Documents.tips Metode Numerice Probleme de Seminar Si Lucrari de Laborator

8/15/2019 Documents.tips Metode Numerice Probleme de Seminar Si Lucrari de Laborator

1/211

Universitatea de Vest din TimişoaraFacultatea de Matematicˇ a şi Informaticˇ a

METODE NUMERICE

PROBLEME DE SEMINAR

ŞI LUCR ǍRI DE LABORATOR

Simina Mari̧s Liliana Brˇ aescu

Timişoara

2007


2/211

Introducere

Procesul de restructurare al Învǎţ ǎmântului Superior din Romˆania şi trecereaacestuia pe trei cicluri, a determinat la nivelul ̂ıntregii t ¸ǎri elaborarea de noiplanuri de ı̂nvˇaţ ǎmânt şi de programe analitice adecvate.

Metode numerice - Probleme de seminar şi lucrˇ ari de laborator este unmaterial adiţ ional la cursul de Metode numerice elaborat ı̂n acord cu noilecerinţe, pe baza programei analitice conceputˇa la nivelul Departamentului deInformatic ǎ şi aprobatˇa ı̂n Consiliul Profesoral al Facultˇaţii de Matematicǎşi Informatic ǎ de la Universitatea de Vest din Timişoara.

Problemele şi lucr ǎrile de laborator prezentate ı̂n aceastˇ a carte se adresea-zǎ ı̂n primul rˆand studenţ ilor de la Facultatea de Matematicˇ a şi Informatic ǎ,ind abordate toate temele din programa analiticˇ a, la nivelul studenţ ilorSecţiei de Informatic ǎ aaţi ı̂n semestrul al cincilea de studiu, oferind exempleşi detalii referitoare la metodele numerice prezentate ı̂n curs.

Lucrarea este structuratˇ a pe şapte capitole, primul dintre acestea indrezervat pentru prezentarea unui set de cunoştint ¸e minimale de programare

ı̂n Maple. Capitolele 2-7 corespund capitolelor din cursul de Metode numerice şi sunt organizate dupˇa cum urmeaz ǎ:

• breviar teoretic• problemǎ rezolvat ǎ• probleme propuse• implementarePrin aceast ǎ lucrare, autorii pun la dispoziţ ia cititorilor toate cunoştint ¸ele

necesare ı̂n vederea construirii de algoritmi şi proceduri capabile sˇ a ia caargument un obiect matematic şi sˇ a returneze un rezultat nal.

Autorii


3/211

Cuprins

1 MapleV4 - scurtǎ introducere 91.1 Reguli generale de introducere a comenzilor . . . . . . . . . . 91.2 Pachete de programe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Constante, operatori şi funct¸ii des utilizate . . . . . . . . . . . 121.4 Structuri de date . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Calcule cu matrice şi vectori. Pachetul linalg . . . . . . . . . 161.6 Grace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Elemente de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Rezolvarea sistemelor liniare 292.1 Metoda lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Factorizarea LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Sisteme tridiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4 Factorizarea Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5 Factorizarea Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6 Metoda Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7 Metoda Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.8 Metoda relaxǎrii succesive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3 Ecuat¸ii şi sisteme de ecuat ¸ii neliniare 1073.1 Metoda punctului x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Metoda lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Interpolare polinomialǎ. Funct ¸ii spline 1274.1 Polinomul lui Newton cu diferenţ e divizate . . . . . . . . . . . 1274.2 Polinomul de interpolare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.3 Interpolare spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4 Polinoame Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5 Derivare numericǎ 1595.1 Aproximarea derivatei prin diferenţ e nite . . . . . . . . . . . 159

7


4/211


5/211

Capitolul 1

MapleV4 - scurtǎ introducere

Maple este un sistem de calcul algebric (CAS) dezvoltat de rma Maplesoft(http://www.maplesoft.com ), care poate utilizat ı̂n:

1. calcule simbolice;

2. calcule numerice;

3. programarea unor metode numerice;

4. reprezent ǎri grace.

În cele ce urmeazǎ, vom prezenta principalele elemente necesare ı̂n pro-gramarea unor metode numerice, corespunzˇatoare softului MapleV4.

1.1 Reguli generale de introducere a comen-zilor

Un document MapleV4 poate avea patru tipuri de câmpuri:

1. comenzi Maple (introduse de cǎtre utilizator);

2. rezultate Maple (r ǎspunsuri ale CAS-ului la comenzile introduse);

3. grace (rǎspunsuri ale CAS-ului);4. texte (introduse de c ǎtre utilizator).

În continuare, vom prezenta cˆateva reguli de introducere a comenzilor.

9


6/211


7/211

1.2. PACHETE DE PROGRAME 11

6. Argumentele unei funcţ ii se pun ı̂ntre paranteze rotunde, () , iar indiciiı̂ntre paranteze pˇ atrate, [] .> a:=cos(Pi); b:=lista[2];

a :=

−1

b := 1

7. Procentul, % , face referire la ultima comand ǎ executat ǎ anterior. Deexemplu:> a:=2;

a := 2> b:=%+1;

b := 3

8. Dacǎ rezultatul furnizat de Maple este identic cu comanda introdusˇ a(Maple r ǎspunde prin ecou la comand ǎ), atunci aceasta aratˇ a cǎ Maplenu poate interpreta comanda introdusˇ a. Pentru a remedia situat ¸ia,vericaţ i dac ǎ aţi introdus corect comanda sau dacˇa nu cumva funcţ iautilizat ǎ face parte dintr-un pachet care trebuie ı̂ncˇ arcat ı̂n prealabil.> arctg(1); # o incercare de a calcula arctangenta de 1

arctg(1)> arctan(1); # apelarea corecta a functiei arctangenta

π4

9. Pentru a nu ret¸ine eventuale atribuiri anterioare, este util ca pentrurezolvarea unei probleme noi sǎ ı̂ncepem cu instruct¸iunea> restart;

1.2 Pachete de programePachetele sunt colecţ ii de funcţii care permit efectuarea de calcule specice.Apelarea lor se face cu ajutorul comenzii with(nume_pachet) . Pentru aapela o anumit ǎ funcţie dintr-un pachet, se foloseşte sintaxa:

pachet[’functie’](argumente)

Printre cele mai utilizate pachete sunt:plots - pentru reprezentˇari grace;DEtools - pentru rezolvarea ecuaţ iilor diferenţ iale;


8/211

12 CAPITOLUL 1. MAPLEV4 - SCURT Ǎ INTRODUCERE

linalg - pentru rezolvarea unor probleme de algebrˇa liniarǎ;student - pentru analiz ǎ matematicˇa.

De exemplu, la apelarea pachetului grac, se obţ ine lista tuturor funct ¸iilorapelabile:

> with(plots);

Warning, the name changecoords has been redefined

[animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d,conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot,coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display,display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d,implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot,listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d,

loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto,pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot,polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus,semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve,sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot,textplot3d, tubeplot]

1.3 Constante, operatori şi funct ¸ii des uti-lizate

Constantele folosite de Maple sunt:

Constantˇa Semnicaţiefalse ”fals”true ”adevǎrat”gamma constanta lui Eulerinfinity +∞Catalan constanta lui CatalanFail valoare de adevǎr necunoscut ǎPi

πI unitatea imaginarˇaNULL secvenţa vid ǎ

Operatorii folosiţ i frecvent sunt:


9/211

1.4. STRUCTURI DE DATE 13

Operator Sintaxˇa Semnicaţie+, - a+b , a-b suma a + b (diferenţa a −b)* a*b , 2*a produsul a ·b, sau 2a

/ a/b câtul ab

^, ** a^b , a**b puterea ab

! n! factorialul 1 ·2 ·... ·n max, min max(a,b,c) , maximul (minimul) dintre a, b, c min(a,b,c)

=,=, operatori booleeni:= f:=expr operatorul de asignare f = expr= a=b ecuaţia a = b

.. x=a..b a ≤x ≤band , or , xor , operatori logiciimplies , not

Funcţ ii folosite frecvent ı̂n Maple:

Funcţ ie Sintax ǎ Semnicaţiesin , cos , tan , cot sin(x) , ... funcţii trigonometrice

arcsin , arctan , arccos arctan(x) , ...ln , log10 ln(x) , log10(x) logaritmi

exp exp(x) , exp(1) funcţia exponenţ ial ǎsqrt sqrt(x) radicalabs abs(x) modul

1.4 Structuri de date: secvent ¸e, liste, mult ¸imi,şiruri de caractere

1.4.1 Secvent ¸eO secvenţ ǎ este o ı̂nşiruire de expresii, separate prin virgule. Existˇ a maimulte moduri de a deni o secvenţ ǎ:

a. direct:

> s:=1,2,3,4; t:=(a,b,c);s := 1, 2, 3, 4t := a, b, c

b. cu ajutorul funcţ iei seq :> seq(3*x, x=2..7);


10/211


6, 9, 12, 15, 18, 21c. cu ajutorul unui ciclu for (vezi secţiunea 1.7.1)

Cu ajutorul funcţ iilor min şi max se poate calcula minimul, respectiv maxi-mul unei secvenţe.

> min(s); max(s,2,15);315

1.4.2 Liste

O listǎ este o secvenţ ǎ de expresii, scrisǎ ı̂ntre paranteze pˇ atrate, [ ]. Deexemplu, putem avea lista:> ll:=[1,2,5,2,4,2,7,2,a,2,c];

ll := [1, 2, 5, 2, 4, 2, 7, 2, a, 2, c]Putem aa numˇarul de operanzi din list ǎ cu ajutorul funcţ iei nops :> nops(ll);

11Al n-lea element din list ǎ poate aşat cu una din comenzile op(n,ll) saull[n] :> aa:=ll[3]; bb:=op(9,ll);

aa := 5bb := a

Funcţ ia member(elem, ll) returneaz ǎ true dacǎ elementul respectiv se a ǎ

ı̂n list ǎ ll , şi f alse ı̂n caz contrar:> member(d, ll);

falseLista vid ǎ este desemnat ǎ prin [] :> lista:=[];

lista := [ ]Se poate ad ǎuga un element nou la lista ll astfel: [op(ll),elem] . Deexemplu:> lista:=[op(lista), d,e,f];

lista := [d,e,f ]Se poate şterge al n-lea element din list ǎ ll astfel: subsop(n=NULL,ll) . Deexemplu:> lista:=subsop(2=NULL, lista);

lista := [d, f ]


11/211

1.4. STRUCTURI DE DATE 15

1.4.3 Mult ¸imiO mulţime este o secvenţ ǎ de expresii, scrisǎ ı̂ntre acolade, {}, ı̂n care ecareelement gureaz ǎ o singurǎ dat ǎ. De exemplu:> ll:={1,2,5,2,4,2,7,2,a,2,c};

ll := {1, 2, 4, 5, 7,a ,c}Adǎugarea unui nou element la mult¸ime, sau ştergerea elementului de pepoziţia n se face la fel ca la liste.Mulţimea vid ǎ este desemnat ǎ prin {} .Reuniunea a dou ǎ mulţ imi se face utilizând operatorul union :> s:={1,2,3} : t:={2,3,4} :> s union t;

{1, 2, 3, 4}Intersecţ ia a dou ǎ mulţimi se realizeazǎ cu ajutorul operatorului intersect :> s intersect t;

{2, 3

}Diferenţa a dou ǎ mulţimi se realizeazǎ utiliz ând operatorul minus :> s minus t;

{1}> s minus s;

{}1.4.4 Şiruri de caractereŞirurile de caractere sunt delimitate de apostrof invers, ‘ , dupǎ cum urmeaz ǎ:> ‘acesta este un sir‘;

acesta este un sirŞirurile de caractere se pot concatena cu ajutorul comenzii cat . De exemplu,putem avea:> i:=4;

i := 4> cat( ‘Valoarea lui i este ‘, i);

V aloarea lui i este 4Atenţ ie! La concatenarea unui şir de cifre, se obtine un şir de caractere, nuun num ǎr:> a:=cat(5,7,9); b:=52;

a := 579 b := 52

> whattype(a); # afla tipul expresiei asymbol

> whattype(b); # afla tipul expresiei b


12/211


integer> a+b;

a := 579 +52> whattype(a+b); # afla tipul expresiei a+b

symbol

1.5 Calcule cu matrice şi vectori. Pachetullinalg

Cu ajutorul cuvˆantului-cheie array se pot deni vectori şi matrice.Un vector se deneşte ı̂n urmˇatorul mod:

> v:=array(1..dim_vect);Elementele unui vector se pot deni unul cˆate unul, sau printr-un ciclu

for (vezi secţiunea 1.7.1):

> v:=array(1..4);v := array(1 ..4, [ ])

> v[1]:=a; v[2]:=b; v[3]:={a,b}; v[4]:=3;v1 := av2 := bv3 := {a, b}v4 := 3

> evalm(v); # evalueaza valoarea lui v[a,b, {a, b}, 3]O matrice se deneşte astfel:

> M:=array(1..nr_rand, 1..nr_col);Elementele unei matrice se pot deni unul c âte unul, sau printr-un ciclu

for (vezi secţiunea 1.7.1):> M:=array(1..2,1..2);

M := array(1 ..2, 1..2, [ ])> M[1,1]:=1: M[1,2]:=a: M[2,1]:=3: M[2,2]:={}:> evalm(M); # evalueaza valoarea lui M

1 a3 { }

Un alt mod de a deni matrice şi vectori, precum şi de a efectua operat ¸iispecice cu aceste obiecte, este folosirea pachetului linalg . Pachetul linalgse ı̂ncarc ǎ astfel:

>with(linalg);


13/211

1.5. CALCULE CU MATRICE ŞI VECTORI. PACHETUL LINALG 17

Warning, the protected names norm and trace have beenredefined and unprotected

[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp,Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment,backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat,charpoly,cholesky, col, coldim, colspace, colspan,companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl,definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod,eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects,entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselim,fibonacci, forwardsub, frobenius, gausselim, gaussjord,geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian,hilbert, htranspose, ihermite, indexfunc, innerprod,intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszero, jacobian,

jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve, matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, mulrow, multiply, norm,normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot,potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row,rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals,smith, stack, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol,swaprow, sylvester, toeplitz, trace, transpose,vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian]

O matrice se deneşte cu comanda matrix : matrix(nr_randuri, nr_coloane, lista_elem sau fc_generatoare)Astfel, putem avea:> a:=matrix(3,2,[1,2,3,4,5,6]);

a :=1 23 45 6

dar şi> f:=(i,j)->i+j; # functia generatoare a elem matricei

f := ( i, j ) →i + j> b:=matrix(2,3,f); # adica b[i,j]=f(i,j)

b := 2 3 4

3 4 5Elementul aij se scrie a[i,j] . Astfel, pentru matricea a din exemplul ante-rior, putem avea:> a[3,1];

5


14/211


Un vector se deneşte cu ajutorul comenzii vector :vector(nr_elem, lista_elem sau fc_generatoare)Astfel, putem avea:v:=vector([2,4,8,2]);

v := [2, 4, 8, 2]sauf:=x-> 2*x+1;

f := x →2x + 1w:=vector(5,f); # adica w[i]=f(i)w := [3, 5, 7, 9, 11]

Elementul i al vectorului v, vi , se scrie v[i] . Astfel, pentru vectorul vdin exemplul anterior, putem avea:> v[3];

8Redǎm mai jos cele mai utilizate funcţ ii din pachetul linalg , ı̂mpreunǎ cu

descrierea lor. Pentru mai multe detalii referitoare la aceste funct ¸ii, precumşi la celelalte funcţ ii din pachetul linalg , se poate consulta pagina de helpreferitoare la pachetul linalg .

Funcţ ie Descriereaddcol(A,c1,c2,m) ı̂nlocuieşte coloana c2 a matricei A cu

m*c1+c2addrow(A,r1,r2,m) ı̂nlocuieşte linia r2 a matricei A cu

m*r1+r2adj(A) , adjoint(A) calculeazǎ matricea adjunctˇa a matricei

A

angle(u,v) calculeazǎ unghiul vectorilor u şi vaugment(A,B) concateneaz ǎ (alǎtur ǎ) matricile A şi B

pe orizontal ǎbacksub(U,b) rezolvǎ sistemul Ux=b, prin substitut¸ie

inversa, unde U este o matrice superiortriunghiularˇa

band(b,n) construieşte o matrice n x n care arepe diagonala principal ǎ elementele vec-torului b, iar celelalte elemente suntnule

continuare pe pagina urmˇ atoare


15/211

1.5. CALCULE CU MATRICE ŞI VECTORI. PACHETUL LINALG 19

Pachetul linalg - continuare Funcţ ie Descriere

cholesky(A) efectueazǎ descompunerea Cholesky amatricei A

col(A,i) , col(A,i..k) extrage coloana i , respectiv coloanele ipânǎ la k, din matricea A

coldim(A) returneaz ǎ numǎrul de coloane ale ma-tricei A

crossprod(u,v) returneaz ǎ produsul vectorial al vecto-rilor u şi v

delcols(A,r..s) şterge coloanele de la r la s din ma-tricea A

delrows(A,r..s) şterge liniile de la r la s din matricea Adet(A) calculeazǎ determinantul matricei Adiverge(f) calculeazǎ divergenţa vectorului f

dotprod(u,v) calculeazǎ produsul scalar al vectoriloru şi vexponential(A) calculeazǎ eAextend(A,m,n,x) adaugǎ m linii şi n coloane matricei A,

iniţializate cu xforwardsub(L,b) rezolvǎ sistemul Lx=b prin substitut¸ie

ı̂nainte, unde L este o matrice inferiortriunghiularˇa

gausselim(A) efectueazǎ eliminarea gaussian ǎ cusemipivot asupra matricei A

geneqns(A,x) genereazǎ un sistem de ecuaţ ii pornindde la matricea A şi vectorul necunos-cutelor x

genmatrix(sist, var) genereazǎ matricea coecienţ ilor sis-temului sist , in raport cu multimeavariabilelor var

grad(expr, vect) calculeazǎ gradientul expresiei expr , infuncţie de variabilele vect

inverse(A) calculeazǎ inversa matricei A matadd(A,B,c1,c2) calculeazǎ c1*A+c2*B minor(r,c) calculeazǎ minorul de ordin (r,c)

(eliminǎ linia r şi coloana c) din ma-tricea A

continuare pe pagina urmˇ atoare


16/211


Pachetul linalg - continuare Funcţ ie Descriere

mulcol(A,c,expr) multiplic ǎ coloana c a matricei A cu ex-presia expr

mulrow(A,r,expr) multiplic ǎ linia r a matricei A cu expre-sia expr

multiply(A,B) efectueazǎ ı̂nmulţ irea matricelor A şi Bnorm(A) calculeazǎ norma matricei Anormalize(v) calculeazǎ versorul vectorului vrank(A) calculeazǎ rangul matricei Arow(A,i) , row(A,i..j) extrage linia i , respectiv liniile de la i

la j , ale matricei Arowdim(A) returneaz ǎ numǎrul de linii din ma-

tricea Ascalarmult(A,s) ı̂nmulţ eşte toate elementele matricei A

cu scalarul sstack(A,B) concateneaz ǎ matricele A şi B pe verti-calǎ

submatrix(A,r1..r2,c1..c2) extrage o submatrice a matricei A, ı̂ntreliniile r1 , r2 , şi coloanele c1 , c2

subvector(A,r1..r2) extrage un subvector al vectorului A, dela rangul r1 la rangul r2

swapcol(A,c1,c2) interschimb ǎ coloanele c1 şi c2 ale ma-tricei A

swaprow(A,r1,r2) interschimb ǎ liniile r1 şi r2 ale matriceiA

trace(A) calculeazǎ urma matricei Avectdim(v) returneaz ǎ dimensiunea vectorului v

1.6 Grace

Gracul unei funcţ ii se realizeazǎ folosind comanda plot , a cǎrei sintax ǎ este

plot(functie, x=x_min..x_max, y_min..y_max)

unde argumentul y_min..y_max este opţional.

De exemplu, putem avea:

> plot(sin(x), x=-5..5);


17/211

1.6. GRAFICE 21

–1

–0.5

0

0.5

1

–4 –2 2 4

x

> plot(cos(x)^2, x=-5..5);

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –2 2 4

x

> plot([sin(x),cos(x)^2], x=-5..5);


18/211


–1

–0.5

0

0.5

1

–4 –2 2 4

x

Mai multe detalii despre grace se pot g ǎsi accesând pagina de help refe-ritoare la instruct¸iunea plot , sau la pachetul plots .

1.7 Elemente de programare

1.7.1 Condit ¸ionarea şi ciclareaA. Condit ¸ionareaSintaxa unei instruct¸iuni condiţ ionale este

if CONDITIE then EXPRESIE[ elif CONDITIE then EXPRESIE ][ else EXPRESIE ]

fi

Instrucţ iunile puse ı̂ntre paranteze pˇ atrate, [ ], sunt opţ ionale.De exemplu, putem avea secvenţ a:

> if a if x


19/211

1.7. ELEMENTE DE PROGRAMARE 23

[ for CONTOR ] [ from EXPR ] [ by EXPR ] [ to EXPR ][ while EXPR ]

do INSTRUCTIUNI od;

sau

[ for CONTOR ] [ in EXPR ] [ while EXPR ]do INSTRUCTIUNI od;

unde:- from indicǎ punctul de plecare ı̂n iterat ¸ie (dac ǎ este omis, valoarea sa

implicit ǎ este 1);- by indicǎ pasul contorului (dacˇa este omis, se considerǎ implicit cǎ are

valoarea 1);- to indicǎ punctul de oprire a iterat¸iei (dac ǎ este omis, se considerǎ

implicit cǎ are valoarea + ∞şi se obţine o buclǎ innit ǎ);- while indicǎ o expresie booleanǎ, care trebuie s ǎ poat ǎ evaluat ǎ caadevǎrat ǎ sau falsǎ;- in indicǎ elementele succesive ale expresiei EXPR.

