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Dinamica • I principi della dinamica • Applicazioni • La quan3tà di moto • Alcuni 3pi di forze • Il moto armonico • Il momento di una forza • Sta3ca • Il momento angolare
1
1ma legge di Newton
Cosa succede ad un corpo non influenzato dall’ambiente che lo circonda ? • Principio di inerzia (by G.Galilei):
• 1ma legge by I.Newton: u quando su un corpo non agisce una forza ⇒ a=0 u la resistenza di un corpo al cambiamento dello stato di moto si chiama “inerzia”
2
Osservazioni sulla 1ma legge • Contraria alla esperienza quo3diana: gli oggeQ cascano (da fermi) e si fermano da soli (se in moto) • Non viene data una definizione di “forza” (intui3va): grandezza che si manifesta nella interazione tra corpi
u le interazioni possono essere di contaOo o a distanza u non esiste una definizione generale u conosciamo alcune formule che descrivono come agiscono alcune forze specifiche: ü di gravità ü eleOrica ü magne3ca ü di contaOo ü etc...
3
In realtà sono tuOe tranne g sono riconducibili alle interazioni tra atomi. Le F “elementari” sono 3 (nucleare, eleOrodebole, gravità)
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Definizione opera9va di forza
TuQ gli oggeQ cadono a terra e possono allungare una molla
⇒ posso usare la deformazione della molla per misurare altre forze
4
dinamometro
Deformazione ∝ ∑ Fi (somma veOoriale) ⇒ F veOore
F
∆x
Il dinamometro misura forze-‐peso La bilancia a 2 braccia misura masse
∆x∝F
Osservazioni sulla 1ma legge Vale solo nei s.d.r. inerziali (= non accelera3) • s.d.r. inerziali: a di un pto materiale isolato = 0 sempre • oggeQ sul cruscoOo cadono indietro quando si parte:
u nel s.d.r. “automobile” la 1ma legge non funziona ! u nel s.d.r. “terra” invece funziona (l’oggeOo rimane fermo mentre l’auto sfila via soOo di esso)
5
s.d.r. inerziali
• Non esistono s.d.r. inerziali reali, solo ideali. u anche la terra ruota su se stessa e aOorno al sole... quindi ha una ac
u il s.d.r. “più inerziale” è quello delle stelle lontane u il s.d.r. terra è una buona approx perchè ac piccola rispeOo alle altre accelerazioni (es: g)
• Quanto vale ac della terra su se stessa ?
6
aC = rω2 = 6400km ⋅ 2π
24h"
#$
%
&'2
= 0.0338 ms2
2da legge di Newton Cosa succede ad un corpo soggeOo ad una F ≠ 0?
u a=veOore ⇒ F=veOore
u se a≠0 ⇒ ∃ Fris u se ∃ Fris ⇒ a≠0
7
se ∄ altre F a bilanciare
a =Fm
m = costante che dipende dal corpo
(“massa”)
F2 Fris
[F]=[Ma]=[MLT-‐2] SI: 1Newton = 1kg·∙1m/s2 cgs: 1dyne = 1g·∙1cm/s2
F1
Inerzia e massa
Massa = ? u per Newton = “quan3tà di materia” u definiamo M = proprietà dei corpi che specifica quanta resistenza oppongono al variare di v
⇒ massa = quan9ficazione della inerzia
8
Esempio
• a è uguale per ogni vagone (gancio) • ma ogni gancio 3ra una massa diversa con F=a∑Mvagoni ⇒ la F è maggiore per il gancio che 3ra + vagoni (quello della locomo3va)
9
a1 = a2 = a3 = a4
F = 4M·∙a MAX
F = 1M·∙a MIN
Quale tensione (forza) è applicata ai ganci tra i vagoni ?
Il peso • Peso = intensità (modulo) della forza di aOrazione gravitazionale Fg • Peso ≠ Massa ! Peso = |Fg| = (-‐)mg • segno – se y>0 verso l’alto • S.I: in N (è una F) • Peso = Massa·∙9.81 [m/s2] • Peso di 1Kg = 1Kg ·∙ 9.81m/s2 = 9.81 N • Sulla luna |g|≅1.6 m/s2 ⇒ 1Kg pesa: 1Kg·∙1.6m/s2 = 1.6 N
10
accelerazione di gravità
Valori di g sul livello del mare
• Incertezza ≅ 0.003 m/s2 u Δg/g = 0.003/9.81 ≅ 0.0003 (0.03%)
11
lat = 45∘ g = 9.807 m/s2
Poli: g = 9.832 m/s2
Equatore: g = 9.780 m/s2
Forze di contaHo • EffeQ delle forze:
u Dinamici: inducono variazioni del moto u Sta3ci: il corpo che subisce le forze rimane in quiete
12
o TuQ i casi sta0ci (a=0) sono causa3 da un esaOo bilanciamento di tuOe le forze agen3 sul corpo: ∑F=0 o La tavola esercita una FN
in su che bilancia Fg o Le F di contaOo sono
sempre⊥ alla superficie si dicono “normali”.
m FN Fg=-‐mg
∑F su m: FN + Fg = 0 la forza normale del tavolo su m è dovuta alla elas3cità del tavolo
3za legge di Newton
• Come agisce una forza (spiegazione parziale)
u Le forze si presentano sempre in coppie (∄ forze singole) u Le coppie sono forze dello stesso 3po ma agiscono sempre su corpi diversi (⇒ non si elidono mai)
13
F12 = -‐ F21 azione = -‐ reazione
Esempio
u La terra esercita la Fg sulla mela u La mela esercita una FR sulla terra
14
La 3za legge di N. vale anche se i corpi non sono a contaOo
Mela che cade sulla terra da h=100 m. Massa m=½ Kg Fg= mg = 0.5Kg·∙9.81 m/s2 ≅ 5 N
Anche la terra cade verso la mela, aOraOa con FR = -‐Fg :
Fg=-‐mg
FR=MTaT
m
MT
FR =MT ⋅
aT ⇒aT =
−FgMT
=mgMT
=5N
6 ⋅1024kg= 8.3⋅10−25 m
s2
Esempio delle scatole
15
M=15 Kg m= 5 Kg
F = 20 N
a totale: F=(m+M)a ⇒ a=F/(m+M)=20N/(5+15)kg = 1 m/s2
Azione di m su M: FmàM = Ma = 15kg·∙1m/s2 = 15 N
Bilancio su m : ∑Fm = ma = F + FMàm ⇒ FMàm = ma -‐ F = 5N -‐ 20N = -‐15N
Reazione di M su m : FMàm = -‐FmàM
Reazioni e Vincoli
16
Bilancio su m: Fg + FN = 0 Bilancio sul tavolo: -‐FN + Fm = 0 Bilancio sulla terra: -‐FN + Fm = 0
Fg = -‐mg della terra su m
Fm=Ma=+mg di reazione
di m sulla Terra -‐FN=-‐mg di m sul tavolo (reazione a FN)
m FN = +mg
del tavolo su m
FN = +mg sul tavolo
-‐FN sulla terra (reazione a FN)
Forze di reazione
• La paQnatrice si appoggia al muro e lo spinge • Il muro a sua volta spinge la paQnatrice che quindi si muove indietro u (il muro non si muove perchè è fissato al pavimento da altre forze)
• Le forze di reazione sono reali ! u Fa muovere la paQnatrice u La reazione della terra ci permeOe di camminare:
FAB = -‐FBA 17
Sistemi di propulsione
18
Sistemi di propulsione Non è necessario il contaOo per muoversi: Es: -‐ lancio di un peso dalla barca -‐ palloncino, shuOle, razzi...
19
Esempio (*)
• Un ragazzo spinge una cassa con forza FRC • La cassa esercita su di lui la stessa forza FCR (in verso opposto)
20
La cassa si muove se ∑F sulla cassa ≠0 Sulla cassa: FRC# Fattrito#Sul ragazzo: FCR# Fattrito#
In conclusione tuOo si muove se F esercitata dal ragazzo sul suolo riceve una reazione (aOrito) > F esercitata dalla cassa sul ragazzo
FCR FRC
Il piano inclinato
Problema: trovare a della sliOa lungo il piano inclinato • le forze che agiscono sulla sliOa sono Fg=-‐mg e FN (FN è normale al piano) • pongo il s.d.r. in modo che x∥piano (y∥FN) • scompongo Fg→[Fx,Fy]: ∑Fx = max = mg·∙sinθ ⇒ ax = g·∙sinθ ∑Fy = may = FN – mg·∙cosθ = 0
21
θ Fg=mg
FN
mg·∙cosθ
mg·∙sinθ
y
(altrimen3 sprofonderebbe)
NB: ax dipende solo da θ, non dalla massa
θ
Forze apparen9
22
L’ascensore (peso apparente)
Misuro il peso di un corpo di massa m in ascensore • Il corpo è soggeOo a Fg=-‐mg ed è aOaccato al dinamomentro con un cavo in tensione (T) verso l’alto • Il dinamometro segna T=(-‐)Fg • Bilancio di ∑F sulla massa : 1. se l’ascensore è fermo (a=0):
⇒ T -‐ mg = 0 ⇒ T = +mg 2. se l’ascensore sale (a>0):
⇒ T -‐ mg = (+)ma ⇒ T = ma + mg (T aumenta) 3. se l’ascensore scende (a
L’ascensore roHo
Si rompe il cavo e l’ascensore precipita ⇒ a=g 4. T – mg = -‐ma → T – mg = -‐mg ⇒ T = -‐mg+mg = 0 In caduta libera il dinamometro segna 0: assenza di peso 5(*). Durante l’impaOo col suolo la velocità passa da v→ 0 ⇒ ∃ una a verso l’alto. Si ha di nuovo: T – mg = ma ⇒ T = ma+mg Se la caduta è di 6 m (2 piani), al suolo v2 = 2gh ⇒ v = 10.8 m/s Durante il Δt=0.2 s dell’impaOo si ha una (de)celerazione di Δv/Δt = 10.8/0.2 = 54.2 m/s2 ⇒ T = ma+mg = m(a+g) = m(54.2+9.8) ≈ 64m Il peso durante l’impaOo vale 64m invece che 9.8m cioè il peso è di 64/9.8=6.5 volte maggiore
24
F
F
Dinamica del moto Circolare Unif.
25
• Principio di Inerzia: un oggeOo che si muove in circolo deve avere una F centripeta che agisce su di esso (altrimen3 va driOo) • La forza è quella che provoca ac=v2/r e lo man3ene sulla traieOoria circolare.
∑F=m|ac| ⇒ FC || ac
Questa FC viene esercitata dall’esterno sull’ogge:o che ruota: -‐ una corda esercita una F
centripeta sul corpo -‐ il corpo esercita una F di
reazione sulla corda
La centrifuga (sdr inerziale) Ogni molecola di liquido tende ad andare in direzione di v (inerzia)
u nel vuoto una molecola di massa M tende a mantenere una traieOoria lineare mentre la proveOa gira
• Dato r ⇒ aC = v2/r = cost • Occorre Fc=Mv2/r per mantenere
le molecole ad r=costante. Fc aumenta con M
26
v!
