en geniales - Universiteit Utrecht · 2016-04-21 · Un jugador de basquetbol hizo once tiros libres consecutivos. b. Los últimos siete carros que pasaron por una escuela eran rojos

Análisis de datosy probabilidad

Prediccionesgeniales

Lasmatemáticas

encontexto

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison, y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidion.° ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autoresy no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Roodhardt, A., Wijers, M., Bakker, A., Cole, B. R. y Burrill, G. (2006). Predicciones geniales. Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute (Eds.),Las matemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usosaplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedadintelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, queincluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva opor otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto a unalicencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093057-X

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Anton Roodhart y Monica Wijers desarrollaron la primera versión de Predicciones geniales. Laadaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Beth R. Cole y Gail Burril.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Arthur Bakker y Monica Wijers desarrollaron la versión revisada de Predicciones geniales. Laadaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burrill.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y el logotipode Las matemáticas en contexto son marcas registradas de EncyclopædiaBritannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (izquierda, centro) © Getty Images(derecha) © Comstock Images

Ilustraciones8 Holly Cooper-Olds; 12 James Alexander; 17, 18, 24 Holly Cooper-Olds; 28, 29 James Alexander; 34, 36, 40 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica,Inc.; 44 Holly Cooper-Olds

Fotografías1 Photodisc/Getty Images; 2 © Raymond Gehman/Corbis; 3 USDA ForestService–Region; 4 Archivos del USDA Forest Service, www.forestryimages.org;7 © Robert Holmes/Corbis; 16 laozein/Alamy; 18 © Corbis; 30 VictoriaSmith/HRW; 32 Epcot Images/Alamy; 36 Dennis MacDonald/Alamy; 39 Creatas;42 (de izquierda a derecha) © PhotoDisc/Getty Images; © Corbis; 44 DennisMacDonald/ Alamy; 45 Dynamic Graphics Group/ Creatas/Alamy; 47 © Corbis

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A Sacar conclusiones de las muestras¿Probabilidad? 1Muestreo 4Población y muestreo 8Resumen 10Verifica tu trabajo 10

Sección B Quizá exista una conexiónEncuesta de opinión 12Producto contra los insectos 16Cuerpos geométricos y el simio 17Gafas 18Resumen 20Verifica tu trabajo 21

Sección C Razonar usando muestrasPiscicultor 24El peso del morral 28Resumen 30Verifica tu trabajo 30

Sección D ExpectativasCarro compartido 32Publicidad 34Expectativa de vida de una mosca de las piedras 36

Lanzamientos libres 36Resumen 38Verifica tu trabajo 38

Sección E Combinación de situacionesComida gratis 40Equipaje retrasado 45Resumen 48Verifica tu trabajo 49

Práctica adicional 50

Respuestas para verificartu trabajo 55

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VI Predicciones geniales

Querido alumno:

¡Bienvenido a Predicciones geniales!

Las encuestas informan que losadolescentes prefierenpantalones vaqueros de marca acualquier otro vaquero.

¿Piensas que se puede creer en todas las conclusiones que sedivulgan como “resultados de las encuestas”? ¿Cómo pueden serverdaderos los resultados si están basados en las respuestas de unaspocas personas?

En esta unidad, investigarás cómo te puede ayudar la estadística aestudiar y a responder esas preguntas. A medida que explores lasactividades de esta unidad, busca artículos sobre encuestas enperiódicos y revistas. Llévalas a clase y comenta cómo las ideas deesta unidad te ayudan a interpretar las encuestas.

Cuando hayas terminado Predicciones geniales, valorarás la forma enque la gente usa la estadística para interpretar encuestas y tomardecisiones.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

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¿Cómo evalúan las cadenas de televisión sus programas?

La gente a menudo se queja por la cantidad de anuncios que se transmitendurante su programa de televisión preferido, pero el dinero que se obtienede estos anuncios sirve para costear la mayoría de la producción delprograma. El costo de transmitir un anuncio durante un programa detelevisión depende, en gran medida, del actual índice de audiencia delprograma. Los programas de televisión populares a menudo cobran másdólares por un espacio de un minuto para un anuncio, mientras que losprogramas menos populares cobran menos. En consecuencia, las cadenasde televisión observan con atención el índice de audiencia semanal de cada programa.

El índice de audiencia para un programa en particular es el porcentaje dehogares que miran el programa por televisión. ¿Cómo determinan lasprincipales cadenas de televisión quiénes están mirando un programa?

Sección A: Sacar conclusiones de las muestras 1

ASacar conclusionesde las muestras

¿Probabilidad?

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En una época, las empresas encuestadoras independientes les pedían a las personas de una muestra grande que completaran un diario en el queanotaban todos los programas que veían por semana. Por ejemplo, en unaciudad donde 297,970 hogares tenían aparatos de televisión, la empresaencuestadora podía hacer que 463 hogares llevaran un diario.

1. a. ¿Por qué las empresas encuestadoras no llevaban un diario para cada hogar?

b. ¿Cómo crees que podrían usarse los resultados de las encuestaspara estimar la popularidad de los programas de televisión en general?

c. Supón que 230 de los 463 hogares encuestados miraron el SuperBowl. ¿Cómo estimarías el número total de hogares de esa ciudadque miraron el Super Bowl?

d. ¿Cuán confiable crees que sería la estimación?

Un bosque en riesgo

2 Predicciones geniales

Sacar conclusiones de las muestrasA

Muchos insectos y enfermedades son un factor importante para la creaciónde patrones de vegetación saludables y diversos en los bosques, aunque aveces matan o debilitan grandes conjuntos de árboles. Además, los árbolesa menudo se ven perjudicados por las condiciones meteorológicas(demasiada agua o muy poca, por ejemplo) y mueren.

En muchas zonas de las montañas Rocosas, los guardabosques encontrarondispersos por todos los bosques grupos de árboles que estaban secándose.Descubrieron que los árboles estaban infectados con un escarabajo queperfora la corteza.

Durante los últimos años, en una zonaforestal cercana a Snow Creek, murió unpromedio de 12 árboles por cada 10 acresdebido a las condiciones meteorológicasextremas. Pero este año, de enero a agosto,los guardabosques informaron que habíacerca de cuarenta y dos árboles secos o apunto de secarse por cada 10 acres.

2. a. El bosque cercano a Snow Creektiene unos cinco mil acres. ¿Cuántosárboles esperarías que normalmentemurieran debido a las tormentas enla zona?

b. Explica si crees que los silvicultoresdeben estar preocupados por la saludde los árboles.


A


Sacar conclusiones de las muestras

El escarabajo del pino de montaña es el insecto másagresivo y destructivo que ataca los pinos del oestede América del Norte. Los escarabajos del pino sonparte del ciclo natural de los bosques. Pruebasrecientes indican que en ciertas regiones, laspoblaciones del escarabajo del pino de montañaestán aumentando.

En las montañas Rocosas, estaban muriendo más árboles de los que seespera normalmente.

3. a. Reflexiona El número de árboles que se han secado o se estánsecando parece ser distinto en ciertas zonas, por ejemplo en SnowCreek y en las montañas Rocosas. ¿Qué habrá causado estadiferencia?

b. ¿Qué crees que hacen los silvicultores para fundamentar su opiniónde que el cambio en el número de árboles dañados o que se estánsecando es algo para tener en cuenta?

Hay una semejanza entre los ejemplos presentados en las preguntas 2 y 3.En cada caso, se plantea una pregunta importante.

¿Cuándo es una diferencia de un resultado esperado una coincidencia (o debido a la probabilidad) y cuándo podría haber otra explicación quedebe investigarse?

Ten presente esta pregunta en esta sección mientras observas otrassituaciones. En el ejemplo de Snow Creek, el gran número de árboles secoso que están secándose parece ser una coincidencia, mientras que, en lasmontañas Rocosas, el alto porcentaje de los árboles que están secándoseparece tener una explicación.

En cada una de las siguientes situaciones, el resultado puede deberse a laprobabilidad, o quizá exista otra explicación. Para cada situación, da unaexplicación distinta de la probabilidad. Luego decide qué causa sea másprobable: tu explicación o la probabilidad.

4. a. Un jugador de basquetbol hizo once tiros libres consecutivos.

b. Los últimos siete carros que pasaron por una escuela eran rojos.

c. En tu ciudad, el sol no se ha asomado por dos semanas.

d. Una mañana, camino a la escuela, todos los semáforos estaban en verde.

e. Todos los ganadores de una rifa de una escuela primaria eran deprimer grado.



Actividad

Un investigador quiere tomar una muestra aleatoria de diez habitantesdel pueblo. Simularás el muestreo usando el diagrama de la Hoja de

actividad del estudiante 1.


5. Reflexiona Si te sucediera algo inusual, ¿cómo decidirías si fue por probabilidad o por otro motivo? Da un ejemplo.

MuestreoEstos son algunos términos que pueden ser útiles cuando quieres hablar deprobabilidad.

Una población es un grupo entero en el cual estás interesado.

Una muestra es una parte de esa población.

En un pueblo de 400 habitantes, 80 estánsuscritos al periódico local. Esto podríarepresentarse en un diagrama en el quese hubieran llenado al azar 80 cuadradosde 400. Así los cuadrados rojosrepresentan los suscriptores.

Cierra los ojos y coloca el lápiz sobre el diagrama de la Hoja de

actividad del estudiante 1. Deja que la punta del lápiz se apoyesuavemente en el diagrama. Abre los ojos y fíjate dónde se apoyó la punta.

Haz este experimento 10 veces en total y lleva la cuenta de las veces quese apoya en un cuadrado negro. Los 10 cuadrados donde te apoyaste sonuna muestra.


A

6. a. ¿Crees que, en general, existe mayor probabilidad de apoyarse en un cuadrado blanco o en uno negro?

b. ¿Cuál es la probabilidad de apoyarse en un cuadrado negro?¿Cómo calculaste la probabilidad?

c. Organiza las muestras de toda la clase en una tabla como la que se muestra a continuación.

d. Observa con mucha atención la siguiente tabla y describe qué tedice sobre las muestras aleatorias. ¿Con qué exactitud reflejan las muestras la población total con respecto a los suscriptores del periódico?



Número de

cuadrados negros

en 10 tentativas

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Estudiantes

que obtuvieron

este número




Puede resultar difícil sacar una conclusión sobre una población usandouna muestra. Considera el siguiente problema en el que los miembros deuna población están representados por cuadrados.

Cada muestra fue tomada de una de tres poblaciones diferentes. En lapoblación A, de 1,000 cuadrados 200 son rojos. En la población B, de 1,000cuadrados 300 son rojos; y en la población C, de 1,000 cuadrados 500 son rojos.

7. a. Para cada muestra, decide si crees que pertenece a la población A,a la población B o a la población C. Explica por qué tomaste cadadecisión. ¿Cuál es el tamaño de cada muestra?

b. ¿Qué muestras encuentras más difíciles de clasificar? ¿Por quéestas son difíciles?

c. ¿Cuál crees que es el problema de sacar una conclusión basada enuna muestra?

I II III IV

V VI VII VIII


A



Supón que eres el director de un zoológico y vas a invitar a los estudiantes de la zona para queasistan a la inauguración de un nuevo espacio para los primates.