De exemplu, pentru a scrie toate numerele pare de la 6 la 100 putemfolosi:> for i from 6 by 2 to 100 do print(i) od;

Cu ajutorul buclei for se pot deni secvenţe, liste, mulţ imi, vectori saumatrice.> s:=NULL;

for i from 1 to 3 do s:=s,2*i+1 od; # definirea unei secvente

s :=s := 3s := 3, 5s := 3, 5, 7

> l:=[];for i from 1 to 4 do l:=[op(l),i^2] od; # definirea unei liste

l := [ ]l := [1]l := [1, 4]l := [1, 4, 9]

l := [1, 4, 9, 16]> v:=vector(3); # definirea vectoruluifor i from 1 to 3 do v[i]:=i^3-i^2+1 od; # definirea elem vectevalm(v); # vizualizarea vectorului

v := array(1 ..3, [ ])


20/211


v1 := 1v2 := 5v3 := 19[1, 5, 19]

M:=array(1..3,1..4); # definirea matriceiM := array(1 ..3, 1..4, [ ])

> for i from 1 to 3 do # definirea elem matriceifor j from 1 to 4 do

M[i,j]:=i^jod;

od;> evalm(M);

1 1 1 12 4 8 163 9 2 7 8 1

Putem aşa elemetele unei liste (secvent¸e, mulţ imi, matrice, vector) astfel:

> lista:=[3,2,4,5,1]:> for i in lista do print(i) od;

Mai multe detalii despre instruct ¸iunile de condiţ ionare şi de ciclare se potgasi accesând pagina de help referitoare la acestea.

1.7.2 Funct ¸ii şi proceduri

O funcţie poate denit ǎ cu ajutorul operatorului -> . Putem deni funcţ iide o variabilǎ sau funcţii de mai multe variabile.> f:=x->x^2+1;

f := x →x2 + 1> g:=(x,y)->x^2+y;

g := ( x, y) →x2 + y> f(3);

10> g(3,4);

13> g(4,3);

19

O procedur ǎ este un grup de instruct¸iuni, variabile şi constante. Sintaxaeste:


21/211


22/211


Pentru a deni tipul unui argument, se foloseşte sintaxa argument::tip .De exemplu, sǎ luǎm urm ǎtoarea procedurˇa şi situaţ iile care pot ap ǎrea:> # procedura care returneaza determinantul unei matrice> determinant:=proc(A) RETURN(det(A)) end:

> determinant(2);Error, (in linalg:-det) expecting a matrix

Procedura determinant se poate ”imbun ǎt ǎţi” astfel:

> determinant1:=proc(A)if not type(A, matrix)

then ERROR(‘argumentul trebuie sa fie matrice!!!‘)fi;RETURN(det(A))

end:

care produce urm ǎtorul rezultat:> determinant1(2);Error, (in determinant1) argumentul trebuie sa fie matrice!!!Se mai poate deni argumentul A ca ind de tipul matrice:> determinant3:=proc(A::matrix) RETURN(det(A)) end:şi se obţine urm ǎtorul rezultat:> determinant3(2);Error, invalid input: determinant3 expects its 1st argument, A,

to be of type matrix, but received 2

Mai multe detalii despre tipurile existente se pot gˇ asi accesând pagina dehelp (cuvântul cheie este type ).

Un alt exemplu este procedura rdc , procedur ǎ pentru calculul lui 1√ x :

> rdc:=proc(x)

if x


23/211

1.7. ELEMENTE DE PROGRAMARE 27

rdc := proc (x) if x < 0 then ERROR(‘ numar negativ !‘)elif x = 0 then RETURN( ∞)

else simplify(1/(xˆ (1/2))) end if end proc> rdc(-1);Error, (in rdc) numar negativ!> rdc(0);

∞> rdc(4);

12

Pentru a putea urmˇ ari execuţia unei proceduri, se foloseşte debug , iarpentru a stopa urmˇarirea, se foloseşte undebug . De exemplu, putem avea:

> f:=proc(a,b)local y,z;y:=a+b/2;z:=1/y;RETURN(y+z)

end;

f := proc (a, b)local y, z ;y := a + 1 / 2 b; z := 1/yRETURN( y + z ) end proc

> debug(f);f

> f(2,4);{--> enter f, args = 2, 4

y := 4

z := 14

f(0,1);


24/211


{--> enter f, args = 0, 1

y := 12

z := 2 f(10,20);

40120

Alte detalii despre funcţ ii şi proceduri, precum şi despre opt¸iunile debugşi undebug , puteţ i gǎsi pe paginile de help referitoare la acestea.


25/211

Capitolul 2

Rezolvarea sistemelor liniare

În acest capitol vom prezenta metode de rezolvare a sistemelor liniare detip Cramer (numˇarul de ecuaţ ii este egal cu numǎrul de necunoscute, şideterminantul matricei sistemului este nenul):

a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2

.....................................an 1x1 + an 2x2 + . . . + ann xn = bn

(2.1)

ı̂n care aij şi bi sunt numere reale date, i = 1 . . . n , j = 1 . . . n , iar x1, x2, . . . , x nsunt numere reale necunoscute.

Sistemul (2.1) se poate scrie matriceal sub forma:

Ax = b

unde: A = ( a ij )i,j =1 ,n , b = ( b1, b2, . . . , bn )T , x = ( x1, x2, . . . , x n )T .Dacǎ matricea A este nesingular ǎ, sistemul Ax = b are soluţie unicǎ:

x = A− 1b.

Deoarece ı̂n cele mai multe cazuri matricea A are numǎr mare de linii şicoloane, iar calculul matricei A− 1 este dicil şi acumuleazǎ erori, se impunmetode directe şi metode iterative pentru rezolvarea acestor sisteme.

2.1 Metoda lui Gauss

2.1.1 Breviar teoreticMetoda lui Gauss presupune transformarea sistemului Ax = bı̂ntr-un sistemsuperior triunghiular, şi apoi rezolvarea acestuia prin substitut ¸ie inversǎ.

29


26/211

30 CAPITOLUL 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE

Construct ¸ia sistemului superior triunghiular se face astfel: la pasulk se eliminǎ xk din ecuaţiile k + 1, ..., n , prin ı̂nmult¸irea ecuaţ iei k cu

m ik = −a ikakk

(elementul akk se numeşte pivot) şi adunarea acestora la ecuat ¸ia i (i > k ).În funcţie de alegerea pivotului, exist ǎ urmǎtoarele variante ale metodei

lui Gauss :

1. metoda lui Gauss clasicǎ - ı̂n care la ecare pas, pivotul este ele-mentul akk , k = 1 , n;

2. metoda lui Gauss cu semipivot - ı̂n care la ecare pas, se alegeca pivot elementul aik maxim ı̂n valoare absolutˇa pe coloanǎ, pentrui > k , permut ându-se linia k cu linia i;

3. metoda lui Gauss cu pivot total - ı̂n care la ecare pas, se alege capivot elementul maxim atˆat pe linie, cât şi pe coloan ǎ, pentru i > k , j > k , permut ându-se linia k cu linia i şi coloana k cu coloana j ;

În acest fel, sistemul (2.1) se reduce la forma superior triunghiularǎ

ã11 ã12 ... ã1,n − 2 ã1,n − 1 ã1,n0 ã22 ... ã2,n − 2 ã2,n − 1 ã2,n... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 ãn − 1,n − 1 ãn − 1,n0 0 ... 0 0 ãnn

·

x1x2...

xn − 1xn

=

b̃1b̃2...

b̃n − 1b̃n

(2.2)

iar rezolvarea sistemului (2.2) se face prin substitut¸ie inversǎ:

xn =b̃n

ãnn(2.3)

xk = b̃k −n

j = k+1

ãkj ·x j · 1ãkk

, k = n −1, n −2, . . . , 1

Observat ¸ia 2.1.1. Cu ajutorul elimin ǎrii gaussiene se poate determina şi

inversa unei matrice. Red ǎm ı̂n continuare algoritmul de aare a inverseiunei matrice A.

1. generarea matricei B prin concatenarea matricelor A (de dimensiunen) cu matricea I n


27/211

2.1. METODA LUI GAUSS 31

2. pentru i = 1, n

m = Biipentru j = 1, 2n

B ij = Bij

mpentru j = 1, n, j = i

m1 = B jipentru k = 1 , 2n

B jk = B jk −m1 Bik3. prin ştergerea primelor n coloane ale matricei B astfel transformate, se

obţine inversa matricei A

2.1.2 Probleme rezolvateExercit ¸iul 2.1.1. Sǎ se rezolve urmǎtorul sistem folosind cele trei varianteale eliminǎrii Gauss:

x + y + z = 62x −y + 3 z = 9x + 4y + z = 12.Matricea sistemului este

A =1 1 12 −1 31 4 1

,

iar Ā este matricea sa extinsˇa:

Ā = ( A, b) =1 1 1 62 −1 3 91 4 1 12

.

Deoarece numǎrul ecuaţ iilor este egal cu cel al necunoscutelor şi

det A = −3 = 0 ,sistemul este compatibil determinat (de tip Cramer), şi deci metoda eliminˇ ariia lui Gauss este aplicabil ǎ.

ˆIn continuare, pentru a efectua operat ¸iile asupra matricei extinse a sis-temului vom nota linia i cu Li , iar coloana j cu C j .

Rezolvare utilizând metoda lui Gauss clasicǎA. Construcţ ia sistemului superior triunghiular


28/211


Pasul 1

• pivot: a11 = 1• m21 = −

21

= −2

• m31 = −11 = −11 1 1 62 −1 3 91 4 1 12

L2 →L 2 + m 21 L1L3 →L 3 + m 31 L1

−−−−−−−−−→1 1 1 60 −3 1 −30 3 0 6

Pasul 2

• pivot: a22 = −3

• m32 =

− 3

−3 = 1

1 1 1 60 −3 1 −30 3 0 6

L 3 →L3 + m 32 L 2

−−−−−−−−−→1 1 1 60 −3 1 −30 0 1 3

În acest moment am ajuns la un sistem de forma Ãx = b̃, echivalent cusistemul iniţ ial, ı̂n care matricea Ã este superior triunghiularˇa, unde:

Ã =1 1 10

−3 1

0 0 1

, x =xy

z

, b̃ =6

−3

3

.

B. Rezolvarea sistemului superior triunghiularPrin metoda substitut ¸iei inverse, avem:

z = 31

y = 1

−3(−3 −1 ·z )

x = 11

(6 −1 ·y −1 ·z ),de unde obţinem soluţ ia sistemului: x = 1, y = 2, z = 3.

Rezolvare cu metoda lui Gauss cu semipivotA. Construcţ ia sistemului superior triunghiular


29/211


Pasul 1

• Ca pivot se ia elementul ai1 de modul maxim de pe coloana 1. Încazul nostru, pivotul este a12 , deci se permut ǎ linia 1 cu linia 2, şi sefac zerouri pe coloana 1 pentru i > 1:

1 1 1 62 −1 3 91 4 1 12

L 2 ↔L1

−−−−→2 −1 3 91 1 1 61 4 1 12

2 −1 3 91 1 1 61 4 1 12

L2 →L2 − 12 L 1L3 →L3 − 12 L 1

−−−−−−−→2 −1 3 90 32 −12 320 92 −12 152

Pasul 2

• Ca pivot se ia elementul a i2 de modul maxim de pe coloana 2, pentrui ≥2. În cazul nostru, pivotul este a32 , deci se permut ǎ linia 2 cu linia3 şi se fac zerouri pe coloana 2, pentru i > 2:2 −1 3 90 32 −12 320 92 −12 152

L 3 ↔L2

−−−−→2 −1 3 90 92 −12 1520 32 −12 32

2 −1 3 90 92 −12 1520 32 −

12

32

L 3 →L3 − 13 L2

−−−−−−−→2 −1 3 90 92 −12 1520 0

−13

−1

În acest moment am ajuns la un sistem de forma Ãx = b̃, echivalent cusistemul iniţ ial, unde matricea Ã este superior triunghiularˇa, iar:

Ã =2 −1 30 92 −120 0 −13

, x =xyz

, b̃ =9152

−1.

B. Rezolvarea sistemului superior triunghiular se face ca şi ı̂n cazul metodeilui Gauss clasice, şi conduce la soluţia x = 1, y = 2, z = 3.

Rezolvare cu metoda lui Gauss cu pivot totalA. Construcţ ia sistemului superior triunghiular

Pasul 1


30/211


• ca pivot se alege elementul aij de modul maxim pentru i, j ≥ 1.În cazul nostru pivotul este a32, deci se permut ǎ linia 3 cu linia 1, şicoloana 2 cu coloana 1:

1 1 1 6

2 −1 3 91 4 1 12L3 ↔L 1

−−−−→1 4 1 12

2 −1 3 91 1 1 61 4 1 122 −1 3 91 1 1 6

C 2 ↔C 1

−−−−→4 1 1 12

−1 2 3 91 1 1 6• pentru corectitudinea rezultatului nal este necesar ca, ori de cˆ ateori se permut ǎ coloanele matricei extinse, s ǎ se permute şi elementelecorespunzǎtoare ale vectorului x. Astfel, avem:

x =xyz

x2 ↔x1

−−−−→yxz

• ı̂n nal, obţ inem:4 1 1 12

−1 2 3 91 1 1 6

L 2 →L 2 + 14 L1L 3 →L 3 − 14 L1

−−−−−−−→4 1 1 120 94

134 12

0 3434 3

Pasul 2

• ca pivot se alege elementul aij de modul maxim pentru i, j ≥ 2.Deoarece pivotul este a23, se permut ǎ coloana 3 cu coloana 2:4 1 1 120 94

134 12

0 3434 3

C 3 ↔C 2

−−−−→4 1 1 120 134

94 12

0 3434 3

x =yxz

x3 ↔x2

−−−−→yz x

4 1 1 120 134

94 12

0 3434 3

L3 →L3 − 313 L2

−−−−−−−−→4 1 1 120 134

94 12

0 0 3133

13


31/211


32/211


1 0 −12 −12 1 00 1 2 1 −1 00 0 1 13 −43 23L1→L1− B 13 L3L2→L2− B 23 L3

−−−−−−−−−→1 0 0 −13 13 130 1 0 13 53 −430 0 1 13 −43 23

Inversa matricei A va matricea C , obţinut ǎ prin ştergerea primelor 3

coloane ale matricei B:

C = −13

13

13

13

53 −431

3 −43 23Într-adevˇar, se vericǎ uşor cǎ

A ·C = C ·A = I 3.

2.1.3 Probleme propuseExercit ¸iul 2.1.3. Sǎ se rezolve urmǎtoarele sisteme, folosind cele trei vari-ante ale metodei lui Gauss:

a)x + 2y + z = 13x −y + 5 z = 14x + y −z = −2

b)

x + y + z + t = 03x −2y −z + t = −8x −2y −z + 4 t = 1x + y −z + 2 t = 1

Exercit ¸iul 2.1.4. Sǎ se gǎseascǎ soluţia sistemelor anterioare, calculˆandinversa matricei A a sistemului, şi efectu ând ı̂nmult¸irea A− 1b.

2.1.4 ImplementareA. Algoritm

Algoritmii pentru cele 3 metode sunt asemˇanǎtori, diferenţ a dintre eiapǎrând (aşa cum se poate vedea şi din exemplul rezolvat) ı̂n modul derezolvare a eliminǎrii Gauss.

Date de intrare: un sistem de ecuaţ ii (scris ca mulţ ime de ecuaţ ii)Date de ieşire: soluţia sistemului

Algoritmul constǎ din urm ǎtoarele etape:

1. generarea matricei extinse a sistemului, A = ( a ij )i=1 ,n,j =1 ,n +1

• n= num ǎrul de ecuaţ ii (num ǎrul de linii ale matricei A);


33/211


2. a) eliminarea Gauss pentru metoda lui Gauss clasicˇa

- pentru k = 1, n −1- dacǎ akk = 0, atunci se cautˇa r pentru care akr = 0,r = k + 1 , n şi se schimbǎ linia k cu linia r ;- dacǎ toţ i akr = 0, r = k + 1 , n atunci se returneazˇa eroare;- pentru i = k + 1 , n

m = −a ikakk

, unde akk = 0;- pentru j = k, n

a ij = aij + m ·akj ;b) eliminarea Gauss pentru metoda lui Gauss cu semipivot

- pentru k = 1, n −1 se cautǎ elementul de modul maxim pe linie,i.e. dacǎ |akr | > |akk |, r = k + 1 , n, se schimbǎ linia k cu linia r- pentru i = k + 1 , n

m = −a ikakk


a ij = aij + m ·akj ;c) eliminarea Gauss pentru metoda lui Gauss cu pivot total

- pentru k = 1 , n −1 se cautǎ elementul de modul maxim pe linie şicoloanǎ, i.e. dacǎ|a pr

|>

|akk

|, p, r = k + 1 , n, se schimbǎ coloana

p cu coloana k şi linia r cu linia k- pentru i = k + 1 , n

m = −a ikakk


a ij = aij + m ·akj ;3. rezolvarea sistemului superior triunghiular prin substitut ¸ie inversǎ

xn = an,n +1

ann,

- pentru i = n −1, 1xi =

1a ii

a i,n +1 −n

j = i+1

a ij x j .


34/211


B. Programe MAPLE şi rezultateDeoarece diferitele variante ale metodei lui Gauss se deosebesc doar prin

modul ı̂n care se realizeaz ǎ eliminarea Gauss, ı̂n cele ce urmeaz ǎ am imple-mentat separat cele trei variante de eliminare, folosind procedurile cgauss ,spgauss , tpgauss . Aceste proceduri vor folosite apoi ca opţiuni ı̂n proce-dura nal ǎ gauss .

restart: with(linalg):

cgauss:=proc(A::matrix)local A1, A2, n, k, r, i, m, j;n:=rowdim(A);A1:=A;A2:=delcols(A1,n+1..n+1);if(det(A2)=0) then ERROR(‘sistemul nu are solutie unica!‘) fi;

for k from 1 to n-1 doif A1[k,k]=0 thenfor r from k+1 to nwhile A1[k,r]=0 do r=r+1 od;if r>n then ERROR(‘sistemul nu are solutie unica!‘)

else A1:=swaprow(A1,k,r);fi;

fi;for i from k+1 to n do m:=A1[i,k]/A1[k,k];

for j from k to n+1 doA1[i,j]:=A1[i,j]-m*A1[k,j];

od;od;

od;RETURN(evalm(A1));end:

spgauss:=proc(A::matrix)local A1, A2, n, k, r, i, m, j, mx;n:=rowdim(A);

A1:=A;A2:=delcols(A1,n+1..n+1);if(det(A2)=0) then ERROR(‘sistemul nu are solutie unica!‘) fi;for k from 1 to n-1 do

mx:=k;


35/211


for r from k to n doif (abs(A1[r,k])>abs(A1[k,k])) then mx:=rfi;

od;if mxk then A1:=swaprow(A1,k,mx); fi;

for i from k+1 to n do m:=A1[i,k]/A1[k,k];

for j from k to n+1 doA1[i,j]:=A1[i,j]-m*A1[k,j];

od;od;

od;RETURN(evalm(A1));end:

tpgauss:=proc(A::matrix)local A1, A2, n, k, r, i, m, j, mx, my, l;n:=rowdim(A);A1:=A;A2:=delcols(A1,n+1..n+1);l:=[seq(i), i=1..n];if(det(A2)=0) then ERROR(‘sistemul nu are solutie unica!‘) fi;for k from 1 to n-1 do

mx:=k; my:=k;for i from k to n do

for j from k to n doif (abs(A1[i,j])>abs(A1[k,k])) then mx:=i; my:=j;fi;

od;od;if mxk then A1:=swaprow(A1,k,mx); fi;if myk then

A1:=swapcol(A1,k,my);l:=subsop(k=l[my],my=l[k],l);

fi;for i from k+1 to n do

m:=A1[i,k]/A1[k,k];for j from k to n+1 doA1[i,j]:=A1[i,j]-m*A1[k,j];

od;od;


36/211


od;RETURN(evalm(A1),l);end:

gauss:=proc(eqn::set(equation), opt::symbol)local A,A1,l,n,r,k,i,m,j,s,x,rez;l:=[op(indets(eqn))];n:=nops(l);A:=genmatrix(eqn, l, flag);if opt=clasic then A1:=cgauss(A);elif opt=semipivot then A1:=spgauss(A);elif opt=totalpivot then

rez:=tpgauss(A);A1:=rez[1];l:=[seq(l[rez[2][i]],i=1..n)];

else ERROR(‘optiunile sunt: clasic, semipivot sau totalpivot‘);fi;x[n]:=A1[n,n+1]/A1[n,n];for i from n-1 by -1 to 1 do

s:=0;for j from i+1 to n do

s:=s+A1[i,j]*x[j];od;x[i]:=1/A1[i,i]*(A1[i,n+1]-s);

od;RETURN(seq(l[i]=x[i],i=1..n));end:

Observat ¸ia 2.1.2. Instrucţ iunea indets(set_eq) returneaz ǎ mulţimea nede-terminatelor sistemului set_eq . Deoarece ordinea elementelor acestei mulţ iminu este neap ǎrat aceeaşi cu ordinea nedeterminatelor din prima ecuat ¸ie a sis-temului, pot apˇarea diferenţ e ı̂ntre rezultatele furnizate cu ajutorul coduluiMAPLE şi rezultatele calculate pe hˆartie. Deşi matricea sistemului generatˇ acu a jutorul instruct¸iunii indets nu este ı̂ntotdeauna aceeaşi cu matriceasistemului scris ǎ pe hârtie, rezultatele furnizate de program vor aceleaşi(eventual ordinea soluţ iilor va schimbat ǎ).

