Embed Size (px)
Citation preview
Eindhoven University of Technology
MASTER
Nevelvorming door adiabatische expansie en schokgolfvoortplanting door een nevel
Berkelmans, M.J.C.M.
Award date:1984
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.
Download date: 16. Jun. 2018
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN
Afdeling der Technische Natuurkunde Vakg~oep TRANSPORTFYSICA
Titel
Auteur • Vers 1 agno.:
Datum Docent/contactpersoon: Begeleider(s)
s :cJ7l2
NEVELVORMING DOOR ADIABATISCHE
EXPANSIE EN SCHOKGOLFVOORTP~~TING
DOOR EEN NEVEL .
M .. J, C. M. BERKE LMAi'JS
1 februari 1984
prof. dr. ir. G. Vossers.
dr. ir. M.E.H. van Dongen.
R-637-A
-1-
INHOUD.
Samenvatting.
Symbolenlij st.
Literatuurlij st.
2.
•
Inleiding.
Schokgolven in nevels.
2.1. Evenwichtstoestanden,
2.2. Structuren van de relaxatiezone.
2.3. De disperse schokgolf.
2.3.1. Model met één relaxatieproces.
2.3.2, Voorwaarden voor een continue overgang van
de ene naar de andere evenwichtstoestand.
2,3,3. Oplossing van het stelsel vergelijkingen voor
3
4
8
10
12
13
22
30
30
33
een systeem met één relaxatieproces. 35
3,
4,
5,
2,3,4. Ontwikkeling van een disperse schokgolf. 38
2.4 Disperse schokgolf in een stofwolk-model.
Nevelvorming door middel van een adiabatische expansie.
3.1. Homogene condensatie.
3.2. Berekeningen aan expansies.
Heetmethoden.
4.1. Meetopstelling,
4.1,1. De Mach-Zehnder interferometer.
4.1.2. Meting van de verzwakkingscoëfficiënt.
4.2. Waterdamp absorptie.
Resultaten.
5.1. Nevelvormingsexperimenten.
5.1.1. Uitgewerkt experiment.
5.1.2. Reproduceernaarheid van de nevel.
5.1.3. Homogeniteit van de nevel.
40
42
43
50
58
58
60
61
64
65
65
66
68
70
-2.-
5,1.4, Constante toestand.
5,1,5. Vergelijking van experimenten met de theorie
over de kernvorming.
5,1.6. Transmissie signalen.
5.2, Schokgolf door nevel,
6, Conclusies.
Appendix A:
Appendix !I:
Appendix C:
•
Lineaire tlieorie,
Uitwerking van liet model voor 1JereRening
van de uitstroming.
Berekening van de relaxatiezone.
72
74
75
77
80
82
86
89
-3-
SAMENVATTING.
Indien een schokgolf zich door een nevel voortplant zullen de
temperatuur, de snelfieid en de dampdruk van net gas en de damp
uit evenwicht geBracfit worden ten opzichte van de druppeltjes.
Voor de dan optredende relaAatieprocessen is een model opgesteld.
Terwille van liet inziefit wordt een sterk vereenvoudigd systeem met
slechts één relaxatieproces Behandeld. Aangetoond wordt dat onder
liepaaide omstandigheden een continue overgang van de ene naar de
andere toestand, een zogenaamde disperse schok, mogelijk is.
De scfiok sprong relaties, die het verBand geven tussen de
evenwiclitssituaties voor en na de schok, Blijken weinig afhankelijk
van de druppeldichtheid altflans indien na de schok nog geen
volledige verdamping is opgetreden.
Er is een aantal experimenten verricht om in een lange buis
~ia een adiaBatische expansie van een mengsel van waterdamp en
stikstof een reproduceerbare homogene nevel te verkrijgen. Het
lilijkt mogelijk om op reproduceerbare wijze gedurende enige
tientallen milliseconden een nevel van redelijk constante
eigenschappen in stand te houden. Het nevelvormingsproces wordt
oesproken; de experimenteel Bepaalde oververzadiging op het tijdstip
van liet ontstaan van condensatie worden vergeleken met resultaten
van andere onderzoekers en Blijken systematisch lager te liggen.
Een enkel experiment is uitgevoerd waarbij een schokgolf in
de nevel is opgewekt. De resultaten daarvan zijn bemoedigend.
-4-
SYMBOLENLIJST.
Voor de diverse begrippen zijn, tenzij anders vermeld, de volgende
symbolen gebruikt:
A beschikbare arbeid
A oppervlak
A. cluster van i molekulen l.
a geluidssnelheid
a correctiegetal voor diffusie c at correctiegetal voor warmtegeleiding
b verhouding a~/a; CD weerstandscoëfficiënt
c. 1 snelheid waarmee molekulen condenseren op een 1-
cluster A. 1 1-
c• soortelijke warmte bij constante druk p
c soortelijke warmte oij constant volume V
D diffusiecoëfficiënt
d diameter
e specifieke inwendige energie
e~ snelheid waarmee molekulen condenseren op een 1
cluster A. 1 1-
F kracht
g vrije enthalpie
h speêi fiéke enthalpie
h massaoverdrachtscoëfficiënt
K Gladstone-Dale coëfficiënt
Kn kengetal van Knudsen
k Boltzmannconstante
k variabele
k variabele V
L lengte
L verdampingswarmte
1 lengte
lm gemiddelde vrije weglengte
[FL]
[L2]
[-]
[LT-ll
[-]
[-]
I-J I-J
IT-1]
[FLM-l8-l]
[FLM-l8-l]
IL 2T-l]
ILJ [FLM-lJ
IT-1]
IFJ
lFLkmol-l]
IFLM-l] [LI-l]
[L 3M-1]
[-]
[FL8-l]
I-J I-J ILJ [FLM-l]
[L]
[L]
M
m
N
Nu
n. 1
Pr
p
Q
Q q
R
Re
r
s Sc
Sh • s
s
T
TR
t
u u
V
x
z c
a
a c
y
ó
n
machgetal
molekuulmassa
-5-
-3 deeltjesdichtheid (aantal deeltjes per m )
kengetal van Nusselt
dichtheid van clusters A.
kengetal van Prandtl
druk
verzwakkings-efficiency
warmtestroom
niet-evenwiclitsvariaO:ele
specifieR-e gasconstante
kengetal van Reynolds
straal van druppel
entropie
kengetal van Schmidt
kengetal -van Sherwood
specifieke entropie
verzadigingsgraad
temperatuur
transmissie
tijd
inwendige energie
snelheid
volume
1
volume van 1 mol vloeisto;f
volume van een -vloeisto;f molekuul
kengetal van Weber
lengte
Zeldovich-factor
warmteoverdrachtscoëfficiënt
fractie van de molekulen die na een botsing met
een cluster aan de cluster olijven plakken
soortelijke warmte verhouding
variabele
amplitude (plaats)
dynamische viscositeit
[-]
[M] [L -3]
[-]
[L-3]
I-J IFL -2
]
I-J lFLT-1]
I.J l'FLM-1 e -J._]
I-J ILJ [FL6-lJ
1 -J I-J };FLM"' 1 e "'1]
I ... J IëJ I-J ITJ lFL]
ILr""J._] IL 3_] IL 3_] IL~ I ..,J ILJ ILJ
[-]
[-]
[-]
[L]
IFL- 2T]
K
À
À
À
ladingsfactor
golflengte
variabele
warmtegeleiding
-6-
specifieke thermodynamische potentiaal
verdampingsmassastroom
verzwakkingscoëfficiënt
p
(J
w
w
•
dimensieloze variabele
dichtheid
oppervlaktespanning
relaxatietijd
fase
frequentie
massafractie
indices
e evenwicht
eind einde van de expansie
exp expansievat
f frozen
g gas
i getal
keel uitstroomopening
kr kritisch
1 vloeistof
m plaats
on ons et
p druppel
s verzadiging (saturatie 1 V damp
a index voor een snelheid
a oppervlak
0 referentie
[-]
[L]
[-] [FT-le-l]
[FLM-l]
[MT-1]
[L-1]
[-]
[ML- 3]
[FL- 1]
[T]
I-] [T-1]
[-]
-7-
0 begintoestand
1 direkt na de schok
2 relaxatiezone
3 evenwicht (eindtoestand]
0
1
2
3
4
zones in het t~x~plaatje
5
1 plaats
2 plaats
* evenwicht
* kritisch
•
-8-
LITERATUURLIJST.
Andres, R.P., "Homogeneous Nucleation in a vapor", uit: "Nucleation", edited by Zettlemoyer, A.C., New York, 1969.
Bailey, A.B. and Hiatt, J., "Sphere drag coefficients for a broad range of Mach and Reynolds numbers", AIM J., .!.Q_, 1971.
Barschdorff, D., Hausmann, G., Ludwig, A., "Flow and Drop Size Investigations of Wet Steam at Sub- and Supersonic Veloeities with the Theory of Homogeneaus Condensation", Prace IMP 70-72, 241, 1976.
Becker E. and Böhme G., "Steady One-Dimensional flow; Structure of compression waves.", uit: Wegener P.P., "Nonequilibrium flows'~part 1,1969.
Berkelmans M.J.C.M., "Expansie experimenten in droge en vochtige stikstof", stageverslag T.H.E., R-550-S, 1982.
Broer, L.J.F., 110n the influence of acoustic relaxation on compressible .~.flow'\ Appl. Sci. Res.--seC:t.·A, ~. 19~0. ·
Cole, R., "Homogeneous and heterogeneaus nucleation", uit: "Boiling Phenomena" door Stralen, S. van, Cole, R., 1, 1979. . -
Dongen, M.E.H. van, Gasdynamica, collegedictaat T.H.E., 1979.
Geerts W .H.M., "Mistvorming bij snelle adiabatische expansie van vochtige S·tikstof in een lange buis", afstudeerverslag T .H.E., R-498-A, 1981.
Glass, l.I. and Gordon Hall J., "Handbook of supersonic aerodynamics", section 18 Shock tubes, Navord report 1488, ~' 1959.
Gyarmathy, G., "Zur Wachstumgeschwindigkeit kleiner flüssigkeitstropfen in einer übersättigten Atmosphäre", ZAMP .!±_, 1963.
Haas, J. de, "Mistvorming bij expansie van een stikstof-waterdamp mengsel", stageverslag T.H.E., R-452-S, 1980.
Haase, R., Thermodynamics of irreversible processes, Addison-Wesley, 1969.
Hulst, H.C. v.d., "Light Scattering óy small particles", Wiley, New York, 1957.
Kalra, S.P., "Experiments on nonequilibrium, nonstationary expansion of water vapor/Carrier Gas Mixture in a shock tube", UTIAS report nrl95, 1975.
Knudsen, J.G. and Katz, D.L., "Fluid mechanics and heat transfer", Me Graw-Hill, New York, 1958.
Kotake, S. and Glass, I. I., "Survey of flows with nucleation and condensation", UTIAS Review nr 42, 1978.
Kraay, G.J., "Numeriek model voor schokgolfvoortplanting in nevels", stageverslag T.H.E., R-444-S, 1980.
Loermans A.M., "Schokgolven in nevels", afstudeerverslag T.H.E., R-453-A, aug 1980.
Loermans A.M., "Schokgolven in nevels", internverslag T.H.E., dec 1980.
Maróle, P.E., "Some gasdynamic problems in the flow of condensing vapors", Astronautica Acta, !!, 1969.
-9-
Mierlo R. van, "Meetmethoden voor deeltjesgroottebepaling", stageverslag T.H.E., R-555-S, 1982.
Modell, M., Reid, R.C., "Thermodynamics and its applications", Prentice Hall Inc., New Jersey, 1974.
Nayfeh, A.L., "Shock-wave structure in a gas containing ablating particles", The Physics of fluids, ~. nr 12, 1966.
Putnam, A., "Integrable form of droplet drag coefficient", ARS J., ~. 1961.
Rieterna K., "Fysische transport- en overdrachtsverschijnselen", Prisma-Technica, 1976.
Rudinger, G., "Fundamentals and applications of gas-partiele flow, AGARDograph 222 on flow of solid particles in gases, 1976 .
. Rudinger, G., "Relaxation in gas-partiele flow", uit: Wegener P.P., "Nonequilibriûm. flows", part-T, 1969: - .
Schat, E.-P., Nog te verschijnen stageverslag T.H.E., 1984.
Schriewer, J., "Zur Theorie der hydrodynamische Fragmentation von Flüssig·keitstropfen in flüssigen Medien durch Stösswellen mit Anwendungen a~f die Systeme Hg/H20, Fe/H2o, Stafil/Na, U0 2/Na'', Rapport van het "Institut fur kernenergetik und Energiesysteme, Universität Stuttgart", Stuttgart", 1979.
Shapiro, A.H., "The dynamics and thermodynamics of compressible fluid flow",.!_, The Ronald Presscompany, New York, 1953.
Sislian, J.P., "Condensation of water vapor withor without a carrier gas in a shock tube", UTIAS Report nr 201, 1975.
Smulders, P.T. en Vossers, G., Fysische transportverschijnselen, collegedictaat T.H.E., 1964.
Thayer W.J. and Klosterman E.L., "Attenuation of large amplitude pressure disturbances by liquid droplets.", Air force office of Sci. Res., 1981.
Vincenti, W.G. and Kruger, C.H., "Introduction to physical Gas dynamics", publ. J. Wiley & Sons, Inc., 1965.
Volroer M., "Kinetik der Phasenbildung", Steinkopff, Dresden und Leipzig,1939.
Vries, G.C. de, "Het gebruik van een microcomputer bij expansie experimenten in droge en vochtige stikstof", stageverslag T.H.E., R-591-S, 1983.
Wegener P.P.,"Nonequilibrium flows",part 1, publ. M. Dekker, New York, 1969.
Wegener P.P. and Wu B.J.C., "Gasdynamics and homogeneaus nucleation", . Advance Coll. Interf. Sc., l• 1977.
Whitham, G.B., "Some Comments on wave Propagation and Shock wave Structure with application to Magnetohydrodynamics, Comm. Pure Appl. Math., g, nr 1, 1959.
-10-
1. INLEIDING.
In de sectie gasdynamica-schokgolven van de vakgroep transportfysica
wordt onderzoek verricht aan de voortplanting van een schokgolf
door een nevelige atmosfeer met behulp van een schokbuis. De direkte
aanleiding voor dit onderzoek is dat bij het lekken van brandbaar gas
uit gekoelde opslagvaten (tanker), het ontsnappende gas de omringende
atmosfeer afkoelt. Hierdoor condenseert de in de lucht aanwezige
waterdamp tot druppeltjes. Wordt nu door een vonk het brandbare gas
ontstoken dan treedt er een explosie op waarbij zich een schokgolf
vormt die zich voortplant in een nevelige atmosfeer. Ten behoeve
van veiligneidsstudies is kennis over schokgolf-voortplanting in
nevels van belang. Bovendien worden kunstmatig opgewekte nevels
toegepast voor het absorberen van sterke geluids- of schokgolven
(THA81}. Door het bestuderen van schokgolven in een nevel wordt
k~nnis verkregen over het collectief gedrag van druppels in een
niet-evenwichtsstroming, hetgeen van belang is bij sproeien, bevochtigen
en Bij toevoeging van deeltjes aan een stroming t.b.v. laser-doppler
snelheidsmetingen.
Door Loermans (aug80) is een terreinverkennend onderzoek
gepleegd zowel theoretisch als experimenteel. Loermans verkreeg een
nevel in de schokbuis door vochtige stikstof vanuit een begindruk
van 1.5 à 2.0 bar,door het openen van een klep,in verbinding te
Brengen met de atmosferische druk. De toestand in de buis bleek
niet homogeen en het experiment was niet erg reproduceerbaar. De
druppels hadden een grootte van 2-20 ~m. Om een beter gedefinieerde
nevel te verkrijgen deed Geerts (81) experimenten aan "snelle"
expansies. Daarbij werd een lange buis gevuld met vochtige stikstof
verbonden met een lage-druk vat en daarvan gescheiden door middel
van een diafragma. Door het diafragma snel te openen ontstond in
de lange liuis een expansiegolf waarin condensatie plaatsvond. De
experimenten van Geerts werden uitgevoerd aan een betrekkelijk
kleine speciale proefopstelling. Dit onderzoek is een voortzetting
van het experimentele werk van Geerts. Er is getracht een reprodu
ceerbare, homogene nevel te maken in de lOxlO cm2 schokbuis door
middel van het adiabatiscn expanderen van een mengsel van waterdamp
en stikstof. De mogelijkheid is beproefd om na de expansie gedurende
-11-
enkele tientallen milliseconden een constante toestand te creëren.
Tevens is een schokgolf opgewekt in een nevel en zijn de processen
die dan optreden vergeleken met numerieke resultaten.
In dit verslag wordt het theoretische werk van Loermans verder
uitgewerkt (§2.1 en 2.2) en toegespitst voor een minder complex systeem
met maar een relaxatieproces (§2.3). In hoofdstuk 3 wordt het
nevelvormingsproces beschreven (§3.1) en het model besproken
waarmee d1e begincondities bepaald kunnen worden die tot gevolg
hebben dat na een adiabatische expansie van een mengsel van
waterdamp en stikstof een toestand ontstaat die constant
is gedurende enkele tientallen milliseconden (§3.2). Daarna wordt de
meetopstelling behandeld (hoofdstuk 4). In hoofd_stuk 5 worden de
experimenten besproken en worden met behulp van de theorie verklaringen
gezocht voorde gevonden verbanden. Tenslotte volgen de belangrijkste
conclusies uit net onderzoek . •
-12-
2. SCHOKGOLVEN IN NEVELS.
We gaan uit van de volgende situatie welke is geschetst in figuur 1.
We beschouwen een stilstaande schokgolf (1) waar van links af een
perfect gas aanstroomt met een snelheid u (0). Een belangrijke
parameter is het machgetal M dat is gedefinieerd als de verhouding
van de stromingssnelheid u en de geluidssnelheid a. Als het gas de
schok passeert volgt het de Rankine-Hugoniot-schokrelaties. Zij
relateren detoestandvan het gas voor de schok aan de toestand na
de schok als functie van het machgetal. Na de schok bevindt het systeem
• 0 1 2 3
evenwichtszone relaxatiezone evenwichtszone schok
Figuur 1: Schematisch overzicht van schokgolf door nevel.
zich in een nieuw evenwicht dat uiteraard voldoet aan de behoudswetten.
