EJEMPLO D

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FACULTAD DE INGENIER A MEC NICAUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

GUÍA PARA EL CÁLCULO CINEMÁTICO YDISEÑO DE TRANSMISIONES POR CORREAS

POR CADENAS Y POR RUEDAS DENTADAS

LLIIBBAAR R DDOO VVAANNEEGGAASS UUSSEECCHHEE

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GUÍA PARA EL CÁLCULO CINEMÁTICO Y DISEÑODE TRANSMISIONES POR CORREAS, POR CADENAS

Y POR RUEDAS DENTADAS

Libardo Vicente Vanegas UsecheProfesor Asociado

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICAUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

Febrero de 2009



TABLA DE CONTENIDOPágina

INTRODUCCIÓN 1

1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 21.1 Planteamiento del problema 21.2 Determinación de los escalones de la transmisión y su disposición 3

2. SELECCIÓN DEL MOTOR ELÉCTRICO Y CÁLCULO CINEMÁTICO 52.1 Cálculo de la potencia del motor 52.2 Cálculo de la frecuencia de giro del motor y distribución de la relación de transmisión 62.3 Motor eléctrico 72.4 Cálculo de las velocidades de los árboles 82.5 Resumen de los datos más importantes 8

3. CÁLCULO DE LOS PARES DE TORSIÓN Y DIÁMETROS PREVIOSDE LOS ÁRBOLES 103.1 Cálculo de los pares de torsión de los árboles 103.2 Cálculo de los diámetros previos de los árboles 10

4. CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CORREA 144.1 Cálculo de la potencia de diseño 144.2 Selección del tipo de correa 144.3 Diámetros primitivos de las poleas 154.4 Velocidad periférica de la correa 154.5 Cálculo aproximado de la distancia entre centros 164.6 Longitud de la correa 16

4.7 Cálculo de la distancia entre centros 164.8 Potencia nominal por correa 164.9 Potencia nominal corregida por correa 174.10 Número de correas 174.11 Selección de poleas y manguitos de montaje 174.12 Ángulos de contacto de las poleas 184.13 Fuerzas en el lado flojo y tirante y fuerza sobre el árbol 184.14 Resumen 19

5. CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CADENA 205.1 Números de dientes de las estrellas 205.2 Velocidad, fuerza periférica y fuerza equivalente por hilera en función del paso

de la cadena 215.3 Selección del paso de la cadena 215.4 Distancia entre centros 235.5 Selección de las estrellas 245.6 Fuerzas en el lado tenso, en el lado flojo y sobre el árbol 245.7 Medidas principales de la cadena y diámetros primitivos de las estrellas 245.8 Resumen 25

6. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN POR ENGRANES HELICOIDALES 266.1 Selección previa de los materiales de las ruedas 266.2 Esfuerzos admisibles AGMA 26



6.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar 276.4 Elección del módulo normal 276.5 Elección del ángulo de inclinación de los dientes 276.6 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas 276.7 Precisión de la distancia entre centros y el ángulo de la hélice 28

6.8 Diámetros primitivos de los engranes 286.9 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes 286.10 Determinación del ancho de cada engrane 296.11 Cálculo de la fuerza tangencial 296.12 Cálculo de las razones de contacto 296.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial 306.14 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión 326.15 Parámetros de las ruedas dentadas helicoidales 33

7. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN POR ENGRANES DE DIENTES RECTOS 347.1 Selección previa de los materiales de las ruedas 347.2 Esfuerzos admisibles AGMA 347.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar 34

7.4 Elección del módulo 357.5 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas 357.6 Precisión de la distancia entre centros 357.7 Diámetros primitivos de los engranes 357.8 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes 357.9 Determinación del ancho de cada engrane 367.10 Cálculo de la fuerza tangencial 367.11 Cálculo de la razón de contacto 367.12 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial 367.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión 387.14 Parámetros de las ruedas dentadas de dientes rectos 397.15 Comentarios sobre los cálculos de las secciones 6 y 7 40

8. COMENTARIOS FINALES 41

REFERENCIAS 42

ANEXO 1 DATOS DEL MOTOR ELÉCTRICO 43Datos generales del motor 44Curva par velocidad 46Cargas axiales admitidas en los rodamientos 48Cargas radiales admitidas en los rodamientos 49Dimensiones 50Forma constructiva 51Conexiones (incompletas) 52

ANEXO 2 TABLAS DE SELECCIÓN Y DATOS DE LAS POLEAS Y MANGUITOS 53Medidas y datos de los manguitos de fijación 54Tabla de selección de las poleas y sus manguitos 58Datos y medidas de las poleas 59

ANEXO 3 TABLAS DE SELECCIÓN Y DATOS DE LAS ESTRELLAS 60Tabla de selección de las estrellas 61Datos y medidas de las estrellas 62Medidas de la cadena 63



GUÍA PARA EL CÁLCULO CINEMÁTICO Y DISEÑO DE TRANSMISIONES POR CORREAS, POR CADENAS Y POR RUEDAS DENTADAS 1

INTRODUCCIÓN

El diseño de transmisiones mecánicas es un proceso largo e iterativo, en el cual se deben tener en cuenta unaserie de ecuaciones, recomendaciones, normas internacionales, costos y productos disponibles en el mercado,con el fin de obtener un diseño ‘óptimo’. Los elementos de los accionamientos mecánicos, tales comomotores eléctricos, ruedas dentadas, correas, poleas, estrellas, cadenas, acoples, rodamientos y árboles, debencalcularse o seleccionarse teniendo en cuenta consideraciones de resistencia, rigidez, durabilidad yconfiabilidad. El diseñador debe, entonces, conocer lo más ampliamente posible lo relacionado con lastransmisiones mecánicas, con el fin de llevar a cabo un buen diseño.

Este trabajo tiene el objetivo de servir de ayuda para los estudiantes del curso de Diseño de elementos demáquinas II del programa de Ingeniería Mecánica de la Universidad Tecnológica de Pereira. Esta guía

presenta un ejemplo de cálculo de transmisiones por correas, por cadenas y por ruedas dentadas y es uncomplemento de la teoría que se dicta en el curso mencionado. Los procedimientos van acompañados denumerosas explicaciones con el fin de facilitar su entendimiento. Se espera que el estudiante esté motivadono sólo a aplicar los procedimientos a su problema determinado, sino a entender la filosofía y los conceptosque yacen bajo dichos procedimientos de cálculo y, ojalá, a aplicar de una manera mejorada lo descrito eneste documento.

Agradezco de antemano a las personas que formulen correcciones, observaciones o sugerencias para mejorareste trabajo ([email protected]).




1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

1.1 Planteamiento del problema

En una industria azucarera se requiere transportar azúcar desde la salida de las centrífugas (máquinas queseparan la miel de los cristales de azúcar) hasta la secadora, para su posterior empaque. Debido a ladisposición de estos equipos, se ha diseñado un transportador de banda que lleva el azúcar que sale de lascentrífugas a un elevador de cangilones, el cual lo sube y arroja a la entrada de la secadora (que lo transportaa la tolva de empaque), tal como se ilustra en la figura 1.1.

Figura 1.1 Esquema de un sistema de transporte de azúcar

Se requiere diseñar el accionamiento del elevador de cangilones y de la secadora utilizando un solo motoreléctrico. La potencia debe entregarse a las máquinas mediante acoples flexibles que se conectan en los

árboles mostrados A y B (figura 1.1), los cuales deben estar separados entre 80 cm y 140 cm. Se prevé quelos transportadores trabajarán tres turnos diarios de 8 horas (24 horas al día), 6 días a la semana y 9 meses alaño, con una carga relativamente constante. La producción de azúcar será constante durante toda la vida útilde la transmisión, lo cual implica que los pares de torsión en los árboles A y B serán constantes, tal como semuestra en la gráfica de carga de la figura 1.2 (el tiempo, t , está expresado en años calendario).

Las potencias y velocidades de giro requeridas por las máquinas son:Potencia de la secadora: P A = 10 hpPotencia del elevador de cangilones: P B = 8 hpFrecuencia de giro del árbol de mando de la secadora: n A = 20 r/minFrecuencia de giro del árbol de mando del elevador de cangilones: n B = 45 r/min

Centrífugas

Transportador de banda

Azúcar

Elevador de cangilones

Secadora

A B




Figura 1.2 Gráfica de carga de los transportadores de azúcar

El ingenio se encuentra ubicado en un sitio a 1000 m sobre el nivel del mar, con una temperatura máxima de32°C. Debido al calor generado por las máquinas, incluyendo los accionamientos, se prevé que latemperatura del aire puede llegar a un valor máximo de 35°C. El motor eléctrico se conectará a una red con

voltaje de 440 V y 60 Hz, los cuales son relativamente estables.

1.2 Determinación de los escalones de la transmisión y su disposición

Los motores más adecuados para este tipo de aplicación son los trifásicos de inducción con rotor de jaula deardilla (por su bajo costo, robustez, etc.). Éstos tienen velocidades de rotación (a potencia nominal) entre unpoco menos de 600 r/min (de 12 polos) hasta un poco menos de 3600 r/min (de 2 polos). Aunque entremenor sea la velocidad de rotación del motor (mayor número de polos), menor será el costo de latransmisión, ya que se requerirán menos escalones, los motores con velocidades muy bajas (900 r/min ómenos) tienden a ser más escasos y muy costosos. Los motores con velocidad sincrónica de 1200 ó1800 r/min podrían ser los que generen los menores costos.

Para determinar el número de escalones de la transmisión supondremos inicialmente para el motor unavelocidad sincrónica de 1800 r/min (la velocidad nominal será un poco menor). De acuerdo con la tabla 7.5de Ocampo[1], las relaciones de transmisión promedio de escalones simples (una transmisión por correa, unatransmisión por cadena o un par de engranajes) varían entre 2 y 5; tomaremos 3 y 4 para estimar el númerode escalones requeridos:

La relación de transmisión general del elevador de cangilones sería de (1800 r/min)/(45 r/min) = 40La relación de transmisión general de la secadora sería de (1800 r/min)/(20 r/min) = 90

Con un escalón se tendría una relación de transmisión de 3 a 4Dos escalones: 32 a 42 = 9 a 16Tres escalones: 33 a 43 = 27 a 64

Cuatro escalones: 3

4

a 4

4

= 81 a 256

De acuerdo con esto, el elevador de cangilones requiere unos 3 escalones (27 < 40 < 64), mientras que lasecadora requiere unos 4 escalones (81 < 90 < 256). Escogemos:(a) Una transmisión por correa en V, que se colocará justo después del motor (donde es más económica)(b) Una transmisión por engranes cilíndricos helicoidales(c) Una transmisión por engranes cilíndricos de dientes rectos(d) Una transmisión por cadena, la cual sólo tendrá el objeto de mover la secadoraLa disposición de los escalones se muestra en la figura 1.3.

t (años) 0 4 8 12 16 20

T / T nom

1

Reductor cilíndrico de dos escalones




Figura 1.3 Esquema del accionamiento mecánico

Otros elementos de la transmisión son:(e), (f) y (g) Acoples flexibles(h) Motor eléctrico1 a 6 Árboles

En la práctica podría ser mejor seleccionar directamente un moto-reductor del catálogo de un fabricante, yutilizar una transmisión por cadena para mover la secadora (ya que la distancia entre los árboles de lasmáquinas a mover es bastante grande). La selección de los diferentes escalones se ha hecho con el objetivode suministrar al estudiante los ejemplos de cálculo de los cuatro tipos de transmisiones seleccionadas.