Observat ¸ia 2.1.3. Pentru a urmˇari execuţia unei proceduri, se foloseşteinstrucţ iunea debug . În cazul programelor din exemplele de mai sus, sepoate folosi urmǎtorul set de instruct¸iuni:

debug(cgauss):


37/211


38/211


A1 :=1 1 1 60 −3 1 −30 0 1 3x 3 := 3s := 0s := 3

x 2 := 2s := 0s := 2s := 5

x 1 := 1

gauss( {x+y+z=6,2*x-y+3*z=9,x+4*y+z=12 },semipivot);{--> enter gauss, args = {x+y+z = 6, 2*x-y+3*z = 9, x+4*y+z = 12},semipivot

l := [x, y, z ]n := 3

A :=1 1 1 62 −1 3 91 4 1 12

{--> enter spgauss, args = An := 3

A1 := A

A2 :=1 1 12 −1 31 4 1

mx := 1mx := 2

A1 :=2 −1 3 91 1 1 61 4 1 12

m := 12

A1 2, 1 := 0A1 2, 2 :=

32

A1 2, 3 := −12


39/211


A1 2, 4 := 32

m := 12

A1 3, 1 := 0

A1 3, 2 := 92

A1 3, 3 := −12A1 3, 4 :=

152

mx := 2mx := 3

A1 :=

2 −1 3 90

92

−12

152

0 3

2−12

32

m := 13

A1 3, 2 := 0

A1 3, 3 := −13A1 3, 4 := −1


40/211


gauss( {x+y+z=6,2*x-y+3*z=9,x+4*y+z=12 },totalpivot);{--> enter gauss, args = {x+y+z = 6, 2*x-y+3*z = 9, x+4*y+z = 12},totalpivot

l := [x, y, z ]n := 3

A :=1 1 1 62 −1 3 91 4 1 12

{--> enter tpgauss, args = An := 3

A1 := A

A2 :=1 1 12 −1 31 4 1

l := [1, 2, 3]mx := 1my := 1mx := 2my := 1mx := 2my := 3mx := 3my := 2

A1 :=1 4 1 122 −1 3 91 1 1 6

A1 :=4 1 1 12

−1 2 3 91 1 1 6l := [2, 1, 3]

m := −1

4A1 2, 1 := 0

A1 2, 2 := 94


41/211


42/211


l := [y, z, x ]x 3 := 1s := 0

s := 94

x 2 := 3s := 0s := 3s := 4

x 1 := 2

A := matrix([[1, 1, 1, 6], [2, -1, 3, 9], [1, 4, 1, 12]]);

A :=1 1 1 62 −1 3 91 4 1 12

> gausselim(A);

1 1 1 60

−3 1

−3

0 0 1 3> backsub(%);

[1, 2, 3]

Redǎm programul Maple pentru determinarea inversei unei matrice, pre-cum şi un exemplu:

invmatrix:=proc(A::matrix)local n,A1,i,B,j,m,m1,k,C;n:=rowdim(A);

if coldim(A) n thenERROR(‘Matricea trebuie sa fie patratica!‘)fi;if det(A)=0 then

ERROR(‘Matricea trebuie sa fie nesingulara!‘)


43/211


fi;A1:=matrix(n,n,0);for i from 1 to n do

A1[i,i]:=1od;B:=concat(A,A1);for i from 1 to n do

m:=B[i,i];for j from 1 to 2*n do B[i,j]:=B[i,j]/m od;for j from 1 to n do

if ij then m1:=B[j,i];for k from 1 to 2*n do

B[j,k]:=B[j,k]-m1*B[i,k];od;

fi;od;od;evalm(B); # rezultatul eliminarii gaussieneC:=delcols(B,1..n); # inversa matricei Aend:

> A := matrix([[2, 1, 1], [2, -1, 3], [1, 4, 1]]):

> debug(invmatrix):

> C:=invmatrix(A);

{--> enter invmatrix, args = An := 3

A1 :=0 0 00 0 00 0 0

A1 1, 1 := 1A1 2, 2 := 1A1 3, 3 := 1

B :=2 1 1 1 0 02 −1 3 0 1 01 4 1 0 0 1m := 2

B 1, 1 := 1

B 1, 2 := 12


44/211


B 1, 3 := 12

B 1, 4 := 12

B 1, 5 := 0B 1, 6 := 0m1 := 2B 2, 1 := 0

B 2, 2 := −2B 2, 3 := 2

B 2, 4 := −1B 2, 5 := 1B 2, 6 := 0m1 := 1

B 3, 1 := 0

B 3, 2 := 72

B 3, 3 := 12

B 3, 4 := −12B 3, 5 := 0B 3, 6 := 1m := −2B 2, 1 := 0B 2, 2 := 1

B 2, 3 := −1B 2, 4 :=

12

B 2, 5 := −12B 2, 6 := 0

m1 := 12

B 1, 1 := 1B 1, 2 := 0B 1, 3 := 1


45/211


B 1, 4 := 14

B 1, 5 := 14

B 1, 6 := 0

m1 := 72

B 3, 1 := 0B 3, 2 := 0B 3, 3 := 4

B 3, 4 := −94B 3, 5 :=

74

B 3, 6 := 1m := 4

B 3, 1 := 0B 3, 2 := 0B 3, 3 := 1

B 3, 4 := −916B 3, 5 :=

716

B 3, 6 := 14

m1 := 1B 1, 1 := 1B 1, 2 := 0B 1, 3 := 0

B 1, 4 := 1316

B 1, 5 := −316B 1, 6 := −14m1 := −1B 2, 1 := 0B 2, 2 := 1B 2, 3 := 0


46/211


B 2, 4 := −116B 2, 5 := −116B 2, 6 :=

14

1 0 0 13

16−316

−14

0 1 0 −116

−116

14

0 0 1 −916

716

14

C :=

1316

−316

−14

−116

−116

14

−916

716

14

multiply(A,C);

1 0 00 1 00 0 1

> multiply(C,A);

1 0 00 1 00 0 1


47/211

2.2. FACTORIZAREA LU 51

2.2 Factorizarea LU

2.2.1 Breviar teoreticFie sistemul compatibil determinat

Ax = b. (2.4)

Factorizarea LU presupune descompunerea matricei A ı̂ntr-un produs de ma-trice L ·U , unde

L =

λ11 0 . . . 0λ21 λ22 . . . 0. . . . . . . . . . . .λn 1 λn 2 . . . λnn

U =

µ11 µ12 . . . µ1n0 µ22 . . . µ2n

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . µnn

. (2.5)

Aceastǎ descompunere este posibil ǎ dacǎ toţ i determinant¸ii de colţ aimatricei A sunt nenuli.

Pentru a asigura unicitatea descompunerii, trebuie precizate n elementeale matricei L sau U . În mod tradiţ ional, se specicǎ λ ii sau µii ; dacǎ λ ii = 1atunci factorizarea LU se numeşte factorizare Doolittle , iar dacǎ µii = 1se numeşte factorizare Crout .

Astfel, rezolvarea sistemului (2.4) se reduce la rezolvarea sistemelor tri-unghiulare

Ly = b (2.6)

cu soluţia

y1 = b1λ11

yi = bi −i− 1

j =1

λ ij y j · 1λ ii

, i = 2, 3, . . . , n(2.7)

şiUx = y (2.8)

cu soluţia

xn = ynµnn

xi = yi −n

j = i+1

µij x j · 1µii

, i = 2, 3, . . . , n .(2.9)


48/211


2.2.2 Problemǎ rezolvatǎExercit ¸iul 2.2.1. Sǎ se determine soluţ ia sistemului urmˇator, folosind fac-torizarea LU:

x + y −z = 22x −y + z = 1x + 3y −2z = 5 .

Sistemul se scrie ı̂n forma matricealˇa:

Ax = b,

unde

A =1 1 −12 −1 11 3 −2

, x =xyz

, b =215

.

Deoarece

1 = 0 , 1 12 −1= −3 = 0 ,

1 1 −12 −1 11 3 −2= −3 = 0 ,

rezult ǎ cǎ matricea A este nesingular ǎ şi are toţ i determinant¸ii de colţ nenuli,deci se poate folosi factorizarea LU pentru rezolvarea acestui sistem.Rezolvare folosind factorizarea Crout

A. Factorizarea CroutPresupunem c ǎ

A =1 1 −12 −

1 11 3 −2

=λ11 0 0λ21 λ22 0λ31 λ32 λ33 ·

1 µ12 µ130 1 µ230 0 1

,

şi ne propunem s ǎ determin ǎm coecienţii lij , u jk . Pentru aceasta, folosimdeniţia ı̂nmult¸irii matricelor. Astfel, avem:

a11 = λ11 ·1 λ11 = 1a12 = λ11 ·µ12 µ12 = 1a13 = λ11 ·µ13 µ13 = −1a21 = λ21 ·1 λ21 = 2a22 = λ21 ·µ12 + λ22 ·1 λ22 = −3a23 = λ21 ·µ13 + λ22 ·µ23 µ23 = −1a31 = λ31 ·1 λ31 = 1a32 = λ31 ·µ12 + λ32 ·1 λ32 = 2a33 = λ31 ·µ13 + λ32 ·µ23 + λ33 ·1 λ33 = 1


49/211


sau

L =1 0 02 −3 01 2 1

, U =1 1 −10 1 −10 0 1

.

B. Rezolvarea sistemelor triunghiularePentru rezolvarea sistemului init ¸ial, avem de rezolvat dou ǎ sisteme tri-

ungiulare:

1 0 02 −3 01 2 1 ·

y1y2y3

=215

,

a cǎrui soluţie este

y = y1

y2y3

= 211

,

şi respectiv:

1 1 −10 1 −10 0 1 ·xyz

=211

,


x =xyz

=121

.

Rezolvare folosind factorizarea DoolittleA. Factorizarea DoolittlePresupunem c ǎ

A =1 1

−1

2 −1 11 3 −2=

1 0 0λ21 1 0λ31 λ32 1 ·

µ11 µ12 µ130 µ22 µ230 0 µ33

şi ne propunem s ǎ determin ǎm coecienţii lij , µ jk , la fel ca şi ı̂n exemplul


50/211


precedent. Astfel avem:

a11 = 1 ·µ11 µ11 = 1a12 = 1 ·µ12 µ12 = 1a13 = 1 ·µ13 µ13 = −1a21 = λ21 ·µ11 λ21 = 2a22 = λ21 ·µ12 + 1 ·µ22 µ22 = −3a23 = λ21 ·µ13 + 1 ·µ23 µ23 = 3a31 = λ31 ·µ11 λ31 = 1a32 = λ31 ·µ12 + λ32 ·µ22 λ32 = −

23

a33 = λ31 ·µ13 + λ32 ·µ23 + 1 ·µ33 µ33 = 1sau

L =1 0 02 1 01 −23 1

, U =1 1 −10 −3 30 0 1

.

B. Rezolvarea sistemelor triunghiularePentru rezolvarea sistemului init ¸ial, avem de rezolvat dou ǎ sisteme tri-

ungiulare:1 0 02 1 01

−23 1

·y1y2y3

=215

,


y =y1y2y3

=2

−31,

şi respectiv:1 1 −10 −3 30 0 1 ·

xyz

=2

−31,


x =xyz

=121

.


51/211


2.2.3 Probleme propuseExercit ¸iul 2.2.2. Sǎ se gǎseascǎ soluţiile urm ǎtoarelor sisteme, folosind celedouǎ variante ale factoriz ǎrii LU:

a)

x + 2y + z = 1

3x −y + 5 z = 14x + y −z = −2b)

3x + y −2z = 1x + y + z = 6−2x −y + 4 z = 7


Date de intrare: un sistem de ecuaţiiDate de ieşire: soluţia sistemului


1. generarea matricei A a sistemului, şi a vectorului coloan ǎ b

•n = num ǎrul de linii ale matricei A (numǎrul de ecuaţ ii ale sistemului)2. a) factorizarea Crout

pentru i = 1, nµii = 1

pentru i = 1, npentru j = 1, i

λ ij = aij − j − 1

k=1

λ ik µkj

pentru j = i + 1 , n

µij = 1λ ii

a ij −i− 1

k=1

λ ik µkj

b) factorizarea Doolittle

pentru i = 1, nλ ii = 1pentru i = 1, n

pentru j = 1, i −1


52/211


λ ij = 1µ jj

a ij −i

k=1

λ ik µkj

pentru j = i, n

µij = aij −i− 1

k=1λ ik µkj

3. Rezolvarea celor douǎ sisteme triunghiulare

y1 = b1λ11

pentru i = 2, n

yi = bi −i− 1

j =1

λ ij y j · 1λ ii

xn = ynµnnpentru i = 2, n

xi = yi −n

j = i+1

µij x j · 1µii

B. Programe MAPLE şi rezultateDeoarece cele douǎ variante ale descompunerii LU difer ǎ doar prin modul

de factorizare a matricei sistemului, am implementat separat cele douˇ a vari-ante de factorizare: LUcrout şi LUdoolittle , dup ǎ care le-am folosit caopţiuni ı̂n procedura nalˇa LUsist .