Stroomt er echter een gas-deeltjes mengsel aan waarin bepaalde
componenten de snelle veranderingen zoals die optreden bij een schok
niet kunnen volgen, dan komt het systeem na de schok in een niet
evenwichtsteestand (2) en zullen er processen gaan spelen die het
totale systeem weer terugbrengen naar evenwicht (3). Dit geldt ook
voor een nevel, die bestaat uit waterdruppeltjes, waterdamp en een
inert gas, stikstof. Als dit mengsel een schokgolf passeert, zal het
gasvormig gedeelte van het mengsel de schokrelaties volgen en dus
plotseling in temperatuur, druk en dichtheid stijgen waarbij de snelheid
daalt. De waterdruppeltjes daarintegen kunnen de plotselinge
verandering in de temperatuur en de snelheid niet volgen vanwege hun
-13-
grote warmtecapaciteit en hun grote massa. De druppeltjes raken uit
evenwicht met het hun omringende gas/damp. Er ontstaan na de schokgolf
een aantal gekoppelde relaxatieprocessenwaardoorvia massa- (verdamping/
condensatie), impuls- en energieuitwisseling tussen druppeltjes en
omgeving de uit evenwicht geraakte grootheden weer tot elkaar komen en
zich vinden in een nieuw evenwicht. Dit systeem is zeer complex daar de
relaxatieprocessen elkaar wederzijds beïnvloeden. Door het toepassen van
de behoudswetten, het opstellen van de toestandsvergelijkingen, de
overdrachtsvergelijkingen en de randvoorwaarden kan het complexe systeem
worden beschreven.
In paragraaf 1 zal met behulp van de behoudswetten vanuit een
gegeven begintoestan~ de eindevenwichtstoestand worden bepaald.
Paragraaf 2behandelt de overgang van de door de schokgolf uit evenwicht
gebrachte begintoestand naar de eindevenwichtstoestand, de
zogenaamde relaxatiezones. Om inzicht te krijgen in het stelsel •
vergelijkingen die een nevel beschrijven, is het verstandig om slechts
één relaxatieproces met een karakteristieke relaxatietijd • te bekijken.
In paragraaf 3 zal wat gedetailleerder verschillende aspecten van
zo'n systeem belicht worden. Paragraaf 4 geeft een speciale oplossing
van het stelsel zoals dat in paragraaf 2 wordt gegeven.
2.1. EVENWICHTSTOESTANDEN.
Zoals we in het inleidende gedeelte van dit hoofdstuk al hebben gezien
omvat het hele gebeuren van een schokgolf in nevels een viertal fasen:
de begintoestand (0), de schokgolf (1), de relaxatiezone (2) en de
eindevenwichtstoestand (3). We zullen nu eens nader de twee evenwiehts
fasen bekijken. Het systeem daartussen wordt beschouwd als een black box.
Alle grootheden die voor een bepaalde fase de toestand beschrijven,
worden geïndiceerd overeenkomend met de nummering in figuur 1. Verder
worden grootheden die speciaal betrekking hebben op een bepaalde
component van het mengsel extra geïndiceerd. Zo wordt de gasfase
(stikstof) weergegeven door index g, de waterdamp door v en de
waterdruppeltjes door p.
Gegeven is een systeem in toestand 0 met een dichtheid p 0, een
snelheid u0, een druk p0 en een enthalpie h0 . Dit systeem heeft een
bepaalde massa, impuls en energie. Het blijkt dat er precies nog een
-14-
andere evenwichtstoestand bestaat die ook dezelfde massa, impuls en
energie bezit. Deze evenwichtstoestand zal nu worden bepaald uit de
behoudswetten en de toestandsvergelijkingen voor het mengsel.
Behoudswetten
massabehoud Pouo = P3U3 (2.1.1)
impulsbehoud 2 2 (2.1.2) Po + Pouo = P3 + P3U3
energiebehoud 1 2 + ho
1 2 (2 .1. 3) ZUo ZU3 + h3
Hierbij kan de massabehoudswet worden gesplitst in een behoudswet voor
het inerte gas:
(2.1.4)
en een voor de waterdamp en de waterdruppeltjes: •
(2.1.5)
De drukterm in de impulsvergelijking is opgebouwd uit een deel afkomstig
van de waterdamp p en een aandeel van het inerte gas p . V g
(2.1.6)
waarin R de gasconstante en T de temperatuur is. De dichtheid p is een
verkorte schrijfwijze voor:
p::op +p +p V g p
Verder bestaat de enthalpie h uit een deel dat de inwendige
energie e voorstelt en een term p/P.
h = e + p/ p
De inwendige energie e kunnen we schrijven als:
e = Pv e + ~ e + ~ e p V p g p p
waarin e = c T ~ L0 V VV
e = c T g vg
(2 .1. 7)
(2.1.8)
(2.1.9)
(2. 1. 10)
(2.1.11)
(2.1.12)
-15-
met L0
als een referentie energie en c , c en c 1 als de soortelijke vv vg p warmte bij constant volume per kg van respectievelijk de damp, het gas
en de waterdruppeltjes. Substituëren we de uitdrukkingen voor de druk p,
de dichtheid p, de inwendige energieeen de enthalpiehinde
behoudswetten [2.1.2) t/m (2.1.51 dan houden we met toestands
vergelijking (2.1.6) vijf vergelijkingen met zes onbekenden: pv 3• Pg3•
pp3' u3, p3 en r 3 over. Om de resterende vergelijking te vinden
onderscheiden we twee gevallen namelijk een toestand 3 waarin alle
druppeltjes zijn verdampt wat overeenkomt met:
p = 0 p3 (2.1.13)
en een toestand 3 waarin rtog alle druppeltjes aanwezig zijn en dus
water en waterdamp met elkaar in evenwicht zijn. Via de Clausius/
Clapeyron-relatie wordt de temperatuur van de druppeltjes gekoppeld
aan de dampdruk:
dpv L Pv dT = -T-
p p
met L is de verdampingswarmte die volgens:
L = (c + R - c 1) T + L0 VV V p p
afhangt van de temperatuur Cin evenwicht is Tp gelijk aan T).
(2.1.14)
(2 .1. 15)
Dit stelsel van vergelijkingen is analytisch oplosbaar en is mede
door Kraay (80) voor numerieke berekening geschikt gemaakt.
Alvorens te beginnen met de bespreking van de numerieke resultaten
zullen eerst enkele grootheden besproken worden. De geluidssnelheid a
is gedefinieerd als:
a2 = r2.E.., cap-s =constant
met s is de specifieke entropie van het systeem. Voor een perfect gas is
deze definitie eenduidig. In een gas-druppel mengsel echter kunnen
verschillende geluidssnelheden gedefinieerd worden. Bij hoog frequente
verstoringen blijven de druppeltjes onveranderd onder de snelle
variaties. We spreken dan van de "frozen" geluidssnelheid af die wordt
-16-
gedefinieerd als:
Uitgewerkt voor het gas-druppel mengsel wordt dat:
2 af = y R T gv gv (2.1.16)
met y, de soortelijke warmteverhouding cP/cv, en Ralleen betrekking
hebbende op het gas/damp-vormig gedeelte van het mengsel. De "frozen"
geluidssnelheid is op te vatten als de geluidsselheid van het mengsel
zonder druppeltjes. De evenwichtsgeluidssnelheid a , is te zien als e
de geluidssnelheid van het gehele mengsel. Laag frequente storingen
planten zich voort met deze laatste geluidssnelheid. De druppeltjes
kunnen de langzame veranderingen volgen en zijn steeds in evenwicht
met hun omgeving. Aangezien de afleiding van de evenwichtsgeluidssnelheid
n~gal gecompliceerd is, zij daarom verwezen naar Sislian (75) en naar
Loermans (dec 80). Hier wordt alleen de uitkomst gepresenteerd:
2 T ( w R T (c + R ) + w R (kv + 1) L) a = · g g v,gvp gv v gv e T cv ,gvp .,. wvkv (L - RvTJ (2. L 17)
waarin w is de massafractie van respectievelijk het gas, de damp g,v,p en het water in het mengsel.
c is de soortelijke warmte bij constant volume van het v,gvp gehele mengsel.
R is de gasconstante van het gas/damp-vormige deel van het mengsel gv en k = :!:__ ~
V Pv aT •
Deze laatste factor is opmerkelijk daar deze bij de overgang van niet
volledige naar volledige verdamping,.een discontinuïteit te zien en
geeft. In een evenwichtsstraming voldoe~ als er nog water in het
mengsel aanwezig is, de dampdichtheid en de temperatuur aan de
Clausius/Clapeyron-vergelijking. Is echter alles verdampt dan vervalt
deze relatie en zien we dan ook een discontinuïteit in de evenwiehts
geluidssnelheid van de eindtoestand. De evenwichtsgeluidssnelheid
is dan gelijk aan de "frozen" geluidssnelheid. In het andere geval
is ae steeds kleiner dan af. In paragraaf 3 wordt dieper op deze
zaak ingegaan. Daar het machgetal M is gedefinieerd als M = u/a,
zal steeds worden aangegeven om welke geluidssnelheid a het gaat.
-17-
·Een andere belangrijke grootheid is de ladingsfactor K gedefinieerd als
K = Pp
(2. 1. 18) Pv + P g
Verder op in deze paragraaf wordt ook gesproken over de transmissie
van laserlicht door een nevel. Deze wordt behandeld in paragraaf 4.1.2.
Door systematisch relevante grootheden, die de begintoestand
karakteriseren, te variëren, kan inzicht worden verkregen in de
effecten die die variaties hebben op de eindtoestand. De begintoestand van
een mengsel van gas, waterdamp en waterdruppeltjes wordt gekarakteriseerd
door de volgende constant gehouden grootheden: de temperatuur T0
(273 K),
de totale druk p0
(100 kPa) en de druppeltjesstraal r 0 (5 ~m). De
ladingsfactor KO is als parameter gebruikt en het machgetal MeO ,
gebaseerd op de evenwichtsgeluidssnelheid aeO' is gevarieerd tussen
1 en 3. Er volgen nu een aantal grafieken waarin de onderlinge relaties
tvssen evenwichtsgrootheden worden gegeven. U ziet steeds 4 lijnen
die corresponderen met 4 verschillende ladingsfactoren (0.004, 0.020,
0.040 en 0.060)_.
1
1-25 1 .s 1. 75 2 z.z5 2.5 2-75 3 .----r----~--~----~--~----~--~----~3
I • <fflPPRO : o. 060
l• <fflPPRO : 0.040
2.75 ]• KRPPRO: 0-0lO
4 • <fflPPRO : 0-004
z.s
2-25
1 .75
1.5
1 .zs
2-75
2-5
2-25
2
1 .75
1 .5
1 .zs
. 75 ...__ __ _._ ____ ..__ __ __._ ____ ..__ __ __._ ____ ~ __ ___.. __ ___J • 75
1 . 25 1 . 5 1 . 75 2 2. 25 2. s 2. 75 3
Figuur 2: Het "frozen" machgetal MfO als functie van het evenwichts
machgetal MeO'
-18-
l. 25 l . 5 l . 75 2 2. 25 2. 5 2. 75 3 2 . 5 ,...----,.--.....,.---.,------,,-----,.---,---.,-----, 2 . 5
T /T 2.25 3 0
I· 75
I .5
\ ·25
•
I' Kfii'PRO = 0.060
z, Kfii'PfiO: Q.QIO
J' KfiPPRO = a.ozo I' l(flf'PfiO = 0.001
\ .25
2.25
2
I· 75
\.5
1·25
Figuur 3: De relatieve temperatuur van het mengsel T3/T0 als
functie van het evenwichtsmachgetal MeO CT0=273.0 K) .
0 . 25 .5 .75 1.25 1.5 \. 75 2 2.25 2.5 2.75 3 10 10
I' KRPPRO = Q.060
z, IIRPPRO = 0.010
9 J' KRPPRO = a.ozo 9
P/Po 4' KfiPPRO = 0.001
6 - f110 15 VfiR I fl8éL
6
t 7
6
7
6
5 5
4
3
2
I 1.25 1.5 \. 75 2 2.25 2.5 2.75 3
(u0-u3) /afO
Figuur 4: De relatieve druk van het mengsel p3/p0 als functie van
het snelheidsverschil van het mengsel in begin- en
eindtoestand (p0=1 bar, af0=337.1 m/s).
.g
.a
.7
.s
.5
.. . 3
.2
·I
-19-
I · 25 I · 6 I . 75 2 2. 25 2. 6 2. 76 3 r---~----~--~----T---~~~~--~~--~1
I' llfll'l'fiO : 0-060
z, llfll'l'fiO : 0.010
1' llfii'PRO = a.ozo I' liRI'PfiO: 0.004
.g
.a
.7
.s
.5
. . ·3
·2
a.__ __ _._ ____ ...._ __ ___, ____ _._ ____ ...._ __ __. ___ _,_ _ ___Jo I 1.25 1.5 1.15 2 2.25 2.5 2.75 3
' F~guur 5: De relatieve snelheid van het mengsel u~/u0 als functie
van het evenwichtsmachgetal MeO (u0 is een functie van
MeO en van K).
I I . 25 I . 5 I • 75. 2 2 · 25 2 . 5 2. 75 3 6 .----,-----r----~----~--~~--~-----r----,6
5.5
4.5
3.5
3
2-6
2
1-5
Figuur 6:
I' llfll'l'fiO : O. 060
z, llfll'l'fiO : 0.010
3' llfll'l'fiO: 0.020
4, llfll'l'fiO: 0-004
I. 75 2 2.75
5.5
6
3.5
3
2-5
2
1-5
De relatieve gasdichtheid pg3/pgO als functie
evenwichtsmachgetal MeO (Pgo=l.2267 kg/m3).
van het
2-2
2
p p/Ppo I .S
1-6
I 1.4
1.2
.a
.6
.4
.z
0
•
-20-
1 ~---1~-~zs ____ 1T·s ____ ~~-~7s ____ Tz ____ z_.~z5 __ ~2~--s ___ z~-~7~5--~3 2 _ 2 I' KliPPilO : 0-060
z, KliPPilO : 0-010
J' KliPPRO : 0-020
'' JfRPPRO : 0-004
2
1-8
Figuur 7: De relatieve drunpeldichtheid p 3/p 0 als functie van . . p. p
1
het evenwichtsmachgetal MeO (ppO is een functie van K).
I 1-5 2 2.5 3 3-5 4 4-S 5 10 r---~----~----~----r---~-----r----~--~10
I' KliPPRO: 0-060
2' KliPPilO = 0.010
9 3, lfRPPRO = 0-020
I' lfRPPRO = 0.001
- HuiS VRR/118éL a
6
5
3
1-5 2 2-5 3
9
8
7
6
5
2
3-5 4 4-5
Figuur 8: De relatieve druk van het mengsel p3;p0 als functie van
de relatieve totale dichtheid van het mengsel p3/p 0 .
(p 0 is een functie van K, p0=1 bar).
-21-
2 3
I' KRPPRO = 0-060
.9 z, KRPPRO: O.Q#J .g
1, lfRPPRO = a.ozo .a •' KRPPRO = 0-004 • 8
- 1110 IS VRR I R8éL
TR3 .1 - RO = 5-0E-6 Ofl .1
.s .s
.s .s
• 4 1
.J .J
.z ·2
.I .\
2 3 4 5
• Figuur 9: De transmissie van een lichtbundel door een mengsel TR3
als functie van de relatieve druk van het mengsel p3;p0 (p0=1 barJ.
Uit de grafieken blijkt dat voor die gevallen waarbij nog geen volledige
verdamping is opgetreden, de ladingsfactor nauwelijks invloed heeft
op de eindtoestand. Om dit te kunnen verklaren gaan we uit van twee
identieke mengsels met verschillende ladingsfactoren. Creëren we een
schokovergang in beide mengsels dan wordt de kinetische energie voor
een deel omgezet in enthalpie. Zolang er druppeltjes in het mengsel
aanwezig zijn is de term pvL in de enthalpie de belangrijkste. Omdat
p L uitsluitend van de temperatuur en niet van de ladingsfactor V
afhangt is de geringere temperatuurverhoging voor grotere ladings-
factoren hiermee verklaard. Er treden pas grote verschillen op als alle
druppels verdampt zijn. Uiteraard is die waarde van het machgetal
C en dus de kinetische energie van het aanstromende gasmengsel )
waarbij precies alle druppels verdampt zijn wel afhankelijk van de
ladingsfactor.
Het verband tussen het "frozen" machgetal MfO (=u0/afo) en het
evenwichtsmachgetal MeO (=u0/ae0) wordt gegeven in figuur 2. Bij de
presentatie van de grafieken is MeO worden gebruikt. Voor experimentele
-22-
toepassing is echter MfO bruikbaarder. Figuur 3 geeft het verband
tussen de temperatuur van de eindtoestand en het evenwichtsmachgetal Meo·
Het gevonden verband is al eerder besproken. Figuur 4 toont het
belangrijke verband tussen de druk en de snelheidssprong over de schok.
De druk hangt nauwelijks af van de ladingsfactor. In de figuren 5 en 6
worden respectievelijk de eindsnelheid van het mengsel en de
gasdichtheid als functie van MeO gegeven. De druppeldichtheid als
functie van MeO is gegeven in figuur 7. We zien dat voor grote ladings
factoren er een toename in de druppeldichtheid plaatsvindt ondanks
dat de straal van de druppeltjes afneemt. De toename is het gevolg
van de verdichting van het mengsel (figuur 6). In de volgende twee
figuren worden nog twee experimenteel interessante relaties gegeven
namelijk de druk als functie van de totale dichtheid (figuur 8) en
de transmissie van licht aan het mengsel als functie van de druk
(figuur 9). Deze grootheden zijn interessant omdat ze experimenteel
óepaald kunnen worden.
2.2. STRUCTUREN VAN DE RELAXATIEZONE.
In het navolgende zal een model worden besproken dat de relaxatie
processen na passeren van de schokgolf door een nevel beschrijft.
Marble (69) en Nayfeh (66}.geven vergelijkingen die deze processen
beschrijven. Er zijn ook andere werken in de literatuurlijst opgenomen
die het een en het ander hieraan bijdragen. Door Loermans (aug80) is
fiet model uitgewerkt en overzichtelijk gepresenteerd.
We gaan uit van de situatie zoals die in de inleiding in figuur 1
is geschetst waarbij een in evenwicht zijnd mengsel van gas, damp en
waterdruppeltjes op een schokgolf aanstroomt (0). Als het mengsel de
schok passeert (1), volgen gas en damp de gewone Rankine-Hugoniot
schokrelaties (DON 79), terwijl de druppeltjes vanwege hun grote massa
en warmtecapaciteit de schokgolf ongestoord passeren. Na de schok
ontstaan hierdoor temperatuur- en snelheidsverschillen tussen gas/damp
en druppeltjes en past de waterdampdruk niet bij de temperatuur van de
druppeltjes zoals dat door de Clausius/Clapeyron-vergelijking wordt
voorgeschreven. Er gaan nu allerlei relaxatieprocessen spelen (2)
die het systeem terugbrengen naar evenwicht (3). via het uitwisselen
van massa, impuls en energie. In figuur 10 vind u de situatie weergegeven.
