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ExoticOptions
Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Exotic Options Under Levy Processes
Giuseppe Gabriel Cardi
Universita di Bergamo
30 Novembre 2005
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 1 / 40
ExoticOptions
Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Di cosa stiamo parlando?
1 Perche Opzioni Discrete?
2 Perche Processi di Levy?
3 Casi Semplici ed Algoritmi
4 Perche NON per i Processi di Levy?
5 Una Estensione
6 Risultati numerici . . . future ricerche
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 2 / 40
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Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
La letteratura
Broadie, M. Kou, S. Numerical pricing of discrete barrier and lookback
options via Laplace transforms, Mathematical Finance, 1997, 7, 325-49
Broadie, M. Glasserman, P. Kou, S.G. Connecting discrete and
continuous path dependent options Finance and Stochastic, 1999, 3,
55-82
Ohgren, A. A remark on the pricing of discrete barrier options Journal
of Computational Finance, 2001, Volume 4
Petrella, G. Kou, S. Numerical pricing of discrete barrier and lookback
options via Laplace transforms, The Journal of Computational
Finance, 2004, 8
Boyarchenco, S. Levendorkii, S. Non-Gaussian Merton–Black–Scholes
Theory, World Scientific Press, 2002
Spitzer, F. Principles of randon walks, Van Nostrand, 1961
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 3 / 40
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Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Opzioni esotiche
Lookback:
t
St
K
T
Strike
Floating
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 4 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Opzioni Esotiche
Barrier (Up and Out):
t
St
H
K
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Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Opzioni esotiche
Discrete Lookback:
t
St
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 6 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Perche opzioni discrete?
1 Broadie, Glasserman, Kou(Math. Finance 1997, Finance Stochastic 1999)
“In practice most of the lookback and barrier optionsare discretely monitored
for some (regulatory and practical) reasons”
2 Real Options
3 ...
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 7 / 40
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Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Modellare il sottostante
Modelli di Diffusione(Black Scholes)
Modelli di Diffusione + numero finito di salti(Merton, Kou, ...)
Modelli di Diffusione + numero finito di salti + . . .
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Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Perche Processi di Levy?
1 il lnS e asimmetrico;
2 il lnS presenta code larghe;
3 gli incrementi di ln S sono stazionari;
4 gli incrementi di ln S su intervalli disgiunti sono incorrelati;
5 caratteristiche della volatilita;
6 il modello e arbitrage free;
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 9 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Perche i processi di Levy?
1 2 3 4 5 6 7
BS - - + + - + 2
(1) + + + + - + 3/4
(2) + + + + + + 6/7
Tabella delle proprieta dei processi di Levy.L’ultima colonna da il numero di parametri del modello
(da [Vanini, 2004]).
1 Kou, NIG, VG, CGMY-2001, Meixner, Stable, GH ...
2 Kou, NIG, VG, CGMY-2003, Meixner, Stable, GH ... (+SV)
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 10 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Definizioni...
Un processo e detto di Levy
1 X0 = 0 q.c.
2 Incrementi stazionari ed indipendenti
3 c.a.d.l.a.g.
RLPE
Processi Regolari di Tipo EsponenzialeRegular Levy Processes of Exponential Type
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 11 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Cosa sappiamo...
Un processo di Levy puo essere definito
1 funzione caratteristica
2 densita di probabilita
3 processo gaussiano subordinato
Xt = σWγt + µγt
4 e ...