LUcrout:=proc(A::matrix)local a1,n,l,u,i,s,j,k;n:=rowdim(A);a1:=A;if a1[1,1]=0 then

ERROR(‘factorizarea LU nu este aplicabila!‘);fi;for i from n by -1 to 2 do

if det(a1)0 then a1:=delrows(delcols(a1,i..i),i..i);else ERROR(‘factorizarea LU nu este aplicabila!‘);


53/211


fi;od;l:=matrix(n,n,0); u:=matrix(n,n,0);for i from 1 to n do

u[i,i]:=1;od;for i from 1 to n do

for j from 1 to i dos:=0; for k from 1 to j-1 do s:=s+l[i,k]*u[k,j]; od;l[i,j]:=A[i,j]-s;

od;for j from i+1 to n do

s:=0; for k from 1 to i-1 do s:=s+l[i,k]*u[k,j]; od;u[i,j]:=1/l[i,i]*(A[i,j]-s);

od;

od;RETURN(evalm(l), evalm(u));end:

LUdoolittle:=proc(A::matrix)local a1,n,l,u,i,s,j,k;n:=rowdim(A);a1:=A;if a1[1,1]=0 then


if det(a1)0 then a1:=delrows(delcols(a1,i..i),i..i);else ERROR(‘factorizarea LU nu este aplicabila!‘);fi;

od;l:=matrix(n,n,0); u:=matrix(n,n,0);for i from 1 to n do

l[i,i]:=1;od;for i from 1 to n do

for j from 1 to i-1 dos:=0; for k from 1 to i do s:=s+l[i,k]*u[k,i]; od;l[i,j]:=1/u[j,j]*(A[i,j]-s);od;

for j from i to n do


54/211


s:=0; for k from 1 to i-1 do s:=s+l[i,k]*u[k,i]; od;u[i,j]:=A[i,j]-s;

od;od;RETURN(evalm(l), evalm(u));end:

LUsist:=proc(l::set(equation), opt::symbol)local lst, eqm, A, b, n, lu, L, U,i,s,j,aux, rez, rfin;eqm:=genmatrix(l, [op(indets(l))], flag);lst:=indets(l);n:=nops(lst);A:=delcols(eqm,n+1..n+1);b:=col(eqm,n+1);if opt=Crout then

lu:=LUcrout(A);elif opt=Doolittle thenlu:=LUdoolittle(A);

else ERROR(‘optiunile sunt: Crout sau Doolittle‘)fi;L:=lu[1];U:=lu[2];for i from 1 to n do

s:=0; for j from 1 to i-1 do s:=s+L[i,j]*aux[j] od;aux[i]:=1/L[i,i]*(b[i]-s)

od;for i from n by -1 to 1 do

s:=0; for j from i+1 to n do s:=s+U[i,j]*rez[j] od;rez[i]:=1/U[i,i]*(aux[i]-s)

od;RETURN(seq(lst[i]=rez[i], i=1..n));end:

debug(LUsist);LUsist({x+y-z=2,2*x-y+z=1,x+3*y-2*z=5}, Doolittle);

{--> enter LUsist, args = {x+y-z = 2, 2*x-y+z = 1, x+3*y-2*z = 5},Doolittle

eqm := −1 1 1 21 2 −1 1

−2 1 3 5


55/211


lst := {z, x, y }n := 3

A := −1 1 11 2 −1

−2 1 3

b := [2, 1, 5]

lu :=

1 0 0

−1 1 02 −1

3 1

,−1 1 10 3 0

0 0 1

L :=

1 0 0

−1 1 02 −1

3 1

U := −1 1 1

0 3 00 0 1

s := 0aux 1 := 2

s := 0s := −2

aux 2 := 3s := 0s := 4s := 3

aux 3 := 2s := 0rez 3 := 2

s := 0s := 0

rez 2 := 1s := 0s := 1s := 3

rez 1 := 1


56/211


{--> enter LUsist, args = {x+y-z = 2, 2*x-y+z = 1, x+3*y-2*z = 5},Crout

eqm := −1 1 1 21 2 −1 1

−2 1 3 5lst := {z, x, y }n := 3

A := −1 1 11 2 −1

−2 1 3b := [2, 1, 5]

lu := −1 0 01 3 0

−2

−1 1

,1 −1 −10 1 00 0 1

L := −1 0 01 3 0

−2 −1 1

U :=1 −1 −10 1 00 0 1s := 0

aux 1 := −2s := 0

s :=

−2

aux 2 := 1s := 0s := 4s := 3

aux 3 := 2s := 0

rez 3 := 2s := 0s := 0

rez 2 := 1

s := 0s := −1s := −3

rez 1 := 1


57/211

2.3. SISTEME TRIDIAGONALE 61


58/211


2.3.2 Problemǎ rezolvatǎExercit ¸iul 2.3.1. Sǎ se rezolve sistemul tridiagonal:

x +2 y = 32x

−y + z = 2

3y +2 z −t = 4−2z + t = −1.

RezolvareMatricea sistemului este

A =

1 2 0 02 −1 1 00 3 2 −10 0 −2 1

Descompunem aceast ǎ matrice astfel:

1 2 0 02 −1 1 00 3 2 −10 0 −2 1

=

β 1 0 0 02 β 2 0 00 3 β 3 00 0 −2 β 4

·1 ν 2 0 00 1 ν 3 00 0 1 ν 40 0 0 1

Din deniţia produsului a dou ǎ matrice, obţ inem:

b1 = β 1 ·1 β 1 = 1c2 = β 1 ·ν 2 ν 2 = 2b2 = a2

·ν 2 + β 2

β 2 =

−5

c3 = β 2ν 3 ν 3 = −15b3 = a3ν 3 + β 3 β 3 =

135

c4 = β 3 ·ν 4 ν 4 = − 513

b4 = a4 ·ν 4 + β 4 β 4 = 313

.

B. Rezolvarea sistemelor triunghiularePentru a rezolva sistemul init¸ial, avem de rezolvat dou ǎ sisteme triun-

ghiulare: 1 0 0 02 −5 0 00 3 135 00 0 −2 313

·y1y2y3y4

=

324

−1,


59/211


a cǎrui soluţie estey1y2y3y4

=

3458

131

,

şi respectiv:1 2 0 00 1 −15 00 0 1 −5130 0 0 1

·xyz t

=

3458

131

,

a cǎriu soluţie estexyz t

=

1111

.

2.3.3 Probleme propuseExercit ¸iul 2.3.2. Sǎ se rezolve sistemele tridiagonale:

a)x + y = 32x −y + z = 13y −z = 5

b)

2x + y = 0x −y + 2 z = −12y −z + t = 5z + 2 t = 5.


Date de intrare: un sistem de ecuaţii tridiagonalDate de ieşire: soluţia sistemului

Algoritmul constǎ ı̂n:

1. generarea matricei A a sistemului (matrice tridiagonalˇa) şi a vectoruluicoloanǎ b

• n = num ǎrul de linii ale matricei A2. descompunerea LU aplicat ǎ matricei tridiagonale A

L = ( λ ij )i,j =1 ,n , U = ( µij )i,j =1 ,n


60/211


pentru i = 1, nµii = 1

pentru i = 2, nλ i,i − 1 = ai,i − 1

λ11 = a11pentru i = 1, n −1

µi,i +1 = ai,i +1

λ iiλ i+1 ,i +1 = ai+1 ,i+1 −a i+1 ,i ·µi,i +1

3. rezolvarea sistemelor triunghiulare

y1 = b1λ11

pentru i = 2, nyi = bi −λ i,i − 1yi− 1 ·

1λ ii

xn = ynpentru i = n −1, 1

xi = yi −µi,i +1 xi+1

B. Programe MAPLE şi rezultate

Observat ¸ia 2.3.1. Spre deosebire de metodele anterioare, unde ordineanecunoscutelor ı̂n sistem nu era esent¸ial ǎ, ı̂n cazul sistemelor tridiagonale,dacǎ se schimbǎ ordinea necunoscutelor, atunci matricea sistemului nu vamai tridiagonal ǎ. De aceea, este necesarǎ construirea unei proceduri,nedeterminate , care sǎ returneze necunoscutele sistemului ı̂n ordinea ı̂n careapar ele ı̂n ecuaţ ii.


tridiagonal:=proc(A::matrix)

local i,j,n,a1,l,u;n:=rowdim(A);for i from 1 to n do

for j from 1 to i-2 doif A[i,j]0 then


61/211


ERROR(‘matricea nu este tridiagonala!‘);fi;

od;for j from i+2 to n do

if A[i,j]0 thenERROR(‘matricea nu este tridiagonala!‘);

fi;od;

od;a1:=A;if a1[1,1]=0 then


if det(a1)0 then a1:=delrows(delcols(a1,i..i),i..i);

else ERROR(‘factorizarea LU nu este aplicabila!‘);fi;od;l:=matrix(n,n,0); u:=matrix(n,n,0);for i from 1 to n do

u[i,i]:=1;od;for i from 2 to n do

l[i,i-1]:=A[i,i-1];od;l[1,1]:=A[1,1];for i from 1 to n-1 do

u[i,i+1]:=A[i,i+1]/l[i,i];l[i+1,i+1]:=A[i+1,i+1]-A[i+1,i]*u[i,i+1];

od;RETURN(evalm(l), evalm(u));end:

# procedura care returneaza necunoscutele sistemului# in ordinea in care apar in ecuatii

nedeterminate:=proc(l::set(equation))local n,i,j,ops,opst;n:=nops(l);for i from 1 to n doops[i]:=[seq(op(op(l[i])[1])[j] /


62/211


coeff(op(l[i])[1],op(indets(op(op(l[i] )[1])[j]))),j=1..nops(op(l[i])[1]))];

od;opst:=ops[1];for i from 1 to n do

for j from 1 to nops(ops[i]) doif not(ops[i][j] in opst) then

opst:=[op(opst),ops[i][j]]fi;

od;od;RETURN(opst);end:

tridiagonalsist:=proc(l::set(equation))

local eqm, opst, A, b, n, lu, L, U, i, s, j, aux, rez;n:=nops(l);opst:=nedeterminate(l);eqm:=genmatrix(l, opst, flag);A:=delcols(eqm,n+1..n+1);b:=col(eqm,n+1);lu:=tridiagonal(A);L:=lu[1];U:=lu[2];aux[1]:=b[1]/L[1,1];for i from 2 to n do

aux[i]:=1/L[i,i]*(b[i]-L[i,i-1]*aux[i-1])od;rez[n]:=aux[n];for i from n-1 by -1 to 1 do

rez[i]:=aux[i]-U[i,i+1]*rez[i+1];od;RETURN(seq(opst[i]=rez[i], i=1..n));end:

debug(tridiagonalsist):

tridiagonalsist({x+2*y=3,2*x-y+z=2, 3*y+2*z-t=4, -2*z+t=-1});

{--> enter tridiagonalsist, args = {x+2*y = 3, 2*x-y+z = 2, 3*y+2*z-t= 4, -2*z+t = -1}


63/211


n := 4opst := [x, y, z, t ]

eqm :=

1 2 0 0 32 −1 1 0 20 3 2

−1 4

0 0 −2 1 −1

A :=

1 2 0 02 −1 1 00 3 2 −10 0 −2 1

b := [3, 2, 4, −1]

lu :=

1 0 0 02 −5 0 00 3

135

0

0 0 −2 313

,

1 2 0 0

0 1 −15

0

0 0 1 −5

130 0 0 1

L :=

1 0 0 02 −5 0 00 3

135

0

0 0 −2 313

U :=

1 2 0 0

0 1 −15

0

0 0 1 −513

0 0 0 1aux 1 := 3

aux 2 := 45

aux 3 := 813

aux 4 := 1rez 4 := 1rez 3 := 1rez 2 := 1rez 1 := 1


64/211


0 , 1 22 5 = 1 > 0 ,1 2 12 5 21 2 3

= 2 > 0 ,


65/211

2.4. FACTORIZAREA CHOLESKY 69

matricea A este pozitiv denit ǎ. Aplicând factorizarea Cholesky avem:

A =1 2 12 5 21 2 3

=λ11 0 0λ21 λ22 0λ31 λ32 λ33

·λ11 λ21 λ31

0 λ22 λ320 0 λ33

.