-23-
I I • I
3. 0 I • I ., .. 0 •
0 I I
• 0 :.
I
I . ~. • 0
i • I .
0 I •
• I
Pv3=ps (Tp3) I I • I •
•I • • uv, g3=up3=u3 • I •• T -T -T I• v,g3- p3- 3 . .
0 o 0 oQo 0 10 0 o·o2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 Q
0 0 0 0 0 0 0 0 0 li
... 0 0 0 °
0 0 ~.- ... ..,....o 0 C·
0 0 oo{"\ 0 o
0o
0 0 0
Pvo=Ps (Tpo9 0 0 Pvl~ps(Tnl)
0 0 . 0 (I 0 u =u =u o u f.u =u 0
v,gO pO 0 0 (J V, gl pl 0 Cl
0 T =T =T o T (fr 1=T0 o 0
v,gO pO cJ' 0 0 v,g p 0
0
sdioR evenwichtszone relaxatiezone evenwiehts zone
Figuur 10: Model voor een schokgolf door een nevel.
IR deze stationaire situatie zijn de afgeleiden naar de tijd gelijk
aan nul, zodat alleen de plaatscoördinaat x als onafhankelijke
variabele overblijft. Alvorens de vergelijkingen te presenteren en te
bespreken zullen eerst enkele uitgangspunten en vooronderstellingen
worden opgesomd.
- Het totale volume van de druppeltjes is te verwaarlozen en daaruit
vloeit voort dat er geen onderlinge beïnvloeding van de druppeltjes
wordt verondersteld.
- De druppeltjes zijn bolvormig.
- De druppeltjes vallen niet uiteen in kleinere druppeltjes. Een
belangrijke grootheid hierbij is het getal van Weber We
(We= (p +p ) (u -u ) 2d/cr) dat een maat is voor de verhouding van de v g v,g p
dynamische drukkrachten tot de oppervlaktekrachten. Druppeltjes
splitsen niet op als We kleiner blijft dan 6 à 8. Hieraan zal
theoretisch echter niet aan voldaan zijn. Door Schriewer (79) wordt
de druppelopsplitsing uitvoerig behandeld.
- De druppeltjes beïnvloeden de drukterm niet.
- De druppeltjes hebben een uniforme temperatuur.
- Het gas/damp-mengsel heeft een uniforme temperatuur.
- De schokgolf en de druppeltjes beïnvloeden elkaar niet.
- Er wordt uitgegaan van een laminaire stroming om de druppeltjes.
- Er wordt geen rekening gehouden met andere krachten dan die ten
-24-
gevolge van een stroming om een bol met constante snelheid.
- De kracht F op een druppeltje en de warmtestroom Q naar een druppeltje
worden niet beïnvloed door condensatie of verdamping.
- Het gas/damp-mengsel wordt beschouwd als een perfect gas.
De viskeuze dissipatie en de warmtegeleiding in de gasfase is te
verwaarlozen.
Er wordt geen uitspraak gedaan over de kwaliteit van het model dat
ongetwijfeld verbeterd kan worden. Nu volgen de vergelijkingen voor
een wolk van N druppeltjes die elk een diameter d hebben. Het aantal 3 druppeltjes N kan ook geschreven worden als 6p p/ (p
1rrd ) met p 1 als de
dichtheid van water. De index 2 is weggelaten.
Behoudswetten
massabehoud:
• gas:
damp:
a äX(P gu)
a äX(pvu)
= 0 (2.2.1)
= (2.2.2)
(2.2.3)
De vergelijkingen geven aan dat er geen gas verloren gaat en dat
de damp en· de druppeltjes massa met elkaar uitwisselen via de
verdampingsmassastroom ~ . De verdampingsmassastroom is een V
gevolg van het niet bij elkaar passen van de dampdruk en de
verzadigde dampdruk die afhangt van de temperatuur van de
druppeltjes.
impulsbehoud:
gas + damp: * an -F +11 u -~ p v ax
* = F -~ u p V
(2.2.4)
(2.2.5)
waarin F de kracht op een wolk druppeltjes voorstelt ten gevolge p
van het snelheidsverschil tussen de druppeltjes en het * gasvormige gedeelte, en -~ u de impulsverandering weergeeft
V
die een wolk druppeltjes ondervindt ten gevolge van het verdampen * * (u =u ) of condenseren (u =u) van dampmolekulen van of op de
p druppeltjes.
-25-
energiebehoud:
•
gas + damp: a 1 2 1 *2 d(up) ~ui (p +p )~2 +p e +p e ] }=-F u +ll (e +L+;::u2 ) -Q-ax v g v v g g p p v p ax
(2.2.6)
1 -2 = F u -11 (e +L+:::u
2 * ) +Q p p V p
(2. 2. 7)
waarin F u de arbeid voorstelt die op de druppeltjes verricht p p wordt ten gevolge van de kracht F en -ll (e +Lt-:::u2
1 *2) de energie p V p
verandering weergeeft ten gevolge van het verdampen (u*=u ) of p
condenseren (u*=ul van molekulen van/op de druppeltjes. De eerste
twee termen van de verdampingsmassastroom stellen de enthalpie
verandering voor en de derde term de verandering van de
kinetische energie. Q stelt de warmtestroom naar de druppeltjes
voor ten gevolge van het temperatuurverschil tussen de druppeltjes
en het gas/damp-mengsel.
Overdrachtsvergeliikingen
verdampingsmassastroom 11
De drijvende kracht achter de massastroom is het verschil tussen
de verzadigde dampdruk p die heerst in een mengsel waarin de s druppeltjes met temperatuur T in evenwicht zijn met de omringende
p damp, en de werkelijk aanwezige dampdruk p . De snelheid waarmee
V
dampmolekulen kunnen verdampen van of condenseren op de druppeltjes
wordt beperkt door de diffusiesnelheid van de waterdamp in het
damp/gas-mengsel. Met het dimensieloze getal van Sherwood Sh
(Sh=hd/D waarin h is de massaoverdrachtscoëfficiênt en D de
diffusiecoëfficiënt) kunnen we de massauitwisseling karakteriseren.
Door Rieterna (76) wordt voor Sh de volgende vergelijking gegeven: 1 1 3 2 Sh = 2 . 0 + 0 . 6 Sc Re (2 . 2. 8)
met Sc=n/(pDJ als het kengetal van Schmidt dat dezelfde rol speelt
als het getal van Prandtl bij de warmteoverdracht. 11 is de dynamische
-26-
viscositeit en Re is het getal van Reynolds (Re=t.urrd/n).
Deze vergelijking geldt voor een laminaire grenslaag
dus voor 1 <Re< 3·105. Daar de massastroom ook evenredig is 2 met het totale oppervlak rrd N van de druppeltjes, kunnen we
voor de verdampingsmassastroom ~ schrijven (MAR69) : V
6P D Sh rrd ~v = l R T (ps(Tp)-p)
rrd pl v (2. 2. 9)
kracht F p
•
De drijvende kracht voor F p
tussen de druppeltjes en het
is het snelheidsverschil (u -u) p
gas/damp-mengsel. De kracht is 1 2 evenredig met de grootte van het totale oppervlak N~d van de
dwarsdoorsnede van de druppeltjes en de weerstandscoëfficiënt CD.
De weerstandscoëfficiënt CD is voor voldoend lage waarden van
het machgetal M alleen een functie van het Reynoldsgetal Re
(BAI71}. Voor Re<l, de zogenaamde Stokes-stroming, geldt CD=24/Re.
Voor Re-waarden tot circa 500 wordt het verband tussen CD en
Re gegeven door (PUT61):
1 2 CD = 24 (1 + 6" Re3") /Re
·De kracht wordt gegeven door (SMU64):
F = 1 c l c !. d2 I I c ) p 2 P g +p v D 4 u-up u-up 6p
n
(2.2.10)
(2.2.11)
warmtestroom Q
De drijvende kracht voor de warmtestroom is het temperatuur
verschil (T -T} tussen de druppeltjes en de omgeving. Geheel p
analoog aan het Sherwood kengetal bij de massaoverdracht,
karakteriseert het getal van Nusselt Nu (Nu=ad/À met a
als de warmteoverdrachtscoëfficiënt en À als de warmtegeleidings
coëfficiëntl de warmteuitwisseling. Als er warmteoverdracht
plaatsvindt door zowel zuivere geleiding (Nu=2) als convectie
(Nu=0.6 Pr1/ 3Re 112) geldt (KNU58): 1 1 3 2 Nu= 2.0 + 0.6 Pr Re (2.2.12)
-27-
met Pr als het kengetal van Prandtl (Pr=nc /À). De geldigheid p 5
van deze formule beperkt zich tot Re-waarden tussen 1 en 3•10 .
De warmtestroom is evenredig met het warmteuitwisselend oppervlak.
In formulevorm (RUD76) :
Q = ~%~ 1rd À Nu (T-T } 1T 1 p
(2.2.13)
Het stelsel vergelijkingen wordt gecomplementeerd door enkele
toestandsvergelijkingen en de randvoorwaarden.
Toestandsvergelijkingen
p = p + p V g (2.2.14)
pv = p R T • V V
(2.2.15}
pg = p R T g g (2.2.16)
e = e (T) = c T g g vg (_2.2.17)
e = e (T } = c T p p p pl p (2. 2 .18)
e = ev(T} = c T + Lo V vv (_2.2.19}
L = c_e: + R - c JT + La vv V pl p (2. 2. 20)
Randvoorwaarden
(2.2.21)
TpO (2. 2. 22)
2 = (_2y/(y+l)}(}1f-ll+l (2.2.23)
= (2/ (_y+l)l (_1-M~}/M~+l (2. 2. 24}
2 2 2 = (2/ (y+l)} (_y-1)/ (y+l) (Mf-11 (1/Mf) (yMf+l) +1 (_2. 2. 25)
met Mf = u0/afO waarbij afO gedefinieerd is als in vergelijking
2.1.16.
-28-
Door Kraay (80) is dit stelsel geschikt gemaakt voor numerieke
berekening. In de figuren 11 t/m 13 is voor een drietal machgetallen
de relaxatiezone gegeven. Bij deze berekeningen zijn de overige
parameters die de toestand karakteriseren constant gehouden zoals de -6 druppelstraal r 0 (5·10 m), de totaal druk Po (1 bar), de temperatuur
T0
(273 Kl en de ladingsfactor KO (0.004). In de figuren ziin de druk,
de snelheden van het gasvormige deel en de druppeltjes, en
druppeldichtheid p gegeven als functie van de afstand achter de schok. p
Ook is de evenwichtstoestand gegeven. In paragraaf 5.2 worden voor een
ander geval de relaxatiezone oerekend,
4
• 3
2
1 0 2 4 6 8 10
M =1.4 eO
12 14 16
Figuur 11: De druk als functie van de afstand achter de schok
voor de machgetallen 1.4, 1.7 en 2.0.
( -1 r 0=1 oar, Lvo=1.13·10 m).
0.8
up!u0 M =1.4 en 0.6 _j
u !u0 Me0=1.7 J v,g
0.4 Meo=2.0
u v,g
0.2
0 ~~--~--~--~--~--~~--~--~--~ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 evenwicht
' Figuur 12: De snelheid van het gasvormige deel van het mengsel en
2.5
2
1.5
1
0.5
0
de druppelsnelheid als functie van de afstand achter de
schok voor de machgetallen 1.4 (u0=334.4 m/s), 1,7
(_uo=542,1 m/sl en 2.0 Cuo=637.8 m/s) (L~o=l.l3:lo- 1 m).
0 2 4 6
l
8 10 12 14 16 18 20 evenwicht x/Lvo
Figuur 13: De druppeldichtheid pp als functie van de afstand achter
de schok voor de machgetallen 1.4, 1. 7 en 2.0. 3 . -1
(Pno=0.0049 kg/rn, Lvo=l.l3'1U mJ.
-30-
2.3. DE DISPERSE SCHOKGOLF.
2. 3.1.
In deze paragraaf zal wat gedetailleerder worden gekeken naar een
systeem met slecht één relaxatieproces. Voor een uitvoerige behandeling
zij verwezen naar Vincenti/Kruger (VIN65) en Becker (BEC69). We zullen
het gecompliceerde model dat besproken is in paragraaf 2.2 terugbrengen
tot een model waarin slechts één relaxatieproces een rol speelt. Dit
model wordt behandeld in paragraaf 2.3.1. In paragraaf 2.3.2 wordt
vanuit de stationaire niet-lineaire vergelijkingen onderzocht of een
infinitesimale verandering van de snelheid mogelijk is. Deze
beschouwing leidt tot verrassende conclusies. In paragraaf 2.3.3
wordt een volledig ontwikkelde disperse schokgolf oplossing bepaald.
Een disperse schokgolf kan optreden dankzij het feit dat de snelheid
en de uitdemping van de golf afhankelijk zijn van de frequentie van
de verstoring. Er zal in paragraaf 2.3.4 beschreven worden hoe een
z~akke discontinue schokgolf kan uitgroeien tot een disperse continue
schok.
I I Model met een relaxatieproces.
We beschouwen een systeem van waterdruppeltjes, waterdamp en stikstof.
Wordt dit systeem uit evenwicht geóracht dan nemen we aan dat niet
de temperatuur en de snelheid uit evenwicht worden gebracht maar
slecht alleen de dampdruk. Steeds zal de temperatuur en de snelheid
van de druppeltjes en de omgeving aan elkaar gelijk zijn. De uit
evenwicht gebrachte dampdruk wordt teruggebracht naar evenwicht via
massauitwisseling. Voor het mengsel kunnen de volgende eendimensionale
behoudswetten worden opgesteld:
massabehoud: dp au 0 -+ p -= dt- a x (_2. 3 .1.1)
impulsbehoud: du ap - 0 p -+ ax -dt (_2. 3.1. 2)
energiebehoud: dh ~= 0 p dt - dt (2. 3 .1. 3)
Dit zijn drie vergelijkingen met vier onbekenden: de totale dichtheid p,
de snelheid u, de totaal druk p en de totale enthalpie h. Als het
systeem in evenwicht verkeert, kan het stelsel vergelijkingen worden
gecomplementeerd met de toestandsvergelijking:
h = h(p ,p)
Bevindt het systeem zich niet in evenwicht dan is er nog een derde
(niet-evenwichts) variabele p /p nodig om de toestand van het systeem V
te kunnen weergeven. Formeel wordt de toestandsvergelijking dan:
De belangrijkste bijdragen aan de enthalpie worden geleverd door
het ga~pg/p htvanwege de hoge gasdichtheid en door een term die de
verdampingswarmte L0 in rekening breng~pv/p L0. De overige termen in
de enthalpie zijn vanwege de geringe concentraties van de desbetreffende
stoffen te verwaarlozen. We vinden dan in goede benadering.
• h=....LE. y-1 p
p + :..JL L
p 0 (2. 3 .1. 4)
Nu moet nog een vergelijking voor de niet-evenwichtsgrootheid p /p V
gevonden worden. We gaan uit van de entropiebalans. Per kg mengsel
luidt deze:
T ds
waarin s de specifieke entropie is en ~ de specifieke thermodynamische
potentiaal. Voor waterdruppeltjes en damp in evenwicht geldt dat hun
thermodynamische potentialen aan elkaar gelijk moeten zijn:
waarin p=p +p *. Grootheden die zijn geïndiceerd met een sterretje* g V geven aan dat de desbetreffende grootheid in evenwicht is met zijn
omgeving. In ons speciale model wil dat zeggen dat water en waterdamp
voldoen aan de Clausius/Clapeyron vergelijking. Ontwikkelen we
~ (p ,T) rond de verzadigde dampdruk p *(T) dan krijgen we: V V V
Met de Gibbs/Duhem relatie voor de damp vinden we uiteindelijk:
1 ~1 - ~V = - (p *-p )
p V V V
-32-
De entropiebalans wordt hiermee:
1 1 Pv T ds = dh - - dp + - (p*-p ) d(-) p PV V V p
(2.3.1.5)
De entropieproductie die bij dit niet-evenwichtsproces optreedt
wordt gegeven door:
ds _ 1 ( * ) d{pv/ p) dt - p T Pv-Pv dt
V
Dit kan met p /p=q en p =p R T worden herschreven tot: V V V V
ds R do - = ~ (q*-q) .=. dt q dt
De entropieproductieterm kan volgens de eerste generalisatie van
Onsager uit de irreversibele thermodynamica altijd geschreven worden • als een product van een gegeneraliseerde "kracht" en een gegeneraliseerde
"flux". In ons geval is Rv(q*-q)/q op te vatten als de kracht en
dq/dt als de flux. Voor toestanden dichtbij evenwicht geldt in goede
benadering dat de flux evenredig is met de kracht (2de generalisatie
van Onsager)(~69):
~=~ dt T
(_2. 3 .1. 6)
Met de vergelijkingen 2.3.1.1 t/m 2.3.1.4 en 2.3.1.6 hebben we het
stelsel vergelijkingen bepaald dat veranderingen in ons vereenvoudigde
systeem kan beschrijven.
Alvorens verder te gaan met het bespreken van dit model zullen
eerst twee geluidssnelheden gedefinieerd worden. Beschouwen we de
Gibbs-relatie (2.3.1.5} en substituëren we voor dh de eerste orde
termen van de Taylorreeks dan vinden we:
T ds = (_h _.!_) dp + h dp + (_hq+RyqT (q*-q)) dq p p p
(2. 3 .1. 7)
We definiëren de "frozen" geluidssnelheid af onder de voorwaarden ds=O
en dq=O en met in achtneming van vergelijking 2.3.1.4 als:
-h ~ = h -f; p = p
p (2. 3.1.8)
-33-
en deevenwichtsgeluidssnelheid'a onder de voorwaarden ds=O en e dq 3 dq* met q*=q*(p,p) als:
a 2 - ~ = - ho +~'IQ e - ~p)·s,q=q* h +h q*-1/p
p q p
2 = af- 'IQ (y-l)p La
1+~ (y-l)p Lo (2. 3 .1. 9)
Aan de uitdrukkingen voor af en ae zien we dat ae<af. Dit is algemeen
geldend en onafhankelijk van het model (BEC69).
2.3.2. Voorwaarden voor een continue overgang van de ene naar de andere
evenwichtstoestand.
