Traduccin: FIDENCIOMArA GoNZLEZ. Facultad de Ciencias. UNAM

Revisin tcnica: M. EN C. a..AUDlA Pi\TIO ROMNFacultad de Ciencias, UNAM

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Mxico ArgmtiM Colllmbia Chile &:Uldnr GuR.temIIlR VenezuelR

WW OxfordUniversityPress

Louis LeitholdPepperdine University

Se imprimieron 21,000 ejemplares.

Esta obra se termin de imprimir en mayo de 1998en GRUPO MEXICANO MAPASA, S.A. de C.V.Emiliano Zapata No. 93Col. San luan txhuatepecT1alnepantla, Edo. de MxicoC.P. 54180

Impreso en Mxico - Printed in Mxico1098765432

Traducido de la sptima edicin en ingls 'de:11fE CALCULUS 7Copyright 1994, by Louis Leithold.Publicado por acuerdo con Louis Leithold e Interests Intemational, loe.ISBN 0-673-469131

DERECHOS RESERVAOOS 4) 1998, respecto a la sptima edicin por:OXFORD UNIVERSITY PRESS - HARLA MXICO, S.A. de C.V.Antonio Caso 142, Col. San Rafael, Delegacin Cuauhtmoc, C. P. 06470, Mxico, D.F. Te]. 5 92 42 77Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, nmero de registro 72.3.

Prohibida la reproduccin total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso y por escrito deleditor.

EL CLCULO. Sptima Edicin

Producctn:Supervtston:Formacin:

Fidencio Mata GonzlezAlfredo Prez GuarnerosAntonio Figueredo HurtadoRosario Lpez SantiagoE. G. Corporacin de Servicios Editoriales y Grficos

Edici6n:

"El enorme avance de la tecnologa elija dcada final del siglo XX, alentada por los utpicos de la sociedad del Oesteque creen en 1IQparaso de informacin electrnica,motiv6 esta pintura especialmente creada paraEC7, la cual surgedirectamente de mi trabajo reciente sobre objetos futuristas. En este cuadro buscomostrar un encuentroCon la imagen yla imaginac6n al borde de la idea fugaz hacia una forma tangible. Deseo que el trabajo tenga un aspecto extrallamentefamiliar, tal vez como parte de algo ms 8JIDlde,ms poderosoy futurista, pero a la vez que parezca usado. El cuadro esde hecho una metfora que representa el deseo del individuode buscar y experiment~ la adquisicindel conocimientc".

Dan Douke, pintor del Sur de California y actualmente profesor de arte en Califomta State University de losAngeles, exhibe su obra de manera regular en Tortue Gallery, en Santa Mnica, y en O. K. Harrts Works 01Arten Nueva York. El profesor Douke redact la siguiente declaracin de acuerdo con el cuadro reproducido en lacubierta:

DISEIQO PARA LA CUBIERTA

----------~----_......

A mi hijo Gordon Mare,sus hijos Justin yMatthew,y su abuelo David

PROLOGO xv,I ~ Funciones, lmites y continuidad 1

1.1 Funcionesy sus grficas 2

1.2 Operaciones con funcionesy tipos de funciones 12

r 1.3 Funciones como modelos,matemticos 201.4 Introduccin grfica a 10$ lmitesde funciones 28

1.5 Definicin de lmite de una funciny teoremas de lmites 3~

1.6 lmites laterales 49

1.7 Lmites infinitos 551.8 Continuidad de una funcin

en un nmero 67

1.9 Continuidad de una funcincompuesto y continuidaden un lntervclo 76

~ 1.10 Continuidad de las funcionestrigonomtricas y teoremade estriccin 85Revisi6n del capitulo 1 93

~ Derivada y d~ferenciacin 100

1012.1 Recta tangente y derivado2.2 Diferenciobilidod y continuidad 1092.3 Derivado numrica 118~2.4 Teorerncs sobre diferenciacin

de funciones algebraicasy derivadas de orden superior 123

2.5 Movimiento rectilneo 1322.6 Derivada como tasa de variacin 145

CONTENIDO

319

Algunas tcnicas de antiderivacJn

Ecuaciones diferenciales y movimientorectilneo

4.1

4.2

4.3

297310

Antiderivacin

296Integral definida e integracin

275287

3.10 Aproximaciones mediante el mtodode Newton, de la recta tangentey de diferenciales

Revisin del captulo 3

266

260

242249

231

2233.4 Funciones crecientes y decrecientes,

y criterio de la primera derivada

3.5 Concavidad, puntos de inflexiny criterio de la segunda derivada

3.6 Trazo de las grficas de funcionesy de sus derivadas

3.7 Lmitesal infinito

3.8 Resumen para el trazo de las grficasde funciones

3.9 Aplicaciones adicionalessobre extremos absolutos

2153.3 Teorema de Rolle y teorema

del valor medio

2073.2 Aplicaciones que involucran

un extremo absolutoen un intervalo cerrado

1983.1 Valores mximos y mnimos

de funciones

197

~ Comportamiento de las funciones~ y de sus.gr~icas,valores extremos

y aproximaciones

172

182190Revisin del captulo 2

1622.8 Derivada de una funcin

compuesta y regla de la cadena

2.9 Derivada de la funcin potenciapara exponentes racionalesy diferenciacin implcita

2.10 Tasas de variacin relacionadas

1522.7 Derivadas de las funciones

trigonomtricas

viii CONTENIDO

CONTENIDO ix

- rea4.4 3284.5 Integral definida 3384.6 Teorema del valor medio

para integrales 352

4.7 Teoremas fundamentales del Clculo 360~ 4.8 rea de una regin plana 372L 4.9 Volmenes de slidos mediantelos mtodos de rebanado, de discos

y de arandelas 381

4.10 Volmenes de slidos medianteel mtodo de capas cilndricas 391

Revisin del captulo 4 397

~ ~ Funciones logartmicas, exponenciales,~ trigonomtricas inversas e hiperblicas 403

5.1 Inversa de una funcin 4045.2 Funcin logartmica natural 4185.3 Diferenciacin logartmica

e integrales que producen funcioneslogartmicas naturales 430

5.4 Funcin exponencial natural 4375.5 Otras funciones exponenciales

y logartmicos 448

5.6 Aplicaciones de la funcin exponencialnatural 456,

5.7 Funciones trigonomtricas inversas 4695.8 Integrales que producen funciones

trigonomtricas inversas 485

5.9 Funciones hiperblicas 490Revisin del captulo 5 503

Aplicaciones adicionalesde la integral definida 508

6.1 Longitud de arco de la grficade una funcin 509

6.2 Centro de masa de una barra 5166.3 Centro de masa de una lmina

y centroide de una regin plana 522

6.4 Trabajo 530

8.9

6956988.7

8.8

8.6

684

707718

Series infinitas de trminos positivos

Series infinitas de trminos positivosy negativos

Resumende crilerios sobre la convergenciay divergencia de series infinitas

Series de potencias

Diferenciacin e integracin de. seriesde potencias

Series de Taylor

8.2

8.3

8.48.5

639647659671

Aproximaciones polinornioles mediantela frmula de Taylor

Sucesiones

Series infinitas de trminos' constantes

8.1

638Aproximaciones polinomiales,sucesionuy series infinitas

618627632

604612

584591

572

565

545555

7.1 Integracin por partes

7.2 Integrales. trigonomtricas

7.3 Integracin de funciones algebraicasmediante sustitucin trigonomtrica

7.4 Integracin de funciones racionalesy crecimiento logstico

7.5 Integracin mediante otras tcnicasde sustitucin y labias

7.6 Inlegracin numrica

7.7 Forma indeterminada O/O y teorema. del valor medio de Cauchy

7.8 Otras formas indeterminadas

7.9 integrales impropias con lmitesde integracin infinitos

7.10 Otras integrales impropias

Revisin del captulo 7

544....._.,.. Tcnicas de integracin, formas~ indeterminadas e integrales impropias

536542

Fuerza ejercida Por la presinde un lquido

Revisin del captulo 6

6.5

x CONTENIDO

""11

CONTENIDO xi

~ 8.10 Series de potencias para logaritmosnaturales y serie binomial 727Revisin del captulo 8 735

Ecuaciones paramtricas, curvasplanas y grficas polares 739

el;O

~ 9.1 Ecuaciones para mtricas y curvas planas 740

9.2 longitud de arco de una curva plana 7479.3 Coordenadas polares y grficas polares 7529.4 longitud de orco y rea de uno regin

poro grficos polares 765

9.5 Tratamiento unificado de las seccionescnicos y ecuaciones polares

de los cnicos 774Revisin del captulo 9 782i " Vectores, rectas, planos y superficiesen el espacio 78610.1 Vectores en el pleno 78710.2 Vectores en el espacio tridimensional 79910.3 Producto punto 81110.4 Planos y rectos en R3 82210.5 Producto cruz 83310.6 Superficies 846

Revisin del captulo 10 860., Funciones vectoriales 864"'- 11.1 Funciones vectoriales y curvas en R3 86511.2 Clculo de las funciones vectoriales '87211.3 Vectores tangente unitario y normal

unitario, y longitud de arco comoparmetro 882

11.4 Curvatura 88811.5 Movimiento curvilneo 897

Revisin del captulo 11 909., Clculo diferencial de funcionesde ms de una variable 91312.1 Funciones de ms de una '{ariable 914

f 12.2 ,lmites y continuidad de funcionesde ms de una variable 926

xii CONTENIDO

12.3 Derivadas parciales 942

12.4 Diferenciabilidad y diferencial total 955

12.5 Regla de la cadena para funcionesde ms de una variable 965

12.6 Derivadas direccionales y gradientes 975

12.7 Planos tangentes y rectas normalesa superficies 985

12.8 Extremos de funciones de dos variables 990

12.9 Mult!,plicadoresde lagrange 1004

Revisindel captulo 12 1014

Integracin mltiple 102113.1 Coordenadas cilndricas y esfricas 102213.2 Integrales dobles 1028

13.3 Aplicaciones de las integrales dobles 1041

13.4 Integrales dobles en coordenadaspolares 1052

13.5 Integrales triples 1061

13.6 Integrales triples en coordenadascilndricas y esFricas 1067

Revisindel captulo 13 1074

Introduccin al Clculode campos vectoriales 107714.1 Campos vectoriales 107814.2 Integrales de lnea 1089

14.3 Integrales de lnea independientesde la trayectoria 1098

14.4 Teorema de Green 110814.5 Integrales de superficie 1121

14.6 Teorema de la divergencia de Gaussy teorema de Stokes 1128

Revisindel captulo 14 1135

Apndice: Temas de matemticasprevias al Clculo 1138

A.1 Nmeros reales y desigualdades 1139

A.2 Coordenadas y grFicas de ecuaciones 1150

CONTENIDO xiii

1158

1168

1173

1178

1183

1192

1201

1209

1216

12231224

1231

1232

1233

1235

1237

1241

1242

1243

1247

1249

1250

12531253

1253

1259

1260

1261

1263

1264

1274

1275

1345

Tablas y formulariosTabla de derivadas

Tabla de integrales

Frmulas de lgebra

Frmulas de geometra

Frmulas de trigonometra

Frmulas de trigonometra hiperblica

Frmulas de geometra analtica

Alfabeto griego

Respuestas de los ejercicios impares

ndice

~ Secciones suplementarias~ Suplemento 1.5

Suplemento 1.7

Suplemento 1.10

Suplemento 2.8

Suplemento 4.5

Suplemento 5.1

Suplemento 8.2

Suplemento 8.5

Suplemento 8.8

Suplemento 12.3

Suplemento 12.4

Suplemento 12.8

A.3 Rectas

A.4 Parbolas

A.5 Circunferencias

A.6 Traslacin de ejes

A.7 Elipses

A.S HiprbolasA.9 Funciones trigonomtricas

A.1O Ecuacin general de segundo gradoen dos variables y rotacin de ejes

A.11 Fracciones parciales

Los catorce captulosde EC7 pueden clasificarse en dos partes: captulos1-9, en los que se estudian funciones de una variable y series infinitas; cap-tulos 10-14,en los que se tratan vectores y funcionesde ms de una variable.EnEC7 se han realizadocambiosen las dospartes.En todo el libro semantieneun sano equilibrio entre un estudio riguroso y un punto de vista intuitivo, in-cluso en las modificaciones.