Se la proveOa è piena ⇒ Fc è fornita dalla resistenza delle molecole di solvente vicine ad M Per mantenere sul raggio una massa M grande occorre una FM maggiore della Fm necessaria per le molecole + leggere ⇒ M si muove verso il fondo rispeOo al solvente
M
Fcf
La centrifuga (sdr non inerziale) Un osservatore nel sdr solidale con la centrifuga (accelerato, non inerziale) vede le molecole M spostarsi senza essere soggeOe a forze ⇒ crede che ∃ una F direOa verso l’esterno Fcf = Mv2/r#“centrifuga”. Fcf aumenta con M ⇒ le molecole + massive sono soggeOe ad una forza maggiore e si separano dalle altre. NB: la Fcf è fiQzia nel senso che viene vista solo in questo sdr, ma esiste davvero ! 27
Per un osservatore esterno Fcf non esiste
M
Analisi della 3za legge di Newton
• Sistema isolato = sistema di più corpi che si scambiano forze tali che ∑F=0 u per es. due paQnatori che si spingono da fermi
• 3za legge:
• se m costante:
28
F12 = −F21m1a1 +m2a2 = 0
m1dv1dt
+m2dv2dt
= 0
d(m1v1)dt
+d(m2v2 )dt
= 0
ddt
m1v1 +m2v2( ) = 0
La quantità# m1v1+m2v2#si conserva #nel tempo se#il sistema è #isolato#
La quan9tà di moto
• Chiamo p=mv “quan3tà di moto” u veOore con direzione v
• Per un sistema a 2 corpi: ovvero: pTOT=costante ovvero: p1i+p2i = p1f+p2f • Il principio si può estendere a n corpi:
29
ddtp1 +p2( ) = 0
∑pi = ∑pf
La p tot del sistema = costante ⇒ deve essere sempre uguale
PRIMA = DOPO m1v1 + m2v2 + ... = m1v1 + m2v2 + ...
Conservazione della q. di moto
• pTOT si conserva ma all’interno del sistema pi dei vari corpi può variare
30 hOp://www.learnerstv.com/anima3on/anima3on.php?ani=37&cat=physics
Significato di p • La quan3tà di moto è la proprietà dei corpi che permeOe di contrastare forze contrarie o devian3 • Esempio: un Tir può sfondare un guard-‐rail, mentre una auto alla stessa velocità non può • Esempio: una carica in un campo magne3co con v lineare viene deflessa tanto meno quanto maggiore mv
31
Esempio
• Un arciere sul ghiaccio lancia una freccia. Che succede ? u M arciere = 60 Kg u m freccia = 0.50 Kg u v freccia = 50 m/s
• Le leggi di Newton non ci dicono nulla perchè non conosciamo le forze coinvolte • Consideriamo il sistema “arciere+freccia”
u prima del lancio: pa+pf=0 u pTOT si conserva ⇒ dopo il lancio pa+pf=0 u cioè mava+mfvf=0 ⇒ |va|= -‐(mf|vf|)/ma = -‐0.42 m/s u va collineare vf (si conserva il veOore!) u segno “-‐” perchè l’arciere va indietro rispeOo alla freccia
32
Esempi
33
Collisione elas3ca m1=m2 In 2D (somma veOoriale delle v) Collisione inelas3ca
m1 v1 + 0 = 2m v2 v2 = ½ v1
Esempio
Collisione elas3ca con masse diverse: m1 = 2m2 2mv – mv = -‐2mv1 + mv2 v = -‐2v1 + v2
Una possibile soluzione è: v1 = 1/3 v v2 = 5/3 v
34
x>0
Segno “-‐” verso x
Razzi e calamari
• Sistema di propulsione basato sulla conservazione della q. di moto applicata al sistema [razzo + propellente espulso] • Da fermo pTOT=0 • In moto deve valere ancora pTOT=0
MRvR + mpvp = 0 ⇒ vR = -‐ (mpvp/MR) ⇒ il razzo acquista velocità maggiore per masse maggiori di propellente espulso u Nello spazio (assenza di aria e di gravità) il razzo man3ene la vR senza consumare carburante. Ma può accelerare espellendo altro gas
35
Alcune forze note
In alcuni casi conosciamo la legge che regola alcune forze senza passare per la misura di a Vediamo i seguen3: • Forza di aOrazione gravitazionale • Forze di aOrito • Forza elas3ca della molla
u Moto armonico
36
La legge di gravitazione universale
Legge di gravitazione di Newton. Riguarda la forza che agisce sulle masse: • VeOorialmente :
37
F12 = −G
m1 ⋅m2| r |2
#
$%
&
'( r̂ = −
F21
L’esperimento di Cavendish
• La costante G è molto piccola: infaQ tra corpi di dimensioni ordinarie è difficile osservare aOrazione
u G=(6.673±0.004)10-‐11 Nm2/Kg u F sempre aOraQva, cioè F∥r con verso opposto u le masse di dimensioni finite a simmetria sferica si aOraggono come se tuOa la distribuzione di massa fosse concentrata nel centro
38
Origine di g
• Per un corpo di massa m sulla superficie terrestre la forza di aOrazione della terra si chiama “peso”
• Mterra= 5.98x1024 kg • Rterra = 6.38x106 m
39
P =G m ⋅MTerraRTerra2
"
#$
%
&'=m G
MTerraRTerra2
"
#$
%
&'
= g
g = 6.673⋅10−11 5.98 ⋅1024
(6.38 ⋅106 )2= 9.81 m
s2
Valore convenzionale: g = 9.80665 @ 45o lat sbagliato di ~0.005
Un confronto • AOrazione gravitazionale tra persone di 50 e 70 Kg a d=50 cm:
• AOrazione Terra-‐Luna:
• Fpp/FTL ∼ 10-‐7/1020 = 10-‐27 40
| Fpp |=6.673⋅10−11 ⋅50 ⋅ 70
0.52= 9.34 ⋅10−7 N
| FT−L |=6.673⋅10−11 ⋅5.98 ⋅1024 ⋅ 7.35 ⋅1022
(3.84 ⋅1082 )2~ 2 ⋅1020 N
Forze di aHrito
AOrito: resistenza al moto dovuta alla interazione con ciò che circonda il corpo (“forza di aOrito”)
u sliOamento su una superficie u in un fluido come acqua o aria
• Equilibrio: corpo in quiete o con velocità costante: ∑F=0 • un corpo si muove se Fapplicata > FaHrito
41
F applicata F aOrito
F normale
-‐mg
Coefficien9 di aHrito • Legge empirica:
u μs = coeff. aOrito sta3co u μd = coeff. aOrito dinamico
• μs , μs dipendono dalla natura delle superfici di contaOo e da altro (molatura, umidità...)