En la zona, hay cinco escuelas y cada una tieneentre 300 y 500 estudiantes, pero tú sabes que novan a poder asistir todos. Eliges al azar 20estudiantes de cada escuela y les preguntas siestarían interesados en asistir. Los resultados de tuencuesta muestran que 30 estudiantes dicen queasistirán y 70 estudiantes dicen que no asistirán.

9. a. Si en la zona viven 2,000 estudiantes,¿cuántos esperarías que fueran a lainauguración?

b. Reflexiona ¿Qué más necesitas saberpara planear la inauguración?

En el problema del zoológico, no podías saber qué porcentaje de estudiantesde la población asistirían, de modo que necesitabas una muestra paraestimar el porcentaje.

10. Para responder al problema 9a, probablemente asumiste que la muestray la población tenían el mismo porcentaje de estudiantes que queríanasistir a la inauguración. ¿Qué tan razonable es esta suposición?

¿Quiénes prefieren qué yogur?Tara está tratando de determinar si los estudiantes de su escuelaprefieren yogur de vainilla, de banana o de fresa. Les pregunta a cuatroamigos y anota sus preferencias. Basándose en sus preferencias, Taradecide que la mitad de la escuela prefiere yogur de fresa, el 25% devainilla y el 25% de banana.

A Carla le interesa la misma pregunta. Se para a la puerta de la escuelamientras los estudiantes salen y les pregunta a 50 de ellos qué saborprefieren. Decide que el 22% prefiere de fresa, el 26% prefiere de vanilla yel 52% prefiere de banana.

8. a. ¿Cómo hallaron Tara y Carla los porcentajes?

b. Reflexiona Si tuvieras que encargar el yogur para el picnic de laescuela, ¿en qué resultados basarías tu pedido, en los de Tara o enlos de Carla? ¿Por qué?

¿Quién va al zoológico?




Población y muestreo

¿Quiénes estaban en la Cámara?La ilustración representa la Cámara de Representantes de los EstadosUnidos durante una sesión. La cámara tiene 435 miembros. Por losasientos vacíos, puedes ver que faltan algunos.

11. a. Explica por qué la ilustración representa una muestra de losmiembros de la Cámara de Representantes de los Estados Unidos.

b. Puedes suponer que esta muestra está tomada al azar. ¿Cuántosmiembros crees que asistieron a la sesión?

¿Qué clase de música te gusta?Natacha y David creen que en la cafetería de la escuela deberían pasarmúsica durante el almuerzo. El director coincide en que es una buena ideay les dice a David y a Natacha que averigüen qué clase de música quierenlos estudiantes. Los dos deciden encuestar a los estudiantes en suspróximas clases y también interrogar a cualquier otro que encuentren porlos pasillos. Natacha va a la clase de música y David, a la de computación.Los dos le presentan los resultados de su encuesta al director.

12. Escribe una nota corta al director en la que expliques por qué losresultados de la encuesta de Natacha y de David no deberían usarsepara tomar una decisión sobre la clase de música para la cafetería.


A

13. a. ¿Qué población se estudió en el artículo?

b. Describe el muestreo: ¿crees que es una buena muestra? Sí o no, ¿por qué?

c. ¿Consideras que es creíble la afirmación hecha en el segundopárrafo del artículo: “Aproximadamente uno de cada nueveestadounidenses de 18 años o más tiene un iPod o un reproductorde MP3”? Explica tu razonamiento.

d. ¿Crees que los resultados serían diferentes si este estudio serepitiera dentro de 5 años?



VIGÍA DE NOTICIAS: PUNTO DE DATOPara los amantes de la música, el cabello gris no es

barrera contra los auriculares blancos

Por MARK GLASSMAN

Publicado: 17 de febrero de 2005

Siluetas de jóvenes que bailan pueden serlas nuevas imágenes de la música digitalportátil, pero, ¡shh!, los más grandestambién están escuchando.

Aproximadamente uno de cada nueveestadounidenses de 18 años o más tiene uniPod o un reproductor de MP3, según losresultados de una encuesta realizada estasemana por Pew Internet and AmericanLife Project (Proyecto Pew sobre Internety la Vida Estadounidense).

Los adultos más jóvenes son el grupo quemás probablemente posea un aparato. Máso menos una de cada cinco personas de 18a 28 años dijeron que tenían un reproductorde música. Cerca del 2% de los de 69 añoso más informaron que poseían uno.

“Es obvio que en este momento estáalcanzando la frontera del éxito como

Fuente: New York Times, 17 de febrero de 2005.

tecnología —dijo Lee Rainie, director delproyecto, acerca de los reproductoresdigitales de música—. Me animaría a creerque hasta tendrá un crecimiento másacelerado durante uno o dos años”. Dijoque, probablemente, más adultos comprenlos aparatos “a medida que entren másreproductores en el mercado, que el preciodescienda, y que la misma Apple lancenuevos productos”.

La encuesta, que recogió la respuesta de2,201 personas por teléfono, tambiénreveló una pequeña diferencia por sexo,según la cual más hombres (el 14%) quemujeres (el 9%) poseen un aparato.“Observen cualquier despliegue detecnología del último siglo y medio —dijo Rainie—. Los hombres tienden apredominar primero y las mujeres tiendena alcanzarlos.”




Sacar conclusiones de las muestras implica siempre incertidumbre.

En el caso de los índices de audiencia de la televisión, demandaríademasiado tiempo y costaría demasiado dinero hallar el númeroexacto de personas que miran determinado programa. En cambio, lainformación de una muestra aleatoria puede usarse para deducir lainformación de todo el grupo. Pero hacerlo así, implica incertidumbre.

La información de una muestra tomada de una población puede ser laque se espera de la población o no. Si una muestra parece inusual,debes pensar si podría haber una explicación o si la diferencia se debe ala probabilidad. En Snow Creek, el número más alto de árboles dañadosparece deberse a la probabilidad, pero en las montañas Rocosas, elnúmero de árboles dañados, inusual y alto, podría explicarse con elaumento de escarabajos del pino de montaña.

Los resultados de una muestra pueden verse afectados por la maneraen que se formulan las preguntas y la manera en que se seleccionóla muestra.

Cuando se hace un muestreo, es importante hacerlo al azar, de modoque todas las distintas muestras posibles de la población, del tamañoelegido, tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas.

La Escuela Intermedia Bora tiene un total de 250 estudiantes. En la escuela,se realizó una encuesta sobre mascotas. El sesenta por ciento de losestudiantes tienen una mascota o más.

1. ¿Cuántos estudiantes de la Escuela Intermedia Bora tienen unamascota o más?



Clara les preguntó a 20 estudiantes de su clase de ciencias de sexto gradosi tenían alguna mascota.

2. a. ¿Cuántos de los 20 estudiantes esperas que respondan “sí”?Explícalo.

b. Resultó que 16 de los 20 estudiantes que Clara entrevistó tienenuna o más mascotas. ¿Te sorprende este resultado? Sí o no, ¿por qué?

c. ¿Por qué crees que tantos estudiantes de la clase de ciencias deClara tienen mascotas?

3. a. Si Clara hubiera entrevistado a 200 estudiantes de la EscuelaIntermedia Bora en lugar de 20, ¿cuántos esperarías que tuvieranmascotas?

b. ¿Estarías sorprendido si Clara contara que halló que de 200estudiantes 160 tienen mascotas? Explica tu respuesta.

4. Supón que quieres saber cuántos estudiantes de tu escuela tienenmascotas. No puedes hacer una encuesta o interrogar a todos losestudiantes. ¿De qué manera seleccionarías una muestra paraaveriguar cuántos estudiantes de tu escuela tienen mascotas? Darazones para tu respuesta.

Cuando el muestreo se realiza para determinar el índice de audiencia deprogramas de televisión, los encuestadores no eligen una muestra aleatoriade toda la población. En lugar de ello, dividen a la población en grupos poredad. ¿Cuáles podrían ser algunas razones por las que hacen esto?



El mes que viene, los ciudadanos de Milo votarán en el siguientereferéndum.

Pregunta: ¿Debe la ciudad de Milo construir un segundo puente entreel distrito del este y el del oeste?

El periódico local organizó una encuesta de opinión y usó una muestra delos residentes de la ciudad. El diagrama muestra los resultados. Cadacuadrado representa a una persona que participó en la encuesta y muestraaproximadamente dónde vive. Un cuadrado blanco significa que la personaplanea votar por “no” y un cuadrado verde indica que la persona planeavotar por “sí”.

BQuizá exista unaconexión

Encuesta de opinión


1. a. ¿Crees que la mayoría de los ciudadanos votará por un puente nuevo?Haz una estimación del diagrama para fundamentar tu respuesta.

b. Basándote en la muestra, ¿cuál es la probabilidad de que alguienque vive en el distrito Oeste vote por “sí”?

Te podrías preguntar si existe una conexión entre el lugar en el que vive lagente y cómo planea votar.

2. a. Cuenta la cantidad exacta de respuestas a la encuesta del puentemostradas en el diagrama. Para organizar tus números, usa unatabla de dos vías como la que se muestra.

b. ¿Qué grupo de personas, el del distrito Este o el del distrito Oeste,parece estar más a favor del puente?

c. ¿Crees que existe alguna conexión en el pueblo de Milo entre ellugar donde vive la gente y cómo planea votar? Explica tu razonamiento.

Sección B: Quizá exista una conexión 13

BQuizá exista una conexión

Puente

Río

Distrito Este: 100 ciudadanos encuestados

Distrito Oeste: 200 ciudadanos encuestados

Sí

No

Total 200 100 300

Oeste Este Total


Puedes separar a los 300 miembros de la muestra en dos grupos: los que viven en el distrito Oeste y los que viven en el distrito Este. Puedes subdividir cada grupo en dos grupos más: los que planean votarpor “sí” y los que planean votar por “no”, lo que da un total de cuatrogrupos. Puedes describir esta situación con un diagrama de árbol.

Dado que no es posible trazar una rama para cada persona de la muestra, las ramas deben combinarse de manera que queden dos: una para las personas que viven en el distrito Oeste y otra para las del distrito Este.

3. a. ¿Qué número de personas representa la rama de las que viven enel distrito Oeste?

b. Vuelve a trazar el diagrama de árbol y completa cada casilla con elnúmero correspondiente del problema 2.

c. Reflexiona ¿Qué método, una tabla de dos vías o un diagrama de árbol, te parece más útil para averiguar si existe una conexiónentre el lugar donde vive la gente y cómo votará? Da una razón para tu elección.


Quizá exista una conexiónB

Sí

No

Oeste

Población Lugar donde vive la persona

Vota

Vota

Este

Sí

No


Hay dos posibilidades para el voto sobre el puente de Milo.

I. No existe conexión entre el lugar donde vive la gente y cómo votará.En otras palabras, los dos factores o “sucesos” son independientes.Otra manera de pensar en esto es que la probabilidad de un voto por“sí” es la misma para todos los ciudadanos, sin importar de qué ladodel río vivan.

II. Existe una conexión. Los dos sucesos son dependientes. En estecaso, la forma en que vota una persona está influida por el lugardonde vive.

4. Para el voto sobre el puente Milo, ¿qué posibilidad te parece másprobable, la I o la II? Da una razón para tu elección.

Si los sucesos son dependientes, a veces puedes explicar la conexión siobservas con atención la situación.

5. Reflexiona ¿Cuáles podrían ser algunas razones por las que la gentede distintos lados del río vote de forma diferente en relación con elpuente Milo?

Ahora supongamos que no existe una conexión entre el lugar donde vive lagente y cómo votará. En otras palabras, esos sucesos son independientes.En la primera columna de la siguiente tabla de dos vías, puedes ver cómovotó la gente del distrito Oeste.

6. a. Suponiendo que los sucesos “el lugar donde vive una persona” y“cómo vota esa persona” son independientes, ¿cuántas personasdel distrito Este han votado por “sí” y cuántas han votado por“no”? Copia y completa la tabla. Explica cómo llegaste a larespuesta.

b. Reflexiona ¿Cómo puedes en general, usar los números de unatabla o un diagrama para decidir si los dos sucesos sondependientes o independientes? Pista: usa la palabra razón oporcentaje en tu respuesta.



No

Total

Sí

200 100 300

80

120

Oeste Este Total


8. a. ¿Cuántas personas se incluyeron en la muestra de la Región I?

b. Explica qué representan los números 120, 41 y 79 de la Región I.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de la muestra de la Región I fuera picada?

d. ¿Cambiarías tu respuesta a la pregunta c si te dijeran que la personahabía usado el repelente?

9. Si conocieras personas que viven en cada una de las cuatro partes delpaís, ¿a quiénes alentarías para que usen el repelente y a quiénes no?Explica tu consejo; para ello, usa la probabilidad.

Se probó un nuevo repelente contra los insectos para ver siprevienen las picaduras de mosquitos. No fue posible probar elrepelente en toda la población de los EE. UU., así que losinvestigadores usaron una muestra.

Dado que los mosquitos pueden ser diferentes en distintas partesdel país, los investigadores hicieron la prueba en cuatro regionesgeográficas diferentes. De cada región, se seleccionó una muestrade personas y se las dividió en dos grupos. Cada persona recibió unfrasco de loción. El de un grupo contenía el nuevo repelente y el delotro, no. Las personas de cada grupo no sabían si habían recibido elrepelente o no.

7. ¿Por qué crees que se diseñó la prueba de un modo tan complicado?



Producto contra los insectos

Los investigadores realizaron la prueba del repelente contra los insectos encuatro partes del país y resumieron los resultados.

Región I

41

79

120

94

106

200

53

80

27

70

40

110

58

90

32

P

NP

Totales

Región III

100

30

130

149

51

200

128

72

200

111

89

200

49

70

21

50

60

110

61

90

29

Clave:

R � Repelente NR � No repelente P � Picadura NP � No picadura

R NR Totales

P

NP

Totales

R NR

P

NP

Totales

R NR

P

NP

Totales

R NR Totales

Totales

Totales

Región IV

Región II




Cuerpos geométricos y el simioCoca es un orangután del zoológico. Le permiten jugar con cuerposgeométricos de tres formas: cilindros, cubos y pirámides. Los cuerposgeométricos son, además, de dos colores: azules y anaranjados. Estos son40 cuerpos geométricos que Coca sacó de un recipiente lleno de bloques.

10. a. Si Coca elige al azar uno de sus 40 cuerpos geométricos, ¿quéprobabilidad existe de que sea un cubo?

b. ¿Qué probabilidad existe de que el cuerpo geométrico que elijaCoca sea azul?

Los guardas del zoológico se preguntan si existe una conexión entre la forma del cuerpo geométrico y su color en los bloques que Coca elige. En otras palabras, a Coca, ¿le gustan más los cubos azules que los anaranjados?, ¿los cilindros anaranjados que los azules?, y así sucesivamente.

El primer paso para responder a esta pregunta es organizar los datos.

Azules

Anaranjados

Total

Total11. a. Copia la tabla de dos vías y anota la

información sobre los 40 cuerposgeométricos que Coca ha elegido.

b. ¿Existe una conexión entre la forma de los cuerpos y el color? ¿Cómo lo decidiste?




En esta tabla de dos vías, hay datos sobre personasque usan gafas. Los datos pertenecen a una muestrade 130 personas.

Gafas

Usan g a f a s

No usan g a f a s

T ota l 88 42 1 3 0

56 39 95

32 3 35

Homb r es Muje r es T ota l

Durante el juego, uno de los visitantes del zoológico dice que el cuerpo queCoca eligió es un cubo.

Nuevamente, la guarda adivina que es anaranjado.

13. ¿Qué probabilidad existe de que esté en lo cierto esta vez?

La información de que el cuerpo es un cubo cambia la situación porqueahora existen menos cuerpos posibles; dicho de otro modo, cambia laprobabilidad de que el cuerpo sea anaranjado.

14. ¿Qué cuerpo de los que puede elegir Coca le dará a la guarda la menorayuda para adivinar el color? Explícalo.

Coca y la guarda juegan con algunos de losvisitantes del zoológico. Coca escoge uno de sus40 cuerpos geométricos y se lo muestra a losvisitantes. La guarda, con los ojos vendados,adivina el color.

Dice que es anaranjado.

12. ¿Qué probabilidad existe de que esté en lo cierto?




Se elige al azar a una persona de esta muestra.

15. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona use gafas?

b. ¿Cambiarías tu respuesta de la parte a si te dijeran que la persona esmujer? ¿Cómo?

La información de la tabla puede usarse para hacer un diagrama de árbol.

16. Copia y completa el diagrama de árbol colocando el número correctoen las casillas.

Usangafas

Usangafas

Nousangafas

Nousangafas

130

Mujer

Hombre 68%

Puedes convertir este diagrama de árbol en un árbol de probabilidades sianotas la probabilidad para cada suceso. Las probabilidades se escriben allado de las flechas. Por ejemplo, la probabilidad de que una persona de lamuestra sea hombre es del 68%.

17. a. Explica cómo se calculó el 68% usando los datos de la tabla.

b. Completa la probabilidad para cada suceso de tu diagrama de árbol.

c. Usa el diagrama de árbol para encontrar la probabilidad de que unapersona de esta muestra, seleccionada al azar, sea un hombre queusa gafas.

18. a. Reflexiona Explica cómo puedes usar el árbol de probabilidadespara llegar a la conclusión de que usar gafas es dependiente de quela persona sea hombre o mujer.

b. ¿Cómo sería el árbol de probabilidades si usar gafas fueraindependiente de ser hombre o mujer?


Puedes usar cada una de estas herramientas para decidir si es másprobable que los miembros de un grupo particular tengan determinadapropiedad.

Aunque las herramientas como estas pueden ayudarte a decidir si esposible que dos sucesos sean dependientes, no te ayudan a averiguar porqué existe una conexión.


Quizá exista una conexión

En esta sección, estudiaste métodos para investigar si dos sucesos sondependientes o independientes. Las tablas de dos vías, los diagramas deárbol y los árboles de probabilidades son tres herramientas útiles paratomar esas decisiones.

B

Usangafas

Usangafas

Nousangafas

Nousangafas

130

Mujer

Hombre 68%

Usan g a f a s

No usan g a f a s

T ota l 88 42 1 3 0

56 39 95

32 3 35

Homb r es Muje r es T ota l



Por miles de años, los curanderos tradicionales han usado el ajo enmedicina. Estudios recientes sugieren que el ajo brinda muchos beneficiosa la salud, como disminuir la presión sanguínea.

La tabla muestra los resultados de un estudio con una muestra de 200personas en las que se evaluó si el ajo realmente disminuye la presiónsanguínea. No se han completado todas las celdas.

1. a. Copia la tabla y completa los números faltantes.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión sanguínea de unapersona del estudio elegida al azar haya disminuido?

c. ¿Cuál sería esta probabilidad si te dijeran que la persona haconsumido ajo?

d. Muestra cómo puedes usar los datos de la tabla para establecer conclaridad que podría existir una conexión entre consumir ajo y ladisminución de la presión sanguínea.

2. Inventa números que muestren que no hay conexión entre el ajo y ladisminución de la presión sanguínea. (Usa un total de 200 personas.)

Sin cambios en la

presión sanguínea

Disminución de la

presión sanguíneaTotal

Se usó ajo

No se usó ajo

Total

27

87

73

100



Quizá exista una conexión

Algunas personas tienen problemas para manejar en la oscuridad. Losinvestigadores se preguntan si esto difiere entre los hombres y las mujeres.

3. a. ¿Quién tendría interés en saber si existe una diferencia entre loshombres y las mujeres con respecto a manejar en la oscuridad?

Los investigadores han estudiado la capacidad de manejar en la oscuridadcon una muestra de 1,000 personas, de las cuales la mitad eran mujeres yla mitad, hombres. Encontraron que el 34% de los hombres y el 58% de lasmujeres tenían problemas para manejar en la oscuridad. Por lo tanto,sospecharon que existe una conexión.

b. Completa la tabla con los números correctos.

c. Haz un árbol de probabilidades que represente la situación de la tabla.

d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de este grupo elegidaal azar tenga problemas para manejar en la oscuridad?

e. ¿Usaste la tabla o el árbol de probabilidades para encontrar laprobabilidad de la parte d? Da una razón para tu elección.

4. En la Escuela Intermedia Tacoma se realizó una encuesta paraaveriguar cuántas horas por semana dedican los estudiantes a lastareas escolares en casa. Estos son los resultados.

B

Hombres

Mujeres

Total

Total

No tienen

problemas para

manejar en

la oscuridad

Tienen

problemas para

manejar

en la oscuridad

TotalMenos de

3 horas semanales

3 horas semanales

o más

40

30

20

90

40

45

40

125

80

75

60

6.° Grado

7.° Grado

8.° Grado

Total



a. Julia afirma: “No existe conexión entre las horas que dedican a latarea escolar en casa y el grado, ya que en todos los grados unoscuarenta estudiantes usan tres horas semanales o más”. ¿Estás deacuerdo con Julia? Sí o no, ¿por qué?

b. Basándote en estos resultados, ¿crees que existe una conexiónentre el grado y las horas que dedican a la tarea escolar en casa?Explica tu respuesta.

Explica lo que significa que dos sucesos sean independientes. Da unejemplo diferente de los de esta sección que muestre lo que quieres decir.



CRazonar usando muestras

Piscicultor

ActividadTu maestro tiene un conjunto de tarjetas de datos. Cada tarjetarepresenta un pez del estanque.

Las tarjetas que tienen la palabra original representan un pez original; lasque dicen MG representan un pez MG. En cada tarjeta de datos, aparecela longitud de un pez.

Todos los estudiantes de la clase “atrapan” cinco “peces” del“estanque”.

Un piscicultor cría una nueva especie de pecesllamados MG. Afirma que estos peces son dosveces más largos que los originales. Un añodespués de haber arrojado en un estanque ungrupo de peces originales y una pequeñacantidad de peces MG, se les permite a losestudiantes pescar algunos para verificar suafirmación. Simularás esta situación.

1. a. Explica por qué atrapar los “peces” de la actividad significa realizarun muestreo al azar.

b. Registra la longitud de los 30 peces que hayan pescado tú y otroscinco estudiantes de tu clase y anota si esta pertenece a un pezoriginal o a un MG.

c. En la Hoja de actividad del estudiante 2, haz dos diagramasdistintos de las longitudes: uno para los peces originales y otropara los peces MG.


2. a. Basándote en los diagramas que hiciste con tu grupo, escribe por lo menos dos observaciones sobre las longitudes de los dos tipos de peces. Una observación debe ser sobre la longitudmedia de los peces.

b. Compara tus observaciones con las de otro grupo. ¿Qué observas?

El piscicultor afirma que los peces MG tienen el doble de tamaño que lospeces originales.

3. Basándote en tus datos sobre la longitud de los peces del diagrama,¿estás de acuerdo con la afirmación del piscicultor sobre la longitud delos peces MG? Fundamenta tu respuesta.

Agrega a los diagramas todos los puntos de datos de todos los estudiantes de tu clase.

4. Ahora, ¿cambiarías tu respuesta del problema 3?

5. Basándote en las gráficas de los datos de toda la clase, ¿quéafirmación podrías hacer sobre la longitud de los peces MGcomparados con los peces originales? ¿Cómo justificarías tuafirmación?

El piscicultor quiere vender sólo los pescados que miden 17 centímetros (cm) o más.

6. a. Basándote en los resultados de la actividad de simulación de tuclase, estima la probabilidad de que un pez MG atrapado al azarmida 17 cm o más.

b. Estima la probabilidad de que un pez original atrapado al azar mida 17 cm o más.

c. Estima la probabilidad de que un pez atrapado al azar mida 17 cm omás. ¿Cómo hallaste tu estimación?

Sección C: Razonar usando muestras 25



Longitud de los peces originales

Nú

me

ro d

e p

ece

s

Longitud (en cm)

80757065605550454035302520151050

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

El piscicultor pescó 343 peces del estanque y anotó su longitud. Representócon gráficas las longitudes e hizo estos histogramas. Las gráficas estántambién en la Hoja de actividad del estudiante 3.


Razonar usando muestrasC

Longitud de los peces MG

Nú

me

ro d

e p

ece

s

Longitud (en cm)

80757065605550454035302520151050

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


7. a. Si atrapas al azar un pez original, ¿qué longitud (aproximada)tendrá? Usa los datos de los histogramas y da razones paratu respuesta.

b. Si pescas un pez MG, ¿qué longitud es más probable que tenga?

Recuerda: el piscicultor quiere vender sólo los peces que miden 17 cm o más.

8. a. Basándote en la información de estas gráficas, estima laprobabilidad de que un pez original atrapado al azar mida 17 cm o más.

b. Estima la probabilidad de que un pez MG atrapado al azar mida17 cm o más.

c. Estima la probabilidad de atrapar al azar un pez que mida 17 cm o más.

9. a. Compara tus respuestas de los problemas 6 y 8. ¿Son parecidas?Si son diferentes, ¿cómo se podría explicar la diferencia?

b. ¿Por qué la respuesta de 8c es más cercana a la respuesta de 8aque a la de 8b?

Puedes usar una tabla de dos vías para organizar la longitud de los peces atrapados.

10. a. Basándote en los datos de los histogramas del total de los 343peces, copia la tabla de dos vías en tu cuaderno y complétala con los números correspondientes. Ya están colocados algunos deesos números.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el piscicultor atrape un pez MG?

c. Reflexiona ¿Cómo puedes calcular fácilmente la probabilidad deque él atrape un pez original?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que atrape un pez original que mida 17 cm o más?

e. ¿Qué tipo de peces le aconsejarías criar al piscicultor? Asegúrate dedar buenas razones para tu consejo.



Originales

MG

Total

Total Hasta 17 cm 17 cm o más

343


El exceso de peso en los morrales puede causar dolor de hombros o de espalda. Los médicos dicen que no se debe cargar más del 15% delpropio peso.

11. a. Randy pesa 40 kilogramos. Basándose en las indicaciones de losmédicos, ¿qué peso puede cargar?

b. Elige el peso de otros dos estudiantes y calcula el peso máximo delmorral para cada uno.

Los científicos decidieron verificar el peso que cargan en su morral losestudiantes de una escuela primaria.

Hicieron un diagrama de recta numérica del peso cargado por una muestrade estudiantes de 1.o a 3.er grado.


Razonar usando muestrasC

0

1

2

3

4

5

6

5 10 15 20 25

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

Porcentaje del peso de los estudiantes

Peso de los morrales

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x

x x

x x

El peso del morral

12. a. ¿Qué conclusiones crees que sacaron de esta información?

b. Reflexiona Basándote en la información de esta muestra, ¿seríasensato llegar a la conclusión de que la mayoría de los estudiantesde la escuela primaria no cargan demasiado peso en su morral? Da razones que fundamenten tu respuesta.


Los científicos se preguntaban si los estudiantes mayores cargaban máspeso en su morral. Decidieron recopilar datos sobre los estudiantes tambiénen algunos grados superiores.

Estos son todos los datos de la muestra de los estudiantes de 1.°, 3.°, 5.°y 7.° grado.

La marca roja representa la mediana del grupo de cada grado.



13. a. ¿Cómo caracterizarías la diferencia entre la mediana de 1.°, 3.°, 5.°y 7.° grado?

b. ¿Qué te dice la mediana de un grupo?

c. ¿En qué se parece y en qué se diferencia la distribución de los porcentajes de los cuatro grados? ¿Qué significa esto en relación con el peso que los estudiantes de cada muestra cargan en su morral?

d. ¿Qué conclusión podrías sacar sobre el peso que los estudiantescargan en su morral? Fundamenta tus ideas con argumentos.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Porcentaje del peso de los estudiantes

Morrales

Grado

Séptimo

Quinto

Tercero

Primerox x x x x x x

x x x x x x x

x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x

x

x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x

x x

x x



Razonar usando muestras

Las muestras pequeñas de la misma población pueden ser muy diferentes.Dado que las muestras pequeñas pueden tener mucha variabilidad, esimportante que una muestra sea lo bastante grande para brindar un sentidode la distribución de la población.

También es importante que la muestra se tome al azar.

Basándote en datos, puedes estimar la probabilidad de sucesosparticulares.

• Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de atrapar al azar un pez que mida 17 cm o más? ¿Cuál es la probabilidad de que mida menosde 17 cm?

• Si la probabilidad de atrapar al azar un pez que mida 17 cm o más esdel 23%, entonces la probabilidad de atrapar un pez de hasta 17 cm es1 � 0.23 � 0.77, o, en porcentajes, 100% � 23% � 77%. En este caso,decimos que una probabilidad es complemento de la otra.

Si sacas una conclusión de una muestra, debes tener cuidado con la formade tomar la muestra y con la población de la que se toma.

• Por ejemplo, si sólo estudias los estudiantes de 1.o y 3.er grado yencuentras que sus morrales no son demasiado pesados, no puedessacar ninguna conclusión sobre el peso de los morrales de losestudiantes en general.

C

La Policía ha colocado un cartel que lesmuestra a los conductores la velocidada la que conducen. Los estudiantes dela Escuela Intermedia Bora todavíaestán preocupados por la velocidad delos carros que pasan cerca de laescuela. Usando el cartel de velocidad,deciden anotar la velocidad a la quepasan los carros durante la horaanterior al comienzo de las clases.



Estos son los valores de los datos (en millas por hora) que recopiló unestudiante: 24 28 27 26 31

Los de otro estudiante: 26 17 22 27 25

Y los de un tercer estudiante: 25 27 28 32 32

1. Haz comentarios sobre la diferencia de los tres conjuntos de datos que recopilaron.

¿El uso de una gráfica de los datos te ayuda a entender cómo estimar laprobabilidad de un suceso? Explica por qué.

Este es un conjunto de datos completos de las velocidades (en millas porhora) que recopilaron los estudiantes.

Velocidad (mi/hr)

2. Haz un diagrama de estos valores. Luego usa el diagrama y cualquierestadística que quieras calcular para escribir un párrafo a lasautoridades escolares en el que describas la velocidad del tráfico en la carretera antes del horario escolar.

3. Haz una lista de algunas ventajas y desventajas de las muestras grandes.

24

28

27

26

31

18

24

26

25

32

28

25

30

30

29

22

30

36

29

28

25

23

32

21

19

30

23

29

29

29

22

30

21

27

33

25

28

24

31

27

26

32

28

25

26

17

22

27

24

25

28

32

26

27

26

28

32

32

27

24

26

27

19


Basándose en la encuesta, el departamento creetambién que entre las 8:00 a.m. y las 9:00 a.m. deuna mañana típica, el número de carros quepasen por el peaje disminuirá de 1,400 a 1,000debido al uso de carros compartidos.

3. Copia y completa el árbol de probabilidadesque muestra el tráfico esperado después del cambio.


DExpectativas

Carro compartidoEn un peaje de la ciudad, cadaconductor paga una tarifa de $2.50. Un día, el Departamento de Transporte contó que entre las8:00 a.m. y las 9:00 a.m. pasaronpor el peaje 1,400 carros.

1. ¿Cuánto dinero se recaudódurante este tiempo?

El Departamento de Transporte quiere que la gente comparta los carros parareducir el tráfico en el peaje. El departamento está analizando crear un carril“sólo para carros compartidos” por tres personas o más. La tarifa para elcarril de carros compartidos se reduciría a $1.00. Al mismo tiempo, la tarifaen los carriles comunes se elevaría a $4.00.

El Departamento de Transporte realiza una encuesta y estima que cuando lareglamentación entre en vigencia, el 20% de los carros usarán el carril paracarros compartidos.

2. ¿Cuántos esperas que usen el carril para carros compartidos si ves que100 carros pasan por el peaje?

Tarifa baja20%

Tarifa alta

1,000 carros


DExpectativas

Sección D: Expectativas 33

4. a. ¿Cuánto dinero espera recaudar el Departamento de Transporteentre las 8:00 a.m. y las 9:00 a.m.?

b. ¿Cuál será la tarifa promedio por carro durante esta hora?

El departamento también quiere saber cuánta gente usa el peaje. Pararesponder a esta pregunta, se hicieron algunas suposiciones: un carro queusa el carril de carros compartidos lleva tres ocupantes y un carro que vapor los carriles comunes lleva sólo un ocupante.

5. Usando esas suposiciones, ¿cuántas personas transitarán por el peajede 8:00 a.m. a 9.00 a.m. de una mañana típica?

El Departamento de Transporte está tratando de decidir si pondrá en prácticael plan de carros compartidos. Analiza el cambio en la cantidad de dinerorecaudado, el cambio en el número de carros que viajan por el camino ymuchos otros factores.

6. ¿Crees que el departamento debe poner en práctica el plan de carroscompartidos? Justifica tu respuesta.

Para resolver el problema de los carros compartidos, usaste un proceso que puede representarse así:

El diagrama de la derecha es una versión general del de la izquierda.

7. Explica el proceso que se muestra en los diagramas.

20%

$3,400

—%� — � —

� — � ——%

–––

80%

por carro � $1.00 � $200

por carro � $4.00 � $3,200

200carros

800carros

1,000carros


La señora Lindsay está por abrir una tienda nueva para adolescentes. Parallegar a sus clientes potenciales, decide poner un anuncio publicitario en elperiódico local. El periódico lo leen unos quince mil adolescentes. Este essu “grupo de destinatarios”.

La señora Lindsay sabe que no todos los lectores adolescentes leerán suanuncio publicitario. También se da cuenta de que no todos los lectores delanuncio llegarán a ser clientes. Estima que el 40% de los lectores delperiódico leerá el anuncio. Además, espera que sólo el 10% de los que leanel anuncio llegarán a ser clientes.


ExpectativasD

La cantidad de $3,400 representa lo que se espera que suceda; en estecaso, es la cantidad de dinero que se espera recaudar. Los matemáticos lollaman valor esperado. A veces es útil calcular el valor esperado en formade tasa. En este ejemplo, la tasa sería la tarifa esperada por carro.

Catalina trabaja en el Departamento de Transporte. Ha estudiado unaencuesta distinta y cree que el 30% de los carros usarán el carril para carros compartidos.

8. a. Usando los resultados de Catalina, haz un diagrama de árbol que represente el dinero recaudado con la tarifa de peaje de 1,000 carros.

b. ¿Cuánto dinero espera Catalina que recaude el departamento entrelas 8:00 a.m. y las 9:00 a.m.?

c. ¿Cuál es el valor esperado, es decir la cantidad promedio que uncarro pagaría en el peaje, según el plan de Catalina?

d. Reflexiona ¿Quién estaría interesado en este valor y por qué?

Publicidad



DExpectativas

9. a. Copia y completa el diagrama paraque muestre el porcentaje deadolescentes de cada categoría.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un lector adolescente llegue a ser cliente?

?

Llegan a

ser clientes

% %

?

No llegan

a ser clientes

?

Leen

el anuncio

15,000 lectores adolescentes

?

No leen

el anuncio

% %

Otra manera de conseguir más clientes es publicar el anuncio dos díasconsecutivos. La probabilidad de que un lector adolescente vea el anuncioel primer día es del 40% y la probabilidad de que lo vea el segundo día es también del 40%. En esta situación, el árbol de probabilidades es como este:

10. a. Copia el árbol de probabilidades en tu cuaderno y completa laprobabilidad de cada suceso.

b. ¿Cuál es el significado de las casillas B, C y D?

c. Después de publicar el anuncio dos días, ¿cuántos miembros delgrupo de destinatarios se espera que lo hayan leído?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro del grupo dedestinatarios llegue a ser cliente?

11. Reflexiona ¿Qué otras cosas necesitarías saber para aconsejarle a laseñora Lindsay si le conviene publicar dos veces el anuncio?

15,000 lectores

adolescentes

Leen el

1.er anuncio

?

Leen el

2.° anuncio

?

B

?

C

?

D

?

No leen el

1.er anuncio

?


Para un proyecto de ciencias, un grupo de estudiantes incubó 1,000moscas de las piedras y las estudió cuidadosamente. Después de seishoras, todas las moscas estaban vivas, pero durante la hora siguientemurieron 150.


ExpectativasD

Horas

Número demoscas vivas

6 7 8 9 10 11 12

1,000 850 600 250 100 20 0

Expectativa de vida de una moscade las piedras

12. Basándote en los datos de la tabla, escribe dos enunciados sobrela duración de la vida de la mosca de las piedras.

13 a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mosca de las piedrasviva 8 horas o más, basándote en estos datos?

b. Usa los datos de los estudiantes para determinar laexpectativa de vida de una mosca de las piedras elegida alazar. Explica cómo hallaste tu respuesta.

Piensa en el tiempo que viven las personas.

14. a. Reflexiona ¿Por qué sería útil un valor esperado?

b. ¿Cómo podría afectar el muestreo el valor esperado?

Lanzamientos libres

Marcos está en un equipo de basquetbol.Es muy buen lanzador de tiros libres, con unpromedio del 70%. Esto significa que comopromedio, encestará el 70% de los tiroslibres que haga. También se puede decir quesu probabilidad de encestar un tiro libre esdel 70%.

15. Si Marcos hace 50 tiros libres, ¿cuántosde ellos esperas que yerre?



DExpectativas

Los partidos de basquetbol tienen distintas situaciones de tiros libres. Enuna situación de uno más uno, un jugador puede hacer el segundo tirolibre sólo si encestó el primero. En una situación de dos tiros libres, eljugador puede hacer dos tiros aunque no haya encestado el primero.

Marcos a menudo está en una situación de dos tiros libres. Esto significaque puede hacer dos tiros libres. Supón que en una serie de partidos,estará 100 veces en una situación de dos tiros libres.

16. a. Copia el árbol de probabilidades de Marcos para la situación de doslanzamientos libres y complétalo.

100 situaciones de

dos tiros libres

70%

70%70%

30%

Primer tiro

Segundo tiro

30%30%

2.° tiroencestado

2.° tiroencestado

2.° tiroerrado

2.° tiroerrado

1.er tiroerrado

1.er tiroencestado

b. ¿En cuántas de las 100 situaciones en que Marcos hace dos tiroslibres esperas que anote un punto?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que Marcos anote dos puntos en unasituación de dos tiros libres?

17. a. Usa el árbol de probabilidades para calcular cuántos puntos seespera que Marcos anote en las 100 situaciones de dos tiros libres.

b. ¿Cuál es el puntaje esperado por cada situación de dos tiros libres?

La otra situación de tiro libre es la de uno más uno. Un jugador puedeintentar un tiro libre. Si encesta este lanzamiento, puede intentar unsegundo. Si el jugador yerra el primer lanzamiento, no se le permiterealizar el segundo. En esta situación, Marcos aún tiene un promedio detiros libres del 70%.

18. a. Haz un árbol de probabilidades para Marcos en una situación detiro libre de uno más uno. Supón, otra vez, que hará 100 tiros libresde uno más uno.

b. ¿Cuál es el puntaje promedio que esperas que Marcos obtenga enuna situación de uno más uno? Muestra cómo hallaste tu respuesta.



Expectativas

En esta sección, investigaste los valores esperados.

Para hallar el valor esperado de un suceso, necesitas conocer la probabilidadrelacionada con los posibles resultados.

Un árbol de probabilidades muestra la probabilidad para cada resultado.Observa que la probabilidad puede expresarse en forma de porcentaje o de fracción.

Se puede usar un árbol de probabilidades para hallar los valores esperados.

D

En un peaje de la ciudad, se espera que el 25% de los carros usen el carril paracarros compartidos. La tarifa es de $3.00 por carro en los carriles comunes y de$1 por carro en el carril para carros compartidos.

1. a. Haz un árbol de probabilidades para esta situación. Usa el número decarros que quieras.

b. ¿Cuánto dinero se recaudaría en la situación que planteaste en la parte a?

c. ¿Cuál es la tarifa promedio por carro en este peaje?

d. Si empiezas tu árbol de probabilidades de la parte a con un númerodistinto de carros, ¿cambiaría tu respuesta de la parte c? Explica tu razonamiento.

100 situaciones de

dos tiros libres

70%

70%70%

30%

Primer lanzamiento

Segundolanzamiento

30%30%

2.° lanzamiento encestado

2.° lanzamiento encestado

2.° lanzamiento errado

2.° lanzamiento errado

1.er lanzamiento errado

1.er lanzamiento encestado



2. Brenda es jugadora de basquetbol. Tiene un 80% de aciertos en tiros libres.

a. Haz un árbol de probabilidades quemuestre lo que se espera que Brendaanote en 100 situaciones de dos tiros libres.

b. ¿Cuál es la probabilidad de queBrenda anote dos puntos en unasituación de dos tiros libres?

Escribe una explicación sobre valor esperado para alguien de tu familia. Usa ejemplos que ayuden a tu familiar a entender qué es el valor esperadoy cómo podría usarse.

Tiempo de espera

(en minutos)

Número de clientes

0

24

1

16

2

9

3

7

4

6

6

8

7

8

8

11

9

9

10

2

3. La tabla contiene datos sobre el tiempo que los clientes han tenido queesperar en la fila del cajero. Estos datos se recopilaron de una muestrade 100 clientes.

a. Basándote en los datos, ¿cuál es la probabilidad de que un clientetenga que esperar en la fila?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente deba esperar por lo menos6 minutos?

c. Usa los datos para calcular el tiempo esperado que cada clientepermaneció en la fila.

d. ¿Es útil conocer el “tiempo esperado que cada cliente permanecióen la fila”? Sí o no, ¿por qué?



Los estudiantes de octavo grado de la Escuela Intermedia Takadona estánorganizando una Noche de Fiesta para todos los estudiantes de 7.° y 8.°grado. Para que se diviertan, habrá juegos, películas y comida. Cadaestudiante que vaya a la Noche de Fiesta recibirá un vale rojo y uno verde.Algunos de los vales rojos tendrán una estrella, que podrá cambiarse por un perro caliente gratis. Del mismo modo, algunos de los vales verdestendrán una estrella, que servirá para una bebida gratis. Si el vale no tieneestrella, podrá usarse para obtener un descuento en una compra de algopara comer o beber.

ECombinación de situaciones

Comida gratis

Los organizadores quieren regalar suficientes vales con estrella para quela probabilidad de que un estudiante obtenga un perro caliente gratis seade 1��6, y la probabilidad de que obtenga una bebida gratis sea de 1��2.

1. Elige el número de vales que harías. ¿Cuántos serían rojos, cuántosverdes, cuántos con estrella y cuántos sin estrella para que existanestas probabilidades?

Antes de hacer los vales, el maestro de matemáticas pide a la clase quehalle la probabilidad de que un estudiante obtenga un perro caliente yuna bebida.

2. ¿Cuál crees que será la probabilidad de obtener ambas cosas?


Es posible hacer una simulación para estimar la probabilidad de que unestudiante obtenga un perro caliente y una bebida gratis. En lugar de hacerlos vales reales y repartirlos, la clase decide usar dos cubos numéricos dedistinto color: uno rojo y uno verde.

Cada vez que se tiran los cubos, sale un par de números. El resultado del cubo rojo es para los vales rojos; el resultado del verde es para los vales verdes.

3. Describe cómo los resultados de los cubos numéricos puedenrepresentar las estrellas para algo gratis para comer y algo gratis para beber.

Vas a sacar 100 pares de números con dos cubos numéricos para simular lallegada de 100 estudiantes a la Noche de Fiesta.

4. Diseña una tabla para que sea más fácil anotar los resultados. La tabladebe mostrar con claridad lo que obtiene cada estudiante: un perrocaliente gratis, una bebida gratis, ambas cosas o ninguna.

Sección E: Combinación de situaciones 41


Actividad

Usa los dos cubos numéricos de distinto color y la tabla que diseñaste en el problema 4.

Tira algunas veces los cubos numéricos para asegurarte de que tu tabla es útil.

Saca 100 pares de números con los cubos numéricos y anota losresultados en tu tabla. Cada par de resultados posibles de los cubosnuméricos debe corresponder a una de las posibilidades de tu tabla.

