El Modelo Estandar

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EL MODELO ESTÁNDAR DE LA FÍSICA DE PARTÍCULAS1

(The Standard Model of particle physics)

Marco Antonio Moreira Instituto de Física – UFRGS

Código Postal 1505 - Campus 91501-970 Porto Alegre, RS

www.if.ufrgs.br/~moreira

Resumen

Inicialmente, se presenta, de modo simplificado, el Modelo Estándar como una teoría sofisticada que identifica las partículas elementales y sus interacciones. Después, en el ámbito de esa teoría, se enfocan aspectos – el vacuo no es vacío; partículas desnudas y vestidas; materia oscura y viento oscuro; materia y antimateria; el campo y el bosón de Higgs; neutrinos oscilantes – que pueden ser motivadores desde el punto de vista de la enseñanza y del aprendizaje de la Física. Finalmente, se discute la probable superación de esa teoría por otra más completa. Palabras-clave: modelo estándar, partículas elementales, enseñanza de Física.

Abstract

Initially, the Standard Model is presented , in a simplified way, as a sophisticated theory that identifies the elementary particles and describes how they interact. Then, within the scope of this theory, some aspects – the vacuum is not empty; naked and dressed particles; dark matter and dark wind; matter and antimatter; the Higgs field and the Higgs boson; oscillating neutrinos – are approached as motivating topics for the teaching and learning of physics. Finally, the eventual superseding of this theory by a more complete one is discussed. Keywords: standard model, elementary particles, physics teaching.

El modelo estándar de la física de partículas El llamado Modelo Estándar de las partículas elementales no es propiamente un modelo, es

una teoría. Y de las mejores que tenemos. Alias, en la opinión de muchos físicos, la mejor de todas sobre la naturaleza de la materia. Por ejemplo, según Gordon Kane (2003), un físico teórico de la Universidad de Michigan:

... el Modelo Estándar es, en la historia, la más sofisticada teoría matemática sobre la naturaleza. A pesar de la palabra “modelo” en su nombre, el Modelo Estándar es una teoría comprensiva que identifica las partículas básicas y especifica cómo interactúan. Todo lo que pasa en nuestro mundo (excepto los efectos de la gravedad) es resultado de las partículas del Modelo Estándar interactuando de acuerdo con sus reglas y ecuaciones (p.58).

De acuerdo con el Modelo Estándar, leptones y quarks son partículas verdaderamente elementales, en el sentido de que no poseen estructura interna. Las partículas que tienen estructura interna se llaman hadrones; están constituidas por quarks: bariones cuando están formadas por tres quarks o tres antiquarks, o mesones cuando están constituidas por un quark y un antiquark2.

1 Revista Brasileña de Enseñanza de Física, 31(1): 1306, 2009. 2 Antiquark es la antipartícula del quark.

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Hay seis leptones (electrón, muón, tau, neutrino del electrón, neutrino del muón y neutrino del tau) y seis quarks [quark up (u) quark down (d), quark charm (c), quark extraño (s), quark bottom (b) y quark top (t)]. Sin embargo, los quarks tienen una propiedad llamada color3 y cada uno puede presentar tres colores (rojo, verde y azul). Hay, por tanto, 18 quarks. Pero, como a cada partícula le corresponde una antipartícula4, existirían en total 12 leptones y 36 quarks.

El electrón es el leptón más conocido y el protón y el neutrón son los hadrones más

familiares. La estructura interna del protón es uud, o sea, dos quarks u y uno d; la del neutrón es udd, es decir, dos quarks d y uno u. El mesón π+ está formado por un antiquark d y un quark u, el mesón π‐ está constituido por un antiquark u y un quark d. Y así sucesivamente, o sea, la gran mayoría de las llamadas partículas elementales son hadrones y éstos están formados por tres quarks o tres antiquarks (bariones) o por un quark y un antiquark (mesones).

En principio, la teoría de los quarks, la Cromodinámica Cuántica, no prohíbe la existencia de

partículas con estructura más compleja que tres quarks, tres antiquarks o un par quark-antiquark. Sin embargo, sólo recientemente (Scoccola, 2004) físicos experimentales han presentado evidencias de partículas con cinco quarks, o sea, pentaquarks, como el teta más, formado por cuatro quarks y un antiquark. Pero eso aún depende de resultados experimentales adicionales.

Una característica peculiar de los quarks es que tienen carga eléctrica fraccionaria, (+ 2/3 e)

para algunos tipos y (-1/3 e) para otros. Sin embargo, nunca se detectaron quarks libres, están siempre confinados en hadrones, de tal modo que la suma algebraica de las cargas de los quarks que constituyen un determinado hadrón es siempre un múltiple entero de e. El protón, por ejemplo, está formado por dos quarks de carga (+2/3 e) y un quark de carga (-1/3 e) de modo que su carga es (2/3 + 2/3 -l/3) e, o, simplemente, e. Es decir, el quantum de la carga eléctrica continúa siendo e (1,6.10-19 C).

Resumiendo, según el Modelo Estándar, la gran cantidad de partículas elementales hasta

hoy detectadas, cerca de 300, en aceleradores/colisionadores de partículas o en rayos cósmicos, puede ser agrupada en leptones, quarks y hadrones o en leptones y hadrones, ya que los quarks son constituyentes de los hadrones o, también, en leptones, bariones y mesones, pues los hadrones pueden ser divididos en bariones y mesones.

Pero, como se dijo al principio, el Modelo Estándar es una teoría comprensiva que identifica las partículas básicas y especifica cómo interactúan éstas. Vamos entonces a las interacciones.

En la naturaleza hay cuatro tipos de interacciones fundamentales: gravitacional, electromagnética, fuerte5 y débil. Cada de ellas es debida a una propiedad fundamental de la materia: masa (interacción gravitacional), carga eléctrica (interacción electromagnética), color (interacción fuerte) y carga débil (interacción débil). Si a cada una de esas propiedades las llamamos carga, tendremos cuatro cargas: carga masa, carga eléctrica, carga color y carga débil.

3 Se trata de una propiedad, no un color propiamente dicho. Rojo, verde y azul son sólo aspectos de esa propiedad. Así como la carga eléctrica, que es también una propiedad de ciertas partículas, puede ser positiva o negativa, la propiedad color, que se podría llamar carga color, presenta tres variedades que recibieron el nombre de rojo, verde y azul. 4 De modo general, una antipartícula tiene la misma masa y el mismo spin que la partícula en cuestión, pero cargas opuestas. 5 La interacción fuerte puede ser dividida en fundamental y residual; la fundamental es la propia interacción fuerte, la residual deriva de balances imperfectos de las atracciones y repulsiones entre los quarks que constituyen los hadrones.

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Así, hay también cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza: fuerza gravitacional, fuerza electromagnética, fuerza color6 y fuerza débil. Todas las fuerzas que parecen ser distintas – como fuerzas elásticas, fuerzas de roce, fuerzas intermoleculares, interatómicas, inter-iónicas, fuerzas de viscosidad, etc. – son casos particulares o resultantes de esas cuatro fuerzas fundamentales.

Pero ¿cómo se da la interacción? ¿Quién “transmite el mensaje” de la fuerza entre las

partículas que interactúan? Eso nos lleva a las partículas mediadoras o partículas de fuerza o, también, partículas virtuales.

Las interacciones fundamentales tienen lugar como si las partículas que interactúan

“intercambiasen” otras partículas entre sí. Esas partículas mediadoras serían los fotones en la interacción electromagnética, los gluones en la interacción fuerte, las partículas W y Z en la interacción débil y los gravitones (aún no detectados) en la interacción gravitacional. Es decir, partículas eléctricamente cargadas interactuarían intercambiando fotones, partículas con carga color interactuarían intercambiando gluones, partículas con carga débil intercambiarían partículas W y Z, mientras que partículas con masa intercambiarían gravitones.

Las partículas mediadoras pueden no tener masa, pero tienen energía7, o sea, son pulsos de

energía. Por eso, se llaman virtuales. De los cuatro tipos de partículas mediadoras8, las del tipo W y Z tienen masa, pero es común que todas sean llamadas partículas virtuales.

Entonces, se podría decir que las partículas de materia o partículas reales9 (leptones, quarks

y hadrones) interactúan intercambiando partículas virtuales (fotones, gluones, W y Z, y gravitones). Aquí hay que tener en cuenta que las partículas de materia pueden tener más de una carga, de modo que experimentarían varias interacciones y fuerzas, pero el ámbito de la interacción puede variar mucho, de tal manera que en un determinado dominio una cierta interacción puede ser irrelevante. La fuerza gravitacional, por ejemplo, puede ser desconsiderada en el dominio subatómico. Es decir, aunque existan cuatro interacciones fundamentales, cuatro cargas y cuatro fuerzas, eso no quiere decir que todas las partículas tengan las cuatro cargas y experimenten las cuatro interacciones.

¡Pero faltan los campos! Los cuatro campos. Sabemos que un cuerpo con masa crea

alrededor de sí un campo gravitacional, un campo de fuerza que ejerce una fuerza sobre otro cuerpo masivo y viceversa. Análogamente, un cuerpo cargado eléctricamente, crea un campo electromagnético (si está en reposo, se percibe sólo su componente eléctrico, si está en movimiento se manifiesta también el componente magnético) y ejerce una fuerza electromagnética sobre otro cuerpo electrizado y viceversa.

De la misma manera, está el campo de la fuerza fuerte y el campo de la fuerza débil. O sea,

hay cuatro campos fundamentales: el electromagnético, el fuerte, el débil y el gravitacional10. Las

6 Así como la interacción fuerte puede ser distinguida entre fundamental y residual, la fuerza color puede ser diferenciada en fuerza color fuerte y fuerza color residual. O sea, a cada interacción corresponde una fuerza, entonces, si la interacción fuerte puede ser interpretada como fundamental o residual, correspondientemente, se puede hablar de fuerza color fuerte y fuerza color residual. 7 Recordemos que hay una equivalencia entre masa y energía, respectivamente. 8 Mesones también pueden actuar como partículas mediadoras, pero en el caso de la interacción fuerte residual. Son los quanta del campo mesónico, que no es un campo fundamental como el electromagnético, el fuerte, el débil y el gravitacional. 9 Las partículas que aquí se están considerando reales porque tienen masa, también pueden ser virtuales como, por ejemplo, las parejas electrón-positrón virtuales mencionados en la sección el vacuo no es vacío; todo depende de la energía. 10 Lo que se está buscando es mantener la simetría, diciendo que hay en cuatro campos fundamentales, cuatro cargas, cuatro interacciones y cuatro tipos de partículas mediadoras; en realidad, sólo en la gravitación newtoniana un cuerpo con masa crea en torno de sí un campo gravitacional, no en la Relatividad General.

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partículas mediadoras son los quanta de los campos correspondientes: los fotones son los quanta del campo electromagnético, los gluones son los quanta del campo fuerte, las partículas W y Z del campo débil y los gravitones serían los quanta del campo electromagnético.

En otras palabras, los cuatro campos fundamentales son el campo de fotones

(electromagnético), el de gluones (fuerte), el de partículas W y Z (débil) y el de gravitones (gravitacional).

El problema en esa bella simetría de cuatro cargas, cuatro interacciones, cuatro fuerzas,

cuatro tipos de partículas mediadoras y cuatro campos es que aún no fue detectado ningún gravitón y la gravedad, en sí, no encaja bien en esa teoría llamada Modelo Estándar. Este asunto será retomado más adelante.

Para finalizar esta sección, se presenta, en la Figura 1, una visión esquemática del Modelo

Estándar. Como consta en la leyenda de esa figura, se trata de una simplificación. Hecho eso, el resto de este trabajo será dedicado a abordar aspectos de esa teoría que podrán

ser motivadores desde el punto de vista de la enseñanza y del aprendizaje de la Física. El vacuo no es vacío

En la sección anterior hablamos de partículas virtuales, como los fotones y los gluones, o sea, partículas sin masa. Pues bien, cuando la incertidumbre11 en la energía es más que el doble de la masa del electrón (tal como ocurre a una distancia de aproximadamente 10-11 cm) algo muy extraño puede ocurrir en el vacuo: la producción de un par de partículas con un electrón y un positrón. Si, de alguna forma, hay un suministro de energía de fuera del vacuo, ese par se transformará en un par de partículas reales, sin violar la conservación de la energía. Si eso no sucede, el par desaparecerá tan rápido como fue producido. O sea, el par electrón - positrón es virtual, pero eso significa entonces que el vacuo está lleno de un gran número (esencialmente infinito) de pares electrón-positrón virtuales (Fritzsch, 1983, p. 146).

Entonces, además de fotones y gluones, hay también electrones y positrones virtuales, y otras partículas como muones y antimuones virtuales. De manera general, una partícula virtual es una “partícula que no aconteció”: no tiene masa y existe sólo durante un corto período de tiempo en una pequeña región del espacio. Las relaciones de incertidumbre son las responsables de que aparezcan partículas virtuales en la Física (ibid.). Tienen importancia en distancias muy pequeñas, pero son irrelevantes en la física macroscópica. Por ejemplo, podemos suponer que el vacuo está lleno de pares virtuales de muones y antimuones que normalmente no son detectados. Sin embargo, en un experimento de aniquilación de un electrón y un positrón (reales) en un acelerador/colisionador de partículas aparecen muones reales que se observan en los detectores de partículas. ¿De dónde vinieron?: un par muón-antimuón virtual recibió la energía resultante de la aniquilación y dejó la región (muy pequeña) donde tuvo lugar la interacción, como un par de muones reales. Lo interesante de todo eso es que el vacuo entonces no es vacío. Lo que parece tan simple macroscópicamente es un sistema muy complicado en la teoría cuántica.

11 De acuerdo con las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, cuanto más precisas son las medidas del momentum o de la energía de una partícula, mayores las incertidumbres en mediciones en el espacio y en el tiempo.

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transmitida por transmitida por transmitida por

que ejerce que ejerce que ejerce que ejerce

transmitida por

que crea que crea que crea que crea

debida a la debida a la debida a la debida a la

que son compuestas; tienen estructura interna

hay seis tipos hay seis tipos hay dois tipos

que sonque son que son

interactuan intercambiando

que sonque son que son

que son

identifica especifica

El Modelo Estándar de las Partículas Elementales

Partículas básicasInteracciones fundamentales

Leptones Quarks Hadrones

Quark up (u)

Quark down (d)

Quark charm (c)

Quark strange (s)

Quark bottom (b)

Quark top (t)

Electron

Neutrino del electrón

Muón

Neutrino doel muón

Tau

Neutrino del Tau

Bariones (formados por tres antiquarks)

Mesones (formados por pares de quark-antiquark)

Electromagnetica Fuerte Débil Gravitacional

Carga eléctrica

Campo electromagnético

Fuerza electromagnética

Fotones

Carga color

Campo fuerte

Fuerza fuerte

Gluones

Carga débil

Campo débil

Fuerza débil

Partículas W y Z

Carga masa

Campo gravitacional

Fuerza gravitacional

Gravitones

que son verdaderamente elementales; no tienen estructura

interna

Partículas reales(Partículas de materia)

Partículas virtuales(Partículas de fuerza)

que son de cuatro tipos

Figura 1. Un esquema simplificado para el Modelo Estándar. En ese esquema no se hace ninguna alusión al hecho de que para cada partícula existe una antipartícula, no se considera que los quarks tienen la propiedad color que se presenta en tres variedades (de modo que sería 18 el número de quarks) y que la interacción fuerte puede ser presentada como fundamental o residual (que estaría mediada por mesones). Además, sugiere que la

interacción gravitacional está perfectamente integrada al Modelo Estándar, lo cual aún no ha ocurrido y tal vez nunca ocurra. Sugiere que las partículas W y Z son, de hecho, virtuales. Es una visión simplificada que pretende destacar la simetría de la teoría. Por eso, hay que aceptarla críticamente.

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En verdad, identificar vacuo con espacio no ocupado por algo es una concepción errónea, incluso en el dominio de la Física Clásica, pues, aun cuando no hay materia en una región del espacio, ésta continúa rellena y recorrida por campos y ondas. No está desprovisto de cualidades el espacio donde están y se mueven objetos o sistemas y, aunque podamos decir que un objeto se desplaza en el vacuo cuando no encuentra otras partículas en su trayecto, el espacio clásico nunca está literalmente vacío (Menezes, 2005, p.89). Pero no se trata del viejo conocido éter que físicos de otras épocas propusieron que rellenaba todo el espacio y servía de medio de propagación de la luz y de otras ondas electromagnéticas. Eso quedará más claro en las próximas secciones. Partículas desnudas y vestidas Supongamos que un electrón fuese colocado en el vacuo. Se podría pensar que no sucedería nada, sin embargo como el vacuo está lleno de pares electrón-positrón virtuales, el electrón, siendo negativo, repelería todos los electrones virtuales y atraería todos los positrones virtuales de los pares existentes en la región del vacuo alrededor de sí. El electrón quedaría, así, envuelto por una nube de positrones virtuales. Entonces, el vacuo quedaría polarizado por el electrón (Fritzsch, 1983, p.148). ¿Cuál es el efecto de eso?: la carga del electrón se queda parcialmente blindada por la nube de los positrones virtuales. De lejos no importa. Lo que se “ve” es el electrón y la nube como un todo y no se puede distinguir qué parte de la carga del electrón es del mismo y qué parte es de la nube polarizadora. Es el electrón físico, conocido, que genera corriente en los cables y que tiene carga -e. Es el electrón del “día a día”: el electrón “vestido”, o sea, con la nube. Un electrón sin la nube de positrones virtuales se llama “electrón desnudo”. En altas energías, el efecto de la polarización puede ser percibido: a medida que el electrón va siendo “desnudado”, su carga eléctrica aumenta. O sea, la carga eléctrica del “electrón desnudo” es mayor que la del electrón “vestido” (el viejo conocido electrón), lo que explica por qué la Ley de Coulomb no vale para dos electrones a una distancia inferior a 10-11cm. Es decir, en distancias de ese orden, la fuerza entre dos electrones es un poco mayor que la que se esperaría a partir de la Ley de Coulomb (ibid). Es interesante cómo cambian las cosas en el dominio del muy pequeño: las partículas virtuales violan la conservación de la energía, pero por muy poco tiempo (si no hay un aporte de energía para que una partícula virtual se transforme en partícula real, ésta desaparece enseguida); la Ley de Coulomb no da el resultado esperado porque, en ese dominio, el electrón puede “quedarse desnudo” y su carga aumenta porque disminuye el efecto de la polarización. Así como en la Electrodinámica Cuántica los electrones están envueltos por una nube de positrones virtuales, en la Cromodinámica Cuántica, los quarks están envueltos en una nube de gluones (el vacuo también está lleno de gluones, partículas igualmente virtuales). Entonces, se puede hablar también de quarks “desnudos” y quarks “vestidos” o, de manera general, de “partículas desnudas” y “vestidas”. El campo y el bosón de Higgs Teóricamente, el vacuo está relleno no sólo por las partículas virtuales (¿fantasmas?) y por los cuatro campos fundamentales, sino también por otro campo fundamental, llamado campo de

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Higgs y, por consiguiente, por una partícula mediadora que sería el bosón12 de Higgs (Colas y Tuchming, 2004).

Bosones de Higgs son partículas previstas teóricamente, en 1964, por el físico escocés Peter Higgs y usadas, posteriormente, por Steven Weinberg (1967) y Abdus Salam (1968) para explicar por qué otras partículas, los bosones W y Z, tienen masa. En la teoría electrodébil, formulada en 1962 por Sheldon Glashow, había una paradoja referente a las partículas W y Z. Por un lado, la debilidad de las interacciones débiles requeriría que tales partículas tuviesen masas relativamente elevadas. Por otro, la simetría de la teoría que explicaba esas interacciones exigía que sus masas fuesen nulas. Tal contradicción desaparecería si las masas de los bosones W y Z fuesen aparentes. Es decir, si sus masas fuesen “dadas” por otras partículas: los bosones de Higgs. De acuerdo con el llamado mecanismo de Higgs13, las partículas W y Z se chocarían incesantemente con otras partículas presentes en todo el espacio, las partículas de Higgs, que explicarían sus masas. O sea, la masa de las partículas W y Z sería dada por la masa de las partículas con las cuales estarían chocándose permanentemente. Existiría un campo de Higgs, fundamentalmente diferente de los demás campos, pues, según la teoría, el estado de energía mínima de ese campo ocurriría no cuando se anulase (como es el caso, por ejemplo, del campo electromagnético), sino en un determinado valor específico distinto de cero (Kane, 2003). Por consiguiente, un campo de Higgs no nulo atraviesa el universo, y las partículas están siempre interactuando con él, desplazándose a través de él como personas vadeando en el agua. Esa interacción les da su masa, su inercia (ibid., p. 62).

Hoy, el mecanismo de Higgs es considerado como el origen de la masa de todas las partículas elementales, pero la paradoja teórica a respecto de las partículas W y Z fue identificada antes de que las propias partículas hubiesen sido detectadas. Entonces, una vez detectadas las partículas (masivas) W y Z, el problema pasó a ser la detección del bosón de Higgs, que hasta ahora, pasados más de cuarenta años, aún no ha tenido lugar, pero que se espera que suceda en 2010. Eso porque las máquinas, o sea, los aceleradores/colisionadores/detectores de partículas construidos hasta hoy no fueron capaces de alcanzar una energía suficiente para crear/detectar bosones de Higgs. Sin embargo, se espera que una máquina llamada LHC (Large Hadron Collider) en construcción en el CERN (Laboratorio Europeo para Física de Partículas), cuya conclusión estaba prevista para 2008, sea capaz de “descubrir” bosones de Higgs (o el bosón de Higgs, pues hay una teoría que prevé la existencia de un único bosón de Higgs). O, tal vez, otra máquina, llamada Tevatrón, existente en el Fermilab en Estados Unidos podrá también, por sus peculiaridades, permitir la detección del Higgs. Aparentemente, nadie duda de la existencia del bosón de Higgs. Parece ser una cuestión de tiempo y lugar. ¿Cuándo? ¿Dónde? ¡Ah!, ¿y quién? ¿Ganará el Nobel quien descubra el bosón de Higgs? ¿O deberá ser para Peter Higgs que lo previó cuarenta años atrás? ¿Y si no es detectado? ¿Será necesario modificar el Modelo Estándar? ¿Hacer nueva(s) hipótesis auxiliar(es)? ¿Qué es masa? Paradójicamente, la masa, una propiedad tan familiar de la materia, es de los asuntos más investigados en la Física de Partículas. Los físicos quieren explicar esa propiedad, quieren explicar

12 Bosones son partículas con spin (momentum angular intrínseco) entero que no obedecen el Principio de la Exclusión de Pauli (dos partículas con el mismo spin no pueden ocupar el mismo estado al mismo tiempo). 13 Los físicos Robert Brout y François Englert también son responsables del desarrollo de ese aparato teórico, pero usualmente la literatura se refiere a él sólo como mecanismo de Higgs.

por qué las partículas tienen masa. Eso, como se vio en la sección anterior, tiene que ver con el bosón de Higgs y mejorará y extenderá el Modelo Estándar. En esta sección, ese asunto será explorado un poco más. Pero antes, veamos lo que hoy se consideran concepciones alternativas (misconceptions) sobre masa, en la visión de Okun (1987, pp. 12-13).

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) “Masa de reposo” y “masa relativística” es una terminología antigua, de inicio del siglo XX, para mantener la relación newtoniana entre momentum, masa y velocidad ( vmp rr

= . Sin embargo,

la relación correcta es la expresión relativística 22 c/v1/vmp −=rr

de modo que, teniendo en

cuenta que /dtpd F = , la expresión amF = es válida sólo en el límite no relativista, donde v/c<<1. En la mecánica relativista, la “masa de reposo” no es ni la masa inercial (es decir, el coeficiente de proporcionalidad entre fuerza y aceleración) ni la masa gravitacional (es decir, el coeficiente de proporcionalidad entre el campo gravitacional y la fuerza gravitacional actuando en un cuerpo). La atracción gravitacional no está determinada por la “masa de reposo”, pues un fotón es desviado por el campo gravitacional a pesar de tener masa nula. Como la atracción gravitacional sobre un fotón aumenta con la energía del fotón somos tentados a aceptar que por lo menos en ese caso tiene sentido hablar de masa relativística, o masa de movimiento, pero eso no es correcto. Una teoría consistente del movimiento de un fotón (o cualquier otro objeto que se mueve con velocidad comparable a la de la luz) en un campo gravitacional mostrará que la energía de un cuerpo no es equivalente a su masa gravitacional. Otro ejemplo de esa desacertada terminología es la falsa afirmación de que en la Física de Altas Energías y en la Física Nuclear es posible transformar energía en materia y materia en energía. La energía se conserva. La energía no se transforma en cosa ninguna, son apenas distintas partículas que se transforman unas en otras. O sea, la energía se conserva, pero los portadores de energía y la forma en que ésta aparece, de hecho, cambian. Concluyendo, los términos “masa de reposo” y “masa relativística” (o “masa de movimiento”) no deben ser más usados y masa debe significar siempre la masa relativísticamente invariante de la mecánica de Einstein (op.cit.). Masa es, entonces, simplemente masa, una propiedad intrínseca de ciertas partículas elementales. Los quarks, por ejemplo, tienen masa. Los fotones y otras partículas virtuales no tienen masa. Pero la gravedad actúa también en fotones, o sea, actúa sobre energía, no sólo sobre masa. Energía y masa están relacionadas por la ecuación de Einstein E=mc2, pero eso no significa que la masa sea dependiente de la velocidad. Este asunto está bien discutido en el artículo E = mc2: origen y significados (Lemos, 2001). Pero ¿por qué tienen masa las partículas que tienen masa? ¿Cómo se explica la masa? Éste es un problema que el Modelo Estándar espera resolver con el campo y el bosón de Higgs. La adquisición de masa por una partícula podría ser explicada de la siguiente manera: el campo de Higgs estaría en todo el espacio; la partícula mediadora de ese campo sería el bosón de Higgs. Una partícula real en ese espacio interactuaría con el campo y quedaría polarizada con bosones de Higgs que entonces le darían masa. Habría una nube de bosones de Higgs asociada a la partícula dándole masa. Metafóricamente sería análogo a lo que sucedería con una persona muy importante, o muy conocida, que llegase a una fiesta, o sea, a un “campo de personas”, e inmediatamente muchas otras personas viniesen a saludar y permaneciesen alrededor de ella allá

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donde ella fuera. O lo que le pasaría a un vendedor de helados que pasase por un “campo de niños” (Kane, 2005). Hay que notar que, a rigor, lo que daría masa a las partículas sería el campo de Higgs, caso contrario sería necesario otro mecanismo para explicar la masa del bosón de Higgs. Un único campo de Higgs sería suficiente para explicar la masa de las partículas, pero podría haber otros tipos de campos de Higgs. Alias, el Modelo Estándar Supersimétrico (una extensión del Modelo Estándar) prevé la existencia de cinco bosones de Higgs (op.cit., p.34). Hasta ahora, ninguno fue detectado, pero en el LEP (Large Electron-Positron Collider) ya se han obtenido evidencias experimentales indirectas de que ellos existen. Su detección, como ya se dijo, parece ser una cuestión de tiempo. ¡Y de máquina!