42
FN
giunto sinoviale
di solito: μs < μd
FattritoMAX = µ ⋅FN
FN = forza esercitata dalla superficie sull’oggeOo
AHrito sta9co e dinamico
43
• AOrito sta3co Fs: è una forza che contrasta l’inizio del moto -‐ Siamo in condizione di equilibrio (v=0):
Fapp = (-‐) Fs -‐ aumento Fapp⇒ aumenta Fs fino a che Fs < max -‐ per Fapp> max inizia il moto ⇒ a>0
Fapp Fs mg
Fs = μs FN = max
AHrito sta9co e dinamico
44
• AOrito dinamico Fd: è una forza che agisce durante il moto • per Fapp + Fd = 0 ⇒ moto a v>0 cost. • per mantenere il moto a v=cost è sufficiente Fapp =μdFN< max perchè μd < μs • μd=costante ⇒per Fapp>μdFN ⇒ moto con a>0
Fd = μd FN
Misura di μs massimo
Aumentare l’inclinazione del piano fino a raggiungere l’angolo cri3co θc per cui a>0
45
θ mg
FN
mg·∙cosθ
mg·∙sinθ
y • Forze che agiscono sul corpo: Fg=(-‐)mg, FN, fs (aOrito) • Condizione di equilibrio in x: ∑Fx = mg·∙sinθ – fs = = mg·∙sinθ – μsFN = 0 • All’angolo cri3co θc il corpo inizia a muoversi: mg·∙sinθc = μsFN mg·∙sinθc = μsmg·∙cosθ ⇒ μs = sinθc/cosθc = tanθc ##
fs
Curva (*)
• 1ma legge: tendenza ad andare driOo • Una Fc permeOe di mantenere la traieOoria curva: F aOrito
• Osservatore interno è soggeOo ad Fa ma “sente” una Fcentripeta e crede che sia un vincolo ad una Fcentrifuga reale.
• In assenza di aOrito è possibile mantenere la traieOoria quando il piano della strada è inclinato se: FNx = ac = v2/R
46
FN (reazione)
Fg=-‐mg
FN = Fy+Fx
Moto contro F resis9ve
• Caso di aOrito di un corpo col mezzo in cui si muove (liquido o gas) • Il mezzo esercita una FR resis3va sul corpo
u vale per mo3 len3 in un liquido o per corpi piccoli in aria (polvere)
• Per oggeQ grandi in caduta libera in aria
47
FR = −b ⋅
v Velocità del moto
Costante del mezzo
FR opposta a v
v=0 a=g
v=vt a=0
FR = − (costanti) ⋅
v 2
Moto contro F resis9ve
48
FR = −b ⋅
vFris =Fg +FR =m
aris
mg− bv =maris
aris = g−bm"
#$
%
&'v
Fg
FaOrito v
a diminuisce nel tempo mentre v aumenta Quando (b/m)v = g ⇒ a=0, v ➝ vlimite
0 = g− bm"
#$
%
&'v
vlim =mgb
v
t
Condizione di equilibrio
Forze tra molecole
49
F
∆x
F repulsiva (Coulomb) ~ 1/x2
F totale
F aOraQva (Van der Waals) ~ -‐1/x6
Molecole lontane si aOraggono ∆x>2r
Molecole vicine si respingono: ∆x
Forza elas9ca
50
F
∆L
• EffeQ di applicazione di F: u Traslazione e/o Rotazione u Deformazione = cambiamento di forma e/o dimensione
• Deformazione: sperimentalmente si osserva che ΔL∝Fapplicata u regola empirica che vale quasi sempre
• In generale una Fp produce su un corpo una compressione Fp = kΔx u k = costante “elas3ca” del corpo (ne misura la rigidità)
Legge di Hooke Reazione della molla: la forza elas3ca della molla tende sempre a ristabilire la lunghezza a riposo (forza di richiamo) ⇒ Fmolla direOa in verso opposto allo spostamento ∆x della molla • Fmolla = -‐ k·∙∆x
u k = cost. della molla • Molla estesa: x>0, Fm0, Fm0, Fm>0
x=0, Fm=0
Legge di Hooke
52
F = -‐ k x
La F è sempre direOa verso la posizione di equilibrio (x = 0)
Misura della costante k
• AOaccare alla molla un oggeOo di massa nota m soggeOo solo ad Fg=(-‐)mg • Misurare l’allungamento della molla = d • Fg = (-‐)mg = kd ⇒ k = mg/d • [k]=[kg·∙m·∙s-‐2·∙m-‐1]=[N/m] • Lege di Hooke valida per quasi tuQ i materiali solidi (metalli… ossa) ma in un range finito
53 allungamento
F
regione elas3ca
punto di fraOura
regione plas3ca
Elas9cità
54
Regione lineare (legge di Hooke)
< limite elas3co Il corpo ritorna alla forma originale
> limite elas3co Deformzioni permanen3
> Soglia di roOura Il corpo si spezza
(fraOura)
Studiamo gli effeQ delle forze sui materiali
F
allungamento
Regione lineare
ΔL∝F (legge di Hooke) Su ogni molla si esercita la stessa F ⇒ ogni molla si allunga di ΔL: ΔL∝Nmolle∝L0
