Document d’accompagnement thématique - chlorofil.fr · cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis pour une tumeur donnée de doubler son nombre de cellules) est sensiblement constant

Inspection de l'Enseignement Agricole

Diplôme: BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Sciences et Technologies de l’Agriculture et du vivant (STAV)

Thème : Indications pour la mise en place de l’épreuve E4 : Mathématiques

Ce document d’accompagnement présente des exemples d’exercices qui pourraient constituer les futurs sujets de l’épreuve E4 à partir de la session de 2015. L’objectif est, à ce jour, de donner l’esprit et de montrer l’évolution de cette épreuve.

Rappel de la définition de l’épreuve

(Note de service DGER/SDPOFE/N2013-2075 du 28 mai 2 013 concernant l’épreuve EPT E4) Il s’agit d’une épreuve écrite terminale d’une durée de 2 heures. Il s’agit d’évaluer les capacités développées dans le cadre de l’objectif 1 du module M4 « Mobiliser des concepts et des raisonnements mathématiques pour résoudre des problèmes dans des champs d’application divers ». En outre, la nature même des mathématiques requiert la mobilisation et l’utilisation des acquis des classes antérieures. Le sujet est constitué d’exercices ou de problèmes portant sur le programme de mathématiques du module M4 (Objectif 1). Toutefois les savoirs et savoir-faire requis dans les items 1.1.1 ; 1.1.2 ; 1.1.3 ; 1.1.4 ; 1.2.1 ; 1.2.3 et 1.2.5 ne peuvent constituer le ressort exclusif de ces exercices et problèmes.

Document d’accompagnement

thématique

Document d'accompagnement - Inspection de l'Enseign ement Agricole 2 Diplôme : Bac Techno STAV Thème : Indications pour l'épreuve E4 - Mathématiques Date : septembre 2014

Indications complémentaires

Conformément aux évolutions du référentiel, il s’agit aussi de faire évoluer l’épreuve, et par delà, l’enseignement qui y prépare dès la classe de première (en continuité avec celui de seconde GT). Il convient de mettre en œuvre des raisonnements scientifiques par la mobilisation et l’organisation de connaissances (acquises ou fournies) et ce à des fins de résolution de problèmes concrets. Les élèves doivent donc y être préparés en conséquence.

Les quatre exercices proposés ci-dessous donnent des exemples de nouveaux questionnements possibles. Ils ne doivent plus viser uniquement (ou majoritairement) à évaluer une restitution systématique et étendue de savoirs et savoir-faire, mais doivent permettre de montrer en quoi les apports et les raisonnements mis en œuvre en mathématiques sont une aide précieuse dans la prise de décision. A ces fins, les contextes des exercices posent des problématiques réelles, certaines questions étant volontairement ouvertes, permettant plusieurs réponses possibles, afin d’éviter que la résolution d’un problème ne soit qu’une exécution mécanique et programmée d’opérations élémentaires et/ou de procédures très guidées. L’idée est de donner du sens à l’étude de notions mathématiques. Ces exercices seront proposés dans ce document dans un deuxième temps sous une forme très ouverte pour offrir un support possible de travail de recherche en classe.

Il est essentiel de sortir d’un certain stéréotype de sujets contraire à la démarche scientifique. Cela passe par un changement des pratiques dont chacun doit se saisir progressivement. Il faut être curieux des thèmes d’étude dans les matières techniques et professionnelles, envisager des rencontres avec des ingénieurs, des chercheurs dans des instituts tels que l’INRA, prendre contact avec des RMT (réseaux mixtes technologiques) afin de connaitre des problématiques réelles et concrètes qui pourraient fournir un contexte d’apprentissage pertinent, un support d’enseignement et des contextes d’évaluation. Par ailleurs, les thèmes tirés des préoccupations quotidiennes des élèves et de l’actualité demeurent toujours des bases intéressantes pour ces contextualisations. Cela ne signifie pas pour autant la suppression de l’évaluation de notions mathématiques pour elles-mêmes, mais cela doit être réalisé dans le cadre du contexte de l’exercice proposé.