Con objeto de alcanzar los objetivos planteados, se han incorporado lassiguientescaractersticas:

El Clculo 7 (de aqu en adelante abreviado como EC7) es una obra diseadatanto para los cursos de especializacin en matemticas como para los estu-diantes cuyo inters primario radica en la ingeniera, las ciencias fsica ysociales,o los camposno tcnicos.La exposicinest adecuadaa la experienciay madurez del principiante. Las explicaciones detalladas, los abundantesejemplos desarrollados as como la gran variedad de ejercicios, continansiendo las caractersticasdistintivasdel texto.

En ningn 0!0 tiempo entre ediciones sucesivas han ocurrido tantoscambios en la enseanza del Clculo como en el periodo entre las edicionessexta y sptima de este texto. Muchos de estos cambios son el resultado de ladisponibilidad de la tecnologa modema en la forma de calculadora grfica ograficadoramanual. Algunos otros cambios se deben al movimiento denomi-nado reforma del Clculo.He invitado a seguir este movimiento observandoelprincipio:REFORMACON RAZN.Conel findeapegarmeaesteprincipio,"he aplicado las siguientesguas:

1. La tecnologa debe incorporarse para mejorar la enseanza y el apren- ..dizaje del Clculo, no para reemplazar las matemticas o restar impor-tancia a los temas tericos.

2. Las definiciones y teoremas deben establecerse formalmente, no in-formalmente.

3. Los estudiantes deben estar concientes de que las demostracionesde losteoremas son necesarias.

4. Cuando se presenta una demostracin, debe ser bien motivada y cuida-dosamente explicada, de modo que sea entendible para cualquiera quehaya alcanzadoun dominiopromediode las seccionesanterioresdel libro.

5. Cuando se establece un teorema sin demostracin, la discusin debe au-mentarse mediante figuras y ejemplos; en tales casos, debe enfatizarseel hecho de que lo que se presenta es un ejemplo ilustrativo de la propo-sicin del teoremay no una demostracindel mismo.

6. Debe darse importancia a los modelos matemticos de las aplicacionesde la vida real.

7. Debe destacarse la redaccinen matemticas.

"Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederseen ello."

Albert Einstein

,PROLOGO

Todas las figuras se han vuelto a trazar para-EC7. Las grficas trazadas en lagraficadora se muestran en una pantalla de graficadora enmarcada por unborde de colorms oscuro a diferenciade las grficas dibujadasa mano.Todas

PROGRAMA DEARTEVISUAL (FIGURAS)

Los ejemplos, cuidadosamente seleccionados, habilitan a los estudiantes enla resolucin de los ejercicios, y adems sirven como modelos para sus solu-ciones. Se utiliza un ejemplo ilustrativo a fin de mostrar un concepto, defini-cin o teoremaparticular; es un prototipo de la idea expuesta.

EJEMPLOSY EJEMPLOSILUSTRATIVOS

Los ejercicios, revisados de las edicionesanteriores y ordenadospor gradosdedificultad,proporcionanuna gran variedadde tipos de problemas que van des-de clculos y aplicaciones hasta problemas tericos para la calculadora yejercicios de redaccin, corno los mencionados anteriormente.stos aparecenal final de cada seccin y cornoejercicios de repaso al final de cada captulo.

EJERCICIOS

A fin de completar la solucin de cada ejemplo de un problema verbal, sepresenta una conclusin que responde a las preguntas de ste. El estudiantedebe redactar una conclusin semejante, que consista en una o ms oracionescompletas,para cada ejercicio similar.Al final de cada grupode ejercicioshayuno o dos de redaccin los cuales pueden preguntar sobre cmo o por qufunciona un procedimiento determinado, o bien, pueden pedirle al estudianteque describa, explique o justifique un proceso particular.

REDACCiN EN MATEMTICAS

Los modelos matemticos de situaciones prcticas presentadas como proble-mas verbales surgen en diversos campos como fsica, qumica, ingeniera,administracin, economa, psicologa, sociologa, biologa y medicina. Lasfuncionescomomodelosmatemticosse introducenprimeroen la seccin 1.3 yaparecen con frecuencia en el resto del texto. La seccin 1.3 contiene suge-rencias para obtener una funcin cornomodelomatemticopaso a paso.

MODELOS MATEMTICOS YPROBLEMAS VERBALES

1. Trabajar analticamente (con papel y lpiz); despus apoyar numricay grficamente (con la graficadora).

2. Trabajar numrica y grficamente; despus confirmar analticamente.3. Trabajar numrica y grficamente debido a que otros mtodos no son

prcticos o posibles.

A lo largo de la presentacin,EC7 utiliza la calculadora grfica o graficadoramanual no slo como un poderoso y fascinante instrumento para el apren-dizaje, sino comoun instrumentofundamentalen la solucinde problemas.Seha integrado la graficadora directamente a la exposicin de acuerdo a la filo-sofa que he aprendido en mis tres veranos con TICAP (TechnologyIntensiveCalculus for AdvancedPlacement) la cual se resume como sigue:

GRAFICADORA 11ACTIVA"

xvi PRLOGO

En este captulo se presentan las aplicaciones tradicionalesde la derivada queimplican mximos y mnimos as como el trazado de una curva. Los lmitesal infinito y sus aplicaciones para determinar asntotas horizontales se hancambiado a este captulo donde se aplican a fin de dibujar grficas. La grafica-dora se utiliza frecuentementecon el objeto de apoyar los resultadosobtenidosde forma analtica as como para conjeturar propiedades de las funciones, lascuales se confirmandespus analticamente.Un aspecto nuevo de esta edicinest relacionado con los ejercicios, donde se le pide al estudiante que dibuje

Captulo 3 Comportamiento de lasfunciones y sus grficas, valores extremosy aproximaciones

En la seccin 2.1 se define la recta tangente a la grfica de una funcin antesde estudiar la derivada, esto con el propsito de mostrar un avancede la inter-pretacingeomtricade esteconcepto.Lasaplicacionesfsicasde laderivadaenel estudio del movimiento rectilneo se presentan slo despus de haber de-mostrado los teoremas sobre diferenciacin, de modo que dichos teoremaspueden emplearse en estas aplicaciones. En la seccin 2.7 se estudian lasderivadas de las seis funciones trigonomtricas y despus se empleancomo ejemplos para la presentacin inicial de la regla de la cadena en lasiguiente seccin. La derivada numrica, tema nuevo en esta edicin y pre-sentado en la seccin 2.3, se utiliza junto con la graficadora para apro-ximar derivadas y para trazar sus grficas. En la seccin 2.4 se simula elmovimientode una partcula sobre una lnea recta.

Captulo 2 Derivada y diferenciacin

Los tres temas del ttulo de este captulo conforman la base de cualquier pri-mer curso de Clculo. Se exponen todos los teoremas de lmites incluyendoalgunas demostraciones en el texto, mientras que otras se esbozan en losejercicios. La seccin 1.3, nueva en esta edicin, presenta las funcionescomo modelos matemticos anticipadamente de su uso posterior en aplica-ciones. En consecuencia, estos modelos proporcionan al estudiante una vistapreliminar de cmo se aplica el Clculo en situaciones reales. La seccin 1.4,tambin nueva, utiliza la graficadora para introducir el concepto de lmite deuna funcin.

j,

DESCRIPCiN DE CADA CAPTULOCaptulo 1 Funciones, lmites y continuidad

Cada captulo comienzacon una introduccintitulada VISI6N PRELIMINAR.Al final de cada captulo se muestra una lista de sugerencias para su revi-sin. Juntos, estos aspectos sirven como una resea, de principio a fin delcaptulo, cuando el estudiante se prepara para un examen.

ASPECTOS PEDAGGICOS

las. figuras tridimensionales se han generado mediante computadora con elfin de obtener precisin matemtica. Estas figuras, que son ms vvidas queen las ediciones anteriores, fueron creadas con la ayuda de Matemtica yAdobe Illustrato".

PRLOGO xvii

En este captulo se presentan las aplicacionesde la integral definida, no slolas tcnicas de manipulacin sino tambin los principios fundamentales invo-lucrados. La longitud de arco, una aplicacin geomtrica, se trata en la sec-cin 6.1. Las otras cuatro secciones estn dedicadas a aplicaciones fsicas, lascuales incluyen centro de masa de una barra y de regiones planas, trabajo y fuerza ejercida por la presin de un lquido. En cada aplicacin, se motivan

Captulo 6 Aplicaciones adicionales de laintegral definida

En la primera seccin se tratan las funciones inversas, y las cinco seccionessiguientes se dedican a las funciones logartmica y exponencial. Primero sedefine la funcin logartmica natural y despus la funcin exponencial naturalcomo su inversa. Este procedimientopermite dar un significadopreciso de unexponente irracional de un nmero positivo. Posteriormente se define la fun-cin exponencial de base a, donde a es positivo. Las aplicaciones de estasfunciones incluyen las leyes naturales de crecimiento y decaimiento, el creci-miento limitado implica la curva de aprendizaje, y la funcin de densidad deprobabilidadnormal estandarizada.Las tres ltimas secciones se dedican a lasfunciones trascendentes (no algebraicas) restantes: las funciones trigonom-tricas inversas y las funcioneshiperblicas.

Captulo 5 Funciones logartmicas,exponenciales, trigonomtricas inversase hiperblicas

Las dos primeras secciones tratan sobre antiderivacin (o antidiferenciacin).Se utiliza el trmino antiderivacin en lugar de integracin indefinida, sinembargo, se conserva la notacin estndar fJ(x) dx. Esta notacin sugerirque debe existir alguna relacin entre integrales definidas y antiderivadas,pero no veo perjuicio alguno en lo anterior, en tanto la presentacin propor-cione un panorama tericamente apropiado de la definicin de la integraldefinida como un lmite de sumas. Dichos lmites se aplican primero para de-finir el rea de una regin plana y despus se utilizan en la definicin de laintegral definida. La capacidad de la graficadora para aproximar el valor deuna integral definida se presenta antes de la demostracin del segundo teo-rema fundamental del Clculo, utilizado para obtener valores de integralesanalticamente. Esta capacidad permite demostrar propiedades de la integraldefinida en una graficadora tal como se desarrollan. La seccin 4.3, sobreecuacionesdiferencialesseparables,presenta aplicacionessobreel movimientorectilneo,donde el movimientose simula en la graficadora.Otras aplicacionesde los conceptos de este captulo incluyen el estudio completo del rea de una.regin plana as como el volumen de slidos, presentados posteriormente enlaedicinanterior.Laseccin4.9 se iniciaconelclculodevolmenesmedianteelmtododerebanado,secontinaconladeterminacindevolmenesdeslidosde revolucinmediantelos mtodosde discos y de arandelas,consideradosco-mo casos especialesdel mtodo de rebanado.En la seccin4.10 se determinanlosvolmenesde slidosde revolucinmedianteelmtodode capascilndricas.

Captulo 4 Integral definida e integracin

la grfica de una funcin a partir de la grficade su derivaday viceversa.En laseccin final del captulo se presenta la aproximacin mediante la recta tan-gente junto con el mtodo de Taylor y el de diferenciales.

xviii PRLOGO

Los tres temas de este captulo se han agrupadopara completar el estudio delclculo de una variable. Las dos primeras secciones tratan sobre ecuacionesparamtricas y curvas planas, constituyen un requisito previo para el estudiode vectores. En las dos secciones siguientes se estudian grficas polares,mientras que en la seccin final se presenta un tratamiento unificado de lassecciones cnicas y las ecuaciones polares de las cnicas. La discusin de

Captulo 9 Ecuaciones paramtricas, curvasplanas y grficas polares

Las secciones acerca de sucesiones y series se han considerado en un solocaptulo y no en dos como en la edicin anterior.Todos los temas se incluyen,pero algunas de las discusiones se han acortado sin sacrificar la integridadmatemtica. Este captulo es independiente y puede estudiarse en cualquiermomentodespusde completarlosprimeros sietecaptulos.La primeraseccintrata acerca de aproximaciones polinomiales mediante la frmula de Taylor.Esta frmula se generaliza a la serie de Taylor en la seccin 8.9. Las secciones8.2-8.6 sehandedicadoa lassucesionesy seriesinfinitasdetrminosconstantes,y en la seccin 8.6 se presenta un resumen de los criterios de convergenciapara series infinitas. En las secciones 8.7-8.10 se estudian las series de tr-minos variables denominadas series de potencias. Los temas de este captuloconducenpor s mismos a la incorporacinde la graficadora,no slo para faci-litar el estudio sino que permite a los estudiantesexaminar e investigar la con-vergenciao divergenciade una serie infinitay de aproximacionespolinomiales.

Captulo 8 Aproximaciones polinomiales,sucesiones y series infinitas

Las tcnicas de integracin constituyen uno de los aspectos ms importantesde las operacionesdel Clculo.Estas tcnicas se estudian en las primeras cincosecciones, tratadas en ocho en la edicin anterior. Despusde una motivacinintroductoria,se explican los fundamentostericosde cada unode losmtodos.El dominio de las tcnicas de integracin depende de los ejem-plos, y se han utilizado como problemas ilustrativos que, seguramente, elestudiante enfrentar en la prctica. En la seccin 7.4 se presentan otras dosaplicaciones de la integracin: crecimiento logstico, que surge en economa,biologa y sociologa; y la ley qumica de accin de masas. En la seccin 7.6se estudian dos mtodosnumricospara aproximar integrales definidas. Estosprocedimientos son importantes debido a que resultan muy adecuados para eluso de computadoras y graficadoras. Los temas sobre aproximacin de inte-grales definidas incluyen el establecimiento de teoremas acerca de las cotaspara el error implicado en estas aproximaciones. Las cuatro secciones res-tantes, que tratan acerca de las formas indeterminadase integrales impropias,se han reubicado en esta edicin; preceden inmediatamentea los temas de se-ries, en donde se aplicanmuchos de los resultadosobtenidos.Las aplicacionesde las integrales impropiasincluyen la funcinde densidadde probabilidadascomo algunasotras relacionadascon geometray economa.

Captulo 7 Tcnicas de integracin, formasindeterminadas e integrales impropias

y explican intuitivamente las definiciones de los trminos nuevos. Se hanvuelto a escribir todas las secciones y se han agregado ejemplos, en algunosde ellos se utiliza la graficadorapara aproximarel valor de la integraldefinida.

PRLOGO xix

En las seis secciones de este captulo final se presenta un estudio amplio delClculo vectorial.Este estudio incluye campos vectoriales, integrales de lnea,

Captulo 14 Introduccin alClculo de campos vectoriaJes

El Clculo integral de funciones de ms de una variable, contenido en lassecciones13.2-13.6, esprecedidopor una seccinen la que seestudiancoorde-nadas cilndricas y esfricas, reubicadas en esta edicin, de modo que estnms cerca a los temas en que se aplican. Las integrales dobles de las fun-ciones de dos variables se estudian en la seccin 13.2 y en las dos seccionessiguientes se aplican a la fsica, ingenieray geometra.

Captulo 13 Integracin mltiple

Los temas contenidos en este captulo se han reunido y condensado de doscaptulos de las ediciones anteriores, otra vez sin afectar la integridad mate-mtica. En las primeras cinco secciones se estudian lmites, continuidad,deri-vadas parciales, diferenciabilidady la regla de la cadena para funciones dems de una variable. Las aplicacionesde estas secciones incluyen la determi-nacin de tasas de variacin y el clculo de aproximaciones.La seccin 12.6,sobre derivadas direccionalesy gradientes, precede a una seccinque muestrala aplicacin del gradiente en la determinacin de planos tangentes y rectasnormales a superficies. Otras aplicaciones de las derivadas parciales se pre-sentan en las dos ltimas secciones y tratan sobre problemas de extremos ymultiplicadoresde Lagrange.

Captulo 12 Clculo diferencial defunciones de ms de una variable

De igual manera que con los vectores en el captulo 10, en este captulo seestudian las funciones vectoriales tanto en el plano como en el espaciotridimensional.Las curvas en los dos espacios,definidasmedianteuna funcinvectorial o por medio de un conjuntode ecuacionesparamtricas, as como suspropiedades tambin se estudian simultneamente. Las aplicaciones de estecaptulo tratan acerca de geometra, fsica e ingeniera. En la seccin 11.5,sobre movimiento curvilneo, se utiliza la graficadora para simular en movi-miento de un proyectil en un plano.

Captulo 11 Funciones vectoriales

En esta edicin, los vectores bidimensionales y tridimensionales se estudianen el mismocaptulo y no en forma separadacomo en ediciones anteriores.Enla seccin 10.1 se definen los vectores en el plano. En la seccin 10.2, antesde definir un vector tridimensional,se presenta el espacio numrico tridimen-sional, el cual se denota por R3. En el captulo tambin se proporciona unaintroduccinvectorial a la geometra analtica slida al estudiar, en la seccinIDA, rectas y planos enR3, y superficies en la seccin 10.6.

Captulo 10 .Vectores, rectas, planosy superficies en el espacio

las secciones cnicas en coordenadas rectangulares ahora se estudian por logeneral en un curso previo al Clculo, en esta edicin se tratan en el apndice.

xx PRLOGO

LoUIS LEITHOLD

Las secciones suplementarias se encuentran despus del apndice; estas sec-ciones contienen temas que pueden ser cubiertos u omitidos sin afectar lacomprensin del material subsecuente. Estas secciones designadas medianteel nmero de la seccin del cuerpo principal del texto, contienen discu-siones tericas y algunas de las demostracionesms difciles.

Secciones suplementarias

Los temas de lgebra, trigonometra y geometra analtica, por lo comn seestudian en cursos previos al Clculo, ahora se presentan en el apndice, de-jando as el cuerpoprincipaldel textopara temasestrictamentede Clculo.Estamodificacin tiene como consecuencia el hecho de que las palabras con geo-metra analtica no aparecen en el ttulo de esta edicin. Las secciones delapndice pueden cubrirse en detalle, como un repaso o pueden omitirse porcompleto, dependiendode la preparacinde los estudiantes de cada grupo.

Apndice

el teorema de Green, el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema deStokes. La presentacin de estos temas es intuitiva y las aplicaciones sonacerca de fsica e ingeniera.

PRLOGO xxi

Benita Albert, Oak Ridge High SchoolDaniel D. Anderson, University of IowaRichard Armstrong, Saint Louis Community College at Florissant ValleyCarole A. Bauer, Triton CollegeJack Berman, Northwestem Michigan CollegeMichael L. Berry, West Virginia Wesleyan CollegeJames F. Brown, Midland CollegePhillip Clarke, Los Angeles Valley CollegeCharles Coppin, University of DaliasLarry S. DilIey, Central Missouri State UniversityPeter Embalabala, LincIon Land Community CollegeLeon Gerber, Saint John's UniversityRonald E. Goetz, Saint Louis Community College at MaramacWilliam L. Grimes, Central Missouri State UniversityKay Hodge, Midland CollegeCharles S. Johnson, Los Angeles Valley CollegeJohn E. Kinikin, Arcadia High SchoolStephen Kokoska, Bloomsburg University of Pennsylvania Ron LancasterBenny Lo, Ohlone CollegeMiriam Long, Madonna UniversityRobert McCarthy, Community College of Allegheny CountyLawrence P. Merbach, North Dakota State College of ScienceJanet Mills, Seattle UniversityJames M. Parks, State University of New York College at PotsdamTerry Reeves, Red Rock Community CollegeWilliam H. Richardson, Wichita State UniversityRicardo A. Salinas, San Antonio CollegeLillian Seese, Saint Louis Community College at MaramacLuzviminda Villar Shin, Los Angeles Valley CollegeLawrence Small, Los Angeles Pierce CollegeJames Smolko, Lakeland Community CollegeArmond E. Spencer, State University of New York College at PotsdamAnthony E. Vanee, Austin Community CollegeJan Vandever, South Dakota State UniversityGerald L. White, Westem IIIinois UniversityDouglas Wilberscheid, Indian River Community CollegeDon Williams, Brazosport CollegeAndre L. Yandl, Seattle University :

REVISORES

RECONOCIMIENTOS

L.L.

Para estas personas, para el cuerpo tcnico de HarperCollins CollegePublishers y todos los usuarios de las seis ediciones anteriores ofrezco mims profundo reconocimiento.Deseo agradecerespecialmentea Leon Gerber,Saint John's University, y Lawrence Small, Los Angeles Pierce College, porsus esfuerzos diligentes en la revisin del manuscrito en sus diferentes ver-siones antes de la publicacinas comopor sus contribucionessignificativasalos ejercicios nuevos de esta edicin. Tambin agradezco a mi editor, KevinConnors, HarperCollinsCollege Publishers, por su firme dedicacin, coraje yapoyo para este proyecto

Dan Douke, cortesa de Tortue Gallery, SantaMnica

DISEO DE LA CUBIERTA

Ronald E. Goetz, Saint Louis CornmunityCollege at MaramacCharles S. Johnson, Los AngelesValleyCollegeRobertMcCarthy,CommunityCollege of AlleghenyCountyLawrenceP. Merbach,North Dakota State College of ScienceLuzvimindaVilIar Shin, Los AngelesValleyCollegeArmondE. Spencer, StateUniversityofNew YorkCollege at Potsdam

REVISORES DE LAS RESPUESTAS DE LOSEJERCICIOS

Leon Gerber, Saint John's University, asistido por SamuelGerber

PREPARACiN DE SOLUCIONES y RESPUESTASDE LOS EJERCICIOS

xxiv RECONOCIMIENTOS

* N. del E. Este material slo est disponibleen ingls. En un futuro prximoesta editorial tendr el "Manual de resolucionespara el profesor".

Estos materiales se encuentran listados en la tercera de forros de estelibro.

Libros auxiliares de inters paraestudiantes y profesores deClculo publicados porOxford University Press, Harla, Mxico

Test GeneratorlEditor with Quizmaster (Generador de exmenes/Editorcon Quizmaster)

Este banco de exmenes computarizadoest disponible en versionesparaDOS y Macintosh, y puede trabajarse completamenteen redes. El Generadorde Exmenes, escrito para EC7, puede emplearse para seleccionar problemasy preguntas al elaborar exmenes ya preparados. El Editor permite a los pro-fesores editar cualesquiera datos preexistentes o crear sus propias preguntas.Quizmaster permite a los instructores crear exmenes y cuestionarios del Ge-nerador de Exmenes y almacenarlos en discos de modo que puedan ser uti-lizados por los estudiantesen computadoraspersonaleso en una red.

Tambin est disponible un banco de exmenes impresos que incluyetodos los problemasy preguntasdel banco de exmenes computarizado.

Para el profesorInstructor's Solutions Manual for THE CALCULUS 7 (Manual de solu-ciones para el profesor) por Leon Gerber, de Saint John's University.

Este manual, en dos volmenes, contiene las soluciones para todos losejercicios de EC7.

An Outline for the Study of Calculus (Un esbozo para el estudio delClculo) por Leon Gerber, de Saint John's University y John Minnick, deDeAnzaCollege.

Para ayudar a los estudiantes en su estudio de EC7, este manual, en tresvolmenes, contiene las soluciones detalladas paso a paso de todos los ejer-cicios cuyo nmero es divisible entre 4. Los manuales tambin contienen to-dos los teoremas y definiciones importantes as como exmenes simples consus solucionespara cada captulo.

Para el estudiante

MATERIAL SUPLEMENTARIO PARA EL CLCULO*

Algunas de los ideas fundamentales del Clculo se remontan a los antiguosmatemticos griegos del tiempo de Arqumedes (287-212 a.C.) as como alos trabajos de los primeros aos del siglo XVII realizados por RenDescartes (1596-1650), Pierre de Fermat 1601-1665), John Wallis(1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Sin embargo, la invencin delClculo se atribuye a Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottrried WilhelmLeibniz (1646-1716) debido a que ellos iniciaron la generalizacin y unifi-cacin de estos conceptos matemticos. Asimismo, otros matemticos de lossiglos XVII y XVIII intervinieron en el desarrollo del Clculo, algu-nos de ellos fueron: Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli(1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph L. Lagrange(1736-1813). No obstante, no fue sino hasta el siglo XIX en que se estable-cieron los fundamentos de las nociones y de los procesos del Clculo pormatemticos tales como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L.Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekin(1831-1916).