5. Usa los resultados de la simulación para estimar:

a. la probabilidad de que un estudiante obtenga un perrocaliente gratis;

b. la probabilidad de que un estudiante obtenga una bebida gratis;

c. la probabilidad de que un estudiante obtenga un perro caliente yuna bebida gratis.

6. ¿Qué tan aproximada fue tu respuesta del problema 2 a los resultados de la simulación?


8. a. Copia y completa el árbol de probabilidades.

b. ¿Cuántos estudiantes reciben una “comida gratis” que consiste enun perro caliente y una bebida gratis?

c. Basándote en tu árbol de probabilidades, ¿cuál es la probabilidadde recibir una comida gratis?

d. Reflexiona ¿En qué se parecen y en qué se diferencian laprobabilidad que hallaste en la parte c, la que hallaste en elproblema 2 y la que hallaste usando la simulación en elproblema 5?

e. Reflexiona Si en el árbol de probabilidades para la Noche de Fiestaempezaras con 300 estudiantes en lugar de 120, ¿cambiarían tusrespuestas de la parte c? Sí o no, ¿por qué?


Combinación de situacionesE

120 estudiantes

5 6

1 6

20 con perro caliente gratis

100 sin perro caliente gratis

Diana se queja de que lasimulación le lleva muchotiempo. Para representar elproblema sugiere usar un árbolde probabilidades como este.

Supón que asisten 120 estudiantes a la Noche de Fiesta. Entonces, 20estudiantes obtienen un perro caliente gratis y 100 estudiantes no obtienenun perro caliente gratis.

7. Explica cómo hallarías los números 20 y 100.

Cada estudiante que obtiene un perro caliente gratis tiene una probabilidadde 1��2 de obtener también una bebida gratis.

120

es t udian t e s

20 con pe r ro caliente grati s

1 0 0 sin pe r ro caliente grati s

con bebida gratis sin bebida gratis con bebida gratis sin bebida gratis

1 2

1 2

1 2

5 6

1 6

1 2




10

12

I. II. III.16

56

16

56

12

12

9. a. ¿Cuántos estudiantes están representados en cada diagrama? ¿Porqué crees que se elige este número?

b. ¿Qué muestran las cuadrículas II y III en relación con los vales parala Noche de Fiesta?

c. Copia la cuadrícula III en tu cuaderno y sombrea la parte deldiagrama que representa a los estudiantes que obtienen unacomida gratis.

d. ¿Cómo te ayudan los diagramas a hallar la fracción de losestudiantes que obtienen una comida gratis?

e. ¿Cómo te ayuda esto a encontrar la probabilidad de una comidagratis (perro caliente y bebida)?

Los organizadores de la Noche de Fiesta están preocupados por los costos.Han decidido cambiar el número de vales con estrella de modo que laprobabilidad de obtener un perro caliente gratis sea de 1��8 y la de obtener unabebida gratis sea de 1��3 .

10. a. Dibuja un modelo del área para representar esta situación. ¡Piensaqué número de cuadrados pequeños convendría usar!

b. Usa tu modelo del área para encontrar la probabilidad de obtenerun perro caliente y una bebida gratis en esta situación nueva.

Kiesha quiso usar otro modelo para encontrar la probabilidad. Pensó que unmodelo del área podría ser útil. Esta es la serie de dibujos que hizo Kieshapara la situación de la Noche de Fiesta.




Uno de los eventos para la Noche de Fiesta es un torneo estudiantil devoleibol. El Comité de la Noche de Fiesta planea dar a los jugadores delequipo ganador prendas donadas por la tienda de ropa deportiva TakadonaSports Apparel.

Habrá tops y camisetas.

Dos tercios (2��3) de todas lasprendas serán camisetas.

A 1��4 de todas las prendas se lescolocarán logotipos al azar.

Después del torneo, el capitán ganador puede sacar una prenda de la caja.

11. ¿Cuál es la probabilidad de que la prendasea una camiseta con logotipo? Muestra el método que usaste para hallar la respuesta.

Una manera de encontrar la probabilidad de un suceso es hacer una lista detodos los resultados posibles y contarlos, pero a menudo lleva muchotiempo. Esta es una regla que parece útil: la probabilidad de que ocurra lacombinación de dos sucesos es la probabilidad del primer suceso por laprobabilidad del segundo suceso. Podemos llamarla regla de la

multiplicación de probabilidades.

12. a. ¿Funciona la regla para los problemas 10 y 11?

b. Reflexiona ¿Cómo se muestra esta regla en el árbol deprobabilidades y en el modelo del área?


Supón que la tienda Takadona Sports Apparel ha descubierto que loslogotipos no quedan muy bien en los tops. Se dieron cuenta de que sólopueden ponerlos en las camisetas. Dos tercios de las prendas continúansiendo camisetas y 1–4 de todas las prendas siguen teniendo logotipos.

13. a. Elige un número total de prendas. Haz un diagrama que muestrecuántas de estas son tops, cuántas son camisetas y cuántascamisetas tienen logotipo.

b. Si eliges una de estas prendas al azar, ¿cuál es la probabilidad deque sea una camiseta con logotipo?

c. ¿Sigue este problema la regla de la multiplicación? ¿En qué sediferencia esta situación de la del problema 11?

En general, si no hay conexión entre obtener un resultado y obtener el otro, entonces puedes usar la regla de la multiplicación para encontrar la probabilidad de que los dos sucesos ocurran. De lo contrario, debes usar algún otro método para encontrar la probabilidad, como lo hiciste en el problema 13.



Equipaje retrasadoVernon está planeando un viaje para lasvacaciones de invierno. Está entusiasmado conviajar en avión, pero ha oído que a algunaspersonas les ha llegado el equipaje con retraso.Se pregunta qué probabilidades existen de queviaje hasta su destino sin que se retrase elequipaje. Después de investigar un poco,averiguó que se retrasa más o menos 1 de 200maletas por vuelo.

14. ¿Cuál es la probabilidad de que una maletallegue a tiempo en un viaje de ida?


Vernon quiere encontrar la probabilidad de quesu equipaje llegue sin retraso en un viaje quehace una escala. (Durante una escala, laspersonas y el equipaje a menudo cambian deavión.) Decide usar un diagrama de árbol. Paraempezar, piensa en unas mil maletas.

Llega a la conclusión de que en un viaje quehace una escala, en total llegarán sin retrasocerca de novecientas noventa maletas.

15. Explica los números del diagrama. Agrega probabilidades a las ramas.



1,000maletas

995a tiempo

990.025a tiempo

4.975retrasadas

5retrasadas

Ricardo, uno de los amigos de Vernon, cuestiona sus cálculos. Señala que enel primer vuelo, se retrasarán cinco maletas de 1,000. Y en el segundo vuelo,también se retrasarán cinco maletas de 1,000. Esto significa que se retrasanexactamente diez maletas, de modo que llegan a tiempo 990.

A pesar de que las respuestas de Vernon y de Ricardo son parecidas, loscálculos son distintos.

16. ¿Qué método de cálculo crees que es correcto, el de Vernon o el de Ricardo?

17. a. Para explorar los dos métodos distintos, usa los métodos de Vernony Ricardo para calcular el número de maletas que no se retrasan enun viaje con una escala, si en todos los vuelos se retrasa 1 de cada5 maletas. Empieza tu diagrama con 1,000 maletas.

b. Basándote en tus resultados, ¿qué método crees que es correcto?

18. ¿Puedes usar la regla de la multiplicación para resolver el problema deVernon? Sí o no, ¿por qué?


Christiaan HuygensChristiaan Huygens (1629–1695) fue un científico holandésque hizo importantes contribuciones en varios campos dela ciencia. Estudió abogacía y matemáticas en laUniversidad de Leiden. Después de escribir varios librosde matemáticas, trabajó en el pulido de lentes y en laconstrucción de telescopios. Descubrió un método mejorpara pulir las lentes. Usando una de sus propias lentes,detectó la primera luna de Saturno. Dado que su trabajoen astronomía requería una medición exacta del tiempo,trabajó en la confección de un reloj. En 1656 patentó elprimer reloj de péndulo. Este reloj aumentó en granmedida la exactitud en la medición del tiempo.

En 1655 Huygens fue a París y se enteró del trabajo sobrela probabilidad llevado a cabo por correspondencia entreotros dos matemáticos , Pascal (1623–1662) y Fermat(1601–1665).

Cuando regresó a Holanda, en 1656, escribió un libro sobreel cálculo de probabilidades. Era un libro pequeño, de unas15 páginas, que se publicó en 1657 y fue el primer trabajoimpreso sobre el tema. En 1692 lo tradujeron al inglés.

El libro, Of The Laws of Chance or A Method of Calculationof the Hazards of Game..., contiene una teoría del cálculode la probabilidad, 14 problemas con soluciones y cincoproblemas para que resuelva el lector. Algunos de losproblemas de probabilidad que has visto en esta unidadestán en ese libro.



Historia de las matemáticas



Combinación de situaciones

En esta sección, exploraste problemas de probabilidad de dos sucesos. Aveces puedes calcular la probabilidad de un suceso combinado basándoteen las probabilidades de los sucesos subyacentes.

Para encontrar las probabilidades de dos sucesos combinados puedes usarvarios métodos:

• un árbol de

probabilidades

• un modelo del área

E

16

56

12

12

• la regla de la multiplicación

Por ejemplo: la probabilidad de obtener una camiseta es de 2��3, y la

probabilidad de obtener un logotipo es de 1��4 , de modo que la

probabilidad de una camiseta con logotipo es 1��4 � 2��3 , que es 2��12 o 1��6 .

Observa que no todos los métodos pueden usarse en todas las situaciones.

Si los dos sucesos son independientes y no se afectan entre sí, comocolocar un logotipo en todas las prendas y ser una camiseta o un top,entonces las probabilidades de cada suceso pueden multiplicarse paraencontrar la probabilidad de que ocurran los dos sucesos.

Si los sucesos son dependientes, como colocar logotipos sólo en lascamisetas, entonces no se pueden multiplicar las probabilidades, sino quese debe buscar otro modo de averiguar la probabilidad de que ocurran losdos sucesos.

1,200

estudiantes


1,000 sin perro caliente gratis

con bebida gratis con bebida gratissin bebida gratis sin bebida gratis

5 6

1 6

1 2

1 2

1 2

1 2



El diagrama ilustra todas las posibles combinaciones de vales de la Noche de Fiesta.

1. a. Usando las probabilidades originales de 1��6 para un perro calientegratis y de 1��2 para una bebida gratis, encuentra la probabilidad deobtener algo gratis.

b. Hay muchas maneras de resolver la parte a. Piensa en cuántasmaneras distintas se puede resolver este problema.

2. Inventa un problema en el que puedas multiplicar las probabilidades de que ocurran los dos sucesos y otro problema en el que no puedas.Explica la diferencia entre los dos problemas.

3. Guille y Robin están practicando tiros libres. Guille tiene un promediodel 50% de tiros libres y Robin tiene un promedio del 70%. Los doshacen un lanzamiento.

