Dynacmique Des Structures, Tome 1 Principes Fondamentaux (J.penzIEN Et R.W.clouGH)

8/10/2019 Dynacmique Des Structures, Tome 1 Principes Fondamentaux (J.penzIEN Et R.W.clouGH)

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COLLECTION SCIENTIFIQUE DE LIPS Idirige par Jean-Louis ARMAND

DEJA PARU

Introduction aux lments finis , par Richard H. GALLAGHER, Doyen dePEcole dingnieurs, Universit de lArizona Tucson.

A PARAITRE

Dynamique des structures, Tome 2 : Vibrations alatoires et gnie sismique,par R.W. CLOUGH et J. PENZIEN.

La mthode des lments fini s : techniques numriques, par K.J. BATHE etE.L. WILSON.

Formules pour le calcul statique et dynamique des structures : approchedirecte par dformations et contraintes, par Walter D. PILKEY et Pin YuCHANG.

Mthodes variationnelles en lasticit et plasticit, par Kyuichiro WASHIZU.

Stabilit des structures, par Hans ZIEGLER.

Ray W. CLOUGH Joseph PENZIENProfesseur de Gnie Civi l Professeur de Gnie Civi l

l'Universit de Californie l'Universit de Californie

Berkeley Berkeley

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DYNAMIQUE

DES

STRUCTURES

Tome 1

Principes fondamentaux

Traduit de l'anglais

par Jean-Louis CLAUDONIngnieur Arts et Mtiers, Master of Science

Prface de Jean-Louis ARMANDMatre de Confrences l'Ecole Polytechnique 043299

InventaireEcole Nationale Polytechnique

DITIONS PLURALIS


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Dynamique des structures (Tome 1 : Principes fondamentaux)Copyright 1980, PLURALIS.

est traduit deDynamics of StructuresCopyright 1975 by McGraw-Hill, Inc.

ISBN 2-86216-001-6(dition originale :ISBN 0-07-011392-0 McGraw-Hill, Inc.)

Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds

rservs pour tous pays.

La loi du 11 mars 1957 nautoris ant, aux te rmes des alinas 2 et 3 delarticle 41, dune part, que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective et,dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple etdillustration, toute reprsentation ou reproduction intgrale, ou partielle,faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause,est illicite (alina 1er de larticle 40).

Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit,constituerait donc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivantsdu Code pnal.

Table des matires du tome 1

Prface l'dition franaise

Prface des auteurs

Table des notations

1 Prsentation gnrale de la dynamique des structures

1.1 Objectif fondamental de la dynamique des structures, 11.2 Types de chargements donns, 2

1.3 Caractristiques essentielles dun problme dynamique,3

1.4 Mthodes de discrtisation, 4Concentration des massesDplacements gnralissNotion dlment fini

1.5 Formulation des quations du mouvement, SEcriture directe de lquilibre dynamique par le principe de dAlembertPrincipe des dplacements virtuelsPrincipe de HamiltonRsum

1.6 Organisation de ce cours, 11

XV

XI X

XX I

1


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PREMIERE PARTIE :SYSTEMES A UN DEGRE DE LIBERTE 15

Formulation des quations du mouvement 17

2.1 Composants du modle dynamique lmentaire, 172.2 Mthodes de formulation, 17Ecriture directe de lquilibre dynamiqueApplication du principe des travaux virtuelsApplication du principe de Hamilton

2.3 Influence des forces de pesanteur, 202.4 Influence dune excitation dappui, 212.5 Systmes particuliers un degr de libert : assemblage de

corps rigides, 222.6 Systmes particuliers un degr de libert : souplesse

rpartie, 292.7 Expression des caractristiques gnralises dun systme,

34

Oscillations libres 41

3.1 Rsolution de lquation du mouvement, 413.2 Oscillations libres non amorties, 423.3 Oscillations libres amorties, 44

Amortissement critiqueSystmes sous-amortisSystmes suramortis

Rponse un chargement harmon ique 53

4.1 Systme non amorti, 53Solution homogneSolution particulireSolution gnraleFacteur de rponse

4.2 Systme amorti, 564.3 Rsonance, 604.4 Acclromtres et mesure des dplacements, 634.5 Isolation vibratoire, 644.6 Mesure de lamortissement des systmes un degr de

libert, 70Dcroissance des oscillations libresAmplification rsonante

Mthode de la demi-puissance (largeur de bande)Dperdition dnergie par cycle (essai en rsonance)Amortissement hystrsique

5 Rponse un chargement priodique quelconque

5.1 Dveloppement de la charge applique en srie de Fourier,81

5.2 Rponse un chargement exprim en srie de Fourier , 815.3 Forme exponentielle de la solution par srie de Fourier,

84

6 Rponse un chargement par impulsion

6.1 Nature des charges impulsives, 896.2 Impulsion en forme de sinusode, 906.3 Impulsion rectangulaire, 936.4 Impulsion triangulaire, 946.5 Spectres de rponse ou spectres de choc, 956.6 Calcul approch de la rponse un chargement par

impulsion, 98

1 Rponse une excitation dynamique quelconque

7.1 Intgrale de Duhamel pour un systme sans amortissement,103

12 Calcul numrique de lintgrale de Duhamel pour un systme sans amortissement, 104

7.3 Rponse dun systme avec amortissement, 1097.4 Dtermination de la rponse sur lensemble du domaine

des frquences, 1137.5 Etude numrique dans le domaine des frquences, 116Transformes discrtes de FourierUtilisation de la transforme rapide de Fourier

8 Dterm inatio n de la rponse d'une structure en cas denon-linarit

8.1 Principe de lanalyse, 1218.2 Equation incrmentale de lquilibre, 1228.3 Intgration pas pas, 1238.4 Rcapitulation de la mthode, 126


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9 Etude des vibrations par la mthode de Rayleigh 133

9.1 Principe de la mthode, 1339.2 Etude approche dun systme quelconque, 1359.3 Choix dune fonction de dplacement, 1369.4 Mthode de Rayleigh amliore, 140

DEUXIEME PARTIE :SYSTEMES A PLUSIEURS DEGRES DE LIB ERTE 147

10 Form ulat ion des quations du mouvement des systmes plusieurs degrs de libert 149

10.1 Choix des degrs de libert, 14910.2 Expression de lquilibre dynamique, 15010.3 Influence des forces axiales, 153

11 Dterminat ion des matrices caractrisant les propr itsd'une structure 155

11.1 Caractristiques lastiques, 155SouplesseRigiditAutres notions fondamentales en calcul des structuresElments finis. Rigidit

11.2 Caractristiques massiques, 164Matrice des masses concentresMatrice de masse cohrente

11.3 Caractristiques damortissement, 16811.4 Action des forces extrieures, 169

Rsultantes statiquesForces cohrentes aux nuds

11.5 Rigidit gomtrique, 170Approximation linaireRigidit gomtrique cohrente

11.6 Choix du type de formulat ion, 175

12 Oscillations libres non amorties 179

12.1 Dtermination des frquences propres de vibration, 17912.2 Dterminat ion des modes vibratoires, 181

12.3 Formulation par les souplesses, 18412.4 Influence des forces axiales, 185

Vibrations libresCharge critiqueFlambage par excitation harmonique

12.5 Propri ts dorthogonalit, 188

Relations fondamentalesAutres relationsNormalisation

13 Etude de la rponse dynamique

13.1 Coordonnes principales (normales), 19513.2 Equations dcouples du mouvement non amorti, 19613.3 Equations dcouples du mouvement amorti, 198

Formation des quationsConditions pour lorthogonalit de lamortissementCouplage de lamortissement

13.4 Mthode de superposition des modes: rcap itula tion,203

14 Pratique du calcul des vibrati ons

14.1 Remarques prliminaires, 21314.2 Mthode de Stodola, 214

Dtermination du mode fondamentalConvergenceDtermination du second modeDtermination du troisime mode et des modessuivantsDtermination du dernier mode

14.3 Etude du flambage par itration matricielle, 22714.4 Mthode de Holzer, 230

Principe de la mthodeMthode des matrices de transfertMthode de Holzer-Myklestad

14.5 Rduct ion du nombre de degrs de libert, 239RappelsConcentrations en masses discrtesMthode de Rayleigh applique aux systmes de coordonnes discrtesMthode de Rayleigh-Ritz

14.6 Notions lmentaires ditrat ion matricielle, 247Dveloppement de la matrice dynamique selon seslments propresRsolution itrative du problme dlments propres


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Itration avec dcalageItration de sous-espace

14.7 Forme symtrique de la matrice dynamique, 256Matrice de masse diagonaleMatrice de masse cohrente

14.8 Etude des structures sans appuis, 259

15 Etude des systmes non linaires 265

15.1 Introduction, 26515.2 Equations incrmentales de lquilibre, 26715.3 Intgration pas pas : mthode de lacclration linaire,

26815.4 Mthode inconditionnellement stable acclration li

naire, 26915.5 Performances de la mthode 0 de Wilson, 272

16 Formul ation variationnell e des quations du mouvement 275

16.1 Coordonnes gnralises, 27516.2 Equations de Lagrange, 27616.3 Obtention des quations gnrales du mouvement, 28316.4 Equations de contraintes et multiplicateurs de Lagrange,

287

TROISIEME PARTIE: SYSTEMES A CARA CTERISTIQUES REPARTIES 293

17 Equations aux drives partielles du mouvement 295

17.1 Introduction, 29517.2 Flexion des poutres : cas lmentaire, 29617.3 Flexion des poutres : effet des forces axiales, 29817.4 Flexion des poutres : dformations deffort tranchant et

inertie de rotation, 29917.5 Flexion des poutres : amortissement visqueux, 30217.6 Flexion des poutres : excitations dappuis gnralises,

303\1 J Dformations axiales, 306

18 Vibrati ons libres non amorties

18.1 Flexion des poutres : cas lmentaire, 30918.2 Flexion des poutres : prise en compte des effets des forces

axiales, 31718.3 Flexion des poutres : dformation deffort tranchant et

inertie de rotation, 318

18.4 Flexion des poutres : orthogonalit des modes de vibration, 32018.5 Vibrations axiales libres, 32218.6 Orthogonali t des modes de vibration axiale, 325

19 Etude de la rponse dynamique

19.1 Coordonnes normales, 32719.2 Equations dcouples en flexion sans amortissement, 33019.3 Equations dcouples en flexion avec amortissement, 33419.4 Equations dcouples du mouvement axial sans amortis

sement, 336

20 La mthode de la rig idi t directe dans les problmesdynamiques

20.1 Introduction, 34320.2 Matrice dynamique de rigidit en flexion, 34420.3 Rigidit dynamique : flexion et dplacements axiaux

rigides, 35020.4 Matrice de rigidit dynamique des dformations axiales,35320.5 Rigidit en flexion et en dformation axiale combines,

35520.6 Effets des forces axiales sur la rigidit en flexion, 356

21 Propagation d'ondes

21.1 Equation fondamentale de la propagation des ondesaxiales, 361

21.2 Prise en compte des conditions aux limites, 36521.3 Barre prsentant des discontinuits, 36821.4 Ondes de contraintes lors de lenfoncement dun pieu, 37321.5 Onde deffort tranchant dans un btiment, 377


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Prface l'dition franaise

Le grand public, sil trouve aujourdhui naturel de profiter des progrs dela technologie, a galement pris conscience des dangers qui les accompagnent :cest pourquoi il exige de lingnieur des ralisations toujours moins coteuseset toujours plus fiables, contradiction apparente que seule une conceptionmieux comprise permet de dpasser. Il est ainsi devenu ncessaire, au fil des

ans, de raffiner les schmas mathmatiques utiliss au stade du projet, pourtenter de les faire approcher dune ralit souvent complexe : dans ce domaine,lapparition des calculateurs lectroniques, dans les annes 1950, a autoris ledveloppement de mthodes numriques la puissance colossale, telles que lamthode des lments finis. Celle-ci est aujourdhui dun usage courant danslindustrie pour ltude de structures dont la complexit rend vaines les mthodes de la rsistance des matriaux classique.

