Eindhoven University of Technology

MASTER

Foutendetectie en foutencorrectie met behulp van cyclische codes

Boddeke, R.J.J.

Award date:1966

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 24. May. 2018

,. '~.

Afstudeerver81as

TECHNISCHE HOGESCHOOL

EwoHOVEN '1",~,. STUOleBIBLlOTHEEK1[. ELEKTROTECHNIEK ' -

POUTENDETECTtt EN

.K1t.'1' SEHt1LP~_VAN CYCLtSCHlg:.:OI)IUI~--,,··---,,--,--··~'''-F:'=7'·E-_.~,,_·:c;:i':c~­.:

-'

1833

van

R• .J,.J.Boddeke

-, \~.

1--<-1\

•

uit,~,vo.1'4 til .a I~O.P r.,l•••••••le.tt. ~ I ..:....

Tachnl.ell. a.I••cboo1 te I!.Qclho"." cI. p.-rl04e, uov••~.r 1965 - joLt 19'0,'

5

•Eindhoven, .ept••ber 1966.

IllollDior96VI.pa'.1

O. Sa••n••tttDI 1 -

1. Inl.ttli.1 2

2. rout.ael.tectta •• feut ••corr.ctte ,2.1. -All••••n 3

2.2. 8•••t81004•• 12

3. Cyc1iaah. cact•• IS4_" "

3.1. AlS····n IS

3.2. D.tectte .a" ...ndo. fouten 22.3.3. D.tectt.' .an bureta 26

3.4. a••li••tie 29

3,S. J'out.ncorrectie 3S

, 3.5.1, Corr.ctie vaa rando. fouten 37~

3.5.2. Correctt. y.n burata 39

3.6. En1..a bel.nlrijk. cycltech. coclee 44

4. lapa1in. v.n .e 4etecti.- en correctia

capacitettea

4,1••eacbrtjYla.

4,2. Prolra•••

·4.3, a.,ultaten

5. Appendica,

46

47

S3

S5

61

5.1, Rotatie 61

,,

5.3. Gebl'u1.kte vlekunc!1.e be.rippen 63

5.4. Code. ••arvan de capaciteiteu

atj. ba...ald 66

5,5. 11.21.,.u 8'.f

6. Ger.a4,1•••~h! 1itteratu:ur 9O

.'

- 1 -

0, SAHIl!yATTIIC.

Ben cyeliacbe eo.de wordt 0, •• • ekllirakterl.eerd doot .e.

~olen•••d. ba.tapo1yDooa.

Ret ia v ••la1 aoeilijk Oil uitl.aDde van een cod•••c .•ell.... "~." .

bep.alde ba • .1.p01711008. d. detectte· en eOl'r.ctl.c•.~ ..ct­

tett.n te bep.~eD. Eeu Ander proble•• 1al hoe .e.t;~~.e

"b.aiapolynooa worden leko.en opdat .eD voor e.n bep__ld., , ,

.eval de ••eat lun.tise code verkrijgt. O. toch ui~••rak.en< J '1'\",'

hi_roat rent te kunnen d08n i. een prograll.A VOOI:' 4.;::"1. B. M.­

360 I ••chreven vaar.ee de foutencorrectie- ea fout ...iet.e-...

tiecapac1teit van een cyc11.cbe code. Eo.el wat bett.rt

randoll touten ala bursta, kan worden bapaald.

Met bebulp van dit program.a Eljn de cap.citeiten vao een

460-tal eycli.che codes berekead en uitg.zet in aeo .antal

Irafieken Oil onderlinge vergelijk1nl mog.lijk te Ilaken,

"

•

•

,4

- 2 -

.~., IILII,ING.

De opdracht .aa:

c1cli8che code••

2. de bep.lina .ao de effecti.lteit va. 4e•• ~.'e.

ten •••ale.· ••n'foutendetectie en fO.t.D.~~.ctte.

Als·lnlei4inl op e••oor .lse•••e infor.atie over'cle be·

arippen fout.ndetectie ell touteacorrectie die.e h90f4stuk 2

..arin teveas de Ba••ingcod.a worden be.prokea, die eycli-

.che coda. aullan blijkea te .ijn.

ne hoofd.~ukkea 3 en 4 vormea de behandelias .an rea,. het

eer.~. en tweede deel van de opdracht.

Roofd8tuk 5 geeft o.a. een korte schets van enige .atbe.a-

tische besrippen, waarnaar vaauit de tekat enkel•••l.a

wordt verv••en en de weergave van de re.ultaten in een .an-

tal grafiekea.

'Op•• : !r i8 naar ge8treefd om de voor dit onder.oek Diet

relevante viekundise beachrijvinl van de cycllache

code. achterwege te laten, schter .onder de ••••nti.,

aan te tasten.

"

- J -

2, FOUT!NDETECTtE EN FOUTIHCORRBCTJI.

D. al,•••ne probl•••• t.lllall h.t cod.ren .n het,;'.qo­

deren va•••a boeveelheid informatie teneind. fouteade-

tectie en fout.acotrectie aOlelijk t ••aken, ••1 .o~4e~

b.lieht .an de hand van fil. 1.

binait. tafor.ati.Zt .auder

kt ruta of etorin.

K: kana.l

0: outvaa.er

fil. 1

Z K 0

~

a

De combinatie: zender - kanaal - outvauler, at.lt ••n coa-

aunicatiesysteem voor in de meeet alge.ene aiu. Zo k~n het

.en telegrafi.ve~bindina .iju maar bijv. ook lDt.~a. coa.u-

Dicatte in ean retana.chine. We aaan uit va. e.u hoeve.l-, .

h.id over t ••eaden binaire infor.atie; in dit verala••al

slechta vorden ae.proken over bi.aire, fout.adeteet.r.Dde

of foutencorriaerende, codee. In de informatie t die wordt

• overae.onden,kunD.n t.g.v. all.rl.1 ooraaken fouten optr.~

den, vee~al aet .en bepsalde wsarscbijn11jkhe1d van voorko•

••n. De.e fouten Eullen de verEonden boodachap 1n aeerd.r.

'of .1ndere .ate ver.1nken, hetg.en u1teraard n1.t ,ew.net 1e,

len fout 1n e.a b1na1r .yabool (b1t) betek.at veraaderinl

van e.n ooreproakelijk. "0" in ••a "1" of oalek.erda van

eea oo~.pronkelijk. ~l" in e.D "0".

- 4 -

-Wa.oeer er 3een extra voorsienioRea ••rd•• gatrolf.D, keo-

oaD .w. aan d. 0.tvanS8tsijde aiet co.t~ol.re. of el a1 dao

' ••0 fout ia 0Platreden. Wat oaa du. te doeD et.at i ••e,

da tofor.ati. e •• co.trola.iddel •••• t.r.a. Dit .•o.e~ ••" .,

door .an de iufor.atie .ea •••tal extra .yaboI4l" 9,'_el check-

laitil (du. door .eo boeva.lhaiel r.clulldantie) to. t •.,~o••"._

•••rbi,j we ervoor .oraen van te .oren een bap'aal' ,.e.rbaud

te 1eaS.o tu•••u de.e checkbita eo de infor•• tt••

De lel.lele relatie. tu••en checkbite en 10foraatl.· ..JtuQDen

blj ontv.D.at.eer lecontrole.rd word.n. IUoppe,ll d .... aiet

.eer 4.an i. ar een fout ledetacteerd.

We kunsen on8 .fvralenl hoeveel checkbite zijn er aln1•••1

nodia en hoe moet het verband tu.aen ebeckbit8 en inforaatie

worden aelegd opdat zoveel mogelijk fouten worden gedetec-

teerd. In vele gevallen i. fouteadetectie voldoende.

• De detect1. kan al dan n1et gepeard gaan lIet a.a terug••l-

ding'naar de zender. w.arna het betreftenda woo I'd Q~g•••18

veraonden wordt. De combinatie van .en aantal checkbite en

eea. a.ntal informati.bits vordt .en woord laoo••6.~B.a "oord

i8 dus een reeks nullen ea enen met een vaete lengt••

len voorbeald van .en derse11jk .,stee••et t.~••••ldi••

1s het van DuureD'. ARQ syatee. (aie fil. 2). d.~ wor4t I.~

bruikt voor radio - telegrafie verbindiDgen. Me••erkt .et

t.e. ideutteke kanalen eo de detectie vindt pla.ta met be-

bul, van de &018••a'-de "3 ait 7" code••alke DOl .ader .al

.'

vord•• b.sprokan. •" •••••r e.n fout "ordt .ad.tecteerd 1n eea van de oatvan.ars

atatioD 1 atation Z

- 5 -

v,rdt de trans.i•• ie 1. ". te•••­

o"erle.telde richt1.1 ooderhrokeD

ell e.. apacla.1 .illl.~).. e•• "er­

zo.k oa t.rtl•••14i.I,Y4ll'dC la••­

yo••d. 10 .f••ebt1DI ....1l· b~,t ••t­

woord op d. teru8me14iD..,::40et d.! ,~,·j~r,;·:>

boodachap in ••n I.b••••i· ~o.rd.1l

bew.ard tot er .enoe. ~1j4 verlope.

1a 011 eeD tarua.eldia, v.8\«Ie oat­

v.a,er, de •••der te ao•• ~ereik.n•

• f v.n de vertr.liDI v •• de tra.a-

.i•• ieweg tu ••en de at.tions.

St.tion 1 zendt een a.ntal woord8n

station 2 s8lijktijdia de vollord •

•• b.e •••• n•• r .t.tion 1 .endt.

In bet voorb••ld wordt .8.,eDo•••

dat d. fout in statio. 2 .erdt ••-

fil. 2. Op.envoljiag

van allnalen in .van

Duuren'a ARQ s,.teem.

,,

detecteerd bij ontvanlet vaa woor4

C. St.tion 2 onderhreett daD de

bood.ch.p en realeert door vler ape-

ciale ail.ale., •••I •••ven door I,

n.ar at.tion 1 ts .eade•• AI. bet

eerate I aian.a1 door atation 1 wordt ontv••g••• oaderbr.ekt

dlt~.tatlon 48 boodscb.p e••ead een I 8ian••l a8,,0114 door

de berb~11nl va. voorden C.D en E.

•

- 6 -

1. 4••r.Dt.seR.t.r~lfI.1d1uaniet 1I01.1ijk .a d. tafora.·

tie o••tab••r 4aa k.n correcti. Dood••k.11jk .1ja. Door

••1. aOI .eer red.aclanti. to•. te vo•••n 1. het ....11jk

••. ,0.lt1•••0 d. fout ia b.t .eord te be,.le.. , *~.t .e,aotrectle 8tts.voerel k.n wordea,

w. be.chouwen nu ••" eenvoudla voorb••ld. Stel det 4.••e.-,.

der (fiS. 1) ••n "0" of e.n "1" uit ••ndt. We voe••• een

.che~kblt to. aod.nil dat n. to.vo.,iaa b~t •••tal ••ea "ea

1. (p.ritycbeck), Een "1" wordt due oas.cod••rd tot h.t

••ord "11" eD e.n "0" tot "00". Ia dit a.va1 .ija 4. voorcl-

en "l~n en "00" ae1di,. voorden ofvel cod.voardea.

Ale er fout.n optr.den krijaen vel

-f01 (1 fout) - d.tect ••ru.r

, 1 ... 11 10 (1 fout) - d.t.ct ...rb-••r

00 (2 fouten)- olld.tect.erb••r

ev•••o .oors

0 .....

a••a ve nu i. p.riteit vaa d. ont••as.n voorde. control.·

rea dan bl1jltc dat de.e .oor da .erate tv•• Diet •••r1'_"~",,c•••••v •.•r ia .e. detect.erb.r. fout op•• tred•••

Voor de derd. ao'a.lijkh.id .chter ltlopt d. ,ariCeit. n.

out••lls.r ••14e•• "00" dae opv.ttell .1e .ea c••••o.rel •

..· .• ~ ••v. tve. foat •• vord.D i. dit s.va1 ni.t ledetecteerd t

,'Qa fout.n t. kUDn.n .orris.ren .an d. oatvan,.ta1jete aoe••• '"

- 7 -

ve DOl .eer redundant1e aan de infor.atie toevoe••ae Ir

worc1en nu tve. paritY'checkbit.e toe.8voe.d. Bet e.ra,a

checkb1t verzorlt. de pariteit vaa het lete e. 24e bit.

111 .veacol 000

jL.r.ououtparitybit voor 2da an 3de bit

par1tyblt voor lete eu 24e bit

Ve beechouwen de aOlelljk ontetane patrooen De het optra-

deD ven ssa fout •

• -f0ll lste check fout. 2da check 1°·4 ra)

~ III 101 1ete check. fout. 2de check fout [ti)

),10 lsta cheelt loed. 2de che-ek fout [a)

-E1OO lete check fout, 2ete chack loed [aJ

'.. 000 010 lete cbaek tout. 2de check fout (b)

001 lete check load, 2de ebeCo\k fout [c]

1--......~

0---II~

Merit op det de par1taitscoDtrola voor elke mo.elljkbei4

vereehi1leud aitvalt (per eodewoord). Biar••a kUDDea we

.ebruik••ken oa corractte ult te voeraD~ We vereaD.elvl~.o

•• o,.lijkheid [a) .et ea. fout 1a de lata ,oeltle. aOlal1jlt-

beld [b) .at .en fout in de 24e poeltie eD mOlelljkha1d (c]

aet aea fout iD de 3de poettie. IeDDaa wa op 4a•• waalar

de poattle vea .a fout dan baboavea w••laches op d1e

,laate e•• "0" 1n a •• "1" of oalaka.rcS ta varaadere. om .e

corractla t. v01to0188_

•

- 8 -

<~' ,~OOl'diD.teD va. da boa.plulte. va•••• It_bu••.p .a ...:tt••

esl. fil' 3). V. vlada. preci•• al1e e.rd.rv.~••l ••~••­

.~lijkbedea terUI.

(011)

(001) ~----I------1'1

•

(111)

I

II

(010) ,J...------ ----,,

,,',",

.... ",,( 000)

(110)

f1a, 3

De punteD (000) en (111) .1jn de cod.voor4.a~ B.t 4oo~-

lope. van een ribbe bet.kent veranderiDI va. eaa c~or41-

n.at, h.t.een is op te vat ten ala bet optredea va••••

fout. Bea derselijke af.tand wordt .e.

, ••oead, De defiait1e .aa de.a af.tand

bet felt dat .en enkele lout in e.n cod.punt ••••oori.-• 7l ,

aaa~ v.randartl tva. fouten in twae coordiaat~••• 1.~.t

a1aea.en veroora.ken ~ foutell ee...era.darina la, d' ~.-~-f·~f\'·:

diuatell, V••4.ar dat v. de af.taad tu•••• tva. p.d*.~:)~, I?:...r .~<14'?~;;

Xea Y .etinierea ala het .antal c:aordlaateD .a.(1n,;':I:".

, .

rlbben wat moet worden doorlopen oa va~ X 1n Y t. Ito.en.

~. I

. tv•• btnaire "oordell van cle.elfele leaate ell ..,ef.~. het

.allta1 poait1•• vaar1e .e .erachI11en,

ott fil' 3 b11jkt, dat "a1ke Toute "e ook. D 4.• ·lIaa-

aiUI afetand tu••ea de twe. code.oorden eteed. 3 la. Dit

betekeot dat iedere enke1e fout een codewoord cloet over-

.•a.o in een woord dicbt.r bij bet correcte code.oGrcl clan

btj enil and.r, .odat iedere enk.l. fout corr1•••rbaar

ie, Voor 1 fout detecti. 1& .en aloi.u. Hammius afet.ad

2 vereiet ~n voor 2 fout detectie e.n mioimua afetaad va.

3. In het alge.een 1e voor detectie van d of mindel' fou-

ten een minimum Ha.mingafatand van d+l en voor correctie

vao't of mindel' fouten .eo m1nimum afatand van 2t+1 nodis.

De co.binatie: detecti~ van d of ainder fouteD en correc-

tie van t of mindel' fouten vereiet eeo aini.u••eataod

",an d+t+l mite d~t •....,

Set i. evident dat ar voor een 8_.even m1uimum af.taud

.eerdar. moselijkbeden kunnen .1jo. Zo kao een code .et

.ain. afetand van 5 worden .ebruikt voor:

1. 2 fout correctie

2. 1 fo'u,t correct1e + 3 fout detectia

3. 4 fout detectie

Voor de hand lilt dat het aanta1 fouten in e ..n code.oord •

• a,rdoor hat codewoord overl8at in een ander cod••oord.~

ODd.tect.erba.r i ••

4

- 10 -

ta eall .. - d1.aolloDa1a coderulate, daD wotdt. 0'-, 4-Ori'ec­

tie aOle11jk te ••ken ••• ledere. eoda.ect"r •.-0;, .~,~.1~ ',:,.).,J' ·'i\:~·.;;;':

·yectore. toe'gevoecd. Word t aaa " ..rd yolla.8 ••• (I..•. 1&e

laatece vactoreD oatvaul,_ da. w.~.t dlt '.1.*~i~.~~~al. de codevecter tot w1e.e Iroe, de oatva•••• ,~'~i~~ be-

, , " " '. ~: ...:- ';'

alja .et betrekklol tot ~. te vatvaehte. fou~•••

o. ledere codavector aoet een .. - eli.e.lional•.",~·~i~~,,~rclan

leda~ht. A11e vectorea die binDea eea bepaald. b_It",••••

worden .a. een codevector toelevo.,d. Ret cod8r1a,.;~o"

bl••a 18 du. ook te aie. a18 het vinden van ••D jut.t•••1'-•

pakking van deze bol1en in d. coderuillte. Men atr••ft a.er

een dicht_c. bolltapeltng.

In on8 1.atste voorbee1d (fil. J) zijn aan de twe. cD4e­

vectorenz (0.0,0) e~ (1.1,1) re.p.ctleve1ijk (0,0,1), (0,1.0),

(1.0,0) en (0,1,1). (l.G,l), (1,1.0) toe.evoe,d. Ir.·b~eek

1 fout (echter niet aeer) aee .ecorrl••erd te kun••• worden,~

Schematilchs

zender kanaa1 ontvanserr -------------- r -- -------.., r- -------- -- - --1I I II I I 011-+1----+-\1\ II I I " fI I I I I I

. I 1 • 111-+--+-:1--1'" 1011 I .. 111 ... 1 f

I I' !I iI I 1 110 I I' IL ---- ----- -' Lt---- ---" L ------"

1 fout

Tradeu er tw•• touten 0' daD aa1 III bijv. over•••• 18 100.~. .