1

2

Secadora

Elevador decangilones

3

4

5

A

h

a

d

e

f

B

c

b

6

g




2. SELECCIÓN DEL MOTOR ELÉCTRICO Y

CÁLCULO CINEMÁTICO

2.1 Cálculo de la potencia del motor

La potencia del motor, P M , de un accionamiento es igual a la de la máquina a mover, P, dividida por laeficiencia de la transmisión, gral:

(2.1)

Utilizando esta ecuación para cada máquina movida, con el principio de superposición, tenemos:

(2.2)

La eficiencia general de la transmisión para la secadora (máquina A) es el producto de las eficiencias de losdiferentes pares cinemáticos (escalones) y de los pares de rodamientos:

(2.3)

donde las letras a, b, c y d corresponden a los 4 escalones de la transmisión (figura 1.3) y r es la eficienciade cada par de rodamientos, la cual se ha elevado a la quinta potencia, ya que la energía que llega a la

secadora pasa por 5 pares de rodamientos (ubicados en los árboles 2, 3, 4, 5 y 6).De acuerdo con Ocampo[1] (página 338), 0.99 < r < 0.995 para un par de rodamientos de bolas o de rodillos;tomamos r = 0.99. Para las eficiencias de los 4 escalones, tomamos los valores mínimos de los rangosdados en la tabla 7.4 de Ocampo[1]:- a = 0.95 (Transmisión por correas)- b = c = 0.95 (Transmisión por ruedas dentadas cilíndricas, en baño de aceite)- d = 0.95 (Transmisión por cadenas, en baño de aceite)

Reemplazando estos valores en la ecuación 2.3 obtenemos:

La eficiencia general de la transmisión para el elevador de cangilones (máquina B) está dada por:

(2.4)

Se ha omitido la eficiencia de la transmisión por cadena y el par de rodamientos del árbol 6, ya que laenergía que llega a B no pasa por allí. Tomando los mismos valores de eficiencia tenemos:

.gral

M

PP

.hp8yhp10con, B A

gralB

B

gralA

A M PP

PPP

,5

r d cbagralA

.77.0 entonces ;)99.0)(95.0)(95.0)(95.0)(95.0( 5 gralAgralA

.4

r cbagralB

.82.0 entonces ;)99.0)(95.0)(95.0)(95.0( 4 gralBgralB




La potencia del motor es, entonces:

2.2 Cálculo de la frecuencia de giro del motor y distribución de la relación de transmisión

La relación de transmisión general, igral, de un accionamiento es igual a la relación entre la velocidad delmotor, n M , y la de la máquina movida, n, entonces:

(2.5)

Aplicando esto a las máquinas A y B, se obtiene:

(2.6)

La relación de transmisión para cada máquina es el producto de las relaciones de transmisión de los

escalones que llevan la potencia a la respectiva máquina:

(2.7)

Reemplazando éstas en las ecuaciones 2.6 obtenemos:

(2.8)

entonces:

Esta relación de transmisión es la que debe tener en la transmisión por cadenas y está en el rango promediorecomendado (2 a 4) en la tabla 7.5 de Ocampo[1].

De acuerdo con lo expresado arriba (ecuaciones 2.6 y 2.7):

(2.9)

Acerca de los reductores cilíndricos de dos escalones, Ocampo[1] (página 159) plantea que éstos tienen unarelación de transmisión que varía entre 8 y 30, con un valor máximo de 50, y que generalmente en esosreductores el escalón rápido (el de las ruedas cuyos dientes tienen mayor velocidad) tiene ruedashelicoidales, mientras que el escalón lento tiene ruedas de dientes rectos o bihelicoidales. En la sección 1.2

se seleccionaron ruedas helicoidales para el escalón rápido y ruedas de dientes rectos para el lento.

De la tabla 7.5 de Ocampo[1], tomamos los valores promedio de las relaciones de transmisión siguientes:- ic = 3 a 4 (Engranajes cilíndricos de dientes rectos (transmisión cerrada))- ib = 3 a 5 (Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales (transmisión cerrada))- ia = 2 a 4 (Transmisión por correa en V)

Para la transmisión por correa tomamos ia = 3; entonces, para determinar la relación de transmisión delreductor debemos tener en cuenta la velocidad de giro del motor a seleccionar. De acuerdo con los datos dearriba, tendríamos que la relación de transmisión del reductor de dos escalones i R = ibic = (3 a 5)(3 a 4) = 9 a

.hp7.2282.0

hp8

77.0

hp10 M P

.gral M inn

.r/min45yr/min20 donde ,y B AgralB B M gralA A M nninninn

. e cbagralBd cbagralA iiii iiiii

, dondede , Bd Acba Bd cba A M niniiiniiiinn

.25.2r/min20

r/min45

A

Bd

n

ni

.r/min)45( entonces , cba M

B

M gralB iiin

n

ni




20; comparando este rango con el dado arriba (8 a 30, con un máximo de 50), lo seleccionamos por ser másestrecho (está de acuerdo con ambas recomendaciones). El valor exacto se encontrará cuando se seleccionenlas revoluciones por minuto del motor.

Reemplazando estos valores en la ecuación 2.9, tenemos que:

(2.10)

entonces:

(2.11)

De acuerdo con esto, podemos seleccionar un motor de 4 polos, cuya velocidad es un poco menor de1800 r/min (que cae dentro del rango), ya que los motores de 2 y 6 polos tienen velocidades un poco menoresde 3600 r/min y 1200 r/min respectivamente, que se salen del rango.

Buscando en un catálogo de la SIEMENS®[2], el motor adecuado es 1LA3 166-4YB70, cuya potencianominal es de 24 hp (un poco mayor de la requerida) y cuya velocidad nominal es de1760 r/min (quepertenece al rango dado arriba); entonces:

Con este dato podemos calcular la relación de transmisión del reductor. Reemplazando n M en la ecuación2.10 y despejando i R se obtiene:

Esta relación de transmisión es igual al producto de las relaciones de transmisión de los escalones b y c. Paracalcular éstas utilizamos la siguiente ecuación (página 340 de Ocampo [1]), la cual es recomendada para quelas ruedas conducidas de los reductores cilíndricos horizontales de dos escalones tengan la mismaprofundización en el baño de aceite (aunque, realmente, no es condición necesaria y suficiente):

(2.12)

donde i R es la relación de transmisión del reductor, irápido e ilento son las relaciones de transmisión de losescalones rápido y lento respectivamente. Tomamos a = (0.015)i R = (0.015)(13.04) = 0.1956, yreemplazamos para hallar las relaciones de transmisión de los engranajes:

Comparando estos resultados con los rangos promedios dados en la tabla 7.5 de Ocampo[1], vemos que ilento se sale del rango promedio (3 a 4); sin embargo, es conveniente que la mayor reducción de velocidad ocurraen el primer escalón donde las fuerzas tienden a ser menores (ya que el par de torsión es menor).

2.3 Motor eléctrico

Datos del motor eléctrico

El motor eléctrico ya ha sido seleccionado; las características son (ver, además, anexo 1):

Motor trifásico de inducción con rotor de jaula de ardilla marca SIEMENS® de ejecución básica yfabricación nacional:Designación: 1LA3 166-4YB70 (No. De depósito 836 424)

, e ,)02.0((0.01) donde ,6)7.0(3 2

rápido Rlento R R Rrápido iiiiaiaii

),20)(3)(r/min45()9)(3(r/min)45( entonces ,)3(r/min)45( M R M nin

r/min.2700r/min1215 M n

r/min.1760 M n

.04.13 entonces ,)3(r/min)45(r/min1760 R R ii

76.2)72.4()04.13( e 672.4)1956.0()04.13)(7.0(3 2 lentorápido ii




Potencia nominal: P M = 24.0 hp = 17.90 kWFrecuencia de giro a potencia nominal: n M = 1760 r/minForma constructiva: B3440 V para arranque directo o en Y

En el catálogo SIEMENS

®[2]

(página 7) se suministran dos tablas para encontrar la potencia real que puedeentregar el motor, bajo las condiciones de altitud y temperatura del lugar. Al multiplicar la potencia nominaldel motor, 24 hp, por el factor de corrección por altitud (1000 m SNM), 1, y por el factor de corrección portemperatura del lugar (35°C), 1.04, se obtiene que el motor podría entregar hasta 25 hp;

hp2504.12404.11 nominalcorregida PP .

Se propone al estudiante investigar lo relacionado con la selección de todos los elementos que deben irdesde el tablero de conexiones eléctricas hasta la caja de bornes del motor; es decir, investigar: Selección del arrancador (si se requiere) Cálculo del breaker, contactor y relé térmico

Selección del calibre de los cables y del conduit

Esquema claro y completo de las conexiones

2.4 Cálculo de las velocidades de los árboles

Partiendo de la velocidad del motor, se calcula la velocidad de cada árbol dividiendo la velocidad del árbolanterior entre la relación de transmisión correspondiente, excepto para el árbol 3 cuya velocidad es igual a ladel 2 ya que están acoplados directamente:

2.5 Resumen de los datos más importantes

Datos del motor eléctrico

Motor trifásico de inducción con rotor de jaula de ardilla marca SIEMENS® de ejecución básica yfabricación nacional: 1LA3 166-4YB70 (No. De depósito 836 424)Potencia nominal: P M = 24.0 hp = 17.90 kW Frecuencia de giro a potencia nominal: n M = 1760 r/min Forma constructiva: B3

r/min17601 n

r/min5873

r/min176012

ai

nn

r/min12472.4

r/min58734

bi

nn

r/min58723 nn

r/min4576.2

r/min12445

ci

nn

r/min2025.2

r/min4556

d i

nn

(Árbol del motor)

(Árbol polea conducida)

(Árbol de entrada del reductor)

(Árbol intermedio del reductor)

(Árbol de salida del reductor)

(Árbol estrella conducida)




440 V para arranque directo o en Y

Relaciones de transmisión

- ia = 3 (Transmisión por correas)- ib = 4.72 (Transmisión por ruedas dentadas cilíndricas helicoidales)- ic = 2.76 (Transmisión por ruedas dentadas cilíndricas de dientes rectos)- id = 2.25 (Transmisión por cadenas)

Velocidades de los árboles

- n1 = 1760 r/min (Árbol del motor)- n2 = 587 r/min (Árbol polea conducida)- n3 = 587 r/min (Árbol de entrada del reductor)- n4 = 124 r/min (Árbol intermedio del reductor)- n5 = 45 r/min (Árbol de salida del reductor)

- n6 = 20 r/min (Árbol estrella conducida)




3. CÁLCULO DE LOS PARES DE TORSIÓN Y

DIÁMETROS PREVIOS DE LOS ÁRBOLES

3.1 Cálculo de los pares de torsión de los árboles

La potencia en cada árbol es igual al producto entre el par de torsión que soporta y su velocidad angular:

(3.1)

Si, por ejemplo, n está en revoluciones por segundo (1 r/s = 60 r/min) y P en W, T estará en N-m. Lapotencia trasmitida por el árbol 6 es la de la máquina A (10 hp = 7460 W); mientras que para el cálculo delos pares de torsión de los otros árboles se usará la potencia del motor (24 hp = 17900 W), por lo tanto, no setendrán en cuenta las pérdidas en los diferentes escalones.

3.2 Cálculo de los diámetros previos de los árboles

Para el cálculo de los diámetros previos de los árboles se tendrá en cuenta sólo el par de torsión, ya que no se

conocen las fuerzas y momentos flectores. Se usará un esfuerzo admisible suficientemente pequeño, ya queno se incluyen los pares flectores, el carácter variable (fatiga) y dinámico (en el arranque) de las cargas.

El esfuerzo cortante máximo en un árbol de sección circular sometido a torsión está dado por:

(3.2)

entonces

(3.3)

m-N2.291)s60 / 587)(2(

W17900

2 2

2 n

PT M

.2

dondede ),2(n

PT nT T P

m-N2.29123 T T

m-N1378)s60 / 124)(2(

W17900

2 44 n

P

T

M

m-N3798)s60 / 45)(2(

W17900

2 5

5 n

PT M

m-N3562)s60 / 20)(2(

W7460

2 6

6 n

PT A

;16

3 N

S

d

T S

ys

adms

MPa.70MPa25 ;16

3 adm

adm

T d

(Árbol del motor)

(Árbol polea conducida)

(Árbol de entrada del reductor)

(Árbol intermedio del reductor)

(Árbol de salida del reductor)

(Árbol estrella conducida)

m-N12.97)s60 / 1760)(2(

W17900

2 1

1 n

PT M




El rango de esfuerzo admisible es aproximadamente el recomendado por Ocampo[1], cuando se asigna elvalor del diámetro encontrado a un extremo del árbol, incrementando 5 mm (ó de 2 a 10 mm, dependiendodel diámetro del árbol) al diámetro donde van los rodamientos, y otros 5 mm (ó de 2 a 10 mm) al diámetrodonde van los engranajes, poleas, estrellas, etc.. Teniendo en cuenta otra fuente (Romero et al.