In deze paragraaf wordt besproken of dat vanuit een gegeven
evenwichtstoestand (0) een stationaire infinitesimale verandering
van de snelheid mogelijk is. We gaan uit van het stelsel vergelijkingen
zoals dat geldt voor ons model met één relaxatieproces. Dit stelsel
kan als volgt worden herschreven:
• Pouo
(2.3.2.1) = u p
2 (2. 3. 2. 2) p + p0u0u = Po + Pouo
h 1 2 ho
1 2 (2.3.2.3) +-u = +-u 2 2 0
h = y E.+ qLO (2.3.2.4) y - 1 p
~ = ~ (2. 3. 2. 5) u ax T
Nemen we van stelsel 2.3.2.1 t/m 2.3.2.3 de differenties dan vinden we:
1 -p 0u07 dp = du p
dp = -p 0u0du
dh + udu = 0
Wordt voor dh(p,p,q) de eerste orde termen van de Taylorreeks
ontwikkeling gesubstitueerd en worden dp en dp geëlimineerd dan wordt
de volgende vergelijking verkregen:
Lodq = 1 du (u2 y - 1 u
(2.3.2.6)
-34-
Door q* en q te ontwikkelen rond de begintoestand gekarakteriseerd
door q0 = q0 wordt gevonden dat als:
q* ~ q ook geldt dat dq* > dq
en ook dat als:
q* ~ q ook geldt dat dq* ~ dq
(2.3.2. 7)
Omdat q* alleen een functie is van p en p kan voor dq* geschreven worden:
dq* = ~ dp + ~ dp aP ap
Met de continuiteits- en de impulsvergelijking kan dit herleid worden
tot:
2 du dq* = -(~ pu + q; p) -u (2.3.2.8)
Er wordt nu onderzocht onder welke voorwaarden kleine snelheidsvariaties • du rond de snelheid in de evenwichtsteestand u0 , aangebracht kunnen
worden. Voor de eenvoud gaan we uit van negatieve verstoringen in de
snelheid, du/u<O. Echter de uitkomst is geldig voor willekeurige du/u.
We onderscheiden twee gevallen:
1. uo ~ af Uit vergelijking 2.3.2.6 vinden we dq ~ 0. Dit levert q* ~ q en
dq* ) dq. Voegen we de vergelijkingen 2.3.2.6 t/m 2.3.2.8 samen
dan krijgen we:
1 du (Y -1) L
0 u
Met du/u < 0 kan
2 u ~
2 2 2 du (u -af) 1110 -(q* PU +q*P) --p p u
dit herschreven worden in:
of 2 u ~
2 a e
De conclusie is nu dat inderdaad kleine negatieve verstoringen in de
snelheid mogelijk zijn mits u0
~ ae. Dit levert dan een disperse schok:
een geleidelijke overgang van de ene evenwichtsteestand naar de andere.
2. u0 > af
Dit geval kan analoog worden behandeld. Dit leidt tot de conclusie
dat u0 < ae. Daar echter ae ~ af is dit in tegenspraak met het gestelde.
De conclusie is dat geen infinitesimale negatieve verstoring van u
mogelijk is. Het systeem kan alleen van de ene naar de andere
evenwichtsteestand komen via een discontinuïteit: een discontinue
schokgolf.
2.3.3.
-35-
Beschouwen we een systeem waarin geen relaxatieprocessen spelen dan
volgt uit de lineaire theorie dat als oplossing van zo'n systeem
alleen de geluidsgolf (u0 = a) mogelijk is. Een mengsel met
relaxatiegrootheden geven het systeem meerdere mogelijkheden om aan
de behoudswetten te voldoen. Er is nu een heel scala van snelheden
mogelijk (ae ~ u0 ~ af).
I I
Oplossing van het stelsel vergelijkingen voor een systeem met een
relaxatieproces.
In de vorige paragraaf is aangetoond dat er voor ae ~ u0 ~ af
mogelijk een oplossing bestaat voor het stelsel dat ons model
beschrijft. In deze paragraaf bepalen we de oplossing van een
volledig ontwikkelde disperse schokgolf. Met de vergelijkingen 2.3.2.1
t/m 2.3.2.4 kan q worden uitgedrukt in u:
• Y uo - u Po Y - 1 q - qo = y : 1 Lo C P ouo - u + 2y Cuo + u)) (2.3.3.1)
q* kan in gelineariseerde vorm altijd beschreven worden door middel
van een lineaire interpolatie tussen begin- en eindwaarden:
qo, u0 en q3, u3.
q* q3 - qo
(u (2. 3. 3. 2) - q = - u ) 0 u3 - uo o-
Door de laatste twee vergelijkingen van elkaar af te trekken vinden
we voor q* - q:
y + 1 q*- q =- (u- u )(u- u3)
2 (y - 11 10 o (2.3.3.3)
waarbij u3 de grootste oplossing is van de vierkantsvergelijking:
q -q p 2(y-l) (-3 0) + 2y 0 y-1
u3 = (y+l) 'u3-u0 y+l (POUO + ~ uO)
en waarin voor q3, in overeenstemming met paragraaf 2.1, een extra
vergelijking nodig is. Voor dq/dx kunnen we afleiden uit 2.3.3.1:
~= y + 1 (_u - u l du (2. 3. 3. 4) dx (_y - 1) 10 a dx
uo (_1 -1
(_1 -1 met u = (y 1) -y-)). a +
MfO
-36-
We merken op dat u a. ~ u0 en alleen indien Jl.lfO = 1 geldt u a. = u0. De
relaxatievergelijking krijgt dan de volgende benaderde vorm:
1 Cu- uO)(u- u3) 2 (y + 1) T
We beschouwen nu twee limiet gevallen:
1. Is de snelheid u0 in de buurt van de evenwichtsgeluidssnelheid ae
dan gaat (u3 - u0) + 0 en mogen we (u - ua.) benaderen door u0
- ua.
In dat geval is de oplossing
uo + u3 1 u3 -uo 2 + 2 (_uo - u3) tanh (2 tu - u ) E;,)
a. 0 u =
met ç; = x/ (_2u0• (_y+l)_). In figuur 14 is deze oplossing getekend.
u ---------------_;i_-
0 -x
Figuur 14: Volledig ontwikkelde disperse schokgolf.
2. Indien u0nadert tot af' dan nadert ook ua. tot af en wordt
vergelijking 2.3.3.5:
du 1 u - u3 dx = - 2 (y + 1) u0 •
De oplossing hiervan is een e-macht:
e -I;
met E;, x/(2u0T(y+l)). Figuur 15 geeft de oplossing.
......3.7-u
0 x
Figuur 15: Niet volledig ontwikkelde disperse schokgolf.
Is u0 groter dan af vinden we geen oplossing. De overgang van
de ene naar de andere toestand wordt gemaakt via een discontinuïteit
d~e eventueel gevolgd wordt door een relaxatiezone. We zullen dit
geval eens nader behandelen. We beschouwen daartoe nogmaals een mengsel
met een relaxatiemogelijkheid in een vat onder een zuiger. De
energiehuishouding van liet mengsel wordt weer beschreven door:
dh_l:_~=O dt p dt
waarin voor de enthalpie geldt:
Wordt op t = 0 de zuiger zo bewogen dat de druk instantaan wordt
verhoogd met öp dan geeft dit een verhoging van de enthalpie van
öh = öp/p. Omdat er zich in het mengsel een niet-evenwichtscomponent
aanwezig is, zal de verandering in h worden opgevangen door _r_l ~ y- p
terwijl qL0 constant blijft. Na de plotselinge verandering zal er een
relaxatieproces optreden dat ervoor zorgt dat _x_ ~ en qL weer met y-1 p 0
elkaar in evenwicht komen. In figuur 16 is dit geïllustreerd.
_...::L_ Po y-1 p
0
'~ -38-
:------------------------- h3
: y p3 I y-1 p I 3
-------------- ____ ..J _J._ E. y-1 p
0 t
Figuur 16: Schokgolf met relaxatiezone.
2.3.4. Ontwikkeling van een disperse schokgolf .
• In de werkeenheid gasdynamica/schokgolf wordt een compressiegolf
gemaakt door een Melinex vlies, dat de scheiding vormt tussen twee
volumina met verschillende druk, zeer snel te openen. Hierdoor vormt
er zich een stapvormige golf waarvan het interessant is te bekijken
hoe uit deze golf een disperse schokgolf kan ontwikkelen. Daartoe
zijn in appendix A de vergelijkingen 2.3.1.1 t/m 2.3.1.4 en 2.3.1.6
gelineariseerd. Uit de afleiding in de appendix vinden we dat de
snelheid en de uitdemping van de golf afhankelijk zijn van de
frequentie van de verstoring. Dit wordt respectievelijk dispersie
en absorptie genoemd. Zo worden de hoog frequente componenten van een
golf van willekeurige vorm sterk gedempt en planten deze componenten
zich voort met de ''frozen1' geluidssnelheid. Laag frequente componenten
worden nauwelijks gedempt en lopen met de evenwichtsgeluidssnelheid.
Doordat een stapvormige golf verschillende frequentiecomponenten
heeft, zal deze vervormen en zich "splitsen" in een stapvormig,
voornamelijk hoog frequent en dus sterk uitdempend golfje met
snelheid af en een lager frequent niet uitdempend deel met een
lagere snelheid ae (figuur 17}. Dat het hoog frequente deel van de
storing zich met de "frozen" geluidssnelheid voortplant is fysisch
als volgt in te zien. Een golffront plant zich voort in een medium
dat geen weet heeft van de naderende verstoring. Het medium heeft
-39-
dx dt-u
t
1
x
Figuur 17: Ontwikkeling van een disperse schokgolf.
dbs geen kans om zijn toestand te veranderen gedurende de passage
van het golffront en dit signaal moet daarom ook reizen met de
snelheid overeenkomend met de "frezen" interne toestand van het gas.
Het deel van de verstoring met de lage frequentie componenten
gaat ten gevolge van de frequentieafhankelijkheid van de snelheid
een steeds flauwer verloop krijgen. In werkelijkheid zal als gevolg
van niet-lineaire effecten op een gegeven moment evenwicht ontstaan
tussen het diffusie mechanisme en het niet-lineaire steiler worden
van een drukgolf. Er vormt zich dan een stationaire golf. Afhankelijk
van de tijd die een discontinue schokgolf nodig heeft om uit te
groeien tot een disperse schokgolf, is het al dan niet mogelijk om
een disperse schokgolf op te wekken in een schokbuis.
-40-
2.4. DISPERSE SCHOKGOLF IN EEN STOFWOLK-MODEL.
In paragraaf 2.2 zijn vergelijkingen opgesteld die de rela~atie
processen in een nevel Beschrijven. Het stelsel is opgelost voor
"frozen" machgetallen groter dan 1. Als begintoestand is gekozen de
situatie juist na de schokgolf (vergelijkingen 2.2,21 t/m 2.2.25).
De vraag doet zich nu voor of dat er ook oplossingen mogelijk zijn
voor Mf ~ 1. In de vorige paragrafen is aangetoond dat er inderdaad
een oplossing mogelijk is voor Mf ~ 1 en Me ~ 1. Daar Mf ~ 1 zal er
geen gewone schok optreden in net gasvormige gedeelte van het mengsel,
maar omdat M ~ 1 Bestaat er voor net mengsel als geheel Bezien een e evenwichtsteestand die aanmerkelijK. verseRilt van de Begintoestand.
Geen enkele grootheid ondergaat meer een sprong maar gaat geleidelijk
naar de eindwaarde. Zo"n golf wordt een disperse schoRgolf genoemd.
Een BescfiTiiving van de dan optredende processen kan worden -verRregen
d~or in plaat~ -van de randvoorwaarden uit paragraaf 2.2 een realistische
infini~esimale Beginverstoring in de grootlieden aan te Brengen. De
verstoringen moeten 'VOldoen aan de Belioudswetten.
1.
1 1.
1.
u/afO 0 . 9 ~-,.!!E:;~
T/TO
1. 03 en
T/T 1. 02 p 0
en
I 0.9
up afO
0.8
Figuur 18:
0 100 200
x in cm
Disperse schokgolf voor een stofwolk model. Begintoestand:
p0 = 1 Bar, T0 = 295 K, K = 0.2, r 0 = 10 vm en het
evenwichtsmachgetal M = 1.08. Mengsel bestaat uit lucht e met glazen Bolletjes (uit Rud69-l.
-41-
Het is nog niet gelukt om uit Itet aangepaste stelsel een numerieke
disperse schok te öepalen. In figuur 18 is een door Rudinger (69)
berekende disperse schok te zien voor een mengsel dat bestaat uit lucht
en glazen bolletjes van 10 ~m (K = 0.2). Zo'n mengsel wordt een stofwolk
model genoemd daar er geen massauitwisseling tussen de componenten
plaatsvindt. In de begintoestand is het mengsel op kamertemperatuur
en heeft een druk van 1 bar. Het schokmachgetal is Mf = 0.95 corres
ponderend met M = 1.08. e
•
-42-
3. NEVELVORMING DOOR MIDDEL VAN EEN ADIABATISCHE EXPANSIE.
In dit hoofdstuk wordt in het kort een overzicht gegeven van de
processen die een rol spelen bij de nevelvorming. Door Geerts (81)
is de theorie uitgebreid besproken maar er zijn enkele aspecten
onderbelicht gebleven. Mistvorming kan geschieden door een mengsel
van waterdamp en stikstof via een snelle adiabatische expansie in
temperatuur te verlagen. Het moment waarop condensatie optreedt
hangt sterk af van het al dan niet aanwezig zijn van condensatiekernen.
Bij heterogene condensatie zijn de kernen vreemde deeltjes, zoals
stofdeeltjes, en is een geringe oververzadiging voldoende om
condensatie te doen plaatsvinden. Omdat hier de dampdruk p vrijwel V
gelijk is aan de evenwic~tsdampdruk p spreken we van evenwichtss
condensatie. Bij homogene condensatie zijn geen vreemde deeltjes
aanwezig die als condensatiekernen kunnen fungeren. Er zullen kernen • gevormd moeten worden uit losse dampmolekulen die zich samenvoegen
tot clusters. Dat kost tijd, zodat het niet verwonderlijk is dat er
pas condensatie optreedt als de verzadigingsgraad s, die gedefinieerd
is als s = p /p , groter is dan 1. Dit type condensatie wordt dan V S
ook niet-evenwichtscondensatie genoemd. In dit hoofdstuk wordt de
homogene condensatie besproken.
Het condensatieproces is te verdelen in een drietal stadia.
Het eerste stadium omvat de vorming van condensatiekernen uit losse
dampmolekulen (KOT78,AND69}. Deze situatie blijft gehandhaafd totdat
de condensatiekernen een kritische grootte hebben bereikt. Het
mengsel is dan oververzadigd. Het condensatieproces komt dan in
stadium twee. De druppeltjes groeien vanaf de kritische straal
totdat de niet-evenwichtscondensatie (p /p > 1) overgaat in V S
evenwichtscondensatie (p /p = 1} (GYA63). In het derde stadium is V S
er sprake van quasi-evenwichtscondensatie (HAA80,SIS75).
Zoals in de inleiding al is gemeld,behelst het onderzoek:
schokgolfvoortplanting door een nevel. Om kwantitatieve uitspraken
over de gedragingen van de nevel na het passeren van de schokgolf
mogelijk te maken, dienen we parameters die de nevel karakteriseren
vast te leggen. Belangrijk is ook om na te gaan of de nevel homogeen
over de buis is verdeeld. Homogeniteit heeft daarbij betrekking op
-43-
deeltjesdichtheid en druppelgrootte verdeling. Bovendien dient deze
toestand gedurende een voldoend lange tijd te bestaan. In het tweede
gedeelte van dit hoofdstuk wordt een toestand berekend waarvoor geldt
dat alle grootheden die de nevel beschrijven over een voldoend lange
tijd constant zijn en waarbij tevens de snelheid van het mengsel
gelijk is aan nul.
3.1. HOMOGENE CONDENSATIE.
We volgen in grote lijnen de behandeling zoals gegeven door Cole (79)
en Modell (74). Homogene condensatie treedt op onder niet-evenwichts
condities. We beschouwen een bolvormige druppel vloeistof met straal r,
druk p1 en temperatuur T1, omgeven door een oppervlaktelaag met
druk p en temperatuur T en door damp van dezelfde vloeistof, met druk cr cr p en temperatuur T . Voor zo'n systeem in evenwicht geldt dat
V V T• = T = T
1 = T en uit thermodynamische beschouwingen volgt dat v cr
moet worden voldaan aan de voorwaarde dat de beschikbare arbeid A
C'ava.ilability") een extremum moet hebben.
dA = 0 (3.1.1)
met A = U + p0V - T0s waarin U de inwendige energie, V het volume
en S de entropie van het systeem is. A is een maat voor de maximale
arbeid die een systeem kan verrichten tijdens een verandering met
vaste druk p0 (hier dus gelijk aan pv) en temperatuur T0. Uit
vergelijking 3.1.1 volgt dat voor evenwicht ook moet gelden dat de
vrije enthalpieên per mol voor de vloeistof g1, het oppervlak g0
en de damp g aan elkaar gelijk zijn. V
(3.1. 2)
Voor het systeem in de buurt van evenwicht kan worden afgeleid
(COL79) dat:
2 3 RT p . 2 t,.A = 41Tcr (- !.__ - ln ( ~) + r )
3 crv1 ps (3.1.3)
met cr de oppervlaktespanning, v1 het volume van 1 mol vloeistof en
R de specifieke gasconstante. t,.A is in figuur 19 uitgezet als functie
van r voor de gevallen pv/Ps ~ 1 en pv/Ps > 1. Er treedt alleen een
-44-
I IPv
1 I -----< I Ps
!:!.A I I
I
I I
I I
I I
/
""
r* r
Figuur 1~: !:!.A als functie van r.
maximum op als p /p > 1. Voor dit extremum geldt dat d(!:!.A)/dr = 0 V S
waaruit volgt dat het maximum optreedt voor de straal r van de
druppeltjes gelijk aan:
• 2crv 1 Pv -1 r* = -- (ln(-)) RT p
V S
(3.1.4)
.Deze vergelijking wordt de formule van Kelvin genoemd. Druppeltjes
ter grootte van r* zijn in een instabiel evenwicht. Als door
fluctuaties het druppeltje iets groter wordt dan r* zal het druppeltje
gaan optreden als condensatiekern en uitgroeien tot een macroscopische
druppel. Wordt het druppeltje echter iets kleiner dan de kritische
straal dan zal het druppeltje verdampen.
We nemen aan dat het moment waarop condensatie optreedt wordt bepaald
door de snelheid waarmee condensatiekernen gevormd worden. Voor onze
doeleinden is dit samen met de druppelgroei he~ belangrijkste proces
zodat hier meer aandacht aan zal worden gegeven. Aan de evenwiehts
condensatie zal geen aandacht worden geschonken.
