無限的概念

張幼賢

「無限」可能是人類發展出來的概念中 最令人著迷又最令人難以理解者。多少充

滿想像力的年輕男女，在他(她)們那作夢作 詩的年齡，遐思著時間的無窮無盡、空間

的無邊無涯、……為自己編織多少甜美的 夢幻。

350多年前，法國數學家巴斯卡(Blaise Pascal, 1623~1662)曾有過許多年輕朋友都可能經歷過的

思緒：「當我思及有限的生命時間

不過是自然界無止盡的時間長河中的剎那；

當我冥想侷促生活的空間

僅是廣垠無邊空間的一小角落，我不寒而慄，

同時又為我為何生於此時而不是無窮的他時，

活在此地而不是宇宙另一個處所而訝異不已。」

「無限」同時也在數學與科學中扮演一 個不可或缺的角色；莊子說：

「一尺之帛，日去其半，終生不盡。」

已含有實數稠密性(可被無窮細分)的概 念，此為極限存在的先決條件，而極限更

是促成微積分發展的主要因素。近代物理 學所有的主要理論(如瞬時速率、量子力

學、相對論、…等)都與「無限」脫不了關 係。

一、日常生活中的無限大

“無限大”(Infinity)對一般人而言，好像 是遙不可及的思維；好像只有在高層次的 數學理論中，才會討論到。事實上，在日 常生活中，我們就常會接觸到許多“無限”

的觀念，並且和數學課程中所採用的概念 相當接近。

在數學分析中通常是以“超越任何有限範疇”的情境作為“無限大”的

概念。例如：0

lim(1 )x

x+→

= ∞，是指當 x 靠近 0 時，1 x會變很大；如一

兆(1012)對大多數人而言是一個很大的數，但只要 1210x −< 時，1 x就

會超過一兆；不論給多大的數 M，只要 (1 )x M< 時，1 x就會超過 M；

因此，當 x 靠近 0 時，1 x 的極限是 “無限大”。在古希臘的“幾何原

本”第 IX 卷命題 20：“預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質

數。”歐幾里得用此敘述來說明質數有無窮多個。

以下舉一些日常生活中“無限”的例子：

目前我國高速公路的速度上限是110公 里，超過就算違規。高速公路的英文叫Free

Way，有些國家(例如：德國)是指該路段的 車速沒有上限，不論開多快速都不會被取

締，即指時速可到無限大。不過物理學的 知識告訴我們，速度不可能超越光速。

許多自助餐店號稱餐飲無限供應；在該 餐廳中在規定的時段，不論怎麼吃，永遠 可繼續吃下去。事實上，業者很清楚，人 們的食量有限，決不會被吃垮。

我們在街上看到許多招牌寫

“XX股份 有限公司＂。事實上，也有所謂的

“無限

公司＂。“公司法＂

第二條：「無限公司指二人以

上之股東所組成，對公司債務負連帶無限 清償責任之公司」。

其實所謂

“無限清償責任＂

亦有其限 度，例如：宣告破產或死亡後既不再追 究。何況

“公司法＂

第九十六條：「股

東之連帶無限責任，自解散登記後滿五年 而消滅」。

我國“刑法＂規定中的刑期，有所謂的 “無期徒刑＂。係指羈押刑期無限期。因

此若有減刑一半的機會，應該還是無限 期。但事實上，“無期徒刑＂的犯人，死

亡後無法再被羈押，若遇減刑機會亦可能 減至十年。

許多電腦病毒程式，會將某些檔案無限 制的複製，最後造成整個電腦癱瘓。

人體中若有些細胞不斷無節制的生長， 造成器官無法負荷，即是所謂的“癌

症＂。在生態環境中，若有任何一種生物 無限制的增長，形成不平衡，都會造成災 難。

地球環境資源有限，經不起無限制的開 發，導致大自然的反撲，後果不堪設想，

請想想颱風的景象、北極冰原的溶 解、…。

二、無限概念的種種面像

§

1. 無限(或無窮)是一種數學概念無限含有無止境、無限界、沒有極限、…等

特質，是一種永續的數算、擴大、前進的歷程。 古羅馬人採用

此符號表示很大的數目。John

Wallis(英國數學家1616 – 1703)於1656年首先在 數學文獻中使用這符號，今天已經是所有科學家

與數學家都在使用

的符號。

∞

∞

希臘文中的無限是“apeiron”，意思是「沒有邊 界」，在古希臘文中apeiron帶有負面的意義，通

常用來形容「一團混亂」，apeiron常用來形容世 界誕生之前的混沌狀態，根據亞里斯多德的說

法，無限的事物是「不變的事物」，而不是「完 美的事物」。

在亞里斯多德、畢達哥拉斯(Pythagoras)、伯 拉圖(Plato)的時代，沒有「無限」存在的空間。 亞里斯多德知道世上有許多事物似乎是無限的； 例如，時間與空間可以無限延長下去，而線段可 以是無限多個點的集合。為了避免混亂，亞里斯 多德拒絕接受真正有無限的存在，他發展出「潛 在無限」的理論，並且拒絕接受在天體圓球之外 存在著一個無限虛空的說法。

