Dispense Prof Ferrando - Geometria Dei Galleggianti

8/17/2019 Dispense Prof Ferrando - Geometria Dei Galleggianti

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Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1

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Appunti del corso di Geometria dei Galleggianti 1

Marco FERRANDO


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I Geometria delle masse

In questo capitolo verranno esposti i procedimenti che consentono di calcolare:

•

aree, momenti statici, posizioni dei baricentri, momenti d’inerzia, ellissi (principali e centrali)d’inerzia di figure piane;

• volumi, momenti statici, posizioni dei baricentri di solidi di forma qualsiasi.

A Aree, volumi e loro centri

A1 Richiami di teoria dei vettori

Si richiama dalla teoria dei vettori quanto riguarda la definizione e la determinazione del “ Centro Adi un sistema piano di vettori iV applicati in Ai, paralleli ed equiversi”.

O Anαι

Vn

V1

ΣiV = Vi

Vi

α1

A1

α Ai

A Vm

Am

Il centro è il punto A del piano dove si può pensare applicato un sistema equivalente costituito da un

unico vettore V , parallelo ed equiverso ai vettori iV del sistema, la cui intensità è data da ∑i iV edil cui momento rispetto ad un qualsiasi punto O del piano è uguale alla somma dei momenti dei

singoli vettori ( )i iV A rispetto allo stesso punto O.

Si ha quindi:

ii= ∑V V

(A.1)

i ii∧ = ∧∑OA V OA V

(A.2)

Passando alle grandezze scalari la (A.1) può essere riscritta nella forma seguente:

i i ii i i= = =∑ ∑ ∑V V V V

Trasponendo in forma scalare anche la (A.2) il primo membro diviene:

sinα ∧ = ⋅OA V OA V


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mentre il secondo membro, essendo i vettori equiversi oltre che paralleli, assume la forma seguente:

sini i i i i i ii i i α ∧ = ∧ = ⋅∑ ∑ ∑OA V OA V OA V

I prodotti sini iα OA e sin j jα OA rappresentano le distanze di e d j delle rette d’azione dei vettori

Vi e V j dal punto O.

V j

d j

α j

A j

Oi

Vi

di

α

A i

Il segno delle distanze di e d j resta determinato dal segno degli angoli αi ed α j come illustrato nellafigura seguente:

sinα j < 0 ⇒ d j < 0 sin αi > 0 ⇒ di >0

A questo punto è possibile calcolare la distanza d da O della retta d’azione del risultante V :

sinsin

i i ii

ii

d α

α ⋅

= = ∑

∑OA V

OAV

Naturalmente la summenzionata retta d’azione sarà parallela alla direzione dei vettori iV .

Se si immagina di mutare la direzione dell’intero sistema di vettori applicati si può determinare lanuova retta d’azione del risultante. Essa sarà parallela alla nuova direzione dei vettori componenti ilsistema ed incontrerà la prima nel punto A centro del sistema. Questa situazione è illustrata nella fi-

OA

OA ∧Vi j jV

α j

OV j

d j di

O

A

π

j

iαAi

i

∧ Vi


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gura seguente ove la configurazione tratteggiata corrisponde a quella dopo la rotazione,

11

VV

nVV

A n

VV

1A

''VV

A

11

VVn''

''VV

A2 Teorema dei momenti statici

Solitamente si usa assumere come riferimento una coppia di assi cartesiani X ed Y; è possibile allo-ra determinare le coordinate del centro A del sistema di vettori rispetto a questa coppia (XY). Si hauna ulteriore semplificazione se come punto O (polo) si sceglie l’origine degli assi stessi come illu-strato nella figura seguente. In detta figura, per semplicità, si è rappresentato solo uno degli n vettoriche costituiscono il sistema.

Xi

Y A

Y i

ViV

Ai

X

A

XA

Y

O

Utilizzando la notazione illustrata nella figura si ottiene:

iiV V = ∑ (A.3)

A i i ii i

A i i ii i

V xV

y V y V

=

=

∑ ∑

∑ ∑

(A.4)

dalle quali si ricavano le equazioni:


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An+1

Vn

Ai

Vi

V

V1 A

π1

Vn+1

A1

πAn

i ii A

ii

i ii A

ii

V x

V

yV y

V

=

=

∑∑

∑∑

(A.5)

che forniscono le coordinate del centro A del sistema di vettori applicati rispetto al riferimento as-sunto.

Ricordando che quantità come i prodotti i i xV (o i i yV ) prendono il nome di momenti statici (o mo-

menti del 1° ordine) delle grandezze iV rispetto ad un asse y (od x), le (A.4) possono essere rappre-

sentante dal seguente enunciato che va sotto il nome di “Teorema dei momenti statici”:

Il momento statico rispetto ad un asse della grandezza iiV V = ∑ , applicata nel centro A del siste-ma, è uguale alla somma dei momenti statici delle grandezze componenti calcolati sempre rispetto

allo stesso asse.

È opportuno notare che il momento statico calcolato rispetto ad un asse baricentrico è nullo.

A3 Estensione allo spazio del Teorema dei momenti statici

Quanto è stato finora illustrato si puògeneralizzare per un sistema di vettori paralleli edequiversi applicati, ma non tutti appartenenti allostesso piano.

Si tratta di comporre il vettore risultante delsistema piano con uno dei vettori nonappartenenti al piano e determinare un nuovorisultante che, composto con un altro dei vettorinon appartenenti al nuovo piano ecc..

Il procedimento sopra illustrato viene svolto pervia analitica utilizzando le relazioni seguenti:

iiV V = ∑

A i ii

A i ii

A i ii

Vx V x

Vy V y

Vz V z

=

=

=

∑∑∑

dalle quali è possibile ricavare le coordinate A x , A y e A del centro del sistema complessivo.

Vale la pena di osservare che i vettori iV possono rappresentare masse concentrate, masse elemen-

tari, elementi di linee, di superficie, di volume ecc..I risultati sin qui ottenuti verranno utilizzati per determinare aree, centri delle aree di figure piane,


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Y A

(A2 )m2(A )nmn

Y

(A)M

X

(A )im i

X A

(Am1 1 )

O

X i

Y i

volumi e centro di volumi solidi, avendo cura, ove occorra, di sostituire il simbolo ∫ al simbolo

∑

A4 Centro di un sistema di masse concentrate

Sia dato il sistema di n masse mi concentrate nei punti Ai di un piano e rappresentato in figura. Sicerca il sistema equivalente costituito da una solamassa M:

iim= ∑

applicata nel punto A:

( ), A A x yA

In base al teorema dei momenti statici possiamoscrivere le relazioni:

A i ii

A i ii

x m x

y m y

=

=

∑∑

che permettono di calcolare le coordinate del centro A del sistema:

i ii A

ii

i ii A

ii

m x x

m

m y y

m

=

=

∑∑∑∑

Nel caso in cui il sistema sia tridimensionale si avrà:

A i ii

A i ii

A i ii

x m x

y m y

z m z

=

=

=

∑∑∑

mentre le coordinate del centro del sistema saranno date dalle espressioni:

i ii A

ii

i ii A

ii

i ii

Aii

m x x

m

m y y

m

m z

z m

=

=

=

∑∑∑∑

∑

∑


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Y

Aw

iF

Y

dA

X X

O

X Fi

YFi

α

α

α

z

X

xB

y

wiA

B

daα

y B

α

x

d

z

B α

Bd∇ α dw

z

z

i

O

Y

Z

A5 Area e centro Fi di una figura piana Aw

In questo caso nell’applicare il teorema dei momentistatici avremo le seguenti corrispondenze rispetto alcaso del paragrafo precedente:

i

w

i Aw

m dA A

→→

→∑ ∫

La misura dell’area sarà data dalla relazione:

w ww

A A A dA dxdy= =∫ ∫

Le coordinate del centro Fi della figura pianavengono determinate sempre con l’ausilio delTeorema dei momenti statici che viene applicatonella forma integrale:

w

w

w Fi y A

w Fi x A

A x xdA S

A y ydA S

= =

= =

∫

∫

Si potrà quindi scrivere:

w

i

w

i

w

A

F

w Aw

A x F

w A

xdA S x

AdA

ydA S y

AdA

= =

= =

∫

∫∫∫

A6 Volume e coordinate del centro B di un solido qualsiasi

In questo caso nell’applicare il teorema dei momentistatici avremo le seguenti corrispondenze rispetto alcaso del paragrafo 1.4:

i

i

m dw

M

α

α

∇

→

→ ∇

→∑ ∫

Il volume del solido fino al piano α è uguale allasomma (integrale) di tutti i volumi elementari d ∇ .Ponendo come di consueto dw dxdydz = si ottiene:

dw dxdydz ∇ ∇

∇ = =∫ ∫


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Il volume infinitesimo d ∇ può essere espresso nella forma:

w w A Ad dw dz dA∇ = =∫ ∫

consentendo di esprimere il volume α ∇ nella forma seguente:

( )o o w o

z z z

w z z A z

d dz dA A z dz α α α

α ∇ = ∇ = =∫ ∫ ∫ ∫

Per determinare le coordinate del centro Bα del volume α ∇ consideriamo i momenti statici yz dM ,

xz dM , e xydM del volume infinitesimo dw rispetto ai piani coordinati yOz, xOz ed xOy; essi val-

gono rispettivamente:

yz

xz

xy

dM xdw

dM ydw

dM zdw

=

=

=

Applicando il teorema dei momenti statici per ciascuna delle precedenti relazioni si ottiene:

B yz

xz B

B xy

dM xdw

y dM ydw

dM zdw

α α α

α α α

α α α

α

α

α

∇ ∇

∇ ∇

∇ ∇

∇ = =

∇ = =

∇ = =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

dalle quali si ricavano le coordinate B x α , B y α , B z α :

B

B

B

xdw

x

ydw y

zdw z

α

α

α

α

α

α

α

α

α

∇

∇

∇

=∇

=∇

=∇

∫∫

∫

A7 Compendio delle formule per aree, volumi e coordinate dei loro centri

A questo punto è opportuno riepilogare le espressioni ricavate fino a questo punto.Per la figura piana ( )W i A z si ha;

area:

( )w w

w i A A

A z dA dxdy= =∫ ∫ (A.6)

momenti statici:

( )

( )

w w

w w

y i A A

x i A A

S z xdA xdxdy

S z ydA ydxdy

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫

(A.7)

coordinate del centro ( )i F z dell’area ( )W i A z :


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( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

i

F i

w i

x i

F i

w i

S z x z

A z

S z y z

A z

=

=

(A.8)

Per il volume ( )α ∇ ottenuto intersecando un solido con un piano α posto a quota α si ha:

volume:

( ) ( )0 o w o

z z z

w z z A z

dw dxdydz d dz dxdy A z dz α α α

α α α

∇ ∇∇ = = = ∇ = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (A.9)

momenti statici:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0

w

w

w

z z

yz y z A z

z z

xz x z A z

z z

xy w z A z

z xdw xdxdydz dz xdxdy S z dz

z ydw ydxdydz dz ydxdy S z dz

z zdw zdxdydz zdz dxdy zA z dz

α α

α α

α α

α α

α α

α α

α

α

α

∇ ∇

∇ ∇

∇ ∇

= = = =

= = = =

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(A.10)

coordinate del centro ( ) B z α del volume ( ) z α ∇ :

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

0

0

0

o

o

o

z

y z yz

B z

w z

z

x z xz

B z

w z

z

w z xy

B z

w z

S z dz M z x z

z A z dz

S z dz M z y z

z A z dz

zA z dz M z z z

z A z dz

α

α

α

α

α

α

α

α

α α

α

α

α α

α

α

α α

= =

∇

= =∇

= =∇

∫

∫∫

∫

∫

∫

(A.11)

Si noti che nessuna delle formule sopra elencate è ancora risolvibile in quanto sono presenti ancora

integrali di superficie sia nelle formule concernenti le grandezze relative ad aree sia in quelle con-cernenti grandezze relative a volumi. In queste ultime gli integrali di volume sono stati trasformatiin integrali semplici definiti di funzioni integrande che rappresentano ancora integrali di superficie.

A8 Osservazioni sulle relazioni tra le grandezze.

Per il solido dato si immagini di poter calcolare, come verrà illustrato successivamente, i valori del-le singole funzioni integrande (integrali di superficie) che compaiono negli integrali semplici defini-ti delle formule del paragrafo precedente.

Si immagini inoltre di poterne tracciare i grafici in funzione dell’altezza z del piano che interseca ilsolido.

Si ricorda che il valore degli integrali semplici definiti si ottiene calcolando l’area sottesa dalla fun-zione integranda.


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Nella figura seguente sono riportati in grafico i valori assunti, al variare della quota z α del piano α ,

da alcune delle grandezze fin qui calcolate.

α

z a

Bα

z

z 0

Bα

AW(z)

X

Y

Z Z Z ZAW Sx

Sy

zAW ∇α

O O O OAW Sy zAW ∇α

Sx

A titolo di esempio vale la pena osservare che il volume del solido compreso al di sotto del pianoα , che indicheremo con ( )α ∇ , e rappresentato sul grafico di α ∇ dal segmento evidenziato, si

calcola con la formula:

( ) ( )0

z

W z

A z dz α

α α ∇ = ∫

ed equivale all’area ombreggiata sottesa dal diagramma della funzione integranda ( )W A z tra gliestremi di integrazione. Il diagramma di W A in funzione di è sempre contenuto nel primo

quadrante in quanto, al più, l’area può essere nulla come illustrato in figura nei due casi in cui il piano α risulta tangente al solido in un punto. Nel caso in cui il solido presentasse una o duesuperfici parallele al piano α (ad esempio le superfici inferiore e/o superiore) il diagramma di W A

inizierebbe e/o finirebbe con un valore diverso da zero.

I diagrammi di xS e di S possono assumere valori sia positivi sia negativi in quanto il segno delle

distanze ed y dipende dalla posizione relativa tra il solido e l’origine del sistema di riferimentorispetto al quale si sono calcolati i momenti statici.

Per quanto riguarda l’andamento del diagramma di α ∇ , poiché:

( ) ( )o

z

w z

z A z dz α

α ∇ = ∫

si può scrivere:

( )( )W

d z A Z

dz

∇=

Per quei valori di z ove si verificasse ( ) 0W A z = la curva ( ) z ∇ avrebbe tangente parallela all’asse

. Inoltre, dal momento che in base all’equazione precedente si ha:


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( ) ( )2

2

W dA z d z

dz dz

∇=

la tangente alla curva ( )W A z rappresenta la derivata seconda della curva ( )∇ . Per cui ove la tan-

gente alla curva ( )W A z risultasse parallela all’asse z si avrebbe un valore nullo per la derivata se-

conda della funzione ( )∇ ed essa presenterebbe un flesso come illustrato nella figura.

Sulla base delle osservazioni illustrate in questo paragrafo si può operare un controllosull’andamento delle grandezze ricavate per accertarsi di non avere commesso grossolani errori dicalcolo

B Momenti del 2° ordine

B1 Momenti del 2° ordine per un sistema di masse concentrate

Si consideri il sistema piano di masse im applicate nei punti Ai rappresentato in figura.

Si definisce momento d’inerzia della massa mi

rispetto ad un asse il prodotto della massa per la

sua distanza dall’asse elevata al quadrato.

Si definisce prodotto d’inerzia (o momento

centrifugo rispetto agli assi xy) della massa m i

rispetto ad una coppia di assi il prodotto della

massa per le sue distanze dagli assi.

I momenti d’inerzia vengono solitamente indicatidalla lettera I portante a pedice la lettera che con-traddistingue l’asse rispetto al quale il momentoviene calcolato. Questa convenzione si applicaanche al prodotto d’inerzia che però ha un doppio

pedice in quanto calcolato rispetto ad una coppia diassi.

Per il sistema in esame si avrà:

[ ]

[ ]

[ ]

2

2

0

0

0

X i ii

Y i ii

XY i i ii

I m y

I m x

I m x y

= >

= >

= < = >

∑∑∑

Si ritiene opportuno sottolineare che i momenti d’inerzia assumono sempre valore positivo, mentreil prodotto d’inerzia può assumere valori positivi, negativi o nulli in conseguenza della posizionerelativa del sistema e della coppia di assi cartesiani di riferimento.

B2 Momenti del 2° ordine per una figura piana

Sia data la figura piana rappresentata in figura.

X

Y

O

xi

y i

mi(Ai)


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X

Y

dA

Aw

F

x

y y F

xF

xi

y i

O

Xi

Yi

Con riferimento all’elemento infinitesimo di area da e sulla base delle definizioni del paragrafo pre-cedente si può scrivere:

2

2

x

y

xy

dI y dA

dI x dA

dI xydA

=

=

=

(B.1)

Per quanto riguarda l’intera figura w A si ha:

2

2

W

W

W

x A

y A

xy A

I y dA

I x dA

I xydA

=

=

=

∫

∫

∫

(B.2)

La coppia di assi cartesiani di riferimento può essere scelta arbitrariamente. Consideriamo quindiuna nuova coppia di assi cartesiani xi ed yi, paralleli ai precedenti, avente origine nel centro F dellafigura

w

A . Qualunque coppia di assi cartesiani aventi origine nel centro di una figura viene definita

una coppia di assi centrali d’inerzia

Rispetto alla nuova coppia di assi le (B.1) divengono:

2

2

i

i

i i

x i

y i

x y i i

dI y dA

dI x dA

dI x y dA

=

=

=

(B.3)

mentre le (B.2) si trasformano nelle:


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2

2

iW

iW

i iW

x i A

y i A

x y i i A

I y dA

I x dA

I x y dA

=

=

=

∫

∫

∫

(B.4)

B3 Teorema del trasporto o di Huyghens

Evidentemente poiché tra i due sistemi di coordinate appena utilizzati esiste un legame espresso dal-le:

i F

i F

x x x

y y y

= −

= −

le (B.4) potranno essere riscritte sostituendo ad i ed i y le quantità ottenute dalle relazioni prece-

denti. Ad esempio la prima delle (B.4) diverrà:

2 2( )i

W W x i F

A A I y dA y y dA= = −∫ ∫

Sviluppando il quadrato del binomio che costituisce la funzione integranda ed applicando le pro- prietà degli integrali si ottiene:

2 22i

W W W x F F

A A A I y dA y ydA y dA= − +∫ ∫ ∫

Quest’ultima relazione, tenendo conto delle(A.6), delle (A.7) e delle (B.2) può essere riscritta nellaforma:

22i x x F x W F

I I y S A y= − +

Facendo uso delle (A.8) l’espressione precedente diviene:

22i x x F W F W F

I I y A y A y= − +

che assume la seguente forma finale:

2

i x x W F I I A y= −

Il procedimento può essere ripetuto per le altre relazioni (B.4), dando luogo alle relazioni:

2

2

i

i

i i

x x W F

y y W F

x y xy W F F

I I A y

I I A x

I I A x y

= −

= −

= −

(B.5)

In maniera del tutto analoga si possono riscrivere le (B.2) tenendo conto che:

F i

F i

x x x

y y y

= +

= +

ottenendo ad esempio:

2 2( )W W

x F i A A

I y da y y dA= = +∫ ∫

Sviluppando il quadrato del binomio che costituisce la funzione integranda ed applicando le pro- prietà degli integrali si ottiene:


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2 22W W W

x i F i F A A A

I y dA y y dA y dA= + +∫ ∫ ∫

che può essere riscritta nella forma:

22i x x F x W F

I I y S A y= + +

Ricordando che i momenti statici di un sistema calcolati rispetto ad assi centrali d’inerzia sono nullisi ha 0 xS = e pertanto si ottiene:

2

i x x W F I I A y= +

Il procedimento può essere ripetuto per le altre relazioni (B.2) ottenendo:

2

2

i

i

i i

x x W F

y y W F

xy x y W F F

I I A y

I I A x

I I A x y

= +

= +

= +

(B.6)

Quanto emerso nel corso del presente paragrafo può essere riassunto dal seguente “Teorema diHuyghens”:

Il momento d’inerzia di una figura piana rispetto ad un qualunque asse x giacente nel suo piano, è

eguale al momento d’inerzia rispetto all’asse centrale d’inerzia parallelo a quello dato, aumentato

del prodotto dell’area della figura per il quadrato della distanza tra i due assi.

Un importante corollario del teorema di Huyghens è il seguente:Tra tutti i momenti d’inerzia di una figura, calcolati rispetto ad un fascio di assi paralleli, il minimo

risulta quello calcolato rispetto all’asse centrale d’inerzia.

B4 Centro relativo all’asse x (o y) di un sistema di masse concentrate.

Si consideri il sistema di masse concentrate mi applicate nei punti Ai

Si definisce centro relativo ad una retta il centrodel sistema di vettori, applicati nei punti Ai, che

rappresentano i momenti statici degli elementicomponenti il sistema calcolati rispetto alla rettadata.

Considerando ad esempio l’asse X è possibileassociare un vettore

i xS al momento statico i im y

di ciascuna delle masse concentrate calcolatorispetto all’asse X.

Applicando il teorema dei momenti statici alnuovo sistema di vettori

i xS , applicati nei punti

Ai, è possibile ottenere le coordinate del suocentro xR che è appunto il centro relativo

all’asse X del sistema di masse mi:

X

Y

O

xi

y i

Ai

A1

A2

An

An-1

R y

R x


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X

YAw

O

2

x

x

xi i i i i xyi i

R

xi i i x

i i

x xi i i i i i i

i i i x R

xi i i i i x

i i i

S x m y x I

xS m y S

S y m y y m y I

yS m y m y S

= = =

= = = =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

R

Operando in maniera analoga è possibile ottenere le coordinate di R centro relativo all’asse Y:

2

y

y

yi i i i i i i

i i i R

i i i i i y

i i i

y

yi i i i i xyi i

R

yi i i y

i i

S x m x x m x I

xS m x m x S

S y m x y I y

S m x S

= = = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

R

B5 Centro relativo all’asse x (o y) di una figura piana.

Quanto esposto nel paragrafo precedente puòessere esteso ad una figura piana sostituendo il

simboloW A

∫ al simbolo ∑i

.

Omettendo, per brevità, i passaggi matematici si perviene al risultato seguente:

y x

x y

xy R R

x

x y

xy x R R

x

I I x x

S S

I I y y

S S

==

= =

R R

B6 Raggio d’inerzia di un sistema piano

Considerando ad esempio il sistema piano di masse rappresentato nella figura seguente si definisceraggio d’inerzia del sistema rispetto all’asse X la grandezza:

x x

I ρ =

La relazione sopra riportata può essere riscritta elevando entrambi i membri al quadrato in modo da

evidenziare una importante proprietà del raggio d’inerzia; si può scrivere dunque:2

x x I M ρ =


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X

Y

O

Ai

A1

A2

An

An-1R x

A

y A

y R x

che esprime la seguente proprietà del raggio d’inerzia: il momento d’inerzia di un sistema piano dimasse, calcolato rispetto ad una retta x è eguale al prodotto del quadrato del corrispondente rag-

gio d’inerzia per la massa risultante del sistema.

Ricordando la definizione della distanza dall’asseX del centro relativo del sistema rispetto all’asseX

x

x R

x

I y

S =

e le relazioni2

x x

x A

I M

S y M

ρ =

=

si può scrivere:

2

x

x

A

y y

ρ =R ed anche : : x x x A y y ρ ρ =R

ottenendo una seconda importante proprietà del raggio d’inerzia ovvero: il raggio d’inerzia rispettoad una retta è medio proporzionale tra le distanze dalla retta del centro del sistema e del centro re-

lativo alla retta.

Per la figura piana sussistono ovviamente relazioni analoghe

B7 Assi principali d’inerzia

Vediamo ora come variano i momenti del 2°ordine al variare della giacitura degli assi diriferimento.

Con riferimento alla figura le coordinate di dArispetto agli assi x’ e y’ risultano:

' cos sin

' cos sin

x x y

y y x

β β

β β

= +

= −

Il momento d’inerzia rispetto all’asse x’ è datodalla relazione:

2' '

w x

A I y dA= ∫

la quale, sostituendo ad y’ il valore fornito dallerelazioni tra le coordinate appena scritte, assumela forma seguente:

( )2

'

2 2 2 2

cos sin

cos sin 2 sin

w

w w w

x A

A A A

I y x dA

y dA xydA x dA

β β

β β β

= −

= − +

∫

∫ ∫ ∫

dalla quale si ricava:

x

x'

y

y'dA

Aw

oβ

β


17/113


Pagina I-17

2 2' cos sin 2 sin x x xy y I I I I β β β = − +

Con procedimento analogo si possono calcolare gli altri due momenti. Si ottiene quindi:

2 2'

2 2'

' '

cos sin 2 sin

sin sin 2 cos1

sin 2 cos 22

x x xy y

y x xy y

x y x y xy

I I I I

I I I I

I I I I

β β β

β β β

β β

= − +

= + +

= − +

(B.7)

Ottenute le leggi di variazione dei momenti del 2° ordine in funzione dell’angolo β è interessantecercare l’angolo β per il quale le grandezze I x’ ed I y’ sono minime o massime. Consideriamo a que-sto scopo la funzione I x’ =I x’ ( β ) e calcoliamone la derivata rispetto a β .

( )

' 2 sin cos 2 cos 2 2 sin cos

sin 2 2 cos 2

x x xy y

y x xy

dI I I I

d

I I I

β β β β β β

β β

= − − +

= − −

Per trovare per quale β si ha un estremo relativo della funzione (massimo o minimo) è necessarioimporre l’annullarsi della derivata prima della funzione stessa, si ottiene quindi:

( )

( )

sin 2 2 cos 2 0

sin 2 2 cos 2

y x xy

y x xy

I I I

I I I

β β

β β

− − =

− =

Il valore cercato β * può quindi essere ricavato dalla relazione:

* 22 xy

x

I tg

I I

β =

−

(B.8)

Per stabilire se l’estremo relativo sia un massimo od un minimo come è noto sarebbe necessario ri-correre alla derivata seconda della funzione.

In corrispondenza dell’angolo β * il prodotto d’inerzia risulta nullo.

Una coppia di assi cartesiani per cui i due momenti d’inerzia risultano rispettivamente massimo e

minimo ed il prodotto d’inerzia nullo viene definita coppia di assi principali d’inerzia.

L’angolo β * individua quindi la giacitura degli assi principali d’inerzia della figura a partire dagliassi dati.

B8 Assi principali centrali d’inerzia

Non essendo stata fatta alcuna ipotesi per la coppia di assi di partenza, la trattazione del paragrafo precedente ha valore del tutto generale.

Essa può quindi essere applicata anche nel caso in cui la coppia di assi cartesiani di partenza sia unacoppia di assi centrali d’inerzia, avente quindi origine nel centro F della figura Aw.

Con riferimento alla figura seguente sarà quindi possibile ricavare l’angolo β * che gli assi principalid’inerzia formano con gli assi centrali di partenza.


18/113


Pagina I-18

x

ydA

Aw

x'

y'

Fβ

Questa coppia di assi principali d’inerzia ha la particolarità di passare anche per il centro F della fi-gura. Questi assi vengono quindi denominati assi principali centrali d’inerzia, e saranno indicaticon 1 x ed 1 y .

Ovviamente anche gli assi principali centrali d’inerzia godono della proprietà degli assi principali,quindi si avrà

1 10 x y I = .

Ovviamente anche nel caso di assi centrali d’inerzia valgono le relazioni (B.7) e (B.8), pertanto ivalori di

1 x I e di

1 I possono essere ricavati in base a x I , I ed xy I ponendo β = β

*. Per quanto ri-

guarda 1 1 x y I il suo valore è nullo.La prima delle (B.7), applicata al caso in esame, fornisce:

1

2 * * 2 *cos sin 2 sin x x xy y I I I I β β β = − +

Ricordando che:

2 21 cos 2 1 cos 2sin cos2 2

ϑ ϑ ϑ ϑ

− += =

la relazione precedente diviene:

1

* **1 cos 2 1 cos 2sin2

2 2 x x xy y I I I I β β β + −= − +

che, riordinata, si trasforma nella:

( ) ( )1

* *1 1 cos 2 sin 22 2 x x y x y xy

I I I I I I β β = + + − −

Ricordando ancora che:

2 2

tan 1sin cos

1 tan 1 tan

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ = =

+ +

si ricava l’espressione seguente:


19/113


Pagina I-19

( ) ( )1

*

2 * 2 *

1 1 1 tan 2

2 2 1 tan 2 1 tan 2 x x y x y xy

I I I I I I β

β β = + + − −

+ +

Sostituendo ora al numeratore del terzo termine del secondo membro della relazione precedente ilvalore fornito dalla (B.8) ed invertendo il segno del secondo termine si ricava:

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

1 2 * 2 *

2

2 * 2 *

2 2

2 *

22 2

2 2 *

21 1

2 2 1 tan 2 1 tan 2

41 1

2 2 1 tan 2 1 tan 2

41 1

2 2 1 tan 2

41 1

2 2 1 tan 2

y x xy xy

x x y

y x

y x xy

x y

y x

y x xy

x y

y x

y x xy

x y

y x

I I I I I I I

I I

I I I I I

I I

I I I I I

I I

I I I I I

I I

β β

β β

β

β

−= + − −

−+ +

− = + − + + − +

− + = + − − +

− + = + −− +

a questo punto si utilizza ancora la relazione (B.8) ottenendo:

( )( )

( )( )

( )( )

( )

1

22 2

22

2

22 2

2 2

41 1

2 2 41

41 1

2 2 4

y x xy

x x y

xy

y x

y x

y x xy

x y

y x xy

I I I I I I

I I I

I I

I I I I I

I I I

− + = + − − + −

− + = + −

− +

che, semplificata, fornisce finalmente la relazione :

( ) ( )1

2 21 1 42 2 x x y y x xy

I I I I I I = + − − +

In maniera del tutto analoga si ricava la:

( ) ( )1

2 21 1 42 2 x y y x xy

I I I I I I = + + − +

In conclusione si potrà scrivere:

( ) ( )11

2 21 1 42 2

x

x y y x xy

y

I I I I I I

I

= + − +

∓

Una volta in possesso dei momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi principali centrali d’inerziaè possibile ottenere i momenti d’inerzia rispetto ad una qualunque coppia di assi centrali in funzione

dell’angolo β .


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Pagina I-20

x1

y1dA

Aw

x

y

Fβ

β

β

Con riferimento alla figura si può scrivere:

1 1

1 1

cos sin

cos sin

x x y

y y x

β β

β β

= +

= −

Dalla definizione di momento d’inerzia si ha:

2

w x

A I y dA= ∫

e, utilizzando le formule di rotazione degli assi , si ottiene:

( )

1 1 1 1

21 1

2 2 2 21 1 1 1

2 2

cos sin

cos sin 2 sin

cos sin 2 sin

w

w w w

x A

A A A

x x y y

I y x dA

y dA x y dA x dA

I I I

β β

β β β

β β β

= −

= − +

= − +

∫∫ ∫ ∫

Ricordando però che la coppia di assi x1 y1 è una coppia di assi principali centrali d’inerzia per laquale si ha

1 10 x y I = potremo scrivere:

1 1

2 2cos sin x x y I I I β β = +

Ripetendo il procedimento per gli altri due momenti si ottiene infine:1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

cos sin

sin cos

1sin2

2

x x y

y x y

xy x y

I I I

I I I

I I I

β β

β β

β

= +

= +

= −

(B.9)

Con riferimento alla figura precedente ed utilizzando le relazioni (B.9) è possibile determinarel’andamento dei momenti del secondo ordine, calcolati rispetto ad una coppia di assi xy ruotatadell’angolo β rispetto agli assi principali centrali d’inerzia x1 y1, al variare dell’angolo β . Tale anda-mento è schematizzato nella figura seguente.


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Pagina I-21

x1

y1

Aw

Fy1

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

β/πβ/πβ/πβ/π

I x ,

I y ,

I x y

IX IY IXY

Si ricordi che x1 ed y1 sono assi principali centrali d’inerzia e che pertanto si ha I x1 minimo, I y1 mas-simo ed I x1y1 nullo.

B9 Ellisse centrale d’inerzia di una figura pianaRicordando la definizione di raggio d’inerzia, la prima delle (B.9) può essere riscritta nella forma:

1 1

1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos sin

cos sin

x w x w y w

x x y

A A A ρ ρ β ρ β

ρ ρ β ρ β

= +

= +

Ricordando che, per convenzione,1 x

I è il minimo dei momenti principali centrali d’inerzia si a-

vrà1 1 x y

ρ ρ < .

È possibile costruire un’ellisse che

abbia come semiassi i due raggid’inerzia

1 1

1 1

x y

x y

w w

I I

A A ρ ρ = =

L’equazione dell’ellisse sarà dunque:

1 1

2 21 12 2

1 y x

x y

ρ ρ + =

Questa ellisse prende il nome di ellissecentrale d’inerzia della figura piana.


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Pagina I-22

d

d'

t1

t2

A B

C

D

E FM

x1

y1

PP'

ψ−β

β

βF

t

x

y'

y

'x

x

ψ

Una importante proprietà dell’ellisse centrale d’inerzia è la seguente:

Il raggio d’inerzia rispetto ad una retta baricentrica è dato dal semidiametro dell’ellisse ad essa

coniugato.

La ricerca del diametro coniugato può essere fatta in base alla seguente definizione:

“il diametro d’ è coniugato di d rispetto all’ellisse se esso biseca tutte le corde parallele a d ”.In conseguenza della definizione precedente di

può anche dire che: “il diametro d’ è coniugato did rispetto all’ellisse se congiunge i punti ditangenza all’ellisse con due rette parallele a d .

Nella figura sono illustrate le procedure perl’individuazione del diametro d’ coniugato di d .

Infatti d’ può essere individuato congiungendo il punto medio M della corda GH, parallela al dia-

metro d ≡ AB, con il centro dell’ellisse F che, perdefinizione, biseca la corda AB che è anche undiametro dell’ellisse.

In alternativa d’ può essere individuatocongiungendo i punti C e D di tangenza conl’ellisse delle due parallele t1 e t2 al diametro d .

L’ellisse centrale d’inerzia può quindi essere definita come il diagramma polare della variazione delraggio d’inerzia della figura piana:

'' x xw

I A

ρ =

rispetto ad un asse centrale x che ruoti attorno al centro della figura.

Nella figura il segmento FP’, giacente sulla retta y’ coniugata della x rispetto all’ellisse, rappresenta ilraggio d’inerzia ρ ’ x della figura rispetto alla retta x;si ha cioè:

2' ' x x w I A ρ =

In questo caso, però, le distanze dall’asse x sonovalutate secondo la direzione y’ , coniugata di x, enon in direzione normale ad x. Risulta quindi:

2' 'w

x A

I y da= ∫

Dalla geometria proiettiva si deduce che l’angoloψ che la retta y’ , coniugata della x rispettoall’ellisse, forma con la retta y ⊥ alla x è espressodalla relazione seguente (vedi Appendice I):

arctan tan y x

I I

ψ β

=


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Pagina I-23

Volendo ottenere:

2

w x

A I y dA= ∫

in cui le y sono valutate in direzione ⊥ ad x occorre utilizzare la relazione:

( )'cos y y ψ β = −

che consente di scrivere:

( )

( )

2 2

2 2

' cos

cos '

w

w

x A

A

I y dA

y dA

ψ β

ψ β

= −

= −

∫

∫

dalla quale si ottiene infine:

( )2' cos x x I I ψ β = −

Esprimendo la relazione precedente in funzione dei raggi d’inerzia si otterrà:

( )2 2 2' cos x w x w A A ρ ρ ψ β = −

che fornisce:

( )' cos x x ρ ρ ψ β = −

Sulla base di quest’ultima relazione si può ottenere il momento d’inerzia desiderato:

( )2 2' cos x x w I A ρ ψ β = −

Si illustra ora il procedimento per determinare il momento d’inerzia della figura Aw rispetto alla ret-ta x essendo nota l’ellisse centrale d’inerzia.

ψ d’i

x1y1

F

E

B

D

Ct

xi

y'i

ρ'xi

ρ'xi

x

Aw

α

n

Si tracciano, parallelamente ad x, la retta xi per F e la retta t tangente all’ellisse. Individuato il punto

C di tangenza per esso e per F si traccia la retta y’ i coniugata di xi rispetto all’ellisse. In questa ma-niera il raggio d’inerzia ρ ’ xi risulta determinato.

