Logicamatematica sicomputat ionalaCursulIClaudiaMURESANcmuresan11@yahoo.comUniversitateadinBucurestiFacultateadeMatematicasi InformaticaBucuresti2011-2012,semestrulIClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 1/481Introducere2Mult imi sifunct iiClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 2/48IntroducereLogica: modelarematematicaalegilorgandiriiInaintedeatrecelaprezentareaunorsistemelogice,estenecesaruncapitoldepreliminariialgebrice, ncarevaintrodusaostructuraalgebricanumitaalgebraBoole,structuracufoartemulteaplicat ii nmatematica siinformatica.Aplicat iialealgebrelorBoole ninformatica:laproiectareacircuitelorelectronicelacreareadesisteme siaplicat iisoftwarenfundamentareamatematicaamultorramurialeinformaticiiClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 3/48CuprinsulorientativalcursuluiCapitolul 1: Laticisi algebreBoole:Mult imi sifunct iiRelat iibinare. Relat iideechivalent a. Relat iideordine. Mult imi(part ial)ordonateLaticiAlgebreBoole. MorsmedealgebreBoole. Filtre sicongruent e nalgebreBoole. Ultraltre. TeoremadereprezentarealuiStone. StructuraalgebrelorBooleniteClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 4/48CuprinsulorientativalcursuluiCapitolul 2: Calculul propozit ional clasic:SintaxaAlgebraLindenbaumTarskiSemanticaTeoremadecompletitudineCapitolul 3: Calculul cupredicateclasic:StructurideordinulISintaxaSemanticaClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 5/48BibliograeS.Burris,H.P.Sankappanavar,ACourseinUniversalAlgebra,TheMilleniumEdition,disponibilaonline.D.Busneag,D.Piciu,Lect iidealgebra,EdituraUniversitariaCraiova,2002.D.Busneag,D.Piciu,Problemedelogica siteoriamult imilor,Craiova,2003.V.E.Cazanescu,Cursdebazeleinformaticii,TipograaUniversitat iidinBucuresti,1974,1975,1976.G.Georgescu,Elementedelogicamatematica,AcademiaMilitara,Bucuresti,1978.G.Georgescu,A.Iorgulescu,Logicamatematica,EdituraASE,Bucuresti,2010.K.Kuratowski,Introducere nteoriamult imilor si ntopologie,traduceredinlimbapoloneza,EdituraTehnica,Bucuresti,1969.S.Rudeanu,Cursdebazeleinformaticii,TipograaUniversitat iidinBucuresti,1982.A.Scorpan,Introducere nteoriaaxiomaticaamult imilor,EdituraUniversitat iidinBucuresti,1996.Articoleledelogica(inclusivcelecuproblemedatelaexamenuldelogicamatematica sicomputat ionala)dinRevistadelogicaaProfesoruluiAdrianAtanasiu,publicat ieonline.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 6/48Prescurtariuzualei. e. =idest=adicaddaca=daca sinumaidacaa.. =astfel ncats. a. m. d. = siasamaideparteVomfolosi sinotat ia:=,cusemnicat iadeatribuire,caprescurtarepentruscrierea denit ie= sau notat ie= .ExempluScriereax:= f (y)semnica:seatribuieluixvaloareaf (y)sedenestexcaindf (y)senoteazaf (y)cuxClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 7/481Introducere2Mult imi sifunct iiClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 8/48Mult imi sifunct iiIncepemCapitolul1alcursului: Latici sialgebreBoole,cusect iuneaMult imisifunct ii.Ceesteomult ime?Teorianaivaamult imilorversusteoriaaxiomaticaamult imilorOdenit iedinteorianaivaamult imilor: omult imeesteocolect iedeobiectebinedeterminate sidistincte,numiteelementelemult imii.distincte: omult imenucont ineunacelasiobiectdemaimulteori;unelementapare ntr-omult imeosinguradatabinedeterminate: oricemult imeareodescriereprecisa,careoidentica nmodunic,adica iidentica nmodunicelementeleExempluSaconsiderammult imeazerourilor(i. e. aradacinilor)funct ieizetaaluiRiemann. Nusuntcunoscutetoateelementeleacesteimult imi(asevedeaipotezalui Riemann,careesteopartedina8-aproblemaalui Hilbert,problemadeunmiliondedolari, nenciclopediaonlinewikipediasau ncarteaVarstadeauramatematiciialuiDevlinetc.),darnuexistadouamult imidistincte(diferite)ecareavandcaelementezerourilefunct ieizetaaluiRiemann,deciaceastadenit iedescrieomult ime,oidentica nmodunic.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 9/48Teorianaivaamult imilorTeorianaivaamult imilorafostinit iatadematematicianulGeorgCantor,care,n1884,adenitpentruprimadatanot iuneademult ime,caindogruparentr-untotaunorobiectedistinctealeintuit ieisaugandiriinoastre.Omult imeesteconsideratacauntotunitar,decicaunobiectunitar,carepoateasadarelementalalteimult imi.teorienaiva: ambiguitateaexprimarii naceastadenit ie,carelasalocdeinterpretari: ceesteunobiect(alintuit ieisaugandiriinoastre),ceesteogrupare ntr-untot?teorienaiva: dindenit iiexprimate nlimbajnatural(metalimbaj)(vomvedea),inerentambigue,se ncearcastabilireaunorproprietat ialenot iunilordenitematematicalucreazacunot iuniprecise necesitateafundamentariiaxiomatice(vomvedea)teorieaxiomatica: selucreazacunot iunidistinseinit ialdoarprindenumirilelor,asupracaroraseimpunaxiome(vomvedea),proprietat i,regulidelucruprecisecuacelenot iuni;deceestemaiavantajoasaaceastaabordare?pentrucamatematicaesteinteresatade proprietat ilenot iunilorcucarelucreaza,nudenaturalor;vomreluaaceastadiscut iecandvomvorbidespreegalitateversusizomorsmClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 10/48ParadoxulluiRussellNot iuneademult imesedovedesteanusucientdecuprinzatoare: n1903,BertrandRusselldemonstreazacanuexistamult imeatuturormult imilor,prinparadoxulcare ipoartanumele.Esteunanimacceptatfaptulca,dacaMesteomult ime,iarPesteoproprietatereferitoarelaelementelemult imiiM,atuncicolect iatuturorelementelorluiMcaresatisfac(au)proprietateaPestetotomult ime,notatauzualastfel:{x M |P(x)};facemapelaicilacunostint eledesprenotat iilelegatedemult iminvat ate ngimnaziu siliceu,undesestudiazateorianaivaamult imilor: Mesteolitera(onotat ie,unnume,ovariabila)cedesemneazaomult imearbitrara(darxata),xesteoliteracedesemneazaunelementarbitraralmult imiiM, estesimboluldeapartenent a,scriereax Msemnicafaptulcaxesteunelementalmult imiiM,iarscriereaP(x)semnicafaptulcaelementulxsatisfaceproprietateaP. Acoladele ncadreazaomult ime,dataeprinenumerareaelementeloreiseparatedevirgule,eprinspecicareauneiproprietat iasupraelementeloruneimult imimaimari siafaptuluicamult imealacarenereferimseobt inedinaceamult imemaimareprinselectareaelementelorcareauaceaproprietate,cumestecazuldefat a. Vomfolosi sisimbolul / ,careestenegat iaapartenent ei,adicascriereax / Msemnicafaptulcanuarelocx M,i. e. xnuesteunelementalluiM.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 11/48ParadoxulluiRussellarbitrar,darxat=carepoate nlocuitcuoriceobiectdeacelasitip(deexemplu, ncazuldemaisus,cuoricemult ime),dar, nmomentul ncarelucramcuunastfeldeobiect,atunciacelobiect(cucarelucram)estexat,adicanuseschimba,nueste nlocuitcuunaltobiect ntimpcelucramcuelCesar ntampladacaarexistamult imeatuturormult imilor,adicamult imeaavandcaelementetoatemult imile?Sapresupunemcaaceastamult imeatuturormult imilorexista, sisonotamcuM. AmpresupuscaMestemult ime,deci,ntrucatMcont inetoatemult imile, nseamnacaMsecont inepesine: M M,unfaptneobisnuit ncondit iile ncarepanaacumamlucratdoarcumult imicarenusecont inpeele nselecaelemente(mult imeanumerelornaturalecont inenumainumerelenaturale,nu simult imeaacestornumere,adicapesine,caelement; silafelstaulucrurilecutoatemult imilepecareleam ntalnit ngimnaziu siliceu).Acestfaptnefurnizeazaideeadeaconsideraproprietateacaomult imesanusecont inapesine. FieasadarPproprietateareferitoarelaelementeleluiM,adicalamult imi,denitaastfel: omult imeAsatisfaceproprietateaPddacaA/ A(i. e.Anusecont inepesine).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 12/48ParadoxulluiRussellSiacumsaconsiderammult imeatuturormult imilorcarenusecont inpeelensele,adicamult imea {A M |P(A)}amult imilorcaresatisfacproprietateaP,sau,altfelscris,mult imea {A M |A/ A}, sisanotamaceastamult imecuX.Paradoxul lui Russell: XsatisfaceproprietateaPsaun-osatisface?AdicaX/ XsauX X?DacaX X,atunci, ntrucatelementeleluiXsuntmult imilecarenusecont inpeele nsele, nseamnacaXnusecont inepesine: X/ X. Amobt inutocontradict ie,pentrucanupotavealocsimultanproprietat ileX XsiX/ X.DacaX/ X,atunci, ntrucatXcont inetoatemult imilecarenusecont inpeelensele, nseamnacaXnuesteunadintremult imilecarenusecont inpeele nsele,adicaXsecont inepesine: X X. Iarasiamobt inutocontradict ie.Sigurca,pentruoricemult imeX,arelocunadintresituat iile: X XsiX/ X(sinumaiuna),pentruca,dacaunadintreacestedouaproprietat inuestesatisfacuta,atuncicealaltaestesatisfacuta.Decioricaredintrecazurileposibileducelaocontradict ie.Deundeaprovenitcontradict ia?Dinpresupunereacaexistamult imeatuturormult imilor.Inseamnacaaceastapresupunereestefalsa,i. e. nuexistamult imeatuturormult imilor.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 13/48ParadoxulluiRussellTotalitateamult imilornuformeazaomult ime,cioclasa. Dinpunctuldevederealteorieinaiveamult imilor,nusepotspunemultelucruridesprenot iuneadeclasa,decatcaestecevamaivag/maimare/maicuprinzatordecatomult ime.Seconsideracaoricemult imeesteoclasa,darnu siinvers.Semnul(simbolul)deapartenent anupoateaparealadreaptauneiclasecarenuestemult ime,adicanuseconsideraaaveasensfaptulcaoclasacarenuestemult imeapart ineunuialtobiect. Omult imepoateapart ineuneiclase(chiar siuneimult imi),darniciodatainvers,adicanicioclasacarenuestemult imenuapart ineuneimult imi, si,maimult,nicioclasacarenuestemult imenuapart ineuneiclase(sauvreunuialtfeldeobiect).Inparticular,ultimadintreobservat iileanterioarearatacanuexistaclasatuturorclaselor,dinsimplulmotivcasaimpusrestrict iacaoclasacarenuestemult imesanueelementalniciunuiobiect, sidecinuexistaunobiectcaresaaibaclasecarenusuntmult imicaelemente. Dacanusarimpusaceastarestrict ie,atunciclaselenusardeosebitsemnicativdemult imi, siprocesuldeaconsideramereuobiectematematicemaicuprinzatoarearcontinuatlainnit: sadenumimtipuldeobiect ncarese ncadreazaobiectulcarearedreptelementetoateclasele,sadenumimtipuldeobiect ncarese ncadreazaobiectulcarearedreptelementetoateurile, s. a. m. d..ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 14/48Teoriaaxiomaticaamult imilorCeesteoaxioma?ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 15/48Teoriaaxiomaticaamult imilorOaxiomaesteunfaptdatcaindadevarat ntr-oteoriematematica.Oaxiomanusedemonstreaza,cipur sisimpluestedatacaindadevarata.Oriceteoriematematicatrebuiesaaibalabaza(i. e. cafundament)unsistem(i. e. ocolect ie)deaxiome. Porninddelaacesteaxiome,sedemonstreazateoremele(rezultatelematematice)aleaceleiteorii.Scopulaxiomatizarii,adicaalconstruiriiunuisistemdeaxiomepentruoteoriematematica,esteaceladeaeliminaambiguitat iledindenireanot iunilor,conceptelorcucarelucreazaaceateoriematematica.Desigur,axiomeleuneiteoriimatematicecaremodeleazaunfenomendinlumea nconjuratoaretrebuiesareecteproprietat ileaceluifenomen,deregulaobt inuteexperimental. Respectivaconstruct ie(teorie)matematica nsine,caoriceteoriematematica,trebuiesabeneciezedeunsistemdeaxiome,dinrat iunicet indenaturamatematiciica stiint a,deceeacesenumesterigoarematematica,anumelipsaambiguitat ilor,denecesitateaoricareiteoriimatematicedeaoconstruct iedesinestatatoare,independentdefenomenulpecare lmodeleaza.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 16/48Teoriaaxiomaticaamult imilorExempludeaxioma: axiomaparalelelorpentrugeometriaeuclidiana:douadrepteparaleletaiatedeosecantaformeazaunghiurialterneinternecongruente.Faptuldeaaxiomanuesteoproprietateintrinsecaauneiarmat ii,chiardaca,asacumamment ionatmaisus,laorigineasistemeloraxiomaticeseaaproprietat iobservabile,judecat iprimare,fapteconsideratefundamentale,considerateanecesarecabazaauneiteoriimatematice,carenusedemonstreazaporninddelaaltefapte,citocmaiinvers,eleservesclademonstrareaaltorfapte naceateoriematematica.Existamaimultesistemeaxiomaticepentrugeometriaeuclidiana,iarenunt uldenumitmaisusaxiomaparalelelornuesteconsideratcaaxioma ntoateacestesisteme. Deaceeaspunemcaacestenunt nuarecaproprietateintrinsecafaptuldeaaxioma.Acestenunt esteechivalentcualteenunt uri,adicaacelealteenunt urisededucdinel(atuncicandelesteconsideratcaaxioma),dar sielsededucedinecaredintreacelealteenunt uri(atuncicandaceleenunt urisuntconsideratecaaxiome, siatuncispunemcaacestenunt demaisusesteunrezultat,oteoremaageometrieieuclidiene,bazatepeunaltsistemaxiomatic).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 17/48Teoriaaxiomaticaamult imilorSigurcaoricaredouasistemeaxiomaticepentruoaceeasiteoriematematicatrebuiesaeechivalente,adicadinecaredintreeletrebuiesasededucaecarealtuldintreele,iaracestlucru nseamnanimicaltcevadecatfaptulcadinoricaredouasistemeaxiomaticepentruoteoriesededucaceleasi rezultate,adicaseconstruiesteaceeasi teoriematematica.Deexemplu,toateaxiomatizarilegeometrieieuclidienesuntechivalente.Deasemenea,toateaxiomatizarileteorieimult imilor(dintrecarevomvedeancontinuareuna)suntechivalente. Deexemplu,axiomaalegerii siaxiomalui Zorn(dinaxiomatizaridiferitealeteorieimult imilor)suntechivalente, sicandprimaestealeasacaaxioma,atunciadouasenumestelemalui Zorn(sisededucedinprima),iarcandadouaestealeasacaaxioma,atunciprimasenumestelemaalegerii(sisededucedinadoua).Incazuriledatecaexemplemaisus,avemenunt uri (individuale)echivalente,dar,asacumamment ionat,putemaveasistemedeenunt uriechivalente,caz ncareecareenunt dinoricaredintreacelesistemesededucedintrun ntregaltsistemdeenunt uri,adicadintoateenunt urileacelui altsistemluatelaunloc.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 18/48Teoriaaxiomaticaamult imilorPrecumamment ionatmaisus,suntcunoscutemaimultesistemeaxiomatice(i.e. sistemedeaxiome)pentruteoriamult imilor. Deexempluurmatoarele,denumiteastfeldupamatematicieniicarele-aucreat:sistemul axiomaticZermeloFraenkel,carelucreazanumaicumult imisistemul axiomaticvonNeumannBernays,numit sisistemul axiomaticvonNeumannBernaysGodel,careadmite siexistent aclaselorS-ademonstratca:Oricerezultatdespremult imicarepoatedemonstratporninddela(axiomele)sistemul(ui)axiomaticvonNeumannBernaysGodelpoatedemonstrat siporninddelasistemulaxiomaticZermeloFraenkel.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 19/48Teoriaaxiomaticaamult imilorEstedement ionatfaptulcaproblemafundamentariiprinsistemeaxiomaticeateorieimult imilor(careesteea nsasiunfundamental ntregiimatematici)adatnasterelacontroversecarenusunt ncheiatenici nziuadeazi,pentrucascopulprincipal al elaborarii oricarorsistemeaxiomatice,anumeeliminareatuturorambiguitat ilor(delimbaj,dindenit ii,dinformulari deproprietat i etc.)dintr-oteoriematematica,estefoartegreudeatins ncazulteorieimult imilor,tocmaidatoritacaracteruluieiprimar,debaza,defundamental ntregiimatematici.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 20/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelVomfaceacumoscurtaprezentareasistemului axiomaticvonNeumannBernaysGodel,dupacarteaFoundationsofSetTheory,deAbrahamA.Fraenkel,YehoshuaBarHillel siAzrielLevy(seriaStudiesinLogicandtheFoundationsofMathematics,volumul67).Primullucrudecarevomaveanevoieesteoformalizarealimbajuluiteorieimult imilor,caresaelimineambiguitat iledinacestlimbaj.formalizare: exprimarefolosindnumaisimbolurimatematicemetalimbaj: limbajulnatural,vorbireacurenta(obisnuita),exprimareancuvinte,farasimbolurimatematiceunenunt formalizatnucont ineelemente(cuvinte,exprimari)dinmetalimbajClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 21/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelPrecumamanunt atmaisus,acestsistemaxiomaticopereazaatatcumult imi,cat sicuclase. Naturamult imilor siaclaseloresteneprecizata, nsensulcaelesuntconsiderateaobiectematematicedatedoarprindenumiriledemult ime siclasa, sitotce stimdespreelesuntproprietat ilecarevorenumeratemaijos(asevedeamaisusodiscut iedespreabordareaaxiomatica siavantajeleei).Asadar,primeleelementealelimbajuluipecare lvomconstruisunt:mult imile siclasele,denumitegenericobiecte,caresatisfaccondit iacaoricemult imeesteoclasa(darnuoriceclasaesteomult ime)Pentruascrieaxiomele,vomaveanevoiesaputematribui(asocia)numemult imilor siclaselorarbitrare,dar simult imilor siclaselorprecizate,xate,constante.Decivomfolosinot iunilede:variabilasaunumevariabil,caresemnicaunnumeatribuitunuiobiectarbitrar sineprecizatconstantasaunumeconstant,caresemnicaunnumeatribuitunuiobiectxat,precizatClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 22/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelregula: ndenit iile siaxiomeleacestuisistemaxiomatic,numelevariabile sinumeleconstantevorliteredinalfabetullatin;numeleatribuitemult imilorvorliteremici,iarnumeleatribuiteclaselor(carepotmult imi,dardesprecarenuseprecizeazadacasuntsaunusuntmult imi)vorliteremarinprezentarealimbajuluiacestuisistemaxiomatic,vomfolosiliteregrecesticanumevariabilepentruoricefeldeobiecte,i. e. sipentrumult imi, sipentruclasecarepotsanuemult iminmajoritateacazurilor,vomfolosiliteredetipurileenumeratemaisusfaraaprecizacaeledenumescmult imi,clasecarenusuntneaparatmult imisauobiectedeoricaredintreacestetipuri,iarconvent iilepecaretocmaileamstabilitnevorspunelacefeldeobiectenevomreferiVomfolosiurmatoarelesimboluripentruaenunt aproprietat ialeobiectelor: , / ,=, =, , , , , , , .ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 23/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodel si / :senumestesimboluldeapartenent a; (esteunenunt (i. e. oproprietate),care)secitesteapart ineluisaucont inepeunobiectcareapart ineunuialtobiectvanumitelementsaumembrualobiectuluicaruia iapart inesimbolul / vafolositcusemnicat ia: / (esteunenunt (i. e. oproprietate),careestesatisfacut)ddacanuareloc (sisecitestenuapart ineluisaunucont inepe)Amprecizatcaobiectelecucarelucramsenumescmult imisauclase. Decioriceelementlacarenevomreferiestelarandulsauomult imesauoclasa(defaptunelementnuvaniciodataoclasacarenuemult ime,cioriceelementvaomult ime;oclasacarenuemult imenuapart ineniciunuiobiect;nuvom ntalni nacestsistemaxiomaticclasecarenusuntmult imi sisuntelementealeunuiobiect;asevedeaodiscut iedemaisusreferitoarelaacestaspectlegatdeclase sideproprietateadeapartenent a).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 24/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodel= si =:=senumestesimboluldeegalitate; = (esteunenunt (i. e. oproprietate),care)secitestecoincidecu sisemnicafaptulca sisunt(numepentru)(denumesc)(reprezinta)acelasiobiectsimbolul=seconsideraaaveaurmatoareleproprietat i:reexivitate: pentruoriceobiect,areloc = simetrie: pentruoriceobiecte si ,daca = ,atunciareloc si = tranzitivitate: pentruoriceobiecte,si ,daca = si = ,atunciareloc si = substitutivitate: pentruoriceobiecte si sioriceproprietatePreferitoarelaobiecte,dacaP()(adicasatisfaceproprietateaP;ammaifolositaceastanotat ie) si = ,atunciareloc siP()simbolul =vafolositcusemnicat ia: = (esteunenunt (i. e. oproprietate),careestesatisfacut)ddacanuareloc = (sisecitestenucoincidecu)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 25/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelSimbolurile , , , si senumescconectoriilogici.senumestenegat ia sisecitestenonsaunot;dacaEesteunenunt (oproprietate)referitorlaobiecte,atunci EsecitestenonEsaunotE sisemnicanegat iaproprietat iiE,adicaaceaproprietatecareesteadevarataddacaEestefalsa(si,desigur,falsaddacaEesteadevarata)senumestedisjunct ia sisecitestesau;dacaEsiFsuntenunt uri(proprietat i)referitoarelaobiecte,atunciE FsecitesteEsauF sisemnicaaceaproprietatecareesteadevarataddacamacar(celput in)unadintreproprietat ileEsiFesteadevaratasenumesteconjunct ia sisecitestesi;dacaEsiFsuntenunt uri(proprietat i)referitoarelaobiecte,atunciE FsecitesteEsiF sisemnicaaceaproprietatecareesteadevarataddacaambeleproprietat iEsiFsuntadevarate(i. e. ddacaecaredintreproprietat ileEsiFesteadevarata)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 26/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelsenumesteimplicat ia sisecitesteimplica;dacaEsiFsuntenunt uri(proprietat i)referitoarelaobiecte,atunciE FsecitesteEimplicaF sisemnicaaceaproprietatecareesteadevarataddacadinErezulta(i. e. sededuce)F,i. e. aceaproprietatecareesteadevarataddaca, nsituat iacandEesteadevarata,atunci siFesteadevarata,i. e. aceaproprietatecareesteadevarataddacaeEestefalsa,eFesteadevarata(eambele)denit iademaisusaimplicat ieiparesacontrazicaintuit ianoastra,dareailustreazadefaptfoartebinemoduldearat ionamatematic: cumdemonstramcaoproprietateEimplicaoproprietateF?(cadinErezultaF?cadinEsededuceF?);ceavem,defapt,dearatat?avemdearatatca,dacaEesteadevarata,atunci siFesteadevarata;deci,dacaEestefalsa,atuncinuavemnimicdedemonstrat,dacaEestefalsa,atuncinuneintereseazacumesteF, si,neavandnimicdedemonstrat,putemspunecaimplicat iaEimplicaFesteadevarata;dacaEesteadevarata,atuncitrebuiecaFsaeadevaratapentrucaaceastaimplicat iesaeadevarata;deci,indiferentcumesteE,dacaFesteadevarata,atunciimplicat iarespectivaesteadevarata; si,dacarecitimacestparagraf,observamcaimplicat iaEimplicaFesteadevarataexactatunci cand(adicaatuncisinumai atunci cand)eEestefalsa,eFesteadevarata(eambele)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 27/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelsenumesteechivalent a sisecitesteechivalent;dacaEsiFsuntenunt uri(proprietat i)referitoarelaobiecte,atunciE FsecitesteEesteechivalentacuF sisemnicaaceaproprietatecareesteadevarataddacaauloc siE F, siF E,i. e. aceaproprietatecareesteadevarataddacaEsiFsuntsimultanfalsesausimultanadevarate(adicasuntambelefalsesauambeleadevarate)(tema: citit idemaisussemnicat iaimplicat iei sijusticat i(i. e. aratat incuvinte)faptulcaproprietateaE F(adicaambeleproprietat iE FsiF E,adicaproprietatea(E F) (F E),dupacumaratadenit iaconjunct iei)esteadevarataddacaEsiFsunteambelefalse,eambeleadevarate)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 28/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelSimbolurile si senumesccuanticatorii.senumestecuanticatoruluniversal sisecitesteoricarear;dacaesteovariabila(unnumevariabil) siPesteoproprietatereferitoarelaobiecte,atunci P()secitestepentruorice,P() siesteaceaproprietatecareesteadevarataddacaoriceobiectsatisfaceproprietateaP(poateunnumevariabilpentrumult imi,caz ncarecondit iaanterioaradevine: oricemult imesatisfaceproprietateaP,saupoateunnumevariabilpentruclase,caz ncarecondit iaanterioaradevine: oriceclasasatisfaceproprietateaP)senumestecuanticatorulexistent ial sisecitesteexista;dacaesteovariabila(unnumevariabil) siPesteoproprietatereferitoarelaobiecte,atunci P()secitesteexista,a. . P() siesteaceaproprietatecareesteadevarataddacaexista(macar,celput in)unobiectcaresatisfaceproprietateaP(poateunnumevariabilpentrumult imi,caz ncarecondit iaanterioaradevine: exista(macar)omult imecaresatisfaceproprietatea P, sau poate un nume variabil pentru clase, caz n care condit iaanterioaradevine: exista(macar)oclasacaresatisfaceproprietateaP)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 29/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelVomfolosi siparantezelerotunde sipatrate,pentruadelimitaenunt uri(i. e.proprietat i) siobiectecunotat iicompusedinmaimultesimboluri(vomvedeacesuntacestea).Amprezentatlimbajulpecare lvomfolosi. Acum ncepemprezentarea(efectivaa)acestuisistemaxiomaticpentruteoriamult imilor.Inprimulrand,seconsideracaexistacelput inomult ime.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 30/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelDenit iePentruoricemult imixsiy,daca,oricarearz,faptulcaz ximplicaz y(adicaoriceelementalluixeste sielementalluiy),atunciscriemx ysispunemcaxesteosubmult imealuiy.I.Axiomaextensionalitat ii demult imi:Intuitiv: Dacax ysiy x,atuncix= y.Formal(i. e. formalizat):xy[(x y y x) x= y]sauxy[z(z x z y) x= y]Dacacitimadouaexprimareformalizataaacesteiaxiome,observamcaeaspunecadouamult imicuaceleasielementecoincid.Pentruceleceurmeaza,aceastaprimaaxiomaarataunicitateamult imilorlacarenevomreferimaijos,caresuntdescriseprinprecizareaelementelorlor.Reciprocaarmat ieidinaceastaaxioma,anumefaptulcadouamult imicarecoincidauaceleasielemente,esteoconsecint aaproprietat iidesubstitutivitateasimbolului=.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 31/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelDenit ieOmult imencarenucont ineniciunelement(i. e. pentrucareareloc:x(x n)))senumestemult imevida.TeoremaExistaounicamult imevida.Unicitatea nteoremaanterioaraesteoconsecint aaAxiomei I.Pentruademonstraexistent a,seaplicaAxiomaXIpentruaaratacaexistaoclasaNavandcaelementeaceleobiectexcaresatisfacproprietateax = x, siAxiomaVpentruaaratacaintersect iadintreclasaNsiomult imearbitraraaesteomult ime,pecareonotamcun. Decin = {x a |x = x},folosindnotat iilecunoscutedinteorianaivaamult imilor. Sigurcaniciunobiectxnusatisfaceproprietateax = x,ceeace nseamnacannuareniciunelement.Notat ieVomnotacunmult imeavida(desprecare nacestmomentnemult umimsa stimca,dacaexista,atunciesteunica).nesteunnumeconstant(asevedeamaisuslimbajulacestuisistemaxiomatic).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 32/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelII.Axiomaperechii:Intuitiv: Pentruoriceelementea sib,existaomult imeycarecont inedoarasib.Formal: abyx[x y (x= a x= b)]Denit ieOmult imecarecont inedoarelementelea sibsenumesteperecheaformatadinasibsisenoteaza {a, b}sau {b, a}. Perecheaordonataformatadina sibsenoteaza< a, b > sisedenesteprin: < a, b >= {a, {a, b}}.Saremarcamca, nAxiomaII sidenit iaanterioara,nuafostimpusacondit iacaasanucoincidacub.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 33/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelDenit ieOclasasenumesterelat ieddacatoateelementeleeisuntperechiordonate.Denit ieDacaFesteoclasa(relat iesauclasaoarecare),atuncidenim:domeniulluiF,notatD(F),caindclasacearecamembriexactaceleelementexpentrucareexistayastfel ncat< x, y> FimaginealuiF,notataR(F),caindclasacearecamembriexactaceleelementeypentrucareexistaxastfel ncat< x, y> F(Rdelaenglezesculrange)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 34/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelDenit ieOclasaFsenumestefunct ieddacaFesterelat ie siareloc:xyz[(< x, y> F < x, z> F) y= z](intuitiv: pentruoricex,existacelmultuny(desigur,y R(F))a. .< x, y> F,sau,cuoexprimareechivalenta: pentruoricex D(F),existaununicy(desigur,y R(F))a. . < x, y> F).Notat ieSanotamcuFncproprietateacareseaplicaclaselor sispunecaoclasaestefunct ie,adica,pentruoriceclasaF,notat iaFnc(F)semnicafaptulcaFesteofunct ie.Notat ieDacaFesteofunct ie six D(F),atuncinotamcuF(x)uniculelementy(desigur,y R(F))careverica: < x, y> F.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 35/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelIII.Axiomareuniunii:Intuitiv: Pentruoricemult imea,existamult imeaalecareielementesuntexactmembriimembrilorluia(exact=nicimaimult,nicimaiput in=sunttoateacestea sinumaiacestea).Formal: ayx[x y z(x z z a)]Denit iePentruoricemult imia sib,mult imeaalecareielementesuntmembriimembrilorperechii {a, b}(adicamembriiluia simembriiluib,adicamembriiluiasaub)senumestereuniunealuia sibsisenoteazaa b.Inaxiomademaisusintervineoreuniunearbitrara(vomvedea)(sereunescmembriiluia).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 36/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelIV.Axiomamult imii part ilor:Intuitiv: Pentruoricemult imea,existamult imeaalecareielementesuntexactsubmult imileluia.Formal: ayx(x y x a)Stimcamult imeasubmult imiloruneimult imiasemainumestemult imeapart ilorluia.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 37/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelV.Axiomasubmult imilor:Intuitiv: PentruoriceclasaPsioricemult imea,existaomult imealecareielementesuntexactaceimembriailuiacaresunt simembriailuiP(nlimbajulcunoscutalteorieinaiveamult imilor,intersect iauneimult imicuoclasaesteomult ime, si,prinurmare,oricesubmult imeauneimult imieste,larandulei,omult ime,sau,dacadorimsarenunt amlarestrict iasimbolului lamult imi,impusa ndenit iaacestuisimbol,carefacearmat iaanterioaratriviala,oricesubclasaauneimult imieste,larandulei,omult ime).Formal: Payx[x y (x a x P)]ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 38/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelVI.Axiomainnitat ii:Intuitiv: Pentruoriceelemento,existaomult imezcuurmatoareleproprietat i:o zsidacax z, atunci(x {x}) z.Formal: oz[o z x(x z (x {x}) z)]Decesenumesteaxiomainnitat iiaceastaaxioma?ObservamcaaceastaaVI-aaxiomaseamanacuprincipiul induct iei matematice.Infapt,aceastaaxiomapoatefolositapentruadeninumerelenaturale,pentruaconstruimult imeanumerelornaturale. Cum?Inprimulrand,cevornumerelenaturale?Casaeobiecte ncadrulacestuisistemaxiomatic(altfelspus, nteoriamatematicafundamentatape(generatade)acestsistemaxiomatic),vortrebuisaemult imisauclase,pentrucaacesteasuntobiecteleaici. Casaeelementealeuneimult imi,pecareovomnumimult imeanumerelornaturale,vortrebuisaemult imi,pentrucanicioclasanuvaelementalunuiobiect, nparticularelementalmult imiinumerelornaturale.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 39/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelSiatunci,cumputemconstruinumerelenaturale0, 1, 2, 3, . . . , m, . . ., simult imealor,notata N,pebazaaxiomei innitat ii?Pur sisimplu:alegem nloculvariabileiodinaceastaaxiomaunelementarbitrar,pecare lxam si lnotamcu0,mult imeaobt inutadinaceastaaxioma,dinAxiomaXI(vomvedea) siAxiomaV(asubmult imilor)porninddelaelementul0 nloculluiosineavandniciunelement nplusfat adeelementeleobt inutedin0prinprocedeuldescris naceastaaxioma,adicamult imeaavandcaelementeexactpe0 sielementeledemaijos,vanotatacu N,iarnumerelenaturalenenulevordeniterecurent,saudinaproape naproape:1 := 0 {0},2 := 1 {1},3 := 2 {2},...m + 1 := m {m},...ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 40/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelIar,cuaceastaconstruct ie,AxiomaI(aextensionalitat ii demult imi)(carespunecadouamult imicuaceleasielementecoincid)implicaprincipiul induct ieimatematice:dacamult imeaManumerelornaturalecarevericaoanumitaproprietatecont inepe0 si,pentruoricenumarnaturalmpecare lcont ine,Mcont ine sinumarulnaturalm + 1,atunciM= N.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 41/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelVII.Axioma nlocuirii:Intuitiv: DacaFesteofunct ie siaesteomult ime,atunciexistaomult imealecareielementesuntexactelementeleF(x),pentrutot imembriixailuiacareseaa nD(F).Formal: F[Fnc(F) aby[y b x(x a x D(F) y= F(x))]]Cineesteaceamult imeb, nlimbajulcunoscutdinteorianaivaamult imilor?besteimagineamult imiia D(F)prinfunct iaF,notatauzualcuF(a D(F)).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 42/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelVIII.Axiomaalegerii globale:Intuitiv: Existaofunct ieFalcareidomeniucont inetoatemult imilenevide siastfel ncat,pentruecaremult imeneviday,F(y)estemembrualluiy(desigur,mult imenevida=mult imecarenucoincidecumult imeavida,n).Formal: F[Fnc(F) y[y = n (y D(F) F(y) y)]]Funct iaFalegecateunelementF(y)dinecaremult imeneviday.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 43/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelIX.Axiomafundarii:Intuitiv: OriceclasaPcarearecelput inunmembruareunmembruminimalu,i. e. existaunelementucuproprietateacauestemembrualluiP,darniciunmembrualluiunuestemembrualluiP.Formal: P[u(u P) u[u P x(x u x / P)]]Aceastaaxiomaspunecaorice siru0, u1, u2, u3, . . .demembriaiuneiclaseP,cuu1 u0,u2 u1,u3 u2s. a. m. d.,estenit(i. e. nuexistaunastfelde sirinnit;cunotat iilecunoscutedinteorianaivaamult imilor,nuexistaun sir(um)mN Pcuum+1 umpentruoricem N).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 44/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelX.Axiomaextensionalitat ii claselor:Intuitiv: OricarearclaseleA siB,daca,pentruecareelementx,xestemembrualclaseiAddacaxestemembrualclaseiB,atunciAcoincidecuB.Formal: AB[x(x A x B) A = B]Aceastaaxiomaspunecadouaclasecuaceleasielementecoincid, ntocmaicumse ntampla ncazulparticularalmult imilor, ncareacestfapteracunoscutdinAxiomaI(aextensionalitat ii demult imi).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 45/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelXI.Axiomacomprehensiunii predicative:Intuitiv: DacaPesteoproprietatereferitoarelaobiecte,carenucont inecuanticatoriaplicat iunorclase(adicaexpresiideformaoricarearoclasaXsauexistaoclasaXastfel ncat),atunciexistaoclasaavandcamembriexactaceleelementexcaresatisfacproprietateaP.Formal,pentruoproprietatePcamaisus: Ax(x A P(x))Asacumamanunt atmaisus, ntroreferirelateorianaivaamult imilor si nmaimulteaplicat ii,daca, naxiomaanterioara,elementelexnusuntoarecare,cisuntelementealeuneimult imiy,atunci,conformAxiomei V(asubmult imilor),Aesteomult ime,anume,cunotat iilecunoscutedinteorianaivaamult imilor,A = {x y |P(x)}.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 46/48SistemulaxiomaticvonNeumannBernaysGodelMotivulpentrucareAxiomaXI(acomprehensiunii predicative)poartaacestnumeestefaptulcaastfeldeproprietat iP,carecapatasens(nt eles,valoaredeadevar,adicaputemspunedespreelecasuntadevaratesaufalse)numaiatuncicandsuntaplicateunorobiecteconcrete,xate,constante,adicanumaiatuncicandscriemP(),cuobiectxat,constant,senumescpredicate,saupropozit ii(enunt uri)cuvariabile(variabila nacestcaz,dar ngeneralputemaveamaimultevariabile, sisascriemP(, ),P(, , )etc.).Proprietat ile(enunt urile)faravariabile,carenuseaplicaunorobiecte,cisuntnsine(ele nsele)adevaratesaufalse,senumescpropozit ii.Acestedenit iifacpartedinlimbajullogiciimatematice, sivorformulaterigurosmaitarziu.ExempluEnunt ul2esteunnumarparesteopropozit ie(adevarata).Enunt ulxesteunnumarparesteunpredicatcuvariabilax, ncare nlocuirealuixcu2produceopropozit ieadevarata(anumechiarpropozit iademaisus),iarnlocuirealuixcu1produceopropozit iefalsa.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 47/48Observat ieMaterialulprezentatpana nacestmomentnufacepartedinmateriapentruexamen,cuexcept iaprimeidenit iinaiveanot iuniidemult ime. Darparcurgereaacestuimaterialestefoarteutilapentru nt elegereacursurilorcarevorurma.Observat ieIncursurileurmatoare,vomadoptapunctuldevederealteorieinaiveamult imilor,cuexcept iacazurilor ncarevomment ionacafacemapellaoaxiomaateorieimult imilor. Toaterezultatelepecarelecunoastemdingimnaziu siliceudespremult imi sifunct iipotdemonstrateporninddelaoricesistemaxiomaticalteorieimult imilor, nparticulardelaceldemaisus,deci, noricemoment, ncevomstudia,nevomaa ncadrulacestorsistemeaxiomatice. Denit iafunct iei nsanuovomda ncazulgeneraldemaisus,civomadoptadenit iadingimnaziu siliceu,undeofunct ieesteconsiderataadenita ntredouamult imi,nu ntredouaclaseoarecare.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 48/48Logicamatematica sicomputat ionalaCursulIIClaudiaMURESANcmuresan11@yahoo.comUniversitateadinBucurestiFacultateadeMatematicasi InformaticaBucuresti2011-2012,semestrulIClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 1/371Mult imi sifunct iiClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 2/37Mult imi sifunct iiContinuamrecapitulareadinsect iuneaMult imi sifunct ii.Amintimdinprimulcurs siprimulseminarfaptulcaaresenssanereferimlaobiecte(elemente,mult imi,clase)arbitrare,pentrucarenuspecicamundomeniualvalorilor.Amintimdinprimulseminarurmatoareametodadeademonstracadouamult imiA siBsuntegale: A = Bddaca,pentruoriceelementx,arelocechivalent ax A x B.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 3/37Mult imi sifunct iiNotat ieAlaturareadesimboluri !semnicaexistaununic,exista siesteunic.Notat ieVomnotacu mult imeavida,adicamult imeafaraelemente. Pastramnotat iilecunoscute , si \pentrureuniunea,intersect ia sirespectivdiferent ademult imi.Deasemenea,pastramnotat iile , , si pentruincluziunile siincluziunilestrictedintremult imi necaresens. Vommainotaincluziunilestricte sicu sirespectiv ,darnumaiatuncicandprecizareacaestevorbadeoincluziunestrictasinupoateavealocegalitateademult iminunefoloseste nceleprezentate.RemarcaEsteevidentfaptulcasingurasubmult imeamult imiivideestemult imeavida.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 4/37Mult imi sifunct iiNotat iePentruoriceelementea sib,notamcu(a, b)perecheaordonataformatadina sib.Denit iePentruoricemult imiA siB,sedenesteprodusulcarteziandintreA siB(numitsiprodusuldirectdintreA siB)caindmult imea {(a, b) |a A, b B},notataA B.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 5/37Mult imi sifunct iiRemarcaSedemonstreazausorca,pentruoricemult imeA,A = A = .Deasemenea,sedemonstreazausorcaprodusulcartezianestedistributivfat adereuniunea,intersect ia sidiferent ademult imi,adica,pentruoricemult imiA,BsiC,aulocegalitat ile:A (B C) = (A B) (A C) si(B C) A = (B A) (C A)A (B C) = (A B) (A C) si(B C) A = (B A) (C A)A (B \ C) = (A B) \ (A C) si(B \ C) A = (B A) \ (C A)Avet icatemapentruacasademonstrareatuturoracestoregalitat i.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 6/37Mult imi sifunct iiDenit ieFieA siBmult imioarecare. Senumestefunct iedelaAlaBuntripletf := (A, G, B),undeG A B,a. .,pentruoricea A,existaununicb B,cuproprietateaca(a, b) G.Formal: (a A)(!b B)(a, b) G.Faptulcaf esteofunct iedelaAlaBsenoteazacuf : A BsauAf B.Mult imeaAsenumestedomeniulfunct ieif ,Bsenumestecodomeniulsaudomeniulvalorilorluif ,iarGsenumestegraculluif .Pentruecarea A,uniculb Bcuproprietateaca(a, b) Gsenoteazacuf (a) sisenumestevaloareafunct ieif npunctula.ExempluCaredintreurmatoarelecorespondent eesteofunct iedelaAlaB?frrArrrBZZ~grrArrrBZZ~XXzhrrArrrBZZ~XXz

:ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 7/37Mult imi sifunct iiRemarcaAmintimdinprimulcurs siprimulseminarca,oricarearpropozit iile(i. e.proprietat ile,enunt urile,armat iile)psiq:implicat iap qesteechivalentacunonpsauq,asadar:implicat iap qesteadevarataddacapefalsasauqeadevarataimplicat iap qestefalsaddacapeadevarata siqefalsaClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 8/37Mult imi sifunct iiRemarcaFieBomult imeoarecare(poatevidasi poatenevida). Atunciexistaounicafunct ief : B.Intr-adevar,ofunct ief : Btrebuiesaeuntripletf = (, G, B),cuG B= ,deciG= . Asadar,existacelmultofunct ief : B,anumef = (, , B)esteunicaposibilitate. Saaratamcaacesttripletsatisfacedenit iafunct iei:(a )(!b B)(a, b) , i. e.:(a)[a (!b)(b Bsi(a, b) )].Pentruoriceelementa,proprietateaa estefalsa,asadar,pentruoriceelementa,implicat ia[a . . .]esteadevarata. Iaracestlucru nseamnaexactfaptulca ntreagaproprietate(a)[a . . .]esteadevarata,decif estefunct ie. Prinurmare,existaounicafunct ief : B,anumef = (, , B).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 9/37Mult imi sifunct iiRemarcaFieAomult imenevida. Atuncinuexistaniciofunct ief : A .Intr-adevar,ofunct ief : A trebuiesaeuntripletf = (A, G, ),cuG A = ,deciG= . Asadar,dacaarexistao funct ief : A ,atunciamaveaneaparatf = (A, , ). Savedemdacaacesttripletvericadenit iafunct iei:(a A)(!b )(a, b) , i. e.:(a)[a A [[(b)(b si(a, b) )] si[(c)(d)((c sid si(a, c) si(a, d) ) c= d)]]].Oricarearelementulb,proprietateab estefalsa,deci,oricarearelementelea sib,conjunct ia(b si(a, b) )estefalsa,deci,oricarearelementula,proprietatea(b)(b si(a, b) )estefalsa,asadar,oricarearelementula,conjunct iacaresuccedemaisusimplicat ieiavandcaantecedentpea Aestefalsa.Inschimb, ntrucatAestenevida,rezultacaproprietateaa Aesteadevaratapentrumacarunelementa. Prinurmare,implicat ia[a A . . .]demaisusestefalsapentrucelput inunelementa,ceeace nseamnaca ntreagaproprietate(a)[a A . . .]estefalsa, sidecif nuestefunct ie.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 10/37Mult imi sifunct iiDenit iePentruoricemult imiA siB,oricefunct ief : A Bsioricesubmult imiX A siY B,sedenesc:imaginealuiXprinf sauimagineadirectaaluiXprinf ,notataf (X),estesubmult imealuiB: f (X) = {f (x) |x X} Bf (A) = {f (a) |a A} BsemainoteazacuIm(f ) sisenumesteimaginealuifpreimaginealuiYprinf sauimagineainversaaluiYprinf ,notataf 1(Y)(f (Y) nunelecart i,pentruaodeosebideimaginealuiYprininversaf 1aluif ,careexistanumaiatuncicandf esteinversabila,adicanumaiatuncicandf estebijectiva,pecandpreimagineauneisubmult imiacodomeniuluipoatedenitapentruoricefunct ie),estesubmult imealuiA:f 1(Y) = {x A |f (x) Y} ARemarcaEvident,cunotat iiledemaisus,f 1(B) = A.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 11/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imiDenit iePentruoricemult imiA siB,notamcuABdiferent asimetricaaluiA siB,anume: AB= (A \ B) (B \ A).Notat iePentruoricemult imeT,vomnotacu P(T)mult imeapart ilorluiT,i. e.mult imeasubmult imilorluiT: P(T) = {X |X T}.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 12/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imiDenit ieFieTomult imenevidaarbitrara,xata. PentruoriceA P(T),denimfunct iacaracteristicaaluiA(raportatlaT): A: T {0, 1},pentruoricex T,A(x) =

