C:UsersUsuarioDocumentsARTÍCULOSCosmologíaPrincipio … Segura González Principio de Mach: el origen cósmico de la masa inercial Principle of Mach: the cosmic origin of the inertial

Wenceslao Segura González

Principio de Mach: el origen cósmico

de la masa inercialPrinciple of Mach: the cosmic origin of the inertial mass


Investigador independientee-mail: [email protected]

web: http://wenceslaoseguragon.wix.com/wenceslao-segura

Sinopsis. Entendemos el principio de Mach como la afirmación de que la inercia de un cuerpo

no es una cualidad intrínseca de la materia, sino que es el efecto de la acción de todo el

Universo. Las fuerzas de inercia actúan cuando un cuerpo está acelerado. Pero si suponemos

que es el Universo el que está acelerado, generará una fuerza inductiva gravitatoria sobre el

cuerpo, que cabe entenderla como la fuerza de inercia.

En esta investigación se calcula la inducción gravitatoria producida sobre un cuerpo por el

movimiento acelerado del conjunto del Universo. Se utiliza la teoría linealizada de la Relatividad

General, por tanto los resultados son aproximados, pero suficientes para darnos una idea de

cómo el Universo conforma la inercia de los cuerpos.

Abstract. We understand the principle of Mach as the assertion that the inertia of a body is not

an intrinsic quality of matter, but is the effect of the action of the whole Universe. The forces

of inertia act when a body is accelerated. But if we assume that is the Universe that is accelerated,

it will generate a gravitational inductive force on the body, which can be understood as the

force of inertia.

In this research we calculated the gravitational induction produced on a body by the accelerated

movement of the whole of the Universe. We used the linearized theory of General Relativity,

therefore the results are approximate, but sufficient to give us an idea of how the Universe

conforms the inertia of the bodies.

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.- LA MECÁNICA NEWTONIANA

1-A. El espacio absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-A. Las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-A. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4-A. La realidad de las fuerzas de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B.- EL PRINCIPIO DE MACH

1-B. Principio de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contenido

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PRINCIPIO DE MACH: EL ORIGEN CÓSMICO DE LA MASA INERCIAL

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C.- LA TEORÍA LINEALIZADA.

APLICACIÓN A LA COSMOLOGÍA

1-C. La teoría linealizada de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . .

2-C. El tensor energía-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-C. Los potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4-C. Componentes del tensor de energía-momento . . . . . . . . . . . . . . . .

5-C. Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6-C. Potenciales de Liénard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7-C. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8-C. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D.- INDUCCIÓN POR UN MOVIMIENTO ACELERADO Y

LINEAL DEL UNIVERSO

1-D. Aceleración inducida en el caso de un movimiento de aceleración

lineal del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-D. Cálculo de las integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-D. Parámetros de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4-D. Distancia propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-D. Determinación de los parámetros cósmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6-D. El Universo de Einstein-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7-D. Coeficiente de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E.- INDUCCIÓN POR UN MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

DEL UNIVERSO

1-E. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-E. Cálculo de la aceleración inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F.- INDUCCIÓN POR UN MOVIMIENTO DE

ACELERACIÓN ANGULAR DEL UNIVERSO

1-F. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-F. Cálculo de la aceleración inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G.- INDUCCIÓN DE FUERZA DE CORIOLIS

1-G. La fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-G. Cálculo de la aceleración inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H.- LA EXPANSIÓN CÓSMICA NO PRODUCE

INDUCCIÓN GRAVITATORIA

1-H. Nulidad de la inducción gravitatoria producida por la expansión

cósmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.- APLICACIÓN A OTROS MODELOS CÓSMOLÓGICOS

1-I. Modelo cósmico de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-I. Aplicación a un Universo caracterizado por 00.3,

M� � 0k � y

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V� � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-I. El modelo cósmico de Lemaître-Eddington . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4-I. Inducción de masa inercial en el Universo de Lemaître-Eddington . .

J.- CONSECUENCIAS DE LA VARIACIÓN

DE LA MASA INERCIAL

1-J. Corrimiento de las líneas espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-J. Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-J. Efecto de la variación de la masa inercial en el movimiento gravitatorio

4-J. Perturbaciones orbitales producidas por la variación de la masa inercial

5-J. Movimiento de satélites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6-J. Variación de la constante de gravitación universal . . . . . . . . . . . . . . .

K.- CONCLUSIONES

1-K. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-K. Las fuerzas inductivas no dependen de la velocidad . . . . . . . . . . . .

3-K. Las fuerzas inductivas dependen proporcionalmente de la aceleración

4-K. Los términos clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-K. Coeficiente de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6-K. El uso de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7-K. Varios tipos de masas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8-K. Insuficiencia de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9-K. Participación en la formación de la masa inercial por las diversas

épocas cósmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10-K. No existe inducción gravitatoria causada por la expansión cósmica

11-K. El principi de Mach nos permite obtener información cósmica a

partir de fenómenos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12-K. Variación de frecuencia de las líneas espectrales . . . . . . . . . . . . . .

13-K. Efecto de la variacion de la masa inercial en los movimientos locales

14-K. Velocidades superlumínicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15-K. Conclusión final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APÉNDICE A: LOS POTENCIALES RETARDADOS

A1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A2. Potenciales de Liénard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A3. Relaciones entre vectores de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A4. Relación entre las derivadas temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A5. Cálculo de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A6. Cálculo de la divergencia de 1 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APÉNDICE B: COSMOLOGÍA

B1. El principio cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B2. El elemento de línea y la isotropía del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . .

B3. Eliminación del término cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B4. Elemento de línea y homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B5. Principio cosmológico y dinámica cósmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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B6. Elemento de línea de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B7. Ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B8. Ecuación de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B9. Constante de Hubble y parámetro de desaceleración . . . . . . . . . . . .

B10. Presión y densidad de energía del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B11. Definición de los parámetros de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B12. Ecuaciones cosmológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B13. Distancia de luminosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B14. Relación entre el módulo de distancia y el desplazamiento hacia el

rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L.- BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Este trabajo está bajo una licencia de Creative Commons Atribución 4.0 Internacional: Se permite cualquier

explotación de la obra, incluyendo una finalidad comercial, así como la creación de obras derivadas, la distribución

de las cuales también está permitida sin ninguna restricción.

La versión v1 del artículo «Principo de Mach: el origen cósmico de la masa inercial»

se publicó el día 10 de junio de 2017.

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RESUMEN

En la investigación que sigue tratamos de comprobar si el principio de Mach puede derivarse de

la Relatividad General, ya sea total o parcialmente.

Para nuestro propósito entendemos el principio de Mach como la afirmación de que las fuerzas

de inercia tienen origen cósmico, en concreto son las fuerzas inductivas producidas por el movimiento

relativo y acelerado del Universo.

La Relatividad General contempla los fenómenos de inducción, es decir la gravedad producida

por el movimiento de las fuentes del campo. Son fuerzas de segundo orden respecto a la inversa de

c, por tanto no son clásicas, pero cuando se suma el efecto producido por todo el Universo, estas

fuerzas inductivas tienen orden cero, es decir el mismo que las fuerzas clásicas y por tanto pueden

identificarse con las fuerzas de inercia.

En la sección A exponemos los conceptos principales de la teoría newtoniana de la mecánica, en

particular se reconoce que hay dos formas de plantear la segunda ley de la dinámica newtoniana. En

la mecánica clásica hay que distinguir entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales, en

estos últimos se detectan fuerzas, las llamadas inerciales, cuyo origen no está determinado.

En la sección B exponemos lo que entendemos por principio de Mach, que se puede formular de

diversas maneras, la mayoría de ellas equivalentes. Para propósito de esta investigación decimos

que el principio de Mach afirma que la masa inercial no es una propiedad innata de un cuerpo, sino

que es el resultado de la acción del conjunto del Universo.

Como las fuerzas de inercia las identificamos como fuerzas inductivas del movimiento acelerado

del Universo, es necesario utilizar la Relatividad General para calcular estas fuerzas. Desarrollamos

en la seccion C la teoría linealizada, que aplicamos por razones de simplicidad, pero no se puede

afirmar que estas ecuaciones tengan validez en todos los modelos cósmicos. Dentro de esta

aproximación también son calculadas las componentes del tensor energía-momento del Universo.

El cálculo de los potenciales que determinan la fuerza inductiva del Universo exige el uso de la

técnica de los potenciales retardados, dada la gran distancia entre fuente y punto del campo, lo que

signfica que la zona desde donde se emite la interacción gravitatoria puede ser muy diferente en el

momento de emisión y en el momento de llegada al punto del campo. En el apéndice A se resume

esta técnica de los potenciales retardados y se obtienen las ecuaciones más relevantes en orden a

su aplicación a nuestro análisis.

En el apéndice B se resume la teoría cosmológica, partiendo del elemento de línea de Robertson-

Walker, se formulan los parámetros de densidad y se deducen las ecuaciones que se necesitan

para el estudio de la evolución cósmica.

Con la base anterior calculamos en la sección D la fuerza inductiva producida por el movimiento

acelerado del Universo. En este apartado se considera que el movimiento relativo del Universo es

acelerado y lineal. Para hacer este cálculo descomponemos el Universo en conchas esféricas y tras

evaluar el efecto de cada una de ellas, integramos sobre todas las conchas. La investigación que

presentamos está basada en la idea planteada por J. Martin, A. F. Ranada, y A. Tiemblo (“On Mach's

principle: inertia as gravitation”, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0703141v1, 2007).

El cálculo se hace por aproximación, considerando exclusivamente los términos que dependen

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del cuadrado de la inversa de c, que como antes dijimos, son los que al hacer la integración para

todo el Universo pueden dar términos clásicos. En la técnica de aproximación despreciamos los

términos que sean de un orden superior en el desarrollo respecto a la inversa de la distancia al punto

fuente, dado que esta distancia es de orden cósmico.

En el apartado E utilizamos las mismas técnicas de aproximación pero ahora para obtener el

efecto inductivo producido por un Universo en rotación, y comprobar si se genera una fuerza centrífuga.

En la sección F se calcula la fuerza de inducción gravitatoria en el caso de una aceleración

angular del Universo; mientras que en el apartado G se estudia la generación de fuerza de Coriolis

en el supuesto de una partícula moviéndose y un Universo en rotación.

En todos los casos se reproducen fuerzas de inercia, pero con dos problemas: uno de ellos es

que los coeficientes que se deducen para las cuatro formas de fuerzas de inercia son diferentes

entre sí, al contrario de lo que se observa, en que todos los coeficientes son iguales. Por otra parte,

si se aplica a un modelo cósmico con big bang, no solamente la integración se hace divergente, sino

que los valores numéricos que se obtienen no concuerdan con las fuerzas inerciales, muestra de lo

inadecuado del modelo utilizado que se basa en la teoría linealizada, válida para campos débiles, o

bien porque el Principio de Mach impone severas condiciones al modelo cosmológico, impidiendo

que no sea realista un modelo cósmico cuyo estado de big bang tenga efectos gravitatorios que

induzcan inercia.

En la sección H comprobamos que la expansión cósmica no produce efectos inductivos netos,

por tanto para nada interviene en la formación de la masa inercial de un cuerpo.

Aplicamos los resultados obtenidos a varios modelos cosmológicos: el de Einstein, el de Einstein-

De Sitter, el modelo standard y el de Lemaître-Eddington. Algunas de estas aplicaciones aparecen

en la sección I.

En la sección J analizamos las consecuencias que se podrían detectar a consecuencia de la

variación de la masa inercial. Se analizan las perturbaciones planetarias, el movimiento orbital en

galaxias lejanas, la variación de la constante de gravitación universal y la modificación de la constante

de Hubble por la participación que la variación de la inercia tiene en la modificación de la frecuencia

de las líneas espectrales galácticas.

Finalmente, en la sección K exponemos las numerosas conclusiones a las que llegamos. Si bien

comprobamos que la Relatividad General no es plenamente capaz de reproducir las fuerzas de

inercia, no es menos cierto que los cálculos obtenidos con esta teoría nos dan pistas seguras de

cómo sería el comportamiento si para nuestros cálculos se hubiera utilizado otra teoría gravitatoria

más correcta.

El resultado más importante al que llegamos es que la inducción gravitatoria del movimiento

acelerado relativo del Universo genera fuerzas capaces de explicar las fuerzas inerciales observadas,

aunque la Relatividad General es insuficiente para reproducir fielmente los valores observados de

estas fuerzas de inercia.

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de la masa inercialPrinciple of Mach: the cosmic origin of the inertial mass


Investigador independientee-mail: [email protected]

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A.- LA MECÁNICA NEWTONIANA

1-A. El espacio absoluto

Uno de los conceptos newtonianos que más polémica ha generado es el espacio absoluto. Su creador lo

entendía como un «escenario» inmutable y no afectado por ningún objeto exterior, donde evolucionan los cuerpos

que interaccionan entre ellos mediante fuerzas. Entendía el movimiento absoluto como el cambio de una posición

absoluta (esto es, referida al espacio absoluto) a otra posición absoluta.

Newton era consciente de que no se podía saber si existían cuerpos que estuvieran en reposo absoluto, por

lo que no se podía determinar la posición absoluta mediante la observación.

Newton introdujo el concepto de espacio relativo. Esta idea se puede generar por un proceso de abstracción.

Supongamos una caja y admitamos que encierra un espacio. Podemos imaginar que la caja aumenta ilimitadamente

su tamaño, a la vez que disminuye el grosor de sus paredes; hasta tal extremo que la caja (como objeto material)

desaparezca, pero en nuestra imaginación permanece el espacio que antes encerraba, de tal forma que podemos

entender el espacio independiente de cualquier cuerpo material.

Podemos suponer dos cajas, una en el interior de la otra. Cada una de ellas encierra un determinado

espacio. Supongamos que la caja menor se encuentra en movimiento respecto a la mayor, entonces debemos

admitir que el espacio de la caja pequeña se encuentra en movimiento respecto al espacio de la caja mayor.

Realizando el proceso mental anterior, podemos extender el tamaño de las cajas y disminuir sus espesores,

hasta encontrarnos con dos espacios de tamaños infinitos, uno de ellos moviéndose respecto al otro.

Entonces cabe imaginar infinitos espacios moviéndose entre sí. Los espacios que se mueven respecto al

espacio absoluto reciben el nombre de espacios relativos.

Si tenemos un conjunto de cuerpos fijos entre sí, podemos suponer que se encuentran fijos respecto a un

espacio relativo, o sea, que si medimos la posición respecto a un conjunto de cuerpos fijos entre sí, estamos

determinando su posición respecto a un espacio relativo. Por tanto, si bien no podemos determinar posiciones

absolutas, sí es posible determinar posiciones relativas. No obstante, Newton entendía que era posible determinar

movimientos absolutos de rotación, al venir caracterizados por la fuerza centrífuga que es un efecto medible.

2-A. Las leyes de Newton

La mecánica clásica se fundamenta en las conocidas tres leyes de Newton de la dinámica: la ley de la

inercia, la ley de proporcionalidad entre la masa y la aceleración y la ley de acción y reacción. Hay que

entender que estas leyes son válidas para observadores que se encuentran en reposo absoluto. No obstante,

existen espacios relativos donde también son válidas las tres leyes de la mecánica. Son aquellos que tienen un

movimiento uniforme y rectilíneo respecto al espacio absoluto, según afirma el quinto corolario de la teoría de

Newton.



8

Newton formuló la segunda ley de una forma similar a como ahora se conoce, indicando que la fuerza

aplicada a un cuerpo produce una aceleración proporcional y de la misma dirección y sentido que la fuerza.

También definió la «vis insita» (lo que hoy entendemos como fuerza de inercia) utilizando las siguientes

palabras: «La vis insita, o fuerza innata de la materia, es el poder de resistir, por el cual cada cuerpo, en tanto lo

que él puede, continua en su presente estado, ya sea de reposo o de movimiento uniforme en línea recta.»

Agregó que esta fuerza es proporcional a la masa del cuerpo. Si nos limitamos a lo contenido en esta definición,

habría que pensar que Newton consideraba que la fuerza de inercia actúa siempre y cuando el cuerpo se

encuentre acelerado y tiene sentido opuesto a la fuerza externa aplicada, que es la responsable de la aceleración

del cuerpo. Sin embargo, no relacionó este concepto con la segunda ley, quedando algo confuso el significado

de la fuerza de inercia.

Por la definición newtoniana de «vis insita» cabe interpretar que es el cuerpo acelerado el que actúa sobre

sí mismo, aplicándose la fuerza de inercia. No obstante, como esta fuerza sólo se ejerce sobre cuerpos acelerados

respecto al espacio absoluto, puede entenderse que es el espacio absoluto el que aplica la fuerza de inercia;

como una especie de fuerza de contacto. A las fuerzas de inercia no le es aplicable la ley de acción y reacción.

Puede que el espacio absoluto actúe sobre el cuerpo acelerado, pero no se da la reacción del cuerpo sobre el

espacio absoluto.

Se entiende el sistema de referencia como un conjunto de cuerpos y de relojes que nos permiten determinar

la posición de un objeto y fijar los eventos en un orden temporal. En el marco de la mecánica clásica se puede

definir el sistema de referencia inercial como aquel en que son válidas las leyes de Newton, en particular la

primera ley o ley de la inercia. O sea, que desde el punto de vista newtoniano el espacio absoluto es un sistema

de referencia inercial, al igual que lo son todos los sistemas que se encuentren con movimiento uniforme y

rectilíneo respecto al espacio absoluto. Por contra, aquellos sistemas de referencia que están acelerados respecto

al espacio absoluto son no inerciales.

Hoy se enseña la mecánica clásica diciendo que las leyes de Newton solo son válidas respecto a los sistemas

inerciales. No obstante, la segunda ley de la mecánica newtoniana se puede adaptar para aplicarla a los sistemas

no inerciales, como veremos más adelante.

3-A. Movimiento relativo

Supongamos dos sistemas de referencia: K (inercial) y �K (no inercial), que se mueven uno respecto al otro.

Sea el vector R el que une el origen de K con el de �K . Sean r y �r los vectores de posición de un punto

cualquiera P respecto a los dos sistemas K y �K respectivamente. Entonces las velocidades del punto P respecto

a ambos sistemas están relacionadas por

� �� v v R ω r

donde � es la velocidad de rotación intrínseca o de spin, de �K respecto a K y el punto singifica derivación

respecto al tiempo. La relación entre las aceleraciones del punto P respecto a K y �K es

2� � � �� a a R ω v ω ω r ω r

Entonces, la segunda ley de la mecánica, que en el sistema inercial toma la forma

� mF a

se transformará en el sistema �K en la expresión

2 ,� � � �� m m m m mF a R ω ω r ω v ω r

donde hay que observar que la fuerza aplicada F no se altera al cambiar de sistema de referencia, porque se

supone que solo depende de la distancia relativa entre los cuerpos (y eventualmente de la velocidad y aceleración

relativas). Podemos recuperar la segunda ley en un sistema no inercial poniendo

�� i

mF F a

donde Fi son las fuerzas de inercia

2� � �� i

m m m mF R ω ω r ω v ω r

Con este planteamiento llegamos a la conclusión de que las fuerzas de inercia son fuerzas que solo existen

cuando la observación es realizada desde un sistema no inercial; por tanto, hay que entenderlas como fuerzas

ficticias, que existen o no, según la elección del sistema de referencia. Esta es la forma en que se presenta

actualmente la segunda ley de la mecánica y que no es concordante con la planteada originalmente por Newton.

En (1.A) aparecen cuatro fuerzas de inercia: la producida por el movimiento acelerado de traslación, la

aceleración centrífgura, la aceleración de Coriolis y la aceleración ω� .

(1.A)



4-A. La realidad de las fuerzas de inercia

Hay otra manera de formular la segunda ley de la dinámica. Aunque matemáticamente idéntica a la formahabitual, tiene un contenido conceptual bien diferente. Vamos a suponer que cuando un cuerpo se acelera

respecto a un sistema inercial actúa sobre él una fuerza (que llamaremos de inercia) de valor �ma . Esto quiere

decir que la segunda ley la podemos formular diciendo que la suma de las fuerzas aplicadas a un cuerpo más la

fuerza de inercia es nula

0� �i

F F

expresión que representa el principio del equilibrio dinámico. Esta ley es extensible a observaciones realizadas

en sistemas no inerciales. En este caso, la fuerza de inercia tendrá una apariencia diferente a (1.A)

2 .� � � �� i m m m m mF a R ω ω r ω v ω r

Lo anterior muestra que las fuerzas de inercia no solo aparecen para observadores en sistemas no inerciales.

Sino que son fuerzas que actúan siempre que el cuerpo se encuentre acelerado. Además, la suma de todas las

fuerzas de inercia toma el mismo valor en todos los sistemas de referencia, sean o no inerciales.

Debemos notar que el coeficiente de todas las aceleraciones de inercia de (3.A) es el mismo: la masa inercial

m. En principio cada aceleración inercial podría tener su propio coeficiente, su propia masa inercial. Como

veremos más adelante, esta coincidencia se debe explicar por la acción gravitatoria de todo el Universo.

En (2.A) recuperamos el concepto newtoniano de fuerzas de inercia, es decir, fuerzas que actúan sobre un

cuerpo cuando se encuentra acelerado, que igualan en magnitud y se oponen a la fuerza aplicada, y que existen

con independencia del estado de movimiento del observador.

Fácilmente se comprueba que las fuerzas de inercia son reales, es decir, que son medibles. Sea, por ejemplo,

una balanza que en uno de sus brazos tiene una polea por la que puede girar una cuerda sin peso que lleva en

sus extremos cuerpos de masas M y �M m que inicialmente están en reposo. En el otro brazo hay un peso

con el que se consigue el equilibrio de la balanza. En un momento determinado se liberan las pesas, de tal forma

que �M m descenderá y M ascenderá.

Ilustración 1.

Al aplicar la segunda ley de la dinámica a ambas pesas encontramos

� ��

T Mg MaM m g T M m a

donde T es la tensión de la cuerda (la misma a ambos lados de la polea) y a es la aceleración, de ascenso para

la masa M y de descenso para la masa �M m . Al resolver el anterior sistema se encuentra

.2

��

mga

M m

9

�

�

�

�M m g�M m a

T

TMa

Mg

(2.A)

(3.A)



La fuerza que las dos pesas ejercen sobre la balanza ya no es el peso de ambas, sino que es menor y dada por

2 2� � �T Mg mg ma

el resultado es que mientras están cayendo las pesas, la balanza se desequilibra, pesando menos el brazo donde

se encuentran las pesas moviéndose. Obsérvese que si el movimiento de las pesas hubiese sido uniforme, no se

registraría ningún desequilibrio de la balanza.

Si la balanza se ha desequilibrado es porque ha aparecido una fuerza, que actúa hacia arriba sobre el brazo

de la balanza donde se encuentra el montaje. Pero, ¿de dónde proviene esa fuerza?

La explicación del experimento es la siguiente. Cuando los cuerpos se están moviendo aceleradamente, se

ejercen sobre ellos, además del peso, la fuerza de inercia, que siempre es de sentido contrario a la aceleración

y cuyo valor es la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración. Cuando los cuerpos están moviéndose, las

fuerzas que actúan sobre ellos son sus pesos menos las fuerzas de inercia (hacia abajo la que actúa sobre M y

hacia arriba la que actúa sobre �M m ) y su suma debe ser nula

2 2 0� � � � � � � �M m g M m a Ma M m g ma

reencontrado el resultado anterior. Se puede extender el razonamiento al caso de un cuerpo que se encuentre

en caída libre, sobre el que actuará el peso y la fuerza de inercia, que son de sentidos contrarios y de igual

módulo; por tanto el cuerpo no tendrá peso alguno mientras cae.

La aceleración normal (o aceleración centrífuga) y la aceleración tangencial (que tiene su origen en la

variación del módulo de la velocidad de la partícula) respecto al espacio absoluto, dan lugar a fuerzas detectables

por observadores inerciales. Su valor es el mismo en cualquier sistema de referencia.

Sin embargo, la fuerza de Coriolis 2� �mω v solo es detectable y medible en sistemas de referencias en

rotación. O sea, no es una aceleración respecto al espacio absoluto, sino respecto a un sistema no inercial. La

aceleración de Coriolis puede explicarse a partir de consideraciones cinemáticas.

Supongamos, por ejemplo, un cuerpo inicialmente en el origen, que se mueve con una velocidad v constante

a lo largo del eje y de un sistema inercial K. Consideremos un sistema �K , de igual origen que K, cuyos ejes zy �z coinciden, y que está rotando con velocidad angular constante � dirigida hacia la parte positiva del eje z.

Utilizando las ecuaciones de transformación de coordenadas entre K y �K , se encuentra que las ecuaciones de

movimiento respecto al sistema rotando son

sin sin ; cos cos .x y t vt t y y t vt t� � � ��

Para el observador �K el cuerpo sigue una trayectoria curva, aumentando el módulo de su velocidad con el

paso del tiempo: 2 21 ��v t . Es decir, para el observador �K el cuerpo está sometido a una aceleración �a .

El problema puede ser abordado dinámicamente. Aplicando la segunda ley de la mecánica para el observador

rotando �K se tiene

2� � �� m m mω ω r ω v a

donde las magnitudes con primas es la posición, velocidad y aceleración del cuerpo respecto al sistema rotando

�K . De la anterior ecuación vectorial se obtiene el sistema de ecuaciones

2 22 ; 2yx

y x

dvdvx v y v

dt dt� � � �

��

que tiene de solución (4.A) como se puede comprobar por sustitución. Nótese que la fuerza total de inercia (que

siempre es igual a �ma ) es nula tanto en K como en �K .Newton advirtió de que no era posible determinar la posición absoluta de un cuerpo, ni tampoco medir su

movimiento absoluto rectilíneo. Sin embargo, pensaba que eran medibles los movimientos absolutos de rotación.

Sobre los cuerpos en rotación absoluta actúa la fuerza centrífuga, que es real y se puede medir, obteniéndose

el mismo valor con independencia del estado de movimiento del observador; de esta medida podemos obtener

la velocidad angular de rotación respecto al espacio absoluto.

B.- EL PRINCIPIO DE MACH

1-B. El principio de Mach

En la teoría newtoniana los sistemas de referencia inerciales gozan de preferencia. Respecto a ellos se

cumplen las leyes de Newton de la mecánica, en particular la ley de la inercia. En los restantes sistemas de

referencia, los no inerciales, se detectan fuerzas llamadas inerciales cuyo valor depende de la aceleración que

10

(4.A)



lleve el sistema no inercial.

En mecánica clásica tiene validez el principio de relatividad, por el cual las leyes de la mecánica son las

mismas con independencia del sistema de referencia inercial elegido para describirlas. Sin embargo, este principio

no se puede extender a los sistemas no inerciales: las leyes físicas dependen del sistema de referencia no inercial

elegido.

Esta situación es un tanto extraña, en el sentido de que las leyes de la Naturaleza parecen depender del

estado de movimiento del observador. Sería deseable extender el principio de la relatividad a todos los sistemas

de referencia, pero entonces debemos de explicar el origen de las fuerzas de inercia observadas en los sistemas

no inerciales.

Según la idea de Newton existe el espacio absoluto, respecto al cual los cuerpos se mueven. Ciertamente, no

se puede determinar la velocidad absoluta, es decir la velocidad respecto al espacio absoluto, pero esa velocidad

existe. Aunque Newton recalcó que, si bien no es posible determinar velocidades absolutas, si es posible determinar

los movimientos absolutos de rotación.

El espacio absoluto es imprescindible en el esquema newtoniano. Este concepto es necesario para definir

cuales son los «buenos» sistemas de referencia, los que llamamos sistemas inerciales: aquellos que se encuentran

en reposo o movimiento uniforme y rectilíneo respecto al espacio absoluto.

La teoría especial de la Relatividad nace de la aceptación de que, ni por medios mecánicos, ni por técnicas

electromagnéticas o de cualquier otra especie, se puede determinar la velocidad absoluta de un cuerpo. De aquí

se quiso inferir la abolición del espacio absoluto. Pero esto no es así, la Relatividad Especial se encuentra en el

mismo dilema frente a la definición de sistema de referencia inercial que la teoría de Newton: sólo puede definir

el sistema inercial con relación al inobservable espacio absoluto.

Debemos distinguir entre la definición y la realización de un sistema de referencia inercial. Mientras la

definición debe ser rigurosa, la realización no es más que una aproximación. Esto es lo que ocurre con el sistema

de referencia celeste internacional o ICRS. Sus ejes están alineados con una serie de quasars de referencia, de

tal forma que para el ICRS los objetos más alejados no tienen movimientos de rotación. Como origen del ICRS

se elige el baricentro del sistema solar, que tiene como particularidad que es un punto en caída libre.

Cabe hacer un planteamiento diferente, que parte por no aceptar el espacio absoluto, negando con ello el

movimiento absoluto. Sólo serían admisibles los movimientos relativos, es decir, los movimientos de un cuerpo

respecto a otros cuerpos. Los sistemas de referencia se definirían por su posición respecto a ciertos cuerpos.

Pero entonces sería necesario explicar que haya sistemas donde se cumplan las leyes de Newton y otros que no

las cumplen.

La teoría gravitatoria de Newton no es una verdadera teoría de campo, por la razón de que supone que la

interacción gravitatoria viaja a velocidad infinita. A causa de esta circunstancia existe en esta teoría fuerzas

gravitatorios estáticas, pero no existe gravitación inducida; al contrario de lo que ocurre en la teoría

electromagnética de Maxwell donde además del campo producido por las cargas eléctricas, existe otro tipo de

campo, el de inducción, que tiene su origen en el movimiento de las cargas.

En la teoría general de la Relatividad, que es una teoría de campo, existe inducción gravitatoria, fenómeno

que es conocido como gravitoelectromagnetismo, aunque nada tiene que ver con los fenómenos electromganéticos,

salvo cierta similitud formal entre sus ecuaciones. Al igual que en la teoría de Maxwell, la constante de interacción

de los campos inductivos gravitatorios es mucho más pequeña que la correspondiente constante aplicable al

campo gravitatorio estático. Concretamente, la constante que da la intensidad de los fenómenos de inducción,

tanto en electromagnetismo como en gravitación, es la constante eléctrica o gravitatoria dividida entre la velocidad

de la luz al cuadrado, de aquí la debilidad de estos fenómenos. Si a esto unimos que la constante gravitatoria es

sensiblemente menor que la constante eléctrica, encontramos la razón de la extrema pequeñez de los fenómenos

de inducción gravitatoria. Aún así, existe esta gravedad producida por el movimiento de los cuerpos.

La gravedad inducida nos puede servir para formular lo que podríamos llamar el principio general de la

relatividad, según el cual todos los sistemas de referencia son equivalentes, por tanto ya no tendríamos la

necesidad de definir los sistemas de referencia inerciales, lo cual fue la razón para introducir el incómodo

espacio absoluto.

En numerosas ocasiones Einstein en sus investigaciones se refiere al principio general de la Relatividad, al

que confunde con el principio de covariancia. Pero ambos principios son diferentes. El principio de covariancia

afirma que las leyes de la Física pueden expresarse en una forma la cual es independiente de la elección del

sistema de coordenadas espacio-temporal. El principio de covariancia encuentra su forma natural en la formulación

tensorial de las leyes de la naturaleza, en realidad podemos considerar que este principio no es más que la



afirmación de que las leyes de la Física pueden expresarse tensorialmente, pues esto significa que las leyes así

formuladas tendrán la misma forma en todos los sistemas de coordenadas.

Hay que advertir que la identidad en la forma de las ecuaciones, tal como dice el principio de covariancia, no

significa la equivalencia de las leyes en todos los sistemas de coordenadas. Lo que viene a decirnos que el

principio de covariancia y el principio general de la Relatividad son cosas diferentes. Mientras que este último

implica el primero, no es válida la afirmación inversa (1), (2).

Partimos de que sólo cabe entender los movimientos como relativos, pero ahora hay que tener en cuenta que

existe gravedad inducida, es decir si un cuerpo está en movimiento acelerado relativo generará gravedad inductiva.

Así podemos explicar que un sistema respecto al cual el conjunto del Universo esté sin movimiento acelerado, es

un sistema inercial, pues en este caso el Universo no produce inducción gravitatoria, a la que hay que entender

como la fuerza de inercia.

Si un cuerpo está en movimiento acelerado respecto al conjunto del Universo, significa que existe una

aceleración relativa de todo el cosmos respecto al cuerpo. Esta aceleración relativa produce una fuerza inductiva,

que se identifica con la fuerza de inercia.

La fuerza de inercia o simplemente la inercia de un cuerpo, depende de la masa inercial. Pero esta masa ya

no se puede entender, como en mecánica newtoniana, como una cualidad propia del cuerpo, ya que esta fuerza

de inercia es fruto de la aceleración relativa del Universo; por consiguiente, la masa de inercia y por tanto la

inercia de un cuerpo es la expresión de la acción del Universo sobre los cuerpos acelerados.

Pero es más, si el Universo, tal como parece, es dinámico entonces la acción gravitatoria inducida que

produce cuando está en movimiento acelerado relativo, cambia con el tiempo, o dicho de otra forma, la masa

inercial de un cuerpo va a depender de la evolución cósmica.

Existe, por todo lo expuesto, una total equivalencia entre todos los sistemas de referencia, no sólo desde el

punto de vista cinemático sino también dinámico. Es verdad que en algunos de estos sistemas, a los que llamamos

inerciales, es de aplicación la ley de la inercia y en otros, los no inerciales, no ocurre así. Hay que interpretar esto

porque respecto al primer tipo de sistemas de referencia, el Universo no tiene movimiento acelerado y por tanto

no genera efectos netos de inducción gravitatoria a orden cero o clásicos, cosa que sí ocurre en los sistemas no

inerciales.

La circunstancia de que el movimiento de inducción gravitatoria del Universo a gran escala no depende de su

velocidad, viene a explicar que la fuerza de inercia no dependa de la velocidad, sino exclusivamente de la

aceleración.

El problema que nos planteamos en esta investigación es si la inducción gravitatoria que se deduce de la

teoría general de la Relatividad toma el mismo valor que la fuerza de inercia observada. Es decir, si la inducción

gravitatoria derivada de la Relatividad General explica por completo la inercia de un cuerpo.

Con todo lo dicho podemos dar una definición precisa a lo que llamamos principio de Mach: la inercia de un

cuerpo no es una propiedad innata de la materia, sino es el fruto de la inducción gravitatoria del movimiento

acelerado del resto del Universo. Es verdad que se ha formulado el principio de Mach de otras formas, la

mayoría de ellas equivalentes; no obstante, la definición que elegimos tiene la ventaja de que nos permite un

análisis de problema en el marco de la Relatividad General.

El principio de Mach también mantiene relación con el principio de equivalencia, que viene a afirmar que la

masa inercial de un cuerpo es proporcional a su masa gravitatoria. Como mostramos más adelante, esa

proporcionalidad se deriva de nuestra investigación, siempre que entendamos que la masa gravitatoria es, al

igual que la carga eléctrica, una propiedad innata del cuerpo y por tanto inalterable, mientras que la masa inercial

es generada por la inducción gravitatoria del movimiento acelerado relativo del conjunto del Universo y por

consiguiente es dependiente del tiempo. Por tanto, el coeficiente de proporcionalidad entre la masa inercial y

gravitatoria de un mismo cuerpo debe depender del tiempo según el principio de Mach, a consecuencia del

carácter dinámico del Universo.

C.- LA TEORÍA LINEALIZADA. APLICACIÓN A LA COSMOLOGÍA

1-C. La teoría linealizada de la Relatividad General

Las ecuaciones de campo gravitatorio de la Relatividad General

1

2�� ik ik ik ikR g R g T

12

(1.C)



son ecuaciones diferenciales no lineales, esto nos viene a decir que la suma de dos soluciones de la anterior

ecuación no es, en general, una nueva solución.

Podemos siempre descomponer el tensor métrico como

�� ik ik ik

g h

donde �ik

es el tensor métrico de Minkowski, es decir el tensor métrico en ausencia de gravedad, que en el caso

de usar coordenadas cartesianas tiene las componentes

1 0 0 0

0 1 0 0,

0 0 1 0

0 0 0 1

�

� ��

�

ik

mientras que con el tensor ik

h representamos la parte gravitatoria del tensor métrico.

Decimos que un campo gravitatorio es débil si las componentes de ik

h y de sus derivadas primeras son

pequeñas, de tal forma que sus productos ( �h h , ,� ih h , , ,�i jh h ) pueden ser despreciados. En presencia de

campo gravitatorio débil el espacio-tiempo es el de Minkowski sobre el que se superpone una perturbación dada

por ik

h . Bajo estas circunstancias podemos poner

�� ikik ikg h

en efecto

� � � � � �� kjik ik ik kj kj ik kj ik kj kj ikg g h h h h

y dado que �ik

y ik

h son siméricos encontramos que

kj jik kj kj ik ik ik kj ih h g g� � � � ��

como efectivamente debe ser.

En el caso de campo gravitatorio débil es admisible eliminar todos los términos no lineales que aparecen en la

ecuación de campo. Si además usamos la condición gauge armónica, se encuentra que (1.C) se reduce a (3)

2*�

��

� �ik

ikjj

hT

x x

donde

* 1

2�� ik ik ikT T T

y ��es la constante gravitatoria

2

8.

��

G

cNótese que en la teoría linealizada la fuente del campo (representada por el tensor de energía-momento) no

puede depender del tensor métrico, porque entonces el campo sería fuente de campo y las ecuaciones dejarían

de ser lineales, por eso utilizamos �ik

y no ik

g para bajar y subir índices y por tanto para obtener la traza del

tensor energía-momento. Es decir, eliminamos por despreciables los términos del tipo �h T .

La teoría linealizada es de aplicación para puntos donde el campo es débil. Pero exige también que el campo

en la zona donde se encuentra la fuente sea igualmente pequeño. Por esta última razón evitamos que el tensor

métrico aparezca en la fuente o parte izquierda de (1.C).

2-C. El tensor de energía-momento

En lo que sigue vamos a considerar que el cosmos se representa como un gas perfecto, entonces su tensor

de energía-momento es

2�� ik i k ikT p c v v pg

��es la densidad de energía (o sea la correspondiente a la materia, a la radiación y al vacío), iv es la tetravelocidad

del elemento de volumen de densidad ��definida por

0��

ii dx

vd

13

(2.C)

(3.C)



siendo 0

� el tiempo propio del elemento de volumen y finalmente p es la presión (causada por la radiación y por

el vacío). Nótese que al definir la tetravelocidad usamos coordenadas cartesianas. Reservamos �u para

representar la velocidad tridimensional definida utilizando el tiempo coordenado, es decir

,

�

� �dx

udt

los índices latinos van de 0 a 3 y los griegos de 1 a 3.

En la física terrestre la presión puede despreciarse frente a la densidad, pero esta no es la situación en

cosmología, ya que la presión producida por el vacío (ver más adelante) es del mismo orden de magnitud que la

densidad de energía de la materia y no puede despreciarse.

Al desarrollar en serie de potencias las componentes del tensor energía-momento tenemos

2 000 00 00

1 10 0 0

2 0

....

....

....

� � �

��

�

�

�

� � �

� � �

� � �

T T T

T T T

T T Tdonde el número entre paréntesis indica el orden respecto a la inversa de c, como puede comprobarse a partir de

(3.C).

Recordamos que para subir y bajar los índices utilizamos �ik

puesto que si utilizamos el tensor métrico ik

g

la teoría deja de ser lineal. Con esto en mente es fácil hallar las siguientes componentes de *ikT

2 0 2 0* 00 0000

1* 00

2 0*

2 0 2 0 2 0* 00 00

1 1 1 1...

2 2 2 2

...

...

1,

2

��

� �

��

��

��

� �

� �

� �

�

�

� � �

� � � � �

� � �

� � � �

� ��

� �

� �

T T T T T

T T

T T T

T T T T T T T

lo que nos permite determinar las componentes de ik

h tras la integración de la ecuación (2.C).

3-C. Los potenciales retardados

La ecuación (2.C) se puede resolver por la técnica de los potenciales retardados (ver apéndice A), resultando

*

4

4,

� � ��

��ik

ik

TGh dV

rcdonde el corchete significa que se toma el valor atrasado, es decir el valor de *

ikT en el momento de salir de la

fuente la interacción gravitatoria y no en el momento de llegada al punto del campo; �r representa la distancia

propia atrasada de la fuente del campo al punto del campo y �dV es el elemento de volumen ocupado por la

fuente también evaluado en el momento atrasado.

Las componentes que nos interesan son

* *

00 0

00 04 4

4 4; ,

�

�

� � � ��

� �� T TG G

h dV h dVr rc c

para nuestro propósito es suficiente calcular las componentes de orden 2 y 4 respecto a la inversa de c de 00

h

y la de orden 3 de 0�

h Entonces tenemos

2 0 1* * *00 00 0

00 04 4 4

4 4 4; ,

�

�

� �

� � � � � � � � ��

� � �� T T TG G G

h dV dV h dVr r rc c c

Definimos los potenciales escalares �y y el potencial vector A por las relaciones

2 42 4 3

00 00 0; ; ,2 2 4

��

c c ch h A h

14

(4.C)



o bien

2 0 1* * *00 00 0

2 3

2; 2 ; .

��

� �

� � � � � � � � ��

� � �� T T TG G

dV G dV A dVr r rc c

4-C. Componentes del tensor de energía-momento

Para calcular las componentes del tensor de energía-momento que tenemos que aplicar en (5.C) es necesario

previamente relacionar el tiempo propio 0

� con el tiempo coordenado t. Para ello partimos de

2 2 2

00 02 ,� � �

� �� ds g c dt g cdtdx g dx dx

definiendo

0

00

;��

gg

g

nos queda

22 2

00

�� ds d dx g cdt

donde el elemento de línea espacial es

2 .� �� d dx dx

De (6.C) obtenemos finalmente

2 2

0 00 2,

�

� ��

� � ��

u ud g dt

c c

hay que advertir que �u , al igual que 2

2 ��u u , son las velocidades del elemento de volumen respecto al

tiempo coordenado t y no respecto al tiempo propio 0

� � no obstante, al orden de aproximación que buscamos no

hay diferencia entre usar una u otra. Notemos también que �

� es de orden 3 respecto a la inversa de c y por

tanto puede ser despreciada. En cuanto a 00

g tendríamos, limitándonos hasta términos de orden dos respecto a

la inversa de c2

000 00 2

21 1

�

� � � �g hc

donde 0

� es el potencial gravitatorio de donde se encuentra el elemento de volumen que produce el campo. Pero

como ya hemos dicho, el tensor métrico no puede estar incluido en las fuentes, ya que entonces dejaría la teoría

de ser lineal, por tanto en lo siguiente tomaremos 00 00

1�� g ; entonces la relación entre el tiempo propio y el

coordenado es

2 2

01 .� � �d u c dt

Las componentes del tensor energía-momento que se necesitan se calculan a partir de (3.C), teniendo presente

que la presión es, como hemos dicho, de orden dos respecto a la inversa de c. La componente 0,0 es

2

00 2 0 0 2

00 00� � �

� ��

� �

dtT p c u u pg c p p

ddonde hemos usado el tensor métrico de Minkowski. Utilizando (7.C) con las simplificaciones ya indicadas

2

00

2 2,

1

� ��

�

c pT p

u cde donde se obtiene que el término de orden -2 es

2

00 2,�

�

�T c

los restantes términos (incluido el de orden 0 que vamos buscando) se encuentran en

2 2 2 200 00 2

2 2 2 2 21 1

� ��

�

� ��

� �

c p c p uT T p c

u c u c cde donde hallamos que el término buscado es

15

(5.C)

(6.C)

(7.C)

(8.C)



0 2

00 2

2.��

uT c p

cNótese que en el cálculo anterior no hemos supuesto que u sea pequeña en comparación con c.

Ahora vamos a calcular las componentes �,�

2

2 22 2

31

� ��

��

� � �

��

� �

��

��

p cdx dxT p c p u p

d d u c

de lo anterior deducimos que

2

3 .��

�

�

��T p

Para obtener el término de orden cero hacemos igual que antes y calculamos

222

2 21

��

� �

��

��

p cT T u

u c

de donde comprobamos que

02 2

,��

�

�� T p c u

volvemos a recordar que u es el módulo de la velocidad calculada a partir del tiempo coordenado y no del tiempo

propio.

Finalmente calculamos la componetes 0,�

220 2

2 20 1

�

� ��

��

� ��

��

p c cudtT p c cu

d u c

de donde obtenemos

1

0 2T p c cu� ��

�

� �

que es el único término de la componente 0,� que necesitamos para el cálculo posterior.

Al llevar (8.C), (9.C), (10.C) y (11.C) a (4.C) se encuentra

2 2 2* 00 200

0 0 0 2* 00 2 2 2 2 200 2

1 1* 0 20

1 1 1 3

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

.

��

�

��

�

� ��

�

� � �

�

� � �

� �

� � � �

� � � � � � � �

� � � � �

�

�

T T T c p

uT T T c p p c u p c u

c

T T p c cu

Con estos resultados encontramos que los potenciales escalares y vectorial son

2 2 22

2

3; 2 ; .