Folosind deniţ ia produsului a dou ǎ matrice, obţ inem:

a11 = λ211 λ11 = 1a12 = λ11 ·λ21 λ21 = 2a13 = λ11 ·λ31 λ31 = 1a22 = λ221 + λ

222 λ22 = 1

a23 = λ21 ·λ31 + λ22 ·λ32 λ32 = 0a33 = λ231 + λ

232 + λ

233

λ33 = √ 2.

Se observǎ cǎ pentru g ǎsirea elementelor λij , i = 1 , n, j = i, n , este sucientsǎ calculǎm dezvolt ǎrile corespunzǎtoare elementelor aij , i = 1, n, j = i, n .

B. Rezolvarea sistemelor triunghiularePentru a determina solut ¸ia sistemului iniţ ial, avem de rezolvat douǎ sis-

teme triunghiulare:

1 0 02 1 01 0 √ 2 ·

y1y2y3

=5

117

,

cu soluţiay1y2y3

=51√ 2

,

şi1 2 10 1 00 0 √ 2 ·

xyz

=51√ 2

,

cu soluţiaxyz

=211

.


66/211


2.4.3 Probleme propuseExercit ¸iul 2.4.2. Sǎ se gǎseascǎ soluţia sistemului urmˇator, folosind facto-rizarea Cholesky:

3x + y + 3 z = 11

x + y + 2 z = 63x + y + 4 z = 12.


Date de intrare: un sistem de ecuaţiiDate de ieşire: soluţia sistemului

Algoritm

1. generarea matricei A a sistemului (simetric ǎ şi pozitiv denit ǎ) şi avectorului b

• n = num ǎrul de ecuaţ ii ale sistemului (num ǎrul de linii ale matriceiA)2. factorizarea Cholesky

λ11 = a11pentru i = 2, n

pentru j = 1, i −1λ ij = 1λ jj a

ij − j − 1

k=1λ ik λ jk

λ ii = a ii − i− 1k=1

λ2ik

3. rezolvarea sistemelor triunghiulare

y1 = b1λ11

pentru i = 2, n

yi = bi −i− 1

k=1

λ ik ·yk · 1λ ii

xn = ynλnn


67/211


pentru i = n −1, 1xi = yi −

n

k= i+1

λki ·xk · 1λ ii



desccholesky:=proc(A::matrix)local a1,n,l,i,s,j,k;n:=rowdim(A);a1:=A;for i from 1 to n do

for j from 1 to n doif a1[i,j]a1[j,i] thenERROR(‘matricea nu este simetrica!‘)

fi;od;

od;if a1[1,1]0 then a1:=delrows(delcols(a1,i..i),i..i);else ERROR(‘factorizarea Cholesky nu este aplicabila!‘);fi;

od;l:=matrix(n,n,0);l[1,1]:=A[1,1];for i from 2 to n do

for j from 1 to i-1 dol[i,j]:=1/l[j,j]*(A[i,j]-sum(l[i,k]*l[j,k],k=1..j-1));

od;l[i,i]:=sqrt(A[i,i]-sum(l[i,k]^2,k=1..i-1));od;

RETURN(evalm(l));end:

# returnarea necunoscutelor sistemului in ordinea in care# apar in ecuatii


68/211


nedeterminate:=proc(l::list(equation))local n,i,j,ops,opst;n:=nops(l);for i from 1 to n doops[i]:=[seq(op(op(l[i])[1])[j]/

coeff(op(l[i])[1],op(indets(op(op(l[i])[1])[j]))),j=1..nops(op(l[i])[1]))];

od;opst:=ops[1];for i from 1 to n do

for j from 1 to nops(ops[i]) doif not(ops[i][j] in opst) then

opst:=[op(opst),ops[i][j]]fi;

od;od;RETURN(opst);end:

choleskysist:=proc(l::list(equation))local lst, eqm, A, b, n, lu, L, U,i,s,j,aux, rez, rfin;lst:=nedeterminate(l);eqm:=genmatrix(l, lst, flag);n:=nops(lst);A:=delcols(eqm,n+1..n+1);b:=col(eqm,n+1);lu:=desccholesky(A);L:=lu;U:=transpose(lu);for i from 1 to n do

s:=0; for j from 1 to i-1 do s:=s+L[i,j]*aux[j] od;aux[i]:=1/L[i,i]*(b[i]-s)

od;for i from n by -1 to 1 do

s:=0; for j from i+1 to n do s:=s+U[i,j]*rez[j] od;

rez[i]:=1/U[i,i]*(aux[i]-s)od;RETURN(seq(lst[i]=rez[i], i=1..n));end:


69/211


debug(choleskysist):choleskysist([x+2*y+z=5, 2*x+5*y+2*z=11, x+2*y+3*z=7]);

{--> enter choleskysist, args = [x+2*y+z = 5, 2*x+5*y+2*z = 11,x+2*y+3*z = 7]

lst := [x, y, z ]

eqm :=1 2 1 52 5 2 111 2 3 7

n := 3

A :=1 2 12 5 21 2 3

b := [5, 11, 7]

lu :=1 0 02 1 01 0 √ 2

L := lu

U :=1 2 10 1 00 0 √ 2

s := 0aux 1 := 5

s := 0s := 10

aux 2 := 1s := 0s := 5s := 5

aux 3 := √ 2s := 0

rez 3 := 1s := 0s := 0

rez 2 := 1

s := 0s := 2s := 3

rez 1 := 2


70/211


v 2 = λ ·e1. (2.17)

Pentru evitarea ambiguitˇ aţilor vom considera vectorul v dat de:

v = a1 + sign (a11 ) · a1 · e1. (2.18)Propozit ¸ia 2.5.2. Oricare ar matricea simetricˇ a A, matricea P denitˇ a prin:

P = I − 2 ·v ·vT

v 2 (2.19)

este simetricˇ a şi are proprietatea cˇ a elementele 2, 3, . . . , n de pe prima coloanˇ a a matricei P A sunt nule, unde vectorul v este dat de relat i̧a (2.18).

Denit ¸ia 2.5.1. Se numeşte matrice Householder de ordin n−1 asociatˇ a matricei A şi se noteazˇ a cu P n − 1 o matrice de ordin n −1 de forma:P n − 1 = I n − 1 −

2 ·v ·vT v 2

(2.20)


71/211

2.5. FACTORIZAREA HOUSEHOLDER 75

unde: v = a1n − 1 + sign (a21) · a1n − 1 ·e1 este vectorul format cu componentele vectorului a1 care este prima coloanˇ a a matricei A, e1 = ( 1 , 0, . . . , 0

n − 1)T şi

I n − 1 este matricea unitate de ordin n −1.Propozit ¸ia 2.5.3. Matricea Hauseholder P n − 1 asociatˇ a unei matrice sime-trice A este simetricˇ a şi are proprietatea cˇ a matricea U 1 denitˇ a prin:

U 1 =

1 0 . . . 00

P n − 10

(2.21)

este simetricˇ a şi vericˇ a relat ̧ia:

A(1) = U 1 A U 1 =

a11 α1 0 . . . 0α 1 a(1)22 a

(1)23 . . . a

(1)2n

0 a(1)32 a(1)33 . . . a (1)3n· · · · · · · · · · · · · · ·0 a(1)n 2 a

(1)n 3 . . . a

(1)nn

(2.22)

Se considerǎ vectorul coloanǎ a2n − 2 cu ultimele n −2 elemente ale coloaneimatrice A(1) . Cu acest vector se construiȩste o matrice Householder de or-dinul n −2, P n − 2. Matricea U 2 denitǎ prin:

U 2 =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0... ... P n − 20 0

(2.23)

are proprietatea:

A(2) = U 2 A(1) U 2 =

a11 α1 0 0 . . . 0α1 a

(1)22 α2 0 . . . 0

0 α2 a(2)33 a

(2)34 . . . a

(2)3n

· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 a(2)n 3 a

(2)n 4 . . . a

(2)nn

(2.24)

Matricea P n − 2 a condus la obţinerea unei noi linii şi coloane a matricei tridi-agonale la care vrem sǎ reducem matricea A.

Continu ând astfel prin n −1 transform ǎri, obţinem egalitatea: UAU = T ı̂n care T este matrice tridiagonalˇa.


72/211


73/211


Soluţ ia sistemului tridiagonal

T y = U b

este

y =

120 −10√ 5

215 −6√ 5

15

,

iar soluţia sistemului iniţ ial este

x = U y =

2 + √ 53

2 −√ 53−23

,

adicǎ x = 2 + √ 5

3 , y =

2−√ 53

z = −23

.

2.5.3 Probleme propuseExercit ¸iul 2.5.2. Sǎ se gǎseascǎ soluţiile urm ǎtoarelor sisteme folosind fac-torizarea Householder:

a)

x + 2y + z = 5

2x −y + 3 z = 6x + 3y −2z = 3

b)

x + y −z + t = 3x + 2y + 3 z + t = 9−x + 3y + 2 t = 7x + y + 2 z = 5 .