[3]), losvalores de esfuerzo admisible podrían tomarse en un rango más estrecho: 25 MPa adm 55 MPa.

Al efectuar un análisis sobre los diagramas de momentos flectores de los diferentes árboles, se puededeterminar cómo es la relación entre el momento flector máximo y el par de torsión máximo en un árboldeterminado, comparada con la de otros árboles. Para los árboles en los cuales se prevean mayoresrelaciones entre los pares flector y de torsión, se deben utilizar esfuerzos admisibles más bajos, ya que sólose está teniendo en cuenta el efecto de torsión. Después de hacer un análisis preliminar (no mostrado), seconcluye que el árbol 4 (árbol intermedio del reductor) podría tener la mayor relación momento flectormáximo – par de torsión, mientras que los árboles 2 y 6 (donde van montadas ruedas conducidas) podríantener las menores relaciones entre el momento flector máximo y el par de torsión (claro está que las medidasreales de las poleas, engranajes, etc. influyen en las longitudes de los árboles y, por lo tanto, en lasmagnitudes de los momentos flectores).

Tomamos:

Entonces:

Cada uno de estos valores es el punto de partida para la selección previa de los diámetros de los diferentesescalones del respectivo árbol. Estos valores deben normalizarse, teniendo en cuenta lo siguiente:

De acuerdo con Ocampo[1], las medidas deben redondearse a los siguientes valores estándar, en mm: 10,12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 60, 63, 65,70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220, 240, 260, 280,300.

Se ha adoptado internacionalmente que cualquier dimensión sea elegida preferentemente dentro de lasseries Renard o números normales (con ciertas variantes), las cuales son términos de progresionesgeométricas, cuya razón es una raíz de 10. La tabla siguiente muestra la parte de las dimensiones

m.030.0)1055(

)2.291)(16(163

63

2

22

adm

T d

m.033.0)1040(

)2.291)(16(163

63

3

33

adm

T d

m.065.0)1025(

)1378)(16(163

63

4

44

adm

T d

m.078.0)1040(

)3798)(16(163

63

5

55

adm

T d

m.069.0)1055(

)3562)(16(163

63

6

66

adm

T d

menor)parecerelación(cuya6y2árboleslospara MPa,55

5y3árboleslospara MPa,40

mayor)parecerelación(cuya4árbolelpara MPa,25

/T M

/T M

maxadm

adm

maxadm




normales (preferidas) que van desde 10 hasta 105, las cuales siguen sensiblemente las series de númerosnormales (todos estos regulados por normas ISO). De esta tabla son más preferidos los datos de laprimera columna, luego los de la segunda, etc.. [4]

Tabla 3.1 Dimensiones normales

Orden de preferencia en la elección1º 2º 3º 4º 5º

101012

101112

141315

16 161618

17

20 201921

22 24 23

25 25

25

28 26

32 323034

Orden de preferencia en la elección1º 2º 3º 4º 5º

36 38 3540 40 40 42 44

45 48 4650 50 52 55

56 60 58

63 63 636265

70 68 7280 80 75 78

858288

90 95 92100 100 100 105 98

Las medidas de los diámetros interiores de las pistas internas de los rodamientos FAG®[5] (equivalente aldiámetro del eje o árbol) son1:

Rodamientos rígidos de bolas con una hilera: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 30, 35, 40, 45,50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220,240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 530, 560, 600, 670, 750, 850.

Rodamientos de rodillos cilíndricos con una hilera: 15, 17, 20, 22.1, 25, 26.5, 30, 31.5, 35, 37.5, 40,

42, 44, 45, 47, 49.5, 50, 52.5, 54.5, 55, 57.5, 59.5, 60, 64.5, 65, 66, 69.5, 70, 72, 74.5, 75, 78.5, 80, 83.5,85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320,340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 560, 630, 670, 710, 800.

Ver además tablas 8.1 y 8.3 de Ocampo[1] sobre dimensiones estandarizadas para rodamientos.

De acuerdo con esta información se asignan los diámetros previos a los escalones de los árboles delaccionamiento; las medidas están en milímetros:

Figura 3.1 Diámetros previos del árbol 2

1 Para seleccionar otro tipo de rodamiento debe recurrirse al catálogo respectivo.

35 303540

Puesto de rodamiento

Puesto de acople




El diámetro hallado para el árbol 2, 30 mm, es un valor estándar, y fue asignado al extremo derecho delárbol, donde se ubicará el acople. El diámetro donde se apoyan los rodamientos fue hallado sumando 5 mmal diámetro anterior, es decir, (30 + 5) mm = 35 mm, el cual es un valor estandarizado para diámetrosinteriores de rodamientos. Finalmente, el diámetro de 40 mm fue hallado sumando 5 mm al diámetro delescalón anterior, y allí se ubicará la polea conducida de la transmisión por correas en V. Un procedimiento

similar se siguió con los demás árboles.



En el árbol 4 no hay extremo saliente del árbol, por lo tanto, el valor hallado de 65 mm no se asigna a ningúnescalón; se suma 5 mm para el sitio donde se ubican los rodamientos, 10 mm para el sitio donde se ubicanlos engranajes y 15 mm para el tramo que sirve de apoyo al par de ruedas dentadas.


En el árbol 5, el valor obtenido de 78 mm se estandarizó a 80 mm y se le asignó al escalón donde se ubica laestrella, y a partir de éste se sumó o restó 5 mm para obtener los diámetros restantes. No se le asignó almenor diámetro para evitar sobrediseñar el árbol.


35 707580


Puesto de acople

34 40


Puesto de acople

40 45 50

70


707575 80

85 7585


Puesto de estrella

Puesto de acople

809095




4. CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CORREA

La transmisión por correa corresponde al escalón (a) del accionamiento; la polea conductora está acopladadirectamente al árbol del motor (árbol 1), siempre y cuando las exigencias de carga lo permitan, y la poleaconducida está montada sobre un árbol simplemente apoyado que transmite la potencia al reductor medianteun acople flexible. Los datos iniciales para el cálculo de la transmisión por correa son:- Transmisión horizontal con una relación de ia = 3 (sección 2.5)- Motor eléctrico con rotor de jaula de ardilla; P M = 24 hp, n M = n1 = 1760 r/min (sección 2.5)- Las máquinas accionadas son un elevador de cangilones y una secadora transportadora de azúcar- El servicio de la transmisión es de 24 horas al día

4.1 Cálculo de la potencia de diseño

La potencia de diseño, Pd , es igual al producto de la del motor, P M , y el coeficiente de servicio, K s:

(4.1)

El coeficiente de servicio es un factor que ‘corrige’ la potencia a transmitir debido a las variaciones en la

carga (impactos, sobrecargas, arranques, etc.) y depende del tipo de motor, del tipo de máquina accionada yde ciertas características adicionales. De la tabla 2.13 de Ocampo[1] tomamos el valor de K s , sabiendo que:1) El motor es con rotor de jaula de ardilla2) Las máquinas accionadas son un transportador de cangilones y una secadora3) El servicio es por más de 16 horas por día.

Con las dos primeras condiciones se escoge un coeficiente de servicio de 1.4, el cual se corrige, debido a latercera condición, sumándole 0.2, entonces, K s = 1.6. La potencia del motor es de 24 hp, por lo tanto:

4.2 Selección del tipo de correa

Usamos una correa convencional. El tamaño se selecciona de la figura 2.16 de Ocampo[1], conociendo Pd ysabiendo que la frecuencia de giro de la polea pequeña, n1, es igual a la del motor, n M = 1760 r/min.

Figura 4.1 Diagrama potencia de diseño – velocidad de la polea pequeña

.s M d K PP

hp.4.38)6.1)(hp24( d P

A

B

C

DE

38.4 hp

1760 r/min

n 1

P d




Como el punto de intersección (Pd , n1) cae en la línea divisoria entre los tamaños B y C, trabajamos conambos y seleccionamos más adelante el que más convenga.

4.3 Diámetros primitivos de las poleas

Los tamaños de las poleas afectan el desempeño de la transmisión. Los esfuerzos en las poleas pequeñas, así como aquellos de las correas, tienden a ser relativamente grandes, mientras que en poleas muy grandes elcosto, el peso y el espacio ocupado por la transmisión tienden a ser elevados.

La tabla 2.8 de Ocampo[1] recomienda diámetros mínimos de poleas para correas en V. Para una potencia de25 hp (valor más cercano en la tabla a la potencia del motor) y 1750 r/min (valor más cercano a lasrevoluciones del motor), el diámetro mínimo recomendado es de 4 ¼”. De la tabla 2.7 de Ocampo

[1] tomamos el diámetro primitivo normalizado (para poleas) que más se aproxime a 4 ¼”. Para correas tipo Btomamos el diámetro de 4.6” (un valor mayor incrementaría innecesariamente los costos), y para correas tipo

C tomamos 7” (que es el menor diámetro normalizado para este tipo de correa).

El diámetro de la polea mayor, D2, se calcula con la relación de transmisión, ia, y el coeficiente dedeslizamiento de la correa, K , que oscila entre 0.01 y 0.02[1]:

(4.2)

Tomamos K = 0.015; entonces, si la correa es tipo B

y, si la correa es tipo C

De la tabla 2.7[1] tomamos los valores normalizados. Para correas tipo B, D2 = 12.4” o 15.4”, mientras que

para correas tipo C, D2 = 20”. Escogemos la correa tipo C que nos da una relación de transmisión máscercana a tres; entonces D1 = 7” y D2 = 20”2. De la ecuación 4.2, la relación de transmisión es

Las dimensiones de la correa se muestran en la figura 4.2.

Figura 4.2 Dimensiones de la correa convencional tipo C

4.4 Velocidad periférica de la correa

La velocidad periférica de la correa es igual a la de la polea conductora:

2 Se aclara que un criterio más importante es el costo de la transmisión, el cual depende del número de correas, del tipo de sección dela correa y del tamaño de las poleas.

).1( dondede ,)1(

12

1

2

2

1 K Di DK D

D

n

ni aa

in,6.13)015.01)(6.4)(3(2 D

in.7.20)015.01)(7)(3(2 D

.9.2)015.01(7

20

ai

17/32”

7/8”




(4.3)

Esta velocidad equivale a 3224 ft/min, la cual está en el rango recomendado para transmisiones por correasen V: 2500 ft/min V 7000 ft/min.

4.5 Cálculo aproximado de la distancia entre centrosOcampo[1] recomienda que la distancia entre centros se calcule de la siguiente manera:

(4.4)

4.6 Longitud de la correa

La siguiente ecuación da un valor suficientemente exacto de la longitud de la correa:

(4.5)

entonces:

Ésta es la longitud primitiva de la correa, pero se debe buscar una correa comercial (normalizada) que tengauna longitud similar. Las correas convencionales se especifican con un número que representa la longitudinterior; en una correa tipo C, la longitud primitiva es igual a la interior más la constante 2.9” (Ver

Ocampo[1], página 28).

Buscamos en la tabla 2.5[1] una correa con longitud interior cercana a 85.47 – 2.9 = 82.57”; la correa C85,que tiene una longitud interior de 85”, es la que más se aproxima, entonces escogemos esta correa.

La longitud primitiva de esta correa es, entonces, L = 85 + 2.9 = 87.9” = 223.27 cm.