Su ogni molla si esercita F/2 ⇒ ogni molla si allunga di ΔL/2 ΔL∝1/(Nmolle)
Su ogni filo si esercita F/2 ⇒ si allunga di ΔL/2 Equivalente ad un filo di sezione 2A ⇒ ΔL ∝1/A
A
A
2A
F =Y ⋅ AL0⋅ ΔL
Regione lineare
u L0 = lunghezza a riposo u A = area della sezione ⊥ F u Y = costante che dipende solo dal materiale (“modulo di Young”)
56
Y (N/m2) Ferro 100 E9 Acciaio 200 E9 Cemento 20 E9 Marmo 50 E9 Legno 1-‐10 E9 Osso ~15 E9
~ costante k della molla
ΔL∝ F ⋅L0A
Y piccole à ∆L grandi
Il modulo di Young
• Lo sforzo è la forza applicata per unità di area ⊥ F • In conseguenza di uno sforzo si ha una deformazione
u deformazione = ∆L/L0 ü deformazione = variazione frazionale della lunghezza
• Nella regione lineare posso riscrivere Y come:
57
Y = F / AΔL / L0
=Sforzo
Deformazione
Sforzo ( “stress”)
FA=Y ⋅ ΔL
L0 Deformazione Modulo di Young
Riscrivo:
Y: [FL-‐2] N/m2
• Le forze applicate dall’esterno generano forze interne ai materiali (“tensioni”) u barra appesa: la parte alta esercita una F che bilancia il peso della parte bassa
• ∃ 3 3pi di sforzo: u Tensione: F applicata verso l’esterno u Compressione: F applicata verso l’interno u Taglio: 2 F applicate // a 2 facce opposte Invece che F⊥A si ha F//A, e ∆L⊥L0 à deformazione
Gli sforzi
58
FraHura Se F/A > soglia di roOura ⇒ nel corpo si formano delle fraOure oppure si spezza
59
(N/m2) Y Tensione Compressione Acciaio 20 E10 500 E6 500 E6 Legno ~1 E10 2 E6 20 E6 Gomma 1-‐80 E6 Osso 2 E10 130 E6 170 E6 Vene, arterie 0.2 E6 Valori massimi di soglia di tensione e compressone: nei singoli casi possono diminuire
Es: deformazione delle ossa quando viene applicata una tensione = soglia di roOura ⇒le ossa si deformano max di ~1%
ΔLL(max) = F / A
Y=130 ⋅106
2 ⋅1010≈1%
Il moto armonico
• Moto periodico = vibrazione/oscillazione che si ripete sullo stesso percorso (es: traieOorie circolari) • Moto armonico = periodico +
1. F sempre direOa verso la posizione di equilibrio 2. F ∝ spostamento dall’equilibrio
La forma più semplice di moto armonico è un oggeOo che oscilla aOaccato ad una molla: F = -‐kx NB: posizione della molla x=x(t)
L’equazione del moto (*)
In generale la seconda legge di Newton permeOe di trovare l’equazione del moto di qualunque 3po di moto
di cui si conosca l’espressione della forza
61
a = Fm
d 2x(t)dt2
=Fm
se F = 0 ⇒ d2xdt2
= 0 ⇒ x(t) = x(0)+ v(0) ⋅ t
se Fm= g ⇒ d
2xdt2
= g⇒ x(t) = x(0)+ v(0) ⋅ t + 12 gt2
Equazione differenziale: occorre trovare la funzione x(t) la cui derivata 2da sia uguale a F/m
Relazione di causa-‐effeOo.
Equazione oraria della molla
• F non costante nel tempo: F=F(x(t)) ⇒ a=a(x(t)) • Cerchiamo l’equazione del moto x(t): m ⋅a = −k ⋅ x(t)
d 2
dt2x(t)( ) = − k
mx(t)( )
La soluzione sarà una x(t) tale che la sua derivata 2da = la funzione x(t) stessa ×(k/m)
È possibile ricavare la soluzione dallo studio del moto circolare uniforme
Equazione oraria della molla
Dato un punto in moto circolare uniforme, descrivo la posizione del punto proieOata su x
Parto da x0=A Dopo un tempo t: x(t) = A·∙cos(ϑ) [ϑ=ω·∙t] = A·∙cos(ω·∙t) ω = velocità angolare
x0=A t0 xt,t
ϑ
A
x=0
Equazione oraria della molla
Dato un punto in moto circolare uniforme, descrivo la posizione del punto proieOata su x
Parto da x0=A Dopo un tempo t: x(t) = A·∙cos(ϑ) [ϑ=ω·∙t] = A·∙cos(ω·∙t) RispeOo a x’0 al tempo t il pto sarebbe ad un angolo ϑ+ϕ Cioè: x(t) = A·∙cos(ω·∙t + ϕ)
x0=A t0 xt,t
ϑ ϕ
A
x’0, t0
x=0
“fase”
Equazione oraria della molla
• Per t=T/2 (½ periodo) ⇒ x=-‐A, la proiezione del moto su x “torna indietro” • Per t=T (1 periodo) ⇒ x=A • Il moto è periodico • Rappresenta la molla ? • Devo fare la derivata 2da d 2
dt2A ⋅cos ω ⋅ t +ϕ( )( ) =
= −km#
$%
&
'( A ⋅cos ω ⋅ t +ϕ( )( )
?