Un exemple de sujet complet est proposé en fin de document montrant comment certains types d’exercices de l’ancien référentiel (issus d’examens d’anciennes sessions) peuvent rester d’actualité. Ce n’est qu’un exemple de modèle possible ; seuls les membres des commissions de choix de sujets seront, à l’automne, concepteurs des sujets. Un sujet ne doit toutefois pas comporter uniquement des exercices originaux, mais cette tendance doit s’intensifier au cours des années. L’architecture du sujet devrait plutôt privilégier à l’avenir quatre exercices, plutôt que deux exercices et un problème, afin de pouvoir aborder davantage de notions.

Contrairement aux sessions précédentes, il n’y aura plus de formulaire systématique dans les sujets.

L’utilisation de la calculatrice doit être développée, toujours avec pertinence, surtout pour donner des réponses avec une précision et une facilité bien supérieure à la technique « papier crayon ». Cela n’enlève rien à la formation intellectuelle, bien au contraire. Le travail du technicien, voire de l’ingénieur est de justifier une démarche à partir de l’interprétation de résultats obtenus grâce aux outils numériques dont il dispose.

Les QCM restent d’actualité. La justification peut avoir un sens. Travailler sur la justification ou la notion de contre-exemple pour mettre en défaut une assertion est très formateur dans la construction d’un raisonnement en mathématiques.

Concernant l’algorithmique, il est essentiel que les élèves sachent construire et lire un algorithme simple, toute virtuosité est exclue.

Il sera donné des éléments de réponse sur les quatre exercices. Parfois plusieurs réponses peuvent être possibles. L’intérêt est de juger de la pertinence du résultat et de l’argumentation.


Exercices contextualisés Exercice 1 Méthode de capture – recapture

On désire évaluer le nombre d’individus N d’une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on capture 800 individus de cette espèce. Ces individus sont marqués, puis relâchés. Dans un deuxième temps, on prélève 1000 animaux de cette même espèce successivement, en relâchant chaque individu avant d’en capturer un autre, afin que les tirages soient indépendants. On compte 250 individus déjà marqués.

Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’individus marqués que l’on peut obtenir lors du prélèvement de 1000 individus de cette espèce.

1. Justifier que X est distribué suivant la loi binomiale de paramètre n = 1000 et N

p800=

2. A l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau suivant :

N P(X=250)

2400 2,16×10-9

2500 2,252×10-7

2600 8,646×10-6

2700 0,0001436

2800

2900 0,0052756

3000 0,0141761

3100 0,0245461

3200 0,0291241

3300

3400 0,0161025

3500 0,0081391

3600 0,0033252

3700 0,0011287

3800 0,0003259

3900 8,175×10-5

4000 1,813×10-5

3. A la lecture de ce tableau, donner un intervalle de longueur 600 auquel N pourrait appartenir en expliquant votre démarche.

4. En utilisant l’échantillon de 1000 animaux prélevés, justifier qu’une estimation de la proportion (sur

l’île) d’animaux marqués de cette espèce est 41

, puis donner un intervalle de confiance au niveau

0,95 (on donnera un arrondi à 10-5 près des bornes de l’intervalle).

5. En déduire un intervalle auquel N appartient sous les conditions de la question précédente.


Exercice 2 Durée de retour de fortes précipitations

On désire choisir un modèle qui permettra d’avoir une idée des périodes de retour de fortes précipitations. L’idée n’est pas de prévoir la date de ces événements, mais une périodicité afin d’envisager les infrastructures nécessaires qui peuvent limiter les conséquences de ces fortes précipitations. On s’appuie sur le relevé statistique suivant, concernant une ville du sud de la France qui donne en fonction de la hauteur (en millimètres) recueillie en trois heures, la durée de retour entre deux situations de fortes précipitations exprimée en années. Par exemple, on peut s’attendre, pour cette ville, à ce que tous les 5 ans, il y ait un épisode pluvieux tel que l’on puisse avoir 70 mm de précipitations en trois heures.

h en mm Durée retour (en année)

20 1

50 2

60 3

70 5

90 10

120 20

140 30

160 50

200 100

1. On admet que l’on peut modéliser la durée de retour de fortes précipitations en fonction de la

hauteur h exprimée en millimètres, par une fonction f définie sur [20 ; 200] par hbeahf =)( où a

et b sont deux réels. En utilisant les valeurs surlignées du tableau, déterminer les valeurs de a et b, arrondies au millième.