~, ." t' "

D••• vector va. echt~r toe.evoe,d aaa 000. aodat '~.j co~rea-

. tia onjui8t wordt uicsevoerd.

•

- 11 -

'o'I~::, t,

, , ':' ',r" , :.: 'c ';y i: :~7'~~ ; . ~ ~

Bat var.o.e. ~a. ea" code oa toute. te. eorri••~'••, " ••'t< ~ .' .',. •

. , .>,r, ':

"l.le fouten ta corri.ere•• S'tel ,.'.1 ~ cS'at ar •••'~,,'~'.,'l.. ~ . , .. '," ~'>:~'" ',,:;' ,~~r~ . .

, o"etre.e••an JUl••e••a .at un ZOI.1l.'••cI.,~.:r$i~~;"~ ". , " ',,' "',. ,,,' ,',\ ':" "{;;"t,:, ' .

, ,e.l:ror" .ethode. door achtere.avol•••,. all••£".·"t.~;.I'~~, ". " ", .~~,' "',, ..~.-:...~~'.... , ~ ." -.'~

8l1dere. (e.a "0" vord C' ••a· "1" of o•••teer') t·b.,.j"~;·'l." ' /:..~?~;J.j::r

welke poaitie da fout "zit. " " """::r'/<';.,)t'l~, .' ~"" '\+'~~:;jJ""~: ,~' ."R••• bijv. aan dat hat derd. bit lout t •• Ve ,YO_.',-L••":•.t

-" ,;.: :' ,".:~:,"~~:,<; ',:',.ell fout toe i" het lete bit. Deze 8ituatte .v...li~<-4(.:

, >', " .'."

,"> A'"') ,'- "J,~ .••t e.n fout toelevo.,d in het 2-4••it 1.v.rtf4t.o,;~~rA·

.' . "-.' :~'..eet twe. fouteD .at vol.eDs ,boveD".r••l~••aana.,. ....'4e-

<' ""., ",• i •• ~ ':._ t.;j.:-~·{:rl

tacteard .al worde•• Ve;teleD v. ecbter ••n fou.t' t ~~I.b. het

3de bit daft wordt de oorsproDkelijke fout o,••_ ~.~ ••, ' i ." ',',.':: :;.,~~,v

Opeenzelfde vijzekan wordeD. aall••too._ ~.l.;."Il:~:W"";'• ' 1,. . ... • ;"t:t >. ::' ""::~\'rif~;~"~'

41e. aile co.biDetle...... 2t of aladel:" foac •• ~~""~~~l't.. . ( , -'.. ~~, t \!/.if!1::f}'

iedere cO.blnette van t of .f.u4.r t01le'•• k•• }t~,~Ji,l"'•• '

- 12 -

Be••e.r belaalrijka aroep code. die lebrutltt It.......;". '. ~ "., .

wol'&la" fout ••cteteetia ea fouteacorrecti••ija .d.....

• lul cod.e. o••e al•••••• priucipe. ve. code!:'., .'"c1••~}

codar.a toe te licbte. zijll ill boofd.tult 1.1 (.'4.,,,1I~­

allll ee.-fout-detectere"d. ea ••"-fo.t-corrlS.......,,:eo.

de. t.r .prake leko.ea, Dit hoofd.tuk leat bi.I' .•,.'~.....J

ieta verd.r op la,

tie 4eflniereo .e e1. k • a/.,

Cod•• voor 1 fOQ~ detectle kUD.en we vor.e. 4oo~ a.- 1

bit. voor de i.formatie en 1 bit ale cbeckbit te gebrulk- .'

ea, ~et eheekblt ne.e. we &0 dat bet tot.e1 ae.tal e.e.

in .e••oord eve. vordt. Dit ,arityebeckbit ver.~r.t due

.ea even "rit.it, Treedt er .1eche. eeD fout 0, 4••••1

het a.ata1 enea oae.eD· worden ea 4.. bet par1t1cbeckbit

alet ••er k1D" •• , De redundanti. vaa de.e eo.~~••,

R. • ...!!-l • 1 + ....l.......- • n=ro••a. la._ reduadantia te verkrij.a. lull•• we a Iroot

soeteQ D••enl acht.r bij toe•••e.de " ae.mt ook cle taa.

toe det er in een voord .eer dan 1 fout optreedt •

. 0. .an 1 fout cor·risere.de code t. co•• truere••1j•••

vt .eret k van de a be.cbikbare po.itie. toe al. iofor-

.atlepo.itie•• De re.terenda po.itie. zijn 4ea ch,ckpo-

.t~ie., Oe vaar4e. yan deae _ poaitie. wordeD in bet

- 13 -

,c:od.8r1'roc: •• b.p.a1d door .en .ve. pariteit oval' be,••1-

d. iafor.atiapoI1tie•• M••• aan dat we ••n vDozd van

1eDIte n oDtvau'~D .et of cond.r fout. Stel v.r.er. dat',::\.

w. acht.r.envo1Ie•• aile • cb.ekbitl b.kijk.u ••••• 0

• "opBchrijven" ale de parita1t klopt .n e." 1 al'~~:':Jpa ...

r1teit aiet klo,t. We varkriJa.a 01' •••••aD1.~. ;.~tlj-·'i

v.lid van r.chts aa.r link•• een rij van 11 Dull.".a •••ll. , ' . .

die ia 01' te vatten 'ala .en bin.ir I.tal. b.t .~.~j~.4.

cbeeknu••• r ••n lullaa nu .er.i.a. dat dit letal jut.t, "

de poeitie a.nga.ft .aaria de tout i. 0PI.tred••••et .a­

tal, nul betekent in dit vet'band t!at et' , ••n tOGt ,:1.....-

d.tect ••rd. Dit binaire getal 1I0et n + I .er8cbl11••d.

ao••lljkhedan kunuen beachrijven; a.l. a mOJelijkhaden

van I fout en de aituatie dat ar 8~en fout optreecle.1ft '

Ee. voorvaarde voor m i. d,n 2 ~. + 1. of oaetat ill .. Jl ... ka

2 It~ 2n Ie a + 1 )

Ket behulp van d.ze betrekkiag kunnen .a au voor 1.,8ve.

k, da lIiai•• la n bepa1.n.

.'

Bijv. t It .'1 r

It • 2 ,

k • 3 ,

.tc.

D • 3, II • 2

D • S. 11 • 3

• • 6. 111 • 3

Om aaa d••ie, dat bet ehecknu••er jui8t de po.iti••ao

4. tout aa~8•• ft. te voldoen ie af ta 1.1deo dat de lete

par1tycheck over d. pOliti.e, 1. 3. S, 1. 9, 11 •••••

.oat vorden •••0 ••••

'o,er d. 2et. pari t 1che'ck de po.itl•• f 2. 3, 6. '.' 1,0. 11••••.'oar ete 3cta paritycheck de po.itie.: 4, 5, '. 7. .1.1, 13 ••••,,h.oyoort.

- 14 -

'11.1•• VOOI' • • 7. • .. ·4, e. t • ;1

1- ,art ebeck I poaiti•• 1, 3, S· 7• •

t e par. eheek I poettie. 2, 3. 6, 7

,. par. ebeck I po.itie. 4, S, 6. 7.;

4 " .' .,',-!/~·.t .~:

24ter.iJ~

"",.0-.,. eo4e 1aat • 16 cocle"oordeo toe, _t ~~ ,

..··7 .- .~

a -16 • 112 voorden a1ju aOluSer betekeDl••

Vo.r eo••l.s toep•••lDle. i8 het tln?o1 het c04.".o••

• &.1'11l al1sen .aar nul1en ?oorko.ea. uit te .1.1(•• ·op-

dat het niet .et ".een bood.chap" kan vorden .81'''1'••

Ve bekijken au boe de cOl'rectie ?erloopt indle. w. het

codewool'd'011l100 uitaeaden an er ta de 5da poeitte een

fout optre.dt. In de ontvanler wordt daa 0111000 oat-

vaalen. Het binaira aeta1 (checkuua.er). waarin het 81

d~n' niet juist aijn van de 3 checkbite door I'e.p. eelr 0

en een 1 wordt aangesevao, is 1~1.

D.w ••• dat da Iste en 3de checkbit Diet correct i ••

We ziea dat dit geta1 precia. de po.itle aan.eaft v••r-

in de fout zit en .al po.itie S. Correctie vaD d. beod-

8cbap houdt in, het .eranderan van de 5de positie vaa e ••

o ira .eo 1.

Ben 1 fout carrigerenda - 2 fout detecterenda code yer-

krij.eo we door DOg een extra cbeckbit toe te vo•••••

De Ra••inlcodee Bullen al1e tot de Iroep van cycl18che

cod•• blijlten te behoraa.

4 - IS -

3. SYCLlSCBI COD,S.

3'1. Al'••"D.I).finitie We ao•••a e•• woord v•• a bitl C·O' .'1,•••• ,aa_l)

••n ~wo.rd va••en eyclilcb. cod••1. oot

C. l' .0' ·.1'···. a 2)' " ...kr.s.a eJoor all.a- . D-

~it. o,.clt,oJa ••• plaae. Ilaar r •.cbra. te ••1'-

Ich01".a, .••• .ss.4!wool'd il.

'oorb.ald I: la. co••n•••d. ". \lit 0"- code t. "Ol,_DI bo".a­

It.anda d.flultie ••a iyelilcb. e04•• I_der

woord a.l. vaal' jullt II eDaa ia "oork~••n i •

• en codevoord. len codewoord .al .a ••8 cycl1-

acbe verscbuiving e.ncelfda aantal euan bayat-

ten en due v•• r aen codevoord opl.v.~.u.

Voorbeeld 2: De 1 fout corrigerends 8a.llin& cod1.".,.1a'8­

lijk ~Dorle.teld 1a fia. 3. il ••• cy~l_lcb.

code. Oak hier geldtdat ••a c:04••001"4 na cy-

elisebe verecbulvial w••r e.a cod••oord II .n

dat I ••n enkel ander woo1:d na eyell.clte "er-

Ichaivins .en codewoo~d .seft.

Wat bij cyclilcbe codes precl.1 onder ean code.oord _ordtI .

verstean zal in het navoll_nda duid.lijk warde••

v. bebben te .akeo .et bet coderen van een boodacbep van

k bite en de to.voe.ing van 11 - IE. bite ala aen ch.ck.

Bet 1a in deze belchouviDllwijze le••kkelijk om d. binaire

iafor.etie voor te stellen all coefficie.ten va•••D po1y-•

aoo. in de dua.y-vari.bel. X.

.. 16 -

,aij••orbeeld de bocrdach.p 110101 wGrelt voors••'t.la door

d. ,p.lyftoo. 1 + X ~ x3 + xS. De.e po1yuo~eu ••11•• 901­

,~;' •••• d. 'wetten v.n de noraale b1aaire .lSebr. wor4... h.·,;~a~da1d ••11e•• de optol1101 seachiedt .Odul02(.'~ .p­

.a.di-x S. 3) •

1.X· t,X- O.X· 1.X· O.X· <.1.Xa

'o,elat + • + • 0.1', +a ,- a

ltX•~..x + O.X • 0.1 •. a a. 1.1t • 1.X

I ••• opte11108 1 "er.aoilvu1dia1a••

x3 4 x3 41 + X + ,+ X 1 + X + + X

2 4, X + X + X I + X,x2 x4 t

1 + X + +X3 '".,I + X + + X

x3 4 2 4 5X + + X X + X + x:+ X

'*"

x2 3 51 + + X + X

Uit de rele18 volSt dat b1j mod. 2 r.koavij •• optelle.

ea _ftrekkea ideatieke bewerkinlen a1ja.

l.dera cycllacbe code wordt .eken.erkt door ••• 80ge-

••••d. baaiapolynoo. P(X) van d. graad n - k.

Defi.itte Een ,olynoo. v.n e.. sraed kleiner d.. • t.

een code-po1yocoa (. coda.oord). d.l ••ceap.

t.bal "001' veraendi••• all.en ala hlj pre·

cie. deelb.ar i. door .an b.ai.pol,.... 'CI).

Vol.eDS delte defiait1e ia de 8Q'. ,••0 tvee cod.pol,ao.ea

•••r eea codepolyuoo•• 'vaat .1. 'l(~) •• '2(X) 'olyo••••

&1ja v.a de,lraa' klein.r 'ao _•••lk. d.elbaaz a1ja

- 17 -

.~ .;) ',-

door P(X), d.~ levart Ff X) + '2(1) een polyaooa va•

. • en araad kleiner dan n en deelbaar door P(X).

JUt. betekeDt dec de C1cl;i.ch~ code. beboren tot d~lr.ep

van 1iDe.ire code ••

I~. Iroep v.n k iDforllatiabita wordt aod801, o."eo-';/,

d••rd, d.w.a. de cbeckbit. vor4.n ao ,eko.en. 4.~ d_

verkr•••ll 11 blt8 .e.ieo .1. coefficient....." .'.:"ly-

, Moa d••lbaar wordell door ,,-.0 ceko.en b•• l.pci,1,,,oo••,

Sat check.idd,el .al de controle 81j. aan d. oa~.j:""lt-,. I- : ".....

'" "1

~&t bet navol••nde aal blijken dat de keuae

~ijd. van d. dee1haarheid van de ontv.a.en

4. ~a.i.po1YDOO. pel).

Po1.7.0.'~t~oor":r~' ~~;,.~~.. ',' ~'-';'

v~~' ~~".~ba-

•

ai.polynooll 8ameDh.nlt .et de le.anate fouteu deteetie­

ot fouten correctiecapacitait.

,We aluiten de' a08elijkbaid det r(X), X a18 e.a f.c~r

h••ft. uit oadat dit 1I0U betekenen dat iadere co••po-

lyDOOIl X ala eeo factor beeft (.i. def. codepol,oooa).

Dlt boudt ia det dan de Dulde.re.dacoefficiant veo .11.

code.oord.n nul ia, hetaaen deae'coefficient auttsloo.

a ••kt.

aiju Doe.en .a ••n boodacbeppolynooll G(I).

o. DU .an bood.chappolynooll O(X) te codereD. d.l••••

so-kC(X) door P(X) en tel1aa da reat a(l) ve••••• ,4.­n-kliDS op b1j X 0(1) oa de codepo1,uooa te vor••••

ne .e1iul kunne. we b••cbr1jve. doorr

"

- II ...

• aa,tn Q(X) hat quottent ell R(X) da reat 1a ".;;•• :1....n-k .i", :':;'l;~~~ .' '

l1n, van X .G(X) door P(X). a.etat ia de .od"I.,:11;-:,--

k•••lj •• OP~~~l•••••f~r.kk•• 1•••~1.k .1j...~~~:~or, .4l .'.~od••rd. boo-chcbappolyaoolll P(X): ' ,

.. • t.! 7.

¢,odapoI7Dooa. Ian i.ta a04er8 foraularina (.18 ap,'.•"lX

- n-k5.3) •••ft: red.c ••r X .G(X) 1I04ulo P(X) ell '~l., \.·.,·· ...>t

rex) • xn-k.G(I) + R(X)

xa-k.G(X). R(X) (lIIod. P(X»

dua reX) -- R(X) + R(X) • 0 (aod. 'eX»~

d.v.s.F(X) ia daelbaar door P(X).

( ) n-It 'a x h••ft .aa ,read la.er dan n - It en X .G(I) haett

••1 - coeff1c1antea 1n de 11 - It la•• orda t.r••••

• D. ~ hooleta orele coefficient•• yan P(X) aija el••elC~d.

al. de coefficienten van G(X). ete 1nforaatlebit.~

'/".'

Q. la•• orde n - k coefficienten va. F(X) .ijil,j.U,l'~ de

co.ffie1e.te" .aa "(X), .elk. al. checkbite 90.rcl•• t ••-

Voorb.: a.achouw ee. cod••••rvoor • • IS, k - to c.dve D - k • S .et al. b.al.polyllooa.

2 4 5 'P(I) • 1 + X + X + X • o. et. booc1.eh.p~

1010010001 te codereo. dle corr••poa4e.rt ••t

de ,.1~llo•• ,0(1) • 1 + .2 + xS+ x', 4.1.11 ••

•

•

~ 19 ...

1'.0(1) door P(X) en vi.da. de re.t.

Da delia, kunuaa .a 'aachrtjveD doowl

x5 7 10 14 Z 4 5-+ 1 + .I + X • (1 + I + I + ! ) .. . ,

L .,. , \ V~

I'.C(I) P(I)

+ X + 12 13

1.7 8

Xt > +.(). ••)(1 + + + X +\. V

, '--v--'q(X) I(X)

Da codepol,Dooa rex) vordt savor•• door d.5 I· '

rest (1 + 'X) blj ][ .G(X) 0' ta telleat

.. 110001010010001L L yo

,... i> ~ ..

+infor.atiabita

checkbite•

Niat iadera wil1ekauri,. P(X) levert eode.oorden vaa .a.

cyc1iache coda. Wa aullen ••ntoDen dat deartoe ••• de

•ela aoet vorde•••acald dat P(I)· dealb.ar la o,· X+ 1•

• aarin D de lanlte ••n .,. code.oord 1••

Te bawlj.an due dat tedera cyg1tache var.chu~vinl van

aen code.oord wear aaa- codawoora leaft, of.al .aar 4ael-

baer ia do~r P(X).•

lea eyc1iach. veracbUlv~DI I.eftl

•a-1z

+ • ][ + a Xo l'

. a-1+ ••• + .).....1 •_.... ,

• 1,,(&), :""8._1'1. + ••~l, .

), .

•

- 20 -

.x. r (.X)D

DU' dee1baar Eijn 4001' 1'(.1),- a X + a 1 .eetn-l n-ofvel.