4.7 Cálculo de la distancia entre centros

La distancia entre centros, A, se recalcula para la longitud de la correa seleccionada. Despejamos A de laecuación 4.5:

(4.6)

Reemplazando L = 87.9”, D1 = 7” y D2 = 20”, se obtiene que A = 21.77” = 55.31 cm.

4.8 Potencia nominal por correa

La potencia nominal por correa está dada por:

(4.7)

Los coeficientes a, b y c se toman de la tabla 2.14[1]. Para P NC en hp, V en m/min, D1 en cm y correa tipo C,tenemos: a = 26.200, b = 327.244, c = 1.4859.

.m/s38.16)s60 / 1760)(m0254.07()2 / ( 1111 n D DV

cm.52.07in5.2020;5.20max20;72

207max;

2max 21

21

D D

D D A

,4

)(

)(22

212

21 A

D D

D D A L

,in47.85)5.20)(4(

)720()207(

2)5.20)(2(

2

L

.1010

103

2

31

09.03 V V

c DK

b

V aP

d

NC

16

)(32))(24()(24 212

22121 D D D D L D D L

A




El coeficiente de corrección del diámetro de la polea pequeña, K d , se toma de la tabla 2.15[1] para 1.815 < D2 / D1 < 2.948; K d = 1.13. D1 = (7)(2.54) cm = 17.78 cm; V = (16.38 m)/((1/60) min) = 982.8 m/min;entonces:

4.9 Potencia nominal corregida por correa

La potencia por correa dada por la ecuación 4.7 es adecuada para un ángulo de contacto de la polea pequeñade 180°; para ángulos menores debe corregirse dicha potencia (para tener una duración aceptable de lacorrea). Como la longitud de la correa afecta su vida útil, también debe aplicarse un factor de corrección porlongitud:

(4.8)

donde:

P NC = 8.37 hpK L = 0.90, de la tabla 2.17 de Ocampo[1]

, para una longitud interior de correa de 85” K = 0.91, de la tabla 2.16 de Ocampo[1], para correas en V y ( D2 – D1)/ A = 0.597

La potencia corregida por correa es, entonces:

4.10 Número de correas

El número de correas requerido es igual a la relación entre la potencia de diseño y la potencia que cadacorrea puede transmitir para una duración satisfactoria:

(4.9)

Se toman 6 correas.

4.11 Selección de poleas y manguitos de montaje

Para la selección de las poleas y sus manguitos de fijación se utiliza el catálogo Browning [6]; se requiere unpar de poleas con 6 ranuras para correas tipo C y diámetros primitivos de 7” y 20”. En la tabla 1 de la páginaA-17 del catálogo[6] (anexo 2, página 58) se encuentran dos opciones:- Poleas 6TC70 (Q2) y 6TC200 (Q2), con 7” y 20” de diámetros primitivos respectivamente

- Poleas 6C70SF y 6C200F, con 7” y 20” de diámetros primitivos respectivamente

Un criterio importante en la escogencia de una de las dos alternativas es el costo; sin embargo, aquí seselecciona la segunda alternativa ya que para la primera los manguitos no están disponibles en medidasmétricas estándar (ver anexo 2, páginas 54 a 57). En la página A-63 del catálogo[6] (anexo 2, página 59)están las dimensiones de las poleas y los tipos de manguitos a utilizar: SF para la polea pequeña y F para laotra. En la página 57 (anexo 2) están las medidas disponibles de los agujeros de los manguitos; se seleccionaun manguito SF de 42 mm de agujero para la polea pequeña, ya que éste es el diámetro del árbol del motor(ver anexo 1, página 50). Como el diámetro previo del árbol 2 en el sitio donde se ubicará el manguito es de40 mm, y la mínima dimensión de agujero de manguito en mm es de 45, se selecciona el tipo F de 45 mm

.hp37.8

10

8.982

10

8.9824859.1

)78.17)(13.1(

244.327

8.982

10)2.26(

3

2

3

09.03

NC P

, K K PP L NC NCC

hp.855.6)91.0)(90.0)(hp37.8( NCC P

correas.6.5hp855.6

hp4.38correasdeNúmero

NCC

d

P

P




para la polea conducida, con lo cual todos los diámetros previos de los escalones del árbol 2 seincrementan en 5 mm.

4.12 Ángulos de contacto de las poleas

El ángulo de contacto de la polea menor está dado aproximadamente por:

(4.10)

entonces

El ángulo de contacto de la polea mayor es igual a:

(4.11)entonces

4.13 Fuerzas en el lado flojo y tirante y fuerza sobre el árbol

La fórmula de Euler

(4.12)

nos da, aproximadamente, la máxima relación entre las fuerzas en el lado tenso, F 1, y en el lado flojo, F 2,para evitar resbalamiento entre la correa y las poleas. Para asegurar una adecuada transmisión de potencia,esta relación debe ser menor que la dada por dicha ecuación (lo que implica mayor tensión inicial).

Asumiendo que la superficie de la correa es de tejido de algodón, el coeficiente de fricción, f , es de 0.22(tabla 2.9 de Ocampo[1]). Para correas en V debe calcularse un coeficiente de fricción reducido:

(4.13)

donde es el ángulo de la ranura de la polea (34° a 38°, dependiendo del tamaño de la polea, tabla 2.6 [1]).Reemplazando f’ en la ecuación 4.12, para la polea pequeña (que es la más crítica en cuanto al riesgo dedeslizamiento) se obtiene:

Como se dijo, ésta relación debe ser menor que el valor obtenido con la ecuación de Euler. La tabla 2.18[1] recomienda que, para = 145°, F1 / F2 = 3.66.

Sabemos que el par de torsión en una transmisión por correas es producido por la diferencia de las fuerzas enel lado tenso y en el lado flojo, multiplicada por el radio primitivo de la polea, entonces:

(4.14)

De la sección 2.1, T 1 = 97.12 N-m, y D1 = 7”. Despejando F 1 – F 2 de la ecuación 4.14 se obtiene:

;121

A

D D

.8.145rad545.277.21

7201

;360 12

.2.2148.1453602

f e

F

F

2

1

,66.03)2 / sin(

f f

f

.36.5)545.2)(66.0(

2

1 eF

F

).2 / )(( 1211 DF F T




Con ésta se completa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para el cual:

F 1 = 1503 N y

F 2 = 411 N

Las fuerzas sobre los árboles que soportan las poleas están dadas por la suma vectorial de las fuerzas F 1, F 2 yel peso de la polea. De la tabla 2 de la página 59 (anexo 2) se obtienen los pesos de las poleas: 26 lbf =115.65 N (polea conductora) y 112 lbf = 498.20 N (polea conducida); y de la tabla 1 de la página 56 (anexo2) se obtienen los pesos aproximados de los manguitos: 3.5 lbf = 16 N (de la polea pequeña) y 14 lbf = 62 N(de la polea grande). Las fuerzas sobre los árboles están dadas aproximadamente por:

(4.15)

A pesar de que la polea conducida y su manguito tienen un peso relativamente grande, la fuerza resultantesobre el árbol no difiere significativamente de la suma escalar de las fuerzas F 1 y F 2.

4.14 Resumen

Tabla 4.1 Algunos de los parámetros principales de la transmisión por correa

Parámetro ValorRelación de transmisión i = 2.9

Tipo de correa C85 (convencional)

Número de correas 6Longitud interior 85”

Longitud primitiva L = 87.9” = 223.27 cm

Diámetros primitivos de las poleas D1 = 7” y D2= 20” Velocidad periférica V = 16.38 m/s = 3224 ft/min

Distancia entre centros A = 21.77” = 55.31 cm

Ángulos de contacto 1 = 145.8° y 2 = 214.2°

Fuerzas en la correa F 1 = 1503 N y F 2 = 411 N

Fuerza periférica F = F 1 – F 2 = 1092.5 NFuerzas sobre los árboles F E 1 = 1919 N y F E 2 = 1994 N

Referencias de las poleas 6C70SF y 6C200FReferencias de los manguitos SF (42 mm) y F (45 mm)

Las dimensiones de la sección de la correa se muestran en la figura 4.2 (página 15) y las medidas de laspoleas y de los manguitos están en el anexo 2 (páginas 56, 57 y 59).

.)( 2221 W F F F E

N.5.109221 F F

2.árbolelsobre N,1994)62498()4111503( 22 E F

y motor,delárbolelsobre N,1919)16116()4111503( 22 E F




5. CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CADENA

La transmisión por cadena es la encargada de llevar la potencia a la secadora. De la sección 2 tenemos que:- P = P A = 10 hp = 7.46 kW (potencia a transmitir).- n1 = 45 r/min (velocidad de la estrella conductora, la cual está montada sobre el árbol 5) (sección 2.5).- id = 2.25 (relación de transmisión) (sección 2.5).- La máquina accionada es una secadora (aunque el elevador de cangilones puede afectar en cierta medida

la transmisión por cadena). Puede asumirse que los elementos soportan choques moderados.- El trabajo de la transmisión es de 24 horas al día.- Por las características de trabajo en el ingenio (bagacillo en el ambiente), se asume una condición crítica

respecto a la lubricación (periódica). En caso de que en la instalación se proteja la transmisión delambiente contaminado y se lubrique con mejores condiciones, se esperará una mayor duración de la

cadena.- Debido a la baja velocidad de esta transmisión, la cadena de rodillos trabajará bien (no se requiere unacadena silenciosa) y tendrá menores costos.

5.1 Números de dientes de las estrellas

El número de dientes de la estrella pequeña debe ser lo suficientemente grande para evitar un exceso deoscilación de la velocidad de la cadena, lo que conllevaría a mayores impactos, ruido y desgaste, y menoreficiencia y vida útil. Por otro lado, una estrella con excesivo número de dientes sería más costosa, ya quelas estrellas serían de mayor tamaño.

La tabla 3.6 de Ocampo[1] recomienda el número de dientes para la estrella pequeña, con base en la relación

de transmisión y el tipo de cadena. Para cadena de rodillos y relación de transmisión 2 < i = 2.25 < 3, serecomienda que Z 1 esté entre 25 y 27 dientes. Escogemos Z1 = 26 dientes.

La relación de transmisión está dada por:

(5.1)

Seleccionamos un número de dientes para la estrella conducida de Z2 = 60 dientes3. La nueva relación detransmisión es, entonces, igual a:

Al analizar la tabla 3.7 de Ocampo[1] vemos que cualquier cadena (de cualquier paso) trabajará bien conrespecto al límite de velocidad permitido, ya que esta transmisión opera a muy baja velocidad.

3 Para distribuir mejor el desgaste de la cadena y de las estrellas, Ocampo [1] recomienda que los números de dientes de estas últimassean impares cuando la cadena tenga un número par de eslabones (esto último es conveniente para evitar el uso de eslabonesespeciales). El cálculo mostrado en esta sección corresponde a una segunda iteración, en la cual se tuvieron en cuenta los números dedientes disponibles de estrellas Browing[6].

.5.58)26)(25.2( dondede , 12

1

2

2

1 Z i Z Z

Z

n

ni d d

.31.2

26

60

1

2

Z

Z id




5.2 Velocidad, fuerza periférica y fuerza equivalente por hilera en función del paso de la cadena

La velocidad media de la cadena está dada por:

(5.2)

La fuerza periférica se obtiene con la potencia y la velocidad de la cadena:

(5.3)

Ésta es la fuerza periférica total que soporta la cadena; sin embargo, si la cadena es de más de una hilera derodillos, la fuerza se distribuye en el número de hileras correspondiente. Teniendo en cuenta que la potenciaque puede transmitir una cadena de varias hileras no es directamente proporcional al número de éstas, sinoque es igual a un a fracción, calculamos la fuerza equivalente por hilera dividiendo la fuerza periférica entreel coeficiente K 4:- K 4 = 1, para h = 1 (una hilera)- K 4 = 1.7, para h = 2- K 4 = 2.5, para h = 3- K 4 = 3.3, para h = 4

De acuerdo con estos valores, por ejemplo, la potencia a transmitir por una cadena de 4 hileras es igual a 3.3veces la potencia que puede transmitir una cadena de iguales especificaciones, pero de una hilera.

