8/15/2019 Developpement Analyse 417
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Développement asymptotique de l’intégrale
sin t
t dt
Yves Coudene 16/10/03
L’intégrale N
0sin tt
dt tend vers π/2 lorsque N tend
vers l’ infini. Quitte à fairequelques calculs, on peut obtenir un
développement asymptotique complet :
N
0
sin t
t dt =
N
0
∞0
e−txdx
sin t dt =
∞0
N
0e−tx sin t dt dx
L’intégrale N
0 e−tx sin t dt se calcule explicitement à l’aide
des complexes :
N
0e−tx sin t dt = I m
N 0
e−tx+it dt
= 1
1 + x2 −
e−Nx
1 + x2(cos N + x sin N )
On obtient donc :
N 0
sin tt
dt = π2 −
∞0
e−Nx
1 + x2(cos N + x sin N )dx , v =
N x
= π
2 −
cos N
N
∞0
e−v
1 + v2
N 2
dv − sin N
N 2
∞0
ve−v
1 + v2
N 2
dv
On utilise maintenant le développement en série de
11+x2
, dont le reste estexplicite :
1
1 + v2
N 2
=K k=0
−
v2
N 2
k+
−
v2
N 2
K +11 + v
2
N 2
,
∞0
e−v
1 +
v2
N 2
dv =K
k=0(−1)k
N 2k
∞0
v2ke−vdv
=(2k)!
+ 1
N 2k+2
∞0
(−v2)K +1e−v
1 +
v2
N 2
dv
| |≤(2k+2)!
∞0
e−v
1 + v2
N 2
dv =K k=0
(−1)k
N 2k (2k)! + o
1N 2K
∞0
ve−v
1 + v2
N 2
dv =K k=0
(−1)k
N 2k (2k + 1)! + o
1N 2K
Résultat : N
0
sin t
t dt =
π
2 −
K k=0
(−1)k
(2k)! cos N
N 2k+1 + (2k + 1)!
sin N
N 2k+2
+ o
1N 2K +2
= π
2 −
cos N N
−
sin N N 2
+ 2 cos N
N 3 + 6
sin N N 4
+ o 1
N 4
Ce développement illustre les points suivants :– utilisation de
la transformée de Laplace ;– calcul d’intégrales réelles en
passant dans le domaine complexe ;– fonction Gamma ;– obtention
d’une asymptotique en mettant l’expression à évaluer sous la
formed’une intégrale dépendant d’un paramètre ;– obtention d’un
reste sous forme intégrale, ce qui permet d’obtenir des
équiva-lents, mais aussi des encadrements.
Enfin pour finir, il faut remarquer que la série obtenue est
divergente.
Université de Rennes 1 – Préparation
à l’agrégation de mathématiques
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr
