Diseno de Controladores Anal˜ ogicos.´ - Escuela …eduzal/icontrol/dcont4.pdfDiseno de Controladores Anal˜ ogicos.´ Dpt. Ingenier´ıa de Sistemas y Automatica´ ETSII. Universidad

Diseno de Controladores Anal ogicos.

Dpt. Ingenier´ıa de Sistemas y Autom atica

ETSII. Universidad de Valladolid

Paseo del Cauce, s/n

Valladolid, SPAIN 47011

Contenido.

� Introduccion.

� Controlador proporcional, integral y derivativo (PID).

� Tecnicas clasicas de diseno.

� Sintonizacion directa de PIDs.

� Estructuras de control complejas.

� Metodos avanzados de control.

DISA—Universidad de Valladolid (Spain) Diseno de Controladores Analogicos 1

Introducci on: Sistemas en lazo abierto.

� Relacion Dinamica Entrada-Salida �� Ecuacion Diferencial.

��

��

��

��

� Propiedades de un sistema lineal:

– Si ��

�� .

– Si ��

� Las relaciones fısicas son normalmente no lineales.

Ejemplo: Relacion voltaje/rmp de un motor.

� Los sistemas no lineales son linealizados en un punto de equilibrio

para su estudio y diseno de controladores.

Sea � �� , P.Equ. ��

Ecuacion linealizada en P.E.��

� ��

��

��

��

��

��

� �

� Funcion de transferencia: Transformada de Laplace del sistema

lineal��

�:

� � �

��

��

� � � � ��

– Salida a una entrada impulso �� Æ��,

�� (funcion ponderatriz) � � � � � � � �.

Ejemplo: � � � � �

. Impulso entrada � Escalon salida.

– Salida a entrada ��, integral de convolucion,

�� .


Introducci on: An alisis del sistema � � �.

� �� . El sistema se encuentra en el P.E.

� Estabilidad �� Posicion de polos de � � � en plano :

– Polos con parte real positiva � Inestables.

– Polos con parte real negativa � Estables.

– Polos en el eje imaginario � Crıticamente estables.

– Polos en origen � Integradores.

� Relacion lımite � � � con ��: Th. del valor final e inicial:

– Valor final: ��

Si dicho l´ımite existe en el tiempo !!!!

– Valor inicial: ��

Derivada en Origen: ��

� ��

� Respuesta temporal �� a entrada escalon unitaria ��:

– Estacionario: Ganancia de � � �, �� .

– Transitorio: Polos y ceros de � � �.

� Polos dominantes: Dinamicas de primer o segundo orden.

Velocidad de respuesta y sobrepico.

� Ceros de un sistema: Dinamicas contrapuestas en signo.

� Respuesta en frecuencia: Salida senoidal a entrada senoidal.

Bode, relacion de amplitudes y desfases. Relacion:

– Ancho de banda � Velocidad de respuesta.

– Pico de resonancia � Sobrepico.


Introducci on: Polos-ceros, temporal y frecuencial.

� � � � � ��

� ��

. Polo: � � ��

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta Temporal

T

Diagrama de Bode

−15

−10

−5

0

10−1

100

101

−50

0

wb

Tiempo Frecuencia Relacion

T. subida � Ancho de Banda � � ��

� � � � � ��

��

��. Polos �� .

Frec. Nat. no Amort. ��

Frec. Nat. �� Rel. Amort. � � ��

� � ��

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Respuesta Temporal (2º Orden)

Mp

tr

tp ts

Diagrama de Bode

−20

−10

0

10

100

101−200

−100

0

wr

Mr

wb


Relaciones:

Tiempo Frecuencia Relacion

Sobrepico�� Pico Resonancia�� Si � ��

T. estab. � Si � ��

T. crecim. �� , T. pico �� Si ��

Frec. Resonan. �� , � Si ��

� � � � ��

.

Sistemas con un Cero. Polos:�� Ceros: ��.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

Respuesta Temporal Diagrama de Bode

−30

−20

−10

0

10

10−1

100

101

102−100

−50

0

50

� � � � ��

.

Sistema de Respuesta Inversa. Polos:�� Ceros:�.

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.5

0

0.5

1

Diagrama de Bode

−30

−20

−10

0

10

10−1

100

101

102−300

−200

−100

0


� � � � � ��

��. Pade de 1o orden ��

��.

Sistema con Retardo. Polos:�� . Ceros:�.

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

Diagrama de Bode

−60

−40

−20

0

20

100

101

102−400

−200

0

� � � � ��

. Polos:�� . Ceros: ��.

Relacion Directa Entrada-Salida �� Mismo orden.

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Digrama de Bode

−20

−10

0

10−1

100

101

102

−150

−100


� � � � � ��

.

Sistema con Varias Dinamicas. Polos:�� .

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagrama de Bode

−100

−50

0

10−1

100

101

102−300

−200

−100

0

� � � � � �� .

Sistema Inestable. Polos: �� .

Respuesta Temporal

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Diagrama de Bode

−100

−50

0

10−1

100

101

102179

180

181


Introducci on: Control manual y en lazo abierto.

� Objetivos de control:

– Estacionario: La senal de salida debe seguir a una referencia.

– Transitorio: Rapidez con la menor oscilacion posible.

� Control manual: Incrementar �� para incrementar ��.

1

Y(s)

P

Planta, P(s)

1

U(s)

Solo se puede llevar al sistema a una posicion final ��.

Dinamica lenta. Operario como controlador.

� Control en lazo abierto: Conocido � � �, introducir un �� con

dinamica inversa (estacionario y transitorio).

1

Y(s)

P

Planta, P(s)

K

Control, K(s)

3D(s)2L(s)

1

R(s)

Sistema muy sensible:

– Cambios en planta. Ejemplo: Cambio en P.E.

– Perturbaciones en la carga �� . Baja frecuencia. Ejemplo:

Actuador con no linealidad estatica.

– Perturbaciones en la salida � � �. Alta frecuencia. Ejemplo:

Dinamicas no lineales de la planta.


Introducci on: Control de lazo cerrado.

� Control de lazo cerrado. Poco sensible a cambios en planta y a

perturbaciones.

1

Y(s)

P

Planta, P(s)

K

Control, K(s)

3D(s)2L(s)

1

R(s)

� Funciones de transferencia en lazo cerrado:

– Entrada/salida: � ��

� ��

�� .

– Entrada/error: ��

� ��

.

– Sensibilidad: � ��

� ��

.