La fuerza equivalente por hilera, F eh, está dada por:

(5.4)

- Para una cadena de una hilera: F eh = F /1 = (39011 kgf-mm)/ p.- Para dos hileras: F eh = F /1.7 = (22948 kgf-mm)/ p.- Para tres hileras: F eh = F /2.5 = (15604 kgf-mm)/ p.- Para cuatro hileras: F eh = F /3.3 = (11822 kgf-mm)/ p.

5.3 Selección del paso de la cadena

La ecuación siguiente es una variante de la recomendada por Ocampo[1] para hallar un paso tentativo de lacadena:

(5.5)

donde:- P = 7.46 kW- Z 1 = 26- n1 = 45 r/min- ][ p 4.6 kgf/mm2 (tabla 3.8[1], aumentada en 30%)

- K = K 1K 2K 3; tomamos K 1 = 1.3 (carga con choque moderado)K 2 = 1.5 (lubricación periódica)K 3 = 1.45 (3 jornadas de trabajo)

Entonces K = 2.83- Para K 4 tomamos 1, 1.7 y 2.5, que corresponden a 1, 2 y 3 hileras respectivamente. Reemplazando estos

datos en la ecuación 5.5 tenemos:

.)s5.19()s60 / 45)(26( entonces , -111 p pV pn Z V

.mm-kgf 39011mm-N106.382m-N6.382

)s5.19(

W7460 3

1- p p p pV

PF

:entonces ,4K

F F eh

,]kgf/mm][][r/min[

]kW[280]mm[ 3

42

11 K pn Z

K P p




p = 44 mm, para h = 1 p = 37 mm, para h = 2 p = 33 mm, para h = 3

Teniendo en cuenta esto, escogemos las siguientes cadenas ANSI para su análisis: 100-h ( p = 31.75 mm),

120-h

( p

= 38.10 mm), 140-h

( p

= 44.45 mm), 160-h

( p

= 50.80 mm). La letrah

corresponde al número dehileras; cada una de estas cadenas se analizará con 1, 2 y 3 hileras.

La tabla 5.1 muestra los resultados de los cálculos requeridos para hacer la comprobación de cada cadena.

Tabla 5.1 Datos para la selección del paso de la cadena

Variable h Ecuación/TablaPaso de la cadena, p (mm)

31.75 38.10 44.45 50.80Área nominal de trabajo

Ar (mm2)- Tabla 3.1[1] 258 390 468 639

Fuerza equivalente por hilera

F eh (kgf)

1 F eh = (39011 kgf-mm)/ p 1229 1024 878 7682 F eh = (22948 kgf-mm)/ p 723 602 516 452

3 F eh = (15604 kgf-mm)/ p 491 410 351 307

Presión específica p (kgf/mm2)

1

r

eh

r

eh

A

F

A

F K p )83.2(

13.48 7.43 5.31 3.402 7.93 4.37 3.12 2.003 5.39 2.98 2.12 1.36

Presión específica permisible][ p (kgf/mm2) - Tabla 3.8[1] (aumentando 30%) 4.6 4.6 4.6 4.6

Carga media de roturaQ (kgf)

- Tabla 3.1[1] 10890 15420 20870 26310

Coeficiente de seguridad N

1

eheh F

Q

F K

Q N

)3.1(1

6.8 11.6 18.3 26.4

2 11.6 19.7 31.1 44.83 17.1 28.9 45.7 65.9

Coef. de seguridad permisible[ N ]

- Tabla 3.10[1] 7 7 7 7

Distancia entre centros A (mm) - A = 30 p 4 953 1143 1334 1524

Número de eslabones L p

-) / (4

)(

22

2

21221

p A

Z Z Z Z

p

A L p

104.98, entonces L p = 105 5

Número de golpes por segundoU (s-1)

- U = (n1[r/min])( Z 1)/(15 L p) 0.74 0.74 0.74 0.74

Número de golpes permisible[U ] (s-1)

- Tabla 3.9[1] 25 20 15 15

No

sirve][ p p

SIRVEN

con2 o 3 hileras

No

sirve A>1.4 m

Las celdas sombreadas en la tabla 5.1 corresponden a los valores que cumplen los respectivos requisitos:- ][ p p - ][U U

4 Lo óptimo podría ser A = 40 p, pero se tomó el menor valor del rango recomendado (30 p < A < 50 p), ya que la distanciadisponible es pequeña (80 cm < A < 140 cm). 5 Se seleccionó impar ya que los números de dientes de las estrellas son pares; esto puede contribuir a un desgaste más parejo.




- ][ N N - 80 cm < A < 140 cm

Se observa que el paso de 31.75 mm no cumple el requisito de la presión específica, mientras que el de 50.80mm no cumple el de la distancia entre centros. Los pasos 38.10 mm y 44.45 mm cumplen todas las

condiciones si se eligen 2 o 3 hileras de rodillos. La decisión puede tomarse después de hacer un análisis decostos. Probablemente la opción más económica es la cadena ANSI 120-2 ( p = 38.10 mm y 2 hileras), yaque combina el menor paso y el menor número de hileras.

De la tabla 5.1 se concluye que el criterio que predomina en la selección de la cadena es la presión específica(4.37 kgf/mm2), ya que está muy cerca del valor permisible (4.6 kgf/mm 2); mientras que el factor deseguridad y el número de golpes por segundo están muy alejados de los respectivos valores permisibles.

5.4 Distancia entre centros

La distancia entre centros, expresada en pasos, está dada por:

(5.6)

entonces

La distancia (teórica) entre centros es, por lo tanto:

(5.7)Para calcular la distancia entre centros real, debe tenerse en cuenta el pandeo de la cadena en el lado flojo(figura 5.1). De acuerdo con Ocampo[1], la deflexión de la cadena y la distancia entre centros corregidapueden tomarse como:

(5.8)

donde es el ángulo entre la línea que une los ejes y la horizontal. Como = 0, tenemos que:

Figura 5.1 Deflexión y distancia entre centros en una transmisión por cadena

,

4

222

2122

2

2121 Z Z L Z Z Z Z L

A

p p

p

.52.30

4

26602

1052

6026

2

6026105

2

2

2

p A

mm.1162.8mm)10.38)(52.30(

p A A p

mm.1151)mm23)(5.0(mm8.1162ymm,23)mm8.1162)(02.0( corregida A y

,5.0y,45para,02.0 y A A A y corregida

y

Acorregida

Estrellaconductora

Estrellaconducida

Cadena




5.5 Selección de las estrellas

De la página F-9 del catálogo Browning[6] (anexo 3, página 61) se seleccionan las estrellas para cadena ANSI120-2:- D120B26 con 26 dientes para la estrella conductora

- D120C60

con 60 dientes para la estrella conducidaEn la página F-49[6] (anexo 3, página 62) están las dimensiones y datos principales de las estrellas. De allí sepuede verificar que las estrellas pueden ser perforadas hasta alcanzar las medidas de los diámetros previoscorrespondientes de los árboles 5 y 6 (ver figuras 3.4 y 3.5). Pueden leerse, además, los pesos de lasestrellas; sin embargo, éstos pueden ser despreciados para el cálculo de la fuerza sobre el árbol, ya que sonpequeños comparados con las fuerzas en la cadena. Se sugiere al estudiante calcular la fuerza sobre el árbolconsiderando el peso de la estrella respectiva, y compararla con la obtenida en la sección 5.6.

5.6 Fuerzas en el lado tenso, en el lado flojo y sobre el árbol

Las fuerzas en el lado tenso, F 1, en el lado flojo, F 2, y sobre el árbol, F E , están dadas por[1]:

(5.9)

donde F c es la fuerza centrífuga y F p es la fuerza de pandeo, las cuales están dadas por:

(5.10)

Sabemos que:- F = 1024 kgf (de la tabla 5.1 o de la ecuación 5.3)- q = 5.54 kgf/m (peso lineal de la cadena, tomado de la tabla 3.1 de Ocampo[1])- V = (19.5 s – 1)(0.0381 m) = 0.743 m/s (de la ecuación 5.2)- A = 1.151 m, y = 0.023 m, h = 2 y g 9.8 m/s2.

Reemplazando estos datos en las ecuaciones 5.9 y 5.10 se obtiene que:

F c = 0.6 kgf y F p = 80 kgf,entonces

F 1 = 1104 kgf, F 2 = 81 kgf y F E = 1185 kgf.

5.7 Medidas principales de la cadena y diámetros primitivos de las estrellas

La figura 5.2 muestra las dimensiones principales de una cadena ANSI 120-2 (tomadas de la tabla 3.1 deOcampo[1] y del catálogo Browning[6] (anexo 3, página 63)), donde:

Paso de la cadena: p = 38.10 mmDiámetro del rodillo: D = 22.23 mmDistancia entre placas: C = 25.4 mm

Los diámetros primitivos de las estrellas están dados por (ver además anexo 3, página 62):

(5.11)

entonces

, ; ; 2121 F F F F F F F F F E c p p

.8

y22

y

qhAF

g

qhV F pc

;) / 180(sen Z

p Do




Figura 5.2 Dimensiones principales de la cadena de rodillos ANSI 120-2

5.8 Resumen

Tabla 5.2 Algunos de los parámetros principales de la transmisión por cadena

Parámetro ValorRelación de transmisión i = 2.31

Números de dientes Z 1 = 26 Z 2 = 60

Tipo de cadena ANSI 120-2Paso de la cadena p = 38.1 mmNúmero de hileras 2

Diámetros primitivos Do1 = 316.1 mm Do2 = 728.0 mm

Velocidad periférica V = 0.743 m/sDistancia entre centros A = 1151 mm

Fuerzas en la cadenaF 1 = 1104 kgf

F 2 = 81 kgf Fuerza periférica F = 1024 kgf

Fuerza sobre el árbol F E = 1185 kgf Referencias de las estrellas D120B26 y D120C60

Las principales dimensiones de la cadena se muestran en la figura 5.2 (sección 5.7), y las de las estrellas enel anexo 3 (página 62).

C = 25.4 mm

p = 38.10 mm D = 22.23 mm

24.89 mm

29.21 mm

45.49 mm

mm.0.728)60 / 180(sen

mm10.38ymm1.316

)26 / 180(sen

mm10.3811

oo D D




6. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN POR

ENGRANES HELICOIDALES

Datos iniciales de la transmisión por ruedas dentadas (reductor de velocidades)

Antes de comenzar el cálculo de las ruedas helicoidales, se presentan aquí algunos datos iniciales para eldiseño del reductor de velocidades de dos escalones. La transmisión por ruedas dentadas recibe la potenciade la transmisión por correa y la entrega al acople ‘f’ y a la transmisión por cadena (ver figura 1.3). Aunque

la velocidad de giro del árbol de entrada del reductor es relativamente baja, se utilizarán ruedas dentadashelicoidales para el primer escalón. Para el segundo escalón se usarán ruedas dentadas cilíndricas de dientesrectos. De las secciones 2 y 4 tenemos que:

- P = 24 hp = 17.90 kW (potencia del motor, sección 2.5).- Después de diseñar la transmisión por correa, se obtuvo que ia = 2.9 (ver sección 4.3 o 4.14), entonces,n2 = (n M )/(2.9) = (1760 r/min)/(2.9) = 607 r/min, el cual es un poco diferente al valor inicial calculado enla sección 2.4.

- Las relaciones de transmisión de los escalones rápido y lento del reductor son ib = 4.72 e ic = 2.76respectivamente (sección 2.5).

- La potencia que pasa por el reductor es conducida a ambas máquinas, la secadora y el elevador decangilones. Se asume que los elementos soportan choques moderados.

- El trabajo de la transmisión es de 24 horas al día, 6 días a la semana, 9 meses al año, durante 20 años.- Para el cálculo del reductor es necesario tener en cuenta la gráfica de carga (ver figura 1.2).