La antimateria La antipartícula de una dada partícula tiene la misma masa y spin de esa partícula, sin embargo tiene carga eléctrica opuesta, así como son opuestos el número bariónico14, el número leptónico, etc. Para cada partícula, existe una antipartícula. Así, la antimateria está constituida de antiprotones, antineutrones, antielectrones (llamados positrones), antileptones, antiquarks. Partículas neutras como los fotones son iguales a sus antipartículas (Fritzch, 1983). (Gravitones también serían iguales a sus antipartículas.) Al inicio de los años treinta, parecía que la materia estaba constituida de protones, neutrones y electrones, y la interacción electromagnética explicaba por qué los electrones (negativos) quedaban ligados a los núcleos (positivos) en los átomos. Pero eso no duró mucho porque para explicar la estabilidad del núcleo fue necesario postular una nueva interacción fundamental, la interacción fuerte, y para una descripción del electrón que satisficiese a la teoría cuántica y a la teoría de la relatividad, fue necesario prever la existencia de antipartículas. Eso fue realizado por Paul Dirac y, enseguida, en 1933, Carl Anderson detectó en rayos cósmicos la antipartícula del electrón (antielectrón o positrón). En los años cincuenta fueron descubiertos los antiprotones y antineutrones. Desde 1955, los físicos de partículas están creando haces de antiprotones y desde 1995 consiguen crear antiátomos (pares antiprotón-antielectrón, formando antiátomos de hidrógeno). (Collins, 2005). Pero ¿por qué “crear” antipartículas y antiátomos? ¿No existen en la naturaleza? Existen, pero hay en el universo una asimetría materia/antimateria: hay más materia que antimateria. En el universo hay una inmensa cantidad de materia, pero son raras las antipartículas que ocurren naturalmente. Esta situación puede ser embarazosa para la Física de Partículas, pero es afortunada para el mundo en que vivimos: materia y antimateria cuando entran en contacto se aniquilan mutuamente y convierten su masa total en una cantidad equivalente de energía, o sea, protón y antiprotón se aniquilan produciendo un rayo gama con la energía equivalente a la suma de sus masas; electrón y antielectrón se aniquilan, etc., materia y antimateria aniquilándose mutuamente. Eso significa que un universo compuesto de la misma cantidad de materia y antimateria sería hostil e inestable, no el tipo de lugar donde grandes cantidades de materia del tamaño de planetas podrían existir en relativa paz y estabilidad durante mil millones de años (Schumm, 2004).

14 Número bariónico es el número total de bariones presentes en un sistema menos o número total de antibariones. Análogamente, número leptónico es el número total de leptones presentes en un sistema menos el número total de antileptones.

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El proceso de producción de antipartículas es lo contrario de la aniquilación. Parte de la energía producida en choques provocados en los aceleradores de partículas se convierte, por ejemplo, en pares de protones y antiprotones.

La simetría CPT El interés por investigar antipartículas es, primariamente, teórico: el llamado teorema de la

simetría CPT que relaciona las propiedades de las partículas y sus antipartículas; de acuerdo con la teoría, ambas deben seguir las mismas leyes físicas.

CPT significa “reversión de la Carga”, “inversión de la Paridad” y “reversión del Tiempo”. Reversión de la carga es la sustitución de todas las partículas por antipartículas. Inversión de la paridad es la reflexión especular o inversión del espacio con relación a un punto y reversión del tiempo significa pasar la “película” de la realidad de atrás para adelante (Collins, 2005, p. 58). Decir que la naturaleza es invariante frente a la simetría P significa que cualquier proceso físico observado en un espejo sigue las mismas leyes del proceso no reflejo. Aunque parezca obvia, tal simetría se quiebra en la interacción débil involucrada en ciertos decaimientos radioactivos. De modo general, en muchas situaciones en las que la simetría P se rompe, la simetría CP es preservada, pero en raras ocasiones se rompe también la simetría CP y esa ruptura puede tener que ver con el predominio de la materia sobre la antimateria en el universo (ibid.). La violación de la simetría CP permitiría que partículas y antipartículas decayesen con tasas diferentes. Otro aspecto intrigante de la asimetría materia/antimateria es que de las cuatro fuerzas fundamentales – electromagnética, gravitacional, fuerte y débil – sólo la débil afectaría diferentemente la materia y la antimateria. O sea, en cualquier reacción causada por las fuerzas electromagnética, gravitacional y fuerte, si nuevas partículas fuesen producidas, lo serían en iguales cantidades y tipos de materia y antimateria. Estas fuerzas no podrían entonces explicar el predominio de la materia sobre la antimateria. La fuerza débil tal vez sí, pero eso permanece aún como un gran desafío para los físicos de partículas (Schumm, 2004, p. 16). Volviendo a la cuestión de las simetrías, si la simetría CP también es violada en ciertos procesos, queda la simetría CPT. La expectativa dentro del Modelo Estándar de las partículas elementales es que cualquier violación de la simetría CPT debe ser muy pequeña. En el Modelo Estándar, la simetría CPT es una propiedad fundamental del universo. Violaciones significativas de esa simetría indicarían problemas en el Modelo Estándar y sugerirían la necesidad de una teoría que fuese más allá del propio modelo. De ahí el interés en producir antipartículas y antiátomos, en los grandes aceleradores en Estados Unidos y en Europa, para estudiar profundamente sus propiedades. EDQ & CDQ La teoría de las interacciones entre fotones y electrones se llama Electrodinámica Cuántica (EDQ); correspondientemente, la teoría de las interacciones entre gluones y quarks se llama Cromodinámica Cuántica (CQD); (quarks tienen la propiedad color; chromos en griego significa color). Hay, sin embargo, una gran diferencia entre las dos cuando se tiene en cuenta la naturaleza de las partículas fundamentales involucradas (electrones y quarks): electrones pueden ser detectados libremente, quarks no. Además, tres quarks forman hadrones y éstos son “blancos”, pero tres electrones formarían un estado (no ligado) con carga - 3e, pues la carga eléctrica se conserva. Eso significa que al contrario de una carga, como en la electrodinámica, en la cromodinámica hay varias cargas color (son ocho) y que la adición de estas cargas no es una simple suma escalar. Recordemos

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que color es una propiedad de la materia que en el caso de los quarks presenta tres variedades (rojo, verde y azul), sin embargo en el caso de los gluones, combinando estos tres colores y sus anti-colores, se llega a nueve gluones, pero uno de ellos es blanco, quedando, entonces, ocho gluones coloridos. De ahí que se diga que en la CQD hay ocho cargas color (Fritzch, 1983, p. 142).

Prosiguiendo con la analogía entre esas dos teorías, se observa que un campo electrodinámico crea una fuerza de atracción entre dos objetos cargados con cargas opuestas, la cual en términos cuánticos es creada a través del cambio de fotones virtuales entre esos objetos, de la misma forma que un campo cromodinámico crearía una fuerza de atracción entre quarks a través del cambio de algunas partículas virtuales análogas a los fotones virtuales. Tales partículas, como ya se vio, se llaman gluones.

Entonces, se puede “construir” un espacio cromodinámico en el cual las cargas color hacen

el papel de la carga eléctrica en el espacio electrodinámico y los gluones el de los fotones virtuales. Sin embargo, el acoplamiento de gluones a quarks es más complicado que el acoplamiento de fotones a electrones, pues cuando un fotón interactúa con un electrón éste permanece siendo un electrón, sin embargo un gluón que interactúa con un quark puede alterar el color del quark, es decir, transformarlo en otro quark. Es decir, los colores de los quarks pueden alterar cuando éstos interactúan con gluones.

Sin embargo, hay que reiterar que la analogía no es total porque, como ya se dijo, en la

electrodinámica hay una única carga, la eléctrica, mientras que en la cromodinámica hay ocho cargas color diferentes, u ocho gluones coloridos.

La materia oscura

Estrellas, planetas, cometas, polvo cósmico y otras formas ordinarias de materia parecen constituir aproximadamente 5% de la masa del universo. Los otros 95% serían de “materia oscura” y “energía oscura”15, si es que eso, que no se sabe lo que es, de hecho existe. Astrónomos, hace décadas, buscan registros de la existencia de la materia oscura y, aparentemente, están convencidos de que existe, pero la evidencia obtenida no es, aún, del todo convincente. Hace algunos años, los físicos de partículas pasaron a participar del esfuerzo de los astrónomos intentando detectar, experimentalmente, partículas de materia oscura. Es una tarea, en principio, muy difícil, que conduce a un dilema análogo al del bosón de Higgs: o se las detecta y se verifica que la materia oscura existe o las teorías que subyacen a la Física Moderna tendrán que ser modificadas (Cline, 2003).

La hipótesis de la materia oscura está relacionada a la cuestión de si el universo continuará en expansión o si éste disminuirá y será revertido llevando eventualmente a un período de contracción. Esa cuestión está relacionada a otra: ¿cuánta masa existe en el universo? Dependiendo de la cantidad, la expansión podrá ser revertida e, incluso, podrá ocurrir un “Big Crunch”16, o continuará para siempre. La primera posibilidad es conocida como universo cerrado, la segunda

15 A pesar del nombre similar, materia y energía oscura son sustancias distintas: materia oscura es una forma exótica de materia que no emite, no absorbe, ni lanza luz; la única interacción a la cual reacciona es la gravitación. Energía oscura es un nuevo ingrediente que entró en escena recientemente para explicar el universo porque las formas conocidas de materia y la materia oscura explican tan solo aproximadamente 30% del universo. El resto (70%) sería explicado por la energía oscura que se distingue de la materia oscura por el hecho de ser gravitacionalmente repulsiva llevando el universo a una expansión acelerada. O sea, el universo estaría dominado por una energía oscura que ocupa todo el cosmos y que aún no sabemos qué es (Adballa, 2006, pp.306-311). 16 Crunch significa aplastamiento ruidoso.

12

como universo abierto. Entre ellas, está la del universo plano, o sea, existiría una “masa crítica” del universo, suficiente para reducir la expansión, pero no suficiente para revertirla. Estimando la masa del universo desde la materia visible, el resultado sería, como se dijo antes, muy pequeño y tendríamos el llamado universo abierto. Sin embargo, hay evidencias experimentales, aunque no totalmente convincentes, sobre la existencia de una materia oscura que traspasaría el universo. Combinando la masa de la materia observable con la masa estimada de la materia oscura, el resultado es bastante próximo a la “masa crítica”, dejando aún abierta la cuestión de si el universo continuará en expansión o acabará contrayéndose (Lederman y Teresi, 1993, p. 394).

Suponiendo, entonces, que la materia oscura exista, la pregunta que surge de inmediato es “de qué tipo de partículas estaría constituida?”.

Neutrinos eran fuertes candidatos porque debe haber en el universo una enorme cantidad de

esas partículas elusivas resultantes del Big Bang, los llamados neutrinos primordiales, producidos en los primeros segundos de Big Bang. En verdad, serían candidatos ideales si no fuese el problema de que su masa es muy pequeña. Aun existiendo en abundancia contribuirían con una pequeña fracción de la materia oscura (Cline, 2004, p.59). El viento oscuro

En verdad, ninguna de las partículas del Modelo Estándar responde a la pregunta de la

constitución de la materia oscura. Por consiguiente, se están realizando tentativas de extensión del Modelo Estándar. Una de

ellas es la de la Supersimetría, la cual presupone la existencia de toda una nueva familia de partículas: cada partícula elemental del Modelo Estándar tendría una “súper compañera” más pesada. Siendo más pesadas, esas partículas serían, por tanto, más lentas que las partículas conocidas, constituyendo, entonces, lo que se podría llamar materia oscura “fría”17. De éstas, una posibilidad atrayente para físicos y astrónomos es el neutralino, una amalgama de las súper compañeras del fotón, del bosón Z (que transmite la fuerza débil) y tal vez de partículas de otros tipos (ibid.).

El neutralino sería la más leve de las súper compañeras; como sugiere el nombre, tendría

carga eléctrica cero (por tanto, no afectada por fuerzas electromagnéticas) y sería estable. Su estabilidad y neutralidad asociadas a una determinada masa, satisfarían todos los requisitos de la materia oscura fría.

La teoría del Big Bang permite una estimativa del número de neutralinos que habrían sido

creados en el plasma caliente inicial del universo. Ese plasma era una sopa caótica de todos los tipos de partículas, ninguna de las cuales sobrevivió por mucho tiempo: inmediatamente colisionaban con otras partículas aniquilándose mutuamente y produciendo nuevas partículas que también colisionaban con otras y así sucesivamente en un proceso cíclico de creación y destrucción. Pero, a medida que el universo se enfriaba y se volvía menos denso, los choques eran menos violentos y menos frecuentes permitiendo que las partículas se condensasen progresivamente. El neutralino sería una partícula menos propensa a choques de modo que habría sido una de las primeras que se

17 La materia oscura “caliente” sería aquélla de los primordios del universo, constituida por partículas que se movían con velocidades comparables a la luz.

13

condensó18. Entonces, en ese período se habría producido una inmensa cantidad de neutralinos, cuya masa total corresponde bastante bien con la masa estimada de materia oscura existente en el universo (op.cit., p.60).

Teóricamente, entonces, la existencia del neutralino resuelve el problema de la materia oscura. Por consiguiente, hay que detectarlo. Pero para eso, es necesario saber como interactúa con la materia normal. Si la interacción es apenas la gravitacional, no hay esperanzas de detectarlo, pues la fuerza gravitacional es la más débil de todas en el dominio de las partículas elementales.

Sin embargo, la teoría de la supersimetría prevé que el neutralino interactuaría con la materia a través de la fuerza nuclear débil. Si así es, hay posibilidades de detectarlo, pues, aunque la fuerza sea débil, el número previsto de partículas es inmenso. Como se dijo al inicio de esta sección, la materia oscura es dominante en el universo. Siendo oscura no emite radiación, no pierde energía y no se aglomera para formar estrellas y planetas. Es decir, la materia oscura envuelve el espacio interestelar como si fuese un gas. Sería un gas estancado, o sea, las partículas que lo constituyen se moverían, pero aleatoriamente, sin movimiento organizado. Sin embargo, como nuestro sistema solar está orbitando alrededor del centro de nuestra galaxia a 220 km por segundo estaríamos sufriendo el impacto de un “viento oscuro” que, según estimativas de los científicos, sería del orden de un millón de partículas oscuras por metro cuadrado por segundo.

Hay por lo menos una decena de laboratorios intentando detectar el neutralino desde 1997. Además de la dificultad inherente al hecho de que la interacción de la materia oscura con la materia común es débil, está el problema de que los detectores, construidos de metal, contienen rasgos radioactivos de elementos como uranio y torio que decaen produciendo partículas que son confundidas con partículas oscuras. La dificultad no es tanto de sensibilidad, sino de impureza intrínseca a los detectores (op.cit., p.61). Hasta mediados de los años setenta, la Física de Partículas y la Cosmología eran áreas de investigación completamente separadas, sin embargo, en esa época, tal vez en función de grandes cortes de presupuestos, investigadores en Física de Partículas se dieron cuenta de que estudios sobre los primordios del universo ofrecían una posibilidad única de investigar fenómenos de alta energía que no podían ser recreados en laboratorio (Kaiser 2007). Surgió así la Cosmología de Partículas, un área híbrida y altamente promisoria en Física.

Neutrinos oscilantes

El Modelo Estándar incluye tres tipos distintos de neutrinos: neutrino del electrón, neutrino del muón y neutrino del tau. Habría, entonces, tres “sabores” distintos de neutrinos.

De acuerdo con la teoría propuesta por el físico inglés Arthur Eddington, en 1920, la energía

del Sol sería proveniente de reacciones de fusión nuclear que ocurrirían en su interior. Más tarde, con la hipótesis de Pauli (1930) sobre la existencia del neutrino y aún después con el Modelo Estándar, se llegó, teóricamente, a la conclusión de que tales reacciones producirían neutrinos del electrón en abundancia.

Sin embargo, desde los años 60 hasta 2002, los experimentos para detectar esos neutrinos

solares siempre daban resultados significativamente inferiores a los previstos por la teoría. Esa incómoda diferencia, que quedó conocida como el problema de los neutrinos solares (McDonald et

18 En esa sopa primordial, quarks y gluones también habrían reducido mucho sus velocidades de modo que después de algunos microsegundos acabaron unidos por fuerzas muy fuertes y permanentemente confinados dentro de protones, neutrones y otras partículas llamadas hadrones (Riordan y Zajc, 2006, p. 40).

14

al., 2003), era también un problema del Modelo Estándar. Es decir, una previsión del Modelo Estándar no era confirmada por los resultados experimentales. En algunos casos, el número de neutrinos detectados era sólo un tercio de lo previsto.

Solamente en 2002, físicos del observatorio de Neutrinos SudBury, en Ontario, resolvieron este problema confirmando experimentalmente la hipótesis de los físicos Gribove y Pontecorvo, hecha en 1969, suponiendo que los neutrinos producidos en el interior del Sol cambian de sabor antes de llegar a la Tierra. O sea el número de neutrinos del electrón producidos en las reacciones de fusión nuclear, previsto teóricamente, estaba bien, pero el número detectado en la Tierra sería menor porque los neutrinos del electrón se convertían en otros neutrinos no detectables por los experimentos montados hasta entonces para detectar neutrinos solares.

Esa hipótesis de los neutrinos oscilantes, después de confirmada experimentalmente, resolvió el problema de los neutrinos solares, confirmó la teoría de Eddington y eliminó esa anomalía existente en el Modelo Estándar. Por otro lado, llevó a una modificación en el Modelo Estándar pues, según la teoría, los neutrinos serían partículas sin masa, pero los nuevos resultados implicaban que ellos tendrían masa, aunque muy pequeña (op. cit., p.24).

La hipótesis de la oscilación de los neutrinos requiere que los tres sabores de neutrino (del electrón, del muón y del tau) estén constituidos por mezclas de estados de neutrinos (identificados como 1, 2 y 3) con diferentes masas. Un neutrino del electrón podría ser entonces una mezcla de estados 1 y 2, mientras que un neutrino del muón sería una mezcla diferente de esos mismos estados. De acuerdo con esa hipótesis, mientras viajan (¡8 min!) hasta la Tierra, esos neutrinos, constituidos por distintas mezclas, oscilan entre uno y otro sabor. Hay varios modelos para la oscilación de los neutrinos, suponiendo que la oscilación tenga lugar aún en el propio Sol, o que ocurra en el espacio vacío o, también, que tenga lugar en el interior de la Tierra (ellos prácticamente no interactúan con la materia), todo dependiendo de la mezcla y de diferencias de masas.

Resultados experimentales recientes, en el observatorio de neutrinos antes referido, indican que del total de aproximadamente 5 millones de neutrinos solares que llegan a la Tierra por cm2 por segundo, cerca de dos tercios son neutrinos del tau o neutrinos del muón. Como las reacciones de fusión nuclear en el interior del Sol sólo producen neutrinos del electrón, tales resultados confirman la hipótesis de los neutrinos oscilantes.

Oscilantes o no, los neutrinos constituyen uno de los más fascinantes tópicos de la Física de Partículas. Son dichos elusivos, o sea, ariscos, evasivos, huidizos, de difícil comprensión. Según parece, cuanto más los físicos de partículas sepan sobre los neutrinos, más sabremos sobre la naturaleza de la materia, sobre la formación de galaxias, sobre la asimetría materia - antimateria.

Conclusión

Como se dijo al principio, el Modelo Estándar es una excelente teoría, la mejor que ya tuvimos sobre la naturaleza de la materia. Es una teoría que identifica las partículas que constituyen la materia y describe cómo interactúan. Además, lo hace presentando varias simetrías y siempre buscando otras. Pero no es una teoría acabada, ni definitiva. Al contrario es, como todas las demás teorías científicas, una verdad provisional, en el sentido de que, seguramente, será modificada, completada, extrapolada, a fin de explicar mejor lo que se propone y, en algún momento, dará lugar a otras teorías que, de alguna forma, se apoyarán en ella.

15

Entre los problemas que enfrenta el Modelo Estándar, se pueden destacar los siguientes (e.g., Kane, 2003, pp. 61-62). - La asimetría materia - antimateria: si el universo empezó en el Big Bang como una inmensa explosión de energía, debería haber partes iguales de materia y antimateria (simetría CP). En lugar de eso, estrellas y nebulosas están hechas de protones, electrones y neutrones y no de sus antipartículas. Esa asimetría no se explica por el Modelo Estándar. En el universo hay mucho más materia que antimateria. - La materia oscura y la energía oscura: la mayor parte del universo está constituida de la llamada materia oscura y de la energía oscura, que no están formadas por las partículas del Modelo Estándar. - El campo de Higgs: la interacción con el campo de Higgs, mediada por el bosón de Higgs, daría masa a las partículas. Se espera que el bosón de Higgs sea detectado en los próximos años, pero aunque, de hecho, eso llegue a ocurrir, el Modelo Estándar tiene dificultades para explicar formas particulares de esa interacción. Una de ellas es que, por los cálculos de la teoría actual, la masa del bosón de Higgs sería muy grande y, por consiguiente, las partículas del Modelo Estándar tendrían masas también muy grandes. - La gravedad: el gravitón nunca fue detectado y el Modelo Estándar no consigue incluir la interacción gravitacional porque no tiene la misma estructura de las otras tres interacciones.

Tales problemas podrán ser resueltos. La detección del bosón de Higgs será más un éxito espectacular del Modelo Estándar. La hipótesis de los neutrinos oscilantes resolvió el problema de la gran diferencia entre el número de neutrinos previstos y el número de neutrinos detectados en la Tierra. La detección del neutralino resolvería el problema de la materia oscura. La gravedad podrá continuar siendo la gran “cefalalgia” del Modelo Estándar (Lederman y Teresi, 1993, p.99). Pero aunque se encuentre alguna solución para este problema conceptual de la teoría, los físicos creen que deberá ser suplantada por otra más completa. Modelos Estándar Súpersimétricos (Kane, 2005; Helayël - Neto, 2005) son serios candidatos. Pero si el Modelo Estándar, a pesar de las anomalías, es una teoría con tanto éxito, ¿por qué los físicos quieren suplantarla? ¿No sería el caso de convivir con las dificultades? La respuesta es sí y no. Por un lado, es normal que las teorías científicas tengan problemas que no consiguen resolver, siempre que resuelvan muchos otros. Por otro, el progreso del conocimiento científico depende de nuevas teorías, con mayor poder explicativo. Para Bachelard (1991), por ejemplo, el conocimiento científico es un permanente cuestionar, un permanente no al conocimiento anterior, pero no en el sentido de negación, y sí en el de conciliación: cada nueva teoría dice no a la teoría antigua y así avanza el pensamiento científico. La filosofía del no de Bachelard surge no como una actitud de recusa, sino como de reconciliación. La nueva teoría dice no a la anterior, pero surge a partir de ella. Esa filosofía del no es también una filosofía de la desilusión. O sea, el conocimiento científico es siempre la reforma de una ilusión, es fruto de la desilusión con lo que juzgábamos saber (Lopes, 1996). La superación del Modelo Estándar, en la óptica de Bachelard, será una consecuencia natural de la desilusión que tendremos con él, de la necesidad de decir no a él si queremos aprender más sobre partículas elementales y sus interacciones, sobre la materia oscura, la antimateria, el campo de Higgs y otros tópicos abordados en este artículo.

16

Las teorías científicas están siempre en construcción. En este artículo se procuró ilustrar, con el Modelo Estándar, esta faceta fascinante de la ciencia.

Referencias

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Agradecimento El autor agradece a los Profesores Eliane Veit y Paulo Mors, del Instituto de Física de la UFRGS, por la revisión crítica de versiones iniciales de este trabajo; agradece también al revisor de la RBEF por las valiosas sugerencias recibidas.

Métodos y Técnicas Avanzadas en Física

EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍAParte 1:

La teoría electrodébil y herramientas de cálculo

José Ignacio Illana

Departamento de Física Teórica y del CosmosUniversidad de Granada

Diciembre de 2007Última revisión: 25 de junio de 2014

Índice

1 La teoría electrodébil 1

1.1 El Modelo Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 La simetría gauge: origen de las interacciones . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas . 7

1.2 Réplicas de familias fermiónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Autoestados de masa y de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM . . . . . . . 14

1.2.3 Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM . . . . . . . . . . 14

1.3 Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Fermiones de Dirac y de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros? . . . . . . . . . . . 20

1.3.3 Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS . . . . . . . . . 21

1.3.4 Oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.5 Test de la violación del número leptónico: 0νββ . . . . . . . . . . 30

2 Observables 33

2.1 Sección eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 ¿Qué significa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.2 Probabilidad de transición y matriz S . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.3 Flujo incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.4 Fórmula final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.5 Caso 2→ 2 en el sistema centro de masas . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Anchura de desintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Reglas de Feynman 41

3.1 Reglas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

4 Índice

3.2 Algunos vértices genéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Vértices del Modelo Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Cálculo de correcciones cuánticas a un loop 45

4.1 Estructura de las amplitudes a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Cálculo explícito de las integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Ingredientes básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Funciones de dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.3 Funciones de tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Algunos casos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Aplicación: factores de forma dipolares a un loop 55

5.1 El vértice vector-fermión más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 El momento magnético anómalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.1 El momento magnético anómalo en QED . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.2 El momento magnético anómalo en el SM . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 El proceso raro µ → eγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.1 µ → eγ en el SM con neutrinos masivos . . . . . . . . . . . . . . 61

Capítulo 1

La teoría electrodébil

1.1 El Modelo Estándar

El Modelo Estándar (SM) [1] es una teoría gauge basada en el grupo de simetrías loca-les SU(3)c ⊗ SU(2)L ⊗U(1)Y, que describe las interacciones fuertes, débiles y electro-magnéticas mediante el intercambio de los correspondientes campos de spin 1 (boso-nes de gauge): 8 gluones sin masa y 1 fotón (γ) sin masa para las interacciones fuertesy electromagnéticas, respectivamente, y 3 bosones masivos (W± y Z) para la interac-ción débil. El contenido de materia fermiónica consiste en tres familias de quarks ytres de leptones (tabla 1.1). Cada familia está formada por dos patículas de spin 1/2,f y f′, con cargas eléctricas Q f = Q f ′ + 1 en unidades de la carga del protón, y suscorrrespondientes antipartículas. Los quarks aparecen en tres posibles estados de color(convencionalmente rojo, verde y azul).

Los campos se agrupan en multipletes (representaciones irreducibles) bajo las trans-formaciones del grupo (tabla 1.2). Los quarks son tripletes y los leptones son singletesbajo el grupo SU(3)c de color. Bajo el grupo SU(2)L las componentes levógiras (left) setransforman de forma distinta que las dextrógiras (right): los campos left son dobletesy los right son singletes de isospin débil T. El índice Y se refiere a la hipercarga. Lacarga eléctrica, el isospin y la hipercarga de los campos están relacionados medianteQ = T3 + Y. Las tres familias de quarks y leptones tienen las mismas propiedades(interacciones gauge), sólo difieren en las masas y en el número cuántico de sabor desus campos.

La simetría gauge está rota espontáneamente lo que exige la introducción de uncampo escalar (el campo de Higgs) y permite que los bosones débiles y los fermionessean masivos, tal y como los observamos en la naturaleza.

A continuación construiremos el lagrangiano del SM de las interacciones electro-magnéticas y débiles para una sola familia de quarks y leptones. Ignoraremos lasinteracciones fuertes, que son independientes del sabor.

1

2 Capítulo 1: La teoría electrodébil

Fermiones I II III Q

spin 12 Quarks f uuu ccc ttt 2/3

f′ ddd sss bbb −1/3

Leptones f νe νµ ντ 0

f′ e µ τ −1

Bosones

spin 1 8 gluones Interacción fuerte

γ Interacción electromagnética

W±, Z Interacción débil

spin 0 Higgs? Origen de las masas

Tabla 1.1: Las partículas e interacciones del SM.

Multipletes SU(3)c ⊗ SU(2)L ⊗U(1)Y I II III

Quarks (3, 2, 16 )

(uL

dL

) (cL

sL

) (tL

bL

)

(3, 1, 23 ) uR cR tR

(3, 1, − 13) dR sR bR

Leptones (1, 2, − 12)

(νeL

eL

) (νµL

µL

) (ντL

τL

)

(1, 1, −1) eR µR τR

(1, 1, 0) νeR νµR ντR

Tabla 1.2: Multipletes de campos del SM.