Come si è mostrato in precedenza il raggio d’inerzia ρ ’ xi consente di valutare il momento d’inerzia


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Pagina I-24

I’ xi, calcolato misurando le distanze in direzione y’ i, dalla relazione:

2' 'i i x x w

I A ρ =

Il momento I’ x può essere ottenuto applicando, sempre in direzione y’ i, il teorema di Huyghens:

2

' ' 'i x x w i I I A d = + Dividendo la relazione precedente per Aw si ottiene:

2 2 2' ' 'i x x i

d ρ ρ = +

Se sulla normale n ad y’ i si riporta un segmento FD eguale a ρ ’ xi e si congiunge D con E , punto diintersezione di y’ i con x, si ottiene il triangolo rettangolo FED. Applicando il teorema di Pitagora siottiene:

2 2 2 ED EF FD= +

che, per come è stato costruito il triangolo, può essere riscritta nella forma:2 2 2' '

i x i ED d ρ = +

si può quindi concludere che:

22' x ED ρ =

Volendo ottenere il momento d’inerzia rispetto ad x per distanze valutate normalmente all’asse x occorre proiettare sia ρ ’ xi sia d’ i sulla normale ad x. Si ottiene:

( )2' cos x x I I ψ β = −

e, tenendo conto che ( )90α ψ β = ° − − , l’espressione precedente può essere riscritta nella forma:2' sin x x I I α =

B10 Appendice I – Direzioni coniugate rispetto ad un’ellisse

Considerato il cerchio sul piano xy delle proiezioni ortogonali avente centro nell’origine O, si vuolvedere come si corrispondono coppie di diametri tra loro perpendicolari, quando il cerchio, median-te operazioni di proiezione e/o sezione diviene un’ellisse. Un esempio di queste operazioni può es-sere la rappresentazione assonometrica del cerchio, ad esempio un’assonometria cavaliera.


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Pagina I-25

x

M

P

y

N

Q

r

r

r'

r'

O

B2

A2

B1

A1

x'

A'1

M'P'

B'2B'1

y'

N'

A'2

z

Q'

r

r

r'

r'

O'

Alla coppia di diametri del cerchio 1 2 A A e 1 2 B B nella proiezione ortogonale corrisponde la coppia

1 2' ' A A e 1 2' ' B B nell’assonometria. Si ricorda che nell’assonometria cavaliera gli assi x’ ed y’ so-no scelti arbitrariamente, ma le scale sui due assi sono eguali.

Le altre coppie, ad esempio N e PQ ⊥ nella proiezione ortogonale, si costruiscono secondo le

regole dell’assonometria: si ottengono ' ' N e ' ' P Q non più ⊥ e di misura diversa. ' ' N e

' ' P Q come 1 2' ' A A e 1 2' ' B B sono diametri coniugati.

Vogliamo ora cercare quella coppia di diametri del cerchio tra loro perpendicolari che si mantengo-no ancora perpendicolari nell’assonometria.

Con riferimento alla figura seguente supponiamo di aver costruito una coppia di diametri coniugati

(ad esempio 1 2' ' A A e 1 2' ' B B ) come visto in precedenza.

1) Con centro in O’ si traccia una circonferenza di raggio 1' 'O A

2) Si conduce per 2' A la ⊥ ad y’

3) Su detta normale, a partire da 2' A , si riportano i segmenti 2' A E e 2' A F uguali a 1' 'O A (si ri-

corda che 1 2 1 2' ' ' ' ' ' ' 'O A O A O B O B= = = )

4) Si tracciano le rette r’ , passante per O’ ed F , ed s’ , passante per O’ ed E

5) Si costruiscono le bisettrici degli angoli ' 'r s


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Pagina I-26

x'

A'1

B'2 B'1

y'

A'2

O' F

E

s'

s'

r'

r'

A

BC

D

γ

γ /2

δ/2

δ

a

a b

b

Su queste bisettrici, che risultano ⊥ tra loro, si trovano i diametri coniugati del cerchio che si man-tengono ortogonali nell’assonometria e che sono gli assi dell’ellisse corrispondente al cerchio. I va-

lori dei semidiametri dell’ellisse sono dati da:' ' ' '

2 2

O E O F O E O F a b

+ −= =

In questo modo possono essere identificati i punti A, B, C e D per i quali passa l’ellisse che può cosìessere tracciata.

Più in generale, assegnate le direzioni di x’ ed y’ e le eventuali scale di riduzione, si riportano

1 2' ' A A e 1 2' ' B B : essi rappresentano una coppia di diametri dell’ellisse che si dicono coniugati.Evidentemente la loro misura e la loro direzione relativa dipendono dalla scelta di x ed y (ovverosiadalle proiezioni parallele e dalle sezioni mediante le quali si è ottenuta la rappresentazione assono-

metrica). Tutte le altre coppie di diametri (perpendicolari nel cerchio) avranno direzione relativa de-terminata dalla scelta della prima coppia. Si è visto infatti come la coppia N e PQ ( N ⊥ PQ

nel cerchio) si trasformi nella coppia coniugata ' ' M N e ' ' P Q .

La legge che definisce la posizione relativa delle coppie ⊥ nel cerchio quando (attraverso operazionidi proiezione e sezione) questo si trasforma in una ellisse si chiama “involuzione dei diametri co-niugati”.

L’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi x ed y è:

2 211 12 22 332 0a x a xy a y a+ + + = (B.10)

La legge che esprime l’involuzione dei diametri coniugati (cfr. O. Chisini Geometria analitica e proiettiva pag. 424) e espressa dalla relazione:


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Pagina I-27

y1

x1

x

y'

ρx1

ρy1O

( )22 12 11' ' 0a mm a m m a+ + + = (B.11)

dove m ed m’ sono i coefficienti angolari dei diametri coniugati ( essendo 1 1 y mx= e 1 1' y m x= leequazioni delle rette x’ ed y’ che contengono i diametri).

L’equazione canonica dell’ellisse rispetto ad x1 ed y1 è:

1 1

2 21 12 2

1 y x

x y

ρ ρ + = (B.12)

cioè:

1 1 1 1

2 2 2 2 2 21 1 0 x y x y x y ρ ρ ρ ρ + − =

Il confronto di quest’ultima equazione con la (B.10) comporta che, affinché le equazioni (B.10) e(B.12) rappresentino la stessa curva, sia pure rispetto ad assi diversi, debba essere:

1 1 1 1

2 2 2 211 12 22 330 x y x ya a a a ρ ρ ρ ρ = = = = −

Pertanto la (B.11) diviene:

1 1

2 2' 0 y xmm ρ ρ + =

che conduce alla:

1

1

2

2' xmm

ρ

ρ = −

che fornisce infine:

1

1

2

2 1 ' x

y

mm

ρ ρ

= − (B.13)

Ora, con riferimento alla figura, essendo:

' tan tan2

m mπ

ψ β

= − + =

od altrimenti:

' cot tanm mψ β = − =

sostituendo nella (B.13) si ottiene:

1

1

2

2

1cot

tan x

y

ρ ψ

ρ β − = −

ed anche:

1

1

2

2tan tan y

x

ρ ψ β

ρ =

che fornisce infine:

1

1

tan tan y x

I I

ψ β =


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Pagina I-28

C Metodi di quadratura

Si tratta, a questo punto, di procurarsi gli strumenti per calcolare le espressioni sino a qui ricavate,ed in particolare occorre calcolare i valori degli integrali di superficie.

Riassumiamo le relazioni che esprimono le grandezze che dobbiamo determinare:

( ) [ ]0w

W A

A z dA= >∫ (C.1)

( ) [ ]0w

x A

S z ydA= ∫ (C.2)

( ) [ ]0w

y A

S z xdA= ∫ (C.3)

( ) [ ]2 0w

x A

I z y dA= >∫ (C.4)

( ) [ ]2

0w y A I z x dA= >∫ (C.5)

( ) [ ]0 xy Aw

I z xydA= ∫ (C.6)

( ) [ ]0

0 z

W z

A z dz α

α ∇ = >∫ (C.7)

( )

( )

( )

[ ]

0

0

0

0

z

yz y z

z

xz x z

z

xy W z

M S z dz

M S z dz

M zA z dz

α

α

α

=

=

=

∫

∫

∫

(C.8)

Consideriamo il sistema piano rappresentato in figura:

X

Y

dA

Aw

O

dxdy

C1

C2

ab

x

y

y1(x)

y2(x)


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Il dominio piano normale all’asse X ha come frontiera due linee di equazioni ( )1 y x ed ( )2 y x con-

tinue e definite nell’intervallo a x b< < . In queste ipotesi le relazioni da (C.1) a (C.6) possono esse-re trasformate come segue:

( )

( )( ) ( )

2

1

2 1w w

b y x b

W

A A a y x a

A dA dxdy dx dy y x y x dx= = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )( ) ( )

2

1

2 22 1

1

2w w

b y x b

x A A a y x a

S ydA ydxdy dx ydy y x y x dx = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )( ) ( )

2

12 1

w w

b y x b

y A A a y x a

S xdA xdxdy xdx dy x y x y x dx= = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )( ) ( )

2

1

2 2 2 3 32 1

1

3w w

b y x b

x A A a y x a

I y dA y dxdy dx y dy y x y x dx = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )( ) ( )

2

1

2 2 2 22 1

w w

b y x b

y A A a y x a

I x dA x dxdy x dx dy x y x y x dx= = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )( ) ( )

2

1

2 22 1

1

2w w

b y x b

xy A A a y x a

I xydA xydxdy xdx ydy x y x y x dx = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Se le funzioni 1( ) y x ed 2 ( ) y x fossero note in forma analitica le grandezze sopra riportate potrebbe-ro essere calcolate senza difficoltà.