Pour la suite, on considère comme expression, hehf 028,057,0)( = .

2. On a représenté le nuage de points correspondant au relevé statistique.


Construire la représentation graphique de f dans le repère ci-dessus. 3. Résoudre f ( x ) = 12. On donnera un ordre de grandeur de la réponse grâce à la représentation

graphique, puis on le déterminera par le calcul à l’aide du modèle exprimé par la fonction f, les résultats étant arrondis à l’unité.

4. Le maire de cette commune veut engager des travaux d’infrastructure, valables pour les 40 prochaines années, permettant la canalisation de l’eau en cas de fortes précipitations. Une entreprise propose un projet permettant de gérer des précipitations au maximum de 145 mm sur 3 heures. Le maire doit-il retenir le projet de cette entreprise ? Argumenter la réponse.

5. Pour une ville du centre de la France, on a le relevé suivant :


20 1

25 3

30 5

40 10

50 20

60 30

65 100

Le modèle précédent utilisé est-il adapté ? Justifier. Exercice 3 Evolution d’une tumeur cancéreuse

Tout cancer débute par la production d’une cellule cancéreuse. Au cours du temps, cette cellule va produire un ensemble de cellules filles appelé tumeur. On observe que le temps de doublement T d’une tumeur cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis pour une tumeur donnée de doubler son nombre de cellules) est sensiblement constant pour un type de cancer donné. Ce temps dépend cependant du type de cancer. Ce temps de doublement peut être évalué sur des cellules prélevées dans la tumeur et mises en culture. Soit (xn) la suite égale au nombre de cellules cancéreuses au bout de n périodes. On pose x0 = 1. Actuellement, la plus petite tumeur cancéreuse détectable est constituée de 109 cellules, ce qui correspond à peu près à une tumeur de masse égale à 1 gramme.

1. Justifier que xn = 2n.

2. On considère l’algorithme suivant :

Variables X ; N : entiers naturels Traitement

Affecter 1 à X Affecter 0 à N

Tant que X < 109

Affecter 2X à X Affecter N + 1 à N

Fin tant que Afficher N.

Quel est l’objectif de cet algorithme ?

3. De source médicale, le temps nécessaire à la détection d’une tumeur issue d’une seule cellule cancéreuse est égal à 30 fois son temps de doublement. Justifier cette affirmation.

Pour un cancer du sein T = 14 semaines.

4. On part d’une cellule cancéreuse. Combien de temps doit-il s’écouler pour que celui-ci soit détectable dans le cas d’un cancer du sein ?


5. Après le traitement d’un cancer du sein, il est d’usage de surveiller la personne traitée sur une période de 5 ans. Sachant qu’un traitement chirurgical peut laisser en résidu indétectable, une masse tumorale de 103 cellules, expliquer l’origine du choix de 5 ans comme période de surveillance d’un cancer du sein après traitement chirurgical.

Exercice 4 Surbooking aérien.

Une compagnie aérienne possède un avion de 300 places. On s’intéresse à un trajet quotidien et on relève le nombre de personnes qui se sont présentées pour 300 billets vendus. Un relevé statistique sur quatre années (que nous supposerons toutes de 365 jours) permet de faire état de l’occupation de cet avion.

Date

Nombre de personnes présentées




01-janv 299 285 280 296

02-janv 285 280 278 277

03-janv 291 282 284 290

04-janv 285 274 276 297

05-janv 300 288 300 292

….. ….. ….. ….. …..

26-déc 283 282 285 274

27-déc 286 277 276 284

28-déc 291 280 300 294

29-déc 288 282 290 298

30-déc 286 288 283 264

31-déc 296 270 284 289

Moyenne 284 286 284 285

1. Déterminer le taux moyen d’occupation sur cette période de quatre années. On considèrera par la suite que l’avion n’est rempli qu’à 95%.

2. Afin de rentabiliser au mieux le voyage, la compagnie décide de vendre sur chaque vol 10 places supplémentaires. On suppose que toutes les places sont vendues. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de personnes se présentant un jour donné. Montrer que X est distribué suivant la loi binomiale de paramètres n = 310 et p = 0,95

Pour la suite, les résultats finaux seront arrondis au millième. 3. Déterminer P( X ≤ 300 ). 4. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve dans une situation embarrassante, c’est-à-dire

qu’au moins 301 personnes se présentent un jour donné. 5. La compagnie cherche à éviter trop de situations embarrassantes.

On appelle pn la probabilité qu’au moins 301 personnes se présentent un jour donné pour n places vendues (n étant le même chaque jour de l’année). On appelle Yn la variable aléatoire égale au nombre de situations embarrassantes au cours de l’année. Yn est distribuée suivant la loi binomiale de paramètres 365 et pn

a. A l’aide des valeurs obtenues dans le tableau suivant, compléter la ligne donnant l’espérance de Yn.

n 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 pn 2×10-7 3,2×10-6 2,6×10-5 0,00014 0,00057 0,00188 0,00522 0,01256 0,02667 0,0509

E( Yn )


b. En déduire le nombre de places à vendre pour éviter d’avoir, en moyenne, plus de 4 situations embarrassantes au cours d’une année.


Eléments de correction Un indicateur d’évaluation permet d’apprécier l’acc eptabilité de la réponse fournie. L’atteinte des critères est évaluée de manière glob ale, et non pas parcellaire. Elle ne doit pas être subdivisée au 0,25 ème de point. Une réponse fausse mais qui atteste que le candidat a compris la question qui lui est posée ou la problématique qui lui est soumise montre que ce der nier possède des connaissances ou a su mobiliser des connaissances pour apporter cette rép onse. Cela doit être pris en compte positivement. Exercice 1 Méthode de capture – recapture Question Indicateurs d’évaluation Proposition de correction

1 Connaissance des

conditions d’utilisation de la loi binomiale

800 individus ont été marqués sur une population de N individus au total. La probabilité qu’un individu marqué soit choisi lors d’un

tirage aléatoire est N

p800= . Les 1000 tirages sont indépendants

car chaque individu est relâché.

X suit la loi binomiale de paramètre n = 1000 et N

p800=

2 Utilisation de la

calculatrice. pour N = 2800, P(X=250) = 0,0117561 pour N = 3300, P(X=250) = 0,0249383

3

Prise d’initiative et argumentation.

il n’existe pas une unique réponse.

L’idée est de comprendre que l’on observe ce qui a le plus de chance de se produire (ce qui s’appelle le maximum de vraisemblance). Il faut donc choisir les valeurs de N donnant les probabilités les plus grandes. Tout intervalle significatif contenant 3200 (valeur de N pour laquelle la probabilité est maximale) est accepté.

Ainsi [ 3000 ; 3600 ] convient, ainsi que [ 2900 ; 3500 ].

4 Utilisation d’un intervalle

de confiance avec le choix de paramètres

Grâce à l’échantillon de 1000 individus de l’espèce prélevés, on en a obtenu 250 marqués. Ainsi, une estimation ponctuelle de la

proportion (sur l’île) d’animaux marqués est 41

1000250 ==f .

On sait alors qu’un intervalle de confiance au niveau 0,95 de la probabilité p est :

−+−−1000

)1(96,1;

1000)1(

96,1ff

fff

f = [ 0,22316 ; 0,27684 ]

5

Faire le lien entre toutes les questions.