El cálculo de las ruedas dentadas se hará siguiendo un conjunto de pasos que combina ecuaciones y

procedimientos recomendados por AGMA (resumidos en Norton

[7]

) y por Ocampo

[1]

.6.1 Selección previa de los materiales de las ruedas

Los materiales más usados en engranajes son los aceros, el hierro fundido, bronces y materialestermoplásticos. Los bronces se usan principalmente en transmisiones de tornillo sinfín, al igual que el hierrofundido, el cual se usa también para fabricar ruedas dentadas de gran tamaño; los materiales termoplásticosse usan mucho en transmisiones de muy baja potencia. Los aceros son los más utilizados en reductores develocidades.

La selección de los aceros y de sus durezas depende de las velocidades de las ruedas. Para velocidades bajasse requieren durezas del orden de 350 HB o menores, mientras que para velocidades altas se prefieren

durezas mayores de 350 HB, ya que se requiere mayor resistencia superficial. De acuerdo con esto, para elpiñón, se escoge un acero clasificado como AGMA grado 2, endurecido a 250 HB. Ocampo[1] recomiendaque la dureza de la rueda sea menor que la del piñón, entre 20 y 40 HB, con el fin de procurar un desgastemás uniforme (la rueda opera menos ciclos durante su vida útil, por girar más lentamente y por tenermenores esfuerzos superficiales). Para la rueda se escoge un acero AGMA grado 2, endurecido a 220HB.

6.2 Esfuerzos admisibles AGMA

De las figuras 11.25 y 11.27 de Norton[7], se obtienen los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatigasuperficial respectivamente:




- S fb1’ = 42 ksi = 290 MPa - S fc1’ = 118 ksi = 814 MPa - S fb2’ = 38.4 ksi = 265 MPa - S fc2’ = 107.5 ksi = 740 MPa

6.3 Determinación de la distancia entre centros preliminarCuando se diseñan engranajes debe verificarse la resistencia a la fatiga superficial y a la fatiga por flexión; seprefiere que los factores de seguridad por flexión sean mayores que los de fatiga superficial, ya que la fallapor flexión inhabilita generalmente la transmisión, mientras que la falla por fatiga superficial permite untiempo posterior de funcionamiento durante el cual el ruido y vibración aumentados ‘avisan’ de la falla. Espor esto que el criterio fundamental de falla debe ser el de fatiga superficial; como el esfuerzo por contactodepende de la fuerza tangencial, que a su vez depende de los diámetros primitivos y, por lo tanto, de ladistancia entre centros (entre otras variables), se estima la distancia entre centros, A, con base en el esfuerzopermisible por contacto. Usamos la ecuación 6.54 de Ocampo[1] (página 263), válida para un ángulo depresión de 20°:

(6.1)

donde i = 4.72 es la relación de transmisión; S fc2’ = 740 MPa = 7546 kgf/cm2 es el esfuerzo admisible porfatiga superficial de la rueda; K es un factor que depende de las cargas dinámicas y de la concentración deesfuerzos, el cual se asume como K = 1.75 (el procedimiento para calcular este valor se encuentra enOcampo[1]); A = B R / A es el coeficiente de anchura de la rueda, el cual se toma entre 0.2 y 0.6 para ruedashelicoidales6[1]; tomamos7 A = 0.2; C es un coeficiente que tiene en cuenta el mayor rendimiento de lasruedas helicoidales y oscila entre 1.15 y 1.35 para éstas; tomamos C = 1.25; P es la potencia en kW, P = 17.9kW; y n R = (607 r/min)/(4.72) = 128.6 r/min es la frecuencia de giro de la rueda conducida.

Reemplazando estos datos en la ecuación 6.1 se obtiene que A = 25.52 cm.

6.4 Elección del módulo normal

De acuerdo con Ocampo[1] el valor del módulo normal, mn, se escoge con base en el siguiente rango:

(6.2)

Tomamos mn = 0.015 A = (0.015)(255.2 mm) = 3.83 mm. De la tabla 4.3 de Ocampo[1] se escoge un módulonormalizado: m n = 4 mm.

6.5 Elección del ángulo de inclinación de los dientes

El ángulo de inclinación de los dientes, , para dientes helicoidales está entre 7° y 35°, según Ocampo [1] (página 124), ó entre 10° y 45°, según Norton[7]. Tomamos = 20°.

6.6 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas

Sabemos que:

6 Este rango no es muy estricto, algunos autores dan otros rangos que consideran valores de A de hasta 1.6.7 Las ruedas conducidas del reductor (horizontal) deben tener iguales diámetros para que tengan la misma profundización en el bañode aceite. Como el escalón rápido soporta menores fuerzas que el lento, se elige un coeficiente de anchura de la rueda pequeño.

Rueda

Piñón

,]r/min[

]kW[1

])kgf/cm['(

340000 )1(]cm[ 3

2

22 R A fc

n

P

C

K

iSi A

.02.001.0 Am A n




(6.3)

de donde se obtiene que:

De este sistema se obtiene que Z 1 = 21.0 y Z 2 = 98.9. Seleccionamos Z1 = 21 y Z2 = 99, con los cuales larelación de transmisión es i = 99/21 = 4.71. Aunque el número de dientes del piñón es suficientementegrande, ilustraremos la forma de verificar que no exista interferencia.

El número de dientes equivalente Z E del piñón es:

(6.4)

Escogemos un ángulo de presión de 20° para todas las ruedas. Para = 20° e i = 4.71 se obtiene, de latabla 4.2 de Ocampo[1], que para evitar interferencia Z E debe ser mayor o igual a 16, entonces, nuestro piñóncumple con este requisito.

6.7 Precisión de la distancia entre centros y el ángulo de la hélice

Después de escoger valores enteros para los números de dientes, se debe recalcular ya sea el ángulo deinclinación de los dientes o la distancia entre centros, de acuerdo con:

(6.5)

Dejando = 20°:

6.8 Diámetros primitivos de los engranes

Los diámetros primitivos son:

(6.6)

6.9 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes

La velocidad periférica de los engranajes está dada por:

(6.7)

La precisión de los dientes de los engranes se escoge de la tabla 11.7 de Norton [7]. Para la velocidad de 2.84m/s se escoge un número de calidad AGMA de 7, que se consigue con un método tallado de desbaste (nose requiere utilizar un método de acabado).

,cos2

y 21

1

2

nm

A Z Z

Z

Z i

,9.119mm4

20cos)mm2.255)(2(y72.4 21

1

2 Z Z Z Z

.3.2520cos

21

cos 33

Z Z E

,cos2

21

nm Z Z A

mm.4.25520cos

mm4

2

9921

A

m/s.84.2s60

607)m08939.0(1122 n Dn DV

mm.39.89cos20

)21)(mm4(

cos

11

Z m D n mm.41.421

cos20

)99)(mm4(

cos

22

Z m D n




6.10 Determinación del ancho de cada engrane

En la sección 6.3 se escogió el coeficiente de anchura de la rueda A = B R / A = 0.2. Norton[7] plantea unrango para el ancho del diente que depende del módulo; recomienda que 8m < B R < 16m, entonces:

De acuerdo con Ocampo[1], el ancho del piñón se toma entre 3 y 5 mm mayor que el de la rueda. Tomamos B P = 55 mm.

6.11 Cálculo de la fuerza tangencial

La fuerza tangencial, Qt , es igual a:

(6.8)

6.12 Cálculo de las razones de contacto

La razón de contacto está dada por:

(6.9)

donde:- = 20° (ángulo de presión)- A = 255.4 mm (distancia entre centros)

-

- Re1 = ( D1 + 2mn)/2 = (89.39 mm + (2)(4 mm))/2 = 48.70 mm- Re2 = ( D2 + 2mn)/2 = (421.41 mm + (2)(4 mm))/2 = 214.71 mm- Rb1 = ( D1cos )/2 = (89.39 mm)(cos 20°)/(2) = 42.00 mm- Rb2 = ( D2cos )/2 = (421.41 mm)(cos 20°)/(2) = 198.00 mm

Con estos datos se obtiene que r c = 1.62, la cual es satisfactoria (Norton[7] recomienda que sea 1.4).

La razón de contacto axial, r ca, para la rueda, está dada por:

(6.10)

el cual es satisfactorio (Norton[7] recomienda que r ca 1.15).

De la ecuación anterior se obtiene el paso axial:

mm.52 tomase mm,1.51)mm4.255)(2.0( R A R B A B

kN.30.6m0.08939

1

)s /60607(2

kW9.172

1

22

22

111

1

2

2 Dn

P

D

T

D

T Qt

,cos

sen2

1

2

1

2

2

2

2

c

bebe

c p

A R R R Rr

mm.37.1320cos

)mm4(

cos

nc

m p

,42.1)mm/cos204(

20tan)mm52(

)cos / (

tantan

n

R R

a

Rca

m

B

m

B

p

Br

mm.74.3642.1

mm52

ca

Ra

r

B p

mm.64)mm4)(16(mm32)mm4)(8( R

B




6.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial

El esfuerzo de compresión por contacto (AGMA) está dado por:

(6.11)

donde:- Qt = 6.30 kN (fuerza tangencial)- B = 52 mm (ancho de la rueda)- D1 = 89.39 mm y D2 = 421.41 mm (diámetros primitivos)- C a = 1.25 (factor de aplicación, de la tabla 11.17 de Norton [7], para máquina impulsada con impactos

moderados y motor eléctrico)- C m = 1.6 (factor de distribución de carga, de la tabla 11.16 de Norton[7], para un ancho de cara de 52 mm)- C v = 0.80 (factor dinámico, tomado de la figura 11.22 de Norton[7] con Qv = 7 y V = 2.84 m/s)- C s = 1 (factor de tamaño)- C p = 191 (MPa)0.5 (coeficiente elástico, de la tabla 11.18 de Norton[7], para ambos engranes de acero)- C f = 1 (factor de acabado superficial; el acabado es obtenido por un método de tallado convencional)

El factor de geometría superficial, I , se calcula mediante el siguiente procedimiento:

El ángulo de presión normal, n, está dado por:

(6.12)

El ángulo de base de la hélice, b, está dado por:

(6.13)

nr = 0.62 (parte fraccionaria de la razón de contacto (transversal), r c)na = 0.42 (parte fraccionaria de la razón de contacto axial, r ca)

Como (na = 0.42) > (1 – nr = 0.38), entonces la longitud mínima de las líneas de contacto es:

(6.14)

La razón de distribución de carga, m N , es:

(6.15)

Los radios de curvatura de los perfiles son:

(6.16)

(6.17)entonces

, f s

v

mat pc C C

C

C C

BID

QC S

.88.1820cos

88.18cos20coscos

cos

coscoscos 11

n

b

mm.47.808818cos

)mm74.36)(62.01)(42.01()mm52)(62.1(

cos

)1)(1(

.

pnn Br L

b

ar acmin

.646.0mm47.80

mm52

min

N L

Bm

,)cos(5.0 22

11 pgg p p p Rh R Ah R

,sen pg A

y ,mm29.1520cos2

39.894

2

41.4214.2554

2

39.895.0

22

p

.88.18)20cos20(tantan)cos(tantan 11 n




Con D p = 89.39 mm, el factor de geometría superficial es:

(6.18)

Reemplazando todos estos datos en la ecuación (6.11) se obtiene

donde, al reemplazar el diámetro primitivo de la respectiva rueda (en metros), se obtiene que S c1 = 776.5MPa, S c2 = 357.6 MPa.