�

��

� ��

p c u p c up c GG dV G dV A dV

r r rc

5-C. Ecuación de movimiento

La ecuación de movimiento de una partícula en un campo gravitatorio débil hasta términos de segundo orden

en la inversa de c es dada por (4)

2 2

2 2 2 2 2

24 4 3 4 .

� � ��

��

w A w ww A w

d w

dt t tc c c c c

donde w es la velocidad de la partícula de prueba. Para el estudio de la inducción de masa inercial por la acción

gravitatoria de todo el Universo en la aproximación que estamos considerando, es suficiente tener en cuenta los

siguientes términos

16

(9.C)

(10.C)

(11.C)

(12.C)

(13.C)



2

14 4 , �

� ��

w Aw A

d

dt t clos dos primeros sumandos sirven para calcular la inercia inducida que surge en un cuerpo cuando está sometido

a una aceleración lineal y de ellos también se obtendrá el efecto de una aceleración angular; del cuarto sumando

obtendremos la aceleración centrífuga y finalmente, del tercer sumando se deducirá la aceleración de Coriolis.

6-C. Potenciales de Liénard-Wiechert

Vamos a utilizar las mismas técnicas del electromagnetismo para derivar los potenciales de Liénard-Wiechert

(ver apéndice B). Los cálculos siguientes lo haremos con referencia a la ilustración 2.

Ilustración 2.

ix son las coordenadas del observador que suponemos fijo, entonces

,�r rix

�ix son las coordenadas del punto fuente que se encuentra en movimiento, por tanto

, ,� ��σ σix t

donde �t es el momento de emisión de la interacción gravitatoria que llega al observador en el instante t.El vector �r que une el punto fuente en el momento atrasado (o sea, cuando se emite la interacción) con el

observador, tiene la dependencia funcional

, , , . � � � � � � � �� r r r ri i i i i

x x x x t x t

Como la interacción gravitatoria viaja a la velocidad de la luz

.� �� r c t t

Hay que indicar que r, �r y � representan distancias propias, no posiciones coordenadas. Según la ilustración 2

,� � �r r σ

al derivar respecto al tiempo atrasado tenemos

.��

� �

r σu

d d

dt dtsiendo u la velocidad de la fuente.

Las expresiones (5.C) son de aplicación respecto a un sistema de referencia respecto al cual la fuente se

encuentra en reposo. Si ahora calculamos estos potenciales producidos por una fuente elemental en movimiento,

se encuentran expresiones similares a los potenciales de Liénard-Wiechert (5)

2 0 1

00 00 02 3

2; 2 ; ,

d m d m d mG Gd d G dA

r c r c r cc c��

� �

� � � � �� r u r u r u

donde u es la velocidad tridimensional del elemento de fuente y �r , al igual que antes, es el vector que une la

posición atrasada con el punto del campo donde se calculan los potenciales gravitatorios. 00d m y 0�d m son

las masas elementales atrasadas que crean el campo (tanto las asociadas a la materia como a otras formas de

energía). Debemos advertir que al estar las fuentes en movimiento no podemos hacer la identificación

*

00 00d m T dV � � �

17

�

r

Posición fuente

retrasada

Punto

del campo

�r

x

y

(14.C)

(15.C)



e igual para la componentes 0,�, porque �dV depende de la posición y movimiento del elemento de fuente.

7-C. Operadores diferenciales

Para aplicar (14.C) y calcular la fuerza que actúa sobre una partícula hay que tener en cuenta que las

derivadas que allí aparecen son respecto a r y t respectivamente, que la representaremos por � y � �t

;� � ��

� � �� i

it xt tx

que se aplican sobre funciones del tipo ,if x t . Sin embargo, (15.C) está en función de �t , esto signfica que al

aplicar el gradiente y la divergencia al segundo miembro de (15.C) en realidad aplicamos el operador

;�

�� i tx

cuya relación con � es (ver apéndice A)

,�

��

r

cs tsiendo s

s .� �

�� r u

rc

Por otra parte, la derivada parcial respecto al tiempo que hay que aplicar al segundo miembro de (15.C) es

�� t pero la que aparece en (14.C) es � �t , entonces es necesario relacionar ambas, resultando (ver el

apéndice A)

.��

��

r

t s tCon las relaciones (16.C) y (17.C) conjuntamente con (15.C) se puede evaluar las aceleraciones que aparecen

en (14.C) y calcular las fuerzas gravitatorios inducidas.

8-C. Movimiento relativo

Para el análisis que seguimos a continuación vamos a aceptar el carácter relativo del movimiento. Es decir,

que sólo cabe hablar del movimiento de un cuerpo respecto a otro, lo que significa que puede igualmente

considerarse que un cuerpo se mueve respecto a otro, o bien que es este el que se mueve respecto al anterior.

En este sentido podemos entender que es equivalente afirmar que es el cuerpo de prueba el que se mueve

respecto al conjunto del Universo, que decir que es el Universo el que se mueve respecto al cuerpo de prueba.

Ahora bien, además de la gravedad estática, generada por la masa gravitacional que posee el cuerpo que

produce la gravedad, existe también la inducción gravitatoria, o sea la gravedad producida por el movimiento de

un cuerpo fuente.

Por lo dicho es equivalente que un cuerpo se encuentre acelerado respecto al Universo, que afirmar que es

el Universo el que se encuentra acelerado respecto a dicho cuerpo. Sabemos que en el primer caso surgen la

fuerza de inercia, en el segundo caso debe existir una fuerza gravitatoria inductiva. Lo que tratamos de comprobar

es si esta fuerza es la misma que la conocida fuerza de inercia. En caso afirmativo podremos decir que la masa

inercial de un cuerpo tiene su origen en el movimiento acelerado relativo del resto del Universo.

Vamos a descomponer este problema en cuatro, según el tipo de aceleración que se induce: aceleración lineal

a, aceleración centrífuga 2� r , aceleracion de rotación �ω r� y aceleración de Coriolis 2 �w ω .

Si entendemos el principo de Mach como la afirmación de que la inercia de un cuerpo es el producto de la

acción de todo el Universo, entonces cabe decir que lo que pretendemos a continuación es comprobar si este

principio está incluido en la Relatividad General, es decir si la gravedad inducida por el movimiento acelerado

relativo de todo el Universo induce las fuerzas de inercia observadas en la Naturaleza.

D.- INDUCCIÓN POR UNA ACELERACIÓN LINEAL DEL UNIVERSO

1-D. Aceleración inducida en el caso de un movimiento de aceleración lineal del Universo

Vamos a considerar un cuerpo de prueba y supongamos que el resto del Universo se encuentra sometido a

una aceleración lineal �a ud dt respecto a dicho cuerpo. Entonces debido a la gravedad inductiva, el Universo

18

(16.C)

(17.C)



acelerado inducirá una aceleración * �a wd dt en el cuerpo de prueba. Tratamos de hallar el valor de a* .

Consideramos el Universo formado por una serie de conchas esféricas delgadas de radio propio � y espesor

d� concéntricas entre sí. La partícula de prueba se encuentra muy cerca del centro de estas conchas esféricas.

La investigación que desarrollamos está basada en la sugerente idea planteada por J. Martin, A. F. Ranada,

y A. Tiemblo (“On Mach's principle: inertia as gravitation,” http://arxiv.org/abs/gr-qc/0703141v1, 2007) (6), que

han utilizado la teoría linealizada de la Relatividad General para determinar el efecto inductivo del Universo

sobre una partícula en movimiento acelerado. Nuestra investigación detalla el anterior trabajo y lo amplía a todas

las aceleraciones de inercia y con aplicación a varios modelos cosmológicos.

El plan de trabajo será calcular los términos de (14.C) para una de estas conchas. Posteriormente se suman

todas las contribuciones y se podrá conocer el efecto total del Universo. El primer término de (14.C) es

2 2

00 002 2

2 1 2 1,

G Gd d m d m

r c sc c�

� � � �� r u

�r es la distancia propia desde el punto fuente al punto campo, mientras que r es la distancia también propia

desde el centro de la concha esférica hasta el punto del campo. Utilizando (16.C) se encuentra (ver apéndice A)

2

2 2 3 2 3 2 3

1,

� � � ��

� ��

r r u r r ur u r� u

s s r cs cs r c s c scomo suponemos que la velocidad u es pequeña frente a c entonces

.��

� �� s r rc

r u

Los sumandos uno, dos, tres y cinco de (19.C) tienen la dependencia 21 � y dado que �� es una distancia

cósmica, son cantidades sensiblemente más pequeñas que las que surgen del cuarto sumando que tiene la

dependencia 1 � , por tanto para el cálculo que vamos a hacer sólo tenemos que considerar el cuarto sumando

de (2.D).

El elemento de fuente en (1.D) es

*

00 001dm T dV

cr

� ��

r u

y una expresión similar para la componete 0, �. Como suponemos que la velocidad de la fuente es pequeña con

respecto a c entonces en (1.D) podemos hacer, como veremos más adelente, la sustitución

*

00 00,T dV dm � ��

aunque advertimos no siempre se podrá hacer esta simplificación, como veremos más adelante. Démonos

cuenta que esta simplificación no se puede hacer antes de hacer la divergencia, pues en ese caso se perderían

términos; entonces de (12.C) y (1.D) resulta

2 13 1 .G p c dV

s cr� �

� ��

r u

La métrica de Robertson-Walker en coordenadas esféricas es

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2sin

1� � �

� ��

��

drds c dt R t r d r d

kr

de donde deducimos que el elemento de volumen propio tridimensional es

32

2sin

1� � ��

�

R tdV r drd d

krdonde R es el factor de escala cósmico y k es la curvatura escalar tridimensional de valores 1, -1, 0. Del

elemento de línea encontramos que la distancia propia radial es

2

,1

� ��

R td dr

krla distancia propia se calcula integrando la anterior expresión

20

,

1

� ��

�r

drR t

kr

19

(1.D)

(2.D)



los límites de la integración han sido elegidos teniendo en cuenta que el elemento de volumen de la fuente se

encuentra en la posición coordenada r y el sistema de coordenadas tiene su origen en el centro de la concha

esférica donde se encuentra la fuente.

Por simplificar los cálculos que haremos a continuación vamos a suponer que la curvatura k es nula y por

tanto

� � R t r

por consiguiente el elemento de volumen propio queda

2 sin .� � � � �� dV d d dPara el caso de una concha esférica de espesor �d y radio � y usando coordenadas esféricas tenemos

2 2

2 2

13 1 sin

13 sin

d G p c d d ds cr

G p c d d ds

� � � � � �

� � � �

� � � ��

��

��

r u

habiendo despreciado el término de orden tres respecto a la inversa de c; utilizando (2.D)

2 2

2 33 sin ,� � � � � � �

� � � � � � ��

r r u�G p c d d d

c sque nos da el gradiente del potencial gravitatorio producido por una concha esférica de radio � y espesor �d .

Se puede hacer el mismo cálculo para determinar el gradiente del segundo potencial escalar

2 2 2 21 12 1 2 ,d G p c u dV G p c u dV

s cr s� � �

� ��

r u

por (2.D) y de nuevo utilizando coordenadas esféricas

2 2 2

2 32 sin .� � � � � �

� � � � � � � ��

r r u�G p c u d d

c sFinalmente calculamos la derivada temporal del potencial vector, para lo que hay que tener en cuenta (17.C)

,

� ��

��

A Ar

t s tentonces tendremos

2 2

2

2 2

2

1 sin

sin

A dA G r up c d d d

t t s t s crc

G r up c d d d

s t sc

� ��

�

��

� � � � � �

� � � ��

� ��

��

��

r u

donde no hemos tenido en cuenta ni la variación temporal de la densidad ni la de la presión por ser una variación

muy lenta, de carácter cósmico. Desarrollando obtenemos

2

2 2 2

� ��

�� u uu u u u

t s s s r cs cs

r u r u

teniendo en cuenta �� s r y que u es mucho más pequeño que c, entonces el primer sumando de (5.D) es de

orden uno respecto a la inversa de �, mientras que los restantes son de órdenes superiores y por tanto se pueden

despreciar

2

2

2sin ,

��

��

�p c uA Gd d d

t sco bien

2

2

2sin ,

p cGd d d

t sc

��

��

�uA

que nos da la variación temporal del potencial vector producido por una concha esférica de radio propio �� y de

espesor �d .

20

(3.D)

(4.D)

(5.D)

(6.D)



2-D. Cálculo de las integrales

Vamos a calcular las integrales (3.D), (4.D) y (6.D) y al aplicar (14.C) conoceremos la aceleración inducida

sobre una partícula de prueba por la aceleración de la concha esférica.

Para simplificar los cálculos vamos a suponer que el sistema de coordenadas tiene su origen en el centro de

la concha esférica y que la partícula de prueba se encuentra en el eje z, por tanto

,�r kren cuanto a la aceleración de la concha vamos a suponer, sin pérdida de generalidad, que se encuentra en el

plano y-z

cos sin� �� a u j k� a adonde ��es el ángulo formado entre el vector a y el eje y. En cuanto al vector � tenemos en coordenadas

esféricas

sin cos sin sin cos� � � � � � � �� σ i j k

finalmente

sin cos sin sin cos .� � � � � � � �� r r σ i j krCon estas definiciones tenemos

sin cos sin sin sin cos ,� � � � � � � � � � �r a ra a a

para calcular � � �r r a vamos a descomponerlo en sus componentes. La componente a lo largo del eje x es

2 2 2sin sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos .� � � � � � � � � � � � � �� r r ax

ra a a (7.D)

La componente x de (3.D) es

2

3sin sin� � �

�

� � � ��

r r a r r ax xd d d d

sdonde hemos tenido en cuenta que ��s . Como

2 2 2

0 0 0

sin 0; cos 0; sin cos 0

� � �

� � � � � � �� d d d

entonces

sin 0.� � ��

� � � ��

r r ax d d

Repetimos el cálculo pero con la componente y2 2 2 2

sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin ,y

r a a a� � � � � � � � � � � � �� r r a

calculamos la integral

2

3sin sin ,

y yd d d ds

� � � � � � ��

� � � � � � � ��

r r a r r a

las integrales correspondientes al primer y tercer sumando de (8.D) son nulas al contener la integral de sin�

por tanto la anterior integral queda

23 2

0 0

4sin cos sin sin cos .

3

� � ��

�

� � � ��

r r ay d d a d d a

Finalmente se calcula la componente z

2 2 2

cos sin cos cos sin sin cos sin cos

sin cos cos sin sin sin cos ,

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� ��

� � � �

r r az

r ra r a r a

r a r a a

ahora tenemos que calcular la integral

2

3

2 22

sin sin

sin sin 4sin sin cos sin 4 sin ,

3

� � � � � � ��

� � ��

� �

� � � � � � � ��

� � �

��

��

r r a r r az zd d d d

sr a r a

d d a d d a

el primer sumando del resultado es despreciable, dado el valor cósmico de �� y que r es muy pequeño, ya que

21

(8.D)

(9.D)

(10.D)



hemos supuesto que la partícula de prueba se encuentra muy cerca del centro de la esfera.

Reuniendo los resultados (9.D) y (10.D)

2

3

4sin ,

3

��

� � � � ��r r a

ad ds

y de (4.D) encontramos finalmente que la divergencia del potencial �producido por la concha esférica de radio

� y espesor d� es

2

2

43 .

3

�� a

Gp c d

cEn el caso que estamos considerando de una aceleración lineal del Universo, la divergencia del segundo

potencial escalar� se puede despreciar porque es dos órdenes superior a �� respecto a la inversa de c [ver

(14.C)].

Ahora falta integrar (5.D)

2

2 2

2 2sin 4 ,

p c uA G Gd d d p c u d

t sc c

��

��

� � � � � � � � �

��

�

�

en notación vectorial

2

24 .

��

� � � � ��

Aa

Gp c d

t cAl aplicar la ecuación (14.C) hallamos la aceleración inducida *�a sobre la partícula de prueba por una concha

esférica de radio�� y espesor d� que lleva un movimiento con aceleración lineal a

2 2

2 2

2

2

4* 4 3 16

34

11 9 ,3

� ��

��

� � ��

� � �

G Gp c d p c d

t c cG

p c dc

Aa a a

a

las cantidades encerradas entre corchetes significan valores atrasados, es decir los valores que existían en el

momento de salida de la señal gravitatoria y no en el momento de su llegada al punto del campo donde se

encuentra la partícula de prueba. También la aceleración a que aparece en (12.D) se refiere a valores atrasados.

Añadir que � representa la distancia propia a la que se encontraba el elemento fuente en el momento de emitir

la interacción gravitatoria.

3-D. Parámetros de densidad

Se definen los parámetros de densidad de la materia, de la radiación, del vacío y de curvatura por las

relaciones (8)

2 2

2 2 2 2 2

8 8; ; ; ,

3 3 3

� ��

�

��

M M R R k

G G c kc

H H H H Rdonde R es el factor de escala cósmico; H es la «constante» de Hubble definida por

��R

HR

donde el punto significa derivación respecto al tiempo coordenado y no respecto a 0x ; k es la curvatura escalar

del espacio tridimensional, de valor 1, -1 o 0; � es la constante cosmológica, �M

y �R

son las densidades de

energía de la materia y de la radiación. Nótese que los parámetros de densidad dependen del tiempo y por tanto

van variando a medida que va evolucionando el Universo.

De las anteriores definiciones se deduce

;� � � � � �� M M c R R c V V c

donde �ces la densidad crítica definida por

23

8�

��

c

H

Gque depende del tiempo.

De la primera de las ecuaciones de Friedmann (ver apéndice B) se encuentra que para el momento presente

se cumple

22

(11.D)

(12.D)

(13.D)

(14.D)

(15.D)



23

2 2

2

2

8,

3 3

��

��

M R

G kc cH

Rla anterior ecuación se transforma en

1,M R k�

� � � �

expresión que nos sirve para determinar el factor de escala cósmico en el momento presente 0 0

R R t� . En

efecto, conocido los parámetros de densidad de la materia, radiación y vacío en el momento actual, se calcula el

parámetro de curvatura 0

0k kt� �� en el momento presente y de aquí se determina

0R conocido previamente

la constante de Hubble 0

H en el instante actual 0t .

De (12.D) tenemos

2

2 2

4 4* 11 9 11 14 2

3 3

� �� M R V

G Gp c d d

c ca a a

donde hemos tenido en cuentan que (ver apéndice B)

2 21; ; .

3� � � � � �� M R V R R V Vp c p c

Al poner (16.D) en función de los parámetros de densidad y usando (14.D) y (15.D) se encuentra

2

2

11* 7 ,

2� � �

� � � � ��

M R V

Hd

ca a

que es la aceleración inducida por la concha esférica que lleva una aceleración lineal a respecto la partícula de

prueba que se encuentra muy cerca del centro de dicha concha. Una vez más advertimos que los corchetes

significan valores atrasados y que con H representamos el valor atrasado de la constante de Hubble. Debemos

notar que los parámetros de densidad dependen del tiempo, lo mismo que la constante de Hubble, lo que quiere

decir que debemos tomar los valores de estas magnitudes en el momento de emisión de la señal.

Como veremos más adelante los términos que son de segundo orden respecto a la inversa de c, tal como

(17.D), son los únicos que producen términos clásicos. Por tanto de (17.D) deducimos que si el movimiento del

conjunto del Universo fuera uniforme y rectilíneo y por tanto 0�a no existiría aceleración inducida y por tanto

fuerza inducida, que en nuestro planteamiento hemos identificado con la fuerza de inercia. Aquí encontramos la

singularidad de los sistemas de referencia inerciales. Como respecto a ellos el Universo lleva un movimiento

uniforme y rectilíneo, no existen para estos observadores fuerzas inducidas o de inercia, o sea las únicas fuerzas

existentes son las fuerzas aplicadas.

Es más, de (17.D) averiguamos la razón de que la fuerza aplicada a un cuerpo sea proporcional a su aceleración,

es decir la segunda ley de la dinámica de Newton. Como ya hemos dicho, la segunda ley cabe interpretarla como

la del equilibrio dinámico, donde se cumple

0i

� �F F

siendo F la fuerza aplicada y i

F la fuerza de inercia, pero esta última por (17.D) debe ser proporcional a la

aceleración, oponiéndose al movimiento del cuerpo, por tanto

im� �F a

reencontrando la forma habitual de la segunda ley de Newton.

En resumen las leyes de la dinámica newtoniana no son más que manifestaciones de la interacción gravitatoria

producida por el movimiento relativo del resto del Universo.

4-D. Distancia propia

Consideremos una esfera de radio coordenado r, de donde parte una señal luminosa (o cualquier otra que

viaje a la velocidad de la luz) en el instante retrasado t , llegando al observador situado en el centro de la concha

esférica en el momento t . Se trata de determinar el radio propio � de esa esfera en el momento de emitir la

señal.

Según el elemento de línea de Robertson-Walker (ver apéndice B), el movimiento de una señal gravitatoria

que se acerca al centro de la esfera viene dada por la expresión

2

.1

� ��

dr cdt

R tkrIntroduciendo la variable

0� � t t (

0t es el tiempo presente o edad del Universo), siendo � el instante de salida

(16.D)

(17.D)

(18.D)



24

de la interacción y � el momento de llegada al punto del campo. Integrando desde el momento en que partió laseñal hasta el momento de llegada

ˆ

0

0

0ˆ

,

� �

� �

� �

� �

� � � ��

� ��

ctd dr ct

R R aS S

debemos advertir que r no depende del tiempo, ya que los cuerpos que componen el sustrato cósmico son

comóviles y sus coordenadas invariables. La función S queda definida de la siguiente forma: si 1�k entonces

sin�x xS ; si 1� k , sinh�x xS y si 0�k , �x xS .De la métrica de Robertson-Walker se deduce que la distancia propia radial desde el origen a un punto de

coordenada r es

2

0 1� �

��r

drR t

kr

y de (18.D) se encuentra

ˆ

0ˆ,

�

�

�

��

��d

ct aa

donde definimos

0

��

Ra

R

siendo 0 0

1R R t R � � � el factor de escala cósmico en el momento presente.

La derivada de la distancia propia con respecto a �se obtiene de (19.D)

ˆ

0ˆ, 1 ,

�

�

��

�

� ��

��

dct a

a

con este resultado podemos poner

� � ��d d

entonces (17.D) queda

2

2

11* 7

2� ��

�� M R V

Hd

ca a

con lo que conseguimos que la parte derecha de (22.D) dependa de la variable .