Usa un modelo del área para encontrar la probabilidad de que tantoGuille como Robin encesten su lanzamiento.

Con perrocaliente gratis

Con perrocaliente gratis

Sin perrocaliente gratis

Sin perrocaliente gratis

Conbebida gratis

Conbebida gratis

Sinbebida gratis

Sinbebida gratis

y y y y

Comida gratis(comida y bebida)

Sólo alimentogratis (sin bebida)

Sólobebida gratis

Nadagratis

Describe las ventajas y las desventajas de usar un modelo del área paraencontrar la probabilidad de dos sucesos y las de usar un árbol deprobabilidades.


1. Describe por lo menos tres situaciones de incertidumbre en las quesea importante estimar la probabilidad de que ocurra un suceso.

2. Vuelve a pensar en las preguntas sobre los índices de audiencia dela televisión de esta sección. ¿Crees que los índices calculados sonlo bastante exactos para usarlos a la hora de decidir cuánto cobrarun anuncio publicitario? Explica por qué.

Supón que un canal de televisión determinado quiere decidir si agregamedia hora a su noticiero de la noche. Durante varias noches, loslocutores del noticiero le piden a la gente que llame a un númerogratuito para decir si quieren que se alargue media hora o no. Elresultado de la encuesta fue que una gran mayoría votó a favor dealargar el noticiero de la noche.

3. a. Si estuvieras a favor del alargue, ¿qué argumento darías?

b. Si estuvieras en contra del alargue, ¿qué argumento darías?

En el pequeño pueblo de Arenas (población de 2,000 habitantes), unperiodista de un periódico local fue al parque y entrevistó a 100 personassobre la construcción de un centro recreativo en un lugar del pueblo.Veinticinco personas dijeron que les gustaría el centro. Al día siguiente,el periodista escribió un artículo sobre el tema con este título:

La gran mayoría de habitantes de Arenas NO quiereun centro recreativo

4. a. ¿Es este título un enunciado justo? Explica tu respuesta.

Una periodista de televisión quiso realizar su propia encuesta.Llamó a 20 personas para una muestra, cuyos nombres eligió alazar del directorio telefónico de Arenas. El sesenta por ciento dijoque estaba a favor del centro recreativo.

b. ¿Es razonable decir que el 60% de todos los habitantes deArenas están a favor del centro recreativo? Explica por qué.

c. Describe cómo intentarías averiguar cuántos habitantes deArenas quieren un centro recreativo. Explica por qué crees quetu método funciona.


Práctica adicional

Sección Sacar conclusiones de las muestrasA


Benjamín tiene una caja donde guarda sus bolígrafos y lápices. Hay dedistintos colores. Él cuenta los bolígrafos y los lápices y advierte que tiene40 lápices, 12 de los cuales son negros, 8 son rojos y el resto es azul. Hay20 bolígrafos. Ocho bolígrafos son negros, 2 son rojos y el resto es azul.

1. Organiza la información en una tabla.

2. a. Si Benjamín toma al azar un artículo de su caja, ¿cuál es laprobabilidad de que sea un lápiz?

b. Si Benjamín toma al azar un artículo de su caja, ¿cuál es laprobabilidad de que sea rojo? Muestra cómo hallaste tu respuesta.

c. Si Benjamín elige un lápiz en la parte b, ¿tu respuesta es la misma?


Sección Quizá exista una conexiónB

Sección Razonar usando muestrasC

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

La velocidad de los carros

Velocidad (en mi/h)

Nú

me

ro d

e c

arr

os

14 17 20 23 26 29 32 35 38

Este es un histograma de la velocidad a la que conducen 63 carros por lacarretera cercana a la Escuela Intermedia Bora.

1. a. Estima la probabilidad de que un carro elegido al azar de estamuestra conduzca a más de 30 mi/h.

b. Basándote en tu respuesta a, ¿cómo puedes calcular con facilidad laprobabilidad de que un carro conduzca a 30 mi/h o menos?



Práctica adicional

a. Organiza los datos en una tabla de dos vías como la siguiente yúsala para responder a la pregunta de Jorge.

b. Si un estudiante de la escuela intermedia es elegido al azar de estegrupo, ¿cuál es la probabilidad de que sea una niña que juegavideojuegos menos de dos horas por día?

c. ¿Cómo cambiará tu respuesta si decides elegir al azar a un varón del grupo? Explica por qué tu respuesta es la misma que la respuesta b o es diferente de ella.

d. Jorge anunció que la encuesta mostró que la probabilidad de que un estudiante de séptimo grado juegue dos horas por día o más era aproximadamente del cincuenta y tres por ciento. ¿Qué piensas de su enunciado?

2. La tabla contiene los resultados de una encuesta sobre el número dehoras por día que los estudiantes de la escuela intermedia jueganvideojuegos. Jorge quiere saber cuál es la probabilidad de que unestudiante elegido al azar de este grupo encuestado jueguevideojuegos durante dos horas por día o más.

Varones

Niñas

Total

Total Jugaron menos de

2 horas por día

Jugaron 2 horas

por día o más

Niñashoras por día

Varoneshoras por día

1

1

1.5

1

2

2

0

2

0

2.5

1

1.5

1.5

3

3

3

3.5

4

1.5

3.5

1

4

2

4.5

1

4

2.5

6

1

3.5

1.5

3

1

0

0

0

4

3.5


En la calle Baker, se inauguró una nueva lechería. Sólo sirve bebidashechas con leche descremada y yogur. Las bebidas de leche cuestan $1.00y las de yogur cuestan $3.00. El dueño todavía no sabe si le irá bien en sunegocio. El primer día, 100 clientes hacen pedidos en la lechería, de loscuales el 80% pide leche descremada.

1. ¿Cuánto dinero recaudó la lechería en el primer día? Traza un diagramade árbol para que te ayude a responder al problema.

El dueño cree que quizá haya fijado un precio excesivo para el yogurporque la mayoría de las personas compran leche. La segunda semana,reduce el precio del yogur a $2.50, pero no quiere perder dinero, de modoque aumenta el precio de la leche a $1.50. Ahora espera vender sólo el70% de bebidas de leche y el resto de yogur.

2. a. ¿Cuánto dinero espera recaudar el dueño si van 100 personas a la lechería? Usa un diagrama de árbol para que te ayude aresponder al problema.

b. ¿Ha perdido ingresos en comparación con el día dela inauguración?


Práctica adicional

Sección ExpectativasD

Una clase realizó una encuesta y les preguntó a los estudiantes de qué lesgustaría trabajar.

3. ¿Pueden sacar la conclusión de que entre los estudiantes de su escuelala carrera preferida es la de maestro?

Maestro

Científico

Piloto

Médico

Ingeniero

0 5

Recuento

Tra

bajo

X X X X X X

X X X X X X

X X X X

X X

X X X X X X X

Futuro trabajo de los estudiantes


El dueño cambia los precios de modo que la leche y el yogur cuesten $2.00cada uno. Ahora espera vender 40% de bebidas de yogur.

3. ¿Cuánto dinero espera recaudar con 100 clientes? ¿En qué sediferencia este ingreso del anterior?

Durante la tercera semana, el negocio empieza a vender bagels a $1.00.Como resultado, de los clientes que compran leche el 60% también compra un bagel. De los clientes que compran yogur sólo el 50% tambiéncompra un bagel.

4. ¿Cuánto dinero espera recaudar el dueño ahora si tiene 100 clientes?


Práctica adicional

Sección Combinación de situacionesE

Mónica compra una entrada para una película. De los 240 asientos delteatro, 80 están en la platea alta.

Cada asiento del teatro está numerado. El número de asientos impares esel mismo que el de asientos pares.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que Mónica se siente en la platea alta?

2. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Mónica se siente en un asiento connúmero par que no esté en la platea alta?

b. Explica si puedes usar la regla de la multiplicación de lasprobabilidades para responder a la pregunta a o no.


1. Ciento cincuenta estudiantes tienen una mascota o más.

Una solución es usar la estrategia del 10%.

10% de 250 � 25

60% de 250 es 6 � 25 � 150

2. a. El número esperado de estudiantes es 12. Una explicación posible:si la muestra de 20 estudiantes es típica para toda la escuela,entonces podrías esperar que el 60% de 20 estudiantes, queson 12, tengan una mascota o más.

b. Hay diferentes respuestas posibles: dieciséis de 20 no essorprendente, dado que parece estar muy cerca del númeroesperado 12. Que haya otros cuatro estudiantes que tienen unamascota o más puede deberse a la probabilidad.

Dieciséis de 20 es sorprendente, dado que es el 80% de la muestra,lo que parece ser mucho más que el 60% esperado. Pero debesrecordar que una muestra de 20 es bastante pequeña. Si sólodifieren de lo que esperas unas pocas personas, cambiará mucho elporcentaje, de modo que es realmente muy difícil decir que no essólo por probabilidad.

c. Hay diferentes respuestas posibles: quizá sea más probable que losestudiantes de los grados inferiores tengan mascotas. Quizá seamás probable que los estudiantes que asisten a clases de biologíatengan mascotas. Tal vez, Clara interrogó sólo a los amigos a losque les gustan las mascotas.

3. a. El número esperado es 120. Puedes usar distintas estrategias, porejemplo, una tabla de razones.

Respuestas para verificar tu trabajo 55

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección Sacar conclusiones de las muestrasA

10%

20

100%Porcentaje

200 Número de

estudiantes

� 2 � 3

� 2 � 3

20%

40

60%

120

� 10

� 10


b. Sí. Podrías tener explicaciones diferentes.

1.er ejemplo: esperaría que una muestra grande de 200 personasfuera más típica de la población. El número de estudiantes quetienen mascotas debe ser cercano al número esperado (120).

2.° ejemplo: sólo 150 estudiantes de toda la escuela tienen mascotas(mira la respuesta al problema 1), por lo tanto, aunque Clarainterrogó a 200 estudiantes de la escuela, podría no haberencontrado 160 que tuvieran mascotas.

4. Es posible encontrar respuestas diferentes. Puedes usar la lista deestudiantes de cada grado y seleccionar al azar un número deestudiantes de cada una. Este número no debe ser muy pequeño.Durante el almuerzo, también podrías interrogar al quinto estudiantede cada cinco que salga del comedor. ¡Puedes pensar tú mismo otrosmétodos! Asegúrate de que tu muestra se tome al azar; esto significaque todos los estudiantes de tu escuela deben tener la mismaprobabilidad de formar parte de la muestra.



Sección Quizá exista una conexiónB

1. a.

b. La probabilidad de que una persona del estudio elegida al azartenga una disminución en la presión sanguínea es de 113 de 200,que es 113——

200 � 0.565 o cerca del 57%.

c. La probabilidad sería de 73 de 100 o el 73%. Sólo estudias a las73 personas de las 100 que usaron ajo.

d. El porcentaje de personas con disminución de la presiónsanguínea es mayor en el grupo que usa ajo; el 73% de esegrupo tiene una disminución de la presión sanguínea, mientrasque en todo el grupo cerca del 57% tiene disminución de lapresión sanguínea y en el grupo que no usa ajo sólo el 40% tienedisminución de la presión sanguínea. Parece que existe unaconexión. Sin embargo, no puedes decir si el ajo es la causa dela disminución de la presión sanguínea. ¡Y, por supuesto, lamuestra debe elegirse cuidadosamente!

