〉 |φ2〉 |φ3〉 |φ4〉

. k k .k . . kk . . −k. k −k .

Les etats |φ1〉 et |φ2〉 bien que physiquement relies, verifient la relation (2.35). Pour


le montrer ecrivons la matrice de diagonalisation de H :

U =

|Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉 |Ψ4〉

0 −1/√

2 1/√

2 0

−1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 −1/2

−1/√

2 0 0 −1/√

2

〈φ1|〈φ2|〈φ3|〈φ4|

(2.36)

Les etats |φ1〉 et |φ4〉 se decomposent donc respectivement sur les sous-espaces

propres sous-tendu par |Ψ2〉, |Ψ3〉 et Ψ1〉, |Ψ4〉, et verifient donc la relation

(2.35). Les coordonnees et la representation de ρ|φ1〉,|φ4〉 sont donnees sur la figure

2.5. La trajectoire oscille donc entre son etat de depart et le centre de la sphere

restant sur l’axe qui relie ces deux etats. Elle reste donc orthogonale a |φ4〉 tout

au long de l’evolution.

T14 =

X (t) = cos2(kt)

Y (t) = 0

Z(t) = 0

Fig. 2.5 – Tra-jectoire associee aun interferometrequantique. Latrajectoire restedans le sous-espaceorthogonal a l’etatcible.


b) Antiresonance

Si les etats |ψa〉 et |ψb〉 ne verifient pas la condition d’interference dynamique,

la seule solution pour que la condition (2.34) soit respectee est que le temps τp soit

egal a la periode τ de la trajectoire, celle-ci devant donc etre periodique. En effet

la condition d’antiresonance, Pab(τp) = 0 equivaut a :∣∣∣∑N

n=1 cnine−iλnτp/~

∣∣∣2

= 0,

qui implique :

N∑n=1

cnine−iλnτp/~ = 0 (2.37)

En extrayant l’element n = m de la somme, et en decomposant en partie reelle et

partie imaginaire il vient :

−cmim =N∑

n=1,n6=mcnin cos(ωnmτp) (2.38)

0 =N∑

n=1,n6=mcnin sin(ωnmτp) (2.39)

Une solution de l’equation (2.39) est alors : ωnmτp = knmπ ∀ n,m. En reinjectant

cette condition dans (2.38) il vient :

N∑

n=1,n6=m(−1)xncnin + cmim = 0; (2.40)

xn prenant les valeurs 0 ou 1. Puisque 〈ψb|ψa〉 = 0, les coefficients cn et in respectent∑Nn=1 cnin = 0. Ainsi pour satisfaire (2.40) il suffit que :

cos(ωnmτp) = 1 ∀ n,m (2.41)

Cette equation signifie que τp est la periode de la fonction Pab(t). Les trajectoires

antiresonantes ne peuvent donc etre que des trajectoires periodiques revenant a

leur etat de depart, a un facteur de phase global pres.


5 · Consequences

Les conditions de resonances que nous venons de mettre en evidence imposent

des contraintes fortes sur la base propre et les valeurs propres du Hamiltonien du

systeme. L’application de ces conditions a des consequences sur les caracteristiques

des systemes quantiques pouvant presenter une trajectoire resonante entre deux

etat de leur base locale. La plus evidente, dictee par la condition (2.20), est que

deux etats ne peuvent etre resonant uniquement si’ils ont la meme energie [9].

D’autres consequences sont developpees ici.

a) Periodicite de la trajectoire

Une trajectoire ne peut etre resonante entre deux etats de la base locale uni-

quement si elle est periodique, les valeurs propres de H devant alors etre com-

mensurables entre elles. Tout comme la trajectoire d’un rayon enferme dans une

boite reflechissante [28], le caractere periodique des trajectoires quantiques est donc

soumis a des conditions de commensurabilite des parametres determinants de son

evolution.

Neanmoins il est tres simple de construire un Hamiltonien generant une trajec-

toire periodique. En effet tous les Hamiltoniens : H = USU†, ou les elements de

la matrice diagonale S sont commensurables, generent une telle trajectoire. Cette

trajectoire n’est pas pour autant resonante entre deux etats, la matrice de chan-

gement de base, U, ne verifiant pas forcement les conditions sur les coefficients cn

et in et la parite des frequences reduites.

Si en revanche seuls quelques elements de H sont modifiables, il devient extre-

mement difficile de rendre toutes les valeurs propres de H commensurables entre

elles. La plupart du temps, l’expression de ces valeurs propres n’est meme pas

connue, et seule leur localisation sur l’axe reel est possible par le biais d’ovales

de Cassini ou de cercles de Gerschgorin [30, 31, 32, 33]. Neanmoins meme en

connaissant les expressions des valeurs propres, le systeme d’equations diophan-

tiennes forme par leur quotients, est tres difficilement soluble [29]. Forcer ces valeurs

propres a etre commensurables entre elles reste un probleme difficile [32].


b) Relation de symetrie entre les etats resonants

Les equations reliant les coefficient cn et in au parites des frequences propres

reduites definissent une relation de symetrie entre l’etat initial et l’etat cible. En

effet la matrice, M definie par : c = M i est donnee par :

c1

c2

...

cN

=

±1 0 . . .

0 ±1. . .

.... . . . . . 0

0 ±1

i1

i2...

iN

(2.42)

ou le signe des elements est donne par la parite des frequences propres reduites.

Cette matrice est par definition une matrice de symetrie definie sur la base propre

de l’operateur H. Les deux etats sont donc symetriques par rapport a un plan

de symetrie de cette base propre. Cette relation s’avere tres interessante pour

trouver, si il existe, l’etat resonant d’un etat donne. Ainsi dans le cas du benzene,

qui presente des valeurs propres commensurables, la matrice de symetrie des etats

resonants dans la base propre du systeme est donnee par :

M =

|Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉 |Ψ4〉 |Ψ5〉 |Ψ6〉

1 0 0 0 0 0

0 −1 0 0 0 0

0 0 −1 0 0 0

0 0 0 −1 0 0

0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 1

(2.43)

l’etat resonant, |φ1〉 associe l’etat de la base locale, |φ1〉 est alors donne par :

|φ1〉 = UMU†|φ1〉 = −1

3|φ1〉+

2

3(|φ3〉+ |φ5〉) (2.44)

ou U est la matrice de changement de base formee par les vecteur propres du

benzene.


C - Controle de la frequence Ω

La frequence effective d’evolution, Ω, entre les deux etats |ψa〉 et |ψb〉 est la

composante dominante de la projection de ρ(t) dans la direction ρb de l’espace de

Hilbert du systeme [9]. C’est donc la composante de poids fort de la transformee

de Fourier :

F(w) =

∫ ∞

−∞ρbρ(t)ρb e

−iwtdt (2.45)

Pour l’etude de la frequence effective d’evolution, il est tres utile de construire

un Hamiltonien effectif qui ne prend en compte que cette composante dominante.

De nombreuses techniques, basees sur les transformations de Bloch [46] ou de

des Cloizeaux [47], ont ete proposees pour la formulation d’Hamiltonien effectif

[24, 37, 38, 39, 40, 41, 42]. Une formulation simple de cet Hamiltonien effectif est

presentee ici et est mise en relation avec la transformee de Fourier de la fonction

Pab(t). La resolvante, ou fonction de Green, G, du Hamiltonien permet egalement

la formulation d’un Hamiltonien effectif [43, 44, 45]. Cette methode est exposee

ensuite et la comparaison entre les deux methodes montre clairement que pour un

systeme donne, ces deux Hamiltoniens effectifs sont identiques loin des singularites

de G. La forme particulierement simple du Hamiltonien effectif obtenue a partir

de G, permet l’etude de phenomenes interessants a travers l’analyse des proprietes

de l’operateur de deplacement Rab(z) [43].

1 · Calcul de Ω par filtrage de Fourier

La relation entre Ω et Pab(t) vient naturellement en developpant le terme

ρbρ(t)ρb dans l’equation (2.45). Il vient alors :

F(w) =( ∫ ∞

−∞Pab(t) e−iwtdt

)|ψb〉〈ψb| (2.46)

La frequence effective d’oscillation est donc le terme dominant dans la transformee

de Fourier de la probabilite de presence Pab(t).

C -. CONTROLE DE LA FREQUENCE Ω 33

a) Critere de Bloch

L’expression (2.17) de Pab(t) est la serie de Fourier d’une fonction presque

periodique. Le terme,∑

n c2ni

2n en est la valeur moyenne et nous avons vu que le

terme :

pωnm = cnincmim = 〈ψa|Pn|ψb〉〈ψb|Pm|ψa〉 (2.47)

ou Pk = |Ψk〉〈Ψk|, est le poids de la frequence ωmn. Selon le critere de Bloch, la

frequence dominante, Ω, est alors donne par la difference des deux valeurs propres

qui maximisent pωnm [46].

b) Oscillation Effective

L’oscillation effective, lissant la fonction Pab(t), est une oscillation de Rabi [2]

dont l’expression est :

Peff(t) = Aeff sin2(Ωt) (2.48)

ou Ω est la frequence effective d’evolution, determinee grace au critere de Bloch

et Aeff l’amplitude des oscillations effectives. La valeur de Aeff est donnee par

l’amplitude maximale que peut atteindre Pab(t) :

Aeff = sup(Pab(t)

)=

N∑n=1

c2ni

2n + 2

N−1∑n=1

N∑m=n+1

|cnincmim| (2.49)

c) Hamiltonien Effectif

Le Hamiltonien, qui genere l’evolution (2.48), est un Hamiltonien effectif de

dimension deux uniquement supporte par les deux etats |ψa〉 et |ψb〉. La fonction

Pab(t) d’un systeme a deux etats s’ecrit :

P(t) =4α2

a2 + 4α2sin2

(√a2 + 4α2

2t

)(2.50)

ou a est la difference en energie de ces deux etats et α le couplage qui les relie. En

egalant les expressions (2.48) et (2.50) on obtient :


a = Ω(1− Aeff)1/2 α = A1/2eff

Ω

2(2.51)

Le Hamiltonien effectif generant les oscillations effectives entre |ψa〉 et |ψb〉 et

donnees par (2.48) peut donc se mettre sous la forme :

Heff =

|ψa〉 |ψb〉( )0 A

1/2eff

Ω2

A1/2eff

Ω2

Ω(1− Aeff)1/2(2.52)

Cette methode de construction d’un Hamiltonien effectif, basee sur l’analyse

de Fourier du systeme, est equivalente a la transformation de Bloch, et permet un

lissage precis de la trajectoire, a la seule condition qu’une des frequences composant

le spectre de Pab(t) ait un poids plus important que les autres. Comme nous allons

le voir, les parametres du Hamiltonien permettent d’augmenter la valeur Ω ou au

contraire de la diminuer jusqu’a l’annuler.

d) Application a un systeme a trois etats

Pour illustrer le filtrage de Fourier et l’influence des parametres de controle sur

Ω, etudions le systeme a trois etats deja rencontre au chapitre 2-B.4. Pour per-

mettre une oscillation entre l’etat initial et l’etat cible lorsque α = 0, un couplage

direct, µ, est introduit entre ces deux etats. Le Hamiltonien du systeme est alors :

H =

|φa〉 |φc〉 |φb〉( )0 α µα e αµ α 0


Les valeurs propres et les vecteurs propres de ce systeme peuvent s’ecrivent comme :

λ0 = −µλ± = 1

2

((e+ µ)±√∆

) U = 1√2

|Ψ+〉 |Ψ0〉 |Ψ−〉

cos θ 1 sin θ

cos θ −1 sin θ√2 sin θ 0 −√2 cos θ

〈φa|〈φb|〈φc|

avec ∆ = (e−µ)2+8α2 et cos θ =

√12

+ |e−µ|2√

(e−µ)2+8α2. Connaissant ces expressions,

le calcul de Pab(t) peut se faire directement par application du theoreme spectral :

Pab(t) = 1/4[1 + cos4(θ) + sin4(θ)

+ 2 cos2(θ) sin2(θ) cos(Ω0t)

− 2 sin2(θ) cos(Ω+t)− 2 cos2(θ) cos(Ω−t)]

(2.53)

avec : Ω0 =√

(e− µ)2 + 8α2 et Ω± = e+3µ2± Ω0

2.

A partir de (2.53) les poids de chacune des trois frequences sont faciles a determi-

ner :

pΩ0 =1

2cos2(θ) sin2(θ) pΩ+ =

1

2sin2(θ) pΩ− =

1

2cos2(θ) (2.54)

D’apres ces equations, la frequence dominante est soit Ω+ soit Ω− selon la valeur

de θ. De plus, puisque l’etat initial et l’etat cible ont la meme energie, l’amplitude

Aeff est ici egale a 1. L’oscillation effective est alors donnee par : Peff(t) = sin2(Ωt).

La variation de Ω en fonction de la valeur des parametres e et µ et avec α = 1, est

representee sur la figure 2.6. Il apparaıt clairement sur cette figure, des points ou

Ω s’annule et des sauts brusques, qui correspondent a un changement de couple

de valeurs propres dominantes. Au voisinage de ces sauts deux frequences ont

des poids similaires et des battements apparaissent dans Pab(t). Des exemples de

trajectoires ainsi que leur trajectoires effectives sont representees sur la figure 2.7.


Fig. 2.6 – Variation de Ωen fonction de µ pour diffe-rentes valeurs de e (eV) etpour α = 1 eV . En fonctionde la valeur des differentsparametres de controles ilest possible d’annuler Ω ouau contraire de faire oscil-ler rapidement la trajectoiredans la direction de ρb.

a1) a2)

b1) b2)

Fig. 2.7 – Population Pab(t)(noir sur l’evolution tempo-relle et rouge sur les spheresde Bloch reduites) et trajec-toire effective (bleue) pourle systeme a trois etats. Lesfigures a1) et a2) illustrentun cas ou la trajectoire estresonante entre l’etat initialet l’etat cible. Pour les deuxautres figures cette trajec-toire est aperiodique.

2 · Calcul de Ω par filtrage de Green

Pour l’etude des trajectoires generees par un Hamiltonien du type H = H0 +V ,

ou V est une perturbation appliquee sur H0, il est utile d’introduire la resolvante,

ou fonction de Green du systeme, G(z), definit comme [43] :

G(z) =1

z −H (2.55)

ou z est complexe. L’operateur d’evolution, U(t) s’exprimant par une integrale de

contour simple de G(z), les proprietes de cette fonction sont de premiere importance


dans le controle de la trajectoire du systeme. De plus, comme nous allons le voir, la

restriction de cet operateur a un sous espace d’interet permet l’expression compacte

du Hamiltonien effectif.

a) Hamiltonien effectif issue de la restriction de G(z)

Definissons deux projecteurs P = |ψa〉〈ψa|+ |ψb〉〈ψb| et Q =∑

i6=a,b |ψi〉〈ψi| et

appelons E0 le sous-espace sous-tendu par les etats |ψa〉, |ψb〉. La restriction de

G(z) sur E0 s’ecrit comme :

PG(z)P =P

z − PH0P − PR(z)P(2.56)

ou R(z) est l’operateur de deplacement definit comme [43] :

R(z) = V + VQ

z −QH0QV + V

Q

z −QH0QV

Q

z −QH0QV + . . . (2.57)

L’operateur, PG(z)P , est la resolvante du Hamiltonien effectif de Lodwin :

Heff = PH0P + PR(z)P (2.58)

Cet operateur est uniquement defini sur les deux etats qui sous tendent E0. L’os-

cillation a travers ce sous-espace est donc une oscillation de Rabi dont la frequence

est donnee par la difference des deux valeurs propres de Heff. De plus si |ψa〉 et

|ψb〉 n’interagissent pas directement au travers de H0, le couplage effectif entre ces

deux etats est assure par l’element Rab(z) = 〈ψa|R(z)|ψb〉.

Deux approximations peuvent etre faite ici afin de faciliter le calcul de Ω.

La premiere, justifiee si V est suffisamment petit devant H0, consiste a tronquer

cette serie, par exemple au deuxieme ordre : R(z) ' V + V Qz−H0

V . La deuxieme

approximation consiste a negliger la dependance en energie de l’operateur R(z). En

effet si les etats qui sous tendent E0 ont la meme energie, E, il est courant d’ecrire :

R(z) ' limη→0R(E + iη). Sous ces deux conditions le Hamiltonien effectif (2.58)

est donne par :


Heff = PH0P + PV P + limη→0

PV Q1

E + iη −QH0QQV P (2.59)

Cet Hamiltonien effectif peut egalement etre obtenu a partir de l’equation de

Schrodinger dependante du temps. Il suffit pour cela d’introduire l’approximation :(QΨ(t)

) ' e−iEt/~(QΨ(0)

), valable si V est suffisamment faible, dans la projection

de l’equation de Schrodinger dependante sur le sous espace E0.

b) Expression de Ω

En developpant (E + iη − QH0Q)−1 en fonction de sa matrice d’adjacence et

de son determinant, (2.59) devient :

Heff = limη→0

1

det (E + iη −QH0Q)

(haa hab

hba hbb

)(2.60)

avec : hij = 〈ψi|PV adj (E + iη −QH0Q)V P |ψj〉. La frequence effective d’oscil-

lation, donnee par la difference des deux valeurs propres de (2.60) s’ecrit alors

comme :

Ω = limη→0

Adet (E −QH0Q± iη)

(2.61)

ou A =√

(haa − hbb)2 + 4|hab|2. En utilisant l’equation de Dirac-Plomelj :

1

x± iη = P(1

x)∓ iπδ(x) (2.62)

ou P est la partie principale, et puisque det(E−QH0Q±iη) ' det(E−QH0Q)±iη,

la frequence d’oscillation effective peut s’ecrire simplement comme :

Ω = P( A

det(E −QHQ)

)∓ iπδ

(det(E −QHQ)

A)

(2.63)

On voit clairement apparaıtre ici la presence de singularites, provenant des poles

de la fonction de Green dans l’expression de Ω [43].


3 · Comparaison des filtrages de Green et de Fourier

Pour etudier les differences entre les filtrages de Fourier et de Green, appliquons

ces deux techniques sur l’exemple simple d’un systeme a trois etats. Supposons que

les etats |φa〉 et |φb〉 soient de meme energie et faiblement couples a l’etat central

|φc〉. Le Hamiltonien est alors :

H =

|φa〉 |φb〉 |φc〉

E 0 ε

0 E ε

ε ε e

(2.64)

Le calcul des Hamiltoniens effectifs de Fourier et de Green mene a :

HFeff =

|E − e| −√

(E − e)2 + 8ε2

4

|φa〉 |φb〉( )0 1

1 0(2.65)

HGeff = lim

η→0

ε2

E − e± iη

|φa〉 |φb〉( )0 1

1 0(2.66)

Si ε¿ E − e, le prefacteur de HFeff peut etre developpe comme :

|E − e|4

− |E − e|4

(1 + 4

ε2

(E − e)2

)= − ε2

|E − e| (2.67)

Dans ce cas les deux Hamiltoniens effectifs sont ,au signe pres, identiques. Par

consequent lorsque E est loin des valeurs propres de QHQ, le Hamiltonien effectif

de Green converge vers celui de Fourier. Si par contre E = e, le prefacteur de

HFeff devient 2

√2ε, alors qu’en ce meme point, HG

eff presente une singularite. Ce

phenomene, appele resonance frequentielle, sera aborde plus en detail dans la sec-

tion suivante. En conclusion, comme represente sur la figure 2.8, le Hamiltonien

de Green converge vers celui de Fourier tant que E reste loin de l’energie, e, de

l’etat central et s’en ecarte fortement des que ces deux valeurs sont proches.


Fig. 2.8 – Representa-tion logarithmique desfrequences effective d’os-cillation ωF et de GreenωG d’un systeme a troisetats, calculees par fil-trage de Fourier et deGreen pour E = 0 etε = 10−3, en fonction del’energie du niveau cen-tral .

4 · Interferences et resonances frequentielles

Pour que le controle en frequence soit efficace, les parametres de controles

doivent pouvoir annuler Ω ou au contraire la rendre maximale. Outre les inter-

ferences destructives introduites brievement au chapitre 2-B-3, deux phenomenes

sont particulierement interessants : les interferences et les resonances frequentielles.

Ces phenomenes sont etudies ici pour le systeme modele :

H =

|Ψa〉 |Ψb〉 |φ1〉 |φ2〉 . . . |φN〉

Ea 0 ε1 ε2 . . . εN0 Eb µ1 µ2 . . . µNε1 µ1 e1 0

ε2 µ2 0 e2. . .

......

. . . . . . 0εN µN 0 eN

les couplages εi et µi forment le terme perturbatif V , modelisant les interactions

entre les etats lateraux |Ψa〉 et |Ψb〉 au travers du systeme central diagonal.


a) Interference dynamique : factorisation de Rab(z)

Nous avons deja brievement rencontre le phenomene d’interference dynamique

au travers de l’interferometre quantique. Ce phenomene peut etre etudie de ma-

niere plus generale par l’etude des conditions necessaires pour annuler Rab(z). La

perturbation V n’est pas ici consideree comme etant suffisamment faible, pour que

la serie (2.57) puisse etre tronquee a son ordre le plus bas. Tous les termes de

R(z) sont donc pris en compte. Comme nous allons le montrer, Rab(z) peut dans

certain cas etre factorise. La demonstration de cette propriete, bien que longue,

ne presente aucune difficulte, nous n’en faisons donc qu’une breve description. En

inserant la relation de fermeture sur les etats propres de H0, puis en regroupant

les termes ou apparaissent n fois les denominateurs en 1/(z − Ea) ou 1/(z − Eb),Rab(z) peut s’ecrire comme :

Rab(z) =N∑η=1

Vaη1

z − eηVηb +∑

i=a,b

1

z − EiN∑

η,µ=1

(Vaη

1

z − eηVηi)(Viµ

1

z − eµVµb)

+∑

i,j=a,b

1

z − Ei1

z − EjN∑

η,µ,ν=1

(Vaη

1

z − eηVηi)(Viµ

1

z − eµVµj)(Vjν

1

z − eν Vνb)

+ . . . (2.68)

ou Vaη = εη et Vbη = µη. Supposons maintenant que tout les etats centraux pre-

sentent la meme energie : eη = e, le terme d’ordre le plus bas de la serie de

perturbation peut alors se factoriser donnant :

Rab(z) =S

z − e∑η

VaηVηb (2.69)

ou S est la somme des ordres de perturbation. Il est dans ce cas suffisant d’annuler

le terme∑

η VaηVηb pour annuler le couplage effectif entre les deux etats |Ψa〉 et

|Ψb〉. Cette structure particuliere de systeme quantique, permet alors un controle

simple de la presence ou l’absence d’interference dynamiques. De plus, les energies

des etats |Ψa〉 et |Ψb〉, n’intervenant que dans S, ces interferences persistent quelque

soit la valeur des Ei.


b) Interference locale : zeros du premier ordre de Rab(E ± iη)

Lorsque la perturbation V est suffisamment faible, la serie de perturbation

(2.57) converge rapidement et seul le premier ordre peut etre garde. L’expression

de Rab(E ± iη) est alors simplement donnee par :

Rab(E ± iη) =∑i

Vai1

E − eiVib =1∏

i(E − ei)∑i

VaiVib∏

j 6=i(E − ej) (2.70)

Une interference est alors obtenue lorsque E annule la fonction :

rab(E) =∑

i VaiVib∏

j 6=i(E−ej). Ces zeros determinent donc des valeurs precises de

l’energie E pour lesquelles le couplage effectif entre les etats |Ψa〉 et |Ψb〉 s’annule,

menant ainsi a une interference entre ces deux etats. Neanmoins, contrairement aux

interferences dynamiques, les interferences etudiees ici n’apparaissent uniquement

que pour certaines valeurs de E bien precise.

c) Resonance frequentielle : poles de Rab(E ± iη)

En appliquant la relation de Dirac-Plomelj sur le premier ordre de Rab(E± iη),

il vient :

Rab(E ± iη) =∑n

P( VanVnbE − en

)∓ iπδ

(E − enVanVnb

)(2.71)

ou P(x) symbolise la partie principale de x. Supposons que e1 puisse varier.

Lorsque e1 6= E, la frequence effective d’oscillation sera proportionnelle a la partie

principale de (2.71) alors qu’elle presentera une singularite lorsque e1 = E [43].

Dans la meme situation, le filtrage de Fourier permet, au travers de l’etude pertur-

bative du systeme modele traite ici, d’obtenir une valeur approchee de Ω donnee

par : Ω(E) = ω−H(E − e1) + ω+H(e1 − E), ou H(x) la fonction de Heavyside et

ou les frequences ω− et ω+ s’ecrivent comme :


ω± =

∣∣∣±√

2ε1 +∑N

k=2

ε2kE−ek±

√2ε21

∣∣∣ si E = e1

∣∣∣ ∑Nk=1

ε2kE−ek

∣∣∣ si E 6= e1

(2.72)

Il est alors clair que dans le cas ou E = e1 la frequence effective d’oscillation est

proportionelle a ε1 et qu’elle est proportionnelle a ε21 lorsque E 6= e1. Puisque par

hypothese ε1 ¿ 1 le rapport entre cette frequence dans le cas resonnant et dans

le cas non resonnant est de ε−11 et peut donc devenir gigantesque a mesure que ε1

diminue.

d) Application a un oscillateur harmonique

Pour illustrer les concept d’interference localisees en energie et de resonances

frequentielles, etudions le cas ou le systeme central est un oscillateur harmonique

dont les energies sont donnees par en = (n + 12)~ω0. De plus nous supposons que

tous les termes de V sont egaux donnant εi = µi = ε. Dans ce cas l’operateur de

deplacement peut se mettre sous la forme :

Rab(E) =ε2

∏Ni=1(E − ei)

N−1∑

k=0

(−1)k(N − k)Sk(e1, . . . , eN)EN−1−k (2.73)

ou Sk(e1, . . . , eN) est le k-ieme polynome symetrique elementaire des variables

e1, . . . , eN. Les resonances frequentielles, correspondant aux poles de cette fonc-

tion, sont alors donnes par : E = (n + 12)~ω0. Dans ce cas, comme represente sur

la figure 2.9, la frequence effective d’oscillation passe par un maximum. Les inter-

ferences locales, correspondent a Rab(E) = 0. Les solutions de cette equation sont

par exemple dans le cas N = 4 :

E0 =5

4~ω0 et E± =

(5

4±√

5

4

)~ω0 (2.74)

Si E prends une de ces trois valeurs, la frequence effective d’oscillation s’annule

menant a une interference localisee en energie (voir figure 2.9). Pour apprecier la


presence des ces poles et de ses interferences, la frequence effective d’oscillation

peut etre calculee en faisant varier la valeur du parametre E. Selon cette valeur la

valeur de la frequence effective passe par des maxima lorsque E est egal a l’ener-

gie d’un des etats propres du systeme central et s’annule des qu’elle est egale a

une des racines de Rab(E). Calculant cette frequence effective selon la methode

de Fourier et de Green, cet exemple permet egalement d’apprecier les singulari-

tes que cette derniere methode engendre aux points de resonances frequentielles

ainsi que le changement de couple de valeurs propres dominantes qui engendre les

discontinuites de Ω a ces points.

Fig. 2.9 – Evolution de la frequence effective d’oscillation en fonction de la valeurde E pour un systeme diagonal modele ou le systeme central est un oscillateurharmonique comportant 4 etats propres (noir : filtrage de Fourier, bleu : filtragede Green). Les resonances frequentielles sont bien donnees pour E = en, et lesinterferences localisees en energies pour une energie annulant le terme d’ordre 1 dela serie de perturbation de Rab(E).

D -. CONCLUSION 45

D - Conclusion

La possibilite de controler la trajectoire d’un systeme quantique dans son es-

pace des etats a ete demontree clairement dans ce chapitre. Deux caracteristiques

peuvent ainsi etre controlees : la distance, D(t), entre ρ(t) et un etat cible a un

temps donne, ou la frequence effective d’oscillation, Ω, de ρ(t) dans la direction

de l’etat cible. Les solutions de controle de D(t) et Ω developpees lors de ce cha-

pitre vont etre utilisees dans les chapitres suivant pour implanter des fonctions

Booleennes. Ainsi les conditions de resonance et d’anti-resonance seront utilisees

au chapitre 4 pour implanter de telle fonctions dans des systemes controles en dis-

tance. Les interferences dynamiques seront quant a elles mise a profit au chapitre

5, ainsi que les phenomenes d’interference locale et de resonance frequentielle.


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50 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 3

Perturbation des trajectoires

Les systemes quantiques que nous avons etudies jusqu’a present etaient sup-

poses totalement isoles de toute perturbation. Toute modification du systeme va

modifier sa trajectoire et perturber son controle, que ce dernier soit effectue en dis-

tance ou frequence. Deux types de perturbations paraissent alors particulierement

importantes : une perturbation interne, qui modifie les parametres du Hamiltonien

et une perturbation externe, qui inclut les interactions que le systeme peut avoir

avec son environnement.

A - Perturbations internes du Hamiltonien

Le Hamiltonien d’un systeme perturbe par une source de bruit d’amplitude η,

peut s’ecrire comme [1] :

Hη = H0 + ηN (3.1)

ou H0 est le Hamiltonien non perturbe du systeme. Dans le cas le plus general,

N est une matrice hermitienne dont les elements sont aleatoires et suivent une

distribution donnee. Ce cas general ne peut-etre etudie analytiquement. Supposons

alors que cet operateur commute avec H0 : [H0,N ] = 0, alors seule les valeurs

propres de H0 sont perturbees mais pas ses vecteurs propres. Le Hamiltonien peut

alors s’ecrire sur sa base propre comme :

51

52 CHAPITRE 3. PERTURBATION DES TRAJECTOIRES

Hη =N∑n=1

(λn + ηsn)|Ψn〉〈Ψn| (3.2)

ou |Ψn〉 et λn sont respectivement le n-ieme etat propre et la n-ieme valeur propre

de H0 et sn une variable aleatoire continue qui suit la densite de probabilite de

N . Dans ce cas tres particulier, l’etude de Dη(t) et Ωη est relativement simple,

l’esperance de ces grandeurs etant donnee par une integrale multiple. Cette etude

est presentee ici pour une densite de probabilite uniforme sur [−π, π]. Une etude

numerique donne egalement une evaluation de ces esperances dans le cas plus

general ou N ne commute pas avec H0. Deux sources de bruits sont alors etudiees :

une, notee Ndiag, qui ne perturbe que les elements diagonaux de H0, et l’autre,

Nnon-diag, ne perturbant que ses elements non diagonaux. Le Hamiltonien est dans

ce cas donne par :

Hη1,η2 = H0 + η1Ndiag + η2Nnon-diag (3.3)

Cette etude numerique ne pouvant se mener uniquement que sur un systeme parti-

culier ne sera pas presentee mais sera par contre utilisee dans les chapitres suivant.

1 · Perturbation sur le controle de D(t)

Sous l’influence d’un bruit commutatif, la probabilite de presence Pab(t) est

exprimee simplement en injectant dans son expression les valeurs propres de Hdonnees par (3.2). On trouve alors :

Pab(t) =N∑n=1

c2ni

2n + 2

N−1∑n=1

N∑m=n+1

cncminim cos [(λn − λm)t+ (sn − sm)t] (3.4)

A -. PERTURBATIONS INTERNES DU HAMILTONIEN 53

a) Calcul de E(Pab(t)

)

L’esperance E(Pab(t)

)se calcule simplement, a partir des densites de probabi-

lites, fn, des variables aleatoires sn, par :

E(Pab(t)

)=

∫ ∞

−∞ds1

∫ ∞

−∞ds2 . . .

∫ ∞

−∞dsN f1(s1)f2(s2) . . . fN(sN)Pab(t) (3.5)

Bien que d’autre densites soient envisageables, nous allons mener les calculs de

cette integrale multiple pour une densite de probabilite uniforme sur [−π, π]. Le

calcul de E(Pab(t)

), bien que long (voir Annexe B), mene a :

E(Pab(t)

)= K + 2sinc2(πηt)Q (3.6)

avec :

K =N∑n=1

c2ni

2n et Q =

N−1∑n=1

N∑m=n+1

cncminim cos((λn − λm)t) (3.7)

Bien entendu si η = 0 l’esperance E(Pab(t)

)= K + 2Q = Pab(t), ce qui signifie

que le trajectoire n’est pas perturbee. De plus, l’esperance du cas limite ou ηt tend

vers l’infini est donnee par :

limηt→∞

E(Pab(t)

)= K =

N∑n=1

c2ni

2n (3.8)

Ce terme, compris entre 0 et 1/2, reflete les differences entre les etats initiaux pos-

sibles vis-a-vis de la perturbation etudiee ici. Les etats les moins sensibles au bruit

sont ceux qui maximisent K, donc ceux pour lesquels la quantite |〈Ψ(0)|Ψp〉|2, ou

|Ψp〉 est un etat propre du systeme, est maximale.

b) Perturbation d’un systeme a 3 etats resonnant

Pour illustrer l’effet d’une telle perturbation, etudions l’influence d’un bruit

commutatif sur le systeme a trois etats resonants etudies au chapitre 2.B-4. Selon

(3.1), le Hamiltonien du systeme perturbe s’ecrit :


H =

|φa〉 |φc〉 |φb〉

0 α 0

α 0 α

0 α 0

+ η U

|Ψ+〉 |Ψ0〉 |Ψ−〉

s+

s0

s−

U† (3.9)

ou la matrice U est la matrice diagonalisant le Hamiltonien non perturbe, les si,

trois nombres aleatoires pris dans l’intervalle [−π;π] et η, l’amplitude de la source

de bruit. Selon la valeur η, la trajectoire est plus ou moins deformee. Les trajectoires

de ce systeme soumis a differentes amplitudes de bruit sont representees, pour un

meme temps d’evolution, sur la figure 3.1 pour α = 1 eV . Des que l’amplitude

de la source de bruit est differente de zero la trajectoire s’ecarte de celle generee

par H0, passant neanmoins pres de l’etat cible lorsque η ¿ α. Attribuant une

nature thermique a cette perturbation, et puisque η doit etre superieur a 10−2 eV

pour devier fortement la trajectoire des les premieres oscillations, ce systeme est

faiblement perturbe pour des temperatures allant jusqu’a 150 K.

Fig. 3.1 – Deformation de la trajectoire d’un systeme a trois etats tracee pour desvaleurs croissantes de η : η = 0, 10−2, 10−1 et 1 eV .

A -. PERTURBATIONS INTERNES DU HAMILTONIEN 55

2 · Perturbation sur le controle de Ω

Puisque les vecteurs propres du Hamiltonien ne sont pas modifiees par la source

de bruit commutative, si la frequence principale d’evolution non perturbee est

donnee par :

Ω0 = |λi − λj| (3.10)

alors, puisque les poids des frequences ne sont pas modifies, la frequence principale

d’evolution perturbee est :

Ω = |(λi + ηsi)− (λj + ηsj)| (3.11)

Une estimation de la variation de Ω en fonction de η peut etre obtenue grace au

theoreme de Hellmann-Feynmann [2, 3, 4]. Appliquant ce theoreme sur le Hamil-

tonien (3.1), il vient :

dΩ(η)

dη= |dλi(η)

dη− dλj(η)

dη| = |si − sj| (3.12)

Ω varie donc lineairement en fonction du bruit applique sur les deux valeurs propres

dominante. Ainsi le controle en frequence apparaıt deja plus robuste que celui

en distance. Nous allons voir que le calcul exact de E(Ω

)confirme ce resultat

preliminaire. L’esperance de Ω dans le cas d’une densite de probabilite uniforme

est donnee par :

E(Ω

)=

1

(2π)2

∫ π

−πdsi

∫ π

−πdsj|(λi − λj) + η(si − sj)| (3.13)

Le calcul de cette integrale, mene dans l’annexe B, donne :

E(Ω

)= Ω0 +

1

(2π)2H(2πη − Ω0)

(1

3η2(2ηπ − Ω0)3

)(3.14)

ou H(x) est la fonction de Heavyside de la variable x. Il y a donc un seuil d’intensite

de bruit, donne par Ω0

2π, en dessous duquel E

(Ω

)= Ω0. Par consequent, les hautes

frequences sont moins perturbees que les basses.


