despacho 2

Principios de Optimizacin

Ing. Jos Koc Rueda

IntroduccinSupongamos que tratamos de maximizar o minimizar una funcin de varias variables. Es relativamente tedioso encontrar los mximos y mnimos utilizando reglas de clculo. Primero, encontraremos un conjunto de valores donde la primera derivada es cero. Adicionalmente con la segunda derivada determinamos si la solucin es un mximo o un mnimo o un punto de silla.

En optimizacin un problema de la vida real, uno se enfrenta con una funcin para ser maximizada o minimizada, tambin como numerosas restricciones que tienen que ser consideradas. Las restricciones algunas llamadas condiciones de contorno puede ser una funcin como puede ser otras funciones con condiciones que pueden ser encontradas o ellas pueden ser encontradas como simples condiciones tal como lmites de las variables de la funcin.

ABC de la OptimizacinA. Qu puedes decidir? Ej: cunto producir; cunto invertir,son variables de decisinB: Qu quiere decir mejor?Ej: maximizar beneficio, minimizar coste, son objetivos (slo puede haber uno)C: Qu restricciones hay?Ej: no exceder presupuesto -> restricciones

ABC de la OptimizacinUn problema de optimizacin es de la formamaximizar (min) objetivosujeto arestricciones en las decisiones factiblesSi las frmulas que definen el objetivo y las restricciones son lineales, tenemos un problema de Programacin Lineal (PL) PL: es el modelo matemtico ms aplicado en la prcticaSi las variables de decisin han de ser enteras: Programacin Entera (PE)La programacin lineal es la base para el desarrollo de algoritmos de solucin de otros tipos (ms complejos) de modelos, incluyendo la programacin entera, no lineal y estocstica.

Programacin Lineal

Mirando el PasadoEn los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollo del clculo infinitesimal, se ocuparon de obtener mximos y mnimos condicionados de determinadas funciones.Posteriormente, el matemtico francs Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los mtodos de lo que actualmente llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Programacin LinealLa programacin lineal es quizs la tcnica de programacin matemtica ms ampliamente aplicada. En forma simple, la programacin lineal trata de encontrar el ptimo valor de una funcin de objetivo lineal cuando se tiene un grupo de restricciones lineales.PL: tcnica de modelizacin matemtica para optimizar el empleo de recursos limitadosPL: tcnica matemtica ms aplicadaAplicaciones: Industria, agricultura, transporte, economa, sistemas sanitariosPL en software comercial: Excel, LINDO, XPRESS-MP, CPLEX, ...

TerminologaSolucin factible: es aquella para la que todas las restricicones se satisfacenSolucin no factible: es una solucin para la que al menos una solucin se violRegin factible: es la coleccin de todas las soluciones factiblesSolucin bsica factible: nuna solucin basica que satisface la condicin den nonegatividad de la programacin lineal es llamada solucin bsica factibleSolucin ptima: es la solucin factible que optimiza la funcin objetivo

Algunas PreguntasQu son los vertices en un PL general?Cmo reconocer un vrtice ptimo?Cul es el efecto de cambiar los datos?

Respuestas: Estructura de solucionesCondiciones de optimalidad, PL dualAnlisis de sensibilidad

El Mtodo SimplexDearrollado por George Dantzing en 1947, est comprobado que es un mtodo extraordinariamente eficiente que se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en las computadoras de hoy en dia.El mtodo simplex es un procedimiento algebraico. Sim embargo, sus conceptos fundamentales son geomtricos. El entendimiento de estos conceptos gemetriocs proporciona una fuerte intuicin sobre cmo opera el mtodo simplex y qu lo hace tan eficiente.

El Algoritmo SimplexObtener una solucin bsica factible inicial. Determinar si la solucin actual es ptima. Esto ser si todos los elementos del vector de costes reducidos son negativos o nulos. En caso contrario se ha de continuarDeterminar que variable no bsica ha de entrar en la base.esto puede hacerse por ejemplo, eligiendo quella cuyo elemento correspondiente en el vector de costes reducidos es ms positivoDeterminar cul es la variable bsica que sale de la base mediante el procedimientos arriba mencionado.Construir la nueva baseObtener una solucin bsica factibleContinuar con el paso 2

Anlisis de SensibilidadEl propsito principal del anlisis de sensibilidad es identificar los parmetros sensibles (esto es, aquellosque no pueden cambiar sin cambiar la solucin ptima).Los parmetros sensitivos son los parmetros que ser necesario controlar muy de cerca conforme el estudio se ponga en prctica. Si se descubre que el valor verdadero de un parmetro sensitivo difiere de su valor estimado en el modelo, esto da la seal inmediata de que la solucin debe cambiar.

