Introduo Lgica FormalJos Elizngelo Lopes Luna*

*Especialista em Ensino da Matemtica, SEDUC-PE. E-mail:jell4@hotmail.com Garanhuns, Outubro de 2006

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Captulo 1 Armaes e Proposies1.1 Armaes simplesDenio 1: Uma armao uma expresso (por exemplo, matemtica) qual se pode atribuir um valor veritativo, de modo que se possa dizer se verdadeira (V ) ou falsa (F ), mas nunca as duas coisas ao mesmo tempo.

Exemplo 1: Considere as expresses a seguir:(1) (2) (3) (4)

Paris ca na Inglaterra. 2+2=4. Aonde voc est indo? Realize o exerccio.

Note que (1) falso, (2) verdade, (3) e (4) no so verdadeiras nem falsas. Nessas condies e com base na denio, apenas (1) e (2) so armaes. Denotaremos uma armao por uma letra minscula, normalmente, p, q, r, s ... No caso acima, poderamos indicar: p : Paris ca na Inglaterra. q : 2+2=4. importante mencionar que a Denio 1 subtende, a respeito de uma armao, dois fatos essenciais: 1. Uma armao ou verdadeira (V) ou falsa (F); no existe outra possibilidade. 2. Uma armao no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Esses fatos so conhecidos pelo nome de Princpio do terceiro excludo e Princpio da no contradio, respectivamente, e constituem dois dos alicerces fundamentais da lgica formal. O terceiro e ltimo, que usaremos para embasar mais adiante o estudo das proposies equivalentes, o Princpio da identidade, que 3

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CAPTULO 1. AFIRMAES E PROPOSIES

diz que toda armao equivalente a si mesma (o conceito de equivalncia ser estudado mais adiante).

1.2 Armaes compostasDenio 2: Uma armao composta uma expresso formada por duasou mais armaes simples relacionadas entre si. O valor veritativo de uma armao composta determinado pelo valor verdade das sub-armaes e pela relao que existe entre estas.

Exemplo 2: so armaes compostas:

(1) Rosas so vermelhas e violetas so azuis. (2) Ele inteligente ou estuda todas as noites. (3) Se eu estudar, ento passarei nas provas. Note que podemos decompor cada armao dada da seguinte forma: (1) Rosas so vermelhas e violetas so azuis. p : Rosas so vermelhas. q : Violetas so azuis. Note que p e q so ligadas pelo conectivo "e". (2) Ele inteligente ou estuda todas as noites. r: Ele inteligente. s: Ele estuda todas as noites. Note que r e s so ligadas pelo conectivo "ou". (3)Se eu estudar, ento passarei nas provas. s: Eu estudo t: Eu passarei nas provas. Note que s e t so ligadas pelo conectivo "Se... ento".

1.3 ProposiesDentre as armaes vistas at aqui, podemos distinguir dois tipos fundamentais: O primeiro tipo, cujo valor verdade pode ser determinado diretamente pela leitura da expresso, sem nenhuma armao adicional, o que lhe confere um carter absoluto, isto : ser verdadeira ou falsa mediante sua anlise isolada. Um exemplo desse tipo de armao dado a seguir:

p: O cu azul.

1.3. PROPOSIES

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Essa armao possui um valor verdade absoluto, isto , todos sabemos que o cu , de fato, azul. Assim, p verdade, e indicamos p = V . Considere agora a expresso

q : A bola azul.Se no vemos a tal bola, ou se ningum nos informar sua cor, no saberemos dizer o valor verdade de q , embora saibamos que seja V ou F . temos dois casos: 1) A bola , de fato, azul: q = V 2) A bola no azul: q = F Podemos representar tal situao pelo quadro a seguir: q V F (Tabela verdade para 1 proposio) Isto motiva a denio a seguir: , quando no sabemos de antemo se p = V ou p = F , ento dizemos que p uma proposio.

Denio 3: Quando uma armao p possui valor verdade varivel, isto

A proposio ocupa na lgica o mesmo papel que as variveis ocupam na matemtica; isto , so termos que podem assumir diferentes valores numa expresso. a diferena que, enquanto na matemtica as variveis podem, em geral, assumir qualquer valor num conjunto numrico, as proposies s podem assumir dois valores distintos: V e F . Considere agora uma proposio composta, isto , uma proposio que possui subproposies ligadas por conectivos. Suponha que tal proposio seja formada por duas subproposies, p e q . Podemos indicar uma proposio composta de duas subproposies pela notao P (p, q) (L-se "p de pq"). Note que podemos ter p e q ambas verdadeiras, ambas falsas, ou uma verdadeira e a outra falsa. Todas as possibilidades para p e q esto contidas abaixo:

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CAPTULO 1. AFIRMAES E PROPOSIES p V V F F q V F V F

(Tabela verdade para 2 proposies)

Exemplo 3: Montar a tabela verdade para 3 proposies: Soluo: Basta acrescentarmos mais uma coluna tabela anterior, acrescentarmos a nova proposio com 4 linhas verdadeiras e 4 falsas:

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

Note que a quantidade de linhas da tabela verdade uma funo do nmero de proposies; quanto maior o nmero de proposies, maiores as dimenses da tabela. Na verdade, pode-se provar que o nmero de linhas de uma tabela verdade determinada pela frmula

L = 2nSendo L o nmero de linhas e n o nmero de proposies envolvidas.

Exemplo 4: Determine o nmero de linhas de uma tabela verdade com 4proposies:

Soluo: L = 24 = 16

Captulo 2 Relaes Bsicas entre proposies2.1 Conjuno p q2.1.1 DenioCombinando duas proposies p e q quaisquer pelo conectivo "e", obtemos uma proposio composta, denominada Conjuno entre p e q . Por exemplo: p: Eu bebo gua. q : Tu bebes caf. P (p, q): Eu bebo gua e tu bebes caf. A conjuno dita verdadeira sempre que as duas subproposies que a compe tambm o forem, conforme aponta a denio a seguir:

Denio 4: Dadas duas proposies, p e q , d-se o nome de Conjuno

entre p e q proposio P(p,q) que verdadeira apenas se p e q forem verdadeiras simultaneamente. Indicamos pela notao P (p, q) p qPortanto, o sinal indica que para que P (p, q) seja verdadeira exige-se que p e q sejam verdadeiras simultaneamente; do contrrio, P (p, q) ser falsa.

Exemplo 5: Sejam p : 1 + 1 = 2 e q : 2 + 3 = 6. Determinar o valorveritativo de P (p, q) p q :

Soluo: temos p = V e q = F . Portanto, p q = F

2.1.2 Tabela verdade p qPodemos reunir todos os resultados possveis para pq por meio da construo de uma tabela verdade, denominada Tabela verdade da conjuno :

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8

CAPTULO 2. RELAES BSICAS ENTRE PROPOSIES p V V F F q V F V F

pq

V F F F

(Tabela verdade da conjuno) Note que para construir a tabela, basta acrescentarmos uma terceira coluna, referente conjuno.

Exemplo 6: Atribua o valor veritativo a cada uma das armaes a seguir:P: Paris ca na Frana e 2 + 2 = 4 Q: Paris ca na Frana e 2 + 2 = 5 R: Paris ca na Inglaterra e 2+2=4 S: Paris ca na Inglaterra e 2+2=5

Soluo: Pela denio de conjuno, temos:P = V ; Q = F; R = F; S = F

2.2 Disjuno p q2.2.1 DenioA disjuno a proposio P (p, q) que surge quando combinamos duas proposies p e q simples por meio do conectivo "ou". Por exemplo: p : Eu sou mexicano q : Eu nasci no Brasil P (p, q) : Eu sou mexicano ou nasci no Brasil.

Denio 5: Sejam p e q duas proposies quaisquer. Denominamos Disjuno entre p e q proposio P (p, q) que falsa apenas quando p e q tambm o forem simultaneamente. Indicamos simbolicamente pela notao P (p, q) p q (L-se "p e q")

O sinal , portanto, indica que a proposio p q exige, para ser verdadeira, que apenas uma de sua subproposies seja verdadeira. entretanto, considerase verdadeira mesmo que as duas tambm sejam. para ilustrar isso, veja os exemplos:

Exemplo 7: D o valor veritativo de P (p, q) : Paris ca na Frana ou naInglaterra.

2.2. DISJUNO P Q

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p : Paris ca na Frana. (p = V ) q : Paris ca na Inglaterra. (q = F ). Segue da que, apesar de q ser falsa, p q verdade, pois armamos que Paris ou ca na Frana ou ca na Inglaterra, e isto verdade, pois exigimos que apenas uma dessas armaes seja verdade. Logo, p q = V

Soluo: Temos:

Exemplo 8: D o valor veritativo de Q(p, q) : Garanhuns ca em Pernambucoou no Brasil.

p : Garanhuns ca em Pernambuco. (p = V ) q : Garanhuns ca no Brasil (q = V ). Segue da que a armao verdadeira, pois at redundante dizer p q neste caso, j que uma armao j est indiretamente contida na outra. Com isso ilustramos que p q = V e que p q = F apenas quando p = F e q = F simultaneamente

Soluo: Temos:

Exemplo 9: Determinar o valor verdade da armao P (p, q) : 1+2=6 ou3+1=4:

Soluo: Temos p = F e q = V . Logo, P (p, q) = p q = V

2.2.2 Tabela verdade p qComo antes, Podemos determinar todas as valoraes possveis de p q construindo a Tabela Verdade da Disjuno. Para isso, acrescentamos uma linha adicional tabela de duas proposies e utilizamos a denio em cada linha. Vejamos:

p V V F F

q V F V F

pq

V V V F

(Tabela verdade da disjuno)

Exemplo 10: Atribua o valor veritativo a cada uma das armaes a seguir:P: Paris ca na Frana ou 2 + 2 = 4

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CAPTULO 2. RELAES BSICAS ENTRE PROPOSIES

Q: Paris ca na Frana ou 2 + 2 = 5 R: Paris ca na Inglaterra ou 2+2=4 S: Paris ca na Inglaterra ou 2+2=5

Soluo: Pela denio de conjuno, temos:P =V; Q=V; R =V; S =F

Perceba que a palavra "ou" em Lgica, possui o signicado de "e/ou" na linguagem corrente, isto , dados dois objetos, escolher entre um ou outro, em lgica, equivale a escolher o primeiro, o segundo, ou os dois. Na linguagem corrente, "ou" equivaleria a escolher apenas um entre os dois objetos, mas nunca ambos. Esse tipo de disjuno denominada, em lgica, de Disjuno exclusiva, e raramente usada. Em nosso estudo, salvo meno explcita em contrrio, usaremos sempre a disjuno inclusiva, iso , no sentido de e /ou. Nas raras circunstncias em que se usa a disjuno exclusiva, comum atribuir-lhe um smbolo especial. Aqui usaremos a expresso p q para representar-lhe.

Importante:

Exemplo 11: Construir a tabela verdade para a disjuno exclusiva: Soluo: Basta falsearmos a linha em que p = V e Q = V :p V V F F q V F V F

p

F V V F

q

2.3 Negao: pDada uma proposio p qualquer, podemos obter uma outra proposio, denominada a negao de p, escrevendo-se falso que... antes de p, ou, se possvel, pelo acrscimo do advrbio no.

Denio 6: Dada uma proposio p, denomina-se Negao de p proposiodenotada por

pde valor verdade oposto ao valor verdade de p.

2.4. TABELA VERDADE P

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Exemplo 12: Escrever a negao de p : Meu nome Antnio. Soluo: Existe mais de uma forma de escrever tal negao. o importante que que clara a oposio ao valor verdade de p. Veja: falso que meu nome Antnio. Ou Meu nome no Antnio. Ambas as expresses traduzem com clareza a proposio p

Exemplo 13: Escreva a negao de 2 + 2 = 5 : Soluo: Podemos escrever p : 2 + 2 = 5, ou p : falso que 2+2=5, ouainda p : 2 +2 no igual a 5

Exemplo 14: Sendo p : (Hoje quarta-feira) e q : (Amanh feriado),descreva com uma sentena verbal simples as proposies seguintes: a) p q b) p q :

Soluo: Combinando adequadamente os smbolos lgicos envolvidos, temos:a) p q : Hoje no quarta-feira e amanh no feriado. b)p q : Hoje quarta-feira ou amanh no feriado.

2.4 Tabela verdade pNotemos que a Denio 6 nos diz que p possui valor verdade oposto ao valor verdade de p. Isto quer dizer, em outras palavras, que p = V implica p = F , ao passo que p = F implica p = V . Podemos construir a tabela verdade de p levando isto em considerao: p V F

p F V

(Tabela verdade da Negao)

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CAPTULO 2. RELAES BSICAS ENTRE PROPOSIES

Captulo 3 Construo de Tabelas-verdadeQuando usamos diversos conectivos lgicos numa mesma proposio composta, chegamos a uma expresso cujo valor verdade ca difcil de ser determinado se estivermos desprovidos de qualquer tcnica. O caminho a se seguir nesses casos buscar a construo da tabela verdade passo a passo, usando as denies vistas anteriormente, uma a uma, at chegarmos a uma expresso mais simples, recorrendo a substituio de variveis. Para construirmos a tabela verdade da proposio p q , por exemplo, devemos antes considerar que essa proposio pode ser considerada como uma conjuno simples, desde que consideremos p P (p) e q P (q). a proposio composta passa a ser vista como P (p) P (q), que uma proposio simples. Evidentemente, precisamos chegar antes valorao de P (p) e de P (q) antes de qualquer coisa. Podemos fazer isto construindo uma nica tabela verdade, colocando as colunas p, q , p, q , e p q , como a seguir: p V V F F q V F V F

p F F V V

q F V F V

pq F F F V

Note que cada coluna nos fornece os dados para preenchermos a prxima. Alm disso, note que, a rigor, interessa-nos apenas as colunas 1,2 e 5, as demais foram usadas apenas para a determinao da 5.a . Assim, A tabela poderia ser resumida a p V V F F q V F V F

pq F F F V13

14

CAPTULO 3. CONSTRUO DE TABELAS-VERDADE

Exemplo 15: Construir a tabela verdade de (p q):gao da proposio P (p, q) p q (Os parnteses indicam que o sinal de negao se aplicam a tudo o que est dentro deles). Entretanto, P (p, q) j , por si s, uma proposio composta, que podemos representar por P (p, q) p Q, se denirmos Q q . Desse modo, devemos construir uma coluna para Q, outra para p Q, e, nalmente, uma para P (p, q), nosso objetivo nal. Vejamos: p V V F F q V F V F

Soluo: Note que, a rigor, o problema consiste em construir a tabela de ne-

q F V F V

pq F V F F

(p q) V F V V

Exemplo 16: Construir a tabela verdade para (p q) (p r): Soluo: Temos agora 3 proposies: p, q e r. Veja que, reduzidas as expresses entre parnteses s proposies compostas P = p q e Q = p r, o nosso trabalho passa a ser o de construir a tabela da disjuno P Q. As colunas seriam, ento: p, q , r, P , Q e P Q: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F

1

2

3

pq V V F F F F F F

4

pr V F V F F F F F

5

(p q) (p r) V F F F F F F F

6

Note que a coluna 4 foi obtida pela comparao das colunas 1 e 2, a coluna 5 pela comparao das colunas 1 e 3, e a coluna 6 pela comparao das colunas 4 e 5. A tabela verdade composta pelas colunas 1, 2, 3 e 6.