3 · Comparaison

L’etude analytique de l’esperance de D(t) et de Ω permet une comparaison de

la robustesse de ces deux quantitees vis a vis du meme type de perturbation, et ce

quelque soit le systeme etudie [5].

La fonction (3.6), donnant l’esperance de D(t), devie rapidement de sa valeur

initiale pour atteindre sa limite, donnee par K, pour η = ~πt

. Cette valeur de η

depend donc du temps t auquel est fait la mesure. L’ordre de grandeur de ce temps

d’evolution depend bien entendu de la nature du systeme et peut etre de l’ordre de

la micro- [23], de la nano- [24] jusqu’a la picoseconde [25], comme nous le suppo-

sons ici. Pour un temps d’evolution de cet ordre de grandeur, la valeur de η pour

laquelle l’esperance atteint sa limite est alors environ de 10−2 eV .

L’equation (3.14), donnant elle l’esperance de Ω, devie de sa valeur initiale uni-

quement lorsque η < ~Ω0

2π, soit 10−4 eV lorsque Ω0 = 1 TeraHz. Cette deviation se

fait alors selon une asymptote lineaire donnee par 23πη. La variation de Ω selon η

est donc bien plus lente que celle de D(t).

Pour que les deux types de controle soient aussi sensibles a une source de bruit

commutative, il faut que le temps d’evolution t = τp soit suffisamment petit pour

que la fonction (3.6) atteigne son minimum quasiment en meme temps que (3.14).

Pour cela il faut que : ~πτpÀ ~Ω0

2π, ce qui mene a : τp ¿ (Ω0

2)−1. Il faut donc que

la periode d’evolution de la trajectoire controlee en distance soit bien plus grande

que celle de la trajectoire controlee en frequence. Pour osciller aussi rapidement, la

trajectoire controlee en distance doit evoluer a une energie bien superieure a celle

controlee en frequence. Dans le cas ou les deux trajectoires evoluent a des energies

comparables, les trajectoires controlees en frequence sont donc plus stables vis a

vis d’une source de bruit commutatif que les trajectoires controlees en distance

quelque soit le systeme.

B -. PERTURBATIONS DUES A L’ENVIRONNEMENT 57

B - Perturbations dues a l’environnement

1 · Modele de Fano

De nombreux modeles ont ete proposes pour etudier l’effet de l’environnement

sur la trajectoire d’un systeme quantique [6, 7, 8] avec parfois pour but de repondre

au probleme pose par la mesure dans la theorie quantique [9, 10, 11, 12]. Nous

n’utiliserons ici que le modele de Fano [13, 14, 16, 15, 17, 18]. Pour etudier ce

modele, prenons tout d’abord un systeme a deux niveaux dont le Hamiltonien non

perturbe est :

H0 =

(E1 α

α E1

)(3.15)

le continuum est modelise dans le modele de Fano par une infinite d’etats n’inter-

agissant pas entre eux et energetiquement separes les uns des autres de la quantite

δ. Le Hamiltonien du systeme (3.15), une fois en interaction avec ce continuum,

est alors donne par :

H =

E1 α v1 v1 v1 v1 v1 . . .

α E2 v2 v2 v2 v2 v2 . . .

v1 v2 0 . . . .

v1 v2 . +δ . . .

v1 v2 . . −δ . .

v1 v2 . . . +2δ .

v1 v2 . . . . −2δ...

.... . .

(3.16)

Ce quasi-continuum se mue en “vrai continuum” dans la limite δ → 0. La deriva-

tion d’un Hamiltonien effectif uniquement defini sur le sous-espace de H0 et dont

l’evolution est exacte pour des temps d’evolution inferieurs au temps de recurrence

de Poincare τ = 2π~/δ, aboutit a [17, 18] :

Heff =

(E1 α

α E2

)− i

2

(Γ1

√Γ1Γ2√

Γ1Γ2 Γ2

)(3.17)


avec :

Γ1 = 2πv2

1

δΓ2 = 2π

v22

δ(3.18)

Ce modele est generalisable au cas ou le systeme non perturbe comporte un nombre

arbitraire d’etats, qui interagissent avec differents continuums. Le Hamiltonien

effectif est alors donne par [18] :

Heff = H0 − i

2

∑n

Γn (3.19)

ou Γn modelise les interactions des etats du systeme avec le n-ieme continuum.

Les elements de Γn etant toujours donnes par :

Γ(n)ij =

2π

δvi,nvj,n (3.20)

Ce modele prenant en compte differents continuum sera utilise au chapitre 6 pour

deriver l’expression du coefficient de transmission electronique d’un systeme inter-

agissant avec plusieurs electrodes.

2 · Trajectoires

Reprenons le systeme a deux etats utilise pour illustrer le modele de Fano avec

la condition Ea = Eb = 0. Le Hamiltonien effectif de ce systeme est donne par

(3.17) :

Heff =

(−iΓ1

2α− iΓ12

2

α− iΓ12

2−iΓ2

2

)(3.21)

Ses valeurs propres s’ecrivent comme :

λ± =1

2

[−i2

(Γ1 + Γ2)±√(−i

2(Γ1 − Γ2)

)2+ 4

(α− i

Γ12

2

)2

](3.22)

a) Couplage direct entre les deux etats et le continuum

Dans le cas, represente sur la figure 3.2a, ou les deux etats interagissent de

maniere identique avec le continuum, c’est a dire quand Γ1 = Γ2 = Γ12 = Γ, les

valeurs propres et les vecteurs propres du systeme deviennent :

B -. PERTURBATIONS DUES A L’ENVIRONNEMENT 59

λ− = α− iΓλ+ = −α

U =

|Ψ+〉 |Ψ−〉( )1√2

1√2

1√2− 1√

2

〈φa|〈φb|

(3.23)

La resolution directe de l’equation de Schrodinger donne :

Pab(t) =1

4

(1 + e−2Γt − 2e−Γt cos(2αt)

)(3.24)

Ainsi dans ce cas precis, meme apres un temps d’evolution infini, la probabilite de

trouver le systeme dans l’etat cible reste de 1/4. La trajectoire representee sur la

figure 3.2b n’atteint donc pas le centre de la sphere.

b) Couplage indirect entre un des deux etats et le continuum

Traitons maintenant le cas, represente sur la figure 3.2c, ou Γ1 = Γ12 = 0 et

Γ2 = Γ. Dans une telle situation les valeurs propres et les vecteur propres s’ecrivent

comme :

λ± =1

2

[±

(4α2 − Γ2

4

)1/2

− iΓ2

]U =

|Ψ+〉 |Ψ−〉( )1√2

1√2

λ+

α√

2

λ−α√

2

〈φa|〈φb|

(3.25)

La probabilite de presence Pab(t) se calcule en resolvant l’equation de Schrodinger

et donne :

Pab(t) =e−1/2Γt

2α4

[α2 + x cos(ωt) + y sin(ωt)

](3.26)

avec x = 1/4(Γ2/2 − 4α2), y = Γ/4(4α2 − Γ2/4)1/2 et ω =√

4α2 − Γ2/4. Contrai-

rement a la situation precedente, la probabilite Pab(t) tend ici vers zero et la

trajectoire de la figure 3.2d atteint le centre de la sphere de Bloch.


a) c)

b) d)

Fig. 3.2 – Systeme a deux etats en interaction avec un continuum : a) les deuxetats interagissent c) un seul des deux interagit. b) Dans le cas ou les deux etatsinteragissent avec le continuum, la trajectoire n’atteint pas le centre de la spherede Bloch indiquant qu’une partie de la fonction d’onde reste localisee sur les deuxetats du systeme. d) Si un seul des deux etats interagit avec le continuum, alors latrajectoire atteint le centre de la sphere.

C - Fidelite des trajectoires

Une notion importante du controle quantique est la fidelite des trajectoires

vis-a-vis d’une trajectoire ideale. Supposons qu’une trajectoire soit controlees en

distance ou en frequence. Nous souhaitons que la mesure de D(t) ou de Ω, donne

le resultat ideal I. Il ce peut neanmoins, qu’a cause d’un mauvais controle ou

des perturbations qu’elle subit, le resultat de la mesure ne soit pas egal a I mais

a une quantite differente notee M. Il faut alors definir une fonction qui estime

l’ecart entre le resultat ideal attendu et le resultat de la mesure, en d’autre termes

C -. FIDELITE DES TRAJECTOIRES 61

qui mesure la fidelite, F , de la trajectoire vis-a-vis de la trajectoire ideale. Bien

que plusieurs solutions aient ete proposees dans le cas d’un controle en distance

[19, 20, 21, 22], ces solutions ne sont pas adaptees au controle de la frequence

d’evolution effective. Pour qu’une comparaison puisse etre possible entre les deux

types de controles, nous definissons la fidelite par la fonction Gaussienne :

F = e−(M−I)2

2σ2 (3.27)

Cette fonction est egale a 1 si M = I et diminue des lors que ces deux quanti-

tes sont differentes. Le parametre σ, determinant la selectivite de F , est fixee a

σ = 1/4, afin que F atteigne zero quand |M − I| = 1 sans pour autant etre trop

selective dans les cas intermediaires.

Si N trajectoires sont controlees, comme par exemple lorsque ces trajectoires

sont utilisees pour implanter des fonctions logiques, la fidelite totale de ces dif-

ferentes trajectoires est donnee par le produit des fidelitees de chacune d’entre

elle :

F =N∏n=1

e−(Mn−In)2

2σ2 (3.28)

ou Mn est In sont respectivement le resultat de la mesure et le resultat attendu

de la n-ieme trajectoire. Cette fonction est utilisee dans les chapitres suivant pour

estimer soit la qualite de l’implantation d’une fonction logique, soit sa robustesse

vis-a-vis d’une perturbation. Dans le cas de l’implantation de portes logiques, I, ne

peut prendre uniquement les valeurs 0 ou 1. Dans le cas d’un controle en distance,

aucun probleme ne se pose puisque cette distance est egalement comprise entre

0 et 1. Dans le cas d’un controle en frequence, une renormalisation des differents

Ωn par leur valeur maximale, est necessaire pour qu’elles soient toutes egalement

comprises entre 0 et 1.


D - Conclusion

L’analyse des perturbations des trajectoires des systemes quantiques met en

avant la fragilite des systemes controles en distance et l’apparente robustesse de

ceux controles en frequence. Ces deux types de controles etant exploites dans la

suite pour l’implantation de fonctions logiques, les outils presentes dans ce chapitre

y seront utilises afin de caracteriser la robustesse de ces systemes.

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Chapitre 4

Portes logiques controlees en

distance

A - Introduction

Nous avons demontre au chapitre 2 les proprietes necessaires pour que la tra-

jectoire d’un systeme quantique soit resonante entre deux etats. Le probleme a

resoudre pour realiser une fonction logique en utilisant ces trajectoires est plus

complexe. Puisque les entrees logiques, notees α = α, β . . ., sont encodees dans

des parametres bien identifies du Hamiltonien du systeme, H(α), un changement

de ces parametres induit une deformation de la trajectoire du systeme ρ(t) [1, 2, 3].

Au temps de mesure, τm, cette trajectoire doit atteindre l’etat cible, si le resultat

de la fonction logique est “1”, ou au contraire appartenir au sous espace orthogonal

a cet etat, dans le cas ou le resultat attendu est “0”.

Pour que la trajectoire soit periodique, il faut que pour chaque valeur de α, les

valeurs propres du systeme soient commensurables. De plus, puisque la lecture ne

peut se faire qu’a la demi periode de la trajectoire, les trajectoires obtenues pour

des α differents doivent presenter une periode commune. Il faut donc qu’en plus

d’etre commensurables entre elles pour une meme valeur de α, les valeurs propres

restent egalement commensurables entre elles pour les differentes valeurs de α.

65

66 CHAPITRE 4. PORTES LOGIQUES CONTROLEES EN DISTANCE

Le controle en distance de la trajectoire quantique a deja ete utilisee pour

l’optimisation de systemes quantiques realisant une fonction logique donnee [1, 2]

convergent meme parfois vers des systemes moleculaires [3]. Neanmoins dans ces

travaux preliminaires, la condition d’atteinte exacte de l’etat cible n’est pas exigee

simplifiant grandement les conditions imposees au systeme.

B - Conditions de resonances

En appliquant les conditions de resonance et d’anti-resonance a un systeme, il

est possible de lui faire realiser une fonction logique. Pour cela, la connaissance des

expressions de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres, pour les differentes

valeurs de α, est necessaire. Par consequent, seul un petit nombre de systemes

peuvent etre etudie ainsi.

1 · Systeme a deux etats : oscillations de Rabi

La diagonalisation exacte des systemes a deux etats est connue [6]. Le controle

de ces systemes au travers de l’expression de Pab(t) est donc relativement simple.

L’etat initial de l’evolution sera toujours |φa〉 et l’etat cible |φb〉. Puisqu’une Pab(t)contient un seul terme sinusoıdal, la trajectoire de ce systeme est toujours perio-

dique mais pas forcement resonante. Nous allons montrer que ce systeme est a

meme de realiser un inverseur et une fonction NXOR de deux variables.

L’inversion est la fonction Booleenne la plus simple. Elle comporte une seule

entree logique α et une seule sortie qui est egale a 1 si α egale 0 et inversement.

Pour la realiser α est encode dans l’energie de l’etat cible, donnant le Hamiltonien :

H(α) =

|φa〉 |φb〉( )0 k

k α(4.1)

La probabilite de presence Pab(t) est alors :

B -. CONDITIONS DE RESONANCES 67

Pab(t) =4k2

α2 + 4k2sin2

(1/2

√α2 + 4k2t/~

)(4.2)

Dans le cas α = 0, cette evolution est une oscillation de Rabbi de frequence

ω = 2k/~, la trajectoire atteignant l’etat cible au temps τm = ~π2k

. Il faut alors

qu’a ce meme temps Pab(τm) = 0 lorsque α = 1. Cette condition impose la valeur

du parametre de structure k qui est alors donne par :

k =1

2√n2 − 1

n pair 6= 0 (4.3)

Pour cette valeur de k, la variation de la probabilite de presence Pab(τm), represente

sur la figure 4.1, avec τm = π√n2 − 1, varie en fonction de α et n et peut se resumer

par :

Pab(τm) =

1 si α = 0

1n2 sin2(nπ

2) si α = 1

(4.4)

La probabilite Pab(t) de ce systeme ainsi que sa trajectoire sur la sphere de

Bloch sont representees sur la figure 4.2. Conformement aux conditions de reso-

nance et d’anti-resonance demontrees au chapitre 2.B.5, la trajectoire du cas α = 0

est resonante, atteignant l’etat cible a la demi periode, alors que celle pour α = 0

est anti-resonante, retournant a l’etat initial a la demi periode.

Fig. 4.1 – Evolution dela probabilite de presencePab(τm) en fonction du pa-rametre α et pour diffe-rentes valeurs de n. Commeprevu Pab(τm) = 1 lorsqueα = 0 et Pab(τm) = 0 quandα = 1


inverseur

a) b)

Fig. 4.2 – a) Probabilite de presence Pab(t) dans les deux cas α = 0 (noir) et α = 1(bleue). b) Trajectoire du systeme sur la sphere de Bloch egalement dans les deuxcas α = 0 (haut) et α = 1 (bas).

Un systeme a deux niveaux peut egalement realiser une fonction NXOR de

deux variables, α et β, en encodant α dans le terme diagonal 〈φa|H|φa〉 et β dans

〈φb|H|φb〉. Le parametre α de l’expression (4.2) est alors remplace par (α − β)

menant simplement a la realisation d’une fonction NXOR.

Une remarque importante doit etre faite ici. Dans une architecture classique,

cette fonction logique requiert 4 transistors [4], chaque entree logique commandant

deux d’entre eux. Ici chaque entree logique n’est presente qu’une seule fois dans le

Hamiltonien. L’implantation quantique montre donc deja ses proprietes innovantes

par rapport a l’implantation classique en ne necessitant pas la duplication des

informations a differents points du circuit [5].

B -. CONDITIONS DE RESONANCES 69

2 · Systeme a trois etats : equations diophantiennes

A la difference des systemes a deux etats, la commensurabilite des valeurs

propres d’un systeme a trois etats devient une question cle. En effet la proba-

bilite de presence Pab(t) d’un tel systeme est la superposition de 3 sinusoıdes et

la commensurabilite des valeurs propres est alors une condition necessaire de la

resonance et de l’anti-resonance. Nous allons voir que, sans methode adaptee a

la construction d’Hamiltonien dedie a la logique, une telle implantation se revele

delicate. Pour illustrer ce fait, etudions le systeme suivant :

H(α, β) =

|φa〉 |φb〉

0 α k

α 0 k

k k β

(4.5)

ou |φa〉 est l’etat initial de l’evolution et ou α et β prennent les valeurs 0 ou 1

eV . Cet encodage des donnees logiques est particulierement interessant puisque

les valeurs propres de ce systeme sont connues dans les quatre configurations de

α = α, β. Il est donc possible d’extraire les expressions des trajectoires dans

toutes ces situations, et de trouver les valeurs de k ou le systeme realise une

fonction logique. Les expressions des valeurs propres de H(α, β) sont :

λ0 = −α (4.6)

λ± =1

2

((α + β)±

√(α− β)2 + 8k2

)(4.7)

Pour α = β = 0, le systeme est identique a celui utilise a la section precedente, la

trajectoire qu’il genere etant periodique quelque soit la valeur de k. En imposant

que les valeurs propres des trois autres Hamiltoniens soient commensurables, on

obtient trois series de valeurs du parametre k, chacune assurant la periodicite de

la trajectoire gouvernee par le Hamiltonien correspondant :


k01 =

√−nm√2|n+m| k10 =

√(N − 1)2 − 1

2√

2k11 =

M√2

(4.8)

avec, n, m, N et M rationnels. Le parametre k ne devant pas varier d’une confi-

guration a l’autre, il faut determiner les valeurs de n, m, N et M donnant une

meme valeur de k par les serie (4.8) . De plus, les periodes d’evolution devant etre

commensurables, les valeurs propres obtenues pour cette valeur de k doivent egale-

ment etre commensurables entre elles. Ceci mene donc a un gigantesque probleme

diophantien, dont la seule solution trouvee a ce jour est :

k =p√

2(p2 − 1)p ∈ Q (4.9)

Les quatre trajectoires presentent alors une periode multiplie commune donnee

par : T = 2(p2 − 1)π/~. Les evolutions temporelles de ce systeme sont representees

sur la figure 4.3. A la demi periode, si p est pair, les trajectoires gouvernees par

H(0, 0) et H(1, 1) sont anti-resonantes et la distance D(τp) est alors nulle. Pour

celle gouvernees par les deux autres Hamiltonien bien qu’elle ne soit pas reson-

nantes la distance D(τp) diminue a mesure que p augmente.

Fig. 4.3 – a) Probabilite de presence Pab(t). b) Trajectoire dans la sphere de Blochreduite de la porte XOR implantee dans un systeme a trois etats pour p = 10.

C -. METHODE DES GROUPES CYCLIQUES 71

Les variations de Pab(τm) en fonction de α et β sont representees sur la figure 4.4

pour p = 10. Cette variation montre deux plateaux autour des points α = 1 et

β = 0 ou inversement, l’amplitude des variations au centre de la carte etant au

contraire tres importante.

Fig. 4.4 – Evolution dela probabilite de presencePab(τm) en fonction des pa-rametres α et β pour p =10. Comme prevu Pab(τm)tends vers 1 lorsque α 6= βet est nulle des que α = β.

Rien ne prouve que cette solution soit unique et il se peut que d’autre portes

logiques puissent etre implantees dans ce systeme. Neanmoins ce probleme illustre

bien la complexite de l’implantation de portes logique controlees en distance.

C - Methode des groupes cycliques

Nous l’avons vu, l’implantation d’une fonction logique dans un systeme quan-

tique mene a un gigantesque probleme diophantien, dont la solution est extre-

mement complexe a obtenir. Ceci ne peut convenir a la conception de dispositifs

electronique dont la construction doit etre le plus simple possible. Une methode

adaptee doit donc etre developpee pour simplifier cette conception. Nous allons voir

qu’en etudiant les proprietes de l’operateur d’evolution, U(t), une telle methode

peut etre obtenue [8].


1 · Groupe cyclique et trajectoire periodique

L’operateur d’evolution U(t) est responsable du comportement temporel de

la trajectoire du systeme dans son espace de Hilbert. Ses proprietes spectrales

sont donc de premiere importance pour obtenir une trajectoire resonante. De plus

le Hamiltonien du systeme peut etre calcule en inversant l’equation definissant

l’operateur d’evolution :

H =i~t

ln(U(t)

)(4.10)

L’operateur U(t) definit un groupe de Lie dont le parametre continu est le temps

t [9]. L’etude des proprietes de ce groupe pourrait mener a une caracterisation

complete de la trajectoire. Neanmoins une approche plus simple est adoptee ici.

En effet, puisque seules les trajectoires periodiques, de periode τ , nous interessent,

le groupe de Lie d’une evolution periodique peut etre reduit au sous groupe defini

par les operateurs :

U(0 ≤ t ≤ τ) (4.11)

avec : U(0) = U(τ) = I. Parmi l’infinite d’operateurs qui composent ce groupe,

seul quelques uns nous interessent. Puisque le temps de mesure ne peut etre que

τm = τ/2 + mτ , l’operateur primordial est U(τ/2), faisant evoluer le systeme de

l’etat initial vers l’etat mesure. En consequence aucune information pertinente

n’est perdue en ne considerant qu’une sous partie du groupe definie par (4.11),

ne contenant qu’un nombre fini, C, d’elements, avec parmis eux I et U(τ/2). Ceci

revient a discretiser le parametre continu de (4.11) en C points pris a intervalles

reguliers. Ce faisant le groupe de Lie (4.11) donne naissance a un groupe cyclique

[10, 11] dont le generateur est :

Ug = e−iHτC ~ (4.12)

les puissances de Ug donnant alors tout les elements du groupe donnes par :

I, Ug,(Ug

)2,

(Ug)3, . . . . . . ,

(Ug)C−1

. Puisque la trajectoire est periodique,(Ug

)C=

I. Cette derniere relation est utile pour ecrire les valeurs propres du generateur du

groupe comme :


Ug =C√I (4.13)

Les valeurs propres du generateur appartiennent donc au groupe, lui aussi cyclique,

des racines C-ieme de l’unite [12]. Chacune des valeurs propres de Ug s’ecrit donc :

λn = e2iknπC (4.14)

avec kn ∈ Z. Ceci impose une condition sur la valeur de C. En effet, le calcul de

H repose sur le logarithme complexe pour lequel la propriete ln(ez) = z n’est pas

toujours valide [13]. Pour qu’elle le soit, la partie imaginaire de z doit appartenir

a ] − π; π[. Pour que cette condition soit respectee par toutes les valeurs propres

(4.14), il faut que C respecte :

C > 2 max(. . . , kn, . . .) (4.15)

Le Hamiltonien peut alors etre calcule a partir du generateur du groupe cyclique

selon :

H = i~Cτ

ln(Ug

)= i~

Cτ

U ln(SUg

)U† (4.16)

avec : Ug = U SUg U†, ou U est la matrice de passage de la base locale a la

base propre du systeme et SUg la matrice diagonale des valeurs propres de Ug ne

contenant donc que des elements donnes par (4.14). Puisque les valeurs propres de

Ug appartiennent au premier feuillet de Riemann, on a : ln(e2iπ knC

)= 2iπ knC , par

consequent l’equation (4.16) peut se simplifier comme :

H = −2~πτ

U

k1

k2

. . .. . .

kN

U† (4.17)

La condition de commensurabilite des valeurs propres est par definition respectee

par cet Hamiltonien, la trajectoire qu’il gouverne sera donc periodique. La distance

D(τm) est elle aussi reliee au generateur du groupe cyclique par :


D(τm) = 1− Tr[UC/2g ρa

(UC/2g

)†ρb

]= 1− |〈φb|UC/2g |φa〉|2 (4.18)

2 · Implantation de Portes logiques

Le Hamiltonien, H(α, β), realisant une fonction logique de deux variables α

et β, va engendrer, selon la valeur de ces variables, quatre Hamiltonien : Hαβ.

Les trajectoires generees par ces quatre Hamiltoniens vont etre differentes et la

distance entre l’etat cible et l’etat qu’elles atteignent au temps de mesure doit

respecter la table de verite de la fonction logique desiree. La methode des groupes

cycliques est applique ici au systeme :

H(α, β) =

|φa〉 |φb〉

0 c α

c 0 β

α β e

En suivant la methode exposee a la section precedente, les quatre Hamiltoniens

engendres par de ce systeme sont donnes, suivant (4.16), par :

Hαβ = i~Cαβτ

Uαβ ln(SUg,αβ

)U†αβ (4.19)

Pour les cas α 6= β, il n’existe pas de solution dont l’expression analytique per-

mette un traitement simple du probleme. Ainsi la methode des groupes cycliques

sera d’abord appliquee aux cas α = β = 0 et α = β = 1. Ceci donne a priori des

series de valeurs differentes pour les parametres structuraux e et c. Il faut donc

ensuite trouver les elements qui appartiennent aux deux series afin ses deux para-

metres soient identiques dans H00 et H11. Les Hamiltonien des cas α 6= β sont alors

eux aussi completement determines, et une optimisation est menee pour trouver

les valeurs de e et de c qui donnent la meilleure fidelite possible.

Dans les cas α = β, la matrice de changement de base Uαα est une matrice de

rotation de SO(3) donnee par :


U(θαα) =1√2

cos(θαα) 1 sin(θαα)

cos(θαα) −1 sin(θαα)√2 sin(θαα) 0 −√2 cos(θαα)

(4.20)

Suivant (4.14), les valeurs propres de Ug,αα sont :

SUg =

e2ikαα1

πCαα

e2ikαα2πCαα

e2ikαα3πCαα

(4.21)

avec kαα1 , kαα2 , et kαα3 ∈ Z. Pour trouver les valeurs communes des parametres

structuraux, les expressions analytiques de H00 et H11 sont necessaires. Ces ex-

pressions sont calculees directement a partir de (4.19) pour θ00 = 0 et θ11 = θ.

Ceci donne :

H00 = −~πτ

0 k001 − k00

2 0

k001 + k00

2 0 0

0 0 k003 − (k00

1 + k002 )

(4.22)

H11(θ) = −~πτ

0 g(k11n , θ) κ(k11

n , θ)

g(k11n , θ) 0 κ(k11

n , θ)

κ(k11n , θ) κ(k11

n , θ) f(k11n , θ)

(4.23)

avec :

g(k11n , θ) = k11

3 sin(θ)2 + k111 cos(θ)2 − k11

2 (4.24)

κ(k11n , θ) =

√2(k11

3 − k111 ) cos(θ) sin(θ) (4.25)

f(k11n , θ) = sin2(θ)(2k11

1 − k113 ) + cos2(θ)(2k11

3 − k111 )− k11

2 (4.26)

Une petite modification a ete portee a ces deux operateurs. En effet il faut que dans

ces deux operateurs : 〈φa|Hαα|φa〉 = 〈φb|Hαα|φb〉 = 0. En appliquant directement

(4.19) ce n’est pas le cas. Bien qu’egaux, ces deux elements de matrice ne sont

pas nuls. En consequence touts les elements diagonaux de (4.22) et (4.23) ont ete

modifies selon : Hαα = Hαα − I〈φa|Hαα|φa〉. Puisque l’evolution dirigee par H00


reste dans le sous espace sous-tendu par |φa〉 et |φb〉, un changement de l’element de

matrice 〈φc|H00|φc〉 n’affecte en rien la trajectoire generee par cet Hamiltonien. Par

consequent le parametre structural c est le seul a devoir etre identique dans (4.22)

et (4.23). Ceci donne la condition de compatibilite de ces deux Hamiltoniens :

k001 − k00

2 = k113 sin(θ)2 + k11

1 cos(θ)2 − k112 (4.27)

La resolution de cette equation mene a une serie de valeur de l’angle θ :

cos(θ) = ±√k00

1 − k002 + k11

2 − k113

k111 − k11

3

(4.28)

En n’utilisant que ces valeurs de θ dans (4.22) et (4.23), ces deux Hamiltoniens

presentent par consequent des parametres structuraux identiques.

Pour rester fidele a notre encodage, tout les elements de H(α, β) sont ensuite

normalises par ~πτκ(k11

n , θ) pour que α et β ne prennent uniquement les valeurs 0

et 1. Les deux parametre structuraux deviennent alors :

c =k11

3 sin(θ)2 + k111 cos(θ)2 − k11

2√2(k11

3 − k111 ) cos(θ) sin(θ)

(4.29)

e =k11

1

(2 sin2(θ)− cos2(θ)

)+ k11

3

(2 cos2(θ)− sin2(θ)

)− k112√

2(k113 − k11

1 ) cos(θ) sin(θ)(4.30)

Les distances entre l’etat cible et l’etat atteint par les trajectoires gouvernees par

ces Hamiltoniens peuvent egalement s’ecrire en fonction des parametres kαα1 , kαα2 , kαα3

suivant (4.18) :

Dαα(τm) = 1− 1

4| cos2(θ)eik

αα1 π + sin2(θ)eik

αα3 π − eikαα2 π|2 (4.31)

Le controle de cette distance par les parametres kαα1 , kαα2 , kαα3 est maintenant

evident. En effet il suffit que kαα1 et kαα3 aient une parite differente de kαα2 pour

que Dαα(τm) = 0 et qu’ils aient tous la meme parite pour que Dαα(τm) = 1. Im-

posant ces conditions, la table de verite de n’importe qu’elle fonction logique peut

etre respectee exactement dans les cas α = β. Il est par contre important de noter

que ces conditions n’imposent pas des valeurs precises des parametres kαα1 , kαα2 , kαα3


mais definissent des familles de valeurs qui donneront toujours Dαα(τm) = 1 ou

Dαα(τm) = 0.

Maintenant que les Hamiltoniens H00 et H11 sont completement determines les

deux Hamiltoniens restant peuvent en etre deduit. En revanche aucune condition

n’est imposee sur la distance Dα 6=β(τm). L’etat initial et l’etat cible etant couples

de maniere assymetrique a l’etat central, la distance Dα 6=β(τm) va rester proche

de 1. La topologie du systeme favorise donc l’implantation des fonctions logiques

AND, NXOR et NOR. Pour cela, il faut trouver les valeurs des kαα1 , kαα2 , kαα3 qui

optimisent la fidelite pour ces trois fonctions. Dans ce but, les differentes valeurs

permises des kαα1 , kαα2 , kαα3 sont explorees par une optimisation combinatoire cher-

chant la fidelite maximale de la fonction logique souhaitee. Cette optimisation est

nettement plus efficace qu’une optimisation directe des parametres du Hamiltonien

puisque elle ne se fait que sur 5 parametres discret alors que l’optimisation directe

requiere l’exploration de 6 parametres continus. De plus, toutes les solutions tes-

tees respectent parfaitement la table de verite souhaitee pour les deux cas α = β et

seule la distanceDαβ(τm) doit etre calculee afin de trouver la valeur maximale de F .

a) Fonction logique AND

La fonction logique AND impose que : D00(τm) = 1 et D11(τm) = 0. Il en

decoule que k001 k00

2 et k003 doivent avoir la meme parite et que les k11

1 et k113 doivent

avoir une parite differente de k112 . Les valeurs permise par ces deux conditions sont

ensuite explorees afin de minimiser la distance Dαβ(τm). De nombreuses solutions

presentent une fidelite proche de 1, nous ne donnons ici que l’une d’entre elles,

obtenue pour :

k001 = 2 k00

2 = 4 k003 = −4

k111 = 26 k11

2 = 7 k113 = −18

et une periode de 2π 10−15 secondes. Les parametre structuraux prennent alors les

valeurs e = −0.1930468 eV et c = 0.0643489 eV , la trajectoire du systeme pour

ces valeurs des parametres structuraux est representee sur la figure 4.6. Bien que

la trajectoire atteigne l’etat cible pour les deux configurations α = β, dans le cas


α = β = 0 elle est retournee a l’etat initial au temps de mesure. Les deux cas

assymetriques α 6= β ne presente pas une trajectoire periodique. La distance entre

ρ(t) et l’etat cible au temps de mesure pour ces cas demeure a priori differente

de zero mais peut etre minimise en augmentant les parametres kαα1 , kαα2 , kαα3 . Ceci

donne, dans le cas presente ici, une fidelite de F ' 0.99.

Fig. 4.5 – Evolution de la pro-babilite de presence Pab(τm) enfonction des parametres α et βpour les valeurs des kαβi ci-dessus.Pab(τm) egale 1 lorsque α = β = 1et est nulle des que α = β = 0 etα = 0 et β = 1 ou inversement.

Fig. 4.6 – Trajectoire de la porte AND implantee dans un systeme a trois etats.La trajectoire atteint l’etat cible au temps de mesure uniquement si α = β = 1.


b) Fonction logique NOR

La fonction logique NOR impose que D00(τm) = 0 et D11(τm) = 1. Il en decoule

donc que k001 et k00

3 ne doivent pas avoir la meme parite que k002 et que k11

1 k112 et k11

3

doivent tous avoir la meme parite. Comme precedemment les valeurs permises par

ces deux conditions sont explorees par un processus d’optimisation combinatoire.

Toutes les solutions testees durant ce processus respectent la table de verite de la

fonction NOR pour α = β et seule la distance Dαβ(τm) doit etre optimisee. La

encore, ce processus donne de nombreuses solutions, celle retenue ici etant :

k001 = 2 k00

2 = 3 k003 = −4

k111 = 25 k11

2 = 5 k113 = −17

La trajectoire du systeme pour ces valeurs des parametres definissant ses valeurs

propres est representees sur la figure 4.8.

Fig. 4.7 – Evolution de la pro-babilite de presence Pab(τm) enfonction des parametres α et βpour les valeurs des kαβi ci-dessus.Pab(τm) egale 1 lorsque α = β = 0et est nulle des que α = β = 1 ouα = 0 et β = 1 ou inversement.

c) Fonction logique NXOR

Les trajectoires des deux portes presentes ci-dessus ne sont pas periodique

dans les configuration α 6= β. Il se peut tres bien que pour certaine valeurs

des kαα1 , kαα2 , kαα3 , les Hamiltoniens Hαβ donnent une trajectoire periodique. Cette

situation a ete obtenue pour plusieurs implantations differentes d’une fonction


Fig. 4.8 – Trajectoire de la porte NOR implantee dans un systeme a trois etats.La trajectoire atteint l’etat cible au temps de mesure uniquement si α = β = 0.