Molto spesso, in campo navale, ci si trova di fronte a funzioni che sono note esclusivamente attra-verso il loro grafico; in questo caso si possono cercare dei polinomi che approssimino le curve reali.

Le espressioni sopra ricavate, ricordando il significato di integrale definito, possono essere sostituiteda espressioni approssimate; osservando la figura seguente si può scrivere infatti:

X

Y

AW

C1

C2

b

y2(x)

xi

y 1 ( x i )

y 2 ( x i )

∆∆∆∆xi

y1(x)

Oa

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1i

bb

W i i ia

x a

A y x y x dx y x y x x=

= − ≅ − ∆ ∑∫


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Pagina I-30

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 1 2 1 2 1

2 12 1

1 1

2 2

2i

b b

xa a

bi i

i i i

x a

S y x y x dx y x y x y x y x dx

y x y x y x y x x

=

= − = + − ≅

+≅ − ∆

∫ ∫

∑

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1i

bb

i i i ia

x a

S x y x y x dx x y x y x x=

= − ≅ − ∆ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 32 1 2 11 1

3 3i

bb

x i i ia

x a

I y x y x dx y x y x x=

= − ≅ − ∆ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1i

bb

i i i ia

x a

I x y x y x dx x y x y x x=

= − ≅ − ∆ ∑∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 1 2 1 2 1

2 1 2 1

1 1

2 21

2i

b b

xy

a a

b

i i i i i i

x a

I x y x y x dx x y x y x y x y x dx

x y x y x y x y x x=

= − = + − ≅

≅ + − ∆

∫ ∫

∑

È opportuna una osservazione sul significato degli addendi delle sommatorie: essi rappresentano ilvalore delle grandezze in corso di calcolo relativamente ad una striscia di figura avente ampiezza

i∆ ed altezza ( ) ( )2 1i i y x y x− , rappresentata ad esempio dalla zona tratteggiata della figura prece-

dente.

Si può seguire un’altra via, meno significativa dal punto di vista fisico, ma che permette di organiz-zare i calcoli in modo migliore.

Consideriamo i sei integrali definiti a primo membro delle sei relazioni precedenti e poniamo lefunzioni integrande eguali rispettivamente a: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ed ( ) x y x y xya x s x s x i x i x i x . Le sei rela-

zioni di cui sopra si possono riscrivere come segue:

( ) ( )2 1 ( )b b

W a a

A y x y x dx a x dx= − = ∫ ∫

( ) ( )2 22 11

( )2

b b

x xa a

S y x y x dx s x dx = − = ∫ ∫

( ) ( )2 1 ( )b b

y ya a

S x y x y x dx s x dx= − = ∫ ∫

( ) ( )3 32 11

( )3

b b

x xa a

I y x y x dx i x dx = − = ∫ ∫

( ) ( )2 2 1 ( )b b

y ya a

I x y x y x dx i x dx= − = ∫ ∫

( ) ( )2 22 11

( )2

b b

xy xya a

I x y x y x dx i x dx = − = ∫ ∫

Gli integrali definiti a secondo membro delle precedenti relazioni possono essere calcolati se sononote le funzioni integrande. Si tratta quindi di costruire i grafici delle stesse.

Suddiviso l’intervallo a-b in un certo conveniente numero di parti si può compilare la seguente tabella:


31/113


Pagina I-31

x

f(x)

x0=a x1 x2 …… xi …… xn=b

y2(x) 2 ( )i y x

y1(x) 1( )i y x a(x) ( ) ( )2 1i i y x y x−

sx(x) ( ) ( )2 22 1

1

2 i i y x y x −

sy(x) ( ) ( )2 1i i i y x y x−

ix(x) ( ) ( )3 32 1

1

3 i i y x y x −

iy(x) ( ) ( )2 2 1i i i y x y x−

ixy(x) ( ) ( )2 22 12

ii i

x y x y x −

Riportando in un diagramma cartesiano i punti così calcolati delle funzioni e congiungendoli oppor-tunamente si ottengono i diagrammi delle funzioni così come illustrato, a titolo di esempio, per lafunzione ( )a x nella figura seguente.

a(xi)

X

a(x0)

a(x1)

a(xn)

x0=a xn=bxi

a(x)

x1

Calcolare gli integrali definiti vuol dire valutare le aree sottese dai diagrammi delle funzioni inte-grande. Ciò può essere fatto o per mezzo di planimetri o utilizzando formule di quadratura appros-simata.

C1 Formula di Bezout (o dei trapezi)

Sia ( ) f x una delle funzioni integrande considerate e di cui si sia tracciato il diagramma. Suddivisol’intervallo a-b in un certo numero n di parti uguali di ampiezza λ tale che:


32/113


Pagina I-32

b a

nλ

−=

si sostituisce alla curva ( ) f x una spezzata che abbia come vertici i punti A, B, C, … individuati

sulla curva ( ) f x in corrispondenza delle ascisse a , a λ + , 2a λ + , ecc.. La formula di Bezout si

ricava immaginando di poter considerare equivalenti l’area sottesa dalla spezzata e quella sottesadalla curva.

f 0 f 1 f 2 f 3

λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ

A

B

CD

f n-2 f n-1 f n

a b X

f(X)

L’area della striscia generica vale:

( )12i i i A f f λ +∆ = + (C.9)

che è la formula dell’area d un trapezio. L’area totale sarà data da:

( ) ( ) ( )

1 2

0 1 1 2 12 2 2

i ni

n n

A A A A A

f f f f f f λ λ λ

−

= ∆ = ∆ + ∆ + + ∆ =

= + + + + + +

∑

e quindi dalla relazione:

01 2 12 2

nn

f f A f f f λ −

= + + + + + (C.10)

C2 Formula di Simpson (o delle parabole)

Si suddivide l’intervallo ab in un numero 2n m= (pari) di parti uguali di ampiezza λ e all’arco dicurva ( ) f f x= corrispondente ad una coppia di intervalli parziali contigui si sostituisce un arco di

parabola (di 2° grado) con asse normale all’asse X ( ) 2 y x Mx Nx D = + + passante per i punti del

diagramma della funzione ( ) f f x= individuati dalle ascisse, ad esempio a, a+λ , a+2λ , ecc.


33/113


Pagina I-33

f 0 f 1 f 2

λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ

AB

C

f n-2 f n-1 f n

a b X

f(x)

y(x)

f(x)

y(x)

a+λ λλ λ a+2λ λλ λ

Si vengono ad individuare m = n/2 coppie di intervalli uguali di ampiezza 2λ . Per ciascuno di essidobbiamo determinare la parabola ( ) 2 y x Mx Nx D= + + .

Per l’intervallo generico compreso tra le ascisse 2k

x a k λ = + e ( )2 2 2k x a k λ + = + + (con k = 0, 1,

2, …., m-1) le ordinate corrispondenti saranno k f , 1k f + ed 2k f + .

I coefficienti M, N e D si determinano imponendo che l’equazione della ( ) y y x= sia soddisfatta

dalle tre coppie ( ),k k f , ( )1 1,k k f + + ed ( )2 2,k k f + + , ottenendo il seguente sistema di tre equazioni

in tre incognite:

( )

( )

( )

2

21 1 1

22 2 2

k k k

k k k

k k k

y x Mx Nx D

y x Mx Nx D

y x Mx Nx D

+ + +

+ + +

= + +

= + +

= + +

sostituendo i valori delle ascisse e delle ordinate dei punti per i quali la parabola deve passare si ot-tiene il sistema

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

12

2

2 2

2 1 2 12 2 2 2

k

k

k

f M a k N a k D

f M a k N a k D

f M a k N a k D

λ λ

λ λ λ λ

+

+

= + + + +

= + + + + + +

= + + + + + +

che deve essere risolto rispetto alle incognite M, N e D.