0, dacax / A,1, dacax A.Observat ieIndenit iademaisuspentrufunct iilecaracteristicealesubmult imiloruneimult imiT,amfolositnotat ia(consacrata)Apentrufunct iacaracteristicaauneisubmult imiAaluiT,caresugereazafaptulcaaceastafunct ieardepindenumaideA. Motivulpentrucarenuseataseazalaaceastanotat ie siindiceleT,pentruaaratafaptulevidentcaaceastafunct iedepinde sideT,esteca, nmoduzual,seconsideramult imeatotalaTcaindxataatuncicandlucramcufunct iilecaracteristicealepart ilorsale.RemarcaInceleceurmeazavomconsideracodomeniulfunct iilorcaracteristice {0, 1} N(sau {0, 1} R),iaroperat iilearitmeticecarevorefectuatevoroperat iileuzualedepe N(sau R).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 13/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imiPropozit ie(Proprietat ilefunct iilorcaracteristice)FieTomult imenevidaarbitrara,xata. PentruoriceA P(T),notamcuAfunct iacaracteristicaaluiA(raportatlaT). Mainotamfunct iileconstante:0 : T {0, 1} si1 : T {0, 1},pentruoricex T,0(x) = 0 si1(x) = 1.Atunciaulocproprietat ile:1= 0 siT= 12pentruoriceA P(T),A = 1A({1})3pentruoriceA, B P(T),arelocechivalent a: A BddacaA B(punctual,i. e.: pentruoricex T,A(x) B(x))4pentruoriceA, B P(T),arelocechivalent a: A = BddacaA= B5pentruoriceA, B P(T),AB= A B6pentruoriceA P(T),A= 2A7pentruoriceA, B P(T),AB= A +B A B8pentruoriceA, B P(T),A\B= A A B9pentruoriceA P(T),T\A= 1 A10AB= A +B 2 A BClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 14/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imiDemonstrat ie: (1)Dinfaptulcaoricex Tsatisface: x / six T.(2)Fiex T. Avem: x AddacaA(x) = 1ddacax 1A({1}). AsadarA = 1A({1}).(3)Areloc: A Bddaca(x T)(x A x B)ddaca(x T)(A(x) = 1 B(x) = 1)ddaca(x T)A(x) B(x)ddacaA B(amintimcadomeniulvalorilorluiAsiBeste {0, 1}).(4)Putemfolosipunctul(3): A = Bddaca[A BsiB A]ddaca[A BsiB A]ddacaA= B.Sauputemfolosipunctul(2): A = Bddaca1A({1}) = 1B({1})ddacaA= B(amintimcadomeniulvalorilorluiAsiBestemult imeacudouaelemente {0, 1}).(5)Fiex T,arbitrar,xat. Distingempatrucazuri:x / A six / B(decix / A B)x / A six B(decix / A B)x A six / B(decix / A B)x A six B(decix A B)Inprimuldintreacestecazuri,AB(x) = 0 = 0 0 = A(x) B(x). Lafelseanalizeazacelelaltetreicazuri, sirezultacaAB(x) = A(x) B(x)pentruoricex T,i. e. AB= A B.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 15/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imi(6)Aplicand(5)cazuluiparticularA = B,obt inem: A= AA= A A= 2A.Sauputemaplicafaptulcaecaredintreelementele0 si1esteegalcupatratulsau,iarcodomeniulluiAeste {0, 1}.(7)Analogdemonstrat ieipentrupunctul(5).(8)Analogdemonstrat ieipentruecaredintrepunctele(5) si(7).(9)Conformpunctelor(8) si(1),T\A= T T A= 1 1 A= 1 A.(Esteclarca1 A= A. Seputeafolosi,caalternativa, sipunctul(5),pentruadeduce: T A= TA= A.)(10)Putemcalcula,conformpunctelor(7),(8),(5) si(1):AB= (A\B)(B\A)= A\B+B\A A\B B\A=A A B+B A B (A\B)(B\A)= A +B 2 A B =A +B 2 A B 0 = A +B 2 A B. Amaplicatfaptulcaoriceelementalintersect iei(A \ B) (B \ A)simultanapart ineluiA sinuapart ineluiA(sisimultanapart ineluiBsinuapart ineluiB);sigurcanuexistaunastfeldeelement,asadaraceaintersect ieestevida.RemarcaPunctele(3) si(4)alepropozit ieiprecedenteneoferaposibilitateadeademonstraincluziunea siegalitateademult imifolosindfunct iacaracteristicaamult imilorrespective.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 16/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imiRemarcaAseobservaca, npropozit iaanterioara,conformpunctelor(5),(7) si(8),auloc,pentruoriceA, B P(T):AB= A +B ABA\B= A ABDeasemenea,pentruorice, {0, 1}(careestedomeniulvalorilorfunct iilorcaracteristice),auloc: = min{, } + = max{, }Acesteegalitat ipotdemonstrate,deexemplu,prin nlocuireaecaruiadintreelementele sicuecaredintrevalorile0 si1 necareegalitate.Dinegalitat iledemaisus sipunctele(5) si(7)alepropozit ieiprecedenterezultaca,pentruoriceA, B P(T),auloc:AB= min{A, B}AB= max{A, B}ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 17/37Funct iacaracteristicaauneisubmult imiauneimult imiTemepentruacasa: Sasedemonstreze,folosindfunct iacaracteristica(nuconteazafat adecemult imetotalaT;sepoateluaoricemult imeTcareincludemult imilecareintra ndiscut ie,deexemplusepoateluaTegalacureuniuneaacelormult imi):asociativitateadiferent eisimetrice: pentruoricemult imiA,B,C,A(BC) = (AB)C(indicat ie: princalcul,folosindpropozit iaprecedenta,seobt ineA(BC)= (AB)C,ceeaceesteechivalentcuegalitateaA(BC) = (AB)Ccaretrebuiedemonstrata;lafelsepoateprocedamaijos)distributivitatealui fat ade : pentruoricemult imiA,B,C,A (B C) = (A B) (A C)distributivitatealui fat ade : pentruoricemult imiA,B,C,A (B C) = (A B) (A C)idempotent aoperat ieidetrecerelacomplementara: pentruoricemult imeTsioriceA P(T),T \ (T \ A) = Alegilelui deMorganpentru si : pentruoricemult imeTsioriceA, B P(T),

T \ (A B) = (T \ A) (T \ B)T \ (A B) = (T \ A) (T \ B)alterezultatedemonstrate nprimulseminarClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 18/37Mult imi sifunct iiDenit ieFieA siBmult imi sif : A Bofunct ie. f sezice:injectivaddacaarelocoricaredintreurmatoarelecondit iiechivalente:pentruoriceb B,existacelmultuna A,astfel ncatf (a) = bpentruoricea1, a2 A,dacaa1 = a2,atuncif (a1) = f (a2)pentruoricea1, a2 A,dacaf (a1) = f (a2),atuncia1= a2surjectivaddacaarelocoricaredintreurmatoarelecondit iiechivalente:pentruoriceb B,existacelput inuna A,astfel ncatf (a) = bf (A) = Bbijectivaddacaarelocoricaredintreurmatoarelecondit iiechivalente:f estesimultaninjectiva sisurjectivapentruoriceb B,existaexactuna A,astfel ncatf (a) = b(formal:(b B)(!a A)f (a) = b)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 19/37Funct iacaracteristicaDenit ieDouamult imiA siBseziccardinalechivalenteddacaexistaofunct iebijectivadelaAlaB,faptnotatprin: A = B.Notat iePentruoricemult imiA siB,senoteazacuBAmult imeafunct iilordelaAlaB:BA= {f |f : A B}.Propozit iePentruoricemult imenevidaT, P(T) = {0, 1}T.Demonstrat ie: Consideramaplicat iaf : P(T) {0, 1}T= { | : T {0, 1}},denitaprin: pentruoriceA P(T),f (A) = A(funct iacaracteristicaaluiAraportatlaT).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 20/37Funct iacaracteristicaConformpropozit ieicont inandproprietat ilefunct ieicaracteristice,pentruoriceA, B P(T),avem:dacaA = B,atunciA= B,adicaf (A) = f (B),decif ebinedenita(i.e. estefunct ie,adicaasociazaunuielementdindomeniulei, P(T),ununicelementdincodomeniulei, {0, 1}T)sireciproc: dacaf (A) = f (B),adicaA= B,atunciA = B,decif esteinjectiva.Fie {0, 1}T,i. e. : T {0, 1}. FieA = 1({1}) = {a T |(a) = 1}.AtunciA {0, 1}Tareproprietateaca,pentruoricex T: A(x) = 1ddacax A = 1({1})ddaca(x) = 1. CumAsiaucadomeniualvalorilormult imeacudouaelemente {0, 1},rezultaca = A= f (A),decif este sisurjectiva.Amdemonstratcaf : P(T) {0, 1}Testeobiject ie,deci P(T) = {0, 1}T.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 21/37Familiiarbitraredemult imiCeesteun sirdenumererealeindexatde N?Un sir(xn)nN Resteofunct ief : N R. Pentruoricen N,senoteazaxn:= f (n) R.Ceesteofamiliearbitraradenumerereale?FieI omult imearbitrara. CeesteofamiliedenumererealeindexatadeI ?Ofamilie(xi)i I Resteofunct ief : I R. Pentruoricei I ,senoteazaxi:= f (i ) R. Elementelemult imiiI senumescindiciifamiliei(xi)i I.Dataomult imearbitraraM:ceesteun sirdeelementealeluiMindexatde N?ceesteofamiliearbitraradeelementealeluiM?Inlocuindmaisuspe RcuM,seobt indenit iileacestornot iuni.Ceesteun sirdemult imiindexatde N?Ceesteofamiliearbitrarademult imi?ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 22/37Familiiarbitraredemult imiDenit ieFieTomult imearbitrara. Senumeste sirdesubmult imialeluiTindexatde Nofunct ief : N P(T). Pentruecaren N,senoteazaAn:= f (n) P(T),iarsiruldesubmult imialeluiTsenoteazacu(An)nN. Scriem(An)nN P(T)cusemnicat iaca,pentruecaren N,An P(T).Denit ieFieTsiI douamult imiarbitrare. Senumestefamiliedesubmult imialeluiTindexatadeI ofunct ief : I P(T). Pentruecarei I ,senoteazaAi:= f (i ) P(T),iarfamiliadesubmult imialeluiTsenoteazacu(Ai)i I.Scriem(Ai)i I P(T)cusemnicat iaca,pentruecarei I ,Ai P(T).Elementelemult imiiI senumescindiciifamiliei(Ai)i I.Putemgeneralizadenit iileanterioarela siruridemult imioarecare sifamiliidemult imioarecare,nuneaparatpart ialeuneimult imiprecizate,darvomaveanevoiedeaceadenit iemaicuprinzatoareanot iuniidefunct ie,carepermiteuneifunct iif denitepe N,respectivpeI ,saaibadreptcodomeniuoclasa(nuneaparatomult ime),anumeclasatuturormult imilor nacestcaz.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 23/37Operat iicufamiliiarbitraredemult imiDenit ieFieI omult imearbitrara si(Ai)i Iofamiliedemult imi(part ialeuneimult imiTsaumult imiarbitrare)indexatadeI .Sedenescurmatoareleoperat ii:reuniuneafamiliei(Ai)i Iestemult imeanotata