Se usó ajo

No se usó ajo

Total 87 113 200

60 40 100

27 73 100

Sin cambios

en la presión

sanguínea

Disminución

en la presión

sanguínea

Total


2. Puedes usar distintos números en la tabla. Se muestra un ejemplo. Si no existiera conexión, el porcentaje de gente con disminución de la presión sanguínea sería probablemente casi el mismo en el grupoque usó ajo y en el grupo que no usó ajo.

3. a. Respuesta posible: podría quererlo saber el departamento detránsito por razones de seguridad; podrían estar interesados losoculistas para intentar ayudar con la prescripción de gafas; o lascompañías de seguros para asignar tasas de seguros.

b.

Primero, completas la columna con los totales. Luego, usas losporcentajes para completar la columna de “Tienen problemas paramanejar en la oscuridad”. Con los números de las dos últimascolumnas, puedes hallar los números de la primera columna para loshombres y para las mujeres. Los totales pueden hallarse sumando losnúmeros de los hombres y de las mujeres.



101 99 200

52 48 100

49 51 100Se usó ajo

No se usó ajo

Total

Sin cambios

en la presión

sanguínea

Disminución

en la presión

sanguínea

Total

Hombres

Mujeres

Total

Total

170 (0.34 � 500)

290 (0.58 � 500)

460 (170 � 290)

500

500

1,000

Tienen problemas

para manejar en

la oscuridad

No tienen problemas

para manejar en

la oscuridad

330 (500 � 170)

210 (500 � 290)

540 (330 � 210)


c. Un árbol de probabilidades:

d. La probabilidad de que una persona tomada al azar tengaproblemas para manejar en la oscuridad es de 460 en 1,000, lo que es el 46%. Asegúrate de decir qué método usaste para hallar turespuesta y da una razón, por ejemplo, la tabla es más fácil de leer.Podría no gustarte un árbol de probabilidades porque todas las probabilidades se calculan en el árbol. Advierte que lasprobabilidades separadas para hombres y para mujeres no son las probabilidades en general, sino probabilidades para ambossexos y problemas para manejar en la oscuridad.

4. a. Podrías estar de acuerdo con Julia, pero ella está equivocada. Sóloestá observando los números de la columna del medio. Tambiéndebe tener en cuenta cuántos estudiantes hay en cada grado yluego comparar los porcentajes. En 6.° grado, la mitad (el 50%) delos estudiantes dedican 3 horas por semana o más y en 8.° grado,40 de 60 o 2��3 de los estudiantes dedican 3 horas o más a la tarea.

b. Sí, parece que existe una conexión. Cuanto más alto sea el grado,más probable es que un estudiante pase 3 horas por semana o máshaciendo la tarea, aunque los porcentajes para 7.° y 8.° grado son muy cercanos.

6.° grado: 40 de 80 es el 50%.

7.° grado: 45 de 75 es el 60%.

8.° grado: 40 de 60 es el 67%.



1,000 personas

500 hombres 500 mujeres

330 no tienenproblemas para

manejar enla oscuridad

170 tienenproblemas para


210 no tienenproblemas para


290 tienenproblemas para


50%

66% 34% 42% 58%

50%


1. Las muestras son muy pequeñas y dan impresiones muy diferentessobre la velocidad a la que transitan los carros. En la primera y latercera muestra, cuatro carros de cinco exceden las 25 mi/h develocidad, pero en la segunda muestra, sólo dos lo hacen. La segundamuestra no da muchos motivos para preocuparse por la velocidad delos carros, pero las otras dos muestras son más alarmantes.

Una semejanza es que la mediana de las tres es más o menos 27 mi/h.

2. Tu párrafo puede tener distintos diagramas y descripciones. Puedeshacer un histograma, un diagrama de recta numérica, una gráfica decaja o cualquier otra gráfica que creas que puede ser útil. Lossiguientes ejemplos muestran un diagrama de recta numérica y unhistograma. La marca roja representa la mediana.



Sección Razonar usando muestrasC

Velocidad (en mi/h)

5

0

16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Recu

en

to

X X X X X X X X X X X X X X XX X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X

X X X X X X X XX X X X X X X X

X X X XX X X

X

X X

Velocidad de los carros que transitan

por la mañana, antes del horario escolar

Velocidad (en mi/h)

5

0

16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Recu

en

to

Velocidad de los carros que transitan

por la mañana, antes del horario escolar




Sección ExpectativasD

Asegúrate de usar los números para hablar sobre el exceso de velocidad.

Estos son algunos ejemplos.

Creo que el exceso de velocidad es un problema. El diagrama de rectanumérica de una muestra de la velocidad de 63 carros en el momento enque pasan por la escuela, por la mañana, muestra que más de la mitad de ellos transitan a una velocidad de 27 mi/h o más, que es excesiva. Lamayoría de las velocidades estuvieron alrededor del límite, entre 24 y 28 mi/h, pero unos dos tercios de ellas pasaron el límite de 25 mi/h. Cuatrocarros iban a menos de 20 mi/h., pero uno iba a 11 mi/h más del límite.

No creo que la velocidad sea un problema. La mitad de los carrostransitaban a una velocidad apenas mayor que el límite de 25 mi/h. Usandolos datos del diagrama se puede decir que apenas unos pocos carros ibana más de 30 mi/h y sólo uno transitaba a una velocidad realmente excesivade 36 mi/h. Del resto, la mayoría, cerca del setenta y cinco por ciento deellos, estaban dentro de las 5 millas del límite de velocidad, lo que muestraque en realidad no transitaban demasiado rápido.

3. Una ventaja de las muestras grandes, siempre que estén seleccionadasal azar, es que se pueden obtener estimaciones bastante aproximadasdel centro y de la dispersión de la distribución.

Una desventaja de las muestras grandes es que puede ser costosa surealización y demandar mucho tiempo. Podrías pensar en otras ventajasy desventajas.

Tarifa alta75%

Tarifa baja25%

750 carros

250 carros

1000 carros

1. a El árbol de probabilidades que hiciste para esta situación puede ser como este.

Dado que al principio podías elegir un número de carros, quizáhayas elegido otro número. Tus porcentajes tienen que ser losmismos porque no dependen del número de carros, sino sólo de la fracción.




b. En la situación de la parte a, 750 � $3.00 � 250 � $1.00 � $2,500,de modo que con las tarifas se recaudan $2,500. Si usaste númerosdistintos, tu tarifa también será distinta.

c. La cantidad promedio que paga cada carro en este peaje es$2,500————1000 � $2.50. Si usaste un número distinto de carros, esta

cantidad será la misma.

d. No, la respuesta de la parte c no cambiará si el número de carros es

distinto. Por ejemplo, si hubiera 500 carros, las tarifas recolectadas

serían 375 � $3 � 125 � $1 � $1,250. Esto es —$1,250————500 � $2.50 por

carro. La tarifa promedio por carro siempre será la misma porque la

tarifa por carro depende del porcentaje de carros para cada opción,

que siempre permanece igual.

2. a Observa el árbol de probabilidades.

b. La probabilidad de que Brenda anote dos puntos en una situaciónde dos tiros libres es de 64 en 100, que es el 64%.

20 1.er lanzamiento

errado

100situaciones de dos

tiros libres

32 encestados 4 errados

80 1.er lanzamiento

encestado

16 errados

80% 20%

64 encestados

80% 20% 20%80%

Primer

lanzamiento

Segundo

lanzamiento


3. a. Para calcular la probabilidad de que un cliente tenga que esperar en la fila, el número de clientes que tienen que esperar más de0 minutos será 100 � 24 o 76 clientes, que es una probabilidaddel 76%.

b. La probabilidad de que un cliente deba esperar por lo menos6 minutos es (8 � 8 � 11 � 9 � 2)/100, que es el 38%.

c. Los 100 clientes en conjunto esperaron 16 � 1 � 2 � 9 � 3 � 7 � 4� 6 � 6 � 8 � 7 � 8 � 8 � 11 � 9 � 9 � 10 � 2 � 372 minutos. Estoda un tiempo esperado por cliente de 3.72 minutos.

d. Conocer el “tiempo esperado que cada cliente permaneció en lafila” es útil si quieres tener un indicador de un solo númerosobre el tiempo que las personas deben esperar. Los gerentesdel banco están interesados en servir a sus clientes y tratar dereducir el tiempo de espera, pero no quieren que los cajerosestén desocupados. Podría ser más útil en la combinación conmedidas de dispersión que se diera un indicador de cómopodría variar el tiempo de espera para los distintos clientes.También podría ser una información útil el período de esperamás corto y más largo.



Sección Combinación de situacionesE

1. a y b. La probabilidad de obtener algo gratis es de 7—12. Podrías contestar

a este problema de muchas maneras. Puedes crear un diagrama comoel siguiente.

120 estudiantes


100 sin perro caliente gratis

conbebida gratis

conbebida gratis

sinbebida gratis

sinbebida gratis

10 10 50 50

1 2

1 2

1 2

1 2

5 6

1 6


El número de estudiantes que obtendrán algo gratis es 20 � 50 � 70,de modo que la probabilidad de obtener algo gratis es de 70——

120.

Una manera inteligente de encontrar la respuesta es pensar que laprobabilidad de obtener algo gratis es el complemento de no obtenernada gratis; de 120 personas 50 no obtendrán nada gratis, de modoque habrá 120 – 50 o 70 personas de 120 que obtendrán algo gratis.Podrías pensar también en otras maneras.

2. Puedes inventar distintos problemas. Asegúrate de que los dossucesos del problema en el que uses la regla de la multiplicación seanindependientes, es decir, que no estén conectados. Comparte tusproblemas con un compañero.

Este es un ejemplo.

Podrías encontrar la probabilidad de obtener dos caras cuando arrojasdos veces una moneda multiplicando la probabilidad de obtener unacara en el primer lanzamiento (1��2) por la probabilidad de obtener unacara en el segundo lanzamiento (1��2) que da una probabilidad de 1��4 . Elresultado del primer lanzamiento de la moneda no está conectado conel resultado del segundo.

Los dos sucesos del problema en el que no puedes usar la regla dela multiplicación deben estar conectados o superpuestos. Porejemplo, en una clase de 30 estudiantes, la mitad son niñas y untercio de la clase tiene cabello rubio. Así, 15 estudiantes son niñas y10 estudiantes de la clase tienen cabello rubio. Si multiplicas lasprobabilidades de elegir una niña rubia, resultaría que son 1��2 � 1��3 , o1��6 o 5 de 30. Pero no puedes decir cuántos de los estudiantes rubiosson niñas; los diez estudiantes rubios podrían ser niñas. Necesitas másinformación para encontrar la probabilidad de elegir una niña rubia.

3. En dirección vertical, el 70% (70 de 100) está sombreado para mostrarla probabilidad de Robin de anotar. La mitad superior de esa parte estásombreada para mostrar el puntaje del 50% de Guille. Esto significaque la probabilidad de que los dos anoten es de 35 en 100 o del 35%.



Puntos de Robin

Puntos de Guille


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