西安电子科技大学

电动力学Electrodynamics

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第3章静磁场Magnetostatics

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§1. 矢势及其微分方程

§2. 磁标势

§3. 磁多极矩

§4. 阿哈罗诺夫-玻姆效应

第3章静磁场(Magnetostatics)主要内容

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§1. 矢势及其微分方程

一、稳恒电流磁场的矢势

1．稳恒电流磁场的基本方程

稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。

0B

JH

基本方程

0)(

)(

12

12

BBn

HHn

边值关系

本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况

静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。

HB

实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时，在这个参照系中观测，只有静电场。

静磁场

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2．矢势的引入及意义

静电场 0E

物理意义：

（a） 与 的关系AB

稳恒电流磁场 H J

S S L

ldASdASdB

)(

BdS

L

其中S 为回路L 为边界的任一曲面

0B A

B A

正是由于 的无源性决定了 的环量的唯一性B A

静磁场

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沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一

曲面的磁通量，而每点 无直接物理意义。A

A

（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关

L SA dl B dS （c）物理意义

３、矢势的不唯一性

21 SS

SdBSdB

2 1( )dS dS dS

A A ( )A A A B

0 A

令 可减少矢势的任意性 库仑规范条件

B

L

1Sd

2Sd

1 21 2 0

S SB dS B dS 0

SB dS

A

静磁场

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二．矢势满足的方程及方程的解

2 1,2,3i iA J i

1． 满足的方程A

HB

JA

2

（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程

（2）与静电场中 形式相同

2

JH

JAAABB

])([1

)(11 2

0 A

（3）矢势为无源有旋场

分量满足

静磁场

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3

( ) 1( ) ( )

4 4

( )

4

V V

V

J rB A dV J r dV

r r r r

J r r rdV

r r

2．矢势的形式解

( )

4 V

J r dVA

r r

已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。

3． 的解B

这正是毕奥-- 萨伐尔定律

1 ( )

4 V

r dV

r r

通过类比

( )

4

ii

V

J r dVA

r r

静磁场

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A

4． 的边值关系 *

tt AA 12

A=01 2A A

L

tt lAAldA )( 12

L SA dl B dS 0

1

2

n

1n 2nA A

0)(

0)(

12

12

AAn

BBn

（a）

静磁场

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z zA Ae e

eeAA

)11

(

)(

11

22

12

AAn

HHn（b）

特殊情况：

①若分界面为柱面，柱坐标系中当

② 若分界面为球面，当

z

x

y

A

r

A

r

A 2

2

1

1

11

)(

1)(

1[

12

2

1

1

rAr

rArr

]x

z

yA

静磁场

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5．矢量泊松方程解的唯一性定理

定理：给定V内传导电流 和V边界S上的 或

V 内稳恒电流磁场由 和边界

条件唯一确定。

J

tA tB

JA

2

三．稳恒电流磁场的能量

已知均匀介质中总能量为 dVHBW

2

1

1．在稳恒场中 dVJAW

2

1

② 不是能量密度。JA

2

1

①能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。

静磁场

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HAHB

)(

③ 导出过程

)()( HAHA

JAHA )(

dVJA

2

1

( )

( ) 0

V

S

A H dV

A H dS

)()()( gfgfgf

dVHBW

2

1

dVJAdVHA

2

1)(

2

1

静磁场

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2. 电流分布在外磁场中的相互作用能

dVJJAAW ee )()(2

1 dVJA )(

2

1

dVJA ee )(2

1 dVJAJA ee )(

2

1

最后一项称为相互作用能，记为 ，iW

可以证明：iW dVJA e )(

dVJAe )(

设 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势； 为处于外

磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为 。总能量：

J

AeJ

eA

eB

静磁场

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例 ：已知小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I 。求小圆环

电流回路的远区磁势矢与磁场。

解： 如图所示，由于具有轴对称性，磁

矢势和磁场均与无关，计算xz平面上的

磁矢势与磁场将不失一般性。

( sin cos )r x zr e r r e e

( cos sin )r x yr e a a e e

d d ( sin cos ) dx yl e a e e a

2 2 2 2 2 1 2[( sin cos ) sin cos )]r r r a a r

2 2 1 2[ 2 sin cos ]r a ar

小圆环电流

a

I

x

z

y

r

R

dl

θ

r

I

P

静磁场

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对于远区，有r >> a ，所以

2 1 2 1 21 1 2 1 2[1 ( ) sin cos ] [1 sin cos ]

a a a

r r r r r r r

1(1 sin cos )

a

r r

20

0

1(1 sin cos )( ) ( sin cos )d

4x y

a

r r

IaA r e e

2

0

2sin

4y

I ae

r

由于在 =0面上 ，所以上式可写成ye e

于是得到

2

0 0

2 2( ) sin sin

4 4

I a ISA r e e

r r

静磁场

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1 1(sin ) ( )

sinrB e A e rA

r rA

r

0

3( 2cos sin )

4r

ISe e

r

式中S =πa2是小圆环的面积。

载流小圆环可看作为磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩

（或磁偶极矩），则

mp IS

0

2( ) sin

4

mpA r e

r

或 0

3( )

4mA r p r

r

0

3( ) ( 2cos sin )

4

mr

pB r e e

r

静磁场

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解：取柱坐标系，坐标原点为电流元 到点

的距离 。则2 2( )R z z

d dzI l e I z ( , , )P z

0

2 2

1( ) d

4 ( )

L

zL

IA r e z

z z

2 20 ln[ ( ) ]4

L

zL

Ie z z z z

2 2

0

2 2

( ) ( )ln

4 ( ) ( )z

z L z LIe

z L z L

例 ：求无限长线电流 I 的磁矢势，设电流沿+z方向流动。

与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电

流的磁矢势

L

0 1( ) ln

2z

IA r e C

x

y

z

L

-L

( , , )z

'z d dzI l e I z

R

静磁场

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§2. 磁标势

原因：静电力作功与路径无关，

引入的电势是单值的；而静磁场 一般不为

零，即静磁场作功与路径有关，即使在能引入的区

域标势一般也不是单值的。

L

ldH

L

ldE 0

一．引入磁标势的两个困难

2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。

1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。H = J

静磁场

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二．引入磁标势的条件

语言表述：引入区域为无自由电流分布的单连通域。

L

ldH 0

讨论：

1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；

2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。

公式表示：

L

显然只能在 区域引入，且在引入区域中任何回路

都不能与电流相链环。

0H

静磁场

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三．磁标势满足的方程

1．引入磁标势区域磁场满足的场方程

)(

0

0

00 HfMHB

B

H

不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可讨论铁磁

介质或非线性介质。

2．引入磁标势 mmH

静磁场

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0)( 000 MHMHB

MH m

2

2

0

与静电场 比 引入较 Mm

0

3． 满足的泊松方程m

Mm

2

4．边值关系

0)( 12 HHn

0)( 12 BBn

SmSm 21

S

m

S

m

nn)()( 2

21

1

)( HB

0

2

m

m

0

mH

静磁场

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四．静电场与静磁场方程的比较

0

0

2

0

0

( , )

f P

P

f P f

E

E

P

D E P

E

D E

0

2

0

0

0

)(

0

m

m

m

m

m

H

MHB

M

H

H

静磁场 静电场

静磁场

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静电势与磁标势的差别：

因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。

①静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。

②静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。

注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子

电流观点不能同时使用。

③虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物

理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相

当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。

静磁场

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例：设x<0半空间充满磁导率为 的均匀介质，x>0的半空间为真空。有线电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。

x

y

z

0n

设x<0, ；x>0， 。它

们均满足拉普拉斯方程。1m 2m

在柱坐标中：1m m m

m r ze e e Hr r z

解：将线电流表面及x=0,y>0的界面挖去磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化电流。

空间磁场由I、Im共同决定。磁场应正比

于1/r，与z、 无关。

因H正比于1/r m

常数 选 0 2 0m

1m A B 2m C D 设

静磁场

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确定常数： 20, 0m 0D

1 / 2 2 / 2| |m m / 2

1 2/ 2 0 / 2| |m m

0

( ) / 2B A C

A C

由安培环路定理：L

H dl I /A C I

0

0

,( )

A I

0

0

,( )

B I

0( )C I

代入即可得到解。然后利用 0( )mLB dl I I

0

0mI I

得磁化电流

静磁场

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mm mq a M q a M q

2 2

0 0 0 0, 下　上　 上　

当r >>l 时，可将磁柱体等效成磁偶极子，

则利用与静电场的比较和电偶极子场，有

mm

p rp r

r r3 3

0 0

1 1

4 4

2

0 0m m zp ql p q l e a M l ：其中

mB

0

解：M为常数，m= 0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，

磁化磁荷为 mmM M

0 0 0 0, 下上

R1

R2r

Pz

x

-l/2

l/2

M

例：半径为a、长为l的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁

化强度为 。求远区的磁感应强度。zM e M

0

静磁场

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小结：

静磁场

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静磁场

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静电场与静磁场的类比：

静磁场

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磁标势与静电标势的类比：静磁场

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1. 小区域电荷分布

一般情况下上式积分十分困难（用计算机可数值求解）。

但是在许多实际情况中，电流分

布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。

rl

V r

VdxJA

)(

4

给定区域电流分布后，空间的矢势的积分表达式为：

§3. 磁多极矩

静磁场

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(1) 将1

r 0x 在 点展开

1 1 1 1( ), 0,f x x x

r x x r R

21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2f x x f x x f x x f x

的麦克劳林展开2. 1r

2

0 0

1 1 1 1 1( ) ( )

2x x

x xr R r r

21 1 1 1( ) ( )

2x x

R R R

静磁场

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1 1 1 1( ) ( : )

2x x x

R R R

0 0

1 1 1( ,

x xr r R

2: ( ) )aa bb a b 其中

3. 小区域电流分布产生的矢势

( )