On peut évidemment accepter la résolution par

égalité

∈=N

p800

[ 0,22316 ; 0,27684 ].

NNNN N

≥⇔≥⇔≥⇔≥>

9,358422316,0800

22316,080022316,0800

0

NNNN N

≤⇔≤⇔≤⇔≤>

8,288927684,0800

27684,080027684,0800

0

en donnant le bon intervalle arrondi à l’unité sachant que N est entier, ∈N [ 2890 ; 3584 ]


Exercice 2 Durée de retour de fortes précipitations Question Indicateurs

d’évaluation Proposition de correction

1

Détermination du modèle.

Valoriser la

mise en équation et sa

résolution.

=

=⇔

=

=⇔

=

=

50

1

50

1

50

1140

20

20

160

20

160

20

b

b

b

b

b

b

b

e

ae

ae

ae

ae

ae

ae

≈=

≈=

⇔

≈=

=⇔

==⇔

028,0140

50ln

572,01

028,0140

50ln

1

50ln140

1 140

50ln*20

2020

b

e

a

b

ae

b

aeb

b

Remarque : Si le candidat prend des valeurs approchées intermédiaires, il ne

trouvera pas le même résultat suivant qu’il utilise 120 =bae ou 50160 =bae , mais il faut toutefois valoriser de telles démarches.

2

Représentation graphique

3

Résolution graphique et numérique.

Grâce à la représentation graphique, le maire peut s’attendre à un épisode pluvieux dont le cumul sur 3h peut atteindre 109 mm. Toute valeur cohérente avec le graphique réalisé par l’élève doit être prise en compte

109028,0

57,012

ln

57,012

ln028,057,0

121257,0 028,0028,0 ≈

=⇔

=⇔=⇔= hhee hh

4

Analyse d’une situation grâce à des outils vus précédemment

Un travail analogue au précédent, qu’il soit graphique ou numérique, arrive sur une période de 40 ans à un épisode de fortes précipitation d’environ 152 mm en 3h. Donc l’entreprise n’est pas à même d’offrir les infrastructures nécessaires. Par ailleurs c’est sans compter qu’un épisode plus fort peut s’intercaler. Il faudra valoriser toute réflexion pertinente.

5 Analyse d’une

situation

Pour la ville du centre de la France, on confronte les relevés au calcul par le modèle (ou en plaçant les points sur le graphique précédent).

On note de très grandes disparités qui montrent que le modèle précédent utilisé n’est pas adapté.


Exercice 3 Evolution d’une tumeur cancéreuse

Question Indicateurs d’évaluation

Proposition de correction

1

Modélisation d’une situation.

Soit (xn) la suite égale au nombre de cellules cancéreuses au bout de n périodes On part d’une cellule cancéreuse, donc x0 = 1. Puis à chaque période le nombre de cellules doublent, donc xn+1 = 2 xn. (xn) est donc une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2, donc x n = 2n. Remarque : il est assez probable qu’un certain nombre d’élèves résolvent cet exercice de manière heuristique en écrivant la suite 1, 2, 4, 8, 16, ….. La justification que cette suite correspond à la suite (2n), s’il est fait, doit être valorisée.

2 Compréhension d’un algorithme

L’objectif de l’algorithme est de déterminer pour la suite (x n) le rang à partir duquel (x n) dépasse 109.

3

Résolution

d’une inéquation

On cherche la valeur de n pour laquelle 9102 ≥n

9,29)2ln()10ln(

)10ln()2ln()10ln()2ln(1029

999 ≈≥⇔≥⇔≥⇔≥ nnnn

L’utilisation de la table de valeur sur la calculatrice est acceptable sous réserve que le candidat précise que la tumeur ne peut qu’augmenter avec le temps. La programmation de l’algorithme également.

4

Interprétation de résultat dans une

situation réelle

Si T = 14 semaines, alors le temps pour que cette tumeur soit détectable est 14× 30 = 420 semaines soit environ 8 ans.