Hemos dividido el Universo en conchas esféricas de espesor d�� pero resulta que al aplicar (20.D) � � es

al principio positivo para después de pasar por un máximo hacerse negativo (ver ilustración 3). Esto significa

que al principio de la curva la interacción gravitatoria que sale de la parte externa (o más alejada) de la concha

sale después que la interacción de su parte interna, aunque ambas interacciones llegan al mismo tiempo al punto

del campo. Mientras que en la segunda parte de la gráfica de � � la interacción gravitatoria sale antes de la

parte externa que de la interna. Pero �d representa el grosor de la concha esférica, que es necesariamente

positivo, por esto tomamos el valor absoluto de � � para evitar el absurdo de que el grosor de la concha sea

negativa, por tanto

2

2

11* 7 .

2� � �

�� M R V

Hd

ca a

5-D. Determinación de los parámetros cósmicos

El último paso para determinar la aceleración inducida sobre una partícula a causa del movimiento con

aceleración lineal de todo el Universo, es la integración de (23.D) sobre todas las conchas esféricas que

conforman el Universo

2

20

11* 7

2M R V

Hd

c

�

� � �� a a

que es la aceleración inducida en el momento �; donde 0

t t� � �� siendo t� el momento de salida (o momento

atrasado) de la señal gravitatoria y 0

t t� � siendo t el momento de llegada de la señal al punto donde se

encuentra la partícula de prueba, 0t es la edad actual del Universo. En el caso de la señal llegue en el momento

presente 1� � .

(19.D)

(20.D)

(22.D)

(21.D)

(23.D)

(24.D)



25

Es fácil comprobar que

2 2 20 0

00 0 0

3 2 4 2 2; ;M R

M R V V

H H H

a H a H H

� ��

entonces (24.D) queda

20 0

0 0

3 4 2

0

11* 7 .

2

M R

V

Hd

a a c

�

� � � �

� �� a a

Para hacer este cálculo necesitamos el valor de los parámetros de densidad en el momento actual 0�M , 0� R ,0�V y la constante de Hubble también en el momento presente 0H . La edad actual de Universo se determina

por (ver apéndice B)

1 21

0 0 0 2

0 2

0 0

1 1 11 1 1 1 .

�

�

� � � ��

� � � � �� M R

t a daH a a

La función 0

a R R � que nos da la variación del factor de escala cósmico se obtiene de (ver apéndice

B)

01 2

0 0 0 2

2

0 0 0

1 1 11 1 1 1 .

�

�

� � � ��

� � � � ��

R R

M Ra da

H t a aConocida a ya se puede determinar � y � � mediante (19.D) y (20.D).

La derivada respecto al tiempo coordenado del factor de escalar cósmico es (ver apéndice A)

0 0 0 2

0 2

1 11 1 1 1 ,

�

� � � ��

� � � � �

M R

daa H a

dt a a

la relación entre �a y �a es

0 0 0

0

1

� � � � �

da daa t t H a

d dt Hpor tanto

0 0 0 2

0 0 2

1 11 1 1 1 .

�

� � � ��

M Ra t H a

a a

La variación con el tiempo de los parámetros de densidad se puede conocer a partir de las expresiones

siguientes de deducidas de las definiciones (13.D)

22 2 20 0 0

0 0 0 0 0 02 2 2 2

1 1; ; ,

M M R R

at H t H t H

a a a a a� ��

� � �donde el apóstrofo significa derivación respecto a � Finalmente, la variación con el tiempo de la constante de

Hubble se determina por

0

1.

aH

t a

��

6-D. El Universo de Einstein-De Sitter

Vamos a aplicar los conceptos anteriores al Universo de Einstein-de Sitter, por ser un modelo matemáticamente

simple, aunque parece ser no ajustado a la realidad. Este modelo está caracterizado por 0�k , 0 �V

y estar

compuesto exclusivamente por materia. En este modelo la densidad del Universo corresponde a su valor crítico(ver apéndice B) y al aplicar (27.D) se encuentra

2

2 2

0 0

1

� ��

� �

dat H

d aque al integrar queda

2 33 2

0 0 0 00

2 3,

3 2

� ��

� �

RH t a H t

Rcuando

0�t t resulta

0�R R y entonces

0 02 3�H t y por tanto

2 3 2 3

0.� � �� R R a

(25.D)

(26.D)

(27.D)

(28.D)

(29.D)

(30.D)



De la anterior ecuación se obtiene que la constante de Hubble tiene la siguiente dependencia con el tiempo

cósmico

0

2 1.

3

�t H

La densidad de este Universo es

22

20

3 1 1.

8 6

� �

� �

�� c

H

G G tLa coordenada radial de donde se encontraba un cuerpo que emitió la señal en t y que llega en el momento tal observador es

ˆ ˆ ˆ

2 3 1 3 1 30 0 0

0 0 0

3ˆ ,

� �

� �

�� t

t

ct ct ctdt dr c d

R t R a R R

donde� �es el momento en que parte la interacción gravitatoria de la fuente.La correspondiente distancia propia se calcula a partir de

2 3 1 3 1 3 1 3 2 300 0

0

3ˆ ˆ ˆ ˆ, , 3 ,� � � � � �

ctR r R ct

Rmientras que

2 2 2 3 1 3 1 3 2 30

2 5ˆ ˆ9

3 3d d c t d� � ��

� ��

La señal que salió de la posición más alejada y que llega en el momento � al observador, debió partir en el

momento max

� , cantidad obtenida resolviendo la ecuación 0� � �3

1 2 3 2

max

2ˆ ˆ0.2963

3

� ��

y la distancia propia desde la que salió esta interacción es

2 33 2

max 0

2 2ˆ ˆ3 .

3 3�

� � � ��

� � � �� ct

26

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

ˆ 1.2� �

ˆ 1� �

ˆ 0.8� �

ˆ 0.5� �

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

�

Ilustración 3.- Representación de la función distancia propia �� respecto del tiempo en el Universo deEinstein-De Sitter (ver más adelante). La gráfica representa el valor de la distancia propia a la que seencuentra una fuente que emitiendo la interacción gravitatoria en el momento� � indicado en el eje de

abscisas, llega al punto del campo en el momento � .

0ˆ,� ct

(31.D)

(32.D)

(33.D)



En la ilustración 3 aparece representada la función � según el valor del parámetro � . En la ilustración

4 representamos 2 2

0� � � c t en función de para varios valores del momento � en que llega la interacción al

punto del campo donde se encuentra la partícula de prueba.

Al aplicar los resultados anteriores a (17.D) se encuentra que la participación en la aceleración inducida por

una concha esférica es

22 3 5 3 1 3 4 3 1

2

11 2 5ˆ ˆ* 7 22

2 3 3� � � � � �

� � � � ��

M R V

Hd d

ca a a

el efecto causado por todo el Universo es la integración de la anterior expresión. Esta integral es divergente,

pero aún sin considerar el preciso momento del origen, la integral toma un valor excesivamente grande que no

puede corresponder a la realidad. Hay que entender que para el big bang no es de aplicación la teoría linealizada,

porque el campo en ese momento es excesivamente grande y no pueden despreciarse los términos no lineales.

Aún con esta limitación podemos encontrar resultados que tienen interés físico. Al hacer la integral (34.D)

entre los límites que se indican, se encuentra

15 3 4 3 1

0.21231

2 5* 22

3 3� � � �� da a a

lo que lograría explicar toda la inercia de un cuerpo como manifestación de la inducción gravitatoria del resto del

Universo.

7-D. Coeficiente de inercia

Una de las consecuencias más importantes del principio de Mach, como lo entendemos en este trabajo, es

que la masa inercial de cualquier cuerpo debe cambiar con el tiempo a medida que evoluciona el Universo; es

más la variación de la masa inercial sigue la misma ley para todos los cuerpos. Esta dependencia de la masa

inercial con respecto al tiempo tiene consecuencias físicas que consideraremos más adelante.

La masa inercial de un cuerpo es definida como el cociente entre la fuerza de inercia y la aceleración del

cuerpo respecto al conjunto del Universo. En el momento 1t la masa inercial

1m t de un cuerpo que lleva una

aceleración a es

1

1,� � i

tm t

F

a

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Ilustración 4.- Representación de la función 2 2

0� � � c t respecto al momento �en que salió la

interacción gravitatoria que llega al punto del campo en el instante � . La gráfica corresponde almodelo de Universo de Einstein-De Sitter.

1.0 1.2

0.8

ˆ 1.2� �

ˆ 1� �ˆ 0.5� �

2 20� � � c t

�

27

(34.D)

(35.D)



� �a�

imF a

��a

0*�mF a

Ilustración 5.- Representamos dos situaciones equivalentes, siempre y cuando supongamos que losmovimientos son relativos. En la gráfica de la izquierda una partícula de masa inercial m se muevecon aceleración a hacia la derecha con respecto al conjunto de Universo. A consecuencia de esta

aceleración aparece una fuerza de inercia, de sentido contrario a la aceleración. En la gráfica de laderecha la partícula está en reposo, y ahora es el Universo el que se mueve como un conjunto con

una aceleración �a , conservándose por este motivo el movimiento relativo entre partícula y Universo.A consecuencia de este movimiento acelerado del Universo, se produce una aceleración inductiva *a

sobre la partícula, que está dirigida hacia la izquierda, o sea en el mismo sentido que la aceleracióndel Universo. Esta aceleración inducida se entiende como una intensidad gravitatoria, que produce

una fuerza 0

m a donde 0

m es la masa gravitatoria de la partícula. Si suponemos que toda la fuerza deinercia es causada por la aceleración relativa del Universo, entonces la fuerza inductiva, como se

representa a la derecha, debe ser idéntica a la fuerza de inercia.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Ilustración 6.- Representación del coeficiente de inercia � , una medida de cómo va variandocon el tiempo la masa inercial a consecuencia de la evolución cósmica, aplicado

al modelo cósmico de Einstein-De Sitter.

�

28

�



0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.25

2.5

5

7.5

10

12.5

15

%

�

Ilustración 7.- Se representa la distinta participación de diversos periodos cósmicos en la formaciónde la masa inercial de un cuerpo. Dado el carácter simplificado de nuestra teoría que no es capaz deanalizar la acción de los primeros momentos del Universo, nuestro cálculo comienza en el momento

00.25t . Pero aunque los resultados no se ajusten a la realidad, nos dan una indicación de cómo se va

formando la masa inercial de un cuerpo. En el eje vertical se representa el tanto por ciento en quecada periodo de tiempo contribuye a la masa inercial de un cuerpo.

el signo menos obedece a que la fuerza de inercia 1itF es opuesta a la aceleración (ver epígrafe 4-A). En

otro instante 2t el mismo cuerpo tendrá otra masa inercial definida por

2

2.� � i

tm t

F

a

Llamamos coeficiente de inercia � t a la relación entre la aceleración inducida a* sobre un cuerpo de

prueba y la aceleración relativa �a del resto del Universo respecto al cuerpo, el cual lleva una aceleración a

relativa al Universo, por tanto

* .�� ta a

El movimiento relativo del Universo respecto al cuerpo de prueba, genera sobre este cuerpo una aceleración

inducida *a , que hay que entenderla como una intensidad gravitatoria que produce una fuerza

inducida 0*� mF a

donde 0

m es la masa gravitatoria de la partícula, que permanece inalterable. Como es habitual, elegimos el valor

de la constante gravitatoria G de tal forma que haya una coincidencia numérica entre la masa inercial en el

momento actual 0

m t y la masa gravitatoria 0

m del mismo cuerpo.

Si suponemos que toda la fuerza de inercia tiene su origen en la inducción gravitatoria del resto del Universo,

entonces la fuerza inductiva coincide con la fuerza de inercia, y por tanto tendremos

1 1

2 2

*,

*� i

i

t t

t t

a F

a F

o dicho de otra forma, las aceleraciones inducidas son proporcionales a las masas inerciales. Como la aceleracióninducida es proporcional al coeficiente de inercia entonces

1 1

2 2

.�

��

m t t

m t t

De la identidad entre la fuerza inducida y la de inercia obtenemos

0 0 0* ,� �� m m t m t m t m t t ma a a a

donde hemos aplicado la definición del coeficiente de inercia (36.D). (38.D) refleja de forma directa la dependencia

con el tiempo de la masa inercial de un cuerpo. Según (38.D) el coeficiente de inercia se puede entender como

29

(38.D)

(36.D)

(37.D)



el cociente entre la masa inercial (que es dependiente del tiempo) y la masa gravitatoria (que es una cantidad

fija) de un mismo cuerpo.

En el razonamiento anterior hemos hecho la suposición de que el movimiento es relativo, tanto en el sentido

cinemático como dinámico, afirmación esta última que es equivalente al principio de Mach.

Según hemos visto en cálculos previos [por ejemplo (34.D)] y los que haremos a continuación, la función �

debe depender del tiempo, esto significa forzosamente que la masa inercial debe depender del tiempo, siempre

y cuando toda la inercia sea debida a la fuerza inductiva de un Universo dinámico.

En la ilustración 5 se explica cómo la fuerza de inducción se identifica con la fuerza de inercia.

Podemos aplicar el anterior razonamiento al modelo cósmico de Einstein-De Sitter. En la ilustración 6 se

representa cómo varía el coeficiente de inercia o cociente entre la masa inercial y la gravitatoria, tal como se

determina de (34.D) con la aproximación dada en (35.D)

2 3 5 3 1 3 4 3 1

0.21231

* 2 522 .

3 3

�

� � � � � � �� da

a

Para el mismo modelo cósmico podemos averiguar la influencia de las distintas épocas del Universo en la

formación de la masa inercial. De nuevo utilizando (39.D) construimos la ilustración 7, donde viene representado

el tanto por ciento de participación en la formación de la masa inercial de las distintas épocas del Universo.

Esta, al igual que las otras gráficas son aproximadas, ya que empezamos a hacer los cálculos a partir del

instante 0

0.25t , es decir descartamos las épocas anteriores, dado que para esos momentos no es de aplicación

nuestra teoría simplificada; no obstante, estas conclusiones que estamos sacando nos da una idea de que lo que

ocurriría con la teoría correcta.

En la ilustración 7 comprobamos que no todas las épocas del Universo contribuyen por igual a la formación

de la masa inercial. Vemos que las épocas primeras del Universo contribuyen en mayor medida, ya que en los

primeros momentos del Universo existe una mayor densidad y por tanto pueden producir un mayor efecto

gravitatorio con los que crear masa inercial. Las épocas más recientes apenas contribuyen a la masa inercial,

habida cuenta que para los momentos más recientes sólo las masas cercanas interaccionan con la partícula de

prueba, habiendo no sólo menos materia que contribuye a la masa, sino también una menor densidad de la

fuente, lo que significa menor acción gravitatoria. Notemos, por último, que hay un máximo relativo para la para

el periodo entre 0

0.45t y 0

0.50 t .

E.- INDUCCIÓN POR UN MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DEL UNIVERSO

1-E. Introducción

En (1.A) hemos visto que hay varios tipos de fuerzas de inercia: la producida por una aceleración lineal, la

centrífuga (aceleración normal), la originada en la aceleración angular (aceleración tangencial) y la fuerza de

Coriolis. En los apartados anteriores hemos visto que la traslación rectilínea acelerada del Universo induce

fuerza de inercia en un cuerpo de prueba. Queremos ahora averiguar si la rotación relativa de todo el cosmos

produce en la partícula de prueba una fuerza de inercia centrífuga, y si este fuera el caso, comparar las masas

inerciales producidas por las fuerzas de inducción originadas en la traslación del Universo y en su rotación.

Vamos a considerar un cuerpo de prueba de masa inercial 0

m que describe una circunferencia de radio

propio r. Sobre esta partícula actúa una fuerza de inercia dada por

0� � � �

imF ω ω r

donde ω es la velocidad angular de rotación de la partícula de prueba, que es perpendicular al plano de rotación.

iF es una fuerza que se dirige hacia el exterior de la trayectoria circular..

Podemos considerar una situación equivalente. Donde la partícula de prueba está en reposo y el resto del

Universo se encuentra rotando con una velocidad angular �ω . La partícula de prueba se encuentra a una

distancia propia r del centro de rotación del Universo. Cabe esperar que esta rotación produzca una aceleración

inducida *a sobre la partícula, que se entiende como originada por la fuerza gravitatoria siguiente

inducida 0*,�mF a

se trata de comprobar si esta fuerza es idéntica a la fuerza de inercia (1.E); si fuera así tendríamos una total

equivalencia, tanto cinemática como dinámica, de las dos situaciones: movimiento de rotación de la partícula o

movimiento relativo de todo el Universo. La ilustración 8 explica de forma gráfica las dos situaciones consideradas.

30

(39.D)

(1.E)



El problema de determinar la aceleración inducida por la rotación cósmica, lo planteamos de igual forma que

cuando el Universo tiene una aceleración lineal, es decir, consideramos el Universo formado por conchas esféricas

de radio propio ��y espesor d� . Calculamos la fuerza inducida por cada una de estas conchas y posteriormente

sumamos los efectos producidos por todas las conchas.

2-E. Cálculo de la aceleración inducida por la rotación del Universo

Vamos a cambiar de procedimiento de cálculo. Ahora calculamos el potencial y lo ponemos en función de r

y después hallamos el gradiente, mientras que en el cálculo anterior el potencial estaba en función de �r y era a

esta función a las que aplicábamos el gradiente. Los cálculos los simplificaremos al tener en cuenta que r ��

y que sólo consideramos términos de orden segundo respecto al inversa de c, que son los que dan lugar a los

términos clásicos. Los potenciales vienen dados por (15.C) y utilizaremos las relaciones (16.C) y (17.C).

Elegimos un sistema de coordenadas tal que el punto del campo se encuentre en la parte positiva del eje z

,� rr k

y el eje y es tal que la velocidad angular de la concha esférica está en ese eje

.�� ω j

El vector de posición de un elemento de la concha esférica es

sin cos sin sin cos .� � � � � � � �� σ i j k

De la ilustración 2

� � �r r σ

elevando al cuadrado y después de algún cálculo obtenemos

2

1 2 cos� ��

� ��

r rr

como ��r entonces podemos desarrollar (2.E) hasta el segundo orden de �r

2 221 1 1 3

1 cos cos ,2 2

� ��

� � � ��

r r r

r

donde tomamos los valores atrasados de �r y σ .

La velocidad lineal de un elemento de la concha esférica es

cos sin cos�� u ω σ i k

31

�

Ilustración 8.- Representamos dos situaciones equivalentes. En la gráfica de la izquierda unapartícula de masa inercial m se mueve describiendo una circunferencia a la velocidad angular �. A

consecuencia de esta aceleración aparece una fuerza de inercia i

F : la fuerza centrífuga. En lagráfica de la derecha la partícula está en reposo y es el Universo el que rota como un conjunto con lavelocidad angular -�. Este movimiento produce una fuerza inducida sobre la partícula de valor

0*m a

de la misma dirección y sentido que la fuerza centrífuga. Si suponemos que toda la fuerza centrífugaes generada por la rotación relativa del Universo, entonces la fuerza inductiva es idéntica

a la fuerza centrífuga.

�

�

��

iF

� � � �i

m tF ω ω rinducida 0

*� mF a

inducidaF

(2.E)

(3.E)

(4.E)



y su cuadrado

2 2 2 2 2 2 2sin sin .� � � � � �� u

En los cálculos siguientes tendremos en cuenta que

sin cos .�� rr u r σ u r u

* Cálculo de��El potencial escalar d de un elemento de fuente es según (15.C)

222 2

0000 002 2 2

2 2 1 2 11 ,

1

d mG G Gd d m d m

r c r c r c rc c cr

r c

�

�

� � � � ��

r u r u

r ur u

aproximación que hacemos porque

1.r r

cr cr c c

��

�

� � ��

� ��

r u r u

Aplicando (3.E)

222 2

00 2

2

2 1 31 cos cos 1 ,

2 2

d mG r r rd

c cc � �

� � � � � �

�

� ��

r u r u

tenemos en cuenta que 0� �σ u . Tomando en consideración sólo los términos de orden 1 � nos queda

2 22

00 00 2 2 2 2

2 2 2

2 2 1 11 1 sin cos sin cos .

d m d mG Gd r r

c r c r cc c c � � � � � �

� �

� �

� ��

r u r u

Ahora procedemos a calcular la divergencia respecto a r en el momento atrasado t� [ver (16.C)]

2

00 2 2 2

2 2

2 1 1sin cos 2 sin cos ,

d mGd

c rc c� � � � �

�

�

��

rr

tras lo cual se hace la integración sobre una concha esférica, para lo que tenemos en cuenta

22* 2

00 00

11 1 3

2d m T dV c p dV

cr cr�

��

� � � ��

r u r u

y considerando hasta términos de segundo orden respecto a la inversa de c2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

3 1 1 1sin cos 2 sin cos sin cos

1 13 sin cos sin cos sin .

c pG dV

c r c c

G c p d d dc r c

��

�

� � � � � � � �

� ��

��

��

��

rr r

rr

resultando

2 2

2

43 .

3

Gc p d

c

�� r

Ahora según (16.C) es necesario calcular

2 22

00 00

2 2 2 2

2 2 11 ,

d m d mG Gd

cs t cs t c r c r t rc c c

� �

� �

� � � ��

r r r u r u r ur

donde sólo hemos retenido el término de orden 21 c ; la derivación es

2

3t r r r �

��

� �r ur u r u r u

donde hemos tenido en cuenta que

,r

t r

� ��

� ��

r u

32

(5.E)

(6.E)

(7.E)



por tanto

2

00

2 3 2

2

00 2 2 2

2 3 2

2 1

2 1cos cos sin cos sin sin cos

d mGd

cs t c c

d mGr r

c c

�

� � � � � � � � � � ��

�

�

� ��

��

� � � � � �

rr r u

r i j k

�

donde 2�� u σ

Ahora se hace la integración sobre la concha esférica

22 2

002 2

22 2 2

002 2 2

2 1cos sin

4 2 1 43 ,

3 3

Gd d m d d d

cs t cs t c cG G

d m d c p dc c c

� � � � � � � �

� ��

�

�

� ��

� ��

� � � �

�� r r

r

r r

por (16.C) y de (7.E) y (8.E) encontramos

0,��

por lo tanto la rotación cósmica no genera términos inductivos relacionados con el potencial escalar�.