1.1. El Modelo Estándar 3

1.1.1 La simetría gauge: origen de las interacciones

Consideremos un mundo con sólo una familia de fermiones (quarks o leptones) despin 1/2 f y f′ libres y sin masa, descritos por los campos f (x) y f ′(x), respectivamente.Vendrá descrito por el lagrangiano de Dirac:

L0F = i f (x)/∂ f (x) + i f ′(x)/∂ f ′(x) = i ∑

j=1,3ψj(x)/∂ψj(x) , (1.1)

con /∂ ≡ γµ∂µ, y hemos agrupado por conveniencia las componentes left en un dobletey las right en dos singletes,

ψ1 =

(fL

f ′L

), ψ2 = fR , ψ3 = f ′R , (1.2)

donde f (′)

R,L = PR,L f (′), f (

′)R,L = f (

′)PL,R, con PR,L = 12(1 ± γ5). Si queremos que el

lagrangiano sea invariante bajo transformaciones gauge1 del grupo G = SU(2)L ⊗U(1)Y,

ψ1(x)G−→ UL(x) expiy1β(x)ψ1(x) , UL(x) = exp

iσi

2αi(x)

, i = 1, 2, 3 ,(1.3)

ψ2(x)G−→ expiy2β(x)ψ2(x) , (1.4)

ψ3(x)G−→ expiy3β(x)ψ3(x) , (1.5)

hemos de reemplazar ∂µ por la derivada covariante2

Dµψ1(x) ≡[

∂µ − igWµ(x) + ig′y1Bµ(x)]

ψ1(x) , (1.6)

Dµψ2(x) ≡[∂µ + ig′y2Bµ(x)

]ψ2(x) , (1.7)

Dµψ3(x) ≡[∂µ + ig′y3Bµ(x)

]ψ3(x) , (1.8)

donde se introducen g y g′, las σi son las tres matrices de Pauli y

Wµ(x) ≡σi

2Wi

µ(x) . (1.9)

Las propiedades de transformación de los campos de gauge quedan fijadas: son lasque hacen que los Dµψj(x) se transformen igual que los ψj(x), es decir,

Bµ(x)G−→ Bµ(x)−

1g′

∂µβ(x) , (1.10)

Wµ(x)G−→ UL(x)Wµ(x)U†

L(x)−ig

(∂µUL(x)

)U†

L(x) . (1.11)

1Las transformaciones gauge son locales, es decir dependientes del punto espaciotemporal x.2Este convenio de signos es el más habitual y el adoptado en el paquete informático FeynArts [2].


Nota: En general, si Ta son los generadores del grupo, Aaµ(x) los bosones de

gauge asociados y θa(x) los parámetros de la transformación, es fácil comprobarque la derivada covariante es

Dµ = ∂µ − igAµ, con Aµ = TaAaµ

si los campos se transforman

ψ → Uψ, U = expiTaθa(x)

Aµ → UAµU† − ig(∂µU)U†

De este modo, Dµψ→ UDµψ y ψ/Dψ queda invariante.

Como hay cuatro parámetros de gauge, αi(x) y β(x), para mantener la invarianciagauge, hemos tenido que introducir tres bosones vectoriales, Wi

µ(x), uno por cadagenerador de SU(2), y otro más, Bµ(x), para el grupo U(1). Nótese que la simetríadicta la forma de las interacciones. Los acoplamientos g y g′, así como las hipercargasyi, son parámetros libres.3 El lagrangiano

LF = i3

∑j=1

ψj(x) /Dψj(x) (1.12)

es, por tanto, invariante bajo las transformaciones gauge de G. Para que la teoría seacompleta han de añadirse los términos cinéticos para los bosones de gauge:

LG = −14

BµνBµν − 12

Tr

WµνWµν= −1

4BµνBµν − 1

4Wi

µνWµνi (1.13)

donde

Bµν ≡ ∂µBν − ∂νBµ , (1.14)

Wµν ≡ig

[(∂µ − igWµ

),(

∂ν − igWν

)]= ∂µWν − ∂νWν − ig[Wµ , Wν] , (1.15)

Wµν ≡σi

2Wi

µν , Wiµν = ∂µWi

ν − ∂νWiµ + gǫijkW j

µWkν (1.16)

y hemos sustituido las constantes de estructura de SU(2):[

σi

2,

σj

2

]= iǫijk

σk

2.

El tensor Bµν es invariante bajo las transformaciones de G, mientras que Wµν setransforma covariantemente,

BµνG−→ Bµν , Wµν

G−→ ULWµνU†L , (1.17)

así que LG es también invariante gauge. Como SU(2) es no abeliano, LG da lugar aautointeracciones cúbicas y cuárticas entre sus bosones de gauge. La intensidad detales interacciones viene dada por el mismo acoplamiento g que aparece en la partefermiónica LF.

3El acoplamiento de los fermiones a los bosones de gauge de SU(2) es único, g, debido a que estegrupo es no abeliano.


Interacciones de corrientes cargadas

ℓ

ν

W

ν

ℓ

W

d

u

W

u

d

W

Figura 1.1: Vértices de interacción de corrientes cargadas.

El lagrangiano LF contiene interacciones entre fermiones y bosones de gauge,

LF ⊃ gψ1γµWµψ1 − g′Bµ

3

∑j=1

yjψjγµψj . (1.18)

El término que contiene la matriz

Wµ =σi

2Wi

µ =12

(W3

µ

√2W†

µ√2Wµ −W3

µ

)(1.19)

da lugar a interacciones de corrientes cargadas con el campo vectorial cargado de lasW±, Wµ ≡ (W1

µ + iW2µ)/√

2 y su complejo conjugado W†µ ≡ (W1

µ − iW2µ)/√

2,

LCC =g

2√

2

W†

µ f (x)γµ(1− γ5) f ′(x) + h.c.

. (1.20)

Interacciones de corrientes neutras

f = u, d, ℓ

f

γ

f = u, d, ν, ℓ

f

Z

Figura 1.2: Vértices de interacción de corrientes neutras.

La ecuación (1.18) también contiene interacciones con los campos de gauge neutrosW3

µ y Bµ. Nos gustaría identificar estos bosones con el Z y el fotón. Sin embargo, comoel fotón tiene las mismas interacciones con ambas quiralidades fermiónicas, el bosónde gauge singlete Bµ no puede ser el campo electromagnético Aµ. Para ello habría queimponer y1 = y2 = y3 y g′yj = eQj, lo que no puede cumplirse simultáneamente.

Como ambos campos son neutros, podemos probar con una combinación arbitrariade ellos:

(W3

µ

Bµ

)≡(

cos θW − sin θW

sin θW cos θW

)(Zµ

Aµ

). (1.21)


En términos de Zµ y Aµ el lagrangiano de corrientes neutras queda:

LNC =3

∑j=1

ψjγµ−Aµ

[gT3 sin θW + g′yj cos θW

]+ Zµ

[gT3 cos θW − g′yj sin θW

]ψj ,

(1.22)

donde T3 = σ3/2 (0) es la tercera componente del isospin del doblete (singlete). Paraobtener la electrodinámica cuántica (QED) de la parte con Aµ hay que imponer lascondiciones:

g sin θW = g′ cos θW = e , Y = Q− T3 , (1.23)

donde Q es el operador de carga eléctrica,

Q1 =

(Q f 0

0 Q f ′

), Q2 = Q f , Q3 = Q f ′ . (1.24)

La primera igualdad relaciona los acoplamientos g y g′ de SU(2) y U(1), respectiva-mente, con el acoplamiento electromagnético e, lo que proporciona la unificación de lasinteracciones electrodébiles. La segunda fija las hipercargas fermiónicas Y en términosde las cargas eléctricas y los números cuánticos de isospin débil:

y1 = Q f −12= Q f ′ +

12

, y2 = Q f , y3 = Q f ′ . (1.25)

Sustituyendo las cargas de los quarks y los leptones, observamos que los neutrinosright tienen carga e hipercarga nulas, es decir no se acoplan ni al fotón ni a la Z, ytampoco se acoplan a los W±, pues sólo lo hacen los campos left. Por tanto los νR sonestériles y, si los neutrinos no tuvieran masa, no haría falta introducirlos.

El lagrangiano de corrientes neutras queda finalmente:

LNC = LQED + LZNC , (1.26)

donde

LQED = −eAµQ f (′) f (′)(x)γµ f (

′)(x) , (1.27)

LZNC = eZµ f (

′)(x)γµ(v f − a f γ5) f (′)(x) , (1.28)

con v f = (T fL3 − 2Q f sin2 θW)/(2 sin θW cos θW) y a f = T fL

3 /(2 sin θW cos θW).

Autointeracciones de bosones de gauge

Del lagrangiano LG se extraen los términos de autointeracción triple y cuártica:4

L3 = −ie cot θW

WµνW†

µZν −W†µνWµZν −W†

µWνZµν

+ie

WµνW†µ Aν −W†

µνWµAν −W†µWνFµν

, (1.29)

4 Resulta conveniente usar la relación de anticonmutación de las matrices de Pauli, σi, σj = 2δij.


W

W

γ

W

W

Z

W

WW

W γ

γW

W Z

γW

W Z

ZW

W

Figura 1.3: Vértices de autointeracción de bosones de gauge.

L4 = − e2

2 sin2 θW

(W†

µWµ)2−W†

µWµ†WνWν

−e2 cot2 θW

W†

µWµZνZν −W†µ ZµWνZν

+e2 cot θW

2W†

µWµZν Aν −W†µZµWν Aν −W†

µ AµWνZν

−e2

W†µWµAν Aν −W†

µ AµWν Aν

, (1.30)

donde Wµν = ∂µWν − ∂νWµ. Nótese que siempre hay como mínimo un par de bosonescargados W y que no hay ningún vértice neutro con sólo fotones y bosones Z.

1.1.2 La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas

La simetría gauge, que ha determinado cómo son las interacciones, prohibe términosde masa para los bosones de gauge. Tampoco son posibles los términos de masa paralos fermiones.

La rotura espontánea de la simetría (SSB) aparece cuando el vacío del sistema(estado de mínima energía) está degenerado. El vacío físico es uno entre los posiblesestados de mínima energía conectados por las simetrías del lagrangiano. Cuando lanaturaleza lo elige se rompe la simetría de los estados físicos, aunque se preserva ladel lagrangiano.

El resultado de la SSB depende del tipo de simetrías. Si el lagrangiano es invariantebajo un grupo continuo de simetrías G, pero el vacío es invariante sólo bajo un subgru-po H ⊂ G, entonces aparecen tantos estados sin masa y spin 0 (bosones de Goldstone)como generadores de G que no lo son de H, es decir, el número de simetrías quese han roto (teorema de Goldstone [3, 4]). Si las simetrías del lagrangiano son locales(gauge) estos bosones de Goldstone son comidos por los bosones de gauge asociados alas simetrías rotas dotándolos de una masa (mecanismo de Higgs-Kibble [5]).

Ilustremos la SSB con el ejemplo más sencillo: un campo escalar complejo φ(x) con


|φ|

V(φ)

2ϕ

|φ|ϕ

1

V(φ)

Figura 1.4: Forma del potencial escalar (1.31) para µ2 > 0 (izquierda) y µ2 < 0 (dere-cha). En el segundo caso existe un continuo de vacíos degenerados, correspondientesa diferentes fases, concectados a través de una excitación de campo sin masa ϕ2.

lagrangiano

L = ∂µφ†∂µφ−V(φ) , V(φ) = µ2φ†φ + λ(φ†φ)2 . (1.31)

Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales de fase U(1),

φ(x)U(1)−→ expiθφ(x) . (1.32)

Para que el potencial V(φ) esté acotado inferiormente (es decir, exista un estado demínima energía, el vacío) el parámetro λ > 0. Respecto a µ2, existen dos posibilidades:

Si µ2 > 0, el potencial tiene sólo un mínimo trivial, en φ(x) = 0. Se trata entoncesde un campo escalar de masa µ y acoplamiento cuártico λ.

Si µ2 < 0, el mínimo corresponde a las configuraciones del campo que satisfacen

|〈0|φ(x)|0〉| ≡ |φ0(x)| =√−µ2

2λ≡ v√

2> 0 , V(φ0) = −

λ

4v4 . (1.33)

Debido a la invariancia de fase del lagrangiano, existen por tanto un número infinitode estados de mínima energía, todos ellos conectados por las transformaciones de fase,

φ0(x) =v√2

expiθ . (1.34)

Eligiendo uno de ellos como el estado fundamental del sistema (el vacío físico), porejemplo θ = 0, la simetría se rompe espontáneamente. Si parametrizamos las excita-ciones del campo sobre el vacío físico como

φ(x) =1√2[v + ϕ1(x) + iϕ2(x)] , (1.35)

donde ϕ1(x) y ϕ2(x) son campos reales, el potencial toma la forma

V(φ) = V(φ0)− µ2ϕ21 + λvϕ1(ϕ2

1 + ϕ22) +

λ

4(ϕ2

1 + ϕ22)

2 . (1.36)


Vemos que ϕ1 tiene masa mϕ1 =√−2µ2, mientras que ϕ2 no tiene masa. La aparición

de esta partícula sin masa (bosón de Goldstone) es fácil de entender: ϕ2 describe lasexcitaciones a lo largo de una dirección plana del potencial, es decir a estados que tie-nen la misma energía del estado fundamental. Estas excitaciones no cuestan energía ycorresponden por tanto a un estado sin masa. En este caso hay un solo bosón de Golds-tone porque al elegir un vacío hemos roto la única simetría (bajo transformaciones defase) del vacío.

Masas para los bosones de gauge débiles

Veamos ahora cómo implementar este mecanismo para dar masa a los bosones degauge débiles del SM. En el SM la simetría está rota del siguiente modo,

SU(2)L ⊗U(1)YSSB−→ U(1)QED . (1.37)

Para lograr este esquema de SSB hemos de introducir un doblete de campos escalarescomplejos (cuatro campos reales: dos cargados y dos neutros),

Φ =

(φ(+)

φ(0)

)(1.38)

y el lagrangiano invariante bajo SU(2)L ⊗U(1)Y,

LS = (DµΦ)†DµΦ−V(Φ) , V(Φ) = µ2Φ†Φ + λ(Φ†Φ)2 (1.39)

con λ > 0, µ2 < 0 y

DµΦ =[

∂µ − igWµ + ig′yΦBµ

]Φ , yΦ = QΦ − T3 =

12

. (1.40)

El potencial escalar es similar al anterior y el mínimo degenerado corresponde a

|〈0|Φ(x)|0〉| ≡ |Φ0(x)| =1√2

(0

v

), v =

√−µ2

λ. (1.41)

Solo los campos escalares neutros pueden adquirir un valor esperado en el vacío (vev)pues la carga es una cantidad conservada. Nótese que el fotón sólo se acopla a loscampos escalares cargados, cuyo vev es nulo, lo que será crucial para que el fotón noadquiera masa, como veremos. Al elegir uno entre todos los posibles estados funda-mentales (1.41), todos ellos conectados por transformaciones SU(2)L ⊗U(1)Y (cuatrogeneradores), se rompe espontáneamente esta simetría quedando como remanenteU(1)QED (un generador), lo que da lugar a la aparición de tres escalares sin masa.

Parametrizamos ahora el doblete escalar en término de excitaciones sobre el vacíofísico,

Φ(x) = exp

iσi

2θi(x)

1√2

(0

v + H(x)

), (1.42)


donde sigue habiendo cuatro campos escalares reales, θi(x) y H(x). Los tres camposθi(x), son los que serían bosones de Goldstone pero haciendo uso de la invariancia gaugedel langrangiano podemos transformar Φ(x) en cada punto x por un campo en el queéstos desaparecen, preservándose como único campo escalar físico el bosón de HiggsH(x). Así, en el llamado gauge unitario,

Φ(x) G−→ exp−i

σi

2θi(x)

Φ(x) =

1√2[v + H(x)]

(0

1

). (1.43)

Los tres grados de libertad que aparentemente se pierden se convierten en el estadode polarización longitudinal de W± y Z pues, tras la SSB, Wµ y Zµ se convierten encampos masivos de spin 1. En efecto,

(DµΦ)†DµΦG−→ 1

2∂µH∂µH + (v + H)2

g2

4W†

µWµ +g2

8 cos2 θWZµZµ

, (1.44)

que contiene los términos de masa para los bosones débiles,

MZ cos θW = MW =12

vg , (1.45)

mientras que el fotón permanece sin masa. Todo ello preservándose la simetría gaugedel lagrangiano. El precio que hemos de pagar es la introducción del campo de Higgs.

El bosón de Higgs

H

H

H

H

HH

H

Figura 1.5: Autoacoplamientos del bosón de Higgs.

El LS de (1.39) incluye el bosón de Higgs y sus autointeracciones cúbicas y cuárticasLH (Figs 1.5), así como las interacciones del Higgs con los bosones de gauge LHV2

(Fig. 1.6):

LS ⊃14

λv4 + LH + LHV2 , (1.46)

donde

LH =12

∂µH∂µH − 12

M2H H2− M2

H2v

H3− M2H

8v2 H4 , (1.47)

LHV2 = M2WW†

µWµ

1 +

2v

H +H2

v2

+

12

M2ZZµZµ

1 +

2v

H +H2

v2

(1.48)


W

W

H

Z

Z

H

H

HW

W H

HZ

Z

Figura 1.6: Acoplamientos del Higgs con los bosones de gauge.

y la masa de Higgs viene dada por

MH =√−2µ2 =

√2λv . (1.49)

El LHC anunció en julio de 2012 el descubrimiento de una partícula con propiedadesconsistentes con las esperadas para el bosón de Higgs del SM y una masa de unos125 GeV [6]. Los datos de Tevatron son compatibles con este descubrimiento [7].

Parámetros del modelo: predicciones y medidas

Hasta ahora hemos introducido cuatro parámetros libres: g, g′, λ y µ, o equivalente-mente, α = e2/(4π), sin2 θW , MZ y MH . Nótese que el modelo predice que MW < MZ,lo que está de acuerdo con los valores experimentales [8]:

MZ = 91.1876± 0.0021 GeV , MW = 80.385± 0.015 GeV . (1.50)

De estos valores experimentales se deduce el ángulo de mezcla electrodébil

sin2 θW = 1− M2W

M2Z

= 0.223 , (1.51)

valor que está de acuerdo con el que se obtiene a partir de la medida de la constantede Fermi GF = (1.1663787± 0.0000006) · 10−5 GeV−2 [8], que a su vez se obtiene de lamedida de la vida media del muón (τµ = (2.1969811± 0.0000022) · 10−6 s [8]):

1τµ

= Γµ =G2

Fm5µ

192π3 f (m2e /m2

µ) , f (x) ≡ 1− 8x + 8x3 − x4 − 12x2 log x , (1.52)

recordando que, a partir del modelo de Fermi de cuatro fermiones,

g2

M2W − q2

≈ g2

M2W

=4πα

sin2 θW M2W

≡ 4√

2GF . (1.53)


Usando las medidas de α−1 = 137.035999074 (44) [8], MW y GF se obtiene sin2 θW =0.215, en bastante buen acuerdo con (1.51). La pequeña discrepancia se resuelve cuan-do se incluyen las correcciones radiativas (cuánticas).

La constante de Fermi también proporciona directamente el vev del campo escalar(la llamada escala electrodébil),

v =(√

2GF

)−1/2≈ 246 GeV . (1.54)

Masas para los fermiones

f = u, d, ℓ

f

H

Figura 1.7: Acoplamiento del bosón de Higgs con fermiones.

Consideremos por el momento sólo una familia de quarks y leptones. Un términode masa fermiónico Lm = −mψψ = −m(ψLψR + ψRψL) no está permitido porquerompe explícitamente la simetría gauge. Sin embargo, como hemos introducido undoblete escalar adicional en el modelo, podemos escribir el siguiente acoplamientofermión-escalar invariante gauge:

LY = −y1(u, d)

L

(φ(+)

φ(0)

)dR − y2

(u, d)

L

(φ(0)∗

−φ(−)

)uR − y3 (νe, e)L

(φ(+)

φ(0)

)eR + h.c. ,

(1.55)

donde el segundo término involucra el campo escalar conjugado de carga Φc ≡ iσ2Φ∗

(que se transforma bajo SU(2) de la misma forma que Φ) y hemos supuesto que noexiste el νR. Después de la SSB, este lagrangiano tipo Yukawa toma la forma

LY = − 1√2(v + H)

y1dd + y2uu + y3ee

(1.56)

en el gauge unitario. Así que la SSB también genera las masas de los fermiones, pro-porcionales a los correspondientes acoplamientos de Yukawa:

md = y1v√2

, mu = y2v√2

, me = y3v√2

. (1.57)

Las masas de los fermiones se determinan experimentalmente. Los acoplamientos deYukawa se fijan en términos de las masas:

LY = −(

1 +Hv

)mddd + muuu + me ee

. (1.58)

1.2. Réplicas de familias fermiónicas 13

1.2 Réplicas de familias fermiónicas

Sabemos que en la naturaleza existen tres familias de quarks y leptones. Se trata decopias idénticas de la misma estructura SU(2)L ⊗ U(1)Y, siendo los valores de lasmasas la única diferencia.

Consideremos el caso general de nG generaciones de fermiones y denotemos νIj , ℓI

j ,

uIj , dI

j los miembros de la familia j (j = 1, . . . , nG), con propiedades de transformaciónbien definidas bajo el grupo de gauge. Hasta ahora habíamos omitido el superíndice I.

El lagrangiano de Yukawa invariante gauge más general tiene la forma

LY = −∑jk

(uI

j , dIj

)L

[y(d)jk

(φ(+)

φ(0)

)dI

kR + y(u)jk

(φ(0)∗

−φ(−)

)uI

kR

]

+(

νIj , ℓI

j

)L

y(l)jk

(φ(+)

φ(0)

)ℓ

IkR

+ h.c., (1.59)

donde y(d)jk , y(u)jk and y(l)jk son constantes de acoplamiento arbitrarias y seguimos supo-niendo que no existen neutrinos right.

1.2.1 Autoestados de masa y de interacción

Después de la SSB, de el lagrangiano de Yukawa puede escribirse

LY = −(

1 +Hv

) d I

L Md d IR + u I

L Mu u IR + l I

L Ml l IR + h.c.

. (1.60)

Los símbolos d I , u I y l I denotan vectores en el espacio de sabor nG-dimensional. Lasmatrices de masa vienen dadas por

(M′d)ij ≡ y(d)ijv√2

, (M′u)ij ≡ y(u)ijv√2

, (M′l)ij ≡ y(l)ijv√2

. (1.61)

La diagonalización de estas matrices determina los autoestados de masa dj, uj y ℓj, com-binaciones lineales de autoestados de interacción dI

j , uIj y ℓI

j , respectivamente.

Las tres matrices M f pueden escribirse como

M f = H f U f = S†f M f S f U f (1.62)

donde H f ≡√

M f M†f es una matriz hermítica definida positiva y U f es unitaria. Cada

H f puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria S f . La matriz resultante,M f ,es diagonal y definida positiva.

En términos de las matrices diagonales

Md = diag(md, ms, mb, . . .) , Mu = diag(mu, mc, mt, . . .) , Ml = diag(me, mµ, mτ, . . .)

(1.63)


ui

dj

W Vij

dj

ui

W V∗

ij

u c t

d s b

Figura 1.8: Transiciones que cambian el sabor a través de acoplamientos de corrientescargadas con bosones W± .

el lagrangiano de Yukawa toma la forma

LY = −(

1 +Hv

) dMd d + uMu u + lMl l

, (1.64)

donde los autoestados de masa se definen mediante

dL ≡ Sd dIL, uL ≡ Su uI

L, lL ≡ Sl lIL,

dR ≡ SdUd dIR, uR ≡ SuUu uI

R, lR ≡ SlUl lIR. (1.65)

Nótese, que los acoplamientos con el Higgs son proporcionales a las masas de losfermiones.

1.2.2 Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM

Como f IL f I

L = fL fL y f IR f I

R = fR fR ( f = u, d, ℓ), la forma del lagrangiano de corrientesneutras es la misma en términos de los autoestados de masa. Por eso, no existencorrientes neutras que cambien el sabor (FCNC) en el SM (mecanismo GIM) [9].

1.2.3 Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM

Sin embargo u IL d I

L = uL Su S†d dL 6= uL dL, pues en general Su 6= Sd . Se define la

matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) [10],

V ≡ Su S†d ⇒ u ′L d ′L = uLV dL . (1.66)

La matriz nG × nG de CKM es unitaria y aparece en interacciones de corrientes carga-das de quarks:

LCC =g

2√

2

W†

µ

[

∑ij

ui γµ(1− γ5)Vij dj + ∑ℓ=e,µ,τ

νℓ γµ(1− γ5) ℓ

]+ h.c.

.(1.67)

La matrix V acopla cada quark tipo up a todos los quarks de tipo down.

Hemos supuesto que los neutrinos no tienen masa. En ese caso, siempre podemosredefinir los sabores de los neutrinos de modo que eliminamos la mezcla análoga en

1.2. Réplicas de familias fermiónicas 15

el sector leptónico: ν IL l I

L = ν IL Sl lL ≡ νL lL y tenemos conservación de sabor. Nótese

que si los ui o los dj tuvieran masas degeneradas podríamos igualmente redefinir loscampos y habría también conservación de sabor en el sector de quarks. Si se incluyencampos νR podrían introducirse acoplamientos de Yukawa para los neutrinos, dando

lugar a una matriz de masas (Mν)ij ≡ y(ν)ij v/√

2 y obtendríamos violación del saborleptónico a través de una matriz de mezcla análoga a la CKM. El fenómeno de lasoscilaciones de neutrinos, que estudiaremos en la siguiente sección, nos indica que enrealidad los neutrinos tienen masa, aunque diminuta.

Las masas de los fermiones y la matriz de mezcla V de los quarks vienen deter-

minadas por las correpondientes matrices de acoplamientos de Yukawa y( f )ij , que son

parámetros libres. Una matriz nG × nG unitaria general se caracteriza por n2G pará-

metros reales: nG(nG − 1)/2 módulos y nG(nG + 1)/2 fases. Varias de estas fasesson irrelevantes, porque uno puede redefinir las fases de los campos (no son físicas):ui → eiφi ui y dj → eiθj dj, de modo que Vij → Vij ei(θj−φi). Esto significa que hay2nG − 1 fases inobservables. Por tanto, el número de parámetros libres físicos se redu-ce a (nG − 1)2: nG(nG − 1)/2 módulos y (nG − 1)(nG − 2)/2 fases.

Así, si sólo se mezclan dos generaciones V viene determinada por un solo paráme-tro, el ángulo de Cabibbo:

V =

cos θC sin θC

− sin θC cos θC

. (1.68)

Para nG = 3, la matriz de CKM viene descrita por 3 ángulos y una fase. Existen diferen-tes (pero equivalentes) representaciones en la literatura. La llamada parametrizaciónestándar [8] es:

V =

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

=

1 0 0

0 c23 s23

0 −s23 c23

c13 0 s13e−iδ13

0 1 0

−s13eiδ13 0 c13

c12 s12 0

−s12 c12 0

0 0 1

=

c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ13

−s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13 s23 c13

s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13

, (1.69)

donde cij ≡ cos θij y sij ≡ sin θij (i, j = 1, 2, 3). Los ángulos θ12, θ13 y θ23 puedenhacerse yacer todos en el primer cuadrante, mediante una redefinición apropiada delas fases de los campos de los quarks. De este modo, cij ≥ 0 , sij ≥ 0 y 0 ≤ δ13 ≤ 2π .

Nótese que δ13 es la única fase compleja del lagrangiano del SM. Por ello, es laúnica fuente posible de violación de CP. De hecho, fue por esta razón que se supuso


existía una tercera generación, antes del descubrimiento del bottom y el τ. Con sólodos generaciones, el SM no podría explicar la violación de CP en el sistema de kaones,por ejemplo.

Experimentalmente se tiene acceso sólo a los módulos de Vij. En la tabla 1.3 sepresentan los valores que se han podido determinar directamente. El resto se obtienenutilizando la unitariedad de la matriz.

Tabla 1.3: Determinaciones directas de elementos de matriz CKM Vij. Extraído de [11].

CKM Valor Fuente

|Vud| 0.9740± 0.0005 Desintegración β nuclear

0.9729± 0.0012 n→ p e−νe

0.9749± 0.0026 π+ → π0 e+νe

0.9739± 0.0005 promedio

|Vus| 0.2220± 0.0025 K→ πe+νe

0.2199± 0.0026 Desintegraciones de hiperones

0.2208± 0.0034 Desintegraciones de τ

0.2219± 0.0025 K+/π+ → µ+νµ y retículo

0.2212± 0.0025 promedio

|Vcd| 0.224± 0.012 ν d→ c X

|Vcs| 0.97± 0.11 W+ → cs

0.975± 0.013 W+ → had. , Vuj , Vcd , Vcb

|Vcb| 0.0414± 0.0021 B→ D∗ℓνℓ

0.0410± 0.0015 b→ c ℓ νℓ

0.0411± 0.0015 promedio

|Vub| 0.0033± 0.0006 B→ ρ ℓ νl, π ℓ νℓ

0.0047± 0.0009 b→ u ℓ νℓ

0.0037± 0.0005 promedio

|Vtb| /√

∑q |Vtq|2 0.97 +0.16−0.12 t→ b W/q W

δ13 60 ± 14 sistemas K y B

1.3 Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos

Hemos visto que si los neutrinos no tuvieran masa (o si todos tuvieran la mismamasa aunque no fuera nula) no habría mezcla de sabores en el sector leptónico, seconservaría el sabor leptónico: el número de electrones, el de muones y el de taus.

1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 17

Sin embargo, debido el fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, sabemos que losneutrinos no están degenerados en masa. Podrían entonces darse procesos tales comoµ→ eγ, y otros parecidos, que estudiaremos en otro capítulo. En éste nos centraremosen qué son las oscilaciones, en qué experimentos se han observado y qué informaciónnos aportan sobre las masas de los neutrinos y la matriz de mezcla de los leptones.Previamente necesitamos introducir el concepto de fermión de Majorana.

1.3.1 Fermiones de Dirac y de Majorana

A diferencia de los quarks y los leptones cargados, los neutrinos pueden ser su propiaantipartícula (fermiones de Majorana), porque todas sus cargas son nulas. Esto abrela posibilidad de que neutrinos y antineutrinos se mezclen, enriqueciendo aún más lamezcla de sabores.

Recordemos que un fermión de Dirac es un campo (espinor) con cuatro componentesindependientes: dos estados de quiralidad (left y right) para los estados de partícula yantipartícula:

ψL = PLψ , ψR = PRψ , ψcL ≡ (ψL)

c = PRψc , ψcR ≡ (ψR)

c = PLψc , (1.70)

donde ψc ≡ CψT = iγ2ψ∗ es el espinor conjugado (transformado bajo conjugación decarga) con C = iγ2γ0, ψ = ψ†γ0 y PR,L = 1

2(1± γ5).

Un fermion de Majorana tiene en cambio dos grados de libertad pues ψc ≡ η∗ψ:

ψL = ηψcR , ψR = ηψc

L , (1.71)

donde |η|2 = 1. Veremos que la fase η es proporcional a la CP-paridad, η = −iηCP.

Nótese que C† = CT = C−1 = −C y CγµC−1 = −γTµ . Veamos que la CP-paridad

de un campo de Majorana es ηCP = ±i:5

UCPψ(x)U†CP ≡ ηCPγ0ψ(xP) , donde x ≡ (x0,~x) , xP ≡ (x0,−~x) (1.72)

⇒ UCPψ∗(x)U†CP = η∗CPγ0Tψ∗(xP) , pues (γ0ψ)∗ = (ψ†γ0)

T = γ0Tψ∗ (1.73)

⇒ UCPCψT(x)U†CP = η∗CPCγ0TψT(xP) , pues ψT = (ψ†γ0)T = γ0Tψ∗ (1.74)

⇒ UCPCψT(x)U†CP = −η∗CPγ0CψT(xP) , pues Cγ0TC−1 = −γ0 (1.75)

⇒ UCPψc(x)U†CP = −η∗CPγ0ψc(xP) . (1.76)

Comparando la primera y la última igualdad y utilizando que ψ = ηψc:

ηCP = −η∗CP ⇒ ηCP = ±i q.e.d. (1.77)

Veamos que hay tres tipos de términos de masa podemos construir a partir de

5 Los operadores sobre el espacio de Dirac (ej. C) conmutan con los que actúan sobre el espacio deFock (ej. UCP).


todos los bilineales escalares posibles:

ψLψR = ψcRψc

L, ψRψL = ψcLψc

R (∆F = 0)

ψLψcL, ψc

LψL

ψRψcR, ψc

RψR

(|∆F| = 2)

(1.78)

El término de masa tipo Dirac conecta componentes L y R del mismo campo,

−LD = mDψRψL + h.c. (1.79)

Los de tipo Majorana conectan componentes L y R de campos conjugados,

−LM =12

mLψcLψL +

12

mRψcRψR + h.c. . (1.80)

Nótese que ψc = ψTC.

Vemos que el término de masa de Dirac conserva el número fermiónico (∆F = 0)mientras que los de Majorana lo violan en dos unidades (|∆F| = 2). En general, ambostipos de términos pueden estar presentes y entonces

−LDM = mDψRψL +12

mLψcLψL +

12

mRψcRψR + h.c. . (1.81)

Conviene introducir un doblete de campos de Majorana autoconjugados (χ0ci = χ0

i ):

χ0 =

(χ0

1

χ02

)= χ0

L + χ0R , χ0

L =

(ψL

ψcR

), χ0

R = χ0cL =

(ψc

L

ψR

). (1.82)

Entonces

−LDM =12

χ0cL Mχ0

L + h.c. =12

χ0TL CMχ0

L + h.c. =12

χ0RMχ0

L + h.c. , (1.83)

donde M =

[mL mD

mD mR

].

La matriz M es cuadrada, simétrica (y real si se conserva CP). Puede diagonalizarsecon una matriz unitaria U (ortogonal U = O si se conserva CP) mediante:

UTMU =M = diag(m′1, m′2) , χ0L = UχL , χ0

R = χ0cL = U ∗χR . (1.84)

Para conseguir que los autovalores sean reales y positivos, la matriz U puede multi-plicarse por una matriz diagonal de fases complejas

√η:

U → U ≡ U√η , ηij = ηiδij, ηi ∈ R, (1.85)

que corresponde a elegir los campos físicos como

ξi = χiL + ηiχciL , (1.86)


de donde ξci = ηiξi. Comprobaremos que si se conserva CP las ηi son los signos de los

correspondientes autovalores m′i:

ηi = signo(m′i) , (1.87)

mi = ηim′i . (1.88)

Veamos ahora que si hay invariancia CP entonces: UCPξL(x)U†CP = iγ0CξL

T(xP).

Sea UCPξL(x)U†CP ≡ ργ0CξL

T(xP), donde ρ es una fase que vamos a determinar. Si

el lagrangiano LDM es invariante bajo CP entonces: UCPLDM(x)U†CP = LDM(xP). Por

tanto:

UCPξTL (x)CMξL(x)U†

CP = ξTL (xP)CMξL(xP) (1.89)

ξL(xP)ρMρCξLT(xP) = ξT

L (xP)CMξL(xP) (1.90)

⇒ ρMρ = −M† , pues C† = −C (1.91)

de donde ρ = ±i. Elegimos ρ = i. También obtenemos que M es real (M = M∗) pues essimétrica.

Veamos finalmente que si ξ = ηξc entonces la CP-paridad de ξ es ηCP = iη. Enefecto:

UCPξL(x)U†CP = U †UCPξ0

L(x)U†CP , pues ξL = U †ξ0

L ⇐ ξ0L = UξL (1.92)

= iU †γ0Cξ0L

T(xP) , pues UCPξ0

L(x)U†CP = iγ0Cξ0

L

T(xP) (1.93)

= iU †U ∗γ0CξLT(xP) , pues ξ0

L

T= U ∗ξL

T ⇐ ξ0L = UξL (1.94)

= iηγ0CξLT(xP) , pues U † =

√ηOT , U ∗ = O√η ⇐ U = O

√η∗ (1.95)

= iηγ0ξR(xP) . (1.96)

Por otro lado, tenemos que

UCPξ(x)U†CP ≡ ηCPγ0ξ(xP) (1.97)

⇒ UCPξL(x)U†CP = ηCPγ0ξR(xP) . (1.98)

Por tanto

ηCP = iη (1.99)

El fermión de Dirac como caso particular de dos de Majorana

Si los términos de masa de Majorana son mL = mR = 0 encontramos que

m′1 = −mD , m′2 = mD ,O =1√2

[1 1

−1 1

]. (1.100)


Los autoestados

χ1 =1√2(χ0

1 − χ02) ⇒ χ1L =

1√2(ψL − ψc

R) , χ1R = χc1L , (1.101)

χ2 =1√2(χ0

1 + χ02) ⇒ χ2L =

1√2(ψL + ψc

R) , χ2R = χc2L , (1.102)

deben ser reemplazados por los estados físicos

ξ1 = χ1L + η1χc1L [η1 = −1] , (1.103)

ξ2 = χ2L + η2χc2L [η2 = +1] , (1.104)

que tienen masa positiva,

−L =12

mD(−χ1χ1 + χ2χ2)

=12

mD(ξ1ξ1 + ξ2ξ2)

= mD(ψRψL + ψLψR) . (1.105)

Vemos que dos fermiones de Majorana de igual masa y CP-paridades opuestas formanun fermión de Dirac.

Nótese que la transformación que proporciona directamente los estados físicos esefectivamente

U = O√η = O[

i 0

0 1

]=

1√2

[i 1

−i 1

]. (1.106)

1.3.2 Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros?

Νν

Figura 1.9: Ilustración del mecanismo de seesaw.

En el SM con un doblete de Higgs es imposible construir un término de masasdel tipo νc

LνL que sea invariante gauge. Por tanto, necesariamente mL = 0. En cambio,un término del tipo νc

RνR (singlete) puede introducirse a mano sin romper la simetría.Consideremos por tanto la matriz de masas

M =

[0 mD

mD mR

](1.107)


que es diagonalizada por la matriz

O =

[cos θ sin θ

− sin θ cos θ

], tan 2θ =

2mD

mR, cos 2θ =

mR√m2

R + 4m2D

, (1.108)

dando los autovalores

m′1,2 =12

[mR ∓

√m2

R + 4m2D

]. (1.109)

En el caso de que mD ≪ mR, obtenemos un neutrino ligero (ν) y otro muy pesado(N) con CP-paridades opuestas y un pequeñísimo ángulo de mezcla (mecanismo deseesaw [12]) :

mν ≡ m1 ≈m2

DmR

, mN ≡ m2 ≈ mR ≫ mν , θ ≈√

mν/mN ≪ 1 , (1.110)

ν ≡ ξ1 ≈ νL + η1νcL [η1 = −1] , N ≡ ξ2 ≈ νc

R + η2νR [η2 = +1] . (1.111)

Sabemos que existen nG = 3 generaciones de neutrinos left [νiL (i = 1, . . . , nG)] ypuede haber un número arbitrario nR de campos right [νjR (j = 1, . . . , nR)]. La matrizde masas es entonces la matriz cuadrada, compleja y simétrica (nG + nR)× (nG + nR),

M =

[0 mD

T

mD mR

], con mD : nR × nG y mR : nR × nR . (1.112)

Así, si suponemos que mD es del orden de la escala electrodébil (∼ 200 GeV) y laescala a la que se violaría el número leptónico, es muy alta (del orden de la escala degran unificación, mR ∼ 1015 GeV) obtenemos nG = 3 neutrinos ligeros (νi) con masasmν ∼ (10−2− 10−1) eV, que es justamente el orden de magnitud correcto para explicarlas diminutas masas de los neutrinos que son compatibles con los experimentos de os-cilaciones, y nR extremadamente pesados (Nj) que jugarían un papel muy importantepara generar la asimetría bariónica del universo a partir de sus desintegraciones fueradel equilibrio (leptogénesis).

1.3.3 Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS

Si el mecanismo de seesaw fuera cierto, los neutrinos serían partículas de Majorana(νi = ηiν

ci , Nj = ηjNc

j ). Los tres autoestados de masa más ligeros νi (i = 1, 2, 3) corres-

ponderían a una mezcla de autoestados de interacción6 να (α = e, µ, τ), análoga a ladefinida en (1.65) para los quarks y los leptones cargados,

|να〉 = ∑i

Uαi|νi〉 , o bien |νi〉 = ∑α

U∗αi|να〉 (1.113)

6 Pondremos una letra griega como subíndice en vez de un superíndice I para indicar que se tratade autoestados de interacción. Los de masa tendrán como subíndice una letra latina.


νi

ℓj

W U∗

ji

ℓj

νi

W Uji

Figura 1.10: Transiciones que cambian el sabor leptónico a través de acoplamientos decorrientes cargadas con bosones W±.

con dos importantes diferencias: los campos ν contienen ambas quiralidades y la ma-triz U contiene dos fases físicas adicionales α1, α2 (fases de Majorana), que no pue-den ser absorbidas mediante redefinición de fases de los campos, ya que la relaciónνi = ηiν

ci lo impide. U se conoce como la matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata

(PMNS) [13]. En la parametrización estándar:

U =

Ue1 Ue2 Ue3

Uµ1 Uµ2 Uµ3

Uτ1 Uτ2 Uτ3

=

c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ13

−s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13 s23 c13

s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13

eiα1 0 0

0 eiα2 0

0 0 1

.

(1.114)

Obviamente los valores de estos parámetros han de determinarse experimentalmentey no tienen nada que ver con los del sector de quarks. Ésta es la matriz que apareceen la interacción de corrientes cargadas de leptones,

LCC =g

2√

2

Wµ

[

∑αi

ℓα γµ(1− γ5)Uαi νi

]+ h.c.

, (1.115)

en la base en la que los leptones cargados son diagonales (Fig. 1.10).

Veremos en seguida que los experimentos de oscilaciones de neutrinos no son sen-sibles a las fases de Majorana, y por tanto son incapaces de discenir si los neutrinosson partículas de Dirac o de Majorana. 7 Para ello se necesita un experimento que com-pruebe la conservación del número leptónico, violado por los términos de Majorana.

1.3.4 Oscilaciones de neutrinos

Se trata de un fenómeno mecano-cuántico debido a que los autoestados de masa |νi〉(de energía bien definida) no coinciden con los de interacción |να〉 (los que se producen

7 Excepto si existen nuevas interacciones de los neutrinos right, pues entonces se propagan de formadiferente en materia [14].


en una corriente cargada acompañando al leptón cargado ℓα = e, µ, τ),

|να〉 = ∑i

Uαi|νi〉 . (1.116)

La evolución temporal del estado inicial |να〉 viene dada por el operador evolucióntemporal, que es diagonal en la base de autoestados de masa:

t = 0 : |να(0)〉 = |να〉t : |να(t)〉 = ∑

ie−iEitUαi|νi〉 . (1.117)

En la práctica, los neutrinos son relativistas (mi ≪ Ei), así que t ≈ L (la distancia quehan recorrido desde que se produjeron) y, si se han producido con momento p ≈ E,

Ei =√

p2 + m2i ≈ p +

m2i

2p≈ p +

m2i

2E. (1.118)

Por tanto, al cabo de una distancia L el neutrino να puede oscilar a cualquier sabor νβ

con una probabilidad

P(να → νβ; L) = |〈νβ|να(L)〉|2 =

∣∣∣∣∣∑ij〈νj|U∗βje

−iEiLUαi|νi〉∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∑iU∗βiUαie

−iEiL

∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∑iU∗βiUαie

−im2i L/2E

∣∣∣∣∣

2

= ∑ij

UβjU∗αjU∗βiUαie

−i∆m2ijL/2E

= δαβ + 2 ∑i>j

Re(UβjU∗αjU∗βiUαi)[cos(∆m2

ijL/2E)− 1]

+2 ∑i>j

Im(UβjU∗αjU∗βiUαi) sin(∆m2

ijL/2E) . (1.119)

donde se ha usado 〈νj|νi〉 = δij, se ha definido ∆m2ij ≡ m2

i − m2j , se ha separado la

sumatoria en

∑ij

= ∑i=j

+∑i>j

+∑i<j

, (1.120)

y se ha utilizado la unitariedad de U que lleva a la igualdad:

∑i=j

(UβjU∗αjU∗βiUαi) = ∑

j(UβjU

∗αj)∑

i(U∗βiUαi)−∑

i 6=j(UβjU

∗αjU∗βiUαi)

= δαβ − 2 ∑i>j

Re(UβjU∗αjU∗βiUαi) . (1.121)

Finalmente, conviene escribir

P(να → νβ; L) = δαβ − 4 ∑i>j

Re(UβjU∗αjU∗βiUαi) sin2[1.27∆m2

ijL/E]

+2 ∑i>j

Im(UβjU∗αjU∗βiUαi) sin[2.54∆m2

ijL/E] , (1.122)


donde se ha introducido

∆m2ijL/4E ≈ 1.27∆m2

ij [eV2]L [km]

E [GeV]. (1.123)

Nótese que las fases de Majorana son irrelevantes y que

P(νβ → να; U) = P(να → νβ; U∗) (1.124)

de modo que si la invariancia CPT se satisface,

P(να → νβ) = P(νβ → να) (1.125)

tenemos que

P(να → νβ; U) = P(να → νβ; U∗) , (1.126)

y si CP se conserva entonces

P(να → νβ) = P(να → νβ) , (1.127)

de lo contrario, el último término de (1.122) expresa la violación de CP.

En la naturaleza parece haber tres sabores y, por tanto, dos diferencias de masas∆m2

21 ≪ ∆m232 ≃ ∆m2

31, que resultan ser muy distintas. Entonces,

P(να → νβ 6= να) ≈ Pcortaαβ + Plarga

αβ (1.128)

con

Pcortaαβ = 4U2

β3U2α3 sin2[1.27∆m2

32L/E] (1.129)

Plargaαβ = −4Uβ1Uα1Uβ2Uα2 sin2[1.27∆m2

21L/E] (1.130)

donde se han despreciado por simplicidad efectos de violación de CP y se ha usado launitariedad de U. Seleccionando el rango apropiado de L/E la oscilación es sensiblesólo a la componente corta o a la larga, con lo que ambos tipos de oscilaciones estándesacopladas y se pueden tratar como si de forma efectiva sólo hubiera mezcla de dossabores.

En el caso de oscilaciones entre dos sabores να y νβ, la matriz unitaria U se reducea

U =

[cos θ sin θ

− sin θ cos θ

], (1.131)

y las probabilidades de oscilación entre estos dos sabores son

P(να → να) = 1− sin2 2θ sin2[1.27∆m2L/E] , (1.132)

P(να → νβ 6= να) = sin2 2θ sin2[1.27∆m2L/E] . (1.133)


Tabla 1.4: Órdenes de magnitud de los valores de ∆m2 que pueden explorarse endistintos experimentos. SBL (LBL) significa short (long) baseline, respectivamente.

Experimento L [m] E [MeV] ∆m2 [eV2]

Reactores SBL 102 1 10−2

Reactores LBL 103 1 10−3

Aceleradores SBL 103 103 1

Aceleradores LBL 106 103 10−3

Atmosféricos 107 103 10−4

Solares 1011 1 10−11

Si ∆m2L/E ≫ 1 la probabilidad de transición es muy sensible a la distancia (piénseseen una fuente extensa, por ejemplo) y entonces resulta una probabilidad promediada,independiente de ∆m2,

P(να → να) = 1− 12

sin2 2θ , (1.134)

P(να → νβ 6= να) =12

sin2 2θ . (1.135)

En la Tabla 1.4 se ilustran los ∆m2 que pueden explorarse en distintos experimentos.

Cuando los neutrinos viajan en materia densa (atravesando el Sol, la Tierra o unasupernova, por ejemplo) interaccionan con el las partículas del medio de forma di-ferente según el sabor. Es lo que se denomina efecto Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein(MSW). Las probabilidades de transición anteriores se ven modificadas para acomodareste efecto, pero siguen dependiendo de diferencias de cuadrados de masas, siendotambién independientes de las fases de Majorana.

Experimentos de oscilaciones de neutrinos

Son sensibles generalmente a un rango determinado de energías (limitado por el sis-tema de detección). Existen esencialmente dos tipos de experimentos:

Experimentos de aparición: En los que se detectan sabor(es) νβ que no estaban pre-sentes en el haz de να inicial. Es decir, miden P(να → νβ).

Experimentos de desaparición: En los que se detectan menos να de los que se espera-ban procedentes del haz inicial: Es decir, miden P(να → να) = 1− P(να → νX).

Las fuentes de neutrinos son variadas, unos de origen natural y otros producidosen reacciones nucleares o en aceleradores de partículas:

Los neutrinos solares son νe y se producen en reacciones termonucleares: ciclospp (Fig. 1.11) y CNO (Fig. 1.12). El primero produce el 98 % de la energía queemite el Sol. Su flujo y su energía son variados (Fig. 1.13).


(pp)

p+ p !

2

H+ e

+

+

e

99.6%

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

(pep)

p+ e

+ p!

2

H+

e

0.4%

?

2

H+ p !

3

He+

85%

?

3

He+

3

He!

4

He + 2 p

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

XX

2 10

5

%

?

3

He+ p !

4

He+ e

+

+

e

(hep)

?

15%

3

He+

4

He!

7

Be +

99.87%

?

7

Be + e

!

7

Li +

e

(

7

Be)

?

7

Li + p ! 2

4

He

P

P

P

P

P

P

P

P

P

0.13%

?

7

Be + p !

8

B +

?

8

B!

8

Be

+ e

+

+

e

(

8

B)

?

8

Be

! 2

4

He

Figura 1.11: El ciclo pp.

12

C + p!

13

N+

-

13

N!

13

C + e

+

+

e

(

13

N)

?

12

C + p!

14

N+

?

14

N+ p!

15

O+

15

O!

15

N+ e

+

+

e

(

15

O)

6

15

N+ p !

12

C +

4

He

6

?

15

N+ p!

16

O+

?

16

O+ p!

17

F +

-

17

F!

17

O+ e

+

+

e

(

17

F)

6

17

O+ p!

14

N+

4

He

6

99:9%

0:1%

Figura 1.12: El ciclo CNO.


Figura 1.13: Flujo de neutrinos solares a una unidad astronómica de distancia.

Los atmosféricos son producidos por rayos cósmicos (p, núcleos, etc) en la at-mósfera terrestre:

rayo cósmico + nucleón→ π±(K±) + X

π±(K±)→ µ± + νµ(νµ)

µ± → e± + νe(νe) + νµ(νµ) . (1.136)

Por tanto, si no hubiera oscilaciones, uno esperaría el doble de νµ que de νe. Suenergía varía entre unos pocos MeV y 100 GeV. El baseline varía dependiendo delángulo cenital ϑ con que se observen:

L ≈ 15 km [ϑ = 0, downgoing]

L ≈ 13000 km [ϑ = 180, upgoing atravesando la Tierra] . (1.137)

Su flujo es aproximadamente de 100 m2sr−1s−1.

Otros neutrinos naturales son los producidos por supernovas (colapso estelar),

e− + p → n + νe

e− + e+ → νℓ + νℓ

n + p → n + p + νℓ , (1.138)

con energías típicas del orden de 10 MeV, y los producidos por Núcleos Galácti-cos Activos (AGN), del orden de 1 TeV.


En reactores nucleares se producen νe en la desintegración β de productos defisión inestables. Su flujo es del orden de 1020 s−1GW−1 y su energía del ordendel MeV. Los detectores se suelen situar a una distancia de la central nuclear delorden de 1 km.

Finalmente, en aceleradores de partículas se producen haces de neutrinos ha-ciendo colisionar protones de unos 100 GeV contra un blanco, lo que da lugar aνµ (de π±, K±) y νe,µ (de µ±), con una energía del orden del GeV.

Resultados

Todos los experimentos son consistentes con la oscilaciones entre tres sabores de neu-trinos. Los análisis implican 2 diferencias de masa, 3 ángulos de mezcla y 1 fase queviola CP. De las oscilaciones de neutrinos solares y atmosféricos se deduce que

∆m221 = ∆m2

⊙ ≪ ∆m2atm = |∆m2

31| ≃ |∆m232| . (1.139)

Hasta 2012 sólo ∆m221, |∆m2

31|, θ12 y θ23 estaban relativamente bien medidos, mientrasque de θ13 se conocía una cota superior y casi nada se sabía de la fase de CP δCP nidel signo de ∆m2

31. La situación ha cambiado drásticamente en el último año graciasa los datos de los experimentos de reactores Daya Bay, Reno y Double Chooz que,junto con la mejora en estadística de los experimentos de long baseline T2K y MINOS,han permitido la determinación clara de θ13. Véase [15]. En la Fig. 1.14 se muestran losresultados del fit global a las oscilaciones de 3ν. Los diferentes contornos correspondena regiones permitidas a 1σ, 90 %, 2σ, 99 % y 3σ CL. Se encuentran los siguientes rangosde valores (Fig. 1.14) [15]:

∆m221 = (7.50± 0.185)× 10−5 eV2 ,

∆m231 =

(2.47 +0.069

−0.067

)× 10−3 eV2 (jerarquía normal) ,

∆m232 =

(−2.43 +0.042

−0.065

)× 10−3 eV2 (jerarquía invertida) ,

θ12 = (33.3± 0.8) ,

θ23 =(

40.0 +2.1−1.5

)⊕(

50.4 +1.2−1.3

),

θ13 =(

8.6 +0.44−0.46

),

δCP =(

300 +66−138

). (1.140)

Los experimentos actuales son prácticamente insensibles a la fase de CP. Nóteseque la mezcla entre νµ y ντ es (compatible con) máxima, la de νe y νµ es casi máximay la de νe y ντ es muy pequeña. Por tanto nuestro conocimiento actual de la matriz dePMNS es

|U|3σ =

0.795→ 0.846 0.513→ 0.585 0.126→ 0.178

0.205→ 0.543 0.416→ 0.730 0.579→ 0.808

0.215→ 0.548 0.409→ 0.725 0.567→ 0.800

. (1.141)


Figura 1.14: Fit global a las oscilaciones de 3ν. Los diferentes contornos correspondena regiones permitidas a 1σ, 90 %, 2σ, 99 % y 3σ CL. Extraído de [15].


m2

0

solar~7.6×10–5eV2

atmospheric

~2.5×10–3eV2

atmospheric

~2.5×10–3eV2

m12

m22

m32

m2

0

m22

m12

m32

νe

νµ

ντ

? ?

solar~7.6×10–5eV2

Figura 1.15: Espectro de masas normal (izquierda) e invertido (derecha) que es consis-tente con los experimentos. La fracción de νe, νµ y ντ de cada autoestado de masa seindica mediante disintas zonas rayadas.

En cuanto al espectro de masas de los neutrinos (Fig. 1.15), nótese que el fenómenode las oscilaciones no permite conocer más que diferencia de masas y por tanto no nosda información sobre la escala de las mismas. Por otro lado el signo de ∆m2

31 no seconoce todavía, así que el espectro podría ser normal (como el de la Figura) o invertido(intercambiando las dos masas inferiores con la superior) o incluso degenerado si el

neutrino más ligero tuviera una masa mucho mayor que√

∆m2atm ∼ 0.05 eV.

Tenemos acceso a los valores individuales de las masas (actualmente cotas supe-riores) a partir de otros tipos de experimentos. En particular, la no observación dedistorsión alguna en el punto final del espectro de electrones en la radiación β del tritioimpone [8]

√∑

im2

i |Uei|2 < 2 eV. (1.142)

Finalmente de los datos de astrofísica y cosmología obtenemos información (depen-diente del modelo) sobre la suma de las masas de los neutrinos [16],

∑i

mi <∼ (0.36− 1.5) eV. (1.143)

1.3.5 Test de la violación del número leptónico: 0νββ

Se llama 0νββ al proceso (A, Z) → (A, Z + 2) + 2e−, en el que un núcleo con Anucleones, de los cuales Z son protones, se desintegra a otro núcleo con Z + 2 protonesemitiendo dos electrones. Este proceso viola claramente la conservación del número


Figura 1.16: El mecanismo dominante para 0νββ. Se necesita que νi = νi.

leptónico (véase Fig. 1.16) y compite con el proceso doble beta estándar en el queademás se emiten dos antineutrinos, (A, Z) → (A, Z + 2) + 2e− + 2νe, el cual estácinemáticamente más suprimido por disponer de menor espacio fásico. La amplitudde 0νββ es proporcional a la masa de Majorana efectiva,

〈m〉 ≡∑i

miU2ei. (1.144)

Hay varios grupos experimentales intentando medir este proceso, pero de momentosin resultados concluyentes. Dado el rango de parámetros acotados por los experimen-tos de oscilaciones, ∆m2

21, ∆m231, θ12, θ23 y θ13, y las fases de CP de Dirac y de Majorana,

pueden hallarse las regiones permitidas para 〈m〉 en función de min(mj) suponiendoun espectro de neutrinos jerárquico normal (NH), invertido (IH) o cuasi-degenerado(QD), según se muestra en la Fig. 1.17 (véase [8]).