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 12 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
La formula di Spitzer
Ohgren (2001)
Petrella-Kou (2004)
Formula di Spitzer
Ee iζX+k 7−→ Ee iζMk
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Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Formula di Spitzer
Spitzer (1956):
1 La relazione tra Massimo e Parte Positiva X+k
∞∑
n=0
qnE
[
e iζMn
]
= exp
{
∞∑
k=1
qk
kEe iζX+
k
}
2 La distribuzione congiunta di Xn e max[0,X1, . . . ,Xn].Denota la funzione caratteristica congiunta: φn(α, β)
∞∑
n=0
tnφn(α, β) = exp
[
∞∑
k=1
tk
k
(
Ee iαX+k + Ee iβX−
k − 1)
]
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 14 / 40
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Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Ohgren, 2001
Ohgren, 2001
Il prezzo neutrale al rischio Vn ad emissione (t = 0) diun’opzione che paga
max0≤j≤n
S(tj) − S(T )
dove tj = jT/n per j = 0, . . . , n e:
Vn = S(0)(e−rT xn − 1)
...
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Algoritmisulla formuladi Spitzer
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Risultatinumerici
Conclusione
Ohgren, 2001
... dove x0 = 1 and
xk+1 =1
k + 1
K∑
j=0
ak+1−jxj
ak = E[eX+k ]
Nota espliciamente:
ak = N
(
− r− 12σ2
σ
√tk
)
+ exp(rtk)N
(
r+ 12σ2
σ
√tk
)
k = 1, . . . , n
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Algoritmisulla formuladi Spitzer
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Risultatinumerici
Conclusione
Petrella-Kou, 2004
Petrella-Kou, 2004
al ,k(u) = E[euX+l,k ]
al ,k(u) = E[e(u+v)X+l,k ] + E[e−vX−
l,k ] − 1
xl ,k =1
k − l + 1
k−1∑
j=0
al ,k+1−jxl ,l+j
xl ,k =1
k − l + 1
k−1∑
j=0
al ,k+1−j xl ,l+j
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Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Petrella-Kou, 2004
Prezzo per una opzione Lookback:
A(u, t) = xl ,kE
[
euXt,t(l)
]
LB
P(t,T ) = e−r(T−t)
[
S(t)A(1, t)
+ L−1ε
(
(S(t))−(ε−1)
ε(ε − 1)A(1 − ε; t)
)]
− S(t)
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Algoritmisulla formuladi Spitzer
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Risultatinumerici
Conclusione
Petrella-Kou, 2004
o per opzioni con Barriera
C (u, v ; t) = xl ,kE
[
e(u+v)Xt,t(l)
]
UO
P(t,T ) = e−r(T−t)L−1ε,z
(
(S(t))−(ε+z−1)
ε(ε − 1)zC (−z , 1 − ε; t)
)
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 19 / 40
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Conclusione
Petrella-Kou, 2004
Le quantita
al ,k(u) = E[euX+l,k ]
al ,k(u, v) = E[e(u+v)X+l,k ] + E[e−vX−
l,k ] − 1
sono note nei casi:
1 Black-Sholes
2 Merton
3 Kou DEJD
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Conclusione
Algoritmi basati su Spitzer
Ohgren (2001):
“Unfortunately, the method above does not seem to adjusteasily to more general cases... ”
Petrella-Kou (2004):
“However, analytical formulae may not be available forgeneral Levy-process models...”
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Conclusione
La Formula Finale!