� Diagrama general de lazo cerrado:

��

� ��

��

��

�

��

� � ��

�

– Filtro en la senal medida: � � � ��

.

Filtra ruidos a partir de la frecuencia �� .

– Controlador de dos grados de libertad: � � ��

��

��


Introducci on: Objetivos y metodolog´ ıa de control.

� Objetivos de control:

– Estacionarios: Reducen el error (��) ante una determinada

entrada. Indices de medida:

� Th. valor final del error ante cierta entrada:

��

� Integral temporal del error ante entrada escalon:

CIEC �� , CIEA �

��

Indices ponderados en tiempo: Mezclan estacionario y

transitorio: CIECT�� , CIEAT

�� .

– Objetivos transitorios: Rapidez de respuesta sin oscilacion.

Indices de medida:

� Polos y ceros del sistema � � �� en lazo cerrado (L.R).

� Margen de fase y ganancia del sistema � � �� en lazo

abierto (Bode).

� Indices ponderados en tiempo: CIECT, CIEAT.

� El diseno de controladores es un problema de optimizacion: Buscar

el controlador que optimice los ındices.

� Metodologıa de control:

– Linealizar el sistema en un P.E.

– Aplicar tecnicas de control para sistemas lineales.

– Comprobar con simulacion la eficiencia del controlador en el

sistema no lineal.


Introducci on: Tecnolog´ ıa de control.

� Sensores: General.

– Funcionamiento estatico o dinamico.

– Caracterısticas: Campo de operacion, precision, zona muerta,

histeresis.

� Sensores de variables mecanicas:

– Sensores de posicion y desplazamiento lineal: Potenciometros,

sincros, encoder.

– Sensores de proximidad: Fotoeletricos.

– Sensores de velocidad: Tacometros y opticos.

– Sensores de aceleracion: Acelerometros.

� Sensores de variables de procesos:

– Sensores de temperatura: Bimetalicos, de resistencia

termopares.

– Sensores de presion: Galgas estensiometricas, tubos Bourdon,

fuelles y diafragmas.

– Sensores de nivel: Flotadores, de presion estatica y diferencial y

de capacidad.


Introducci on: Tecnolog´ ıa de control.

� Actuadores:

– Interruptores mecanicos.

– Reles (interruptores electricos).

– Valvulas y actuadores hidraulicos y neumaticos.

– Elementos electricos de calentamiento.

– Motores:

� Motores de induccion y sincronos.

� Motor de corriente continua.

� Motores paso a paso.

� Normas ISA de sımbolos en diagrama de procesos.

– Sımbolos de lıneas: Mecanicas, electricas, neumaticas e

indefinidas.

– Letras de identificacion:Sımbolo Primera letra Sucesivas letras

A Analisis Alarma

C Conductividad Control

D Densidad

E Voltaje

F Flujo

I Corriente Indicador

L Nivel

M Humedad

P Presion

T Temperatura Transmisor

V Viscosidad Valvula


Controladores PIDs: Acciones de control.

� Acciones: �� .

� Accion proporcional: �� .

– ��: Ganancia del controlador.

– Trabaja en funcion del error presente.

– Problemas con cambios bruscos en referencia, �� .

– Ponderacion de referencia. Dos grados de libertad:

�� .

� Accion integral: ��

��

� � ��.– ��: Const. integracion. ��: Tiempo de integracion.

– Trabaja en funcion del error pasado. Reduce error estacionario.

– En el espacio : �� .

� Accion derivativa: ��

� ��

– ��: Const. de derivacion. ��: Tiempo de derivacion.

– Trabaja en funcion de la tendencia de error.

– Problemas con saltos bruscos en referencia y con ruido en la

senal medida.

– Ponderacion de referencia y filtro de senal.

��

�!�� ! � � " �

– A veces no es util por el excesivo ruido de la planta.


Controladores PIDs: Formulaciones.

� Formulacion general paralela:

��

��!��

� � !� � � " �.

– Forma reducida, � � ! � � " �,

��

� �� .

– Polos del PID: Integrador � �. Filtro derivada � "��.

– Ceros del PID: Reales si �� # ��.

– Utiles para plantas con y sin oscilacion.

� Formulacion serie: Union en serie de un PI(s) y PD(s),

�� PI� �PD� � � � � ��

��

� ��

��

��

� � �.

– Polos de PID: Integrador � �. Filtro PD � "�� .

– Ceros reales e inversos a � �� y � ��. Facil interpretacion.

– Equivalencia con la forma paralela si �� # ��.

– Utiles en plantas sin oscilacion.


Controladores PIDs: Discretizaciones.

� Forma discreta (paralela reducida):

��

��

��

��

��

.

– Facil de implementar en ordenador.

– Los mismos parametros que la forma continua.

– PID como funcion de MATLAB:

function u= PID(e, Kc, Ti, Td, delta_t)

global e_old=0, u_I=0;

u_P= Kc*e;

u_I= u_I+ e*delta_t/Ti;

u_D= (e-e_old)*Td/delta_t;

u= u_P+u_I+u_D;

e_old= e;

return;

� Algoritmo de velocidad (forma incremental):

��

��

� � ��

� ��

��

��

� ��

��

– Facil de implementar en una maquina.

– No depende del valor absoluto de la accion de control.

– No depende tanto del historico del error.

– Evita los problemas de saturacion.


PIDs: Acciones no lineales. Conclusi on.

� Saturacion y accion integral.

– Origen: Efecto Windup y cambio de modo manual a automatico.

– Error grande � Gran accion de control con satucion de planta.

– Saturacion planta � Incremento accion integral sin resultado.

– Cuando el error desaparece la accion integral acumulada hace

oscilar al sistema.

� Acciones de control no lineales:

– Poner a cero la accion integral ante saturaciones.

– Realimentar la diferencia entre la accion deseada y la saturada al

integrador.

� Objetivos de control: Sintonizar los parametros �� !"�.

– Sintonizacion manual. Util en plantas sencillas.

– Uso de tecnicas clasicas. Facil de ver acciones.

– Uso de tablas de optimizacion con respecto a ındices. Metodos

sistematicos empleados en los PIDs comerciales.

– Otros metodos: Aplicacion de tecnicas de optimizacion directa.

� Conclusiones:

– Los PIDs constituyen el �� de los controladores industriales.

– Todo ingeniero dedicado a la produccion industrial se

encontraran con ellos en su vida profesional.


Metodos cl asicos: Lugar de las ra´ ıces (L.R.).

� Funcion de lazo abierto: �� . Lazo cerrado �� .