Figura 1.17: Masa de Majorana efectiva 〈m〉 en función de min(mj) (incluyendo unaincertidumbre de 2σ) compatible con de los experimentos de oscilaciones. Las fases deMajorana se varían en el intervalo [0, π] y la de Dirac se ha tomado cero. Las bandasverdes y azules corresponden a combinaciones que conservan CP y las rojas son zonasdonde se viola CP. (Extraída de [8]).


Capítulo 2

Observables

2.1 Sección eficaz

2.1.1 ¿Qué significa?

Haz

Blanco

NH

NB

A

vt

v

Figura 2.1: Un blanco con NB partículas es bombardeado por un haz de NH partículasde velocidad v.

La sección eficaz σ es el área efectiva de una partícula (blanco) vista por un pro-yectil (en el haz incidente). Supongamos que en el blanco hay NB partículas y que lasuperficie de colisión es A. Entonces,

Probabilidad de colisión =NBσ

A. (2.1)

Si en el haz hay NH partículas, entonces

(# sucesos) = NHNBσ

A⇒ σ =

(# sucesos)NHNB

A . (2.2)

En la práctica, el haz está formado por una nube de partículas de densidad ρ que

33

34 Capítulo 2: Observables

se mueve con velocidad v, así que

NH = ρvtA ⇒ σ =(# sucesos)

ρvtANBA =

(# sucesos)ρv tNB

=probabilidad de transición por unidad de t

flujo incidente, (2.3)

donde

probabilidad de transiciónpor unidad de t = (# sucesos) por unidad de t y por cada dispersor ,

flujo incidente = ρv .

2.1.2 Probabilidad de transición y matriz S

p3,

m3

pn+2

, mn+2

.

.

.

p1, m

1

p2, m

2

Figura 2.2: Scattering de dos partículas yendo a n en el estado final.

Sean los estados inicial (antes) y final (después) de la colisión:

|i〉 ≡ |p1p2〉 ,

| f 〉 ≡ |p3p4 . . . pn+2〉 , (2.4)

y sea pi (p f ) la suma de los cuadri-momentos inciales (finales), respectivamente.

La matriz S conecta los estados asintóticos in (t→ −∞) y out (t→ ∞),

out〈 f |i〉in ≡ S f i = 〈 f |S|i〉 ≡ δi f + i(2π)4δ4(pi − p f )T f i . (2.5)

S es unitaria,∫ ∣∣S f i

∣∣2 dN f = 1. Por tanto, la probabilidad de transición a | f 〉 6= |i〉 es

∣∣S f i∣∣2 dN f = (2π)8δ4(pi − p f )δ

4(0)|T f i|2dN f

= (2π)4δ4(pi − p f )VT|T f i|2dN f , (2.6)

donde hemos usado que

δ4(p) =∫ d4x

(2π)4 e−ip·x ⇒ (2π)4δ4(0) = VT . (2.7)

VT es un cuadri-volumen infinito que no aparecerá en la magnitud observable. Laprobabilidad de transición por unidad de tiempo será:

probabilidad de transición =

∣∣S f i∣∣2 dN f

T= (2π)4δ4(pi − p f )|T f i|2VdN f . (2.8)

2.1. Sección eficaz 35

Calcularemos ahora dN f . Primero hemos de recordar cómo se define el estado deuna partícula de momento p:

|p〉 =√

2Epa†p|0〉 , (2.9)

donde el operador a†p (ap) crea (aniquila) una partícula de momento p. Estos operado-

res verifican la regla de conmutación:

[aq, a†p] = (2π)3δ3(p− q) , (2.10)

El factor√

2Ep es necesario para que

〈q|p〉 = 2Ep(2π)3δ3(p− q) (2.11)

sea invariante Lorentz. En efecto, hagamos un boost β de p en la dirección del eje z.Entonces,

δ3(p′ − q′) =δ3(p− q)

γ(β dEdp3

+ 1)=

Eδ3(p− q)γ(βp3 + E)

=EE′

δ3(p− q)

⇒ Ep′δ3(p′ − q′) = Epδ3(p− q) . (2.12)

En el primer paso se ha usado

δ( f (x)− f (x0)) =δ(x− x0)∣∣∣d f

dx (x = x0)∣∣∣

, f (x) = p′3(p3) = γ(βE + p3) , (2.13)

en el segundo,

dEdp3

=p3

E, pues E =

√m2 + |p|2 , (2.14)

y en el tercero,

E′ = γ(E + βp3) . (2.15)

Así el operador unidad sobre estados de un partícula es

1 =∫ d3p

(2π)32Ep|p〉〈p| . (2.16)

En efecto:

1|q〉 =∫ d3p

(2π)32Ep|p〉〈p|q〉 =

∫ d3p(2π)32Ep

|p〉(2π)32Epδ3(p− q) = |q〉 . (2.17)

Con esta normalización y usando que

δ3(p) =∫ d3x

(2π)3 e−ip·x ⇒ (2π)3δ3(0) = V , (2.18)


tenemos que

〈p|p〉 = (2π)32Epδ3(0) = 2EpV , (2.19)

que podemos interpretar como la probabilidad de encontrar una partícula con momen-to entre p y p + dp. Entonces, el número de estados de una partícula con momentosentre p y p + dp será

dN = 〈p|p〉 d3p(2π)32Ep

=Vd3p(2π)3 . (2.20)

Finalmente, el número de estados de n partículas del estado final con momentos entrepi y pi + dpi será

dN f =n+2

∏i=3

Vd3pi

(2π)3 . (2.21)

A partir de (2.8) y (2.21) concluimos que

probabilidad de transición = (2π)4δ4(pi − p f )|T f i|2Vn+2

∏i=3

Vd3pi

(2π)3 . (2.22)

2.1.3 Flujo incidente

Consideremos un haz de densidad igual a una partícula por unidad de volumen:

ρ =1V

. (2.23)

El flujo incidente será entonces

ρv = ρ|v1 − v2| =1V

∣∣∣∣p1

E1− p2

E2

∣∣∣∣ =|E2p1 − E1p2|

VE1E2. (2.24)

Para un sistema colineal (p1||p2) es fácil comprobar que

|E2p1 − E1p2| = ( p1 · p2)2 −m2

1m221/2 , (2.25)

así que

ρv =( p1 · p2)

2 −m21m2

21/2

VE1E2. (2.26)

2.1.4 Fórmula final

Usando (2.22) y (2.3) la sección eficaz (2.3) queda

dσ =(2π)4δ4(pi − p f )|T f i|2

4 ( p1 · p2)2 −m21m2

21/22E12E2V2

n+2

∏i=3

Vd3pi

(2π)3 . (2.27)

2.1. Sección eficaz 37

Definiendo la amplitud invariante de scattering M f i (directamente relacionada conlas reglas de Feynman) como

M f i ≡n+2

∏i=1

(2EiV)1/2T f i (2.28)

tenemos finalmente

dσ =1

4 ( p1 · p2)2 −m21m2

21/2|M f i|2(2π)4δ4(pi − p f )

n+2

∏j=3

d3pj

(2π)32Ej. (2.29)

Si hay ki partículas idénticas de la especie i en el estado final la sección eficaz total,tras integrar sobre el espacio fásico, debe dividirse por el factor de simetría

S = ∏i

ki! . (2.30)

Si el estado incial no está polarizado y/o la polarización del estado final no semide debe promediarse sobre las polarizaciones iniciales y/o sumarse sobre las finales,respectivamente.

2.1.5 Caso 2→ 2 en el sistema centro de masas

p1, m

1

p2, m

2

p3, m

3

p4, m

4

Figura 2.3: Scattering de dos partículas yendo a dos en el estado final.

Consideremos el caso de un estado inicial i = 1, 2 a uno final f = 3, 4 en elsistema centro de masas (CM). Entonces la integral sobre el espacio fásico se reduce a

∫dΦ2 ≡ (2π)4

∫δ4(p1 + p2 − p3 − p4)

d3p3

(2π)32E3

d3p4

(2π)32E4

=∫

δ(ECM − E3 − E4)d3p3

(2π)22E32E4

=∫ |p|2dΩ

(2π)24E3E4

E3E4

|p|(E3 + E4)

=∫ |p|dΩ

16π2ECM, (2.31)


donde se ha usado:

d3p3 ≡ |p3|2d|p3|dΩ (2.32)

δ(ECM − E3 − E4) = δ( f (|p3|)) =δ(|p3| − |p|)| f ′(|p3| = |p|)|

(2.33)

f ′(|p3|) =∂ f∂E3

∂E3

∂|p3|+

∂ f∂E4

∂E4

∂|p3|=|p3|E3

+|p3|E4

= |p3|(

E3 + E4

E3E4

)(2.34)

E3 =√

m23 + |p3|2 (2.35)

E4 =√

m24 + |p1 + p2 − p3|2 . (2.36)

El factor de flujo se simplifica si las partículas que colisionan tienen la misma masam ≡ m1 = m2, pues entonces

p1 ≡ (E, q) , p2 = (E,−q) , 2E = ECM ,

4 ( p1 · p2)2 −m2

1m221/2 = 4ECM|q| . (2.37)

En este caso

dσ

dΩ(1, 2→ 3, 4) =

164π2E2

CM

|p||q| |M f i|2 . (2.38)

2.2 Anchura de desintegración

p1, m

1

p2, m

2

P, M

Figura 2.4: Desintegración a dos partículas.

El ritmo de desintegración (anchura) de una partícula de masa M a n partículasfinales viene dado, en su sistema de referencia en reposo, por

dΓ(i → f ) =1

2M|M f i|2(2π)4δ4(P− p f )

n

∏i=1

d3pi

(2π)32Ei. (2.39)

La expresión es análoga a (2.29) cambiando el factor 4(p1 · p2)−m2

1m22

1/2 por 2M.Se obtiene tomando como flujo ρv = 1.

En el caso de n = 2 partículas en el estado final, basta aplicar el resultado de (2.31)con ECM = M:

dΓ

dΩ(i → 1, 2) =

132π2

|p|M2 |M f i|2 . (2.40)

2.2. Anchura de desintegración 39

Nótese que en este caso las masas M, m1 y m2 determinan completamente la energíay los momentos finales:

E1 =M2 −m2

2 + m21

2M, E2 =

M2 −m21 + m2

22M

,

|p| ≡ |p1| = |p2| =[M2 − (m1 + m2)

2][M2 − (m1 −m2)2]1/2

2M. (2.41)

La anchura total se obtiene sumando las anchuras parciales a todos los canales dedesintegración. Su inversa es la vida media de la partícula,

τ = Γ−1 . (2.42)

Nota sobre las dimensiones de las distintas magnitudes utilizadas:

S f i = δi f + i(2π)4δ4(p f − pi)T f i ⇒ [S f i] = [energía]0 , [T f i] = [energía]4

M f i =ni+n

∏j=1

(2EjV)1/2T f i ⇒ [M f i] = [energía]4−ni−n

dΦn = (2π)4δ4(pi − p f )n+2

∏j=2

d3pj

(2π)32Ej⇒ [dΦn] = [energía]−4+2n

dσ(ni = 2→ n) =|M f i|2dΦn

4 ( p1 · p2)2 −m21m2

21/2⇒ [energía]−2

dΓ(ni = 1→ n) =1

2M|M f i|2dΦn ⇒ [energía]

Resultan convenientes los factores de conversión:

h = 6.582× 10−22 MeV s (2.43)

(hc)2 = 0.389 GeV2 mbarn (2.44)

que son fáciles de recordar a partir de:

1 ≡ hc ≈ 200 MeV fm , c ≈ 3× 108 m/s , 1 fm = 10−15 m , 1 barn ≡ 10−24 cm2.


Capítulo 3

Reglas de Feynman

3.1 Reglas generales

Para el cálculo de funciones de Green o de amplitudes invariantes de scatteringM f i.

1. Dibujar todos los diagramas conectados y topológicamente distintos en el ordendeseado de teoría de perturbaciones.

En cada diagrama:

2. Asociar momentos externos a todas las líneas externas y L momentos internosa los L loops. Determinar los momentos de las líneas internas de modo que elcuadri-momento se conserve en cada vértice.

3. Asignar un propagador a cada línea interna:

[bosón escalar]i

p2 −m2 + iǫ(3.1)

[fermión spin 1/2]i(/p + m)

p2 −m2 + iǫ(3.2)

µ ν [bosón vectorial]−i

p2 −m2 + iǫ

[gµν +

(ξ − 1)pµ pν

(p2 − ξm2)

](Rξ)(3.3)

(ξ = 1: gauge ’t Hooft-Feynman; ξ = 0: gauge de Landau; ξ = ∞: gauge unitario)

4. A cada vértice asignar un peso compuesto por los siguientes factores:

a) La constante de acoplamiento que aparezca en iLint.

b) Por cada derivada de un campo φ cualquiera ∂µφ asociar (−ipµ) donde p esel correspondiente momento entrante.

c) Un factor proviniente de la degeneración de partículas idénticas en cadavértice. (Por ejemplo, ×2 para ZZH, ×4 para ZZHH.)

41

42 Capítulo 3: Reglas de Feynman

Los vértices genéricos más frecuentes y los vértices del SM se listan más abajo.

5. Por cada momento interno q no fijado por la conservación de momento en cadavértice (loops), introducir un factor

∫ d4q(2π)4

e integrar, (si es necesario) después de regularizar.

6. Multiplicar la contribución de cada diagrama por:

a) Un factor (−1) entre diagramas que difieren entre sí solo por el intercambiode dos fermiones externos idénticos. (Por ejemplo, los dos diagramas delscattering de Møller, e−e− → e−e−, o los dos del scattering de Bhabha,e+e− → e+e−, a nivel árbol.)

b) Un factor de simetría 1/S donde S el número de permutaciones de líneasinternas y vértices que deja invariante el diagrama si las líneas externaspermanecen fijadas.

c) Un factor (−1) por cada loop fermiónico.

7. Para obtener iM f i, poner las líneas externas sobre su capa de masas, es decirp2

i = m2i . Poner por cada línea fermiónica externa un espinor: u(p) [o v(p)] para

fermiones [o antifermiones] entrantes con momento p; u(p) [o v(p)] para fermio-nes [o antifermiones] salientes con momento p. Poner vectores de polarizaciónεµ(p, λ) [o ε∗µ(p, λ)] para bosones vectoriales entrantes [o salientes] con momen-to p.

u(p)

u(p)

v(p)

v(p)

p

εµ(p)

ε∗µ(p)

3.2 Algunos vértices genéricos

Consideremos el siguiente lagrangiano de interacción (hermítico) que contiene las in-teracciones entre campos escalares, fermiónicos y vectoriales más habituales, con aco-plamientos genéricos:

L = e Vµψiγµ(gV − gAγ5)ψj +

e φψi(gS − gPγ5)ψj + e KφVµV ′µ + h.c.

+ie GVµφ†i←→∂µ φj − ie J

(WµνW†

µVν −W†µνWµVν −W†

µWνVµν)

, (3.4)

donde φ†←→∂µ φ ≡ φ†∂µφ− (∂µφ†)φ.

3.3. Vértices del Modelo Estándar 43

Las reglas de Feynman para los correspondientes vértices, con todos los momentosentrantes, e ignorando posibles factores de degeneración de partículas idénticas, sonentonces:

[VµFF]: ieγµ(gV − gAγ5) = ieγµ(gLPL + gRPR)

[SFF]: ie(gS − gPγ5) = ie(cLPL + cRPR)

[SVµVν]: ieKgµν

[VµS(p1)S(p2)]: ieG(p1 − p2)µ

[Vµ(k1)Vν(k2)Vρ(k3)]: ieJ[gµν(k2 − k1)ρ + gνρ(k3 − k2)µ + gµρ(k1 − k3)ν

]

3.3 Vértices del Modelo Estándar

Los acoplamientos genéricos anteriores toman los siguientes valores en el SM.1 Intro-ducimos las abreviaturas: sW ≡ sin θW y cW ≡ cos θW .

VFF γ fi f j Z fi f j W+uidj W−djui W+νiℓj W− ℓjνi

gL −Q f δij g f+δij

1√2sW

Vij1√2sW

V∗ij1√2sW

U∗ji1√2sW

Uji

gR −Q f δij g f−δij 0 0 0 0

donde gL,R ≡ gV ± gA y g f± ≡ v f ± a f con v f = (T fL

3 − 2Q f s2W)/(2sW cW) y a f =

T fL3 /(2sWcW). En el viejo SM los neutrinos no tienen masa, y entonces Uij = δij.

SFF H fi f j χ fi f j φ+uidj φ−djui

cL − 12sW

m fi

MWδij −

i2sW

2T fL3

m fi

MWδij +

1√2sW

mui

MWVij −

1√2sW

mdj

MWV∗ij

cR − 12sW

m fi

MWδij +

i2sW

2T fL3

m fi

MWδij −

1√2sW

mdj

MWVij +

1√2sW

muj

MWV∗ij

SFF φ+νiℓj φ− ℓjνi

cL +1√2sW

mνi

MWU∗ji −

1√2sW

mℓj

MWUji

cR − 1√2sW

mℓj

MWU∗ji +

1√2sW

mνi

MWUji

donde cL,R ≡ gS ± gP. En el viejo SM mνi = 0 y Uij = δij.

1Se han incluido los bosones de Goldstone φ± y χ pues es necesario tenerlos en cuenta si no setrabaja en el gauge unitario. Éstos corresponden a parametrizar las excitaciones sobre el vacío como

Φ(x) =

φ+(x)1√2[v + H(x) + iχ(x)]

, φ−(x) = [φ+(x)]† .

44 Capítulo 3: Reglas de Feynman

SVV HZZ HW+W− φ±W∓γ φ±W∓Z

K MW/sWc2W MW/sW −MW −MWsW/cW

VSS ZχH γφ±φ∓ Zφ±φ∓ W±φ∓H W±φ∓χ

G − i2sWcW

∓1 ± c2W − s2

W2sWcW

∓ 12sW

− i2sW

VVV γW+W− ZW+W−

J −1 cW/sW

Por completitud, listamos a continuación las reglas de Feynman para los demásvértices que aparecen en el SM, en el gauge unitario.2

[SSS]: ieC3

[SSSS]: ie2C4

[SSVµVν]: ie2C2gµν

[Vµ(k1)Vν(k2)Vρ(k3)Vσ(k4)]: ie2C[2gµνgρσ − gµρgνσ − gµσgνρ

]

Son las siguientes:

SSS HHH

C3 − 3M2H

2MWsW

SSSS HHHH

C4 − 3M2H

4M2Ws2

W

SSVV HHW−W+ HHZZ

C21

2s2W

12s2

Wc2W

VVVV W+W+W−W− W+W−ZZ W+W−γZ W+W−γγ

C1

s2W

− c2W

s2W

cW

sW−1

2En un gauge más general hay también vértices con bosones de Goldstone en [SSS], [SSSS] y [SSVV],así como nuevas interacciones con los campos fantasma de Faddeev-Popov de tipo [SUU] y [UUV].

Capítulo 4

Cálculo de correcciones cuánticas a unloop

4.1 Estructura de las amplitudes a un loop

Consideremos el diagrama genérico a un loop con N patas externas de la Fig. 4.1,

q + kN−1

q + k1

q

p1

pN pN−1

p2

m1

mN−1

m0

Figura 4.1: Esquema de un diagrama genérico a un loop.

donde

k1 = p1, k2 = p1 + p2, . . . kN−1 =N−1

∑i=1

pi (4.1)

Este diagrama contiene en general integrales del tipo

i16π2 TN

µ1...µP≡ µ4−D

∫ dDq(2π)D

qµ1 · · · qµP

[q2 −m20][(q + k1)2 −m2

1] · · · [(q + kN−1)2 −m2N−1]

.(4.2)

Nótese que las integrales son simétricas bajo permutaciones de los índices de Lorentz.La integración en D dimensiones es propia de regularización dimensional. La escala µ seintroduce para que la integral tenga las dimensiones correctas.

45

46 Capítulo 4: Cálculo de correcciones cuánticas a un loop

P es el número de q’s en el numerador y determina la estructura tensorial de laintegral (escalar si P = 0, vectorial si P = 1, etc.). Nótese que P ≤ N. Habitualmentese usa la notación A para T1, B para T2, etc. Por ejemplo, las integrales escalaresson A0, B0, etc. Las integrales tensoriales pueden descomponerse en una combinaciónlineal de los tensores covariantes Lorentz que puedan construirse con el tensor métricogµν y un conjunto linealmente independiente de momentos [17]. La elección de la baseno es única. Usaremos la base formada por gµν y los momentos ki [18], que presentala ventaja de que los coeficientes tensoriales son totalmente simétricos en sus índices.Esta base es la empleada por el paquete informático LoopTools [19].

Nos centraremos en la descomposición de las siguientes integrales tensoriales:1

Bµ = k1µB1 , (4.3)

Bµν = gµνB00 + k1µk1νB11 , (4.4)

Cµ = k1µC1 + k2µC2 (4.5)

Cµν = gµνC00 +2

∑i,j=1

kiµkjνCij . (4.6)

Veremos que las integrales escalares A0 y B0 y los coeficientes de las integralestensoriales B1, B00, B11 y C00 son divergentes en D = 4 dimensiones (divergenciaultravioleta, equivalente a tomar un corte Λ→ ∞ en q).

Es posible expresar cada uno de esos coeficientes en términos de integrales escala-res (reducción tensorial [18]), pero aquí no lo haremos.

4.2 Cálculo explícito de las integrales

4.2.1 Ingredientes básicos

La función Gamma de Euler. Verfica la relación de recurrencia:

Γ(x + 1) = nΓ(x) . (4.7)

El desarrollo en serie de Taylor en torno a sus polos (x = 0,−1,−2, . . . ) es:

x = 0 : Γ(x) =1x− γ +O(x), (4.8)

x = −n : Γ(x) =(−1)n

n!(x + n)− γ + 1 + · · ·+ 1

n+O(x + n), (4.9)

donde γ ≈ 0.5772 . . . es la constante de Euler-Mascheroni.

Parámetros de Feynman.

1a1a2 · · · an

=∫ 1

0dx1 · · ·dxn δ

(n

∑i=1

xi − 1

)(n− 1)!

[x1a1 + x2a2 + · · · xnan]n(4.10)

1No haremos tampoco la descomposición de Cµνρ pues no la necesitaremos en este curso.

4.2. Cálculo explícito de las integrales 47

Integrales en D dimensiones. Es fácil comprobar que, si ǫ→ 0+:∫ dDq

(2π)D1

(q2 − ∆ + iǫ)n =(−1)ni(4π)D/2

Γ(n− D/2)Γ(n)

(1∆

)n−D/2

(4.11)

∫ dDq(2π)D

q2

(q2 − ∆ + iǫ)n =(−1)n−1i(4π)D/2

D2

Γ(n− D/2− 1)Γ(n)

(1∆

)n−D/2−1

(4.12)

En efecto. Hagamos la integral (4.11) en el espacio euclídeo, q0 = iq0E, q = qE, q2 =

−q2E,

∫ dDq(2π)D

1(q2 − ∆ + iǫ)n = i(−1)n

∫ dDqE

(2π)D1

(q2E + ∆)n

(4.13)

que es equivalente a rotar el contorno de integración (Fig. 4.2) en el plano complejo deq0 un ángulo de 90 (rotación de Wick). En adelante omitiremos el ‘iǫ’ de los propaga-dores, que no debe confundirse con ǫ ≡ 4− D.

Im q0

Re q0

+√δ − i

ǫ

2√δ

−√δ + i

ǫ

2√δ

90

δ = q2 +∆

Figura 4.2: Ilustración de la rotación de Wick.

Esta integral es resoluble en coordenadas esféricas en D dimensiones:∫ dDqE

(2π)D1

(q2E + ∆)n

=∫

dΩD

∫ ∞

0dqEqD−1

E1

(q2E + ∆)n

≡ IA × IB (4.14)

donde

IA =∫

dΩD =2πD/2

Γ(D/2)(4.15)

pues (√

π)D =

(∫ ∞

−∞dx e−x2

)D

=∫

dDx e−∑Di=1 x2

i =∫

dΩD

∫ ∞

0dx xD−1e−x2

=

(∫dΩD

)12

∫ ∞

0dt tD/2−1e−t =

(∫dΩD

)12

Γ(D/2) (4.16)

y haciendo un par de cambios de variables: t = q2E, z = ∆/(t + ∆), tenemos

IB =12

(1∆

)n−D/2 ∫ 1

0dz zn−D/2−1(1− z)D/2−1 =

12

(1∆

)n−D/2Γ(n− D/2)Γ(D/2)

Γ(n)(4.17)

usando la función Beta de Euler, B(α, β) =∫ 1

0dz zα−1(1− z)β−1 =

Γ(α)Γ(β)

Γ(α + β).

La integral (4.12) se obtiene sustituyendo q2 = (q2 − ∆) + ∆ y usando (4.11).


4.2.2 Funciones de dos puntos

m0

m1

q + k1

q

p p

Figura 4.3: Esquema de una función de dos puntos a un loop.

Consideremos ahora los diagramas con dos patas externas (Fig. 4.3),

i16π2 B0, Bµ, Bµν (args) = µ4−D

∫ dDq(2π)D

1, qµ, qµqν(q2 −m2

0

) [(q + p)2 −m2

1

] (4.18)

donde k1 = p. Las integrales dependerán de las masas m0, m1 y del invariante p2,

(args) = (p2; m20, m2

1). (4.19)

Utilizando los parámetros de Feynman,

1a1a2

=∫ 1

0dx

1

[a1x + a2(1− x)]2, (4.20)

se obtiene

i16π2 B0, Bµ, Bµν = µ4−D

∫ 1

0dx∫ dDq

(2π)D1, −Aµ, qµqν + Aµ Aν

(q2 − ∆2)2 (4.21)

con

∆2 = x2p2 + x(m21 −m2

0 − p2) + m20, (4.22)

donde se han identificado

a1 = (q + p)2 −m21, (4.23)

a2 = q2 −m20, (4.24)

y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfecto en eldenominador,

qµ → qµ − Aµ, Aµ = xpµ . (4.25)

Por tanto la función escalar es:

i16π2 B0 = µ4−D

∫ 1

0dx

∫ dDq(2π)D

1(q2 − ∆2)2 (4.26)

⇒ B0 = ∆ǫ −∫ 1

0dx ln

∆2

µ2 +O(ǫ) [D = 4− ǫ] (4.27)


donde ∆ǫ ≡2ǫ− γ + ln 4π y se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de Euler

en torno a x = 0 para D = 4− ǫ:

µ4−D iΓ(2− D/2)(4π)D/2

(1

∆2

)2−D/2

=i

16π2

(∆ǫ − ln

∆2

µ2

)+O(ǫ) (4.28)

ya que xǫ = expǫ ln x = 1 + ǫ ln x +O(ǫ2).

Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales (4.3,4.4) tenemos:

i16π2 Bµ = −µ4−D

∫ 1

0dx

∫ dDq(2π)D

Aµ

(q2 − ∆2)2 (4.29)

⇒ B1 = −12

∆ǫ +∫ 1

0dx x ln

∆2

µ2 +O(ǫ) [D = 4− ǫ] (4.30)

i16π2 Bµν = µ4−D

∫ 1

0dx∫ dDq

(2π)D(q2/D)gµν + Aµ Aν

(q2 − ∆2)2 (4.31)

⇒ B00 = − 112

(p2 − 3m20 − 3m2

1)(∆ǫ + 2γ− 1) +O(ǫ) [D = 4− ǫ] (4.32)

B11 =13

∆ǫ −∫ 1

0dx x2 ln

∆2

µ2 +O(ǫ) [D = 4− ǫ] (4.33)

donde se ha cambiado qµqν por (q2/D)gµν en el integrando y se ha desarrollado laGamma de Euler en torno a x = −1 para D = 4− ǫ:

−µ4−D iΓ(1− D/2)(4π)D/22Γ(2)

(1

∆2

)1−D/2

=i

16π212

∆2(∆ǫ + 2γ− 1) +O(ǫ) (4.34)

4.2.3 Funciones de tres puntos

m1

m2

m0

q + k2

q

q + k1

p1

p2 − p1

−p2

Figura 4.4: Esquema de una función de tres puntos a un loop.

Consideremos finalmente los diagramas con tres patas externas (Fig. 4.4),

i16π2 C0, Cµ, Cµν (args) = µ4−D

∫ dDq(2π)D

1, qµ, qµqν(q2 −m2

0

) [(q + p1)2 −m2

1

] [(q + p2)2 −m2

2

] ,

(4.35)


donde, por conveniencia, hemos elegido los momentos externos de forma que: k1 = p1,k2 = p2. Las integrales dependerán de las masas m0, m1, m2 y de los invariantes:

(args) = (p21, Q2, p2

2; m20, m2

1, m22), Q2 ≡ (p2 − p1)

2. (4.36)

Utilizando los parámetros de Feynman,

1a1a2a3

= 2∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

1

[a1x + a2y + a3(1− x− y)]3, (4.37)

se obtiene

i16π2 C0, Cµ, Cµν = 2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D1, −Aµ, qµqν + Aµ Aν

(q2 − ∆3)3 (4.38)

con

∆3 = x2p21 + y2p2

2 + xy(p21 + p2

2 − Q2) + x(m21 −m2

0 − p21) + y(m2

2 −m20 − p2

2) + m20,(4.39)

donde se han identificado

a1 = (q + p1)2 −m2

1, (4.40)

a2 = (q + p2)2 −m2

2, (4.41)

a3 = q2 −m20, (4.42)

y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfecto en eldenominador,

qµ → qµ − Aµ, Aµ = xpµ1 + ypµ

2 . (4.43)


Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales (4.5,4.6) tenemos:

i16π2 C0 = 2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D1

(q2 − ∆3)3 (4.44)

⇒ C0 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

1∆3

[D = 4] (4.45)

i16π2 Cµ = −2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)DAµ

(q2 − ∆3)3 (4.46)

⇒ C1 =∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

x∆3

[D = 4] (4.47)

C2 =∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

y∆3

[D = 4] (4.48)

i16π2 Cµν = 2µ4−D

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ dDq

(2π)D(q2/D)gµν + Aµ Aν

(q2 − ∆3)3 (4.49)

⇒ C11 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

x2

∆3[D = 4] (4.50)

C22 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

y2

∆3[D = 4] (4.51)

C12 = −∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy

xy∆3

[D = 4] (4.52)

C00 =14

∆ǫ −12

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy ln

∆3

µ2 +O(ǫ) [D = 4− ǫ] (4.53)

donde ∆ǫ ≡2ǫ− γ + ln 4π y se ha cambiado qµqν por (q2/D)gµν en el integrando.

En el cálculo de C00 se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de Euler entorno a x = 0 para D = 4− ǫ:

µ4−D iΓ(2− D/2)(4π)D/2Γ(3)

(1

∆3

)2−D/2

=i

16π212

(∆ǫ − ln

∆3

µ2

)+O(ǫ) . (4.54)

Nota sobre Diracología en D dimensiones. Hay que tener cuidado con las trazas dematrices de Dirac cuando se trabaja en D dimensiones (regularización dimensional),ya que

γµγν + γνγµ = 2gµν14×4, gµνgµν = Trgµν = D . (4.55)

Así, pueden demostrarse las siguientes identidades que involucran contracciones:

γµγµ = D (4.56)

γµγνγµ = −(D− 2)γν (4.57)

γµγνγργµ = 4gνρ − (4− D)γνγρ (4.58)

γµγνγργσγµ = −2γσγργν + (4− D)γνγργσ (4.59)


4.3 Algunos casos sencillos

1. Para el cálculo del momento dipolar magnético anómalo del electrón en QED,necesitaremos las siguientes funciones de tres puntos, evaluadas en:

p21 = p2

2 = m2 (electrones on-shell)

Q2 = 0 (fotón on-shell)

m0 = 0 (masa del fotón)

m1 = m2 = m (masa del electrón)

⇒ ∆3 = m2(x + y)2.

Las integrales básicas son entonces

C0 = divergente en el infrarrojo (no se necesita),

C1 = C2 =1

2m2 ,

C11 = C22 = 2 C12 = − 16m2 .

C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita),

donde C ≡ C(m2, 0, m2; 0, m2, m2).

2. Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a los momen-tos dipolares magnéticos se necesitan las siguientes funciones de tres puntos,evaluadas en:

p21 = p2

2 = 0 (se desprecian las masas de los fermiones externos)

Q2 = 0 (fotón on-shell)

m0 = M1 (masa de la partícula virtual no acoplada al fotón externo)

m1 = m2 = M2 (masa de las otras partículas virtuales)

⇒ ∆3 = (M22 −M2

1)(x + y) + M21.

Las integrales básicas son

C0 =1

M21

1− x21 + ln x21

(1− x21)2 ,

C1 = C2 =1

M21

−3 + 4x21 − x221 − 2 ln x21

4(1− x21)3 ,

C11 = C22 = 2 C12 =1

M21

11− 18x21 + 9x221 − 2x3

21 + 6 ln x21

18(1− x21)4 ,

C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita).

4.3. Algunos casos sencillos 53

O bien

C0 =1

M21

−1 + x21 − x21 ln x21

(1− x21)2 ,

C1 = C2 =1

M21

1− 4x21 + 3x221 − 2x2

21 ln x21

4(1− x21)3 ,

C11 = C22 = 2 C12 =1

M21

−2 + 9x21 − 18x221 + 11x3

21 − 6x321 ln x21

18(1− x21)4 ,

donde C ≡ C(0, 0, 0; M21, M2

2, M22), C ≡ C(0, 0, 0; M2

2, M21, M2

1) y x21 ≡ M22/M2

1 .

3. Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a las transicio-nes radiativas del tipo µ→ eγ se usan las funciones de tres puntos anteriores.

Para comprobar que esta transición es puramente magnética, es decir no contri-buyen las auto-energías de las patas externas, conviene conocer explícitamenteC00 evaluada en la misma configuración anterior:

C00(0, 0, 0; M21, M2

2, M22) = −1

2B1(0; M2

1, M22)

y las siguientes funciones de dos puntos evaluadas en p2 = 0, m0 = M1, m1 =M2:

B0(0; M21, M2

2) = ∆ǫ + 1−M2

1 lnM2

1µ2 −M2

2 lnM2

2µ2

M21 −M2

2

B1(0; M21, M2

2) = −12

∆ǫ +

4M41 − 3M4

2 −M21 M2

2 − 2 lnM2

1

M22

4(M21 −M2

2)2

= −B0(0; M22, M2

1)− B1(0; M22, M2

1)


Capítulo 5

Aplicación: factores de forma dipolaresa un loop

5.1 El vértice vector-fermión más general

i

j

V µ

p2

p1

iΓµ(p1, p2)

Figura 5.1: Vértice efectivo vector-fermión.

La estructura Lorentz más general del vértice vector-fermión (Fig. 5.1) contiene 24términos independientes, que son combinaciones de los cuadrivectores p ≡ p1 + p2,q ≡ p2 − p1 y las 16 matrices de Dirac (indicadas abajo entre paréntesis):

(1) : pµ, qµ,

(γ5) : γ5pµ, γ5qµ,

(γα) : γµ, pµ /p, pµ/q, qµ /p, qµ/q, ǫµναβγνpαqβ,

(γ5γα) : γ5γµ, γ5pµ /p, γ5pµ/q, γ5qµ /p, γ5qµ/q, γ5ǫµναβγνpαqβ,

(σαβ) : σµνpν, σµνqν, pµσαβ pαqβ, qµσαβ pαqβ,

ǫµναβσαβ pν, ǫµναβσαβqν, pµǫαβρσσαβ pρqσ, qµǫαβρσσαβ pρqσ.

Con frecuencia el vértice se escribe de la siguiente forma:

iΓµ(p1, p2) = ie [γµ(FV − FAγ5) + (iFM + FEγ5)σµνqν + (iFS + FPγ5)qµ

+(FMV + iFEV γ5)pµ + (FTS + iFTPγ5)σµν pν + . . . ] . (5.1)

Los factores de forma Fi son en general funciones de todos los escalares indepen-dientes (invariantes Lorentz) que se puedan construir con los vectores p1 y p2, es decir,

55

56 Capítulo 5: Aplicación: factores de forma dipolares a un loop

Fi(p21, p2

2, q2). La constante e se ha introducido por conveniencia, de modo que los aco-plamientos quedan normalizados a los de la electrodinámica cuántica (QED).

Si ambos fermiones están on-shell (es decir, p2 = m2), la ecuación de Dirac nospermite eliminar los términos omitidos anteriormente y también FMV , FEV FTS y FTP,pues ya no son independientes y entonces

ij on-shell : iΓµ(p1, p2) = ie[γµ(FV − FAγ5) + (iFM + FEγ5)σ

µνqν + (iFS + FPγ5)qµ]. (5.2)

Para demostrarlo basta usar la siguiente relación entre matrices de Dirac:

γ5γρǫρµνσ =i6(γµγνγσ + γσγµγν + γνγσγµ − γνγµγσ − γµγσγν − γσγνγµ), (5.3)

la ecuación de Dirac (ED): /p1u(p1) = m1u(p1), /p2u(p2) = m2u(p2), y las identidadesde Gordon (que se deducen de la ED y γµγν + γνγµ = 2gµν):

u(p2)σµν(p2 ± p1)νu(p1) = u(p2) −i(m2 ∓m1)γ

µ + i(p2 ∓ p1)µ u(p1), (5.4)

u(p2)γ5σµν(p2 ± p1)νu(p1) = u(p2) −i(m2 ±m1)γµγ5 + iγ5(p2 ∓ p1)

µ u(p1).(5.5)

Si el bosón vectorial V también está on-shell, su polarización1 satisface qµεµ = 0 ypor tanto los factores de forma FS, FP no contribuyen, y el vértice se reduce a:

Vij on-shell : iΓµ(p1, p2) = ie [γµ(FV − FAγ5) + (iFM + FEγ5)σµνqν] . (5.6)

Los factores de forma FV , FA y FM,E se denominan vectorial, axial y dipolares, respecti-vamente.

Si V = γ (fotón) la invariancia gauge U(1) impone la conservación de la corriente,qµΓµ = 0, y por tanto para fermiones on-shell:

[V = γ] (mi −mj)FV + iq2FS = 0, (5.7)

ij on-shell − (mi + mj)FA + q2FP = 0. (5.8)

En consecuencia, si también el fotón está on-shell (q2 = 0) y los fermiones son idénticos(m = mi = mj), necesariamente FA = 0. El vértice electromagnético viene entonces des-crito por tres constantes, relacionadas con la carga y los momentos dipolar magnéticoy dipolar eléctrico:

γii on-shell : iΓµi=j = ie [γµFV + (iFM + FEγ5)σ

µνqν]

1 Una partícula masiva de spin 1 de momento pµ tiene tres grados de libertad de polarización εµ(λ =1, 2, 3) que verifican pµεµ(λ) = 0 y εµ(λ)εµ(λ′) = −δλλ′ . En reposo: pµ = (M, 0, 0, 0), ε

µ1 = (0, 1, 0, 0),

εµ2 = (0, 0, 1, 0), ε

µ3 = (0, 0, 0, 1). En movimiento: pµ = (E, 0, 0, p), ε

µx = (0, 1, 0, 0), ε

µy = (0, 0, 1, 0),

εµL = (p/M, 0, 0, E/M) [circular: ε

µ± = 1/

√2(ǫµ

x ± iǫµy )]. Si tiene masa nula (ej. el fotón) no existe el s.r.

en reposo y sólo existen las dos polarizaciones transversales.

5.1. El vértice vector-fermión más general 57

donde, de acuerdo con nuestra convención para la derivada covariante,

eQ f ≡ −eFV(0) = carga eléctrica del fermión f ,

µ ≡ −( e

2mFV(0) + eFM(0)

)= momento dipolar magnético (MDM),

a ≡ 2mFM(0)FV(0)

= momento dipolar magnético anómalo (AMDM),

d = −eFE(0) = momento dipolar eléctrico (EDM).

Así, a nivel árbol (electrodinámica clásica), un electrón tiene acoplamientos FV = 1,FA = FM = FE = 0, y por tanto carga Qe = −1 y momento dipolar magnético

µ ≡ µS = − e2m

gS, g = 2 ⇐ interacción no relativista µ · B = − e2m

σ · B (5.9)

donde S = 12σ es el spin y g es la razón giromagnética o factor de Landé.2

Las correcciones cuánticas inducen valores no nulos de AMDM y EDM. Las condi-ciones de renormalización fijan FV(0) = −Q f (a todo orden de teoría de perturbacio-nes), pero aparece un AMDM que viene dado por

a =g− 2

2= −2m

FM(0)Q f

⇒ µ =eQ f

2m(1 + a). (5.10)

Por otro lado, las ecuaciones anteriores implican FV = FA = 0 para fermiones distin-tos. Es decir, procesos tales como µ→ eγ se deben sólo a transiciones dipolares,

γij on-shell : iΓµi 6=j = ie(iFM + FEγ5)σ

µνqν (5.11)

En general, todos los factores de forma son reales a nivel árbol para fermionesexternos iguales, por la hermiticidad del lagrangiano de interacción, pero se puedenhacer complejos al introducir las correcciones cuánticas (regla de Cutkosky).3

Los factores de forma que acompañan a los operadores de dimensión mayor quecuatro (todos menos FV y FA), por ejemplo los dipolares, son nulos a nivel árbol encualquier teoría renormalizable. Por tanto sus correcciones a un loop son finitas. Ade-más acoplan fermiones de quiralidades contrarias, por lo que deben ser proporcionalesa alguna masa fermiónica, ya sea interna o externa.

Los factores de forma FV , FA y FM multiplican sendos bilineales pares bajo CP,mientras que FE acompaña a uno impar. Esto significa que si CP se conserva el mo-mento dipolar FE se anula si i = j, aunque esto no ocurre si los fermiones externos sondistintos. Similarmente, si P se conserva (ej. en QED) FA y FE son nulos.

Los diagramas que contribuyen a un loop al vértice efectivo vector-fermión puedenagruparse en seis clases o topologías distintas (Fig. 5.2).

2 Nótese que el momento anómalo y la razón giromagnética se definen sólo para partículas cargadas.Sin embargo una partícula neutra puede tener momento magnético dado por µ = −eFM(0).

3 La amplitud se hace compleja cuando sea posible cortar el diagrama en dos diagramas tales queambos describan procesos físicos. Se trata de una aplicación del teorema óptico. Es fácil darse cuentade que si V = γ la amplitud ha de ser siempre real porque el fotón tiene masa nula.


i

r

k

j

l

V

i

r

k

j

l

V

i

r

k

j

l

V

I II III

i

r

k

j

l

V

i

r

k

j

l

V

i

r

l

j

k

V

IV V VI

Figura 5.2: Clases de diagramas que contribuyen al vértice efectivo vector-fermión aun loop.

5.2 El momento magnético anómalo

Los momentos magnéticos anómalos de electrón y muón son observables medidos congran precisión. Como se deben enteramente a correcciones cuánticas ponen especial-mente a prueba la consistencia de la teoría.

El momento magnético del electrón se ha medido en un ciclotrón en Harvard conuna precisión impresionante [8]:

ge

2= 1.001 159 652 180 76 (27) (5.12)

El momento magnético del muón se obtiene a partir de la frecuencia de precesióndel spin respecto a un campo magnético homogéneo en un anillo de almacenamientode muones:

ωa = aµeB2m

, aµ =(gµ − 2)

2. (5.13)

Se ha medido con gran precisión en el experimento E821 de Brookhaven [20]:

gµ

2= 1.001 165 920 80 (63) (5.14)

5.2.1 El momento magnético anómalo en QED

En QED sólo existe un diagrama a un loop (clase I, Fig. 5.3) y el único acoplamientono nulo es del tipo [VFF] con gV = 1, gA = 0. La configuración de masas y momentos

5.2. El momento magnético anómalo 59

e

γ

e

e

e

γ

Figura 5.3: Único diagrama fotón-electrón en QED a un loop.

ℓ

γ, Z

ℓ

ℓ

ℓ

γ

ℓ

ℓ

γ

W

W

νℓ

ℓℓ

ℓ

ℓ

γ H, χ

I II III

ℓφ

ℓ

φ

γ νℓ

ℓ

ℓ

γ νℓ

W

φℓ

ℓ

γ νℓ

φ

W

IV V VI

Figura 5.4: Diagramas fotón-leptón en el SM a un loop.

es también muy simple. El AMDM del electrón es entonces:

FM(0) =α

4π2m(C1 + C2 + C11 + C22 + 2C12) =

α

4π

1m

, (5.15)

a =g− 2

2= 2m FM(0) =

α

2π, (5.16)

donde α = e2/4π es la constante de estructura fina ye hemos utilizado las funcionesde tres puntos con argumentos (m2, 0, m2; 0, m2, m2) evaluadas en el capítulo anterior.

5.2.2 El momento magnético anómalo en el SM

Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman (incluyendo QED) se mues-tran en la Fig. 5.4.

Para calcular los nuevos diagramas necesitaremos más paciencia, las reglas deFeynman del SM y las funciones de tres puntos con argumentos del tipo (0, 0, 0; M2

1, M22, M2

2)evaluadas en el capítulo anterior (se puede despreciar la masa del leptón ℓ). Sumandotodas las contribuciones a un loop:

aℓ =(gℓ − 2)

2=

α

2π︸︷︷︸QED

+GF

8π2√

2m2

ℓ

103︸︷︷︸W

−13

[5− (1− 4s2

W)2]

︸︷︷︸Z

+O(

m2ℓ

M2H

lnM2

H

m2ℓ

)

︸︷︷︸H

(5.17)


donde

GF =πα√

2s2W M2

W

(1 + ∆r) = 1.166387 (6)× 10−5 GeV−2 ⇐ comparando con τµ(5.18)

α−1 = 137.035 999 074 (44)⇐ comparando con (ge − 2) en QED a 8 loops! (5.19)

s2W = 1− M2

W

M2Z

= 0.223, me = 0.511 MeV, mµ = 0.106 GeV, mτ = 1.777 GeV.(5.20)

Nótese que (1− 4s2W)2 ≃ 0.012 por lo que la Z contribuye aproximadamente la mitad

que la W y con signo opuesto. La contribución del Higgs es despreciable.

Tabla 5.1: Predicciones del SM y medidas actuales del momento anómalo del muónaµ.

CÁLCULOS TEÓRICOS Contribución a aµ(×1011)

QED coeficiente de(

απ

)n

n = 1 0.5 116 140 973

n = 2 0.765 857 410 (27) . . .

n = 3 24.050 509 64 (87) . . .

n = 4 130.991 6 (80) . . .

n = 5 663. (20) . . .

Total 116 584 718

Débil 1. loop 195

2. loop −41

Hadrónica hadronic vacuum polarization 6 803

light by light [NLO] 117

TOTAL ateoµ = 116 591 792 (49)

MEDIDA EXPERIMENTAL: E821 (Brookhaven ’06) aexpµ = 116 592 080 (63)

En la tabla 5.1 resumimos las predicciones del SM y las medidas actuales del mo-mento anómalo del muón aµ [8]. Existe una discrepancia de 3.6σ entre ambos valo-res que, de mantenerse, abriría una ventana a nueva física.4 La contribución hadróni-ca se extrae a partir de las medidas de σ(e+e− → hadrones) usando relaciones dedispersión. Alternativamente esta contribución se puede extraer de las medidas deτ → ντ + hadrones, que se relacionan con las secciones eficaces hadrónicas asumiendosimetría de isospin, en cuyo caso la discrepancia 2.4σ, algo menor pero también muysignificativa.

4 Los modelos supersimétricos contribuyen con aSUSYµ = ±130× 10−11 ·

(100 GeVmSUSY

)2

tan β .

5.3. El proceso raro µ → eγ 61

e

µ

γ

W

W

νi

eφ

µ

φ

γ νi

e

µ

γ νi

W

φe

µ

γ νi

φ

W

II IV V VI

Figura 5.5: Diagramas µ→ eγ a un loop en el SM con neutrinos masivos.

5.3 El proceso raro µ → eγ

Se trata de un proceso con violación de sabor leptónico (LFV), que en el SM conneutrinos sin masa está prohibido. Sin embargo, en el SM con neutrinos masivos o enotras extensiones del SM, como supersimetría, este proceso puede darse.

La colaboración MEG lleva acabo un experimento en el PSI (Suiza) desde el 2004con el haz de muones más intenso del mundo. No han observado ningún suceso, loque pone una cota actualmente de B(µ → eγ) < 2.4× 10−12 [21]. El objetivo es llegaren unos años hasta 10−14. Los experimentos BaBar en el PEP-II de SLAC (EE UU)y Belle en el KEKB (Japón) ponen cotas a desintegraciones similares del τ. Las másactuales son B(τ → µγ) < 4.4× 10−8 [22, 23] y B(τ → eγ) < 3.3× 10−8 [22].

Recordemos que se trata de transiciones dipolares, lo que puede comprobarse ex-plícitamente hallando las contribuciones a FV y FA, que son nulas. Las anchuras yfracciones de desintegración relevantes son

Γ(ℓj → ℓiγ) =α

2m3

ℓj

(|FM|2 + |FE|2

), (5.21)

Γ(ℓj → ℓiνjνi) =G2

Fm5ℓj

192π3 , GF =παW√2M2

W

, (5.22)

B(ℓj → ℓiγ)

B(ℓj → ℓiνjνi)=

Γ(ℓj → ℓiγ)

Γ(ℓj → ℓiνiνj)(5.23)

=12α

π

M4W

m2ℓj

(4π

αW

)2 (|FM|2 + |FE|2

), (5.24)

donde B(ℓj → ℓiνjνi) = 1/0.17/0.17 para ℓjℓi = µe/τµ/τe.

5.3.1 µ → eγ en el SM con neutrinos masivos

Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman se muestran en la Fig. 5.5. Acontinuación listamos las contribuciones de cada clase de diagramas que se obtienenusando las funciones de tres puntos con argumentos (0, 0, 0; m2

νi, M2

W , M2W). Definiendo


xi ≡ m2νi

/M2W :

II: FM = −iFE = − αW

16πmµ ∑

iUeiU

∗µi[3C11 − C1

](5.25)

IV: FM = −iFE = − αW

16πmµ ∑

iUeiU

∗µi xi

[C0 + 3C1 +

32

C11

](5.26)

V: FM = −iFE = 0 (5.27)

VI: FM = −iFE =αW

16πmµ ∑

iUeiU

∗µi C1 (5.28)

Total: FM = −iFE =αW

16π

mµ

M2W

∑i

UeiU∗µi FW(xi) (5.29)

donde FW(x) =10− 33x + 45x2 − 4x3

12(1− x)3 +3x3

2(1− x)4 ln x → 56− x

4+O(x2) (5.30)

Por tanto, para neutrinos ligeros y usando la unitariedad de U,

B(µ → eγ)|SM =3α

2π

∣∣∣∣∣∑iUeiU

∗µiFW(xi)

∣∣∣∣∣

2

≃ 3α

32π

∣∣∣∣∣∑iUeiU

∗µi xi

∣∣∣∣∣

2

<∼ 10−54 ,(5.31)

donde se han sustituido los ángulos de mezcla y ∆m2ij medidos en oscilaciones.

Nota importante: En las expresiones anteriores se ha despreciado me. Para recuperar lacontribución de la W al momento magnético anómalo conviene reinsertar me:

FM =αW

16π ∑i

mµUeiU

∗µi + meU∗eiUµi

[. . . ] (5.32)

iFE =αW

16π ∑i

mµUeiU

∗µi −meU∗eiUµi

[. . . ] (5.33)

Entonces encontramos que en efecto, para ℓ = µ = e, la contribución de la W a aℓ es

aWℓ

= 2mℓFM(0) =GF

8π2√

22m2

ℓFW(0) =

103

GF

8π2√

2m2

ℓ(5.34)

pues, despreciando las correcciones radiativas de GF,

GF

8π2√

2=

αW

16π

1M2

W, (5.35)

y dℓ = 0 si no hay fases complejas en U o si los neutrinos no tienen masa.

Bibliografía

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[23] K. Hayasaka et al. [Belle Collaboration], arXiv:0705.0650 [hep-ex].

Introducción a Física de Partículas Elementales y Teoría de Cuerdas

Angel M. Uranga

David G. Cerdeño

Luis E. Ibáñez

Fernando Marchesano

Instituto de Física Teórica UAM/CSIC, Madrid

Tuesday, 4February, 2014

- 3 Feb: “Un mundo cuántico y relativista”, D. G. Cerdeño- 5 Feb: “Física de Partículas Elementales”, D. G. Cerdeño- 10 Feb: “Gravedad”, A. Uranga- 12 Feb: “Más allá del modelo Estándar”, L.E. Ibáñez- 17 Feb: “Teoría de Cuerdas”, F. Marchesano- 19 Feb: “Teoría de Cuerdas y Física de Partículas”, F. Marchesano - 24 Feb: “Teoría de Cuerdas y Gravedad”, A. Uranga

PLAN


PLAN de hoy

Estructura de la materia y Mecánica Cuántica

Un mundo cuántico

Relatividad Especial y Teoría Cuántica de Campos

Un mundo relativista-I


David G. Cerdeño

based on the slides prepared by

Angel M. Uranga

Instituto de Física Teórica UAM/CSIC, [email protected]

Estructura de la materia y Mecánica Cuántica

Un mundo cuántico


mailto:[email protected]


En los albores del s. XXc. 1900

Universo: Sistema Solar y estrellas de nuestra galaxia

Estructura de la materia: Átomos (Dalton, Mendeleyev)

Dos fuerzas fundamentales: - Gravedad (Newton)- Electromagnetismo (Maxwell)

Nadie sospechaba el increíble progreso de la Física en los 100 años siguientes

Marco general de la Física:- Mecánica clásica (Galileo,Newton)- Termodinámica y Mecánica estadística (Kelvin, Boltzmann)

(infinito, eterno, prácticamente estático e inamovible)

(indivisibles, sin estructura interna)


19001910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

19902000

2010

CamposPartículasElectromagnético

Relatividad especial

Mecánica CuánticaOnda / partícula

Fermiones / Bosones

Dirac Antimateria

Bosones W

QED

Maxwell

Higgs

Supercuerdas?

Universo

NewtonMecánica Clásica,Teoría Cinética,Thermodinámica

MovimientoBrowniano

Relatividad General

Nucleosíntesis cosmológica

Inflación

Átomo

Núcleo

e-

p+

n

Zoo de partículas

u

µ -

π

νe

νµ

ντ

d s

c

τ-

τ-

b

t

Galaxias ; Universo en expansión;

modelo del Big Bang

Fusión nuclear

Fondo de radiación de microondas

Masas de neutrinos

ColorQCD

Energía oscura

Materia oscura

W Zg

Fotón

Débil Fuerte

e+

p-

Desintegración betai Mesones

de Yukawa

Boltzmann

Radio-actividad

Tecnología

Geiger

Cámara de niebla

Cámara de burbujase

Ciclotrón

Detectores Aceleradores

Rayos cósmicos

Sincrotrón

Aceleradores e+e

Aceleradoresp+p-

Enfriamiento de haces

Online computers

WWW

GRID

Detectores modernos

Violación de P, C, CP

MODELO ESTÁNDAR

Unificación electrodébil

3 familias

Inhomgeneidades del fondo de microondas

1895

1905

Supersimetría?

Gran unificaci’on?

Cámara de hilos


En los albores del s. XX

“En Física, sólo queda completar la sexta cifra decimal”(All that remains to do in physics is to fill in the sixth decimal place)

William Thomson (Lord Kelvin)

Pero ya Lord Kelvin mencionó dos inquietantes nubes en el horizonte de la Física:- La radiación de cuerpo negro- El experimento de Michelson-Morley

There is nothing new to be discovered in physics now, All that remains is more and more precise measurement.

“Ya no queda nada por descubrir en Física. Sólo queda aumentar más y más la precisión de las medidas experimentales”








Albert Michelson, 1894








Albert Michelson, 1894

Lord Kelvin, 1900, en su discurso a la Asociación Británica para el Desarrollo Científico:


Partículas Elementales1897

e-

J.J. Thomson

e-

Experimentos con rayos catódicos (~TV)

Electrodos C negativo: fuente de electrones Electrodos A, B : campo eléctrico (extración)Electrodos D, E: campo eléctrico (desviación)

Su modelo del átomo como 'pudding de pasas' (1904)

e-

Los electrones son partículas sub-atómicas!(El átomo NO es indivisible!)