Derivate, che passione
ddt
Acos ωt +ϕ( )( ) =
A ddtcos ωt +ϕ( )( ) =
−A ⋅ sin ωt +ϕ( )( ) ⋅ ddt ωt +ϕ( ) =
−Aω ⋅sin ωt +ϕ( )
ddt
−Aω ⋅sin ωt +ϕ( )( ) =
−Aω ⋅cos ωt +ϕ( ) ⋅ ddt
ωt +ϕ( ) =
−Aω ⋅cos ωt +ϕ( ) ⋅ω =−Aω 2 ⋅cos ωt +ϕ( )
ddx(a) = 0, d
dx(x) =1
ddx
a ⋅ f (x)( ) = a ⋅ "f (x)
ddx
f g(x)( )( ) = "f g(x)( ) ⋅ "g (x)ddx
cos x( ) = −sin x
ddx
a+ f (x)( ) = 0+ "f (x)
ddx
sin x( ) = +cos x
derivata 1ma = v(t)
derivata 2da = a(t)
Il segno – indica che v ed a sono direQ verso il punto di equilibrio
Moto della molla: conclusione
La nostra funzione x(t) funziona a paOo che:
ω 2 =km⇒ω =
km
Possiamo trovare il periodo di oscillazione della molla:
T = 2πω
⇒ Tmolla = 2πmk
Il periodo della molla non dipende dalla ampiezza della oscillazione
−Aω 2 ⋅cos ωt +ϕ( ) = − km#
$%
&
'( A ⋅cos ωt +ϕ( )( )
derivata 2da di x(t) x(t)
Il moto armonico passo passo
T x v a
0 MAX A
0 MIN -‐Aω2
T/4 0 MIN -‐Aω
0
T/2 MIN -‐A
0 MAX +Aω2
3T/4 0 MAX +Aω
0
T MAX A
0 MIN -‐Aω2
equilibrio a(t = 0) = −Aω 2 ⋅cos(ω ⋅0) = −Aω 2 ⋅cos(0) = −Aω 2
v(t = T4 ) = −Aω ⋅sin(ω ⋅ T4 ) = −Aω ⋅sin( 2πT T4 ) = −Aω ⋅sin( π2 ) = −Aω
Oscillazioni smorzate (*)
Quando nel sistema oscillante sono presen3 forze dissipa3ve ⇒ l’energia del sistema diminuisce: • Caso 3pico: Fsmorzante ∝ velocità, verso opposto.
u Es: molla in un liquido viscoso. • La viscosità rallenta la molla à la F smorzante diminuisce nel tempo:
x(t)=A·∙exp[-‐(b/2m)t]·∙cos(ωt+φ)
• Se F smorzante abbastanza piccola, il moto rimane oscillatorio prima di fermarsi
la nuova ampiezza dipende dal tempo
t
Oscillazioni forzate (*)
• Quando un oscillatore è soggeOo ad una F esterna concorde col suo moto
à oscillazioni “forzate” • ampiezza A∝1/(fext-‐ f0) • Se festerna = f0 naturale del sistema à massimo di A (“risonanza”) • In presenza di smorzamen3 piccoli
à A aumenta ad ogni ciclo. Es: altalena
f=f0
Dinamica dei corpi estesi
Corpi estesi = dimensione>0 Modello del CORPO RIGIDO • Corpo rigido = oggeOo esteso di forma
definita non deformabile u le par3celle che lo compongono rimangono in posizione fissata l’una rispeOo all’altra
• Per corpi estesi il punto di applicazione di F è importante: può causare (anche) rotazioni ! 71
rotazione oraria
an3oraria traslazione
corpo rigido punto
materiale
Risultante di forze • Per un punto materiale la risultante è quella forza Fris=∑F • Per un corpo esteso
u due F uguali e contrarie in pun3 diversi lungo la stessa reOa di applicazione non alterano lo stato di moto
u una F applicata ad un punto può essere spostata lungo la sua re:a di applicazione senza alterarne gli effeQ
u se due F sono applicate in pun3 diversi, si possono ancora sommare spostandole lungo le loro re:e di azione ed oOenere una Fris=∑F
72 F1
F1+F2
F2
Risultante di Forze parallele
• F concordi: equivalente ad una Fris=∑F applicata ad un punto O situato tra P e P’ tale che :
ü se consideriamo le Fg di ogni volumeOo del corpo ⇒ il punto O dove si applica la risultante ∑Fg=∑mig si chiama “baricentro”
• F discordi: come sopra ma O cade al di fuori del segmento PP’ dal lato della |F| maggiore.