Per esaminare il tipo di risultato che si ottiene calcoliamo M, N e D nel caso in cui sia a=0 (il dia-gramma inizia per x=0) e per k =0 (si considera la prima striscia di ampiezza 2λ ). Si ottiene:

0

21

22 4 2

f D

f M N D

f M N D

λ λ

λ λ

=

= + +

= + +

moltiplicando per 4 entrambi i membri della seconda equazione del sistema si ha:


34/113


Pagina I-34

0

21

22

4 4 4 4

4 2

D f

f M N D

f M N D

λ λ

λ λ

=

= + +

= + +

e sottraendo membro a membro la terza equazione dalla seconda il sistema diviene:

0

1 2

22

4 2 3

4 2

D f

f f N D

f M N D

λ

λ λ

=

− = +

= + +

Sostituendo nella seconda equazione il valore di D fornito dalla prima si ottiene la relazione:

1 2 04 2 3 f f N f λ − = +

che consente di calcolare 1 2 04 3

2

f f f N

λ

− −=

0

1 2 0

22

4 3

2

4 2

D f

f f f N

f M N D

λ

λ λ

=

− −=

= + +

In fine, sostituendo nella terza equazione del sistema i valori di D ed N è possibile calcolare M:

2 0 12

2 f f f M

λ

+ −=

0

1 2 0

2 0 12

4 3

22

D f

f f f N

f f f M

λ

λ

=

− −=

+ −

=

Generalizzando si ha:

1 2

2 12

4 32

2

k

k k k

k k k

D f

f f f N

f f f M

λ

λ

+ +

+ +

=

− − =

+ −=

L’area sottesa dalla parabola, relativamente alla striscia k , vale

( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 2 2 2 2 23 2

22 2

1 1

3 2

a k

k a k

a k a k a k

a k a k a k

A Mx Nx D dx

M x N x D x

λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

+ +

+

+ + + + + +

++ +

= + +

= + +

∫

Una volta portati a temine i calcoli si ottiene infine:


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Pagina I-35

( )1 243k k k k A f f f

λ + += + + (C.11)

Per la striscia k si può quindi scrivere:

( ) ( )2 2k k

k k

x x

k x x

A f x dx y x dx+ +

=

∫ ∫

L’area sottesa dalle m parabole che sostituiscono, striscia per striscia, l’intero diagramma vale:

( ) ( ) ( )

( )

1

0 1 2 2 3 4 2 10

0 1 2 1

4 4 43 3 3

4 2 43

m

k n n n

k

n n

A A f f f f f f f f f

f f f f f

λ λ λ

λ

−

− −=

−

= = + + + + + + + + +

= + + + + +

∑

f 0 f 1 f 2

λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λλ λ

f n-2 f n-1 f n

a b X

f(x)

y(x)

a+λ λλ λ a+2λ λλ λ

y0(x)

y1(x)ym-1(x)

f(x)

Osservazioni:

1) Si ricorda ancora che l’intervallo a-b deve essere suddiviso in un numero pari di parti uguali.

2) Se la linea (od il diagramma) termina in modo da avere una tangente parallela (o quasi) all’assedelle ( ) f x , la formula di Simpson da luogo ad errori notevoli, in quanto la parabola approssimante

ha asse parallelo a quello delle ( ) f x e non può quindi assumere tangente parallela al suo asse.

Y

Xa

y(x)

f(x)

λ λλ λ λ λλ λ

Y

Xa

y(x)

f(x)



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Pagina I-36

In questo caso l’errore può essere ridotto semplicemente riducendo l’ampiezza degli intervalli, co-me mostrato nelle figure precedenti; nella figura di destra gli intervalli λ sono stati dimezzati, por-tando ad un risultato di migliore precisione.

Un altro rimedio può essere quello di modificare lievemente l’andamento della f ( x) nell’intervalloconsiderato ottenendo una curva g ( x) che presenti un valore iniziale non nullo e che abbiaall’incirca la stessa area sottesa, come ad esempio indicato nella figura seguente.

Y

Xa

f(x)


g(x)

3) La formula di Simpson fornisce valori esatti per funzioni ( ) f x di grado non superiore al 3°.

4) I diagrammi delle funzioni integrande (a( x), s x( x), s y( x), ecc ) possono essere frequentemente rap- presentati da funzioni di grado superiore al 3°, infatti ponendo per esempio 22 ( ) y x x= e 1( ) 0 y x = si ottiene:

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

2

22 4

2 3

32 6

2 2 4

22 5

2

1 14

2 2

3

1 16

3 3

4

1 15

2 2

x

y

x

y

xy

a x x

s x x x

s x x x x

i x x x

i x x x x

i x x x x

= °

= = °

= = °

= = °

= = °

= = °

La formula base per calcolare l’area con il metodo di Simpson può anche essere ricavata per altravia, sempre nell’ipotesi di utilizzare una parabola passante per tre punti noti.

Facendo riferimento alla figura seguente, innanzitutto si può osservare che l’area ABECDA può esse-

re ottenuta come somma delle aree ABFCDA e BECFA .


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Pagina I-37

f

xA λ λλ λ λ λλ λ

B

C

D

E

F

G

f k f k+1 f k+2

L’area del trapezio ABFCD vale:

( )2k k f f λ += +ABFCDA

mentre per conoscere l’area BECFA occorre conoscere il segmento EF . Esso può essere ricavato

sottraendo dal segmento noto EG il segmento FG che si ottiene come valore medio tra AB e

CD :

2

2k k f f ++=FG

Risulta quindi:

21 2

k k k

f f f ++

+= −EF

L’area BECFA , nell’ipotesi che l’arco BEC appartenga ad una parabola, è data dalla formula:

21

1 2

22

3

43 2

24

3 2

k k k

k k k

f f f

f f f

λ

λ

λ

++

+ +

=

+ = −

− − =

BECFA EF

che fornisce:

( )1 22

23 k k k

f f f λ + += − −BECFA

A questo punto è possibile calcolare l’area ABECDA dalla relazione:

( ) ( )2 1 22

23k k k k k

f f f f f λ λ + + += + + − −ABECDA


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Pagina I-38

che, riordinata, fornisce la formula di Simpson (C.11):

( )1 243 k k k f f f

λ + += + +ABECDA

C3 Regola 5+8-1Ipotizzando sempre di utilizzare una parabola passante per tre punti, questa formula consente di cal-colare l’area di una striscia di ampiezza λ . Sia data la situazione rappresentata nella figura seguente:

f

xλ λ

f k f k+1 f k+2

AI AII

L’area AI della prima striscia è data da:

[ ]1 2AI 5 812 i i i f f f

λ + += + − (C.12)

mentre l’area AII della seconda si ottiene dalla:

[ ]2 1AII 5 812 i i i f f f

λ + += + −

Occorre quindi ricordare che il coefficiente 5 va applicato all’ordinata estrema della coppia di inter-valli posta dalla parte corrispondente alla striscia di cui si vuole calcolare l’area, il coefficiente 8 vaapplicato all’ordinata media ed infine il coefficiente –1 deve essere applicato all’altra ordinata di e-

stremità.Volendo calcolare l’area A complessiva delle due sommando le aree AI ed AII si ottiene:

[ ]1 2 2 15 8 5 812 i i i i i i A f f f f f f

λ + + + += + − + + −

che riordinata assume la forma:

[ ]1 2A 4 16 412 i i i f f f

λ + += + +

Semplificando si ha:

[ ]1 2A 43 i i i f f f

λ + += + +


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che altro non è se non la formula di Simpson (C.11).

C4 2a formula di Simpson

Questa formula può essere utile nel caso si debba calcolare l’area di tre strisce di eguale ampiezza.

Considerando la figura seguente:

f

xλ λ

f k f k+1 f k+2

λ

f k+3

L’area sottesa dalla curva è data dalla formula:

[ ]1 2 33

A 3 38 i i i i

f f f f λ + + += + + + (C.13)

Naturalmente anche in questo caso per approssimare la funzione incognita vengono utilizzate parabole passanti per i punti noti

C5 Regole di Cotes

Si consideri la figura seguente.

λ 3 λ 3 λ 3

Li

L

y0 y1 y2 y3

x

y


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Pagina I-40

L’intervallo L potrebbe risultare suddiviso in un certo numero m di intervalli diversi L i, ciascunosuddiviso a sua volta in parti eguali. Risulta evidente che:

1

1

L L

A A

m

i

i

m

i

i

=

=

=

=

∑

∑

Consideriamo ora il generico intervallo Li. Esso, come si è detto, è suddiviso in un certo numero di parti eguali e indichiamo con k questo numero. Indicheremo con λ k l’ampiezza

Lik

k λ =

Le k+1 ordinate dei punti del diagramma verranno indicate con il simbolo f j, con j=0,1,2,…,k .

A titolo di esempio nella figura precedente, l’intervallo Li è stato suddiviso in 3 parti eguali, pertan-to k=3.

Nella tabella successiva sono riportate le formule, dovute a Cotes, che consentono di calcolarel’area Ai al variare del numero k di intervalli eguali in cui essa risulta suddivisa. Sono fornite 6 for-mule, per k che va da 1 a 6.

Il lettore riconoscerà le prime tre delle formule date che corrispondono rispettivamente alla formuladi Bezout (C.9), alla formula di Simpson (C.11) ed alla 2a formula di Simpson (C.13).

1k = 1L

1iλ = ( )1 0 1

1

2i A y yλ = +

2k = 2L2

iλ = ( )2 0 1 21 43i

A y y yλ = + +

3k = 3L

3iλ = ( )3 0 1 2 3

33 3

8i A y y y yλ = + + +

4k = 4L

4iλ = ( )4 0 1 2 3 4

27 32 12 32 7

45i A y y y y yλ = + + + +

5k = 5L

5iλ = ( )5 0 1 2 3 4 5

519 75 50 50 75 19

288i A y y y y y yλ = + + + + +

6k = 6L6

iλ = ( )6 0 1 2 3 4 5 61 41 216 27 272 27 216 41

140i A y y y y y y yλ = + + + + + +

C6 Note

• Se le funzioni 1 2( ) e ( ) y x y x sono analiticamente note, le funzioni ( ), ( ), ( ), ( ), ecc. x y xa x s x s x i x

sono anch’esse note ed il calcolo degli integrali definiti comporta la ricerca delle rispettive fun-zioni primitive; il risultato si ricava facendo la differenza tra i valori che le funzioni primitiveassumono agli estremi dell’intervallo di integrazione,

• Se le funzioni 1 2( ) e ( ) y x y x sono note esclusivamente per punti, le integrazioni debbono esseresvolte per via grafica od utilizzando i metodi di quadratura approssimata.