Los ’rayos' son corpúsculos cargados (conocidos como electrones desde entonces)con un cociente carga/masa fijo (propiedades intrínsecas de los electones)

(q/m)e ≈ 1840 (q/m)H+


Partículas Elementales

R.A. Millikan

En 1906 R. Millikan consigue medir el valor de la carga del electrón en su experimento de la gota de aceite

Observó que las gotas de aceite estaban cargadas en unidades enteras de una carga fundamental

qE = 1.592 × 10−19 Coulombs

Las medidas actuales de la carga del electrón indican que

qE = 1.602 176 53 (14) × 10−19 Coulombs

Además de la medida de q/m podemos obtener que

mE = 9.109 382 91 (40)× 10−31 kg

1906


Partículas ElementalesÁtomoRobert Brown (1827) observa el movimiento aleatorio (random walk) de partículas suspendidas en un fluido (movimiento browniano)

Queda demostrada la discontinuidad de la materia(existencia de moléculas y átomos)

Albert Einstein(1905) explica mediante la teoría cinética que el movimiento se debe a colisiones con las moléculas del medio

Francois Perrin (1907) utiliza la fórmula de Einstein para confirmar la teoría y calcular el número de Avogadro.

Albert Einstein

1905


Partículas ElementalesNúcleo 1911

Ernest Rutherford (dcha) y Hans Geiger (izda) en Manchester

Geiger y Marsden lanzan partículas alfa (núcleos de He) contra planchas de oroPequeñas desviaciones de trayectoria, pero en 1 de cada 8000 casos, rebote violento.Incompatible con el modelo del átomo ’pudding de pasas’ de Thomson

Ernerst Rutherford: concepto de núcleo La masa del átomo se encuentra concentrada en una pequeñísima región, el núcleo, con carga positiva, con los electrones orbitando alrededor Estima su tamaño en ~ 27 ×10-15 m (valor real: 7.3 ×10-15 m)(distancia mínima de la partícula alfa, tal que energía potencial de Coulomb = energía cinética)

Descubrimiento del núcleo


Partículas ElementalesNúcleo

¿De qué está hecho el núcleo ?

W. Prout (1815): los pesos atómicos son múltiplos del peso atómico del hidrógeno

E. Goldstein (1886): rayos anódicosW.Wien (1898): mide q/m para diferentes núcleos, incluido H

E. Rutherford (1918): propone que los núcleos continenen núcleos de hidrógeno (protones)

Analogía con el sistema solar:Si el núcleo tuviera el tamaño del Sol,los electrones orbitarían a una distancia 1000 veces mayor que la distancia Tierra-Sol

El átomo está esencialmente vacío

Modelo de Rutherford del átomo “vacío”Protón:

Neutrón:

Descubierto por J. Chadwick en 1932, saltemos momentáneamente hasta entonces

Núcleo

Electrones

1911


Partículas Elementalesn

¿Hay otras particulas en el núcleo?Por ejemplo: He-4 tiene Z=2 pero A=4¿A qué corresponden las dos unidades de masa con carga cero?

Análisis cinemático: Masa del neutrón ~ masa del protón

James Chadwick

Neutrón:

Descubierto por J. Chadwick en 1932

1932

En 1930 Bethe y Becker descubren una nueva forma de radiación, neutra, muy penetrante, pero no ionizante (¿podrían ser rayos gamma?)

Joliet-Curie descubren que al incidir sobre parafina, se emiten protones de ~5.3MeV



Pero que no consigue explicar varias cosas

Núcleo

Electrones

Modelo sencillo, fácil de recordar

¿Qué es lo que mantiene unidos los protones y neutrones en el núcleo?

Requieren comprender que la Naturaleza está descrita por la Mecánica Cuántica

¿Por qué los electrones no radian energía al girar en su órbita?Contradicción con la teoría del electromagnetismo clásica de Maxwell

- Lista de partículas elementales (aprox. 1932)

- Forman átomos estables mediante interacciones electromagnéticas


Recordemos los albores del s. XX


- El experimento de Michelson-Morley ⇒ Teoría de la Relatividad

Las dos nubes en el horizonte que vislumbró Lord Kelvin desencadenaron sendos enriquecedores chaparrones que hicieron florecer la Física del s. XX

- La radiación de cuerpo negro ⇒ Mecánica Cuántica


Mecánica Cuántica

Radiación de cuerpo negro

Fotón

“Cuerpo negro”: Cavidad que absorbe luz incidente y emite radiación en equilibrio térmico

El espectro de la radiación emitida (intensidad para cada frecuencia) depende sólo de la temperatura (Kirchoff, 1860)

Teoría clásica (Raleigh-Jeans)

Espectro de emisión

Energía promedio de los osciladores en las paredes de la cavidad (proporcional a la temperatura)

Predice una intensidad infinita en el régimen de frecuencias altas(!)

1860-1900


Fotón

1900

Un “Acto de desesperación”

Max Planck

Los osciladores en las paredes de la cavidad emiten y absorben energía en “unidades mínimas” (“cuantos”) E = h ν

h = una nueva constante fundamental de la Naturaleza

Frecuencias altas implican cuantos de mayor energía, más costosos y termodinámicamente menos probables. Supresión del régimen E >> kT

Mecánica Cuántica


Fotón1902

Teoría clásica: Energía de los electrones proporcional a la energía de la luz (cuadrado de la amplitud del campo e.m.)

Pero es proporcional a la frecuencia de la luz, con pendiente = “h”

Total desacuerdo con resultado experimental(!)

La energía del electrón es independiente de la intensidad de la luz

Producción de rayos catódicos (extracción de electrones) cuando se ilumina un superficie metálica con luz (radiación electromagnética)

Existe un umbral de frecuencia, por debajo del cual no hay emisión

Efecto fotoeléctrico

Mecánica Cuántica


Mecánica CuánticaFotón

“Mi única contribución revolucionaria”Albert Einstein

Fotón: El cuanto de luz se comporta como una partícula

La luz es emitida y absorbida en cuantos de energía E = h ν

Un cuanto de luz entrega toda su energía a un único electrón(demostrado experimentalmente por Millikan, 1923)

Efecto fotoeléctrico

Estas ideas marcan el comienzo de la Mecánica Cuántica

1905Mecánica Cuántica


Mecánica Cuántica

Reproduce la fórmula empírica de J. J. Balmer (1885) para el espectro de emisión del hidrógeno

N. Bohr

- Emisión de radiación implica una transición de nivel

- Energía del fotón emitido = diferencia de niveles de energía

- Cuantization del momento angular ⇒ niveles de energía

¿Por qué los electrones no radian energía al girar en su órbita?Contradicción con la teoría del electromagnetismo clásica de Maxwell

N. Bohr propone una descripción cuántica de los electrones en el átomo

(hidrógeno)

1913


Mecánica CuánticaFotón

Arthur Compton

Efecto Compton

1923Mecánica Cuántica

La longitud de onda de los fotones que inciden sobre un material (y son dispersados por sus electrones) depende únicamente de la dirección de dispersión

El fotón incidente cede parte de su energía y como consecuencia de la relación

E = h ν

sale dispersado con menor frecuencia (mayor longitud de onda)

El cambio en frecuencia depende de la masa de la partícula con la que choca el fotón


Mecánica Cuántica

Louis de Broglie

*Confirmado experimentalmente en 1927 En la difracción de electrones (Davisson/Germer)

Así como la radiación electromagnética (ondas) se comporta como partícular (fotones), ...

Las partículas se comportan como ondas

Dualidad onda-partícula

La comprensión de las extrañas leyes que gobiernan el mundo cuántico, la Mecánica Cuántica, tardó unos 10 años

1924



Principio de Huygens

- Cada punto del frente de ondas se constituye en un foco secundario

Ondas planas

Experimento de la doble rendijaAmplitud en un punto del detector es la superposición de las amplitudes por los dos caminos posibles

1924


Mecánica Cuántica 1926

W. Heisenberg

Existe un límite en la precisión de la medida simultánea de ciertas propiedades de una partícula

El principio de incertidumbre

Tiempo y energía

Posición y momento

Las partículas/ondas son objetos deslocalizados

En la medida de la posición hay una incertidumbre de orden la longitud de onda Δx ~ λ = h/Δp

En la medida de la frecuencia (~ ν = E/h) de una onda hay una incertidumbre de orden del tiempo Δt empleado en la medida



E. Schrödinger

Función de onda de probabilidad

Descripción válida en teoria no relativista v << c

Las partículas son ondas ⇒ descripción mediante una ecuación de ondas

Interferencia: ψ = función complejaInterpretación (Born, 1927):

ψ = “amplitud de probabilidad”

|ψ(x)|2 = probabilidad de encontrar la partícula en la posicion x

Funciones de onda de electrón en el átomo de hidrógeno (’ondas estacionarias en 3 dimensiones)



Spin

Fermiones y bosones

- Experimento de Stern-Gerlach (1922)Un campo magnético inhomogéneo desvía los electrones según su momento magnético (relacionado con el spin)

-Fermiones: Partículas con spin semi-entero (electrón, protón, etc)Principio de exclusión de Pauli: No pueden existir dos fermiones en el mismo estado cuántico

-Bosones: Partículas con spin entero (fotón, etc)No se aplica el principio de exclusión de Pauli.Sistemas de bosones en el mismo estado cuántico (p.ej. láser)

⇒ Impenetrabilidad de la materia

Estados de rotación intrínsecos de la partícula,polarización levógira o dextrógira de la onda Ψ

(El átomo cuántico está todo lo “lleno” que puede estar de forma compatible con el principio de exclusión de Pauli)

Principio de exclusión de Pauli (1924): en cada orbital, sólo dos electrones, que se distinguen por un misterioso número cuántico bi-valuado Kronig; Uhlenbeck, Goudsmit (1925): “spin” +1/2, -1/2



La Física Cuántica explicó la existencia de estructura en la materia

The watermolecule

Comprensión del origen de la estructura en átomos (enlace químico)

y moléculas (fuerzas de van der Waals)

Explicación del enlace químico

Molécula de

agua H2O

Linus Pauling (1928)

Nueva visión del mundo y multitud de aplicaciones prácticas(originado por preguntas fundamentales: “curiosidad pura”)


Relatividad Especial y Teoría Cuántica de Campos

Un mundo relativista

David G. Cerdeño

based on the slides prepared by

Angel M. Uranga

Instituto de Física Teórica UAM/CSIC, [email protected]




Recordemos los albores del s. XX


Las dos nubes en el horizonte que vislumbró Lord Kelvin desencadenaron dos enriquecedores chaparrones que hicieron florecer la Física del s. XX

- La radiación de cuerpo negro ⇒ Mecánica Cuántica - Relatividad Especial

y las interacciones fundamentales

- Relatividad GeneralDescripción del UniversoGravedad y Cosmología

- El experimento de Michelson-Morley ⇒ Teoría de la Relatividad

Nueva visión del espacio y el tiempo


* Principio de relatividad de Galileo: Diferentes sistemas de refencia inerciales son equivalentes (mismas leyes de la Mecánica)

¿Cómo es posible que la velocidad de la luz sea la misma para cualquier observador inercial?

Mecánica Newtoniana y Electromagnetismo de Maxwell

El consenso era la existencia de un sistema de referencia privilegiado, un éter en el que se propagaban las ondas electromagnéticas, entendidas como oscilaciones mecánicas de un medio/fluido

* Electromagnetismo de Maxwell: la luz se propaga con una velocidad determinada (c = 300000 km/s)

Dos principios esencialmente contradictorios


Relatividad Especial

El resultado es siempre idéntico, e igual a 300000km/s, de acuerdo con Maxwell

Medida de la velocidad de la luz respecto de la Tierra en distintas direcciones

1887

Y sin embargo ... es cierto que la velocidad de la luz es independiente del observador

Experimento de Michelson-Morley



¿Cómo es posible que la velocidad de la luz sea la misma para cualquier observador inercial?

Sus postulados:

1) Velocidad de la luz = constante; 2) Equivalencia de todas las leyes físicas en todos los sistemas inerciales

Sus conclusiones:

Dado que c = const, y velocidad = (espacio/tiempo) ⇒⇒ ¡El espacio y el tiempo no son absolutos!

Einstein: Relatividad Especial

Einstein, 1905

Fruto de la paradójica unión de los dos grandes principios



Relatividad de la simultaneidad

1905

Diferentes observadores disienten en sus medida de qué eventos en el espacio y el tiempo son simultáneos



Espacio y tiempo

1905

El espacio y tiempo Newtonianos son absolutosEn Relatividad Especial, dependen del observador



Espacio-Tiempo

1908

H. Minkowski

El espacio en sí y el tiempo en sí están abocados a desaparecer, y sólo una unión de ambos se mantendrá como una realidad independiente.Space by itself and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality.

Cambio de sistema referencial como ‘rotación en el espaciotiempo’


Relatividad Especial1905

c²t² = v²t² + w²

t²(c² - v²) = w²

€

t =w /c

1− v2

c 2

= γ ⋅ τ

- Dilatación del tiempo, contracción del espacio

- Modificación de las leyes de Newton, aumento relativista de la masa

⇒ ¡La masa y la energía son conceptos intercambiables!

⇒ ¡Velocidad de la luz como velocidad límite!

Regresando a Michelson-Morley...

v

vt/2 vt/2

d

d

Figura 1: El reloj de luz en un tren en movimiento visto por un observador dentro del tren (arriba)y un observador en el anden (abajo).

siempre medıan la misma velocidad c. El motivo teorico es la teorıa de Maxwell que afirma laexistencia de ondas electromagneticas (luz), cuya velocidad c es una constante predicha por lateorıa. Si se asume que todas las leyes de la fısica son validas para todos los observadores, hay queacceptar que c es una constante universal.

Llevar estos dos postulados hasta sus ultimas consequencias implica abandonar las ideas in-tuitivas del espacio y el tiempo. Investigaremos las implicaciones son una serie de experimentosficticios.

1.2. La dilatacion del tiempo

Considera un tren que se mueve con velocidad v en movimiento uniforme rectilıneo (con res-pecto al anden del estacion). El pasajero en el tren dispone de un reloj de luz, que consiste en dosespejos colocados uno encima de otro a una altura d y un pulso de luz que viaja continuamenteentre los dos espejos. El pasajero medira que el tiempo que tarda la luz en subir y bajar entre losdos espejos es

t! =2d

c. (1.1)

Un observador en el anden vera este mismo fenomeno de manera distinta: para el la luz saledel espejo de abajo, pero llega al espejo de arriba despues de un tiempo t/2 cuando el tren se ladisplazado una distancia vt/2 y otra vez al espejo de abajo despues de un tiempo t cuando el trense la displazado una distancia vt (vease Figura 1). Para el observador en el anden, la luz recorreuna trayectoria mas larga y, dado que la velocidad de la luz es la misma que para el pasajero,habra pasado mas tiempo entre que la luz sale y llega otra vez al espejo de abajo. Concretamente,la distancia que recorre la luz al subir es, por el teorema de Pitagoras

!ct

2

"2

=!vt

2

"2

+ d2, (1.2)

de lo que podemos despejar t como

t =2d/c

#

1 ! v2/c2=

t!#

1 ! v2/c2, (1.3)

donde en la ultima igualdad hemos utilizado (1.1) para relacionar el intervalo con el medido porel pasajero. Vemos por lo tanto que el intervalo de tiempo efectivamente ha sido mas largo parael observador en el anden que para el pasajero. Este efecto se llama la dilatacion del tiempo yes completamente general: relojes en movimiento corren menos rapidos que relojes en reposo. Elfactor de correccion

! =1

#

1 ! v2/c2(1.4)

2



- Dilatación del tiempo

Imaginemos la reflexión de un rayo de luz en el interior de un tren en movimiento. Según el cálculo anterior, observamos que el tiempo transcurrido para el mismo suceso (emisión de un rayo de luz, reflexión y detección del mismo rayo) depende de nuestro sistema de referencia.

Si nos encontramos en el sistema de referencia del andén, el tiempo transcurrido es mayor

v

vt/2 vt/2

d

d






t! =2d

c. (1.1)


!ct

2

"2

=!vt

2

"2

+ d2, (1.2)


t =2d/c

#

1 ! v2/c2=

t!#

1 ! v2/c2, (1.3)


! =1

#

1 ! v2/c2(1.4)

2

v

vt/2 vt/2

d

d






t! =2d

c. (1.1)


!ct

2

"2

=!vt

2

"2

+ d2, (1.2)


t =2d/c

#

1 ! v2/c2=

t!#

1 ! v2/c2, (1.3)


! =1

#

1 ! v2/c2(1.4)

2

Es una función creciente de v, siempre mayor que 1

v

vt/2 vt/2

d

d






t! =2d

c. (1.1)


!ct

2

"2

=!vt

2

"2

+ d2, (1.2)


t =2d/c

#

1 ! v2/c2=

t!#

1 ! v2/c2, (1.3)


! =1

#

1 ! v2/c2(1.4)

2

Lo que implica t > tʼ

es una funcion creciente de v, que siempre es mayor que 1. Observa sin embargo que para veloci-dades mucho mas pequenas que la velocidad de la luz, v ! c, ! " 1 de modo que estos efectosrelativistas son completamente despreciables en la vida cotidiana.

Fijaos que para obtener la formula (1.3), hemos tenido que asumir que v < c. La velocidad dela luz surge por lo tanto en la relatividad especial como un lımite maximo, que ningun observador,ni ninguna senal puede superar.

Finalmente, es imprescindible darse cuenta de que la situacion descrita arriba es completamentesimetrica entre los dos observadores. El pasajero en el tren tiene pleno derecho de suponer queel esta en reposo, mientras el observador en el anden se esta moviendo. Repitiendo el mismoargumento, vemos que el pasajero vera el reloj de luz del observador en el anden avanzar menosrapido que el suyo, dado que para el su propio reloj esta en reposo.

Concluimos por lo tanto que cada uno ve el reloj del otro ir mas lento que el suyo, puesto quecada uno ve el otro en movimiento. No hay manera de saber cual de los dos “realmente” va maslento, ya que esto depende del punto de vista del observador. Por muy contraintuitiva que puedeparecer, esta situacion no lleva a contradicciones, si se toma en cuenta el hecho de que tambienlas distancias son relativas.

1.3. La contraccion de Lorentz

Asumimos que el anden tiene una longitud L medido por un observador situado en el anden.Este puede escribir L = vt, donde t es el intervalo que necesita el tren para recorrer el anden. Porotro lado, el pasajero dentro del tren mide una longitud L! = vt!, donde ahora t! es el tiempo entreque el pasajero pasa por el principio y el final del anden, medido por el.

Dado que los dos observadores no coinciden en cuanto ha durado el intervalo de tiempo,tampoco se pondran de acuerdo sobre la longitud del anden. Para el pasajero, el anden mide

L! = vt! = vt!

1 # v2/c2 = L!

1 # v2/c2, (1.5)

es decir mas corto que para el observador en el anden. Este efecto se conoce bajo el nombre decontraccion de Lorentz: objectos en movimiento sufren una contraccion longitudinal con un factor1/!. Otra vez la situacion es simetrica: el observador en el anden vera el tren contraıdo con respectoa la medicion del pasajero.

La contraccion de Lorentz y la dilatacion del tiempo conspiran para que el conjunto sea con-sistente. Esto se puede ver en el famoso experimento de los muones. Los muones son partıculaselementales con una vida media de 2,2 · 10"6s (en reposo), que se forman a unos 15 km de alturaen las colisiones de rayos cosmicos con atomos de la atmosfera. Los muones producidos en estascolisiones se mueven tıpicamente con velocidades v $ 0, 99c.

Calculando ingenuamente la distancia s que recorrerıan los muones antes de desintegrarse,multiplicando su velocidad v por su tiempo de vida t, nos saldrıa que viajan en media unos 650 m.En otras palabras, se desintegran mucho antes de llegar a la superficie de la Tierra. Sin embargoen la practica medimos una gran cantidad de muones a nivel del mar. La explicacion es que porsu velocidad relativista, su “reloj interno” corre mas lento debido a la dilatacion del tiempo. Al99% de la velocidad de la luz, el factor de correccion vale ! " 9, de modo que en realidad viven 9veces mas que un muon en reposo y una cantidad considerable de ellos sı llega a la superficie.

La historia es un poco diferente desde el punto de vista de los propios muones. Para ellos sureloj corre al ritmo normal (ya que estan en reposo con respecto a sı mismos) y solo tienen unavida media de 2,2 · 10"6s. ¿Como podemos compaginar esto con el hecho de que gran parte deellos llegan a la superficie? Para ellos, la Tierra (y por lo tanto la atmosfera) se mueve con unavelocidad v $ 0, 99c hacia ellos. Debido a este movimiento, la atmosfera sufre una contraccion deLorentz y parece 9 veces mas delgada, unos 1700 m.

Los efectos debidos a la dilatacion del tiempo segun un observador, son debidos a la contraccionde Lorentz segun otro. Esto indica una conexion ıntima entre el espacio y el tiempo, como veremosen las siguientes secciones.

3

Para velocidades bajas, los efectos relativistas no son apreciables.



- Contracción del espacio v

vt/2 vt/2

d

d






t! =2d

c. (1.1)


!ct

2

"2

=!vt

2

"2

+ d2, (1.2)


t =2d/c

#

1 ! v2/c2=

t!#

1 ! v2/c2, (1.3)


! =1

#

1 ! v2/c2(1.4)

2

Si el andén tiene longitud L (medida en el sistema de referencia del andén), entonces el tren necesita un intervalo de tiempo t para recorrerlo con velocidad v. Es decir, L = vt

En el sistema de referencia del tren, el intervalo de tiempo vendrá dado por tʼ y la longitud del andén que se medirá será por lo tanto Lʼ = vtʼ

Para el pasajero del tren la longitud del andén es menor.








L! = vt! = vt!

1 # v2/c2 = L!

1 # v2/c2, (1.5)






3

Observese que la situación es simétrica. por ejemplo, la longitud del tren en el sistema de referencia del tren es mayor que la medida desde el andén.



Ejemplo: Vida media (y observación) de muones

Los muones tienen vida media de τ = 2.2 10-6 s

Se forman en la atmósfera (a unos 15 km de altura) en colisiones de rayos cósmicos a velocidades muy cercanas a la de la luz

v ~ 0.99 c

Un cálculo ingenuo de la distancia que estos muones podrían recorrer resulta

l = v τ ~ 660 m

El cálculo correcto (teniendo en cuenta la dilatación del tiempo) explica por qué se observan a nivel del mar

l = v t = v ϒ τ ~ 5600 m








L! = vt! = vt!

1 # v2/c2 = L!

1 # v2/c2, (1.5)






3

Desde el punto de vista del muón la Tierra se mueve a v=0.99c hacia ellos! Por efecto de la contracción de distancias, la atmósfera tiene un espesor de sólo

L = l/ϒ ~ 1666 km



xz z’

yvy’

O’Ox’

Figura 3: Dos sistemas de referencia O y O! se mueven con una velocidad relativa v. Los sistemasde referencia estan orientados tal que los ejes son paralelos y los relojes estan sicronizados tal queen t = t! = 0 los orıgenen coinciden.

si O! se mueve de manera uniforme y rectilınea con velocidad v con respecto a O? Por simplicidadsupondremos que los sistemas de referencia de O y O! estan orientados de modo que los ejes sonparalelos y que O! se mueve a lo largo del eje x de O. Ademas supondremos que en t = t! = 0 losdos orıgenes de los sistemas de referencia coinciden (Vease Fig 3).

La mecanica newtoniana (y nuestra intuicion) dice que la relacion entre los dos sistema dereferencia viene dada por las transformaciones de Galilei

x! = x ! vt, y! = y, z! = z, t! = t. (2.8)

Sin embargo, es facil de ver que estas transformaciones no respetan el segundo postulado de laconstancia de la velocidad de la luz. Como consecuencia, las transformaciones de Galilei estan encontradiccion con los resultados derivados en la seccion anterior, en particular con la formula (1.3)de la dilatacion del tiempo. Necesitamos por lo tanto derivar unas transformaciones nuevas querespeten el segundo postulado y reproduzcan los resultados de la seccion anterior.

La transformacion lineal mas general entre (x, t) y (x!, t!) (suponiendo que y! = y y z! = z,dado que la contraccion de Lorentz solo es longitudinal) es

x! = Ax + Bt, t! = Cx + Dt, (2.9)

donde los coeficientes A, B, C y D son funciones de v y c. A base de consideraciones generales desimetrıa, podemos relacionar algunos de los coeficientes. El origen del sistema O esta en reposocon respecto a este sistema y satisface por lo tanto la condicion x = 0. Las transformaciones (2.9)en este caso se reducen a

x! = Bt, t! = Dt, (2.10)

y, derivando la primera ecuacion con respecto a t!, tenemos

!v = B/D, (2.11)

donde !v = dx!/d!t es la velocidad con la que O! ve moverse el origen de O.De manera similar, el origen de O! esta en reposo con respecto a O!, de modo que x! = 0 y

Ax + Bt = 0, (2.12)

o, derivando con respecto a t,Av + B = 0. (2.13)

Comparando (2.11) y (2.13) vemos que A = D y B = !vA, de modo que (2.9) se convierte en

x! = A(x ! vt), t! = A(C/Ax + t). (2.14)

5

Para determinar A y C, consideramos el siguiente suceso: en el momento t = t! = 0 (cuandox = x! = 0), uno de los observadores emite una senal de luz que se expande en una esfera (veaseFigura 3). Despues de un tiempo t un punto en la esfera tendra para O unas coordenadas quesatisfacen

x2 + y2 + z2 = (ct)2. (2.15)

Para O!, la luz tambien se expande en una esfera, dado que la velocidad de la luz es igual para losdos, segun postulado 2, solo que para O! las coordenadas satisfaran

x!2 + y!2 + z!2 = (ct!)2. (2.16)

Dado que y = y! y z = z!, vemos que una condicion de consistencia para las transformaciones(2.14) es que

(ct)2 ! x2 = (ct!)2 ! x!2. (2.17)

Rellenando (2.14), encontramos para los valores de los coeficientes

A =1

!

1 ! v2/c2, C =

!v/c2

!

1 ! v2/c2. (2.18)

Vemos por lo tanto que las transformaciones (2.9) entre observadores O y O! que respetan las dospostulados de la relatividad son de la forma

t! =t ! vx/c2

!

1 ! v2/c2, x! =

x ! vt!

1 ! v2/c2. (2.19)

Las transformaciones (2.19) se llaman las transformaciones de Lorentz y se reducen para v " ca las transformaciones de Galilei (2.8) (por esto la mecanica newtoniana es valida a velocidadescotidianas). Dejamos como ejercicio derivar que las transformaciones de Lorenz reproducen losefectos relativistas de la seccion 1.

3. Dinamica relativista

3.1. Composicion de velocidades

Las transformaciones de Lorentz implican que la velocidad de una partıcula siempre tiene queser menor que (o, en caso de partıculas sin masa, igual a) la velocidad de la la luz: v # c. Estaobservacion esta en contradiccion con la regla de la suma de las velocidades V = V ! + v, dadopor la mecanica newtoniana. De las transformaciones de Lorentz podemos derivar una regla nuevapara la composicion de las velocidades.

Un partıcula tiene una velocidad V ! con respecto al observador O!, que a su vez se muevecon velocidad v con respecto a O. Para calcular la velocidad V de la partıcula con respecto a O,utilizamos la inversa de las transformaciones de Lorentz

x = ! (x! + vt!), t = ! (t! + vx!/c2). (3.20)

La velocidad V = dx/dt viene dada por

V = !"dx!

dt+ v

dt!

dt

#

= ! (V ! + v)dt!

dt=

V ! + v

1 + vV !

c2

, (3.21)

donde en la segunda igualdad hemos utilizado la regla de la cadena

dx!

dt=

dx!

dt!dt!

dt= V !

dt!

dt. (3.22)

Es facil de ver que con la regla (3.21) para la composicion de velocidades las velocidades medidaspor O nunca exceden la velocidad de la luz.

6

Para determinar A y C, consideramos el siguiente suceso: en el momento t = t! = 0 (cuandox = x! = 0), uno de los observadores emite una senal de luz que se expande en una esfera (veaseFigura 3). Despues de un tiempo t un punto en la esfera tendra para O unas coordenadas quesatisfacen

x2 + y2 + z2 = (ct)2. (2.15)

Para O!, la luz tambien se expande en una esfera, dado que la velocidad de la luz es igual para losdos, segun postulado 2, solo que para O! las coordenadas satisfaran

x!2 + y!2 + z!2 = (ct!)2. (2.16)

Dado que y = y! y z = z!, vemos que una condicion de consistencia para las transformaciones(2.14) es que

(ct)2 ! x2 = (ct!)2 ! x!2. (2.17)

Rellenando (2.14), encontramos para los valores de los coeficientes

A =1

!