F1x1= -‐F2x2 • In generale: |F1x1|=|F2x2| 73
F1
F1+F2
F2
x1 x2 O
P P’
P P’
F1 F1-‐F2
F2 O
x1x2=F2F1
Dimostrazione(*)
Applichiamo due forze F Sommiamo F1x e F2x=-‐F1x Proprietà tringoli simili: x1/PO = F1x/F1 x2/PO = F2x/F2 (x1/PO)/(x2/PO)=x1/x2 (F1x/F1 )/(F2x/F2)=F2/F1 ⇒ x1/x2 = F2/F1
74
P1 P2
F1
F1+F2
F2
x1 x2 O
P
F1x F2x
Coppia di forze
Due F ∥ e discordi di uguale intensità ⇒ non riducibile ad una Frisultante • Si parla di “coppia” di forze#• αrotazionale ≠ 0 • La coppia è responsabile delle rotazioni del corpo u La F risultante invece è responsabile delle traslazioni del corpo
• Qualunque sistema di forze può essere ricondoOo ad una coppia + una risultante
75
P P’
F1
F2 O
L’effeHo di una coppia è misurato
dal suo “momento” (vedi oltre)
Centro di massa
• Il moto traslatorio di un corpo rigido di massa M può essere descriOo facendo riferimento ad un unico punto materiale di massa = M u la posizione del punto si chiama “centro di massa”
• Il CM si comporta come un punto materiale di massa M cui viene applicata la risultante di tuOe le forze che agiscono sul corpo: M·∙abaricentro=∑F
76
CM
77
Baricentro (centro di gravità) • Su ogni par3cella di un corpo agisce la forza peso (molte
F parallele concordi) • La risultante è il peso del corpo • Il punto di applicazione della risultante si chiama
“baricentro”
78
Per oggeQ abbastanza piccoli t.c. Fg è uguale in ogni punto ≡ centro di massa. In pra3ca coincidono sempre
• Punto del corpo rigido in cui si può immaginare concentrato tuOo il peso
• Si trova appendendo il corpo a due pun3, all’incrocio delle ver3cali
Posizione del CM (*)
• CM = posizione media della massa del sistema • Sistema rigido di due palle aOaccate
• In generale:
• Media pesata delle posizioni delle masse • Per corpi uniformi → centro geometrico
79
xCM =m1x1 +m2x2m1 +m2
rCM =rimi∑mi∑
Una F applicata qui provoca solo traslazione
CM di una barra (*)
• Barra di lunghezza L
• Elemento di massa: dm = λdx
• Se la densità è uniforme: λ=M/L
80
xCM =1M
xdm = 1M
xλ dx = λM
x2
2!
"#
$
%&0
L
= 12 λL2
M0
L
∫∫
xCM =L2
L
Momento di una F
• F (su corpi rigidi) può causare traslazioni o rotazioni • Rotazioni à α non dipende solo da F ma anche dalla posizione del suo pto di applicazione rispeOo all’asse di rotazione.
81
Se: FA = FB αA> αB Si ha che:
α ∝ r × F
M ha dimensioni di un lavoro [M]=[LF]=[LMLT-‐2]=[L2MT-‐2] Unità di misura SI: N·∙m
α maggiore α minore
“Momento” della forza rispeOo all’asse di rotazione
asse
r!M
F F·∙sinϑ ϑ
Momento di una forza • Se un corpo rigido può ruotare
a:orno ad un asse • Momento = r·∙Fsinϑ
u ϑ = ∠ tra F ed r!u definito sempre rispeHo ad un asse di rotazione
• F∥r à traslazione (φ=0 ⇒ M=0) • Solo la componente F⊥r à rotazione
(φ=90∘ ⇒ M=max) 82
Il momento misura la tendenza di una F a far ruotare un corpo aOorno ad un asse
Momento di una forza
• Sarebbe: M = r∧F u M direOo ⊥ al piano (r,F) u verso: regola mano dx (an3orario M>0)
83
M
F
r!ProdoHo veHoriale: A∧B è un veOore tale che: |A∧B| = A·∙B·∙sinθ se A∥B ⇒ A∧B=0 se A⊥B ⇒ |A∧B|=A·∙B
Momento di una forza
Riscrivo M= r·∙Fsinϑ M = r·∙sinϑ·∙F ⇒ M = b·∙F
84
braccio
braccio = distanza ⊥tra l’asse di rotazione e la reOa di azione di F M = r·∙F⊥ = r⊥·∙F
M = r⊥·∙F
r!
M F F·∙sinϑ ϑ
b# M = r·∙F⊥
r!
M
F ϑ
b#
Momento di una coppia
• Coppia: F1 = -‐ F2
• Il momento della coppia non dipende dalla scelta di O
u cioè posso scegliere qualunque punto di applicazione su -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐
u M1 = M2 (>0) perchè entrambi provocano una rotazione an3oraria 85
P
P’
F1
F2
b
r2
Mris = Mi∑= r1F1 sinϑ + r2F2 sinϑ= b1 ⋅F1 + b2 ⋅F2 = 2b ⋅F
r1
Esempio: risultante di forze
• Barra con perno • Mris=M1+M2=F1b1-‐F2b2 • Se non gira (F1 compensa F2) ⇒ Mris=0 ⇒ F1b1 = F2b2 ⇒ b2 = (F1/F2)b1 • Per oOenere una situazione stabile il rapporto dei bracci deve essere: b2/b1 = F1/F2
86
F1
F2
b1 b2
Perno F2 > F1 b2 < b1
Condizioni di Equilibrio
Equilibrio = permanenza nello stato iniziale di moto 1. ∑ Fext= 0 → traslatorio 2. ∑ Mext= 0 → rotazionale Esempio • F1 ed F2 applicate in P F1 + F2 = 0 M1 + M2 = 0 • F1 applicata in P F3 applicata in P’ F1 + F3 = 0 M1 + M3 ≠ 0
87
equilibrio
P P’
F2
F1
F3
fermo
ruota
Baricentro
Definizione alterna3va: • Baricentro = quel punto del corpo rigido tale che la ∑ dei momen3 delle forze peso in quel punto è nulla:
∑ ri ∧ Pi = 0 Fg1 x1 + Fg2 x2 = 0 Fg1 x1 = Fg2 x2 m1g x1 = m2g x2 m1x1 = m2x2
88
Fg2 Fg1
x2 x1
Leve (*)
89
LEVA = 2 bracci solidali + 1 fulcro
1ma classe: F-‐fulcro-‐R
2da classe: fulcro-‐R-‐f
3za classe: fulcro-‐f-‐R
Sta9ca umana
90
Peso della testa applicato al baricentro
F dei muscoli della nuca (compensa il peso della testa)
F reazione vincolare esercitata dalle vertebre
Leva di 1ma classe
Sta9ca umana
91
F (muscoli)
P (peso)
V reazione della spina dorsale
x1=4cm x2=8cm
P=60 kg F
V
Compressione sulle vertebre è minore se baricentro e allineato con la spina dorsale
Il baricentro è anteriore alla spina dorsale F ⋅ x1 = P ⋅ x2 rotazione
V = F +P traslazione
F = P x2x1= 60 ⋅9.8 ⋅ 0.08
0.04=1176 N
V =1176+ 60 ⋅9.8 =1764N ≈180kg
Equilibrio e stabilità
La posizione del baricentro rispeOo alla base del supporto determina se un corpo è stabile oppure no • Un corpo è stabile se una reOa ver3cale dal suo baricentro cade entro la base di appoggio • Oltre questo punto, la Freazione sul pto di appoggio contribuisce alla caduta creando una coppia di forze Fg+Freaz
92
Fr può agire solo sul punto di appoggio
Fg Fg
Fr Fr
Stabilità
• In caso di spostamento dalla posizione di equilibrio: u Stabile: ritorna alla posizione originale u Instabile: si sposta ancora + lontano u Indifferente: rimane nella nuova posizione
93
STABILE INSTABILE INDIFFERENTE
Bilancia a bracci
Confronta 2 masse.