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• Esistono altre formule di quadratura, dovute a Cavalieri, Cotes, Gauss, Lagrange, e Tche- bycheff, che permettono di calcolare l’area sottesa ad un diagramma, suddividendo l’intervalloanche secondo ascisse non legate da equidistanza,


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Pagina II-1

II Rappresentazione della forma della carena

In questo capitolo verrà trattata la rappresentazione della carena. Verrà inoltre descritto come otte-nere l’intersezione della superficie di carena con piani di galleggiamento inclinati. Da ultimo saran-no illustrati i principali calcoli inerenti la carena.

D

Geometria della carena

D1 Considerazioni generali

Lo scafo della nave è una superficie complessa ed in generale non rappresentabile medianteun’equazione. Per questo motivo esso viene rappresentato per mezzo di sezioni ottenute con tre fa-sci di piani paralleli ortogonali tra loro. Prima di illustrare questa forma di rappresentazione della

carena è necessario passare in rassegna la terminologia utilizzata per descrivere lo scafo della nave.

D2

Definizioni

Nave [Ship]: Galleggiante atto a muoversi sulla superficie del mare

Scafo [ Hull ]: Quella parte della nave che ne costituisce il corpo impermeabile e resistente general-mente diviso in due parti uguali da un piano di simmetria.

Prora (o prua) [ Head, Stem]: l’estremità anteriore dello scafo, quella che nella marcia avanti fende per prima l'acqua.

Prodiero [ Fore, Forward ]: che si trova verso prora

Poppa [Stern]: l’estremità posteriore dello scafo.

Poppiero [ After, Astern]: che si trova verso poppa

Per un osservatore che sta nel piano di simmetria e rivolto verso prora, si chiamano

Lato sinistro [ Port side]: la parte di nave a sinistra del piano di simmetria

Lato dritto [Starboard side]: la parte di nave a destra del piano di simmetria

opera viva

opera morta masconegiardinetto

Figura II-1

Carena o Opera viva [ Hull, Quick-works]: La porzione di scafo che si trova al di sotto dell’acqua.

Opera morta [Topside, Dead-works]: La porzione di scafo che si trova al di fuori dell’acqua.

Mascone [ Bow, Loof ]: parte prodiera dell’opera morta

Giardinetto [Quarter ]: parte poppiera dell’opera morta

La nave si distingue da un galleggiante generico poiché possiede quasi sempre un piano di simme-tria, cioè un piano longitudinale e verticale rispetto al quale la carena è simmetrica. La gondola ve-neziana è uno dei rarissimi esempi di opera viva asimmetrica; questa asimmetria è dovuta al parti-


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colare tipo di propulsione che impedirebbe ad uno scafo simmetrico di procedere in linea retta. Piùfrequentemente l’opera morta può essere asimmetrica, generalmente in conseguenza di particolarinecessità operative della nave.

Dal momento che la nave può risultare più o meno immersa, in conseguenza del carico che essa porta, si definisce una condizione di carico particolare, detta condizione di progetto, che viene as-sunta come base per la progettazione. Le definizioni di carena ed opera morta fanno riferimento aquesta condizione.

Piano di galleggiamento [Water plane]: piano che definisce la posizione del pelo libero del marerispetto allo scafo. Un esempio è rappresentato dal piano π nella figura successiva.

π

Figura II-2

Piano di galleggiamento di progetto [ Design water plane]: è il piano che definisce la posizione del pelo libero del mare rispetto allo scafo quando la nave si trova nella condizione di carico di proget-to.

π

Figura II-3

Linea di galleggiamento o linea d’acqua [Water line]: è l’intersezione del piano di galleggiamentocon la superficie dello scafo.

Linea di galleggiamento di progetto [ Design water line, DWL]: è l’intersezione del piano di galleg-


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giamento con la superficie dello scafo quando la nave si trova nella condizione di carico di progetto.

Figura di galleggiamento: è la superficie racchiusa dalla linea di galleggiamento.

Nella figura precedente è stata rimossa la carena; la porzione di piano che era occupata dalla carenaè la figura di galleggiamento, il confine tra la figura di galleggiamento ed il piano π rappresenta la

linea di galleggiamento. Fasciame [ Plating, Shell ]: l’insieme delle lamiere che costituiscono lo scafo.

Orlo del fasciame; estremità superiore del fasciame dello scafo, si trova in prossimità dell'interse-zione tra il fianco ed il ponte di coperta.

Corso (di fasciame) [Strake]: ciascuna delle strisce di lamiera che costituiscono il fasciame.

Come illustrato nella figura seguente il fasciame, del quale sono evidenziati anche i corsi, è irrobu-stito da numerosi elementi strutturali, chiamati anche ossatura della nave, che contribuiscono ad ir-robustire il fasciane ed a mantenerne la forma desiderata.

In tutti i disegni inerenti la geometria della carena lo scafo viene rappresentato dalla superficie in-

terna del fasciame, che risulta comune tra i rinforzi ed il fasciame stesso.

Figura II-4

La convenzione di rappresentare lo scafo con la superficie sopra citata deriva anche dalla impossibi-lità pratica di rappresentare lo spessore del fasciame, che al massimo risulta di qualche decina dimillimetri, in disegni che rappresentino l’intero scafo o parti considerevoli di esso aventi dimensioni


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Pagina II-4

di decine o centinaia di metri.

Pertanto nei disegni in cui non viene rappresentato lo spessore del fasciame la superficie dello scafoè rappresentata dalla superficie interna del fasciame.

Superficie fuori ossatura (o superficie entro fasciame) [ Molded surface]: superficie interna del fa-

sciame che viene a contatto con le strutture di rinforzo. Ponte [ Deck ]: superficie che si estende da murata a murata che suddivide il volume interno allo sca-fo in zone sovrapposte. I ponti possono essere estesi a tutta la lunghezza della nave od interessarnesolo una parte.

Copertino [ Flat ]: Ponte di estensione longitudinale molto modesta.

Ponte di coperta o Coperta [ Main deck , Upper deck ]: ponte che rappresenta la chiusura dello scafoverso l’alto. Esso può presentare, specialmente nelle navi più vecchie, una doppia curvatura che fa-vorisce il deflusso fuoribordo dell’acqua di mare eventualmente imbarcata.

Intersezione tra ponte e piano di simmetria

Intersezione tra ponte e murata

Linea di insellatura

Retta del baglio

Figura II-5

Retta del baglio: linea orizzontale, contenuta in un piano verticale ortogonale al piano di simmetriadella carena, congiungente i punti di intersezione tra ponte di coperta e murate

Linea di insellatura: Proiezione sul piano di simmetria della linea di intersezione del ponte di coper-ta con le murate.

Insellatura [Sheer ]: Distanza tra la linea d'insellatura e la traccia del piano di galleggiamento tan-gente all'intersezione tra ponte e murate. L'insellatura assume grandezza diversa a seconda della po-sizione longitudinale considerata; in particolare essa è più grande nelle sezioni prossime alle estre-mità prodiera e poppiera e diminuisce verso la mezzeria della nave.

Bolzone [Camber ]: Distanza, misurata nel piano di simmetria, tra il ponte di coperta e la retta del baglio. Il bolzone assume grandezza diversa a seconda della posizione longitudinale considerata;esso è maggiore nelle sezioni a centro nave e diminuisce verso le estremità prodiera e poppiera.

Fianco o Murata [Ship side]: la parte dello scafo che ne rappresenta la chiusura laterale. Nella partecentrale della nave essa può essere piana.

Fondo [ Bottom]: la parte dello scafo che ne rappresenta la chiusura inferiore. Nella parte centraledella nave esso può essere piano, orizzontale od inclinato.

Ginocchio [ Bilge]: parte dello scafo che raccorda fianco e fondo.


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ponte di coperta

retta del baglio

traccia del piano digalleggiamento

traccia del pianodi simmetria

DWLf i a n c o

ginocchio

fondo

0rlo del fasciame

Figura II-6

Perpendicolare Avanti [ Fore Perpendicular ]: retta verticale, appartenente al piano di simmetria, passante per l’intersezione tra il piano di galleggiamento di progetto e la superficie interna del fa-sciame della prora. Viene identificata dai simboli PPAV o FP.

Perpendicolare Addietro [ Aft Perpendicular ]: retta verticale, appartenente al piano di simmetria, passante per l’asse di rotazione del timone. Viene identificata dai simboli PPAD o AP.

PP AVPP AD

DWLDWL

Figura II-7

Perpendicolare al Mezzo [ Midship Perpendicular ]: retta verticale, appartenente al piano di simme-tria, equidistante dalle perpendicolari avanti e addietro. Viene identificata dai simboli PPAM o MP.

Chiglia

Figura II-8


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Dispense Prof Ferrando - Geometria Dei Galleggianti