1 ! v2/c2, C =

!v/c2

!

1 ! v2/c2. (2.18)

Vemos por lo tanto que las transformaciones (2.9) entre observadores O y O! que respetan las dospostulados de la relatividad son de la forma

t! =t ! vx/c2

!

1 ! v2/c2, x! =

x ! vt!

1 ! v2/c2. (2.19)

Las transformaciones (2.19) se llaman las transformaciones de Lorentz y se reducen para v " ca las transformaciones de Galilei (2.8) (por esto la mecanica newtoniana es valida a velocidadescotidianas). Dejamos como ejercicio derivar que las transformaciones de Lorenz reproducen losefectos relativistas de la seccion 1.

3. Dinamica relativista

3.1. Composicion de velocidades

Las transformaciones de Lorentz implican que la velocidad de una partıcula siempre tiene queser menor que (o, en caso de partıculas sin masa, igual a) la velocidad de la la luz: v # c. Estaobservacion esta en contradiccion con la regla de la suma de las velocidades V = V ! + v, dadopor la mecanica newtoniana. De las transformaciones de Lorentz podemos derivar una regla nuevapara la composicion de las velocidades.

Un partıcula tiene una velocidad V ! con respecto al observador O!, que a su vez se muevecon velocidad v con respecto a O. Para calcular la velocidad V de la partıcula con respecto a O,utilizamos la inversa de las transformaciones de Lorentz

x = ! (x! + vt!), t = ! (t! + vx!/c2). (3.20)

La velocidad V = dx/dt viene dada por

V = !"dx!

dt+ v

dt!

dt

#

= ! (V ! + v)dt!

dt=

V ! + v

1 + vV !

c2

, (3.21)

donde en la segunda igualdad hemos utilizado la regla de la cadena

dx!

dt=

dx!

dt!dt!

dt= V !

dt!

dt. (3.22)

Es facil de ver que con la regla (3.21) para la composicion de velocidades las velocidades medidaspor O nunca exceden la velocidad de la luz.

6

- Transformaciones de Galilei

- Transformaciones de Lorentz (satisfacen los principios relativistas)

xz z’

yvy’

O’Ox’




x! = x ! vt, y! = y, z! = z, t! = t. (2.8)



x! = Ax + Bt, t! = Cx + Dt, (2.9)


x! = Bt, t! = Dt, (2.10)


!v = B/D, (2.11)


Ax + Bt = 0, (2.12)



x! = A(x ! vt), t! = A(C/Ax + t). (2.14)

5

xz z’

yvy’

O’Ox’




x! = x ! vt, y! = y, z! = z, t! = t. (2.8)



x! = Ax + Bt, t! = Cx + Dt, (2.9)


x! = Bt, t! = Dt, (2.10)


!v = B/D, (2.11)


Ax + Bt = 0, (2.12)



x! = A(x ! vt), t! = A(C/Ax + t). (2.14)

5

Todo esto se puede entender como un cambio de coordenadas entre sistemas inerciales, que “corrige” las transformaciones de Galilei para incorporar los efectos relativistas

Observese que las transformaciones de t y x están íntimamente ligadas


Relatividad Especial1928

E = p

2

2m→ i ∂

∂tψ = −

2

2m ∇2ψCompárese con la ecuación de Schrödinger

(no-relativista)

P.A.M. Dirac

E2 = p2 +m2 →

E = ±(α ⋅ p) + β m

¡Predicción de la existencia de antipartículas!

Observación matemática: la generalización sólo existe si la partícula tiene cuatro grados de libertad

La ecuación de Dirac generaliza la de Schrödinger (p.ej. electrón) al régimen relativistaUnificación de relatividad y mecánica cuántica

Interpretación física: - Dos estados de spin - Dos estados corresponden a una partícula con igual masa y carga opuesta: antipartícula

Mecánica Cuántica

Relativista


Física de Partículas1932

Cámara de niebla

Descubrimiento del positrón(antipartícula del electrón)

C. Anderson

¡Dirac tenía razón!

Descubrimiento experimental de la antimateria

e+


Teoría Cuántica de Campos

R. P. Feynman

Electrodinámica Cuántica (QED)

Cálculo de amplitudes cuánticas mediante gráficos intuitivos

Feynman, Tomonaga, Schwinger; DysonDescribe interacciones electromagnéticas entre electrones, positrones y fotones, de forma cuántica y relativista

Su energía puede ser arbitrariamente alta, compatible con el principio de incertidumbre (vive un tiempo muy corto)

Interacción electromagnética entre dos electrones: intercambio de fotones (virtuales)

Concepto de partícula virtual, que aparece y desaparece en el proceso.

Diagramas de Feynman

1934-48

Banco Cuántico: ¡Oferta!Tome prestado ΔE por un tiempo Δt= h/ΔE


Teoría Cuántica de Campos1934-48

La interaccion electromagnética entre partículas cargadas se origina por intercambio de fotones (virtuales)

esos fotones sea absorbido por otra partícula cargada a una distancia r

ley 1/r2

Las cargas eléctricas emiten y absorben continuamente fotones virtuales (la nube de fotones virtuales es el campo electromagnético)

La dependencia 1/r2 en la ley de Coulomb describe la probabilidad de que uno de

Efectos reales de las partículas virtuales



Los diagramas codifican las propiedades cuánticas y relativistas

Ej: Efecto Compton

- Cuánticas:

- Relativistas: Relatividad de la simultaneidad:

Amplitud de probabilidad de un proceso= = suma sobre posibles maneras en que puede ocurrir (generalización del experimento de doble rendija)

Orden temporal de eventos puede depender del observador. Necesario sumar sobre diferentes ordenamientos temporales

1934-48

t

t’

e-

e-e-

γ

γ

t

Antipartículas: consecuencia de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad

Antipartículas=¡partículas viajando hacia atrás en el tiempo!

e-

e-

e-γ

γ

t

e-

e+e-γ

γ

t


Teoría Cuántica de Campos1948

¡El vacío se convierte en un concepto complicado!En la Física Cuántica los cuantos de los campos no pueden estar en reposo completo (principio de incertidumbre)

Por ejemplo, el estado de mínima energía del campo electromagnético (el vacío) puede producir pares virtuales electrón-positrón: FLUCTUACIONES DEL VACÍO

La electrodinámica cuántica reproduce los resultados conocidos y permite el cálculo de nuevos efectos (originados por las partículas virtuales) ¡en perfecto acuerdo con las medidas experimentales!)

La Teoría Cuántica de Campos y los diagramas de Feynman se convierten en el lenguaje natural para describir todas las interacciones.



E. Fermi

Modelo de Fermi de interacciones débiles

Interacción con intensidad GF ~ 10-5 comparada con la electromagnética

Patológica a altas energías ~100 GeV, Ok hasta ~1960

En el lenguaje de diagramas de Feynman

La analogía con electromagnetismo se hará mucho más concreta más adelante en la teoría electrodébil (partículas mediadoras Z/W)

1930

np+

e+

Detección de neutrinos(Cowan, Reines, 1956)

νet

np+

e-

Desintegración beta

νet

La interacción débil cambia la naturaleza de las partículas. Es más apropiado denominarla “interacción” que “fuerza”


Teoría Cuántica de Campos1934

Compatible con el principio de incertidumbre: 1.4 fm ~ 140 MeV

analogía con electromagnetismoIntercambio de partículas, denominadas pión

Modelo de Yukawa de la interacción fuerte: mantiene unidos los protones y neutrones en el núcleo

Partículas masivas ⇒⇒ interacción de corto alcance

Análogo de la ley de Coulomb

Interacción atractiva

H.Yukawa

Banco Cuántico: ¡Oferta!Tome prestados 140MeV

durante 10-23 s.

±

p

p

n

n

π

pp

n n

0π


Teoría Cuántica de Camposgravedad?

Interacción gravitatoriaAunque crucial en nuestra vida cotidiana, a priori es esencialmente irrelevante a nivel de las partículas elementales. Aún así, interesante del punto de vista teórico

Similaridad entre la ley de Newton y la de Coulomb

Partículas sin masa ⇒⇒ interacción de largo alcance

pp

p p

grav.

gravitón

La versión cuántica no es matemáticamente consistenteLa teoría clásica es la Relatividad General de Einstein

Mecánica Cuántica: Sistemas

muy pequeños

Gravedad: Sistemas

muy masivos Sistemas muy masivos pero muy pequeños

Gravedad Cuántica

¡ Reto del s.XXI !

Agujeros negros

Origen del Big BangTuesday, 4February, 2014

La esencia de la materia: una historia de fermiones y bosones

¿De qué está hecho nuestro universo?. Esta pregunta ha acompañado al hombre desde sus orígenes, pues conocer nuestra esencia íntima, desvelar quiénes somos, es uno de los grandes enigmas que todavía nos esforzamos en resolver.

En nuestro viaje al interior de nosotros mismos, hemos descubierto que somos organismos vivos, agrupaciones de células que están compuestas de moléculas, quienes a su vez están formadas por átomos. Y hemos aprendido que estos átomos se componen de un núcleo (que contiene protones y neutrones) rodeado por una nube de electrones.

Esto es lo que aprendemos en colegios e institutos: los ladrillos básicos de nuestro universo son los protones, los neutrones y los electrones.

Pero de vez en cuando, oímos noticias en la prensa que hablan de nuevos descubrimientos en física de partículas, que nos revelan la existencia de una auténtica fauna de extrañas partículas con nombres chocantes, que no sabemos donde encajan en el modelo que hemos estudiado.

Vamos a intentar explicar muy brevemente, cómo se organizan todas esas partículas, y cuáles son las que por ahora parecen ser los ladrillos fundamentales. La teoría física que explica este puzzle y cómo las partículas interaccionan es el Modelo Estándar. Según esta teoría

existen dos tipos de partículas elementales: los fermiones y los bosones. El modelo explica las fuerzas entre dos partículas (fermiones) como resultado de un intercambio de partículas mediadoras (bosones).

1. Los fermiones

Están asociados con la idea que tenemos de materia. Obedecen la estadística de Fermi-Dirac. Cumplen el principio de exclusión de Pauli (dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico a la vez). Tienen espín semientero. Cada

fermión posee su propio anti-fermión.

Hay 12 fermiones diferentes: 6 son quarks y 6 son leptones.

Los fermiones se agrupan en tres familias o tres generaciones: cada uno consistente en una pareja de quarks y una pareja de leptones.

1.1. Los quarks

Los quarks son portadores de carga de color y por ello interaccionan con la llamada fuerza fuerte. También poseen carga eléctrica e isospín débil, por lo que también interaccionan con la fuerza electromagnética y la fuerza débil. Hay 6 tipos de quarks

llamados up, down, charm,strange, top and bottom (o beauty).

La fuerza fuerte les confina de forma que se encuentran siempre agrupados formando compuestos sin carga de color: los hadrones. Éstos pueden estar constituidos por 3 quarks (y se llaman entoncesbariones) o por una pareja de quark y antiquark (los mesones, que en realidad son bosones). Nuestros bien conocidos protones y neutrones son un tipo de bariones, y están por tanto compuestos por 3 quarks.

1.2. Los leptones

Los leptones no tienen carga de color, por lo que no interaccionan con la fuerza fuerte. A este grupo pertenecen el electrón, el muón y el tau, además de los neutrinos que cada uno lleva asociado, elneutrino electrónico, el muónico y el tauónico.

https://gluones.files.wordpress.com/2009/08/proton_thyer.jpg

https://gluones.files.wordpress.com/2009/08/fermiones.jpg

El electrón, el muón y el tau tienen carga eléctrica e interaccionan con la fuerza electromagnética y la fuerza débil.

Los neutrinos no tienen carga eléctrica, por lo que sólo interaccionan con la fuerza débil, una de las razones por las que son difíciles de detectar.

2. Los bosones

Obedecen la estadística de Bose-Einstein. Tienen espín entero y no siguen el principio de exclusión de Pauli. Cinco de ellos son elementales: los 4 bosones gauge (que son portadores de fuerza) y elbosón de Higgs. Otros son bosones compuestos como los mesones.

Entre los bosones gauge encontramos a los fotones (portadores de la fuerza electromagnética), los gluones (portadores de la fuerza fuerte) y los bosones W+, W- y Z (portadores de la fuerza débil).

Además está teorizada la existencia del bosón de Higgs (de espín cero), que es una partícula elemental que explicaría el origen de la masa de las partículas elementales. Es la única partícula del Modelo Estándar de la que no hay todavía evidencia experimental. El gran colisionador de hadrones (LHC) del CERN espera descubrir pronto a este escurridizo bosón.

Hadrón, leptón, muón, barión, fermión …. ¡Vaya lío!. No te desanimes con tan variada fauna, sólo quería presentarte a sus principales componentes, así podrás identificarlos en sus grupos cuando oigas hablar de ellos y hacerte una idea de sus propiedades y de cómo interaccionan. Escucharás muchos más nombres raros llamados con letras griegas (lambda, sigma, delta …), no te alarmes, muy probablemente serán tipos de hadrones.

https://gluones.files.wordpress.com/2009/08/bosones.jpg

Quédate con esto: Por lo que conocemos hasta ahora, los ladrillos fundamentales de nuestro universo son los quarks, los leptones y los bosones portadores de fuerza.

Introducción a la Física de Partículas II

Dr. C. Javier Solano S.Instituto de Física

Universidad Nacional de Ingeniería

2

Física Moderna Dos revoluciones científicas que dieron

origen a la Física moderna ocurrieron en la primera mitad del siglo 20.

Estos avances se produjeron cuando los físicos trataron de extender las leyes de la Física más allá de la experiencia cotidiana.

• Relativity• Quantum mechanics

3

RelatividadPara describir cosas mo-

viéndose muy rápido se requiere de la teoría de la relatividad. Relatividad Especial

– No podemos alcanzar a la luz.– Masa es una forma de energía

E = m c2

Relatividad General

– GR abarca gravedad y describe el universo en expansión y los agujeros negros. Einstein en 1905, a la edad de 26

4

Mecánica Cuántica Para describir cosas que son

muy pequeñas se requiere Mecánica Cuántica.El principio de incertidum-bre de Heisenberg:

– Mientras conozcamos la posición de un objeto con mayor precisión, peor será nuestro conocimiento de su momento.

Para describir cualquier cosa tan pequeña como un átomo se requiere el uso de la Mecánica Cuántica.

Heisenberg en 1925, a la edad de 24

5

Nuestra teoría actual de Física de partículas: El Modelo Estándar Este es un gran logro intelectual de la segun-da mitad del siglo 20

La teoría esta basada en Teoría Relativista de Campos Cuánticos (QFT)

– La primera QFT fue la teoría cuántica de electricidad y magnetismo

Feynman ca. 1960

6

Las Partículas Elementales (que conocemos hasta ahora)

27 físicos de partículas ganaron el Nobel por descubrimientos experimentales y avances teóricos que llevaron a nuestro conocimiento presente

El boson de Higgs?

La teoría actual describe las fuerzas y partículas conocidas, con una excepción importante: gravedad

7

Sentido de EscalaPara resolver objetos muy pequeños, necesitamos el uso de muy alta energía.(Heisenberg de nuevo)

Colisiones a energías muy altas crean nuevas partículas(E=mc2 de nuevo)

Por esto tenemos aceleradores gigantes.

8

Mecánica Cuántica y GravedadA escalas muy pequeñas, la teoría de Einstein de

la gravedad falla. Tambien falla dentro de los agujeros negros.

Necesitamos otra revolución científica para reconciliar la Mecánica Cuántica y la Relatividad General.

Esto deberá cambiar radicalmente nuestro entendimiento del espacio y el tiempo.

Próximos avances vendrán de experimentos. Pero la teoría nos dirá donde y como buscar por esos avances.

9

Teoría de cuerdas

Teoría de cuerdas parece ser ambos, una teoría cuántica consistente de la gravedad y una teoría unificada de todas las partículas y fuerzas.

– Todas las partículas son diferentes vibraciones de un único tipo de cuerda.

– La teoría única de cuerdas cuánticas necesita 10 dimensiones.

10

Las Grandes Preguntas de la Física de Partículas

• Porqué la gravedad es tan débil?2. Existen dimensiones extras de espacio-

tiempo?• Qué es la materia oscura?• Es la naturaleza supersimétrica?• Qué es la energía oscura?• Porqué el universo solo quedó hecho de

materia?7. De donde viene la masa de los neutrinos?• Qué causa el misterioso campo de Higgs?

11

1. Porqué la gravedad es tan débil?

La fuerza gravitacional entre dos electrones es 42 ordenes de magnitud mas débil que la fuerza eléctrica entre ellos

– 1042 = 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Todas las otras fuerzas son de un orden parecido al de la fuerza eléctrica

Se nos está escapando algo

http://www.engl.virginia.edu/~enwr1016/public_html/jhl5a/jordan01.jpg

12

2. Existen dimensiones extras de espaciotiempo?Porqué los físicos piensan que podrían

haber dimensiones extras?

– Teoría de cuerdas las necesita.– Pueden servir para dispersar la fuerza intrínsica de

la gravedad, haciéndola parecer débil para nosotros– Podrían solucionar otros misterios de la Física de

partículas.?

13

Dimensiones Extras

Por algún motivo, dimensiones extras son difíciles de verse.

Podrían ser compactas y pequenasl.

Pensamos que el tamano de las dimensiones extras tendría que estar en la escala natural de la gravedad cuántica, la longitud de Planck ~ 10-35 m

Pero podría ser mayor, hasta 1018 m, y no lo habríamos observado con los experimentos existentes

R

1 dimensión infinita+ 1 dimensión pequena

14

Cómo podríamos observar esas dimensiones extras?

Si una dimensión espacial extra es compacta, enrollada con tamano R, veríamos nuevas partículas masivas tipo “Kaluza-Klein”

m=1/R, 2/R, ...

Podemos producirlas en los colisionadores si hay suficiente energía

15

Vida en una hoja En otra versión, las

dimensiones extras son grandes, pero estamos atrapados en una menbrana 3-dimensional en un espacio-tiempo de mas dimensiones.

Solo la gravedad actua en las dimensiones extras, que pueden ser de un tamano macroscópico.

16

Dimensiones ExtrasDimensiones extras

requieren de un gran salto en imaginación, como fue en la Mecánica Cuántica y Relatividad General.

Cambiaría nuestros conceptos de espacio y tiempo.

Ellas podrían existir, pero existen?

Si existen, podrían tener la escala de masa de 1 TeV.

Simulación de un graviton K-K opuesto a un jet de partículas en el detector CDF

17

El primer experimento de partículas: El Big Bang

10 microsegundos

Quarks forman protones.300,000 anos

Núcleos capturan electrones y forman atomos.

El universo se vuelve transparente.

13,700,000,000 anos

Hoy día

18

Composición del universoEstamos aquí.

We do not know what makesup 95% of the universe.

19

Materia Oscura (Dark Matter)

Vemos efectos gravitacio-nales de Materia Oscura a través de técnicas astro-nómicas

– Masa comba el espacio, flexionando la luz.

Pero sus propiedades no corresponden a ninguna partícula conocida. Materia Oscura es una nueva forma de materia

Los grandes objetos azules son imágenes de una galaxia distante. El cluster de galaxias amarillo al frente y su halo de materia oscura actúa como un lente gravitacional

20

3. Qué es la Materia Oscura (Dark Matter)?

Para entender la materia oscura necesitamos estudiarla en experimentos controlados.

Estamos tratando de detectar sus muy débiles interacciones en la Tierra.

También estamos tratando de producirla con colisionadores, e identificar su naturaleza.

21

Atrapando partículas de materia oscura en la naturaleza

Partículas de materia oscura son difíciles de verse

– 1 interacción por libra de material por ano,

– Retroceso de núcleos con una pequena energía.

Detectores muy sensitivos disenados para materia oscura están operando en lugares subterráneos muy profundos

DMP detector

~10 keV energy nuclear recoil

DMP-Nucleus Scattering

Detector: cristal de germanio a 20 millikelvin,(.02 grados sobre el zero absoluto)

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4. La naturaleza es supersimétrica?

“Supersimetría, si existe en la naturaleza, es parte de la estructura cuántica del espaciotiempo”

“Descubrimiento de la supersimetría iniciaría una revisión de las ideas de Einstein a la luz de la mecánica cuántica”

Es una firme predicción de la teoria de cuerdas

Esta elegante teoría describe la naturaleza?

Solo los experimentos lo dirán

photinophoton

gluinogluon

squarkquark

superpartnerpartícula

23

La materia oscura podría ser supersimétricaLa partícula supersimétrica mas liviana

(LSP) también es un candidato ideal para materia oscura.

– Probablemente es estable.– LSPs producidos en el universo primogenio aún

están dando vueltas por ahí– si LSPs forman la materia oscura, entonces ~100

de ellos están dentro de nosotros.

24

Produciendo y observando partículas supersimétricas

Si un colisionador tiene energía suficiente para producir

partículas supersimétricas, las veremos

25

5. Qué es la Energía Oscura?

Mapa de todo el espacio de Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)

Energía Oscura repele la materia y entonces causa la expansión acelerada del universo

26

Asimetría de Quarks en el Universo primogenio

Quarks y antiquarks se juntaron…

10,000,000,001 quarks

10,000,000,000 antiquarks

Materia y anti-materia fueron creadas en cantidades iguales en el Big Bang. Pero unapequena asimetría en sus propiedades dejó...

27

Asimetría de Quarks en el Universo primogenio

Todos se aniquilaron excepto por una pequeña diferencia.

1 Quark

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6. Porqué el universo solo quedó hecho de materia?

Una pequeña asimetría en las propiedades entre materia y anti-materia nos dejó con suficiente materia para formar el presente universo.

Conocemos de un tipo de esas asimetrías en quarks.Pero no explica el exceso de materia

Nueva Física de quarks podria causar la asimetría.

O la respuesta podría venir del exótico mundo de los neutrinos…

29

NeutrinosNeutrinos son las partículas

mas estrañas que hemos conocido.

– Son muy pero muy livianas.– La materia es casi transparente a

ellos.

Neutrinos del Big Bang

10 millones dentro de nosotros Neutrinos del Sol

trillones cada segundo

El Sol visto con neutrinos

30

Observando neutrinos a nuestro alrededor

Davis y Koshiba, Nobel laureados 2002

Super-Kamiokande, detector de neutrinos

31

7. De dónde viene la masa de los neutrinos?

Por 60 años pensamos que los neutrinos no tenian masa, como el fotón.

Ahora sabemos que tienen masa.

Pero cómo esa masa puede ser mucho menor que cualquier otra masa?

1 TeV

1 GeV

1 MeV

1 KeV

1 eV

1 meV

ν1 ν2 ν3

tbτc

sµ

due

Masas de quarksy leptons

32

Cómo se pesa un neutrino?

Prob. of ντ

Prob. of νµ

Distancia recorrida

33

Porqué la masa de los neutrinos es tan importante?

Neutrinos son estrictamente sin masa en el Modelo Estandar. La masa de los neutrino es el primer signo que nuestra teoría actual está incompleta.

Creemos que los neutrinos tan livianos que vemos podrían haber adquirido su masa de neutrinos muy masivos con masa cerca 1015

GeV.

Decaimientos de esos neutrinos pesados en el universo primogenio podrían haber dejado un exceso de materia que nos permitió estar aquí hoy :)

34

8. Que causa el misterioso campo de Higgs?El campo de Higgs aparece para permear el espacio.

– Conocemos la energía que una partícula adquiere al interactuar con el campo de Higgs como su masa.

El top quark siente el campo de Higgs con mas fuerza.Hay un campo de Higgs?Hay dos?Hay cinco?!

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Las Grandes Preguntas de la Física de Partículas

• Porqué la gravedad es tan débil?2. Existen dimensiones extras de espacio-

tiempo?• Qué es la materia oscura?• Es la naturaleza supersimétrica?• Qué es la energía oscura?• Porqué el universo solo quedó hecho de

materia?7. De donde viene la masa de los neutrinos?• Qué causa el misterioso campo de Higgs?

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La respuestas

Obtendremos las respuestas a la mayoría de esas preguntas de los experimentos que se están construyendo o que estánfuncionando ahora.

37

Quién respondera esas preguntas?

Podría necesitarse otra generación de investigadores para entender la Energía Oscura

Modelo Estándar

INTERACCIONES Y PARTÍCULAS FUNDAMENTALESEl Modelo Estándar recoge todo el conocimiento actual en física de partículas, incluye la teoría de interacción fuerte (cromodinámica cuántica o QCD) y la teoría unificada de interacciones débil y electromagnética (electrodébil).

La gravedad esta incluida en este poster puesto que es una de las interacciones fundamentales, pese a no ser parte del Modelo Estándar.

El espín es el momento angular intrínseco de las partículas. Se da en unidades de h, que es la unidad cuántica de momento angular donde

-25 -34h = h/2p = 6.58x10 GeV*s = 1.05x10 J*s. Las cargas eléctricas se dan en unidades de carga del protón. En el S.I

-19la carga eléctrica del protón es 1.60x10 C. La unidad de energía en física de partículas es el electrón voltio (eV), que es la energía ganada por un electrón al atravesar una diferencia de potencial de un voltio. Las masas se dan en

2 2 9 -10GeV/c (recuerda que E=mc ), siendo 1GeV=10 eV=1.60x10 J. 2 -27La masa del protón es 0.938 GeV/c =1.67x10 kg.

Carga de color Cada quark lleva uno de los tres tipos de"carga fuerte", también llamada "carga decolor". Estas cargas no tienen nada que vercon los colores del espectro visible.

Hay ocho tipos de posibles de color para los gluones. Tal como las partículas cargadaseléctricamente interaccionan intercambiando fotones, partículas con color interaccionanintercambiando gluones. Los leptones, fotones y bosones W y Z no sufren interacción fuerte.

Quarks confinados en Mesones y Bariones Los quarks y los gluones no se pueden confinar, están confinados en partículas de colorneutro llamadas hadrones. Este confinamiento (enlace) resulta de intercambios múltiples de gluones entre sus constituyentes con color. Si las partículas con color se alejan, la energía del campo entre ambas aumenta. Dicha energía puede convertirse en un par quark-antiquark adicionales (ver figura debajo). Los quarks y antiquarks se combinan entonces para formar hadrones.En la naturaleza se han observado dos tipos de hadrones: mesones qq y bariones qqq

Interacción fuerte residual El enlace fuerte de protones y neutrones para formar el núcleo se debe a interacciones fuertes residuales entre sus constituyentes con color. Es similar a la interacción eléctrica residual, que enlaza átomos neutros para formar moléculas. También se puede ver como el intercambio de mesones entre hadrones.

MATERIA Y ANTIMATERIA Para cada tipo de partícula existe su correspondiente antipartícula, denotada por una barra sobre el símbolo de la partícula (a menos que presenten carga positiva o negativa). Partícula y antipartícula tienen la misma masa y spin, pero carga opuesta. Algunos bosones eléctricamente

0neutros (por ejemplo Z , g) son sus propias antipartículas.

Un neutrón se desintegra en un protón, un electrón y un antineutrino por medio de un bosón W virtual.

Dos protones que colisionan a alta energía, pueden producir varios hadrones y partículas de gran masa como los bosones Z. Sucesos como este son poco frecuentes, pero pueden aportar pistas vitales para desentrañar la estructura de la materia.

Un electrón y un positrón (antielectrón) colisionando a alta energía pueden

0aniquilarse para producir mesones B 0y B por medio de un bosón Z virtual o

un fotón virtual

FIGURASEstos diagramas son una concepción artísticade procesos físicos. No son exactos y no están a escala. Las zonas sombreadas verdes representan la nube de gluones o el campo gluonico y las lineas rojas representan el camino que siguen los quarks.

_

´

´

_

Sí los protones y neutrones de la imagen superior tuviesen 10 cmde diámetro, entonces los quarks y electrones tendrían menos de0.01 mm y el diámetro del átomo sería de 10 Km.

Documents

El Modelo Estandar