亞里斯多德與他的先驅者芝諾都同意 「無限」是一個大麻煩，芝諾是第一個把

「無限」的問題攤出來的人，為了證明 「無限」果真是個大麻煩，他認為他可以

證明日常世界並不真實。

芝諾是哲學家帕門尼迪斯(Parmenides) 的弟子，帕門尼迪斯認為整個世界是個不

變的整體，他稱這是「不變的一」。帕門 尼迪斯說，運動、變化與多樣性都只是幻 象，相信這些是真實的人是被幻象與感官 世界所欺蒙。

帕門尼迪斯的說法與某些東方哲學家的 看法相當類似，比如說印度教便認為整個

感官世界是一個大幻象。雖然是類似，不 過還是有差別。帕門尼迪斯認為透過「理 性思索」可以觸及世界的本質，而不是經 由東方哲學家慣於接受的「心靈冥思」之 途徑。

帕門尼迪斯被視為是第一位理性主義 者，他是一位憑藉理性思索指引方向的哲

學家，即便理性思索的結果與一般常理大 相逕庭，他也會欣然接受。帕門尼迪斯的 想法似乎影響伯拉圖，伯拉圖因此寫下取 名《帕門尼迪斯》(Parmenides)的一篇對 話錄，記錄這位年輕蘇格拉底信徒對帕門 尼迪斯這位老哲學家的敬畏之意。可預期 的是，帕門尼迪斯的思想在當時受到不少 的嘲諷，傳說芝諾發明「阿奇里斯與陸

龜」這個悖論就是為了替他老師辯解。

很可惜芝諾自己的著作都佚失了，他這 個著名的悖論，只能從亞里斯多德的轉述

來了解內容，但是亞里斯多德引用芝諾的 悖論之目的卻是用來駁斥，因此我們看不 到芝諾悖論的原來面目，從而我們無法確 認芝諾提出這個悖論是為了表達什麼觀

點。從亞里斯多德的描述，芝諾提出「阿 奇里斯與陸龜」以及另一個「二分法」的 悖論，是用來證明運動是不可能的，這是 不是芝諾的原意，已無法加以確認了。有 些學者認為芝諾是在質疑時間與空間可以 被無窮細分的概念。

在微積分課程中所討論的「無限」是一種極 限，不是一個具體的數，而是一種潛在的狀態； 是一種超越任何有限的情境。法國數學家柯西

(Augustin Cauchy1789-1857)於1821年首先提出嚴 密的極限概念，Karl Weistrass (德國數學家1815-

1897)於1860年整理出下述的定義：

lim ( )x a

f x+→

=∞ ⇔ , 0 ( )M a x a f x Mδ δ∀ ∃ > ∋ < < + ⇒ >

即對於任何正數 M，恆可找到正數δ，使得當 x 在 a 與a δ+ 之間時，

恆有 ( )f x M> 。

§ 2. 數學分析中無限的等級在數學分析兩個函數在同一狀況下都趨近於無限而其比值趨近於 0或∞ 時，這兩個無限就有等級之分，如下所述： 若 ∞=→ )(lim xfax ， ∞=→ )(lim xgax ，

而 0)()(

lim =→ xgxf

ax 或 ∞=→ )()(

limxfxg

ax

我們稱 f(x) 在 x = a 時無限的等級比 g(x) 低， 或稱 g(x) 在 x = a 時無限的等級比 f(x)高；記為 )()( xgxf ≺ 或 )()( xfxg 其中 ax → 。 例如： ln ln ln a x xx x x b x≺ ≺ ≺ ≺ ，其中 ∞→> xba ,1, 。 另外 Edmund Landau ( 德國數學家 1877-1938 ) 於 1909 年提出所謂的 ”小 o” 符號： f(x) = o(g(x)) 其中 x a→ 。

例如：ln ln x = o(ln x)，ln x = o(xa)，xa = o(bx)，bx = o(xx)。

§

3. 在集合論課程中所討論的無限是

一種具體的數

德國數學家 坎特( Georg Cantor 1845- 1918 )於1874年提出下述基數(cardinal)的概

念：一個集合元素個數為某個正整數時， 稱為有限集合，否則稱為無限集合。

兩個集合若彼此可找到一一對應的關 係，稱這兩個集合為等價，或稱這兩個集

合有相同的基數。無限集合可定義為可與 自己的一部分等價的集合。例如：偶數是 自然數的一部分，卻互相等價。

1, 2, 3, . . . . , n, … . . . . , 2, 4, 6, . . . . , 2n, …

因此自然數集和偶數集都是無限集。另外，區間(0, 1)是實數軸（－

∞, ∞）的一部分，但透過 f(x) = tan ( πx – π/2 ) 可看出它們彼此等

價。因此它們也都是無限集。自然數集的基數為 0ℵ ，是最小的無限基

數。而實數的基數為 021ℵ=ℵ (參見§ 8)。

§ 4. 無窮小十七世紀初期義大利數學家卡瓦利力

(Bonaventura Cavalieri，耶穌會的修士)認為一個 立方體是由無限多個平面疊加一起形成的，但是 他當時並無法說明何謂「無法再細分」，而他的 計算方法也受到同時期數學家的抨擊，他無法解 釋為什麼無限多部分所組成的物體體積，竟然是 有限的；但這與現在的微積分的觀念一致。根據 法國數學家兼物理學家巴斯卡的說法，「無法再 細分」的方法與古希臘幾何學的方法(窮竭法)是

完全一致的。巴斯卡不是唯一一位接受並運用 「無法再細分」方法的數學家，法國數學家費瑪

(Pirerre de Fermat)以及牛津數學家華理士(John Wallis)也是。

牛頓解決瞬時速度的方法，是直接將瞬時速度 定義為兩個無限小的值相除所得的結果，這是全

新的概念，因為之前的數學家都僅僅將這些無限 小的數加起來而已。牛頓的貢獻不止於此，他找 出一個可以運用無限小來進行運算的方法，由於 微積分的出現，才讓牛頓得以遵從平方反比定律 的萬有引力，推導出行星軌道為橢圓形的結論。 雖然微積分學是依賴「無限小」的概念而建立

的；牛頓、萊布尼茲、白努利都曾嘗試定義何謂 「無限小」，但是仍無法說清楚，直到柯西出版 了《解析教程》，才提出如何解決無限小擾人困 惑的方法，柯西說微積分可以建構在「極限」的 概念上。

數學家羅賓森(Abraham Robinson)將無窮 小(infinitesmal)定義成「絕對值比任何正數

都小的值」，其倒數稱為無窮大(infinity)， 並將這兩類數納入數系中稱為超實數，於

1966年提出所謂的非標準分析(nonstandard analysis)，將潛藏式的無限大、無限小當具

體的數操作，在物理及應用數學領域中已 被廣泛運用。

§ 5. 無窮遠點

在一般歐氏幾何（Euclid Geometry）中 稱平面上兩條互不相交的直線為互相平

行。在射影幾何（Projective Geometry）平 面上任何兩條相異直線都有唯一交點。

Jonann Kepler（1571-1630 德國天文學家） 1604年、Gerard Desargue（1593-1661法國 工程師）1639年，稱互相平行的兩條直線 交於無窮遠點（Infinite point）或稱為理想 點（Ideal point）。

§ 6. 宇宙空間

一般所謂宇宙的定義：

宇：上下四方；即指物質界的三度空 間。

宙：古往今來；指時間，即所謂的第四 度空間。

有沒有第五度空間？物理界認為愛因斯 坦的相對論即是第五度空間。

數學中談到幾度空間，“Dimension”是指 幾個獨立因素(變數)。我們受到空間的限

制，很難知道火星上的狀況。我們受到時 間的限制，無法與歷史人物面對面溝通(靈 界當然也可能是一個Dimension)。但宇宙應 該不止只有這幾個Dimension。

「宇宙是有限或無限」的這個問題，從 中古世紀起，已經成為學者爭論不休的話

題。認為宇宙是無限的，而且包含了數不 盡的世界，在蘇格拉底之前，已有一些希 臘哲學家提倡過了，其中最著名的是戴謨 克利脫(Democritus)；不過亞里斯多德並不 同意，他認為宇宙是有限的。