5

Modélisation d’une situation

analogue.

Cela revient à fait le raisonnement précédent, mais avec x0 = 103. On obtient alors xn = 2n ×103. On obtient alors,

9,19)2ln()10ln(

)10ln()2ln()10ln()2ln(10

10210102

666

3

993 ≈≥⇔≥⇔≥⇔≥⇔≥ nnnnn

Donc il faut surveiller pendant 14×20 = 280 semaines, soit environ 5 ans.

Remarque : Là encore, l’utilisation de la table de valeur est acceptable si le candidat précise bien que pour passer de 103 à 109 , il y a 20 périodes.


Exercice 4 Surbooking aérien.

Question Indicateurs d’évaluation

Proposition de correction

1

Résolution d’une

problématique simple

La moyenne du nombre de jours d’occupation ayant été faite sur le même nombre de jours, il suffit de prendre la moyenne des moyennes, soit

75,2844

284286285284 =+++. Or 95,0

30075,284 ≈

On peut alors affirmer qu’en moyenne l’avion n’a été, au cours de ces quatre années, occupé qu’à environ 95%.

2

Connaissance des conditions d’utilisation de la loi binomiale

310 passagers sont susceptibles de se présenter, de manière indépendante, avec une probabilité de 0,95. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes se présentant un jour donné. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 310 et p = 0,95.

3 Utilisation de la

calculatrice P( X ≤ 300) = 0,949 au millième près.

4 Utilisation de l’événement

contraire

On cherche à calculer P( X ≥ 301) = 1 – P ( X ≤ 300) = 1 – 0,949 = 0, 051 au millième près.

5a

Bon choix des paramètres

dans le calcul d’une

espérance On utilise E(Yn) = 365 pn

n 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 pn 2×10-7 3,2×10-6 2,6×10-5 0,0001 0,0006 0,0019 0,0052 0,0126 0,0267 0,051

E(Yn) 7×10-5 0,0011 0,0093 0,0506 0,2075 0,6861 1,906 4,5826 9,7341 18,577

5b

Résolution d’une

problématique simple

On cherche n tel que E(Yn) = 365 pn ≤ 4, soit n = 307

Version ouverte des quatre premiers sujets pour un travail en classe

Exercice 1 Méthode de capture – recapture

On désire évaluer le nombre d’individus N d’une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on capture 800 individus de cette espèce. Ces individus sont marqués, puis relâchés. Dans un deuxième temps, on prélève 1000 animaux de cette même espèce successivement, en relâchant chaque individu avant d’en capturer un autre, afin que les tirages soient indépendants. On compte 250 individus déjà marqués. Déterminer un intervalle de confiance au niveau 0,95 auquel appartient la proportion d’animaux de l’espèce étudiée, puis donner un encadrement de N.


Exercice 2 Durée de retour de fortes précipitations

On désire choisir un modèle qui permettra d’avoir une idée des périodes de retour de fortes précipitations. L’idée n’est pas de prévoir la date de ces événements, mais une périodicité afin de prévoir les infrastructures nécessaires qui peuvent limiter les conséquences de ces fortes précipitations. On s’appuie sur le relevé statistique suivant, concernant une ville du sud de la France qui donne en fonction de la hauteur (en millimètres) recueillie en trois heures, la durée de retour entre deux situations de fortes précipitations exprimée en années. Par exemple, on peut s’attendre, pour cette ville, à ce que tous les 5 ans, il y ait un épisode pluvieux tel que l’on puisse avoir 70 mm de précipitations en trois heures.


20 1

50 2

60 3

70 5

90 10

120 20

140 30

160 50

200 100

1. On admet que l’on peut modéliser la durée de retour de pluie en fonction de la hauteur h exprimée

en mm, par une fonction f définie sur [20 ; 200] par hbeahf =)( où a et b sont deux réels.