·X.F(X) - a XX + a := 0 (llod. P(X»n-l n-l

Optellea 1a aft~ekkeD. due vordt verei.~ dati

aI,V(X) + a (X + 1) E 0 (mod. ,(X»

ft-1

aodat nOI overb11jft, de elst

• (Xn + 1) ~ 0 (mod. P(X»n-1

.lIs II • 0 •D-l

a' • 1 tD-l

triviaal

xn + 1 a 0 (mod, P(X»"

4

In~erdaad moet dUB worden vere1st dat p(X) deelbaaT 1,

op XII + 1.

len .ecodeerde boodachap, dle fouten bevat. kan worden

voorsesteld door. B(X). ,(X) + E(X), waarin F(I) de

correct .ecod.erde bo~dadh.ppolynoom i. en E(X) ••n po-

lynoo. dia eaa niet - nultarm haeft op i ••ere fout. '0-aitla, De opte1linB le.cbiedt mod. 2 du. F(X) + ~(X) i.

de werkelljk lecod.erde boodachap .et de fouta poeitie_

verandaI'd (0 wordt 1 of 1 wordt 0),

Al. de oatva.,ea polynooll 8(1) niet deelbaar i. door

,(X) ~aQ 1. 81' keaner~ljk aaa fo~t opsetredea, t. B(X)

.el daelbaar door P(X) dan 1_ B(X) eea codepolY'\o•• e•

• al aaa de ollt"anl_taijde worden ••accepte.rd., o'..OI.OOIl

er loaten (ondetecteerbara foutea) ta kuaoe••1t'.~.

- 21 -

"

oa,:., "(J' ao wae .aeon.trueard dat het daa1b••", t.

doo~ '(I), 18 U~X) dealbaer door P(X) al. I(X) k.i, ,

ook 1•• Vand.ar dat aen toutaopatroon E(X) all••a ~.­

tact••rbaar 1. ale het .niet dealbaar 1. door P(X)pt due

ale i(X) ·•• If ••eo codapolynooe 1e.

• • of: , - ~

polynooli P (X) ao wordeD .ekozen da t 8een foutell'·.,t~'OO*,f.,

I(X), dat we wen.eu ta detectera., daelbaer 1.• doorP(X).

o. louten te detecteren delen we da ont.an.e~ ~ood.chap

R{X) due door P(X) an te.teo da reat. Ie deze r •• t nul

den ie 81' of leen of ean ondet8ctaerbara fout le.a.ke.

. Voorb. z ·P(X)'·· 1

l(X)- 1

245+ X + X + X

S 7 10 x14+ X + X + X + X +

• 110001010010001367

I(X) • X + X + x.

• 000100110000000.

B(X~ • F(X) + ~(X)

• 1 + X + x3 + x5+ x6 + xlO + xlI'

• 110101100010001

». r •• t d1. vollt utt da de11_, van H(X) door2 . 3 4 - '.~

P(X) is X + X + X an het fatt dat"t olet

nul 1. tooat dat er e8n fout moat 8tja oPI~tre-

den. De.e1fde raat verkregen we ale E(X) wordl:

8adee1d door P(X), o.dat F(X) dea1baar t. a_or

P(X).

•

- 22 -

len cycl1~cbe code .ebaaeerd op eea poly·-

noom P(X) IDet meer dan een term detect.art

ten.inste aIle eakele fouten,

len eukele fout 10 d, i + Ide positie cotr.apoade.Tt •• t

ieeu fouteopolynoom E(X} • X • Om detectle .an alle eo-

kele fouten te "erzeleren is het nooda.ke1ijk te ver­

elaen da~ P(X) niet dee1baar 18 0' xi. !r a.l echte,

._kar seen po1yoooa .et meer dan .eo ter. 8ijo die dee1­

baar. i. op xi. De e.avoudllste polynooll ..et lIeer dan een

terll i8 1 + X.

Iedere pol,noom die dee1baar is door 1 • X

heeft een even aanta1 termen.

"

+•••• • (1 + X) .Q(X)

Subatitutie van X • 1 1evertl

P(l) • 1 + 1 + 1 + ••• • (1 + l).Q(l) • 0

!r staat eeo "1 ft in F(l) voor iedere term eo oIDdat d.

aoa Dul 1a moet bet aaotal teraen even .ijn.

Hieruit vollt dac .en code aeba••erd op de baai.poly­

Do~a P(X) • 1 + X niet aileen iedere enke1. fout a.ar

ook i.der on8"en aantal fouten detecteert. In feite is

het checkayabool een "overall parity check". dat 80 88-

koaea wordt dat het totaa1 aantal nietnul teraen in de

eodepolYDoom even ia.

la••ra po1ynoo. van de vora 1 + XC be.at ••n factorc c-1 c-2

,1' + I, oadat 1 + X • (l + X) (J + X + ••• + '1) •

- 23 -

cD.aroa zal, ala P(X) ee. factor 1 + X bev.t, lede-r

o.e"•• a•• ta1 fouten worden "'detec:tee~d•

• Defi,ait ie. Van een pol,noo••ordt .e.e.d te ~ebore.

.tot .en expon.nt e ala hij deelba.r 1a 0'•~. + Xa.ar aiet op .en andere poly.oo.

i ...~•. de 'vorm 1 + X .et i <e.

'.eo code leb•••• rd op d. poly~oo~ P(X) detec-

teert alia enkel. e. dubbele foute. ala d.

lenlt•• van de codewoordan niet Iroter 1.

dan d. exponent a waartoe P(X) behoort.

bete'ctie van aile dubbele fouten vereiat dat P(X) nlet

deelbaar is i + ~j iedere i,j <neop X, voor

We kunaen de uitdrukking X~ + xj

(veronderatel i<j)

schrijven ala X~(l + Xj

-i). Uet i8 voldoende te vereiaen

dat P(X) niet deelbaar ls op 1 + xj - i omdat van P(X)

wordt veronderateld geen factor X te b.sitten.

Bebter j. - i<n-<:e en omdat P(X) behoort tot exponent e,

t. P(X) atet d••lb.ar op 1 + xj-

i •

De eode, sal due aile dubbe1e fouten detectareu. O.dat

P(X) alet deelbaar i. door ~ en .aker niet jui.t de co~-

ataate 1 kea zijn .oe~ bet .eer dan een term hebben en

,.U'ilen dos ook alle eralt.le fouten vorden sedeteete.rd.

II' kan worden aan8et~0lld dat er voor iedere _ tell.llist.

e.~ 1'0l,..oom POO be. teat v.n de graed m. 4i.' he1,lool't

•,tot • • 2 - 1. Dit 18 de maxima••ogelijk v••~d. van!

,a.. Polyao••n .at de•• ellenechap (aewoonlljk p~i.itt"va

polyno••• ".elloe.d)atja niet 'larder te var.e.uvou'd1'en,

"

\ ... Z4 -

ct .....·••1ja ai.t deelbaar door ••• and.r. ,01-'.1l.00••

£eft ••utal vaa de8. polyDo••• worden leg.vea ia .ppeD­

dt. 5.2. Voor .lk. a b••taat er du. e.a fouteaAet.e­

ter.ad. ~od.. d~. alle .nkel. en dubbel. fouten 4.t~c-

•teert. van lenl~. a • 2 - 1. Beb••••rd·o. ee~ polfDooa

•P(X) VAn de araad m aa due a eh.ekbtta aa 2 - 1 - •

tafo~aatlebita h••ft.'.y

Er kaa wordea aanaetoond dat ·de•• code. volled11 equi­t'valeat 81jn aan de Bamming eea-fout eorr1aeread. co~ea.

E.n cod. leb••eerd op de pol,ao08 P(X) •"

P1 (X) (1 + X) d.tecteert all. eakele. d,ub­

bele eD drl.voudi,e fout.D al. d. leDgt.

van de codevoorden nlet ,roter 1. dan de

exponent vaartoe Fl(X) b.hoort.

De eokel. en drlevoud1,e fout.n vordea led.teet ••rd

door de aaa••aiaheld van de factor 1 + X.

, De dubhel. fouten wordea ledetecteerd oadat P (X) be­l

hool't tot '4••xponeat • > ft. Code. vaa aaxiaua l.alte

reaalt.r.n al. P (X) ••• prla1tleve pol,noo. 1••I

ne•• cod•• alja .qulval.at .an de Baaalal ••a-fout cor-

ris.r.ade. dubbel-fout detect.read. eo'e••

De bevetiDI det een b••t.polyaoo. t(X) •

p(')(1 + X) all. eak.l•• dubb.l~ •• drSe­1

voudi,. fouten det.ct.ert al••••••••e.ft

niet ••• «at ••eo v.a de patrone•••c ..... r

fout•• ·4et.et•• tbaar 1_, docb 81ecll'.' Ie

•

,•

,.

• Z5 -

vo.cU•• foute. worde. ledetee: tae"et ~ •••

Iroot perceatase van de patroD.1I ••• ·Y~.~

fouten .al teve.s worden ledet•• ' ••~4.. &••. .•• o,..erk1na .eld t teven, voor •••,•••••

"'I ""',

b•••.ria••• 10 dit hoofdstuk••aar ••,1d',~•• praakword t ledaa.. o.tr.1I~cl••• t •• ~.•".'.­

,acit.lcen van .a. cocla tacit.•••••~~:·t:Z~o-

lynoo. aaft b.paald. voor•••rda. vo14oet.

- 26 -

Definit1.,

,.

'.11 "burst" Y~n lGnlte b i. i.der ..attooll

Yall fouten, •••rvoor het ••nt.l bit, tu.-

.ell de ••r.t. en la.t.te fout Inclu.le1

a•• e fout.a, b i ••

Voorb.1 De fout.npol,noo.r36 7

leX) • X + X + X • 000100110000000,I

1••e~ bur.t v.n d. 1elllt. S.

leder~ c,cli.ch. cod. I.b••••rd op ••• ,.1,-'"'i:

noom y.n de sr.ad n - k deteete.rt led.~. burst

van •• lengt. n - k of ainder.

'U,t 1. duidelijk dat iedere foutenpolynoom, die eell

burat voor.telt kan wordeu ontbonden in de Yora. i

£'(1) • ,I • El(~). w.aric ~1 (X) v.n de ,r••d b - 1 t •• D.-

•• b.rat k.n vorden led.teeteerd .1. P(X) nl.t deelbaar

1. op E(X). O.d.t v.n de ba.i.po1,nooa wordt v.ronder­

.~eld, X niet ale factor te habben, kan bij .l.cht. deel-

b.er alja op I(X) ale hij d.a1b.ar i. op B (X).1

Behter .1. b~n - k. 1. P(X) v••••a bo.ara ar••, dan

11

(1) en kan er d••r~•••ker ni.t op d••1b••r .tj~. len

hoo. perc.nta•• v~n 1ansera burete vordt oolt nOI .edetec-

t.erd.

Bet ••d.a1t.· van d_ bur.ta •• t l.nate "> ...... It

-(n-It)etat aiet ledetecteerd wOl'c1t 1 •• 2 ·N,.,·

-(8-11:-1)b>. - 11: + 1 .n 2 ale b • Il _i'i. 1.

,4

Bet foutenpatroon i8 E(X) ..

.,P(X)

-' 27 -

iX E (X). vaaria 1

1{X) de

o 1 b-l&read b - 1 beeft •.1

1(X) .. X + ••• + X • Ir zijn due

b ... 2 ter'.en Xl waarvoor .eld t dat 0 <j<b - 1.

Deze b - 2 tat.en kunnen a18 coeffiet.nt e •• "0" of.en

b-2"1" he~bea .odat er 2 a 0 1 e1 1jke pol1ao~.D Il(~)

_taau. De fout wordt niet ledeteeteerd al. 11(X)~

ala factor heeft. E1

(K) .. P(X).Q(X).

a.dat P(X) de Iread n - It heeft aoet Q(X) de Ir•••

b - 1 - (n - It) taebben. Ala b - 1 .. It - k d.n ..•• q(X) .. 1

en ar i& alechts, ean 11

(K) die result.ert in .an ondetec­

teerbare fout, n.1. I (X) .. p(X). De verhoud1ns van hetI

aantal oBladetecteerde burats en bet totaal aantal burst_

ie deeroa: 11 2b - 2 _ 2-(n-k-l).

Er zijn daaroll

o b-l-(n-k)k, bevat Q(X) de termen X en X . •

b-2-(n-k) .2 aogelijkhedeD voor Q(K).welke

•

oDdetect.erhare foutpatronen leven. De verbouding YOOr

b-2-(n-It) b-2 -(n-It)dit seval i8' 2 I 2 - 2 •

D, cycltache code ,ebea••rd op .en bast_pol,-

noo. P(X) • (1 + I)Pl(X) detecteert ladeI'.

co.binetie van 2 burats yan de lenate 2 of ain-

del' ala 4. lenste van de code, n, Iroter i_

dan e, de exponent waartoe Pl(K) behoort.

,0. 41t aen ta ton.n beachauwen w. de vier ao.elijke C,-

p•• foutpatronen. Stel i(j.

1. I(X)1 j

.. I + X

(Xl1+1

xj2. I(X) • + X ) +

J: 1+1(XJ j+l

3. 1(1) • (I + X ) ... + X )

- 2. -I·

»a .oa.lijkbedeD 2. en 4. hebbe. ~aa onevan a••tal

loutea .~ _or4ea due sedeteetaerd door de facto~ 1 ~ X

in P(I). Voor 3. kunaea ve 8chrijyen I(X) • (1 + X).

(Xi ... xJ >. ne factor 1 ,.. X vordt 0PI.he••1l 4oorde~.e-

tor 1 + X ia P(X) en 've sullen due ••01' ••.,..:,1. l.' ,sa '$.'i' j:~ ,,' -

ao.ten verei.en dat X + X aiet •••~ba.l' 1e d,oot1j(',I).

In het voorsaande i8 reeds a.a•• tooad dat dtt tad.i.a••, .. ~ }

ao i. indien n Diet srotar is dan e. d••x~oaent ~••r'·" •

, I ';'

•

De d'ivars. mOlJelijkhtiden ten aanaieft van da detect).., . ',I

van burets en random fouten kunnen aatuurlijk ••com-

bineerd voorko.en •

•

- 29 ..

Uit dit boofd.tuk za1 het voordee1 h1ijken van bet ge­

bruit van cyc1i8che codes. We au11en n.l. a1en dat .0­••1 het coderen a1s het decoderen met een reletlef e.n-

youdi.e sehakellDI lerea11seerd tan worden.

Om een hoods chap G(X) te coderen hepalen .e e.rat

~D-kG(X) door toevoe.inl van n - k nul1en en dele. ~••r-

l1-lt 'na I G(X) door ee~ po1yDoo. P(I) van de Iraad n - k.. n-kT.~.lotte wardt de verkre.en reat blj X G(I) 0PI.teld.

Blj het decoderen de1en ve de-ontvaDgen po1ynoo. H(X)

doorP(I) en testen de rest.

ne eulae Dlet-trivia1. man1pu1atie dle moet worden uit-

.evoerd i8 de delins door een vaste po1ynoom p(X).

We zu11ea deae de11na eens nader beschouwen.

"'anneer we de de11ng van bljv. de po1ynoom:

X8 + X

7 6 4 3 3 2-+ X + X '+ X + 1 door X + X + 1, met de -hand

ultvoeren aiet het e1' a1svo1gt uitl .'

3 2 ! 8 7 6 4 3+ l\XS 3

X + X + 1 X + X + X + X + X + X + X + 1A -1 c -1 8 7 S

X + X + I

6 , 4 3I + X + X + X + 1

6 5 3X + X + I

4X + 1

X4 3'• + ! + I.,

X3

+ X + 1

X3

"'+2

X + 1

X2+ X

- 30 ..

len iets an4ere aotatie 1evert:

6 .5 4 3 2 1

( + ~ ~. ~7 ~XO 4 x6 X8

+ o + 0 + X + X + 0 + + X +-1 5 0 1 7 "1 8I +,0 + X + X,

XO, +'0 + x3 4 5 6+ 0 +,1 + X + X + 0

• .A 3 0 ..'\ .5 --l 6X + 0 + X + X

0 , 4X + 0 + 0 + 0 + X + 0

3 4X +- 0 + ! + X

to 3+ X + 0 + X

0 2 3X + 0 + X + X

20 + X + X

le s.5

X 11••1e

Z . o •••1•

3e

s3

X 11••1

e 0 •••14 :e

5 : X ••t1

6e

: .i aaal

De te vo18en methode is alsvolgt:

Begin te k1j ken naar 'va t onder p 1j 1 1 sta. t. Er at•• t

8 523X • dUB zet er X (1 + X + X ) onder en tel op (mod', 2).,

, In het verkreBea tue.eure.ultaat kijken we nu on~er

pijl 2. Ir st.at een "0". dUB o .a.1. Kijk nu onder

6 3 2 3p1j 1 3. We viaden X , due te.l er X (1 + X ,+ X ) b1j op.

t

Werk 80 .chtereeavolaend alle posit1ee at totdat de Bread

van het tue.enreaultaat kleiner 1. dan de Braad van de

deler.

Door alleen .et de coefficientea ven de po1ynollen te

.e,ken en 0 •• ,.lecht. te bekommeren 011 de re.t, kunDeD

ve de de11ng nog korter be.ebrijven.

Bet doe1 van de delial 1. slecht. hat v1n4e~ ~an de

reet; bet quotient vardt bij de coderiDS .14ft ....r ••-

brvikt.

.. 31 -

ond.~ de pijl die ve bek1jke••en "l"_~~!~ndt. We tel---_._~-"""'''''------''''~~'''''-''-''-''--''''~'-'''---''-'-''"''-''',._._..,< ..."".""~-,."".~~.,--_.~"., __I,,.~,.-...,

len er dan 1 0 1 1 bi~ op (moel. 2) .-n .a.D .e~d..r.-

Stand er .ea "0" dan sebeurt er Diet ••

-Wa b••chou••• DU de .cb.keliDa. veeraeaeve. in f1a. 4.