i IAisidenitaprin:

i IAi= {x |(i I )x Ai}intersect iafamiliei(Ai)i Iestemult imeanotata

i IAisidenitaprin:

i IAi= {x |(i I )x Ai}ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 24/37Operat iicufamiliiarbitraredemult imiDenit ieprodusulcartezianalfamiliei(Ai)i I(numit siprodusuldirectalfamiliei(Ai)i I)estemult imeanotata

i IAisidenitaprin:

i IAi= {(ai)i I

i IAi |(i I )ai Ai},sau,altfelscris(cudenit iauneifamiliideelementeexemplicatemaisuspefamiliidenumerereale):

i IAi= {f |f : I

i IAi, (i I )f (i ) Ai}.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 25/37Operat iicufamiliiarbitraredemult imiExempluFieTsiI douamult iminevide si(Ai)i I P(T)ofamiliedepart ialeluiTindexatadeI . Sademonstramurmatoareleegalitat isatisfacutedefunct iilecaracteristiceraportatlaT:

i IAi= max{Ai |i I }

i IAi= min{Ai |i I }SanotamcuF:= max{Ai |i I } : T {0, 1},denita,desigur,punctual:pentruoricex T,F(x) = max{Ai(x) |i I }. Observamcamaximuluneifamiliideelementedinmult imea {0, 1}esteegalcu1ddacaexistamacarunelementegalcu1 naceafamilie. Pentruoricex T,avem:

i IAi(x) = 1ddacax

i IAiddaca(i I )x Aiddaca(i I )Ai(x) = 1ddacamax{Ai(x) |i I } = 1ddacaF(x) = 1. Rezultaca

i IAi= F, ntrucatcodomeniulacestordouafunct iiestemult imeacudouaelemente {0, 1}.Avet idemonstrareaceleideadouaegalitat icatema. Indicat ie: observat icaminimuluneifamiliideelementedinmult imea {0, 1}esteegalcu1ddacatoateelementeleaceleifamiliisuntegalecu1, sirescriet idemonstrat iademaisusnlocuind neamaximulcuminimul, cu sireuniuneacuintersect ia.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 26/37NumerecardinaleAmintimcaspunemcadouamult imiA siBsuntcardinalechivalente, siscriemA = B,ddacaexistaobiject ief : A B.Denit iePentruoricemult imeA,senumestecardinalulluiAsaunumarulcardinalalluiAclasatuturormult imilorBcuA = B,notata |A|.Estesimpludedemonstrat,folosindoperat iicubiject iipecareleconsideramcunoscutedingimnaziu siliceu,ca:pentruoricemult imeA,A = A,deciA |A|pentruoricemult imiA siB,dacaA = B,atunciB = A si |A| = |B|,i. e.oricemult imeCsatisfaceA = CddacasatisfaceB = Cpentruoricemult imiA siB,dacaAB,atuncinuexistaniciomult imeCcuproprietat ile: C |A|(i. e. A = C) siC |B|(i. e. B = C)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 27/37NumerecardinaleDenit iePentruoricemult imiA siB,notamcu:|A| |B|faptulcaexistaoinject iej : A B|A| < |B|faptulca |A| |B| si |A| = |B|,i. e. existaoinject iej : A B,darnuexistaniciobiject ief : A BTeorema(Cantor)Pentruoricemult imeX, |X| < |P(X)|.Demonstrat ie: DacaX= ,atuncisepoatevericafaptulcaunicafunct ief : X= P(X) = P() = {},anumef = (, , {}),esteinject ie,darnuestesurject ie,decinuestebiject ie.Pentruceleceurmeaza,sapresupunemcaX = .Denimj : X P(X),pentruoricex X,j (x) = {x} P(X). Funct iaj estebinedenita siinjectiva,pentruca,oricarearx, y Xcuj (x) = j (y),i. e.{x} = {y},rezultax= y(deoarecedouamult imicoincidddacaauaceleasielemente). Asadar |X| |P(X)|.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 28/37NumerecardinaleSapresupunemprinabsurdcaexistaosurject ieg: X P(X). Deci,pentruoricex X,g(x) P(X),i. e. g(x) X. SanotamA := {x X |x / g(x)} P(X). gestesurjectiva,prinurmareexistaunelementx0 Xa. . g(x0) = A.Paradox: x0 g(x0) = Asaux0/ g(x0) = A?Dacax0 g(x0) = A = {x X |x / g(x)},rezultacax0/ g(x0).Dacax0/ g(x0) = A = {x X |x / g(x)},rezultacax0 A = g(x0).Amobt inutocontradict ie(necaresituat ieposibila),prinurmarepresupunereafacutaestefalsa,adicanuexistaniciosurject ieg: X P(X),decinuexistaniciobiject ief : X P(X),asadarXP(X),deci |X|= |P(X)|.Asadar |X| < |P(X)|.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 29/37NumerecardinaleNumerelenaturalepotconstruitecuajutorulcardinalelor(alnumerelorcardinale), ntrunmodcarenuestefundamentaldiferitdeconstruct iament ionata nprimulcurs:0 := ||,1 := |{}|,2 := |{, {}}|,3 := |{, {}, {, {}}}|,...Mereuseconsideramult imeaavanddreptelementetoatemult imiledelapasiianteriori.Mult imeanumerelornaturale, N,esteomult imeinnita, siesteomult imenumarabila.Ceesteomult imenumarabila?Ceesteomult imeinnita?ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 30/37NumerecardinaleNotat ieCardinalulmult imiinumerelornaturalesenoteazacu 0,pronunt atalef0:0:= |N|.Denit ieOmult imeXsezicenumarabiladdaca |X| = 0,i. e. ddacaX = N.Denit ieOmult imeXseziceinnita:1nsensDedekind,ddacaexistaSXa. . S = X2nsensCantor,ddacaexistaS X,a. . Sestenumarabila3nsensobisnuit,ddaca,pentruoricen N,X{1, 2, . . . , n}TeoremaCeletreidenit iidemaisusalemult imilorinnitesuntechivalente.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 31/37NumerecardinaleObservat iePentrudemonstrat iateoremeianterioare,asevedeanalulprimuluicapitolalcart ii: D.Busneag,D.Piciu,Lect iidealgebra,EdituraUniversitariaCraiova,2002. Aceastademonstrat ienufacepartedinmateriapentruexamen.Desigur,omult imenitaeste,prindenit ie,omult imecarenuesteinnita,adica, nconformitatecudenit iademaisusamult imilorinnite nsensobisnuit,omult imenitaesteomult imeXcuproprietateacaX = {1, 2, . . . , n}pentruunanumitn N. (Desigur,amfolositlicent adescriere(convent ia):{1, 2, . . . , n} = pentrun = 0.)ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 32/37NumerecardinaleDenit iamult imilorinnite nsensCantorarataca 0(i. e. cardinalulmult imilornumarabile)estecelmaimiccardinalinnit,undecardinalinnit(saucardinaltransnit) nseamnacardinalaluneimult imiinnite.Inparticular, Nesteomult imeinnita, sioricemult imenumarabilaesteomult imeinnita.Denit ieOmult imecelmultnumarabilaesteomult imenitasaunumarabila(adicaavandcardinalulmaimicsauegalcu 0).Nesteomult imeinnita,deci,conformdenit ieimult imilorinnite nsensDedekind,poatepusa nbiject iecuosubmult imeproprie(i. e. stricta,i. e.diferitade ntreagamult ime N)asa.ExempluUnhotelareoinnitatedecamere,numerotatecunumerelenaturale, sitoatecamerelesalesuntocupate. Cumpoatecazatunnouturist nacelhotel?Solut ie: mutamocupantulcamerei0 ncamera1,pecelalcamerei1 ncamera2,pecelalcamerei2 ncamera3 s. a. m. d.. Iarnoulturistestecazat ncamera0.Morala:cumpunempe Nnbiject iecu N:= N \ {0}?Denimf : N N,pentruoricen N,f (n) = n + 1. f esteobiject ie.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 33/37NumerecardinaleExempluUnhotelareoinnitatedecamere,numerotatecunumerelenaturale, sitoatecamerelesalesuntocupate. Cumpotcazat iunmiliondenoituristi nacelhotel?Solut ie: mutamocupantulcamerei0 ncamera1.000.000,pecelalcamerei1 ncamera1.000.001,pecelalcamerei2 ncamera1.000.002 s. a. m. d.. Iarnoiituristisuntcazat i ncamerele0, 1, 2, . . . , 999.999.Morala:cumpunempe Nnbiject iecuN \ 0, 999.999 = {n N |n 1.000.000}?Denimg: N N \ 0, 999.999,pentruoricen N,g(n) = n + 1.000.000. gesteobiject ie.RemarcaMult imea Zanumerelor ntregiestenumarabila.Intr-adevar,funct iah : Z N,denitaprin: pentruoricex Z,h(x) =

2x, dacax 0,2x 1, dacax< 0,esteobiject ie.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 34/37NumerecardinaleRemarcaMult imea Qanumerelorrat ionaleestenumarabila,faptcarepoatedemonstratprintr-omarevarietatedeprocedee,cumar: punandmai ntaipe Q [0, ) nbiject iecucu Q [0, 1)prinx xx + 1,apoipe Q [0, 1) nbiject iecu Nprinasezareaelementelorlui Q [0, 1) n sirul01, 02, 12, 03, 13, 23, . . . , 0n, 1n, 2n, . . . , n 1n,0n + 1, . . . sieliminareaduplicatelordinacest sir,iarpasiidepanaacumconduc,princompuneredebiject ii,laexistent auneibiject ii : Q [0, ) Ncu(0) = 0(deci |Q(0,): Q (0, ) N= N \ {0}este,larandulei,obiject ie),ceeacepermiteobt inereauneibiject iif : Q N,deniteprin: pentruoricex Q,f (x) =

2(x), dacax 0,2(x) 1, dacax< 0.Asevedeaaltemetodedeaconstruiobiject ie ntre Q si Nnprimulcapitolalcart ii: D.Busneag,D.Piciu,Lect iidealgebra,EdituraUniversitariaCraiova,2002.Observat ieDemonstrareafaptuluica Q= Nnufacepartedinmateriapentruexamen.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 35/37NumerecardinaleRemarcaMult imea Ranumerelorrealenuestenumarabila(sigurcaesteinnita, nbazadenit ieiluiCantorpentrumult imileinnite,deoareceincludepe N). Acestfaptpoatearatat,deexemplu,prinprocedeul diagonal al lui Cantor: saconsideramofunct iearbitraraf : N R si,pentruecaren N,sascriempef (n)cafract iezecimala: f (n) = [f (n)] + 0, an,1an,2an,3. . . an,nan,n+1. . . an,k . . .,unde [f (n)] este partea ntreaga a lui f (n) si an,1, an,2, an,3, . . . sunt cifrele zecimalededupavirgulaaleluif (n). Saconsideramunnumarrealb,cuscriereacafract iezecimala: b = 0, b1b2b3. . . bn . . .,cucifrelezecimaleb1, b2, b3, . . . , bn, . . . sicuproprietateaca,pentruoricen N,bn/ {0, an,n, 9}(eliminampe0 si9pentruaevitacazuldatdeegalitatea1 = 0, (9) = 0, 9999 . . .,usorvericabilaprinexprimareacufract iiaacestornumere). Atunci,pentruoricen N,b = f (n),pentrucaauanazecimaladiferita,ceeacearatacaf nuestesurjectiva. Decinuexistaniciosurject iedela Nla R,asadarnuexistaniciobiject ie ntre N si R.RemarcaSepoatearataca R= P(N).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 36/37NumerecardinaleEste |R|primulcardinalinnitnenumarabil?Denit ie|R|senumesteputereacontinuumului.Ipotezacontinuumului: Nuexistaniciuncardinal Ccuproprietateaca0= |N| < C< |R|. (Adica |R|esteprimulcardinalinnitnenumarabil.)S-ademonstratca:ipotezacontinuumuluiesteoproprietateindependentadesistemeleconsacratedeaxiomepentruteoriamult imilor(ZermeloFraenkel,vonNeumannBernaysGodeletc.),i. e. nupoatenicidemonstrata,niciinrmataporninddelaaxiomeledinacestesisteme.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 37/37Logicamatematica sicomputat ionalaCursulIIIClaudiaMURESANcmuresan11@yahoo.comUniversitateadinBucurestiFacultateadeMatematicasi InformaticaBucuresti2011-2012,semestrulIClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 1/291Relat iibinarepeomult imeClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 2/29Relat iinareAmintimnotat ia

i IAipentruprodusuldirect(produsulcartezian)aluneifamilii(arbitrare)demult imi(Ai)i Isinotat ia(ai)i Ipentruunelementalacestuiprodusdirect(i. e. ai Aipentruoricei I ).Amintimcaamnotatcu N:= N \ {0}mult imeanumerelornaturalenenulesi,pentruoricennatural,1, n := {1, 2, . . . , n},cuconvent ia: 1, 0 = .Notat ieFien N simult imileA1, A2, . . . , An. Produsuldirect

i 1,nAisemainoteazacun

i =1Ai,iarunelement(ai)i 1,nalacestuiprodusdirectsemainoteazacu(a1, a2, . . . , an).Licent adescriere(convent ie): Pentruoricen N,oricemult imiA1, A2, . . . , An, B,oricefunct ief :n

i =1Ai Bsioriceelementea1 A1, a2 A2, . . . , an An,senoteazaf (a1, a2, . . . , an) := f ((a1, a2, . . . , an))(i. e. unadintreperechiledeparantezesepoateeliminadinscriere).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 3/29Relat iinareAmintimcaamnotatcuA = Bfaptulcaexistaobiject ie ntredouamult imiA siB.Propozit ie(asociativitateaprodusuluidirect)Fie A1, A2, A3mult imi arbitrare. Atunci A1(A2A3) = (A1A2) A3=3

i =1Ai.Maiprecis,A1 (A2 A3) = (A1 A2) A3 =3

i =1Ai, ntrucaturmatoarelefunct iisuntbiject ii: A1 (A2 A3) (A1 A2) A33

i =1Ai,pentruoricea1 A1,oricea2 A2sioricea3 A3,(a1, (a2, a3)) := ((a1, a2), a3) si((a1, a2), a3) := (a1, a2, a3). Fiecaredintrebiject iile siseasimileazacuidentitatea(i. e. cuegalitatea),adicasestabilescprinconvent ieegalitat ile:(a1, (a2, a3)) = ((a1, a2), a3) = (a1, a2, a3)pentruoricea1 A1,oricea2 A2sioricea3 A3.Demonstrat ie: Esteevidentca sisuntbiject ii,adicaoriceelementdincodomeniulecareiadintreeleesteimagineaunuia sinumaiunuiadintreelementeledindomeniulsau.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 4/29Relat iinareAsociativitateaprodusuluidirectsemnicafaptulca, ntr-un sirdeprodusedirecte(caoperat iibinarenotateinxat,i. e. cuoperatorulbinarprodusdirect ntreargumentele(operanzii,variabilele)sale;asevedeamaijos),nuconteazacumpunemparantezele,i. e. indiferentcaredintreproduseledirectedinacel sirsuntefectuatemaidevreme sicaremaitarziu,rezultatulobt inutesteacelasi.Asociativitateaprodusuluidirectfacelegitima(i. e. corecta)notat iaurmatoarepentruun sirdeprodusedirectenotateinxat(i. e. cuoperatorulbinarprodusdirect ntreargumentelesale,camaijos)faraparanteze.Notat iePentruoricen N sioricemult imiA1, A2, . . . , An,notamA1 A2 . . . An:=n