E
[
e iξX+k
]
=
[
∫
Im η=ω−
1
η − ξp(−η)kdη−
∫
Im η=ω+
1
ηp(−η)kdη
]
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 22 / 40
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Conclusione
1− e−rψ(z) sull’asse immaginario
Imz
Rez
σ+
σ−
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Conclusione
Zeri di: 1− e−rψ(z)
−5 0 5 10 15−0.1
0
0.1
Gaussian: σ+ = 10
−4 −2 0 2 4−0.6−0.4−0.2
0
NIG: σ+ = 1.4808
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
Meixner: σ+ = 1.6995
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
Variance Gamma: σ+ = 1.923
−50 0 50 100 150−1
012
CGMY: σ+ = 117.211
−4 −2 0 2 4−0.2
0
0.2
Merton Jump Diffusion: σ+ = 1.1111
−2 0 2−0.3−0.2−0.1
0
DEJD (Kou): σ+ = 0.77744
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Conclusione
La Fattorizzazione di Wiener-Hopf in Probabilita
Equazioni Integrali e WH
... = φ−(z) · φ+(z)Im z
Re z
φ+
φ−
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Conclusione
WH e Probabilita
Processi stoppati stocasticamente {Xτ(q)}:
E[e iξXτ(q) ] =∞∑
n=0
qnE
[
e iξXn
]
φ+q (ξ) = E[e iξMτ(q)] and φ−q (ξ) = E[e iξNτ(q)]
Possiamo scrivere:
E[e iξXτ(q) ] = φ+q (ξ)φ−q (ξ)
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 26 / 40
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Conclusione
WH e probabilita
[Spitzer, 1961]
Le identita Spitzer :
E[e iξMτ(q) ] = exp
[
∞∑
k=1
qk
k
∫ ∞
0(e ixξ − 1)dP(Xk < x)
]
E[e iξNτ(q) ] = exp
[
∞∑
k=1
qk
k
∫ 0
−∞
(e ixξ − 1)dP(Xk < x)
]
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Conclusione
E[e iξMτ(q) ] = exp
[
∞∑
k=1
qk
k
∫ ∞
0(e ixξ − 1)dP(Xk < x)
]
∞∑
n=0
qnE
[
e iζMn
]
= exp
{
∞∑
k=1
qk
kEe iζX+
k
}
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Conclusione
Integrali su linee parallele all’asse reale
z = e−r :
E
[
e iξX+k
]
=
∫ ∞
0(e ixξ − 1)dP(Xk < x)
Processi di Levy
⇓Incrementi stazionari e indipendenti
=
∫ ∞
0(e iξx − 1)
[
1
2π
∫ ∞
−∞
e ix(−η)p(−η)kdη]
dx
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Wiener - Hopf
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Conclusione
1− e−rψ(z)
Imz
Rez
σ+
σ−
ω+
ω−
Figure: Questa e la caption alla figura 2
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Conclusione
Integrali su linee parallele all’asse reale
=
∫ ∞
0
[
1
2π
∫
Im η=ω−
e iξxe−ixηp(−η)kdη−
− 1
2π
∫
Im η=ω+
e−ixηp(−η)kdη]
dx
scambiando gli integrali
=1
2π
∫
Im η=ω−
∫ ∞
0e iξxe−ixηp(−η)kdxdη−
− 1
2π
∫
Im η=ω+
∫ ∞
0e−ixηp(−η)kdxdη
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 31 / 40
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Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
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Conclusione
La Formula Finale!
E
[
e iξX+k
]
=
[
∫
Im η=ω−
1
η − ξp(−η)kdη−
∫
Im η=ω+
1
ηp(−η)kdη
]
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Conclusione
La Formula Finale!
E
[
e iξX+k
]
=
[
∫
Im η=ω−
1
η − ξψ(η)kdη −
∫
Im η=ω+
1
ηψ(η)kdη
]
E
[
e iξX−k
]
=
[
−∫
Im η=ω+
1
η − ξψ(η)kdη+
∫
Im η=ω−
1
ηψ(η)kdη
]
[Boyarchenco and Levendorkii, 2002] [Broadie et al., 1999][Broadie and Kou, 1997] [Lewis, 2004] [Lewis, 2001][Ohgren, 2001] [Petrella, 2004] [Petrella and Kou, 2004][Spitzer, 1961] [Vanini, 2004] [Cardi, 2005] [Fusai et al., 2004]
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Conclusione
k analytic E[e iξB+k ] numerical E[e iξB+
k ] difference
1 0.87782278343426 0.87782278343455 -0.000000000000292 0.83577757446810 0.83577757446854 -0.000000000000443 0.80617190033133 0.80617190033890 -0.000000000007574 0.78278141617820 0.78278141617848 -0.000000000000285 0.76324280370859 0.76324280370965 -0.00000000000106
Table: ak(ξ) = E[e iξB+k ] for the Gaussian case. Input: T = 0.5,
Number of monitoring points 5 , σ = 0.3, ξ = 1− log(110).