# #

ASPECTOS HISTORICOS DEL CALCULO

Aprender Clculo puede ser una de las experiencias educacionales msestimulantes y excitantes. Para que esto sea as, usted debe iniciar su cursode Clculo con el conocimiento de ciertos conceptos de matemticas concer-nientes a lgebra, geometra, trigonometra y geometra analtica.

Los temas de lgebra, trigonometra y geometra analtica de especialimportancia se presentan en las secciones A.I-Al1 del apndice al final dellibro. Las propiedades especficas de los nmeros reales as como algunasnotaciones bsicas se presentan en la seccin Al. Debe familiarizarse conestos temas antes de iniciar el captulo 1. Refirase a las secciones A2-A8 yAIO para revisar los temas de geometra analtica. En la seccin A9 se es-tudian las funciones trigonomtricas. Tal vez necesite estudiar la seccinA.II, donde se presentan las fracciones parciales, antes de tratar la sec-cin 7.4 sobre integracin de funciones racionales.

La visualizacin mediante grficas juega un papel importante en el es-tudio del Clculo. Estas grficas se obtendrn en dos formas: a mano y me-diante un dispositivo de graficacin automtico de alta velocidad como lasgraficadoras y computadoras con el software apropiado. Estos dispositivosfuncionan de manera similar, pero para el estudiante resultar ms prcticoutilizar una graficadora que una computadora personal. En consecuencia, enel texto se emplear la graficadora.

Cuando se trate de una grfica realizada a mano se usar la termino-loga dibuje la grfica, y cuando deba emplear un dispositivo electrnico en suelaboracin se indicar trace la grfica. Las grficas trazadas en una grafica-dora estn representadas por figuras que muestran una pantalla de graficado-ra enmarcada por un rectngulo y las ecuaciones de las grficas mostradasse indican en la parte inferior de la pantalla. Las graficadoras no son estric-tamente automticas debido a que requieren de un operador (una persona quelas haga funcionar) que presione teclas especficas; sin embargo, como estasteclas dependen del fabricante y del modelo de la graficadora, deber con-sultar el manual de funcionamiento para obtener informacin sobre cmorealizar operaciones especficas.

Con los conocimientos bsicos preliminares, est usted preparado parainiciar su curso de Clculo, que es el fundamento para muchas de las ramasmatemticas y para la mayora de los conocimientos del mundo moderno.

I

~ ~PREPARACION PARA EL ESTUDIO DEL CALCULO

#EL CALCULO

Indvdoblomonll habr lrolado funciono. In 'v.CUriO, on'. do'imlle. probobl.ml1lte el concepto rn, mporJ:on,. enClIIeulo, Se inicia 01 ... Iudlo de Irm,tes "" lo .eccfn I.~medlon,. ",no In"oduccl6n 9tf~ca o lo~ limite, d."""cion.,. P,im4fo .. p,oporclona uno fu"damltll\lclnpeno a polO d.1o nocin de 11m, lo cual

Como los nmeros se han restringido a los nmeros reales, y es una funcinde x slo si x - 2 ~ O debido a que para cualquier x que satisfaga esta de-sigualdad, se determina un solo valor de y. Sin embargo, si x < 2, se

y=~

[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Sea/la funcin definida porla ecuacin

es (-00, +00) y el contradominio es [0, +00).

[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Con notacin de intervalos,el dominio y contradominio de la funcin definida por la ecuacin

define una funcin para la cual X es el conjunto de todos los nmeros realesy Yes el conjunto de los nmeros no negativos. El valor de y asignado alvalor de x se obtiene al multiplicar x por s mismo. La tabla 1 proporcionaalgunos de estos valores y la figura 2 ilustra la correspondencia de los nme-ros de la tabla.

Para denotar funciones se utilizan smbolos como f,g y h. El conjunto Xde los nmeros reales indicado anteriormente es el dominio de la funcin y elconjunto y de nmeros reales asignados a los valores de x en X es el contra-dominio de la funcin. El dominio y el contradominio suelen expresarse en lanotacin de intervalos descrita en la seccin A.I del apndice.

y = xl

En la figura 1 se muestra la representacin de una correspondencia deeste tipo. Se puede establecer el concepto de funcin de otra manera: considereintuitivamente que el nmero real y del conjunto Yes una funcin del nmerox del conjunto X, si existe una regla mediante la cual se asocia un solo valorde y a un valor x. Esta regla se expresa frecuentemente por medio de unaecuacin. Por ejemplo, la ecuacin

Con frecuencia, en las aplicaciones prcticas el valor de una variable dependedel valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender delnmero de horas que trabaje; la produccin total de una fbrica puede de-pender del nmero de mquinas que se utilicen; la distancia recorrida por unobjeto puede depender del tiempo transcurrido desde que sali de un puntoespecfico; el volumen del espacio ocupado por un gas a presin constantedepende de su temperatura; la resistencia de un cable elctrico de longitudfija depende de su dimetro; etc. La relacin entre este tipo de cantidades sue-le expresarse mediante una funcin. Para fines exclusivos de este texto, lascantidades involucradas en estas relaciones son nmeros reales.

FIGURA 2

Y: nmeros nonmeros reales negativos

1 13 92 44 16O O-13 9-2 4-4 16

x y = x'

Tabla 1

FIGURA 1

1.1 FUNCIONES Y SUSGRAFICAS

2 CAPTULO 1 FUNCIONES, LMITESY CONTINUIDAD

1.1.1 Definicin de funcin

A continuacin se establecer formalmente la definicin de funcincomo un conjunto de pares ordenados. Al definir una funcin de esta manera,y no como una regla de correspondencia,se hace ms preciso su significado.

g = {(x,y) I y = ~}Algunos de los pares ordenados de g son (3, O), (4, J7), (5, 4), (-3, O),(--Jf3, 2). ~

C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 La funcin g del ejemploilustrativo 3 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cualesy = ..Jx2=9; es decir,

f = {(x, y) I y == ~}Algunos de los pares ordenados de f son (2, O), (~, 1), (3, 1), (4, .,f2),(5, .f3), (6, 2), (11, 3). ~

C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 La funcin f del ejemploilustrativo 2 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cualesy = ~. En smbolosesto se expresa como

Se puede considerar una funcin como un conjunto de pares ordena-dos. Por ejemplo, la funcin definida por la ecuacin y == x2 consta de todoslos pares ordenados (z, y) que satisfacen la ecuacin. Los pares ordenados deesta funcin proporcionados por la tabla 1 son (1, 1),n, ~),(4, 16), (O,O),(-1, 1), (- ~, ~) y (- 4, 16).Por supuesto, existe un nmero ilimitado de paresordenados de esta funcin, algunos otros son (2, 4), (-2, 4), (5, 25), (-5, 25),(.f3, 3), etctera.

y== ~

Se observa que y es una funcin de x slo para x ;;:::3 o x S; -3 (o sim-plemente, Ixl ;;:::3); para cualquier x que satisfaga alguna de estas desi-gualdades, se determinarun solo valor de y. No se determinarningn valorreal de y si x est en el intervalo abierto (-3, 3), ya que para estos valores dex se obtiene la raz cuadrada de un nmero negativo. Por tanto, el dominiode g es (-00, -3] U [3,+00), Yel contradominioes [O,+00). ~

Seag la funcindefinidaporC> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3la ecuacin

tiene la raz cuadrada de un nmero negativo, y en consecuencia,no se obten-dr un nmero real y. Por tanto, se debe restringir x de manera que x ;;:::2.De este modo, el dominio de f es el intervalo [2, +00), Y su contradominioes [O,+00). ~

1.1 FUNCIONES Y SUS GRFICAS 3

* N. del T. La palabra inglesa range se ha traducido generalmente como rango, y corresponde al nombre del conjunto de valores asignados a lavariable dependiente de una funcin.Otros nombres para este conjunto son: recorrido (poco empleado en clculo); mbito (trmino muy recien-te para este concepto); imagen (muy empleadoen lgebray teora de conjuntos);rango (muy empleado en clculo).

h(x) = ~el dominio de h es el intervalo cerrado [-2, 2] porque ~4 - x2 no es unnmero real para x > 2 o x < -2. El contradominiode h es [O, 2].

est implcito que x *- -4, debido a que el cociente no est definido parax = -4; en consecuencia, el dominio de g es el conjunto de todos los nme-ros reales excepto -4.

Si h est definida por la ecuacin

g(x) = 5x - 2x+4

entonces el dominio def consta de todos los nmeros reales entre l y 10, in-cluidos stos.

De manera semejante, si g est definida por la ecuacin

ISxslOf(x) = 3x2 - 5x + 2

la funcin tiene un valor si x es cualquier nmero real; por tanto, el dominioes el conjunto de todos los nmeros reales. Sin embargo, sifest definidapor

Cuando se define una funcin, debe indicarse el dominio implcita oexplcitamente.Por ejemplo, sifest definidapor

f(x) = 3x2 - 5x + 2

f(9)

f(5)f(3) = ~1

f(6) = -J6 - 22

A continuacin se calcularf(x) para algunos valoresespecficosde x.

En el ejemplo ilustrativo 2,[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6f = (x, y) I y = -v'X=2"}. De modoque

f(x) = -v'X=2"

En esta definicin, la restriccin de que dos pares ordenados no puedentener el mismo primer nmero asegura que y es nico para cada valor espec-fico de x. Los smbolos x y y denotan variables. Debido a que el valor de ydepende de la eleccin de x, x denota a la variable independiente mientrasque y representa a la variable dependiente.

Sif es la funcin tal que los elementos de su dominio se representan porx, y los elementos de su contradominio se denotan por y, entonces el smbolof(x) (lase "f de x") denota el valor particular de y que corresponde al valor dex. La notacinf(x), denominada valor de funcin, se debe al matemtico yfsico suizo Leonhard Euler (1707-1783).

nmero. El coojunto de todos los valores admisibles de x se denominaclomflllo de la funcin, y el conjunto de todos lag valores resultantesde y recibe el nombre de"oontradorninfo* de la funcin.

4 CAPTULO 1 FUNCIONES, MmS y CONnNUIDAD

8hx - Sh + 4f2h

=8x-S+4h

4(x + h)2 - S(x + h) + 7 - (4x2 - Sx + 7)h

4x2 + 8hx + 4h2 - Sx - Sh + 7 - 4x2 + Sx - 7h

(a) (x + h) - (x)h

(x + h) - (x)h

donde h ~ O, si (a)f(x) = 4x2 - Sx + 7; (b)f(x) = Ji.

Solucin

Determine... EJEMPL02

Este cociente se presenta como la pendiente de la recta que pasa por los pun-tos (x, f(x)) y (x + h, f(x + h de la grfica de la funcin definida pory = f(x). Consulte la figura 3. En caso de que al efectuar el clculo aparezcaen el numerador la diferencia de dos radicales, se racionaliza el numeradorcomo en el inciso (b) del ejemplo siguiente .

h ~ Of(x + h) - f(x)h

Compare los clculos del inciso (f) y (g) del ejemplo 1. En el inciso (f) serealiza el clculo de f(x + h), que es el valor de la funcin para la suma de x yh. En el inciso (g), en donde se calculaf(x) + f(h), se obtiene la suma de losdos valores de la funcinf(x) y f(h).