Kernvorming kan beschouwd worden als een kinetisch proces waarbij
een cluster van dampmolekulen en een dampmolekuul zich door
intermolekulaire interacties samenvoegen tot een grotere cluster.
De algemene vorm van zo'n reactie luidt:
(3.1.5)
waarbij A. een cluster van i dampmolekulen is. Er wordt verondersteld 1
-45-
dat alleen bimoleculaire processen voorkomen zodat voorn., de 1
dichtheid van clusters A., geschreven kan worden: 1
dn. 1 I I (1' ' 2) dt = i - i+l 9
dn1
-=-I dt 2
(3.1.6)
(3.1. 7)
waarin I. de vormingssnelheid van A. is ten gevolge van interacties 1 1
met A. 1 : 1-
I. = c. 1n. 1
- e.n. 1 1- 1- 1 1
(3.1. 8)
Hierin is c. 1
de snelheid waarmee molekulen condenseren op een 1-
cluster A. 1 en e. de snelheid waarmee molekulen verdampen van een 1- 1
cluster A .. Condensatie treedt op als het groeiproces van combinatie 1
~t vervalproces van dissociatie overheerst. De grootte-verdeling
van de clusters verandert in de tijd waarbij de grotere clusters
in aantal toenemen. Heeft een cluster de kritische grootte A*
oereikt dan zal deze door fluctuaties rond evenwicht of anderszins
kunnen doorgroeien tot een druppel van macroscopische grootte.
We veronderstellen nu een stationaire toestand waaroij de grootte
verdeling van de clusters weliswaar constant blijft maar er toch
een constante flux door de verschillende clustergroottes plaatsvindt.
Clusters boven een bepaalde grootte verdwijnen en het aantal enkele
dampmolekulen
dn.
wordt constant gehouden. We veronderstellen dus:
1 - 0 dt -
en I. = constant = I 1
(3.1. 9)
(3.1.10)
Deze veronderstelling is gerechtvaardigd als de relaxatietijd die
nodig is om tot een stationaire toestand voor de concentratieverdeling
van clusters te komen enkele ordes kleiner is dan de karakteristieke
tijd waarin zich veranderingen in de stroming in de schokbuis voltrekken.
Voor onze experimenten is deze veronderstelling gerechtvaardigd UKOT78l,
De flux wordt de stationaire toestand kernvormingssnelheid genoemd.
Onder de veronderstelling dat de clusters groot genoeg zijn om het
vloeistof-druppel-model te mogen toepassen heeft Volmer (39) voor de
kernvormingssnelheid gevonden:
I = z c
met Z = c
-46-
(3.1.11)
waarin vml het volume van een vloeistofmolekuul, ac de fractie van
de molekulen die na een botsing met een cluster aan de cluster blijven
plakken en k de Boltzmannconstante is. m is de molekuulmassa.
Hebben clusters een kritische grootte bereikt dan wordt het
uitgroeien tot een druppel bepaald door massa- en warmteuitwisseling
tussen druppel en omgeving. Gyarmathy (GYA63) heeft voor de groei
van druppeltjes groter dan r* de volgende formule afgeleid:
dr 1 r* L2
1 + p-pv RvT 1 }-1 lnCpPv) Pldt = -(1--){--2 _;:;....__ D
r r · ÀRT l+a Kn P Pv l+a Kn s t c
(3.1.12)
• waarin p 1 de dichtheid van water en L de verdampingswarmte is. Verder
zijn er nog een tweetal factoren aanwezig die de warmtegeleidings
co~fficiënt À en de diffusiecoëfficiënt D corrigeren voor grote
Knudsengetallen. Het Knudsen-getal Kn is gedefinieerd als 1 /r m waarbij 1 de gemiddelde vrije weglengte van de dampmolekulen in
m het mengsel is en r de straal van de druppeltjes. Door fluctuaties
van de straal r rond r* en door het kleiner worden van r* ten
gevolge van het verder expanderen van het mengsel (p /p wordt V S
groter dus r* wordt kleiner), kan de straal r groter dan r* worden.
Het aangroeien van de druppeltjes volgens deze-vergelijking gaat
door totdat p /p = 1. Dan wordt verondersteld dat de condensatie V S
quasi-statisch verloopt en dat de nevel in evenwicht is met zijn
omgeving.
We beschouwen nu formule 3.1.11 eens nader. De belangrijkste
term is de e-macht. De factor voor de e-macht verandert relatief
weinig tijdens het expansieproces. Nemen we nu aan dat op liet moment
dat condensatie optreedt, I steeds een constante waarde Iieeft dan
geldt dat het argument van de e-macht een zekere vaste waarde
moet bereiken:
4 r* 2 - 3"'ITO"""'"ff = konstant (3 .1. 13)
-47-
Substitutie van uitdrukking 3.1.4 voor r* geeft dan: 3
log s on ex T -z
on
Op grond van deze redenering ziet men vaak experimenteel gevonden _l_
waarden van s uitgezet tegen T 2 (on="onset"). on on Echter, de redenering is te eenvoudig. Het tijdstip
waarop condensatie optreedt wordt namelijK niet Bepaald door
een kritiscfie Rernvormingssnelfieid maar door het
moment waarop dampmolekulen gaan condenseren op deze condensatiekernen.
Een beter criterium voor het ontstaan van condensatie is dan ook
dat de oververzadiging s, en dus ook de kernvormingssnelheid I
een maximum bereiken. Sislian (75) heeft de invloed onderzocht van
de steilheid van een expansie (figuur 20) op deze maxima door op
verschillende afstanden van het diafragma waar de expansie wordt
opgewekt, de toestand te liepalen Hij berekende de verzadigingsgraad s
(figuur 22), de kritische kernvormingssnelheid I (figuur 23), het
aantal druppeltjes N (figuur 24), de druppeldichtheid p (figuur 25) p
en de straal van de druppeltjes r (figuur 26) voor een gegeven verloop
van de temperatuur in de tijd (figuur 21).
0.7
. ·.· 0.6
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
---- t/1.2 in msec. t/1.2 in msec.
Figuur 20:
De dimensieloze druk p/p0 als
functie van de tijd t
(uit lSis75I _(p0=o. 89 bar).
Figuur 21:
De dimensieloze temperatuur T/T0 als functie van de tijd t
(uit Sis7sie_r0=295.3 KI.
-48-
s
80
60
20
0.3 o.s 0.7 0.9
t/ 1. 2 in msec.
• Figuur 22:
De verzadigingsgraad s als functie
van de tijd t (uit Sis75).
1017 .----------------.
N
(1/gram)
t/1. 2 in msec.
Figuur 24:
Het aantal waterdruppeltjes N per
gram mengsel als functie van de
tijd t (!lj.t Sis75),
(
I 1
cm3sec )
w
lOib
1015
lOH
0.2 0.4
t/1.2 inmsec .
Figuur 23:
De kritische kernvormingssnelheid
I als functie van de tijd t
(uit Sis75).
p
0.8
__ ___,..,t/1.2 in msec.
Figuur 25: De gecondenseerde waterfractie w
p
als functie van de tijd t
(uit Sis7SI.
-49-
10-5.--------------.
on
r
(cm)
0.2 o-.6 0.8
t/1.2 in msec,
F~guur 26: De straal van een druppeltje r als functie van
de tijd t (uit Sis75)
In de figuren 20 t/m .26 zijn een aantal grootheden uitgezet als
functie van de tijd l~ngs een deeltjesbaan die
ontspringt op: a 5 cm van het diafragma,
b 10 cm van het diafragma
en c 20 cm van het diafragma. Het mengsel dat
wordt geëxpandeerd heeft in de begintoestand een druk p0
(0.89 bar),
een temperatuur T0 (295.3 K) en een verzadigingsgraad s0 (0.96).
Het bereiken van het maximum in s en I wordt mede bepaald door de
groeisnelheid van de druppeltjes met straal r =r*. De groeisnelheid
van de druppeltjes is volgens uitdrukking 3.1.12 evenredig met r-r*.
De groei ontstaat doordat r* daalt, en is dus des te groter naarmate
(-dT/dt) groter is. Als gevolg daarvan zal het maximum eerder worden
bereikt (gemeten vanaf het moment dat oververzadiging ontstaat)
naarmate (-dT/dt) groter is (figuur 22). Doordat de verzadigingsgraad
s exponentieel van de temperatuur afhangt zal de maximum waarde
vans toch groter zijn bij grotere (-dT/dt). Daardoor is I groter on en ontstaan meer druppeltjes van een geringere diameter (figuren
23, 24 en 26).
-50-
3.2. BEREKENINGEN AAN EXPANSIES.
De experimenten zijn verricht in de lage-druk sectie, een stalen buis
met een vierkante dwarsdoorsnede A0 van 0.01 m2 en een lengte L van
7.76 m (figuur ~7a). Deze buis, die aan beide uiteinden via twee
afsluitende folies verbonden is met twee andere volumina, de hoge
druksectie en het expansievat, wordt tot 1 bar gevuld met een
mengsel van waterdamp 3 (0.4 m ) wordt op een
hogere druk gebracht.
en stikstof. Het expansievat met volume V exp lagere druk en de hoge-druk sectie op een
Door op tijdstip t=O het vlies tussen de
lage-druk sectie en het expansievat te openen, stroomt het gas via
de uitstroomopening ~eel het expansievat in en expandeert het
mengsel in de lage-druk sectie. De temperatuur van het mengsel
wordt hierdoor verlaagd en afhankelijk van de diepte van de expansie
en de hoeveelheid waterdamp zal al of niet waterdamp condenseren • tot waterdruppeltjes. Is er gedurende enkele tientallen milliseconden
een constante toestand van waterdruppeltjes, waterdamp en stikstof
in de buis aanwezig dan wordt het membraan tussen de hoge- en de
lage-druk sectie geopend en gaat er een compressiegolf lopen in de
positieve x-richting. Deze schokgolf plant zich dan voort door een
nevel. We zullen ons nu beperken tot het vastleggen van dusdanige
begincondities dat er gedurende een voldoend lange tijd een constante
toestand van waterdruppe~tjes, waterdamp en stikstof in de buis
aanwezig is.
Er zijn een viertal eisen waaraan het experiment moet voldoen:
1. de nevel moet homogeen over de buis verdeeld zijn,
2. de nevel moet reproduceerbaar zijn,
3. de nevel moet bestaan uit waterdruppeltjes en niet uit ijskristallen en
4. de toestand moet gedurende enkele tientallen milliseconden
constant blijven.
Alvorens we de haalbaarheid en de verwezenlijking van deze eisen
Bespreken, zal eerst behandeld worden wat er in de buis plaatsvindt
nadat op tijdstip t=O het membraan tussen de lage-druk sectie en het
expansievat geopend wordt. De situatie is geschetst in figuur 27b.
Grootheden als de druk p, de geluidssnelheid a, de temperatuur T
en de snelheid van het gas u worden geïndiceerd overeenkomstig de
-51-
nummering van de zones in figuur 27b. We gaan op plaats x=-x de druk m
l h. -d.
volgen in de tijd (figuur27d). Op tijdstip t=O wordt ter plaatse
x=O een vlies geopend wat tot gevolg heeft dat het gas vanuit de
lage-druk sectie het expansievat instroomt en er in de lage-druk
sectie een drukgolf gaat lopen in de negatieve x-richting.
~ ............
V exp
sectie lage-druk sectie Ao IIA
keel
Figuur 27a expansievat
• t
t
t
4
m ----------
0 -x m
x=-x m
P-
t
t
Figuur 27d
t=t Figuur 27c ~--~m~----------~----------------------~
-L -x
Figuur 27a: Schematische meetopstelling.
275: Verloop van de expansiegolf in tijd en in afstand door
de buis.
27c: Drukprofiel over de lengte van de buis ten tijde t=t . m
27d: Drukprofiel in de tijd op plaats x=-x . m
-52-
Zowel het front als de staart van deze expansiegolf planten zich
ten opzichte van het gas voort met de lokale geluidssnelheid a. Ten
opzichte van het laboratoriumsysteem loopt het front van de golf
met een snelheid -a0 en de staart van de golf met een snelheid
u2-a2. De kop van de golf loopt sneller dan de staart wat in het
t-x-plaatje tot uiting komt in de waaiervorm van de twee
grenskarakteristieken. Het zal een tijd t=xm/a0 duren voordat de
expansiegolf x=-x heeft bereikt. Van t=O tot t=x /a0 blijft het m m mengsel ter plaatse in de rusttoestand die gekarakteriseerd wordt
door een temperatuur T0, een druk p0 en een snelheid u0=0 (zone 0).
Daarna volgt er een drukdaling. In de naar links lopende expansiegolf
wordt het mengsel versneld in de positieve x-richting. Deze drukdaling
weergegeven door gebied 1 geschiedt nagenoeg isentropisch en is
alleen een functie van x/t. De einddruk van de expansie p2 en dus
o~k de uitgebreidheid van zone 1 is afhankelijk van de grootte van
de uitstroomopening ~eel (BER82). Op een gegeven moment zal de
staart van de golf de plaats x=-x gepasseerd zijn. Het gas ter m
plaatse bevindt zich dan opnieuw in een gebied van constante
toestand met druk p2, temperatuur T2 en snelheid u2 (zone 2). De
golf reflecteert aan het vlies ter plaatse x=-L en zorgt opnieuw
voor een drukdaling waarbij de snelheid van het mengsel van u2 tot
u4=0 wordt teruggebracht. Toestand 4 is weer een gebied van constante
toestand met druk p4 , temperatuur T4 en snelheid u4=0. Gebied 5 is
een interactiegebied tussen de heengaande en de gereflecteerde
expansiewaaier. Voor het tijdstip t 45 , waar d~ interactie ophoudt
te bestaan, is een analytische oplossing bekend (GLA59) evenals voor
de andere grootheden die reeds genoemd zijn. Door op tijdstip t . d e1n de druk in het expansievat p gelijk te maken aan de druk na de exp gereflecteerde expansiegolf p4 kunnen we bewerkstelligen dat niet
opnieuw een drukgolf..wordt gereflecteerd; toestand 4 blij ft
gehandhaafd.
We keren terug naar de vier eisen die we de nevel stelden. De
homogeniteit van de nevel hangt af van de tijdafgeleide van de
temperatuur (§5.1.31. De reproduceerbaarheid van de nevel is
verzekerd als het mengsel van waterdamp en stikstof goed gemengd
wordt en uiteraard de begincondities constant worden gehouden (§5.1.2).
-53-
Om ervoor te zorgen dat er waterdruppeltjes en geen ijskristallen
gevormd worden, moeten we de temperatuur niet te laag maken. Dit is
te regelen met de grootte van de uitstroomopening en de voordruk in
het expansievat. Hoe kleiner de uitstroomopening des te hoger de
temperatuur T4 . Aan eis 4 wordt voldaan door op t=O een dusdanige
voordruk in het expansievat te brengen dat op tijdstip t=t . d de e1.n dr~k in het expansievat gelijk is aan druk p4 .
We gaan nu een model bespreken waarmee we, afhankelijk van de
grootte van de uitstroomopening ~eel' kunnen berekenen wat de
eindtoestand is en wat de voordruk in het expansievat moet zijn als
we toestand 4 tot eindtoestand willen maken. De volgende vereenvoudi
gingen worden in het model aangebracht. We beschouwen een perfect
gas met R als gasconstante en y als de soortelijke warmteverhouding g
c /c . De expansiewaaiers worden oneindig smal verondersteld pg vg (figuur 28) . •
0 -L
4
-x m
2
_ __,.,.x 0
t . d e1.n
x=-x
P-
Figuur 28: Model voor de berekening aan de expansie.
t
t
Voor het tijdstip waarop de expansiegolf reflecteert, t 40 , is het
tijdstip t 45 gekozen zoals dat in figuur 21fi aangegeven is. Parallel
aan de bevindingen van Berkelmans (82) wordt rekening gehouden met
het effect dat het effectieve uitstroomoppervlak kleiner is dan het
werkelijke oppervlak. Dit effect wordt in de literatuur aangeduid
met "vena contracta" (SHA53). Er dient een oppervlak verkleinende
factor van 0.84 in rekening gebracht te worden. De snelheid van het
gas in het expansievat wordt verwaarloosd. We moeten twee situaties
onderscheiden:
-54-
1. De uitstroming door Akeel geschiedt stationair via een kritische
uitstroming (choking) in de keel. In dit geval is het machgetal
van de stroming in de keel precies 1 en is het massadebiet
onafhankelijk van de druk in het vat. In de keel bezitten de
toestandsgrootheden een kritische waarden (index kr). We veronder
stellen een kritische uitstroming als de druk in het expansievat
lager is dan de kritische druk.
2. De uitstroming geschiedtinstationair. Dit treedt op als p hoger exp
•
is dan de kritische druk. Dit geval vereenvoudigen we op de volgende
manier (figuur 29).
I I
p~,
-x 1
Figuur 29: Model voor de instationaire uitstroming.
De druk in de keel stellen we gelijk aan de druk in het expansievat.
We veronderstellen een stationair gedeelte tussen de keel en
plaats x=-x1
waar de stroming contraheert van een dwarsdoorsnede A0 naar een dwarsdoorsnede Akeel en een instationaire stroming tussen
x=-x1
en x=-x2. Links van -x2 heerst gedurende de gehele expansie
toestand 2. Bij de bepaling van p2, p4 en pkr wordt er vanuit gegaan
dat juist na tijdstip t=O choking optreedt in Akeel" Voor kleine
uitstroomopeningen wordt hier niet aan voldaan.
De .V.Etrgelijkingen, die voor dit model kunnen worden opgesteld,
worden in appendix B geven. Hier worden slechts de resultaten van
deze berekeningen gegeven. In de figuren 30 t/m 34 zijn respectievelijk
p4 , T4, t . d' pk en de voordruk in het expansievat p 0 als functie e1n r exp van ~eel getekend.
-55-
0 . i .2 .3 .4 .s .6 . 7 .s .9 l ~~--~--~~---r--~~--~--~-.1
I
P/Po": \
.:: f
.s I
.S75
. 75
-625
.s
": f .z_
. ' 2 5 L---1.---'----'--~----'----'----'----'----':----" . ' 2 5 0 . ' .z .3 .4 .s 5 .9 .9
.375
-25
• Figuur 30: De druk p4 na de gereflecteerde expansiegolf als
2 functie van de uitstroomopening '\eel (p0=1 bar, A0=1 dm ) .