De la sección 6.2 tenemos que S fc1’ = 814 MPa y S fc2’ = 740 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están

dados por:

(6.19)

donde:- C T = 1 (factor de temperatura, asumiendo que la temperatura de los engranes es menor de 250° F)- C R = 1 (factor de confiabilidad, trabajando con una confiabilidad del 99%)- Para hallar el factor de vida superficial, C L, se calcula el número de ciclos que soportará cada rueda:

Ciclos del piñón = (607 r/min)(60 min/h)(24 h/día)(6 días/semana)(4.35 semanas/mes)(9 meses/año)(20 años) = 4.1109; durante los 20 años, la rueda girará un número de ciclos igual a: (4.1109)/(4.71) =8.7108, donde 4.71 es la relación de transmisión. De la figura 11.26 de Norton[7], se obtiene C L1 = 0.87y C L2 = 0.90

- C H 1 = 1 (factor de razón de dureza del piñón, el cual no se endurece por trabajo)- C H 2 = 1 (factor de razón de dureza de la rueda, es igual a 1 ya que HB1 /HB2 < 1.2)

Entonces, S fc1 = 708 MPa y S fc2 = 666 MPa. Como el piñón tiene un esfuerzo de contacto mayor al admisible(776.5 > 708), se decide aumentar las durezas de los aceros:

Piñón: acero AGMA grado 2, endurecido a 350 HBRueda: acero AGMA grado 2, endurecido a 300 HB

De las figuras 11.25 y 11.27 de Norton[7], se obtienen los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatigasuperficial respectivamente, para estos nuevos materiales:- S fb1’ = 51.7 ksi = 356 MPa

- S fc1’ = 154 ksi = 1065 MPa - S fb2’ = 47.1 ksi = 325 MPa - S fc2’ = 136 ksi = 939 MPa

Los esfuerzos admisibles corregidos son, entonces, S fc1 = 10650.87 = 926 MPa y S fc2 = 9390.9 = 845 MPa,para los cuales se obtienen los siguientes factores de seguridad:

(6.20)

mm.06.72mm29.15sen20)mm4.255( g

,)1)(1(8.0

)6.1)(25.1(

)205.0)(m052.0(

MN0063.0)MPa(191 0.5

DSc

,' fc

RT

H L fc S

C C

C C S

RuedaPiñón

.6.56.357

845y,4.1

5.776

92622

2

2

2

22

1

1

1

c

fc

c

c

fc

cS

S N

S

S N

.205.0

)646.0)(mm39.89(mm06.72

1

mm29.15

1

20cos

11

cos

N p

g p

m D

I




Estos factores de seguridad son satisfactorios.

6.14 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión

El esfuerzo a flexión máximo (AGMA) está dado por:

(6.21)

donde:- Qt = 6.30 kN (fuerza tangencial)- B1 = 55 mm y B2 = 52 mm (anchos de los engranes)- m = mn /cos = (4 mm)/cos20° = 4.257 mm (módulo)- K a = C a = 1.25- K m = C m = 1.60- K v = C v = 0.80- K s = C s = 1- K B = 1 (engranes macizos)

- K I = 1 (engranes no locos)

El factor geométrico de resistencia a flexión, J , se obtiene de la tabla 12-2 de Norton[7]. Para Z 1 = 21, Z 2 = 99, = 20°, = 20°, y asumiendo (por seguridad) ‘carga en la punta’, se obtiene que J 1 = 0.50 y J 2 = 0.57, mediante interpolación rectilínea.

Reemplazando estos datos en la ecuación para el esfuerzo a flexión AGMA se obtiene

donde, al reemplazar el ancho B (en mm) y el factor geométrico J de la respectiva rueda, se obtiene que

S b1 = 134.5 MPa, S b2 = 124.8 MPa.

De la sección anterior tenemos que S fb1’ = 356 MPa y S fb2’ = 325 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos

están dados por:

(6.22)

donde:- K T = C T = 1- K R = C R = 1- El factor de vida, K L, se obtiene de la figura 11.24 de Norton [7], con los números de ciclos: del piñón

4.1109 y de la rueda 8.7108. Se obtiene K L1

= 0.91 y K L2

= 0.94

Entonces, S fb1 = (0.91)(356 MPa) = 324 MPa y S fb2 = (0.94)(325 MPa) = 306 MPa, los cuales son mayores alos esfuerzos máximos.

Los factores de seguridad son:

(6.23)

los cuales son satisfactorios.

, I Bs

v

mat b K K K

K

K K

BmJ

QS

,5.28.124

306y,4.2

5.134

324

2

2

2

1

1

1 b

fb

b

b

fb

bS

S N

S

S N

),1)(1)(1(8.0

)6.1)(25.1(

)mm257.4(

N103.63

J BSb

,' fb

RT

L fb S

K K

K S




6.15 Parámetros de las ruedas dentadas helicoidales

Tabla 6.1 Algunos de los parámetros principales de los engranes helicoidales (escalón rápido)

Parámetro Valor Fórmula

Relación de transmisión i = 4.71 1

2

1

2

D

D

Z

Z

i

Números de dientes Z 1 = 21 y Z 2 = 99Se calculan con la relación de transmisión y la

distancia entre centros (ecuaciones 6.3)Ángulo de inclinación = 20° 357

Módulo normal mn = 4 mm Am A n 02.001.0 (se estandariza, tabla 4.3[1])

Módulo circunferencial m = 4.26 mm cos / nmm

Ángulo de presión = 20° 20°, 22.5° o 25°Paso normal pn = 12.57 mm nn m p

Paso circunferencial pc = 13.37 mm cos / cos / nnc m p p

Paso axial pa = 36.74 mm sen / tan / nca m p p

Paso básico (normal) pb = 11.81 mm cosnb m p

Diámetros primitivos D1 = 89.39 mm

D2 = 421.41 mm cos / Z mmZ D n

Diámetros básicos Db1 = 84.00 mm Db2 = 396.00 mm

cos D Db

Altura de cabeza(adendo)

h1 = 4 mm nmh 1

Altura de raíz (dedendo) h2 = 5 mm nmh 25.12

Altura total del diente h = 9 mm nmhhh 25.221

Huelgo radial c = 1 mm nmhhc 25.012

Diámetros exteriores De1 = 97.40 mm De2= 429.42 mm )2cos / (2 Z mm D D nne

Diámetros interiores Di1= 79.39 mm Di2= 411.41 mm

)5.2cos / (5.2 Z mm D D nni

Espesor del diente sobrela circunferencia

primitiva en una secciónnormal

Sn = 6.28 mm 22

nnn

m pS


primitivaS = 6.69 mm

cos22

nc m pS

Velocidad periférica V = 2.84 m/s DnV

Anchos de los engranes B1 = 55 mm B2 = 52 mm

B2 = (0.2 a 0.6) A, B1 = B2 + (3 a 5) mm

Distancia entre centros A = 255.4 mm 22

2121 Z Z m

D D A

Razón de contacto r c = 1.62

cos

sen2

1

2

1

2

2

2

2

c

bebe

c p

A R R R Rr

Razón de contacto axial r ca = 1.42

na

cam

B

p

Br

sen




7. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN POR

ENGRANES DE DIENTES RECTOS

7.1 Selección previa de los materiales de las ruedas

El segundo escalón del reductor opera a una velocidad bastante baja; por lo tanto, no se requieren altasdurezas para la resistencia a la fatiga superficial, pero si se requieren altas resistencias a la flexión (debido alas mayores fuerzas en los dientes). Se toman los mismos materiales que los de las ruedas helicoidales, aceroAGMA grado 2, endurecido a 350 HB, para el piñón y acero AGMA grado 2, endurecido a 300 HB,para la rueda.

7.2 Esfuerzos admisibles AGMA

Los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatiga superficial, se obtienen de las figuras 11.25 y 11.27 deNorton[7] respectivamente:- S fb1’ = 51.7 ksi = 356 MPa - S fc1’ = 154 ksi = 1065 MPa - S fb2’ = 47.1 ksi = 325 MPa- S fc2’ = 136 ksi = 939 MPa

7.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar

Para las ruedas de dientes rectos se puede estimar también una distancia entre centros, A, adecuada con baseen el esfuerzo permisible por contacto, usando la ecuación 6.54 de Ocampo[1] (página 263) (válida para unángulo de presión de 20°):

(7.1)

donde:- i = 2.76 (relación de transmisión)- S fc2’ = 939 MPa = 9575 kgf/cm2 (esfuerzo admisible por fatiga superficial de la rueda)- K = 1.75 (se asume igual al K usado para la estimación de A de las ruedas helicoidales)- A = B R / A = 0.6 (coeficiente de anchura de la rueda; se toma mayor que el de las ruedas del primer

escalón debido a las mayores fuerzas involucradas)

- C = 1, para ruedas cilíndricas de dientes rectos- P = 17.9 kW- n R = (607 r/min)/(4.73)/(2.76) = 46.5 r/min (frecuencia de giro de la rueda conducida)

Reemplazando estos datos en la ecuación 7.1 se obtiene que A = 21.46 cm.

Es conveniente que las ruedas conducidas del reductor horizontal tengan los mismos diámetros, con el fin dedarles igual profundización en el baño de aceite; si se utiliza este criterio, la distancia entre centros debe ser:

(7.2)

,]r/min[

]kW[1

])kgf/cm['(

340000)1(]cm[ 3

2

22 R A fc

n

P

C

K

iSi A

mm.05.2872

)mm41.421()76.2 /()mm41.421(

2

)76.2 / (

2

2221

D D D D

A

Rueda

Piñón




Tomamos A = 287 mm como dato previo.

7.4 Elección del módulo

El módulo, m, se escoge del siguiente rango[1]:

(7.3)

Tomamos m = 0.015 A = (0.015)(287 mm) = 4.31 mm. De la tabla 4.3 de Ocampo[1] se escoge un módulonormalizado: m = 5 mm.

7.5 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas

Tenemos que:

(7.4)

de donde se obtiene que:

De este sistema se obtiene que Z 1 = 30.5 y Z 2 = 84.3. Seleccionamos Z1 = 30 y Z2 = 85, con los cuales larelación de transmisión es i = 85/30 = 2.83. Para un ángulo de presión de 20° e i = 2.83 se obtiene, de latabla 4.2 de Ocampo[1], que para evitar interferencia Z 1 debe ser mayor o igual a 15, entonces, nuestro piñóncumple con este requisito.

7.6 Precisión de la distancia entre centros

Se debe recalcular la distancia entre centros:

(7.5)

7.7 Diámetros primitivos de los engranes

Los diámetros primitivos son:

(7.6)

7.8 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes

La velocidad periférica de los engranajes está dada por:

(7.7)

Note que la velocidad de la rueda conductora se calculó como (607 r/min)/(4.73) = 128.3 r/min, que son lavelocidad del árbol de entrada del reductor y la relación de transmisión del escalón rápido.Para esta velocidad, escogemos de la tabla 11.7 de Norton [7] un número de calidad AGMA de 7, que seconsigue con un método tallado de desbaste (no se requiere acabado).

.02.001.0 Am A

,2

y 21

1

2

m

A Z Z

Z

Z i

.8.114mm5

)mm287)(2(y76.2 21

1

2 Z Z Z

Z

.mm50.2872

)8530)(mm5(

2

)( 21

Z Z m

A

m/s.008.1s60

)73.4 / 607()m150.0(1122 n Dn DV

mm.150)30)(mm5(11 mZ D mm.425)85)(mm5(22 mZ D




7.9 Determinación del ancho de cada engrane

En la sección 7.3 se escogió el coeficiente de anchura de la rueda A = B R / A = 0.6, entonces:

El ancho del piñón se toma entre 3 y 5 mm mayor que el de la rueda[1]. Tomamos B P = 180 mm.