Cest ainsi que la conception de la^ plupart des structures (que ce soient lesconstructions fixes du gnie civil, du gnie nuclaire ou du gnie ocanique,les machines ou parties de machines, les.constructions aronautiques, automobiles ou navales) exige prsent la dtermination de leur rponse aux sollicitations de nature dynamique quelles sont amenes rencontrer au cours deleur existence. Or, le comportement dynamique dune structure est trs

frquemment li des phnomnes que ne peut permettre de prvoir la seuleconsidration des chargements statiques ou pseudo-statiques auxquels sontsouvent assimiles les sollicitations dynamiques rencontres dans la ralit : letristement fameux pont de Tacoma, ou la rupture dune aile davion parflottement arolastique, constituent des exemples heureusement extrmesde tels phnomnes.

Lobjectif que se fixe la dynamique des structures est de caractriser lecomportement des constructions soumises des sollicitations dynamiques.Le trait que lui ont consacr les Professeurs Clough et Penzien rpond remarquablement bien cet objectif, en russissant parfaitement prsenter une vuesynthtique de la thorie moderne et souligner ses applications des problmes pratiques auxquels lingnieur se trouve confront.


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Le premier tome de louvrage que nous prsentons aujourdhui au lecteurde langue franaise reprend les trois premires parties de loriginal amricain,dues au seul Professeur Clough. Nul mieux que lui ne sait, que ce soit dansles leons quil professe ou travers ses crits, prsenter avec une telle simplicit, fruit de longues annes de recherches et denseignement, ces conceptsfondamentaux dont la connaissance claire permet la comprhension physique des phnomnes rels, quil sagisse du systme masse-ressort le pluslmentaire ou de lassemblage dlments finis le plus compliqu. Les m

thodes numriques prsentes ont toutes fait la preuve de leur applicabilitaux calculs sur ordinateurs : l auteur, qui est galement, ne loublions pas,lun des pionniers de la mthode des lments finis, est orfvre en la matire.Lingnieur sera en outre agrablement surpris de constater .que le courssattarde avec un luxe de dtails sur des techniques trs gnrales, dont lutilit,au stade de lavant-projet, nest plus dmontrer, qui permettent la dtermination approche rapide, avec une simple rgle calcul ou une calculatrice depoche, du comportement dynamique dune structure. Ce sont dailleurssouvent ces mmes techniques quutilise le calcul automatique, mais uneautre chelle, videmment. Cest en effet le propre de lingnieur que dtre enmesure dapporter une signification physique aux algorithmes quil vient utiliser, algorithmes qui, pour le mathmaticien, ne sont que trop souventprtextes des constructions fort intressantes mais aussi fort inutiles, carvides ds le dpart de tout sens pratique.

Les nombreux exercices simples dapplication, de nature essentiellementpratique, qui jalonnent le cours, guideront pas pas le lecteur en lui permettantde vrifier mesure quil progresse sa bonne comprhension des conceptsexposs. Rsultat de prs de vingt annes denseignement, ce cours est uneillustration parfaite de cette pdagogie doutre-atlantique que lon a pu taxerde pragmatisme, mais dont lexcellence, que traduisent les rsultats obtenus,nest plus aujourdhui dmontrer.

Louvrage que nous prsentons ici est le premier de ce niveau pouser lepoint de vue de l ingnieur et non plus seulement celui du physicien ou dumathmaticien : il va en effet au-del des habituels schmas un ou deuxdegrs de libert, exercices dcole bien insuffisants pour mriter lappellationgnrale de systmes et pour reprsenter la ralit, et qui composent la matirede la plupart des traits classiques. Le Professeur Clough sest attach exposer

clairement, tout au long de ce cours, des exemples et rgles pratiques de modlisation qui soient utiles lingnieur.La traduction de Jean-Louis Claudon est encore une fois irrprochable. Elle

a bnfici des corrections apportes la premire dition en langue anglaisedepuis sa parution, ainsi que de la conversion des units anglo-saxonnes deloriginal en units du systme international (S.I.), ce qui a reprsent un travailconsidrable. On peut dailleurs se demander comment font les tudiants amricains pour percer les secrets dune dynamique dans laquelle lunit de masseest la livre, (seconde)2/pouce (lb.s2/in) quand ce nest pas le slug, qui est dfinicomme une livre.(seconde)2/pied (lb.s2/ft), et o lon dispose, pour caractriserune pression ou une contrainte, dunits aussi peu parlantes que varies, quipeuvent sappeler psi, lb/in2, psf, lb/ ft2, kip/in , k/in2, ksi, kip /ft2, k /ft2 , ksf,

toutes notations indiffremment releves dans loriginal anglais ! Un avantagenon ngligeable du systme anglo-saxon est par contre de faire clairementressortir la diffrence si capitale entre les notions de masse et de force, pastoujours bien comprise de nos tudiants, et parfois mme de nos ingnieurs et

physiciens, qui font encore t rop souvent appel des units de force btardes,telles que le kilogramme-force (kgf) ou le kilogramme-poids (kgp). Cest dessein que nous avons utilis exclusivement comme unit de force, tout aulong de la traduction, le newton (N), ou exceptionnellement le kilo-newton

(kN), suivant en cela la dfinition mme du systme international.Il nous reste, pour conclure un aussi long avant-propos, souhaiter aulecteur autant de plaisir tudier cet ouvrage que nous en avons eu prparerla prsente dition.

Jean-Louis ARMAND

r


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r

Prface des auteurs

Ce livre reprsente laboutissement de plus de vingt-cinq annes denseignement de la dynamique des structures lUniversit de Berkeley enCalifornie. On comprendra sans mal que le contenu de cet enseignement aitconnu des modifications considrables sur une telle priode. Trois polycopissuccessifs ont t rdigs et distribus aux lves des poques assez loignesles unes des autres, et des versions adaptes en ont t utilises lors de coursprsents en des lieux aussi divers que Santiago au Chili, Trondheim en Norvge

et Tokyo au Japon.Lors de la conception initiale de cet ouvrage, le Professeur Clough a tfortement influenc par le cours du Professeur R.L. Bisplinghoff duMassachusetts Institute of Technology ; il est redevable cet enseignementsuperbe de la dynamique des structures aronautiques. Lorientation subsquente du livre vers les problmes dynamiques du gnie civil reflte les travauxde Hohenemser et Prager dans leur trait davant-garde Dynamik derStabwerke*. De mme, le Professeur Penzien est reconnaissant au ProfesseurS.H. Crandall, galement du Massachusetts Institute of Technology, pour toutle bnfice quil a pu tirer de son cours sur les vibrations alatoires. Le dveloppement de cette partie a cependant t le fait des deux auteurs conjointement.Les contributions apportes la littrature par de nombreux auteurs ont tincorpores au cours de manire aussi pertinente que possible ; la plupart deces contributions sont si bien tablies dans le domaine de la dynamique desstructures quil est prsent difficile de les accrditer de manire certaine. Peude rfrences seront donc donnes, et nous prsentons nos excuses ceux quipourraient se sentir lss.

Bien que le contenu de ce cours ait t constamment revu et corrig, sonorganisation gnrale est reste la mme. On effectue une transition logique partir des structures un degr de libert en passant par les systmes un degrgnralis, pour arriver ltude par superposition des modes des structures plusieurs degrs de libert en coordonnes discrtes ; ce cheminement est leplus simple pour lingnieur habitu aux calculs de la statique, et quil faut

*K. Hohenemser & W. Prager,Dynamik der Sta bwerk e, Julius Springer, Berlin, 1933.


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amener considrer les problmes particuliers que posent les chargementsdynamiques. Par ailleurs, il nous a toujours paru essentiel de nous attacher ltude de la rponse dynamique transitoire, plutt que de nous limiter celle des vibrations. Pour tirer le meilleur profit de ltude de la dynamiquedes structures, des connaissances solides en thorie statique des structures ycompris les mthodes matricielles sont ncessaires ; nous supposerons que lelecteur possde ces connaissances.

Lvolution la plus importante qui se soit produite au cours de la consti

tution de ce livre a sans doute t que lordinateur digital se soit impos entant quoutil standard en analyse des structures. Avant cette volution, ontravaillait surtout avec des mthodes conues pour la rgle calcul ou lacalculatrice de bureau. Ces mthodes restent lhonneur ici, car les auteurssont convaincus de leur valeur pdagogique : lorsque lon a parfaitementcompris un procd de rsolution la main, il est en effet facile dcrire oudutiliser le programme correspondant, alors quil peut savrer impossibledutiliser un programme de manire efficace sil ne reprsente pour lutilisateurquune bote noire dont il ne connat pas le fonctionnement interne. On acependant tenu compte du fait que pratiquement toute tude dynamique relleexige un tel volume de calculs quil nest raisonnable de la traiter que parlordinateur : les techniques de rsolution sur lesquelles nous insistons ici sontgnralement celles qui peuvent tre le plus facilement utilises lordinateur ;elles sont galement utilisables la main. Notre objectif tant dexposer les

fondements des mthodes, nous ne nous attarderons pas sur les techniquesde programmation.