0 . i -2 .3 .. .s .6 . 7 . 3 .g I I
96 -96
.. T4/To 92 -92
"f .ss
.94 .34
.a .s
. 76 . 76
.72 . 72
-66 -63
-64 .64
6 6 0 . ' -2 . 3 .. .s 6 .~ .9
Akeel/Ao
Figuur 31: De temperatuur T4 na de gereflecteerde expansiegolf als
functie van de uitstroomopening Akeel lT0=293.2 K, A0=1 dm2).
0 3.5
3.4
t . d/to e1n . 3-2
2-9
2-6
2-•
2-2
•
-56-
·I .z . 3 .4 .s .6 . 7 .3 ,g l 3 6
1 ~ 3. 4
3-2
2-9
1 z '
r-4 L.2 I
~~--------~~---~---~~---~---~~~2 .[ -2 .3 .4 .s .s .9 g
Figuur 32: Het tijdstip t . d waarop de staart van de gereflecteerde e1n expansiegolf de buis verlaat als functie van de
uitstroomopening ~eel (t0=22.2 msec, A0=1 dm21
0 .[ .z .3 .4 .s .s .7 .3 .q .54 .S4
.sz
.s
. 43
Pkr/Po :: f
.42 r
.3: ~
.36 r
.34 I
.32
-52
.s
.46
.46
. 44 -
.42
.4
.38
.36
.]4
.32
3'-----'-----'----J...----l.---~---..i.----'---......l...-..1.----l
Figuur 33:
0 .[ .z .3 .4 .s .6 . 7 .9 ,g
De kritische druk in de uitstroomopening pk als functie r 2
van de uitstroomopening Akeel (p0=1 bar, A0=1 dm ).
-57-
0 ., .z .3 . 4 .s ·6 . 7 .a .9 1 1
.g
.3
• 7
.s .6
.s .s
.4 .4
.) r .)
.z .z r ·' . '
0 0 0 ·' . 2 . 3 .4 .s .s . 7 .a .9
'\ 'A ee1 1 0
•
Figuur 34: De voordruk p 0 exp die in het expansievat gebracht moet
worden als functie van de uitstroomopening Akeel
G>o=l fiar, A0;::l dm2).
-58-
4. MEETMETHODEN.
In dit hoofdstuk wordt aandacht besteed aan de meetmethoden die
toegepast werden bij de experimenten aan nevelvorming en aan schokgolf
voortplanting door een nevel in een lange buis. Allereerst zal een
beschrijving gegeven worden van de gehele opstelling. Daarna zullen
verschillende meetinstrumenten uitgebreider worden besproken. In
paragraaf 4.2 zal in het kort de procedure gegeven worden die leidt
tot het kunnen doen van een experiment.
4.1. MEETOPSTELLING.
De meetsectie bestaat uit een 7.76 m lange roestvrij stalen buis met
een vierkante dwarsdoorsnede van 0. lxO. 1 m2 (figuur 35) . Aan de ene
kant is deze buis via een variabele uitstroomopening verbonden met het
expansievat met een volume van 0.4 m3 terwijl de meetsectie aan de . .
andere kant verbonden is met een 2.52 m lange buis, de hoge-druk
sectie. De drie volumina zijn van elkaar gescheiden door polyester
vliezen van het merk Melinex die een dikte van 0.0236 mm hebben en
een overdruk van 1.5 bar kunnen verdragen. De lage-druk sectie kan,
naast met een rotatiepomp zoals de andere volumina, ook worden
geëvacueerd met een diffusiepomp tot een druk van 10-l Pa. De meetsectie
kan worden gevuld met waterdamp uit een watervat en worden aangevuld
tot 1 bar met stikstof uit een gasfles. Voor het reproduceren van
de metingen dient dit mengsel goed gemengd te worden. Daartoe bevindt
zich_ onder het lage-druk gedeelte een retourle_iding waardoor de
damp en het gas kunnen rondstromen en daardoor worden gemengd. Het
expansievat wordt op een lagere en de hoge-druk sectie op een
hogere druk ingesteld. De twee afsluitende membranen worden na
elkaar met een verhitte metaaldraad doorgebrand (BER82). Om een
goede reproduceerbaarheid te waarborgen is gekozen voor een hoog
electrisch vermogen zoals dat geleverd kan worden door een
lastransformator.
In de wand van de meetsectie zijn een aantal vensters aangebracht
en wel op 1.55, 3.12 en 5.13 m van de uitstroomopening bij het
expansievat waardoor via optische meetinstrumenten gekeken kan
worden naar de processen die er spelen. Zo wordt de dichtheid van
het gas gemeten met een Mach-Zehnder interferometer (§4.1.1) en met
floppydisk
•
He-Ne-laser
retourleiding
He-Ne-laser
He-Ne-laser
x/y
schrijver
1 ln (.() 1
-60-
een andere laseropstelling wordt de extinctie van een laserbundel
door afbuiging en wegvanging van licht door waterdruppeltjes gemeten
04.1.2). Bij de vensters zijn ook Kistlex-drukopnemers bevestigd.
Zij kunnen snelle drukveranderingen registreren. Dit zijn pi~zo
electrische kristallen die ladingen afgeven die evenredig zijn met
de drukveranderingen. Deze ladingen worden versterkt door een
ladingsversterker. Op de kristallen is een isolerende en vocht afwerende
laag aangebracht. De druksignalen en de signalen van de fotodetectoren
waarmee de intensiteit van het laserlicht wordt gemeten, worden alle
in de vorm van electrische spanningen opgenomen met een difa-transient
recorder, een digitaal geheugen. De opgenomen meetgegevens l~unnen door
een computer worden uitgelezen, permanent worden opgeslagen op floppy
disk en op willekeurige tijdstippen worden verwerkt (VRI83). De
verwerkte gegevens kunnen via een digitale-analoog converter (DAC)
op een x-y-schrijver worden uitgetekend of op een printer worden
uitgeschreven.
4.1.1. De Mach-Zehnder interferorneter.
De Mach-Zehnder interferorneter, die schematisch is weergegeven in
figuur 36, is een optisch instrument waarmee via interferentie van
twee laserBundeisde dichtheid van het gas in de buis bepaald kan
worden. Lineair gepolariseerd licht van een 15 rnW He-Ne-laser valt
via een spiegel op een halfdoorlatende spiegel. Deze splitst de
bundel in een referentie bundel en een rneetbundel. De meetbundel
loopt via de vensters in de buis door het gas.- Dichtheidsveranderingen
in het gas veroorzaken faseverschuivingen van het licht volgens:
waarbij ö~
1
À
K
(4.1.1.1)
= faseverschuiving van het licht,
=door het licht afgelegde weg in het gas (1=0.1 m),
=golflengte van het licht (À=6328 A),
= Gladstone-Dale coëfficiënt (voor stikstof: K=2.38xl0- 4 rn3/kg)
en öp = dichtheidsverandering.
De referentie- en de meetbundel interfereren op de tweede halfdoorlatende
spiegel. Door gebruik te rnaken van een À/4-plaatje en twee polarisatoren
zijn de signalen van de fotodioden ~/2 uit fase. Hierdoor zijn
-61- fotodiode-2
spiegel
laser
ref rentie bun el
À/4 plaat
meetsectie
halfdoorlatende • spiegel
polarisatoren
fotodiode-!
halfdoorlatende spiegel
meetb ndel
spiegel
Figuur 36: De Mach-Zehnder interferometer.
dichtheidstoe- of dichtsheidsafname eenduidig te bepalen (GEE82).
Waterdruppeltjes worden verondersteld geen invloed te hebben op de
dichtheidsmeting. De theorie over de interferometer wordt behandeld
door de Vries (83}.
4.1.2. Meting van de verzwakkingscoëfficiënt.
Bij expansies door een mengsel van waterdamp en stikstof treedt
nevelvorming op. Deze nevel kan worden gedetecteerd door een laserbundel
door de nevel te leiden en daarvan de verzwakking te meten. Deze is
afhankelijk van het aantal druppeltjes N, de grootte van het oppervlak
van de dwarsdoorsnede van een druppeltje ~r2 , de lengte 1 van de weg
die de bundel door de nevel aflegt en een factor Q, de verzwakkings
efficiency, die gedefinieerd is als de verhouding van 1. de door
het deeltje weggevangen en afgebogen lichtenergiestroom en 2. de
totale energiestroom die op een deeltje valt d.w.z. de energiestroom
in een deel van de lichtbundel met dezelfde doorsnede als het deeltje.
Voor grote deeltjes (straal veel groter dan de golflengte van het
opvallende lichtl geldt volgens Babinet's principe dat er aan de
-62-
rand van het deeltje precies evenveel licht afgebogen wordt als er
door het deeltje weggevangen wordt. Voor deze deeltjes geldt dan dat
de verzwakkings-efficiency Q = 2. Voor deeltjes met een straal in
de orde van de golflengte van het licht treedt een ander verschijnsel
op dat door Van de Hulst (57) "anomale breking" wordt genoemd. Door
interferentie tussen een deel van de bundel die midden door het
druppeltje gaat, en dus een faseverschuiving ondergaat, en het
ongestoorde veld wordt Q een functie van de straal van het druppeltje.
In figuur 37 is Q als functie van r getekend voor de brekingsindex
van water. De kleine oscillaties op de hoofdoscillatie wordt
waarschijnlijk veroorzaakt door interferentie met de voorwaartse
gloriestralen.
• 4
3
1 2 3 4 5 r in l..IID
Figuur 37: De verzwakkings-efficiency Q als functie van r voor de
brekingsindex van water (1.33)(uit:Hulst57).
Een grootheid die onafhankelijk is van de afmetingen van de wolk
waterdruppeltjes is de verzwakkingscoëfficiënt ~. Deze is gedefinieerd
als:
2 ~ = Q 1rr N (4.1.2.1)
-63-
De intensiteit I van het licht dat in de de~ector valt, wordt gegeven
door:
I = I0
exp ( -lç;) ( 4. 1. 2. 2)
Wordt in dit verslag voor de transmissie van het licht, gedefinieerd
als TR = I/I0, een waarde genoemd dan geldt steeds dat 1 = 0.1 m.
Nadat het licht is afgebogen,wordt door een diafragma verhinderd dat licht 1 -7 dat onder een hoek groter dan 4 x 10 sr. wordt afgebogen, in de
detector valt. Tussen dit diafragma en de detector bevindt zich
nog een lens, die bewerkstelligt dat de laserbundel geconcentreerd
tot een punt op de detector valt .
•
-64-
4.2. WATERDAMP ABSORPTIE.
•
Om ervoor te zorgen dat tijdens het experiment homogene condensatie
optreedt wordt de lage-druk sectie gedurende enige tijd (ongeveer 30
minuten) door middel van een olie-diffusie pomp op een druk
gehouden van
oeRende druk
-1 10 Pascal. Daarna wordt er waterdamp
en wordt de buis Bijgevuld tot 1.0 bar
ingelaten met
met stikstof.
Het mengsel wordt veTVolgens goed gemengd door het gedurende een
uur rond te pompen via een retourleiding. Ondertussen worden het
expansievat en eventueel de hoge druksectie op de gewenste drukken
georacfit, Zijn liet gas en de damp goed gemengd dan wo~den de
meetinstrumenten opeTati:oneel gemaakt. Het schot, zoals we een
exper~ent noemen, wordt verkTegen door met behulp van een
lastransf0rmator achtereenvolgens het membraan bij het expansievat
en ongeveer 70 à 160 milliseconden later eventueel het membraan
BTj de hoge-druk sectie dooT te Branden, Hierdoor wordt het gas-
damp-mengsel geêxpandeerd en wordt er, mits de condities gunstig
zijn, een nevel gevormd. !s de toestand van waterdruppeltjes,
vrateTdamp en stikstof constant gedurende enkele tientallen milli
seconden dan wordt er met oeliulp van de hoge-druk sectie een schokgolf
opgeweRt,
Een belangrijke parameter is de hoeveelheid waterdamp in de
Buis. Zoals al is gezegd wordt een uur voordat een schot wordt
gedaan een fiekende hoeveelheid waterdamp in de buis gebracht.
Gedurende liet rondpompen wordt er waterdamp door de kunststoffen
delen in de fiuis geaBsorlieerd. De absorptie van waterdamp kan
een drukdaling~an ongeveer 250 Pa te weeg Brengen bij verzadigings
g~aden p lp in de Buurt van 1. De waterdampdruk dient hiervoor -y s gecorrigeerd te worden, Om een indruk te krijgen van de hoeveelheid
geaosorBeerde waterdamp als functie van de beginwaterdampdruk zijn
regelmatig experimenten -verricht waarBij gedurende een uur de
waterdampdruk (waterdamp wordt niet aangevuld met stikstof) als
functie -van de tijd gemeten wordt. Hierbij wordt verondersteld
dat stiRstof geen invloed heeft op de hoeveelheid geabsorbeerde
waterdamp. De onnauwkeurigheid in de bepaling van deze geabsorbeerde
hoeveelheid waterdamp bedraagt ongeveer 60 Pa.
-65-
5. RESULTATEN.
Het merendeel van de experimenten was gericht op het verkrijgen van
een stilstaande hornogene nevel in de schokbuis gedurende een voldoend
lange tijdspanne (enige tientallen milliseconden). Deze metingen
worden Besproken in paragraaf 5.1. Daarnaast zijn ook enkele
experimenten uitgevoerd waarbij een schokgolf wordt opgewekt door
een nevel. In paragraaf 5.2 wordt een meting vergeleken met numerieke
berekeningen uit paragraaf 2.2.
5.1. NEVELVO&MINGSEXPERIMENTEN.
In paragraaf 5.1.1 zal een experiment uitvoerig worden besproken.
Hierna zal in paragraaf 5.1.2 en 5.1.3 respectievelijk de reproduceer
baarheid van de nevel en de homogeniteit van de nevel in zowel de
dwars- als de lengterichtingvande buis aan de orde worden gesteld . •
In paragraaf 5.1.4 wordt besproken in ~oeverre het mogelijk is
golfreflecties aan het buis-einde té onderdrukken door een geschikte
keuze van de begindrukken in de Buis en het expansievat. In paragraaf
5.1.5 vergelijken we onze metingen met die van andere onderzoekers.
Er zal Bekeken worden of dat de waarden van de verzadigingsgraad s
en de temperatuur T zoals die heersen op het moment dat condensatie
optreedt, overeenkomen met de theorie van Volmer. De transmissie
signalen worden nader bekeken in paragraaf 5.1.6. In figuur 38 is de
configuratie geschetst zoals die in de komende paragrafen gebruikt is.
venster venster venster 2 1
9 0 I
I ~ I
I .I I 1.55 ~ 14 ~ I 3.12 rn ex ansievat 5.13 rn
7.76 rn
Figuur 38: Schematische tekening van de rneetsectie.
-66-
5.1.1. Uitgewerkt experiment.
Uit een drukmeting, een meting van de transmissie van een lichtbundel
door de nevel en een dichtheidsmeting met de Mach-Zehnder interfera
meter kan, zij het met een grote onnauwkeurigheid, de druppelgrootte
en de deeltjesdichtheid geschat worden. De meting is verricht op
1.55 m van het diafragma (venster 1) en met een uitstroomopening
van 0.36 dm2. De begincondities in de meetsectie zijn als volgt:
p0 = 1.0 bar, T0 = 294 K en s0 = 0.80. De voordruk in het expansievat
is 0.54 bar. In figuur 39 op de volgende bladzijde is de meting
geheel uitgetekend. In figuur 39a,b zijn de twee fotodiode-signalen
van de Mach-Zehnder interferometer getekend. Zetten we deze twee
signalen tegen elkaar uit op een x-y-schrijver dan krijgen we een
Lissajous figuur (figuur 39h). Hieruit kunnen we door in de tijd
het signaal te volgen de dichtheid berekenen (vergelijking 4.1.1.1) . • De dichtheid als functie van de tijd is in figuur 39d gegeven. Samen
met de druk (figuur 39c) en deze dichtheidsberekening kan via de ideale
gaswet de temperatuur bepaald worden (figuur 39e). In figuur 39f is
de transmissie getekend. De afstand 1 die het laserlicht in de buis
aflegt is 0.1 m. In figuur 39g is log p/p0 uitgezet tegen log p/p0 .
De bespreking van de vorm van de krommen heeft al gedeeltelijk
nlaats gefiad in paragraaf 3.2. Er werd daar onder andere aangenomen dat
de expansie adiaoatiscfi verloopt. Uit figuur 39g blijkt dat dit een
redelijke veronderstelling is totdat er waterdruppeltjes gevormd
worden. Daarna treden afwijkingen op en liggen de meetpunten van
de druk en de dichtheid niet meer op de lijn met richtingscoëfficiënt
1.4. We zetten onze bespreking voort op het moment dat condensatie
optreedt. In figuur 39f kunnen we het moment van condensatie bepalen
uit de afname van de intensiteit van het doorgelaten licht. Deze
afname van de intensiteit kunnen we ook constateren in figuur 39h,
de straal van de cirkel wordt kleiner (VRI83). Bij de overgang van
waterdamp naar water komt warmte vrij. Hierdoor wordt de temperatuur
van het mengsel verhoogd. Deze plotseling vrijkomende energie geeft
een kleine verhoging in de druk en de dichtheid ( in dit experiment
is dit niet waarneembaar). Door de temperatuurverhoging te bepalen
kan bij benadering de hoeveelheid water worden berekend uit:
p L = p c t.T p 0 g vg (5.1.1.1)
•
F.D.
t
1. o.f--""'\
PI Po
I 0.6 1.0
T/~00.8
1.0
TR
I o.s
0 1 50 100
---"--- t in msec r--------~o,.~5~~~~1 1
Figuur 39 g
F.D.2 0.5
Figuur 39 a
Figuur 39 b
Figuur 39 c
Figuur 39 d
Figuur 39 e
Figuur 39 f
150
Figuur 39 h F.D,l
Figuur 39: De M.Z. fotodiode-signalen (a,b), de druk (c), de dichtheid
(d), de temperatuur (e] en de transmissie (f] als functie
van de tijd en een log p-logp -plaatje (g) en een Lissa
jous-figuur (hl van een expansie van een mengsel bestaande
uit waterdamp en stikstof in een buis met een uitstroomopening
van 0.36 dm2 . De begincondities zijn p0
=1.0 bar, T0=294 K,
s0=0.80 en p 0=0.54 bar. exp
-68-
Aangezien de verdampingswarmte L0 = 3.lxl06 J/kg, de soortelijke
warmte bij constant volume van het gas c = 742.3 J/kg K, de vg 3
gasdichtheid op het moment van condensatie p = 0.79 kg/m en g3
~T = 22 K vinden we voor p : p = 0.0042 kg/m . p p De intensiteitsafname van het licht ten gevolge van de aanwezig-
heid van de waterdruppeltjes, zoals weergegeven in formule 4.1.2.2,
kunnen we herschrijven in:
p 3 I = I 0 exp (-~-- Q 1)
p 1
4r (5.1.1.2)
Uit figuur 39f kunnen we I/I0 in de eindtoestand aflezen, I/I0 = 0.67.