在中世紀時代，亞里斯多德的思想權威 不斷擴大，宇宙的有限性即成為當時的主

流，沒人感忤逆(否則可能被殺頭)。伽利略 雖然不敢公開承認，但在與友人巴都大學

教授林賽提(Fortunio Liceti)的信件中可以知 道他認為宇宙是無限的。牛頓也在寫給友

人班德利牧師的信中暗示他認為宇宙是無 限的。十七世紀時，宇宙無限大的想法已 深入人心。但是近代，相當多的物理學家 及天文學家相信我們的宇宙極靠近一個

「分界線」。

根據愛因斯坦的廣義相對論，我們宇宙 空間平均曲率(average curvature of space)可 正、可負，如果曲率為正，宇宙就是有限

而自成一個封閉格局；如果曲率為負，宇 宙就是無限大；第三種可能就是宇宙的空 間曲率為 0，此時宇宙剛好達到無限大，即

是所謂宇宙極靠近一個「分界線」。

聖經中耶穌基督復活升天，祂並不是暫 時停留在某個銀河星系的某個星球上。或

者徘徊於時空隧道當中…諸天述說神的榮耀；穹蒼傳揚他的手

段。（詩19:1）諸天藉耶和華的命而造；萬象藉他口中

的氣而成。（詩33:6）耶和華啊，你的慈愛上及諸天；你的信

實達到穹蒼。（詩36:5）聖經中的詩人用「諸天」來稱呼宇宙。

「諸天」應可解釋為 all dimensions。

§

7. 關於無限的故事

(1) 太空旅館

出外旅行最怕碰到旅社客滿，投宿無 門。這事如果發生在外太空，情勢可能會

有改變。D. Hilbert（德國數學家, 1862 - 1943）為要說明無限集合的特質，提出下

面太空旅館的故事：

「有一位旅客，在外太空中漫遊，想找個 地方休息一下。於是來到一家太空旅館， “阿列夫零號旅社”(Hotel Aleph-Null)。（註

為希伯來文第一個字母，一般用來代表無 限基數）該旅館有無限個房間，每個房間 的編號都是一個自然數(正整數)。他發覺每

一號房間都有人住，應該是客滿的狀況。 然而服務人員仍熱忱地招待他，並馬上安 排他住進一號房，原一號房客住二號房， 依此類推，每一房客都往後搬一個房間就 解決了。

ℵ

過不久，又來了一個旅行團，有無限多個 團員，每一位團員也都按照自然數的次序 編了號，他們全數要求住宿。服務人員依 然熱忱地接納，並馬上安排住宿：一號房 的客人搬到二號去，二號房的客人搬到四 號去，…，將原來 n 號房的客人調整去住 2n號房。如此偶數號房住滿了舊旅客，並 空出所有的奇數號房接待新到的旅行團

員。將一號團員安排在一號房，二號團員 安排在三號房，…，將 k 號團員安排住在 2k－1號房。事情又處理好了，旅社依然是 客滿的。陸續還是有類似的團體住進來，

都可獲圓滿的解決。」

上述情況在日常生活中不會遇到，因為一 般旅館的房間數目都是有限的，而上述情 形剛好是無限集合的特性。G. Cantor（德國

數學家, 1845 - 1918）提出所謂“無限集合” 是指“可以和自己的一部分有一一對應的集

合”。例如：正偶數是自然數的一部分，但 透過n與2n的一一對應，就建立了自然數和 正偶數的一一對應；因此，自然數集是一

個無限集合。有限集合就無法和自己的一 部分有一一對應。

Cantor(1874年)認為上述Hilbert的阿列夫零號旅社並無法應付所有的

情況。例如：新到了一群人，他們擠成一條線，並用 0 與 1 之間的所

有數編號，他們要求所有人都能住進去。Cantor 認為不可能。如果可

以的話：這些旅客需要依序排成一列 1 2 3, , , , ,na a a a< >，再安排房

間。但是現在辦不到，說明如下：

先將數列中每一個元素用二進位無窮小數依序排列

1 11 12 13 10. ka a a a a= ,

2 21 22 23 20. ka a a a a= ,

．．．,

1 2 30.n n n n nka a a a a= , (所有 0nka = 或 1)

．．．

令 1 2 30. nb b b b b= 其中對於任何 n， 1n nnb a= − ，則 b 是 0 與 1 之間

的一個數，應該是新到的旅客之一。但 n nnb a≠ 。所以對於任何 n，

nb a≠ 。因此 b 並不在 1 2 3, , , , ,na a a a< >行列之中。也就是說該隊

伍 1 2 3, , , , ,na a a a< >並無法將所有新到的旅客都編列進去。

如果另外再開一家太空旅社，“阿列夫壹號旅 社”( Hotel Aleph-one )，擁有和“0與1之間的所有

數”同數的房間，問題即可解決。Cantor 又證明了 這問題無法根本解決。例如有一批旅客住滿了某

旅社，旅客中間儘可能地任意結社，組成各種團 體，任何兩個團體成員不能完全一樣，每個社團 都要求有一個房間當辦公室，且不與他其他團體 共用，則原旅社決不夠用，必須再開一家太空旅 社才能解決。到底整個“太空旅社”全體是個什麼 樣的東東？這就問出“數學基礎”之痛了。Cantor

說：“不知道！”怎麼說都會有破綻，這叫“Cantor 詭論”。若想了解真相，可參考有關集合論的書。

(2) 芝諾的悖論傳說古希臘哲學家芝諾約在西元前五世紀(約

2510年前)曾提出以下「阿奇里斯與陸龜」的悖 論，他是這樣說的：

「有一天，強壯的古希臘戰士阿奇理斯要和行 動遲緩的陸龜進行一場賽跑，由於陸龜的行動太

慢，阿奇理斯便禮讓陸龜一段距離。比賽開始， 結局似乎很明顯，但是芝諾卻說阿奇理斯永遠無 法勝過陸龜。他解釋道，如果阿奇理斯要勝過陸 龜，必須先跑完他禮讓陸龜的那一段路，在這段 時間中，陸龜又前進了幾步，所以當阿奇理斯抵 達陸龜的起跑點，陸龜仍舊在阿奇理斯的前面， 如此繼續下去，無論兩者距離有多短，陸龜總是 會在阿奇理斯的前面。」