� Definicion L.R.: Polos del sistema �� ante la variacion de uno de

los parametros de �� , normalmente la ganancia, en funcion de los

polos y ceros de �� .

� Pasos para su realizacion:

– Plantear el sistema en la forma: ��

– Eje real ocupado de �� en funcion de polos y ceros de

�� reales:

� Si � # � No-Si-No-Si-. . . .

� Si � $ � Si-No-Si-No-. . . .

– Asıntotas:

� Nasintotas= Npolos- Nceros.

� Angulos:

Nasıntotas 1 2 3 4

� # ��

� $ ��

� Interseccion en el eje real: � ��

�� .

– Posiciones lımites:

� Si � � � POLOScerrado POLOabierto.

� Si � � �� POLOcerrado CEROSabierto y ASINTOTAS.

� Ceros de �� , diferentes segun la entradas y salidas elegidas.


Metodos cl asicos: C alculos gr aficos y anal´ ıticos en L.R.

� Calculo grafico de �� y �� , ��

��

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−3

−2

−1

0

1

2

3 Mapa de polos y ceros

Eje Real

Eje

Imag

.

+ q

p1

p2

p3

z1

∠ (q−p1)

∠ (q−p2)

∠ (q−z1)

∠ (q−p3)

|q−p1|

|q−p2|

|q−z1|

|q−p3|

��

�� % � &�� % � �� % � �� % � ��.

� Puntos de L.R: % � �� .

� Problemas sobre puntos del L.R. y su � correspondiente:

– Hallar � para � �� . Incognitas ��,

– Hallar � crıtica (��): � � ��. Incognitas �� ,

– Hallar � � �� para una � dada. Incognitas: � ��,

� Metodos de solucion:

– Grafico, usando angulos y modulos.

– Analıticos, resolviendo la ecuaciones de angulo y modulo.

– Iterativos, dar valores sucesivo a � y obtener los puntos del L.R.

– Herramienta de software (MATLAB).


Metodos cl asicos: Ejemplos de L.R.

.

� ��

: Nasin � �,

−4 −3 −2 −1 0 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las raíces (L.R.), K+

Eje

Imag

.

Eje Real

L(s)

T(s)

M

β

−4 −3 −2 −1 0 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Eje Real

Eje

Imag

.

Lugar de las raíces (L.R.) K−

L(s)

T(s)

– Hallar � para � �� . Incognitas ��,

�� , o iteracion de �.

– Si �� ,�� inestable.

� ��

��

��

�

��

��

��

, aproximacion de Pade.

−4 −2 0 2 4 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Lugar de las raíces (L.R.), K+

Eje

Imag

.

Eje Real

L(s)

T(s)

−6 −4 −2 0 2−1

−0.5

0

0.5

1

Eje Real

Eje

Imag

.

Lugar de las raíces (L.R.), K−

L(s)

T(s)

– Si �� ,�� inestable.

– Sistema �� con retraso � Sistema �� con retraso.


Metodos cl asicos: Ejemplos de L.R.

� ��

�� .

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las raíces (L.R.) K+

Eje

Imag

.

Eje real

L(s)

T(s)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

Eje Real

Eje

Imag

.

Lugar de las raíces (L.R.), K−

L(s)

T(s)

– Si �� estable. Si �� inestable.

� Normas generales de L.R:

– Numero de polos de �� igual al de �� .

– Ganancias negativas �� nunca son buenas para la estabilidad

de �� .

– Sistemas con mas de tres asıntotas se hacen inestables en � �.

– Sistemas con retraso o ceros de fase no mınima se hacen

inestables a � �.

– Retraso en �� Retraso en �� .

– Los ceros de fase mınima de �� estabilizan �� .

– Los sistemas inestables en �� necesitan ceros de fase mınima

y � � para hacer estable a �� .


Metodos cl asicos: Objetivos de control del L.R.

� Funcion de lazo abierto: �� . Lazo cerrado �� :

– Planta en P.E., � � �: Estructura y parametros fijos.

– Controlador, �� : Estructura y parametros variable.

� Objetivo general: Obtener un controlador que haga que la salida

siga a la referencia sin error de forma rapida y sin oscilaciones.

� Objetivos estacionario: Eliminar el error estacionario del sistema a

una entrada ��

� � � � � � � ��.

– Sistema tipo �: ��

.

– Error estacionario: ��

�� .

– Si �� es de tipo �� a una entrada tipo �.

– Indices de error:

� Constantes ��

Posicion � � ��

��

Velocidad � � ��

�! � ��

Aceleracion � � ��

�" � ��

– Integradores en el controlador, �� PI� �:

� Positivo: Aumentan el tipo al sistema �� Eliminan �.

� Negativo: Generan inestabilidad en �� .


Metodos cl asicos: Objetivos de control del L.R.

� Objetivos transitorios: Estabilizar y reducir sobreoscilaciones en las

�� .

– Polos dominantes: Los mas cercanos al eje imaginario. Reflejan

la dinamica principal del sistema,� ��

� �� #��

��#��#�� .

– Indices de medida del transitorio: Especificaciones en � o los

polos dominantes asociados en :

�� !"��

�� , � � �$

, criterio ��.

� Lımite en ��: �� . Lımite en �: � �� .

� Ambos lımites: �� $ �� $ �� $ '� � � # (�

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Eje real

Eje

Imag

.

Lugar de las raíces (s)

β −σ

wd

wn

– Objetivo: Llevar a los polos dominantes de �� a la region

marcada.

– Los PD� � dan estabilidad y mueven los polos de �� a la

izquierda.


Metodos cl asicos: Controladores atraso y adelanto.

� Formulacion: �� %��

� Atraso: Modifica el estacionario, � # �, � � �� .

Caso particular PI� � � ��

� ��

� ��

.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1 Mapa de polos y ceros PI(s)

Eje real

Eje

Imag

.

PI

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5Respuesta temporal PI

Tiempo (sg)

u(t)

– La diferencia entre polo y cero marca la velocidad de subida.

– Partes: Ganancia (��) y factor estacionario (�� ), � ��%��

.

� Adelanto: Modifica el transitorio, � $ �, � � �� .

Es un PD con filtro, PD� � � ��

��

��

.

−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2−1

−0.5

0

0.5

1Mapa de polos y ceros PD(s)

Eje real

Eje

Imag

.

PD

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61

3

5

7

9

Respuesta temporal PD

Tiempo (sg)

u(t)

� Atraso-adelanto: Un controlador en atraso en serie con uno de

adelanto. Caso particular, PID en serie,

PID� � � ��

��

� ��

��

��

�


Metodos cl asicos: Herramientas matem aticas en L.R.