En el captulo 2 se requerir calcular cocientes de la forma

(e) f(2x) = (2x)2 + 3(2x) - 4= 4x2 + 6x - 4

(f) f(x + h) = (x + h)2 + 3(x + h) - 4= x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h - 4= x2 + (2h + 3)x + (h2 + 3h - 4)

(g) f(x) + f(h) = (x2 + 3x - 4) + (h2 + 3h - 4)= x2 + 3x + (h2 + 3h - 8)

(d) f(2h) = (2h)2 + 3(2h) - 4= 4h2 + 6h - 4

(e) f(h) = h2 + 3h - 4

(b) f(2) = 22 + 3 . 2 - 4= 6

determine: (a) f(O); (b) f(2); (e) f(h); (d) f(2h); (e) f(2x); (f) f(x + h);(g) f(.x) + f(h)

.Solucin(a) f(O) = 02 + 3 . O - 4

= -4

f(x) = x2 + 3x - 4

Dado que f es la funcin definida por... EJEMPLO J

FIGURA 3

lfi + " - f(,_.-~-~~y = (x)

1.1 FUNCIONES Y SUS GRFICAS 5

Observe que en las figuras 4, 5 y 6, cualquier recta vertical intersectar acada grfica cuanto ms en un punto.

Unuuta vertical inlersecta la grfica.de una funein a lo mis en unpnto.

De esta definicin, se deduce que la grfica de una funcinf es la mismaque la grfica de la ecuacin y = f(x).

La grfica de la funcin del ejemplo ilustrativo l es la parbola dibujada enla figura 4. La grfica de la funcinf de los ejemplos ilustrativos 2 y 4 Y dibujadaen la figura 5 es la mitad superior de la parbola. La grfica de la funcin g delos ejemplos ilustrativos 3 y 5 est dibujada en la figura 6; est grfica es la mitadsuperior de una hiprbola.

Recuerde que en una funcin existe un solo valor de la variable depen-diente para cada valor de la variable independiente del dominio de la funcin.En trminos geomtricos, esto significa que:

Sifes una funciD.entonces la gnfica defes elcoDjunto de lodos lospuntos (x, y) dofpllino R2 para los cuales (l; y) es un par ordenado de!

1.1.2 Definidn de grfica de una fundnx

El concepto de funcin como un conjunto de pares ordenados permiteenunciar la siguiente definicin de grfica de una funcin.

En el segundo paso del inciso (b) de esta solucin, se multiplica elnumerador y el denominador por el conjugado del numerador para racionali-zar el numerador, de donde se obtiene un factor comn de h en el numerador yen el denominador. ~

h(-!X+h + ji)1

h(-!X+h + ji)h

-!X+h - jih

(rx+h - ji)(-!X+h + ji)h(-!X+h + ji)

(x + h) - x

(b) f(x + h) - f(x)h

FIGURA 7

-5

x = ay

FIGURA 6

g(x)=~

y

FIGURAS

(x) = ~

o

y

FIGURA 4

-'_5+-+--+-+-+-AiO,--t---++-t--t-+-+ x [> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Considere el conjunto{(x, y) I .xl + y2 = 25], cuya grfica es la circunferencia, de radio 5 ycentro en el origen, dibujada en la figura 7. Este conjunto de pares ordenados noes una funcin porque para cualquier x en el intervalo (-5, 5), dos paresordenados diferentes tienen a x como primer nmero. Por ejemplo, (3, 4) Y(3, -4) son dos pares ordenados del conjunto dado. Adems, observe quecualquier recta vertical cuya ecuacin sea x = a, donde -5 < a < 5, inter-secta a la circunferencia en dos puntos. ~

6 CAPTULO1 FUNCIONES,MmS y CONTINUIDAD

Las funciones definidas a trozos sern de gran utilidad en el estudio delmites, continuidad y derivada, como ejemplos y contra-ejemplos de funcio-nes que poseen ciertas propiedades. En el caso de la grfica de la funcin delejemplo 4, se rompe en el punto donde x = 3 lo que, como aprender en la

Solucin El dominio de f es (-00, +00). La figura 9 muestra la grficade t. consta de la porcin de la recta y = x - I para la cual x < 3, el punto(3, 5) y la parte de la recta y = 2x + 1 para la cual 3 < x. Los valores de lafuncin son nmeros menores que 2, el nmero 5 o nmeros mayores que 7.Por tanto, el contradominio de f es el nmero 5 y aquellos nmeros en(-00,2) U (7, +00).

~ EJEMPLO4 Seaf la funcin definida por

X5-l six

Determine el dominio y el contradominio de H y dibuje su grfica.

six * 3six = 3{

x2 + 3H(x) =

Sea H la funcin definida porEJEMPLO 7

En el ejemplo 6, la grfica tiene un "hoyo" o "agujero" en x 3, dondeh(3) no est definido. En el ejemplo siguiente, tambin la grfica tiene unagujero en x = 3, pero el valor de la funcin en 3 s est definido.

La grfica de h consta de todos los puntos de la recta y = x + 3 exceptoel punto (3, 6), y se muestra en la figura 11. El contradominio de h es el con-junto de todos los nmeros reales excepto 6. ....

six * 3h(x) = x + 3xo h(x) = x + 3, teniendo en cuenta que x * 3. En otras palabras, la funcinh puede definirse por

(x - 3)(x + 3)x - 3h(x)

Solucin Como h(x) est definida para todo x, excepto 3, el dominio deh es el conjunto de nmeros reales excepto 3. Cuando x = 3, tanto el nume-rador como el denominador son cero y O/O no est definido.

Al factorizar el numerador como (x - 3)(x + 3) se obtiene

Determine el dominio y el contradominio de h, y dibuje su grfica.

h(x) = x2 - 9x - 3

La funcin h est definida porEJEMPLO 6

Solucin El dominio de g es (-00, +00). La grfica contiene la parte dela recta y = 3x - 2 para la cual x < 1 Y la porcin de la parbola y = x2para la cual I ::;; x. La grfica se muestra en la figura 10. El contradominioes (-00, +00). ....

Determine el dominio y el contradominio de g, y dibuje su grfica.

si x < 1si 1 ::;; x

g(x) = {3X - 2x2

Sea g la funcin definida porEJEMPLOS

seccin 1.8, muestra que la funcin es discontinua para ese valor de x. En elejemplo siguiente se tiene una funcin definida a trozos cuya grfica no serompe en el valor de x, en el que cambian las expresiones que la definen, eneste caso en x = 1.

r'-GURA 11

X2 - 9h(x) = --

x - 3

FIGURA 10

g(x) = {3X - 2 si x < IX2 SIl:::;; x

y

8 CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDAD

y determine su dominio y su contradominio.Apoye su respuesta trazando sugrfica en la graficadora.

G(x) = [x] - xDibuje la funcin G definida porEJEMPLO to

x

Esto es, [x] es el mximoenteromenor o igual quex. En particular, [1] = 1,[1.3] = 1,[O.S] = 0, [-4.2] = -S y [-8] = -8.

La grfica de la funcin mximo entero est dibujada en la figura lS.Su dominio es el conjunto de todos los nmeros reales y su contradominioconsiste de todos los nmeros enteros. En muchas graficadoras se denota lafuncinmximoentero por INT.

si n $; x < n + 1,donde n es un entero[x] = n

La funcin valor absoluto se ha implementado en las graficadoras yusualmente se denota por ABS. Otra funcin con que cuenta la graficadora esla funcin mximo entero cuyos valores de funcin se denotan por [x] yestn definidos por

El dominio es (-00, +(0). La grfica de f consta de dos semirectas que pa-san por el origen y estn por arriba del eje .r; una tiene pendiente 1 yla otra tiene pendiente -1. Consulte la figura 14. El contradominio de f es[O, +(0). ..

si z > six < f(x) = { x-x

Solucin De la definicinde Ixl,y dibuje su grfica.

f(x) = Ix Ifuncinf para la cual

Determine el dominio y el contradominio de laEJEMPLO 9

La funcin del ejemplo siguiente se denomina funcin valor absoluto.

Determineel dominio y el contradominiodef y dibuje su grfica.

Solucin Como f est definida para todo x, su dominio es (-00, +(0).La grfica, mostrada en la figura 13, consta del punto (2, 7) y todos lospuntos sobre la parbola y = x2 excepto (2, 4). El contradominio de f es[O, +(0). ..

six ~ 2six = 2{

x2f(x) = 7

La funcinfest definida por. EJEMPLO 8

Solucin Como H est definida para todo x, su dominio es (-00, +(0).La grfica de H se muestra en la figura 12. El contradominiode H es el con-junto de todos los nmeros reales, diferentes de 6. ..

FIGURA 15

Funcin mximo entero

(x) = IxlFIGURA 14

y

FIGURA 13y

six .. 2six = 2{

x2(x) = 7

FIGURA 12y

H(x) = {x + 3 six" 32 six = 3

1.1 FUNCIONES Y SUS GRFICAS 9

y

12. g(x) = 4 :. x

14. G{x) = x2 + 216. f(x) = (x - 1)218. F(x) = ...[9-=-i20. g(x) = -f4722. f(x) = ~24. H(x) = 15 - xl

x2 - 426. G(x) = ----x=-T2x2 + 7x + 3

28. f(x) = x + 3X2 - 2527. H(x) = --x+5

11. f(x) = 3x - l13. F(x) = az15. g(x) = 5 - x217. G(x) = ...rx=-r19. f(x) = ~21. g(x) = ..J9723. h(x) = 1x - 31

25. F(x) = 13x + 2 ~

7. Dadaf(x) = az + 5x - 3, determine (a)f(-2);(b)f(-I); (e)f(O); (d)f(3); (e)f(h + 1); (f)f(2x2);(g)fir - 3); (h)fix + hv; (i)f(x) + f(h);

( ') f(x + h) - f(x) h OJ h ,~.

8. Dada g(x) = 3r - 4, calcule (a) g(- 4); (b) g( k);(e) g(x2); (d) g(3x2 - 4); (e) g(x - h); (f) g(x) - g(h);

( ) g(x + h) - g(x) h Og h ,ct-.

9. Dada F(x) = ..[X'+9, encuentre (a) F(x + 9);(b) F(x2 - 9); (e) F(x4 - 9); (d) F

55. f(x) = 1 x2 - 1 I

57. g(x) = Ixl . 15 - xl56. g(x) = 14 - x2158. f(x) = Ixl'lx - 31

54. Existen tres funciones fl' f2 y f3 cuyas grficas trazadassimultneamente en el rectngulo de inspeccin de [-1, 1]por H. 1] se parecen a la letra Z. Defina fJ(x), fz(x)yfJ(x).

En los ejercicios 55 a 58. haga lo siguiente: (a) defina la fun-cin a trozos sin emplear las barras de valor absoluto; (b) di-buje la grfica de lafuncin definida en el inciso (a); (c) apoyesus respuestas a los incisos (a) y (b] trazando la grfica de lafuncin.

[-1. 1] por [-1, 1]

53. En la figura, la grfica se parece a la letra X y es la grficade dos funciones fl y fz trazadas en el rectngulo inspec-cin de [-1, 1] por [-l. 1]. DefinafJ(x) y fz(x).

y

(-1,2) (1,2)

52. La grfica de la funcin f de la figura se parece a la letraM. Definaf(x) a trozos.

.r

sgn(x) se lee "signo de x". Defina cada una de las siguien-tes funciones a trozos y dibuje sus grficas: (b) X sgn();(e) 2 - X sgn(x); (d)x - 2 sgn(x).

50. Defina cada una de las siguientes funciones a trozos, don-de sgn es la funcin signo definida en el ejercicio 49: (a)sgn(x + 1); (b) sgn(x - 1); (c) sgn(x + 1) - sgn(x - 1).

51. La grfica de la funcin f de la figura se parece a la letraW.Definaf(x) a trozos.

48. Defina cada una de las siguientes funciones a trozos y di-buje sus grficas, donde U es la funcin escaln unitariodefinida en el ejercicio 47:(a) x . U(x); (b) (x + 1) U(x + 1);(e) (x + 1) U(x + 1) - x U(x).

49. (a) Dibuje la grfica de la funcin signo denotada por sgny definida por

{

-I six

defina las siguientes funciones y determine el dominio de las funciones resul-tantes: (a)f + g; (b)f - g; (e)f g; (d)f/g.