[ . . . ]Nous avons incorpor au texte un grand nombre dexemples avec leur

solution complte en raison de leur grande importance pdagogique. Nousavons galement prvu un grand nombre de problmes la fin de la plupartdes chapitres, car il est essentiel que llve utilise les mthodes par lui-mme

pour vraiment les matriser : il faut toutefois tenir compte du fait que cesanalyses dynamiques sont notoirement longues effectuer. Au rythme dunenseignement de trois heures hebdomadaires, la donne de un quatre problmes par semaine nous semble convenir, selon les problmes : ce livre enpropose donc bien plus quon ne pourrait normalement en rsoudre.

RAY W. CLOUGHJOSEPH PENZIEN

Table des notations

a distance

OJ coefficients de Fourier ; constantesA aire ; constante

Ai , A2 constantesb distance ; nombre entier

K K coefficients de Fourier ; constantes

B constantec constante damortissement

c* constante damortissement gnralis

Ce constante damortissement critique

Cn coefficients dinfluence damortissement

Cij coefficients de Fourier

c coefficients damortissement gnraliss, modes normauxD facteur damplification dynamique ; raideur dune plaqueD matrice dynamique k""1m

&U ^2 constantese dplacement axial

E module de YoungE matrice dynamique D-1ii

i___________

i

h) valeur moyenne ; moyenne dun ensembleE l raideur en flexion

f frquence cyclique naturelle

h coefficients dinfluence de souplessefl> f9 /S forces dinertie, damortissement et de rappel

9 acclration de la pesanteur9i coordonnes de dplacements gnrales ; fonctions dondes

de contraintes


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G module de glissementG, Gl9 G2 constantes

h paisseur dune plaque ; hauteur dun tageh(t) rponse une impulsion unit

H((), H(i) rponse en frquence complexe :Hz Hertz (unit de mesure des frquences, en cycles par seconde)

i nombre entier

/ impulsion ; moment dinertieI matrice identit

j nombre entierk, k t constantes de rappel (ressorts)

k*9k* constantes de rappel gnralisesk(t) rigidit effective

kG rigidit gomtriqueku coefficients dinfluence de rigidit1ctj coefficients dinfluence de rigidit combine

k Gij coefficients dinfluence de rigidit gomtriqueKn rigidit gnralise du mme mode normalL longueurPo chargep chargement linique

p* chargement gnralispcff chargement effectif

p(x) densit de probabilitp(x,y ) densit de probabili t bidimensionnelle

p(x|y) densit de probabilit conditionnelle

p{x1, X2....... -JPAO

P(X),P(X,Y)Pr

Qir

mRA*)

*(*)s

S(to) Sx(>)

5a

SIt , h

h

hjT

Tn

T,TR

uUvv'

V, V9*st

V, Vf, K

VwW

K c

X

X7X

x(t )

yyU)

densit de probabilit multidimensionnellefonction excitatrice du mme mode normalfonctions de rpartitionprobabilitlme coordonne gnraliselme fonction excitatrice gnraliserayon de gyration

facteur de rponsefonction dautocorrlationfonction de corrlation croiseconstantefonctions densits spectralesrponse spectrale en acclrationrponse spectrale en dplacementrponse spectrale en pseudo-vitesseintensit du spectre de rponsetemps ; instantdure dune impulsioncoefficients dinfluence de transfertpriode de vibration ; nergie cintiquepriode du nime mode normalpriode du chargementtransmittancedplacement dans la directionx nergie de dformationdplacement dans la direction^dplacement total ^dplacement du soldplacement statiquenergie potentielle

effort tranchant dans une sectiondplacement dans la directionztravail ; poidstravail de forces non conservativestravail dune charge axialeNcoordonne cartsiennevaleur moyenne dexmoyenne quadratique dex processus alatoirecoordonne cartsienneprocessus alatoire


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Y dplacement gnralis du mme mode normalz coordonne cartsienne

coordonnes gnralisesp rapport des frquencesy poids surfaciques dcrment logarithmique ; variation ; rsiduA incrment

4 , dplacement statiquee dformationC fonction du temps ; coefficient damortissement hystrsique

G facteur de chargement axialmultiplicateur de Lagrange

K mme valeur propre0 angle de dphasage ; pente ; rotat ionV facteur de ductilit

Vxy covarianceV coefficient de Poisson

facteur damortissementP module dun vecteur ; masse volumique

Pxy coefficient de corrlationij dplacement modal4>n forme du mme modeo matrice des modes

t , n fonction de dplacement gnralisevecteur dplacement gnralis

(0,(0 frquence angulaire naturelle non amortie

D> 0)Dn frquence angulaire naturelle amortie (pseudo-pulsation) frquence angulaire dune fonction excitatrice harmonique

1 Prsentation gnrale

de la dynamique des structures

1-1 Ob ject if fond amental de la dyn amique des structures

Le but principal de ce livre est de prsenter des mthodes permettantltude des contraintes et des dplacements communiqus une structuredonne soumise un chargement dynamique arbitraire. Dans un sens on peutconsidrer notre objectif comme la gnralisation des mthodes classiques dela thorie des structures qui ne traitent en gnral que les charges statiques

pour permettre la prise en compte des charges dynamiques. Vu sous cet angle,on voit quil est alors possible de considrer un chargement statique comme unsimple cas particulier de chargement dynamique. Pour ltude des structureslinaires il est cependant plus pratique de sparer les composants statiqueset dynamiques du chargement appliqu, de calculer sparment la rponse chaque type de charge, puis de superposer les deux composantes de la rponsepour obtenir la rponse totale. Lorsquelles sont envisages de cette manire,les mthodes danalyse statique et dynamique prsentent des caractristiquesfondamentalement* diffrentes.

Dans le contexte de cet ouvrage la signification du terme dynamique peut sedfinir simplement comme : variable dans le temps ; une charge dynamique estdonc une charge dont lintensit, la direction ou le point dapplication varientavec le temps. De mme* la rponse de la structure une charge dynamique -cest--dire les dplacements et les contraintes qui en rsultent - est galementvariable dans le temps, donc dynamique elle aussi.

Deux approches fondamentalement diffrentes soffrent nous pour valuerla rponse dune structure des charges dynamiques : lapproche dterministeet lapproche non dterministe. Le choix de la mthode utiliser dans chaquecas dpend du mode de dfinition du chargement. Si lvolution du chargementdans le temps est parfaitement connue - mme si elle est oscillatoire ou trsirrgulire - nous dirons dans ce livre quil sagit d'un chargement dynamiquedonn; le calcul de la rponse dune structure donne un chargement dynamique donn sera un calcul dterministe. Si au contraire lvolution dans letemps nest pas parfaitement connue mais peut tre dfinie de manirestatistique, le chargement est dit chargement dynamique alatoire ; ltude


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de la rponse dune structure un chargement dynamique alatoire sera unetude non dterministe. La quatrime partie* de ce livre est consacre uneintroduction aux mthodes danalyse non dterministe. Un chapitre surltude non dterministe de la rponse aux sismes a galement t inclusdans la cinquime partie, qui traite de lapplication des mthodes de la dynamique des structures au domaine du gnie sismique.

En rgle gnrale, cest par leurs dplacements que lon exprime la rponsedes structures aux charges dynamiques. Une analyse dterministe mne donc

une histoire des dplacements de la structure dans le temps, histoireconstituant le pendant de celle du chargement donn ; les autres caractristiques de la rponse dterministe dune structure, telles que contraintes, dformations, efforts internes, etc., font gnralement lobjet dune seconde phasede ltude, phase sappuyant sur les dplacements prcdemment dtermins.Quant lanalyse non dterministe, elle procure des informations statistiquessur les dplacements rsultant dun chargement lui-mme dfini de manirestatistique. Dans ce dernier cas la variation des dplacements avec le tempsnest pas dtermine ; et les contraintes, effor ts internes, etc ., doivent donc trecalculs de manire directe par une tude non dterministe indpendante,et non partir des rsultats obtenus pour les dplacements.

1.2 Types de chargements donns

Pratiquement nimporte quelle structure est susceptible de subir pendantsa dure de vie un chargement dynamique sous une forme ou une autre. Dun

point de vue analytique, on peut subdiviser les chargements donns (dterministes) en deux grandes catgories : priodiques et non priodiques. LaFig. 1.1 montre quelques formes types de chargements donns, ainsi que desexemples de situations o ils sont susceptibles dapparatre.

Comme indiqu par les Figs. 1.1a et b, les chargements priodiques sontconstitus de charges rptitives qui conservent la mme volution dans letemps sur un grand nombre de cycles. Le chargement priodique le plus simpleest de forme sinusodale, Fig. 1.1 a : on lappelle harmonique simple ; ce genrede chargement est caractristique des efforts de balourd dans les machinestournantes. Les autres formes de chargements priodiques, par exemple ceux

qui proviennent des pressions hydrodynamiques engendres par lhlice larrire dun navire ou des effets dinertie des machines alternatives, sontsouvent plus complexes. Mais une analyse de Fourier permet de reprsenter unchargement priodique quelconque sous la forme dune superposition dharmoniques simples ; le calcul de la rponse un chargement priodique quelconquepeut donc en principe se conduire selon une procdure gnrale unique.

Les chargements non priodiques sont soit des impulsionsde courte dure,soit des chargements de longue dure et de forme quelconque. Des chocs, desexplosions sont des sources courantes de chargements impulsifs ; pour cesefforts de courte dure on peut utiliser des formes danalyse simplifies. En

* La quatrime et la cinquime partie formen t la matire du tome II.

Machinetournantedans unbtiment

(b)

Non prio diqu e

(c) aa

Hlice larriredun navire

Explosiond'une bombeau voisinaged'un btimnt

id)

Secoussesismiquesur unchteaudeau

Histoire du chargement Exemple

Fig. 1.1 Exemples de chargements dynamiques : (a) harmonique simple ; (b)priodique ;[c) impulsif ; id)de longue dure.

revanche, un chargement quelconque - de longue dure, comme peut enprovoquer une secousse sismique, ne peut tre trait que par des mthodesdanalyse dynamique compltement gnrales.

1.3 Caractristi ques essentielles d'u n probl me dynami que

Un problme de dynamique des structures se distingue du problme statiquecorrespondant par deux caractristiques importantes. La premire est, pardfinition, la nature volutive du problme dynamique dans le temps. Commela charge et la rponse varient avec le temps, il est vident quun problmedynamique na pas quune solution, ce qui dj le diffrencie dun problmestatique ; il faut en effet dterminer une succession de solutions correspondant tous les instants qui prsentent un intrt dans lhistoire de la rponse. Unetude dynamique sera donc plus complexe et moins rapide quune tudestatique.