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 34 / 40
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Algoritmisulla formuladi Spitzer
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Risultatinumerici
Conclusione
k analytic E[e iξB− ] numerical E[e iξB− ] difference
1 0.89352598535555 0.89352598535557 -0.000000000000022 0.86429456378550 0.86429456378548 0.000000000000023 0.84604480173344 0.84604480173329 0.000000000000144 0.83300614419979 0.83300614419965 0.000000000000145 0.82305636322408 0.82305636322406 0.00000000000002
Table: E[e iξB− ] for the Gaussian case. Input: T = 0.5, Number ofmonitoring points 5 , σ = 0.3, ξ = 1− log(110).
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 35 / 40
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Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Put
n σ = 0.10 σ = 0.20 σ = 0.30
10 4.20468056525336 10.59460313333327 17.34910882375562
30 4.86792952368156 12.03367817596059 19.65941471775765
100 5.31985169541340 13.01165129340483 21.23460658865779
300 5.56402591814908 13.53937513293022 22.08631083500791
Call
n σ = 0.10 σ = 0.20 σ = 0.30
10 8.83518721626445 14.46609906269501 19.95764301546442
30 9.40970410920419 15.55524746635460 21.48235237352177
100 9.79749056593374 16.28195801471793 22.49384538258913
300 10.00582824163011 16.66978681300572 23.03180762445684
Table: Put and Call prices for floating lookback options. This table isthe same of Ohgren [Ohgren, 2001], Pg.142. Input:S0 = 100; r = .05;T = 1;
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 36 / 40
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Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Put
n Black-Scholes Merton Kou DEJD
10 17.34910882671792 16.39613923407135 18.35260723016699
30 19.65941471927584 18.27011379734931 20.27819269349862
100 21.23460658988514 19.47602651445994 21.51111543092870
300 22.08631083665928 20.10240569863853 22.15001377332033
Call
n Black-Scholes Merton Kou DEJD
10 19.95764301535237 19.24576600265106 20.82120430733122
30 21.48235237345197 20.50269865247775 22.05799484586167
100 22.49384538252234 21.29590701093257 22.83662777861054
300 23.03180762437372 21.70354250271478 23.23650206759529
Table: Floating Lookback prices for jump diffusion models:Black-Scholes , Merton and Kou (see [Petrella and Kou, 2004]).
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 37 / 40
ExoticOptions
Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Model Parameters
C G M Y
CGMY 0.0244 0.0765 7.5515 1.2945
C G M
VG 1.3574 5.8704 14.2699
α β δ
NIG 6.1882 3.8941 0.1622
σ
Black-Scholes 0.165
Table: Calibration for the Table 6
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 38 / 40
ExoticOptions
Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Put
n Black-Scholes NIG CGMY
5 9.26080651558372 9.34060131449836 9.27271680665255
10 9.85167798704070 9.61912467407674 9.59885022297349
100 10.97935297302969 9.98209750748292 10.10135246078903
300 11.22250621309046 10.02426611438069 10.17799769838034
Call
n Black-Scholes NIG CGMY
5 4.63122490703527 4.68769701758904 4.02397064400120
10 5.32100048373392 5.02142452933487 4.40677395882931
100 6.66048075670684 5.45633541894355 4.99849839945070
300 6.95314475686211 5.50667990687024 5.08877824404426
Table: Floating Lookback prices for Levy processes:Black-Scholes ,NIG and CGMY calibrated as in the Table 5
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 39 / 40
ExoticOptions
Under LevyProcesses
Introduzione
Processi diLevy
Algoritmisulla formuladi Spitzer
Wiener - Hopf
Risultatinumerici
Conclusione
Opzioni Esotiche e WH
P.I.D.EEquazioni Integrali
Algoritmi Ricorsivi Approccio di Lewis
W-H
(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 40 / 40
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