Solucin(a) (j + g)(x) = .JX+1 + ~(b) (j - g)(x) = -vx + 1 - ~(e) (j. g)(x) = -vx + l ~

(d) (j/g)(x) = .J~'V X - 4

f(x) =.JX+1 y g(x) = ~Dado quefy g son las funciones definidas porEJEMPLO'

En cada caso, el dominio de la' funcin res.ultante consta de aque-llos' valores. de .T comunes a los domini~s de f y g,. 000 el requeri-miento adicional en el caso (iv) de que se excluy3..11los valores d x~ Iqs cuales 8Cx) =!- O.

g(x) *' O(ffg)(x) = f(x)fg(x)

(iH) su producto, denotado porf .g, es la funcin definida por(f . g)(x) = f(x) _'g(x)

(Iv) su cooente, denotado por!!g, es la funci6n definida por

(ti) su dife.l'ebCia, denotada por! - g, es la funcin defin@ por

el"': g)(x) = f(x) - g(x)

ip I(f + g)(X) ee (x) + g(x)

Dadas las dos'funciones/y g:

_ (1) su suma, denotada porf + g. es la funci.ndefinida por

1.2.1 Definicinde la suma, d,ferena, productoy cociente de dos funciones

Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante adi-cin, sustraccin, multiplicacin y divisin de sus valores. De acuerdo conesto, las nuevas funciones se conocen como la suma, diferencia, producto ycocientede las funciones originales.

1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Y TIPOS DE FUNCIONES

61. Las grficas de las funciones de los ejercicios 51 y 52 pa-recen letras del alfabeto. Defina otras dos funciones cuyasgrficas se parezcan a dos letras diferentesy dibjelas.

En los ejercicios 59 y 60, dibuje la grfica de la funcin y de-termine su dominio y su contradominio.Apoye sus respuestastrazando la grficade lafuncin.

62. En esta seccin se utilizaron los sfmbolosf,f(x) y y = f(x)concernientes a una funcin particular. los cuales tienensignificadosdiferentes. Explique lo que significa cada no-tacin, invente una funcin y utilcela para distinguir lostres smbolos.

63. Explique por qu la grfica de una funcin es consistentecon la definicin de la funcin como un conjunto de paresordenados.En su explicacinutilice un ejemploespecfico.

60. F(x) = x + [xll59. h(x) = x - [xll

12 CAPTULO 1 FUNCIONES,MmS y CONTINUIDAD

Jf(g(3 = f(7)

57 - 2

(2x + 1) - 2As

(b) (f o g)(x) = f(g(x= f(2x + 1)

57

Obtenga (f o g) (3) mediante dos mtodos: (a) calcule g(3) y utilice este n-mero para determinarf(g(3; (b) calcule (f o g)(x) y emplee el resultadoparadeterminar (f o g)(3).

Solucin(a) g(3) = 2(3) + 1

./(x) = x ~ 2 Y g(x) = 2x +~ EJEMPLO 2 Sean

(f o g)(x) = f(g(x= f(2x - 3)= .J2x - 3

El dominio de g es (-00, +00) Y el dominio de f es [O, +00). Por tanto, eldominio de f o g es el conjunto de nmeros reales x para los cuales2x - 3 ~ O o, equivalentemente,[~, +00). EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Esta definicin indica que cuando se calcula (f o g)(x), primero seaplica g a x y despus se aplicafa g(x). Para visualizar este clculo Consultela figura l. La funcin g asigna el valor g(x) al nmero x del dominio de g.La funcin f asigna el valor f(g(x al nmero g(x) del dominio def Obser-ve que en la figura 1 el contradominio de g es un subconjunto del dominiode f y que el contradominio de f o g es un subconjunto del contradomi-niode f.

(!Q g)(~) = f~8(X)y el dominio de.i o g 4S el conjunlo de.'tOdos los DmerQSx del do-miniode 8 taI~ que g(.:t').e$1en el dominio def

t "8das las dos,~lone8 i i,:ra~ b)g,~.:~~ Pof ",'.,f o s, estdefinidlrpor' .: '.' ,'; ,-.',: . ~ ."'. - I

1.2.2 Definicin de funcin compuesta

Otra operacin entre funciones es la obtencin de la funcin compuestade dos funcionesdadas.

El dominiodefes [-1, +00) Yel dominiodeges [4, +00). As, el dominiode las funcionesresultantesen los incisos (a), (b) y (e) es [4, + 00). En el inciso(d), el denominador es cero cuando x = 4; por lo que 4 tambin se excluye yse obtiene como dominio (4, +00).

F(x) = (4x + 1)3 Y G(x) = x2

La funcin h del ejemplo ilustrativo 2 tambin puede expresarse como lacomposicin de otro par de funciones. Por ejemplo, si

(f o g)(x) = f(g(x= f(4x2 + 1)= (4x2 + 1)3

puede expresar como la composicin de las dos funcionesfy g para las cualesf(x) = x3 y g(x) = 4x2 + 1

debido a que

Si h(x) = (4x2 + 1)3, h se> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Observe en los resultados de los incisos (e) y (d) del ejemplo 3 que(f o g)(x) y (g o f)(x) no son necesariamente iguales.

Un teorema importante en Clculo, llamado la regla de la cadena, quese estudiar en la seccin 2.8, trata sobre funciones compuestas. Cuando seaplica la regla de la cadena, es necesario considerar una funcin como lacomposicin de otras dos funciones, tal como se muestra en el ejemplo ilus-trativo siguiente.

En el inciso (d) observe que aunque x - 1 est definido para todos los valo-res de x, el dominio de g o f, por la definicin de funcin compuesta, es elconjunto de todos los nmeros x del dominio de ftales quef(x) est en el do-minio de g. De donde, el dominio de g o fdebe ser un subconjunto del domi-nio de j'. ....

(-00, -1] U [1, +00).

(d) (g o f)(x) = g(f(xg( .ji)

= (.ji)2 - 1= x - 1

El dominio es [O, +00).

(e) (f o g)(x) = f(g(x= f(x2 - 1)

=~El dominio es

El dominio es (-00, +00).El dominio es [O, +00).

g(g(xg(x2 - 1)

(x2 - 1)2 -

.0 - 2x2

(b) (g o g)(x)(a) (f o f)(x) = f(f(x= f(.ji)

-[TxVi

Solucin El dominio de f es [O, +00) Y el dominio de g es (- 00, +00).

calcule: (a) f o f; (b) g o g; (e) f o g; (d) g o f Tambin determine el do-minio de cada funcin compuesta.

f(x) =.ji y g(x):::;.x} - I

Dado que f y g estn definidas por... EJEMPLO 3

52(3) - I1

(f o g)(3)

Por tanto= I14 CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONnNUIDAD

es lineal. Su grfica es la recta mostrada en la figura 4.

La funcin definidapor[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4f(x) = 2x - 6

donde m y b son constantes y m ~ O.Su grfica es una recta cuya pendien-te es m y su intercepcin y u ordenada al origen es b.

f(x) = mx + b

Una funcin lineal se define por

La funcin definida por f(x) = 5 es una funcin constante, y su grfica,mostrada en la figura 2, es una recta horizontal situada a 5 unidades so-bre el eje x.La funcin definida por g(x) = -4 es una funcin constante cuya grficaes una recta horizontal ubicada a 4 unidades debajo del eje x. Consulte la~rn3. ~

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Una funcin cuyo contradominio consta de un solo nmero recibe elnombre de funcin constante. De este modo, si f(x) = c, y e es cualquiernmero real, entonces f es una funcin constante y su grfica es una rectahorizontal a una distancia dirigida de e unidades a partir del eje x.

(f o g)(x) = f(g(x

= f(..[;2+3)1

(f o g)(x) = f(g(x

= f(x2)

Entoncesg(x)g(x) = x2

Entonces

X(b) f(x)l(a) f(x) = ~

"IX + 3

Solucin

h(x) = ~x2 + 3

exprese h como la composicin de dos funcionesf y g en dos formas: (a) lafuncinfcontiene el radical; (b) la funcin g contiene el radical.

~ EJEMPLO 4 Dada

F(G(xF(x2)(4x2 + 1)3

(F o G)(x)

entonces

FIGURA 4

(x) = 2x - 6

-5 [>

g(x) = -4 (a)

FIGURA 3

(b)y

y

FIGURA 2

(xl = 5

y

1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Y nPOs DEFUNCIONES 1S

Las propiedadesde simetra de las funciones pares e impares se deducende los criteriosde simetradados en la seccinA.2 del apndice.

(~) Una funcin/es uII.$funcin par si para cadax del dominio def,f(~x) =. f(1:)

(11)Una roncinfes una funcin iQlpaf si para cada x del dominio def, f(-x). '" -/(x),

~En los dos incisos (i) y (i) se sobrentiende que -x est en el dominiodef siempreque x lo est.

1.2.3 Definicin de fundn par y funcin impar

Adems de las funciones algebraicas, se considerarn las funciones tras-cendentes, ejemplos de estas funciones son las funciones trigonomtricas,discutidas en la seccinA.9 del apndice, y las funciones logartmica y expo-nencial estudiadasen el captulo 5.

Una funcin par es aquella cuya grfica es simtrica con respecto al ejey, y una funcin impar es aquella cuya grfica es simtrica con respecto alorigen. A continuacinse presenta la definicin formal de estas funciones.

f(x)

es una funcinpolinomial de grado 5.Una funcin lineal es una funcin polinomial de grado l. Si el grado de

una funcin polinomial es 2, entonces se le llama funcin cuadrtica, y si elgrado es 3, entonces recibe el nombrede funcin cbica.

Si una funcin puede expresarse como el cociente de dos funcionespolinomiales,entonces se denomina funcin racional.

Una funcin algebraica es aquella formada por un nmero finito deoperaciones algebraicas sobre la funcin identidad y una funcin constante.Estas operaciones algebraicas incluyen adicin, sustraccin, multiplicacin,divisin, potenciacin (elevacin a una potencia) y radicacin (extraccin deuna raz). Las funciones polinomiales y racionales son tipos particularesde funciones algebraicas. Un ejemplo complejo de una funcin algebraicaes aquella definidapor

f(x) = 3x5 - x2 + 7x -

donde ao, al, ... , an son nmeros reales (an '# O) Y n es un nmero enterono negativo, entonces recibe el nombre de funcin polinomial de grado n.As, la funcindefinida por

se denominafuncin identidad. Su grfica, dibujadaen la figura 5, es la rectaque bisecta los cuadrantesprimero y tercero.

Si una funcinfse define por

f(x) = x

FIGURAS

f(x) = x

La funcin lineal particular definidapory

16 CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDAD

Como g(-x) = -g(x), entonces se ha demostrado analticamente que lafuncin g es impar.

(b) La figura 9 muestra la grfica de la funcin g, la cual parece simtricacon respecto al origen. Por tanto, se sospecha que la funcin es impar.Al calcular g(-x) se obtiene:

g(-x) = 3(-x)5 - 4(-x)3 - 9(-x)-3x5 + 4x3 + 9x-(3x5 - 4x3 - 9x)-g(x)

FIGURA 9FIGURAS

[-5, 5] por [-11, 11]

g(x) = 3x5 - 4x3 - 9x[-5, 51 por [O, 10]

(x) = 3x' - 2x2 + 7

I

Comof( -x) = f(x), entoncesfes par.

fe-x) = 3(- x)4 - 2(-x)2 + 7= 3x4 - 2x2 + 7= f(x)

(a) La grfica def, trazada en la figura 8, parece simtricacon respecto al ejey. Por tanto, se sospecha que la funcin es par. Para probar este hechoanalticamente,se calculaf(-x):

Solucin

~ EJEMPLO 5 Trace la grfica de la funcin y a partir de la gr-fica conjeture si la funcin es par, impar o de ninguno de estos dos tipos; des-pus confirme la conjetura analticamente.

(a) f(x) == 3x4 - 2x2 + 7

(b) g(x) = 3x5 - 4x3 - 9x

(e) h(x) == 2x4 + 7x3 - x2 + 9

(a) Sif(x) = x2,entoncesf(-x) = (-x)2.Portanto,f(-x) = f(x) yen conse-cuencia, f es una funcin par. Su grfica es una parbola simtrica conrespecto al eje y. Va la figura 6.