NXOR. Cette fonction impose que D00(τm) = D11(τm) = 0, c’est a dire que kαα1

et kαα3 ne doivent pas avoir la meme parite que kαα2 . La valeur des parametres :

k001 = 2 k00

2 = 7 k003 = −4

k111 = 12 k11

2 = 5 k113 = −20

donne quatre evolutions periodiques, representees sur la figure 4.10, qui respectent

la table de verite d’une porte NXOR avec une fidelite de F ' 0.99. Bien que

periodique, les trajectoires generees par les Hamiltoniens Hα 6=β n’appartiennent

pas completement au sous-espace orthogonal a l’etat cible au temps de mesure, ce

qui est en accord avec les conditions d’anti-resonnance exposees au chapitre 2-B-3.


Fig. 4.9 – Evolution de la pro-babilite de presence Pab(τm) enfonction des parametres α et βpour les valeurs des kαβi ci-dessus.Pab(τm) egale 1 lorsque α = β = 0ou 1 et est nulle des que α = 0 etβ = 1 ou inversement.

Fig. 4.10 – Trajectoire de la porte NXOR implantee dans un systeme a troisetats. La trajectoire atteint l’etat cible au temps de mesure uniquement si α = β.

3 · Conclusion

La methode des groupes cycliques developpee ici permet une implantation non-

triviale de fonctions logiques Booleennes dans des systemes simples. Elle evite ainsi

le probleme pose par la resolution des equations diophantiennes obtenue lors de

l’etude directe de la commensurabilite des valeurs propres. Neanmoins toutes les

fonctions logiques n’ont pas pu etre realisees dans une approche de controle en

distance, comme par exemple les fonctions OR, et NAND. Ceci illustre la difficulte

de cette approche qui necessite une parametrisation draconienne des valeurs et des


vecteurs propres du systeme. L’application de cette methode a des systemes plus

complexes est donc conditionnee par la possibilite de diagonaliser analytiquement

leur Hamiltonien.

D - Perturbation des systemes optimises

Les systemes optimises dans la section precedente sont supposes totalement

isoles de toutes perturbations. Il est alors interessant d’etudier les variations de

leur fidelitee lorsqu’il sont soumis a de legeres perturbations. Nous etudirons en

premier lieu l’impact d’un bruit sur les parametres du Hamitonien, identique a

celui etudie au chapitre 3, puis l’influence des interactions que le systeme peut

avoir avec son environnement.

1 · Perturbation interne du Hamiltonien

La fidelite d’un systeme controle en distance est donnee par :

F =∏

α,β

e−(Pαβ(τm)−Iαβ)2

2σ2 (4.32)

ou Pαβ(τm) est la probabilite de presence de l’etat cible pour les valeurs de α et

β correspondante. Si ce systeme est soumis a une source de bruit commutative, sa

fidelite peut etre calculee en remplacant, dans (4.32), Pab(τm) par son esperance,

qui a ete calculee au chapitre 3. Seule les portes logiques issues de la methode des

groupes cycliques sont presentees ici. La fidelitee de ces trois portes en fonction de

l’amplitude de la source de bruit, η est donnee sur la figure 4.11a. Des que η de-

passe 0.1 eV , la fidelite de ces portes est quasiment nulle. Ceci indique que ce type

de controle est extremement sensible a la moindre perturbation de son Hamiltonien.

Un etude plus generale peut etre menee numeriquement en perturbant le Ha-

miltonien par deux sources de bruit d’amplitudes η1 et η2, la premiere ne portant

que sur les elements diagonaux du Hamiltonien, la seconde ne portant que sur ses

elements non-diagonaux (voir chapitre 3). La fidelite moyenne de la porte NOR

soumise a cette source de bruit, calculee pour η1 et η2 allant de −0.1 a 0.1 eV ,

D -. PERTURBATION DES SYSTEMES OPTIMISES 83

est representee sur la figure 4.11b. La encore meme pour une faible amplitude de

bruit la fidelitee du systeme tombe rapidement a zero.

Ces deux analyses de la stabilite du systeme soumis a une source de bruit,

demontrent que ce type de controle est extremement sensible a une perturbation,

meme faible, des parametres generant la trajectoire. Ceci est facilement comprehen-

sible, meme une legere perturbation des valeurs propres du systeme va les rendre

incommensurables entre elles, rendant aperiodiques les trajectoires, les empechant

ainsi d’atteindre l’etat cible.

a) b)

Fig. 4.11 – a) Fidelite des portes controlees en distance soumise a une sourcede bruit. b) Fidelite de la porte NOR en fonction des amplitudes a et b de deuxsources de bruit, l’une perturbant les elements diagonaux deH, l’autre les elementshors-diagonaux.


2 · Interaction avec l’environnement

Le modele de Fano, introduit au chapitre 3, nous permet d’evaluer la sensibilite

des portes logiques vis-a-vis des interactions qu’elles peuvent avoir avec leur envi-

ronnement. Nous supposons ici que chaque etat interagit de maniere identique avec

le continuum modelisant cet environnement. De par ces couplages, les trajectoires

optimisees sont deviees, la fidelite des implantations diminuant alors fortement

(voir figure 4.12). Des que l’interaction systeme-environnement depasse 0.1 eV les

fidelites sont quasiment nulle. Le controle en distance est donc tres perturbe par

les interactions que le systeme a avec son environnement, meme lorsque celle-ci

sont faibles.

Fig. 4.12 – Fidelite desportes logiques lorsqu’ellessont en interaction avec leurenvironnement modelise icipar le modele de Fano.Chaque etat du systeme estcouple aux etats du conti-nuum par le parametre v.

E -. CONCLUSION 85

E - Conclusion

La realisation de portes logiques par des systemes controles en distance s’avere

une tache tres difficile. De part la commensurabilite des valeurs propres qu’exige

cette implantation, seul un tres petit nombre de systemes peuvent constituer des

candidats potentiels pour cette implantation [7, 8]. L’etude directe de la commen-

surabilite des valeurs propres se heurte tres rapidement a la resolution du systeme

d’equations diophantiennes. Bien que quelques solutions aient ete trouvees, la ge-

neralisation de cette approche directe semble inimaginable, l’expression des valeurs

propres n’etant possible uniquement pour des systemes comportant moins de cinq

etats. La methode des groupes cycliques, developpee lors de ce chapitre, permet une

implantation simple et efficace de portes logiques dans des systemes quantiques.

Neanmoins cette methode necessite egalement la connaissance de l’expression ge-

nerale des vecteurs propres du systeme et par consequent reste difficilement genera-

lisable. La stabilite des systemes optimises dans ce chapitre vis-a-vis d’un bruit sur

les parametres du Hamiltonien ou des interactions systeme-environnement, montre

clairement que ces systemes sont egalement extremement peu robuste, la moindre

perturbation detruisant totalement l’optimisation faite sur le systeme isole. En

consequence le controle en distance des systemes quantiques, avec pour but l’im-

plantation de fonctions logiques, semble etre une solution peu avantageuse qui ne

sera pas poussee plus loin dans la suite de cette these.


Bibliographie

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[13] D. Sarason, Amer. Math. Society, 2007Complex function theory

87

88 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 5

Portes logiques controlees en

frequence

Le controle en distance de ρ(t) mene, nous venons de le voir, a l’implantation

de fonctions logiques dans des systemes quantiques comportant un petit nombre

d’etats. Neanmoins cette implantation est limitee par l’extraordinaire complexite

des contraintes que ce controle impose aux systemes quantiques. Le controle en

frequence impose seulement a la trajectoire de presenter une frequence d’evolution

de poids plus fort que les autre, afin de limiter au maximum le phenomene de

battement. Par consequent il paraıt a priori plus simple a mettre en œuvre que

le controle en distance. Rappelons que les donnees d’entree, α, sont comme aupa-

ravant encodees dans de Hamiltonien du systeme, H(α). Un changement de ces

parametres doit ici induire une acceleration ou au contraire une deceleration de la

trajectoire dans la direction de l’etat cible. Le resultat de la fonction logique est

ici encode dans la frequence effective d’oscillation en associant un “1” logique aux

frequences les plus grandes et un “0” logique aux plus faibles. Les termes “gran-

des” et “petites” sont ici deliberement laisses floues. En effet, le calcul de la fidelite

passant par une renormalisation des differentes frequences effectives d’oscillations

par la plus grande d’entre elles (chapitre 3 C), la fidelite d’une implantation ne

depend que de l’ecart relatif entre la plus grande et la plus faible de ces frequences.

La valeur de ces frequences ne prend de sens que lorsque la nature du systeme est

donne, ce systeme pouvant etre une molecule, un groupe d’atomes sur une sur-

89

90 CHAPITRE 5. PORTES LOGIQUES CONTROLEES EN FREQUENCE

face, un reseau de boites quantiques ou autre. L’ordre de grandeur des frequences

effectives d’oscillations definit alors le sens precis des mots “grande” et “petite”.

Par exemple, dans le cas d’un transfert electronique intramoleculaire [1], ces fre-

quences seront considerees comme “grandes“ lorsque elles depassent le TeraHertz

et ”faibles“ lorsque elles sont inferieures au GigaHertz [2, 3].

A - Methode des Hamiltoniens effectifs inverses

Nous allons presenter dans un premier temps une methode basee sur l’utilisa-

tion des Hamiltoniens effectifs de Fourier presentes au chapitre 2. Cette methode

sera ensuite appliquee a un systeme quantique a trois pour la realisation d’une

fonction NAND.

Le calcul du Hamiltonien effectif de Fourier, definit au chapitre 2-C-1, passe

par une reduction de l’espace de Hilbert du Hamiltonien initial. Differents Ha-

miltoniens vont par consequent converger vers le meme Hamiltonien effectif [4].

Prenons l’exemple du systeme a trois etats deja utilise pour l’implantation de

portes logiques controlees en distance :

H(α, β) =

|φa〉 |φb〉 |φc〉

0 k α

k 0 β

α β e

(5.1)

comme demontre au chapitre 2-C, son Hamiltonien effectif s’ecrit comme :

Heff =

(0 AΩ

2

AΩ2

Ω√

1− A

)(5.2)

De par la nature de sa matrice de changement de base, U(θ), donnee egalement au

chapitre 2, A = 1 et par consequent les oscillations effectives atteignent exactement

l’unite. Les trois valeurs propres de (5.1) sont :

A -. METHODE DES HEFF INVERSE 91

S =

−Ω

2Ω2

ξ

(5.3)

la derniere valeur propre, ξ, appartenant au sous-espace orthogonal a celui de poids

fort. Les trois frequences d’evolutions sont alors :

ω12 = |Ω| ω13 = |Ω2

+ ξ| ω23 = |Ω2− ξ| (5.4)

La matrice de changement de base, U(θ), donne directement le poids de chacune

de ces trois frequences :

pω12 =cos2(θ)

4pω13 =

cos2(θ) sin2(θ)

4pω23 =

sin2(θ)

4. (5.5)

Pour que le Hamiltonien (5.1) accepte (5.2) comme Hamiltonien effectif il faut

alors que pω12 À pω13 et pω12 À pω23 . Puisque cos2(θ) > cos2(θ) sin2(θ) quelque

soit θ la seule condition pour que ω12 soit la frequence d’oscillation effective de

Pab(t) est que θ appartienne a [0; π4[∪]3π

4;π]. Si θ respecte cette condition la forme

generale d’un Hamiltonien a trois etats acceptant (5.2) comme Hamiltonien effectif

est donnee par H(θ) = U(θ) S U(θ)† ce qui donne :

H(θ) =1

2

0 κ(ξ,Ω, θ) ι(ξ,Ω, θ)

κ(ξ,Ω, θ) 0 ι(ξ,Ω, θ)

ι(ξ,Ω, θ) ι(ξ,Ω, θ) ε(ξ,Ω, θ)

(5.6)

avec :

κ(ξ,Ω, θ) = (ξ − Ω

2)− cos2(θ)(ξ +

Ω

2) (5.7)

ι(ξ,Ω, θ) =√

2 cos(θ) sin(θ)(ξ +Ω

2) (5.8)

ε(ξ,Ω, θ) = 2ξ cos2(θ)− sin2(θ)(ξ + Ω) (5.9)

(5.10)

Afin que 〈φa|H11|φa〉 = 〈φb|H11|φb〉 = 0 les elements diagonaux de (5.6) ont ete


modifies selon 〈φi|H11|φi〉 = 〈φi|H11|φi〉− 〈φa|H11|φa〉 sans incidence sur la trajec-

toire qu’il genere. Cet Hamiltonien est alors bien un cas particulier du Hamiltonien

H(α, β) presente au debut du chapitre et accepte bien (5.2) comme Hamiltonien

effectif. Il peut donc etre utilise pour les differentes valeurs de α et β afin de realiser

une fonction logique.

Comme dans le cas du controle en distance, les expressions des Hamiltoniens

H00 etH11, presentant respectivement des frequences effectives d’oscillations ω00 et

ω11, sont calculees explicitement, celle des deux autres cas seront ensuite deduites

de ces deux premieres. Le calcul de H00, pour lequel θ = 0, et H11 donnent alors :

H00 =

0 ω00

20

ω00

20 0

0 0 ξ

(5.11)

H11(θ) = −1

2

0 κ(ξ, ω11, θ) ι(ξ, ω11, θ)

κ(ξ, ω11, θ) 0 ι(ξ, ω11, θ)

ι(ξ, ω11, θ) ι(ξ, ω11, θ) ε(ξ, ω11, θ)

(5.12)

Puisque l’evolution controlee par H00 reste dans le sous espace sous-tendu par

|φa〉 et |φb〉, un changement de 〈φc|H00|φc〉 ne la modifie pas. Par consequent le

seul parametre structural, devant rester identique dans H00 et H11, est le couplage

direct entre |φa〉 et |φb〉. Identifiant ces deux valeurs dans les expressions de ces

operateurs donne :

ω00 = ξ − ω11

2− cos2(θ)(ξ +

ω11

2) (5.13)

La solution de cette equation donne la condition de compatibilite entre les deux

Hamiltoniens :

ξ = ω00

(1

sin2(θ)+R

2

1 + cos2(θ)

sin2(θ)

)(5.14)

avec R = ω11

ω00. Pour ces valeurs de ξ, les deux Hamiltoniens H00 et H11 presentent

les meme parametres structuraux. H(α, β) est proprement defini apres une renor-

malisation de ses elements par ι(ξ, ω11, θ) afin que α et β ne prennent que les

A -. METHODE DES HEFF INVERSE 93

valeurs 0 ou 1 eV .

Suivant cette approche la fonction NAND est particulierement facile a realiser.

Cette fonction logique impose ω00 = ω01 = ω10 et ω11 = 0. Cette derniere condition

donne R = 0, ce qui mene aux parametres structuraux normalises :

e =

√2

tan(θ)− tan(θ)√

2et k =

tan(θ)√2

(5.15)

Afin de respecter au mieux ω00 = ω01 = ω10, une optimisation est menee sur la

valeur de θ et l’optimum trouve est : θopt ' 7233590

π. Pour cette valeur particuliere

de θ, la fidelite de cette porte est exactement de 1.

Dans le cas R = 0, le trace de Pab(t) est deroutant. En effet, pour cette va-

leur de R et dans le cas α = β = 1, la probabilite de presence Pab(t) atteint 1

pour un temps infini. Neanmoins les deux autres frequences composant Pab(t), bien

qu’ayant un poids tres faibles, sont presentent et generent une oscillation residuelle

de faible amplitude mais de frequence non nulle. Le trace de Pab(t) pour un temps

fini fait alors apparaıtre ces composantes de poids faibles mais pas la composantes

dominantes nulle de poids fort. Pour faciliter la comprehension de cette implan-

tation et clarifier sa representation temporelle, un cas proche, ou R = 0.1, est

represente sur la figure 5.1. La variation de Ω selon la valeur des parametres α et β

est egalement representee sur la figure 5.2. Cette variation ne laisse pas apparaıtre

de plateaux ou la reponse de la porte logique reste stable pour des faibles deviation

des entrees logiques.


Fig. 5.1 – Probabilite de presence totale (trait plein) et effective (pointille) dansl’etat cible de la porte NAND controlee en frequence et implantee dans un systemea trois etats. Dans le cas ou α = β = 1, la frequence effective d’evolution est bienplus faible que dans le trois autres cas. Les trajectoires dans la sphere de Blochreduite montrent que dans ce le cas α = β = 1 la trajectoire effective reste surl’etat |φa〉〈φa|.

Fig. 5.2 – Variation de la fre-quence effective d’oscillation, Ω,de la porte NAND selon la va-leur des donnee d’entree α et β.Comme exigee par la table de ve-rite de cette porte Ω = 0 unique-ment lorsque α = β = 1

D’autre portes logiques peuvent etre implantees suivant cette methode de construc-

tion. Neanmoins elle necessite, l’expression analytique des vecteurs propres du sys-

temes et n’est donc uniquement applicable qu’aux systemes comportant moins de

B -. INTERFERENCES DYNAMIQUES 95

cinq etats, limitant de fait la complexite des fonctions logiques realisables.

B - Analyse symbolique a couplage fort : Inter-

ferences dynamiques

Nous allons ici mettre a profit le phenomene d’interference dynamique, presente

lors du chapitre 2, pour realiser des fonctions logiques dont la sortie est encodee

dans la frequence effective d’oscillation d’un systeme similaire a celui presente

ci-dessous :

H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 . . . |φN〉 |ψb〉

E Va1 Va2 . . . VaN .Va1 e V1b

Va2 e V2b...

. . ....

VaN e VNb. V1b V2b . . . VNb E

Le Hamiltonien non perturbe, H0, de ce systeme modele, etudie au chapitre 2 C-2,

est entierement diagonal, les termes Vaη et Vηb, appartenant a la perturbation V ,

couplant les etats centraux |φη〉 avec les etats lateraux |ψa〉 et |ψb〉.

1 · Presentation de la methode

Nous avons vu au chapitre 2 C-2 que la presence ou l’absence d’interferences

dynamiques est controlee par l’annulation du terme non-diagonal de l’operateur

de deplacement, Rab(z), dont l’expression factorisee est :

Rab(z) =S

z − eN∑η=1

VaηVηb (5.16)


Il suffit alors d’annuler le terme r =∑N

η=1 VaηVηb pour que Rab(z) = 0 menant a

une interference dynamique entre |ψa〉 et |ψb〉.

Pour que ce systeme realise une fonction logique, les donnees d’entree, α et β, sont

encodees dans les elements de la perturbation, V (α, β), certains des Vaη et des Vηb

etant alors egaux a α ou β, d’autres restant fixes. Un changement de ces donnees

d’entree va directement induire une modification de Rab(z). Il suffit alors de faire

en sorte que Rab(z) s’annule lorsque le resultat de la fonction logique desiree est

“0” et qu’il soit different de zero lorsque ce resultat est “1”.

La valeur exacte de Rab(z) dans les cas non-interferants n’est pas d’une impor-

tance capitale et seule son annulation est exigee lorsque le resultat de la fonction

logique est nul. Il est alors possible d’ecrire l’expression symbolique de la reponse

frequentielle du systeme en fonction des donnees logiques d’entrees comme :

R (α, β) = |∑

η 6=a,b〈ψa|V (α, β)|φη〉〈φη|V (α, β)|ψb〉| (5.17)

Afin d’implanter une fonction Booleenne dans un systeme suivant cette methode,

il faut tout d’abord la re-exprimer sous la meme forme que (5.17), c’est a dire

comme la valeur absolue d’un polynome contenant une serie de produits de deux

termes.

Pour illustrer cette methode d’implantation, etudions le cas de l’inverseur, dont

l’expression symbolique est simplement α. Un polynome equivalent de cette fonc-

tion Booleenne est [5] :

α = |1− α| (5.18)

Pour implanter cette fonction dans le systeme etudie ici il suffit que le systeme

central contiennent deux etats, |φ1〉 et |φ2〉, avec : 〈ψa|V |φ1〉 = α et 〈ψa|V |φ2〉 =

〈φ1|V |ψb〉 = −〈φ2|V |ψb〉 = 1, ce qui mene au Hamiltonien :


H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |ψb〉

E α 1 .

α e . −1

1 . e 1

. −1 1 E

On reconnaıt alors, dans le cas α = 1, l’interferometre quantique etudie au chapitre

2-B-5. Puisque cette interference disparaıt des que α 6= 1, ce systeme realise bien

un l’inversion de α. L’application directe de l’expression (5.17) a ce systeme donne

bien : R (α) = |1 − α|, equation polynomiale equivalente de α. Le controle des

interferences dynamiques entre l’etat initial et l’etat cible au travers du systeme

totalement degenere mene donc bien a une implantation simple de fonctions lo-

giques directement a partir de leur expressions symboliques, le seul prerequis etant

la construction d’un polynome equivalent a cette expression [5].

2 · Tables de Karnaugh ponderees

Le developpement analytique des expressions polynomiales des fonctions lo-

giques peut tres bien etre mene en injectant dans leur expression symbolique l’equi-

valence (5.18) et en simplifiant les expressions obtenues. Neanmoins une methode

generale extremement simple, basee sur les tables de Karnaugh, permet de trouver

ces polynomes. La premiere etape consiste a former la table de Karnaugh de la

fonction (voir la figure 5.3). Nous allons alors regrouper les cases formant cette

table en rectangles, chaque rectangle contenant 2n cases. Les valeurs des cases au

sein d’un meme groupe peuvent etre, contrairement aux tables de Karnaugh clas-

siques, indifferemment 0 ou 1. A chaque groupe ainsi forme est attribue un poids,

pouvant etre soit positif ou negatif. Le but de cette methode consiste a former

les groupes de telle sorte que si la valeur d’une case est nulle, alors la somme des

poids des groupes auquel elle appartient doit egalement etre nulle et si la valeur

de cette case est 1 alors cette somme doit etre differente de zero. Chaque groupe

est egalement associe a une expression symbolique obtenue en reperant les don-


nees d’entrees logique qui ne changent pas de valeur a l’interieur du groupe. La

valeur de la somme de ces expressions symboliques, toutes ponderees par le poids

du groupe qu’elle represente, forme le polynome R . Les complements logiques des

variables, si il y en a dans cette somme, peuvent ensuite etre developpes suivant

l’equivalence (5.18) ou simplifies selon les relation de l’algebre Booleenne.

3 · Implantation des fonctions Booleennes de deux va-

riables

Appliquons cette methode au cas des fonctions usuelles de deux entrees lo-

giques. Apres avoir ecrite leur table de Karnaugh respective et avoir forme les

groupes ponderes il vient :

Fig. 5.3 – Tables de Kar-naugh ponderees pourles fonctions Booleennesusuelles de deux variables.Les groupes rouges et legroupe vert ont un poids de+1, alors que le poids desgroupes bleus est −1.

Suivant la methode exposees ci-dessus, les expression polynomiales des fonctions

AND et OR sont immediates : RAND = |αβ| et ROR = |α + β|. Dans le cas de la

fonction XOR le groupe dont l’expression symbolique est α a un poids de −1 et ce-

lui dont l’expression symbolique est β un poids de +1, ce qui donne RXOR = |β−α|.La fonction NAND contient un groupe, de poids +1, englobant toute les cases et

qui correspond donc a l’expression 1 et un groupe de poids −1 associe a l’ex-

pression αβ, ce qui donne le polynome : RNAND = |1 − αβ|. La fonction NXOR

contient aussi un groupe de poids +1 associe a l’expression symbolique 1 et deux

groupes de poids −1 dont les expressions sont respectivement α et β ce qui mene

a : RNXOR = |1−α−β|. La fonction NOR en plus des trois groupes de la fonction


NXOR, contient un quatrieme groupe de poids +1 dont l’expression est αβ ce

qui donne RNOR = |1− α− β + αβ|. L’utilisation des tables de Karnaugh ponde-

rees permet donc de trouver facilement les expressions polynomiales des fonctions

Booleennes.

Nous sommes alors en mesure de construire les systemes quantiques realisant

ces fonctions logiques a partir de leurs expressions polynomiales. Si cette expres-

sion contient N termes, N etats sont necessaires dans le systeme central, le produit

VanVnb devant etre egal au n-ieme terme de cette expression. Pour eviter de rendre

la lecture repetitive, un seul exemple est presente ici, les autres etant reportes dans

l’annexe C. Cette methode de construction sera egalement generalisee aux fonc-

tions plus complexes au chapitre 8-B.

Prenons la fonction NXOR dont le polynome est : R (α, β) = |1−α−β| qui peut

egalement s’ecrire : R (α, β) = |α − 1 + β|. Ce polynome contenant trois termes,

trois etats centraux, |φ1〉, |φ2〉 et |φ3〉, sont necessaires. Puisque le produit Va1V1b

doit etre egal a α, on pose Va1 = α et V1b = 1. De meme, puisque Va3V13 doit egaler

β, il vient Va3 = β et V3b = 1. Enfin, le deuxieme terme de R (α, β) etant −1, on

pose : Va2 = −1 et V2b = 1. Ceci mene finalement au systeme :


H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |φ3〉 |ψb〉

E α 1 β .α e . . 1k . e . −1β . . e 1. 1 −1 1 E

Fig. 5.4 – Realisation d’une fonction NXOR dans un interferometre quantique. Lecalcul numerique des trajectoires et de la probabilite de presence du systeme dansl’etat cible confirme l’efficacite de la methode des tables de Karnaugh ponderees.

4 · Conclusion

L’implantation de portes logiques dans des systemes quantiques tirant parti de

la presence ou l’absence d’interferences dynamiques entre l’etat initial et l’etat cible

s’avere tres aisee. En effet, il suffit pour implanter une fonction logique quelconque,

B(α) de la re-exprimer sous la forme d’un polynome, R (α) , constitues d’une se-

rie de produits de deux termes dependant des entrees logiques. Ce polynome est

facilement implantable dans un systeme contenant N etats en parallele entre l’etat

initial et l’etat cible, puisque il presente la meme forme que le prefacteur de son

operateur de deplacement. Cette methode offre par consequent une nouvelle facon

de concevoir l’implantation d’une operation arithmetique dont l’expression Boo-

C -. RESONANCES FREQUENTIELLES 101

leenne n’est pas directement implantee dans une serie de d’interrupteurs connectes

les un aux autres, mais ou elle controle la presence ou l’absence d’interferences

entre deux points du circuits. La generalisation de cette approche sera developpee

au chapitre 8. Rappelons enfin les expressions polynomiales des fonctions logiques

que nous avons trouve, grace aux tables de Karnaugh ponderees, lors de ce cha-

pitre :

B(α) R (α)NOT α |1− α|AND α · β |αβ|OR α + β |α + β|XOR α · β + α · β |α− β|NAND α · β |1− αβ|NXOR α · β + α · β |1− α− β|NOR α · β |1− α− β + αβ|

Fig. 5.5 – Expres-sion polynomiales desfonctions Booleennesusuelle, trouvees parl’utilisation des tablesde Karnaugh ponde-rees.

C - Analyse symbolique a couplage faible : Re-

sonances frequentielles

Nous allons maintenant nous servir du phenomene de resonance frequentielle

pour realiser des fonctions logiques. Rappelons que le Hamiltonien depend des

donnees d’entree, α et des parametres structuraux, notes dans la suite k. Nous

avons vu au chapitre 2 C-4 que lorsque V est suffisamment faible, la frequence

effective d’oscillation peut se mettre sous la forme :

Ω = P(F−1(α,k, E)

)∓ iπδ

(F (α,k, E)

)(5.19)

ou la fonction F (α,k, E) depend des donnees d’entrees, des parametres structu-

raux, de l’energie E et s’ecrit comme :

F (α,k, E) =1

Adet(E −QHQ)

(5.20)


1 · Presentation de la methode

L’implantation presentee ici se base exclusivement sur l’etude des singularites

de (5.19) qui apparaissent des que E est egal a une des valeurs propres de QHQ. A

ces singularites, la frequence Ω est proportionelle a ε alors qu’elle est proportionelle

a ε2 ailleurs. La valeur des donnees d’entrees, α et β, encodees dans QHQ, influe

sur la position des etats propres de cet operateur vis-a-vis de E. α et β peuvent

donc controler la presence ou l’absence de resonances frequentielles entre |ψa〉 et

|ψb〉. La valeur de Ω variant tres rapidement autour des poles de (5.19), un “1”

logique est associe a une trajectoire resonante et un “0” logique a une trajectoire

qui ne l’est pas. Comme le resultat de toute fonction logique est egal a 1 pour au

moins une configuration des entrees logiques, il est possible de negliger la partie

principale de (5.19), l’expression symbolique de la reponse frequentielle du systeme

s’ecrivant alors :

δ (F (α,k, E)) (5.21)

Contrairement a l’expression (5.17), les donnees d’entrees sont ici en argument

d’une fonction, F (α,k, E), elle meme argument d’une distribution de Dirac. Ceci

rend l’analyse symbolique de ce type de systeme moins evidente que dans l’implan-

tation precedente. Neanmoins en utilisant conjointement les proprietes de regulari-

sation de la transforme de Fourier sur les distributions [7], et la decomposition sur

une base discrete d’une fonction, l’expression (5.21) peut se mettre sous la forme

(voir annexe D) :

δ (F (α,k, E)) = α · β δ (F (0, 0,k, E))

+ α · β δ (F (0, 1,k, E))

+ α · β δ (F (1, 0,k, E))

+ α · β δ (F (1, 1,k, E)) (5.22)

Pour implanter une fonction Booleenne, il suffit d’annuler les argument des distri-

butions de Dirac correspondantes au termes Booleens elementaires, α·β, α·β, . . .,intervenant dans son expression symbolique. On obtient ainsi une trajectoire reso-


nante entre l’etat initial et l’etat cible, et donc un “1” logique, pour les valeurs de

α et β correspondantes.

Pour illustrer cette implantation, nous allons l’appliquer au cas du suiveur et

de l’inverseur. Ces deux fonctions ne dependent que d’une entree logique, α, et

leurs expression Booleennes sont respectivement α et α. Pour les implanter nous

utiliserons le systeme :

H =

|Ψa〉 |Ψb〉

E . ε .. E ε .ε ε e α. . α e

ou ε est pris suffisamment faible pour que la serie perturbative de Rab(E ± iη)

converge rapidement. Le parametre α ne prend que les valeurs 0 ou 1 et nous allons

montrer que selon la valeur des deux autres parametres E et e, ce systeme realise

les deux operations souhaitees. En appliquant l’equation (5.21) sur ce systeme il

vient directement :

δ (F (α,k, E)) = δ( 1

(E − e)ε2

[(E − e)2 − α2

])(5.23)

Le parametre ε2 au denominateur est un facteur d’echelle qui peut etre sorti de

la distribution sans incidence sur le reste des calculs. En developpant (5.23) selon

(5.22) il vient :

δ (F (α,k, E)) = α δ(E − e

)

+ α δ( 1

E − e((E − e)2 + 1

))(5.24)

En fixant E−e = 0, l’argument de la premiere distribution s’annule, alors que celui

de la deuxieme tend vers l’infini. L’equation (5.24) s’ecrit alors comme : α δ(0).

Cette singularite indique, nous l’avons vu au chapitre 2-C, une resonance frequen-


tielle qui a lieu ici uniquement si α = 1 c’est a dire si α = 0. Le systeme realise

donc un inverseur sur α. Pour les valeurs de α comprise entre 0 et 1, la frequence

d’oscillation est egale a la partie principale, negligee dans les expressions symbo-

liques utilisees ici. Neanmoins pour ce cas particulier cette partie principale est

nulle. Le systeme presente donc une interference frequentielle des que α 6= 0.

En fixant maintenant E − e = ±1, seul l’argument de la deuxieme distribution

est nul, celui de la premiere valant alors ±1. L’equation (5.24) s’ecrit alors comme :

α δ(0), signalant une resonance frequentielle entre |ψa〉 et |ψb〉 uniquement si α = 1.

Le systeme realise alors un suiveur sur la variable α.

Ce systeme peut donc, en fonction de ses parametres structuraux, realiser deux

operations differentes de la meme entree logique. Ceci peut se resumer comme :

δ( 1

(E − e)ε2

[(E − e)2 − α2

]) 'δ(α) siE = e

δ(1− α) siE = e± 1(5.25)

Pour ces deux differents cas, nous avons calcule numeriquement l’evolution du

systeme et sa trajectoire sur la sphere de Bloch reduite. On constate clairement

sur la figure 5.6, que dans les cas resonants, la frequence effective d’oscillation est

largement plus rapide que dans les cas non-resonant. L’analyse symbolique issue

de l’etude des resonances frequentielles, permet donc de construire des systemes

quantiques dont la reponse frequentielle respecte la table de verite d’une fonction

logique donnee. Le meme systeme peut egalement realiser differentes fonctions se-

lon les valeurs de ses parametres structuraux ouvrant ainsi la possibilite de realiser

des dispositifs programmables.


Inverseur Suiveur

Fig. 5.6 – Probabilites de presence Pab(t) et trajectoire dans la sphere de Blochreduite pour l’inverseur et le suiveur. Dans les cas resonants la frequence effectived’oscillation est proportionelle a ε alors qu’elle est proportionelle a ε2 dans les casnon resonnants.

2 · Implantation des fonctions Booleennes de deux va-

riables

Cette methode s’applique egalement au fonctions Booleennes de deux variables.

Pour le monter, nous allons etudier dans cette section le systeme modele :

H =

|Ψa〉 |Ψb〉

E . ε . .

0 E ε . .

ε ε e0 α β

. . α e1 k

. . β k e2

(5.26)

La diagonalisation exacte de QHQ, permet une analyse symbolique simple de la

reponse frequentielle de ce systeme. Nous allons montrer que cette derniere peut

realiser n’importe qu’elle fonction Booleenne symetrique a deux entrees. Pour cela

appliquons l’equation (5.21) :


δ (F (α,k, E)) = δ( ε−2

(E − e1)(E − e2)− k2

[(E − e0)

[(E − e1)(E − e2)− k2

]

− α2(E − e2)− β2(E − e1)− 2αβk])

(5.27)

Au vue de la complexite de l’expression des racines de la fonction en argument de

la distribution, ce cas general est difficilement etudiable. Neanmoins dans certain

cas particuliers, l’expression analytique de ces racines mene a une analyse symbo-

lique de la reponse frequentielle du systeme.

a) Fonctions AND, NOR et XOR

Prenons par exemple le cas : k = 0 et ei = e. Pour ces valeurs des parametres

structuraux, l’equation (5.21) s’ecrit comme :

δ (F (α, β,k, E)) = δ( 1

(E − e) [(E − e)2 − (α2 + β2)])

(5.28)

Cette expression peut etre developpee en utilisant (5.22) afin de faire apparaıtre

les prefacteurs Booleens :

δ (F (α, β,k, E)) = α · β δ((E − e))

+ α · β δ( 1

E − e[(E − e)2 − 1

])

+ α · β δ( 1

E − e[(E − e)2 − 1

])

+ α · β δ( 1

E − e[(E − e)2 − 2

])(5.29)

Comme dans le cas de l’inverseur et du suiveur, la valeur de E − e va conditioner

la fonction Booleenne realisee par le systeme. En effet si E − e = 0, alors seul

l’argument de la premiere distribution est annule donnant pour (5.29) : α · β δ(0),

le systeme realisant alors une fonction NOR. Si maintenant E − e = ±1, seul les


arguments de la deuxieme et de la troisieme distribution sont annules, l’equation

(5.29) s’ecrivant alors comme :

(α · β + α · β) δ(0), menant a la realisation d’une fonction XOR par le systeme.

Enfin si E− e = ±√2 seul l’argument de la derniere distribution est annule ce qui

mene a l’expression symbolique : α ·β δ(0) et donc a l’implantation d’une fonction

AND dans le systeme. La valeur de E − e determine donc la fonction logique

realisee par le systeme. Ceci se resume comme :

δ

(1

(E − e1)[(E − e1)2 − (α2 + β2)]

)'

δ(α2 + β2

)si E = e

δ(1− (α2 + β2)

)si E = e± 1

δ(2− (α2 + β2)

)si E = e±√2

(5.30)

Les evolutions temporelles ainsi que les trajectoires de ce systeme selon la va-

leur des parametres structuraux sont representees sur les figures 5.9, 5.10 et 5.11.

Les cas resonnants presentent une frequence effective d’oscillation bien plus grande

que les cas non-resonnants, et la trajectoire dans la sphere de Bloch reduite passe

d’une parabole a un cercle en s’ecartant des poles de l’operateur de deplacement.

Les fonctions logiques OR, NAND et NXOR ne sont pas realisables en fixant

k = 0 et ei = e. Ceci vient simplement du fait que pour ces valeurs des parametres

structuraux, la fonction F :

F (E, e, α, β) =1

E − e[(E − e)2 − (α2 + β2)

](5.31)

ne presente pas de zero commun pour des valeurs de α et β non equivalentes.

En effet pour implanter une fonction NAND, dont l’expression symbolique est :

α · β, il faut que F soit nulle dans les trois cas (α = 0, β = 0), (α = 0, β = 1)

et (α = 1, β = 0) et qu’elle soit differente de zero le cas (α = 1, β = 1), ce qui

n’est pas possible ici. La realisation de ces fonctions necessite donc une legere

complexification du systeme.


b) Fonction NAND

Pour implanter la fonction NAND nous gardons la condition ei = e mais avec

cette fois k 6= 0. Il vient alors en developpant la fonction generale (5.22) :

δ (F (α,k, E)) = α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e)((E − e)2 − k2

)])

+ α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e)((E − e)2 − k2 − 1

)])

+ α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e)((E − e)2 − k2 − 1

)])

+ α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e)((E − e)2 − k2 − 2

)− 2k])

(5.32)

Des que E = e, les arguments des trois premieres distributions s’annulent alors

que l’argument de la derniere reste different de zero. La reponse frequentielle du

systeme s’ecrit alors :[α · β + α · β + α · β]

δ(0). Le systeme realise donc bien

une fonction NAND pour E = e et quelque soit la valeur de k 6= 0. Une ex-

pression compacte de la reponse frequentielle du systeme peut etre obtenue en

remplacant les valeurs des parametres structuraux dans (5.27) et en extrayant les

termes constants ce qui mene a : δ(αβ)


c) Fonction NXOR :

Pour implanter cette fonction nous allons fixer e1 = −e2 ces deux parametres

etant differents de e0. En gardant k 6= 0, la reponse frequentielle du systeme est

alors donnee par :

δ (F ) = α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e0)

((E − e)2 − k2

)])

+ α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e0)

((E − e)2 − k2

)− (E + e)])

+ α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e0)

((E − e)2 − k2 − 1

)− (E − e)])

+ α · β δ

(1

(E − e)2 − k2

[(E − e0)

((E − e)2 − k2

)− 2E − 2k])

(5.33)

Une fonction NXOR est alors obtenue pour E − e0 = 0 et k = 0. En effet sous

ces conditions seul les arguments de la premiere et de la derniere distribution

s’annulent, signalant une resonance frequentielle entre l’etat initial et l’etat cible

seulement si α = β. L’expression de la reponse frequentielle de ce systeme peut

alors se mettre sous la forme compacte : δ(α2 − β2)


d) Fonction OR :

Pour implanter cette fonction, nous choisissons de poser e0 = e1 = e2 = 0 et

k 6= 0. La reponse frequentielle du systeme est alors :

δ (F (α, β,k, E)) = α · β δ (E)

+ α · β δ

(1

E2 − k2

[E3 − E(1 + k2)

])

+ α · β δ

(1

E2 − k2

[E3 − E(1 + k2)

])

+ α · β δ

(1

E2 − k2

[E3 − E(2 + k2)− 2k

])

(5.34)

Les racines des fonctions en argument des deuxiemes et troisiemes distributions

sont connues et donnees par : E± = ±√1 + k2 et E0 = 0. Cette derniere ne nous

interesse pas puisque pour cette valeur de E, l’argument de la premiere distribu-

tion s’annule aussi. En injectant E+ dans la fonction en argument de la derniere

distribution on trouve : k = ± 1√3. Pour cette valeur de k et de E, les fonctions

en arguments des trois dernieres distributions s’annulent menant a des evolutions

resonnantes et donc a l’implantation d’une fonction OR. L’expression symbolique

du systeme peut alors se mettre sous la forme compacte : δ(

1− α2 − β2 + αβ)

Les reponses temporelles de ce systeme dans les configurations realisant ces

trois fonctions ont ete calculees numeriquement, verifiant encore une fois le bon

accord entre les predictions basees sur l’etude des poles de la reponse frequentielle

et les evolutions calculees. Ces evolutions, ainsi que les trajectoires du systeme

dans la sphere de Bloch reduite, sont representees sur les figures 5.12, 5.13 et 5.14.

Le calcul numerique de la valeur de la frequence effective d’oscillation a ete mene

pour les differentes fonctions logiques que le systeme realise. La encore, l’accord

entre l’analyse symbolique de la reponse frequentielle du systeme et la valeur reelle

de cette frequence presente un accord satisfaisant.


Inputs (eV ) Ω (THz)

α β NOR AND XOR OR NXOR NAND

0 0 0.3 5 · 10−5 4 · 10−5 5 · 10−5 0.3 0.4

0 1 0 2 · 10−4 0.7 0.7 10−4 0.5

1 0 0 2 · 10−4 0.7 0.7 10−4 0.5

1 1 0 0.5 5 · 10−5 0.5 0.6 5 · 10−5

La variation de la frequence effective d’oscillation en fonction de α et β est

donnee sur la figure 5.7 pour les valeurs des parametres structuraux realisant une

fonction XOR (E − e = ±1 et k = 0).Pour les autres portes logiques, la variation

de Ω selon α et β est tres similaire, presentant des lignes de resonances corres-

pondantes aux valeurs de α et β qui annulent l’argument d’une des distributions

de Dirac. La largeur de ces pics est plus ou moins grande selon la valeur de ε, et

tendent vers des pics de Dirac dans le cas du systeme realisant une fonction NOR,

qui presente comme l’inverseur, une interference frequentielle des que α ou β sont

differents de zero.

Fig. 5.7 – Variation de lafrequence effective d’oscilla-tion en fonction de α et βdans le cas du systeme rea-lisant une foncions XOR

3 · Conclusion

Le systeme etudie ici peut ainsi realiser les six fonctions Booleennes syme-

triques en ajustant simplement ses parametres structuraux. Il constitue donc le

premier exemple de QHC programmable, analogue quantique des circuits logiques


programmables [6]. Sa reponse frequentielle mene a l’expression des fonctions Boo-

leennes sous la forme, non pas de polynomes comme au chapitre precedent, mais

de distributions de fonction. Ces expressions compactes peuvent etre resumees

comme :

B(α) δ(F (α)

)suiveur α δ(1− α)inverseur α δ(α)NOR α · β δ(α2 + β2)XOR α · β + α · β δ

(1− (α2 + β2)

)AND α · β δ

(2− (α2 + β2)

)NAND α · β δ(αβ)NXOR α · β + α · β δ(α2 − β2)OR α + β δ(1− α2 − β2 + αβ)

Fig. 5.8 – Ex-pression compactedes distributionsequivalentes auxexpressions symbo-liques des fonctionslogiques.


Fonction NOR : δ(α2 + β2)

Fig. 5.9 – Evolutions temporelles de la fonction Pab(t) et trajectoire dans la spherede Bloch reduite du systeme dans la configuration NOR.

Foncions XOR : δ(1− α2 − β2)

Fig. 5.10 – Evolutions temporelles de la fonction Pab(t) et trajectoire dans lasphere de Bloch reduite du systeme dans la configuration XOR.


Fonction AND : δ(2− α2 − β2)

Fig. 5.11 – Evolutions temporelles de la fonction Pab(t) et trajectoire dans lasphere de Bloch reduite du systeme dans la configuration AND.

Fonction NAND : δ(α2β2)

Fig. 5.12 – Evolutions temporelles de la fonction Pab(t) et trajectoire dans lasphere de Bloch reduite du systeme dans la configuration NAND.


Fonction NXOR : δ(α2 − β2)

Fig. 5.13 – Evolutions temporelles de la fonction Pab(t) et trajectoire dans lasphere de Bloch reduite du systeme dans la configuration NXOR.

Fonction OR : δ(1− α2 − β2 + αβ)

Fig. 5.14 – Evolutions temporelles de la fonction Pab(t) et trajectoire dans lasphere de Bloch reduite du systeme dans la configuration OR.


D - Stabilite des systemes

Comme dans le cas des systemes controles en distance du chapitre 4, il est ici

aussi interessant d’etudier l’evolution de la fidelite des systeme etudies lors de ce

chapitre lorsque ils sont soumis a de legeres perturbations ou lorsqu’ils interagissent

avec leur environnement. La encore, par souci de fluidite toutes les implantations

ne sont pas etudiees, et seule celle basee sur les Hamiltoniens effectifs inverses est

presentee. Nous avons vu au chapitre 3 que la fidelite d’un systeme controle en

frequence est donnee par :

F =∏

α,β

e−(Ωαβ−Iαβ)2

2σ2 (5.35)

ou Ωαβ est la frequence effective d’oscillation normalisee pour les valeurs de α et

β correspondante, et Iαβ le resultat attendu pour ces meme valeurs des donnees

d’entree. Il est alors possible de calculer cette fidelite pour la porte NAND rea-

lise au chapitre 5-A quand son Hamiltonien est perturbe par une source de bruit

commutative ou non, ou lorsque elle interagit avec un continuum, modelise ici par

le modele de Fano.

Dans le cas ou le Hamiltonien de cette porte est perturbe par une source de

bruit commutative, la fidelite de cette implantation est calculee en remplacant,

dans l’equation (5.35), Ωαβ par son esperance calculee au chapitre 3. D’apres la

figure 5.15, la fidelite de cette implantation reste bonne meme pour une amplitude

de bruit relativement elevee. Ceci vient du fait que la frequence dominante est tou-

jours donnee par le meme couple de valeurs propres et que par consequent, aucun

saut de frequence ne peut intervenir. Dans le cas du bruit non-commutatif, la fide-

lite du systeme est calcule selon les amplitudes η1 et η2 de deux sources de bruit,

la premiere ne portant que sur les elements diagonaux du Hamiltonien, l’autre sur

ses elements non-diagonaux (voir figure 5.16). La aussi les sauts de frequence sont

assez rares. Le poids de la frequence dominante etant bien plus important, une

grande modification de la base propre du systeme est necessaire pour changer de

couple de valeurs propres dominantes et la fidelite reste logiquement assez bonne

pour les amplitudes de bruit etudiees ici.

D -. STABILITE 117

La fidelite de ce systeme est egalement modifiee lorsque les trois etats du sys-

teme interagissent, au travers d’un couplage v, avec un continuum d’etats repre-

sentant l’environnement de la porte logique. Neanmoins nous avons vu au chapitre

3, que la presence de ce continuum modifie largement plus l’amplitude des oscil-

lations que leur frequence. La fidelite du systeme est alors logiquement tres peu

perturbee par ce continuum (voir figure 5.15).

Fig. 5.15 – Stabilite dela porte NAND contro-lee en frequence vis-a-visd’une source de bruit com-mutative d’amplitude η etlorsque les etats du sys-teme interagissent, au tra-vers d’un couplage v, avecles etats d’un continuum.Meme pour des perturba-tions fortes, la fidelite de laporte reste relativement ele-vee.

Fig. 5.16 – Stabilite dela porte NAND controleeen frequence vis-a-vis d’unesource de bruit, d’amplitudeη1, sur les elements diago-naux de son Hamiltonienet d’une deuxieme, d’ampli-tude η2, ne perturbant queles elements non-diagonaux.La encore, meme pour desperturbations fortes, la fide-lite de la porte reste relati-vement elevee.


E - Conclusion

Le controle en frequence permet de construire des systemes quantiques realisant

differentes fonctions logiques. Cette implantation est facilitee par la re-expression

des fonctions logiques sous forme particulierement bien adapte pour l’utilisation de

systemes quantiques. Ces expressions symboliques font non seulement intervenir

les donnees d’entree mais egalement les parametres structuraux. Ainsi, avant d’etre

implantee selon notre approche, toute fonction logique doit d’abord etre exprimee

au travers de la valeur absolue d’un polynome, pour controler les interferences

dynamiques, ou par une somme de distributions de fonction pour mettre a profit

le phenomene de resonance frequentielle. Ces expressions symboliques sont une des

cles de la generalisation de notre approche a des fonctions logiques tres complexes,

qui sera introduite au chapitre 8. Enfin, l’etude de la stabilite de ces systemes vis-

a-vis d’une source de bruit sur leur Hamiltonien ou des interactions qu’ils peuvent

avoir avec leur environnement, confirme la robustesse des systemes controles en

frequence par comparaison a ceux controles en distance.

Bibliographie

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[2] C. Patoux et al, Inorganic Chemistry, 36(1997), page 5037Topological effects on intramolecular electron transfer ...

[3] V. Marvaud, J.P. Launay C. Joachim, Chem. Phys., 177(1993), page 23Electron transfer through tetraphenanthrene : a quantum “interference”?


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[7] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Hermann 1973Mecanique quantique Tome II - Appendice 2

119

120 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 6

Processus de mesure

A - Introduction

Le controle de D(t) et de Ω nous a permis aux chapitres 4 et 5 d’implanter des

fonctions logiques dans des systemes quantiques. Il nous faut maintenant preciser

les moyens de mesures possibles pour acceder a ces caracteristiques de ρ(t).

La spectroscopie de battements quantiques est la premiere technique experi-

mentale qui a permis d’acceder a certaines proprietes de ρ(t). En effet, la presence

de modulations dans le signal de fluorescence emis par un atome a ete demontree

des la fin des annees cinquante [1, 2, 3] et a depuis ete detectee dans de nombreuses

experiences [4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 17].

Parmi les nombreuses descriptions theoriques de cette technique [2, 3, 4], nous

rappellerons ici brievement celle donnee par Felker et Zewail [10, 11, 12]. Consi-

derons N etats vibrationels, |φa〉, |φb〉, |φc〉, . . ., couples entre eux (voir fig. 6.1).

L’excitation de ce systeme a partir du niveau fondamental, |g〉, vers le niveaux op-

tiquement actif |φa〉, declenche son evolution. Le systeme n’etant pas totalement

isole, le peuplement des etats |φn〉, dont la duree de vie est notee Λ, donne lieu a

un signal de fluorescence lors de la desexitation du systeme vers les etats |fm〉. En

le detectant sur une seule bande, par exemple |fb〉, ce signal s’ecrit [10] :

121

122 CHAPITRE 6. PROCESSUS DE MESURE

S(t) = Ke−Λtµ(φa, g)µ(g, φa)µ(φb, fb)µ(fb, φb)Pab(t) (6.1)

ou les elements µ(φa, g) = 〈φa|e0 · µ|g〉 et µ(φb, fb) = 〈φb|ed · µ|fb〉 dependent des

polarisations d’emission, e0, et de detection, ed, ainsi que du dipole de transition

electrique, µ [10].

Bien que de nombreux raffinements puissent etre apportes [13, 14], cette analyse

simple montre que la mesure de S(t) fournit un acces direct a Pab(t). Le signal de

fluorescence peut etre utilise pour mesurer la sortie des fonctions logiques reali-

sees en controlant D(t) = 1−Pab(t), rejoignant ainsi des solutions d’implantation

recemment proposees [18, 19]. Il peut egalement etre utilise pour mesurer Ω au

travers de la transforme de Fourier de S(t) [10]. Neanmoins, nous allons montrer

que pour ce cas la, une autre solution correspond mieux a l’approche QHC : la

mesure de Ω au travers du courant tunnel parcourant le systeme.

Fig. 6.1 – Reseaux d’etats vibra-tionels. L’excitation du systeme, apartir de |g〉, dans l’etat |φa〉 de-clenche son evolution. La mesuredu signal de fluorescence issue dela desexitation vers la bande |fb〉donne une observation directe dePab(t).

B -. MESURE DE Ω PAR COURANT TUNNEL 123

B - Mesure de Ω par courant tunnel

Nous allons etablir un lien entre la frequence effective d’oscillation d’un sys-

teme quantique, et la probabilite de transfert electronique entre deux electrodes

au travers de ce dernier. Nous montrerons que l’expression analytique de cette

probabilite, notee Pa→b(E), est similaire a celle du coefficient de transmission elec-

tronique, note T (E), frequemment rencontre dans la litterature [34, 35, 62, 51].

Puisque le courant tunnel est proportionel au T (EF) pour une faible polarisation,

le microscope a effet tunnel [24, 25, 49] s’avere alors etre une technique experimen-

tale tres adaptee a la mesure des fonctions logiques basees sur le controle de Ω.

Une des premieres methodes de calcul du courant tunnel provient de la ge-

neralisation du formalisme de Lippmann-Schwinger [26, 30, 29], issue de l’etude

de l’evolution temporelle entre deux etats propres de chaque electrode au travers

de la matrice de transition [31, 32]. Plusieurs techniques ont etes proposees pour

mener ce calcul a bien, en passant par exemple par l’operateur de Møller [50], ou

en utilisant le theoreme d’Ehrenfest generalise [48, 27, 28]. D’autres solutions ont

egalement ete proposees [55, 53, 54, 45, 64, 61], mais aucune a notre connaissance

ne fait explicitement intervenir Ω.

Nous allons ici presenter une methode de calcul simple se basant sur le fil-

trage de Fourier (voir chapitre 2) et utilisant le modele de Fano pour modeliser

les continuums d’etats des electrodes (voir chapitre 3). Nous presentons en pre-

mier lieu le cas tres etudie d’une seule impurete introduite entre deux electrodes

mono-atomiques. Nous elargirons ensuite cette description a des cas plus complexes

en veillant a ce qu’elle reste coherente avec celles proposees dans la litterature

[35, 39, 43, 63].

1 · Relation entre Ω et Pa→b dans un cas simple

Nous avons etudie au chapitre 2 le systeme a trois etats represente sur la figure

6.2, dont la frequence effective d’oscillation peut etre approchee lorsque (v2a+v2

b )¿e par : Ω(e) ' 1/~

v2a+v2

b

e.


Fig. 6.2 – Systeme a trois etats isoleetudie lors du chapitre 2.

Afin de mesurer Ω, nous allons montrer qu’il est suffisant d’inserer l’etat |φ〉 entre

deux chaınes semi-infinie d’etats. Nous retrouvons ainsi une situation frequem-

ment rencontree dans la litterature et representee sur la figure 6.3 : le transfert

electronique au travers d’une impurete [35, 46].

Fig. 6.3 – Representation du systeme etudie pour modeliser le transfert electro-nique a travers une impurete. Deux chaınes semi-infinie interagissent au traversd’une impurete, ici l’etat |φ〉, qui perturbe la propagation des ondes de Blochelectroniques.

Considerons alors deux etats, |ψa〉 et |ψb〉, decrivant chacun un etat propre, d’ener-

gie E, d’une des deux electrodes [31, 32, 45]. Nous allons etudier la trajectoire

quantique de ce systeme, initialement prepare dans l’etat |ψa〉, en portant particu-

lierement attention a l’amplitude de probabilite 〈ψb|ψ(t)〉. Cette trajectoire est bien

entendu perturbee par les continuums formes par tous les etats propres des deux

electrodes. Ces perturbations sont modelisees ici par le modele de Fano [56, 57, 58]

dans lequel ces continuums sont discretises en pseudo-continuums contenant n

etats (voir chapitre 3). L’interaction entre les differents etats du systeme central

et les differents continuums se modelise simplement par un Hamiltonien effectif

[59, 60] :

Heff =

|ψa〉 |ψb〉 |φ〉( )E 0 εa0 E εbεa εb E + e

+i

2

|ψa〉 |ψb〉 |φ〉( )0 0 00 0 00 0 Γ

(6.2)


avec Γ = Γa + Γb = −4(v2a + v2

b )ρ(E) ou ρ(E) est la densite d’etat des continuums

[58, 60]. Ce modele effectif est represente sur la figure 6.4. A cause de leur normali-

sation, les deux etats propres, |ψa〉 et |ψb〉, interagissent tres faiblement avec l’etat

|φ〉 au travers des couplages εi = ε vi ou le parametre sans dimension ε ∝ 1/√n

provient de la normalisation des etats |ψa〉 et |ψb〉. Enfin, |φ〉 interagit de maniere

dissipative avec les continuums au travers de Γa et Γb.

Fig. 6.4 – Impurete, modelisee parl’etat |φ〉, introduite entres deux elec-trodes. Les etats |ψa〉 et |ψb〉 sont deuxetats propres d’energie E des deux elec-trodes. Les continuums formes par ceselectrodes perturbent la trajectoire dusysteme au travers des termes Γa et Γb.

Il est alors possible de calculer l’amplitude de probabilite pour que le systeme,

initialement prepare dans l’etat |ψa〉, atteigne l’etat |ψb〉. Ce calcul mene a :

〈ψb|ψ(t)〉 = −a(1− cos2 θe−ie+X

2te

Γ−Y2

t − sin2 θe−ie−X

2te

Γ+Y2t)e−iEt (6.3)

avec a = vavb(v2a+v2

b ). Comme lors du chapitre 2, l’angle θ definit la matrice U(θ) qui

diagonalise le Hamiltonien (6.2) avec :

θ = sin−1

|E − e+X

2− iΓ−Y

2|√

|E − e+X2− iΓ−Y

2|2 + δ2

(6.4)

ou δ =√ε2a + ε2

b . Les parametres X et Y proviennent de la decompostion en partie

reelle et imaginaire des valeurs propres de (6.2) et sont donnes par :

X =[1

2

(√(e2 − Γ2 + 4δ2)2 + 4e2Γ2 + (e2 − Γ2 + 4δ2)

)]1/2

Y =[1

2

(√(e2 − Γ2 + 4δ2)2 + 4e2Γ2 − (e2 − Γ2 + 4δ2)

)]1/2

(6.5)


Nous fixons dans la suite E = 0, qui sera notre reference en energie. Il est equivalent

de faire varier E en laissant e fixe mais les calculs s’en retrouvent legerement plus

complexes. Comme nous l’avons vu aux chapitres 2 et 5, la faible valeur de ε est

responsable du filtrage de l’equation (6.3), le poids d’une de ses frequences etant

largement superieur aux autres. Ici ce filtrage se traduit par sin2 θ ' 1. La valeur

moyenne de la fonction (6.3) est alors generalement definie par [26, 55] :

pab(e) =a

∫∞0

(1− e−iωteκt)e−γtdt∫∞

0e−γtdt

= a(ω + iκ)

(ω + iκ)− 2iγ(6.6)

ou l’on a pose : κ = 1/2(Γ + Y ) et ω = 1/2(e − X). La probabilite de transfert

electronique moyenne est alors simplement donnee par le module au carre de (6.6) :

Pa→b(e) = pab · p∗ab = a2 · ω2 + κ2

ω2 + κ2 + 4γ2 − 4γκ(6.7)

Plusieurs explications peuvent etre avancees pour justifier la nature du parametre

γ introduit en (6.7) : la cessation des interactions entre les etats |ψa〉 et |ψb〉 [26],

la relaxation de ces etats [47] ou simplement un parametre de convergence [55].

Il est possible d’obtenir l’expression de γ en comparant l’expression de Pa→b(e)

a celle du coefficient de transmission, T (e), obtenue selon la methode ESQC [36,

37](voir annexe 4). Nous menons ces calculs pour Γ ¿ e et E = 0, valeur pour

laquelle la densite d’etat des electrodes est maximale. Il vient alors :

Pa→b(e) =ε2aε

2b

γ2

a2

4h2 (v2

a + v2b )

2 + e2T (e) =

v2av

2b

(v2a + v2

b )2 + e2 h2

4

(6.8)

Pour que ces deux expressions soient identiques il faut que :

γ = εaεb

(h

2(δ/ε)2

)(6.9)

Les fonctions Pa→b(e) et T (e) sont representees sur la figure 6.5 pour cette valeur

de γ. Ce calcul etant effectue pour E = 0, c’est a dire au centre de la structure de

bande des electrodes, nous posons que sur une valeur quelconque de E, γ devient


par continuite : γ = εaεbρ(E)−1

4(δ/ε)2 . Enfin remarquons que l’equation Pa→b(e) don-

nee en (6.8) peut se re-ecrire simplement en fonction des parametres Γi comme :

Pa→b(e) = ΓaΓb[(Γa+Γb)2 +(eh/2)2]−1, qui est la forme Lorentzienne du coefficient

de transmission que l’on retrouve frequemment dans la litterature [44, 20].

Afin d’etablir un lien entre les caracteristiques de ρ(t) et (6.7), revenons a la

probabilite Pab(t) = |〈ψb|ψ(t)〉|2 qui s’ecrit, sous l’approximation sin2 θ ' 1 :

Pab(t) = a2(

1 + e2κt − 2eκt cos(ωt

))(6.10)

Cette fonction est egalement represente sur la figure 6.5 pour deux differentes va-

leurs de e. Les parametres ω et κ, definissant le profil de Pa→b(e) donne en (6.7),

apparaissent etre respectivement la frequence effective d’oscillation et le taux de

decroissance exponentiel de Pab(t). La probabilite Pa→b(e) n’est donc pas entie-

rement determinee par ω, κ jouant egalement un role important. Prenons par

exemple le cas e ¿ Γ qui mene a ω ' 0 et κ = Γ +√

Γ2 − 4δ2. Il est clair que si

κ ne jouait aucun role, Pa→b(e = 0) serait nul, ce qui va a l’encontre des resultats

traitant de la diffusion au travers d’un etat resonant [20, 45, 35]. Remarquons enfin

que l’amplitude des oscillations, a, modifie la valeur moyenne de Pa→b. Si a = 0, ce

qui arrive par exemple lorsque va ¿ vb ou en presence d’interference dynamique,

la probabilite Pa→b sera egalement nulle.

La fonction e−γt, intervenant dans le calcul de pab, est superposee aux probabi-

lites Pab(t) sur la figure 6.5. Comme ce qui etait deja pressenti dans la litterature

[52], l’exponentielle decroissante e−γt coupe rapidement Pab(t). Le calcul de pabprend uniquement en compte les premieres arches de 〈ψb|ψ(t)〉, sa valeur augmen-

tant avec ω et κ. Cette exponentielle decroissante agit comme un filtre passe haut

sur 〈ψb|ψ(t)〉. La caracteristique passe-haut du transfert electronique exposee ici

ne doit pas etre confondue avec celle passe-bas mesoscopique, provenant du circuit

RC equivalent d’une jonction tunnel.


Fig. 6.5 – La figure de gauche represente la probabilite Pa→b(e) en fonction del’energie e de l’impurete, les points etant la valeur du T (e) donnee par l’equation(6.8). Les deux figures de droite representent elles les oscillations Pab(t) (noir) ete−γt (bleu) pour deux valeurs differentes de e : e = 0 eV en haut et e = 0.5 eV enbas.

Nous pouvons maintenant montrer que le systeme de mesure represente sur la

figure 6.4 est capable de mesurer la frequence effective d’oscillation du systeme isole

de la figure 6.2. En effet lorsque Γ ¿ e, la probabilite Pa→b(e) s’ecrit simplement

comme :

Pa→b(e) = a2 ω2

ω2 + 4γ2avec ω =

ε2a + ε2

b

e= ε2Ω(e) (6.11)

ou Ω(e) est la frequence effective d’oscillation du systeme isole mentionne en debut

de chapitre. Cette expression de Pa→b(e) est en accord avec le travail fondateur

de J. Bardeen selon lequel : T (E) ∝ ω2 [30]. Au travers de cette expression, une

valeur de Ω peut s’obtenir au travers de la mesure de Pa→b(e) selon :

Ω(e) =a

2~ρ−1(E)

√Pa→b(e)

a2 − Pa→b(e) (6.12)


Les variations de la frequence effective d’oscillation de ce systeme se repercutent

donc directement sur le coefficient de transmission du systeme de la figure 6.4. Ce

coefficient etant un des facteurs dominant du courant tunnel passant au travers du

systeme [33, 34], la mesure du courant tunnel fournit un acces direct a la frequence

effective d’oscillation du systeme quantique.


2 · Relation entre Ω et Pa→b dans le cas general

Le principe de mesure que nous venons de decrire est facilement generalisable

au cas ou l’impurete contient plus d’un etat. L’expression exacte de 〈ψb|ψ(t)〉 est

generalement impossible a deriver analytiquement dans ce cas. Neanmoins, lorsque

les etats |ψa〉 et |ψb〉 sont faiblement couples au defaut, nous avons vu au chapitre

2, que deux valeurs propres, λ± = E+w±, presentent un poids largement superieur

aux autres. L’amplitude de probabilite peut alors etre approximee par :

〈ψb|ψ(t)〉 =

√Aeff

2e−i(E+w+)t(1− e−i(w−−w+)t) (6.13)

ou Aeff est l’amplitude effective des oscillations definie au chapitre 2. Ne jouant

aucun role, le terme de phase e−i(E+w+)t est neglige. La probabilite pab se calcule

de maniere identique a (6.6) et donne :

pab =

√Aeff

2

(Ω + i∆)

(Ω + i∆)− 2iγ(6.14)

avec :

Ω = 1/2Re(w− − w+) et ∆ = 1/2|Im(w− − w+)| (6.15)

La probabilite Pa→b est definie comme precedemment par Pa→b = pab · p∗ab qui

est alors donne par l’expression (6.7) avec les definitions de Ω et ∆ donnees en

(6.15) et avec a2 = 1/4Aeff. Contrairement a la section precedente, c’est ici E qui

varie, l’energie des etats du systeme central restant fixe. Comme precedemment,

pour mieux aborder ce phenomene, comparons (6.14) a la probabilite de presence

du systeme dans l’etat cible, donnee ici par :

Pab(t) = Aeffe−2∆t sin2(Ωt) (6.16)

Comme dans le cas precedent, l’amplitude, Aeff, des oscillations modifie la valeur

moyenne de Pa→b. La frequence effective d’evolution, Ω et le facteur de decrois-

sance exponentielle, ∆ definissent le profil de cette fonction.

Afin d’illustrer notre approche, prenons l’exemple simple du transfert electro-


nique au travers du reseau π d’un benzene dans le modele de Huckel simple [51, 38].

Afin de simplifier les calculs, le couplage entre deux orbitales p voisines du benzene

sera pris comme reference a k = −1 eV , le couplage entre deux etats des electrodes

sera lui egal a h = −2 eV . L’energie des orbitales p du benzene ainsi que celle des

etats des electrodes sont supposees egales a 0 eV .

Nous menerons ces calculs pour differentes configurations des electrodes, qui

seront placees soit en position ortho soit en position meta. Les parametres va et vb

prendront trois valeurs : une tres faible en comparaison de h, vi = −0.25 eV pour

illustrer le regime tunnel, une du meme ordre de grandeur que h, vi = −2 eV ,

pour etudier un regime qualifie de pseudo-ballistique et enfin une plus importante

vi = −6 eV qui sera refere comme surcouple.

Pour clarifier la construction du Hamiltonien effectif de Fano, etudions la confi-

guration ortho. Les etats |ψa〉 et |ψb〉 sont couples aux deux premiers etats du

reseau π par un couplage faible ε. Les continuums sont pris en compte par la par-

tie imaginaire de Heff. La premiere electrode interagissant uniquement avec l’etat

|φ1〉, seul l’element 〈φ1|H|φ1〉 est perturbe par la presence de cette electrode au

travers du terme Γa = 4v2aρ(E). Il en va de meme pour l’element 〈φ2|H|φ2〉 qui

est perturbe par la presence de la deuxieme electrode par le terme Γb = 4v2bρ(E).

Ainsi, le Hamiltonien effectif est donne par :

Heff =

|ψa〉 |ψb〉 |φ1〉 |φ2〉 |φ3〉 |φ4〉 |φ5〉 |φ6〉

E . ε . . . . .. E . ε . . . .ε . − iΓa

2k k . . .

. ε k − iΓb2

. k . .. . k . . . k .. . . k . . . k. . . . k . . k. . . . . k k .

(6.17)

Le Hamiltonien effectif relatif a la conformation meta est construit de maniere

identique a la seule difference que c’est alors l’etat |φ4〉 qui est couple a |ψb〉 et


dont l’energie est modifiee la presence de la deuxieme electrode. Les resultats de

ces calculs sont representes sur la figure 6.6 superposes au resultats obtenus avec

la methode ESQC pour le meme systeme [38]. Il apparaıt clairement sur cette fi-

gure, que les resultats obtenus par ces deux methodes sont tres similaires et sont

coherents avec d’autres approches proposees dans la litterature [51].

Les spectres obtenus en regime tunnel, sont semblables a la figure (2.9) obtenue

lors de l’etude de la frequence effective d’oscillation d’un oscillateur harmonique.

Ceci vient simplement du fait que les termes dissipatifs, Γ, etant ici tres faibles,

Pa↔b est largement dominee par Ω. Comme explique au chapitre 2, les resonances

et les interferences de ces spectres correspondent respectivement a un pole ou un

zero de l’operateur de deplacement Rab(z), et donc a une oscillation tres rapide ou

au contraire tres lente entre |ψa〉 et |ψb〉.

Du fait des fortes interactions entre le systeme central et les continuums, les

resonances des regimes pseudo-ballistique et surcouple sont decalees. Cette modi-

fication de la densite d’etats du systeme central est prise en compte de maniere

differente dans les deux methodes, ce qui explique les differences observees sur ces

spectres.

Enfin remarquons la presence en regime pseudo-ballistique et surcouple d’in-

terferences au niveau des energies propres degenerees du systeme central egales

a ±1 eV . Ces resonances sombres ne correspondant pas aux zeros de l’operateur

Rab(z) et sont entierement induites par la presence des continuums. Pour ces va-

leurs des parametres, les valeurs propres de poids fort w± sont degenerees ce qui

mene Ω = ∆ = 0 et par consequent Pa→b(E = ±1) = 0.


a) b)

c) d)

e) f)

Fig. 6.6 – Comparaison du calcul du T (E) (trait pointille bleu) et de Pa→b(E) (traitplein noir) a travers le reseau π d’un benzene connecte a deux electrodes mono-atomique dans des configurations ortho (colonne de gauche) et meta (colonne dedroite). Ces calculs sont menes pour differentes valeurs du couplage vi entre ledernier etat de chaque electrode et l’orbitale pz a laquelle elle est connectee. a) etb) Regime tunnel, vi = −0.25 eV . c) et d) Regime pseudo-ballistique, vi = −2 eV .e) et f) Regime surcouple, vi = −6 eV .


3 · Generalisation a N electrodes

L’etude du transfert electronique peut etre generalise au cas ou le systeme cen-

tral est place entre plus de deux electrodes [63, 40, 41, 42]. Notre approche peut

facilement etre ainsi generalisee pour tenir compte de la presence de N continuums

formes par les etats propres des N electrodes. Chaque etat du systeme central cou-

ple a la n-ieme electrodes voit son energie modifiee par un terme dissipatif Γn defini

comme precedemment. Le calcul de Pa→b, se fait alors en etudiant la trajectoire du

systeme entre deux etats, |ψa〉 et |ψb〉, decrivant chacun un etat propre, d’energie

E, d’une des deux electrodes. Les etats des N − 2 autres electrodes interviennent

ici uniquement dans les termes dissipatifs Γn.