� Problema: Encontrar un �� , para que % � L.R.

– Puntos de L.R: % � �� .

Por tanto: ��%�� %�� %��.

� Posible solucion grafica o analıtica.

� Dos ecuaciones � Se fijaran todos los parametros del

controlador menos dos.

– Puntos del L.R: Polos del denominador de �� , (��),

Si � � � �&��'��

y �� (��

, siendo ��

�� ,

Ecuacion diofantica: (� �)� � �'� �� .

� El coeficiente de � debe ser 1 en ambos lados.

� * � orden�� orden�� orden�� .

� Se dispone de * ecuaciones al igualar coeficientes.

� Se fijaran todas las incognitas, �� y parametros del controlador,

menos *.

� Uno (o mas) de los polos de �� seran los deseados:

�� %.

– Herramienta de software (MATLAB).

� Accion estacionaria de un controlador (��): �� %��

.


Metodos cl asicos: Estrategias de control.

� Fase previa:

– Pasar objetivos transitorios a polos dominantes de �� .

– Fijar objetivos estacionarios.

� Primera estrategia (plantas sin mucha oscilacion):

– Plantear el L.R. para controlador estatico �� .

– Ver si para alguna �� se consigue los polos de �� :

� Sı se puede: Disenar un �atraso� � sin �� para estacionario.

� No se puede: Disenar �adelanto� � para transitorio y luego uno

�atraso� � sin �� para estacionario.

� Segunda estrategia (plantas sin mucha oscilacion):

– Agregar integradores (PIs) al controlador hasta cumplir con

estacionarios.

– Mover los ceros del los PIs para intentar obtener el transitorio.

� Sı se puede: Obtener el valor de ��.

� No se puede: Anadir los PDs necesarios y obtener ��.

� Tercera estrategia (plantas con mucha oscilacion):

– Agregar integradores (PIs) al controlador hasta cumplir con

estacionarios.

– Agregar ceros complejos conjugados para eliminar oscilacion.

– Obtener los parametros del PID paralelo con dichos ceros y

polos.


Metodos cl asicos: Ejemplos de dise no en L.R.

� � � � � ��

. Objetivos:

� � para ��

. �� $ �sg�.

– Paso transitorio a : � � � � � # ��.

– Paso estacionario a : tipo�� .

– Primera estrategia: L.R. de �� ,

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las raíces

Eje

Imag

.

Eje Real

L(s)

T(s) Hallar ��:

��

��

Cumple transitorio. Anadir PI lento para estacionario.

PI� � � ��

��

�

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las raíces

Eje

Imag

.

Eje Real

L(s)

T(s)

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal

Salida

Tie

mpo

El PI hace muy lenta la dinamica del sistema.


� � � � � ��

. Continuacion.

– Segunda estrategia: El estacionario requiere un PI. Se mueve el

cero para obtener transitorios.

−3 −2 −1 0 1−0.5

−0.25

0

0.25

0.5Lugar de las raíces (s)

Eje

Imag

.

Eje Real

PI (s)

P (s)

T(s)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal y(t).

Tiempo (sg)

y(t)

– Hallar parametros de PI� � � ��

�:

� �� , �� .

� Ecuacion diofantica: � ��

� ��

�� .

� Cociente de polinomios: � � � � &��'��

y �� (��

.

� Denominar de �� :

'� �� (� �)� � �� .

mismo orden en ambos lados. En el problema,

� � �� .

Igualando coeficientes: Tres ecuaciones con y cinco

incognitas. Se fijan �� ,

��

La solucion es �� .



� � � � � ��

. Objetivos:

��

$ �� $ ��

– Paso de transitorios a : � � �� #�

�� $ ��(tablas)�.

– Paso de estacionarios a : tipo�� .

– Primera estrategia con �atraso:

� L.R. para �� ,

−5 −4 −3 −2 −1 0 1−3

−2

−1

0

1

2

3Lugar de la Raíces

Kc=10

L(s)

T(s) β

M

R. Temporal Tyr(s), U(s)=1/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo

y(t)

Hallar �� para � � �� (muy complejo):

% �� .

Otros metodos: Iteracion con �� o MATLAB.

� Disenar �atraso sin �� para cumplir estacionario,

�� %��

� ��

� Se elige � � �, controlador lento que no incide en dinamica

de planta.


� � � � � ��

(continuacion).

– Primera estrategia con �atraso. Solucion:

−5 −4 −3 −2 −1 0 1−3

−2

−1

0

1

2


L(s)

T(s)

R. Temporal Tyr(s)

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

– Primera estrategia con PI� � � ��

, � � ,

−5 −4 −3 −2 −1 0 1−3

−2

−1

0

1

2

3Lugar de las Raíces

L(s)

T(s)

R. Temporal Tyr(s)

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

– Segunda estrategia con PI� � � ��

,

�� #�� +�+ �� #��

−5 −4 −3 −2 −1 0 1−3

−2

−1

0

1

2


L(s)

T(s)

R. Temporal Tyr(s)

0 1.6 3.2 4.8 6.4 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Nota: Posible uso de la cancelacion de polos y ceros estables.



� � � � � ��

. Objetivos:

�! � �sg�� (Error Rampa) � $ �� sg� � ��

– Paso de estacionarios a : tipo�� .

– Paso de transitorio a : � � �� # �� $ �� (tablas)�.

– Lugar de raıces para �� ,

−3 −2 −1 0 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


Kc=1

L(s)

T(s)

Respuesta Temporal Tyr(s)

0 3 6 9 12 15 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Hallar ��: Modulo/argumento, iteracion �� o MATLAB.

– Controlador atraso (estacionario):

�! � �� %��

� �sg��

Se elige controlador lento � � �, influye en sobrepico.

−2 −1 0 1−1

−0.5

0

0.5

1Lugar de las Raices T=10

Kc=1

R. Temporal T=10

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


� � � � � ��

(continuacion):

– Controlador atraso: Controlador mas lento, � � �,

−2 −1 0 1−1

−0.5

0

0.5


Kc=1

R. Temporal T=100

0 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

No influye en sobrepico. El error posicion es cero por ser �� de

tipo 1.

– Controlador PI� � � ��

,

−2 −1 0 1−1

−0.5

0

0.5


Kc=1

R. Temporal (PI)

0 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Error posicion y velocidad es cero por ser �� de tipo dos.

– Nota: Las dos estrategias llevan a controladores similares por ser

necesario un cero proximo al origen para estabilizar la planta.