(b) Si g(x) = x3, entonces g(-x) = (-x)3. Como g(-x) = -g(x), entoncesges una funcin impar. La grfica de g,mostrada en la figura 7, es simtri-ca con respecto al origen. ~

[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5

FIGURA 7

y

FIGURA 6

(x) = Xl

y

1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Y npos DEFUNCIONES 17

si x < -3si -3 $; x < 3si 3 $; x{

-6F(x) = ~

Con estos resultados, se define F(x) a trozos de la siguiente forma

Ix + 31 - Ix - 31 = -x - 3 - (-x + 3)-6

Six E [-3, 3), Ix + 31 = x + 3 Y Ix - 31 = -x + 3. AsIx + 31 - Ix - 31 = x + 3 - (-x + 3)

=2x

Six E [3, +00), Ix + 31 = x + 3y Ix - 31 = x - 3. Por tanto1x + 31 - 1x - 31 x + 3 - (x - 3)= 6

six ;;:: 3six < 3

= -x - 3 Y Ix - 31 = -x + 3. En con-Ix - 31 = {: : ;

Six E (-00, -3), Ix + 31secuencia

six;;:: -3six < -3y

Ix + 31 { x + 3six+3;::0

= -(x + 3) six+3

Ixl~

(e) f(x)

r2 - 1(b) g(r) = --r2 + l

y3 _ y39. (a) f(y) = yt + 1

En los ejercicios 39 y 40. determine analticamente si la fun-cin es par, impar o de ninguno de estos dos tipos.

33. (a) f(x) = a4 - 3x2 + 1 (b) g(x) = 5x5 + 134. (a) f(x) := x2 + a + 2 (b) g(x) = x6 - 135. (a) f(x) = 5x3 - 7x (b) g(x) = Ix I36. (a) f(x) = 4x5 + 3x3 (b) g(x) = x3 +37. (a) f(x) = Vi (b) g(x) = 5x4 - 438. (a) f(x) = hl (b) g(x) = 21 x I + 3

x

En los ejercicios 33 a 38, trace en la graficadora la grfica dela funcin y a partir de la grfica conjeture si la funcin es par.impar o de ninguno de estos dos tipos. Despus confirme suconjetura analticamente.

30. h(x) =29, h(x) = e~2Y31. h(x) = (x2 + 4x - 5)4 32. h(x) =

En los ejercicios 27 a 32, exprese h como composici6n de lasdos funciones f y g en dos formas.

27. h(x) = ~ 28. h(x) = (9 + xl)-2

26. f(x) = 1x - I

25. f(x) = .jX

23. f(x) = Ixl;g(x) = Ix + 2124. f(x) = ~; g(x) = ..rx=IEn los ejercicios 25 y 26 defina las siguientes funciones ydetermine el dominio de las funciones resultantes: (a)f(x2); (b)[f(x)]2; (e) (f o fl(x); (d) (f o f)(-x).

22. f(x) = .jX; g(x) = -.!_x

21. f(x) .!_; g(x) := .jXX

En los ejercicios 15 a 24, defina las siguientes funciones ydetermine el dominio de la funcin compuesta: (a) f o g;(b)g of;(c)fof;(d)g o g.

15. f(x) := x - 2; g(x) = x + 716. f(x) = 3 - a; g(x) = 6 - 3x17. Las funciones del ejercicio 1.18. Las funciones del ejercicio 2.

19. f(x) = ..JX="2; g(x) = xl - 220. f(x) = xl - 1; g(x) = .!_

x

7. f(x) = xl + I;g(x) = 3x - 28. f(x) = -../X=4; g(x) = xl - 49. f(x) = _1_; g(x) = _x_

x+1 x-2

10. f(x) := x2; g(x) = ]xEn los ejercicios 11 a 14,para las funciones f y g y el nmeroc, obtenga (f o g)(c) mediante dos mtodos: (a) calcule g(c)y utilice este nmero para determinar f(g(c; (b Determine(f o g)(x) y emplee ese valor para calcular (f o g)(c).11. f(x) = 3x2 - 4x; g(x) = a - 5; e = 412. f(x) = ~36;g(x) = xl - 3x;c = 513. f(x) = _1_;g(x) = _2_. e = .!

x-I x2 +1' 2

14. f(x) = 2-Jx+3;g(X)= 2x+5'c=_2x x4 '

x + 1 ;g(x) = .!_x - 1 x.jX; g(x) = 4 - x2

JX;g(x) = xl - 11xl; g(x) = 1x - 31

3. f(x)

4. f(x)

S. f(x) =

6. f(x) =

En los ejercicios 1a 10, defina las siguientes funciones y deter-mine el dominio de la funcin resultante: (a)f + g; (b)f - g;(c)f . g; (d)f/g; (e) g/f

1. (x) = x - 5; g(x) = xl - I2. f(x) -Jx ; g(x) := x2 +

EJERCICIOS 1.2

Por tanto, se ha demostradoanalticamenteque F es impar.

I-x + 31 - 1- x - 31I-(x- 3)1 - I-(x + 3)1Ix - 31 - Ix + 31-F(x)

[-10, 10]por [-10, 10]

F(x)~ Ix+31-lx-31FIGURA 11

F(-x)

(b) La figura 11 muestra la grfica de F trazada a partir de la ecuacin. Lagrfica apoya la respuesta del inciso (a).

(e) Como la grfica de la figura 11es simtricacon respecto al origen, la fun-cin F es impar.

(d) Al calcular F(-x) a partir de la ecuacin dada, se confirma la respuestadel inciso (e):

1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES y TIPOS DE FUNCIONES 19

En las aplicaciones del Clculo, se necesita expresar una situacin del mundoreal en trminos de una relacin funcional, denominada modelo matemticode la situacin. Esta seccin est destinada a proporcionarle prctica en la obten-cin de funciones como modelos matemticos y al mismo tiempo para mostrarlealgunas de las aplicaciones que encontrar posteriormente.

Aunque no siempre se emplea un mtodo especfico para obtener un modelomatemtico, a continuacin se le presentan afgunos pasos que le proporcionarnun procedimiento posible que deber seguir. Conforme estudie los ejemplos,refirase a estos pasos para ver cmo se aplican.

1.3 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS

[Observe que F es la misma funcin que tle del ejemplol(d)]. Explique porqu las grficas de Fy G no son las mis-mas y, consecuentemente, las funciones no son iguales.

F(x) = "';x + I~

60. Suponga que f(x) = .l.g(x) = -.l y h(x) = -x. De-x x

muestre que (f o g)(x) = (g o f)(x) y explique por quf o g ni g o fson la misma que h.

61. Trace en la graficadora las grficas de las dos funcionesF y G definidas por

58. Demuestre que si f y g son dos funciones lineales. enton-ces f o g es una funcin lineal.

59. Existe una funcin cuyo dominio es el conjunto de todoslos nmeros reales que es a la vez par e impar. Cul es esafuncin? Demuestre que es nica esta funcin.

Dibuje las grficas de J, g yf o g.55. Encuentre frmulas para (g o j)(x) a partir de las funciones

del ejercicio 54. Dibuje la grfica de g o f56. Si f(x) = x2 + 2x + 2. encuentre dos funciones g para

las cuales (f o g)(x) = x2 - 4x + 5.57. Si f(x) = x2, encuentre dos funciones g para las cuales

(f o g)(x) = 4x2 - 12x + 9

six < Osi O ,;; x ,;;si I < x

y

six < OsiO -s x,;;si l < x

f(x) = Ux

52. Demuestre que si f y g son funciones impares, entonces(f + g) y (f - g) tambin son funciones impares, mien-tras que f . g y flg son funciones pares.

53. Determine si la funcin compuesta f o g es par o impar encada uno de los casos siguientes: (a)fy g son impares; (b)f es par y g es impar; (e) g es par.

54. Encuentre frmulas para (f o g )(x) si

x+346. f(x) = 2x - 3 y g(x) = -2-

1 1 - x47. f(x) = x+ I y g(x) = -x-48. f(x) = x2, x ~ O, Y g(x) = .JX49. f(x) = x2, x :s; O, y g(x) = -.JX50. f(x) = (x - 1)3 Y g(x) = l + 'Vi51. La funcin escaln unitario U y la funcin signo sgn se

definieron en los ejercicios 47 y 49, respectivamente, dela seccin 1.1. (a) Defina sgn(U(x y dibuje la grfica.(b) Defina U(sgn(x y dibuje la grfica.

45. Es conmutativa la composicin de dos funciones? Es de-cir, si f y g son dos funciones cualesquiera, son iguales(f o g)(x) y (g o j)(x)? Justifique su respuesta propor-cionando un ejemplo.

Si f y g son dos funciones tales que (f o g)(x) = x y(g o j)(x) = x, entonces se dice que f y g son inversas una dela otra. En los ejercicios 46 a 50, demuestre que fy g son in-versas una de la otra.

En los ejercicios 41 a 44, haga lo siguiente: (a) defina f(x),sin las barras de valor absoluto, en los intervalos indicados. (b)Apoye la respuesta del inciso (a) grficamente trazando la gr-fica de f en la graficadora a partir de la ecuacin dada. (c) A par-tir de la grfica del inciso (b), establezca si la funcin es par,impar o de ninguno de estos dos tipos. (d Confirme la respues-ta del inciso (c) analticamente a partir de la ecuacin dada.

41. f(x) = 8;(-00, O), (O, +00)x

42. f(x) = x 1 xl; (-00, O), [O, +00)

43. f(x) = 1x - 21 - 1x + 21;(-00, -2), [-2, 2), [2, +00)

Ix+Ij-lx-1144. f(x) = x

(-00, -1), [-1, O), (O, 1], (1, +00)

(b) g(z)z + l

xl - 5(a) h(x) =--

2Xl + x

{-I si x < O

(e) f(x) = I si O ,;; x

40.z - I

20 CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDAD

f(x) = ~x

(b) A partir de la expresin paraf(x), se obtiene

f(l40} = ~(140)= 80

100 = k(175)k = ~

Al sustituir este valor de k en (1), se obtiene

donde k es una constante. Como el volumen del gas es 100m3 a la tempera-tura de 175', se sustituye x por 175 y f(x) por 100 en (1), de donde se obtiene

(1)f(x) = kx

Solucin(a) Seaf(x) metros cbicos el volumen del gas cuya temperatura es x grados.

Entonces, por la definicin de variacin directamente proporcional

~ EJEMPLO J El volumen de un gas a presin constante es di-rectamente proporcional a la temperatura absoluta y a la temperatura de 175'el gas ocupa 100 m3, (a) Encuentre un modelo matemtico que exprese elvolumen como una funcin de la temperatura. (b) Cul es volumen del gas auna temperatura de 140'?

l. Lea el problema cuidadosamente hasta que lo entienda. Para eom-prenderto, con fdcuencia es til inventar un ejemplo eSpecificoque nvoleere una sftuaein similar en la que. las cantidad.e8SODconocidas. Otra 8yud;i. es dibujar un diagrama si es posible, CO.IDOse muestra. en los'ejemplos 4 y S. "

2. De.tie'mlinelas cantiria'desconocidas y desconoeids.Utili~ UD sfmbOro,digamos x, parida variablc'ndependi'enre, y un sfmbolo.;Pordecir f,para la funcin que se obtendr; cntoncesJ~) simboI.izar~lvalor de fu.ncin.C~mo'x y f(:() son smbolos para.-representar mi.meros, sus definiciones deben indicar este heche, Por ejemplo, si lavariable independient;e representa longitud y la longitud se mide enpies. entonces si'x es el s(mbolo para la variable, x dbe defllirilccomo el nmero de pies de la longitUdo, equivalentemente. x pies'es la lOngitud.. .

3. Anote cilalquier hecho numrico conocido acerca de la v.a.rllbleydd v310rde la func.in.

4. A p!U'ti, de la informacin del paso 3, &temlne dos expresionesalgebrakas en trmin.os de la variable y del valor de la' funcin. Deestas S expr:esiotesforme.una ecUacin~ue'defirfa la funcin,Abo-ra ya se tiene una functoo. como.modelo ma~mtCO.;deipmblema.

$. A fin de terminar el probI~ una vez que se ha ~P~o. el modelomatemtico, para determina las cantidade~ desoooocidas. escriba" .una conclusi6f1. la cual consista de'una o ms oraeoaes, que ~bdan a las preguntas del problema. Aseg!b:ese de que la condU86n90ntengll h!s unidades de medicin correcras, .