Le calcul de la probabilite Pn↔m entre les electrodes monoatomiques n et m

faiblement couplees a une impurete ne contenant qu’un seul etat est alors imme-

diat et donne : Pn↔m(e) = ΓnΓm[(Γ1 + . . . + ΓN)2 + (eh/2)2]−1 qui est en accord

avec les autres methodes de calculs [40, 63].

Des systemes plus complexes peuvent egalement etre etudies a partir du calcul

numerique des deux valeurs propres de poids forts selon le critere de Bloch. Les

valeurs de Ω et ∆ obtenues grace a (6.15), sont alors utilisees dans (6.14) pour

calculer Pn↔m.

Etudions ainsi la transmission electronique entre trois electrodes mono-atomiques

au travers du reseau π d’un naphtalene. Ces trois electrodes interagissent chacune

avec un seul des etats du systeme central (voir figure 6.7a). Nous presentons sur

la figure 6.7 les trois cas : vi = −0.25 eV , vi = −2 eV et vi = −6 eV . La compa-

raison des resultats obtenus selon notre methode et la methode N -ESQC [40] est

satisfaisante meme si de legeres differences sont presentes.


a) b)

c) d)

Fig. 6.7 – Comparaison du calcul N -ESQC (trait pointille bleu) et selon notreapproche (trait plein noir) du coefficient de transmission entre trois electrodesconnectees au reseau π d’un naphtalene comme represente en a). Ces calculs sontmenes pour differents regime de conduction : b) tunnel, c) pseudo-ballistique, d)surcouple.

4 · Application aux portes logiques

Grace a la relation entre Ω et Pa→b, les resultats des fonction logiques implantees

au chapitre 5 peuvent etre mesures en inserant les systemes les realisant entre deux

electrodes.


a) Interferometre quantique

Nous avons vu au chapitre 2-C-4 qu’en presence d’interferences dynamiques

entre deux etats, l’amplitude des oscillations reste nulle quelque soit l’energie de

ces etats. La probabilite Pa→b(E) doit donc, pour ces systemes, rester nulle quelque

soit E. Mesurons alors le resultat de la fonction NXOR realisee au chapitre 5-B-3

en mesurant la probabilite Pa→b(E) au travers du systeme la realisant (cf figure

6.8a). Il apparaıt clairement qu’a cause des interferences dynamiques creees lorsque

α 6= β, Pa→b(E) reste nulle quelque soit E. La mesure du courant tunnel parcourant

ce systeme permet donc bien de mesurer la sortie de la fonction logique realisee.

Les autres interferometres presentes au chapitre 5 peuvent bien entendu etre insere

entre deux electrodes afin de mesurer la sortie des fonctions logiques qu’ils realisent.

a)

Fig. 6.8 – a) Interfero-metre realisant une fonctionNXOR insere entre deuxelectrodes semi-infinies. b)Calcul du coefficient detransmission Pa→b(E) a tra-vers ce systeme pour :k = −0.5 eV , h = −2eV . Les interferences dy-namiques obtenues lorsqueα 6= β menent a Pa→b(E) =0 quelque soit E.

b)


b) Resonance frequentielle

Les systemes construits au chapitre 5-C peuvent egalement etre implantes dans

une jonction tunnel afin de mesurer la valeur du courant tunnel au travers de sys-

temes qui les realisent. Nous imposons aux couplages vi d’etre faibles, afin Pa→b(E)

varie fortement au voisinage des resonances. Prenons alors le systeme program-

mable realise au chapitre 5-C, et inserons le entre deux electrodes (voir figure 6.9).

Le calcul du coefficient de transmission a travers ce systeme est represente, pour

k = 0, sur la figure 6.9. On y voit clairement les resonances frequentielles et les

interferences localisees en energies discutees aux chapitres 2 et 5. La mesure du

Pa→b(E) = 0 concorde parfaitement avec l’etude faite sur la frequence effective

d’oscillation, ce systeme realisant les fonctions NOR, XOR ou AND pour les

valeurs de E attendues.

a)

Fig. 6.9 – a) Systemequantique programmableconstruit au chapitre 5-Cinsere entre deux elec-trodes mono-atomiquessemi-infinies. b) Calcul ducoefficient de transmissionPa→b(E) a travers ce sys-teme. Aux energies E = 0,E = ±1 et E = ±√2, lesysteme realise respective-ment les fonctions NOR,XOR et AND.

b)


C - Conclusion

La spectroscopie de battement quantique permet, grace a son lien avec Pab(t),de mesurer la sortie des portes logiques implantees dans un systeme quantique,

qu’il soit controle en distance ou en frequence. Bien que necessitant generalement

un ensemble d’objets identiques [16], des progres recents permettent l’observation

d’oscillations de Rabi exitoniques sur une boite quantique unique [21, 22, 23]. Le

developpement de ces techniques a des objets comportant plus de deux etats op-

tiquement actifs, permettrait d’implanter une fonction logique dans un seul objet

quantique, se rapprochant ainsi du but de l’approche QHC.

Nous avons egalement demontre lors de ce chapitre la relation existant entre la

frequence effective d’oscillation d’un systeme quantique et le coefficient de trans-

mission electronique au travers ce dernier. Ainsi le resultat d’une fonction logique

controlee en frequence, peut etre mesure en connectant le systeme la realisant a

deux electrodes et en mesurant le courant tunnel parcourant ce dernier. La formu-

lation dependante du temps du coefficient de transmission doit encore etre deve-

loppee afin de prendre en compte des effets inelastiques [45, 65] ou des processus

multielectroniques.

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Chapitre 7

Realisation de calculateurs

quantiques Hamiltoniens

Grace a la relation etablie au chapitre 6 entre la frequence effective d’oscilla-

tion et le coefficient de transmission d’un systeme quantique, les donnees de sortie

des fonctions logiques realisees au chapitre 5 peuvent etre mesurees en utilisant le

courant tunnel parcourant les systemes quantiques les realisant.

Differentes solutions ont ete proposees pour faire converger les solutions d’ar-

chitecture vers des systemes realisables. Les premieres tentatives ont etes basees

sur une optimisation numerique de la structure chimique d’une molecule [1]. Ce

processus converge vers un systeme moleculaire dont le comportement se revele le

plus proche possible de celui d’un systeme ideal [2]. Ce processus d’optimisation a

ete applique, comme nous le verrons a la fin de ce chapitre, a differents systemes

comme un mono-feuillet de graphene fonctionnalise ou un reseaux de fils atomiques

realise a la surface d’une surface semi-conductrice.

D’autres voies ont egalement ete explorees. Ainsi la methode de construction

des systemes quantiques presentee au chapitre 5-C a ete appliquee a des systemes

dont la topologie est proche de celle du reseau π d’une petite molecule organique.

Ceci mene, comme nous allons le voir, a l’implantation de fonctions logiques dans

des molecules simples en tirant profit des ressources qu’elles offrent naturellement.

143

144 CHAPITRE 7. REALISATION DE QHC

A - Molecules aromatiques connectees a des elec-

trodes metalliques

Les molecules organiques ont ete les premiers systemes etudies pour la realisa-

tion physique de calculateurs quantiques Hamiltoniens, la sortie etant encodee soit

dans une des caracteristiques de son evolution dependante du temps [1] soit dans

la valeur du courant tunnel la traversant [2].

Comme nous l’avons vu au chapitre 6, la nature des electrodes et leur inter-

action avec la molecule joue un role important. En effet si cette interaction est

importante, les resonances du T (E) se decalent et s’elargissent au point de dispa-

raıtre. Seul le controle des interferences locales peut alors permettre l’implantation

de portes logiques. Bien qu’une architecture soit possible en controlant uniquement

ces interferences, nous ne la presenterons pas ici, ces dernieres etant difficiles a

mettre en evidence experimentalement.

Lorsque les interactions entre la molecule et les electrodes sont faibles, le

controle de la position des resonances permet la realisation de fonctions logiques,

en utilisant les expressions symboliques obtenues au chapitre 5-C. Plusieurs so-

lutions sont alors possibles pour encoder les entrees logiques : la conformation

geometrique de groupements chimiques, la manipulation d’atomes de surfaces, ou

encore l’application d’un champ electrique sur le systeme. Toute ces solutions en-

traınent une modification des etats propres du systemes et sont par consequent a

meme de controler la transparence electronique de la molecule.

1 · Rotation d’un groupe chimique

La methode de construction des systemes quantiques presentee au chapitre 5-

C peut etre appliquee a des systemes dont la topologie se rapproche du reseau

π d’une molecule aromatique [3]. Selon le degre de degenerescence des orbitales

frontieres de la molecule et des regles de Dewar sur les orbitales moleculaires des

hydrocarbures alternants, differentes fonctions logiques peuvent etre realisees.

A -. MOLECULES AROMATIQUES 145

a) Orbitales frontieres simplement degenerees : fonction AND −NOR

Afin d’illustrer l’implantation de fonctions logiques dans une molecule unique,

appliquons notre methode d’analyse des systemes quantiques au Hamiltonien :

H =

|ψa〉 |ψb〉

E . ε . . . . .

. E . ε . . . .

ε . e1 k k . . .

. ε k e1 . k . .

. . k . e1 k α .

. . . k k e1 . β

. . . . α . e1 .

. . . . . β . e1

Ce systeme est la representation, dans le modele de Huckel simple, d’un [2,3]-

dinitro-cyclobutadiene connecte a deux electrodes. Les etats |ψa〉 et |ψb〉 sont,

comme explique au chapitre 6, deux etats propres de chacune des deux electrodes.

Les deux etats connectes au reseau π du cyclobutadiene modelisent l’interaction

des deux groupes NO2 avec le squelette de la molecule.

En effet, l’interaction des orbitales s des atomes d’oxygene avec l’orbitale pz

de l’atome d’azote, lorsque le groupement NO2 est perpendiculaire au plan de la

molecule, ecrante completement cette derniere orbitale qui ne modifie alors aucu-

nement le reseau π du cyclobutadiene. Cette situation correspond donc a α = 0.

Si maintenant le groupe NO2 est parallele au plan de la molecule, les interactions

mentionnees ci-dessus disparaissent, et l’orbitale pz de l’atome d’azote perturbe

alors le reseau π de la molecule. Cette situation correspond donc a α = 1.

Posant k = −1, il est possible de calculer la reponse frequentielle de ce systeme

en fonction de la valeur des entrees logiques :


B(α, β) = α · β δ(∆2 − 4

)

+ α · β δ((∆2 − 1)2 − 3∆2 + 1

)

+ α · β δ((∆2 − 1)2 − 3∆2 + 1

)

+ α · β δ((∆2 − 1)3 −∆2(3∆2 − 2)

)(7.1)

avec ∆ = E − e1. Similairement aux systemes etudies au chapitre 5-C, ce systeme

permet de realiser differentes fonctions logiques en fonction de la valeur du pa-

rametre ∆. Pour ∆ = ±2, seul l’argument de la premiere distribution de Dirac

s’annule menant a la realisation d’une porte NOR. Pour ∆ = ±(5±√17

2

)1/2, les ar-

guments de la deuxieme et troisieme distribution s’annulent menant a une fonction

XOR. Enfin la valeur :

∆ =√

2(1 +

√7

3cos(

1

3acos(

√27

28) +

2nπ

3)) 1

2 (7.2)

avec n = 1, 2, 3, annule l’argument de la derniere distribution de Dirac et realise

ainsi une fonction AND. Le calcul numerique de l’evolution temporelle du systeme

et de sa transformee de Fourier fournit la valeur de la frequence effective d’oscilla-

tion pour les differentes valeurs de α et β :

Entrees (eV ) Ω (THz)

α β NOR XOR AND

0 0 0.7 3 · 10−4 5 · 10−5

0 1 3 · 10−4 0.6 4 · 10−4

1 0 3 · 10−4 0.6 4 · 10−4

1 1 10−4 3 · 10−4 0.7

Le calcul du T (E) est ensuite effectue en connectant le systeme a des electrodes

mono-atomique comme represente sur la figure 7.1a. Ce calcul confirme que ce

systeme realise les differentes fonctions logiques selon la valeur de E, qui, rappelons

le, est l’energie de l’electron incident (voir figure 7.1b).


a)

Fig. 7.1 – a) Connexion dela molecule pour le calcul duT (E). b) T (E) du systeme.En fonction de α et β cettetransmission est modulee etrespecte la table de veritede trois differentes fonctionslogiques en fonction de E.La sortie de chacune des 3fonctions logiques est enco-dee dans le T (E) a une ener-gie fixe.

b)

Le calcul du T (E) de ce systeme, dans le modele de Huckel simple, confirme

l’optimisation faite sur la frequence effective d’oscillation. Neanmoins, le couplage

direct entre les deux electrodes, obtenues en prenant en compte les interactions aux

deuxiemes voisins, ecrante completement la modulation du coefficient de transmis-

sion par la molecule. Il est donc necessaire d’eloigner les deux electrodes l’une de

l’autre en etirant la molecule centrale.

Il existe un moyen simple d’etendre le systeme sans a avoir a recalculer l’ex-

pression symbolique de sa reponse frequentielle. En effet, nous allons voir que les

regles de Dewar [4] sur le spectre des hydrocarbures alternants (HA) permettent

de deduire les proprietes essentielles du coefficient de transmission au travers d’un

HA, selon les points de connexion des electrodes et des groupements chimiques

lateraux encodant les donnees d’entree.

Un hydrocarbure est dit alternant si ses atomes de carbones peuvent etre re-


groupes en deux familles, appelees etoilee et non etoilee, chaque atome appartenant

a une des familles n’ayant pour premier voisin que des atomes de la deuxieme. A

cette condition, les valeurs propres du systeme sont symetriquement reparties de

part et d’autres de l’energie de Fermi, EF , de la molecule : a tout etat propre, |Ψp〉,d’energie Ep, correspond un etat propre, |Ψ−p〉, d’energie −Ep. Le developpement

des etats propres sur les orbitales pz de chaque atome est egalement soumis a

condition : 〈φi|Ψp〉 = 〈φi|Ψ−p〉 si |φi〉 est l’orbitale pz d’un atome de carbone etoile

et 〈φi|Ψp〉 = −〈φi|Ψ−p〉 si |φi〉 est l’orbitale pz d’un atome de carbone non-etoile [5].

Ces regles permettent d’etablir le profil general du coefficient de transmission au

travers d’un hydrocarbure alternant en fonction des familles auquel appartiennent

les atomes du systeme auquel sont connectees les electrodes. Ainsi, si ces deux

atomes appartiennent a la meme famille, il est facile de montrer que T (EF ) = 0.

Au contraire si les deux atomes de connexion appartiennent a deux familles dif-

ferentes, T (EF ) 6= 0. Le calcul numerique du T (E), ainsi que des exemples de la

litterature [6], confirme ce resultat.

L’influence du rajout d’un groupement lateral, modelise ici par un atome de

carbone supplementaire, est egalement relie aux regles de Dewar. En effet si ce nou-

vel etat appartient a une des deux familles d’atomes de carbone, les coefficients de

l’etat propre qu’il introduit sont tous nuls sur les atomes appartenant a l’autre fa-

mille [5]. Ainsi si les deux electrodes sont connectees sur deux atomes appartenant

a des familles differentes, alors une de ces deux electrodes n’est pas connectees a

ce nouvel etat propre et aucune resonance supplementaire n’apparaıt sur le T (E)

du systeme. Si maintenant les deux electrodes sont connectees sur deux atomes de

la meme famille, alors une resonance supplementaire apparaıt. L’introduction de

ce nouvel etat propre modifie egalement le spectre en repoussant les autres etats

propres de part et d’autre du niveau de Fermi.

Sur le systeme represente sur la figure 7.1a, les deux electrodes sont connectees

a deux atomes appartenant a deux familles differentes, et il en est de meme pour

les deux atomes supplementaires. Selon les regles de Dewar, en gardant ces deux

conditions et en les appliquant a un HA quelconque, dont les orbitales frontieres


ont le meme degre de degenerescence que celle du cyclobutadiene, le coefficient de

transmission doit garder les meme caracteristiques generales et donc realiser les

meme fonctions logiques. Il est alors possible d’allonger la molecule centrale et de

passer successivement du cylobutadiene au naphtalene, a l’anthracene ...

Fig. 7.2 – Hydrocarbure alternant respectant les meme conditions de connexions.

L’utilisation du [1,5]-dinitro-anthracene permet une separation spatiale suffi-

sante des deux electrodes, diminuant le couplage direct entre ces dernieres, sans

pour autant attenuer trop fortement le T (E). L’anthracene est donc conserve pour

une implantation plus realiste de la porte logique presentee en debut de section.

Le calcul de la frequence effective d’oscillation du graphe de connexion modelisant

le reseau π de cet HA confirme qu’il realise les fonctions AND, XOR, et NOR

(voir figure 7.3). Neanmoins, comme nous le verrons plus tard, le resultat de la

fonction XOR, bien qu’accessible dans la conductance du systeme, n’est pas me-

surable dans le courant tunnel le traversant. Par consequent elle est des a present

mise de cote.

Dans ce modele plus realiste, les entrees logiques sont encodees dans les angles

que font les deux groupes NO2 avec le plan de la molecule. Le changement de

conformation peut etre realise soit par manipulation STM soit en chauffant loca-

lement le groupement. Le calcul du diagramme orbitalaire de cette molecule est

effectue, dans l’approximation EHMO, en considerant l’anthracene et les deux frag-

ments NO2. Son analyse precise peut etre trouvee dans notre publication [3]. Ce

diagramme, represente sur la figure 7.4, est le reflet de la construction des circuits

quantiques au niveau de la structure electronique du systeme et constitue donc la

base de l’implantation des fonctions logiques dans les molecules fonctionnalisees.

Le calcul du coefficient de transmission, represente sur la figure 7.5-A, reflete


Fig. 7.3 – a) Graphe de connexion de l’anthracene b) modulation de la frequenceeffective d’evolution en fonction de α et β c) Dans le modele complet les entrees αet β sont encodees dans les angles θ1 et θ2 que font les groupes NO2 avec le plande la molecule.

*

*

* *

Fig. 7.4 – CalculEHMO du diagrammeorbitalaire du [1,5]-dinitro-anthracene au-tour de son gap. LaHOMO (πanthra) et laLUMO (π∗anthra) sontstabilisee et destabili-see par leur interac-tion avec les orbitalesφ∗1 et φ∗2 des NO2.

ce mouvement de repulsion des orbitales moleculaires. Lorsque les deux groupe-

ment NO2 sont perpendiculaires au plan de la molecule, les deux orbitales φ1 et

φ2 interagissant tres faiblement avec les electrodes, les resonances qu’elles intro-

duisent dans le coefficient de transmission sont extremement etroites. Quand un


des deux NO2 est parallele au plan de l’anthracene, l’orbitale φ1, interagit avec le

reseau π et apparaıt alors sur le coefficient de transmission repoussant egalement

legerement les orbitales HOMO et LUMO de la molecule. La faible amplitude de

la resonance qu’elle introduit provient de l’assymetrie des couplages reliant cette

orbitale moleculaire a chacune des deux electrodes. L’orbitale φ2 quant a elle n’est

pas modifie et apparaıt la encore tres etroites. Lorsque enfin les deux groupes NO2

sont orientes parallelement au plan de la molecule, les deux resonances introduites

par φ1 et φ2 apparaissent clairement sur le T (E) et repoussent les orbitales fron-

tieres de l’anthracene.

L’intensite du courant tunnel est alors obtenue, grace a la formule de de Landauer-

Buttiker [8], en integrant le T (E) depuis le niveau de Fermi de la molecule, pris

ici entre la HOMO et la LUMO de l’anthracene, jusqu’au potentiel de la deuxieme

electrode. Ce potentiel est pris a 0.5 V pour la porte AND et a −0.35 V pour la

porte NOR. On comprend alors pourquoi la porte XOR a ete mise de cote, au-

cune integration T (E) similaire a celles-ci ne pouvant mesurer sa sortie. Il est alors

possible d’obtenir les cartes I(θ1, θ2), θi allant de 0o a 90o, pour ces deux portes

logiques comme represente sur la figure 7.5-B. Cette caracteristique illustre la forte

intensite du courant, de quelques µA, encodant un ”1“ logique. Neanmoins elle ne

presente pas de larges plateaux ce qui confererait a ces implantations une plus

grande resistance au bruit. Enfin, remarquons que la surface totale de ce dispositif

n’excede pas 1 nm2 alors que l’implantation dans un circuit electrique standard,

necessite 100 nm2 pour chacune des deux fonctions [7].


A B

0

00

θ1 (deg.) θ 2(deg.)

0.50

1.00

0

30

60

90 0

60

90

30

µI

( A

)

θ1 (deg.) θ 2(deg.)

0 µ

30

0

60

90

30

60

90

I (

A)

1.50

1.00

0.50

Idea

l res

pons

eA

ctua

l res

pons

eId

eal r

espo

nse

Act

ual r

espo

nse

0

0

(b)

(a)0

1

1

2

2

Fig. 7.5 – A- Calcul TB (pointille) et EHMO (trait plein) du T (E) d’un elec-tron sur le systeme, pour l’anthracene seul (a) lorsque les deux groupes NO2 sontperpendiculaires au plan de la molecule (b), lorsqu’un des NO2 est tourne (c) etlorsque les deux NO2 sont tournes (d). B -Intensite du courant tunnel mesure pourla porte NOR (a) et pour la porte AND (b) en fonction des angles que font lesgroupe NO2 avec le plan de la molecule.

b) Orbitales frontieres doublement degenerees : fonction NAND−OR

La methode utilisee a la section precedente peut etre appliquee a un systeme

presentant un degre de degenerescence different au niveau de ses orbitales fron-

tiere. Prenons alors l’exemple du reseau π du [2-6]-dinitro-benzene, decrit dans le

modele de Huckel simple :


H =

|ψa〉 |ψb〉

E . ε . . . . . . .

. E . . . . . ε . .

ε . e k k . . . . .

. . k e . k . . α .

. . k . e . k . . β

. . . k . e . k . .

. . . . k . e k . .

. ε . . . k k e . .

. . . . α . . . e .

. . . . . β . . . e

En posant k = −1, l’expression symbolique de la reponse frequentielle de ce

systeme est donnee par :

B(α, β) = α · β δ(∆3 − 6∆2 + 9∆− 4

)(7.3)

+ α · β δ(∆3 − 7∆2 + 13∆− 7

)(7.4)

+ α · β δ(∆3 − 7∆2 + 13∆− 7

)(7.5)

+ α · β δ(∆3 − 8∆2 + 18∆− 12

)(7.6)

avec ∆ = (E−e)2 et avec k = −1. Les arguments des trois premieres distributions

de Dirac presentent toutes les trois une racine evidente commune : ∆ = ±1. Annu-

lant les arguments des trois premieres distributions, cette valeur de ∆ realise une

fonction NAND. L’argument de la premiere distribution s’annule egalement pour

∆ = ±2, alors que les autres non. Le systeme realise donc une fonctionNOR a cette

energie. Il en va de meme pour ∆ = ±√2 qui annule seulement l’argument de la

derniere distribution et ∆ = ±√

3±√2 qui annule les arguments des deuxieme et

troisieme distributions, menant respectivement a la realisation des fonctions AND

et XOR. La faculte que ce systeme a de realiser la fonction NAND provient de la

degenerescence des orbitales frontieres reseau π du benzene. L’introduction d’un

etat supplementaire ne perturbe que l’une d’entre elles, le systeme presente alors

toujours une orbitale d’energie egale a celle de l’orbitale HOMO (et LUMO) du


benzene seul. Il faut l’introduction de deux etats supplementaires pour que toutes

les orbitales frontiere soient decalees en energie.

Neanmoins, la modulation du T (E) par ce systeme une fois connecte entre

deux electrodes metalliques est, ici aussi, completement ecrantee par le couplage

direct reliant ces deux electrodes. Il faut donc allonger la molecule tout en gardant

ses principales proprietes. Parmi de nombreux systemes, le corronene presente lui

aussi des orbitales frontieres degenerees deux fois. Les electrodes pouvant etre suf-

fisamment separees l’une de l’autre, la modulation du T (E) par cette molecule doit

alors permettre de realiser la fonction NAND, dont la sortie est mesuree grace au

courant tunnel la traversant.

Contrairement au benzene, le nombre d’atomes de carbone accessibles du coro-

nene permet de placer les deux electrodes sur deux atomes appartenant a la meme

famille, tout en placant egalement les deux groupements NO2 sur deux atomes de

la meme familles et en gardant l’equivalence entre les entrees logiques. Les regles

de Dewar predisent alors une interference au niveau de Fermi de la molecule pour

α = β = 0. Dans les deux cas α 6= β, ces regles predisent l’apparition d’une re-

sonance due au developpement symetrique de l’etat propre introduit sur les deux

atomes de connexion des electrodes. Cette resonance persiste pour α = β = 1, les

deux etats introduit ne se repoussant pas. Comme represente sur la figure 7.6, ceci

mene, en plus de la fonction NAND, a la realisation d’une fonction OR mesuree

grace a la conduction du systeme entre les deux electrodes.


Fig. 7.6 – Corronene fonctionnalise realisant les fonctions NAND et OR selonl’orientation des deux groupements NO2 et l’energie de l’electron incident. La de-generescence des orbitales frontieres de ce systeme necessite que les deux NO2

soient en position plane pour repousser les deux HOMO degenerees. Cette rota-tion introduit egalement une resonance proche du niveau de Fermi de la moleculepermettant ainsi la realisation d’une fonction OR.

L’integration du T (E) entre le niveau de Fermi de la molecule et son orbitale

HOMO (voir figure 7.7a) permet alors de mesurer la fonction NAND dans la

courant tunnel parcourant la molecule, la meme integration entre le niveau de

Fermi et l’energie des OM introduites par la rotation des groupes NO2 permettant

de realiser une fonction OR (voir figure 7.7b).


a) b)

Fig. 7.7 – a) Coefficient de transmission du dinitro-coronene calcule dans l’ap-proximation de Huckel simple (pointille) et dans celle d’Huckel etendu. La degene-rescence de l’orbitale HOMO permet de realiser une fonction NAND. De plus, larotation des groupements NO2 introduit un etat dans le gap de la molecule per-mettant la realisation d’une fonction OR. b) Reponse en courant de la molecule,confirmant la realisation de ces deux fonctions.

2 · Manipulation STM d’atomes de surfaces

Une des principales difficultes engendrees par la fonctionnalisation des HA est

la manipulation des groupes NO2. Nous avons par consequent propose d’autres

solutions pour encoder les donnees d’entree. Le deplacement d’un atome au voisi-

nage d’une molecule deforme ses orbitales [9, 10]. Ce deplacement peut-etre utilise

comme donnee d’entree, en associant un “0” logique quand l’atome est loin la mo-

lecule, et un “1” lorsque qu’il est suffisamment proche pour pouvoir deformer ses

OM. Puisque cette manipulation est aujourd’hui courante [11], la realisation expe-

rimentale d’un tel dispositif est imaginable. Il est par contre important de pouvoir

spatialement separer les atomes encodant les donnees d’entree et les electrodes


servant a lire le resultat du calcul afin de limiter au maximum les fuites de courant

directes a travers ces deux atomes. Nous avons alors propose d’utiliser un star-

phene. Les trois branches de cette molecule permettent de modifier ses orbitales

moleculaires en approchant des atomes,par exemple d’or, au bout de deux d’entre

elles tout en mesurant le courant a l’extremite de la troisieme (voir figure 7.8).

Fig. 7.8 – Proposition deschema experimental rea-liste. La conductance de lamolecule centrale est mo-difie selon la distance quila separe des deux atomesde surface. En repoussantses OM, ces deux atomesservent de donnees d’entreedu calcul.

L’analyse symbolique de cette molecule est rendue difficile par le grand nombre

d’etats qu’elle comprend. Cette analyse peut neanmoins se faire grace au systeme

modele suivant :

H =

|φa〉 |φb〉

E . ε . . . .

. E ε . . . .

ε ε e k k α .

. . k e k . β

. . k k e .

. . . α . e .

. . . . β . e

qui presente la meme symetrie que le starphene. La reponse frequentielle de ce

systeme modele est donnee par :


B(α, β) = α · β δ(∆4 − 3∆2 + 2∆

)

+ α · β δ(∆4 − 4∆2 + 2∆ + 1

)

+ α · β δ(∆4 − 4∆2 + 2∆ + 1

)

+ α · β δ(∆4 − 5∆2 + 2∆ + 3

)(7.7)

avec ∆ = E − e. Ce systeme peut alors realiser les fonctions NOR, et AND avec

par exemple ∆ = ±1 et ∆ = 1±√52

. Une legere complexification du systeme mene

egalement a la realisation des fonctions NAND, NXOR et OR. Cette etude n’est

neanmoins pas presentee ici, le but de ce chapitre etant de proposer des systemes

realisables.

Lorsque les atomes d’or sont rapproches de la molecules, l’interaction des or-

bitales 6s des atomes d’or avec le reseau π de la molecule, decale les orbitales

moleculaires du starphene. Ce decalage, correspondant a la variation des zeros

des arguments des distributions de l’equation (7.7), est clairement visible sur le

diagramme orbitalaire represente sur la figure 7.9. La stabilisation ou destabilisa-

tion des differentes orbitales est tres similaire a celle observees sur le [2-3]-dinitro-

cyclobutadiene. Le couplage des orbitales 6s des atomes d’or, stabilise la HOMO

et destabilise la LUMO en introduisant des etats dans le gap de la molecule, qui

se repoussent lorsque les deux atomes d’or sont rapproches.

Le calcul du coefficient de transmission au travers du systeme reflete la dy-

namique des orbitales moleculaires selon la position des atomes d’or. Au lieu de

presenter l’ensemble de ce coefficient, nous presentons sur la figure 7.10a, unique-

ment le decalage sur l’orbitale HOMO produit par le rapprochement des atomes

d’or. La carte du courant mesure entre les deux electrodes, est realisee en integrant

ce T (E) depuis le niveau de Fermi de la molecule jusque a l’energie de sa HOMO,

pour les differentes valeurs du couplage entre la molecule et les atomes d’or. Cette

carte, tres similaire a celle du [2-3]-dinitro-cyclobutadiene, confirme que ce systeme

realise une fonction NOR en fonction des entrees logiques.


Fig. 7.9 – Dia-gramme orbita-laires du starphene.Le rapprochementd’un des atomesintroduit un etatdans le gap de lamolecule et re-pousse ses orbitalesfrontieres permet-tant la realisationd’une fonctionNOR.

a) b)

Fig. 7.10 – a) Decalage en energie de la HOMO de la molecule provoque parle rapprochement des atomes d’or. b) Carte du courant mesure entre les deuxelectrodes, en fonction de l’intensite, normalisee, du couplage entre ces atomes etla molecule.

Cette implantation peut etre appliquee a d’autres molecules comme le coronene

etudie precedemment. Ce systeme presentant un degre de degenerescence different

au niveau de ses orbitales frontieres doit permettre de realiser des fonctions logiques

differentes.


3 · Application d’un champ electrique

Dans les deux implantations proposees ci-dessus, le decalage des orbitales mole-

culaires est non lineaire vis-a-vis de la modification du Hamiltonien qui le controle.

Cette non linearite rend la realisation de portes logiques complexe. Un controle li-

neaire de la position des OM est possible par application, d’un champ magnetique,

en levant une degenerescence par effet Zeeman, ou d’un champ electrique, depla-

cant les etats propres du systeme. Cette derniere solution est exploree ici en enco-

dant les donnees d’entrees dans la valeur de la tension, Vg(α, β), appliquee entre

deux electrodes generant un champ electrique dans lequel le systeme quantique est

plonge :

Vg(α, β) = V0 + (α + β)Vin (7.8)

Des solutions similaires ont ete proposees dans la litterature [12, 13, 14]. La refe-

rence [14] est tres similaire a ce qui est expose ici. Neanmoins dans [14], une des

deux donnees d’entree est encodee dans la tension de biais et l’autre dans la ten-

sion generant le champ electrique. Cet encodage limite naturellement le nombre de

donnees d’entree a deux, les operations complexes devant alors etre realisees par

la concatenation d’operations plus simples [14].

De nombreux systemes peuvent alors etre utilises pour realiser une porte logique

basee sur ce principe : un dopant dans une surface [15, 16], une boite quantique

[17, 18], ou une molecule [19, 20]. Pour rester coherent avec notre approche mole-

culaire nous utiliserons ici la conductance d’un endofullerene N@C60 lorsque celui

ci est soumis a un champ electrique. La reference [19] nous servira donc dans toute

cette section de point de comparaison.

L’etude de la conductance de ce systeme peut etre menee dans notre formalisme

et ainsi obtenir l’expression symbolique de la reponse frequentielle du systeme re-

presente sur la figure 7.11. Suivant [19], nous considerons que la conductance du

systeme implique simplement l’orbitale LUMO, degeneree trois fois, de l’endofulle-

rene. L’orbitale HOMO est quant a elle supposee restee entierement occupee, alors

que l’orbitale LUMO+1 reste vide. Le transfert de charge entre l’atome d’azote et


Fig. 7.11 – Mesure de laconductance d’un endofulle-rene plonge dans un champelectrique cree par la tensionentre les deux electrodes loin-taines (rouge). Cette tensionencode les donnees d’entrees dela fonction alors que le courantmesuree entre la pointe et lasurface encode la sortie logique

le fullerene est suppose negligeable. Le Hamiltonien du systeme est alors [19] :

H0 = (e0 + eVg)n+U

2n(n− 1)− JSC60 · SN (7.9)

ou e0 = −2.75 eV est l’energie de la HOMO du systeme [22], U est l’energie de

repulsion Coulombienne [23, 24, 25] qui est prise a 2.84 eV [22] et J = 1 meV est

l’energie d’interaction de spin [26]. n est le nombre d’electrons present sur l’en-

dofullerene. Les energies de transitions, Eti , permises entre deux configurations

presentant respectivement n et n + 1 electrons sur le fullerene, sont calculees a

partir de H0 [19]. Nous nous limiterons ici au cas ou n = 1, qui est l’etat fonda-

mental du C60 [27]. Les regles de selection de spin determinent quelles transitions

sont permise et permettent ainsi d’etablir le diagramme de transition represente

sur la figure 7.12a.

Considerant le transport a travers ce systeme comme un transport inelastique,

le nombre de particules presentes sur le systeme etant modifie, ce transport ne

peut etre resonant uniquement si l’energie de l’electron incident est egal a une des

energies de transitions. Ainsi, ces energies sont utilisees pour definir les energies

propres du systeme central. Pour pouvoir comparer nos resultats avec ceux de la

reference [19], l’energie de l’etat initial et de l’etat cible sont fixees a |Vb/2|, la

difference de potentiel etant appliquee symetriquement sur les deux electrodes.

Ceci mene au Hamiltonien :


H(α) =

|ψa〉 |ψb〉

|Vb/2| . ε ε ε ε . . .

. |Vb/2| ε ε ε ε . . .

ε ε Et1(α) . . .

ε ε . Et2(α) . .

ε ε . . Et3(α) .

ε ε . . . Et4(α)...

.... . .

(7.10)

Le calcul du T (E), par la methode dependante du temps presentee au chapitre

6, mene a la carte de la conductance du systeme en fonction de Vg et Vb represente

sur la figure 7.12b. Cette conductance est identique a celle calculee en [19], confir-

mant la coherence de notre approche avec celle basee sur la taux de transfert dans

une base muli-electronique [21].