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La Fig. 1.2 illustre une distinction plus fondamentale encore entre lesproblmes statique et dynamique. Si une barre simple est soumise une chargestatique p voir Fig. \2 a le moment flchissant,leffort tranchant et ladforme dpendent directement de la charge donne et se calculent enfonction de p laide des principes bien tablis de lquilibre des forces. Maissi la charge p( t) est applique dynamiquement - voir Fig. 1.26 - les dplacements de la barre correspondent des acclrations qui produisent des forces

dinertie opposes ces mmes acclrations. Les moments flchissants et lesefforts tranchants de la barre considre doivent quilibrer non seulement laforce extrieure applique, mais encore les forces dinertie qui rsultent desacclrations de la barre.

Ces forces dinertie, qui sopposent de la sorte aux acclrations de la structure, constituent la caractristique distinctive la plus importante des problmesde dynamique des structures. De manire gnrale, dans le cas o les forcesdinertie reprsentent une part sensible de la charge totale quilibre par lesforces lastiques internes de la structure, il faut tenir compte du caractre dynamique du problme lors de sa rsolution. Si en revanche les mouvementssont si lents que les forces dinertie sont ngligeables, le calcul pour un instantdonn pourra seffectuer par les procds danalyse statique bien que la chargeet la rponse varient dans le temps.

j* |P(0

wwky////, X f J, J-

Forces d inertie '

(b)Fig. 1.2 Disti ncti on fondamental e entre une charge statique et une charge dynamiqu e :

(a) ch argement st atique ; (b)chargement dynamique.

1.4 Mthodes de discrtisation

Concentration des massesConsidrons le systme dynamique de la Fig. 1.2; il est vident que son

tude est rendue considrablement plus complexe par le fait que des forcesdinertie sont produites par les dplacements de la structure, ces dplacementstant eux-mmes influencs par les intensits des mmes forces dinertie. Lecercle vicieux ne peut tre vit quen formulant le problme de manire directe laide dquations diffrentielles. Comme de plus la masse de la poutreest rpartie de manire continue, les dplacements et les acclrations doiventtre dfinis en chaque point de son axe si on veut que les forces dinertie soient

parfaitement dfinies. Il est dans ce cas ncessaire de formuler le problme laide dquations aux drives partielles, car il faut alors prendre pour variablesindpendantes la fois le temps et la variable de position le long de la barre.

Mais si la masse de la poutre peut tre considre comme concentre en uncertain nombre de points spars (ou discrets)comme le montre la Fig. 1.3, le

problme se trouve grandement simplifi car les forces dinertie ne peuventalors apparatre en aucun autre point. Dans ce cas, il nest ncessaire de dfinirles dplacements et les acclrations quen ces points.

Le nombre de composantes de dplacements considrer pour pouvoir reprsenter les effets de toutes les forces dinertie qui interviennent dans une

structure peut tre appel nombre de degrs de libert dynamiquesde la structure. Si par exemple les dplacements du systme de la Fig. 1.3 sont contraintsde sorte que les trois points massiques ne puissent se dplacer que dans desdirections verticales, on dira quil sagit dun systme trois degrs de libert.Si ces masses ne sont pas concentres de manire ponctuelle mais ont uneinertie de rotation finie, il faudra galement considrer les dplacements angulaires des trois points et le systme aura six degrs de libert. Si de plus les dformations longitudinales de la poutre sont sensibles, des dplacements parallles laxe de la poutre en rsulteront et le systme aura neuf degrs de libert.Si prsent la structure peut se dformer dans lspace trois dimensions,chaque masse prsentera six degrs de libert et le systme entier en aura dix-huit. Si par contre les masses sont concentres de manir ponctuelle et silinertie de rotation peut tre nglige, le systme tridimensionnel aura neufdegrs de libert. Aprs ces considrations, il est clair quun systme dont la

masse est rpartie de manire continue, comme en Fig. 1.2b, possde unnombre infini de degrs de libert.

7777/ ^ / /W /Fig. 1.3 Idalisati on d'unepoutre simple par concen

tration de la masse.

Dplacements gnraliss

Lidalisation par concentration des masses procure un moyen simple pourlimiter le nombre de degrs de libert considrer dans ltude des problmes

de dynamique des structures. Le procd de concentration est particulirementefficace dans le traitement de systmes pour lesquels une grande proportion dela masse totale est effectivement concentre en quelques points. On peut alorsconsidrer la masse de la structure plus lgre qui porte ces concentrationscomme galement concentre aux mmes points ; la structure porteuse elle-mme sera considre comme tant sans masse.

Dans certains cas cependant, la masse du systme est rpartie partout demanire pratiquement uniforme ; on peut alors prfrer une autre mthodepour limiter le nombre de degrs de libert. Cette mthode est fonde surlhypothse selon laquelle la dforme, cest--dire lensemble des flchesdfinissant la configuration de la structure aprs dplacement, peut tre exprime comme une cmbinaison linaire de certains motifs de dplacements ;


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ces motifs jouent alors le rle de coordonnes dans lesquelles on exprime lesdplacements de la structure. Un exemple immdiat de cette ide est la reprsentation de la dforme dune poutre simple en srie trigonomtrique. Cettedforme peut sexprimer comme la somme de contributions sinusodalesindpendantes quillustre la Fig. 1.4 ; sous une forme mathmatique :


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finis.

expression du type de celle de PEq.(1.2). Dans ce cas les fonctions de dplacement sont appelesfonctions d'interpolationcar elles dfinissent la dforme

par interpolation entre les dplacements connus des noeuds. Par exemple, laFig. 1.5 montre des fonctions dinterpolation relatives aux deux degrs delibert du point 3, qui produisent des dplacements latraux dans le plande la figure. On pourrait en principe prendre pour fonction dinterpolationnimporte quelle courbe continue dans son intervalle et satisfaisant aux conditions gomtriques de dplacement imposes par les dplacements des nuds.Pour les lments unidimensionnels, il est commode dutiliser les dformes qui

proviendraient des mmes dplacements nodaux dans une poutre uniforme(ce sont les polynmes cubiques de Hermite, reprsents en Fig. 1.5).Comme les fonctions de dplacement utilises par cette technique satisfont

aux conditions du paragraphe prcdent, il est clair que les coordonnes utilises dans la mthode des lments finis ne sont jamais quune forme particulire de coordonnes gnralises. Les avantages sont les suivants :

1) On peut utiliser nimporte quel nombre de coordonnes gnralises :il sufft de diviser la structure en un nombre appropri de segments.

2) Les fonctions de dplacement choisies pour chaque segment peuventtre identiques et les calculs en sont alors simplifis.

3) Les quations sur lesquelles dbouche cette approche sont largement dcouples, car chaque dplacement nodal naffecte que les lments voisins ;le processus de rsolution est donc grandement simplifi.

En gnral, la mthode des lments finis constitue la mthode la plusefficace pour exprimer les dplacements de configurations arbitraires de structures au moyen dun ensemble de coordonnes discrtes.

1.5 Formul ation des quations du mouvement

Comme il a t dit plus haut, lobjectif initial de ltude dynamique dterministe d une structure est la dtermination de lhistoire dans le temps desdplacements dune certaine structure soumise un chargement donn etvariable dans le temps. Dans la plupart des cas, une tude approche ne faisant intervenir quun nombre limit de degrs de libert procurera une prci

sion suffisante, et le problme pourra donc tre rduit la dtermination delhistoire dans le temps des seules composantes de dplacement choisies. Lesexpressions mathmatiques qui dfinissent les dplacements dynamiques sontappeles quations du mouvement de la structure ; la rsolution de ces quations donne les histoires de dplacements recherches.

La formulation des quations du mouvement dun systme dynamique peutfort bien constituer la phase la plus importante (et parfois la plus difficile) detoute ltude. Dans ce livre, trois mthodes diffrentes seront utilises pourformuler ces quations ; chacune dentre elles prsente certains avantages pour

certaines classes de problmes. Les paragraphes qui suivent prsentent les notions lmentaires sur lesquelles se fonde chacune de ces mthodes.

Ecriture directe de l'quilibre dynamique par le principe de d 'Alember t

Les quations du mouvement dun systme dynamique quelconque sont desexpressions de la deuxime loi de Newton, selon laquelle le taux daccroissement de la quantit de mouvement dune masse quelconque m est gal laforce qui lui est applique. Cette relation peut sexprimer mathmatiquement

par lquation diffrentielle

p(,)- i ( mf ) ( i ' 3 )

o p(0 est le vecteur de la force applique et v(r) est le vecteur position de la

masse m. Dans la plupart des problmes de dynamique des structures, on peutsupposer que la masse ne varie pas avec le temps, auquel cas lquation prcdente scrit

p (0 = = m H 0 0 - 3 )dt

o les points reprsentent des drivations par rapport au temps. Cette dernirequation, qui nest autre que lexpression bien connue de lgalit entre laforce applique et le produit de la masse et de lacclration communique,peut galement scrire

p( 0 - m\(t) = 0 (1-36)

o le second terme m(t),appelforce d'iner tie, soppose lacclration de

la masse. Cette loi, selon laquelle une masse produit une force dinertie proportionnelle et oppose son acclration, est connue sous le nom deprincipede d'Alembert. Cest un outil trs pratique dans les problmes de dynamiquedes structures car il permet dexprimer les quations dun mouvement commeles quations dun quilibre dynamique. On peut considrer que la force p(0rsulte de nombreux types de forces agissant sur la masse : des efforts decontraintes lastiques internes sopposant aux dplacements, des forces visqueuses sopposant aux vitesses, et des charges extrieures dfinies de manireindpendante. Ainsi, si on introduit une force dinertie sopposant aux acclrations, lexpression de lquation du mouvement nest que la simple expressionde lquilibre de toutes les forces agissant sur la masse. Dans de nombreux


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problmes simples, la manire la plus directe et la plus pratique pour formulerles quations du mouvement consiste crire directement ce genre dexpressionde lquilibre.

Principe des dplacements virtuels

Si la structure est assez complexe, si elle comprend plusieurs points massiquesou plusieurs corps de dimensions finies et qui sont lis entre eux, lcriture directe de lquilibre de toutes les forces agissant sur le systme peut savrer

difficile. Il est frquent que les diverses forces qui interviennent puissents Exprimer facilement en fonction des degrs de libert de dplacement, maisles relations dquilibre peuvent rester obscures. On peut dans ce cas abandonner lcriture directe de lquilibre, et formuler les quations du mouvement en utilisant le principe des dplacements virtuels.