駁倒這個悖論，我們可以用收斂的無窮級數和來破解，然而無窮級數

求和就需要用到極限的概念。事實上，如果我們假設阿奇理斯跑步的

速度是陸龜的兩倍，且阿奇理斯禮讓陸龜先跑 10 公尺，阿奇理斯只

要 1 秒鐘就可以趕上他禮讓陸龜的距離，在阿奇里斯跑的這段時間，

陸龜又前進了 5 公尺，阿奇里斯要花 12秒鐘趕上這段距離，接著阿奇

里斯下一次追趕陸龜，要花14秒鐘，再下一次追趕陸龜要花

18秒，

以此類推。如果用表格來表示就會變成這樣子：

追趕步驟 1 2 3 4 5 6 …

所需時間(秒) 1 12

14

18

116

132 …

如果把阿奇理斯所花的時間全部加起來就可發現，阿奇理斯總共花了

0

1(1 2) 2

1 (1 2)n

n

∞

=

= =−∑ (秒)

即可追上陸龜。不過芝諾在此故事中並不是要表達阿奇理斯不會在有

限時間內追上陸龜，他想表達的是阿奇理斯沒有辦法做完無限個步

驟。

芝諾的另一個悖論叫做「二分法」(據說這個 名字是後來的評論者加上的，而非芝諾自己取

的；也與近代批判共產主義的二分法有不同的意 義)，和「阿奇里斯與陸龜」的悖論類似，根據芝

諾的說法，「旅行是不可能的」。因為要到某個 地點去，旅行者必須先走完一半的路程，而完成 這一半路程之後，還有一半路程在前方等候，如 此一來，無論旅行者如何接近目的地，都還有一 點點未完成的旅行。芝諾甚至說，更嚴重的是連 開始都有困難；要進行後半段的路程時，必須先 完成前半段的路程，然而在此之前必須先完成前 四分之一的旅程，依此類推，直到旅行最初開

始。

(3) 燈泡亮不亮都可能

現代哲學家根據芝諾的悖論又發展出他 們的新悖論，其中一個例子是討論開關無

數次的燈泡(假設燈泡永遠不會壞)，根據 芝諾的悖論，這牽涉到無限多次的動作， 邏輯告訴我們，到了最後，燈泡開著和關 著都有可能。如果用“1＂表示燈泡是亮

著，用“0＂表示燈泡是暗著，並假設一開 始時燈泡是亮著，然後將再將開關，關、

開、關、開、……無限多次，

則最後的結果可以用數學式子表示為無窮級數：

0

1 1 1 1 1 1 ( 1)kk

∞

=

− + − + − + = −∑

這個無窮級數的 n 項部分和為 1 0 n

nS

n⎧

= ⎨⎩

若 為奇數

若 為偶數

所以此無窮級數的部分和序列是發散序列，因而此無窮級數發散；也

就說燈泡開著和關著都有可能。

(4) 少女明晃「有個少女叫明晃，

動如脫兔迅如光。

她於今晨飄然離去，

(相對論說)將會在昨晚回莊。」

這些句子相當有名，最早出現在英國科學 雜誌《撞擊》(Punch)，用以說明當時剛開 始為大眾所認識的狹義相對論。

愛因斯坦的狹義相對論指出，無論是物 質還是訊號，只要能比光速快，就能夠穿

過時光回到未來，好萊塢還拍了兩集「回 到未來」(Back to future)的電影。

相對性的概念其實並不是件新鮮事，伽 利略與牛頓早就知道運動是相對的。他們

知道當船航行時，船上的乘客常會覺得船 是靜止的。正如伽利略所指出的，如果有 東西自船上高處落下，掉在甲板上，乘客 將會看到物體垂直降落的過程，無論船當 時是否正在航行，唯一有影響的是物體相 對於船的運動。

在相對論中，不同角度的觀察者將會看到不同 的事物，高速移動的物體將會有質量上的變化(速

度越快，物體就變得越重)，這一點已由實驗證 實。次原子粒子在現代的粒子加速器中被加速到

接近光速，可以觀察到質量的變化，變化的幅度 正如相對論所預測的一樣。要將物體加速到光

速，將需要加入「無限大的能量」，由於在可預 見的未來，不可能取得無限大的能量，因此超光 速也成為不可能的夢想。這也意味著帶有無限大 物理數值未必都造成災難，光速為速度的極限就 是一個例子。無限大的存在代表不可能發生，然 而不可能發生的事物不代表不重要，例如海森堡 測不準定理推定電子的位置與動量，或是時間與 能量不可能同時都量得精確，就是這樣的不可