L’expression symbolique de la frequence effective d’oscillation entre |ψa〉 et

|ψb〉 contolee par le Hamiltonien (7.10) donne directement : B(α) =∑

t δ(|Vb/2|−

Et(α)). Limitant notre etude aux quatre transitions permises pour Vb > 0.4 mV

et Vg < 90 mV, et en introduisant l’expression des energies de transitions, il vient :

B(α) = α · β∑n

δ(Vb/2− [(e0 − V0) + U + knJ ]

)

+ α · β∑n

δ(Vb/2− [(e0 − V0 − Vin) + U + knJ ]

)

+ α · β∑n

δ(Vb/2− [(e0 − V0 − Vin) + U + knJ ]

)

+ α · β∑n

δ(Vb/2− [(e0 − V0 − 2Vin) + U + knJ ]

)(7.11)

avec k = [−3/4, 3/4, 5/4, 7/4]. Il faut desormais determiner les valeurs des parametres

Vb, V0 et Vin qui permettent la realisation des fonctions Booleennes. Pour simpli-


a) b)

Fig. 7.12 – a) Diagramme des transitions permises entre les etats presentant 1 et2 electrons sur le C60 b) Conductance du systeme represente sur la figure 7.11 enfonction de la tension de grille appliquee entre les deux electrodes lointaines et dela tension appliquee entre la pointe et la surface. Ce calcul concorde parfaitementavec ceux presentes dans la reference [19].

fier l’analyse de (7.11), fixons : Vb = 5 mV . Pour realiser une fonction NOR, seul

l’argument de la premiere distribution doit etre annulee. Une solution possible est

alors : V0 = 89.25 mV, Vin = 0.5 mV, et kn = 7/4. Les portes OR, NAND,

AND et XOR peuvent etre realisees pour la meme tension Vb, et la meme valeur

Vin, en ajustant la tension V0 respectivement a 87.75 mV, 88.75 mV, 87.25 mV et

86.25 mV. Pour realiser la fonction NXOR, il est par exemple possible de fixer

Vin = 0.75 mV et V0 = 86.75 mV en gardant Vb = 5 mV. Toutes ces valeurs, ainsi

que la variation de la conductance en fonction des entrees logiques, sont resumees

sur la figure 7.13

Des fonctions plus complexes peuvent etre realisees en se basant sur le meme

principe. Nous allons presenter ici l’additionneur complet realisant l’addition de

trois bits notes α, β et γ. Le calcul des deux sorties de cette fonction doit se

faire pour deux valeurs differentes de la tension de biais. Les parametres, V0 et Vin


AND OR XOR

NAND NOR NXOR

Fig. 7.13 – Conductance du systeme en fonction de la valeur de la tension de grille.Ce systeme realise donc bien les six fonctions symetriques de deux variables selonla valeur de Vg de Vin et de V0.

doivent au contraire etre les memes pour ces deux sorties. Rappelons que ces deux

fonctions sont la somme (S) qui correspond a : α⊕β⊕γ, et la retenue (C), qui est

egale a 1 des que deux entrees sont egales a 1 : αβ+αγ+βγ. Comme represente sur

la figure 7.14, l’etude de la carte de conductance du systeme permet tres facilement

de trouver la valeur des parametres menant a la realisation de ces deux fonctions.

En effet pour V0 = 89.125 mV Vin = 0.25 mV, ces deux fonctions sont realisees

pour respectivement des tensions de biais de : VbC = 2.3 mV et VbS = 2.8 mV.

B -. STRUCTURATION DE SYSTEMES PERIODIQUES 165

Fig. 7.14 – Realisation d’un ad-ditionneur complet grace a laconductance de l’endofullerene.Chaque point de mesure de lacarte est indique par un cercle quiest plein si la valeur attendu de lafonction logique est 1.

B - Structuration de systemes periodiques

L’implantation que nous venons de voir necessite un controle a l’echelle ato-

mique de la position des electrodes vis-a-vis de la molecule. Pour palier a ce pro-

bleme, nous avons propose des solutions d’implantation ou les electrodes font di-

rectement partie du systeme quantique. Pour cela, nous avons choisi de structurer

un systeme periodique, afin d’y construire le circuit quantique contenant non seule-

ment le systeme central ou les donnees d’entrees sont encodees mais egalement les

electrodes servant a mesurer la sortie de la porte logique. Deux systemes ont etes

etudies : un mono-feuillet de graphene et une surface de Si(001)-(2×1)-H.

1 · Structuration d’un mono-feuillet de graphene

Parmi les materiaux les plus prometteur pour l’electronique moleculaire, le gra-

phene a gagne un interet considerable ces dernieres annees [28, 29, 30]. Il apparaıt

alors interessant de vouloir y implanter des fonctions logiques suivant l’approche

QHC. Il faut alors definir comment connecter ce feuillet de graphene a des elec-

trodes, trouver une solution efficace pour encoder les donnees d’entree et structurer

le systeme afin que l’intensite du courant le traversant respecte au mieux la table

de verite de la fonction logique souhaitee.

Les recents progres faits dans la structuration d’un mono-feuillet de graphene

[31, 32, 33], permettent de decouper un mono-feuillet unique afin d’en faire un


circuit complet, de forme quelconque, comprenant l’unite de calcul ainsi que les

electrodes. Diverse techniques permettent ensuite d’arracher des atomes a n’im-

porte quel endroit du circuit [34, 35, 36], assurant ainsi un controle complet de sa

topologie.

Afin d’encoder les donnees d’entree nous avons explore diverses solutions [37,

38, 39, 40], la plus avantageuse reposant sur l’utilisation groupements stilbenes

[41, 42, 43] places en bout de courts polyenes eux meme greffes sur le corps de

la molecule. Ces groupes passant, de maniere reversible, d’un etat ferme a ouvert

lorsqu’ils sont illumines (voir figure 7.15), peuvent modifier de maniere conse-

quente les orbitales moleculaires du systeme et donc permettent d’en controler la

transparence electronique. Afin de limiter le temps de calcul, ces groupements ont

ete modelises par un Hamiltonien effectif ne tenant compte que des etats propres

d’energies les plus proches du niveau de Fermi des electrodes, energie a laquelle le

coefficient de transmission du systeme est calcule.

Fig. 7.15 – Groupements photo-chromiques utilises pour enco-der les entrees logiques. Une foislies au systeme le controle del’etat de photo-isomerisation deces groupes permet d’en modifierla conductance.

La conductance d’un tel systeme, compose de plusieurs dizaines d’atomes et

fortement couple aux electrodes, sort du cadre de l’etude de l’expression symbo-

lique developpee au chapitre 5. Nous sommes donc contraint d’avoir recourt a un

processus d’optimisation combinatoire, represente sur la figure 7.16, portant sur la

place des electrodes, celle des groupements stilbenes ainsi que sur la structure du

systeme central. Ce processus est capable de tester plusieurs millions de configura-

tions en seulement quelques heures, et permet de demontrer la faisabilite theorique

d’un calculateur QHC implante dans un mono-feuillet de graphene.


Fig. 7.16 – Illustration du fonctionnement de l’optimisation combinatoire meneesur les feuillets de graphene. Apres avoir choisi un fragment de depart, les electrodeset les groupement stilbenes sont positionnes. Les atomes de carbones du systemecentral sont alors extrait afin d’explorer toutes les configurations possibles. Lecoefficient de transmission de chaque configuration est calcule et compare auxtables de verite des fonctions logiques. Toutes les solutions dont la fidelite estsuperieure au seuil fixe sont sauvegardees.

Le systeme represente sur la figure 7.17a est issu de ce processus d’optimisation

et realise la demi-addition des deux entrees logiques. Apres integration du coef-

ficient de transmission autour de l’energie de Fermi des electrodes, les intensites

des courants mesures entre l’electrode source et les deux electrodes de sortie sont

representees sur la figure 7.17b. L’optimisation de la marge entre un 0 et un 1

logique, ici relativement faible, doit etre integre au processus 7.16 afin de realiser

des systemes moins sensibles.


a) b)

Fig. 7.17 – a) Mono-feuillet de graphene fonctionnalise realisant la demi-additiondes variables α et β qui chacune controle la configuration d’un des deux groupe-ments stilbene. b) Valeurs en µA des courants dans les deux electrodes de sortie.

2 · Modification d’une surface de Si(001)-(2×1)-H

Les fils atomiques, realises par exemple par manipulation STM [11, 44], sont

necessaires a l’adressage des portes logiques moleculaires etudiees en debut de cha-

pitre. Neanmoins cette approche pose des problemes de resistance de contact [45]

et de positionnement de la molecule [46]. Il est alors envisageable d’imaginer ces

fils non pas comme simple moyen de connexion mais de les assembler en circuits

afin que ce dernier realise a lui seul une fonction logique donnee.

Parmi d’autres solutions [47, 48], ces fils peuvent etre obtenus a partir d’une

surface passivee de Si(001)-(2×1)-H, en extrayant une ligne d’atomes d’hydrogenes

[49, 50, 51]. L’extraction d’un de ces atomes, realisable par voie optique [52, 53] ou

grace a une pointe STM [54], libere une liaison pendante (LP) et introduit un etat

dans le gap de la surface. De part la faible decroissance exponentielle du courant

les parcourant (0.09 A−1) [55, 56], les fils de LP sont particulierement interessants


pour realiser des circuits quantiques.

Nous avons ici aussi etudie diverses solutions pour encoder les donnees d’entree

comme l’isomerisation d’une molecule deposee sur la surface [51], le deplacement

d’atomes sur le reseau des LP [55], ou encore la manipulation des LP, realisables

par pulses STM [50] ou par chauffage tunnel. Cette derniere solution, qui permet

une analyse simple de la reponse du reseau en fonction des entrees logiques, est

etudiee dans la suite. Chaque entree logique est alors encodee dans la position

d’une des LP du circuit.

Pour accelerer les calculs, un modele de type liaisons-fortes de ces circuits de

LP a ete etabli. Dans ce modele, obtenu en comparant les structures de bandes

DFT et celle qu’il fournit, chaque LP est modelisee par une cellule contenant 3

etats. L’interaction entre deux cellules composant le circuit depend alors de la dis-

tance les separant. De nombreux circuits realisant des fonctions logiques simples

peuvent etre realises a partir de ce modele. Par exemple, le reseau represente sur la

figure 7.18a, realise une fonction XOR, dont la sortie est encodee dans l’intensite

du courant tunnel le parcourant (voir figure 7.18b). Les entrees logiques controlent

l’etat d’hydrogenation des sites represente en rouge.


a) b)

Fig. 7.18 – a) Reseau de LP realisant une fonction XOR en fonction de la positiondes deux LP rouges encodant les donnees d’entree. b) Coefficient de transmissionde ce systeme confirmant qu’il realise la fonction XOR L’integration de ce T (E)entre les deux traits gris donne le courant mesure entre les deux electrodes.

Neanmoins, en prenant en compte tous les atomes de la surface dans le modele

de Huckel etendu, le calcul du T (E) ne converge pas tout le temps vers les resul-

tats obtenus avec le modele des liaisons-fortes. Ces differences doivent maintenant

etre gommees pour assurer de la validite de notre modele et ainsi commencer la

realisation experimentale de ces circuits.

C - Conclusion

Nous avons demontre au cours de ce chapitre la possibilite de realiser des portes

logiques moleculaires basees sur l’analyse symbolique des circuits quantiques intro-

duite au chapitre 5. La rotation des groupement NO2, premiere solution proposee

pour l’encodage des donnees d’entree, bien que permettant une analyse symbolique

simple, constitue un des principaux obstacles a la realisation experimentale de ces

dispositifs. Nous avons donc propose des solutions alternatives basees par exemple

sur la manipulation d’atomes de surface ou l’application d’un champ electrique.

Nous avons alors montre que ces solutions sont efficaces et permettent d’envisager

la realisation physique de ces portes logiques.

C -. CONCLUSION 171

Enfin nous avons applique l’approche QHC a des systemes periodiques struc-

turables, comme un mono-feuillet de graphene ou une surface de Si(001)-(2×1)-H,

permettant la realisation de circuits quantiques. Bien que la determination de la

structure de ces systemes necessite encore une optimisation combinatoire, l’en-

thousiasme dont beneficie ces materiaux novateurs permet egalement d’envisager

la realisation experimentale de ces portes logiques dans un futur proche.

Nous avons propose lors de ce chapitre des schemas experimentaux realistes

afin que l’efficacite de notre approche puisse etre verifiee experimentalement. Ainsi

la realisation du schema experimental presente a la section A-2 est en cours et

donne des resultats en accord avec nos predictions.


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Chapitre 8

Montee en complexite

Nous avons vu au chapitres 4 et 5 comment realiser des fonctions logiques

de 2-entrees/1-sortie dans des systemes quantiques. D’un point de vue technique,

mais aussi pour repondre a des questions plus fondamentales, comme par exemple

evaluer la puissance de calcul fournie par un systeme quantique, ces methodes de

construction doivent etre generalisees a la realisation de fonctions logiques de M -

entrees/N -sorties dans le systeme quantique le plus simple possible.

Cette montee en complexite est encore a l’heure actuelle un probleme non resolu

de l’electronique classique [1]. Rappelons que la construction d’un circuit electro-

nique, se base sur l’expression symbolique de la fonction qu’il realise. A partir

des regles de connexions serie et parallele, des interrupteurs, sont assembles en un

circuit afin que sa resistance entre ses extremitees soit egale a cette expression.

Puisque chaque donnee logique commande plusieurs transistors, cet assemblage

necessite la duplication des entrees logiques [2].

Dans une approche quantique, la loi des mailles n’etant plus valable [3, 4, 5, 6]

et l’intensite du courant diminuant de maniere exponentielle la long des fils [7,

8, 9, 10], de tel circuits ne peuvent etre construits. Il faut donc trouver d’autres

representations des fonctions Booleennes, comme celles rencontrees au chapitre 5

faisant intervenir des polynomes [11, 12, 13, 14], ou des distributions de Dirac.

177

178 CHAPITRE 8. MONTEE EN COMPLEXITE

Lors de ce chapitre, nous allons generaliser la construction des Interferometres

Quantiques Generalises (IQG,voir chapitre 5-B), qui se base sur l’expression poly-

nomiale des fonctions logiques, et celle des Circuits Spectraux Quantiques (CSQ,voir

chapitre 5-C), qui utilisent eux les distributions de Dirac.

A - Interferometres Quantiques Generalises

La representation polynomiale d’une fonction logique nous a permis lors du

chapitre 5-B, de controler les interferences dynamiques entre l’etat initial et l’etat

cible. Cette methode, bien que menant a des systemes dont la topologie est tres

particuliere, est facilement generalisable. Nous allons voir comment les expressions

polynomiales issues de l’etude des tables de Karnaugh ponderees, permettent de

determiner les parametres structuraux d’un systeme similaire a celui utilise au

chapitre 5-B, et ainsi realiser des fonctions logiques de N -entrees/M -sorties.

1 · Presentation du systeme

A mesure que la complexite d’une fonction logique augmente, son expression

polynomiale fait intervenir des monomes de m termes [14]. Pour les implanter

dans le couplage effectif d’un systeme quantique, il est utile que ce dernier puisse

se mettre sous la meme forme. Dans ce but, nous utiliserons le systeme represente

sur la figure 8.1. Le couplage effectif entre |Ψa〉 et |Ψb〉 se factorise comme au

chapitre 2 B-5, et donne :

Rab(z) =S

z − eN∑n=1

〈Ψa|[ M∏m=1

H|φnm〉〈φnm|]H|Ψb〉 (8.1)

ou S est la somme des termes perturbatif d’ordre superieur. Ce couplage effectif

est une somme de produits de M termes et est donc adapte pour implanter des

fonctions Booleennes complexes.

A -. INTERFEROMETRES QUANTIQUES GENERALISES 179

Fig. 8.1 – Interferometre quantique generalise permettant l’implantation de fonc-tion logique Booleenne simple dans un systeme controle en frequence, grace aucontrole des interferences dynamiques ayant lieu entre l’etat initial et l’etat cible.

2 · Application

Pour illustrer le fonctionnement de l’implantation d’une fonction logique dans

un IQG, nous allons implanter la fonction Booleenne, F , de quatre entrees logiques

dont l’expression symbolique est :

F = αβγδ + αβγδ + αβγδ + αγδ + αβγδ (8.2)

Pour cela, nous devons tout d’abord trouver le polynome equivalent de son expres-

sion symbolique. Ce polynome peut etre determine grace a la table de Karnaugh

de F , representee sur la figure 8.2a, en suivant la methode presentee au chapitre

5-B-2. Le regroupement des termes represente sur la figure 8.2b, contient trois

groupes, un de poids +1, dont l’expression symbolique est βδ et deux de poids −1,

dont les expressions sont respectivement αβ et γδ. Ceci donne le polynome :

R = |βδ − αβ − γδ| (8.3)

nettement plus simple que l’expression (8.2). L’implantation de F a partir de cette

expression polynomiale mene au systeme quantique represente sur la figure 8.3a.

Bien sur, une structuration differente de la table de Karnaugh de F , comme celles

representees sur les figures 8.2c et 8.2d, menent a des polynomes differents et donc

a des systemes quantiques differents.


a) b) c) d)

Fig. 8.2 – a) Table de Karnaugh de la fonction F etudiee ici. b-c-d) Differentsregroupements de cette table de Karnaugh en groupes ponderes.

Afin de confirmer le bon fonctionnement de ce systeme nous avons calcule

l’evolution temporelle du systeme representee sur la figure 8.3b. On verifie bien

alors la presence d’une interference dynamique entre l’etat initial et l’etat cible

lorsque F = 0 alors que dans les cas ou F = 1 ces interferences disparaissent.

a) b)

Fig. 8.3 – a) Systeme quantique realisant la fonction test F . b) Calcul numeriquede l’evolution temporelle de ce systeme en fonction des entrees logiques confirmantqu’il realise correctement F .


3 · Fonction Booleenne usuelles de N variables

Parmi les 22N fonctions possibles de N variables [2], les fonctions AND, OR,

XOR et leur negations sont les fonctions predominantes de l’electronique moderne.

Il est donc particulierement utile de pouvoir les implanter de maniere optimale dans

un systeme quantique. L’utilisation des tables de Karnaugh generalisees, de part

le nombre tres eleve de regroupements possibles, ne s’avere pas ici tres adaptees

pour deriver les expressions polynomiales de ces fonctions. Il est donc necessaire

de les developper analytiquement.

a) Expressions Polynomiales

Les expressions polynomiales des fonctions logiques a deux entrees ont deja ete

exposees au chapitre 5-C. Ces expressions sont generalisables a N entrees logiques,

notees α = α1, . . . αN. Selon le theoreme fondamental des polynomes elemen-

taires symetriques [15], ces fonctions se decomposent de maniere unique selon ces

polynomes, notees Sn(α). La demonstration par recurrence de ces expressions,

bien que longue, ne presente aucune difficulte et mene aux expressions :

ROR(α) =∑

n(−1)n+1Sn(α) RNOR(α) = 1−∑n(−1)n+1Sn(α)

RAND(α) = SN(α) RNAND(α) = 1−SN(α)

RXOR(α) =∑

n(−2)n−1Sn(α) RNXOR(α) = 1−∑n(−2)n−1Sn(α)

La complexite de ces polynomes vis a vis des expressions symboliques des fonctions

qu’ils realisent, vient des nombreux termes servant a assurer que R soit unique-

ment egal a 0 ou a 1. Grace a cette propriete, l’equivalence B(α) = 1−B(α) peut

etre utilisee [14], rendant les expressions polynomiales des negations des fonctions

immediates, avec par exemple : RNOR(α) = 1− ROR(α).

Quelques simplifications peuvent etre operees sur ces expressions polynomiales.

En effet il est possible d’utiliser des polynomes pseudo-Booleens, n’egalant pas for-

cement 1 lorsque la fonction logique qu’ils realisent egale l’unite, mais egalant bien 0

lorsque cette fonction est nulle. Ceci permet d’eliminer de nombreux termes dans

les expressions polynomiales, menant par exemple au polynome pseudo-Booleen


realisant la fonction OR : ROR(α) = S1(α).

Le polynome associes a la fonction XOR peut etre considerablement simpli-

fie en separant les variables α en deux groupes, α1 = α1, . . . , αm et α2 =

αm+1, . . . , αN. Selon l’equivalence α ⊕ β = |α − β|, rencontree au chapitre 5, il

vient : α1 ⊕ . . . ⊕ αN =∣∣(α1 ⊕ . . . ⊕ αm) − (αm+1 ⊕ . . . ⊕ αN)

∣∣. En injectant le

polynome Booleen de la fonction XOR dans cette derniere expression il vient :

RXOR(α) =∣∣∣m∑n=1

(−2)n−1Sn(α1)−N−m∑n=1

(−2)n−1Sn(α2)∣∣∣ (8.4)

b) Exemples d’implantation de fonctions de N entrees logiques

Pour illustrer l’implantation d’une fonction de N entrees logiques, etudions le

cas de la fonction XOR pour N = 4. D’apres l’equation (8.4), le polynome realisant

cette fonction est donne par :

RXOR = |α1 + α2 − α3 − α4 − 2α1α2 + 2α3α4| (8.5)

Puisque cette expression comporte 6 termes, dont les plus complexes sont des pro-

duits de trois facteurs, 6 branches comportant toutes 2 etats sont necessaires pour

implanter une fonction XOR de quatre entrees logiques. Ceci mene au systeme

represente sur la figure 8.4a. Le calcul numerique de l’evolution temporelle de ce

systeme confirme le controle opere par les entrees logiques sur la presence ou l’ab-

sence d’interferences dynamiques entre |Ψa〉 et |Ψb〉 (voir figure 8.4b). Neanmoins

l’amplitude des oscillations diminue, atteignant ici au maximum 1/40. Cette dimi-

nution est due a la repartition de |Ψ(t)〉 sur les 14 etats qui composent le systeme,

diminuant le poids de la projection de |Ψ(t)〉 sur l’etat cible.


Fig. 8.4 – a)Interferometre quantique generalise realisant une fonction XOR dequatre entrees logiques. b) Calcul numerique de l’evolution de ce systeme confir-mant le controle des interferences dynamiques.

4 · Fonction a plusieurs sorties

Les interferometres quantiques permettent la creation d’un circuit realisant

une operation logique presentant plusieurs donnees de sortie. Prenons l’exemple

de l’additionneur complet, realisant l’addition de trois bits, notes α, β et γ. Les

expressions symboliques des deux fonctions logiques qui le composent sont :

B1(α, β, γ) = α⊕ β ⊕ γ B2(α, β, γ) = αβ + αγ + βγ (8.6)

L’interferometre realisant la fonction α⊕β⊕γ est construit a partir de l’expression

polynomiale des fonctions XOR de N entrees logiques. Le deuxieme interferometre

est quant a lui immediat a partir de l’expression symbolique de B2(α, β, γ). Ces

deux interferometres sont alors couples comme indique sur la figure 8.5a, parta-

geant l’etat initial de l’evolution |ψa〉. La figure 8.5 confirme que ce systeme realise

correctement l’addition des trois bits d’entree. Neanmoins ce systeme necessite

la duplication des entrees logiques a differents endroits du systeme, et seule la

fonction α⊕β⊕γ tire profit des ressources quantiques du systemes. Le developpe-

ment d’IQG pour les fonctions de M -sorties ne propose donc pas une amelioration

considerable vis-a-vis des implantations classiques.


Fig. 8.5 – Systeme realisant un additionneur complet. Les deux sorties sont calcu-lees par deux sous circuits independants. Cette implantation ne propose donc pasd’amelioration par rapport a l’implantation classique.

B - Circuits Spectraux Quantiques

La representation des fonction Booleennes sous forme de distribution de Di-

rac nous a permis au chapitre 5-C, de construire des systemes quantiques simples

realisant des fonctions logiques de 2-entrees/1-sorties. Cette approche peut elle

aussi etre generalises a des fonctions logiques de M -entrees/N sorties. Nous al-

lons monter que les proprietees quantiques du systeme permettent de limiter la

duplication des entrees logiques, mais egalement de realiser differentes operations

en paralleles. Contrairement au calcul quantique traditionel ou une meme fonction

est calculee pour differentes valeurs des entrees logiques, le calcul quantique Ha-

miltonien permet ici de calculer differentes fonctions mais pour la meme valeur des

entrees logiques.

1 · Presentation du systeme

Pour realiser les N operations logiques, notees Bn(α), nous utiliserons un cir-

cuit quantique similaire a ceux presentes au chapitre 5-C, appele Circuit Spectral

Quantique (CSQ) et dont la representation schematique est presentee sur la figure

8.6. Ce systeme contient N blocs d’alimentation, et N blocs de lecture. Les Hamil-

B -. CIRCUITS SPECTRAUX QUANTIQUES 185

toniens, Hai , des blocs d’alimentation contiennent S etats, notes |φsai〉, d’energies

Esi et n’interagissant pas entre eux. De maniere symetrique les Hamiltoniens des

blocs de lectures, Hbi , contiennent eux aussi S etats, notes |φsbi〉, d’energies Esi et

n’interagissant pas entre eux. Les Hamiltoniens Hai et Hbi doivent etre identiques

afin d’assurer la possibilite de la presence d’une resonance frequentielle entre les

etats |φsai〉 et |φsbi〉.

L’etat initial de l’evolution, |ψa〉, sera une superposition de tout les etats de tous

les blocs d’alimentation. Chaque etat cible, |ψbn〉, sera une superposition des etats

du Hamiltonien Hbn . Le resultat de la fonction logique, Bn(α) est alors encodee

dans la frequence effective d’oscillation entre |ψa〉 et |ψbn〉. Le Hamiltonien cen-

tral, Hcore(α), controlant cette frequence, doit comporter un etat propre resonant

entre ces deux etats lorsque un “1” logique est attendu par la realisation de Bn(α).

Puisque la frequence effective d’oscillation entre deux etats d’energie differente

est proportionelle a la partie principale, P(F (E; k;α)), l’expression symbolique

de la n-ieme fonction Booleenne realisee par ce systeme est la superposition d’ex-

pressions elementaires :

Bn(α) =2M∑i=1

Bi ·[ S∑s=1

δ(F (Es

n; k;αi))]

(8.7)

ou Esn et l’energie du s-ieme etat du n-ieme bloc de lecture et ou les Bi sont les

termes Booleens elementaires introduits au chapitre 5-C. L’amplitude maximale

des fonctions Tr[ρ(t)ρbn ] ne peut pas ici atteindre 1. En effet puisque l’etat initial

de l’evolution, |ψa〉, est une superposition de Na etats et que le n-ieme etat cible est

une superposition de Nbn etats, la valeur maximale de Tr(ρ(t)ρbn) est : (NaNbn)−1.

Ceci ne remet absolument pas en cause notre approche qui est exclusivement basee

sur le controle de la frequence effective d’oscillation.

L’equation (8.7) peut etre considerablement simplifiee dans le cas ou Bn(α) est

symetrique vis-a-vis des entrees logiques α. Explicitement une fonction Booleenne

est dite symetrique vis de ses entrees si tout permutation de ces variables ne modifie

pas la valeur de la fonction. Dans ce cas, les operateurs Booleens symetriques Si(α),


n’egalant 1 si et seulement si i elements de α sont egaux a 1, sont utilises dans

(8.7) ce qui donne :

Bn(α) =M∑i=0

Si(α) · [S∑s=1

δ(F (Es

n; k;α2i−1))]

(8.8)

Dans cette expression le nombre d’elements de la somme augmente maintenant

avec M et non plus avec 2M comme auparavant. L’equivalence de toute les entrees

logiques doit egalement etre preservee dans le Hamiltonien Hcore(α). La decompo-

sition spectrale de cet operateur doit donc etre insensible a toute permutation entre

les differents αi. Les spectres des operateurs Hcore(αi = 1, αj 6=i = 0), i = 1, . . . , n,

doivent etre identiques, assurant l’equivalence entre les differents αi [16, 17, 18].

Enfin afin de faciliter la representation de ces systemes quantiques, chaque etat

sera represente par le sommet d’un graphe, les couplages entre ces etats etant natu-

rellement les arretes du graphe. Les couplages faibles entre les blocs d’alimentation

et le systeme central sont traces en gris permettant de reconnaıtre facilement les

differents blocs.

Fig. 8.6 – Representationd’un CSQ realisant unefonction logique de M en-trees et N sorties. L’etat ini-tial, |ψa〉, est une superposi-tion des etats des Hai et len-ieme etat cible, |ψbn〉, estune superposition des etatsde Hbn . Le systeme centralcontrole l’evolution du sys-teme depuis |ψa〉 vers les|ψbn〉.


2 · Fonctions usuelles de M variables

Un exemple pedagogique illustrant la construction de CSQ est la realisation

des 6 fonctions Booleennes symetriques de M variables logiques. Pour realiser ces

fonctions, nous utiliserons le systeme represente sur la figure 8.7.

Fig. 8.7 – CSQ choisit pour implanter les fonctions logiques symetriques de Mvariables.

Ce systeme comporte un bloc d’alimentation et un bloc de lecture contenant cha-

cun S etats d’energies Es qui n’interagissent pas entre eux. Tout ces etats sont

faiblement couples a un des M + 1 etats, tous d’energie e, du systeme central.

Comme explique plus haut l’etat initial sera une superposition des etats du bloc

d’alimentation et l’etat cible sera une superposition des etats du bloc de lecture.

En appliquant l’equation (8.8) a ce systeme il vient directement :

B(α) =M∑m=1

Sm(α)[ S∑s=1

δ((Es − e)2 −m)]

(8.9)

Il reste maintenant a determiner le nombre d’etats presents dans les blocs d’ali-

mentation et de lecture ainsi que la valeur de leurs energies, afin que ce systeme

realise une fonction logique donnee. Pour cela exprimons les fonctions Booleennes

usuelles au travers des operateurs Booleens symetriques :


BOR(α) =∑M

m=1 Sm(α) BNOR(α) = S0(α)

BAND(α) = SM(α) BNAND(α) =∑M−1

m=0 Sm(α)

BXOR(α) =∑M

m=1,3.. Sm(α) BNXOR(α) =∑M

m=0,2,... Sm(α)

Il est alors facile de determiner les energies Es grace a l’equation (8.9) et au tableau

ci-dessus. Prenons l’exemple de la fonction XOR, qui egale 1 lorsque un nombre

impair de αi sont egaux a un. Il faut alors que :

Es = e±√2s− 1 (8.10)

et que S soit egal a M/2 si M est pair et (M−1)/2 si M est impair. Il est bien entendu

possible de determiner les valeurs des Es et de S, pour les autres fonctions logiques.

Il est desormais possible de construire ce systeme avec par exemple M = 4 comme

represente sur le figure 8.8. Le calcul numerique de sa trajectoire permet de verifier

l’efficacite de la methode, ce systeme realisant bien la fonction XOR des quatre

entrees logiques. Comme explique plus haut l’amplitude maximale de ses fonctions

n’est pas 1 mais est 1/4.

a)

b)

Fig. 8.8 – a) CSQ rea-lisant la fonction XORde quatre entrees lo-giques. L’etat initial etl’etat cible sont tout lesdeux la superposition dedeux etats. b) Le cal-cul numerique de la fonc-tion Tr(ρ(t)ρb) en fonc-tion des α confirme lebon fonctionnement dece systeme malgre labaisse de l’amplitude desoscillations.


3 · Realisation d’un demi-additioneur

Pour illustrer la construction d’un CSQ realisant une fonction ayant plusieurs

sortie, realisons un demi-additionneur. Rappelons que cette fonction logique a deux

sortie, la somme S et la retenue C dont les expressions symboliques sont :

S(α1, α2) = α1 ⊕ α2 = S1(α) C(α1, α2) = α1 · α2 = S2(α)

Puisque la fonction contient deux sorties, deux blocs d’alimentation et deux blocs

de lecture sont necessaires. De plus, puisque les expressions symboliques de C et

S ne font intervenir qu’un seul operateur Si(α), chacun de ses blocs doit contenir

un seul etat. Ceci mene au Hamiltonien :

H =

|φa1〉 |φb1〉 |φa2〉 |φb2〉

E1 . . . ε . .

. E1 . . ε . .

. . E2 . ε . .

. . . E2 ε . .

ε ε ε ε e α1 α2

. . . . α1 e .

. . . . α2 . e

(8.11)

L’etat initial de l’evolution devant etre une superposition de tous les etats de tous

les blocs d’alimentation, il s’ecrit :

|ψa〉 =1√2

(|φa1〉+ |φa2〉)

(8.12)

Les etats cibles sont quant a eux : |φb1〉 et |φb2〉. Selon l’equation (8.8) l’expres-

sion symbolique des reponses frequentielles du systeme sur ces deux etats sont

respectivement donnees par :

B1(α) = S0(α) δ(E1 − e

)B2(α) = S0(α) δ

(E2 − e

)

+ S1(α) δ((E1 − e)2 − 1

)+ S1(α) δ

((E2 − e)2 − 1

)

+ S2(α) δ((E1 − e)2 − 2

)+ S2(α) δ

((E2 − e)2 − 2

)


Pour que B1(α) realise S(α), il suffit de fixer E1 − e = ±1, cette valeur annulant

la distribution de Dirac associee a S1(α). De meme afin de que B2(α) realise

C(α), il suffit d’imposer E2− e = ±√2. Sous ces conditions le systeme represente

sur la figure 8.9a realise un demi-addionneur en mesurant la frequence effective

d’oscillation sur |φb1〉 pour obtenir S et sur |φb2〉 pour avoir C comme represente

sur la figure 8.9b. Les proprietes quantiques du systeme permettent ici de ne pas

dupliquer les entrees logiques. Chacune d’entre elles n’apparaıt qu’une seul fois

dans le Hamiltonien alors que l’implantation classique de cette operation necessite

six transistors [19]. De plus grace a l’effet non local des entrees, les deux fonctions

logiques sont calculees en parallele et donc sans delai de calcul.

S C

S0(α)

S1(α)

S2(α)

a) b)

Fig. 8.9 – Realisation d’un demi-aditionneur dans un CSQ. a) Representation stan-dard du Hamiltonien (8.11) et sa representation en graphe. b) Calcul numeriquedes fonctions Tr(ρ(t)ρb1) et dans les trois configurations non equivalentes pourε = 10−3 eV , Ea1 = Eb1 = 1 eV , Ea2 = Eb2 =

√2 eV et un temps d’evolution de

4π 10−12 seconde. Puisque l’etat initial est une superposition de deux etats propresdu Hamiltonien du bloc d’alimentation, l’amplitude maximale de ces fonctions estde 1/2. Neanmoins le controle de Ω est tres performant cette frequence passant de0.3 THz pour les cas resonnants a 0.1 GHz pour les cas non-resonnants.


4 · Realisation d’un additionneur-complet

Le systeme que nous venons de voir comporte plusieurs blocs d’alimentation et

plusieurs blocs de sortie, mais tous ces blocs ne contiennent qu’un seul etat chacun.

Nous presentons ci-apres un exemple plus complexe, l’additionneur complet. Cette

operation de trois variables necessite deux fonctions logiques, S et C, dont les

expressions symboliques sont :

S(α1, α2, α3) = S1(α) + S3(α) C(α1, α2, α3) = S2(α) + S3(α)

Cette operation necessite egalement deux blocs d’alimentation et deux blocs de

lecture. Neanmoins, puisque les expressions symboliques de S et C font intervenir

deux operateurs Si(α) chacune, chaque bloc doit contenir deux etats. Ceci mene

au Hamiltonien :

H =

|φ1a1〉 |φ2

a1〉 |φ1

a2〉 |φ2

a2〉 |φ1

b1〉 |φ2

b1〉 |φ1

b2〉 |φ2

b2〉

E11 . . . . . . . ε . . .