Metodo della doppia pesata: per evitare errori dovu3 a differenza di lunghezza dei bracci si pesa il corpo su entrambi i piaQ e si fa la media:
94
Baricentro: deve essere al di soOo dell’asse altrimen3 si ha equilibrio instabile M =
Msx +Mdx2
corpo
massa di confronto
Baricentro Umano • La risultante di tuOe le forze peso
sul corpo è il peso del corpo applicato al bericentro • Il CM sta circa a 56% dell’altezza
da terra • Cadiamo quando il nostro
baricentro si sposta oltre la base d’appoggio dei piedi • Quando por3amo un peso il
corpo si piega per compensare lo spostamento del baricentro u ar3 amputa3 vengono sos3tui3 con ar3ficiali anche per evitare che il corpo assuma distorsioni permanen3
95
c.m.
Il bicipite 1 (*) Bicipite aOaccato in b≃5 cm dalla ar3colazione. Per sollevare pesi, esercita una Fb sul braccio. Il braccio è orizzontale lungo r≃40 cm. Fb è ver3cale. Quanta Fb esercita il bicipite x reggere 10 Kg ?
All’equilibrio i momen3 delle F si compensano : Mg = Mbicep rFg = bFbsinϑ (ϑ=90∘) Fb = rFg/b = = (0.40m·∙10Kg·∙9.8m/s2)/0.05m = 785 N
96
Fg
785 N è il peso di M=80Kg !
b=5cm
r=40 cm Fg
Fb
Il bicipite 2 (*)
• Cosa succede se il braccio è abbassato di 30 dalla orizzontale ? u l’angolo totale è di 90°+30°=120° u il braccio di entrambe le F è minore di prima
Mg = Mbicep rFg sinϑ = b Fb sinϑ = Fb = rFg/b = = (0.40·∙10·∙9.8)/0.05) = 785 N
u la forza richiesta è la stessa di prima
97
Fg
Fb 120° braccio
Momento di Inerzia
Per un pto materiale m su circonferenza: M = r·∙F = r·∙maTAN = r2mα [aTAN=rα]
Per corpi rigidi estesi diventa: ∑M = ∑(ri2mi) α = I α Il momento di inerzia I è una misura della inerzia rotazionale del corpo (come la massa per mo3 traslazionali) F = ma M = Iα
Dimensione: [I]=[L2 M] ⇒ SI: Kg·∙m2
98
“momento di inerzia”
m r
Esempio
• I rispeOo ad un asse equidistante dai pesi: ∑mr2 = 5kg·∙(2m)2 + 7kg·∙(2m)2 = 48 kg/m2
• I rispeOo ad un asse a sinistra: ∑mr2 = 5kg·∙(0.5m)2 + 7kg·∙(4.5m)2 = 1 + 142 = 143 kg/m2
u le masse vicino all’asse contribuiscono poco
⇒ aOenzione: I dipende dall’asse rispeOo al quale si calcola, non è una proprietà intrinseca come la massa ! 99
Momen9 di inerzia (*)
100
I = r2m∑I = r2 dm∫
Momento Angolare
• Analogo rotazionale della quan3tà di moto à “momento angolare”:
L = r ∧ p = r ∧ mv!NB: definito rispeOo ad un asse di rotazione (con3ene r) • direzione ⊥ al piano (r,v) • se r∥v ⇒ L=0 • Se r⊥v ⇒ |L|= rmv(sinφ)
u in questo caso il moto è circolare: v=rω u posso riscrivere L = rm(rω) = mr2ω = Iω
• Dimensione: [mom ang]=[LMLT-‐1]=[L2MT-‐1] 101
momento di inerzia
p
Conservazione del Mom. Ang.
Il momento angolare L si conserva in assenza di momento di momen3 di forze esterne Mext dL/dt=0 (per Mext=0) Esempio della paQnatrice. Consideriamo solo la massa m delle braccia. L=Iω=(mr2)ω costante • A braccia aperte: r grande ⇒ ω piccolo • A braccia conserte r piccolo ⇒ ω grande
102
Esempio
hOp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/BehoudImpulsmoment.ogv
103
rotazione an3oraria rotazione oraria
+ L iniziale = 0
Equivalenze
r v a m
F=ma P=mv
F=dp/dt
104
ϑ#ω#α#I=r2m#M=r∧F=Iα!L=r∧mv=Iω!M=dL/dt#
posizione#velocità#
accelerazione#inerzia#forza#
q. di moto#conservazione#
#