Le principe des dplacements virtuels peut sexprimer comme suit. Si unsystme qui est en quilibre sous laction dun ensemble de forces est soumis un dplacement virtuel, cest--dire un dplacement quelconque compatible avec les liaisons du systme, alors le travail total effectu par les forcesest nul. Il est clair que le fait que le travail effectu lors dun dplacementvirtuel soit nul est quivalent lexpression dun quilibre. Nous voyonsdonc que les quations de la rponse dun systme dynamique peuvent stablirde la manire suivante : on relve dabord toutes les forces agissant sur lesmasses du systme, y compris les forces dinertie dfinies selon le principe de

dAlembert ; puis les quations du mouvement sont obtenues en considrantdes dplacements virtuels correspondant chaque degr de libert et en galantle travail effectu zro. Un avantage majeur de cette approche est que lescontributions au travail virtuel sont des grandeurs scalaires et peuvent saddi-tionner algbriquement, alors que les forces agissant sur la structure sont vectorielles et ne peuvent tre superposes que de manire vectorielle.

Principe de Hamilton

Une autre mthode permettant dviter les problmes de dtermination desquations vectorielles de lquilibre consiste utiliser les grandeurs nergtiquesscalaires sous une forme variationnelle. Le principe variationnel le plus gnralement applicable est le principe de Hamilton, que lon peut exprimer comme

P (T - V) dt + TWncdt = 0 ' (1-4)J ti J r i

o T =nergie cintique totale du systme.V = nergie potentielle du systme, comprenant la fois lnergie de

dformation et le potentiel de toutes les forces conservativesextrieures.

Wnc = travail effectu par les forces non conservatives agissant sur lesystme, cest--dire lamortissement et toutes les autres chargesextrieures arbitraires.

= variation subie pendant lintervalle de temps considr.Le principe de Hamilton exprime que la somme de la variation dnergie

cintique et potentielle et de la variation du travail effectu parles forces non

conservatives, prise pendant un intervalle de temps quelconque t x f2, est identiquement nulle. Lapplication de ce principe mne directement aux quationsdu mouvement de tout systme donn. Le processus diffre de lapproche destravaux virtuels en ce sens que les forces dinertie et de rappel lastique ninterviennent pas explicitement ; au lieu de cela, ce sont les variations des termesdnergie cintique et des termes dnergie potentielle qui sont utilises. Cetteformulation prsente donc lavantage de ne faire intervenir que des grandeursnergtiques purement scalaires, alors que les forces et dplacements que lon

utilise dans ltude des travaux virtuels pour reprsenter des effets correspondants sont tous de caractre vectoriel bien que les travaux eux-mmes soientdes grandeurs scalaires.

Il faut signaler que le principe de Hamilton peut galement sappliquer auxproblmes de statique. Dans ce cas, lnergie cintique T sannule, et ce quisubsiste dans les intgrandes de FEq. (1.4) ne varie pas avec le temps : lquation se rduit donc

S(V - Wnc) = 0 (1-5)

qui est le principe bien connu du minimum de lnergie potentielle, trs largement utilis en thorie statique.

Rsum

Nous avons montr que les quations du mouvement dun systme dyna

mique pouvaient se formuler par lune quelconque de trois mthodes possibles.La mthode la plus vidente consiste crire directement lquilibre dynamique de toutes les forces agissant sur le systme, en tenant compte des effetsdinertie laide du principe de dAlembert. Dans les systmes plus complexescependant, en particulier pour ceux o la masse et les proprits lastiques sontrparties sur des rgions finies, lcriture directe de lquilibre vectoriel peuts'avrer difficile : des formulations par le travail et lnergie, ne faisant intervenir que des grandeurs scalaires, peuvent alors savrer plus commodes. Laplus directe parmi ces formulations se fonde sur le principe des dplacementsvirtuels : les frces agissant sur le systme sont values de manire explicite,mais les quations du mouvement sont obtenues en considrant le travaileffectu lors de dplacements virtuels adquats. Lautre formulation nergtique possible, qui est fonde sur le principe de Hamilton, nutilise pas directement les forces dinerties ou conservatives agissant dans le systme ; au lieu

de cela, les effets de ces forces sont reprsents par des variations de lnergiecintique et potentielle du systme. Il faut bien voir que les trois procds sontabsolument quivalents et mnent des quations du mouvement qui sontidentiques. Le choix de la mthode utiliser dans chaque cas reposera sur desquestions de simplicit et de prfrence personnelle ; de manire gnrale, ildpendra de la nature du systme dynamique considr.

1.6 Organisation de ce cours

La premire partie de ce cours sera consacre principalement au traitementdes systmes ne comportant quun seul degr de libert, cest--dire des sys


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tmes pour lesquels le dplacement peut tre reprsent par une seule coordonne. Nous tudierons cette classe de problmes de manire assez compltepour deux raisons : (1) le comportement de nombreuses structures rencontresdans la pratique peut tre exprim par lintermdiaire dune seule coordonne,avec un rsultat final acceptable par rsolution du problme un seul degrde libert qui en dcoule ; (2) dans les structures linaires de formes plus com

plexes, la rponse totale peut tre exprime comme la somme des rponsesdun ensemble de systmes un seul degr de libert. La technique de calcul

sappliquant au cas dun seul degr de libert constitue ainsi la base dune vastemajorit de techniques dterministes en dynamique des structures.La deuxime partie traite des systmes non continus (discrets) prsentant

plus dun degr de libert, et dont le comportement peut sexprimer laidedun nombre fini de coordonnes. Dans notre expos consacr aux systmeslastiques linaires, nous prsenterons des techniques de calcul des caractristiques de vibration ; puis nous exposerons la mthode de superposition desmodes, par laquelle la rponse totale est exprime comme la somme de rponses individuelles correspondant aux divers modes de vibration. Nous verronsque le calcul de la rponse correspondant chacun des modes utilise un calcul classique un seul degr de libert. La mthode de superposition nestcependant pas applicable aux systmes non linaires : nous prsenterons unetechnique dintgration pas pas servant la rsolution de ce genre de pro

blmes.

Les systmes dynamiques dont les proprits sont rparties de manirecontinue seront envisags dans la troisime partie. Ces systmes prsententun nombre infini de degrs de libert, et les quations de leurs mouvementsscrivent sous la forme dquations aux drives partielles. Nous montreronscependant que la mthode de superposition des modes est l encore applicable,et que des solutions acceptables peuvent tre obtenues en considrant unnombre fini de modes de vibration.

Les trois premires parties concernent des mthodes dterministes, qui procurent lhistoire de la rponse un chargement dynamique quelconque donn.La quatrime partie prsente lapproche probabiliste de lanalyse dynamique,en commenant par les bases de la thorie des probabilits ; cette partie traitede ltude des systmes un et plusieurs degrs de libert.

Il nest souvent pas possible de dfinir lexcitation dun systme dynamiquede manire complte. Mais mme dans ce cas on peut parfois caractriser cetteexcitation de manire probabiliste, ce qui rend alors possible la prdiction de larponse par des mthodes galement probabilistes. Les rsultats obtenus prsentent autant et souvent plusdint rt que ceux qui sont calculs par desmoyens dterministes, en particulier si des hypothses discutables doivent trefaites afin de rendre possible une tude dterministe. Par exemple, on ne peutvidemment pas esprer prdire de manire dterministe et avec une prcisionnon illusoire la rponse dynamique future (1) davions volant dans des conditions atmosphriques perturbes, (2) de navires naviguant en mer agite, (3) de

btiments soumis une excitation sismique de forte amplitude, (4) de picesde missiles soumises des bruits de niveau lev, ou (5) de vhicules roulantsur des routes de mauvaise qualit.

La thorie des probabilits constituant la base de lanalyse non dterministe,ses fondements seront prsents au Chapitre 22. Ils seront ensuite appliqus la caractrisation de processus alatoires au Chapitre 23, et ceux-ci seront leur tour utiliss pour tudier les vibrations alatoires des systmes linaires un degr de libert (au Chap. 24), et des systmes plusieurs degrs de libert(au Chap. 25).

Enfin, la cinquime partie traite dapplications de la dynamique des structures des problmes de gnie sismique. Cest dans ce genre dapplicationspratiques que la dynamique des structures trouve son utilisation principale

en gnie civil. Ses mthodes sont cependant aussi bien applicables ltudede structures charges par des vents en gnie civil, qu de nombreux problmesse prsentant dans lindustrie arospatiale, en construction navale, en construction mcanique, et dans tous les cas o une structure se trouve soumise des charges dynamiques.


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L

Premire partie :

Systmes

un degr de libert


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Formulation des quations

du mouvement

fc.1 Composants du modle dynamiqu e lmentaire

Les caractristiques physiques essentielles de toute structure lastique linaire soumise des charges de nature dynamique sont sa masse, ses propritslastiques (souplesse ou rigidit), son mcanisme de dperdition dnergie,ou amortissement, et la source extrieure dexcitation, ou chargement. Dansle modle le plus simple de systme un degr de libert, chacune de cescaractristiques est suppose condense dans un lment physique unique :la Fig. 2Aamontre un schma dun tel systme.

Toute la masse m de ce modle simple est localise dans le bloc rigide. Desrouleaux contraignent son dplacement de manire quil ne puisse se produireque suivant une translat ion simple ; l unique coordonne de dplacement vdfinit donc compltement sa position. La rsistance lastique au dplacementest reprsente par le ressort sans masse de rigidit k, et le mcanisme de dperdition dnergie par lamortisseur c.Le mcanisme de chargement externe quiprovoque la rponse dynamique du systme est la chargep(t) variable dans letemps.

-c f-n ,n n n n r -

k

>p(t)f4

f s >p(t)

?//////

Fig. 2.1

(a) (b)

Systme idalis un degr de libert : (a)composants lmentaires ; (b) forcesparticipant l'quilibre.

2.2 Mthodes de formu lation

Ecriture directe de l'quilibre dynamique

Lquation du mouvement du systme de la Figure 2Aasobtient par n importe lequel des trois procds prsents au Chapitre 1. Dans ce cas lmentaire,


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la mthode la plus simple consiste exprimer directement lquilibre de toutesles forces agissant sur la masse. Comme on le montre en Figure 2.16, les forcesagissant suivant la direction du degr de libert de dplacement sont le chargement appliqu p (t ) et trois forces engendres par le mouvement : la forcedinertie /7, la force damortissementf D et la force de rappel du ressort lastique f s . Lquation du mouvement exprime tout simplement lquilibre deces forces, et scrit :

fi + Id + fs = P (0 (2-1)

Chacune des forces figurant au premier membre de cette quation est fonctiondu dplacement v ou de ses drives par rappor t au temps ; le sens posit if deces forces a t dlibrment choisi de manire correspondre au sens desdplacements ngatifs, car elles sopposent aux chargements positifs appliqus la masse.