i =1Ai.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 5/29Relat iinareDenit ieFien N siA1, A2, . . . , Anmult imi. Senumesterelat ienara ntremult imileA1, A2, . . . , Anosubmult imeaprodusuluicartezianA1 A2 . . . An.Observat iePentrun = 1 ndenit iaanterioaraseobt inenot iuneaderelat ieunarapeomult ime: prindenit ie,orelat ieunarapeomult imeAesteosubmult imealuiA.Pentrun = 2 ndenit iaanterioaraseobt inenot iuneaderelat iebinara.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 6/29Relat iibinareDenit ieFieA siBdouamult imi. Senumesterelat iebinara ntreA siBosubmult imeRaprodusuluidirectA B.Pentruecarea A siecareb B,faptulca(a, b) RsemainoteazacuaRbsiseciteste: aeste nrelat iaRcub.ExempluPentruoricemult imiA siB,produsuldirectA Besteorelat iebinara ntreA siB(evident,ceamaimare nsensulincluziuniidintretoaterelat iilebinare ntreA siB).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 7/29Tipuriderelat iibinareDenit ie(tipuriderelat iibinare)Fie A si Bmult imi, iar R AB(i. e. Ro relat ie binara ntre A si B). Rse zice:funct ionaladdaca: pentruoricea A sioriceb1, b2 B,dacaaRb1siaRb2,atuncib1= b2;orelat iefunct ionala ntreA siBsemainumestefunct iepart ialadelaAlaB;totaladdaca: pentruoricea A,existab B,a. . aRb;orelat iefunct ionalatotala ntreA siBsemainumestefunct iedelaAlaB;injectivaddaca,pentruoricea1, a2 A sioriceb B,dacaa1Rbsia2Rb,atuncia1= a2;surjectivaddaca,pentruoriceb B,existaa A,astfel ncataRb.RemarcaDenit iademaisusauneifunct iiesteexactdenit iadincursulaldoilea, ncareidenticamofunct iecugraculei: ofunct ief = (A, G, B)seidenticacuG A B.Deasemenea,cuaceastaidenticare,not iuneadefunct ieinjectiva,respectivsurjectiva,coincidecuaceeaderelat iefunct ionalatotalainjectiva,respectivsurjectiva.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 8/29Denit iealternativapentruofunct ieFieA siBdouamult imi.Conformcelordemaisus,ofunct iedelaAlaBesteorelat iebinara ntreAsiB,R A B,cuproprietateaca,pentruoricea A,existaununicb B,a. . aRb.Unaltmoddeadeniofunct iedelaAlaBestecaindorelat ieunarapemult imeaA B,deciosubmult imeS A B,cuproprietateaca,pentruoricea A,existaununicb B,a. . (a, b) S.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 9/29Diagonalauneimult imiDenit iePentruoricemult imeA,A:= {(a, a) |a A}esteorelat iebinara ntreA siA,numitadiagonalaluiA.RemarcaPentruoricemult imeA,Aestechiarrelat iadeegalitatepeA,adica,pentruoricea, b A,avem: aAbddacaa = b.RemarcaPentruoricemult imeA,Aesteofunct ie,anumefunct iaidenticaaluiA(identitatealuiA): A= idA: A A,pentruoricea A,idA(a) = a.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 10/29Operat iicurelat iibinareRelat iilesuntmult imi,asadarlisepotaplicaoperat iileobisnuitecumult imi:reuniunea,intersect ia,diferent aetc..Astfel,pentruoricemult imiA,Bsioricerelat iebinaraR ntreA siB: R S,R S,R \ S,R:= (A B) \ R(complementaraluiR)sunttotrelat iibinarentreA siB.Denit iePentru orice mult imi A, B, A

, B

si orice relat ii binare R ABsi R

A

B

,sedenesteprodusuldirectalrelat iilorRsiR

,notatR R

,caindurmatoarearelat iebinara ntreA A

siB B

: R R

:= {((a, a

), (b, b

)) |a A, a

A

, b B, b

B

, (a, b) R, (a

, b

) R

} (A A

) (B B

).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 11/29Operat iicurelat iibinareDenit iePentruoricemult imiA, B, Csioricerelat iibinareR A BsiS B C,sedenestecompunerealuiScuRcaindrelat iabinara ntreA siCnotataS Rsidenitaprin:S R= {(a, c) |a A, c C, (b B)[(a, b) Rsi(b, c) S]} A C.RemarcaDiagonalauneimult imiesteelementneutrulacompunere siladreapta, silastanga,i. e.,pentruoricemult imiA, Bsioricerelat iebinaraR A B,R A= RsiB R= R. Demonstrat iaesteimediata sioavet icatemapentruacasa.RemarcaCompunereacarelat iibinareadouafunct iicoincidecucompunerealorcafunct ii.Inparticular,rezultatuleiestetotofunct ie. Acestefaptesuntusordeobservat.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 12/29Operat iicurelat iibinareDenit iePentruoricemult imiA, Bsioricerelat iebinaraR A B,sedenesteinversaluiR,notataR1,caindurmatoarearelat iebinara ntreBsiA:R1= {(b, a) |(a, b) R} B A.RemarcaAseobservafaptulca,pentruoricerelat iebinaraR,sedenesteinversaeiR1,spredeosebiredecazulinverselordefunct ii,caresedenescnumaipentrufunct iilebijective,aceastarestrict ieprovenindatatdinconstrangereacarelat iabinarasaefunct ie,catsidinconstrangereacainversaeisaetotfunct ie(asevedeaoremarcademaijos,carearatacadenit iafunct ieiesteexactdenit iabijectivitat ii(i. e. ainjectivitat ii sisurjectivitat ii) noglinda).RemarcaEsteimediatfaptulcainversacarelat ieauneifunct iibijectiveesteinversaeicafunct ie.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 13/29Operat iicurelat iibinareRemarca(temapentruseminar)FieA, Bmult imi siR A B. Atunci:ResteinjectivaddacaR1estefunct ionala;RestesurjectivaddacaR1estetotala;prinurmare: Resteinjectiva sisurjectivaddacaR1estefunct ie.RemarcaAseobservacaorelat iebinarainjectiva sisurjectivanuesteneaparatofunct ie(bijectiva),pentrucanuiseimpunecondit iadeafunct ionala, siniciceadeatotala.Exercit iu(temapentruseminar)FieA, Bmult imi siR A B. DacaResteinjectiva,atunci:R1 R A;R1 R= AddacaRestetotala.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 14/29Operat iicurelat iibinareRemarca(asociativitateacompuneriiderelat iibinare)FieA, B, C, Dmult imi,R A B,S B CsiT C D. Atunci:T (S R) = (T S) R.Intr-adevar,T (S R) = {(a, d) |a A, d D, (c C)((a, c) S Rsi(c, d) T)} = {(a, d) |a A, d D, (c C)(b B)((a, b) Rsi(b, c) Ssi(c, d) T)} = {(a, d) |a A, d D, (b B)(c C)((a, b) Rsi(b, c) Ssi(c, d) T)} = {(a, d) |a A, d D, (b B)((a, b) Rsi(b, d) T S)} = (T S) R. Amaplicatfaptulcadoicuanticatorideacelasifelcomuta(aiciavemdoicuanticatoriexistent iali).RemarcaFieA, B, Cmult imi,R A BsiS B C. Atunci:(S R)1= R1 S1.Intr-adevar,R1 S1= {(c, a) |c C, a A, (b B)((c, b) S1si(b, a) R1)} = {(c, a) |a A, c C, (b B)((a, b) Rsi(b, c) S)} ={(c, a) |(a, c) S R} = (S R)1.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 15/29Operat iicurelat iibinareDenit iePentruoricemult imeA,oricerelat iebinaraR A A sioricen N,sedenesteputereaanaaluiR,notataRn A A,prin:_R0:= A;Rn+1:= Rn R, pentruoricen N.RemarcaAseobservacaasociativitateacompuneriiderelat iibinareimplicafaptulcadouaputerinaturalealeaceleiasirelat iibinarecomutalacompunere.Intr-adevar,pentruoricemult imeA,oriceR A A sioricen, k N(putemeliminacazulncaren = 0sauk= 0,pentrucaamvazutcaR0= Aesteelementneutrulacompunere),Rn Rk= (R . . . R). .ndeR (R . . . R). .kdeR= (R . . . R). .kdeR (R . . . R). .ndeR= Rk Rn(ammutatparantezele).ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 16/29Operat iicurelat iibinareRemarcaPentruoricemult imeA,1A= A.Intr-adevar,1A= {(b, a) |a A, b A, (a, b) A} = {(b, a) |a A, b A, a = b} = {(a, a) |a A} = A.RemarcaPentruoricemult imeA,oricerelat iebinaraR A A sioricen N,(Rn)1= (R1)n.Intr-adevar,aceastaegalitaterezultaprininduct iedupan Ndintr-oremarcademaisus:Pasul devericare: Pentrun = 0avem: (R0)1= (A)1= A= (R1)0.Pasul deinduct ie: Presupunemca(Rn)1= (R1)npentruunn N,arbitrar,xat. Conformuneiremarcidemaisus,ipotezeideinduct ie siasociativitat iicompuneriiderelat iibinare,careneasiguradecomutareaoricarorputerinaturalealeoricareirelat iibinare,dupacumamvazut,(Rn+1)1= (Rn R)1=R1 (Rn)1= R1 (R1)n= (R1)n R1= (R1)n+1. Rat ionamentulprininduct iematematicaeste ncheiat.Asadar(Rn)1= (R1)npentruoricen N.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 17/29Relat iibinarepeomult imeDenit ieFieAomult ime. Senumesterelat iebinarapeAorelat iebinara ntreA siA,i. e.osubmult imeaprodusuluidirectA A,produsdirectcaresemainoteaza siA2.ExempluPentruoricemult imeA,A2siAsuntrelat iibinarepeA.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 18/29Tipuriderelat iibinarepeomult imeDenit ie(tipuriderelat iibinarepeomult ime)FieAomult ime siR A2(i. e. Rorelat iebinarapeA). Rsezice:reexivaddaca,pentruoricea A,aRa;ireexivaddaca,pentruoricea A,(a, a)/ R;simetricaddaca,pentruoricea, b A,dacaaRb,atuncibRa;antisimetricaddaca,pentruoricea, b A,dacaaRbsibRa,atuncia = b;asimetricaddaca,pentruoricea, b A,daca(a, b) R,atunci(b, a)/ R;tranzitivaddaca,pentruoricea, b, c A,dacaaRbsibRc,atunciaRc;totala(ntr-unaldoileasens)ddaca,pentruoricea, b Acua = b,arelocaRbsaubRa;completaddaca,pentruoricea, b A,arelocaRbsaubRa.RemarcaEsteimediatcaorelat iebinarapeomult imeestecompletaddacaestereexiva sitotala(nacestaldoileasens).Remarca(temapentruacasa)Sedemonstreazaprinreducerelaabsurdcaoricerelat ieasimetricaesteireexiva.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 19/29Tipuriderelat iibinarepeomult imeDenit ie(tipuriderelat iibinarepeomult ime)FieAomult ime siR A2(i. e. Rorelat iebinarapeA). Rsenumeste:(relat iede)preordineddacaereexiva sitranzitiva;(relat iede)echivalent addacaeopreordinesimetrica,i. e. orelat iereexiva,simetrica sitranzitiva;(relat iede)ordine(part iala)ddacaeopreordineantisimetrica,i. e. orelat iereexiva,tranzitiva siantisimetrica;(relat iede)ordinetotaladdacaesimultanorelat iedeordine siorelat ietotala nacestaldoileasensdemaisus;(relat iede)ordinestrictaddacaeasimetrica sitranzitiva.RemarcaIntrucatoricerelat iedeordineestereexiva,rezulta,pebazaremarciianterioare,caorelat iedeordineestetotala(nacestaldoileasens)ddacaestecompleta.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 20/29Tipuriderelat iibinarepeomult imeRemarcaOrelat iedeordinestrictaesteasimetrica,deci siireexiva(dupacumsearatausor,prinreducerelaabsurd),prinurmarenuereexiva,decinuerelat iedeordine.RemarcaSepoatedemonstradestuldesimpluca,dataorelat iedeordineRpeomult imeA,rezultacaR \ Aeorelat iedeordinestrictapeA, si,dataorelat iedeordinestrictaSpeA,rezultacaS Aeorelat iedeordinepeA.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursIIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 21/29Exempledediferitetipuriderelat iibinarepeomult imeRelat ia pe N, Z, Q, Resteorelat iedeordine,numitarelat iadeordinenaturalapeecaredintreacestemult imidenumere,iarrelat ia= {y B|x y}(ltrulprincipalgeneratdexesteegalcumult imeamajorant ilorluixdinB).Propozit iePentruoricesubmult imenevidaXaluiB,[X) = {a B |(n N)(x1, x2, . . . , xn X)x1 x2 . . . xn a}.Propozit ieOriceltrunitgenerat(i. e. generatdeomult imenita)esteprincipal.Inconsecint a,oriceltrunitaluneialgebreBooleoarecareesteprincipal,asadaroriceltrualuneialgebreBooleniteesteprincipal.Demonstrat ie: [) = {1} = [1).FieF:= [X)unltrualluiBgeneratdeosubmult imenita sinevidaX:= {x1, . . . , xn} B,cun N. Conformpropozit ieianterioare,rezultacaF= {a B |(k N)(y1, y2, . . . , yk X)y1 y2 . . . yk a} =[x1 x2 . . . xn),ultimaegalitaterezultandusorprindublaincluziune.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 14/26FiltrealeuneialgebreBoolemnemonic sirezultatenoiPropozit ie(temapentruseminar)Fief : A Bunmorsmboolean,iarFunltrualalgebreiBooleA siGunltrualalgebreiBooleB. Atunci:1f 1(G)esteunltrualluiA;2dacaf esurjectiv,atuncif (F)esteunltrualluiB.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 15/261AlgebreBoole2Echivalent aalgebreBooleineleBoole3Legeadereziduat ie4FiltrealeuneialgebreBoolemnemonic sirezultatenoi5Congruent ealeuneialgebreBoole6Corespondent altrecongruent e7AlgebreBoolefactor8StructuraalgebrelorBooleniteClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 16/26Congruent ealeuneialgebreBooleStimcaorelat iedeechivalent apeomult imeesteorelat iebinarareexiva,simetrica sitranzitiva(adicaopreordinesimetrica)peaceamult ime.Denit ieFieBoalgebraBoole si orelat iedeechivalent apeB. Atunci esteocongruent apeBddacaestecompatibilacuoperat iileluiB,adica,pentruoricex, y, x