能，才導致確定虛粒子存在的重大發現。

相對質量增加(relativistic mass increase)的現象 以及隨之產生的「無限障壁」(infinity barrier)，這 兩個現象比乍看之下深遠的多。前者引導愛因斯

坦發現著名的值能互換公式「E ＝ m c2」，如果 能量的消耗導致物體質量的增加，似乎表示能量 可以換成質量，這讓愛因斯坦直接假設無論物體 在靜止或運動中，能量總是等於質量乘以光速的 平方。他也發現，在此一假設下，可以直接求得 正確描述相對質量的增加公式。最自然的結論就 是如果無限大無法阻止超光速的情形發生時，能 量將不等於m c2 ，我們將生活在一個完全不同的 宇宙。因此「無限大」的能量不可能存在於客觀 世界之事實，對於我們理解自然世界有實質上的 意涵。

(5) 積財在天基督教的牧師或長老常在教會教導信徒「應該積

財在天，而非積財在地」，他們經常引用新約聖經裡 的一段話：

「不要為自己積攢財寶在地上；地上有蟲子咬，能銹 壞，也有賊挖窟窿來偷。只要積攢財寶在天上；天上 沒有蟲子咬，不能銹壞，也沒有賊挖窟窿來偷。因為 你的財寶在那裏，你的心也在那裏。」(太6:19 – 21 )

有一個數學例子，敘述如下：

有一個人每天賺一千元，存到一個安全的地方，並從 存款項中拿出一百元花用。如果他的壽命有無限長

(基督徒盼望永生)，則他最終的存款總額將是“零”。 因為每一塊錢都會被用掉。如果他每天同時又存了一 元在天上，則他最終在天上的存款數與他平生所賺的 一樣都是“無限多”。

§

8. 物理、天文學中「無限」之困擾

牛頓的「無限小」凸顯了一些數學問題，而這 些問題後來都被一一解決；事實上，在數學上無

論起頭如何困難，現在與「無限」有關的問題都 不難解決(至少數學家是這樣的認為)，但是在物

理上，出現無限的理論時，通常意味著在理論的 某一個角落可能出現了錯誤。由於現代物理學家 積極想深入了解自然的本質，因此科學家經常會 在不同的情形下與無限相遇，在某些例子中，科 學家總算成功了一小部分，例如：被稱為QED理 論的量子電磁學就是被科學家認為成功的理論， 但是沒有人知道QED理論與數學上是否一致。

QED理論是將電子視為一個數學上的點(數 學上的點是沒有大小的)，由於所有的電荷都

集中在這一點上，因此這點所攜帶的電荷密度 與質量將達到無窮大，而我們所觀察到的有限 電量及質量來自於電子周圍虛粒子的遮蔽效

果。這個理論能被接受的裡由是因為如果將電 子視為具有有限體積的粒子，結果更糟。

當第一次利用QED理論計算的數據出現 時，物理學家發現結果是無限大，所以物理學

家只好利用重正則理論來「消除」無限大，然 而引入重正則化的算法在數學上有疑問，所以 科學家使用一個有疑義的數學工具於QED及其 他類似的理論，這也導致科學家質疑我們對自 然界的基本成分到底了解多少。

許多理論物理學家希望超弦理論可以 解決這個問題，縱使超弦理論本身也引

起相當大的爭論。有些科學家認為超弦 理論可以帶領物理學家超越現有的境

界，但是也有些科學家對超弦理論嗤之 以鼻。現代物理學家所遭遇的困難讓我 們知道，我們對於「無限」的困惑，並 沒有比芝諾時代要好多少。

在公正的原則下，當玩輪盤遊戲時，我們可以 觀察出相同數字出現的機率，當輪盤開始旋轉，

在所有的機率中只有一個會成真，因為一次旋轉 不會有兩種結果。但是量子力學看待世界的方式 大不同，量子力學將機率視為基本概念，而這種 機率具有日常生活世界所沒有的特性。當我們將 將機率指定給電子可能的位置時，我們必須將電 子視為同時存在於這些位置。當物理學家思考原 子中電子行為時，將會看到環繞在原子核外的電 子雲。同樣的，如果電子可以存在於多個特定能 階，我們也將電子視為同時佔有這些能階，這不 僅是理論預期的結果，在許多實驗上也都證明量 子力學的看法。比如說，觀察中子同時在兩個位 置出現，將可觀察到中子自我互相干涉的結果。