Met de veronderstelling dat Q = 2 en dat de druppelgrootte-verdeling
vrij smal is, vinden we voor de straal van de druppeltjes: r = 1.6 ~m.
Deze grootte van de straal is in redelijke overeenstemming met wat
(GEE81, MIE82, BAR76).
uiteraard de voorkeur. 3
we verwachten op grond van andere experimenten
E~n rechtstreekse druppelgrootte bepaling heeft
Het aantal druppeltjes is ongeveer 7xl011 per m .
5.1.2. Reproduceerbaarheid van de nevel.
In de figuren 40 en 41 zijn twee experimenten gegeven waarbij de
begincondities hetzelfde zijn gehouden. Voor beide experimenten is
op twee plaatsen in de buis (op 1.55 men 3.12 m van het diafragma)
de druk en de transmissie van licht aan waterdruppeltjes gemeten.
Er z~Jn geen dichtheidsmetingen verricht. De begincondities voor
de meting van figuur 40 zijn: s0 = 0.72, T0 = 294.0 Ken p0 = 1.0 bar.
Verder vindt bij venster 1 condensatie plaats als T 1 = 249.6 K en on s = onl 13.71. Bij venster 2 vindt condensatie plaats als T 2 = 251.4 K on en s 2 = 11.82. Voor de on T0 = 294.4 Ken p0 = 1.0
meting van figuur 41 geldt: s0 = 0.70,
bar en treedt condensatie op bij T 1 = 250.5 K on mets 1 = 12.71 enT 2 = 252.0 K mets 2 = 11.20. Grootheden die on on on zijn geïndiceerd met een 0 geven de toestand weer juist voordat de
expansie plaats heeft. Grootheden die de situatie karakteriseren op
het moment dat condensatie optreedt hebben index on (onset). De
tweede index geeft het venster weer waar de meting is verricht. De
overeenkomsten van zowel de drukken als de transmissiesignalen voor
de twee metingen zijn treffend.
-69-
p/r o.:r ~------------- ~~ l: TR 1
t
0.5 ~~ r
j: I I
TR 1.------0.4
0 ~0 Iofj' 150 200 t in msec
Figuur 40: Druk- en transmissiemetingen op 1.55 men 3.12 m van het
diafragma met óegincondities: s0
= 0.72, r0
= 294.0 Ken
• p0 = 1.0 bar. Bij venster 1 (1.55 m) treedt condensatie
op als T 249.6 Ken s0
n· 1 .= 13.7l.en biJ. venster 2 onl -(3.12 m} is T
2 = 251.4 Ken s 2 = 11.82. on on
l.Or PIPo ----
t ~------0.4 1.0----..._..
TR
l 0. 5
1~ 1:
1.0 <: tTl
z (/)
'""'l
TR tTl
;Al
['.;,) t 0.4
0 50 100 150 200
:t in msec
Figuur 41: Druk- en transmissiemetingen op 1.55 men 3.12 m van het
diafragma met begincondities: s0 = 0.70, r 0 = 294.4 Ken
p0 = 1.0 bar. Bij venster 1 (1.55 m) treedt condensatie
op als Tonl = 250.5 Ken sonl = 12.71 en bij venster 2
(3.12 ml is T 2 = 252.0 Ken s 2 = 11.20. on on
-70-
5.1.3. Homogeniteit van de nevel.
Voor latere experimenten met schokgolven door nevels is de homogeniteit
van de nevel over"de buis van belang. De (in)homogeniteit zowel in
de dwars- als de lengterichting van de buis is onderzocht.
Homogeniteit in de dwarsrichting.
De homogeniteit in de dwarsrichting wordt beïnvloed door de
warmtegeleiding van de relatief warmere wanden naar het mengsel. Door
de Vries (83) zijn een aantal dichtheidsmetingen uitgevoerd om
de invloed van de wanden te onderzoeken. De dichtheid op 2 mm van
de wand werd vergeleken met de dichtheid in het midden van de buis
gedurende 60 msec na het begin van de expansie. Er waren geen
verschillen waarneembaar. Dit wijst erop dat de thermische grenslagen
l~ngs de wanden na 60 msec nog geen 2 mm dik zijn. Niettemin laten
experimenten in zuivere stikstof zien dat na 80 msec duidelijke
afwijkingen in adiabatisch gedrag gaan ontstaan.
Homogeniteit in de lengterichting.
De homogeniteit in de lengterichting is onderzocht door op drie
plaatsen in de buis de druk en de transmissie van een lichtbundel
door de nevel te meten. Er zijn in tabel 1 een aantal metingen
weergegeven. In deze tabel is, naast de beginverzadigingsgraad s0,
de verzwakkingscoëfficiënt gegeven voor een toestand die constant
is gedurende de aangegeven tijdsintervallen. rn het eerste deel
van de tabel zijn de metingen gegeven die zijn verricht op 1.55 m
en 5.13 m van het diafragma, in het tweede deel op 1.55 m
en 3.12 m van het diafragma. De uitstroomopening is steeds 0.46 dm2.
Daar echter voor de voordruk in het expansievat niet steeds dezelfde
waarde is gekozen zijn de metingen onderling niet goed vergelijkbaar.
We zien dat de verzwakkingscoéfficiënt lichtelijk toeneemt als we
verder van de uitstroomopening af zijn. Mogelijk hangt dit samen met de
verschillen in tijdafgeleide van de temperatuur, zoals besproken in
paragraaf 3.1. Berekeningen om dat kwantitatief te verifiëren zijn
in uitvoering (SCH84}.
-71-
so ç; llt (in msec)
venster 1 I venster 2 venster 1 venster 2
0.78 5.31 ± 0.3 9.09 ± 0.3 70-200 140-200
0.67 4.25 ± 0.3 6!03 ± 0.3 120-200 80-200
0.59 3.55 ± 0.3 3.01 ± 0.3 80-200 80-200
0.54 3.01 ± 0.3 4.12 ± 0.3 90-200 80-200
0.49 2.38 ± 0.2 2.35 ± 0.2 100-200 80-200
0.36 2.55 ± 0.2 3.11 ± 0.2 90-200 90-200
venster 1 I venster 3 venster 1 venster 3
0.81 6.04 ± 0.3 7.01 ± 0.3 100-200 90-200
0.76 5.82 ± 0.3 6.94 ± 0.3 70-200 90-200
0.72 5.21 ± 0.3 6.08 ± 0.3 70-200 80-200
• 0. 70 4.98 ± 0.3 5.19 ± 0.3 70-200 90-200
0.66 4.15 ± 0.3 - .- -0.60 3. 77 ± 0.3 5.08 ± 0.3 70-200 70-200
0.50 2.52 ± 0.2 2.92 ± 0.2 90-200 80-200
0.34 2.22 ± 0.1 3.10 ± 0.1 80-200 80-200
0.28 0 1.61 ± 0.1 - 110-200
Tabel 1: De experimenteel bepaalde verzwakkingscoëfficiënt ç; met
verschillende beginverzadigingsgraden s0
voor een toestand
die constant is gedurende de aangegeven tijdsintervallen
gemeten vanaf het moment dat de expansie een aanvang neemt.
De uitstroomopening is 0.46 dm2 en er zijn metingen verricht
op 1.55 m (venster 1}, 3.12 m (venster 2) en 5.13 m
(venster 3) van het diafragma.
We nemen aan dat de dichtheid van de vloeibare fase P in de p
eindtoestand overal in de buis gelijk is. Daar de nevelvorming
plaatsvindt in de gereflecteerde expansiegolf zal bij de vensters
verder weg van het expansievat de temperatuurafname per tijdseenheid
op het moment van condensatie het grootst zijn. In hoofdstuk 3.1 is
besproken dat als gevolg hiervan het aantal druppeltjes per
volume-eenheid het grootst zal .zijn en de druppelstraal het kleinst.
Uit vergelijking 5.1.1.2 kunnen we concluderen dat bij de vensters
verder weg van de uitstroomopening, de hoeveelheid weggevangen licht
-72-
toeneemt. De variaties in ~ over de lengte van de buis zijn ruwweg
kleiner dan 2. Nemen we de uitgewerkte meting van paragraaf 5.1.1
als voorbeeld dan vinden we met p = 0.0042 kg/m3 dat de gemiddelde p
druppelgrootte varieert tussen 1.1 en 1.6 ~m en de deeltjesdichtheid
tussen 7xlo11 en 13xlo11 m- 3. Wellicht kunnen wat betreft de
homogeniteit in de lengterichting betere resultaten worden bereikt
als er vreemde condensatiekernen in de buis worden ingebracht.
5.1.4. Constante toestand.
Het uiteindelijke doel van het onderzoek is de processen bestuderen
en beschrijven die gaan spelen als een schokgolf zich voortplant
door een nevel. Om er zeker van te zijn dat de effecten die optreden
enkel en alleen het gevolg zijn van het samenspel tussen schok en
mengsel, dient er voordat de schok passeert gedurende een voldoend • lange tijd een constante toestand van waterdruppeltjes, waterdamp
en stikstof te bestaan. Zo'n constante toestand kunnen we creëren
door ervoor te zorgen dat de druk in de buis nadat de gereflecteerde
expansiegolf is gepasseerd gelijk is aan de druk in het expansievat
op het moment dat de staart van de gereflecteerde expansiegolf de
buis verlaat. Hiertoe moet een bepaalde voordruk in het expansievat
worden aangebracht. In paragraaf 3.2 is een model opgesteld waarmee
de voordruk in het expansievat kan worden bepaald als functie van
de grootte van de uitstroomopening. In deze paragraaf worden de
numerieke resultaten getoetst aan het experiment. In de figuren
42 t/m 45 zijn vier expansie experimenten in stikstof gegeven
waarin voor een uitstroomopening van 0.46 dm2 de voordruk in het
expansievat is gevarieerd. Er is gekozen voor een voordruk van
0.46, 0.53, 0.59 en 0.66 bar. Een meting bestaat uit twee drukmetingen
en wel op 1.55 m (a) en op 5.13 m (b) van het diafragma. Uit de
drukmeting bij venster 3 kan goed bepaald worden of een geschikte
voordruk is gekozen. Bij venster 1 valt de staart van de gereflec
teerde expansiegolf samen met de mogelijke reflectie van deze golf.
Uit de figuren blijkt dat in figuur 43 de golfreflecties het best
worden onderdrukt. De einddruk is gelijk aan de druk na de gereflec
teerde expansiegolf. De daarbij gekozen voordruk in het expansievat
p/fo
Plfo
1.
0.
1.
I o. 1.
Plfo I o.
0
-73-
./""---..r"----'"-..-----1 :iguur 44
~--------L f-o __ ...___,r-"..__ __ --..." ____ ...._,..--.1 :iguur 45
~---t 50 100 150 200
t in msec
Figuren 42 t/m 4S: Expansie experimenten in stikstof met een voordruk
van respectievelijk 0.46, 0.53, 0.59 en 0.66 bar.
Er is op 1.55 m (a) en op 5.13 m (b) van de
uitstroomopening (0.46 dm2) de druk in de tijd
gemeten. De druk p0
is 1.0 bar.
-74-
was 0.53 bar en komt slecht overeen met de berekende waarde van
0.35 bar. Dit is waarschijnlijk het gevolg van de vereenvoudigingen
in het model. Er werd verondersteld dat er een druk p2 heerste voor
de uitstroomopening ter plaatse -x2 (zie figuur 28 en 29). Echter in de
laatste 20 milliseconden van de expansie geldt deze vereenvoudiging
niet. De druk voor de uitstroomopening daalt dan van p2 naar p4 (zone 3 in figuur27). Hierdoor zal er minder gas in het expansievat
stromen met als gevolg dat een hogere voordruk gekozen kan worden.
De algehele conclusie is dat de methode om een voordruk in het
expansievat aan te brengen een juiste methode is om een constante
toestand van enkele tientallen milliseconden te verkrijgen. Dat
het experiment al of niet in overeenstemming is met het model
is daarbij van minder belang.
5.1.5. Vergelijking van experimenten met de theorie over de kernvorming . •
In paragraaf 3.1 is opgemerkt dat het moment waarop condensatie
optreedt alleen bepaald zou worden door de kernvormingssnelheid.
Er is tevens een formule voor de kernvormingssnelheid gegeven.
Via een aantal veronderstellingen is gekomen tot een lineair
verband tussen log s en T-3/ 2. Bij de bepaling van de verzadigings
graad s (s = p /p ) dient een waarde voor de verzadigde dampdruk V S
p (T) ingevuld te worden. Hiervoor is, in overeenstemming met s andere onderzoekers, de verzadigde dampdruk boven ijs gekozen.
Bij de bepaling van de temperatuur van het mengsel op het moment
van condensatie is er vanuit gegaan dat de expansie isentroop
verloopt. In figuur 46 zijn onze experimenten samen met die van
andere onderzoekers uitgezet. De metingen die zijn verricht bij
de vensters 1, 2 en 3 worden weergegeven door respectievelijk
• en x. De verschillen tussen de resultaten van de diverse
onderzoekers zijn vermoedelijk terug te voerentot een verschil
in tijdafgeleide van de temperatuur. De absolute waarden voor
-dT/dt zijn voor de metingen van Kalra (75) van de orde 4 à 8xl04 K/sec.
terwij 1 in ons geval sprake is van 0. 2x104 K/_sec.
Opmerkelijk is dat de grootste waarden van s juist optreden on bij de kleinste absolute waarden van -dT/dt. Een bevredigende
verklaring hiervoor is niet gevonden.
-75-2.5
Wegener & Pouring (nozzle)
•
log s 2.0 ~ Stein (nozzle)
1.5
Figuur 46: Log s als functie van 104 !T3/ 2 met T in K (uit WEG77). •.•
correspondeert met een meting op 1.55 m van het diafragma,"••
met die op 3.12 m en•x"met die op 5.13 m.
5.1.6. Transmissie signalen.
De transmissie signalen zijn niet altijd van dezelfde vorm. Soms
komen een of meerdere oscillaties voor zoals onder andere te zien -
is in de figuren 39 t/m 41. Ook Geerts (82) heeft dit verschijnsel
waargenomen. In figuur 47 is nog een markant geval gegeven.
Deze oscillaties Runnen niet het gevolg zijn van het oscillerende
karakter van Q(r). Qr2 is namelijk een continu stijgende functie voor.
toenemende r met slechts lichte oscillatie;s. Daar het -verschijnsel
reproduceert en afliankelijk is van de beginverzadigingsgraad is h.et
niet waarschijnlijk dat mistaanslag optreedt tegen de -vensters. Mogelijk·
treedtcoalescentie op, het versmelten -van druppeltjes. Bij dezelfde
hoeveelheid gecondenceerd water leidt coalescentietot minder
druppeltjes met een grotere straal waardoor de transmissie van licht
toeneemt.
-76-
1
0.5
TR
1 •
0 5 50 100 -15Ó 200
t in msec.
Figuur 47: Druk- en transmissiemeting op 1.55 m van de uitstroom
opening 0.46 dm2 met begincondities: s0
= 0.60, T0 = 294.0 K
en p0
= 1.0 bar.
-77-
5.2. SCHOKGOLF DOOR NEVEL.
In figuur 48 is een experiment uitgetekend waarbij nadat de nevel
is gevormd, een schokgolf wordt opgewekt. Er is op 1.55m en op
5.13 m van de uitstroomopening (0.46 dm2) de druk en de transmissie
gemeten. De meetgegevens zijn bij het onderschrift van de figuur 48·
geleverd.
To 1
0.5
TR 11 . f 0. 5
1 pf 0.4
1 TR
1 0.3
0
r-------, I I I I I I I I I ------------tJ------_J
100 125 130 135 140 145
t in msec
Figuur 48: Druk- en transmissiemetingen op 1.55 men op 5.13 m
van de uitstroomopening (0.46 dm2) met condities vóór
de expansie van s 0 = 0.76, T0 = 294.0 Ken p0 = 1.0 bar.
Condities juist voor de schok met Mf= 1.256 zijn
r = 1.8 ~m, p = 0.52 bar, T = 267.9 Ken K = 0.01.
a correspondeert met de meting op 1.55 m en b met de
meting op 5.13 m van het diafragma.
a
1
b
-78-Duidelijk zijn de twee drukdalingen als gevolg van de expansie te
zien. Als de toestand constant is, wordt het membraan tussen de
hoge-druk sectie en de meetsectie geopend en wordt de schokgolf
gevormd. Na de schok relaxeert het mengsel naar evenwicht. Daarna
volgt opnieuw een positieve druksprong ten gevolge Yan de reflectie
van de schokgolf aan de uitstroomopening bij het expansievat
(figuur 48a). Dan passeert een naar rechts lopende expansiegolf.
Deze expansiegolf vormde zich tijdens het openen van het vlies bij
de fioge-druR sectie waarbij zich ook de schokgolf vormde. In eerste
instantie loopt deze expansiegolf naar links maar reflecteert dan
aan de acfiterwand van de hoge-druk sectie. Door de toename van
het transmissie-signaal zien we dat direct na de schok het mengsel
wordt gecomprimeerd. Daarna wordt de kinetische energie van het gas
gedeeltelijk omgezet in warmte waardoor de waterdruppeltjes verdampen.
In de figuren 49 en 50 is de relaxatiezone van figuur 48a vergroot
weergegeven voor respectievelijk de druk en de transmissie. Tevens is het
n~meriek bepaalde druk- en transmissiesignaal getekend.
1
PIPo o.9
0.8
0.7
0.6
--0.5
0
Figuur 49:
~
I
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
t in msec.
Vergelijking van het experiment met het model. De
druk na de schok als functie van de tijd. Voor de
meetomstandigheden zij verwezen naar figuur 50.
(p0=1 bar) .
TR
0.25
0 0
Figuur 50:
•
-79-
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
--- t in msec.
Vergelijking van het experiment met het model. De
transmissie na de schok als functie van de tijd .
Condities juist voor de_ schok met Mf= 1.256 zijn
ro =1.8 ~m, p = 0.52 Bar, T = 267.9 Ken K = 0.01.
De overeenkomst tussen het experiment is redelijk gezien de grote
onnauwkeurigheid waarmee de toestand voor de schok kan worden
vastgelegd. fn appendix C zijn voor het geval nog enkele andere
grootheden uitgezet als functie van de tijd voor de Begincondities
zoals die in liet onderscfirift -van figuur 50 zijn gegeven.