Dualidad (1/4) : IntroduccinUno de los descubrimientos ms importantes durante el desarrollo inicial de la programacin lineal fue el concepto de dualidad y sus muchas e inportantes ramificaciones. Este descubrimiento revel que , asociado a cada problema de programacin lineal, llamado el primal hay un correspondiente problema llamado su dual.Correspondiente a cada problema primal de minimizacin, el correspondiente dual es una maximizacin y viceversa

Dualidad (2/4) : Reglas de TransformacinLas reglas de transformacin de el problema primal a el problema dual son las siguientes:Correspondiente a m inecuaciones en el problema primal, hay m variables en el problema dual.Correspondiente a n variables elegida en el primal, hay n restricciones en el problema dual.La transpuesta del vector columna de constantes en las restriciones de el problema primal, llegan a ser el vector fila de coeficientes de la funcin objetivo del dual

Dualidad (3/4) : Reglas de TransformacinCambio de minimizar a maximizarInvertir los signos de inecuaciones de las restriciones del primal en el dualTomar la transpuesta de los coeficientes de la matriz de restriicones del primal dentro del dualLa transpuesta de el vector fila de coeficientes en la funcin objetivo del problema primal llega a ser el vector columna de constantes en las restricciones dual

Dualidad (4/4) : Teoremas de dualidadLos siguientes teoremas indican la relacin entre la solucin del primal y dual:El dual del dual es el primalSi ambos el primal y el dual tienen soluciones factibles, la solucin ptima de ambos es la misma; esto es, mximo Z=mnimo ySi cualquiera el primal o el dual tienen una solucion infinita, el otro problema es no factible.

Ejemplo

Programacin Dinmica

Un poco de HistoriaExisten problemas que poseen una estructura especial: las decisiones son tomadas en forma secuencial, en el tiempo y o espacio. Es decir, estos problemas pueden descomponerse en varias etapas las que pueden ser completadas de una o mas formas. Pero, a pesar de que las decisiones son tomadas de a una, ellas son altamente interdependientes.Para resolver este tipo de problemas surgi la programacin dinmica ( PD), que fue desarrollada por Richard Bellman a mediados de la dcada del 50. en verdad la palabra dinmica da la sensacin de decisiones relacionadas con el tiempo no obstante pueden ser utilizada en situaciones donde el tiempo no es un factor importante. Por tal motivo tal vez un nombre mas apropiado seria el de Programamcin de etapas mltiples

Introduccin (1/3)La programacin dinmica es un procedimiento matemtico que utiliza la toma de decisiones interrelacionadas, diseado principalmente para mejorar la eficiencia de calculo de problemas de programacin matemtica seleccionados, descomponindolos en subproblemas de menor tamao y por consiguientes mas fciles de calcular.No cuenta con una formulacin matemtica estndar para el problema de programacin dinmica, sino que trata de un enfoque de tipo general para la solucin de problemas y las ecuaciones especificas que se usan se deben desarrollar para que representen cada situacin individual

Introduccin (2/3)La programacin dinmica comnmente resuelve el problema por etapas, en donde cada etapa interviene exactamente una variable de optimizacin (u optimizadora)Los clculos en las diferentes etapas se enlazan a travs de clculos recursivos de manera que se genere una solucin optima factible a todo el problema .La programacin dinmica resuelve adecuadamente distintas situaciones donde el tiempo no es un factor importante, su nombre mas adecuado seria Programacin de etapas mltiples, ya que el procedimiento determina comnmente la soluciones en etapa.

Introduccin (3/3)La teora unificadora fundamental de la programacin dinmica es el principio de optimilidad, que nos indica bsicamente como se puede resolver un problema adecuadamente descompuesto en etapas utilizando clculos recursivos.Una poltica optima tiene la propiedad de que, independientemente de las decisiones tomadas para llegar a un estado particular, en una etapa particular, las decisiones restantes deben constituir una poltica optima para abandonar ese estado en otras palabras, la trayectoria optima desde el punto de partida al punto final tiene la propiedad de que para cualquier punto intermedio, la trayectoria debe ser aquella optima desde el punto de partida hasta aquel punto intermedio .

Qu requerimos?Un grado de creatividad

Un buen conocimiento de la estructura general de los problemas de programacin dinmica para reconocer cuando un problema se puede resolver por medio de estos procedimientos y como esto se puede llevar a cabo.

CaracteristicasEl problema se puede dividir en etapas que requieren una poltica de decisin en cada una. Cada etapa tiene cierto numero de de estados asociados a ellaEl efecto de la poltica de decisin en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con la siguiente etapaEl procedimiento de solucin esta diseado para encontrar una poltica optima para el problema Dado un estado actual, una poltica optima para las etapas restantes es independiente de la poltica adoptada en las etapas anteriores , se basa en el principio de optimilidad. El procedimiento de solucin se inicia al encontrar la poltica optima para la ultima etapaSe dispone de una relacin recursiva que identifica la poltica optima par la etapa n dada la poltica optima para la etapa (n+1)

DefinicionesEtapa: parte del problema que posee un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes , de las cuales se seleccionara la mejor alternativa.Estado:es aquel que refleja la condicin o estado de las restricciones que enlazan las etapas.Procedimiento de avance: los clculos de avanzan de la primera a la ultima etapa.Procedimiento de retroceso: los clculos comienzan en la ultima etapa y despus regresan hacia la etapa 1

Ejemplo tipo(El problema de la diligencia)Un cazafortunas de Missouri decide irse al oeste a unirse a la fiebre del oro en California . Tiene que hacer el viaje en diligencia a travs de territorios sin ley donde existan serios peligros de ser atacados por merodeadores. Aun cuando su punto de partida y destino eran fijos, tenia muchas opciones en cuanto a que estados deba elegir como puntos intermedios , en la fig. se muestran las rutas posibles, en donde cada estado esta representado por un circulo numerado,Se desea estimar la ruta mas segura , como el costo de la pliza para cualquier jornada de la diligencia esta basada en una evaluacin de seguridad del recorrido, la ruta mas segura debe ser aquella que tenga el costo total mas barato. Cul es la ruta que minimiza el costo total de la pliza ?

Sistema de caminos y los costos del problema de la diligencia

SolucinLos clculos se realizan en etapas dividiendo el problema en subproblemas.Despus se considera por separado cada subproblema con el fin de reducir el numero de operaciones de calculo.La programacin dinmica comienza con una pequea porcin del problema original y encuentra la solucin optima.Despus agranda gradualmente el problema y encuentra la solucin optima actual a partir de la que le procede , hasta resolver el problema original completo.En cada problema aumentado se puede encontrar la solucin optima tomando en cuenta los resultados obtenidos en la interaccin anterior

Procedimiento de solucin Para este caso se emplear el desarrollo del problema con un recorrido hacia atrs . Cuando el cazafortunas tiene una sola etapa por recorrer (n=4), su ruta de ah en adelante esta perfectamente determinada por su estado actual (ya sea H o I) y su destino final, x4 = J , de manera que la ruta para esta ultima jornada en diligencias es S J La solucin al problema es: f*4 (H) = 3 f*4 (I) = 4

Procedimiento de solucinCuando se tiene tiene dos etapas por recorrer (n=3), se analiza de la siguiente manera , supngase que se encuentra en el estado F. Entonces como se ve en la figura debe ir al estado H o al estado I a un costo de cF,H = 6 o cF,I =3. Si se elige el estado H, el costo adicional mnimo al llegar ah es 3, por tanto el costo de decisin es 6+3=9, de igual manera si se elige el estado I, el costo total es 3+4=7 que es menor por lo tanto se escoger el estado I.

Procedimiento de solucinSe trabaja de manera similar con los otros dos estados posibles s=E y s=G, cuando quedan dos jornadas por viajar,los resultados son: f*3 (E) = 4 f*3 (F) = 7 f*3 (G) = 6

Procedimiento de solucinLa solucion para el problema de tres etapas (n=2) se obtiene en forma parecida , por ejemplo supongase que el agente se encuentra en el estado C , como se muestra el diagrama. Ahora debera ir al estado E, F o G con un costo inmediato de cC,E =3 o cC,F =2 cC,G=4 , respectivamente.

Procedimiento de solucinAl llegar aqu el costo adicional mnimo hasta llegar a su destino esta dado de la siguiente manera: x2 = E f2(C,E) = cC,E + f*3(E) = 3 + 4 = 7 x2 = F f2(C,F) = cC,F + f*3(F) = 2 + 7 = 9 x2 = G f2(C,G) = cC,G + f*3(G) = 4 + 6 = 10 El mnimo de estos tres nmeros es 7, por lo que el costo mnimo desde el estado c al final es f*2(C) = 7 Y el destino inmediato debe ser x*2 = E , se realizan clculos similares cuando se comienza desde el estado B o D. Los resultados son: f*2 (B) = 11 f*2 (C) = 7 f*2 (D) = 8

Procedimiento de solucinSi se pasa al problema de cuatro etapas (n=1), los clculos son parecidos a los que se acaban de mostrar para el problema de tres etapas (n=2) , excepto que ahora hay solo un inicio posible, s=A , como se muestra el diagrama.

Procedimiento de solucinlos resultados se resumen de la siguiente manera :x1 = B f1(A,B) = cA,B + f*2(B) = 2 + 11 = 13x1 = C f1(A,C) = cA,C + f*2(C) = 4 + 7 = 11x1 = D f1(A,D) = cA,D + f*2(D) = 3 + 8 = 11 Como el minimo es 11, por tanto los caminos pueden ser C o D.En este punto se puede identificar la solucin optima. Los resultados indican los caminos ptimos a seguir: ADEHJ A DFIJ, las dos tienen un costo total de 11

Ejemplo AplicativoSean cuatro unidades trmicas generadoras cuyas caractersticas se describen en los siguientes cuadros:

Ejemplo Aplicativo

El costo del combustible para las cuatro unidades es de 2 UM/MBtu.

Los perodos en que se discretiza la demanda son 6, para los cuales las demandas de carga son:

Hoja1

Periodos (h)Demanda (MW)

1200

2300

3450

4400

5550

6350

Ordenando las unidades, el siguiente cuadro muestra las combinaciones posibles con la capacidad neta mxima:Ejemplo Aplicativo

Hoja1

EstadoCombinacin de UnidadesCapacidad Neta Mxima (MW)

151111590

141110530

13111510

12110450

111011390

101101340

91010330

811310

71100280

6101260

510250

4100200

31001140

2100080

1160

000

Donde en la combinacin de unidades:1: Unidad operativa0: Unidad fuera de servicioSe parte del estado inicial 4: 0100, este indica que solo la unidad 2 se encuentra operativa. Para determinar el Compromiso de Unidades por Programacin Dinmica, se pueden resumir los pasos seguir:Partir de un estado inicial.Determinar todos los estados factibles que satisfagan la demanda requerida en un perodo.Asignar a cada unidad una potencia determinada tal que nos permita obtener un costo mnimo de operacin. Por ejemplo, se puede recurrir al diagrama de flujo mostrado en la figura Hallar los costos mnimos para cada estado considerando costos de arranque en fro de la unidad (si sta no se encuentra operativa en el perodo anterior).Determinar el estado con el menor costo y para continuar con el siguiente perodo regresar al paso 2.Ejemplo Aplicativo

Resumiendo los pasos anteriores, para solucionar el problema planteado se tiene:Perodo 1Demanda de carga: 200 MWEjemplo Aplicativo

Hoja1

EstadoP1 (MW)P2 (MW)P3 (MW)P4 (MW)Costo(*) (UM/h)

152011550156101.34

14201305005537.36

13013550155778.78

1201505005214.8

11200165155719.18

10201650154653.6

920018005174.1

800185155421.82

720180004089.62

601850154330.56

50020004876.74

40200003767.06

Se deduce que el estado factible con el mnimo costo es el estado 4, entonces la unidad 2 se encontrara operando al inicio del siguiente perodo.

Perodo 2Demanda de carga: 300 MW Se deduce que el estado factible con el mnimo costo es el estado 10, entonces las unidades 1, 2 y 4 se encontraran operando al inicio del siguiente perodo.Ejemplo Aplicativo

Hoja1

EstadoP1 (MW)P2 (MW)P3 (MW)P4 (MW)Costo (UM/h)

152020065157740.24

14202008007195.16

13020085157442.88

12020010006897.8

11200250307489.78

10402000606515.94

950025007050.06

800250507225.22

Perodo 3Demanda de carga: 450 MW Se deduce que el estado factible con el mnimo costo es el estado 12, entonces las unidades 2 y 3 se encontraran operando al inicio del siguiente perodo.

Perodo 4Demanda de carga:400 MWEjemplo Aplicativo

Hoja1


1520200165158786.24

142020023008241.16

130200185158488.88

12020020007943.8

Hoja1


15202002151510059.2

142020023009814.14

130200235159761.88

12020025009516.8

Se deduce que el estado factible con el mnimo costo es el estado 12, entonces las unidades 2 y 3 se encontraran operando al inicio del siguiente perodo.Perodo 5Demanda de carga:550 MWSe deduce que el nico estado factible con el mnimo costo es el estado 15, entonces todas las unidades se encontraran operando al inicio del siguiente perodo.Perodo 6Demanda de carga: 350 MWEjemplo Aplicativo

Hoja1


15402002506011565.68

Hoja1


1520200115157613.22

142020013007368.14

130200135157315.88

12020015007070.8

11400250607498.6

Se deduce que el estado factible con el mnimo costo es el estado 12, entonces las unidades 2 y 3 se encontraran operando al inicio del siguiente perodo.Ejemplo Aplicativo

Documents

despacho 2