� � � � � ��

. Objetivos:

� � ��

� $ �sg� � ��

� Paso de transitorios a : � � �� # �� # �� (tablas)��

� Paso de estacionarios a : tipo�� .

� Primera estrategia:

– Ver L.R. para �� No se cumple transitorio.

– Controlador en adelanto: Fijar punto que cumpla transitorio,

� � �� $ �� .

Formular condiciones para que � � L.R.,

�� adel.� �� $ �� adel.� ��

��adel.� �� $ ��adel.� ��

El valor de � es libre. Angulo entre polo y cero fijo (��).

Ajustar �� para cumplir con modulo, ��

.

−8 −6 −4 −2 0−4

−3

−2

−1

0

1

2

3


62º

pd

P(s) Kadel

T(s)

R. Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

No se cumple con estacionarios.


� � � � � ��

. Continuacion:

– Primera estrategia, fase atraso:

� Controlador atraso para estacionario (lento): PI� � � ��

.

−8 −6 −4 −2 0 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Eje Real

Eje

Imag

.

Lugar de las raíces

PD P PI

T(s)

0 10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Respuesta temporal

TiempoS

alid

a y(

t)

– Segunda estrategia:

� Anadir un integrador para estacionario, PI.

� Mover el cero del PI para conseguir transitorio, PI (rapido).

Mejor caso, cancelacion de dinamica lenta del sistema.

−8 −6 −4 −2 0 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Eje real

Eje

Imag

.


P(s) PI(s)

T(s)

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Respuesta Temporal

Sal

ida

y(t)

Tiempo

No se consigue transitorio.


� � � � � ��

. Continuacion:

– Segunda estrategia (continuacion):

� Anadir PI (rapido) y PD y ajustar parametros.

PID� � � ��

��

� ��

��

��

�� Ajuste de parametros:

� �� "�, estan hallados. Ajustar la �� de por iteracion o

con MATLAB.

� Plantear ecuacion diofantica fijando 4 elementos de,

�� " �� , (mas complejo),

��

�� " �"��

�� "��

��

��

Nota: Coeficiente superior igual a 1 en ambos lados.

−8 −6 −4 −2 0 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Eje Real

Eje

Imag


P(s) PD(s) PI(s)

T(s)

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Respursta temporal

Tiempo

Sal

ida

y(t)



� � � � � �� . Objetivos:

� � , ��

Estabilidad

� Pasar estacionario a : tipo��

� Pasar transitorios a : Polos de �� en parte izquierda de .

� Segunda estrategia:

– Es preciso un PI para estacionario, pero no se puede estabilizar

la planta.

– Es preciso un PID serie para cumplir con transitorio,

PID� � � ��

� ��

�

– La planta pese a todo tiene mucha oscilacion.

El control en cascada puede ser una buena estrategia.

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Eje Real

Eje

imag

.

Lugar de las raíces (s)

P

PID

LC

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Respuesta temporal y(t)

Tiempo (sg)

y(t)



� � � � � ��

. Objetivos:

� � ��

Poco sobrepico, ��

� Paso de estacionario a : tipo�� .

� Paso de transitorios a : � �.

� Tercera estrategia (sistema muy oscilatorio):

– PID paralelo � Ceros complejos conjugados.

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−2

−1

0

1

2Lugar de las raíces (s)

Eje

Imag

.

Eje Real

P PID

T(s)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta temporal y(t)

Tiempo (sg)

y(t)

– Ajuste de parametros: Ecuacion diofantica:

� Formular PID � � � ��

,

� � �� !� �� .

� Fijar � !� y los dos polos dominantes de �� .

� La solucion da los otros dos polos de �� , cercanos a los

ceros, y � ��.

� Obtener los parametros del PID paralelo equivalente,

PID � ��#��

��

��

�

– Dos ceros complejos conjugados, ya que �� $ ��,

�� # �� . Imposible el uso de PID en serie.


Metodos cl asicos: Sintonizaci on en frecuencia.

� Criterio de estabilidad de Nyquist:

, � " � � �

��

, : Polos inestables lazo cerrado.

" : Vueltas alrededor de -1, sentido horario.

� : Polos inestables en lazo abierto.

� Dos nuevos ındices de estabilidad:

– Margen de fase (M.F.): La fase que le falta a un sistema �� , en

la frecuencia de cruce de ganancias ��) � ��-��)�� , para

ser inestable en lazo cerrado �� .

– Margen de ganancia (M.G.): La ganancia que le falta a un

sistema �� , en la frecuencia de cruce de fase,

�� -�� , para ser inestable en lazo cerrado

�� .

– Son dos buenos ındices para ver la estabilidad y oscilacion del

sistema en lazo cerrado �� a partir del Bode del sistema en

lazo abierto �� .

– Ejemplo: ��

Diagrama de Bode

−60

−40

−20

0

20

10−1

100

101

−300

−200

−100

0

M.G.

M.F.

−2 −1 0 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1Diagrama de Nyquist

M.F

1/M.G.


Metodos cl asicos: Relaci on L.R., M.F. y M.G.

� La relacion es inmediata: ��

��

��

−2 −1 0 1−2

−1

0

1


K=1 K=5.5

K=8.4

−0.5 −1 −1.2

Diagrama de Bode P(s)K(s)

−60

−40

−20

0

20

40

10−1

100

101

−300

−200

−100

0

K=1

K=5.5 K=8.4

−2 −1 0 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1Diagrama de Nyquist

K=1

K=5.5

K=8.4

� Equivalencias:

– M.F. y M.G. � de �� , �� de �� , (Ver tablas).

– ��) de �� Ancho de banda (� ) de �� (velocidad):

� Si ��-�� ## �� -�� .

� Si ��-�� $$ �� -�� $$ �.

� �� , punto crıtico en diseno.


Metodos cl asicos: Objetivos en frecuencia.

� Objetivos estacionarios:

– Eliminar error estacionario a una entrada tipo �.

– Incrementar tipo�� , o la ganancia de �� en � .

– Anadir PIs (atraso) o aumentar la �� de controlador.

– Problema: Reduce el M.F. y M.G. de �� Inestabiliza �� .

� Objetivos transitorios:

– Dar estabilidad a �� y velocidad.

– Incrementar el M.F., M.G. y ��) de �� .

– Anadir PDs (adelanto): Aumentan la ��) sin decrementar el M.F.

y M.G.