. E21 . . . . . . ε . . .

. . E12 . . . . . ε . . .

. . . E22 . . . . ε . . .

. . . . E11 . . . ε . . .

. . . . . E21 . . ε . . .

. . . . . . E12 . ε . . .

. . . . . . . E22 ε . . .

ε ε ε ε ε ε ε ε e α1 α2 α3

. . . . . . . . α1 e . .

. . . . . . . . α2 . e .

. . . . . . . . α3 . . e

(8.13)

ou les variables α sont bien equivalentes entre elles dans le Hamiltonien du systeme

central. Sur cette base, l’etat initial est une superposition des quatre etats |φjai〉 et

l’etat cible |φbn〉 est lui une superposition des deux etats |φ1bn〉 et |φ2

bn〉. Appliquant

l’equation (8.8) sur ce systeme, l’expression symbolique de la frequence effective

d’oscillation sur |φbn〉 est :


Bn(α) = S0(α)[δ((E1

n − e))

+ δ((E2

n − e))]

+ S1(α)[δ((E1

n − e)2 − 1))

+ δ((E2

n − e)2 − 1))]

+ S2(α)[δ((E1

n − e)2 − 2))

+ δ((E2

n − e)2 − 2))]

+ S3(α)[δ((E1

n − e)2 − 3))

+ δ((E2

n − e)2 − 3))]

(8.14)

avec n = 1, 2. Pour que B1 realise S il est alors suffisant de fixer E11 − e = ±1 et

E21 − e = ±√3. De meme, pour que B2 realise C les valeurs E1

2 − e = ±√2 et

E22 − e = ±√3 sont fixees.

La construction du systeme pourrait prendre fin ici. Neanmoins, l’etat initial et les

etats cibles peuvent etre partiellement relocalises en appliquant des rotations sur

le Hamiltonien precedent. Ainsi le Hamiltonien :

H =

|φa1〉 |φa2〉 |φb1〉 |φb2〉

E1 k1 . . . . . . . . . .

k1 E1 . . . . . . ε . . .

. . E2 k2 . . . . . . . .

. . k2 E2 . . . . ε . . .

. . . . E1 k1 . . . . . .

. . . . k1 E1 . . ε . . .

. . . . . . E2 k2 . . . .

. . . . . . k2 E2 ε . . .

. ε . ε . ε . ε e α1 α2 α3

. . . . . . . . α1 e . .

. . . . . . . . α2 . e .

. . . . . . . . α3 . . e

(8.15)

avec Ei =E1i +E2

i

2et ki =

E1i−E2

i

2, est obtenu apres une rotation de π/4 sur les

sous-espaces des blocs d’alimentation et de lecture. Sur cette base, l’etat initial de

l’evolution se decompose comme : |ψa〉 = 1√2(|φa1〉+ |φa2〉) et les deux etats cibles


sont simplement |φb1〉 and |φb2〉. Mesurant la frequence effective d’oscillation sur

ces deux etats, le systeme realise l’addition des variables α. Ceci est facilement

verifie grace au calcul numerique des fonctions Tr(ρ(t)ρbn) qui sont representees

sur la figure 8.10b. La encore, les proprietes quantiques du systemes sont utilisees

afin de ne pas dupliquer les entrees logiques et permettent egalement de calculer

les deux fonctions en parallele.

a)

b)

α S C

S0(α)

S1(α)

S2(α)

S3(α)

Fig. 8.10 – Realisation de dans un CSQ a) Representation graphique du CSQrealisant l’addition des variables α1, α2 et α3 b) Calcul numerique des fonctionsTr(ρ(t)ρb1) et Tr(ρ(t)ρb2) selon la valeur des αi, pour ε = 10−3 eV et un tempsd’evolution de 4π 10−12 seconde. L’amplitude maximale de ces oscillations est icide 1/8. La frequence effective d’oscillation passe de 0.75 THz pour un “1” logiquea 0.25 MHz pour un “0” logique.


5 · Realisation d’un additionneur 2 bits

Les implantations que nous venons de presenter se base sur l’etude analytique

des zeros des fonctions en argument des distributions de Dirac. A mesure que la

taille du systeme augmente, ces expressions deviennent extremement complexes. Il

est alors necessaire de trouver une solution numerique a la construction de CSQ.

Afin de presenter ce type de construction, etudions l’additionneur 2 bits. Cette

operation fait l’addition de deux mots binaires constitues chacun de deux bits :

W1 = α1β1 et W2 = α2β2. Les variables α sont equivalentes entre elles tout

comme les variables β. Neanmoins les groupes α et β ne sont pas equivalents. Les

expressions symboliques des trois fonctions Booleennes composant cette operation

sont :

C = α1α2 + (α1 + α2)β1β2 =2∑

k=0

S2(α)Sk(β) + S1(α)S2(β) (8.16)

S1 = α1 ⊕ α2 ⊕ β1β2 =1∑

k=0

S1(α)Sk(β) +∑

k=0,2

Sk(α)S2(β) (8.17)

S2 = β1 ⊕ β2 =2∑

k=0

Sk(α)S1(β) (8.18)

Trois blocs d’alimentation et trois blocs de lecture sont donc necessaires a l’im-

plantation de cette operation. Puisque l’expression symbolique de S2 fait intervenir

3 operateurs Si(α)Sk(β), trois etats sont necessaires dans le bloc d’alimentation,

et symetriquement dans le bloc de lecture, implique dans la realisation de S2.

Les expressions symboliques des deux autres fonctions logiques faisant intervenir

quatre operateurs, Si(α)Sj(β), les blocs d’alimentation et de lecture les realisant

contiennent eux quatre etats chacun.

La construction du circuit realisant l’addition de ces deux mots binaires se

base ici sur la calcul numerique des valeurs propres du systeme central choisi pour

implanter cette fonction logique. Certaines de ces valeurs propres seront ensuite

utilisees pour definir les valeurs des energies des etats constituant les blocs de lec-


ture et d’alimentation.

Les valeurs propres du systeme central represente sur la figure 8.11a sont re-

presentees dans les neuf configurations non-equivalentes des entrees logiques sur la

figure 8.11b. Cette figure permet d’apprecier facilement comment les donnees α et

β controlent la position en energie des etats propres du systeme. Afin de realiser

une fonction logique necessitant un “1” logique dans la configuration des entrees

logiques associee a l’operateur Si(α)Sk(β), les blocs d’alimentation et de lecture

realisant cette fonction doivent contenir un etat d’energie egale a un etat propre

du systeme central dans cette meme configuration des entrees logiques.

Prenons par exemple la fonction S2. Cette fonction necessite une sortie lo-

gique egale a 1 dans les configurations S0(α)S1(β), S1(α)S1(β) et S2(α)S1(β).

Par consequent, les energies des trois etats constituant son bloc d’alimentation,

et de maniere identique son bloc de lecture, doivent etre chacune egale a l’energie

d’un des etats propres du systeme central pris dans chacune de ces trois configura-

tions. Ces valeurs peuvent par exemple etre les energies tracees en vert sur la figure

8.11b et appelees EiS2

. La meme methode est ensuite utilisee pour determiner les

valeurs des energies des etats des blocs d’alimentation et de lecture realisant les

fonctions C et S1. Une fois les parametres de chaque blocs identifies, des rotations

sont appliquees sur les sous-espace de chaque bloc afin de relocaliser partiellement

l’etat initial et les etats cibles. La topologie du systeme resultant de ces rotations

est representees sur la figure 8.11a et son Hamiltonien sur la figure 8.12. L’etat

initial est alors une superposition de trois etats :

|ψa〉 =1√3

(|φa1〉+ |φa2〉+ |φa3〉) (8.19)

permettant de calculer les trois fonctions en paralleles. Chaque etat cible est lo-

calise sur un seul etat de la base locale : |φbn〉. Le calcul numerique des fonctions

Tr(ρ(t)ρbn) confirme l’efficacite du controle de la frequence effective d’oscillation

sur chacun des etats cibles mais aussi la baisse de l’amplitude maximale de ces

fonctions qui atteint 144

pour Tr(ρ(t)ρb1) et Tr(ρ(t)ρb3) et 133

pour Tr(ρ(t)ρb2) (voir

figure 8.13).


a)

b)

Fig. 8.11 – CSQ realisant l’addition de deux mots de deux bits. a) Representationgraphique du systeme b) Valeurs propres du systeme central dans les differentesconfigurations des entrees logiques. Les valeurs tracees en vert sont utilisees pourconstruire les blocs d’alimentation et de lecture realisant la fonction S2, celle traceeen bleue C et en rouge S2.


H(α) =

Ha1 V1

Ha2 V2

Ha3 V3

V †1 V1

V †2 H(α) V2

V †3 V3

V †1 Hb1

V †2 Hb2

V †3 Hb3

Ha1 = Hb1 =

|φi1〉

e k1 k2 k3

k1 e k3 k2

k2 k3 e k1

k3 k2 k1 e

e = −0.3827211

k1 = 0.0212993

k2 = 0.0174214

k3 = 0.0241039

V1 =

0 0 00 0 00 0 0ε 0 0

Ha2 = Hb2 =

|φi2〉( )e1 k1 k2

k1 e2 k3

k2 k3 e3

e1 = 0.3400733

e2 = 0.3536671

e3 = 0.3274795

k1 = 0.0117920

k2 = 0.0178103

k3 = 0.0083382

V2 =

0 0 00 ε 00 ε 0

Ha3 = Hb3 =

|φi3〉

e k1 k2 k3

k1 e k3 k2

k2 k3 e k1

k3 k2 k1 e

e = 4.415955

k1 = 0.176459

k2 = −0.060904

k3 = 0.0305614

V3 =

0 0 00 0 00 0 0ε 0 0

H(α) =

1 1 . . . . . . .1 1 α1 α2 1 . . . .. α1 4 . . . . . .. α2 . 4 . . . . .. 1 . . 0 2 . . .. . . . 2 2 β1 β2 1.85. . . . . β1 3 . .. . . . . β2 . 3 .. . . . . 1.85 . . −1

Fig. 8.12 – Hamilto-nien 31 × 31 realisantl’addition des deuxmots : W1 = α1, β1et W2 = α2, β2. Leparametre ε est egalici a 10−5.


Fig. 8.13 – Calcul numerique des fonctions Tr(ρ(t)ρb1), Tr(ρ(t)ρb2) et Tr(ρ(t)ρb3)pour les neufs configurations non equivalentes des entrees logiques et pour lesvaleurs des parametres donnes sur la figure 8.12. L’amplitude maximal de cesoscillations tombe a 1

44pour Tr(ρ(t)ρb1) et Tr(ρ(t)ρb3 et a 1

33pour Tr(ρ(t)ρb2). La

frequence effective d’oscillation va de 65 GHz a 65 MHz respectivement pour lessorties logiques egales a 1 et 0.

C -. PERFORMANCES DES ARCHITECTURES 199

C - Performances des architectures

Afin de mieux apprecier les avantages et les inconvenients des implantations

presentees ici, comparons les a l’architecture classique .

1 · Duplications des donnees d’entree

Le nombre d’elements commutants, necessaires a la realisation d’une fonction

logique, est un critere determinant de la complexite du systeme la realisant. Pre-

nons l’exemple de la fonction XOR de N entrees logiques. Dans une architecture

classique le circuit realisant cette fonction contient D = 3 2N−1− 2 transistors [2].

Pour realiser cette fonction, d’apres l’equation (8.4), un IQG n’a besoin que de

Dpair = N 2N2−1 elements commutants si M est pair et Dimpair = (3N + 1) 2

N−52 si

il est impair. Enfin nous avons vue qu’implantee dans un CSQ, cette fonction ne

necessite d’utiliser chacune des variables qu’une seule fois. La figure 8.14a permet

d’apprecier a quel point l’implantation classique necessite plus d’elements commu-

tants que les deux architectures quantiques.

La meme comparaison peut etre effectuee pour des operations plus complexes

comme l’addition de deux mots de N bits. Ici les CSQ necessitent 2N elements

commutant, et les IQG : 8N + 26N−115

. Enfin, suivant l’architecture classique, le

nombre de transistors necessaires pour realiser cette fonction est de 4 + 14N . Ces

trois fonctions sont representees sur la figure 8.14b. Bien que l’architecture CSQ

necessite moins de d’elements commutants que l’architecture classique, les IQG

sont ici moins performant que cette derniere. Ceci reflete le manque d’efficacite

des IQG, deja evoque a la section precedentes, pour les fonctions de plusieurs sor-

ties.

La limitation du nombre de fois ou apparaissent les entrees logiques dans les cir-

cuits quantiques, provient de l’effet non local que les elements commutants ont sur

la conductance du systeme. La ou un interrupteur classique n’affecte la conductivite

du systeme qu’entre les deux points qu’il relie, le changement d’un des parametres

du Hamiltonien peut diminuer la transparence electronique entre deux points et

l’augmenter entre deux autres, chose impossible dans une architecture classique.


a) b)

Fig. 8.14 – a) Nombre d’utilisation des entrees logiques pour la realisation d’unefonction XOR de N entrees logiques. Les architectures quantiques requierent lar-gement moins de duplication que l’architecture classique. b) Nombre d’utilisationdes entrees logiques pour la realisation d’un additionneur de deux mots de N bits.Bien que les CSQ soient plus performant que l’architecture classique, les IQG euxle sont nettement moins.

Que se soit dans un circuit classique ou quantique, la duplication des elements

commutants pose un probleme d’encombrement du circuit, les donnees logiques

devant etre apportees a tous les elements qu’elles controlent. De plus les transistors

[20, 21, 22] comme les groupements chimiques [23, 24, 25] ont besoin d’un apport en

energie pour pouvoir changer d’etat. Ainsi la limitation du nombre de duplications

des entrees entraıne une diminution de la consommation energetique du dispositif.

2 · Parallelisation du calcul

Nous n’avons eu cesse de le repeter, les differentes sorties d’une fonction lo-

gique de M -entrees/N -sortie, sont calculees en parallele. Au contraire du calcul

quantique qui propose de calculer simultanement la meme operation mais pour

des valeurs des donnees d’entree differentes, l’approche QHC permet de calculer

en parallele differentes fonctions logiques pour les meme valeurs des donnees d’en-

tree. Cette propriete etonnante provient de l’utilisation conjointe du principe de

superposition et de l’effet non local des entrees sur la trajectoire du systeme. Cette

C -. PERFORMANCES DES ARCHITECTURES 201

propriete permet egalement de limiter le temps de calcul d’une fonction complexe,

puisque les N bits de sortie sont calcule en une seule etape.

3 · Amplitude du signal de sortie

Nous avons vu au cours de ce chapitre que lorsque la complexite de la fonc-

tion logique augmente, l’amplitude des oscillations de sortie diminue fortement.

Cette diminution de l’amplitude est un des principal obstacle actuel de l’archi-

tecture QHC. Dans le cas des SQC, cette amplitude, A, est directement reliee

aux nombres d’etats, Na et Nb, sur lequel se developpe l’etat initial et l’etat cible

par : A = (NaNn)−1. Calculons par exemple A pour les fonctions usuelles de N-

entrees/1-sortie en fonction de N (voir figure 8.15a).

Seule la complexification du systeme central est a meme de limiter cette baisse

d’amplitude. Neanmoins cette complexification reste difficile a mettre en oeuvre

pour des systemes complexes puisque elle necessite leurs diagonalisations exactes.

Fig. 8.15 – Dimi-nution de l’amplitudedes oscillations effec-tives en fonction dunombre d’entrees, N ,des fonctions logiquessymetriques usuelles.

4 · Dimensions du systeme

Le point cle de l’electronique moderne est bien entendu la constante diminu-

tion de la taille des dispositifs. Il nous est possible d’evaluer cette taille pour les


implantations que nous avons propose. Prenons l’exemple de l’additionneur de

deux mots de N bits implantes dans un CSQ. Un tel systeme est constitue de12

[1 + 3N(4N + 2)

]etats formant les blocs de lecture et d’alimentation et (4N + 1)

etat formant le systeme central. Il est alors possible de moduler la conductance

entre differentes electrodes en utilisant simplement le systeme central, c’est a dire

en utilisant 4N + 1 etats.

Ce systeme doit etre connecte a 2(N + 1) electrodes. Supposons que ce sys-

teme soit circulaire, et supposons que deux electrodes doivent etre separees d’une

distance minimale de 1 nm (voir figure 8.16a). Un simple calcul montre alors que

sa surface doit etre superieure a (N+1)2

πnm2 [26, 27], qui est bien superieure a la

surface qu’occupe les 4N + 1 etats. La surface necessaire au calcul d’une fonction

donnee est donc limitee par des problemes de connexion du systeme aux electrodes

et non pas par les ressources fournies par le systeme central.

Cette surface d’implantation est neanmoins a comparer avec celle occupee par

une un tel additionneur realise avec de transistors, les 14N+4 transistors occupant

chacun une surface d’environ 100 nm2 [28]. La figure 8.16 montre clairement le gain

de surface entre les deux architectures.

D - Conclusion

En tirant profit des ressources de calcul offertes par le comportement quan-

tique du systeme, de nouvelles regles d’architectures ont etes elaborees. Basees

sur des representations polynomiales ou sous forme de distribution des expression

symboliques des fonctions logiques, ces architecture se revelent dans certain cas

bien plus performantes que leur homologue classique. Le nombre d’elements com-

mutants necessaire a la realisation d’un circuit quantique realisant une fonction

logique de N-entrees/M-sorties, peut etre restreint a N . Cette propriete vient de

l’effet non local que ces elements commutants ont sur la conductance du systeme.

En effet, au contraire d’un interrupteur classique qui n’affecte la conductance du

circuit qu’entre les deux points qu’il relie, le changement d’un des parametres d’un

circuit quantique affecte la transparence electronique de tout le systeme. Cet effet

D -. CONCLUSION 203

a) b)

Fig. 8.16 – a) La taille minimale d’un circuit n’est pas limitee par les ressourcesquantiques offertes par le systeme central mais pas les connexions necessairesau fonctionnement du dispositif. b) Surface occupee par un circuit classique etquantique realisant l’addition de deux mots de N bits. Bien que limitee par lesconnexions et les electrodes et le systemes central, l’architecture quantique occupeune place bien plus restreinte que l’architecture classique.

non-local permet egalement de calculer en parallele differentes fonctions logiques

pour les memes valeurs des entrees logiques. Neanmoins ces proprietes interessantes

s’accompagnent d’une baisse du signal de sortie que les architectures electroniques

actuelles ont su rectifier. Bien que problematique pour les systemes realisant des

fonctions extremement complexes, cette baisse du signal de sortie n’est pas suffi-

sante pour empecher la lecture de la sortie de la fonction dans la plupart des cas.

Enfin, due a des problemes d’interconnexion, nous avons montre que le principal

facteur limitant de l’approche QHC n’est pas la puissance de calcul fournie par le

systeme quantique mais bien celle accessible physiquement. La reduction en taille

des electrodes, utilisant par exemple des fils de liaisons pendantes sur une surface

de SiH comme presente au chapitre 7, devient alors un facteur primordial afin de

pouvoir acceder a toute la puissance de calcul offerte par un systeme quantique.


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Conclusion

Lors de ce travail de these, nous avons propose differentes solutions pour im-planter une fonction Booleenne dans un systeme quantique. Les donnees logiquesd’entree sont encodees dans des parametres bien identifies du Hamiltonien du sys-teme. Cet operateur generant la trajectoire du systeme quantique dans son espacede Hilbert, un changement dans les donnees d’entree deforme cette trajectoire.Differentes caracteristiques de cette deformation peuvent alors etre utilisees pourencoder la sortie de la fonction logique.

Nous avons dans un premier temps etudie le cas ou cette sortie est encodeedans un critere de distance entre la trajectoire du systeme a un temps donne et unetat cible. La sortie etant egale a 1 lorsque la trajectoire du systeme atteint l’etatcible, et egale 0 lorsque elle appartient au sous-espace orthogonal a l’etat cible.Nous avons montre que pour y parvenir la trajectoire doit etre periodique. Nousavons alors propose une methode basee sur les proprietes des groupes cycliquesqui permet la realisation de fonction logiques. Bien que possible, cet encodage estextremement contraignant envers le systeme quantique et s’avere tres sensible auperturbations exterieures.

Les donnees de sorties ont ensuite ete encodees non pas dans un critere de dis-tance, mais de frequence. Explicitement, elles sont encodees dans la frequence ef-fective d’oscillation de la trajectoire du systeme dans la direction de l’etat cible. Un“1” logique est alors associe a une haute frequence et un “0” a une basse frequence.Cet encodage, relativement robuste vis-a-vis de perturbations exterieures, est large-ment moins contraignant que le precedent et permet l’implantation simple de fonc-tions logiques. Nous basant sur les proprietes du Hamiltonien effectif modelisantl’evolution du systeme dans le sous-espace de poids fort, nous avons propose deuxanalyses symboliques de la reponse frequentielle du systeme : soit en exprimant lafonction logique au travers d’un polynome, soit au travers d’une somme de distri-butions. Ces analyses symboliques permettent la construction quasi-immediate dusysteme quantique realisant une fonction logique donnee.

207

208 CONCLUSION

Les moyens de mesure des differents encodages des donnees de sortie ont en-suite ete etudies : la spectroscopie de battements quantiques pour la distance, et lecourant tunnel pour la frequence. La spectroscopie de battements quantiques estla seule technique donnant acces a la probabilite de presence du systeme dans unetat donne. Neanmoins, cette technique repose sur l’etude d’une famille d’objetsidentiques et s’eloigne du but initial de notre approche. Au vu des nombreusesdifficultes generees par l’encodage en distance, ce dernier a ete abandonne au pro-fit de celui en frequence moins problematique a mesurer. En effet la mesure ducourant tunnel au travers d’un objet unique est aujourd’hui chose courante. Lecalcul dependant du temps du coefficient de transmission permet de clarifier larelation existant entre la frequence effective d’oscillation du systeme et sa conduc-tance, lorsque ce dernier est connecte a plusieurs electrodes. Il est desormais clairque cette conduction offre en regime tunnel un reflet extremement fidele de lafrequence effective d’oscillation, permettant une lecture aisee de la sortie des fonc-tions logiques. Lorsque que le couplage entre les electrodes et le systeme centralaugmente, l’influence des continuums formes par les electrodes perturbe fortementla trajectoire du systeme et la lecture des sorties des fonctions logiques est com-promise.

L’analyse symbolique des systemes quantiques a alors ete appliquee a diffe-rents Hamiltoniens modelisant des systemes moleculaires simples. Ainsi, suivantles regles d’alternance de Dewar, le niveau de degenerescence des orbitales fron-tieres ou encore les transitions permises entre des etats de charges differentes, denombreuses fonctions logiques ont pu etre implantees dans une molecule unique.Afin de completer cette implantation d’autres systemes ont ete etudies, comme unfeuillet de graphene ou une surface semi-conductrice passivee, donnant des resul-tats d’ores et deja encourageants.

Enfin, notre analyse symbolique a ete appliquee aux cas des fonctions logiquescomplexes pour en tester les limites, les avantages et les inconvenients. Un pointparticulierement interessant ressortant de cette etude provient de l’effet non-localde chacune des entrees logiques et permet l’utilisation unique de chacune d’entreelles dans le circuit. Ceci differe grandement des implantations classiques ou chaquedonnee logique controle plusieurs transistors. Cette non localite permet egalementde calculer differentes fonctions logiques, dependant des memes variables, en pa-rallele. La ou le calcul quantique de Feynman et Deutsch permet de calculer lameme fonction logique pour differentes valeurs des entrees logiques, le calcul quan-tique Hamiltonien permet de calculer differentes fonctions logiques mais pour lameme valeur des entrees. Cette parallelisation permet par exemple d’eviter la pro-pagation de la retenue pour les additionneurs binaires. Il apparaıt donc que les

209

informations sont traitees de maniere differente par les systemes quantiques quepar les circuits classiques. Accompagnant ce meilleur traitement de l’information,une baisse consequente du signal de sortie ainsi qu’une diminution notable de larestauration des donnees d’entree sont observees lorsque la complexite de la fonc-tion logique augmente.

210 CONCLUSION

Perspectives

De nombreux points fondamentaux, en filiation directe avec ce travail de these,restent a etudier. En premier lieu, le declenchement de l’evolution dependente dutemps du systeme au travers de sa preparation dans un etat non stationnaire, bienque connu depuis le debut de la mecanique quantique, reste encore a clarifier. Eneffet cette preparation initiale fournit l’energie necessaire au fonctionnement desportes logiques [1] et par consequent pose des questions fondamentales sur la ther-modynamique du calcul [2, 3].

L’aspect thermodynamique se retrouve egalement dans le traitement de l’infor-mation faite par le systeme [4, 5]. En effet, la non-duplication des donnees logiquesd’entree en differents points du circuit a ete observee et expliquee de maniere suc-cincte sans reelle formalisation du probleme. Ni la quantite d’information encodeedans le systeme au travers de la modification du developpement de l’etat initialsur la base propre du systeme [6], ni la propagation de cette information au traversdu systeme et l’exploitation qu’il en fait, n’ont ete abordes en profondeur au coursde ce travail de these.

Une derniere question fondamentale reste en suspens. En effet l’efficacite del’encodage en frequence des sorties des fonctions logiques suppose une relationetroite entre le controle de la repulsion des valeurs propres d’une matrice Her-mitienne [7] et l’algebre de Boole. Il devrait etre possible de mettre a jour cetterelation en etudiant avec attention la localisation des valeurs propres d’une tellematrice [8, 9, 10].

Des questions d’implantations restent egalement sans reponse. La plus urgenteest sans doute la realisation experimentale d’une fonction logique, meme simple,dont la sortie serait encodee dans la conduction d’une molecule unique. Plusieurssolutions sont d’ores et deja a l’etude actuellement. Ensuite, des fonctions pluscomplexes doivent etre implantees dans des systemes physiques bien identifies.Pour cela plusieurs solutions se profilent deja : l’analyse symbolique du courantmesure, et non de la conductance, entre differentes electrodes au travers d’un hy-

211

212 PERSPECTIVES

drocarbure alternant fonctionnalise constitue une premiere solution. Neanmoins,nous avons vu que le controle non lineaire de la position des resonances du systemeconstitue un probleme de plus en plus epineux a mesure que la complexite de lafonction logique augmente. Il est alors peut etre preferable de s’orienter vers uncontrole lineaire de ces resonance qui peut etre obtenu par exemple par applicationd’un champ electrique. Enfin une meilleure comprehension du transport dans dessystemes plus larges comme les feuillets de graphene ou les surfaces de siliciumpassivees est toujours necessaire pour pouvoir y implanter des fonctions logiquesen se passant du fastidieux processus d’optimisation.

Les solutions aux problemes de diminution du signal de sortie et de restau-ration des donnees pour les systemes quantiques realisant des fonctions logiquescomplexes restent encore a trouver. Sans cela, nos systemes restent tres sensiblesau bruit exterieur et par la meme assez peu adaptes a la realisation de dispositifselectroniques [11]. En ce qui concerne l’amplitude du signal de sortie, le nombred’etats constituant les blocs d’alimentation et de lecture peut etre considerable-ment reduit en complexifiant le systeme central. Cette complexification peut sefaire directement au travers de la localisation des zeros des fonctions argumentsdes distributions de Dirac [12], ou en utilisant les proprietes d’isospectralites desgraphes de connexion [13, 14]. La faible restauration des donnees reste un pro-bleme inherent a notre approche. Une solution, deja etudiee ailleurs [15], consistea utiliser les plateaux de conduction observees sur les cartes de courant profitantdes effets capacitifs des jonctions tunnels.

Enfin le traitement dependant du temps de la conduction du systeme presenteeau chapitre 6, necessite encore d’etre developpe, prenant notamment en comptela densite d’etats des electrodes de maniere plus formelle. Le perfectionnementde ce traitement dependant du temps permettrait alors d’etudier des phenomenesinelastiques ou les interactions entre electrons au sein de la jonction tunnel. Cesphenomenes inelastiques, deja etudies au chapitre 7, peuvent egalement etre unesource fertile d’implantation de fonctions logiques tirant profit des proprietes dutransport a l’echelle d’une molecule unique. L’approche a un seul electron presenteici doit egalement s’etendre a une description multi-electronique tenant compte detous les electrons occupant le systeme. L’electron tunnel n’interagit alors plus avecdes OM mais avec des produits d’OM issus des determinants multi-electroniques.

Comme l’ecrit R. Landauer, a moins que la demande soit trop forte, une nou-velle technologie doit apporter d’enormes avantages pour deloger la technologiedeja en place [16]. L’electronique moleculaire permet une enorme diminution entaille des dispositifs electroniques. Avec les difficultes rencontrees dans la miniatu-

213

risation des dispositifs semi-conducteur, cette diminution en taille pourrait devenirune demande suffisamment forte pour que cette technologie emergente soit accepteemalgre les problemes qu’elle engendre. Ainsi le traitement quantique de l’informa-tion auquel nous donne acces l’electronique moleculaire doit rester un sujet derecherche actif afin de simplifier et ameliorer les implantations des portes logiquesque nous avons presentees lors de cette these.

214 PERSPECTIVES

Bibliographie

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[2] C.H. Bennett, Int. J. Theo. Phys. 21(1982) page 905The thermodynamics of computation : a review

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215

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[16] R. Landauer, Physica A 168(1990) page 75Advanced technology and the truth in advertising

Representation de la trajectoire

des systemes quantiques

La trajectoire ρ(t) d’un systeme quantique comportant N etats est une matrice

hermitienne contenant N2 termes differents. En 1932 E. Majorana introduit une

transformation qui associe aux N elements de la fonction d’onde du systeme, N−1

points evoluant a la surface de la sphere de Riemann. Cette transformation mene a

des trajectoires complexes assez difficile a analyser. Independamment des travaux

de Majorana, F. Bloch definit en 1946 une transformation qui, a partir des elements

de la matrice densite d’un systeme a deux etats, construit la trajectoire d’un point

evoluant sur une sphere de Riemann. Cette transformation est identique a celle de

Majorana pour les systemes a deux etats. D’autres modes de representation ont

ete proposes depuis, neanmoins ces deux premiers offrent une interpretation plus

simple.

A - Representation de Bloch

1 · Systemes a deux etats

La matrice densite d’un systeme a deux etats dont l’evolution de la fonction

d’onde est donnee par : |Ψ(t)〉 = a1(t)|φ1〉+ a2(t)|φ2〉 s’ecrit comme :

ρ(t) =

(|a1|2 a∗1a2

a1a∗2 |a2|2

)(20)

les elements diagonaux sont appeles populations des etats |φa〉 et |φb〉 et les

elements hors diagonaux les coherences de ces deux etats. Les coordonnees de la

217

218 REPRESENTATION DES TRAJECTOIRES

trajectoire du systeme a travers son espace de Hilbert sont construites a partir des

elements de ρ(t). Pour cela definissons les generateurs infinitesimaux du groupe

special unitaire SU(2), appelees matrices de Pauli :

G1 =

(1 0

0 1

)G2 =

(0 −ii 0

)(21)

G4 =

(0 1

1 0

)G3 =

(1 0

0 −1

)(22)

Les operateurs |φi〉〈φj| peuvent alors se decomposer sur la base formee par ces

matrices comme :

|φ1〉〈φ1| = G1 +G3

2|φ2〉〈φ1| = G4 + iG2

2(23)

|φ1〉〈φ2| = G4 − iG2

2|φ2〉〈φ2| = G1 −G3

2(24)

En remplacant les operateurs |φi〉〈φj| par leurs expressions dans ρ(t) on obtient

directement :

ρ(t) =1

2(|a1|2 − |a2|2)G3 +

i

2(a∗1a2 − a1a

∗2)G2 +

1

2(a∗1a2 + a1a

∗2)G4 +

1

2G1 (25)

Les coordonnees de la trajectoire sont alors definies comme :

T =

X (t) = |a1|2 − |a2|2 = ρ11(t)− ρ22(t)

Y (t) = i(a∗1a2 − a1a∗2) = 2=[ρ12(t)]

Z(t) = (a∗1a2 + a1a∗2) = 2<[ρ12(t)]

(26)

Puisque |Ψ(t)〉 est de norme unite,√

X 2(t) + Y 2(t) + Z(2t) = |a1|2 + |a2|2 = 1.

La trajectoire evolue donc a la surface d’une sphere. Si maintenant |Ψ(t)〉 n’est pas

normee, en presence d’un continuum par exemple, la trajectoire peut entrer dans

la sphere et meme atteindre son centre si la fonction d’onde n’appartient plus a

l’espace |φa〉, |φb〉. Les points X = 1,Y = 0,Z = 0 et X = −1,Y = 0,Z =

A -. REPRESENTATION DE BLOCH 219

0 sont particulierement interessant puisque ils correspondent respectivement aux

etats |φa〉〈φa| et |φb〉〈φb|. Par consequent si la trajectoire atteint le point X =

−1,Y = 0,Z = 0 c’est que la probabilite de presence du systeme dans l’etat

|φb〉〈φb| est egale a 1. Ceci indique egalement que deux etats sont orthogonaux

si ils sont symetriques l’un de l’autre par rapport au centre de la sphere. Plus

generalement, en representant chaque etat par un vecteur reliant le centre de la

sphere et un point de la surface de cette sphere, la distance de Hilbert-Schmidt

entre deux etats, ρa et ρb est donnee par :

Dab = 1− Tr[ρaρb] = sin2(θ/2) (27)

ou θ est l’angle entre les deux vecteurs associees aux deux etats.

Oscillations de Rabi simples Les systemes a deux etats ont ete largement etu-

dies depuis les debuts de la mecanique quantique. Nous allons montrer en premier

les trajectoires les plus simples possibles generees par un Hamiltonien du type :

H =

|φa〉 |φb〉( )a αα b

Les expressions des valeurs propres et des vecteurs propres de ce systeme per-

mettent le calcul analytique de |ψ(t)〉 lorsque le systeme est par exemple initiale-

ment prepare sur l’etat |φa〉 :

|ψ(t)〉 =(

cos2(θ

2)e−iλ+t + sin2(

θ

2)e−iλ−t

)|φa〉+ cos(θ

2) sin(

θ

2)(e−iλ−t − e−iλ+t

)|φb〉(28)

avec tan θ = 2|α|a−b [2]. Les coordonnees de la trajectoire du systeme sur la sphere

de Bloch sont calculees a partir de la matrice densite ρ(t) = |ψ(t)〉〈ψ(t)| et sont

donnees par :


Tab =

X (t) = (cos2 θ2− sin2 θ

2)2 + 4 cos2 θ

2sin2 θ

2cos(ωt)

Y (t) = 2 cos θ2

sin θ2

sin(ωt)

Z(t) = 2 cos θ2

sin θ2(cos2 θ

2− sin2 θ

2)(1− cos(ωt))

(29)

Ces trajectoires circulaires, representees sur la figure 17, ont ete calculees pour

differentes valeurs de a−b. Cette trajectoire appartient au plan (X ,Y ) uniquement

si cos2 θ2

= sin2 θ2. Si cette condition n’est pas respectee alors la trajectoire devie

de |φb〉, le plan auquel elle apparient formant alors un angle, µ avec le plan (X ,Y )

definit par :

tanµ =cos2 θ

2− sin2 θ

2

2 cos θ2

sin θ2

(30)

Fig. 17 – Trajectoires d’un sys-teme a deux niveaux dans les casa− b = 0, a− b = α/2, a− b = 5αet a−b = 15α. Seule la trajectoiredu cas ou a = b est resonante.Dans les trois autres cas l’ampli-tude maximale diminue et la tra-jectoire dans la sphere de Blochdevie de l’etat cible.