100110111 (dealta1) D a achuifre•• ­e.Db.tel

® ., ••clue1•• or(_od.2 opt.ller)

•X

3'----------- ...1...- --1

./1 L) ~"'1 -"\ 2 3

fil. 4. leD .ehu1fres1.ter veor da11DI door 1 + X' + X •

"

- '2 •

o. ~.r.lko"ellDI ie .ao .ek••on dat de.e corra.,on-2 3

ct.ert .et do de1ert 1 + X + X ,

ne be.eriBI ia, dat er, n.dat bet .ehele dealtal ta ~.t

.chulfra.later 1a leachoyeD. pracio_ da ra_t 0.1 1 in

i. o.erlebleven, Wo aloD dat ook bier _lechts teta le-.....__-""'-..l."_..-·...'-"_····"_"",,.·,~,.L _. ""~"" .,........,~._'''".'''........-....-'',...-:-~

b.urt ale er een "1"· bet rechtoreind v.n het r ••i.t.~

ultachulft. ne 4eler. wordt clau .,1, auto.ati_eh .fi.··trokken ( • op.eteld).

len shift van bet realster 1_ te v.raelijkan .et bet

beeld, Ret .er_chll is dat bet opte11en ••0 de deler en

4e abift te.elijk pl.atavinden (indleu or eeD "1" uit-

I achaitt). O. het achultregiater utt fla. 4 te a.bruikon

voor coderiD, bren.aD we .en k1eine aodific.tla .an

(zie fil' S)._ Olldot de rast da D - k nul1ea lIoet var­

vanaen om d. lecodeerde bood_chap ta vor.en i_ bet .ood-

.akelljk de boodscb.p ~ - ~ achuiltljdea te vertr•••• ,

r(l)

I,

.+1--.......-

~------~d.l., .&0 D-k .hift.~------~

or .ija .,1. D - k 8chuifreaiater eeDbedea,,• n-kX 0(1)

't~.. 5, len •• thode 011 .e. bood.cb.p Q(X) te codet'.~.

• 33 -

'"1.. 'et ••,ta Ie d. ,.ort GloP•• ell 02 4i_bt, aodat d•

• _.e It•• word.1\ ber.kead.

Rad.t 4. boodach.p plu. D - 11. Bullea i. ~•••at~ov••

'FOI'4t 62

.eop8.d en 01 le.lotea. De Il • k ."~l•• ia;,.d.

ouc»ut Ittuua•• Il. door de t' •• t worden very.*.e..""

D. del., v.n n - ~ eh.'ttljde. kaa vord••••1'••4••, .la

f11' 5 vo~dt veraaderd Is fill 6.

• G(I) of H(X)

..co•.•rd.1JOO~.Ulb'.· "XI)" ',; r----............

•ti,. 6. Ie•••er effielaat clrcuit yoor coderlDI eu

fouteDeI.teetl•• P(X) • 1 + X2 + .3,

ID f1a_ 6 vorelt de pOl,DOO. v••rdoor worde l.de.1d lD.

b.t "ho.a orden 81Dde " •• bet re,l.ter , ••ehov••• Dit.-11.1. het.eltde .1. ver•••1S9u1el1.1•••et X •

01 ie in eer.t•. la~t.~tie ••o.,aad •• 02 a. 03 •••10t•••'a-It

W.dat X O(X) 1••••••1e1 door 7(X) vordt 01 , ••1oteD.

.Il 02 all 0, ,_op••••••• t •• 1'•• ' In d. y.l,•••• D .;.. It

.. 34 •

.......:lat .~ ".t: ku'•• ook .001' f.,.~ \••.'4- " lk•••••• at. atae 1(1) kl(l).....(~; _I~ J......t ,~ ....t.y •• 'at ·;,t. Jt(Z'

.-t·,tl••~•••1r •• "0.. P(I) •••• x· tCXl It , ,

s. , 1a.1t~." ,. ,•• 'eX) .41.-' f.,.,..v

'tel' I ~••••••1 ·.ot to's.•• 8(1) at.e •••11•••••• &lo.~

'Cll. X··kS(I) 'Letd••• ateC •••t ...r .tj_.

,,

•

- ", ...

1

In .be~,.:' '~'''D•• ie r.e4. oPle••rkt. dat d. k.u••, / ~" ..

tl•••••;";:~:r)..~,.~k vaa d. 4.t.ct.r.aela of corr1••r~.e., >t'~ \",:\:,::C ",,;,,}, 0>,,,,.

....,.~.~'" ,:t,i.~••••• cod. afh••ae .,au de .o••11jkhald..:.~>~ .,' "/-.:J,;\ . '. . f • ~ .-

~ot~.Jt- ~ d. o••I.baarhaid .,.a d. 1Dfo~••t1••

W••1•••• 1>1j· ".t '.'..ullt .,aa 4. foucellcorri.er••4.

cap••'tt'eit tt••t qa4el'.cba:l.d t •••k••• ook

••• cOl'l'ectieprocaclure, tU••8. d. corr.cti. "aul,• 1. 'u..st.

la. bar.t 1s .a.voudll ta 'V...... t ••••1•••a .r~apj_ 1:»tj-I

81ta.r lil._ud. fout ••• ook .al "Iecluat.rda IO.C~A"

I.n~e.cl. De b.a••ial - ra.dom foutp.Croo. - i. D~.t a.­b••l corr.ct, bie....... vor4&••lle patron•• badoel••

waarblj het o,tr.d.n ••a d. fout •• aiD of ••er 1'.040.

tot e~aD4 koae, I.cI.r fouta.p.troon 80U 80.81 a•• ',buret-

patroon ale een rando. fo.Cpatroon '8.0••d kaD.a. wor-\

• a.... D. ban••iul hanlt al y.. 4a •••1.1' wa.ro, .a. -pa-I

cl'ooa (.a.r all. .a.r.cbijaIj.j tha$.f) oat.t.at,

Set optreclao 'Vaa. ba,••l'. foutp.troneD. h.ta1j in de

vora va. burat •• het.~j ia cia 'Vore v.n r.ndo. fouten,

ie veal.l,el••n ••n eaa h.p.ald co••uDlc.tie~I~%aa••. ' ._-~ ,-,", ,\ ','

~o-.al bijyoorbeald ee••yet.e. waar aen .,Dchroni•• tie

hij bat ••g"oeren v.n iafor•• tie wordt lebra1kt, hat

fout,atrooa. ",)ij t.diul of .torin•• in het .11••••• e.n

burat &ijDe I. d. co••uaic.tie tu.ae. co.putera of eoa-

put.....unit. Bullea da.rect.g•• , bijv, t ••• v, te.per.-,~"'/ ~---~-_. *--------- -..-

•

-.36 -

.tuuc•••~laCl••• ' ~aDd•• fout.a o,er.de••

De corr.ct1. cap.citeite••ao· ••• cod. t.a.v. d•••

tv•••oor~•• fout.~patroDeQ .1J. v.r.cbill ••d•. I~.lj.

~o4•• 41. blj •••••r I ••chlkt .1j. voor d. corr••tt. :• •

v•• bwreta •• a.der. code. dl. bu••p.clfiek••••ehlkt-

h.td oatl••••••• h.t f.lt 4at ••••• laool ,8....... t ••_

B.c i. v.l 80 d.C e•• code di. al1e foutpatro•••••• t

of .1nder r ••~oa fouce. t •• 001:1:1.el:en. ca.e•• In.,taat

i. tea.i•• t ••lle bur.t. ve. len,te t of alader te cor-

r1,_ce•• D••e bur.tpatrone. ko••• a.l. voor t ••••• d.

r ••aoa foutp.tro.en.

,Bij detecti. va. foucen i ••lecht. b.l••,rijk of da

resC v.n d& delinl v.n H(X) door P(X) .1 dan ai.' nul

i •• Voor correctie achter ao.t uitsa••de v••••.••90a­

de. re.t. h.t op.etre.e. foutp.troon vorde. b••••l ••I '"

.'

... 37 ..

,..I ••ahlada••aa~t. al1a .o.elijk....,ta••• t da ••r.••••

. 'Otlda..a,ute fo.t;atron•• v~ork•••n. of voor ••• ·•••••1

••••• door b.!'.ka.tn. (o.a. B~••-Chaudburl co4••)" ~ii'

balda .8val1.n .o.t ••• r.kan.achins word.n iUla.Cha.

kali •. Bapalina van bet 0Pletr.d.n foutpatrooD door

ber.kenilll le••hiedt door ••n at.laal' v.rl.lljk1al••

0' te 10.'•• , Op de•• la.tet•••thode .al aleC vord.a. ,

1ftIA,'•• " t •••• r oadat dit sea. afbreuk doet .a. 4.

ooder boofdacult 4 a.volade proc.dur. oa de fout •• ~or-

'I'acti. eapacit.it van ••n cod. t. bepel•• ,

• Aa•••• i.n ar D - k checkbite in ••n cod••oord voorko­D-It

.en, .1jn er 2 . - 1 v.rachi11.Dde r •• ten aOI.l1jka-k

.ons.lljlt ••n nul. HI' .u11.n dua ••• i ••a1 2 - 1 ver-

acbl11ande foutpatron.n kunn.n vord•• Iscorr1as.rd.

dl. w. ao.te••ard.1.a ov.r d. patroa•• van r ••p.

. a-k2 - 1 • + (;) + ••• + (~) + •• ,

Ws ne._a .an dat d. patron•• va. i fouta•••• Iroter•

• a.r.chijn1ijkbeid va. voorko.aa b•• itte. dan ._ patro-

aeD van i ~ 1 fo~t_n, Verd.r.i. h.t de vraa, of juiatn-k

de r.aten van de de1~DI van d. 2 - 1 •••• t .a.r8chijn-

I1jka fout,atro••• door P(X) •••r.chill.nel 11ja. Ko.t

D,l. aan ra.t •••rder. kar.n voor daD .al hl.rdoo, ,4.

corraetleca,acitalt vorda. b.p.rkt oadat in ele tabe1

teD '."01•• h.bb•• ,

4

•

... ,....

uiter••rel .l.aht••aar ••• fotlt .....trooa .erve_A,\'c(,"- r~~',

~..' ,

'.ka. yorde., Optr•••D "a•••11. om d••• rl••D at.t;'·l.",;~;-.' ~._,; (\~1\

d. tah.l 0" ••0••• footpaCrooD ••1 oDju1at. co.~~'I.. ./ 'r;' :~1.j~

•

,0

- 39 -

D. correctie va. buret. i. aOlelijk zond.r de hul, yaa

.e.. rek.n.acbi...D. te vol ••• proe.dure •• t bewlj ••

d1. ia b.t na.,ol,.nd. wardt •••e••D, i. overs.ao••a

uitl -Brror • Corr.ctlll, Cod••" door W,W.Pete~8oa.,a••

189 - 190.

St.l dat ee. cod••oord [P(X)] wordt utts.aond•• eu ar

••• b~r.t (X3'(I») optr••dt. II' wordt dan ontv••la~.

[,(X) + X3B(I»), Met [P(I)] , • .,.Il we d. r •• tkl•••• Cat.

_".ndiz 5.3) aan w.ar~n aicb P(X) b• .,iDdt. aad.t •• d.

D'OlyDOO•••dulo X + 1 h.bb.n s.reduc••rd.

jIn.de ontvaDger wordt· F(X) + X B(X) le4••1d door de ba-

8ispo1,noom van de code. De verkregen rest .al nul zijn

1n .eval er een codevoord verd oatvanlen en bevat, al.

hij niet nul i. iafor.ati. oatrent de fouten. O.dat

(~(X)] ,.en codevoord ia, is P(X) deelbaar door P(I) &0-

da.t de re.t dea.lfde is ala d. rest verltre.en utt de

'delins van XjB(X) door P(X).

Ste1 XjB(X) • P(X).S(X) + R(X)~ .vaaria R(I) e.n,r.ad

he~ft kleine~ da. a - ~, de ,ra.d van PIX). Het fouten­

eorrectie problee. 1. XjB(X) te bepalen bij ge,e.ea I(X).

Ne •• aaD dat de iode, die v~ b.schouwea, .aa de vol.en-

de voor.aarden voldoet. Er i. eea zekare Iroep van fout­,,-tronell BOt) die "carrigeerbaar" &ij n, atlezie" van hUll

p08itie in bet ontva.sen woord. Ale B(X) e.n corr1seer-

b.ar touteupatrooa is, dan 1s het voord verltrelea •• j" j -

cycliach. shifts, [X R(X) 1, .en "cos.tle.der'· (81••p,....

- 40 -

dix 5.3) voor alle jJ verdet' .ull.n, als I(t) ... D(X)t:

twee Yer.chilleude corrigearbare foutpatronen, (I.(k»)j , ''.i: r

e. [X b(I») uiteraard voor leeu eakele i ea j la,de-

.elf•• eo.at lilsen. Zekere eo,et. aulle. I'•• eor.rl-1

I.erba.r, fout~.p.troou bevat~••• Bet optreden van ee.

der.elijk patroo. letell tot 4. detectte va. ~.Q .ta~­

.cotrilee.rhare lout ••••• te•• iotte aan dat t.c1~~ cor­

rII.arbaal' foat.upatroon een bUt'at 1. van d,' leaita,

n - k of .inder. De corr.eti.procedur. i. ~l.v.l.t.

1. Ver.enilvaldi. I(X) .et I ea reduceer .,•••10

P(X), d~w.~. d.el door pel).

2. Check of de re.ulterende polynoo. een corri-

baar fouteupatroon ia.- I. dit .0, ga dan .-.rder

.et etap 3; zo nee, berbaal dan de stappen 1,- en 2 totdat of aan de boven.taande voorwaarda

ta voldaaD of de .tappen 1 eu 2, ••aal zijn

led.an.I.

3. Ala Da 1 atappen de reat R (X) een corrigeer­1

baar fouteapatroon bltjkt te ztja, daa is de

n-i a-ico.etle.der. (X I (X») e. door X R (X) .a.

1 1,bet ontvanlen voord at te trekken corrl.ere. we

de fout.

4~ Zijn .~ .tappen 1 aa 2•• keel' gedaan a. de re­

aultare.de. pol,aooa ia 'a let al. een corri••er-

baar fouta.patrooa herkend, da. i. ee. ai*t-

eorri.aer~.ar fouteupatreo••e.etecteerd.

We lulle. au aa~toDaD dat d••e ,ro4adure ".ertt". atal

bet fo.tenp.tr.o~ 'at o,traedt I(I) eu de r ••t vi' de

-41 ..

deli•• 4001' P(I), R(X); d.v.a.l

I(X) • P(I)I(X) + R(X)

.>

Al. d. 1:'•• t .a Yer••D1Ivu,ldill.1I1 ••t Xl aD de11•• ,ctOr,:-, "

X1.(X) • P(X)S (X) + R (X)1 1

C6.blD.ren van VII. [a] aD [h] le.ftl

[1>]

•

X1

1(X) - Rl(l> • X1'(I)S(I) + '(X)8 1 (1) Ia)

i . 1[I I(X) - Rl(K)] 1•••n codavoor4 aD [X E(I») eG

[Rl(X)] .oeteD iD da•• lfda Coaat lll.an. Varonderatel

DU dat (I(X)] • [XjB(X»). vaarin 8(X) eao corrl,ear-

baar fouteDpattooD 1. ea nee. 1 • D - j.,

Dan voigt ult val. [a]l

1 i+j iX R(X) • 1 B(X) - x P(I)I(X)

o 1• (X - l)I(X) - x P(X)8(1) + B(X)

D Ita.dat P(X) daelb.ar la op X - 1 ( • x + 1) an 8(X)

~a. Iraad he.ft kleiaer dan D - k. de ,ra.d ",aD P(I),i

.o.~ B(X) de ra.t .1j. utt d. da11nl va. X R(X) door

P(I). Du. aa u - j atappa••al a.n corrisa.rb.ar fout-

ea,atrooa ,,"oorko.e. al. ra.t. a.1. B(X).

Ne•• ten.lotta .e.r aa. dat [I(X») • (X11(X)], vaarin

I(X) .an eorl'ilaarba.r fout.Dpatroon 1. e. dat .a ••1'­

1aenllvuldlalnl .at X .ea corris.arba.r foutaapatroo.

1+jal~X) oaCataat. UiC "'II. (e) .~~.t da. dat [I I(X)]

, ::J:; .'. ,,". ~ ,~

, ...

e. [1.1

(:1), 1. d•••li••••aet li•••h'1 ell oad.n bet ~.lde

eo'rr~J'.C"bar. fou,tp.tronn .1je, aoet•• I ••elf.~'k'ljl"

A.la d. '"'.Ilit••••• procedure vordt ,e.oiid.'worett. ''." <

• (X) ala 'outeD,.troon .eao.ea e. de (a - 1)•••~.ttie1 '

••1 .f.J'D'".'~..

• (X·- i) [1l(1)]

• (Xn- 1 ) (X1+jSCX) J • [XD+J.C.))'

• [Xll

) [XJ.(X)] • [X3.(I)]

U.ise•• julet het le.eaat. re.ul~•• t J ••

'001' da practiecha ultvoarilll va. ae be.cbi.v.n ,roc;."

daY. vordt vaal' .ebrulk ••••akc van .an .~bulfr.8i.ter

••t ~aru.koppe11ftl.n. waara.n ean te,tclrcuit 1••••••-•

braeht det chaekt op aen corrll••rbaar foutaepatroon.

In dit .e•• l 1••en eorri,eerb.ar fouteup.trooD een,

patroon w.arvea de re.t, na ••~ var••n1.v.lellI1.1 ••c, ,

X eD del1al door P(X), ult a11••a~1 nulter••• b••taat

bebalve d. boolate orde ter.aD. Hec aantal .~.t-Du1

teraan ia le11jk .an 4e lenlte b van 4. la••• t corl'1­e

•••rI~ara buret.

Wordan elue d•••rsta n - k - ~ poetti•• va. ,4e reatena D a.al .et I 'te bebbe. var•••1Iyul.ild en c_lt•••

doer '(1) ,edea1d Diet a11e nul .aD 1. er een .1et-

"

•• , X ver•••tlyuld1••• e. 4eeraa d~.r P(X) 4.1.. ia

lc1eu,C1ek •• t ••a .b1ft'~" bet achutfre,iatel't

na"l_*,.:it :c-ottl•••r_.io.:"buret til, e'Ve.418 b1jr.u4oa. .~, ; .;

.• 4' •

•fout.a, alha.kalt,it ••n. de .ate vao v.r8chille••b4!ii

a-k .yall 4. ~••.t.1l uit 4. d.lial van de 2 - 1 •••• t

w.&~.chtj.lljke b.tatpatrouen door p(X)., , .

., a-IiiBier •••••• ,d. 2' ... 1 ••••lilk. r •• t,ee .ard••lel· .~~d"·

., .

e. 0••1' •• ,atro••" van lturat8 •• t l •••te 1. J:. 3. ·••.•;~.i,

We aul1en bier .,ebruik va" .ake. fa boatel.tak 4 bl)c!e

•

• 44 -

•3.6. 111•• '!l'BIEt~"J'111&"h.,.d.,_

4 I.D b.1aalrijk. Iro., cyeli.eha cod•• 18 reed. in

boo,.s.tuk %.2 t.r .prak. I.k.s••• D.l. et. B•••ta.e•••••

Ir au11•• a. '01 .ai,a .ad.~e .ord.a ver••14 aa ••1 4.