, y

B,avem:1dacax ysix

y

,atuncix x

y y

;2dacax ysix

y

,atuncix x

y y

;3dacax y,atuncix y.Daca, ndenit iaanterioara,vet igeneralizaceletreirelat iidandcompatibilitatealui cuoperat iilebinare si sioperat iaunara ,pentruaobt inerelat iacaredacompatibilitateacuooperat iedearitateoarecare,atuncivet iobservaca:compatibilitateacuoperat iilezeroarealeluiB,adica,constantele0 si1,semnicafaptul ca 0 0 si 1 1,deci este satisfacuta de orice relat ie binara reexiva pe B.Deaceea,compatibilitateacu0 si1nuaaparutcacerint a ndenit iademaisus.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 17/261AlgebreBoole2Echivalent aalgebreBooleineleBoole3Legeadereziduat ie4FiltrealeuneialgebreBoolemnemonic sirezultatenoi5Congruent ealeuneialgebreBoole6Corespondent altrecongruent e7AlgebreBoolefactor8StructuraalgebrelorBooleniteClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 18/26Corespondent altrecongruent ePropozit ie(temapentruseminar)Mult imeacongruent eloruneialgebreBooleeste nbiject iecumult imealtrelorsale.Existent auneibiject iisedemonstreazaconstruinddouafunct ii ntreceledouamult imi, nsensuriopuse, siaratandcasuntinverseunaceleilalte,asadarsuntinversabile,decisuntbiject ii. Amintimdoardenit iilecelordouafunct iipentruoalgebraBooleoarecareB:funct iadelamult imealtrelorlamult imeacongruent elor: oricaruiltruFiasociemcongruent a F,denitaprin: pentruoricex, y B,x Fyddacax y F;funct iadelamult imeacongruent elorlamult imealtrelor: oricareicongruent e iasociemltrulF,denitprin: F= {x B|x 1}.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 19/26Propozit ieFiea, b, x BsiFunltrualluiB. Atunci,cunotat iiledemaisus,aulocechivalent ele:1a

bddacaa x= b x;2a Fbddacaexistaunelementf Fastfel ncata f = b f .Demonstrat ie: Asevedeacorespondent adintreltre sicongruent e,formaunuiltruprincipal, silegeadereziduat ie.(1)a

bddacaa b < x>ddacax a bddacax (a b) (b a)ddaca

x a bsix b addaca

x a bsix b addaca

a x bsib x addaca

a x b xsib x a xddacaa x= b x.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 20/26Corespondent altrecongruent e(2): a Fbddacaa b Fddacaexistaunf Fastfel ncata b = f ,ceeaceimplicaf a b,adicaa b < f >,ceeaceesteechivalentcua

b,ceeaceesteechivalentcua f = b f ,conformlui(1).: Conformpunctului(1),dacaexistaf Fastfel ncata f = b f ,atuncia

b,adicaa b < f >. Darf F,deci< f > F(pentrucaFesteltru,decifaptulca lcont inepef implicafaptulcaincludecelmaimicltrucarelcont inepef ,adicaltrulgeneratdef ),asadara b F,adicaa Fb.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 21/261AlgebreBoole2Echivalent aalgebreBooleineleBoole3Legeadereziduat ie4FiltrealeuneialgebreBoolemnemonic sirezultatenoi5Congruent ealeuneialgebreBoole6Corespondent altrecongruent e7AlgebreBoolefactor8StructuraalgebrelorBooleniteClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 22/26AlgebreBoolefactorPropozit ie(temapentruseminar)FieFunltrualluiBsi Fcongruent aasociataluiF. Pentruecarex B,ex/F:= {y B |x Fy}clasadeechivalent aaluixraportatla F.Atunci: mult imeafactorB/ F= {x/F |x B}semainoteazacuB/FsisepoateorganizacaalgebraBoolecuurmatoareleoperat ii,pecarelevomnotalafelcapeaceleaaleluiB:pentruoricex, y B,x/F y/F:= (x y)/Fpentruoricex, y B,x/F y/F:= (x y)/Fpentruoricex B,x/F:= x/F0 := 0/Fsi1 := 1/FProprietat ileacestoroperat ii,carearatacaeledeterminapeB/FostructuradealgebraBoole,seobt inimediatdinproprietat ileoperat iiloralgebreiBooleB.Faptulca Festecongruent apeB,i. e. echivalent acarecomutacuoperat iileluiB,aratacaoperat iileluiB/Fsuntbinedenite.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 23/26AlgebreBoolefactorRemarcaEsteimediatca,pentruoriceltruF,surject iacanonicapF: B B/F,pentruoricex B,pF(x) := x/F,esteunmorsmbooleansurjectiv.Propozit ie(temapentruseminar)Fief : A Bunmorsmboolean. Atuncif (A)esteosubalgebraBoolealuiB,izomorfacualgebraBoolefactorA/f 1({1}).Propozit ie(temapentruseminar)FieFunltrualalgebreiBooleB. Atunci: FesteultraltruddacaalgebraBoolefactorB/Festeizomorfacu L2.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 24/261AlgebreBoole2Echivalent aalgebreBooleineleBoole3Legeadereziduat ie4FiltrealeuneialgebreBoolemnemonic sirezultatenoi5Congruent ealeuneialgebreBoole6Corespondent altrecongruent e7AlgebreBoolefactor8StructuraalgebrelorBooleniteClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 25/26StructuraalgebrelorBooleniteTeorema(temapentruseminar)DacaBesteoalgebraBoolenita,atunciexistaunnumarnaturaln,astfel ncatBesteizomorfacu Ln2.CorolarDouaalgebreBoolenitedeacelasicardinalsuntizomorfe.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 26/26Logicamatematica sicomputat ionalaCursulXIIClaudiaMURESANcmuresan11@yahoo.comUniversitateadinBucurestiFacultateadeMatematicasi InformaticaBucuresti2011-2012,semestrulIClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 1/49Logicamatematicaclasica. Calcululpropozit ionalLogicamatematicaesteoramuraamatematiciicareseocupacuexprimareaformalizata(i. e. formala,simbolica)alegilorgandirii sistudiereaacestoracumijloacematematice.Nepropunemsastudiemlogicaclasica, ndouaformealeei: logicapropozit iilor silogicapredicatelorsauapropozit iilorcuvariabile. Vomfacedeosebireadintreacestedouatipuridelogicaclasicamaitarziu.Inacestcursvom ncepestudiulsistemului formal al calcululuipropozit ional clasic.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 2/49Logicamatematicaclasica. Calcululpropozit ionalVomstudiasistemul formal al calculului propozit ional clasicsubtreiaspectefundamentale:1sintaxa,careseocupadelimbajulformalalcalcululuipropozit ionalclasic,i.e. decadrulformal,deexprimarea nsimboluriaobiectelormatematicecucarevomlucra;2algebra,careasociazaostructuraalgebricasistemuluiformaldescris nparteadesintaxa sifolosesteaceastaasocierepentruatransferaproprietat ilealgebricealeaceleistructuri nproprietat ilogice, siinvers;3semantica,aceastaindpartea ncare,pebazastructuriialgebriceatasatelogicii,secalculeazaefectivvaloriledeadevaraleenunt urilor(falssauadevarat).Exista sialteaspectesubcarepoatestudiatunsistemlogic,denumiteadeseadimensiunialesistemuluilogic,cumar: aspectultopologic,celprobabilistetc.,darstudierealordepasestecadrul siscopulacestuicurs.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 3/491Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasic2SyntacticPropertiesof L3TheLindenbaum-TarskiAlgebraof LClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 4/49Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasicThefollowingsymbolsformthelanguageoftheformalsystemofclassicalpropositionallogic:1thepropositionalvariables,usuallydenotedu,v,wetc.,sometimeswithindexes;thesetofthepropositionalvariables,whichwewilldenotebyV,isrequiredtobeinniteandnumerable;2thelogicalconnectives:: thenegationsymbol (willberead: non): theimplicationsymbol (willberead: implies)3theparantheses: (,),[,and].Thesymbolsenumeratedabovearecalledprimitivesymbols.Traducerepentruceurmeaza:formulacuvantsentenceenunt ,formulaClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 5/49Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasicThenitenon-emptysequencesofprimitivesymbolsarecalledformulas.Exampleu v, (u v) w, u uv)areformulas.Intuitionmakesusgivemeaningtotheprimitivesymbols,andtellsusthatthersttwoformulasfromtheexampleabovemakesense,whilethethirdonedoesnot. Outoftheformulasofthelogicalsystemthatweareconstructingnow,wewillselecttheonesthathavemeaning,andwewillcalltheseonessentences.Hereistheirrigorousdenition:DenitionAsentenceisaformulathatveriesoneofthefollowingconditions:1isapropositionalvariable;2thereexistsasentencesuchthat = ;3thereexisttwosentencesandsuchthat = .ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 6/49Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasicRemarkThedenitionofasentenceaboveisgivenbyinduction. Itisimmediatethatanysentencecanbeobtainedbyapplyingthesteps(1),(2)and(3)fromDenition2anitenumberoftimes,becauseanysentenceisaformula,thusanitesequenceofprimitivesymbols,andeverytimeweapplyoneofthestepsabove,thelengthofthesequenceofprimitivesymbolsthatformsthesentenceatthecurrentstepincreasesbyatleastoneunit. Theinitialstepoftheinductionthatgeneratesacertainsentenceis(1)fromthedenitionabove,whiletheinductionstepsare(2)and(3).Propositionalvariableswillbecalledatomicorelementarysentences. ThesetofallsentenceswillbedenotedbyE.Privitorlascriereaenunt urilor: seacordaprioritatemaimareconectoruluiunarsiprioritatemaimicaceluibinar, ,pentruaevita ncarcareascrieriicupreamulteparanteze.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 7/49Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasicNowwewilldenethederivativelogicalconnectives , and : foranysentences, E,weshalldenote(introducethefollowingabbreviations): = (thejoinofand) = ( ) (themeetofand) = ( ) ( ) (thelogicalequivalenceofand)RemarkInourpresentationoftheformalsystemofclassicalpropositionallogic,wehaveconsideredthenegationandtheimplicationasprimitiveconnectives. Thederivativeconnectivesjoin,meetandlogicalequivalencehavebeenintroducedbytheabbreviationsabove. Therearepresentationsoftheformalsystemofclassicalpropositionallogicwhichareequivalenttotheonewehavemadehereandwhichuseotherprimitiveconnectives.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 8/49Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasicInordertodevelopthesyntaxoftheformalsystemofclassicalpropositionallogic,weaimatestablishinganotionthatrepresentstheformaltruthsofthislogicalsystemandanotionthatdenesthesyntacticinference(syntacticdeduction).Thesyntacticinferencewillbegivenbyadeductionrulecalledmodusponens.Theformaltruthsofthesystemwillbetheaxiomsdescribedbelow,togetherwithanysentencethatcanbededucedfromthembyapplyingthemodusponensdeductionrule.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 9/49Sintaxasistemuluiformalalcalcululuipropozit ionalclasicDenitionAnaxiomoftheformalsystemofclassicalpropositionallogicisasentenceofanyofthefollowingthreeforms,where, , Earearbitrarysentences:(A1) ( )(A2) ( ( )) (( ) ( ))(A3) ( ) ( )Eachofthepatterns(A1),(A2)and(A3)isanaxiomschema,thatisaruleforgeneratinganinnitenumberofaxioms. Theaxiomsofclassicalpropositionallogicaretheinstancesoftheseaxiomschemata,thatissentencesofoneoftheforms(A1),(A2)and(A3)with,andgivensentences.Byextension,weshallsometimescalltheaxiomschemata(A1),(A2)and(A3),simply,axioms.ClaudiaMURESAN (UniversitateadinBucuresti) CursXIIlogicamatematicasi computat ionala 2011-2012,semestrul I 10