7/28/2019 Ejercicios de variable compleja.pdf
2/6
1
o
z
a
1
a
3.-Demuestre que toda circunferencia que pasa por a y1
aintersecta ortogonalmente a
la circunferencia 1z =
Solucin.Una circunferencia por a y
1
adebe tener
centro z sobre la mediatriz del segmento que
une a tales puntos, esta es la recta con vector normal
a que pasa por1 1
2a
a
+
luego su ecuacin es
21.az az a+ = + El radio de la circunferencia
de centro z , ser .z a Luego ser
ortogonal a la circunferencia si y solo si2 2
2 2 2
2
1
1
1.
z z a
z z az az a
az az a
= +
= + +
+ = +
4.- Demuestre que P y Q son puntos diametralmente opuestos en la
esfera de Riemann
si y slo si sus imgenes p y q bajo la proyeccin estereogrfica
cumplen 1pq =
Solucin.
,P Q son diametralmente opuestos ( )2 , 2P Q d p q = = donde d
es la
mtrica cordal
( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
22 1 1
1 1
1 1 1 0 1 0
p qp q p q
p q
p pq pq q p q p pqq pq pq pq
= = + +
+ +
+ = + + + + + = + =
5.-Considere la funcin:f D^
, definida por ( ) 1
z
f z z=
+ , donde { }; 1D z z=
+
Otra forma Si ,1 1
nnz z
w wz z
= = + + y sta ltima converge solamente para
1,w < luego 11
z
z en todo o bien
( )Re 0f z < en todo .
Solucin.
Si ( )w f z= cumple que 2 1 1w < entonces w u iv= + debe
cumplir con
( )2
2 2 2 21 4 1,u v u v + + < por lo que 2 2 0u v < .
Luego
( ) { }2 2; 0f w u iv u v K = + < = .Pero ( )f es conexo por
ser imagen Bajo una funcin continua del conexo , luego
( )f cae en uno de los { }^ ; 0K w K u+ = > o { }; 0K w K u =
< Que son los
componentes de K.
1
en realidad ( )f cae en una de las 2 hojas
de la lemniscata 1 1 1w w+ <
9.-Encuentre la transformacin bilineal ms general que transforme
la circunferencia
z R= en si misma.
Solucin.
Supondremos que 1R = , que :T ^ ^ es la transformacin y que ( )
0T a = , desde
luego 1.a Como las transformaciones llevan puntos inversos, se
tiene que
1T
a
=
. Luego T deber tener la forma: ( ) .1 1
z a z aT z a
azza
= =
Ahora como
debe cumplir con ( )1 1,z T z= = se tiene que
( ) 11
a az a z a z aT z a a
z zaz az zz a z
= = = = =
por lo tanto 1a = y
entonces .1
i z aTz e
az
=
Nota: depender de que 1a < o 1a > para garantizar
( )1 1z T z< < o ( )1 1,z T z< >
respectivamente.
7/28/2019 Ejercicios de variable compleja.pdf
5/6
10.-Encuentre todas las transformaciones :T ^ ^ que representen
rotaciones de laesfera de Riemann.
Solucin.
Una rotacin de la esfera tiene 2 puntos antpodas (antpodas)
fijos y manda puntos
antpodas en puntos antpodas. Si Z z ,1
Zz
.
Si T es la transformacin de que representa la rotacin1 1
( )T
z T z
=
si
az bTz
cz d
+=
+, la ecuacin anterior se reescribe como:
1
,1
a bbz a cz d z
d z c az bc d
z
+ + = =
+
luego .b a c d
d c a b
=
Si pedimos que 1,ad bc = entonces 2 1 = y se tiene
que: b c= y a d= o bien b c= y a d= .. El primer caso lleva a
que2 2
0,ad bc a c = < imposible, luego debe suceder lo segundo y
entonces
2 21,a b+ = por lo tanto
az bTz
bz a
+=
+con
2 21,a b+ = solo falta verificar que una
transformacin de esta forma representa una rotacin.
11.-Resuelva 8 1.z =
Solucin.
Dado que ( ) ( )1 cos 2 2k isen k = + donde k es cualquier
entero, tenemos que
2 2cos 0,1,2,3,...,7
8 8
k kz isen k
= + =
1 1 1 11, , , , 1, , ,
2 2 2 2 2 2 2 2
i i i ii i= + +
12.-Si 1,z = pruebe que 1az b
bz a
+=
+para cualesquiera nmeros complejos a y b.
Solucin.
Puesto que 1,z = , tenemos que1
z z
= . Por lo tanto1az b az b
zbz a b za
+ + =
+ + .
Por las propiedades de valor absoluto y puesto que 1,z = 1
1az b az b
zbz a b za
+ += = + +
ya
que az b az b b za+ = + = + .