Champ electrique variable : Rabi flopping oscillation Afin de presenter

des trajectoires plus complexes, etudions un systeme a deux etats lorsque celui ci

est plonge dans un champ electrique resonant variable. Initialement prepare sur

l’etat fondamental, la fonction d’onde decrivant l’evolution de ce systeme systeme

s’ecrit :

|Ψ(t)〉 = e−i∆t cos(Ωt)|φ1〉+ iei∆t sin(Ωt)|φ2〉 (31)

Les coordonnees de la trajectoire sont alors donnees par :

T =

X (t) = cos2(Ωt)− sin2(Ωt)

Y (t) = −2 cos(2∆t) cos(Ωt) sin(Ωt)

Z(t) = −2 sin(2∆t) cos(Ωt) sin(Ωt)

(32)

Le rapport entre Ω et ∆ determine alors l’allure de la trajectoire. L’exemple ci-

dessous est donne pour un rapport ∆Ω

= 7. Cette trajectoire est fermee car les

frequences des termes oscillants des trois coordonnees sont toutes commensurables.

Si elles ne l’etaient pas la trajectoire serait dense a la surface de la sphere.


Plan X ,Y Plan X ,Z Plan Y ,Z

Fig. 18 – Evolution d’un systeme a deux etats soumis a un champ exterieur va-riable. La trajectoire, calculee a partir des elements de la matrice densite, evolue ala surface de la sphere de Bloch. La trajectoire est ici fermee puisque les frequencesdes termes oscillants des trois coordonnees sont toutes commensurables.

2 · Systemes a N etats et sphere de Bloch reduite

La representation de Bloch de la trajectoire des systemes quantiques, peut-etre

generalisee aux systemes comportant N etats. Cette trajectoire evolue alors a la

surface de la sphere de RN2−1 et est impossible a visualiser. Une coupe de cette

hypersphere est donc necessaire pour pouvoir representer l’evolution des systemes

quantiques comportant plus que deux etats. Cette coupe s’effectue en choisissant

deux etats parmi les N et en ne considerant que la restriction de ρ(t) au sous-espace

sous tendu par ces deux etats. La matrice densite complete :


ρ(t) =

ρ11 ρ12 . . . ρ1N

ρ21 ρ22 . . . ρ2N

......

. . .......

. . . ρN−1,N

. . . . . . ρN,N−1 ρNN

(33)

donne ainsi naissance a la matrice densite restreinte sur les etats |φn〉〈φn| et

|φm〉〈φm| :

ρnm(t) =

(ρnn ρnm

ρmn ρmm

)(34)

A partir des elements de cette matrice, les coordonnees de la restriction de la

trajectoire dans le sous-espace de restriction sont donnees comme auparvant par

(26). Comme la condition ρ2nn+ρ2

mm = 1 n’est a priori pas respectee, la trajectoire

n’evolue pas forcement a la surface de la sphere de R3 et entre a l’interieur de

cette sphere des que la fonction d’onde se developpe sur le sous-espace orthogonal

a celui de restriction. Plusieurs points de la sphere sont alors interessant : X =

1,Y = 0,Z = 0 et X = −1,Y = 0,Z = 0 qui sont associes respectivement

aux etats |φn〉〈φn| et |φm〉〈φm| mais aussi X = 0,Y = 0,Z = 0 qui represente

n’importe quel etat appartenant a l’orthogonal du sous-espace de restriction. Les

points X = x > 0,Y = 0,Z = 0 representent des etats orthogonaux a |φm〉〈φm|et reciproquement les points X = x < 0,Y = 0,Z = 0 representent des etats

orthogonaux a |φn〉〈φn|.

Diffusion resonante via un etat discret Prenons un systeme a trois etats

couples en series dont le Hamiltonien est :

H =

|φa〉 |χ〉 |φb〉

0 W1 0

W1 ∆ W2

0 W2 0

(35)


Cette situation se retrouve frequemment dans de nombreux domaine de la meca-

nique quantique aussi different que l’optique ou la chimie quantique. La resolution

de l’equation de Schrodinger donne l’evolution de la fonction d’onde decrivant l’etat

du systeme initialement prepare sur |φa〉 :

|Ψ(t)〉 =1

2

[ (e−i

∆2t(

cos2(θ)e−iΩ2t + sin2(θ)e−i

Ω2t)

+ 1)|φa〉

+(e−i

∆2t(

cos2(θ)e−iΩ2t + sin2(θ)e−i

Ω2t)− 1

)|φb〉

+ 2√

2i cos(θ) sin(θ)e−i∆2t sin(Ωt) |χ〉

](36)

avec cos(θ) =

√12

+ |∆|2√

∆2+4(W 21 +W 2

2 )et Ω =

√∆2 + 4(W 2

1 +W 22 ). Le sous-espace

d’interet etant supporte par |φa〉, |φb〉, seule la restriction de la matrice densite

a ce sous-espace n’est considere pour representer la trajectoire du systeme. Les

coordonnees de la trajectoire sont alors donnees par :

Tab =

X (t) = cos2(θ) cos(∆+Ω2t) + sin2(θ) cos(∆−Ω

2t)

Y (t) = cos2(θ) sin(∆+Ω2t) + sin2(θ) sin(∆−Ω

2t)

Z(t) = 12(cos4(θ) + sin4(θ)− 1) + cos2(θ) sin2(θ) cos(Ωt)

(37)

Pour donner un exemple precis, nous faisons l’hypothese que ∆ = 0. Alors cos2(θ) =

sin2(θ) = 12, et par consequent on trouve :

Tab =

X (t) = cos(Ω2t)

Y (t) = 0

Z(t) = 14(cos(Ωt)− 1) = 1

2(cos2(Ω

2t)− 1)

(38)

Dans ce cas la, la restriction de la trajectoire au sous-espace sous-tendu par les

etats |φa〉 et |φb〉 est donc une parabole (voir figure 19). La probabilite de presence

de l’etat |φb〉 est alors donnee par :

Pab(t) =1

2

[1− cos(Ωt)− 1

2sin2(Ωt)

](39)


Le systeme atteint donc a la demi-evolution l’etat |φb〉 avec une probabilite de 1.

Le calcul des deux autres restrictions de la trajectoire du systeme se menent de

la meme maniere que celui ci, mais donne des trajectoires en forme de cardioıde

comme represente sur la figure 19.

A

B

Fig. 19 – Trajectoire d’un systeme a trois etats selon differentes restriction : A)Parabole obtenue par la restriction de la trajectoire sur |φa〉,|φb〉 B) Cardioıdeobtenue par la restriction sur |φa〉,|χ〉


B - Representation de Majorana

Bien que plus ancienne et plus generale que la representation de Bloch, la

representation de Majorana est bien moins connue. Elle permet de representer la

trajectoire d’un systeme quantique quelque soit sa taille mais est en contre partie

assez difficile a apprehender. Prenons la fonction d’onde d’un systeme a N etats :

|Ψ〉 = a0|φ0〉+ a1|φ1〉+ . . .+ aN−1|φN−1〉 (40)

La representation de Majorana associe a cette fonction d’onde un polynome

P|Ψ〉(z) definit par :

P|Ψ〉(z) = a0B0 + a1B1 z + a2B2 z2 + . . . aN−1 BN−1 z

N−1 (41)

ou les coefficients Bi sont donnes par : Bi = (−1)N−i[

N !i!(N−i)!

]1/2

. Par consequent

l’etat |Ψ〉 peut etre associe au N −1 racines zi, possiblement complexes, de l’equa-

tion P|Ψ〉(z) = 0. Ces racines qui appartiennent au plan complexe, peuvent etre

representees sur une sphere unite par le biais d’une projection stereographique

inverse. Ce faisant les coordonnees de la racine zi sont donnees par :

Zi =

X = 11+|zi|2<[zi]

Y = 11+|zi|2=[zi]

Z = 11+|zi|2 (1− |zi|2)

(42)

Par consequent, la trajectoire d’un systeme quantique peut etre representee

par le mouvement de N − 1 points evoluant a la surface d’un sphere de Riemann.

De part la nature du polynome P|Ψ〉(z), le systeme atteint l’etat |φk〉 lorsque k

racines ont atteint le pole inferieur de la sphere. En effet le polynome associe a

l’etat |φN−1〉 est P|φN−1〉(z) = BN−1zN−1, les racines de ce polynome sont donnees

par zi = 0 quelque soit i. Par consequent apres projection stereographique, ces

racines se trouvent au centre du plan complexe et sont projetees au pole sud de la

sphere. De meme le polynome associe a l’etat |φN−2〉 est P|φN−2〉(z) = BN−2zN−2.

N − 2 racines de ce polynome sont donnees par zi = 0 et la derniere n’est pas

definie et est par consequent repoussee a l’infinie. Les N − 2 premieres sont donc

B -. REPRESENTATION DE MAJORANA 227

projetees au pole inferieur alors que la derniere se trouve projetee au pole superieur.

Diffusion resonante Le polynome associe au systeme traite pour illustrer les

trajectoires dans la sphere de Bloch reduite, avec ∆ = 0 et W1 = W2, est :

P|Ψ(t)〉(z) =√

3[

cos(Ω

2t) + 1

]z2 −

√3[ 1√

2sin(Ωt)

]z +

[cos(

Ω

2t)− 1

](43)

Les racines de ce polynome sont simplement :

λ± =

√32

sin(Ωt)±√

32

sin2(Ωt)− 4√

3(cos2(Ω2t)− 1)

2√

3(cos(Ω2t+ 1)

(44)

Ces racines, evoluant initialement dans le plan complexe sont projetees, par pro-

jection stereographique inverse, a la surface de la sphere et donne la figure 20. Pour

des valeurs de ∆ differente mais menant a une trajectoire resonante (voir chapitre

2) des trajectoires plus complexes sont obtenues comme on peut l’observer sur la

figure 21 qui est calculee pour ∆ =√

2.

Fig. 20 – Trajectoire de Majorana associe a un systeme a trois etats resonantspour ∆ = 0. Initialement positionnees au pole sud de la sphere, les racines sedeplacent vers le pole Nord et l’atteignent simultanement a la demi-periode.


Fig. 21 – Trajectoire de Majorana associe a un systeme a trois etats resonants∆ =

√2. Initialement positionnees au pole sud de la sphere, les racines se deplacent

vers le pole Nord et l’atteignent simultanement a la demi-periode.

Nous avons presente dans cette annexe deux types de representations differentes

des trajectoires des systemes quantiques. La representation de Majorana est a

priori plus generale que celle de Bloch puisque elle ne necessite pas de restriction

de la matrice densite. Neanmoins la complexite des trajectoires qu’elle engendre

et le manque d’outils disponibles pour les caracteriser, nous poussent a continuer

d’utiliser la representation de Bloch. Cette derniere mene a des representations

qui, bien que partiales, demeurent faciles a interpreter.

Calcul des Esperances de D(t) et Ω

Nous presentons dans cette annexe le calcul des esperances des grandeurs D(t)

et Ω introduites au chapitre 3. Nous presentons ces calculs dans le cas ou les

variables aleatoires suivent une densite de probabilite uniforme sur [−π;π]. Ces

calculs ont egalement ete menes en supposant une densite de probabilite gaussienne

des variables aleatoires, donnant des resultats sensiblement equivalent. De part la

complexite de ces calculs, ils ne seront pas presentes ici.

C - Esperance de D(t)

Supposons que les variables aleatoires, sn, suivent une densite de probabilite

uniforme sur [−π, π], c’est a dire que :

fn(sn) =

1 si sn ∈ [−π, π]

0 sinon(45)

Dans ce cas l’esperance E(Pab(t)) s’ecrit comme :

E(Pab(t)) =1

(2π)N

∫ π

−πds1

∫ π

−πds2 . . .

∫ π

−πdsN (46)

N∑n=1

c2ni

2n + 2

N−1∑n=1

N∑m=n+1

cncminim cos((λn − λm)t+ η(sn − sm)t)

Le terme K =∑N

n=1 c2ni

2n est constant et ne depend pas des variables d’integrations

il peut donc etre traite a part.

229

230 CALCUL DES ESPERANCES DE D(T ) ET Ω

1

(2π)N

∫ π

−πds1

∫ π

−πds2 . . .

∫ π

−πdsNK = K (47)

Il ne reste alors que le terme :

I =1

(2π)N

∫ π

−πds1 . . .

∫ π

−πdsN

N−1∑n=1

N∑m=n+1

cncminim cos((λn − λm)t+ η(sn − sm)t

)

(48)

a evaluer. Puisque les sommes ne sont pas infinies, les symboles∫

et∑

peuvent

etre permutes, menant a :

I =1

(2π)N

N−1∑n=1

N∑m=n+1

cncminim

∫ π

−πds1 . . .

∫ π

−πdsN cos((λn − λm)t+ η(sn − sm)t)

(49)

En developpant le cosinus selon les regles de trigonometrie usuelle, il apparaıt dans

chaque element (i, j) de la somme les termes :

∫ π

−πds1 . . .

∫ π

−πdsi . . .

∫ π

−πdsj . . .

∫ π

−πdsN cos(η(si − sj)t) = 4(2π)N−2 1− cos(2πηt)

(ηt)2

∫ π

−πds1 . . .

∫ π

−πdsi . . .

∫ π

−πdsj . . .

∫ π

−πdsN sin(η(si − sj)t) = 0 (50)

Le premier terme peut etre mis en facteur donnant finalement pour I :

I =1

π2

1− cos(2πηt)

(ηt)2Q (51)

avec :

Q =N−1∑n=1

N∑m=n+1

cncminim cos((λn − λm)t) (52)

L’esperance de D(t) peut alors s’ecrire comme :

E(Pab(t)) = K +1

π2

1− cos(2πηt)

(ηt)2Q (53)

D -. ESPERANCE DE Ω 231

Cette expression peut etre simplifie en introduisant le sinus cardinal :

E(Pab(t)) = K + 2sinc2(πηt)Q (54)

Le meme calcul peut etre mene en prenant une densite de probabilite gaussienne

pour les sn. Ce calcul bien plus complexe que le precedent mene a : E(D(t)) =

K + e−(ηt)2Q. Le comportement de E(D(t)) est donc sensiblement le meme pour

ces deux differentes densite de probabilite.

D - Esperance de Ω

Dans le cas d’une densite de probabilite uniforme sur [−π, π], l’esperance de la

frequence Ω(η) est donnee par :

E(ω(η)) =1

(2π)N

∫ π

−πds1

∫ π

−πds2 . . .

∫ π

−πdsN1− |(λi + ηsi)− (λj + ηsj)|

=1

(2π)2

∫ π

−πdsi

∫ π

−πdsj|(λi − λj) + η(si − sj)| (55)

Dans le cas ou w = λi− λj est superieur a 2ηπ le terme |(λi− λj) + η(si− sj)| est

toujours du signe de w et l’integrale se resume a :

1

(2π)2

∫ π

−πdsi

∫ π

−πdsj(λi − λj) + η(si − sj) = w (56)

Dans le cas contraire on obtient :

1

(2π)2

∫ π

−πdsi

∫ π

−πdsj(λi − λj) + η(si − sj) =

1

(2π)2

∫ π+wη

−πdsi

[∫ wη

+si

−π(w + si − sj)dsj +

∫ π

wη

+si

(sj − w − si)dsj]

+1

(2π)2

∫ π

π−wη

dsi

∫ π

−π(w + si − sj)dsj (57)

232 CALCUL DES ESPERANCES DE D(T ) ET Ω

Bien que long ce calcul mene a :

1

(2π)2

(4wπ2 +

1

3η2(2ηπ − w)3

)(58)

L’esperance de la frequence d’evolution peut donc etre resumee comme :

E(ω(η)) = ω0 +1

(2π)2H(2πη − ω0)

(1

3η2(2ηπ − ω0)3

)(59)

ou H(x) est la fonction de Heavyside de la variable x. Ces meme calculs, menes une

densite de probabilite gaussienne des variables sn, sont extremement complexes et

leur resultat n’est guere different de celui-ci. Par consequent nous ne les presentons

pas ici.

Interferometres quantiques

generalises

Nous presentons dans cette annexe les portes logiques de deux entree implantees

dans un interferometre quantique generalise. Ces systemes sont construits a partir

des expressions polynomiales des fonctions logiques obtenues a partir des tables

de Karnaugh ponderees introduites au chapitre 5-B. Le systeme est alors construit

selon la methode exposee lors de ce chapitre. Nous ne presenterons pas la fonction

AND, dont l’implantation est triviale est deja donnee au chapitre 4.

Fig. 22 – Tables de Kar-naugh ponderees pourles fonctions Booleennesusuelles de deux variables.Les groupes rouges et legroupe vert ont un poids de+1, alors que le poids desgroupes bleus est −1.

233

234 INTERFEROMETRES QUANTIQUES GENERALISES

Fonction OR : R (α, β) = |α + β|

H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |ψb〉

E α β .α e . 1β . e 1. 1 1 E

Fig. 23 – Systeme quantique realisant une fonction OR. Les probabilites de pre-sence totale (trait plein) et effective (pointille) ainsi que les trajectoires dans lasphere de Bloch reduite montrent que dans la configuration O0, la trajectoire ef-fective reste sur l’etat |φa〉〈φa| alors que la trajectoire complete evolue dans le sousespace orthogonal a cet etat.

235

Fonction XOR : R (α, β) = |α− β|

H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |ψb〉

E α β .α e . 1β . e −1. 1 −1 E

Fig. 24 – Systeme quantique realisant une fonction XOR. Les probabilites depresence totale (trait plein) et effective (pointille) ainsi que les trajectoires dansla sphere de Bloch reduite montrent que dans les configurations OO et 11, latrajectoire effective reste sur l’etat |φa〉〈φa| alors que la trajectoire complete evoluedans le sous espace orthogonal a cet etat.


Fonction NAND : R (α, β) = |1− αβ|

H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |ψb〉

E α 1 .α e . β1 . e −1. β −1 E

Fig. 25 – Systeme quantique realisant une fonction NAND. Les probabilites depresence totale (trait plein) et effective (pointille) ainsi que les trajectoires dansla sphere de Bloch reduite montrent que dans la configurations 11, la trajectoireeffective reste sur l’etat |φa〉〈φa| alors que la trajectoire complete evolue dans lesous espace orthogonal a cet etat.

237

Fonction NXOR : R (α, β) = |1− α− β|

H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |φ3〉 |ψb〉

E α 1 β .α e . . 1k . e . −1β . . e 1. 1 −1 1 E

Fig. 26 – Systeme quantique realisant une fonction NXOR. Les probabilites depresence totale (trait plein) et effective (pointille) ainsi que les trajectoires dans lasphere de Bloch reduite montrent que dans les configurations O1 et 10, la trajec-toire effective reste sur l’etat |φa〉〈φa| alors que la trajectoire complete evolue dansle sous-espace orthogonal a cet etat.


Fonction NOR : R (α, β) = |1− α− β + αβ|

H =

|ψa〉 |φ1〉 |φ2〉 |φ3〉 |φ4〉 |ψb〉

E α 1 β α .α e . . . −11 . e . . −1β . . e . −1α . . . e β. −1 1 −1 β E

Fig. 27 – Systeme quantique realisant une fonction NOR. Les probabilites depresence totale (trait plein) et effective (pointille) ainsi que les trajectoires dansla sphere de Bloch reduite montrent que dans les configurations O1, 10 et 11, latrajectoire effective reste sur l’etat |φa〉〈φa| alors que la trajectoire complete evoluedans le sous-espace orthogonal a cet etat.

Expression Booleenne de la partie

imaginaire de Ω(E)

Nous avons donne au chapitre 2 l’expression de la frequence effective d’oscilla-

tion :

Ω = P( A

det(E −QHQ)

)∓ iπδ

(det(E −QHQ)

A)

(60)

L’implantation frequentielle de fonctions Booleennes, amene a negliger la partie

principale de cette expression et a poser que la fonction Booleenne realisee par le

systeme s’ecrive :

B(α, β) = δ

(det(E −QHQ(α, β))

A)

= δ (F (E,α, β)) (61)

Cette expression est difficile a apprehender puisque les donnees d’entrees sont

cachees dans une fonction prise comme argument d’une distribution. Pour mettre

a jour les proprietes de cette fonction, effectuons la transforme de Fourier de (61)

en posant F (E,α, β) = A−1det(E − h0(α, β)) :

F(T, α, β) =

∫ ∞

−∞e−2iπTEδ(F (E,α, β))dE (62)

La propriete des distributions :

∫ ∞

−∞f(x)δ

(g(x)

)dx =

∑i

f(xi)

|g′(xi)| (63)

ou les xi sont les racines simples de g(x), permet d’ecrire (62) comme :

239

240 EXPRESSION BOOLEENNE DE LA PARTIE IMAGINAIRE DE Ω(E)

F(T, α, β) =∑i

e−2iπTEi

|F ′(Ei, α, β)| (64)

ou les Ei, qui dependent bien sur de α et β, sont les racines de F (E,α, β). Les

deux parametres α et β ne pouvant prendre que les valeurs 0 ou 1, la fonctione−2iπTEi

|F ′(Ei,α,β)| peut etre discretisee sur ces valeurs. Cette discretisation est effectuee

sur une base de Kroenecker bi-dimensionnelle composee des fonctions de base :

δnαδmβ , qui ne sont egales a 1 que si α = n et β = m et qui valent 0 sinon. Le poids,

Fnm, de la fonction (62) sur la fonction de base δnαδmβ est donne par le produit

scalaire :

Fnm =

∫ ∞

−∞δnαδ

mβ

e−2iπTEi(α,β)

|F ′(Ei, α, β)|dαdβ =e−2iπTEi(n,m)

|F ′(Ei, n,m)| (65)

Le developpement de la transforme de Fourier de B sur la base des fonctions de

Kroenecker bidimensionnelle est alors :

F(T, α, β) =∑i

∑n,m

Fnmδnαδmβ (66)

La transforme de Fourier inverse donne alors le developpement de B sur la base

de fonctions de Kroenecker bidimensionnelle :

B(E,α, β) =

∫ ∞

−∞

∑i

∑n,m

δnαδmβ

1

|F ′(Ei, n,m)|e−2iπ(E−Ei(n,m))TdT

=∑n,m

δnαδmβ

∑i

1

|F ′(Ei, n,m)|δ(E − Ei(n,m)

)(67)

Pour faire intervenir les fonctions Booleennes elementaires, les fonctions de

Kroenecker bidimensionelles doivent etre exprimees en fonction de α, β et leur

complement logique. Pour cela, les equivalences :

δ0α = α δ1

α = α (68)

sont injectees dans l’expression des fonctions de Kroenecker bidimensionnelles, ce

qui donne les expressions :

241

B00 = δ0α1δ0α2

= α1 · α2 B01 = δ0α1δ1α2

= α1 · α2 (69)

B10 = δ1α1δ0α2

= α1 · α2 B11 = δ1α1δ1α2

= α1 · α2 (70)

L’expression de la fonction Booleenne B devient alors :

B(E,α, β) =∑n,m

Bnm∑Ei

1

|F ′(Ei, n,m)|δ(E − Ei(n,m)

)(71)

ou les Ei(n,m) etant les racines de A−1det(E − h0(α, β)) avec α = n et β = m. Il

est alors possible de reutiliser la propriete (63) pour ecrire cette derniere equation

comme :

B(E,α, β) =∑n,m

Bnm δ(F (E, n,m)

)(72)

242 EXPRESSION BOOLEENNE DE LA PARTIE IMAGINAIRE DE Ω(E)

Methode independante du temps

pour le calcul du T (E)

Bien que l’approche dependante du temps presente des avantages pour la com-

prehension des phenomenes ayant lieu au sein d’une jonction tunnel, on lui prefere

souvent une approche independante du temps plus facile en mettre en oeuvre [1].

Ces methodes proposent de calculer le coefficient de transmission, T (E), d’un elec-

tron d’energie E incident sur la barriere, en resolvant l’equation de Schrodinger

dependante du temps :

(H− EI

)|Ψ(E)〉 = 0 (73)

Les solutions de cette equation peuvent etre obtenues par de nombreuses manieres :

au travers des fonctions de Green [9, 2, 3, 10, 7] du systeme, du noyau de l’operateur

H−EI [12] ou de son determinant [11], ou encore par sa diagonalisation [4, 8]. Dans

cette derniere methode, baptisee ESQC [5, 6, 35], l’expression exacte du coefficient

de transmission est obtenue a l’aide de la matrice de transfert, t(E), reliant les

ondes incidentes et emergentes sur l’impurete (voir figure 28) :

[C(E)

D(E)

]= t(E)

[A(E)

B(E)

](74)

La matrice t(E) s’obtient a partir du propagateur spatialM(n,−n) reliant les am-

plitudes de Cn(E) et C−n(E) le long du circuit. L’expression deM(n,−n) s’obtient

alors en definissant les popagateurs spatiaux elementaire M(n, n − 2) et le pro-

pagateur effectif au travers de l’impurete, Meff(2,−1). L’existence des operateurs

non unitaires U(n, n− 1) definis par :

243

244 CALCUL DU T (E)

U(n, n− 1)−1 ·M(n, n− 2) ·U(n− 1, n− 2) = I (75)

permet d’ecrire : t(E) = U(2, 1)−1 · Meff(2,−1) · U(0,−1). L’expression du coeffi-

cient de transmission, T (E), est alors donne par :

T (E) =1

|t(E)11|2 (76)

Fig. 28 – Illustration du calcul du coefficient de transmission par la methodeESQC [4, 8]

245

Reprenons le cas ou chaque cellule des deux electrodes ne contient qu’un seul

etat. Dans ce cas, apres la diagonalisation du Hamiltonien du defaut, le Hamilto-

nien du systeme s’ecrit comme :

H =

| − 1〉 |0〉 |φ1〉 |φ2〉 . . . |φM〉 |1〉 |2〉

. . . hh e h

h e ε1 ε2 . . . εMε1 ω1 µ1

ε2 ω2 µ2...

. . ....

εM ωM µMµ1 µ2 . . . µM e h

h e h

h. . .

(77)

Les etats des electrodes sont notes |n〉 avec n = −∞, . . . , 0 pour la premiere et

n = 1, . . . ,∞ pour la seconde. Le defaut contient lui M etats propres, notes |φm〉.On definit alors les matrices :

M(n, n− 2) =

(E−eh−1

1 0

)U(n, n− 1) =

(eink e−ink

ei(n−1)k e−i(n−1)k

)(78)

avec cos(k) = (E−e)/2h. Le calcul du T (E) peut alors etre effectue suivant [4], et

donne pour ce systeme :

T (E) = ρ−2 C 2eff

∣∣∣det(Heff

)− he−ik[Tr(Heff

)− he−ik]∣∣∣−2

(79)

avec :

Heff =

(E − Eε Ceff

Ceff E − Eµ

) Eε = e+∑

mε2m

E−ωmEµ = e+

∑m

µ2m

E−ωmCeff =

∑m

εmµmE−ωm

246 CALCUL DU T (E)

Les parametres Eε et Eµ sont les energies effectives des deux derniers etats

des electrodes modifiees par la reflexion de l’onde electronique sur le defaut, le

couplage effectif, Ceff, reliant ces deux etats a travers la jonction. Le parametre

ρ =(dE(k)

dk

)−1= [2h sin(k)]−1 represente la densite d’etats electronique des elec-

trodes et provient de la relation de dispersion : E(k) = e+ 2h cos(k).

Les parametres ε2mE−ωm et µ2

m

E−ωm et Ceff sont clairement des projections du premier

ordre de l’operateur de deplacement du systeme [7] utilise pour controler la fre-

quence effective d’oscillation au chapitre 5. Il est donc evident que cette frequence

joue un role primordial dans le profil du T (E) et mais n’y apparait neanmoins pas

explicitement.

Bibliographie

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[2] T.N. Todorov et al., J. Phys : Condens. Mat. 5(1993) page 2389Eleastic quantum transport throgh small molecules

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[4] P. Sautet, C. Joachim, Phys. Rev. B, 38(1988) page 12238Electronic transmission coefficient for the single-impurity problem in thescattering-matrix approach

[5] P. Sautet, These de doctoratde l’Universite Paris-Sud, 1989Etude theorique du controle de la transmission electronique ...

[6] C. Joachim, These d’etats de l’Universitee Paul Sabatier, Toulouse, 1989Elements d’electronique intramoleculaire : ...

[7] J. Cerda et al, Phys. Rev. B, 56(1997) page 15885Efficient method for the simulation of STM images. I. Generalized Green-function formalism

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[11] B.T. Pickup, P.W. Fowler, Chem. Phys. Lett. 459(2008) page 198An analytical model for steady-state currents in conjugated systems

[12] I. Duchemin, These doctorat, Universite Paul Sabatier 2007Calcul Quantique Hamiltonien : Theorie et application ...

247

248 BIBLIOGRAPHIE

Liste des publications

N. Renaud et al , EnanoNewsLetter 8(2007) page 5Geometrical Approach of Quantum Hamiltonian Computer

Recent progresses in atomic-scale tech-nologies are opening the possibility tocontrol the intrinsic time evolution ofa unique quantum system like a singlemolecule. This evolution, described bythe time dependant Schrodinger equa-tion, can be used to realize a quan-tum logic gate. In one design studiedby Pico-Inside, the energy necessaryfor the quantum system to compute isbrought by the preparation of a non-stationary state, the data are encoded

directly in the Hamiltonian and the results of the calculation are measuredon the occupation probability of the system on the target states beforehanddefined.

249

250 LISTE DES PUBLICATIONS

I. Duchemin, N. Renaud, C. Joachim, Chem. Phys. Lett. 452(2008) page 269A intramolecular digital 1/2-adder

Operating in a quantum regime, amolecule-digital 1/2-adder is presentedwith two NO2 conformational inputsand two tunnel current read-outs. Onlyfive valence molecular orbitals are com-puting while the 191 others determinethe chemical stability and orbital de-sign of the gate. Our gate is based onconstructive and destructive electronicinterferences through the molecule com-puting board to vary the electric resis-tance of the XOR and AND output

tunnel junction. A simple tight binding model shows that indeed a minimumof five quantum states is required to design a quantum 1/2-adder.

N. Renaud, C. Joachim Phys. Rev. A 78(2008) page 062316The design and stability of a NOR and NAND logic gates

By encoding the digital input of a clas-sical logic gate on the Hamiltonian ofa quantum system and driving the logicoperation by preparing it in the samenonstationary state whatever the input,NOR and NAND classical logic gatesare designed with a minimum of threequantum states.The outputs of one gateare obtained either by measuring thedistance between the periodic quantumtrajectory and the output target state,or by measuring the secular frequencyof the almost periodic trajectory in thetarget state direction. A comparison of

the stability to noise between the two approaches demonstrates that the fre-quency approach is more immune to random fluctuations in the Hamiltonianthan a distance control approach, opening the way to determine the logic outputusing a tunneling current passing through the gate.

251

N. Renaud, et al, Chem. Phys. Lett. 472(2009) page 74A NOR-AND quantum running gate molecule

A [1-5]-dinitro-anthracene moleculeperforms a NOR or AND digital logicfunction depending of the polarity ofthe bias voltage applied to the molecule.Its design is based on the fact thata quantum system can demonstratea Boolean like dependent Rabi oscil-lation frequency while this frequencyis controlled by well identified para-meters of its Hamiltonian thereforeused as logic inputs for the logic gate.This quantum Hamiltonian computing(QHC) approach permits a systematicdesign of quantum driven classical logicgates whose quantum structure can bemapped on the electron p system of apolyaromatic molecule. The output of

such molecule logic gate is encoded in the tunnelling current I passing throughthe board of the molecule. Supposed to be interconnecter to two semi-infinitemettalic atomic wires, our NOR (AND) dinitro-anthracene molecule presentsa two orders of magnitude difference between its logic evels “‘1” and “0” asdemonstrated by calculating its full low current I(Θ1,Θ2) logic surface whereΘ1 and Θ2 are the NO2 conformation angles encoding for a classical “0” or “1”logic input on the molecule.

252 LISTE DES PUBLICATIONS

N. Renaud, C. Joachim Phys. Rev. A : soumis le 14 juin 2009A Symbolic Analysis of Quantum Hamiltonian Circuits.

The intrinsic time dependent evolutionof a quantum system is contro-led by well identified parametersα = α1, . . . , αN, of its HamiltonianH(α). Encoding the output of a classi-cal logic gate on the secular oscillationfrequency of this evolution, Booleanlogic functions are presented where theα are the logical inputs. Based on thepole of the H(α) resolvent, a symbolicapproach is proposed to design logicgates up to a 2×2 digital adder basedon a 31×31 H(α) matrix.

W.H. Soe, C. Manzano, N.Renaud, P. de Mendoza, A. de Sarkar, F. Ample,M. Hliwa, A. Echevaren, N. Chandrasekhar, C. JoachimScience en preparationA single moleule NOR gate with Au atom digits as classical inputs.

Single Au atoms were manipulated withthe tip of a STM towards the two naph-tyl branches of a single trinaphtylenemolecule absorbed on a Au(111) sur-face. One Au atom brought in contactwith the molecule act as one bit of in-formation. The NOR response was cha-racterized by means of tunnelling spec-troscopy.

Quantum Hamiltonian Computertoward a symbolic analysis of quantum circuits

Abstract :

The miniaturisation of electronic devices force us to propose solutions to keepincreasing computing power of processors when a single transistor will be imple-mented in a single molecule. We propose here to implement not a simple switchbut a complex Boolean function inside a single molecule following the QuantumHamiltonian Computing (QHC) approach. We present here several methods, basedfor exemple on the Karnaugh tables or on a symbolic analysis, to implement anyBoolean function in a quantum system. We demonstrate the innovative propertiesof such quantum circuits such as the non-duplication of the logical inputs at severalpoints of the circuit or the parallelisation of any set of logical functions. Based onthe symbolic analysis, several experimental set-ups are then proposed to embodysuch a calculator inside a single molecule inserted in a tunnel junction. One ofthose set-ups has been realized providing the first experimental proof of the QHCapproach feasability.

Calculateurs Quantiques Hamiltoniens

vers une analyse symbolique des circuits quantiques

Nicolas Renaud

sous la direction de Christian Joachim

These soutenue la 17 Novembre 2009 sur le Campus Gaston Dupouy auCentre d’Elaboration des Materiaux et d’Etudes Structurales (CEMES)

Resume :

La miniaturisation des composants electroniques nous poussent a anticiper le jourou chaque transistor sera implante dans une seule molecule. Pour continuer d’aug-menter la puissance de calcul des processeurs nous proposons ici d’implanter nonpas un simple interrupteur mais une fonction logique complexe dans une seulemolecule en suivant l’approche du calcul quantique Hamiltonien. Nous proposonsdans cette these differente methodes, par exemple basees sur les tables de Kar-naugh ou encore sur une analyse symbolique, pour implanter une fonction logiquedans un systeme quantique. Nous demontrons ainsi les innovations apportees parcette approche, comme la non-duplication des donnees logiques ou la parallelisa-tion de differentes fonctions logiques. En nous basant sur notre analyse symbolique,nous proposons differents schemas experimentaux, dont un a ete realise recemment,fournissant la premiere preuve experimentale de la faisabilite de notre approche.

Mots cles : Electronique moleculaire, fonction logique, calcul quantique, calculparallele, transport electronique, jonction tunnel.

Ecole doctorale : Science de la matiereSpecialite : Nanophysique

Centre d’Elaboration des Materiaux et d’Etudes Structurales

29 rue Jeanne Marvig, BP 94347, 31055 Toulouse Cedex 4 , France

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