Date de intrare: un sistem de ecuaţiiDate de ieşire: soluţia sistemului, obţ inut ǎ folosind factorizarea House-

holder



74/211


1. generarea matricei tridiagonale pentru i = 1 . . . n −2pentru l = 1 . . . n

pentru m = 1 . . . n

dacǎ m = l atunci uml = 1dacǎ m = l atunci uml = 0

//Generˇ am vectorul v

norm a = n j = i+1

a2ij

ei+1 = 1

pentru j = i + 2 . . . n

e j

= 0

pentru j = i + 1 . . . n

v j = aij + sign(a i,i +1 ) ·norm a ·e jnorm v=

n

j = i+1

v2 j

//Generˇ am matricea U

j = i + 1 . . . n

k = i + 1 . . . n

u jk = u jk −2 ·v j ·vk / norm v// D=AU

m = 1 . . . n

l = 1 . . . n

dml =n

k=1

amk ·ukl//A=UD=UAU

m = 1 . . . nl = 1 . . . n

aml =n

k=1

umk ·dkl


75/211


76/211


e:=vector(n,0);v:=vector(n,0);norma:= simplify(sqrt(sum(A[i,k1]^2, k1=i+1..n)));e[i+1]:=1;for j from i+1 to n do

v[j]:=A[i,j]+signum(A[i,i+1])*norma*e[j]od;normv:=simplify(sum(v[k1]^2, k1=i+1..n));for j from i+1 to n do

for k from i+1 to n doU[j,k]:=simplify(U[j,k]-2*v[j]*v[k]/normv);

od;od;evalm(U);A:=simplify( multiply( U, multiply(A,U) ) );

b:=simplify( multiply(U,b) );UD:=multiply(UD,U);od;lu:=tridiagonal(A);LL:=simplify(lu[1]);UU:=simplify(lu[2]);aux[1]:=simplify(b[1]/LL[1,1]);for i from 2 to n do

aux[i]:=simplify(1/LL[i,i]*(b[i]-LL[i,i-1]*aux[i-1]))od;rez[n]:=aux[n];for i from n-1 by -1 to 1 do

rez[i]:=simplify(aux[i]-UU[i,i+1]*rez[i+1]);od;rez:=simplify(multiply(UD,rez));RETURN(seq(opst[i]=rez[i], i=1..n));end:

debug(householder):

householder([x-y+2*z+2*t=0,-x+y+3*z=-1,2*x+3*y-z+2*t=2,2*x+2*z=1]);

{--> enter householder, args = [x-y+2*z+2*t = 0, -x+y+3*z = -1,2*x+3*y-z+2*t = 2, 2*x+2*z = 1]

n := 4opst := [x, y, z, t ]


77/211


eqm :=

1 −1 2 2 0−1 1 3 0 −12 3 −1 2 22 0 2 0 1

A :=1 −1 2 2−1 1 3 02 3 −1 22 0 2 0

b := [0, −1, 2, 1]rez := [0, 0, 0, 0]

UD :=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

UD 1, 1 := 1UD 2, 2 := 1UD 3, 3 := 1UD 4, 4 := 1

U :=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

U 1, 1 := 1U 2, 2 := 1U 3, 3 := 1U 4, 4 := 1

e := [0, 0, 0, 0]v := [0, 0, 0, 0]

norma := 3e2 := 1

v2 := −4v3 := 2v4 := 2

normv := 24

U 2, 2 := −13U 2, 3 :=

23


78/211


U 2, 4 := 23

U 3, 2 := 23

U 3, 3 := 23

U 3, 4 := −13U 4, 2 :=

23

U 4, 3 := −13U 4, 4 :=

23

1 0 0 0

0 −1

323

23

0 2

323

−13

0 2

3−13

23

A :=

1 3 0 0

3 1

949

199

0 4

9169

229

0 19

9229 −

179

b := 0, 73

, 13

, −23

UD :=

1 0 0 0

0 −13

23

23

0 2

323

−13

0 2

3−13

23

U :=0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0


79/211


80/211


81/211

2.6. METODA JACOBI 85

aux 3 := −3 (377 + 4 √ 377)751 (4 + √ 377)

aux 4 := −9 (377 + 4 √ 377) (4 + √ 377)

30160 (393 + 8 √ 377)rez 4 := −

9 (377 + 4 √ 377) (4 + √ 377)30160 (393 + 8 √ 377)

rez 3 := −3 (377 + 4 √ 377)377 (4 + √ 377)

rez 2 := −940rez 1 :=

2740

rez :=2740

, 15

, −740

, −116

solve( {x-y+2*z+2*t=0,-x+y+3*z=-1,2*x+3*y-z+2*t=2,2*x+2*z=1 },> {x,y,z,t });

{x = 2740

, y = 15

, z = −740

, t = −116 }

2.6 Metoda Jacobi2.6.1 Breviar teoretic

Metoda Jacobi este o metodˇa iterativ ǎ de rezolvare a sistemelor liniare deforma

Ax = b. (2.25)

Matricea A se descompune ı̂n suma L + D + U , unde

L =0 0 0 . . . 0a21 0 0 . . . 0

a31 a32 0 . . . 0

· · · · · · · · · · · · · · ·an 1 an 2 an 3 . . . 0(2.26)


82/211


D =

a11 0 0 . . . 00 a22 0 . . . 00 0 a33 . . . 0

· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 . . . ann(2.27)

U =

0 a12 a13 . . . a1n0 0 a23 . . . a2n

· · · · ·· · ·· · ·· · · ·0 0 0 . . . an − 1,n0 0 0 . . . 0

. (2.28)

Se deneşte traiectoria Jacobi a vectorului x(0) ca ind vectorul

x(k+1) = D − 1[b−(L + U )x(k)] k = 0 , 1, 2, . . . (2.29)

Folosind teorema de convergenţ ǎ se studiaz ǎ dacǎ traiectoria Jacobi con-verge la soluţia x( ) a sistemului (2.25).Traiectoria Jacobi converge la soluţ ia x( ) a sistemului (2.25), dac ǎ şi

numai dac ǎ raza spectral ǎ ρ a matricei

M = −D − 1(L + U ) (2.30)este strict subunitarˇ a, adicǎ

max{|λ| | det( M −λI n ) = 0 }< 1. (2.31)

În caz de convergenţ ǎ, componentele x(k+1)1 , ..., x(k+1)n ale vectoruluix(k+1) , situat pe traiectoria Jacobi a vectorului x(0) , sunt date de relaţ iile:

x(k+1)i = bi −n

j =1 j = i

a ij ·x(k) j ·

1a ii

, i = 1, 2, . . . , n ; k = 0, 1, . . . (2.32)

2.6.2 Problemǎ rezolvatǎExercit ¸iul 2.6.1. Calculaţ i primii trei termeni ai traiectoriei Jacobi asociatevectorului (0 , 0, 0) pentru sistemul:

5x −2y + 3 z = −1−3x + 9y + z = 22x −y −7z = 3.


83/211


RezolvareSistemul se mai poate scrie sub forma Ax = b, unde:

A =5 −2 3

−3 9 12 −1 −7

, b = −12

3

.

Matricea A se descompune ı̂n suma L + D + U cu

L =0 0 0

−3 0 02 −1 0 , D =

5 0 00 9 00 0 −7

, U =0 −2 30 0 10 0 0

.

Vericarea condiţ iei de convergenţ ǎ a algoritmului presupune calculul valo-rilor proprii ale matricei

M = −D− 1

(L + U ) =

0 2

5−351

3 0 −1

927

−17

0

Calculând maximul ı̂n modul al valorilor proprii ale matricei M , obţinem

ρ(M ) = 0 .2673998083 < 1,

şi deci algoritmul converge.Aplicǎm formulele (2.32), plecând de la x(0) = 0, y(0) = 0, z (0) = 0, obţ inemsuccesiv:

x(1) =

−0.2000000000

y(1) = 0 .2222222222z (1) = −0.4285714286x(2) = 0 .1460317460y(2) = 0 .2031746032z (2) = −0.5174603174x(3) = 0 .1917460316y(3) = 0 .3283950617z (3) =

−0.4158730159.

Pentru comparat ¸ie, am rezolvat acest sistem folosind procedura solvefurnizat ǎ de Maple, iar rezultatele sunt:

x = 0.1861198738, y = 0.3312302839, z = −0.4227129338.


84/211


2.6.3 Probleme propuseExercit ¸iul 2.6.2. Sǎ se verice dacǎ se poate aplica metoda iterativˇa a luiJacobi, şi ı̂n caz armativ sˇa se gǎseascǎ primele 3 elemente ale şirului desoluţii parţ iale. Comparat¸i soluţia obţ inut ǎ cu soluţia exact ǎ:

a) x + 3y = −22x + y = 6b)

x + 2y + z = 13x −y + 5 z = 14x + y −z = −2


Observat ¸ia 2.6.1. Deoarece metoda lui Jacobi este o metod ǎ iterativ ǎ, tre-buie specicat ǎ o condiţie de oprire a algoritmului. Algoritmul converge dacˇaşirul ( x(k)) este convergent. Convergent¸a acestui şir poate descrisˇa ı̂n modteoretic ı̂n diverse moduri. În practic ǎ, se foloseşte o variant ǎ a criteriuluilui Cauchy, şi anume: şirul ( x(k)) este convergent, dac ǎ

x(k+1) −x(k) < εunde ε este o constant ǎ dat ǎ.

În cazul nostru, vom considera c ǎ soluţiile sistemului au fost obţ inute cueroarea ε, adicǎ

x(k+1)i [x

( )i −ε, x

( )i + ε].

De aici rezult ǎ o condiţie de oprire a algoritmului:

ni=1

(x(k+1)i −x(k)i ) < ε√ n. (2.33)

Date de intrare: un sistem de ecuaţii (o mulţ ime de ecuaţ ii), un punctiniţial, x(0) , o eroare ε.

Date de ieşire: soluţia aproximativˇa a sistemului, obţinut ǎ ı̂n urmaaplicǎrii traiectoriei Jacobi vectorului x(0) pânǎ când este ı̂ndeplinitˇ a condiţia(2.33).

Algoritmul constǎ ı̂n urmˇatoarele etape:


85/211


1. generarea matricei A a sistemului şi a vectorului b

• n - numǎrul de necunoscute (numˇarul de linii ale matricei A)2. generarea matricelor L, D , U şi vericarea convergenţ ei metodei:

ρ(−D − 1(L + U )) < 13. construirea traiectoriei Jacobi

repet ǎ

x(k+1)i = bi −n

j =1 j = i

a ij ·x(k) j ·

1a ii

, i = 1 , n

pânǎ când

n

i=1

(x(k+1)i

−x(k)i ) < ε√ n


jacobi:=proc(eq::set(equation), init::vector, eps::float)local var, n, AA, A, b, l, d, u, i, j, m, lst, xo, test, k, x;var:=[op(indets(eq))];n:=nops(var);if vectdim(init)n then

ERROR(‘numarul de necunoscute nu este egal cudimensiunea vectorului initial‘)

fi;AA:=genmatrix(eq, var, flag);A:=delcols(AA,n+1..n+1);b:=col(AA,n+1);l:=matrix(n,n,0):u:=matrix(n,n,0):d:=matrix(n,n,0):for i from 1 to n do

for j from 1 to i-1 do

l[i,j]:=A[i,j];od;d[i,i]:=A[i,i];for j from i+1 to n do

u[i,j]:=A[i,j];


86/211


od;od;# conditia de convergenta m:=multiply(inverse(d),matadd(l,u,-1,-1));lst:=[eigenvals(m)];if evalf(max(seq(abs(lst[k]),k=1..nops(lst))))>=1 then

ERROR(‘Algoritmul nu converge‘);fi;# algoritmul propriu-zisfor i from 1 to n do

xo[i]:=init[i]od;test:=1;while test>=evalf(eps*sqrt(n)) do

for i from 1 to n do

x[i]:=evalf(1/A[i,i]*( b[i]-sum(A[i,k]*xo[k],k=1..n)+A[i,i]*xo[i] ));

od;test:=evalf(sqrt( sum( (x[k]-xo[k])^2, k=1..n ) ));for i from 1 to n do

xo[i]:=x[i];od;

od;RETURN(seq(var[i]=x[i],i=1..n));end:

debug(jacobi):

jacobi({3*x+y=5, x+2*y=5}, vector(2,[0,0]),0.01);

{--> enter jacobi, args = {3*x+y = 5, x+2*y = 5}, array(1 ..2,[(1)=0,(2)=0]), .1e-1

var := [x, y ]n := 2

AA := 3 1 51 2 5

A := 3 11 2

b := [5, 5]


87/211


l := 0 00 0

u := 0 00 0

d := 0 00 0d1, 1 := 3u 1, 2 := 1l2, 1 := 1d2, 2 := 2

m :=0 −1

3

−12

0

lst := [√ 66

, −√ 6

6 ]

xo1 := 0xo2 := 0test := 1

x 1 := 1 .666666667x 2 := 2 .500000000

test := 3 .004626063xo1 := 1 .666666667xo2 := 2 .500000000

x 1 := 0 .8333333