4 V

J x dVA

r

']1

''!2

11'

1)['(

4)(

,

2

0 dVRxx

xxR

xR

xJxAji ji

ji

v

静磁场

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二、磁多极矩

磁场矢势展式中，第1项为零表示展开式

中不含磁单极项（不含与点电荷对应项，

因为源的散度为零）。

')'(4

)( 0)0( dVxJR

xA

第1项：

由于电流的连续性，电流看成许多闭合流管。

044

')'(4

)( 000)0( dlIR

IdlR

dVxJR

xA

物理意义:

静磁场

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第2项： '1

')'(4

0)1( dVR

xxJA

'' ldxd

处理：

将恒定电流看成许多闭合电流管：

电流源的坐标矢量均在流管上面：

利用全微分闭合回路线积分为零：

IdldVxJ ')'(

RldxldRx

)''(2

1')'(

3

0)1(

4 R

RmA

''2

ldxI

m

物理意义：第2项代表磁偶极矩产生的矢势

m为电流线圈的磁矩

为小线圈的面积

对于小线圈：m I S

S

静磁场

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三、磁偶极矩的场和磁标势

AB

3

)1(

)1(

0

)1()1()1(

4

1

R

Rm

BAB

m

m

])(3

[4

)(4 35

0

3

0)1(

R

m

R

RRm

R

RmB

可以证明：参见习题

)1(

0

)1()1(

mAB

静磁场

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例：电量Q均匀分布于半径为a绕中心轴以角速度 转动的圆盘上，求磁偶极矩在远处产生的场。

解：电荷运动形成电流，圆盘转动形成一系列同心的电流圈。

（1）计算磁矩：电荷密度2a

Q

任取一电流圈：半径为 ，宽度为 ，则：

(2)偶极矩的场:

223

32

4

1)/( aQrdaQrm

drrrdrrdISdm

])(3

[4 35

0

R

m

R

RRmB

r dr

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例：电量Q均匀分布于半径为a饶中心轴以角速度 转动的球壳上，求磁偶极矩在远处产生的场。

解：电荷运动形成电流，球转动形成一系列同轴的电流圈。

（1）计算磁矩：

电荷密度24 a

Q

任取一电流圈：半径为 ，

宽度为 ，则：

sinar

ad

静磁场

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(2)偶极矩的场:

2

0

32

2

3

1

sin4

1

aQ

daQdmm

adrrdISdm

])(3

[4 35

0

R

m

R

RRmB

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§4. 阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应

1959年阿哈罗夫-玻姆提出在量子力学可适用

的微观态中 和 有可观测的物理效应，这

一效应被称为A-B效应。

A

A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效

应不能完全用 来描述，矢势可以对电子发

生相互作用。但是由于 的任意性，用它描

述磁场显然又过多。

B

A

静磁场

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带有螺线管电子衍射实验发现，

能够完全且恰当的描述磁场的物

理量是相因子： 。若L

为可缩小到一点的无穷小路径，

则

L

ei A dl

e

LA dl B S

因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当L为不能缩

小到一点的路径时，则相因子所包含的物理信息就不能用

局域场描述。

P

0,0 BA

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§5. 超导体的电磁性质

一些元素、化合物、合金等，当温度下降到某临界值

以下时，电阻率下降为零的现象称为超导电性。 以下的状

态称为超导态，临界磁场为：

cT

2( ) (0)[1 ( ) ]c c

c

TH T H

T

一．超导电性

在1986年以前，人们所发现的超导材料的临界温度都非常

低（大约在3～5k左右。1986年以来，人们陆续发现了一系

列有较高临界温度的超导材料，这些高温超导材料具有非常

广阔的应用前景。

cT

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二．迈斯纳效应

超导体内部（不包括导体的表面层）的磁感应强度

与超导体所经历的历史无关。若物体原来处于超导态，当加

上外磁场时，只要磁场强度不超过 ，则 就不能进入超

导体。

0B

cH B

这一效应表示超导体不能简单的看作通常导体当电导率

时的极限。

通常导体内 EJ

0

t

BE

B

常矢量

0E

静磁场

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0SJ

t

对于交变电流 ，因此导体内仍然有电阻损耗。

但是对于一般低频交变电流，损耗很小。

0nJ

0E ( )nJ E0nJ

SJ 为超导电流密度，ns为超导电子密度。

对于稳恒电流：

导体内电流完全为超导电流。,Sn JJJ

内部

三．超导体的电磁性质方程

1．伦敦第一方程 SJE

t

2

sn e

m

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2. 伦敦第二方程

，它表明了超导体磁场与电流互相制约的关

系。

BJS

可以证明，伦敦两个方程与麦斯韦方程是相容的，并且从

两个方程可以导出迈斯纳效应。经上述分析，可以清楚的看

到超导体中的电流和磁场只能存在于超导体的表面层内，而

不能深入到导体的内部。

3. 超导体作为完全抗磁体4. 超导环内的磁通量子化5. 非局域理论 自学

静磁场