� Diagrama de Bode de un PI, filtro pasa bajos (lento), y un PD, filtro

pasa altos (rapido).Diagrama de Bode PI

0

10

20

30

40

50

10−2

10−1

100

101

−100

−50

0

Diagrama de Bode PD

0

5

10

15

20

10−1

100

101

102

0

20

40

60


Metodos cl asicos: Estrategias de dise no en frecuencia.

� Pasos previos:

– Pasar transitorios a � � M.F. y ��) .

– Pasar estacionario al tipo�� requerido.

� Primera estrategia (grafica e intuitiva). Para PID serie:

PID� � � ��

��

� ��

��

��

�.

– Anadir, si se necesita, PI para obtener estacionario.

– Ajustar � �� (en la dinamica lenta � � �) y �� ) y M.F.

– No se puede: Introducir PD (cero proximo a ��)) y repetir.

� Segunda estrategia. Para atraso/adelanto:

�� atr��*�atr��

�ade��%�ade��

– Ajustar ganancia �� para conseguir estacionario.

� Atraso: Bajar con �atr� � la ��) para conseguir el M.F.

� Adelanto: Incrementar el M.F. con un �ade� � a la misma ��) o

superior.

� Atraso-Adelanto: Mantener la misma ��) y aumentar M.F.,

� � ��. Similar a la estrategia de adelanto pero con apoyo

del compensador de atraso para evitar que ��) aumente.


Metodos cl asicos: Ejemplos de control en frecuencia.

� � � � � ��

. Objetivos:

� � para ��

. �� $ �sg�.

– Paso de estacionarios a .: tipo�� . Introducir PI.

– Paso de transitorio a .: �� M.G. # #��,

� $ �sg� � ��) # ��.

– Primera estrategia:

� Ajustando el cero del PI a la dinamica lenta del sistema se

puede conseguir los objetivos:Bode PI(verde), P(azul), PI*P(roja)

−40

−20

0

20

10−1

100

101

−200

−150

−100

−50

0

M.F.

PI

P PI*P

Bode sistema Tyr

(s)

−40

−30

−20

−10

0

10−1

100

101

−200

−150

−100

−50

0

wb

– Si se quiere mas velocidad �� :

� � de �� ) � de �� M.F.� de �� .

Compromiso velocidad-estabilidad.



� � � � � ��

. Objetivos:

� � para ��

. �� rapido.

– Paso de estacionarios a .: tipo�� . Ya se cumplen.

– Paso de transitorio a .: �� M.G. # #��,

�� rapido � � � de �� ) �.

– Para incrementar la velocidad y pese a todo dar estabilidad a ��

es interesante un P.D., ya que aumenta el M.G., M.F. y ��) de

�� .

– Primer estrategia:

� Su cero se colocara hacia la ��) deseada, para aumentar el

M.F.

� Con �� se lleva a �� hacia ��) deseado.

– PD obtenido: PD� � � � ��

.Bode P, PD, P*PD

−40

−20

0

20

40

10−1

100

101

−200

−100

0

100

M.F.

P

PD

P*PD

PD

P*PD

P

Bode sistema en lazo cerrado

−20

−10

0

10−1

100

101

−200

−150

−100

−50

0

wb



� � � � � ��

. Objetivos:

� � ��

Veloc. �� Veloc. � � �, �� .

– Pasos previos:

� Estacionario: tipo�� Anadir PI.

� Transitorio: Mantener velocidad � Mantener ��) .

�� de �� M.F.� de �� .

Es interesante anadir un controlador PD con cero cercano a

��) .

– Primera estrategia: Un PID puro donde la subida del cero

coincida con ��) , PID� � � ��

�� .

Nota: Ver lo facil que resulta mover la curva del PID y con ello la

de �� .

Diagrama de Bode

−20

0

20

40

10−2

100

102

−300

−200

−100

0

100

|P(s)|

|L(s)|

|PID(s)|

R. Temporal

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



� � � � � ��

� ��

(forma ganancia).

Objetivos: �! � � �� $ ��

� Paso previos:

– Estacionario: tipo�� . Se puede cumplir con ganancia.

– Transitorio: �� $ �� $ �� M.F. # �� (tablas).

� Segunda estrategia (atraso), �� %��

:

– Incremento de �� para estacionario,

�� .

– Eleccion de � � � para mover ��) de �� hacia

donde se cumpla M.F.

– Eleccion de �� lento, � � �, para que su fase no influya.

– Velocidad de �� Velocidad � � �.

Diagrama de Bode

−50

0

50

100

10−3

10−2

10−1

100

101

−300

−200

−100

0

|K(s)|

|P(s)| |KtP(s)|

|L(s)|



� � � � � ��

� ��

(forma ganancia).

Objetivos: �! � � �� $ ��

� Pasos previos: Los mismos que en el problema anterior.

� Segunda estrategia (adelanto), �� %��

:

– Hallar �� para estacionario, �� .

– Usar la fase de �� para subir el M.F.,

Parametros de K(s): � ��+��+��

, � � ��%��

.Diagrama de Bode PD

0

5

10

15

20

10−1

100

101

102

0

20

40

60

ωm

φm

– Se toma: /� � �� #��, ��

– No se llega a cumplir el objetivo. Vel. �� # Vel. � � �.

Diagrama de Bode

−80−60−40−20

02040

10−1

100

101

−300

−200

−100

0

100

|P(s)|

|L(s)|

|KtP(s)|

|K(s)| R. Temporal

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5



� � � � � ��

� ��

(forma ganancia).

Objetivos: �! � � �� $ ��

� Pasos previos: Los mismos que en el problema anterior.

� Segunda estrategia (atraso-adelanto):

�� %��

�� *��

�

– Hallar �� para estacionario, �� .

– Se actua como en adelanto. Se toma: /� � �� ,

�� .

– Se toma � � �� para que ��) no se mueva (ver curva del

compensador).

– Se toma controlador atraso lento �atr � � para que su fase no

influya.

– Se llega a cumplir el objetivo. Vel. �� # Vel. � � �.

Diagrama de Bode

−40

−20

0

20

10−2

10−1

100

101

−300

−200

−100

0

100

|KtP(s)|

|K(s)P(s)|

|K(s)| R. Temporal

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Sintonizaci on directa de PIDs.

� Son tecnicas que a partir de la identificacion de pocos parametros

de la planta y con el criterio de optimizar ındices cuadraticos

temporales, proponen los valores optimos para los parametros del

PID �� .

� El parametro " �� sera ajustado en funcion del ruido en la

senal medida y � � �� por reglas heurısticas en funcion

del tipo de planta y los cambios mas frecuente en la entrada.