Déterminer un modèle possible. 2. Le maire de cette commune veut engager des travaux d’infrastructure, valables pour les 40

prochaines années, permettant la canalisation de l’eau en cas de fortes précipitations. Une entreprise propose un projet permettant de gérer des précipitations au maximum de 145 mm sur 3 heures. Le maire doit-il retenir le projet de cette entreprise ? Argumenter la réponse.

3. Pour une ville du centre de la France, on a le relevé suivant.


20 1

25 3

30 5

40 10

50 20

60 30

65 100 Le modèle précédent utilisé est-il adapté ? Justifier.

Exercice 3 Evolution d’une tumeur cancéreuse

Tout cancer débute par la production d’une cellule cancéreuse. Au cours du temps, cette cellule va produire un ensemble de cellules filles appelé tumeur. On observe que le temps de doublement T d’une tumeur cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis pour une tumeur donnée de doubler son nombre de cellules) est sensiblement constant pour un type de cancer donné. Ce temps dépend cependant du type de cancer. Ce temps de doublement peut être évalué sur des cellules prélevées dans la tumeur et mises en culture. Pour un cancer du sein T = 14 semaines. Actuellement, la plus petite tumeur cancéreuse détectable est constituée de 109 cellules, ce qui correspond à peu près à une tumeur de masse égale à 1 gramme. Après le traitement d’un cancer du sein, il est d’usage de surveiller la personne traitée sur une période de 5


ans. Sachant qu’un traitement chirurgical peut laisser, en résidu indétectable, une masse tumorale de 103 cellules, expliquer l’origine du choix de 5 ans comme période de surveillance d’un cancer du sein après traitement chirurgical. Exercice 4 Surbooking aérien.

Une compagnie aérienne possède un avion de 300 places. Un relevé statistique sur quatre années (que nous supposerons toutes de 365 jours) permet de faire état que l’occupation de cet avion n’est que de 95%. Que pensez-vous du fait de vendre 310 places ?

Exemple de sujet type bac

L’idée n’est pas de mettre que des sujets ouverts. Ce sujet n’est donné qu’à titre indicatif , pour comprendre que certains types d’exercices en rapport avec l’ancien programme restent d’actualité. Toutes les nouvelles thématiques sont susceptibles d’apparaître, mais ne peuvent être toutes présentes dans un même sujet. Exercice 1

Préciser pour chacune des propositions qui suivent si elle est vraie ou fausse puis justifier la

réponse.

Proposition 1

On admet que la variable aléatoire X, qui à une personne prise au hasard dans un pays donné, associe sa taille en centimètres est distribuée suivant la loi normale de paramètres µ = 177,5 et σ = 6,5. On peut dire qu’il y a environ 35 % d’habitants de ce pays qui mesurent plus de 180 cm.

Proposition 2

Une fonction définie sur ] - ∞ ; + ∞[, strictement croissante et positive admet + ∞ comme limite en + ∞.

Proposition 3

On considère les suites )( nu et )( nv définies par

−==

+ 2

0

1

0

nn uu

uet nu

n ev = pour tout entier naturel n.

La suite )( nv est géométrique.

Proposition 4

∫∫ =2

0

1

0

2 dxedxe xx

Proposition 5

On jette une pièce équilibrée 10 fois.

La probabilité d’obtenir cinq piles et cinq faces est la même que celle d’obtenir 10 piles.


Exercice 2 : (Sujet STAV Nouvelle – Calédonie 2013)

Une usine fabrique des toiles de pergola. Ces toiles peuvent présenter deux types de défauts : • Un défaut de couleur de la toile. • Un défaut d’étanchéité de la toile.

Sur un lot de 200 toiles, on obtient les résultats suivants :

On admet que la répartition des deux types de défauts observée sur ce lot est identique en proportion à celle de l’ensemble de la production. Partie A On prélève une toile au hasard dans la production.