* Cálculo de ��El potencial d de un elemento de fuente es según (15.C)

0 02 2

00 00 21 32 2 1 cos cos 1 ,

2 2

d m d m r r rd G G

crr

c

� � � � �

� � � � � ��

r u

r u

en (14.C) el gradiente de aparece dividido entre 2c , por tanto en la anterior expresión sólo tenemos que

considerar los términos de orden cero respecto a la inversa de c, es decir

2 202

00

1 1 32 1 cos cos ,

2 2

r r rd G d m � �

� � � �

� � � ��

� � � �� cuyo gradiente es

0

2

00 2 2

12 cos 3 cos ,d G d m

r � �

� ��

� ��

r r r

tras lo que hacemos la integración de superficie para determinar el efecto de la concha esférica

2

2 2 2

2 22 cos 3 cos sin

p cd G u d d d

r

��

� ��

� � � ��

�� r r r

y dado que 2 2 2 2 2 2 2sin sinu � � � � � �� descomponemos la anterior integral en dos, la primera de ellas

2 3 2 2

1 2 22 cos 3 cos sin 0.G p c d d d

r� � � ��

��

� � ��

r r r

En cuanto a la segunda integral tenemos

2 3 2 2 3 22 2 2

2 cos 3 cos sin sinG p c d d dr

� � � ��

� � ��

r r r

al hacer la integral resulta

2 216.

15

Gp c d

�� r

Como

dcs t

� �

��

r

es de un orden superior a (9.E) respecto a la inversa de c, lo podemos despreciar, quedando

2 216.

15

Gp c d

�� r

33

(8.E)

(9.E)



* Cálculo de � �A t

Finalmente hay que calcular el efecto del potencial vector para un elemento de fuente que se deriva de

(15.C)

1

0

3,

d mGdA

r cc��

�

�� r u

utilizando (22.C)

2

2 2 2

u

t s s s r cs cs

� ��

�� u r u u r uu u u

despreciamos los sumandos tercero y cuarto porque generan términos de orden tercero en la inversa de c. La

integral de superficie correspondiente al primer sumando es

2 2

2 22 2

sin sin

1 31 cos cos sin ,

2 2

d d d d d ds r

r r rd d d

� � � � � � � � � �

� � � � � � � ��

� ��

� � � ��

� � � ��

��

��

� �u u

σ

el primer sumando del corchete da una integral nula y de los restantes sólo tenemos que considerar el tercer

sumando, pues los otros son de orden inferior respecto a 1 �

2 2 2 24cos sin cos sin ,

3r d d d d d d d

�� σ r r

volviendo a (15.C) encontramos que la primera integral de nuestro cálculo es

2 21 1 1 2

4,

3

r Gp c d

t s t t c

��

�� A A A r

donde no hemos considerado términos de orden tres respecto a la inversa de c.

En cuanto a la segunda integral tenemos

2 2

2 3sin sin ,d d d d d d

s r� � � � � � � � � �

�

� � ��

�� u r u u r u

hemos despreciados sumandos que den términos de orden superior al segundo respecto a la inversa de c y

sumandos que den lugar a órdenes mayores que uno en la inversa de �. De la anterior integral el único sumando

a considerar es

2 3 2 24sin cos

3d d d d

�� r r

y por tanto

2 22 2 2 2

4,

3

r Gp c d

t s t t c

��

�� A A A r

y sumando (10.E) y (11.E) encontramos finalmente

0 0t t�

� ��

� �

AA

al hacer la integración sobre todas las conchas esféricas.

* Cálculo de la aceleración inducida

Ya estamos en condiciones de aplicar la ecuación de movimiento (14.C) para el caso de una concha esférica,

resultando

2

2 2 2

2 2

16 2* 3 10

1515M R

G Hp c d d

c c

�� a r r

que es la aceleración inducida por una concha esférica de radio �� y espesor d� sobre una partícula de prueba

situada en la posición r respecto a un sistema de referencia con origen en el centro de la concha. (12.E)

corresponde realmente a una fuerza centrífuga, es decir una fuerza proporcional a 2� � � � �r ω ω r . Debemos

advertir que el sentido de la aceleración inducida es indiferente del sentido de giro del Universo, sea uno u otro,

la aceleración centrífuga inducida es la misma. El efecto total del Universo será la integración de (12.E) sobre

todas las conchas esféricas, de tal forma que el coeficiente de inercia es

34

(10.E)

(11.E)

(12.E)



20 020

2 2 3 4 20 0

3 10* 2 23 10

15 15

M RM R

HHd d

c a a c

� �

� � � � � � ��

� ��

� � � �

a

r

donde el integrando está evaluado en el momento atrasado � � . El coeficiente de inercia (13.E) es en general

diferente del derivado de la aceleración lineal del Universo como calculado de (17.D).

Si aplicamos (13.E) al modelo de Einstein-De Sitter encontramos

2 3 5 3 1 3 4 3 1

0

8 2 5.

5 3 3d

�

� � � � � � �� Respecto a (13.E) hay que notar que no depende de la energía oscura o energía del vacío, que sí interviene

en la inducción fruto de la traslación acelerada lineal del Universo. Esto es un indicio de la insuficiencia de la

teoría que estamos manejando, y que debemos asociar a la propia teoría general de la Relatividad, más que a la

aproximación de campo débil que estamos usando.

F.- INDUCCIÓN POR UN MOVIMIENTO DEACELERACIÓN ANGULAR DEL UNIVERSO

1-F. Introducción

De las cuatro fuerzas de inercia que aparecen en la ecuación (1.A) estudiamos ahora la correspondiente a la

aceleración angular. Consideremos un cuerpo que lleva una velocidad angular pω dirigida hacia la parte positiva

del eje y

p ��ω j

cuyo módulo varía con el tiempo, conservándose su direeción y sentido, es decir

.p �� ω j

Entonces sobre este cuerpo de masa inercial 0

m actúa una fuerza de inercia dada por (1.A)

0 .i pm�� F ω r�

Ahora vamos a considerar que el cuerpo de prueba se encuentra fijo en la posición

r�r k

y que el Universo en conjunto se mueve con una velocidad y aceleración angular dadas por

; ,� �� ω j ω j

como consecuencia de este movimiento acelerado, el Universo inducirá una aceleración y una fuerza sobre la

partícula de prueba, cuyos valores vamos a calcular a continuación.

2-F. Cálculo de la aceleración inducida por una rotación acelerada del Universo

Seguimos las mismas técnicas anteriores, es decir, calculamos el efecto de una concha esférica y luego

sumamos sobre todas las conchas esféricas que conforman el Universo.

En las condiciones dadas en el epígrafe anterior, la aceleración lineal de un punto de la concha esférica viene

dada por

cos sin cos .�� u ω r i k

* Cálculo de��De (2.D) el único sumando que contribuye a la fuerza inducida que estamos calculando es

2 3.

c s

� � ��

�r r u

Por (15.C)

22

002 2 3 2 3

23

Gd d m G p c

c c s c s� �

� � � � ��

r r u r r u� �

teniendo en cuenta (1.F) y que � � �r r σ resulta

2

2

2 3

3

sin cos sin cos sin cos sin sin cos

p cd G r r

c

��

�

� �� r i j k� �

hacemos la integración de superficie con lo que calculamos el efecto de la concha esférica

35

(13.E)

(1.F)



2 3 2 2

2 2

43 sin cos 3 ,

3

G Gp c d r d d p c d

c c

�� i ω r

advertimos que � es la velocidad angular de rotación del conjunto del Universo.

* Cálculo de � �A t

De (5.D) comprobamos que el único sumando que contribuye a la fuerza inductiva que ahora estamos calculando

es s�u . Entonces por (15.C)

12 2 2

0 2

3 2

2

2 2

1 31 cos cos

2 2

cos

p cd md G G r r r

t sc c

p cGr

c

�

��

� � � �

��

�

�

� � � � � � ��

� ��

� �

�

Au u

u

donde despreciamos los términos de orden 31 � ; al hacer la integración de superficie y teniendo en cuenta

(1.F)

2

2

2 2

2 2

cos cos sin cos sin

4 4.

3 3

Gp c d r d d

t cG G

p c d r p c dc c

��

� ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � �

��

� �

Ai k

i ω r

* Cálculo de la aceleración inducida

Para calcular la aceleración inducida por la rotación acelerada del Universo aplicamos (14.C)

* 4 ,t

�

��

�

Aa

utilizando (2.F) y (3.F)

2

2

4* 3 ,

3

Gp c d

c

��

�a ω r

expresado en función de los parámetros de densidad resulta

2

2

1* 9 10 6 ,

6M R V

Hd

c� � �� a ω r

puesto en función de la aceleración angular relativa de la partícula respecto al Universo2

2

1* 9 10 6 ,

6M R V p

Hd

c� � �� a ω r�

la aceleración inducida total resulta de la integración sobre todas las conchas esféricas, resultando que el coeficiente

de inercia es

20 020 0

2 3 4 20 0

9 10* 1 19 10 6 6

6 6

M RM R V V

p

HHd d

c a a c

� �

� � � � � � ��

� � � ��

� �a

ω r�

donde el integrando está en función del tiempo atrasado � � . Utilizando el model de Einstein-De Sitter (4.F)

queda

2 3 5 3 1 3 4 3 1

0

2 56 ,

3 3d

�

� � � � � � ��

y por tanto diferente, en cuanto al factor numérico, de los coeficientes de inercia calculados anteriormente.

G.- INDUCCIÓN DE FUERZAS DE CORIOLIS

1-G. La fuerza de Coriolis

En (1.A) se le llama aceleración de Coriolis a

02m �ω w

donde w es la velocidad de la partícula de prueba. Como ya se dijo en el epígrafe 4-A la fuerza de Coriolis

derivada de la anterior aceleración es peculiar y diferente de las restantes fuerzas de inercia, pero aún así el

36

(2.F)

(3.F)

(4.F)

(5.F)



principio de Mach debe mostrar que esta fuerza existe en el caso de una rotación del conjunto del Universo.

Vamos a considerar, al igual que antes, el Universo formado por conchas esféricas que se mueven con una

velocidad angular �. Cerca del centro de las conchas se encuentra una partícula que lleva una velocidad w y que

se encuentra en la posición r, queremos calcular la fuerza de origen gravitatorio que se induce sobre la partícula.

2-G. Cálculo de la aceleración inducida

Vemos que el único sumando que nos interesa en (14.C) para reproducir la aceleración de Coriolis es

4 �� w A

por tanto debemos calcular previamente el potencial vector y hallar el correspondiente rotacional y finalmente

integrar sobre todas las conchas esféricas.

Por (15.C) tenemos que el potencial vector de un elemento de fuente es

1 12 2

0 0 2

3 3

1 31 cos cos 1

2 2

d m d mG G r r rdA

r c r cc c� ��

� ��

� �

� ��

r u

r u

pero si tenemos en cuenta sólo los términos que contienen 1 � y que son de segundo orden respecto a la inversa

de c, nos queda

12 2

0

3 2 21 cos 1 cos 1 cos ,

p c p cd mG r G r G rdA u

c c c

��

� �

� � � � � �

�

� � � ��

ω σ

donde suponemos que la partícula de prueba se encuentra, momentáneamente, en la posición r�r k . Al hacer

la integración de superficie encontramos el potencial vector producido por una concha esférica

2

2

2

2

2 2 2

2 2

1 cos sin

4cos sin

3

p cG rd d d

cp cG G

d d d p c dc c

��

� �

� ��

�

� � � ��

� � � � � � � � � �

��

��

A ω σ

ω r ω r

esta ecuación es vectorial y por tanto válida para cualquier vector r, que ahora de forma genérica tomaremos

como

,x y z� � �r i j k

mientras que la velocidad angular de rotación del Universo la tomaremos alineada con el eje y

.�� ω j

Al calcular el rotacional obtenemos para una concha esférica

2 2

2 2

4 8.

3 3

G Gp c d p c d

c c

� �� A ω r ω

entonces por (1.G) tenemos que la aceleración inducida es

2

2

16* 4 2 ,

3

Gp c d

c

�� a w A ω w

que podemos expresarla en función de los parámetros de densidad

2

2

2* 3 4 2 ,

3M R

Hd

c� � �� a ω w

la aceleración total inducida es la integral de todas las conchas esféricas en el instante� es

2

20

2* 2 3 4 ,

3M R

Hd

c

�

� � �� a ω w

donde el integrando está en función del tiempo atrasado � � y del tiempo� �

La aceleración de Coriolis observada en un sistema de referencia en rotación con respecto al Universo con

velocidad angular p � �ω ω es

2 2p� � � �ω w ω w

por tanto (2.G) representa la inducción de una aceleración de Coriolis con la misma dirección y sentido que la

observada desde un sistema en rotación.

37

(1.G)

(2.G)



El coeficiente de inercia correspondiente es

2

20

* 23 4 ,

2 3M R

p

Hd

c

�

� � � ��

a

ω w

encontrando, una vez más, un coeficiente de inercia diferente a los hallados en las situaciones anteriores.

Al aplicar (3.G) al modelo cósmico de Einstein-De Sitter se encuentra

2 3 5 3 1 3 4 3 1

0

2 58 .

3 3d

�

� � � � � � ��

En los cuatro casos analizados el coeficiente de inercia para un modelo cósmico de Einstein-De Sitter es de

la forma

2 3 5 3 1 3 4 3 1

0

2 5

3 3N d

�

� � � � � � ��

donde N es un coeficiente numérico del orden unidad.

H.- LA EXPANSIÓN CÓSMICA NO PRODUCE INDUCCIÓN GRAVITATORIA

1-H. Nulidad de la inducción gravitatoria producida por la expansión cósmica

Aceptamos que el Universo se encuentra en un estado de expansión isótrópica, por la cual van aumentando

las distancias propias (aunque no coordenadas) de las galaxias al observador. Cabe preguntarse si este movimiento

de expansión produce inducción gravitatoria.

Para cualquier observador en reposo respecto al sustrato cósmico, la expansión es radial e isotrópica, de tal

forma que la aceleración de expansión de un elemento fuente es

,ar

��

�

ra

donde a depende del momento de la emisión de la interacción gravitatoria, pudiendo ser un valor positivo o

negativo. La velocidad de expansión que también es radial e isotrópica se puede poner como

,ur

��

�

r

u

donde u es ahora positiva y el signo menos indica que el Universo está en expansión, puesto que �r es el vector

que va de la fuente al punto de observación.

De (2.D)

2

2 2 3 2 3 2 3

1 u

s s r cs cs r c s c s

� � � ��

� ��

r r u r r ur u r�

encontramos que sólo el cuarto término tiene que ser considerado, pues los restantes son de orden superior al

primero con respecto a la inversa de �� y por tanto son despreciados. Al desarrollar encontramos

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

u u u u

c s c r c r c r c r

� � � ��

� � � �

r r u r r σ σ�

donde hemos elimiado el término de orden segundo respecto a la inversa de �. Fácilmente se comprueba que la

integral de superficie del termino anterior es nula, indicando con ello que el potencial no produce ninguna

aceleración inducida sobre la partícula de prueba.

De (5.D)

2

2 2 2

� ��

�� u uu u u u

t s s s r cs cs

r u r u

encontramos que el único término no nulo es el primero, pues el segundo es de orden 21 � y los dos restantes

darían lugar a términos de orden superior al segundo en la inversa de c. El primer sumando se simplifica

2 2 2 2

a a a a

s r r r r

��

� � � �

u r r σ σ�

cuya integral de superficie también es nula, por tanto el potencial vector tampoco contribuye a la inducción

38

(3.G)

(4.G)



causada por la expansión cósmica.

Finalmente y con razonamiento similar a los anteriores, se comprueba que el potencial escalar � también da

un valor nulo cuando se hace la integración de superficie.

En definitiva, comprobamos que la expansión (o la posible contracción) del Universo de forma isotrópica no

genera inducción gravitatoria neta y por tanto en nada contribuye a la formación de la masa inercial de un

cuerpo.

I.- APLICACIÓN A OTROS MODELOS COSMOLÓGICOS

1-I. El modelo cósmico de Einstein

El Universo de Einstein es estático, en el sentido de que no existe movimiento a gran escala a nivel cósmico.

Lo suponemos desprovisto de radiación. Su elemento de línea se obtiene del de Robertson-Walker tomando en

(B8) 1k � y un factor de escala constante e igual a 1R � � , por tanto tenemos que el elemento de línea del

Universo de Einstein en coordendas esféricas es

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

1sin

1

drds c dt r d r d

r� � �

� ��

� �� donde � es la constante cosmológica.haciendo una transformación de la coordenada r se obtiene

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2sin

1

drds c dt r d r d

r� � ��

��Podemos aplicar a (1.I) las ecuaciones de Friedmann del modelo standard (ver apéndice B)

2

4M

c

G�

�

��

por tanto, la densidad de materia es la misma en todo lugar y en todo momento. La densidad del vacío (ver

apéndice B) es

21

.8 2

V M

c

G� �

�

��

El elemento de volumen asociado al elemento de línea (1.I) es

2

2sin ,

1

rdV gd d d dr

r� � ��

��g es el determinante (con valor positivo) del tensor métrico y d d d dr� �� . El elemento de distancia radial es

2

1 1arcsin sin

1

drd r r

r� � ��

� ��entonces el elemento de volumen queda

2 2

3 2

1 1sin sin sin sindV d d d d d d� � � � � � � � � ��

� �siendo � �� .

Al aplicar (16.D) hay que tener en cuenta que el elemento de volumen es ahora diferente al utilizado para

obtener esa ecuación, aunque la parte angular es la misma no lo es la parte espacial, de tal forma que (16.D) se

transforma en

22

2 3 2 2

4 1 1 4 1 sin* 11 14 2 sin 11 14 2 .

3 3M R V M R V

G Gd d

c c

� � ��

� ��

��a a a

El máximo valor de la coordenada r, que corresponde al punto más alejado, es

max 1r � �

a la que le corresponde la distancia propia máxima

max max

1,

2 2

� ��

�ahora es necesario integrar para todas las conchas esféricas

39

(2.I)

(1.I)



2 22 2

20 0

4 1 1 sin sin* 12 4 3.23

3M

Gd d

c

� �

� � ��

� � ��

� � �a a a a

donde hemos tenido en cuenta que el Universo de Einstein es finito en tamaño, infinito en edad y que los objetos

más alejados se encuentran a la distancia max

� . En el Universo de Einstein el coeficiente de inercia es constante

y de valor 3.23� � por tanto muy cercano a la unidad tal como es observado. Resultados parecidos, pero

numéricamente diferentes, se encuentran para las otras posibles aceleraciones del Universo.

2-I. Aplicación a un Universo caracterizado por .� �00 3

M, .� �0

0 7V

y � 0k

Vamos a considerar como ejemplo un Universo más realista con los datos siguientes:

0 0 18 1

00.3; 0.7; 2.171 10 s ; 0.

M VH k� ��

Por (25.D) se determina la edad del Universo 0t en función de la constante de Hubble en el momento actual

17

0 0 00.9641; 4.44 10 s.� � �t H t

De (26.D) se obtiene �a a como se ve en la ilustración 9. De la ecuación (27.D) se calcula la derivada

temporal del factor de escala cósmico. De (19.D) y (20.D) se han hecho las ilustraciones 10 y 11 que describen

la dependencia con el tiempo de la distancia propia (y su derivada) desde donde se emite la señal gravitatoria

que llega en el momento presente al observador.

Con todos los resultados anteriores se puede calcular la integral de (24.D) cuyo integrando es

20 020 0

2 3 4 2

11 117 7

2 2

M RM R V V

HH

c a a c� � � �

� �� que está en función de �y � � . Al hacer la integración de (6.I) sobre todas las conchas esféricas nos da la

inducción de la aceleración sobre la partícula de prueba. Esta integral resulta ser divergente, a causa del big

bang donde el factor de escala cósmico se hace nulo o muy pequeño.

Si en vez de hacer la integración desde 0 al momento presente, hacemos la integral de (6.I) entre los

instantes 0.1924� � (cuando el parámetro de densidad de la materia vale 0.959) hasta 1� � nos sale

�a* a

es decir, que el efecto producido por el conjunto de todo el Universo en el periodo de tiempo señalado es

suficiente para explicar completamente la inercia de los cuerpos.

40

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

a

�

Ilustración 9.- Variación con el tiempo del factor de escala cósmico 0

�a R R , para un Universocaracterizado por 0

0.3M� � , 00.7V� � , 0k � y 18 1

02.171 10 sH � �� . Se constanta una expansión

continua del Universo, caracterizada por el aumento permanente del factor de escala cósmico. En losmomentos iniciales es más rápido el crecimiento del factor de escala cósmico. La gráfica se

ha obtenido de (26.D).

(3.I)

(5.I)

(6.I)



4-I. El modelo cósmico de Lemaître-Eddington

Hemos visto que en el modelo de Einstein se cumple (2.I) y que el factor de escala cósmico es una constante

e igual a 1 � . Entonces

2 2

3

3 2

1

4 4M

c cR

G G�

� �

��

� �que es constante por la ley de conservación de la masa. Podemos considerar modelos cósmicos más generales

introduciendo un factor de proporcionalidad adimensional �, tal que

2 2

3

3 2

1.

4 4M

c cR

G G� � �

� �

��

� �

41

0� ct

Ilustración 10.- Variación con el tiempo de la distancia propia de la fuente para señales emitidas quellegan en el momento actual

0t , para el Universo definido en el epígrafe 2-I. La interacción que llega

en el momento presente desde más lejos fue emitida cerca del momento0

0.3t .

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

�

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ilustración 11.- Variación con el tiempo de 2 2

0� �� c t , para el Universo definido en 2-I.

�

2 20� �� c t

(7.I)



Al aplicar (7.I) en las ecuaciones de Friedmann se obtiene

2

2 2 3 21 2 1,

33

cR c R kc R

R

� � � � ��

� �

�

en vez de la primera de las ecuaciones (B9).

El modelo de Universo de Lemaître se caracteriza porque la curvatura k es positiva, por tanto igual a 1, y el

factor ��es mayor que la unidad. Se le llama modelo de Lemaître-Eddington al que tiene curvatura positiva,

siendo 1� � . Para el modelo de Lemaître la ecuación (8.I) toma la forma

2

2 2 3 21 2 1,

33

cR c R c R

R

� � � � ��

� �

�

este modelo se caracteriza porque tiene un intervalo de indecisión o de equilibrio, donde se frena el crecimiento

del factor de escala cósmico, para después proseguir su crecimiento. Este periodo de equilibrio es tanto mayor

a medida que � se acerca a 1, tendiendo a infinito cuando � tiende a 1, caso al que corresponde el modelo de

Lemaître-Eddington.

De (9.I) se deduce el valor del factor de escala cósmico para el cual la velocidad de expansión, dada por R� ,

es mínima, o sea es la correspondiente al intervalo de equilibrio. Derivando (9.I) y anulando R�� se encuentra que

para

1 3

R�

��

R� es mínima.

En el modelo de Lemaître-Eddington el Universo comienza siendo el de Einstein con un factor de escala dado

por (10.I) y con 1� � , es decir

10R t � �

�para a partir de este valor empezar la expansión cósmica que viene regulada por (9.I).