� Indice a optimizar: Integral del error ante una entrada escalon con o

sin ponderacion en el tiempo.

CIEC �� , CIEA �

��

CIECT�� , CIEAT

�� .

� A. O´Dwyer ha reunido 200 tablas de sintonizacion diferentes en

funcion del tipo de planta y del ındice que se desee optimizar.

� Las tablas de Ziegler-Nichols son las primeras y mas famosas

tablas, aunque no las mejores.

� Las plantas puede ser identificadas en el tiempo o en frecuencia,

dando lugar a dos tipos de reglas.

� Estas reglas son muy usadas en los controladores industriales por

su facil realizacion, y son la base de los PIDs autoajustables para

plantas no lineales.


Reglas de Ziegler-Nichols en el tiempo.

� Basados en la aproximacion de la planta a un sistema de primer

orden con retraso, tıpico en la industria quımica, � � � � ��

�� .

� Formas de hallar los parametros ��:

– Hallar parametros sobre la curva de salida ante una entrada

escalon, como se muestra en la grafica,

0 5 10

Tiempo (sg)

y(t)

Respuesta a entrada escalónK

L T

– Obtencion de forma analıtica a partir de la solucion de una

ecuacion de primer orden:

� � ��

��

Se hallan los puntos para todos los datos �� y se

aproximan a una recta. La pendiente es �� y con el valor de

algun punto de la recta se puede hallar �.

� Parametros optimos para un PID:

��

P ��

� �

PI ��

��

PID ��

��


Reglas de Ziegler-Nichols en frecuencia (I).

� Ganancia crıtica, ��: Ganancia de un controlador estatico a la cual

el sistema en lazo cerrado se hace crıticamente estable.

� Frecuencia crıtica, �� : Frecuencia a la que oscila el sistema en lazo

cerrado cuando se le aplica la ��.

� Todo sistema con retraso tiene una ganancia crıtica, y todo sistema

fısico tiene algo de retraso.

� El modelo frecuencial esta basado en la �� y �� del sistema.

� Metodos de obtencion de la �� y �� con modelo de la planta:

– Usando el L.R. y viendo el punto de cruce con el eje imaginario.

– Usando el Bode y viendo la ganancia y frecuencia a la que el

sistema tiene un M.F. y M.G. nulo.

−2 −1 0 1−2

−1

0

1


K=1 K=5.5

K=8.4

−0.5 −1 −1.2

Diagrama de Bode P(s)K(s)

−60

−40

−20

0

20

40

10−1

100

101

−300

−200

−100

0

K=1

K=5.5 K=8.4


Reglas de Ziegler-Nichols en frecuencia (II).

� Metodos de obtencion de la �� y �� sin modelo de la planta:

– Cerrando el lazo de control e incrementando la ganancia del

controlador estatico. Se pude danar al sistema.

– Introduciendo un controlador Todo-Nada que cree un ciclo lımite

debido a la no linealidad.

� Se analiza la relacion entre la senal periodica de entrada y de

salida del controlador Todo-Nada.

� La frecuencia de oscilacion de la entrada es similar a �� .

� La relacion de amplitudes da una idea de la �� ,-'

, donde

' es la amplitud de entrada y 0 la de salida de la no linealidad.

� La ecuacion caracterıstica del sistema no lineal es

� �" � � � � , donde " es el todo-nada.

� La funcion descriptiva es la primera aproximacion en

frecuencia de un sistema no lineal y sirve para aproximar ��

y �� .

1

Y(s)Todo−Nada

Scope1 Scope

P

Planta

1

R(s)

� Tablas con los parametros de un PID optimos.

��

P ��

PI ��

PID ��

� Esta es la tecnica mas empleada en PIDs comerciales.


Estructuras de control complejas.

Control por prealimentaci on.

� Dos objetivos basicos:

– Control perturbacion: Cuando una perturbacion sea medible se

puede eliminar el efecto de la misma.

– Prefiltro de la senal de referencia para evitar saturacion en la

planta.

1

Salida

PperSalida/Pert.

P

Planta

K

Controlador

Kper

Control pert. 2Pert.

1

Ref.

1

Salida

Fpre

Prefiltro

P

Planta

K

Controlador

1

Ref.

� Control de perturbacion. Eliminar el efecto de la perturbacion a la

salida. Por tanto, ��

. Problemas:

– Nunca cancelar polos y ceros inestables.

– El retraso de un sistema siempre debe ser positivo. Considerar

retraso cero.

– �� : Numero de polos mayor que numero de ceros. Anadir

polos rapidos con ganancia unidad.

– Conclusion: Sistemas inestables, con retraso o de respuesta

inversa no pueden ser cancelado totalmente.

� Prefiltro de entrada: Filtro, normalmente de primer orden, que

acomode un escalon en la referencia a la senal con menos

pendiente para introducir en el sistema. Evita saturaciones.


Control en cascada.

� Plantas acopladas en serie con posibilidad de medicion entre ellas.

� Estructura de control: Se disenan varios lazos de control. Objetivos:

– Lazos internos: Estabilizar y dar rapidez a las plantas.

Controlador esclavo, se pueden usar PD.

– Lazos externos: Conseguir objetivos estacionarios. Controlador

maestro, se pueden usar PI.

1

Y(s)

PID

PIDm

PID

PIDe

P2

P2

P1

P1

1

R(s)

� Estrategia de control:

– Sintonizar el PID esclavo con el lazo exterior abierto.

– Sintonizar el PID maestro con el lazo interior cerrado.

– Ajustar ambos con los lazos cerrados para depurar errores.

� Es una estructura clasica en la industria. Cuando hay muchos lazos

es difıcil la sintonizacion.

� Las formas mas sencillas son las formadas por PIs y PDs. Es

preferible poner el PD en realimentacion si hay grandes saltos en la

senal. La diferencia esta en los ceros del sistema.

1

Salida

P

Planta

PI

PI

PD

PD

1

Ref.

1

Salida

P

Planta

PI

PI

PD

PD

1

Ref.


Control en cascada. Ejemplos.

� �� . Objetivos:

� � , ��

Estabilidad y ��

� Pasar estacionario a : tipo��

� Pasar transitorios a : Polos de �� en parte izquierda de y � �.

� Lazo interno: Conseguir estabilidad PID� � ��

�.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−2

−1

0

1

2Lugar de las raíces (lazo interno)

Eje

rea

l

Eje Imag.

LCi

P PD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5Respuesta temporal (Lazo interno).