'ire co•••• ct•••••-Ch.udhurl cod•• eft d. Go1a, c.d••

111'! S04•• 1

'ir. co••• alja blj ••ad.r a••ehlkt v.or d. corr.ctta

d.tect.r.n .1••eldt dat c + 1 groter

l)Pl(X). I.D d.ra.llJka cod.i

tw•• bur.t. I(X) • X ! (X) +1

of a'-••1 leet.r••••b1aett. va.

jX £2 (.X)

,

lijk 1. "D d. 80. vao de leosten van de tw•• bur.t ••

v•• bur.t.',D••• eod., .1jn ••b••••rd 0' ••u po1ynoosc

van d. voraf pel) • (X +

P (X) ao.t een oi.t v.rd.r redueeerbare polynooa .ijn1

en d. lenate van de code, n niet groter dan het klein-

PI(X). behoort. Ir kan worden aangetoond dat tecler' buret,

~et ~. l.Rst. van de kort.t detect.erbar. bur.t, COfTi-

ae.rbaar i •• korter. eod.s met hetz.lfde aantal ~h.ik~

~1t. kuan'D word'D'levorsd door .envoudig eniae lufor­

•• ti.bits al-tijd "0" t •••k.D. De zo verkr'len coO i •

•• per d.flniti. S'" cy~li.che code ••er o.dee al~~

voor i.der la.81 I.ldt dat cyeli.ch. vlrschatvi••••9, . ,; "

••: eod••oord .e.r ••a cod ••oord I •• ft. Voor de t ••J~~'. ~ "~"

~,./;':' , '

•• ti. k.D we.r I.bruik word.n le••akt van de oncter' .

hoofd.tuk 3.'.2 b••ebr.v.n procedur••

);;.!

~ 45 -

1"'-""4)1£1 50"'1Voor le4er paar poaitiave ••bela latalle. a aD t ba-

ataat e~ .e. Boae-Cbaudhuri coda •• t co.ala.lte 28

~ 1,

dle t fout'e. kan COI'1."ilere. aD Biat ••ar dan mt cbeek-

De•• eode••~jo eeo le.eraliaatia ••• de Ra••1B. eod••

(t- • 1)'~ Bat sou te .er voara. hiar da tbeoratt.~ha

aeh.d~.rl.rolld vaa ••sa coda. _t tae. ta set tea t h18rYoor

aij .er"aa811 oaar litt. [4J.

Gotty sode:

!r i8 raed. in hoofd.tuk 3.5 I.aullareard dat het ,rat­

n-ktil sou sijn ~ndia. jui.t da 2 - 1 aeeat waaracbiJo-

lijke4 foutpatrooeo na deliol door P(X) ver_chillaada~

reetea levarea.

Golay .ood det dit .001' 0 • 23 en k • 12 l.derd.ad bat,.

geval ia.

11 (231)

2 - 1 • + +

D••e cod. kan dua aIle patronen va. drie of .inder

foutea corrilaren. De ba.i.po1yaoom kan aijolS 6 7 9 11

P(X) • 1 + X + X + X + X + X + 1 • 110001110101

of2 4 5 6 10 11

P(X) • 1 + X +'1 + X + X + 1 + X • 101011100011

Baide poly.omen D.l. dee1baar23

sijn op X + 1.

,4

.' ..:' ." . '. ",:~~)~; .c~::{\::.::..:..••ii...<.......... H ..... _i....~._"..,~ ·7~l. '.

• .~ ::'. '. ,~,.,-,.:. 'i~ .• ,,"j " ,,'. - , '.~. '. './" . - ""':{'~/4.:,~~,ti.:,f"i~.~'

........··••daft...·Mh.....·....... "~_',,_. '.' ': if' " vj;iI ,','" . . " • '.~" ~ .• $.:"'"_,- ," ,'-'

M~ -. ~••.'~.M.....·il.).'·. <•••~>.".. '''.\. . ." .. :. . , "';'; ,.•,.:.~.,., ., ..... '.";:,~" ...,........... , ."......, ~;~ .

" ··f~. '>' . _,:"~ _ ,~: _,~ ",,'. -\:". ' " ""l ,- _ • ':~~::~~::~~':,' ~'::::~ ';f~;'

.......,., ti ·,~ ··"'.'St if".:.:~"'"". '.", ". , . .~.. "~.~ ..J

,.: ,.:lk~~··{.tL"""'·. 'Pt": ••' kria'J.. ,~w.;,..' ~. .'. ~~~

..'6 ....l"...~1t.•• ft. ',. ·••"et:t_••*.·lt.'•••~ ..~

......1 ,._,*It,-k.I.. ,...,1... '••t Itt.k d'l..., .t't •••l"c.l-.t.t I" ',:

.......1•••., 1..,.1,.... .....1" ••• '.~'i~~

...~ .; :tt•• .-.• h ~ll.".··

.,.* ".".11., 'a_ ,. ,.cu._- e r •••t •••Pa:t••·,....•• • •••'.It.olt. c•••• t ....1" ••t fc kr......k

~••i" f ••t.... ,t. ......-....... I.......... y ••",'.

I •••il. J'O/JO. 'a.· •••.•~4.1 .. 4.2 ........I. •••'•

•••••1t..ltt •

•

•

•

- 47 -

In b.t ,rolr•••• word.n voor i.d.r. cycliaeh. cod.

·.cbt.'••nvoi•••• b.p.ald' .

1. d. ao~recti.ca'acit.it~•• r.ad•• f._i••

2. de d.t.cti.c.p.citait ••• raado. fo.t••

). de e.rr.cti.c.p.citeit ••• buret.

4. da d.'.cti.c.p.cit.it v.a burat.

1.4 1.

'11. 7 .a.ft 110b••1 da b.p.lia, van d. corr•• ttaeap.-

citait v.n r.ndoa fout •• v•• r •

•Ga.eratia v.n B.r.k•• inl

r.Ddo. fout- --- van R(X)

p.tronen

I

,

T.b.l

•

G•••r.tia

van burat-

patron.n

I---.......,.n R(X)

T.b.l

Ia het pro.r•••• worda••11. p.troaan ••n 1 fout. da.r-

aa van 2 foutan .tc·•••••••••••er••rd, Na ••••••rati.

·van ••n patroon wordt de reet I(X) uit d•••lia. door

P(X) b.r.k.ad. Vervo1,.na wordt •• t b.hul, van .a. ta-. Il-k

b.l, va.~ln .1la ao.alijk. (2 - 1) reaten .1ja .p,e-

4

- .8 -

no.en, .echeckc of d. v.rlt"l'e.a. reat tee•••t*.4.:r· ~,

Yoor.eko••II, beta••11 in de tab.l.orilt •••••••.••0 .•• t

1 blt. I ••'a r.st r ••••••r.,1: vool'••ko••11 cl." ".ad~a. ~ '. .~ .

we Iu de cab.l op d••••b.tr.ff•••• plaata ••• ft:1.~·.tI

~Il.el". e•• "0", Vin'••••••• "0" cia•••I'.4t .~.' ••• ~1"

vaa i ••aakt.eD wordt h.t 'Yol•••cle,atroo•••••••I'••~ •

••••••te. Vi.4en •••all "1" den .a1 bij optre••• ~••

dit ,atroon in ete w.~kelijk. uitvoe~iDI oajulat* ••r­

r.~.l. ,1•• tlv1nden (at. ond.r 3.'.1).

ne krins!oo,. aaD.e.even ta ftl. 7. wordt &olaDI har~

baal. tot ••a "1" in de tabal .erdt .evonde•• ne 8'10"

npatronea v~a i fouten « i) patronea). waar bat pro.,I'••-

ma op dat Gloment .e. bezi. i. wordt dan nOI "af••••,1tC"o.

_odat vrijwel aIle resten tenminete eenmaa1 zijll yoor­

gek••en .n dUB 8en juise be.ld van de correctt•• t,8D-

scba,p.n wordt verkre.en. Ve kuna.n d.arna ~.llell datI

per codewoord aile patroDen v.n i-I of lIiDder fouten

ea .en bepaald perceDtase van de patronen vall i louten.

juls~ ku~nen worden .ecorrileerd. rerwiJI v.rder het

pereBatale paeroDeD van 1 foutea, dat onjuiat lecorri­

$ ••r.~ .al wordea. betend ta.

ne ta'el, w.ar hier over .s.,rokan wordt, ta

niet d••elfde .la 4i. welke yoor de atteinde-

11jk. correct!e .ebruikt ••1 vorde., do.b.·

dieat alecbta ala hulpatd4el bij de 'e,.lill'

t,

I·

- 49 -

schijnlijke foutpat~oo. yoorkoaen, da' ,.a ••-

ling door P(X) de.e reet le.ert •

.:U...l•.Ter bepal11l' van de det'.c t iecapaci tei t van random lo"t-

i

en wordt tevene In de kringloop van fig. 7 te1kene ._.

ch.c'~ of d.' v*rkregen r~et aul ie.

"epallnl van de correceiecapacitete van burete '.'chi.dt

vri,.w~l ana1oo1 a.n de bepaliaa van de correctlecapaci-, .

teit ~.n random fouten (ad 1). Nu vorde. all. bur.,pa.

trpnen •••enereerd aet oplop.nde buretl.olte (aie fl't 8).

Na het .1nden van e.n "1" in de Cab.l btj onder.oek van

a1le patronen V~D burete met lanlte i. wordt .econclu­

deerd dat d••axia.al corrig•• rbare buretleulte i • 1

ie (V8l, burstcorrectie p~ocedure. beechreve. onder 3.5.2).

AL4',De bep.linl van de detectieeapacitaitan van barete ia

triviaa!. ODd.r 3.3 ie reede aan.etoond dat hat aancal

checkbite of.al de Ir.ad Van de b••i.~011nooa juiet de

lan.et detect ••rbare. bu.reeleDst. a.Dleaft. Alle ,korter.

en e •• _root percentas. van de lao.ere burete ku••e.

~or4eD .ad.tect••rd. De.e par~eDtalee worden door ~.t

foraul.e.

., ,Alt••Ol.~ljk.'cyciiec~. codee •• t ••ilcod.l.a..../. i ". 2

- 50 -

,,tot •• mat a • 31 ea Glet .eer daa l' checkbita. ~t1A

op da•• ' ••aier ondercocbt. Hat wa. prOlr•••• t ••hni.cb,.•• t lastla o. aOK laagere code. te onderaoek•• 'er-

wlj 1 acheeraf d'e.e Itau•• vel luaati. filealt aaa••• teo.

de bep.lina .aa d. c~pa~lt~ltea yoor aea a.atal cod••

•• t le.ate Il • ~l ~aad. dr~a 4n .en balf .taE 111 be­

ala. n••• o. alle'aol.lijke cyell.ehe eoda. te Ylnden. . D

ward eerat d~ vor. I + l'geeplitlt In factorea, 41a

~iet .erder te ,plit.en &1,a. yoor a • 2 t/• • • 3l.

n(t 1. e.n unialte eendu141.e op.plit.ina ta v~rl.lijk­

en aet de .pllt.lnl van .ebele getal1ea ia prie••etal-

lea. AIle 80 ~erltrel.a factorea op 11ch ea oolt all.

combiaatie. vaa de.e faetorea kunaen ale bali.polyaoom

vorden leko••a. De ei. die .ea 'eea ba.i.po1ynoaa van

eaa eyeli.ehe code moeet vorden leete1d ••• a.l. jUista

de d.e1baarheid op X + 1 (voor b.wij. aie onder 3.1).a

B'ij da apl1t.inl vaa X + 1 1n faetorea verd o.a. le-

bruik I ••aakt vaa de vo11ende .ta11insaa.

1. ne po1ynoom xn + 1 i. dea1b•• r door X· + 1

a1. a dee1 \J..ar 1. door ••• •2. Ale ft • 2 a

1waaria a

1oneven i_ d.a laldC

a a -(X + 1) • (X 1 + 1)2

Met andare voorden. de factor11

1 + 1 koatX"• -2 .ea1 "Ioor ale 2 "de hool_ta aaebc vaa a

i. die •••1baar ie op 11.

voo.rb.r

,,

- 51 ..

Be.chou. ~e .f~ttal., 10 factorea ••• x12 + 1.. 2

12 t. de.1ba.r .oor 2 d•• all. fae,t""'••, ko-12' "

.ell .ter ••al '9'001'. 'Verler ••1 J + '1 ....i ••as

.t.l1ia. 2~ ••elb.ar aljD door (I + 1),2 3 4 6 .

(I + 1) J (X + 1); (X + 1) .11 (I ,,+ 1~ •. :

"ee. lullQf(X) • X + 1

Q2(X) • 12+ 1

. Q1

(X)

Q3(X) • X3

+ 1

Ql(X)

Q4(X). %•.+ t

·Ql (X)Q2 (X)

Q (X) • X6 + 16

Ql(J)Q2(%)Q3(X)

Q ( X) X12 + 112· - - i,I

Q1

(X) Q (X) Q (X) Q (X)Q., (X.)234 6

12dV8 X + 1 • Q (X)Q (X)Q (X)Q (X)Q (X)Q (X)

1 2 3 4 6 12

Ret,ee., coal. ook cal b1ijkeD. aOI aiet b.-teteDt dat de•••p1it.lna elecht. factoreD

.eeft die Di.t verder te .plit ••n &ija.

Berek.nina .en al1e Q(X)'.n le••rtt

12. 2 2X + 1 • (X + l)(X + 1)(1 + X + 1)(1 + 1)

2' 4 2(X + 1 + 1)(1 + X + 1)

Verder oitaplit••••eeftr

... ,. ...

12X .,.: 1 •

2ex + 1){1 + 1)(X+ 1)(1 + 1)(1. 2 2

(12 +' I + 1)(X + x + 1)(1 + X

.,

+ I + 1)

+ 1).

.; -, ~ ,..~

Op d•••· •••t.r verde. 466 cede. 1••0Dde•• Ret ie echter

.e. te toa.a da.t •

'.,< .¥'-'

Codel .et ••1ijke eo4.~.D.t. *. ~~l.­

.eerd 0' reci,rok.e ·pol,..O.... i4.~.ielte

capacitette. beaittea t ••••• f ••i .......~ectie eD foute.correcti ••

• De reciproke pol1•.00. vaa P(X) vordt voor,e.tel•.4001"

* a-It 1p (X) • X .P(~)

'X

en

bijvoorbeeld3 5

X + X + X2 4

X + X

10 i. het

P{X) • 1 +

• ~01011. r.ctproke po~,.o~••* .11ju, .a.r1:lij de coafliel.ilte. va. , (X) e••yo1,l4t.• c._

'(1) • 1 +

via'8. aij1\ d_.r da coafficiente. v." P(I) te .,t"41!1-. .~ . ' .. ~

e. "0. het .i44e.". Wet behul, v•• boven.ta.aeJe 't.l:~

li.1 kODd." 140 e04e. worel•• w.lselat." bij ele be'.i:'.,va. d. ca,aciteit•• , D. O••~I. 326 o1d1ieche .0.... ;

letaraktari.eerd door ••" cod.l••lt. e•••• b••t.,o11~',~

•

4

- 53 ..,

••••t. Ia btjl.... I, 2, 3 .D 4 81jD n.d.r a:ltl."8rk-

~. flow .1••1'••••• 0"8DO•••,

B1j1&•• 1 •••ft 4••en.r.tt. ~.D all. foutp,atyo•••

va. 1••,ta ••

D. t.1Ier. ttl. t • di•• f WON of "lW 81j_•••"a.1 11

blj ee. output hat S•••••t. foutea,.trooa. ». t.11.~.

1 t/. 1 boudea i~der d. po.itl. ~•••a. "1". (a••1 p

fGut) btj ••••rin , het toc•• l ••atal fout •• per .001'4

v.n 1eDIte a a.nleeftl k •••D j .ija .ewon. tel1.~••

B1jl••e 2 .,eft de hepalinl v.n de corr.ctte- a. d.tec-

ti.~.,.cltelt vaft ~andom foutp.tron.n. T.ller w •••ft

aan 1. w.lk at.dium 8teh het prolr•••• be~indtl

¥ • 21 'bap.11ng correctle- en detecti.c.p.cltelt

w • 11 .11••n nOI b~p.11nl v.n d. d.t.eti.c.pacic.tt

• • 01 .11••n nOI bep.11na v.n d. correctl.e.,aeit.it

Het l.heuleD ~.D de 1.',M.360 i. per byte (8 bita)

.dr•••••rb••r. Da t.bel. Idl. 11l h.' prolr•••• wordt ..a­

brulkt ia d. 8ywbo1iacba na•• v•• e.a l.b.u'.Il~eld t.rn-k D-k

l.n.t~ v•• 2 btt. ( 2 18 byt••), De r •• t leX) la

a•• p.lynoo••• t a - k co.fficient.R dt. "0" ot "1"

8ijR, We vatt.a .it op .1•••• blaalr I.tal, d.t eaa

d.cl••1a w.arde r.pr•••• t ••rt. D••• deci••l. wa.rd •

.•o~4t door 8 ••dae1d, Bat quoeleat 91jet la het .eb.ulea.••• -'.p••ld. byte .a.; n. r.ae (klelur cI •• 8) vijal til

.,',.

- 54. -

d. I ••••d•• b,te .eD bit ••a. D••• bit au, be••' •• i_­

IOT.acie o.tre.t bet al d.a Diet .oer,.ko••_ 81J_ (~.i••

a.n ,"1" of e•• "0") vall d. 1'8at "(I). De verkr~I'.".,.,

ROO -i,e.ft clua indir.ct ,b.t .dr.' aa..... het' bit ~~""'t

I.he.,••• B.~ft ".t pro.r•••• d. Ir••p ••• p.tro",•••et

i fout•••fJ~v.rkt d.n •••e. '1 eo '2 r.... ••• , he'

.~Dt.1 oDj'iat corrile.there - ea het •••tal i_i.t c.~.

ri•••tbare foutp.tro.en V~D de•• Iroap. O.der o.j.t~

eorrl,••rbaar worde hi.r ••a foute.patrooD ••1'.,••••det i. de ~.rk.lijk. ultvoerin8 oDjul.t I ••orri.~.~t.. .

••1 "ord.n o.d.~ aij" reat utt d. del1na door ,(.1, ':•••dil

1. "to••e"e••n" .aD· .e. p.trooa •• t Irot,r.a kA•• " ••~

'Yoorko••a.