El modelo de Lemaître-Eddington elude el big bang y parece más adecuado para ajustarse a la teoría

simplificada que estamos manejando para obtener el origen cósmico de la masa inercial.

Vamos a determinar el factor de escala cósmico para el momento presente 0

t a partir de la ecuación de

Friedmann

2 2

2

2

8

3 3M

G c cH

R

��

��

que aplicada al momento actual es

2 2

2 0

0 2

0

8

3 3M

G c cH

R

��

��

para resolver esta ecuación en 0

R necesitamos conocer el valor de la constante de Hubble en el momento

actual 0

H y la constante cosmológica, a los que daremos, por ejemplo, los siguientes valores

18 1 52 2

02.171 10 s ; 2 10 m ,H � � � ��

de la ecuación (11.I) determinamos el valor de 0

R .

Notemos que 0

M� es la densidad de la materia en el momento actual, o sea en 0t , no en el instante 0t � . Por

(7.I) encontramos

2 2

3 0 3 0

0 3

0

1,

4 4M M M

c cR R

RG G� � �

� ��

� �valor que sustituimos en (11.I)

2

0

2 3 2

0 0

2 1 1,

33

H

c R R

��

�de donde sale la ecuación de tercer grado

2

30

0 02

20,

3 3

HR R

c

� ��

�� para los valores (12.I) que tomamos como ejemplo, sale como única solución con sentido físico

42

(8.I)

(9.I)

(10.I)

(11.I)

(12.I)

(13.I)



0

3.34699,R �

�donde

0R es el valor en el momento actual

0t , diferente al valor del factor de escala en el momento inicial, o

sea 0R t � .

El parámetro de densidad de la materia en 0

t en el Universo de Lemaître-Eddington es por (13.I)

2

0 0 0

2 3 2

0 0

8 20.053342

3 3.34699 3M M V

G c

H H

��

��

donde hemos utilizado las definiciones (13.D) y los resultados (13.I) y (14.I). El parámetro de densidad de

curvatura es2

0 0 0

2 2 2 2 2

0 0 0

30.267801 ,

3.34699 3.34699k V V

kc c

H R H

��

como la suma de los parámetros de densidad es la unidad, entonces

0 0 0 0 0 01 1.2730; 0.067905; 0.340913.M V k V M k� ��

Los distintos parámetros cosmológicos del Universo de Lemaître-Eddington evolucionan en el tiempo según

las ecuaciones expuestas en el epígrafe 5-D. Hay que tener en cuenta que 0 1R t � � � , entonces

0

0 10 0.298776

3.34699

R ta t

R

��

donde hemos utilizado (14.I).

La edad presente del Universo 0t se calcula por (25.D)

1 21

2

0 0

0.298776

11 0.067905 1 1.2730 1 3.7465H t a da

a

�

� ��

� � ��

por tanto18

01.72570 10 st � �

unos 55 mil millones de años.

5-I. Inducción de masa inercial en el Universo de Lemaître-Eddington

Hemos mostrado que la alta concentración de materia en los inicios en un Universo con big bang produce dos

tipos de problemas en nuestra teoría simplificada. Por una parte por su alta densidad no es de aplicación la teoría

43

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

�

Ilustración 12.- Evolución del factor de escala del Universo de Lemaître-Eddington. En el origen deltiempo no existe un big bang, sino una etapa de equilibrio en que el Universo se comporta como en el

modelo de Einstein. Posteriormente empieza a expandirse.

a

(14.I)

(15.I)



44

linealizada, y por otra parte hemos encontrado que la aceleración inducida por las primeras etapas de un Universo

con big bang es muy alta y, por tanto, no se ajusta a los datos observados.

El Universo de Lemaître-Eddington carece de big bang o de una etapa de alta densidad, por tanto no se da los

dos problemas antes señalados. Por ello investigamos a continuación si la aplicación de nuestra teoría simplificada

a este modelo nos daría resultados numéricos más acordes con la observación.

Vamos a limitarnos al cálculo de la inducción producida por un Universo que se encuentra con movimiento

lineal y acelerado; es decir, es de aplicación la ecuación (24.D). La variación de 0

a R R� es por (26.D)

01 2

0 0 0 2

2

0 0 0.298776

1 1 11 1 1 1 ,

R R

M Ra da

H t a a

�

�

� � � ��

� � � � ��

donde el límite inferior de la integral es el valor de 0a � , de esta ecuación resulta la ilustración 12.

(24.D) la podemos simplificar teniendo en cuenta que

22 2

0

2 2 2 2

0 0

11 11 8,

2 2 3 3M V M

HH G c

c H H c

��

� ��

� � � �por otra parte tenemos que

33

0 00

3 3 3

1M M M M

RR

R R a� � � ��

entonces

2 22 2

0 0 00 0

2 2 3 2 2 3 2

0 0

11 11 8 1 11 1.

2 2 3 3 2M V M M V

H HH G c

c H a H c a c

��

� ��

� � � �� En un Universo con curvatura positiva como el que consideramos, el elemento de volumen es

2

3

2

sin1

rdV R t d d dr

r� � ��

�el elemento de distancia radial es

2; arcsin ; sin ,

1

drd R t R t r r

R tr

��

�entonces el elemento de volumen queda

Ilustración 13.- La curva I es la distancia propia � desde la que fue emitida la interacción que llegaen el momento presente 1� � para el Universo de Lemaître-Eddington. La escala horizontal nos da elmomento en que la señal que ahora nos llega fue emitida. Hay que anotar la diferencia que existe

con igual gráfica pero correspondiente a un Universo con big bang (ilustración 10). La gráfica II esla distancia propia de los objetos más alejados, lo que se podría entender como el «radio» del

Universo. El punto de cruce de las dos curvas es 0.61� � . Todas las interacciones gravitatoriasemitidas antes de 0.61� � llegaron antes de 1� � , es decir que sólamente las interacciones emitidas

después de 0.61 llegan en el momento presente al punto del campo.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

�

0.8 0ct�

I

II

(16.I)



45

2 2 2 2 20

0

ˆ,ˆsin sin sin sin ,dV R d d d R a d d d

R R a

� � ��

� �

� � � ��

� � � � que tiene la misma forma en la parte angular que el elemento de volumen cuando 0k � , pero varía en la parte

espacial. En la anterior expresión 0

t t� � es el tiempo atrasado y 0

ˆˆ t t� � es el momento de llegada de la

interacción. dV representa, por tanto, el elemento de volumen de una concha esférica formada por la materia

que emitiendo la interacción gravitatoria en el momento t, llega al centro de la concha en el momento t . La

función ˆ,� se determina por (19.D).

La coordenada radial más extrema de este Universo cerrado es max

1r � , lo que corresponde a una distancia

propia

max 02 2R t R a t

� ��

que puede ser entendido como el «radio» del Universo. Nótese que este «borde» del Universo depende del

tiempo a consecuencia de la expansión cósmica, ya que el Universo de Lemaître-Eddington es finito pero se

expande indefinidamente.

0R se deduce de 0

k�2

002 2 0

00 0

1k

k

kc cR

HH R� � � � �

��

entonces la distancia máxima es

max0

0 0

.2

k

a t

t H

��

��

En el Universo de Lemaître-Eddington con los valores iniciales considerados en (12.I), no hay ninguna señal

que siendo emitida entre los intervalos 0� � a 0.61� � llegue en el momento presente al punto de observación,

tal como se aprecia en la ilustración 13; estas señales debieron llegar antes de 1� � . Esta situación se observa

en la ilustración 13, donde la distancia propia de la posición de las fuentes que debieron emitir las señales

gravitatorias entre los instantes 0� � y 0.61� � para que llegaran en 1� � son superiores al «radio» del

Universo, lo cual no puede ser. Por tanto, para el modelo cósmico que estamos considerando, sólo las señales

emitidas entre 0.61� � y 1� � interaccionan en el momento actual con el cuerpo de prueba y contribuyen a la

formación de la masa inercial. O dicho de otra forma, en este modelo los cuerpos cósmicos más alejados no

0.61 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

5

10

15

20

25

30

Ilustración 14.- Se muestra la participación de las distintas épocas cósmicas en la formación de lamasa inercial de un cuerpo, calculada para un Universo de Lemaître-Eddington. En el eje vertical

está el tanto por ciento en que cada periodo de tiempo contribuye a la masa inercial. El cálculo estáhecho para la inducción de inercia por un Universo en traslación. Nótese que no hay contribución deetapas anteriores a 0.61� � . Esta gráfica es muy diferente a la correspondiente a un Universo abierto

con big bang (ilustración 7).

%

�



46

interaccionan gravitatoriamente en la actualidad con el cuerpo de prueba situado en nuestras cercanías.

Para el cálculo de la aceleración inducida ya no podemos utilizar (24.D). Aunque la parte angular de la

integración es la misma no ocurre así con la parte espacial. Para el elemento de volumen que ahora tenemos que

utilizar, la aceleración inducida nos queda

2

200 0 2 20

03 20

sin11 1

*2

M V

R aHR a d

a c

�

�

� �

� ��

� � � �� a a

si la distancia�� fuera pequeña entonces el seno se puede sustituir por su argumento y encontramos una

expresión idéntica a si hubiéramos utilizado el elemento de volumen de un Universo con 0k � .

La distancia propia de la emisión de la interacción � (ilustración 13) y su derivada � � se calculan por

(19.D) y (20.D) a partir de la función a derivada de (16.I). Para facilitar el cálculo de la integral (17.I) la

modificamos de la siguiente forma

2

2max0 0 2 20

03 20

sin211 1

* ,2

M V

HR a d

a c

�

� �

��

�

� ��

� � � �� a a

utilizando los siguientes valores numéricos

0 0 18 10

26 180 0

0.067905; 1.2730; 2.171 10 ;

3.346992.3667 10 ; 1.7257 10 .

M V H s

R m t s

� ��

� � � � ��

Al hacer la integración numérica de (17.I) se obtiene que para el momento presente la aceleración inducida

por efecto de la translación acelerada y rectilínea del conjunto del Universo es

* 1 1.7 , � �a a

no solamente la integración (17.I) se ha podido hacer, algo que no ocurrió con el Universo con big bang, sino que

el coeficiente de inercia obtenido es muy cercano al valor observado de la unidad. Al hacer el cálculo numérico

nos sale que en el momento presente la pendiente del coeficiente de inercia es negativo, lo que viene a significar

que la masa inducida de un cuerpo está en el momento presente disminuyendo, el cálculo nos muestra para el

caso considerado de Universo en traslación que

01 3.8� �� .

Al ser el de Lemaître-Eddington un modelo dinámico el coeficiente de inercia irá variando con el tiempo. En

efecto, debemos notar que la distancia propia � es función de y � � (tiempo de llegada y de salida de la

interacción) entonces por (24.D) tenemos que la dependencia funcional del coeficiente de inercia para el caso

de un Universo en traslación se reduce a (17.I) cuyo integrando es función de� y � � y por tanto la integral es

función de� .

J.- CONSECUENCIAS DE LA VARIACIÓN DE LA MASA INERCIAL

1-J. El corrimiento de las líneas espectrales

La información que se recibe en el momento presente de objetos lejanos fue producida en un tiempo pasado,

es decir, cuando la masa inercial de todos los cuerpos era diferente de la actual. Si la información que analizamos

procedente de esos cuerpos lejanos depende de la masa inercial, entonces podemos comprobar su variación

con el tiempo. Concluimos entonces, que si bien es imposible detectar la dependencia de la masa con el tiempo

en un laboratorio terrestre dada la lentitud de su variación, es posible la detección cuando se analizan fenómenos

cósmicos.

Un efecto que tiene la variación de la masa con el tiempo, está en el corrimiento de las líneas espectrales, ya

que su frecuencia depende de la masa de los electrones. Por ejemplo, la frecuencia de las líneas espectrales del

átomo de hidrógeno es proporcional a la constante de Rydberg H

R , que a su vez depende de las masas

inerciales del electrón y del protón según

1

eH

e p

mR

m m�

�

(17.I)

(18.I)



47

siendo e

m y pm las masas del electrón y del protón respectivamente. Como la dependencia con el tiempo de la

masa inercial es la misma para cualquier tipo de partícula, encontramos que la constante de Rydberg en el

momento t de emisión de la señal está relacionada con su valor en el momento actual 0t por

0,H HR t t R t��

e igual relación debe de existir entre las frecuencias de las líneas espectrales emitidas en el momento t respecto

a las frecuencias de las mismas líneas tal como son medidas actualmente en el laboratorio 0 0

t� �� , o sea

0,t t� � ��

donde estamos suponiendo que 0

1t� � .0

representa la frecuencia tal como es medida en el momento

actual, es decir en el caso en que se cumpliera 0

1t� � . Pero si 0

1t� � la ecuación anterior habría que

modificarla

0

0

.t

tt

��

��

En la ilustración 16 mostramos esquemáticamente las distintas frecuencias de una determinada línea espectral.

Vemos en esta ilustración que existen dos desplazamientos de frecuencias: � �� es el que se produce por la

variación de la masa inercial, � �� es el desplazamiento fruto de la expansión cósmica y �� es la suma de los

dos desplazamientos anteriores. Ambos desplazamientos producen dos corrimientos z� y z�� , que los definimos

con referencia a la frecuencia 0

�

0

0 0 0 0 0

0

; ; ,

ob

ob

ob ob

t

t t tz z z

t t

��

� � � � � � �

� � � � �

��

� ��

el corrimiento que se mide en la observación astronómica es z, mientras el que está relacionado con la expansión

cósmica es z�� .

Notamos que en el caso de que 0

1t t� � � , como ocurre en un tiempo pasado en los modelos cósmicos

que hemos considerado, entonces z z�� , es decir que el corrimiento hacia el rojo causado por la expansión

cósmica es menor que el medido; o dicho de otra forma, la constante de Hubble debe tener un valor menor que

el calculado sin suponer variación de la masa inercial, lo que significa que la expansión del Universo es más

lenta. Igualmente los restantes parámetros cósmicos también se ven alterados cuando se tiene en cuenta la

variación con el tiempo de la masa inercial.

De (1.J) se obtiene la relación

0

1 1 ,t

z zt

�

��

como (ver apéndice B)

0 0 0

0

11 1e

ob ob

t R Rz

t R t R t a t

� ��

� � ��

entonces podemos obtener la función z z z�� . En efecto, de (3.J) hallamos el momento de emisión t para un

determinado valor de z�� , llevando estos dos resultados a (2.J) se halla el valor de z en función de z�� .

0

ob�

� ��

Ilustración 15.- Se representan las diversas frecuencias de una misma línea espectral. 0

es lafrecuencia que tendría esa línea si se hace su medición en un laboratorio terrestre en el momentoactual.

0 0t t� � � es la frecuencia que tenía esa línea espectral cuando fue emitida desde la

galaxia cuyo espectro se observa; mientras que ob

es la frecuencia con que es observada en laTierra la línea espectral emitida desde la galaxia.

0 0t t� � �

(1.J)

(2.J)

(3.J)



2-J. La ley de Hubble

Si el corrimiento hacia el rojo es pequeño significa que la galaxia se encuentra cercana, o que el momento ten que fue emitida la señal es un tiempo cercano a

0t o momento presente. En estas circunstancia se cumple

0 0z H t t��

donde z�� es el corrimiento de las líneas espectrales causada por la expansión cósmica como definido en (1.J).

No obstante, al no considerar que la masa inercial varía con el tiempo se toma para la determinación de 0

H en

(4.J) el corrimiento medido por z, que representa la combinación del desplazamiento del espectro tanto por

causa de la variación de la masa inercial, como por la expansión cósmica. Como z es diferente de z�� entonces

por (4.J) medimos un valor 0

H diferente de la verdadera constante de Hubble 0

H

0 0

ˆ .z H t t� �

Para valores de t cercanos a 0t podemos desarrollar el coeficiente de inercia en series de potencia tomando

solamente los dos primeros términos

0 0 0 0 0 0t t t t t t t� � � � ��

llevando este resultado a (2.J) y por (4.J)

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1ˆ ˆ1 ,H t t z t t t t H H Ht

� � � �

� � � �

��

�

� � �

expresión que nos permite calcular la constante de Hubble 0

H a partir del valor 0

H que se deriva de la ley de

Hubble al no considerar la variación con el tiempo de la masa inercial.

Podemos aplicar (6.J), por ejemplo, al caso del modelo de Lemaître-Eddington cuando el Universo está en

traslación, entonces el cálculo numérico nos lleva al resultado

0

0 0

0

3.8; 1.7 2.23,�

� ��

��

con el valor establecido en (12.I) encontramos que la constante de Hubble 0

H ligada a la expansión cósmica es18 1

03.46 10 .H s� ��

lo anterior nos viene a decir que la variación de la masa inercial viene a producir un corrimiento hacia el azul,

lo que significa que estaría enmascarando una mayor velocidad de expansión cósmica, de aquí el aumento de la

constante de Hubble (7.J).

Ahora bien, este valor modifica el de 0

R y y por tanto los coeficientes de densidad en el momento presente,

lo que significa que también quedará modificado el factor de escala cósmica y por tanto el coeficiente de

inercia. Lo que significa que habrá que seguir un procedimiento reiterativo para obtener el valor definitivo de la

constante de Hubble debida a la expansión cósmica.

3-J. Efecto de la variación de la masa inercial en el movimiento gravitatorio

El movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio a nivel clásico viene descrito por la ley de gravitación

de Newton, de donde resulta

0 0

2

M mG m

r r� �

r

a

donde 0

M y 0

m son las masas gravitatorias del cuerpo central y del cuerpo que orbita respecto al anterior,,

mientras que m es su masa inercial que, como sabemos, depende del tiempo.

00 0

02 2 3 2 3

M t M tM mG t m G G

r r r r r r

� � � � � � � �

r r ra a a

entonces podemos entender que, para efectos del cálculo, hay una variación con el tiempo de la masa gravitatoria

del astro central.

Dos tipos de efectos podemos analizar de esta supuesta variación de la masa gravitatoria del cuerpo central.

Como la aceleración (8.J) tiene una lenta variación con el tiempo, la podemos entender como la aceleración

newtoniana más una aceleración perturbatriz. Esta aceleración debe producir perturbaciones en los elementos

orbitales del astro que está girando en torno a otro.

La otra consecuencia que se deriva de (8.J) es que el movimiento orbital difiere según la distancia a la que

se encuentre el sistema, es decir depende del momento cósmico en que se hace la observación. Cuando el

sistema orbital está muy alejado, la masa inercial del astro central, tiene un valor diferente del que tendría si

estuviera en una posición cercana, debido a que lo observamos en un tiempo atrasado, lo que trae consigo que

48

(4.J)

(5.J)

(6.J)

(7.J)

(8.J)



el movimiento orbital sea diferente en una u otra situación.

4-J. Perturbaciones orbitales producidas por la variación de la masa inercial

Para un pequeño intervalo de tiempo, que podemos estimar en algunos millones de años, la función t� se

puede desarrollar en serie de potencias tal que sea admisible la simplificación

2

0 0 0 0 0 0 0

1.... 1

2t t t t t t t t t t t� � � � ��

donde 0

t�� es una cantidad pequeña, 0t es el momento presente y suponemos

01t� � , entonces de (8.J)

0 0 0 0 0 00

2 2 2

1M t t t M t t tMG G G

r r r r r r

� �� r r r

a

� �

el primer sumando es la aceleración newtoniana y el segundo es la aceleración perturbatriz

0 0 0

2.

M t t tG

r r

��

rW

�

Para simplificar el cálculo y obtener una estimación de la magnitud del efecto perturbador ocasionado por

(9.J), vamos a suponer un satélite que gira con un excentricidad e pequeña, de tal forma que podemos despreciar

su cuadrado. Las perturbaciones de sus elementos orbitales son calculadas a partir de las ecuaciones de Gauss

2

2

2

2

2

2

2

2 1sin

1

1 1sin cos

1cos

1

1sin

sin 1

1cos 1 sin cos ,

1

r t

r t

n

n

r t

da a eeW W

dt rn e

de e rW W

dt na e ae

di rW u

dt ana ed r

W udt ana i e

d e r dW W i

dt nae dta e

�

� �

��

��

��

� � ��

��

��

�

� �� !

donde el significado de los términos es el siguiente: a es el semieje mayor, 2n T� es el movimiento medio, Tel periodo orbital, � es la anomalía verdadera o ángulo medido desde el pericentro de la órbita, r es el radio

vector, i es la inclinación de la órbita respecto a la eclíptica, � es la longitud del nodo ascendente de la órbita, �

es el argumento de latitud del perihelio o ángulo contado desde el nodo ascendente de la órbita hasta el pericentro,rW ,

tW , nW son las componentes radial, tangencial y normal de la aceleración perturbatriz.

Para el cálculo utilizamos la anomalía excéntrica ��definida por

1 cosr a e ��

resultando para el caso de una órbita kepleriana

2cos 1 sin sin 1 coscos ; sin ; ; .

1 cos 1 cos

e e e et dt d

e e n n

� � � � ��

� �

� � � ��

� �

La única componente de (9.J) es la radial

0 0 0

2,

rM t t t

W Gr

��

�

que nos permite determinar la perturbación del semieje mayor

0 0 0

22 2

22sin sin ,

1 1

rGM t e t tda

eWdt rn e n e

��

� �

�

lo que nos interesa es determinar el valor medio a lo largo de un periodo orbital

0 0 0

220

2 1sin

1

TGM t e t tdadt

dt T rn e

��

��

�

49

(9.J)

(10.J)

(12.J)

(13.J)

(11.J)



se aplica (11.J) y (12.-J) y sólo consideramos los términos que dependan lineamente de la excentricidad, por

tanto es suficiente considerar

sin ; ; ,d

t dtn n

� ��

con lo que se puede integrar (13.J) resultando

02 .

daae t

dt � �

De (10.J), despreciando los términos en segundo orden en e y utilizando el valor de la aceleración perturbativa

radial (9.J), nos queda

0 0 0

2

1sin sin ,

rM t t tde G

Wdt na na r

��

�

que al hallar su valor medio durante un periodo y utilizar la anomalía excéntrica por las ecuaciones (11.J) y

(12.J) llegamos a

01 .

dee t

dt � � �

Las restantes variaciones de los parámetros orbitales son nulas, como puede comprobarse de las ecuaciones

(10.J) y posteriormente hallar el promedio. Podemos hacer una estimación numérica. Por ejemplo, para la Luna

el semieje mayor es 83.84 10 m� y tiene una excentricidad de 0.0549, utilizando el resultado encontrado en 2-J

para un modelo cósmico de Lemaître-Eddington, podemos poner

0

0

1t

t� ��

donde 0

t es la edad presente del Universo que tomamos 18

010t s� . Haciendo la aplicación numérica en (14.J)

y (15.J) se tiene

0.13 ; 0,da de

m siglodt dt

� � �

la variación del semieje mayor es excesivamente pequeña y no se puede apreciar variación de la excentricidad

por efecto de la dependencia temporal de la masa inercial.