1. Calculer la probabilité que cette toile présente les deux défauts. 2. Sachant que la toile présente un défaut de couleur, calculer la probabilité qu’elle présente aussi un

défaut d’étanchéité. Partie B Le coût de fabrication d’une toile est de 100 €. Toutes les toiles sont garanties et en cas de défaut, cette garantie permet au client de faire réparer la toile aux frais du fabricant. Les frais de réparation sont les suivants :

• 50 € pour un défaut de couleur uniquement ; • 70 € pour un défaut d’étanchéité uniquement; • 80 € pour les deux défauts.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque toile prélevée au hasard dans la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire son coût de fabrication augmenté éventuellement des frais de réparation.

1. Préciser les valeurs prises par X. 2. En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau

xi 100 150

P(X = xi) 3. Calculer la valeur exacte de l’espérance de X notée E(X).

Que représente cette valeur pour le fabricant ? Exercice 3 : (d’après sujet STI 2D – STL Métropole juin 2013 )

On éteint le chauffage dans une pièce d’habitation à 22 h. La température y est alors de 20 °C. Le but de ce problème est d’étudier l’évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l’énergie dissipée à l’extérieur, au cours de la nuit, de 22 h à 7 h le lendemain matin. On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 °C. On désigne par t le temps écoulé depuis 22 h, exprimé en heures, et par f( t ) la température de la pièce exprimée en °C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction f définie sur [0; 9] Partie A :

1. Prévoir le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0; 9].

On admet désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle [0; 9] par 119)( 12,0 += − tetf 2. Justifier par un calcul mathématique le sens de variation trouvé à la question précédente. 3. Calculer f (9). En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat. 4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quelle heure la température est inférieure à 15°C. 5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.

Présente un défaut d’étanchéité

Ne présente pas de défaut d’étanchéité

Total

Présente un défaut de couleur 8 8 16

Ne présente pas de défaut de couleur

4 180 184

Total 12 188 200


Partie B : Le flux d’énergie dissipée vers l’extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction g telle que,

pour tout nombre réel t de l’intervalle [0; 9], tetg 12,07,0)( −= . L’énergie E ainsi dissipée entre 22 h et 7 h, exprimée en kilowattheures (kWh), s’obtient en calculant l’intégrale

∫=9

0

)( dttgE

1. Calculer la valeur exacte de l’énergie dissipée. 2. Déterminer une valeur arrondie de E à 0,1 kWh près.

Exercice 4 Méthode de capture – recapture

On désire évaluer le nombre d’individus N d’une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on capture 800 individus de cette espèce. Ces individus sont marqués, puis relâchés. Dans un deuxième temps, on prélève 1000 animaux de cette même espèce successivement, en relâchant chaque individu avant d’en capturer un autre, afin que les tirages soient indépendants. On compte 250 individus déjà marqués.

Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’individus marqués que l’on peut obtenir lors du prélèvement de 1000 individus de cette espèce.

1. Justifier que X est distribué suivant la loi binomiale de paramètre n = 1000 et N

p800=

2. A l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau suivant :

N P(X=250)

2400 2,16×10-9

2500 2,252×10-7

2600 8,646×10-6

2700 0,0001436

2800

2900 0,0052756

3000 0,0141761

3100 0,0245461

3200 0,0291241

3300

3400 0,0161025

3500 0,0081391

3600 0,0033252

3700 0,0011287

3800 0,0003259

3900 8,175×10-5

4000 1,813×10-5

3. A la lecture de ce tableau, donner un intervalle de longueur 600 auquel N pourrait appartenir en expliquant votre démarche.


4. En utilisant l’échantillon de 1000 animaux prélevés, justifier qu’une estimation de la proportion (sur

l’île) d’animaux marqués de cette espèce est 41

, puis donner un intervalle de confiance au niveau

0,95 (on donnera un arrondi à 10-5 près des bornes de l’intervalle).

5. En déduire un intervalle auquel N appartient sous les conditions de la question précédente.

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Document d’accompagnement thématique - chlorofil.fr · cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis pour une tumeur donnée de doubler son nombre de cellules) est sensiblement constant