因此如果量子宇宙學接受有無限多個宇 宙存在的概念，就必然要仔細考慮這些宇

宙極可能存在，而且與我們目前所在的宇 宙相當類似，正如蓋爾曼所說的，在未

來，我們有可能與這些宇宙取得聯繫。現 代物理學家們甚至認為不但有無限多個宇 宙，而且可能會有無限多的無限個宇宙。 這種觀念到底是「科學」，還是形而上

學？

§ 9. 彎曲空間愛因斯坦斷言絕不可能突破光速的說法，始終

沒讓科幻小說家停止構想太空之旅。「空間折 疊」(space warp)的觀念也常被用來當作繞過光速

障壁的捷徑；現在的科幻影集「星際迷航」(Star trek)也常用到這個觀念，他們在太空船裝上「區

間引擎」(warp engine)，這樣就可以用「區間速 度」(warp speed)在太空中漫遊。

「折疊空間」(warp)的觀念來自於「彎曲空 間」(curved space)，愛因斯坦在廣義相對論中曾

提到這個觀念，指出如果空間是彎曲的，應該可 以找到方法將空間折疊，可以使得太空之旅變得 更快。

空間不是物體，無法被彎曲，當科學家 提到彎曲時，是指重力造成空間幾何的改

變，不再像歐氏幾何。在歐氏幾何空間 中，三角形的三個內角和等於180度，在非

歐幾何空間中，三角形的三個內角和就不 一定等於180度。例如：在地球表面上，經

線都與赤道垂直，但所有的經線都在北極 與南極會和；任取兩條經線，這兩條經線 與赤道將成三角形，而這兩條經線也與赤 道垂直，所以這個三角形的內角和就大於 180度。

簡單的說，愛因斯坦的彎曲空間是非歐氏空間 (非歐幾何學由羅巴切夫斯基(利用矛盾律)所發

現，由德國數學家黎曼與克萊因將歷史上的幾何 學匯整為《埃朗根綱領》而聞名於世)，然而大部

分論及非歐氏幾何空間的文章都是以德文寫的， 而德文中並沒有用來形容「非歐氏」或相近意義 的字詞，所以討論到「非歐氏」的時候都用「彎 曲」來取代，因為愛因斯坦也是用德文寫下相對 論，因此相對論被翻譯成英文時，「彎曲」這個 字也被夾帶進入英文的科學詞彙中。

廣義相對論是一個統合空間與時間的理論，這 個理論指出在重力的影響下，不同的觀測者，看

到的「時間」也不一樣。在地球表面上曾經進行 過廣義相對論的實驗，但是效應太弱，且只有擁 有最先進儀器的物理學家才看得到。

§ 10. 無限的時間亞里斯多德認為世界一直存在，乍看之下，這

是個令人驚奇的陳述，因為在他「最初推動者」 的論述中，他曾述說「無限」迴歸的不可能性， 他也明白的否定「無限大」這個數目的存在，他 說只有「潛在的無限大」(potential infinity)會存

在。什麼是「潛在的無限大」呢？正整數集合是 一個很好的例子，不管多大的數，都不可能是最 後的一個數，永遠有一個數比它大1，因此正整數

的個數是無限大。但是這個無限大不可能真正得 到，亦即並不實際存在，只是「潛在的存在」； 這就是亞里斯多德所謂「潛在的無限大」之意

義。

既然如此，亞里斯多德為什麼認為過去的時間 是無限的？事實上，亞里斯多德並不如此認為，

在亞里斯多德的想法中，「時間是環狀的」。亞 里斯多德接受遠古盛行的概念，即宇宙循環

(cosmic cycle)。在古希臘時代，人們相信有所謂 的「大災之年」的循環，每經過數千年，太陽、 月亮及五個當時已知的行星將會回歸到初始狀

態，而時間便完成了一次循環。每一次循環中都 會有一次「大惡冬」，在大惡冬時期，世界將被 豪雨洪水淹沒，其後則是「大酷夏」，萬物皆毀 於烈火。許多相信循環時間論的人都相信歷史將 會重現，總是會有另一次特洛依戰爭、另一個雅 典、…、另一個我、…。

如果時間是環狀的結構，過去就不會發 生無限多的事件。經歷時間的循環好比環

遊地球一周，總是會回到一開始的起點。 亞里斯多德並不相信過去發生的事會再一 次精準的重現，或同樣的人會在未來重生 一次，但他也引用「大惡冬」及大循環的 概念，相信人類歷史將會尋一定的模式再 現。

許多不同的文明都有循環時間的概念，在印度 教中人們相信時間是一個大循環，世界週期地歷

經成住壞空。在吠陀時期(大約是西元前1500~600 年之間)，印度聖者更細分大循環中有小循環；最

小的循環是一劫，相當於人類的360年，而最大的 循環則大約是300兆年，相當於神的壽命。

中國古代相信在宇宙之間的陰陽循環互動，算 出一個循環是23639年。

在美洲，阿茲特克人(Aztecs)和馬雅人(Mayas) 相信循環的時間與反覆出現的大災難。根據阿茲

特克人的信仰，每52年，世界便有毀滅的危險。在北歐的神話中，也可找到類似的講法，根據

北歐神話，世界與天堂都將毀於神與巨人之間的 戰役中，世界將被重建，而新的神與新的人類也 將出現，如此循環將一再上演。

現代人認為時間是一條線從過去延伸到未來， 也有可能貫穿無限遠的過去以及無限遠的未來，

這種時間觀念傳承自基督教。在古猶太教中，並 沒有宇宙循環的概念，世界是在某個特定的時間 點被創造出來的，上帝自一片無所定型的虛空中 創造出這個世界。在聖經創世紀中提到上帝曾許 諾諾亞將不會再有大洪水，並創造出彩虹以示承 諾；同樣的，出埃及記也只會出現一次，猶太人 不需要一次又一次地逃離埃及。從本質上來說， 基督教相當強調線性時間觀，如果基督的受苦、 殉難及重生被視為反覆出現循環的時間觀，那麼 基督的贖罪就變得毫無意義。在新約聖經中，可 以看見保羅不僅一次強調基督僅為人類的原罪受 一次苦。

雖然在西方基督教強烈主張線性時間，但是時 間循環的論點仍引發不少問題，有人提出「如果

世界真的創生於特定時間，這是否意味著上帝在 創造世界之前，已經虛度了無限長的時間？為什 麼祂不早一點創造世界呢？」那些被指責為「自 欺欺人的賢人」舉出這個問題，要求奧古斯丁解 答。在奧古斯丁的《懺悔錄》(confessions)一書中 對這個問題有所描述，「他們問道：『在世界創

生之前，上帝忙些什麼呢？』」傳說奧古斯丁的 回答是：「上帝忙著為你們這些不信的人創造地 獄」(當然這只是開玩笑)。奧古斯丁很正經地想

要找出適當的解答，他的結論是，在創世紀之 前，時間不存在。時間與世界一同創生，上帝的

存在與時間無關，祂也不受限於時間，質問上帝 在創世紀之前的行動是無意義的，因為「沒有之 前」。

奧古斯丁的回答正恰似現代宇宙學家的研究結 果，有人會問：「在大霹靂之前，發生什麼

事？」科學家的回答和奧古斯丁差不多，「沒有 『之前』，因為在大霹靂時，空間與時間一同被 創造出來。」不過解決「之前」的問題，並不代 表奧古斯丁解決了所有無盡的線性時間相關的問 題；有一次奧古斯丁說：「如果有人問我時間到 底是什麼？我知道答案；如有人要求我解釋，那 麼我就一無所知了。」又有一次他說：「上帝

啊，我向您告解，我對時間一無所知啊！」時間 的本質是個非常引人入勝的主題，但再漫談下

去，可能會永無止盡，最後謹以聖經中的一段話 作為結尾。

耶和華以色列的神是應當稱頌的，從亙古直到永 遠。阿們！阿們！(詩41:13)

參考書目：

• Howard Eves原著，《數學史概論》，曉園出版社。• Richard Morris原著，《無限探索無限》，新新聞。• 小室直樹原著，《給討厭數學的人》，晨星出版社。• Walter Rudin，Real and complex analysis，McGraw-Hill

Book Company。• R. Larson, R. P. Hostetler, B. H. Edwards，Calculus with

Analytic Geometry，Houghton Mifflin Company。• 合和本聖經。

無限的概念投影片編號 2投影片編號 3投影片編號 4一、日常生活中的無限大投影片編號 6投影片編號 7投影片編號 8投影片編號 9投影片編號 10二、無限概念的種種面像投影片編號 12投影片編號 13投影片編號 14投影片編號 15投影片編號 16投影片編號 17§ 2. 數學分析中無限的等級 § 3. 在集合論課程中所討論的無限是一種具體的數 投影片編號 20§ 4. 無窮小投影片編號 22投影片編號 23§ 5. 無窮遠點 § 6. 宇宙空間 投影片編號 26投影片編號 27投影片編號 28投影片編號 29§ 7. 關於無限的故事� �(1) 太空旅館 投影片編號 31投影片編號 32投影片編號 33投影片編號 34投影片編號 35投影片編號 36(2) 芝諾的悖論 投影片編號 38投影片編號 39投影片編號 40(3) 燈泡亮不亮都可能 投影片編號 42(4) 少女明晃 投影片編號 44投影片編號 45投影片編號 46(5) 積財在天§ 8. 物理、天文學中「無限」之困擾 投影片編號 49投影片編號 50投影片編號 51投影片編號 52§ 9. 彎曲空間投影片編號 54投影片編號 55§ 10. 無限的時間 投影片編號 57投影片編號 58投影片編號 59投影片編號 60投影片編號 61投影片編號 62參考書目：