5-J. Movimiento de satélites

Consideremos, por ejemplo, dos sistemas idénticos formados por un astro central y un satélite, de iguales

características, uno de ellos situado en nuestras cercanías y el otro situado a distancia cósmica, desde donde es

observado.

La masa inercial de los cuerpos es diferente en uno u otro sistema. Mientras que la masa inercial del satálite

cercano coincide con la masa gravitatoria, la masa inercial del satélite del sistema lejano es la que tenía en el

momento atrasado, cuando el coeficiente de inercia era diferente que en la actualidad. De aquí se desprende

que los movimientos orbitales de uno y otro satélite son diferentes, a pesar de tener características idénticas.

Si suponemos para simplificar que las órbitas son circulares, es fácil hallar que el periodo orbital del objeto

lejano T con relación al periodo del sistema cercano 0T es

0T T t��

donde t es el tiempo atrasado.

Para sistemas situados a distancias no excesivamente grandes podemos hacer

0 01t t t t� ��

donde volvemos a considerar que estamos tratando con una teoría donde 0

1t� � ; por (4.J)

0

0

1z

t tH

� ��

� � �

siendo z el desplazamiento de las líneas espectrales debida a la expansión cósmica. Volviendo a (16.J) se

encuentra

0 0 0

0

1,

2

zT T T t T

H�

��" � � � � �

damos como ejemplo una estimación numérica tomando 0 0

1t t� �� , 0 0

1t H � y 0.1z�� entonces

50

(14.J)

(15.J)

(16.J)



00.05 ,T T �

un valor susceptible de ser medido.

6-J. Variación de la constante de gravitación universal

La primera ecuación (8.J)

0 0

02

M mG t m

r r��

r

a

la hemos interpretado como una variación de la masa gravitatoria del astro central 0

M . Pero cabría hacer otra

interpretación de (17.J) igualmente correcta: suponer que es la constante de gravitación universal la que varía

con el tiempo, de tal forma que cabe poner

0

0 0 01

GG t G t t t

t�

� � � � � �

�

aplicable para tiempos atrasados t cercanos al actual 0t ; donde

0G es la constante de gravitación universal en

el momento presente. De nuevo podemos hacer una estimación numérica, poniendo 0 0

1t t� �� y 0

0.9t t� ,

queda

0 00.9 0.9 .G t G�

La hipótesis de una constante de gravitación universal variable con el tiempo ya fue propuesta por Dirac en

1937 y ampliamente estudiada posteriormente (7). De (18.J) obtenemos que

0,

Gt

G��

��

si seguimos suponiendo 0 0

1t t� �� o bien

0 0

0 01

G GG t

t t t t� ��

� ��

y volviendo a suponer 0 0

1t t� �� entonces

0

02

GG t

t t�

� .

K.- CONCLUSIONES

1-K. Planteamiento

En nuestra investigación hemos identificado la fuerza de inercia con la fuerza de inducción gravitatoria

producida por el movimiento relativo y acelerado del conjunto del Universo. Por tanto, si un cuerpo está acelerado

respecto al Universo, entonces el Universo se encuentra acelerado respecto a dicho cuerpo. A causa de esta

aceleración el Universo induce una fuerza gravitatoria sobre el cuerpo, fuerza que identificamos con la fuerza de

inercia.

Aceptamos por tanto, que todo movimiento es relativo, por lo que sólo cabe entender el movimiento de un

cuerpo respecto a otros cuerpos, abandonando el oscuro concepto de espacio absoluto, que no solamente está

presente en la teoría newtoniana sino en la Relatividad Especial. Buscamos mostrar que la relatividad del

movimiento no sólo debe ser cinemática sino también dinámica.

Al razonamiento que hemos expuesto le llamamos principio de Mach y lo entendemos equivalente al principio

general de la Relatividad, que afirma que todos los sistemas de referencia (inerciales o no inerciales) son

equivalentes para la descripción de las leyes naturales.

En nuestra investigación hemos usado la teoría linealizada de la Relatividad General, que implica la existencia

de campos gravitatorios débiles. Si el Universo pasó por una época de alta densidad, como la que correspondería

al big bang, entonces nuestra teoría es inadecuada, pero aún así nos da indicaciones de sumo interés.

2-K. Las fuerzas inductivas no dependen de la velocidad

De nuestra investigación concluimos que las fuerzas de inducción gravitatoria producidas por el Universo no

dependen de su velocidad relativa, al menos en primer orden de aproximación, o sea el orden clásico. Esto

51

(17.J)

(18.J)

(20.J)



explica el resultado clásico de que sobre un cuerpo que se encuentre en movimiento uniforme y rectilíneo no

actúe fuerzas de inercia.

O bien, que un observador en un sistema de referencia inercial no detecta fuerzas de inercia, pues respecto

a este observador el movimento relativo uniforme y rectilíneo del Universo no produce fuerzas inductivas que,

como hemos dicho, identificamos con las fuerzas de inercia.

O dicho aún de otra forma, como un cuerpo en movimiento uniforme y rectilíneo no sufre fuerzas inductivas

del conjunto del Universo, no necesita que se le aplique fuerza para mantener su movimiento. Por tanto la no

dependencia de la velocidad de las fuerzas inductivas netas cósmicas explica también la ley de la inercia.

3-K. Las fuerzas inductivas dependen proporcionalmente de la aceleración

Hemos comprobado que las fuerzas inductivas producidas por el movimiento relativo del conjunto del Universo

sólo dependen de la aceleración relativa y es más, dependen linealmente. Como entendemos que las fuerzas de

inercia son las fuerzas inductivas del movimiento relativo del Universo, entonces lo anterior explica que la fuerza

de inercia sea proporcional a la aceleración del cuerpo sobre el que actúa.

O bien, esta proporcionalidad entre fuerza inductiva y aceleración explica la segunda ley de la dinámica

newtonian, que establece la proporcionalidad entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que adquiere.

Por lo expuesto en este y el anterior epígrafe concluimos que la dinámica se deriva de la cosmología. La

primera y segunda ley de la mecánica newtoniana son manifestaciones de la acción cósmica.

4-K. Los términos clásicos

Hemos comprobado que las fuerzas de inercia clásicas se obtienen de fuerzas inductivas gravitatorias

dependiente de 21 c , que al ser integradas sobre todo el Universo se reducen a términos de orden cero respecto

la inversa de c, el mismo orden que las fuerzas de inercia.

Existen términos de orden superior respecto a la inversa de c. Términos que darían lugar a fuerzas de inercia

de segundo orden o dependientes de 21 c . Estos términos, que no hemos calculado en nuestra investigación,

también servirían para comprobar la bondad de una teoría cosmológica en orden a explicar la física local.

5-K. Coeficiente de inercia

Llamamos coeficiente de inercia la relación existente entre la aceleración inducida por el movimiento acelerado

del Universo y la aceleración relativa del Universo (o la aceleración del cuerpo de prueba con respecto al

Universo). Si aceptamos que toda la inercia de un cuerpo es fruto de la interacción gravitatoria con el Universo,

entonces cabría definir el coeficiente de inercia como el cociente entre la masa inercial y la masa gravitatoria de

un mismo cuerpo. El coeficiente de inercia es una función universal, en el sentido de que es la misma para todos

los cuerpos, aunque tiene una variación con el tiempo, fruto del carácter dinámico del Universo.

Entendemos que la masa gravitatoria es una cualidad del cuerpo, no dependiente del tiempo. Pero el coeficiente

de inercia (y por tanto la masa inercial) depende del tiempo. En una teoría que explicara plenamente el origen de

la inercia por efecto cósmico debería cumplirse que el coeficiente de inercia en el momento presente fuese la

unidad.

6-K. El uso de la Relatividad General

En la investigación que hemos desarrollado utilizamos dos resultados de la Relatividad General, que se aplican

independientemente en la teoría desarrollada. Por una parte utilizamos las ecuaciones linealizadas de la Relatividad

General en orden a determinar las componentes del tensor métrico en la aproximación de campo débil. Por otra

parte utilizamos la teoría cosmológica (derivada de la teoría general de la Relatividad) para poder derivar la

variación con el tiempo de los parámetros de densidad, de la constante de Hubble y de la distancia propia desde

la que se emite la interacción gravitatoria que llega en un momento determinado al observador.

La unión de estos dos resultados nos permite determinar la aceleración inducida por el movimiento acelerado

del Universo.

7-K. Varios tipos de masas inerciales

Consideramos cuatro tipo de aceleraciones: la aceleración lineal, la aceleración normal de la rotación, la

aceleración tangencial de rotación y la aceleración de Coriolis. En la Física newtoniana para obtener las fuerzas

asociadas es necesario multiplicar las aceleraciones por la masa inercial.

Pero la cuatro aceleraciones inerciales antes señaladas, se producen por movimientos cósmicos diferentes.



Esto quiere decir que no es evidente que las masas inerciales asociadas a estas cuatro aceleraciones sean las

mismas.

Una teoría satisfactoria de los efectos de la inducción gravitatoria del Universo debe mostrar que las cuatro

masas inerciales (asociadas a cada una de las aceleraciones) es la misma, tal como es observado a escala local.

En nuestra teoría simplificada, encontramos que cada aceleración de inercia tiene asociado una masa de

inercia diferente, o dicho de otra forma el coeficiente de inercia para cada una de las cuatro aceleraciones es

diferente, lo que no es más que una muestra de la insuficiencia de la Relatividad General para incluir plenamente

el principio de Mach.

8-K. Insuficiencia de la Relatividad General

Los cálculos realizados en esta investigación son compatibles con la Relatividad General, tanto las obtención

de las ecuaciones diferenciales que permiten determinar los potenciales que generan las fuerzas inductivas,

como los modelos cosmológicos usados.

Ya hemos dicho que un Universo con big bang no se adpata a ser analizado con la teoría linealizada y por ello

nuestra teoría es limitada. Pero dentro de la Relatividad General podemos imaginar modelos cósmicos cuyos

efectos se puedan explicar mediante la teoría linealizada. Pero aún en este caso encontramos el defecto señalado

en el epígrafe anterior, es decir que la masa inercial es diferente según cual sea la aceleración inercial.

Ese severo inconveniente nos muestra que la Relatividad General es insuficiente para explicar plenamente

las fuerzas de inercia. Es cierto que informa de la existencia de fuerzas inductivas con una intensidad adecuada

para poderlas identificar con la fuerzas de inercia, pero no logra explicar la identidad de las cuatro masas

inerciales a las que antes hemos hecho referencia. Esta es la principal dificultad de la teoría que hemos presentado.

Aún teniendo en mente las limitaciones de nuestra teoría, se advierte las dificultades de un modelo con big

bang para explicar la masa inercial de un cuerpo por influencia cósmica. La fuerza inductiva producida en las

primera etapas de este Universo debe ser muy intensa y por tanto no parece corresponder a la fuerza de inercia.

Para evitar este problema del big bang hemos aplicado nuestra teoría a otros modelos cósmicos, como el

Universo estático de Einstein o al modelo de Lemaître-Eddington, los cuales no pasan por un big bang. Al menos

con estos modelos las integraciones se han podido evaluar y sus resultados han sido, al menos, del orden de la

unidad.

9-K. Participación en la formación de la masa inercial por las diversas épocas cósmicas

La interacción gravitatoria que llega en un determinado momento a un cuerpo es la suma de las acciones

gravitatorias producidas en todos los lugares del Universo. Estas interacciones se producen en lugares diferentes,

unos en lugares más cercanos y otros en sitios más alejados. O dicho de otra forma, las interacciones gravitatorias

que llegan en un momento determinado a un cuerpo fueron originadas en épocas diferentes, en tiempos más

remotos las acciones que nacieron en posiciones cósmicas más alejadas y viceversa.

Esto viene a significar que en la formación de la masa inercial de un cuerpo va a intervenir, no solamente todo

el Universo, sino todas las épocas cósmicas.

En nuestra investigación simplificada hemos obtenido el porcentaje de participación de las diferentes edades

del Universo en la generación de la masa inercial de un cuerpo. Comprobamos que esta participación es muy

elevada en los primeros momentos del Universo, a causa de su elevada densidad de energía y además porque la

acción gravitatoria que nos llega del comienzo del Universo procede de mayor cantidad de energía. Nótese que

ambas causas, aunque producen el mismo efecto, son diferentes, mientras que la primera está relacionada con

el modelo cósmico, la segunda es resultado de la acción retardada de la interacción gravitatoria.

También comprobamos que las épocas más recientes contribuyen escasamente a la generación de masa

inercial, debido a que sólo la materia más cercana interviene en este proceso y esta materia es poca al estar

encerrada en una esfera de escaso tamaño y porque la densidad de energía en las épocas cercanas a las

actuales es pequeña si se compara con las del inicio del cosmos.

10.-K. No existe inducción gravitatoria causada por la expansión cósmica

La expansión cósmica (o eventualmente la contracción cósmica) es un movimiento del sustrato cósmico, y

si bien las coordenadas de los objetos del cosmos son inalterables al ser comóviles, existe una variación de su

distancia propia a consecuencia del incremento del factor de escala cósmico.

Esta expansión produce inducción gravitatoria. No obstante, dada la propiedad de isotropía requerida por el

principio cosmológico, demostramos que el efecto neto del conjunto del Universo a consecuencia de la expansión



es nulo y por tanto no participa en la generación de inercia.

11-K. El principio de Mach nos permite obtener información cósmica a partir de fenómenos locales

Cualquier teoría satisfactoria de campo gravitatorio debe contemplar efectos de inducción, es decir gravedad

producida por el movimiento de la fuente del campo. Y aunque cabe esperar que esta fuerza inductiva sea muy

pequeña, al sumar sus efectos sobre todo el Universo, se obtiene una inducción de orden cero, es decir una

fuerza clásica. Por este razonamiento cabe esperar que la teoría gravitatoria correcta debe satisfacer al principio

de Mach.

Desde el mismo inicio del Universo se emite la interacción gravitatoria que como hemos dicho tiene el efecto

de producir inercia. Esto quiere decir que el principio de Mach es un procedimiento que nos permite obtener

información de todas las épocas cósmicas, incluida el inicio del cosmos, a partir de información exclusivamente

local.

El principio de Mach se convierte en una prueba que debe superar una teoría de campo gravitatorio, en el

sentido de que debe explicar el origen de la inerciay que supone una severa condición a cumplir por el modelo

cosmológico

12-K. Variación de frecuencia de las líneas espectrales

Si la masa inercial de todos los cuerpos varía con el tiempo, cabe esperar que por esta circunstancia varíe la

frecuencia de una determinada línea espectral. Esto trae importantes consecuencias, pues el corrimiento observado

de las líneas espectrales de origen cósmico, no sería imputable exclusivamente a la expansión del Universo, sino

también a la variación de la masa inercial de los electrones que producen las líneas espectrales.

La principal consecuencia de la anterior consideración es que habría que replantear los parámetros cósmicos,

que en la actualidad son calculados suponiendo que el desplazamiento de las líneas espectrales tiene como única

causa la expansión cósmica. Al hacer la corrección del desplazamiento hacia el rojo y aplicarla a la ley de

Hubble, encontramos un valor diferente de la constante de Hubble usual. Con este nuevo valor cabe volver a

aplicar nuestra teoría y obtener una nueva corrección y así seguir un proceso reiterativo que permita ir afinando

el valor de la constante de Hubble en el momento actual.

Naturalmente, todos los restantes parámetros cósmicos que se encuentren relacionados con la constante de

Hubble tendrán que ser igualmente modificados.

13-K. Efecto de la variación de la masa inercial en los movimientos locales

La variación ya señalada de la masa inercial de todos los cuerpos, debe tener efectos medibles en las órbitas

de los movimientos locales, ya sea en la rotación galáctica o en los movimientos planetarios. Hemos considerado

las perturbaciones planetarias que se producen por causa de la variación de la masa inercial de un satélite,

comprobando que se da una variación del semieje de su órbita, pero excesivament pequeño para ser medido.

Otro fenómeno que hemos estudiado es la rotación de satélites en sistemas idénticos pero situados en lugares

difrerentes: uno cercano y el otro a distancia cósmica. Hemos comprobado que hay una variación del periodo

orbital de la suficiente intensidad para ser medible.

14-K. Variación de la constante de gravitación universal

El efecto que tiene la variación de la masa inercial con el tiempo en el movimiento de cuerpos en un campo

gravitatorio, puede plantearse como equivalente a la variación con el tiempo de la constante de gravitación

universal, tal como en numerosas ocasiones se ha planteado.

15-K. Velocidades superlumínicas

El movimiento relativo de rotación del cosmos, implica la aparición de velocidades muy superiores a la velocidad

de la luz. Esto parece contradecir los fundamentos de la Relatividad, pero esto no es así. El mo lleva movimiento

al unísono de todo el cosmos, como consideramos en la rotación relativa del Universo, no contradice a la

Relatividad en cuanto este movimiento no lleva «información» de un punto a otro a una velocidad mayor que la

de la luz, lo cual alteraría el principio de causalidad.

16-K. Conclusión final

En este trabajo hemos identificado la fuerza de inercia con la fuerza inductiva que ejerce el movimiento

relativo del conjunto del Universo. Para el cálculo de la fuerza inducida hemos utilizado la teoría linealizada, lo



que limita su aplicación a campos débiles.

Hemos comprobado que la fuerza inductiva es de suficiente intensidad para poder identificarla con la fuerza

de inercia. No obstante, para llevar a cabo esta identificación es determinante el modelo cósmico elegido. Es

decir, el principio de Mach como lo hemos definido, impone una restricción al modelo cósmico. En particular la

acción del big bang genera una fuerza muy superior a la observada. Por tanto el modelo cósmico debe ser uno

sin big bang (o al menos sin singularidad en el momento inicial), o bien que la intensa interacción gravitatoria

producida en el big bang no intervenga en la formación de la masa inercial.

APÉNDICE A: Potenciales retardados

A1. Potenciales retardados

La ecuación de campo linealizada (2.C) es

2

*2ij

ijk

k

hT

x x�

��

� �

donde los diversos términos que aparecen son definidos en el epígrafe 1-C. La componente 0,0 de(A1) es

2 2

200 00

2 2

1,

h hc

x x c t�

�

��

� ��

limitándonos al segundo orden respecto a la inversa de c de 00h nos queda

2 2

2 2

14 .G

x x c t�

�

� �

� ��

� � �

donde �es el potencial escalar gravitatorio.

Vamos a calcular el potencial creado por un elemento de volumen de masa dm, cuya densidad se puede

poner como

dm t� � �� r

donde hemos elegido un sistema de coordenadas centrado en el elemento de masa. �r es el vector que va desde

el origen de coordenadas al punto del campo. � �r es la función delta de Dirac, que es nula en todo punto

menos en 0� �r , por tanto

dV dm t dV dm t� �� r

donde la integración es sobre el volumen ocupado por el elemento de masa. Por lo anterior la ecuación de campo

(A2) queda

2 2

2 2

14 Gdm t

x x c t�

�

� ��

� ��

� �� r

��es el potencial creado por dm, hay que observar que la derivación espacial es respecto a �r . En todo punto

del espacio excepto en 0� �r se cumple

2 2

2 2

10.

x x c t�

�

� ��

� � �

Como �tiene simetría esférica es conveniente usar coordenadas esféricas para expresar la ecuación (A4)

2

2

2 2 2

1 10r

r r r c t

� �� para resolver esta ecuación hacemos

,r t

r

��

��

�por lo que obtenemos de (A5)

2 2

2 2 2

10

r c t

� ��

�� que es la ecuación de ondas planas, que tiene como solución general

55

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)



1 2,

r rf t f t

c c�

� ��

� � � �como buscamos una solución particular de (A4) elegimos

20f � entonces

1

rf t

c�

��

� �Para determinar la función � debemos observar que debe satisfacer a la ecuación (A3) en el origen. Sabemos

que cuando 0� �r tiende a infinito, esto quiere decir que sus derivadas espaciales varían más rápidamente que

las temporales, razón por lo que podemos despreciar la derivada temporal en (A3), quedando

2 4 Gdm t� � � �� r

válida cerca del origen, la anterior ecuación tiene como solución

dm tG

r� ��

�entonces por (A6) y (A7) nos queda para posiciones alejadas del origen de coordenadas la solución particular

.

rdm t

cG

r�

��

� ��

Para obtener la solución general de (A3) le sumamos a la solución particular la solución general 0

� de la

ecuación homogénea. �r es la distancia del punto fuente al punto del campo. t es el momento de la llegada de la

interacción gravitatoria al punto del campo, por tanto t r c� es el momento de la emisión de la interacción por

el punto fuente.

Como último paso, hay que integrar (A8) para todo el espacio ocupado por la fuente

1dm r cG dV

r�

��

��dV � es el volumen ocupado por la fuente en el instante retrasado.

Se extiende el resultado (A9) para el otro potencial escalar �y para el potencial vector A.

A2. Potenciales de Liénard-Wiechert

La solución (A9) es válida para el sistema de referencia donde se encuentra en reposo la fuente. Llamamos

a este sistema 0

K . Lo que pretendemos es determinar el potencial gravitatorio en el sistema de referencia K que

se mueve respecto a 0

K . O sea, K es un sistema respecto al cual la fuente de campo se está moviendo.

Vamos a considerar la ilustración A1. El punto del campo P se encuentra en el centro de una concha esférica

de fuente gravitatoria. El elemento de volumen dV � tiene un espesor dr� y una superficie dS � y se mueve con

una velocidad u.

Queremos saber la interacción gravitatoria que llega al punto P entre los instantes t y t dt� . La interacción

que se encuentra en la cara A del elemento de volumen dV � llega a P en el instante t. La parte de la fuente que

se encuentra en la superficie B del elemento de volumen se mueve con velocidad r��u r hacia el centro de la

esfera, y en el intervalo de tiempo dt ha recorrido la distancia r dt��u r , entonces el volumen de masa que

interacciona entre t y t dt� con el punto P no es dV dS dr� � �� sino es una cantidad menor

56

A

B

P

�r

Ilustración A1.

(A7)

(A8)

dV �

(A9)



dS dr dS dt dV dS dtr r

� ��

� �

u r u r

entonces la masa dm que interacciona con P es

dm dV dS dtr

��

� ��

u r

donde el corchete significa que se trata de valores atrasados. Como

1 ,dr dr

c dm dV dS dV dV dVdt r c cr cr

� � � � ��

u r u r u r

entonces

1

dmdV

cr

� � ��

��

u r

por tanto el potencial escalar producido por el elemento de fuente dm es

dm dmG G

src

� � � � ��

� �u r

donde hemos definido

.s rc

��

u r

A (A10) se le llama potencial de Liénard-Wiechert. Fórmulas similares se encuentran para los potenciales

y A y son válidas en el caso de que la fuente se encuentre en movimiento.