7.10 Cálculo de la fuerza tangencial

La fuerza tangencial, Qt , es igual a:

(7.8)

7.11 Cálculo de la razón de contacto

La razón de contacto está dada por:

(7.9)

donde:- = 20° (ángulo de presión)- A = 287.5 mm (distancia entre centros)

-

- Re1 = ( D1 + 2m)/2 = (150 mm + (2)(5 mm))/2 = 80.00 mm- Re2 = ( D2 + 2m)/2 = (425 mm + (2)(5 mm))/2 = 217.50 mm

- Rb1 = ( D1cos )/2 = (150 mm)(cos 20°)/(2) = 70.48 mm- Rb2 = ( D2cos )/2 = (425 mm)(cos 20°)/(2) = 199.68 mm

Con estos datos se obtiene que r c = 1.74, la cual es satisfactoria (r c 1.4)

7.12 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial

El esfuerzo de compresión por contacto (AGMA) está dado por:

(7.10)

donde:- Qt = 17.76 kN (fuerza tangencial)- B = 175 mm (ancho de la rueda)- D1 = 150 mm y D2 = 425 mm (diámetros primitivos)- C a = 1.25 (factor de aplicación, de la tabla 11.17 de Norton [7], para máquina impulsada con impactos

moderados y motor eléctrico)- C m = 1.725 (factor de distribución de carga, de la tabla 11.16 de Norton[7], para un ancho de cara de

175 mm)- C v = 0.87 (factor dinámico, tomado de la figura 11.22 de Norton[7] con Qv = 7 y V = 1.008 m/s)- C s = 1 (factor de tamaño)

, f s

v

mat pc C C

C

C C

BID

QC S

mm.175 tomase mm,5.172)mm5.287)(6.0( R A R B A B

kN.76.17m0.150

1

)s /603.128(2

kW9.172

1

22

22

111

1

2

2 Dn

P

D

T

D

T Qt

,cos

sen2

1

2

1

2

2

2

2

c

bebe

c p

A R R R Rr

mm.71.15)mm5( m pc




- C p = 191 (MPa)0.5 (coeficiente elástico, tomado de la tabla 11.18 de Norton [7], para ambos engranes deacero)

- C f = 1 (factor de acabado superficial; el acabado es obtenido por un método de tallado convencional)

El factor de geometría superficial AGMA para ruedas cilíndricas de dientes rectos está dado por:

(7.11)

donde es el ángulo de presión, D p es el diámetro primitivo del piñón y p y g son los radios de curvaturade los dientes del piñón y la rueda respectivamente, dados por:

(7.12)

(7.13)

donde- m = 5, = 20°, A = 287.5 mm- R p = (150 mm)/2 = 75 mm (radio primitivo del piñón)- x p se denomina coeficiente de cabeza del piñón y es igual a cero para dientes estándar (de profundidad

completa)

Calculando se obtiene p = 23.09 mm, g = 75.24 mm e I = 0.111.

Reemplazando todos los datos en la ecuación AGMA para el esfuerzo de contacto, tenemos:

donde, al reemplazar el diámetro primitivo de la respectiva rueda (en metros), se obtiene que S c1 = 742 MPa,S c2 = 441 MPa.

De la sección 7.2 tenemos que S fc1’ = 1065 MPa y S fc2’ = 939 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidosestán dados por:

(7.14)

donde:- C T = 1 (factor de temperatura, asumiendo que la temperatura de los engranes es menor de 250° F)- C R = 1 (factor de confiabilidad, trabajando con una confiabilidad del 99%)- Para hallar el factor de vida superficial, C L, se calcula el número de ciclos que soportará cada rueda:

Número de ciclos del piñón = (128.3 r/min)(60 min/h)(24 h/día)(6 días/semana)(4.35 semanas/mes)(9 meses/año)(20 años) = 8.7108 (igual al de la rueda helicoidal); durante los 20 años, la rueda girará:(8.7108)/(2.83) = 3.1108. De la figura 11.26 de Norton[7], se obtiene C L1 = 0.90 y C L2 = 0.92

- C H 1 = 1 (factor de razón de dureza del piñón, el cual no se endurece por trabajo)- C H 2 = 1 (factor de razón de dureza de la rueda, ya que HB1 /HB2 < 1.2)

Los esfuerzos permisibles corregidos son, entonces, S fc1 = 958.5 MPa y S fc2 = 864 MPa.

,)1)(1(87.0

)725.1)(25.1(

)111.0)(m175.0(

MN01776.0)MPa(191 5.0

DSc

,' fc

RT

H L fc S

C C

C C S

,11

cos

p

g p

D

I

,cos)cos()1( 22 m Rm x R p p p p

,sen pg A





(7.15)

Estos factores de seguridad son satisfactorios.

7.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión

El esfuerzo a flexión máximo (AGMA) está dado:

(7.16)

donde:- Qt = 17.76 kN (fuerza tangencial)- B1 = 180 mm y B2 = 175 mm (anchos de los engranes)- m = 5 mm

- K a = C a = 1.25- K m = C m = 1.725- K v = C v = 0.87- K s = C s = 1- K B = 1 (engranes macizos)- K I = 1 (engranes no locos)

El factor geométrico de resistencia a flexión, J , se obtiene de la tabla 11-8 de Norton[7]. Para Z 1 = 30, Z 2 = 85, = 20°, diente estándar y asumiendo (por seguridad) ‘carga en la punta’, se obtiene que J 1 = 0.254 y J 2 = 0.284.

Reemplazando estos datos en la ecuación para el esfuerzo a flexión AGMA se obtiene

donde, al reemplazar el ancho B (en mm) y el factor geométrico J de la respectiva rueda, se obtiene queS b1 = 192.6 MPa, S b2 = 177 MPa.

De la sección 7.2 tenemos que S fb1’ = 356 MPa y S fb2’ = 325 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos estándados por:

(7.17)

donde:- K T = C T = 1- K R = C R = 1- El factor de vida, K L, se obtiene de la figura 11.24 de Norton [7], con los números de ciclos: del piñón

8.7108 y la rueda 3.1108. Se obtiene K L1 = 0.94 y K L2 = 0.96

Entonces, S fb1 = 335 MPa y S fb2 = 312 MPa.

, I Bs

v

mat b K K K

K

K K

BmJ

QS

.8.3441

864y,7.1

742

5.95822

2

2

2

22

1

1

1

c

fc

c

c

fc

cS

S N

S

S N

),1)(1)(1(87.0

)725.1)(25.1(

)mm5(

N1076.17 3

J BSb

,' fb

RT

L fb S

K K

K S





(7.18)

los cuales son satisfactorios.

7.14 Parámetros de las ruedas dentadas de dientes rectos

Tabla 7.1 Algunos de los parámetros principales de los engranes de dientes rectos (escalón lento)

Parámetro Valor Fórmula

Relación de transmisión i = 2.83 1

2

1

2

D

D

Z

Z i

Números de dientes Z 1 = 30 Z 2 = 85

Se calculan con la relación de transmisión y ladistancia entre centros (ecuaciones 7.4)

Módulo m = 5 mm Am A 02.001.0 (se estandariza, tabla 4.3[1])

Ángulo de presión = 20° 20°, 22.5° o 25°Paso circunferencial pc = 15.71 mm m pc

Paso básico pb = 14.76 mm cosm pb

Diámetros primitivos D1 = 150 mm D2 = 425 mm

mZ D

Diámetros básicos Db1 = 140.95 mm Db2 = 399.37 mm

cos D Db

Altura de cabeza(adendo)

h1 = 5 mm mh 1

Altura de raíz (dedendo) h2 = 6.25 mm mh 25.12

Altura total del diente h = 11.25 mm mhhh 25.221

Huelgo radial c = 1.25 mm mhhc 25.012

Diámetros exteriores De1 = 160 mm De2 = 435 mm

)2(2 Z mm D De

Diámetros interiores Di1 = 137.5 mm Di2 = 412.5 mm

)5.2(5.2 Z mm D Di


primitivaS = 7.85 mm

22

m pS c

Velocidad periférica V = 1.008 m/s DnV

Anchos de los dientes B1 = 180 mm B2 = 175 mm B2 1.2 A, B1 = B2 + (3 a 5) mm

Distancia entre centros A = 287.5 mm 22

2121 Z Z m D D A

Razón de contacto r c = 1.74

cos

sen2

1

2

1

2

2

2

2

c

bebe

c p

A R R R Rr

,8.1177

312y,7.1

6.192

335

2

2

2

1

1

1 b

fb

b

b

fb

bS

S N

S

S N




7.15 Comentarios sobre los cálculos de las secciones 6 y 7

El diseño de engranajes es un proceso iterativo. Los cálculos presentados aquí no fueron la primeraiteración sino una posterior, ya que los parámetros seleccionados en las primeras no satisfacían las vidasútiles requeridas. Algunas de las principales variables a modificar durante las iteraciones son (i) las durezas

de los dientes, las cuales tienen más efecto sobre la resistencia a la fatiga superficial que a la fatiga porflexión; (ii) los anchos de las ruedas, los cuales tienen más efecto sobre los esfuerzos por flexión que sobrelos de compresión por contacto; (iii) la distancia entre centros, la cual tiene una gran incidencia para losesfuerzos por flexión y los de contacto; y (iv) el módulo de los dientes, que no tiene un gran efecto sobre losesfuerzos para diámetros primitivos dados.

El autor considera que cuando en una iteración los factores de seguridad estén por debajo, pero muy cerca,de valores satisfactorios, se puede pensar en aumentar durezas o anchos de las ruedas; cuando estén muy pordebajo de valores adecuados y las durezas y anchos tomados sean suficientemente altos, lo mejor podría seraumentar la distancia entre centros (y simultáneamente el módulo), lo cual conlleva a reducir las fuerzas delacoplamiento.

Finalmente, las ruedas dentadas que se han diseñado pueden no ser las óptimas; hay muchas opciones quesatisfarían los requerimientos de nuestro problema. El diseñador experimentado debería encontrar la opciónque satisfaga las necesidades y que al mismo tiempo tenga los menores costos, menores espacios ocupados,etcétera.




8. COMENTARIOS FINALES

Esta guía ha presentado ejemplos de diseño de una transmisión por correa en V, una transmisión porcadena de rodillos y un reductor horizontal de velocidades que consta de un par de ruedas cilíndricashelicoidales y otro par de ruedas cilíndricas de dientes rectos. Estas tres transmisiones pertenecen a unmismo accionamiento mecánico, para el cual se ha presentado también el cálculo cinemático, el cálculopara la selección del motor eléctrico, el cálculo de los pares de torsión de los árboles y la determinaciónde los diámetros previos de los árboles.

El diseño de un accionamiento es un proceso largo y complejo; además de los cálculos presentados eneste documento, el diseño completo comprende, además, otros aspectos tales como el diseño de losárboles (chequeo de la resistencia a la fatiga y a las cargas dinámicas, y chequeo de las frecuencias

naturales), la selección de acoples y rodamientos, el cálculo de chavetas y la elaboración de los planosnecesarios.

En la práctica del diseño de transmisiones mecánicas, se hace un gran uso de catálogos de losfabricantes de elementos para dichas transmisiones. En este trabajo se han utilizado catálogos con el finde que el estudiante se familiarice con ellos, pero también se han utilizado procedimientos yrecomendaciones ‘generales’, con el fin de evitar que se particularice demasiado. Se recomienda que elestudiante consulte, aunque sea brevemente, catálogos como los referidos en este trabajo, para obteneruna mayor información acerca de los elementos comerciales y los procedimientos particulares decálculo.

Se espera que esta guía constituya un aporte importante en el aprendizaje del curso de Diseño de

elementos de máquinas II y en la elaboración del proyecto del curso.




REFERENCIAS

[1] OCAMPO, Luis Hernando (1993) Diseño de Accionamientos y Transmisiones de Máquinas.Pereira: Universidad Tecnológica de Pereira.

[2] CATÁLOGO SIEMENS: Motores trifásicos de Inducción.[3] ROMERO, C.A., QUINTERO, H.F., VANEGAS, L.V., CALLE, G. y OROZCO, C.A. (1998) Diseño

de Árboles para Ventiladores. Scientia et Technica, No. 8, p.p. 155-180.[4] JIMÉNEZ BALBOA, Luis (1967) Prontuario de Ajustes y Tolerancias. Barcelona: MARCOMBO

S.A..[5] CATÁLOGO FAG: Programa Standard FAG. Catálogo WL 41 510/2 SE, edición 1988.[6] CATÁLOGO: Browning. Catalog No. 11, 1991.[7] NORTON, Robert L. (1999) Diseño de Máquinas. México: Ed. Prentice-Hall (Pearson).

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