Sugerencias para resolver problemas que implicanuna funcin como modelo matemtico

1.3 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMTICOS 21

(f o g)(t) = !(g(f= !(4t + 52)= ;fg(4t + 52)2 - 2(4t + 52) + 50

Solucin(a) La poblacin de depredadores1 semanasdespus del cierre de la tempora-

da de caza est dada por (f o g)(t), donde O $ t $ 15.

!(x) = ;fax2 - 2x + 50 y g(f) = 41 + 52donde O $ t $ 15, haga lo siguiente: (a) Encuentre un modelo matemticoque exprese la poblacin de depredadores como un funcin del nmero desemanas a partir del fin de la temporada de caza. (b) Determine la poblacinde depredadores 11 semanasdespus del cierre de la temporadade caza.

... EJEMPLO 3 En un bosque un depredador se alimenta de supresa, y para las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporadade caza,la poblacinde depredadoreses una funcin! de x, el nmero de presas en elbosque, la cual a su vez, es una funcin g de t, el nmero de semanas que hanpasado desde el fin de la temporadade caza. Si

Observe en el inciso (b) del ejemplo 2 que la grfica de C se rompe en elpuntodondex = 10, lo cual indicaque la funcinC esdiscontinuaenx = 10.Se estudiaresta propiedaden la seccin 1.8.Por ahora, note que debido a estadiscontinuidadde C, seriams ventajoso incrementarel tamaode algunasr-denes de compra para obtener un costo total menor. En particular, seria im-prudentecomprar9.5 lb por $19cuando se puedencomprar 10.5lb por $18.90.

En el ejemplo siguiente se tiene una funcincompuesta como un modelomatemtico.

El costo total de 9.5 lb es $19 y el costo total de 10.5 lb~

Conclusin;es $18.90.

C(10.5)= (1.8)(10.5)= 18.90

C(9.5) = 2 (9.5)19

... EJEMPLO 2 Un mayoristavende un productopor libra (o frac-cin de libra); si se ordenan no ms de 10 libras, el mayoristacobra $2 por li-bra. Sin embargo, para atraer rdenes mayores, el mayoristacobra slo $1.80por libra si se ordenan ms de 10 libras. (a) Encuentre un modelomatemticoque exprese el costo total de la ordencomo una funcinde la cantidad de librasordenadas del producto. (b) Dibuje la grfica de la funcin del inciso (a). (e)Determine el costo total de una orden de 9.5 lb y de una orden de 10.5 lb.

Solucin(a) Sea C(x) dlares el costo total de una orden de x libras del producto.

Entonces,

{2x si O -s x :s;; 10

C(x) =1.8x si 10 < x

(b) La grfica de la funcinC se muestra en la figura 1.(e) C(x) se obtiene a partir de la ecuacin C(x) = 2x cuando O $ x :s;; 10y

de la ecuacinC(x) = 1.8xcuando 10 < x. Por tanto,

A una temperatura de 1400, el volumen del gas es de~

Conclusin;80 m'.

FIGURA 1

siO$xSiOsi 10 < xC(x) = {~8x

y

22 CAPTULO 1 FUNCIONES, LMITESY CONTINUIDAD

~ EJEMPLO 5 Una envase cerrado de hojalata, cuyo volumen esde 60 pulg'', tiene la forma de un cilindro circular recto. (a) Determine un mode-lo matemtico que exprese el rea de la superficie total del envase como unafuncin del radio de la base. (b) Cul es el dominio de la funcin obtenida en

En la seccin 3.2 se aplicar el Clculo para confirmar analticamente larespuesta del ejemplo 4(c).

Conclusin: La longitud del lado de los cuadrados debe ser de2.03 pulg para obtener la caja cuyo volumen mximo es 156.03 pulg'', ....

(b) De la expresin para V(x) del inciso (a), se observa que VeO) = O YV(5) = O. A partir de las condiciones del problema se sabe que x no pue-de ser un nmero negativo ni tampoco mayor que 5. En consecuencia, eldominio de Ves el intervalo cerrado [O,5].

(e) La grfica de la funcin V trazada en el rectngulo de inspeccin de [O, 5]por [O, 200] se muestra en la figura 4. Se observa que V tiene un valormximo en su dominio. La coordenada x del punto ms alto de la grficaproporciona la longitud del lado de los cuadrados, los cuales deben cor-tarse para obtener la caja de volumen mximo, y la coordenada y pro-porciona dicho volumen. En la grafieadora se determina que el punto msalto es (2.03, 156.03).

Solucin(a) Sea x pulgadas la longitud del lado de los cuadrados que se cortarn y sea

V(x) pulgadas cbicas el volumen de la caja. En la figura 2 se presenta unapieza de cartn dada y la figura 3 muestra la caja obtenida a partir de la pie-za de cartn. El nmero de pulgadas de las dimensiones de la caja son x,10 - 2x Y 17 - 2x. Por tanto,

V(x) x(lO - 2x)(17 - 2x)= 170x - 54x2 + 4il

~ EJEMPLO 4 Un fabricante de cajas de cartn desea elaborarcajas abiertas a partir de piezas de cartn rectangulares de 10 pulg por 17 pulgcortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando hacia arriba loslados. (a) Encuentre un modelo matemtico que exprese el volumen de la cajacomo una funcin de la longitud del lado de los cuadrados que se cortarn. (b)Cul es el dominio de la funcin obtenida en el inciso (a)? (e) En una grafica-dora determine, con aproximacin de dos cifras decimales, la longitud del ladode los cuadrados que se cortarn de modo que la caja tenga el volumen msgrande posible. Cul es el volumen mximo?

En la seccin 2.8 se considerar la situacin del ejemplo 3 y se determi-nar la tasa a la cual creci la poblacin de depredadores 11 semanas despusdel cierre de la temporada de caza.

Conclusin: Once semanas despus del cierre de la temporada de cazala poblacin de depredadores es 50. ....

(b) Cuando t = 11, se tiene

(f o g)(II) = ts (96)2 - 2(96) + 50= 50

FIGURA 4

[O. 5] por [O, 200]V(.>:) = 170.>: - 54x2 + 4.>:3

FIGURA 3

FIGURA 2

1.3 FUNCIONESCOMO MODELOSMATEMncos 23

(3)f(x) = kx(8000 - x)4iI

I

Solucin(a) Seaf(x) el nmero de personas por hora la velocidad a la cual corre el ru-

mor cuando lo han escuchado x personas. Entonces, por la definicin devariacin conjuntamente proporcional,

~ EJEMPLO 6 En una comunidad de 8 000 personas, la velocidadcon la que se difunde un rumor es conjuntamente proporcional al nmero depersonas que lo han escuchado y al nmero de personas que no lo han escuchado.Cuando 20 personas han escuchado el rumor, ste circula a una velocidad de200 personas por hora. (a) Encuentre un modelo matemtico que exprese lavelocidad a la que se esparce el rumor como una funcin del nmero de perso-nas que lo han escuchado. (b) Qu tan rpido circula el rumor cuando lohan escuchado 500 personas? (e) En la graficadora, estime cuntas personas hanescuchado el rumor cuando ste corre con la mayor velocidad.

En la seccin 3.9 se confirmar analticamente la respuesta del ejemplo5(c) como una aplicacin del Clculo.

"

Como lrr2h pulgadas cbicas es el voiumen de un cilindro circular recto yel volumen del envase es de 60 pulg'', se tiene que

lrr2h = 60

Al despejar h de esta ecuacin y sustituirla en (2), se obtiene S como fun- .ci n de r:

S(r) 2lrr(:~2) + 2lrr2

S(r) = 120 + 2lrr2r

(b) Para obtener el dominio de S, observe en la ecuacin que define a S(r) quer no puede ser cero. Sin embargo, tericamente r puede ser cualquier n-mero positivo. Por tanto, el dominio de S es (O, + 00).

(e) La figura 6 muestra la grfica de S trazada en el rectngulo de inspeccinde [O, 10] por [O, 200]. La coordenada r del punto ms bajo de la grficaproporciona el radio para el rea de la superficie total mnima. En la gra-ficadora se determina que el punto ms bajo es (2.12, 84.84).

Conclusin: Se emplear la cantidad mnima de hojalata en la ela-boracin del envase cuando el radio sea de 2.12 pulg. ....

(2)S = 2lrrh + 2lrr2

Solucin(a) Observe la figura 5, sta muestra el envase cilndrico donde r pulgadas

es la longitud del radio de la base y h es la altura. Se emplear la cantidadmnima de hojalata cuando el rea de la superficie total sea un mnimo. Elrea de la superficie lateral es 2lrrh pulg-, y el rea de cada una de lasdos tapas es lrr2 pulg-, Si S pulgadas cuadradas es el rea de la superficietotal, entonces

el inciso (a)? (e) En una graficadora determine, con aproximacin de dos ci-fras decimales, el radio de la base del envase si se emplea la cantidad mnimade.hojalata en su elaboracin.

F1GURA6

[O. 10] por [O, 200]

S(r) = 120 + 21r?r

v

FIGURAS

1h pulgr

24 CAPTULO 1 FUNCIONES, MITESy CONTINUIDAD

temtico que exprese la nmina de pago diario como unafuncindel nmero de trabajadores. (b) Cul es la nmi-na de pago diario para una cuadrilla de 15 trabajadores?

2. El peso aproximado del cerebro de una persona es direc-tamente proporcional al peso de su cuerpo, y una personaque pesa ISOlb tiene un cerebro cuyo peso aproximadoesde 4 lb. (a) Encuentre un modelo matemtico que expreseel peso aproximadodel cerebro cornouna funcindel pesode la persona. (b) Determine el peso aproximado del ce-rebrode una personaque pesa 176lb.

3. El periodo (tiempo para una oscilacin completa) de unpndulo es directamente proporcional a la raz cuadradade la longitud del pndulo, y un pndulo de 8 pie de lon-gitud tiene un .periodo de 2 s. (a) Encuentre un modelomatemtico que exprese el periodo de un pndulo comouna funcinde su longirud.(b) Determine el periodo de unpndulo de 2 pie de longitud.

En cada ejercicio, obtenga unafuncin como un modelo mate-mtico de una situacin panicular. Muchos de estos modelosaparecern posteriormente en el texto cuando se aplique elClculoa la situacin.Defina la variableindependientey el va-lor de la funcin como un nmero e indique las unidades demedicin. En algunos de los ejercicios, la variable indepen-diente, por definicin, puede representar un nmero no negati-vo. Por ejemplo, en el ejercicio 1 si x representa el nmero detrabajadores, entonces x debe ser un nmero entero no nega-tivo. En tales ejercicios,para satisfacer los requerimientos decontinuidad (que la grfica no se rompa) necesarios paraaplicar el Clculo posteriormente, considere que la variableindependiente representa un nmero real no negativo, No ol-vide completar el ejercicio escribiendouna conclusin.1. La nmina de pago diario de una cuadrilla es directamente

proporcional al nmero de trabajadores,y una cuadrilla de12tiene una nminade $810. (a) Encuentreunmodeloma-

EJERCICIOS 1.3

En las secciones 3.2 y 7.4 se considerar la situacin del ejemplo 6 parailustrar dos aplicaciones diferentes del Clculo. En la seccin 3.2 se confir-mar analticamente la respuesta del inciso (e), Despus, en la seccin 7.4, seobtendr un modelo que exprese el nmero de personas que han escuchado elrumor como funcin del tiempo que el rumor ha sido esparcido, de modo quese puede determinar cuntas personas han escuchado el rumor en cualquiermomento particular. Aprender que la grfica de este modelo recibe el nom-bre de curva de crecimiento logstico. Tambin se probar en la seccin 7.4que, finalmente, la poblacin completa escucharel rumor.

Conclusin: El rumor se difunde a la mayor velocidad cuando lo hanescuchado4 000 personas, la mitad de la poblacin. ...

Conclusin: El rumor se difunde a una tasa de 4699 personas porhora cuando lo han escuchado500 personas,

(e) La figura 7 muestra l