A3. Relaciones entre vectores

En vector σ es el que va desde el origen de coordendas hasta el punto fuente. El vector �r es el que va del

punto fuente al punto del campo. Finalmente, el vector r va del origen al punto del campo. Por tanto

.�� r σ r

Si x� son las coordenadas del punto del campo, que suponemos fijo, entonces tendremos

.x��r r

x �� son las coordenadas del punto fuente en su posición retrasada, es decir la posición en el momento de emitir

la interacción gravitatoria, entonces

x t�� σ σ

siendo t� el tiempo atrasado y t el tiempo actual, es decir el correspondiente a la llegada de la interacción al

punto del campo, por tanto

, , , .x x x x t x t� � � � �� r r r r

Como la señal gravitatoria viaja a la velocidad de la luz se cumple

.r c t t� ��

por otra parte tenemos

d d

dt dt

��

� �

r σ

u

u es la velocidad de la fuente en el momento atrasado.

A4. Relación entre las derivadas temporales

El potencial (A4) y los otros potenciales � y A, están en función de x� y t� . Las derivadas temporales que

necesitamos son con respecto al tiempo actual t. Esto significa que tenemos que relacionar las derivadas temporales

respecto a t� con las respecto a t.Sea la función ,f x t� � entonces

f f t f x f t t

t t t x t t t t t t

�

�

� � ��

� � ��

57

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)



donde hemos tenido en cuenta que x� no depende del tiempo.

Por (A11)

1r t

ct t

� ��

� �� al aplicar (A13) a r �

r t r

t t t

� � � �

� igualando (A14) y (A15)

1.

11

t

rt

c t

��

��

De la identidad

2 2r� ��r

obtenemos derivando respecto al tiempo y teniendo en cuenta

r

t r

� � ��

� �

u r

llevando este resultado a (A16) se encuentra

1

1

t

t

cr

��

��

u r

que al sustituirla en (A13)

1

1

r

t t s t

cr

��

��

u r

que es la expresión que íbamos buscando que nos relaciona las derivadas temporales.

A5. Cálculo de la divergencia

Ya hemos dicho que los potenciales retrasados están en función de x� y t� , pero la divergencia es respecto

a las coordenadas x� en el instante de llegada de la interacción gravitatoria t, es decir lo que buscamos son

derivadas del tipo

, ,

,y z tx

� ��

que deben ser puestas en función de derivadas del tipo

, ,

.y z tx

�

� ��

Sea la función ,f x t� � entonces utilizando coordenadas cartesianas tenemos

, , , , , , , ,y z t y z t x y z y z t

f f f fdf dx dy dz dt

x y z t

df f f dy f dz f dt

dx x y dx z dx t dx

df f f dt

dx x t dx�

� � � ��

��

��

��

��

y fórmulas similares para las restantes coordenadas. Los resultados los podemos reunir

.tt

��

��donde � se calcula sobre las coordenadas x� tomando t como constante, mientras que �� se calcula igualmente

respecto a las coordenadas x� pero tomando constante t� .

Ahora necesitamos calcular t�� . Para ello vamos a aplicar (A18) a la función ,r x t��

58

(A14)

(A15)

(A16)

(A17)

(A18)

(A19)



59

r rr r t t

t r t

� � � � � � � ��

� � �

r

de (A11) se obtiene

r c t� ��

utilizando (A17) y (A21), (A20) queda

tcs

��

r

resultado que llevamos a (A19), obteniendo

,cs t

� ��

��

r

que es el resultado que íbamos buscando.

A6. Cálculo de la divergencia de 1 s

Al hallar la divergencia de (A9) tenemos que calcular la divergencia de 1 s para lo que tenemos que usar

(A22)

2 2

1 1 1 ss s

s s s cs t

� ��

r

derivando por partes encontramos

2

s rc r c

s r u

t t c c t r c c

� ��

� � � � ��

� � � ��

� �

u r r u

u r u r u r u r

que al sustituirlo en (A23) obtenemos

2

2 2 3 2 3 2 3

1,

� � � ��

� ��

r r u r r ur u r� u

s s r cs cs r c s c s

APÉNDICE B: Cosmología

B1. El principio cosmológico

El principio cosmológico afirma que el espacio a escala cósmica es homogéneo e isótropo. Con homogeneidad

se entiende que en dimensiones cósmicas todos los observadores ven el Universo con las mismas características,

no existe por tanto ningún lugar especial en el Universo, todos sus puntos son equivalentes en cuanto a la

observación cósmica.

Con isotropía queremos significar que el observador ve en todas las direcciones el Universo con las mismas

propiedades, no existe, por tanto, ninguna dirección privilegiada.

Pero el principio cosmológico implica algo más y es que la dinámica cósmica debe ser de tal forma que se

mantega las propiedades de su geometría espacial.

Exclusivamente con la ayuda del principio cosmológico podemos obtener el elemento de línea espacio-temporal

que gobierna el Universo.

B2. El elemento de línea y la isotropía del espacio

En general el elemento de línea espacio-temporal se descompone según

22 4 4

44 42

� �� ds g dx g dtdx g dx dx

donde los índices griegos van de 1 a 3, es decir identifican coordenadas espaciales y los índices latinos van de 1

a 4. Si usamos coordenadas esféricas, la isotropía del espacio indica que las componentes del tensor métrico no

pueden depender de las coordenadas angulares �� y �, por tanto sólo pueden tener la dependencia ( , )�ik ik

g g r t ,

donde r es el módulo del vector de posición r. Además, las formas diferenciales que multiplican en (B1) a las

componentes del tensor métrico tienen que ser invariantes frente a rotaciones.

(A20)

(A21)

(A22)

(A23)

(A24)

(B1)



Los invariantes rotacionales relacionados con las diferenciales de las coordenadas son �r rd d y �r rd ,

puesto que son productos escalares que quedan invariantes frente a rotaciones. Por tanto el elemento de línea

(B1) queda

2 22 4 4, 2 , , , ,� � � � � � �r r r r r rds A r t dx B r t d dx C r t d D r t d d

si utilizamos coordenadas esféricas tenemos

22 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

, 2 , , , sin ,� � � � � � � �ds A r t dx B r t rdrdx C r t r dr D r t dr r d r d

donde hemos tenido en cuenta � �r rrdr d .

B3. Eliminación del término cruzado

El término cruzado espacio-temporal se puede eliminar con una adecuada transformación de coordenadas

4 4, , ,� � � � �dx r t A r t dx B r t rdr

donde ,� r t es un factor integrante, que suponemos que existe, que hace que la expresión de la derecha de

(B3) sea una diferencial exacta, es decir que su integral sólo dependa de los límites de integración y no del

camino de la integración.

Despejando 4dx en (B3) y sustituyendo en (B2) se obtiene

2 4 2 2 2 2 2 2 2

1 2, , , sin� � � � � �� ds r t dx r t dr r t dr r d r d

donde hemos quitado la prima en la coordenada temporal. (B4) es una expresión general del elemento de línea

para el caso de un espacio isotrópico.

B4. Elemento de línea y homogeneidad

Ahora vamos a aplicar la propiedad de homogeneidad del espacio, que nos va permitir definir un tiempo

cósmico.

El tiempo propio de un fenómeno, o sea, el tiempo medido por un reloj que permance en reposo respecto al

fenómeno que mide, es dado por

, ��d r t cdt

si este fenómeno es observado en cualquier otro lugar del Universo, se medirá el mismo intervalo de tiempo,

dada la equivalencia de todos los puntos tal como se desprende de la homogeneidad del espacio, es decir

� � ��d d

para el mismo fenómeno con independencia del punto de observación. Lo anterior significa que � no puede

depender de la coordenada r, por tanto sólo puede depender del tiempo coordenado.

Si hacemos un cambio de la coordenada temporal definido por

�� t t dt

encontramos que el elemento de línea es dado por

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2, , sin ,� � � � �� ds cdt r t dr r t dr r d r d

donde el tiempo medido por la coordenada t se le llama el tiempo cósmico.

B5. Principio cosmológico y dinámica cósmica

El principio cosmológico exige que la evolución cósmica debe ser tal que mantenga las características

geométricas del Universo. Esto significa que los coeficientes que aparecen en (B5) cumplen la relación funcional2

1 1

22 2

,

, ( )

� �

� �

�

�

r t R t r

r t R t rlo que viene a significar que la geometría espacial venga dada por el elemento de línea

2 2 2 2 2 2 2

1 2sin� � � � � �d r dr r r d r d

que con independencia del tiempo mantiene las mismas propiedades geométricas, o sea estas propiedades no

dependen del instante considerado. A la función R t se le llama factor de escala cósmico y como veremos

determina la evolucion cósmica.

60

(B2)

(B3)

(B5)

(B4)

(B6)



Por una adecuada transformación de coordenadas (B6) cambia a

2 2 2 2 2 2 2sin .� � � � � �d a r dr r d r d

Vamos de nuevo a utilizar la homogeneidad del espacio, por la cual la curvatura del espacio tiene el mismo

valor en cualquir punto del espacio. La curvatura escalar del espacio aplicado al elemento de línea (B7) es

2 2 2

2 2 2��

aR

ra r aro bien

2

2 11

� � ��

� � �R r

ardonde la prima significa derivación respecto a r. Despejando la función a

2

1

11

6

��

aA

Rrr

donde el parámetro A es una constante de integración que tiene que valer cero para evitar la singularidad en el

punto 0�r . Redefiniendo la constante k

2

1

1�

�a

Rrcon lo que el elemento de línea espacial queda

2

2 2 2 2 2 2

2sin ,

1� � ��

�

drd r dr r d

Rry el elemento de línea espacio-temporal

22 2 2 2 2 2 2 2

2sin .

1 �

��

drds c dt R t r dr r d

Rr

Como último paso vamos a normalizar la curvatura escalar haciendo la transformación

� ��

Rr r

kdonde k� puede tomar los valores +1, -1 o 0, entonces el elemento de línea queda finalmente

22 2 2 2 2 2 2 2

2sin

1 �

��

drds c dt R t r dr r d

kr

donde hemos quitado las primas para simplificar. (B8) es el elemento de línea buscado, llamado de Robertson-

Walker y que hemos obtenido aplicando el principio cosmológico.

B6. Corrimiento de las líneas espectrales

Se le llama corrimiento hacia el rojo a

e ob

ob

z� �

�

��

siendo e

la frecuencia con la que fue emitida la radiación procedente de una galaxia y ob

la frecuencia con

la que es medida por el observador en la Tierra. Con carácter general el desplazamiento hacia el rojo es

1ob

e

R tz

R t� �

donde obt es el momento de la observación de la señal y

et el momento en que fue emitida.

B7. Ecuaciones de Friedmann

Al aplicar las ecuaciones de Einstein al elemento de línea de Robertson-Walker se obtienen las siguientes

dos ecuaciones que permiten determinar el factor de escala cósmico

2 2 2 2 28 1

3 3

GR kc R c R

��

61

(B7)

(B8)

(B9)



2 2

2

4 13 .

3 3

GR c p R c R

c

��

donde el punto significa derivación respecto al tiempo cósmico t. � es la densidad propia de energía de lamateria y de la radiación (es decir la densidad respecto al volumen propio), p es la presión de la radiación y �es la constante cosmológica.

B8. Ecuación de conservación

En relatividad general la ecuación de conservación de la energía-momento toma la forma

0.ik

kD T �

Suponemos que el sustrato universal corresponde a un fluido perfecto, por tanto el tensor energía-momento es

2 .ik i k ikT p c u u pg��

Teniendo en cuenta: que la derivada covariante del tensor métrico es nula, que la derivada de un escalar es igual

a su derivada parcial, que el tensor de energía-momento es simétrico y que la materia que forma el sustrato

cósmico es comóvil, es decir que 0u c� y 0u� � , se encuentra

2 2

0 0

10

pg p c c

x xg�

� � � � � � ��

como 3 2 2sin 1g R t r kr�� la ecuación de conservación queda

3 3 2.

dp dR t R t c p

dt dt� � ��

Debemos de señalar tres situaciones especiales. En la primera de ellas predomina la materia en forma de

polvo, lo que significa que es nula la presión ejercida. Al aplicar la ecuación (B10) se encuentra la variación que

experimenta la densidad de materia a medida que varía el factor de escala cósmico

3 .M R t� ��

En el caso de que en el Universo predomine la radiación de cuerpo negro, la relación entre su presión y

densidad de energía es dada por

21

,3

R Rp c��

por tanto de (B10) se obtiene la evolución de la densidad de energía de la radiación

4 .R R t� ��

Si fuera el vacío quien predominara, tendríamos (tal como veremos más adelante) que su densidad de energía

está relacionada con la presión que ejercería por

2,V Vp c��

por tanto de (B10) se llega a que la densidad de energía del vacío permanece constante con independencia de

la variación del factor de escala cósmico.

B9. Constante de Hubble y parámetro de desaceleración

Se define la «constante» de Hubble por

R tH t

R t�

�

y el parámetro de desaceleración por

2.

R tq t R t

R t� � ��

�

B10. Presión y densidad de energía del vacío

La ecuación de campo de Einstein en presencia de término cosmológico toma la forma

1 1

2 2ik ik ik ik ik ik ikR Rg g T R Rg T� ��

considerando que el sustrato universal es un fluido perfecto

62

(B9)

(B10)



2

ik ik ik i k ikT T g p c u u pg��

��

entonces

2; p p

c� �

� �

� ��

donde � y p son la densidad de energía y la presión de la materia y de la radiación. Las últimas igualdades hay

que entenderlas como la existencia de una energía y presión asociada a �, aún en el caso de que no exista ni

materia ni radiación, es decir, es necesario asociar al vacío la densidad de energía

2

28

V

c

c G�

� �

� ��

y la presión

2.V Vp c��

B11. Definición de los parámetros de densidad

Se definen los parámetros de densidad de la materia, de la radiación, del vacío y de curvatura por las

relaciones (8), (9)

2 2

2 2 2 2 2

8 8; ; ; ,

3 3 3M M R R k

G G c kc

H H H H R

� ��

�

��

que dependen de la edad del Universo. De las anteriores definiciones se deduce

; .M M c R R c V V c

� � � � � ��

donde c� es la densidad crítica definida por

23

.8

c

H

G�

��

De la primera de las ecuaciones de Friedmann (B9) se encuentra la relación

2 2

2

2

8.

3 3

G kc cH

R

��

��

con � se representa la suma de las densidades de energía de la materia y de la radiación. La anterior ecuaciónse transforma en

1.M R k��

Podemos despejar la densidad y la presión (se entiende presión y densidad de la materia y de la radiación,

excluida la del vacío) de las ecuaciones de Friedmann (B9), entonces tendríamos las ecuaciones2 2 2 2 2

2 2

2 2

3; 1 2 .

8 3 8 3

kc c c kc cH p q H

G R G R�

� �

� � � ��

� � �

B12. Ecuaciones cosmológicas

Teniendo en cuenta que la densidad de energía es la suma de la debida a la materia y a la de la radiación,

tenemos3 4

0 0

0 03 4M R M R

R R

R R� � � � ��

por tanto la primera de las ecuaciones cosmológicas (B9) queda3 4 2 2

2 0 0

0 03 4 2

8 8.

3 3 3M R

R RG G c kcH

R R R

� ��

��

que se transforma a2 3 4

2 0 0 0 2 0 20 0

0 02M R k

R RdRH R R

dt R R �

� ��

� � � �donde los parámetros de densidad son calculados para el tiempo actual

0t . Introduciendo el factor

0a R R�

2 0 0

2 0 2 0

0 2

M Rk

daH a

dt a a �

� ��

� � � �



o bien

2

2 0 0 0 2

0 2

1 11 1 1 1 .M R

daH a

dt a a �

� � � � � ��

� � � � � � �De la anterior expresión se obtiene el factor de escala cósmico para un momento t cualquiera mediante

01 2

0 0 0 2

2

0 0

1 1 11 1 1 1 ,

R R

M Rt a da

H a a

�

�

� � � ��

� � � � ��

si introducimos una nueva variable 0

t t� � donde 0t es el tiempo actual o edad presente del Universo, podemos

poner

01 2

0 0 0 2

2

0 0 0

1 1 11 1 1 1

R R

M R a daH t a a

�

�

� � � ��

� � � � ��

de donde se obtiene la función .a a � Para calcular la edad del Universo en la actualidad aplicamos lafórmula

1 21

0 0 0 2

0 2

0 0

1 1 11 1 1 1 .

M Rt a da

H a a

�

�

� � � ��

� � � � ��

Tomemos como ejemplo un Universo caracterizado por 0k � , 00.7

�� y 0

0.0002R� � . A pA partir de (B14)se calcula la edad de este Universo en función de la constante de Hubble para el momento actual, resultando

B13. Distancia luminosidad

Supongamos un objeto galáctico con una luminosiad absoluta L, que representa la energía que emite por

unidad de tiempo. Sea l la luminosidad relativa, es decir, la energía que llega al observador por unidad de tiempo

y unidad de área. Si el espacio fuera euclídeo, Ld representaría la distancia a la que se encuentra el objeto y se

cumple

2,

4 L

Ll

d��

en un espacio curvo (B15) será la expresión que define lo que llamaremos distancia de luminosidad. Vamos a

suponer que el objeto galáctivo emite fotones de igual frecuencia e

, entonces el número total de fotones

emitidos en un intervalo de tiempo et es

e

e

L tN

h

�

��

donde h es la constante de Planck. El área de una esfera centrada en el objeto luminoso y que pasa por el

observador en el instante de llegada de los fotones en el tiempo 0

t , se obtiene a partir del elemento de línea de

Robertson-Walker

2 2

04 ,A R r��

donde 0

R es el valor del factor de escala cósmica en el momento de la observación, que suponemos es el

momento presente. Para la deducción anterior hemos tenido en cuenta que el objeto galáctico se encuentra en

una posición con coordenadas fijas.

Consideremos una onda electromagnética que viaja en la dirección radial, desde la posición er r� al origen

0r � . La ecuación de movimiento de, por ejemplo, una cresta de esa onda es dada por el elemento de línea de

Robertson-Walker

2

2 2 2

20 ,

1

drc dt R t

kr� �

�si la onda sale de una galaxia localizada en las coordenadas , ,r � � en el instante

et , entonces llegará en el

instante obt donde es observada, por tanto

2

0 1

ob e

e

t r

e

t

dt drc f r

R t kr� �

��

donde hemos tenido en cuenta que la onda se acerca al origen. La siguiente cresta de la onda sale en el instante

e et t�� llegando al orien en el momento ob obt t� , como la posición de la galaxia es la misma por ser comóvil

y ef r no depende del tiempo tendremos

64

(B11)

(B12)

(B13)

(B14)

(B15)



0ob ob ob

e e e

t t t

t t t

dt dt

R t R t

�

�

�

�

� ��

de donde se deduce

e ob

e ob

t t

R t R t

� ��

donde se ha tenido en cuenta que tanto el emisor como el receptor se encuentran inmóviles. Como et y

obt

representan el periodo de las ondas emitidas y recibidas, entonces

0

1 .eh

zh

�

��

Con los resultados anteriores se obtiene que la luminosidad relativa o aparente es

0

22 2

0 0

.4 1

Nh Ll

A t R r z

�

��

�

Si definimos la distancia de luminosidad por la relación (B15) se encuentra

01Ld R r z� �

que es la fórmula que se utiliza para encontrar la relación entre la magnitud aparente de una galaxia y sudesplazamiento hacia el rojo.

B14. Relación entre el módulo de distancia y el desplazamiento hacia el rojo

Por la definición de magnitud absoluta como la magnitud estelar que tendría un objeto si estuviera situado a

una distancia de 10 parsec, se encuentra que el módulo de distancia m M (m es la magnitud relativa y M la

magnitud absoluta) está relacionada con la distancia por

05log 25 5log 5log 25,L Lm M d D H� � � � � �

Ld es medida en megaparsec,

0L LD H d� y

0H es la constante de Hubble en el momento de observación,

normalmente expresada en las unidades 1 1kms Mpc� � . En vez de la magnitud absoluta se prefiere la magnitud

de punto cero, definida por

05log 25M H� �M

agrupando de esta manera los dos parametros M y 0

H , entonces la relación (B17) queda

5log .L

m D� �M

Para obtener la relación entre el módulo de distancia y el desplazamiento hacia el rojo, es necesario previamente

hallar la relación existente entre la distancia de luminosidad y z, para lo que utilizamos la relación (B16) donde

debemos poner su segundo miembro en función de z.

Por definición de k�

2

0 0 0 0 0

0 01

k M R

c kc c kR

H H�

� ��

� ��

válida siempre que 0k � . 0

H y 0

k� son los correspondientes valores en el momento de la observación.

Para un rayo que proceda de una galaxia en la posición r que salió en el momento et y que llegó a la posición

del observador 0r � en el momento 0t

0 0

1 1

1 21 1

0 0 0 2 1

22

0 0 00 1 1

1 11 1 1 1 .

1e e

t Rr

M R

t R z z

dr dt dR c da cc c a a da

R t RR R aa R H a akr � �

�

�

�

� �

� � � ��

� � � � ��

Poniendo la integral del segundo miembro en función de z y resolviendo la integral del primer miembro, queda al

aplicar (B16)

1 2

2 20 0 0

00

11 1 2 1 2

z

L M R

c zd z z z z z z z dz

H�

�

�

�

� �� # # � � � � � � � �� # # !

�S

cuando k es positivo sinx x�S y 0 0 0

1 M R��

� �� ; si k es negativo sinhx x�S y k es igual que

antes; finalmente si 0k � entonces x x�S y 1� � .

Ya estamos en condiciones de expresar la magnitud relativa de un objeto galáctico de magnitud de punto

cero M en función del desplazamiento hacia el rojo para el caso en que se desprecie el efecto de la radiación

65

(B16)

(B17)



1 2

2 0 0

0

5

1log 1 1 2 ,

z

M

c zm z z z z z dz�

�

�

��

� �� # # ## � � � � �� # # ## ! !

�M S

c tiene que venir expresada en 1kms� si 0

H viene en 1 1kms Mpc� � . El parámetro M , al igual que los parámetrosde densidad, se obtiene ajustando los datos observacionales. Esto se puede conseguir utlizando exclusivamentepara el ajuste los pequeños valores de z o bien usar tanto los pequeños como los grandes valores de z. En elcaso de usar como referencia las supernovas del tipo Ia entonces 3.17� �M .

L.- BIBLIOGRAFÍA

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