Salida (lazo interno)

Tie

mpo

(sg

)

� Lazo externo: Conseguir el estacionario. PID� � ��

�

−6 −4 −2 0−2

−1

0

1

2Lugar de las raíces (lazo externo)

Eje

Imag

.

Eje real

LCi

PI

LCe

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal (lazo externo)

Tiempo (sg)

Sal

ida

(lazo

mae

stro

)

� Se consigue un resultado imposible de alcanzar con el lazo en

realimentacion simple.


Sistemas MIMO. Acoplamientos.

� Sistema MIMO es aquel con varias entradas y salidas.

� Un sistema MIMO acoplado es aquel donde la variacion de una

entrada repercute fuertemente en todas las salidas. Mezclador.

Entradas: flujo de productos. Salidas: flujo de mezcla y composicion.

2

Y2

1

Y1

P22

Planta P22

P21

Planta P21

P12

Planta P12

P11

Planta P11

2

U2

1

U1

� ��

��

��

�

� Al intentar controlar estos sistemas surgen dos dudas clave:

– ¿Que entradas y salidas estan mas fuertemente ligadas?.

– ¿Se puede considerar que el acoplamiento es tan pequeno como

para realimentar solo entre dichas entradas y salidas?.

� Matriz de ganancias relativas, 1�� : Es la relacion entre las

ganancias entrada -, salida � con los lazos abiertos y todos cerrados

menos el �� -�. En dos entradas, dos salidas, siendo �� la

ganancia entre �� -�:

1�� 1�� 1 � ��

�� 1�� 1�� 1.

� En el caso de dos entradas y salidas se aplica la siguiente norma:

– �# $ 1: Lazo principal directo. No hay acoplamiento.

– �� $ 1 $ �#: Acoplamiento. No hay lazo principal.

– 1 $ ��: Lazo principal cruzado. No hay acoplamiento.


Control sistemas MIMO. Acoplamientos.

� Realimentacion en sistemas sin acoplamiento. Se supone que los

lazos principales son �� y �� ,

2

Y2

1

Y1

U1

U2

Y1

Y2

Planta

PID

PID2

PID

PID1

2

R2

1

R1

� Realimentacion de sistemas con acoplamiento. Aplicar tecnicas de

control mas sofisticadas o desacoplar la planta.

2

Y2

1

Y1

U1

U2

Y1

Y2

PlantaPID

PID2

PID

PID1 D1

Descoplar1

D2

Desacoplar22

R2

1

R1

��

��

– Disenar controladores con el sistema desacoplado.

– Disenar el desacoplo del sistema 2�� cumpliendo:

� Numero de polos mayor que de ceros. Anadir polos rapidos de

ganancia unidad.

� Nunca cancelar polos y ceros inestables.

� Retraso mayor que cero. Eliminar retraso negativo.

� Conclusion: Sistemas inestables, con retraso o de respuesta

inverso no se pueden desacoplar totalmente.


Metodos de control avanzado.

Control basado en modelos.

� Sistemas con dinamicas difıciles: Aquellos cuyas dinamicas no se

pueden cancelar directamente, sistemas inestables, con retraso y de

respuesta inversa. Tambien llamados sistemas de fase no mınima.

� Control por sıntesis directa. A partir de la trayectoria en lazo cerrado

deseada, %� � � �� , se obtiene el controlador que se precisa,

��

�� .

– El controlador cancela las dinamicas de la planta y las reemplaza

por las deseadas. No se pueden usar con sistemas difıciles por

no ser cancelables sus dinamicas.

� La mayorıa de los controladores basados en modelos tienen la

estructura de la figura,

1

Out1

Pref

Pref

P

Planta

K

Controlador

1

In1

donde �� es un bloque asociado a la funcion de transferencia

de la planta.

– Aprovechan el conocimiento de la planta para realimentar

senales estimadas.

– El comportamiento de estos controladores es muy sensible al

error entre las senales estimadas que se realimentan y las reales.


Control basado en modelos.

� Modelo de control interno: Elimina el efecto de la planta en la

realimentacion, �� , � �� es la planta estimada.

– Si �� .

– La realimentacion solo se usa si hay perturbaciones o

variaciones en la planta.

– Diseno de un �� en lazo abierto.

� Predictor de Smith: Sea � � � � � �� , entonces

�� ,

– Se realimenta la senal estimada sin retraso de la planta.

– Si � �� ,

donde � ��

�� es el sistema que se hubiera

obtenido si la planta no tuviera retraso.

– El retraso no incluye en el L.R. � Mayor estabilidad.

– Sensible al error en la senal estimada. Uso industrial.

– Diseno de un �� para planta sin retraso.

� Controlador de respuesta inversa: Sea � � � � � �� 3 �,

entonces �� 1 �, con 1 �3.

– Se realimenta la senal sin respuesta inversa.

– Si � �� .�

�� .�.

– La respuesta inversa no influye en el L.R. (lazo cerrado).

– Diseno de un �� para planta sin respuesta inversa.


PID auto-tuning y self-tuning.

� La planta � � � cambia en el tiempo:

– Modificacion de sus parametros en el tiempo.

– Cambio de punto de equilibrio.

� Los PIDs pueden ajustarse a los cambios producidos en la planta.

� Ajuste fuera de lınea auto-tuning:

– Se cambia el PID por un controlador Todo-Nada.

– Se estima los parametros �� , �� de la planta.

– Se modifican los parametros del PID segun la reglas de

Ziegler-Nichols u otras similares.

– Se vuelve a controlar el sistema con el PID.

1

Y(s)

Todo−Nada

Switch

P

Planta

PID

PID 1

R(s)

� Los controladores comerciales lo usan cuando no se conoce la

estructura de la planta. Principalmente en el arranque del sistema.


PID auto-tuning y self-tuning.

� Ajuste en lınea self-tuning:

– Se identifica los parametros de la planta. Posible uso de entrada

escalon.

– Se modifica los parametros del PID de acuerdo a alguna tabla de

optimizacion.

1

Y(s)

u yK

Predictor

P

Planta

K

eu

PID

1

R(s)

� Los controladores comerciales lo usan para el ajuste del PID en

plantas no lineales ya arrancadas.

� Normalmente disponen de un controlador auto-tuning para arrancar.

� Son los controladores mas usados en el mercado, por su capacidad

de adaptacion a cambios en la planta.


Documents

Diseno de Controladores Anal˜ ogicos.´ - Escuela …eduzal/icontrol/dcont4.pdfDiseno de Controladores Anal˜ ogicos.´ Dpt. Ingenier´ıa de Sistemas y Automatica´ ETSII. Universidad