Bij~.le 3 I ••ft de bepal1DI vaa d. r.at aitd•••11n."'Yan ••• fout ••patrooD 1(1) door d. baatapoly.oo••eX),

1. felt. vordt hier bet oDder 3.4 bah.ndalela a.~.tfr••l ••

t.r I.~l.ul.~rd, k 1a b.t .aatal t.for••ti.btta' p.r

code.oord.

11jla'. 4 laaft d. b.pallDI van d. corr.cti.c.pacit.it

'Yea bur.tpatroD••• Voor d••••eratle va. ele b~r.t,atr.­

.e••r4t ,ebraUt I ••••kc 9aa h.t prolra••••••arr•.•l1.

r."do. ·foutpatr~n.D _orden 1.,.D.r••rd Cai. bijl••• 1} II

.'

,

- 5'·

'Voor bet ber.ke.en "aa de d1".r•• ~apac.it.lt.D ".$ '••326 c1cli.ch. c.od•• had d. I ••••• '.0- c1.-e. 40 ••~-· ~~:...' \,

't.atiJi Dodi•• De re.altat.a .11- .aD .aatal t.h.l~~••

• aarla 4e d••ectt.· .a co,rrect;iecapac1t.tt.....".'.,',

"oor~o••de '26 cod•• nauwkeuria .1j~ ,.,p.Ciftc••~~

ver)ar .1jn, o. ocaderlta•••er.eltj~1D' a ••el1jk e•..

••ken, ee. aantal araf ieken (ale hij 1••• ,5 t/. I) ••r--';'-J ;-

tettead •••arait door cI& onderl1a••.:.li,.tlll en .etJ.•~;i' ~-!

~.,

hulp .an d. t.b.lle. i. op t ••att.n •• lk. code "oo~'. ,"',;.. '.,

.e. hepaald •••al d••••• t "oordell.& i ••

linaen eea rol .peleD, al.e

••••I."ea. van .en kan.al, fout.nka•• etc.

b. bepaal'e' redundantie

'c. bepaalde co~el.nlt.

B.• t i. due onao.elljk te .pr....n o"er J.s be.t. cod,

doeh •.lecbts o•• r de be.te code yoor ••n bepaald

•••al.

1131•• , Sf Bier 1. alt.e.et bet .antal lDfor~.tt.bj~.

k. ,er cod••oord, t.,e. bet a.acateotti-

leerbare random foutea ,.r cod.,woord••••

r.l.t.erd .all de cod.l.Dlte., a •. D~~i-~l.£.~. .

~•• a•• d. codel.nat. 1•••••••.••..:.!.~-" , 't

lij kt_. t .....n cI. cod•• oadal'lla. 'l!lC~.'lSl~

t •••keat o••a' .e taa. op ·~oat.a ..,~~;~~,.;'"

- 56 -

eode"oord uiteraal'd 8fbaQat v,ara d.cod,,-:

lerasce. Ieder punt "apre.eoteert eell, b"~.

p••~., coaa. • ••r ..... d. vecdeS'I •••e.....", " ~.' ';" '.

'l "

deD. Be,cbouwe••e de pUDte. 4t, op .'a .•

hort.oet.le l~j. ltl,lll da. zi'. dit ~.od,••

•• t .an ••1iJk a.Dt.l t'Afo~.at1.btt. ,.".

4• .' ~ '_ .:', II

cod."oerd. Va. 11ake na.r reche.......t':d.

corracti~e.pacitlit ,toa. Bodat 11.'aai .~­

a'ad dl •••• t kraehtl,. code. rlcbt. IiI:'

len. 1 •••lltd. be.chou.'_. ~Ildt voot d.

punteD (coda.) op een ..ertical. 1t31l. Dit

cijn code••• t gelljke correcttecapac1t.it

doch bet .aatal iDlor_actebit. dat per co-

.:. ,,i].;:;{;, ~"'. ~~.

f , :'. ," ~., 'i, ""~ . '.,

Tcorr/n • 0,130 ''''''~%3

I

b1jl." 6, 7 en 8.

dewoord wordt, o..er•••o.dlo 'n.ellt YO baue­

de. naar bove. to., Bodat de ••••t ktaij_·. '. .~.::

" :~~:';'-'',' " .....( ".i.8 cod•• Gp .de.e lijD ),o.e..... ttl.:If~'·~':,,~ ~'.

. '~"; ~"i ,I: of.'.

"'" ,""\'.. f ..

code a I lit. 12

foor,t.ll t

code b • It. 6 Tcort 10. • 0 .. 189 '''i. '21.. .,"

o. 8"8.veel iaformati. o"er te .804_a .oet.V'oer code. b, 2 cod,voorden worden v.r,.ie.

,. ;

t. - 57 ""

"',.,

~~1~~~

•Bijlaa. 6:

Vera.1ijke" •• DU •• Tcorr/a •••

*•• de T corr/a v•• code b 4ao .a. ,.~o••~Q-

O,a.1 Rel •••al ••r11jk 1. de•••aa1er van

.ers.lijk.1l "t.t oacJat tn •• ~~..biDa....

ti. vall 2 cod.voord.1l BOI e•• a"at..1

patrouea •• t •••1' foute. jui.t ••cor­

ri•••rd kuaa.n wordea, M•• die.e acbt....

• 1' w.l t. b.d••k." det d. t ••• op 0'-tred." vaa d... pat~ou.D r.latt.f

kl.in ie. Verd.r laat b.t bij corr.O-

tie en detecti. aeer oa de z.t.rhe1d

dat aile patroBen tot eea b.pasld aaa-

tal randoa foute. per patroon juiat

,Rcorris.ard reep. led.tecte.rel "'1I:l.1.a

wordea •

Daze grafi.k •••ft bet .antal ••t.et•••••r.

rand~a fout." p.r cod••oorcS. ler.lat••r ••

aaa .e codal.aste D. al. tUBeti••an h.t s.a-

t_l tatarm.ti.bite p.r cod.woord. W. aull.n

w.er tw•• ,oute. nad.r •• t elkaar ••r,elijk-

eal

code a I k. 24

code b: k· 5

DIn • 0,100

DIu • 0.400

u .. 30

D • 1S

4

Oa 24 tator.ati.bit. over t. z••••• i. voor.•

- 58 ..

co•• at 1 eoda.oord Dodi••n yoor coda b

cod••eordan. vaa. coda bal. aa" ntauw eoda­..• oord dan i. D In • 0,400/' -,0,080 hat-

•• a.n k1ainar 1••aa 0.100. Coda a .al due

Itrachtigar 8ija dan coda b.

11jl.,. 7. 1ft da.e Irafialt i. uitla.at het aaatal In-

for.atiabita k. par coda.oord, te••n 4a

eorrileerbare buret1aalta par coda"oord.

I_ralate.rd .an da coda1eusta a. Ook hler

saldt eaa.a1fde ba.cbouwtn•••ij.el

code a: it. 18

code b: k· 16

Bin • 0,200

Bin • 0.225

n • 30

Il - 31

Ter ver,el1jkinl .a.an .a .u 1e/16 code­

'*vGorden .an code hi B In • 0.225,16/18 •

0,200. Utt da.e vargaltjklal••athod.I

.ollt due dat code a en coda b aeu••lfda

·corr.cti.capacitait b•• tttea t ••••• burat ••

Bij1a.e 81 na.a Irafiak .aeft de detacteerbare burat-

1a.lta par codavoord .ara1atear. aaa .e 00-

dala.lta a. veer al. funetta va. hat a.a-" . ~

tal.informatiabit. per coda"oord.

B(dat) • aantal checkbite • n - It

dus It.. - B

DO•• DUI Y • k • D - B en I. B/.,,

..

-" -

4a. Y~llt hi.r.ttl

t/ft • 1 - B/. • 1 - X

4ua y. n(l - X)

lelijk. codelaa.t~::_

lill•• 0' ••• r.ebte

••••de door bet punt T • a. (Ie. p.a~ Y~a

cle.e reehtea zij. 1. de Irafiak ••t.t.ad).

Ret ••1 b1ijkea dat d~ m.atk.adl.e ,1.a~.

yan puute•• 4t••e11jke : datecti.e.pael~

tl!1t t •••v. burata b•• itteD. aell b1p.rb:,ool

la. R••• tve. "ill,kaurise cod.a.

code • • Y • III - B Xl .. B lu1 1 1 1

code b I Y • D - B X • B 11&2 2 2 2 2 2

o. te kUllaen Yei'se1ijkan ••ke. w. aeret

het .a.tal 0.ers••ou4•• tufor••ttebite le-

11jk .001' vaa code b. (n l - 11'/(82 - '2)

code.~orden te a••eae•,.

X ­2"

4

Vi1 code a e. code b ••11jke d.teotl.ca~.-

citett•• t.a.v. barete hebben, dan ••• t

••1.....

11

82

a2 - B2,.....

. - .... • ,.• Il

Z -1 - 111

81

.. 60 •

He•••• b ••• voo~ .04•• b•• p.D~-' ."

J • t • 27 •• X. B'•• 3/30

d•• yolll hier.lll

'·1(30 ~ 3) • 1 2 ,30(82 ~ 12)

811t2 • 3"012 l82 - 1 2)

n.. all. cod.. die ••• de beer.kltt••

81. • 301(. - B) vol'••••1j., •• t boyan

.er••lde ·cap.ctt.it•• batr.ft•••1i~k •••

•• c04•••ar••or It • 27 B'•• 0,1 •• 30

B_ (n - B) • _

D 30

Z!-> vtad." w. b••• 'lit de Ir.fl.1t de God•

•••ryoor It • 8 . 1/•• 0.333 ". 12

O,a.1 Op de ia 4. Irafielt .et.ke.4. hyp.r­

bol•• 11•••••11e cod•• dl••••••1fd. barat­

1••lce per COaa!.ord k••••• d.t.ct.r••, hat-<f,~

•••• teta ••••~a t. d•• 4e hi.rbo .

'uid. b1p.rbole., •••rop .lle cod.. li.S••

die ••lijk. d.t.eti•••paelt.1t t ••••• ba,r.ts

b•• ttta••

All. yo.~.o..4. r ••ult.t•• at••• tev••• 0' po••k••r~••

• o~t soet•••••r· •••' J •••tl•• coda ••t ••••••vo.cSf.'-ro.r.... It•••or1l•• ~lt8a•••rd.

,,

.,

.. 61 ..

a ,codele••t. (lalor.ati.btte + checkbite)

D - kt a.atal cbackbit. par a.da•••••

I.

P(X) •

e(l) I

leX) _

b••le,017aooa (ar••d a .. k)

boode.b••,ol,.oo. (ar••• k - 1)a-It

re.' ••• J Sell, (Iraa" It,let•• r dan a - k)

,(X)

•

leX) I seco.eatde boodacba"olya.o.a-k

P(I) • X ' 0(1) • R(X)

E(X)" foute.p01Y800•.

R(X) , oatvaDsen .ecode.rde bood.cbappely••o.

H(X) • P(X) + I(X)

D I .aata1 detect.etbare ran40. foute. ,er •••••••r.

Tcorr' aanta1 eorri.aerbar••and•• fout •• p•• c04•••ord

Idet I detecteerbare buratle.lte per codewoord

Bcorr. corri••erbare buretleDlte ,er eodewoord

4

- 62 '.

prilllitie.e pOl,1I00.2 expo••• t .t

1 + X 1

12

3+ X + X

1 -+ X + X3

7

1 + t,+ X415

2+ xS

311 + X6

1 + X .. i. 63

+ X3 + X7

1 127

• 2 3 4 81 + X + X + X + x 2"

4 9:1 +. X + X 511

3 101 + X + X 1023

2 111 + X + X 2047

4 6 121 + X + X + t + X 4095

3 4X

131 + X + X + X + 8191

6 10 141 + X + X + X + X 16383

14 151 + X + ]I; 32767

•

- 63 -

S,3, i.bruLkta w&,bacU,a'k,allll,l •

•Op•• : De navol.ande "vtrltlarialea" pret.nderaa .e.n

•• the.attacb alE-.cta In volleal.e deft.ttt••.~.4 aijn, •••r 11jn bedoe1d oa de le•• r "~ korte

acheta ••a 4•••l.alrtjkate t,a.erk.. te .,.ea

yan eakele ia de tet.t, ao~der nad.ra u~tl~,•

••brulltte be,rippen.

Modulo III We noa.en 2 ,et.llea coalru.nt (modulo .).1. ae .lecht. ,an ••beel v.elvoad ••n •

vetscbllle...

V.b.: 7 ea 19 aljo conaraent .od. 12 eQ

ve schrijven 4it .1a 19.. 7 (.~4. 12); ao

oak 29-5 (llod. 12) en 1 + 1 • 2eO (.04.12)

Alaa.eao: a lI!!IIi! h, (aod. m) .1a 111 deelb.ar 1.

op .• - b.

Analool kUDne...a yoor poly80.a.. lavo.ran

'(I)-R(X) (mod. pel»~ .1. P(X) deelb...r

i • .:" F(X) - R(X), O. l(X) ce ..,1n4,D I.aa

we P(I) op F(X) "oitaalan" en v1aden dan

ean r •• t R(X) •• t ean Ir••d kleine, dab de

gra•• van ~(X)a ,(X) • Q(X)P(I) + R(X).

l •• tkl••••n: ».p.lao ••••n .11a .eb.la l.t.l1•• bU~

rest (mod. n) daa .ladea •• a mo••lijka,• varachil1anda ra.t.a •• 1.1

0, I, 2, 3, ......, n - 1

Se.chou.

'1,,12,

Iroep R.

•

- 64 -

•••••• r all. Jehel. I.t.ll•• door D word••

•••••ld het.n "r•• tkl••••o".

V.'.I 'oor 18od. 5 .1J. er S sult. kl••••••

corre.,ond.rend ••••• mo,.lijke ra.teas

0, I, 2, 3 .D 4.

h ••• 3 ( •••• -12, -7, -2. 3, 8, 13 •••• ](.04.')

Voor ied.r. 18od. a ' •• t •• t d. r •• tkl•••• ~_

bep••ld door .en r •• t r met 0 <r <a .it

.1le l.t.l1en die 4••elt4. re.t r .e.ea hij

del ins door o. I.d.r ,.t.l b.hoort tot

.1.cht•••n r •• tkl•••• eo tw•• ,.t.llea

zullen .11eeo tot d•••lfd. r •• tkl•••• b.-

horea al••• eongru.at &1jn,

Het belr1, r •• tkl•••• k.n ook voor poly­

ao••n word.n inaeyoerd. De r.stkl•••• _(X)

y.n pol,no.en modulo po11ao•• ~{X),be.taat

uit .1le pol,.o18e* di. D. d.l1al door P(X),

re.t R(X) ••vea,

Co•• t .n

C•••tl.ad.r. St.l d••l •••• t •• va•••n Iroep C .1Ja •

• 3 •••••0 de .l•••nt.a van .a. 8ub­

h'. h'. h ••••123

au da .acyl. d1. al.volat •••or••

wordt. D••erste rij i. d. 8ubar.ap met d.

idant.it.it Iilllt.. terwij 1 ieder .'l:."....t

.1.che•••••••1 Yoorlto.t. B.t ••r.te .1e-

- 6' -

.a.t in de 2.. rij ia ••• .l•••at da'

uiet in d. lat. ri' .aorko.t. de ••rd.r.

el•••ntea vor'e. verkr•••• door ied~f~

het •••" linka••1•••• t uit •• rlj ••

I •••ao wordeD •• 3d., ••••••• t •• rlj ,_­

vor.' l ••er •• t ••" "i.t .erd.r .ebr.l.,.~. '

IZ'oe,a.l•••at uit de ••ret. Itolo_, t.'tcf'et

~l • 1," h2

, '3' It., .•••.•••.~, t.,1 1"1 • '1 .' 11h'lt' lib,. 1 1

ft." ......11

b"

1 2b

l• 1 2 , '2h2' '2h3' 12"4'······ 12h",

• • • • •4 • • • • •

• • • • •

De •• t van .l•••• t •• til ••n rij van d.&•

• atr1x yordt ••• Clink••) "co••t" eD h.t

Een b.la.arijk••iae.achap i ••at 1.'er

.1•••• t ,va. d. Iro.p G a1echta 1. e•• co-

- 66 ...

•

S.4. ,,4., "'1111," '.IISlS,iSII '&'. "•••,lj.4

2X + 1 • (1 + 1)(1 +'X)

D • 2

P(X) • 1 + X

. 3 2X + 1 • (1 + 1)(1 + X + X )

Ii • 3

P(X) • 1 + X.2

P(X) • 1 + X + X

][4 + 1 • (1 + X)(1 + 1)(1 + 1)(1 + X)

D • 4

P(X) • 1 + X

p'(X)2

• 1 + X

P(X)2 3

• 1 + X + X + 1

xS +2 3 4

1 - (1 + 1)(1 + X + X + X + X )

·n .- S

P(X) - 1 + X

P(X) - 1X'J. + ~3 4+ X + + X

,6 •

2 2X + 1 .. (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1 + X )(1 + X + X )

D -6

I· P(X) - 1 + X2

P(X) - 1 + X + X

P(X)2

• 1 + X

- .7 ..

3P(X) • 1 + I

2 4pel) • 1 + I + X

• 3 4P(X) • 1 + X + X + I

2+ x3 4 ,

P(X) • 1 + X + X + I +.1

7 x)'(. 2 3' 3I + 1 • (1 + + X + I )(1 + X + I ) "".

• • 7

pel) • 1 + 12 3

'C'I) • 1 + X + X2 4 ' ,

PCl) • 1,+ X + X + X .....