Considrons dabord la force de rappel du ressort lastique. Elle est biensr donne par le produit de la rigidit du ressort et du dplacement :

fs = kv (2-2a)

De mme, par le principe de dAlembert, la force dinertie est le produit de lamasse et de lacclration :

f i = mv (2-2 6)

Enfin, en supposant un mcanisme damortissement visqueux la force damortissement est le produit de la constante damortissement c et de la vitesse :

/ d = ci) (2-2c)

Si on reporte les trois quations qui prcdent dans lEq. (2.1), on obtientlquation du mouvement de ce systme un degr de libert comme tant

mv -f cv + kv p(t) (2-3)

Application du principe des travaux virtuels

Il sera galement instruc tif de mener bien la formulation de cette mmequation de mouvement par lintermdiaire des travaux virtuels. Les forces

agissant sur la masse sont analyses en Fig. 2.16. Si on communique cettemasse un dplacement virtuel v (le seul dplacement compatible avec lescontraintes prsentes), ces forces fournissent chacune un certain travail. Letravail total effectu par le systme peut scrire

~fi v - f Dv - f s v + p(t ) v = 0 (2-4)

o les signes ngatifs sexpliquent par le fait que les forces agissent dans lesens oppos celui du dplacement virtuel. Reporter les Eqs. (2.2) danslEq. (2.4) et simplifier par vmne alors

[ mi) c Art? -h /?(*)] v = 0 (2-5)

Comme 5v est non nul, on peut facilement mettre cela sous la forme delEq. (2.3).

Application du principe de Hamilton

Pour complter cette prsentation, nous obtiendrons prsent lquationdu mouvement du mme systme par utilisation du principe de Hamilton[Eq. (1.4)]. Lnergie cintique du systme est par dfinition donne par

T= (2-6d)

et lnergie potentielle, qui reprsente simplement lnergie de dformationUdu ressort, est donne par

V = U = x\2kv2 (2-66)

Les forces non conservatives du systme de la Fig. 2.16 sont la force damortissementf D et la charge applique p( t) .La variation du travail effectu par cesforces peut sexprimer par

Wnc = p(t ) v - ci) v (2-6c)

qui est quivalente lexpression du travail virtuel associ ces forces dans

lEq. (2.5). En reportant les Eqs. (2.6) dans lEq. (1.4) et en prenant lavariation du premier terme, on parvient

[m v ci) v kv v + p(t ) v] dt = 0 (2-7)

Le premier terme de cette quation peut prsent tre intgr par partiescomme suit :

/V2 P*2mv v dt = mv v I mv v dt (2-8)

J r i t! J r i

o on a utilis lgalit t> = d(hv)/dt. Mais comme lune des hypothses duprincipe de Hamilton est que la variation bvsannule aux bornes dintgration

t 1 et t2) le premier terme obtenu est gal zro. Si on reporte alors la relation (2.8) dans lEq. (2.7), le rsultat peut scrire

[ mv ci) kv + p(0] v dt = 0 (2-9)

et comme la variation u st arbitraire, il est clair que lquation qui prcdene peut en gnral tre satisfaite que si lexpression entre crochets sannule.On peut alors passer la forme de lEq. (2.3).

Cet exemple montre comment la mme quation du mouvement peut treobtenue par chacune des trois mthodes de base. Pour ce systme il est videntque lon prfrera exprimer directement lquilibre dynamique.


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2.3 Influence des forces de pesanteur

Considrons prsent le systme reprsent en Fig. 2.2a, qui correspond celui de la Fig. 2Aaaprs une rotation de 90 (si bien que les forces de gravitagissent dans la direction du dplacement). Le systme de forces agissant surla masse est alors dfini comme sur le schma de la Fig. 22b,et si on utiliseles Eqs (2.2) lexpression de lquilibre scrit :

mv + cv + kv = p(t) + W (2-10)

o Wreprsente le poids du bloc rigide.Si on exprime le dplacement total v comme la somme du dplacementstatique A^ (d au poids W) et du dplacement dynamique complmentairevyvoir la Fig. 2.2c :

v = Ast + v (2-11)

la force dans le ressort scrit

f s = kv = kAst + kv (2-12)

En reportant lEq. (2.12) dans lEq. (2.10), on obtient

mv + cv + kAst + kv = p(t) + W (2-13)

et comme k = W,on a finalement

mi) +

cv +

kv =

p(t ) (2-14)

Si on drive prsent lEq. (2.11) en remarquant que A^ est indpendant du

temps (et donc que v v, etc.), lEq. (2.14) peut tre mise sous la forme

mv + cv + kv = p(t ) (2-15)

En comparant les Eqs. (2.15) et (2.3), on constate que si le mouvement estmesur par rapport la position dquilibre statique du systme dynamique,

'//jz///////////////////s

1m

m

fs fo

U

T .

W

P(t)

(a)

fs f

fc i

x

ri

iiw

p(t)

(b)

Dplacement s/ stati que

P(t)(c)

Fig. 2.2 Influ ence de la pesanteur sur l'quil ibre d'un sy stme un degr de libert.

son quation nest pas affecte par les forces de pesanteur. Pour cette raison,les dplacements seront dsormais compts partir de la position statique dusystme, et les dplacements ainsi reprs constitueront la rponse dynamique.De cette manire, les flches, contraintes, etc. totales seront obtenues enajoutant les valeurs statiques adquates aux rsultats de ltude dynamique.

2.4 Influence d'une excitati on d'appui

Les contraintes et les dplacements dynamiques dune structure peuventprovenir non seulement dun chargement variable dans le temps comme enFig. 2.1 et 2.2 mais encore de mouvements de ses points dappui, ou pointsdancrage. Dimportants exemples de ce type dexcitation sont les mouvementscommuniqus aux fondations dun btiment par des secousses sismiques, oules mouvements communiqus au bti dune machine par les vibrations dubtiment qui l abrite. La Fig. 2.3 reprsente un modle simplifi du problmeque posent les excitations par sisme ; les dplacements horizontaux du solsont reprs par le dplacement vgde la base de la structure par rapport laxefixe de rfrence.

La poutre transversale de ce portique est suppose rigide ; n suppose galement quelle contient toute la masse mobile de la structure. Les colonnes verticales sont supposes sans masse et inextensibles dans la direction verticale

(axiale) ; la rsistance oppose par les colonnes aux dplacements de la poutreest reprsente pour chaque colonne par une constante de rappel lastiquek /2.La masse possde donc un seul degr de libert v , qui provient de la possibilit de flexion des colonnes ; lamortisseur visqueux de constante coppose cette dformation une rsistance proportionnelle la vitesse du dplacement.

Comme le suggre la Fig. 23b, lquilibre des forces de ce systme scrit

f , + f o + f s = 0 (2-16)

[s2 fo L2

(b)

Fig .2.3 Influence d'une excitation d'appui sur l'quilibre d'un systme un degr de libert : (a) mouvement du systme ; (b) forces participant

l'quilibre.


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o les forces damortissement et de rappel lastique peuvent sexprimer commedans les Eqs. (2.2). Dans ce cas cependant, la force dinertie est donne par

f I =mi)t (2-17)

o v f reprsente le dplacement total de la masse par rapport laxe derfrence. En remplaant par leur valeur dans lEq. (2.16) les forces dinertie,damortissement et de rappel lastique, on ob tient

mv* + cv + kv = 0 (2-18)

Pour rsoudre cette quation, il faut dabord pouvoir exprimer toutes les forcesen fonction dune seule variable ; on peut le faire si on remarque que le dplacement total de la masse est gal la somme du mouvement du sol et dudplacement d aux dformations des colonnes, savoir

v*=-v + vg (2-19)

Si on exprime la force dinertie en fonction des deux composantes dacclration obtenues par drivation de lEq.(2.19),et si on reporte dans lEq. (2.18),on obtient

mv -f mvg + ci) + kv = 0 (2-20)

et comme lacclration du sol reprsente lexcitation dynamique donne de lastructure, lquation du mouvement peut scrire sous la forme simple

suivante :mv -f ci) + kv = mi)g(t) = ptu(t) (2-21)

Dans cette quation peff(0 reprsente le chargement effectif d lexcitation des appuis ; autrement dit, la structure rpond lacclration du solvg(t) exactement comme elle rpondrait un chargement extrieurp( t) galau produit de la masse et de lacclration du sol. Le signe ngatif dans lEq.(2.21) indique que la force effective soppose lacclration du sol ; cela neprsente que peu dimportance en prat ique, dautant plus que lexcitation dela base doit gnralement tre considre comme agissant suivant une directionarbitraire.

2.5 Systmes particu liers un degr de lib ert : assemblage de corps rigides

Tous les cas considrs jusqu prsent taient extrmement simples, carchacune des caractristiques physiques masse, amortissement et lasticit -tait reprsente par un composant isol et unique. Mais ltude de la plupartdes systmes rels requiert lutilisation didalisations plus compliques, mme

pour les structures auxquelles nous nous intressons prsent et qui sont cellesque lon peut assimiler des systmes un seul degr de libert. Pour notrepropos il sera plus pratique de distinguer deux classes de systmes gnraliss un degr de libert : (1) les assemblages de corps rigides dans lesquels lesdformations lastiques sont strictement limites des lments ressortslocaliss, et (2) les systmes possdant des caractristiques lastiques rparties,

pour lesquels les dformations peuvent tre continues dans l ensemble de lastructure ou au sein de quelques-uns de leur composants. Dans les deux cas, oncontraint la structure se comporter comme un systme un degr de libertpar lhypothse suivant laquelle des dplacements dune seule allure donnepeuvent se produire.

Pour la classe de structures formes dun assemblage de corps rigides et dontil est question dans ce paragraphe, il est frquent que la limitation une seuleallure de dplacement soit une consquence de la configuration de lassem

blage ; cest--dire que les dplacements des corps rigides sont contraints par

des rotules, si bien quun seul type de dplacement est possible pourlensemble. Pour les structures caractristiques lastiques rparties considresau 2.7, la rduction cette forme permettant de navoir quun degr delibert unique ne constituera quune hypothse simplificatrice ; en ralit, descaractristiques lastiques rparties autorisent une varit infinie de dplacements.

Pour formuler les quations du mouvement dun assemblage de corpsrigides, les forces lastiques cres par des dplacements correspondant un

Barre uniforme

/o~mu

h m =mL m= masse linique

Plaques uniformes

Tb2

I

m

&*m- yab 7= masse surfacique

Jo=m(iir->

K * K H

Fig. 2.4 Masse et moment d 'inert ie massique de quelques corps rigides.