-80-
6. CONCLUSIES.
•
Nu volgen de Belangrijkste conclusies uit het onderzoek.
~ Uit Tierekeningen van de evenwic~tsschokrelaties voor een nevel
filijK.t dat als -volledige verdamping optreedt temperatuur en
diclitlleid sterk afli.angen -van de ladingsfactor. De druk blijkt
nagenoeg onaffianRlijK te zijn van de ladingsfactor .
.,. Berekeningen van de relaxatiezone gaven te zien dat de relaxatietijd
sterk affiangt van net machgetal en dat de relaxatietijd van de
temperatuuraanpassing -veel langer is dan Bijvoorbeeld die van de
snellieidsa.anpass-ing.
~ Er is analytisch aangetoond dat voor een nevel met slechts één
relaxatieproces-, een overgang mogelijk is van de ene naar de andere
evenwicntS'toestand -voor Hfrozen" macB.getallen kleiner dan 1 mits
liet evenwiclitsmacfigetal groter is dan 1 .
Door het opweRken van een snelle adiabatische expansie in vochtige
stikstof kan op reproduceerbare wijze een nevel in de lange buis
worden opgewekt.
De nevel blijkt goed homogeen verdeeld te zijn over de dwarsdoorsnede
van de buis. Metingen toonden aan dat de temperatuurgrenslaag,
60 msec na ~et begin van de expansie kleiner is dan 2 mm zodat
geconcludeerd mag worden dat in dat tijdbestek de nevel weinig
invloed ondervindt van de warmere wanden,
~ De nevel is minder homogeen verdeeld over de lengterichting van
de lfuis. In het ongunstigste geval treden variaties op in de
straal van de druppeltjes in de orde van 30% en in het aantal
druppeltjes per m3 in de orde van 80%. Dit is waarschijnlijk een
gevolg van de verschillen' in de tijdafgeleiden van de temperatuur
op het moment van condensatie. Het verdient aanbeveling na te gaan
of met heterogene condensatie een betere homogeniteit kan worden
_fiereiRt.
- De temperatuur waarbij condensatie optreedt is ongeveer 250 K.
Doordat er waterdamp condenseert stijgt de temperatuur. Als de
constante toestand is Bereikt, ligt de temperatuur in het algemeen
boven het vriespunt. Er zijn dan ook waarschijnlijk waterdruppeltjes
en geen ijskristallen aanwezig. Hieromtrent kan meer zekerheid
-81-
worden verkregen door een kleinere uitstroomopening te nemen zodat
de expansie minder diep wordt. Door deze hogere eindtemperatuur
wordt ecMe.r de keuze voor de Beginverzadigingsgraden beperkter.
-s-ij te lage 'Verzadigingsgraden treedt geen condensatie op .
. ... De metfiode, om via een geschiR.te keuze van de voordruk in het
expansievat na ruwweg 80 msec na het begin van de expansie een
toestand te oereiKen waaroij de druk over enkele tientallen milli
seconden nog sleciits 5% varieert, is een goede gebleken.
•
~ Er is een schatting gemaakt van de druppelgrootte (1.6 ~m) en van
liet aantal druppeltjes per m3 (7·1011 m-3}. Deze is in goede
o:vereenstennning met resultaten 'Van onderzoekers. Een rechtstreekse
oepaling -yan f>Tj'Voorlfeeld de druppelgrootte verdient natuurlijk de
voorkeur.
- De dichtheid wordt met de computer Berekend uit de doorlopen
Booglengte van de Lissajous cirkel. Bij deze berekening is een
Bepaling van liet middelpunt van de Lissajous cirkel noodzakelijk.
Het~iddelpunt verschuift eenter als er mist gevormd wordt. Deze
'Verschuiving kan zo groot zijn dat de dichtheidsf>erekeningen
onoetrouwoaar worden. Hier dient rekening mee te worden gehouden.
... Er fiestaat onzeR_erfieid over de Iioeveellieid waterdamp die in de
lfuis aanwezig is op liet moment dat een expansie experiment verricht
wordt. Voordat wordt gesclioten wordt namelijk gedurende een uur het
1nengsel gecirculeerd door de retourleiding. Tijdens dit mengproces
w~rdt waterdamp geaosoroeerd door de kunststoffen delen in de buis.
Deze geaosoroeerde lioeveellieid waterdamp i.? niet geheel reproduceer
naar, Er zal nader gekeken moeten worden naar dit absorptieproces.
- Het model dat de relaxatiezones in een uit evenwicht gebrachte
nevel liesclirijft, is voor een enkel geval getoetst aan schokgolf
experimenten in een nevel. Ondanks de onnauwkeurigheden waarmee
de Jl:egintoestand @e toestand 'VÓÓr de scliokJ kan worden vastgelegd,
vertonen liet experi~ent en het model voldoende overeenkomsten.
-82-
APPENDIX A
LINEAIRE THEORIE.
We volgen de behandeling zoals die door Broer is gegeven (BROSO).
In paragraaf 2.3.1 is voor een systeem met een relaxatieproces
het volgende stelsel opgesteld:
dp au 0 CA 1) -+ p- = dt a x
p du + ~ _ dt ax - 0 CA 2)
dh ~- 0 (A 3) p dt - dt -
h=_L.E.+q y-1 p Lo (A 4)
• ~=~ (A 5) dt 1'
q* = q*(p,p) (A 6)
Om tot nieuwe inzichten te komen, wordt het niet-lineaire stelsel
gelineariseerd. Er worden kleine afwijkingen in de grootheden
geïntroduceerd: p=p0+p 1 , p=p 0+p', u=u', q=q0+q', q
0=q0 en h=h
0+h'.
De vergelijkingen kunnen worden herschreven als:
l.e_ au' at + Poax = O
au' ~ Po3t + ax = 0
h' = _:r___!_p' y-1 p
0 I
~- q* -q' at - 1'
0
Po _:r_ - P ' + q' La y-1 2
Po
I
q* : q* pI + q* Q I Po Po
(A 7)
(A 8)
(A 9)
(AlO)
(All)
(Al2)
I I Uit deze vergelijkingen kan een vergelijking worden afgeleid. Deze
luidt:
met
+ a •o af C
1 a2u 1
a~7-
•o hP h + h q* p q p
a2 I _u_)
ax2
-83-
"\2 I _a_u_) = 0 ax2 (Al3)
(Al4)
Deze lineaire derde orde vergelijking voor een niet-evenwiehts
stroming is de tegenhanger van de klassieke golfvergelijking. De
oplossing van de klassieke golfvergelijking is een vlakke golf
die zich voortplant in de positieve en negatieve x-richting met
een snelheid a0 zonder zich van vorm te veranderen. Vergelijking
Al3 is in de limiet voorT~+ 0 (evenwichtsstroming) en voorT~+~ (frozenstroming) gelijk aan de klassieke golfvergelijking met
+ a0 = ae respectievelijk a0 = af. Voor willekeurige T0-waarden
geldt het klassieke resultaat niet meer en zijn er meerdere
snelheden in het spel .
• Voortplanting van vlakke akoestische golven.
Het oplossen van de niet-evenwichtsgolfvergelijking is niet eenvoudig
en we beperken ons dan ook tot harmonische verstoringen die zich
voortplanten naar het oneindige in de positieve x-richting. De
harmonische verstoringen kunnen worden voorgesteld door een
harmonische beweging van een zuiger met frequentie w en amplitude E.
I I 1---- x
: I
u(O,t)
x = k sinwt
dx = dt = wE coswt (AlS)
Figuur Al: Opwekken van harmonische verstoringen met een zuiger.
-84-
Na weglating van de accenten luidt de oplossing:
wo À u(x, t) = w e: exp [-(-)x] cos [w (t--x)]
af af (Al6)
met (Al7)
en k + = w-r 0 en b
Uit de oplossing valt af te leiden dat de voortplantingssnelheid
van de verstoring af/À is en dat de demping exponentieel gaat met
wo/af. Uit dit alles kan worden geconcludeerd dat de snelheid van
de golf en de demping afhangen van .;, af/ae en w. Een belangrijke
grootheid voor de grootte van de voortplantingssnelheid en de demping
is k, gedefinieerd als k = w•~· In figuur A2 is grafisch de afhankelijk
h~id gegeven tussen 1/À en o en k.
I 1 I I 1.0 r-----------------
a/af l/ À
1-1/À en r-
0 -0.5
-
-.o -=-
0 0.5 1.0 1.5
k
2.0
-
-
-
-
Figuur A2: ~ en 1/ À als functie van k voor af /ae = 11/10.
Uit de oplossing blijkt zoals al eerder gemeld is dat het niet-evenwicht
resultaat tendeert naar het klassieke resultaat in de limiet naar de
evenwichts- en frezen-stroming. Voor de evenwichtsstrominggeldt + •o + 0 met als gevolg dat k = o = 0 en À = af/ae. Dit levert een
niet van vorm veranderende golf met a als voortplantingssnelheid op. e Voor de frozen stroming geldt .; + oo zodat k +oo en o + 0 en À = 1.
-85-
Ook dit is een niet-gedempte golf maar met voortplantingssnelheid af.
Tot nu toe is steeds gekeken naar veranderingen van k door ·~ te veranderen en w gefixeerd te houden. Er kan dezelfde k-range door
lopen worden door de frequentie w te variëren en ·~ gefixeerd te houden.
We vinden dat de golfsnelheid en de demping frequentie afhankelijk
zijn. Het blijkt dat golven met een lage frequentie zich voortplanten
met een snelheid ae en hoog-frequente golven met af. Wat de
frequentie afhankelij~eid van de demping betreft is eenvoudig in te
zien dat laag frequente golven geen demping ondervinden. Na reeksont
wikkelen van ó voor hoge frequenties zien we dat een hoog frequente golf
wel wordt gedempt. Laag frequente golven houden het dus langer vol dan
hoogfrequentegolven. Dit komt overeen met het feit dat in het eerste
geval een stromingselementje dichtbij evenwicht blijft en de entropie
productie essentieel nul is. In het tweede geval geschieden de
v~randeringen zo snel dat de verschillen met evenwicht aanzienlijk
zijn en de entropieproductie ook groot is.
Nu de frequentie afhankelijkheid van de geluidssnelheid en de
demping bekend zijn, kan een willekeurige verstoring worden bekeken.
Een verstoring in het tijddomein moet worden Fourier getransformeerd
naar het frequentiedomein en dan kan worden onderzocht hoe de
verstoring wordt vervormd. De hoog frequente componenten planten zich
sneller voort en worden meer gedempt dan de laag frequente componenten.
De verstoring vervormt zich in tegenstelling tot wat de klassieke
lineaire theorie ons leert over evenwichtsstromingen. De frequentie
afhankelij~eid van de snelheid wordt dispersie en de demping van de
amplitude wordt absorptie genoemd. De vervorming die plaats heeft als
gevolg van dispersie en absorptie is een lineair effect voor kleine
verstoringen. Het is niet verwant met het bekende effect van de
klassieke niet-lineaire theorie voor grote amplitude golven
(schokgolftheorie).
-86-
APPENDIX B.
UITWERKING VAN HET MODEL VOOR BEREKENING VAN DE UITSTROMING.
In deze bijlage wordt voor het model, zoals dat besproken is in
paragraaf 3.2, de vergelijkingen opgesteld. De indices corresponderen
met de zones in figuur 27.
We zullen allereerst vanuit een gegeven grootte van de uitstroom
opening de vergelijkingen geven waaruit de drukken p2, p4 en pkr
afgeleid kunnen worden. We gaan er vanuit dat juist na tijdstip t=O
(het moment waarop de uitstroomopening Akeel wordt geopend) choking
optreedt in ~eel' Voor kleine uitstroomopeningen wordt hier niet
aan voldaan. Uit de vergelijkingen: 2 c2
1 2 c2 1 2 keel ~2 + y-1 = neel + y-l (Bernoulli, instationair) (B 1)
2c2 2c0 u2 - y-1 = - y-1
• (gemengde continuiteits- en impulsvgl.) (B 2)
puA = p u A 2 2 2 keel keel keel (massabehoud) (B 3)
en de nevenvergelijkingen:
Ao = Akeel 2
Y-1 p "'c
(choking in A_ ) -"keel (B 4)
(B 5)
(isentroop) (B 6)
volgen de drukken p2 en pkr als functie van de grootte van de
uitstroomopening. De einddruk p4
wordt bepaald uit vergelijking B 2
samen de vergelijkingen:
en u = 0 4
(gemengde continuiteits- en impulsvgl.) (B 7)
(B 8)
In de figuren 33, 30 en 31 zijn respectievelijk de kritische druk, de
einddruk en de eindtemperatuur gegeven als functie van ~eel' Voor t 40 heeft Glass (59) de volgende uitdrukking afgeleid:
-87-
Pz y-1 Pz y-1 2 6(-)y (1-(-) 2y)
L [ 1 + Po Po t 40 = c
0 p
2 y -1
3 _ _;__p_2_y--1~-S--] (2(-) y -1) (2(-)2y -1)
Po Po
Het tijdstip waarop de expansiegolf de buis verlaat wordt nu
gegeven door:
Ook deze grootheid is uitgezet tegen Akeel (figuur 32).
(B 9)
(BlO)
Nu volgen de vergelijkingen waar vanuit de druk p2 en afhankelijk
van het type instroming, de druk in het expansievat in de tijd kunnen
berekenen. Voor de toename van de druk in het expansievat geldt:
2 apexp _ Rg~eel ~2 + ckeel) at - c V pkeel ~eel (2 keel y-1
vg exp (B11)
• Is p lager dan pkr dan heerst er een kritische uitstroming in exp ~eel' Voor alle grootheden rechts van het gelijkteken die geïndiceerd
zijn met "keel" dienen de kritische waarden ingevuld te worden en
tevens geldt: ukeel = ckeel' Geschiedt de uitstroming instatienair
dan moeten een aantal andere vergelijkingen geïntroduceerd worden.
Voor het stationair stuk tussen -~1 en de keel geldt:
2 1 2 cl 1 2 ZU1 + y-1 = ZUkeel +
p c 2y keel = ( keelh-l =
P1 cl
2 ckeel y-1
(keell y pl
(Bernoulli, instationair) (B12)
(isent!oop) (B13)
(mas s ab eh oud) (B14)
Voor het instationaire gedeelte tussen -x2 en -x1 geldt:
2c1 2c2 ul + -- = u2 + --y-1 y-1 (gemengde continuïteits- en impulsvgl.} (BIS)
pl c1 _2_ (l)y -= (-)y-1 =
P2 c2 P2 (i sent roop) (B16)
-88-
en verder geldt nog: pkeel = Pexp (Bl7)
Met stelsel Bl t/m Bl7 kan bij een gegeven eindtoestand, de begindruk
in·het expansievat berekend worden. In figuur 34 is de begindruk
in het expansievat uitgezet als functie van de grootte van de
uitstroomopening .
•
-89-
APPENDIX C.
BEREKENING VAN DE RELAXATIEZONE.
In deze appendix vind u een numerie~ oepaalde relaxatiezone na een
schok door een nevel onder dezelfde oegincondities als in paragraaf 5.2.
Deze condities- juîs,t vóór de sclïOR. met rnaeligetal Mf is 1.256 zijn:
de S'traal -van de druppeltjes r G ÎS- 1. 8 j1Jil 1 de druK. .p is û_, 52 fiar,
de temperatuur T0
iS'- 267,9 IC en de ladingsfactor Kis 0.01,
Acfi:tereenvolgens zijn als functie -van de tijd uitgezet: de sneliieid
-van de druppeltjeS> u en die -van lîet gaS'Vomige gedeelte -van liet p
mengsel u (figuur Cli; de t'emperatuur -van de druppeltjes Tp en die
-van liet gas-vl!.lrmige gedeelte --van liet 111engsel T (figuur C2I ~ de dampdruk p
(figuur C3I; de druppeldi:ciD:lie:td f'p (figuur C4 I; de dampdiclitKeid pv
(figuur CSIJ de gasdicKtneid fDg (figuu'l' C6I en de straal van de
druppeltjes- r (figuur C7L
1~--~r----r----~---,----~----~--~
en
u /u v,g 00.6
u
0.4
0.2
evenwicht
t in msec.
Figuur Cl: De snelheid van de druppeltjes en het gasvormige
gedeelte van het mengsel als functie van de tijd.
t = 0 correspondeert met het tijdstip waarop de schok
passeert (u0 = 419.5 m/sJ.
V
-90-
1.25,---~--------~--~--~----~--~
l T /T0 v,g
1.15
1.10
1.05
F':tguur C2:
6
4
3
2
1
0 0
Figuur C3:
1 2
T p
3 4 '7 evenwicht
t in msec.
De temperatuuT "Yan de druppeltjes en I:i.et gasvormige
gedeelte van net ~engsel als functie van de tijd.
t = 0 co:r:respondeert met liet tijdstip waarop de scfiok
pass-ee:rt CI'o_ = 267.9 KL
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
t in msec.
De dampdruk p als functie van de tijd. t = 0 V
correspondeert met net tijdstip waarop de schok
passeert (pvO = 413 Pa).
1. 25
1
0.75
0.50
0.25
• Figuur C4:
3
2
1
0 0
Figuur CS:
-91-
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
t in msec .
De druppeldichtheid p als functie van de tijd. t = 0 p- .
correspondeert met het tijdstip waarop de schoR 3
passeert (ppO = 0.0065 kg/m ).
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
t in msec.
De dampdichtheid p als functie van de tijd. t = 0 . V
correspondeert met het tijdstip waarop de schok 3 passeert (Pvo = 0.0033 kg/m ).
-92 ...
1.75r----~--~r---~--~------~---~--~
1.60
1.45
1.30
1.15
0
• Figuur C6:
r/r0 0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
Fîguur C7:
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
t in msec .
De gasdichtheid p als functie van de tijd. t = 0 g
correspondeert met het-tijdstip waarop de schok 3 passeert (pgO = 0.6488 kg/m ).
1 2 3 4 5 6 7 evenwicht
t in msec.
De straal van de druppeltjes als functie van de
tijd. t = 0 correspondeert met liet tijdstip waarop
de scliok passeert (r 0 = 1. 8 pm}.
Ve andeting d~ Teeh~ehe Nat~Runde van de Teeh~ehe Hog~ehool Eindhoven aanva~dt geen v~ntwoo~detijRheid voo~ de inhoud van dit
Ve.Mfug.
Ve Teehni~ehe Hog~ehoot Eindhoven aanva~dt d~halve geen aa~p~aRe
ujRhud voo~ eventuele ~ehade o~:t.aan doo~ het opvolgen van in het
veMfug veJunûde adviezen.