2 , 4 5 6',,

P(ll • 1 + X + X + ]( + X + X + I

8X + 1 • (1 + X)(1 + X~(1 + 1)(1 ~1)(1 + 1)(1 + X)

; (1 + X) (1 + 'X)

D • 84

P(X) • 1 + I2

P(x) • 1 + I2 3

P(X) • 1 + X + X + I4

P(X) • 1 + X4 .5

P(X) • 1 + X + 1 + X2 4 6

P(X) • 1 + X + X + X, 2 3 4 S 6 7

P(X) ·-1 + 1 + X + X + I + X + J + X

9 2 . 3 6X + 1 • (1 + 1)(1 + X + X )(1 + 1 + X )

D • 9

P(I) • 1 + X2

P(X) . ~ + J + I

- 61 -

'(Xl • 1 + X'3 6-

P(X) • 1 + X + I3 • 6 7

'(,1) • 1 + X + X + x· +C + l2 3 4 , .6 .7 •P(I) • 1 + ~ + X + X + I + X + •• + .1 ... I

x10 + 1 • (1 + X)(1 + 1)(1 + J + x2... Ii + X·)

2 3 •(1 + I + X + X + X )

11 • 10

'(1) • 1 + X2

,(X) • 1 + X2 3 4

P(X) • 1 + 1 + X + I + X

'(1) .. 1.5

+ X.5 6

P(X) • 1 + X + X + X2 4 6 8

POt) • 1 + X + X + X + X2 3 4

.,6 1 8

P(X) • 1 + X + X + X + X + X + X + X + X +

+ X'

11(1 + %)(1

2 3 4 5 6 7X + 1 • + X +1 + 1 + X + 1 + X + x+

, 8 9 10+ X + 1 + X )

11 • 11

P(X) • 1 + X

x2 3 4 ," 1, •

P(X) • 1 + X + + X + X + 1 + X + X +'8 9 10

+ X + X + X

12 2X + 1 • (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + X)(1 + X + X )

2 2X

2), (1 + X + I )(1 + X + X )(1 + X +.-

D • 12

I.

•

,(X) • 1 + ·14

2P(X) • 1 + I + I

2.P(X) • 1 + I

3P(I) • 1 + X

P'(I)23

• 1 + X + X +,'.2 4

P(I) • 1 + X + X

I'4

P(I)',.

1 + X + + I•4

P(X) • 1.., X

2 3 4 sP(x) • 1 + X + X + X + X + ][

2 3 ,P(X) • 1 + X + X + I

P(~) x3 5' 6• 1 + I + + X + I

,(X)6

• 1 + X2 4 S 6

P(X) • 1 + X + X + X +- X + I. 2 3 .. S 7

P<'I) • 1 + X + I + X + X + Xe 7

P(X) • 1 + X + I + ]I

4 .'P(X) • 1 + X + X2 , 7 8

P(X) .. 1 + X + X + X + X + I2 6 •P(X) • 1 + X + X + I

4, S 8 9. P(X) • 1 + X + X + X + X + X3 6 ,

p(x) • 1 + I + X + X2 4 6' 8· 16

P(I) • 1 + X + X + I + X + X3 4 6 7 9 10

'11) • 1, + X + X + I + I + I + X + X2 3 4 S 6 1

,(X) • 1 + 1 + I + I + X + X + X + I +8 9 10 11

+ X + 1 + X + II,

.l' 2 "3 4 S 6 7'J. ' + 1 • (1 + 1)(1 + X + X + X + I + I + X + X +

,'~ ., .),:

8 9 10 11 12~/, '. X + X + X + )[ + I )

• 70 -

4

u • 13

P(X) • 1 + Xt ). 4 , , 7

P(X) • 1,+ X + x~+ X + X + X +. + I +8 , 10 11 12

+ X + X + X + X + X

14 ' 3 3X + 1 • (1 + 1)(1 + 1)(1 + X + I )(1 + X + X )

2 3 2 . 3(1 + X + X )(1 + X + X )

a • 14

,,(X) • 1 + X2

P(X) '-t 1 + X3

P(X) • 1 + X+ X

~2 3 :4

,(X) • 1 X + X + I2 5

P(X) • 1 + X + X + X

p(i) x2 + X6

• 1 +2 3 4 S 6

P ('I) . " 1 + X + X + X + X + X + X2 3 6 7

P(X) .. i ... X + X + X + X + X7

, P(X) • 1 + X4 6 8

P(X) • 1 + X ... I + 17 8'

P(X) .1+ X + X + X3 4 S 6 8 ,

t(X) • ,1 + X + X + X + X + X + I] 7: 8 10

'(~) • 1 + X + X + 1 '+ X + X2· ) 4 7 9 10 11

P(I) • 1 + X + X + J + X + X + X + JI, 2 .,4 , 6 10 12

P(X) • 1 + X + X + X + X + X + I2 3 4 5 6 7

P(X) • 1 + X + X + X + X + I + X + ,X +8 , 10 11 12 13

+ X + X + X + I + X + I

- 11 -

X15 + 1 • (1 .. ~) (1 + X + X

2) (1 + J~+ j2·.~, X)~, ':.1'14»

(1 + X + X4)(1 + X3 '~' 14,"."

Il • IS

"(X) • 1 + I2

P(I) • 1 + I + X

'(1) • 1 + x3

2+ 'x' 4

P(I) • 1 + I + X + X

'. 4'(1) 1 + X + I

peS),

• 1 + I2 4 5

P(X) • ·1 + I + I ... I

2 , 4 6P(I) •. 1 ... I + X + I ... I

. 3 4 , 6P(X) • 1 + X ... X + X + X

2 , 6 7P(x) • 1 + X + X ... X + X + X

. 3 .7P(X) • 1 + X + X + X

4 6 . 7 8, P(X) • 1 + X + X + X ... 14 3 4 , 7 8

P(X) • 1 + X + X + X ... X + I + X4 , 6 9

,(X) • 1 + X + I + X + I + ][

x2+ X

3 6 7 9P('I:) • 1- + + X + X + X

2 4 .s 8 10P(x) • 1 + X + X + X + I ... X + X, 10P(X) • 1 + X + X

3 4 , 8 9 10 11P(X) • 1 + X + X + X + I ... X + X ... I

S 6 10 11P(X) • 1 +1 + X + X ... X + l

3 6 9 12P(X) • 1 + X + I + X + X

3 4 6 7 , 10P(X) • 1 + X ... !. + X + X ... I + X ... I +

12 13+ ~ ... :I

2 3 4 , 6 7P(I) • 1 + I + X + I ... X + I + X + X ...

• , 10 11 12 l' 14+ X .. X + I ... I ... I + • ... '.1

- 12 ..

16X ... 1 • (1 + 1)(1 + X)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 +~)

(1 + I) (1 + X) (1 + .1) (1 + .) (1 + .)(1'" ,I). (1 ... 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + IJ;

D • 16

,(X) • 1 .. X2

P(X) ,. 1 + X

2 ',3P(I) • 1 + -x +,X + X

4pCx) iii 1 + X

'. 4 5P(X) ·1+ X + X + Jr

2 4 6.,(X) • 1 + I + I + ·x, 2 3

~ P(I) • 1 + X + I .. X +

P(X)'8

• 1 + X

P(I)8 9

• 1 + X + X + X2 8 10

P(I) • 1.+ I + X + J."

:P(X)2 3 8 , 10 .11

• I, + I + X + I + X + X + I :.+ I4 8 12

P(X) • 1 + X + 1 + X4.' 5 8 9 12 13

P.(I) • 1 + X + X + X + X + X + X .. It "2 4 6 8 10 12

p(.X) • 1 + X ,+ X + X + X + X + X +14

+ X

,(X)2

.. 1 + X + X'8 9

+ X +][

15... I

3' 4 5 .,. )1, .+ X + X +l X .... I· +. '" .+

10 11 12 13 14+ X + X + X + I . + I +

17 3 4 S 8][ + 1 • (1 + 1){1 + X + X + X +][)

2 4 67..(1 + ][ .. X + X + X + I ... & )

.. • -17

'CS) • 1 ....

• 73 -

, " 5 8P(X) • 1 ... X + 1 + I + 1

'2 ,. • 7 •P(X) • 1 + X + X + X + X + X + X3 6 a ,

P(I) • 1 + X + I + X + 1 + :I,3 " S 6 9,

P(I) • 1 + X + X + ][ + x + I

18 2 2x + 1 • (~+ 1)(1 + 1)(1 + X + J )(1 + I + I )'636

(1 + I + t )(1 + I + I )

u • 18

P(X) • 1 + X2

p(l)• 1 + X + X

2P(I) • 1 + J

'3P(x) • 1 + xp(x)

2' 4• 1 + X + X

3 4P(X) • 1 + X + X + X

2 3 4 5P(X) • 1 + X + I + X + X + J;

6,(x) ,. 1 + X

3 6P(X) • 1 + X + X

3 4 6 7P(x) .. 1 + X + X + X + X + X

2 3 5 , 8P(X) • 1 + X + X + X + X + X

2 3 4 5 6 .,p(X) • 1 + X + X + X + X + X + X + X +

8+ x

9P(X) .- 1 + x

9 10P(x) • 1 + X + X + X

2 .3 " 5 6 7 '.P(X' • 1 + I + X + X + X + J + X' + I +• 10 .

+ I

pct)2 9 10 1·1

.. 1 + X + X .. I + I + I:6 12

, ,(S) .. '1 + X + X

,,

3 '2• 1 + X + I + Xl

14,+ I .l' ... I

'(I)...(1) -

'.(1) •

•-

" 1 11 131 + X + X +. + I + I

2 6 7 • 121 + I • X + X + I + I + I '

113 ..14+" + A

I • • 121 + X • I + X + I

3 -. 111 + I + I + I + I

+, '

",.if .,

~.:, ;.> '- "/

'.tt ,', ' ' 2 , .• ." . ." ,,';,;;~:"f;.. " • 1 • (1 + I) (J. + I,+.1 + I + X + I .. 1," .,' J: '.

8 , 10 11 121' t.r:+ I + I + X + X + I + I .. I >:,;;;.

II" 16 11 1.+ I + X + ~ + I )

.. • l'

'Cl) .. 1 + I

10 .1+1 • (1 ~ 1)(1 + 1)(1. 1)(1 + 1)(1 + I" I' .!x",.

4 2 3 4". 2 " 3+ X )(1 + I + I + I • X )(1 + X-i!f,,1 '.,1+

4 2 J 4 '+.1 ) (1 + I +.1 + X + I ) 'jl .;"

•

'CI)

'(1)

,~(I)

'(I)

P(I)

'(1)

t(l)

.(1)

'. ?(I)

,(X)

• 1 +x. 2

.1+ I

2 J-t+'.1 +1

, 2 .3 4- 1 • 1+. + X + I

4• 1 + .I

5- 1 .+ Z

, 6al+I+1 +1

. ' J , 7-1+1 +1 +X

2 4 6 •• 1 + I + I +" I + I '..

J , , .J '," .~.'• 1 + :I +. + I + I + J +.' +' :'~i.

•

4

.. • II.P(I) • 1 + I

2"pel) • 1 + J + I

, Z 3'(1) • 1 + I + J,'(I) • 1 + I

.(1) ~ 1 + J + x2 + X·" 5

'(S) • 1 + J +'1, . 2 • ,

"1) • 1 + t + J + I + X, 2 3 ,4 , 6

"CS) • 1 ... I ... I of. X + I + X ... I2 J 6

peS) • 1 + I + X ... IJ 4 , 6 1

.(1) • 1 + I '. J • I ... t ... I, 1

,(X) • t + X,% S 1 . •

'(I) • 1 ... I + X ... I ... 1234 f I I

, P(X). 1 ... X + X ... I: + J' + I + I•

- 7' ...

4 5 1 8 9'(X) • 1 + I + X + I + X + I + X

6 9P(X) • 1 + X + X

2 3 ~ 6 .' 9'(1' • 1 + I + X + X + X + I, + ' ... X '

2 7 8 "'(I) • 1 + I :t' 1 + X + I ....2

+ 14 6 1 ••'(~) • 1 + 1 + X + I + X'

,6 • 7 + X' + I10

P(I) • 1 + I + X + X, 4 t 11P(X) • 1 + X + X + I + I

2 6 7 • 9 :1.4 ,(X) • 1 + X + X + X + X + I + I +X, +

11+.1'

J 4 6 8 9 ••11" +POt) • 1 + X + X + X + X + I + X12

"J{ "+ X .-1,.. ,.. ",.

2 3 6 a 11 ,iii:' .'P(X) • 1 + X + X + 1 + X + X + X ..

3 ,9 10 1'1 ·12

P(X) • 1 + X .. X +',1 + X + X + X + X3 6 12

P(X) • 1 + X + X + X2 3 , 6 7 8 10

P(X) • 1 + x :t' x + x + x + x + x + x +11 13

+ X + X2 4 6 7 a ,

'.(1) • 1 + X 1- X + I + X + X + I + X +11 13

+ 1 + X :'J 14

P(X) • 1 + X + X, 6 7 9 10 11P(I) • 1 + X + I + X + X + X + X + X +

14+ x

2 3 S 6 7 10P(X) • 1 + X + X + X + X + X + X + X ...

11 13 15+ X + X + X

7 8 14 15P(X) • 1 + X + X + X + ][ + x

... '1 ..•

4

22'X + 1 •

.. If 32

pel) • 1 + xP(X)

a• 1 ... 1

2'P(I)

• 1 + 1 + I8 ,

+ x + X11

P(I) • 1 + I

, 4. S ,\6 . .'1'+ x + x + x + I + ~,+

10+ X:"

23 , 6 7 9 11X' + J • (1,+ 1)(1 + X + J + I • X + I + J )

Z 4 S 6 10 11(1 + X + I + X + I + I + X)

Ii • 23

p(X) • 1 + X5 6 7 9 11

P(X) • 1 + X + I + X + X + X + X% S 8 9 10 11

P(X) • 1 + I + X + X + X + X + I +12

+ I

24X + 1 • (1 + 1)(1 ~ 1)(1 + 1)(1 + X) (1 + 1)(1 + I)

. 2 2(1 + 1)(1 + 1)(1 + x + I )(1 + X + x )

a 2 2(1 + X + X )(1 +-1 + x )(1 + 1 + ,I )

222(1 + X + I )(1 +'X + X )(1 + X + X ),

11 ~ 14

P(I) • 1 + I2

P(I) , 1 + I + X..2

P(X) ;ia' 1 + X3

,(X)' • 1 + X

- 18 •4

,2 3P(x) • 1 + X + X of. X

2'1

4P(X) • 1 + X +

3 4~(X) .. 1 + X + X + X

4P(x) • 1 + X

2 :I 4 SP(X) • 1 + X + X + I + X + I

2 :5 ,P(X) • 1 +' X + X + •4 ,P(X) • 1 + X + X + X

:5 ,. 6P(X) • 1 + I + I + X + X

'(I:)t·..6

1 + I'~/

2 4 .5 6,(X) • 1 + x: + X + X. + X + t

2 4 6P(X) • l' +,X .. I + X

" 2 3 ", 1

,(X) • 1 + X + X + X + X + X

6 -;P(I) • 1 + X + X + I

'(X')3 4 7

• 1 + X + X + X,2 4 5 63 7

leX) • 1 + X + X + X + ][ + I + X + I4 8

P(X) • 1 + X + X2 6 7 8

-'(][) • 1 + X + X .+ X + X + X2 6 8

P(X) • 1 + X + X + Xi " 7. 8

P(X) • 1 + X + X + X + X + X8

f(X) • 1 + X5 9 ,-

4 8 "

P(X) - 1 .. X + X + X + X + X3 6 9 ,; j':"

poo • 1 .. X + X + X '1: It"'<

Pot)2 3 6 7 •. '~\:?f\:"

• 1 + X + X + X + X + X + J. ~''<J ..~;-2 3 4 5 6 : 'f';' )::Jt'

,(X) • 1 + X + X + X + X + X + X .'.'2 4 S 6 8 "\''tC~~

P(X) • 1 + X + I + X + X + X + I + X':+ .10 ,."

+ X2 4 6 8 10

P'(X') • 1 + I + ][ + X + X + I

- 1f -

3 4 , 7 9 10P(X) • 1 ... X + X + X + X + X + I .. xrei)

4 6 10.. 1 + X + X + i2 8 9 10

P{l.) • '1 + X + X + X + J + I, 4I

1 8 11P(I) • 1 + X + X + X + l + I

2 3 4 5 >, •., 'jP(X) • 1 -:+ X ... I + I' + x + I. + r + J - +

8 9 10 11+ I + :I + X ... I

2 3 J 6 8, ,'II

P'(X) • 1 + X + X ... X + X + X +1 + 11:'4 , 6 'I 10 -ii1

p(.x) • 1 + X + X + I ... X + X ... I + I2 6 10 12

pel) • 1 + X .+ X + X ... J. 3 5 7 , 11 12

pel) • 1 + X + I' + X + I + X ... X + .l12

p (X) • 1 + X·2 4, S 1 ,8 10

p (X) • 1 + I: + X ... X + )[ ' ... I + X +1 +11 12

-+ x + X, 2 4 8 10 12

P(X) • 1 + X + X + X + X + X2 3 6 7 10 11

P(X) - I + X + X + X + X + X + X + X +.'12 13

\- + I + X2 3 4 5 6 7 8

P(X) • 1 + X + x + I + X + X + I + X +9 10 11 13

+ X + X + X + X12 13

P(X) • 1 + I + X + I3 4 6 7 9 10 13

P(X) -I + I: + X + X + X + X + I +13 4 6 7 8 1&

P (:t) • 1 + X + X + X + X + X + X + I ..11 13 14

+ X + X + X4 6 8 10 14

P(X) • 1 + X .... X + I + X + X2 12 13 14

POO • 1 + X + X + X + X + X2 12 14

P(X) • 1 + X + X + X3 S 6 8 9 11

,(X) ,- 1 + X + X +. J: + I + X + X + • +13 14

+ I + X

... 80 -

2. 3 S 6 , 10,P (X-, • 1 + X + X + ][ + 1 + I + X +

12 13 15+1 + ][ + X

4' S I 6 7 II 9P(X) • 1 + X + X + X + l '+ ][ + X + I +

'10 11 14 1.5( + X + X ... X + X4 3 12 15

P(X) • 1 + X + 1 + X2 3 12 13 i.,·· 15

P(X) • 1 + X + X + X ... I .. X' + I . + l

I,

2S 2 3 4 ~10X + 1 • (1 + X)(1 + X + X + I + X )(1 + X + I +

1S 20+ X + X )

n • 25

P(X) • 1 + X234

,(X) • 1 + I + X + X + XS

P(X) • 1 + ~

3 4 S 6X' + X + X + I +

12 2+ X ) (1 ... X ... I +

8 9 10 11X + X + ][ + X +

2 3 4 S 6 7,P(I) • 1 + X + X + :r + X + X ... ][ +1 +

8 '9 10 11 12+ ][ + X + X + X + I

13P(X)

• 1 + X

• 13 14P(I) • 1 + X + X + X

- 11 •

27 2 ' .3 6 9 18X ... 1 -<C + 1)(1 + 1 ... 1 )(1 + X + 1 )(1 + I +t )

D..- 27

'CI) • 1 + ][I, 2

P(I) • 1 + X + X3

'(l) • 1 + X.3 6

P(X) • 1 + I + X.3 4 6 7

P(X) • 1 + I + X + X + I + I2 .3 4 , 6 7

P(X) .. 1 + 1 + 1 + 1 + X + X + I + 1 .. +8

+ X

28 3 '~:.

x + 1 • (1 + i)(1 +'X)(1 + 1)(1 + 1)(1 + I + X ).3 .3 .3 .. 2,

(1 + X + X )(1 + I + I )(1 + X + I )(1 • X ~+

3 2 3 2.3 a'~+ X )(1 + X + X )(1 + X + X )(1 + I + X )

Il • 28

'(X) • 1 + 12

P(X) • 1 + X.3

P(X) • 1 + , + J:

• '12 .3

p·(X) + x + x + X2 .3 4

p(X) • 1 + X +·1 + X4

P(X) • 1 + X2 ,

P(X) • 1 + X + X + X2 6

• P(X) • 1 + X + X2 .3 4 5 6

P(X) • 1 + X +,x + X + I + X + X3 S 6

P(X) • 1 + X + X + X2 3 6 7

P(I) • 1 + X + ][ ,+ x + I + I

P(x)7

• 1 + X.3 4 , 7

P(X) • 1 + X + I + I + X + ][

,.

• 82 -

4 6 •PCX) • 1 + X • I + I41"'1 a

'(I) .., 1 ... X + I .• I2 5 6 7 ,

'(1) • 1 + I +'X + I + I + X + I, 3 .. 5 , • •'(I) • 1 + X + I. + ][ + x + J +1'

4 S 6 7 .. >t..'(I) .. 1 + x + I + I + X + I • I + XI

2 , 9'(1)'· 1 + x + I + I

3 .5 8 9 18'(I) • 1 ... )[ + I + X + I + ][

3 7 I 10'(I) • 1 ... I + X + X + X + I

2 4 10"(I) • 1 + X + X + X

2 , 1 I . :10P(X) • 1 + I + I + X + I + I + ,.' + I'

1 4 5 6 ... J.~' .. 111.P(I) • 1 + X + X + X + X ... I2 3 4 7

I' + I10

+111

,(X) • 1 + I + X + I ... I +

- . 12P(x) • .1 + X + X

6 9 10 11 12P(X) • 1 ... X + X + I + I ... X + X

2 4 6 8 10 12P(I) • 1 + I. ... X ... X ... X ... X + X

• 2 3 1 8 9 11 12'.(X) • 1 + X ... X + t ... X ... I + I ... J

2 5 1 8 , 12P(X) • 1 + X :+ I ... I + I + I ... X .. :r

4 5 12 13·P(X) • 1 + I + I + X + X + I

2 6 7 9 13P(I) • 1· ... :r + I • + x ... I + I

2 3 4 .5 6 7P(X)

• 1 ... I + I + I + I + I +1 ... I +8 , 10 11 12 13 .

+ x + I + X + I ... I + I2 4 7 10 11 13

P'(I) • 1 + I + X + X + X + X + X ... I3 S 6 1 10 12 .13

P(I) • 1 + X + X + X + I ... X + X ... I2 4 6 12 14pei:) • 1 + X + I + X + I ... I

2 3 6 8 9 'toP(I) • 1 + X + x·+ x + x + I + 1 + I '+

13 14+ I + x

14 •,(X) • 1 + 2:

4

... 83 ...

·3X +

14+ I .,

I +is

+ X

.1' 4 , 7 9 .. 11+ I + I + I + 1 + I + I +

15+ 1

2 4 6 8 to ",lSiI oft Jt + X + I + 1:+: 'I,'· +P ( I.) III 1 + X +

IS+ "I

6+ X +

14P(X) • 1 + X + I

!t(l) • 1 + X

14+ I

.2'(I) • 1 + • + I +

1~ 13... J: + X

4P(I) • 1 + X

29 2 3 27 J8X + 1·. (1 + X)(1 + X + X + X + ••••• + X + I )

D. • 29

P(X) • 1 + X

•30 2 2

X + 1 • (1 + X)(1 + 1)(1 + X + X )(1 + 1 + X )(1 + 1 +4 434 2

+ X )(1 + X + X )(1 + X + X )(1 + X + X +3 4 234 3 4

+ X + X )(1 + X +' X + I + X )(1 + I + I )

D. • 30

,(X) • 1 + X2

It (X) • 1 + I + I2

P(X) • 1 + X,P(x) .• 1 + X

P(X)4

- 1+ I + I

2 3 4P(I) -1.+1+1 + X + X

2 4 •P.(I) • 1 + X + I

3 4pel) • 1 + I + X + X

2 4 5P(I:) -1 + X + I + I,.(1) • 1 + X

•.. 84 •

2 3 4 s'(.) • 1 + X + X ... I + X + X

3 1\ 5 6y(.) • 1 + X + I + I + X

+ Xl + I 3 4 6'(I) • 1

+ cX .. I2 , 4 6

'<.) · ~ + I + I: + I + I .. X.5 6

.(1)• 1 + J: + I + X

6,(X) • 1c+ X

3 7P(X) .. 1 + X + X + 1

2 c.5 • 6 7'(1) • c1 + X + J + X + X + X

c2 8,(X) • 1 + X + I

3 4 .5 7 c84 ,(X) • 1 + I + I + I + I + I + I

4 6 7 aP(X) • 1 + I + I + X + X

2 4 6 aP(I) • 1 + I + I + X + I

2 3 S 6 8,(X) • 1 + I: + X + X + I: + X + X

4 7 aP(I) .. 1 + I + X + X + X

2 3 4 7 8P(X) • 1 + I + X + X + X + I:

3 S 8,(X) • 1 + X ... X + X

2 4 S 7 9,ot) .1+ X ... X + X + I ... X2 3 8 9

.(x) • 1 ~ I + X ... X + X + I2 3 6 7 9

P(X) • 1 + I + I + X + I + X4 .5 6 9

P(I) • 1 + I + I + X + I + X2, 3 4 .5 6 7

'(1) • 1 + I + I + I + X + X + X + I +8 9

+ X + X4 .5 7 8 9

P(X) • 1 + X + I ... X + I + I

S 4 8 9 10'(Il • 1 + I + X + I + I + I + I

.5 10P(I) • 1 + I + I

2 .5 6 8 9 10'(1) " 1 + ~ + I + I + X + I + I

3 .5 7 9 10P(I)

• 1 +. I + X + I + I + X + I

,..

- .5 •

4 8 10.(1) • 1 + 1C + I + X

2 -' 6 a " 10P(!) • 1 +1.+1. + X + I + I + I .. X

2 4 7 9 10- pel) • 1 + x + x + x + x + X

10P(I) • 1 + X

4 4 a 7 10.(1) • 1,+ I + J + I + I + x

2 3 4 & 7 ••'(S) • 1 + I + I + X + I + X + I + X +9 18

+ I + X2 " , 8 11

P(.I) • 1 + X + I. + I + X + X" S 6 10 11

P(x) • 1 +,-+1 ... I + ]{ + x~ 4 6 • 9 -10 11

pel) • 1 + X + X + 1 + X + 1 + X .x2 3 4 S 6 7 a,

PCx) • 1 + I + I + X + X + X + X + t +9 11

+ X + X,S 6 8

' ... ~

2 3 4 .11P(X) • 1 + x "+ x + x + x + x + x + x +

12... X , 6 8 9 10 11

P(X) • 1 + X + ! + 1 + t + X + X +- X ...12

+ X

3 6 9 12'(X) • 1 + X + X + X + X

2 3 5 7 9 10P(I) • 1 + X + X + X + X + X + X + X +

+ 112

6 8 10 12P(X) • 1 + x + I + X + X

3 , S 10 12pot) • 1 + X + X + X + X ... X + X

'4 6 8 10 12P(X) • 1 + x· + x + x + x + X

2 4 5 6 8 9P(X) • 1 + X + I t x + ]( + x + x + x +

11 12+ x + ][

2 5 7 10 12, 'P(X) • 1 + X + X + X + I + X

- , 6 7 a 1t3P(x) • 1 + X + X + X + I: + I + I + I

2 10 11 12P(X) • 1 ... X + X + X + X ... X

l>

- 86 -

2 1 ' 8 9 11 12P(X) • 1 + X + 1 + X + X + X + X + I

. 2 5 7. 8 13'(X)' • 1 + X of. X + I + I + I

3 4 6 7 , 10P(X) • 1 + X + X + I + X + I + X + 3C +

12 13+ 1 + X

.4 5 6 7 • 9 11P(I) • 1 +'1 + I + .I + X + X + X + t +

"12 l'+ I + I

6 7 8 9 10 + Xlip(1)' .. 1 + X + X + I + X + X + X +12 1)

+ X + I

2 3 6 10 11 12 13'(1) • 1 + I + X + X + X + X + I + X

4 5 6 7 8 •.. p(X) .. 1 + I + X 'ot X + X + X + I + X +

X12 13

+ ,.: X4' 5 • 6 9 10 11

P(X) • 1 + I + X + X + I + X + I + X +14, +.1,

3 5 10 11 12 14P(I) .. 1 + X + X + X + X + X + X

2 3 4 S 6 7P(X) .. 1 + X + X + X + X + X + 1 + X +

8 9 10 11 12 13 14I, + X . + X + X + X + X + X + X .

2 :I 6 8 13 14P(X) • 1 + X + 1 + I + X + I + 1

3 1 10 11 12 13P(X) .. 1 + X + X + 1 + X + X + X +

14+ X

2 .3 5 6 7 ,'(I) • 1 + X + X + X + I + X + X + I +

13 14+ X + X

2 3 5 6 8 9 11P(I) • 1 + X + I '+ I; + X + X + X + X +

12 14+ X .+ X

4 10 11 14P(I) .. 1 + X + X + X + X + I

2 6 14'(I) .. 1 + X + I + I

2 4 6 7 10 14'(1) ··1 + 1 + I + X· + 1 + X + X + X

2 4 10 12 14P(X) .. 1 + X + X + X + 1 + I

- a' ...

• 2 4 7 , 12 14'eX) .. 1 .. X + X + X + .x + x + X +.,

·15+·1

3 4 5 6 10 ·13.. P(X) • 1 + X ... X '+ x + x + x + x + J. +

1-4 15+ X + x

P(X)15

• 1 + X2 4 6 7 8 9

'&1) • 1 + 1 + X + x + ~ .. x + f +.1 +4 13 .15

+ I + X

31 2 5 3 5 2X + 1 • (1 .. 1)(1 + X + X )(1 + X +- X )(1 .. x ..

3 4 5 2 .3, 5+ x + x + X )(1 + X + X + X .. x }(1 + x +

2 4 5 3 4 5+' X + X + X )(1 + X + X + X + X )

D • '31

P(X) • 1 + X

2 5P(X)· • 1 + X + X

2 3 4 5rex) • 1 + X + X + X +. X2 4 5

P(X) • 1 + ~ + x + x + X2 3 5 6

P(x) • 1 + X + X + X + X + X2 6

P(X) • 1 + I + X + X3 4 6

P(X) ~ 1 + X + X + X2 3 S 7 8 1&·

P(x) • 1 + 1 + X + X + X + X +13 5 6 8 9 10

P(x) • 1 + X + X + X + X + X + X4 '5 6 8 10

P(I) .. 1 + X" + X + X + X + X + x3 9 10

P(X) • 1 + X + X +1 + X2 4 S 7 8 9

P(X) • 1 + ~ + x + x + x + x + x + x +10

+ X3 4 5 6 7 ,

.(x) • 1 + X + X + X + X + X + ][ +,1 +10

+ I

•

," - 88 •

.. 6 7 10'(1) • 1 + X + X + X + ][

2 3 4 6 7 8P(I:) • 1 + I + X + X + X + X + X + X +

10+ X

4 S 6 10P(I) • 1 + X + X .. X + X

2 4 5 6 7 9P(I) • 1 + X + X + X + X + I + X + X ..

10 11.. 1 . + X

3 4 5 7 8 1,1, P(X) • 1 + X + X + X + X + X + I + &~r.,

2 4 xr 8 , 10 "'11'(I) • 1 +' X + X + .. I .. X + t +:~

2 3 4 9 11P(X) • 1 + X + X + t + X + X

3 4 6 7,

11P(x) • 1 + X + ][ + X + X + X

2 ]. 8 9 11P(X)'. 1 + X .+ X + ][ + I + X

2 6 8 10 XlIP(X) • 1 + X + X + X + I .+5 6 9 10 11

P(X) • 1 + X + X + ,X + X + X4 7 10 11

P(X) • 1 + X + X + X + X + X8 12

+ x14 +15

,P(X) • 1 + X + X X4 5 8 9 10 12

P(X) • 1 + X +. X + X + X + X + X + X +13 14 15

+ X + X + X

2 4 5 6 9 14P(X) • 1 .. X + X + J: + X + X + X + ][ ..

15+ X,

• 2 3 , 7 8 •P(x) • 1 + X + X + X + X + X + X + X +10 11 15

+ X + X + X6 8 11 13 is

P(X) • 1 + X + X .+ X + X + X, + I.3 8 9 13 14 IS

P(X) • 1 + X + X + X + X + X + X2 3 4 6 8 10 11

P(X) ". 1 + X + X + X + X + X + I + X ..12 14 IS

+ X + X + X2 4 7 8 9 11 '12

P(X) • 1 + X + X + ][ + X + X + 1 t X +1S

+ X

•

•

.. it ..

. ,f

•

lijla.e 11

4 It.11••_ 41

1131&,. 51

lijla•• 61

li.1la,a 71

11.11:a;- 81

,,

O.a.~atla .a. ra.4•• f.at,atro.a••et

le.,te a.

,.,.liaa ••• de eo~~.itt. • a. dee.eei•

••, ••1t_tte. vaa rea••• ' ••'p.'t•••a.• •

D.ell.a•••u .... foat..., •• ro08 1(1) 4••1"

p(X).

per codevoord.

.aralata.rd .an de eo••la.lta a. al.

fODetie .an ~at aa.tal tafol_atiabit.

,al' codavoord-.

Oa corrl,••rbare buretla.,te. ..rel.~.al'd

De d.taet.al'bare buretl.alte, ••ralat••r4

a•• ae _od.lenlt. G. 81e fu.ctt•••• bet

a••tel iator-atiabite ,er cod••oerd,

... 90 -

1~ •••••Ct tI ••• e. »•••,. J.R., "Dat. 'tl'alla'.i•• lcUiu •

,X•• Cfa.-Itl1, hoof4atuk 1,. -itrot' CODttol",

,. Pi:' 291 - '04.

I

2, ".t'.~ B,' C. A••an, "11'1'01" 'ro".tJil1t, and !rilt.e-

.l.eloa Sp~.8 e~ 4iic_lt. 'at_. Det.otto~ aa4

~.t...tip l.petttioa ot 11,.a1a". III traDe, Co•••

• y.t•••• yol. CS 9, p.,. 38 .... S0, .aart 1961,

I

3•. a•••l.1 t.V•• "Irrot net.eti.a aa4 *",1'01' Correc·

tinl Cod.a". B.l1 .,ate. '1'eoln'lcal JouI'Da1, .01 •

. .2~, p,p. 147 .... 16~••prtl 1"0,

4. Petereon W. W" "11"1'01' Co'rreetiDICodee", the K.l. 'f.

Prese C._bridle, Ma•••cba.etta aDd Johu Wite, ,, '

So•• lac., Ne. York. 1961.

J. Peterson V.".. "18cod111. and Error-Correet'I•• ,'fo....

eedur". for'the 10.....Ch.adhuri Code.", tilE ft••••Iafor•• t1§ft Th.or" yol. IT .... '. p.,. 459 - 470•

••pt••ber 1960,

6. Itrkhoff O. eu M.eLan, S" "A Surve, of K048r.

Al••br~", Mae.i11aa, Ne. York, 1941,

7, Ha.elberler D. W.. "If.curreat Cod•• t E•• l1y Mect,.­

ai••d, lur.t-Corr.c~1DI. linary Cod.a". 'ell Iy••

t •• Technieal Jouraa1. yo1. 38.,"'. 969 .... t84,

jull 1959.

. :t

- 91 - •

I. WO~•••f"fl .. J.II••• a.l!f•• I. ~ "Seqa••Ct.l Coelf......

the ••,1., t' Pr••• C••hrld,e, M•••••hu••ct•••d Joh_

Wl1., , Soa. 1•••••ew Yor~. 1'61.

9, ,M'llilt J ,I'., "'1'1'01' Corr•• t 11l' Cod•• for' Cor••'­

,t... "u~.t. of ~rror•• 1,I.M, SouI'8al of i.••••t:.h

••• D•••lo'••tat ••~l.: 4, p.,. 329 - 334" 1960.

.,10. lIa. "il11a•• 'J•• "Th. Structur••nd 'ropertt~••f, '

.f..~, e,e1t. Alph.b.t.... 'el1 Syete. 'fechale.-l

Journal. DO. 2, p.p. 303 e,y., 1965.

11, Kac Doa.ld J .1 •• "De.1.n Hetbod for Masia•• Mftl.i­

.a.-ptetaDce Error-Correctta. Code.", t.I.H. J ••r­

a.1 of I ••••rcb .ad D•••10p••at. yol, 4. p~p, 43 -

57, 1960,

12. Sleplan.D,. "A C1••• of Ilaar1 S181lal1a, Alphabet.".

B.ll Sy.t•• T.cha1eal Jour.al, yo1. 35, ,_p. 203 -

234, 1956.

13. M••,1tt J,I., "11'1'01' Corr.etla. Cod•• and thetr

I.'1••••t.tl0. for D.ta Tra"••1••10D S,.te••",

tal 'E'a••actlon., l'f - t, p.P. 234 .. 244, 1~61,

14. Ab,a••oa M,H•• ". C1••e of S,.t••• tic Cod•• for

Ron-Indep.adeat Error.". III Tr.n••ctio•• , IT - 5,

. p.p, 150 - 157,' 19S9.

15. '~ter'.D v.w••• Irowa D.T., ·CJeLie Code. f~~

11'1'01' Det.ctioa" I tal 'roc•••1••• , l.·.. 1".~~' ,",p.p. 228 - 23$ •

•