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degr de libert unique peuvent sexprimer facilement en fonction de lamplitude du dplacement, car chaque lment lastique est un ressort discretsoumis une dformation donne. De mme les forces damortissement

peuvent tre exprimes en fonction des vitesses relatives des points daccrochage de chaque amortisseur. Mais en revanche la masse des corps rigides nestpas ncessairement concentre, et les acclrations supposes produirontgnralement des forces dinertie rparties. Le plus efficace pour notre tudedynamique consistera cependant gnralement traiter les forces dinertie

dun corps rigide comme si la masse et le moment dinertie massique taientconcentrs au centre de masse. Les rsultantes dinertie ainsi obtenues sontentirement quivalentes aux forces dinertie rparties dans la mesure o cestle comportement densemble de lassemblage qui est concern. (Il est de mmesouhaitable de reprsenter toutes les charges extrieures rparties agissant surles corps rigides par leurs rsultantes.) On a regroup en Fig. 2.4 les masseset les moments dinertie massiques dune barre prismatique et de diversesplaques uniformes.

EXEMPLE E2.1 Un exemple possible dassemblage de corps rigidesconsiste en deux barres rigides lies par une rotule en B etportes parun pivot enA et un galet en C (voir Fig. E2.1). Une excitation dyna-

[a *\-------2a ------- a g a a ~ \

Fig. E2.1 Exemple de systme un degr de libert const itu d'un assemblage de corps rigides.

mique est communique par une charge latralep (x ,t )

qui varielinairement le long de la barre AB. On a ajout une force axialeconstante N qui agit tout le long du systme, et le mouvement estcontraint par des ressorts discrets et des amortisseurs placs commeindiqu le long des barres. La masse est uniformment rpartie le long dela barre AB , et la barre sans masse BC porte une masse ponctuelle m2.

Les deux barres tant supposes rigides, ce systme na quun degr delibert et sa rponse dynamique peut tre exprime par une seulequation de mouvement. Cette quation pourrait tre formule parcriture directe de lquilibre (le lecteur trouvera sans doute un intrt faire cet excercice), mais en raison de la complexit du systme il estplus commode dutiliser une formulation par le travail ou lnergie.

Nous utiliserons ici la mthode des travaux virtuels ; signalons que leprincipe de Hamilton serait tout aussi applicable.

Pour la forme du dplacement susceptible de se produire dans cettestructure un degr de libert (Fig. E2.2), la flche Z( t) au niveau de

Fig. E2.2 Dplacements d'un syst me un degr de libert et lesforces qui en rsultent.

la rotule peut tre prise pour variable de base, et tous les autres dplacements peuvent tre exprims en fonction de cette variable ; parexempleDD'= Z/4, E = 3Z/4, FF* '2Z/3, etc. Les forces agissantsur le systme (sauf la force axiale Nsur laquelle nous reviendrons plustard) sont galement reprsentes sur la figure. Chaque force rsistante

peut tre exprime en fonction de Z ou de ses drives par rapport autemps :

/ S1 = k, ( ') = fc,3/4Z(t)

f s2 = k2(GG') = k2l/3Z(t)

DD'^J = c,V4Z(


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agissent est proportionnel Z, comme indiqu en Fig. E2.2. Ainsi letravail virtuel total peut scrire

W = - k t3UZ(t )3UZ - k2? tp -^ - c, ^ - c2(t) Z3 3 4 4

2am Z(t) *j3a2mZ{t) m 2 2/ 3Z4- 8pa(t)2j 3Z

- ,-r.2 40 3 (fl)et aprs simplification

[ (a+ ~f + 4/9m2) ^ + (l6 + C2) ^

+ (7i*i + Z(0 - 1#/3M (o l m = 0v v J (b)

Comme le dplacement virtuel Z est arbitraire le terme entre crochetsdoit sannuler ; ainsi lquation finale du mouvement devient

(4/3ma + 4/9m2)Z(t) + + c^j Z(t)

+ ( 9/l6*. + j ) z ( t ) = 16A M ( 0

(c)

On peut crire cela sous la forme simplifie

m*Z(t) + c*Z(t) + k*Z(t) = p*( t) (2-22)

avec

m* = a/3ma + 4/gm2 , c* = 1/ 16c1 + c2

k* = 9/ie^i + 7 ^ 2 P*(0 = 16/sPaC(0

que lon appelle respectivement masse, amortissement, rigiditet /cvregnraliss relatifs ce systme ; ils ont t valus en faisant rfrence la coordonne Z ( t), utilise ici pour dfinir les dplacements dusystme entier.

Considrons prsent la force axiale N de la Fig. E2.1. Comme onpeut le voir en Fig. E2.3, le travail virtuel effectu par cette force dansle dplacement virtuel Z est de. Le dplacement deest compos dedeux parties, belet e2, qui correspondent aux rotations des deux barres.En considrant linfluence de la barreB seulement il est clair, en raisondes triangles semblables qui apparaissent sur la figure (et en supposantde petits dplacements), que be1=(Z/4a) Z ; de mme e2 =(Z/3) Z.Le dplacement total est donc

6 e x + Se 2 = - - 3 Z 12 a

Fig. E2.3 Composantes de dplacement suivant la direct ion de laforce axiale.

et le travail virtuel effectu par la force axialeNest

7 N7WN = ^- Z (d)

12 aSi on fait intervenir lEq. (d) dans lEq. (a)et si on effectue quelques

oprations de simplification semblables celles qui ont conduit lEq.(c), on voit quun seul terme de lquation du mouvement subit linfluence de la force axiale : la rigidit gnralise. Si on inclut leffet de la

force axiale sur ce systme, la rigidit gnralise combine k *se rduit

* = * * - " = 7 . 6*1 + V 9* 2 - - p : - (e)12 a 12 a

Avec ce terme modifi, lquation du mouvement du systme completde la Fig. E2.4, tenant compte de la force axiale, est donne par unequation semblable lEq. (2.22).

Il est bon de remarquer quune rigidit gnralise nulle reprsenteune condition de stabilit neutre ou de flambage critique pour lesystme. La valeur de la force axiale Ncr qui provoque le flambage decette structure peut donc tre dtermine en annulant le k* de lEq. (e) :

0 = 9/ l 6 k t + 79k 2 12 a

Ainsi Ncr = (27/ 2 8 ^i + V2 1 ^ 2 ) 0 ( /)

En gnral les forces axiales de compression tendent rduire la rigidit,alors que les forces axiales de traction provoquent son accroissement. Detelles charges peuvent avoir un effet consquent sur la rponse de lastructure aux charges dynamiques, et il est indispensable de calculer la modification de rigidit qui en rsulte afin de dterminer son importance danschaque problme spcifique. Il faut remarquer que le termeforce axialese rapporte, ici et dans ce qui suivra, une force agissant paralllement


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y = masse surfacique(uniforme)

Fig. E2 4 Plaque un degr de libert avec forces dynamiques.

laxe initial de le'lment avant dformation ; on suppose que la direction dune telle force reste identique elle-mme dans le mouvementde la structure.

EXEMPLE E2.2 Formulons prsent les quations du mouvement delassemblage de corps rigides reprsent en Fig. E2.4. On peut caractriserun mouvement de faible amplitude de ce systme par le dplacementverticalZ (t) du point dapplication de la charge ;on peut alors exprimer

en fonction de cette variable toutes les forces qui rsistent au

mouvement :f s = k - Z(t) f n = yabl /2Z(t )

a

f i l = yab 2( t) 9TC, = yab a b - Z(t )2 a 12 a

Lquation du mouvement de ce systme simple peut scrire directementen crivant lquilibre des moments par rapport la rotule :

f s b + f n ~ f t 2 2 =

soit, en divisant par la longueur aet en utilisant les expressions des forcesci-dessus :

* [ 5 (? + 1) + + ] 2() + t ? z


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cas de notre tour. Alors la fonction de dforme est dfinie par le rapport adi-mensionnel du dplacement de chaque point de la structure et de ce dplacement de rfrence :

ip(x) = ^ (2-24)Z(t )

On ne peut formuler de manire commode les quations du mouvement dece systme gnralis que par lintermdiaire des principes nergtiques ; nous

utiliserons ici le principe de Hamilton dans le but den faire une dmonstration(mais le principe des travaux virtuels est tout aussi applicable). Lnergie cintique de la tour est donne par

T = - f m(x)[i)r(x,0]2 dx (2-25)2 Jo

et lnergie potentielle des dformations en flexion par

Vf = - f EI(x)[v"(x,t)Y dx (2-26)2 Jo

o v"est la drive seconde d2v/dx2.Pour calculer lnergie potentielle de la force axiale (qui reste inchange en

direction et en amplitude dans la rponse dynamique et donc est conservative),il est ncessaire de calculer la composante verticale du mouvement du sommetde la tour e(t).Par analogie avec lobtention de lEq. (d)de lExemple E2.1, onpeut montre r que

e(t) = ^ f [i/(x,0]2 dx (2-27)2 Jo

Lnergie potentielle de la charge axialeNest donc donne par

VK= - f [> '(* ,0] 2dx (2-28)

o le signe ngatif apparat parce que le potentiel de la forceNest rduitpar ledplacement e(t).Remarquons au passage que si la force axialeNvariait avec lacote le long de la tour (en tenant par exemple compte du poids propre de lastructure), il ne serait ncessaire de modifier lEq. (2.28) que par linclusion delexpression de la force axiale sous le signe dintgration.

Dans le systme de la Fig. 2.5 il ny a pas de charges dynamiques directement appliques, et on a nglig lamortissement. En consquence le principede Hamilton prend la forme

J ' 2(T - V) dt = 0

soit, aprs utilisation des Eqs. (2.25) (2.28) et aprs avoir effectu les varia-tions indiques,

i [ J i> dx ~ J EI(x)v"(x,t) vdx

+ NJ L v(x,t) v rfxj = 0 (2-29)

Si prsent on reporte les relationsv = v + vg v" = il/"Z v = }j/Z v = ij/Z

v1 = v v" = ii" Z v' = *]/' Z v = ij/ Z 2 30'>

dans lEq. (2.29), on obtient

J 2 ZJ* m(x)i)/2d x + Zvg(t) J dx

~ Z Z j L E l { x W ) 2 dx + NZ Z ( f ) 2 dx'j dt = 0 (2-31)

Aprs intgration des deux premiers termes par parties on trouve

+ k*Z - k*Z - p*ff(0] Z dt =-- 0 (2-32)

J>'2ou

(2-33)

m* = J m{x)\j/2d x = masse gnralise

k* = j* El (x)(\j/")2d x = rigidit gnralise

k% = N j* ( * ? dx = rigidit gomtrique gnralise

PeffCO = vgj* m(x)ij/ dx= charge effective gnralise

Mais comme la variation Z est arbitraire, le terme entre crochets danslEq.(2.32) doit sannuler; lquation du mouvement peut donc finalement scrire

m*Z(t) + Jc*Z(0 = p*ff(0 (2-34)

o* = & *- (2-35)

est la rigidit gnralise combine du systme.


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La charge critique de flambage peut se calculer par la mme mthode quecelle qui a t utilise dans lExemple E2.1 : en posant la rigidit gnralisecombine gale zro ; ainsi :

JE* = k* - k* = JLE I { x W ) 2 d x - N cr J Lm 2 dx = 0

do

E I ( x W ) 2 dxN = --------------- (2-36)')2 dxJ >

Cette mthode de calcul approch, un seul degr de libert, de la chargecritique de flambage est appele mthode de Rayleigh. La valeur dtermine

pour la charge critique dpend bien sr de la fonction de dforme utilise.

EXEMPLE E2.3 Passons un exemple numrique de formulation desquations du mouvement dun systme un degr de libert avec souplesse rpartie. Nous supposerons que la tour de la Fig. 2.5 a une raideurde flexion uniforme et une masse uniformment rpartie ; de plus lallurede la dforme en vibrations libres sera dfinie par

\J/(x) = 1 cos (a)2 L

Par application des Eqs.(2.33), les masse et rigidit gnralises de latour sont

m* = J m(\j/)2 dx = m j* ^1 cos dx = 0.22SmL (b)

* j ; ( g y * . g f?

Si on suppose que la base de la tour est soumise une excitation, la forcegnralise donne par l Eq. (2 .33) est, en omettant le signe - , ce qui

na pas ici dimportance pour la suite du raisonnement,

p*ff(t) = Vg(t)| m\j/ dx = mvg(t) j* ^1 - cos dx

= 0364fnLvg(t) (d)

Si on nglige la force axiale, lquation du mouvement donne par lEq.(2.34) est donc

0.228mLZ(0 + ^ Z(l ) = 0.364mLvt(t) (e)

En tenant compte de la force axialeN,la rigidit gomtrique gnralise de la tour est, par lEq. (2.33),

et la combinaison avec lEq.(c) donne la rigidit gnralise combine

JE* = k* - k* = (g)G 32 L3 8 L yy)

La charge critique de flambage que lon obtient en annulant la rigiditcombine'e est donc, par lEq. (g),

.. n4EI8L n2 El

Cest la charge de flambage exacte pour une colonne uniforme encastre sa base et charge en son extrmit, car la fonction de dforme dfinie par lEq. (a) est la dforme de flambage exacte. Si on substituelEq. (/) dans lEq .( /) , on peut exprimer la rigidit gomtrique demanire simple comme

* = tSEIN_G 32L3 N cr

Si on lutilise pour modifier lEq.(e), lquation du mouvement tenantcompte des effets de la force axiale devient

0.228m L l{ ) + E ( i - J p j Z (t ) = 0.364mL9(f) (j)

On peut bien entendu essayer pour ( x)toute autre allure satisfaisantaux conditions gomtriques de frontire de la structure. Si par exemplela forme des dplacements est suppose parabolique,


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Dans ce cas la charge critique obtenue en faisant k*= devient

4El3 L 3El m" ' - - r t " i t < 0

qui est de 21 % plus leve que la valeur de lEq. (h).Si on choisit pour fonction de dforme tout motif autre que celui de

la dforme de flambage relle, cela sapparentera des contraintes ext

rieures supplmentaires agissant sur le systme pour prserver son quilibre. Ces contraintes se traduiront par une influence rigidificatrice sur lesystme ; et donc la charge critique calcule par la mthode de Rayleighen utilisant une allure de dforme autre que lallure exacte sera toujoursplus leve que la charge critique exacte. Il est clair quici la forme parabolique nest pas une bonne hypothse pour cette structure, bien quellesatisfasse aux conditions gomtriques de frontire, car la courbure constante implique que le moment est constant sur toute la longueur. Or il estvident quici le moment doit sannuler au sommet de la colonne, et uneallure comportant une courbure nulle au sommet donnera de bienmeilleurs rsultats.

2.7 Expression des caractristi ques gnralises d'un systme

Comme on peut le dduire des exemples prcdents, les quations dumouvement dun systme un degr de libert, quelle que soit sa complexit,peuvent toujours se rduire la forme

m*Z(t) + c*Z(t) + K*Z(t) = p*(t)

oZ(t) est la coordonne gnralise unique permettant dexprimer le mouvement du systme, et les notations affectes dun astrisque reprsentent descaractristiques physiques gnralises correspondant cette coordonne. Lesvaleurs qui explicitent ces caractristiques gnralises peuvent en gnral tredtermines par application, soit du principe de Hamilton, soit du principe desdplacements virtuels. On peut obtenir pour ces expressions des formes standardtrs commodes.

Considrons un systme unidimensionnel arbitraire (Fig. 2.6), que lonsuppose ne se dplacer que selon le motif reprsent en Fig. 2.6a.Les dplacements peuvent sexprimer au moyen de la coordonne gnraliseZ(t) comme

v(x,t) \//(x)Z(t)

Les caractristiques gnralises associes ce motif peuvent alors sexprimercomme suit. Pour la rpartition massique de la Fig. 2 .6b, la masse gnraliseest pl

m* = I m(x)[>(x)]2dx + 2 2 + 2 /oi(>A'i)2 (2-37)

o les sommations reprsentent leffet des masses donnes des corps rigides, et\pj reprsente la rotation au point /. Lamortissement gnralis rsultant de

(a) v(x, t)= \l/(x)Z(t)\

j

i

TZ{t)

.1


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La rigidit gnralise due la fondation lastique, la rigidit de flexion, etaux ressorts locaux de la Fig. 2 dest donne par

k* = j* k(x)|>(x)]2 dx + J* J(x )[>"0c )]2 dx + W ,2 (2-39)

Le terme de rigidit gomtrique d la force axialeN(qui est constante dansle temps), voir Fig. 2.6e, est

k* = NJ LO'Oc)]2 dx (2-40)

Pour un cas plus gnral o la force axiale varierait en fonction de la positionle long de laxe, lexpression serait

k* = J LN(x) |>'(x)]2 dx (2-40a)

Enfin, la force gnralise associe au chargement latral et variable dans letemps de la Fig. 2.6/est

p*(t ) = J* pCM)i (2-41)

Attirons lattention sur la nature vectorielle des grandeurs de force et dedplacement qui apparaissent dans cette dernire quation. Seules peuvent yfigurer des composantes de dplacement dans la direction des charges appliques, et leur sens dpend du sens des charges. Autrement dit, lEq. (2.41)reprsente en ralit le travail effectu par les charges lors dun dplacementunit le long de la coordonne gnraliseZ(t).

Ainsi quil a dj t signal propos de lEq. (2.35), la rigidit gnralisecombine k*est donne par k* =k* kfe .

Ces coordonnes gnralises sappliquent de mme et tout aussi bien larduction de systmes bidimensionnels un seul degr de libert. Considrons

par exemple la dalle rectangulaire qui est reprsente la Fig. 2.7. Si les flchesde cette dalle sont supposes avoir lallure reprsente, et si lamplitude dudplacement central est prise pour coordonne gnralise, alors les dplacements peuvent sexprimer par

w(x,y,t) = >j/(x,y)Z(t) (2-42)

Pour une dalle sur appuis simples, la fonction de dforme pourrait en toutelogique tre de la forme

( x, y) = sin sin ^ (2-43)a b

mais toute autre allure raisonnable compatible avec les conditions dappuipourrait tre utilise.

Les caractristiques gnralises de ce systme peuvent alors se calculer pardes expressions quivalentes celles prsentes pour un lment unidimension-

------------

a------------

Fig. 2.7 Plaque bidimensionnelle trait e comme un systme undegr de libert.

nel, la diffrence que les intgrations sont alors effectues sur la surfaceentire. Par exemple, la masse gnralise serait donne par

m* = j* m(x,y)[>(x,y)]2 dA + (2-44)

Les expressions correspondantes pour la rigidit gnralise et la forme gnralise dune structure uniforme de type plaque sont

p* = J*^ p(x,y)i/'(x)y) dA + 2 Pi^i

OU

(2-46)

D Eh 3/12(1 u2)= raideur en flexion la plaqueP(xy) ~chargement rparti sur la plaque

v= coefficient de Poissonh= paisseur de la plaque

On voit facilement que les mmes techniques peuvent tre appliques sansdifficult des systmes tridimensionnels tels que des masses de terre ou debton ; avec cette fois une fonction de dplacement adquate trois dimen

sions. Mais la difficult du choix dune allure approprie saccrot rapidementavec le nombre de dimensions du systme, et la confiance accorder auxrsultats diminue en consquence.

Problmes

2A Pour le systme reprsent en Fig. P2.1, dterminer les caractristiquesphysiques gnralises m*, c*, k* et le chargement gnralis p*(0,tous dfinis au moyen de la coordonne de dplacement Z(f). Exprimerles rsultats en fonction des caractristiques et des cotes donnes.


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Fig. P2.1

2.2 Reprendre lnonc du Prob. 2.1 pour la structure de la Fig. P2.2.

ILH

2.3 Reprendre lnonc du Prob. 2.1 pour la structure de la Fig. P2.3. (Indication : ce systme n a quun degr de libert dynamique car les ressortsdirigent compltement le mouvement relatif des deux barres rigides.)

p (t) Barre rigide et sans masse

Z(t)

Barre uniforme rigide(Masse totale .= m)

V&M 1X

Fig. P2.3

2.4 Pour traiter la colonne de la Fig. P2.4 comme un systme un degr delibert, on dfinit sa dforme comme

Z( t) \L J \2 2L j

En dnotant la masse linique (uniformment rpartie) par m, la raideur(uniforme) par El, et la charge linique (uniformment rpartie) parp (t),calculer les caractristiques physiques gnralises m* et k*et le charge

ment gnralis p* (t).

zu)

Fig. P2.4

ici.

Colonne uniforme:m = masse linique7= raideur en flexion

2.5 (a) Si une chargeNverticale et dirige vers le bas est applique au sommet dela colonne du Prob. 2.4, calculer sa rigidit gnralise combine k* en utilisant la mme fonction de dforme (x) .

(b) Reprendre la partie (a)en supposant que la force axiale dans la colonne varie linairement sur sa longueur commeN( x) = N( 1 -x /L) .

2.6 Supposons que la dalle uniforme de la Fig. 2.7 soit carre, de ct a, etquelle soit sur appuis simples sur les quatre cts.(a) Si sa masse par unit daire est yet sa raideur en flexion Z), dter

miner ses caractristiques gnralises m* et k* en fonction de la

coordonne Z( t) de dplacement au centre. Supposer que la fonction de dplacement est

^ . nx . ny ^(x.y)= sin

Documents

Dynacmique Des Structures, Tome 1 Principes Fondamentaux (J.penzIEN Et R.W.clouGH)