Exemplo 17: Considerando as armaes:

15

p : Garanhuns ca na Inglaterra q :A capital de Pernambuco Recife D o valor veritativo da expresso P (p, q) [p (p q)] [ p ( p q)]

armaes (Proposies de valor denido). Isto nos diz que queremos encontrar a linha da tabela verdade em que p = F e q = V ; no necessrio, pois, que construamos toda a tabela. Para simplicar, observe que se zermos

Soluo: Observemos inicialmente que p = F e q = V , Isto , temos duas

P [p (p q)]

e

Q p ( p q),

O trabalho se reduz a determinarmos o valor veritativo de P Q. Seguiremos os passos seguintes: 1) Tabela de P : p F Portanto, P = V 2) Tabela de Q: p F Portanto, Q = F 3) Tabela de P Q: P V Portanto, a armao verdadeira Q V q V q V

pq V

p (p q) [p (p q) F V

p q V F

pq F

p ( p q) V

P Q V

16

CAPTULO 3. CONSTRUO DE TABELAS-VERDADE

Muitas vezes a proposio da qual se deseja construir a tabela verdade bastante complicada, com parnteses, colchetes e chaves, semelhante a uma expresso numrico-algbrica da matemtica. Assim como nesta, devemos iniciar a construo da tabela pelas proposies mais internas, seguindo para as mais externas. Usualmente, o sentido interno-externo est indicado com parnteses-colchetes-chaves, como no exemplo a seguir:

Exemplo 18: Construir a tabela verdade de {p [q ( p q)]} Soluo: Acompanhemos o sentido de preenchimento das colunas:1) A expresso interna aos parnteses: Q p q 2) A expresso interna aos colchetes: R q Q (Q j estar determinada pela construo anterior); 3) A expresso interna s chaves: S p R (R j estar determinada pela construo interior) 4) A expresso nal: P (p, q) S (S estar determinado pela construo anterior) p V V F F q V F V F

p F F V V

q F V F V

p q F F F V

Q

Q V V V F

q Q V V V F

R

R F F F V

p R F F F F

S

P(p,q)S V V V V

Captulo 4 lgebra proposicional4.1 Tautologias e contradiespor v cujo valor veritativo est restrito verdade, isto , v = V , sempre. Analogamente, a proposio falsidade a proposio f tal que f = F sempre. A propriedade peculiar da verdade e da f alsidade em terem sempre valor V e F , respectivamente, possui desdobramentos interessantes, baseados na proposio a seguir: entre elas: P1 : v v v P2 : v v v P3 : v f f P4 : v f f P5 : f f f P6 : f f v P7 : v f P8 : f v

Denio 7: Damos o nome de proposio verdade proposio denotada

Proposio: Dadas as proposies v e f , so vlidas as seguintes relaes

A demonstrao, que feita pela construo das tabelas verdade, simples e ser deixada como exerccio. A utilidade dessas constataes que zemos reside no fato de que se conhecemos o valor verdade das sub-armaes de uma armao composta, poderemos obter o seu valor verdade usando a substituio das variveis por v e por f e utilizando a proposio acima. Isto reduz de modo notvel o trabalho. Usemos o exemplo 17 mais uma vez para ilustrar o processo: 17

18

CAPTULO 4. LGEBRA PROPOSICIONAL

Exemplo 19: Considerando as armaes:p : Garanhuns ca na Inglaterra q :A capital de Pernambuco Recife D o valor veritativo da expresso

P (p, q) [p (p q)] [ p ( p q)]

Soluo: como sabemos que p = F e q = V , podemos estabelecer a seguintetroca de variveis: p f e q v , obtendo o seguinte:

P (p, q) [p (p q)][ p ( p q)] [f (f v)][ f ( f v)]Usemos agora a proposio vista:

P (p, q) [f v] [v (v f )] P (p, q) [f v] [v f ] P (p, q) f v P (p, q) v v P (p, q) v = V Logo, a armao verdadeira.

Exemplo 20: D o valor verdade da armao P : O Brasil ganhou a copa do mundo de 2006 ou o cu azul, e Garanhuns a capital da Jamaica ou Faz calor no rtico

p : O Brasil Ganhou a copa de 2006 q : O cu azul s : Garanhuns a capital da Jamaica t : Faz calor no rtico.

Soluo: Podemos decompor P nas seguintes sub-armaes:

Temos ento P (p q) (s t) (A posio dos parnteses sugerida pela vrgula na armao.) Desse modo, p f

q v;

s f;

t f , do que segue

P (f v) (f f ) v f f = F

Denio 8 (Tautologia): D-se o nome de Tautologia toda proposio

composta P (p, q, r, ...) tal que P (p, q, r, ...) v para qualquer que seja o valor veritativo de suas subproposies. Em outras palavras, a tabela verdade de P (p, q, r, ...) admite apenas o V em sua ltima coluna.

4.1. TAUTOLOGIAS E CONTRADIES

19

Exemplo 21: O exemplo 18 uma tautologia Exemplo 22: Vericar que P (p, q) (p q) ( p q) uma tautologia: Soluo: Construindo a tabela de P (p, q), temos:p V V F F q V F V F

pq V F F F

Q

p q F F F V V F V V

p q F V V V

R

P(p,q)QR V V V V

Como a ltima coluna s possui valor V , a proposio uma tautologia.

Denio 9 (Contradio): Uma proposio P (p, q, r, ...) dita uma Con-

tradio quando tem-se P (p, q, r, ..) f independentemente do valor veritativo de suas subproposies. Equivalentemente, dizemos que P (p, q, r...) caracteriza-se por possuir apenas o valor F ltima coluna de sua tabela verdade.

Exemplo 23: Verique que P (p, q) (pq)( p q) uma contradio: Soluo: Faamos Q p q e R p q . Construindo a tabelaverdade, vem:

p V V F F

q V F V F

p q F F F V V F V V

pq V V V F

Q

pq F F F V

R

P(p,q)QR F F F F

Portanto, P (p, q) f , contradio

4.1.1 Equivalncia lgicalentes quando suas tabelas verdades so iguais. Indicamos por

Denio 10: Duas proposies P (p, q, r, ...) e Q(p, q, r, ...) so ditas equivaP (p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...)

20

CAPTULO 4. LGEBRA PROPOSICIONAL

Exemplo 24: Provar que (p q) p q : Soluo: Construamos as duas tabelas:p V V F F q V F V F

pq V F F F

(p q) F V V V

p V V F F

q V F V F

p q F F F V V F V V

pq F V V V

Como a ltima coluna de cada tabela coincide com a outra, temos que (p q) p q O procedimento visto um caso vlido em geral: Sempre que quisermos provar que duas proposies so equivalentes, devemos construir as tabelasverdade e comparar a ltima coluna de cada uma com a da outra.

Exemplo 25: provar que (p q) p p q : Soluo:p V V F F q V F V F

pq V V V F

p F F V V

(p q) p F F V F

p V V F F

q V F V F

p F F V V

p q F F V F

Como as ltimas colunas so idnticas, temos (p q) p p q Fazendo uso do conceito de equivalncia e da demonstrao pela construo de tbuas, possvel provar vrias identidades importantes. Conhec-las pode contribuir para a simplicao de proposies e economia na constatao de equivalncias diversas: verdade e falsidade, respectivamente, so vlidas as propriedades a seguir: (1) Leis idempotentes: ppp ppp

Teorema 1: Sendo p, q , r proposies quaisquer, e v e f as proposies

4.1. TAUTOLOGIAS E CONTRADIES

21

(2) Leis Associativas: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (3) Leis comutativas: pq qp pq qp (4) Leis distributivas p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (5) Leis de identidade pf p pv p pv v pf f (6) Leis de complementao ppv ppf p p f p (7)Leis de De Morgan (p q) p q (p q) p q A demonstrao do teorema feita por meio das tabelas verdade e ser deixada como exerccio. A intimidade com as leis da lgebra das proposies permite-nos provar vrias equivalncias lgicas sem a necessidade de recorrer a tabelas, veja:

Exemplo 26: Prove que (p q) p p q (exemplo anterior): Soluo: Partamos do primeiro membro da identidade:(p q) p p (p q) ( p p) ( p q) f ( p q)(comutativa) (distributiva) (complementao)

22

CAPTULO 4. LGEBRA PROPOSICIONAL (identidade)

p q

Assim, provamos a equivalncia sem a necessidade de recorrer a tabelas.

Exemplo 27: Usando a lgebra proposicional, simplique:a) (p q)

Soluo:

b) ( p q)

c) ( p q)

a) (p q) p q p q b) ( p q) p q p q c) ( p q) p q p q

Exemplo 28: Simplicar a proposio:

No verdade que eu ando a p ou no verdade que eu tenho carro Soluo: Separemos as proposies:

p : No verdade que eu ando a p. q : No verdade que eu tenho carro. A proposio , pois, P p q (p q)Simplicamos, pois para falso que eu tenho carro e ando p.

Captulo 5 Armaes condicionais5.1 Conectivo condicional: p qA maior parte das proposies matemticas so da forma se...ento, que normalmente armam que q verdade baseando-se no fato de que p tambm .

Exemplo 29: Se x um nmero inteiro, ento 2x um nmero par.Note que nesse exemplo, nos apoiamos numa verdade aceita de antemo (hiptese) para armar uma outra verdade (tese), como conseqncia da primeira. A esse tipo de armao damos o nome de proposio condicional.

Denio 11: Sejam p e q so proposies quaisquer. Dizemos que P (p, q) uma proposio condicional se pode ser colocada na forma Se p ento q. Indicamos simbolicamente por p q "L-se: p implica q " ou "se p ento q " Para construirmos a tabela verdade de p q devemos antes levar em considerao a seguinte propriedade: quer. Se P (p, q) p q , ento P (p, q) = V , a no ser que p = V e q = F . Em outras palavras, vale a tabela p V V F F q V F V F

Propriedade (tabela verdade p q ): Sejam p e q Proposies quais-

p q V F V V23

24

CAPTULO 5. AFIRMAES CONDICIONAIS

Para compreendermos o porqu dessa propriedade, notemos antes que p q signica que q uma conseqncia de p. Tendo isso em mente, considere a proposio seguinte:

P (p, q) : Se voc compra po, ento voc gasta dinheiro.Analisemos caso a caso: p q p q A primeira linha da tabela nos diz: "Se voc compra po V V V ento gasta dinheiro". Evidentemente isto verdade: Se eu compro algo, devo gastar dinheiro. p q p q A tabela diz: "Se voc compra po, ento no gasta dinV F F heiro". Essa armao obviamente falsa, pois comprar algo implica gasto de dinheiro. p q p q A tabela diz:"Se voc no compra po, ento gasta dinF V V heiro". verdade, pois apesar de no comprar po, posso gastar com outra coisa. p q p q A tabela diz:"Se voc no compra po, ento no gasta dinF F V heiro". Verdade tambm, pois posso facilmente, ao no comprar po, me abster de comprar qualquer outra coisa.

Em resumo: Uma verdade no pode conduzir a uma falsidade. Exemplo 30: D o valor veritativo das proposies seguintes:p : Se q : Se r : Se s : SeParis Paris Paris Paris ca ca ca ca na na na na Frana ento 2+2=4. Frana ento 2+2=5. Inglaterra, ento 2+2=4. Inglaterra, ento 2+2=5.

Soluo: Pela propriedade vista, p = V , q = F , r = V , s = V . comum se aceitar com relutncia o fato f f v . Isto ca fcil de se aceitar se considerarmos que verdade que um absurdo conduz a outro absurdo. Veja:

Exemplo 31: D o valor veritativo da proposio P : Se macacos so humanos, ento a terra quadrada

5.1. CONECTIVO CONDICIONAL: P Q

25

Soluo: Estamos diante de dois absurdos, Alm disso, P p q . Comop = F e q = F , segue que P = V importante perceber que a hiptese de uma armao condicional falsa, s existe a possibilidade do valor veritativo da armao composta ser V (veja a tabela). Isto pode dar origem a problemas curiosos, como o que vemos a seguir:

Exemplo 32: Diga se verdadeira ou falsa a armao seguinte:b n

Se

2 + 2 = 5 ento

f (x)dx = lima

||||0

f ( i )i xi=1

Soluo: Ao nos depararmos com um problema como esse, a nossa reao natural o de imaginar que sua soluo necessita do conhecimento pleno de cada um dos termos envolvidos. A tese da armao dada uma teoria da matemtica, denominada "Integral de Riemann". Note que no precisamos ter conhecimento de tal teoria para dar o valor veritativo que se pede. Observemos antes que o antecedente da armao, isto , 2 + 2 = 5 falsa, e para concluir isto no precisamos ter mais do que o conhecimento elementar de matemtica. Desse modo, no importa qual o valor veritativo do conseqente, pois p q = V sempre que p = F , independentemente do valor veritativo de q . Exemplo 33: Prove que p q p q : Soluo: Construindo as tabelas, segue que:p V V F F q V F V F

p q

V F V V

p F F V V

pq

V F V V

Como a 3.a coluna igual 5.a , as proposies so equivalentes. Com o exemplo acima temos provado o seguinte teorema:

Teorema 2: Se p e q so duas proposies quaisquer, entop q p q

26

CAPTULO 5. AFIRMAES CONDICIONAIS

Esse teorema constitui uma propriedade muito importante, pois nos mostra que o conectivo condicional mais um caso de composio dos conectivos lgicos j conhecidos por ns; isto , , e

Exemplo 34: A armao No bebo caf ou co acordado equivalente aSe bebo caf, ento co acordado.Alguns problemas de lgica s encontram soluo satisfatria se utilizamos o teorema acima. O mais importante, sem dvida, o que se refere negao de armaes condicionais. O meio segundo o qual se pode negar uma armao desse tipo passa pelo uso do teorema anterior e pelas Leis de de Morgan:

Exemplo 35: Escreva a negao da armao seguinte:Se est frio, ento ele usa palet, mas no suter.

Soluo: A armao pode ser posta na forma P (p, q) p (q r).Queremos, pois, escrever a armao [p (q r)]. Usando o teorema anterior, temos:

[p (q r)] [ p (q r)]Usando agora a Lei de De Morgan, vem [ p (q r)] p (q r) p ( q r). Traduzindo, temos: P (p, q) : Est frio, e ele no usa palet ou usa suter. Se quisssemos algo mais claro, poderamos usar a lei distributiva na ltima expresso, obtendo: p ( q r) (p q) (p r), e a negao ca:

Est frio e ele no usa palet ou est frio e ele usa suter.

Variaes da condicional: A contrapositivaConsideremos a proposio condicional p q . Permutando entre si as duas proposies e acrescentando a negao, podemos obter trs outras, que a seguir listamos:

Recproca: q p Inversa: p q Contrapositiva: q pConstruindo a tabela conjunta destas proposies, temos:

5.2. CONECTIVO BICONDICIONAL: P Q p V V F F q V F V F

27

p q V F V V

q p V V F V

p q V V F V

q p V F V V

Note que a coluna referente armao condicional e a referente contrapositiva so iguais. Com essa observao estabelecemos o teorema seguinte:

Teorema 3: Se p e q so armaces quaisquer, entop q q p

Exemplo 36: Considere as armaes:

p q : Se saio na chuva desprotegido, ento me molho. q p : Se me molhei, ento sa na chuva desprotegido.Note que a primeira armao verdadeira, ao passo que a segunda falsa: Existe outras forma de me molhar sem, necessariamente, ser saindo na chuva desprotegido.

Exemplo 37: Escreva a contrapositiva da armao p q do exemploanterior:

Soluo: q p : Se no me molhei, ento no sa na chuva desprotegido. Veja que isso verdade: Dentre os inmeros motivos pelo qual eu no me molhei, certamente entre eles est o fato de eu no ter sado na chuva desprotegido.A proposio contrapositiva largamente utilizada em matemtica para se demonstrar alguns tipos de teoremas, quando a demonstrao direta mostrase difcil. Muitas vezes, negar a tese e chegar negao da hiptese mais fcil do que, partindo da tese, chegar hiptese.

5.2 Conectivo bicondicional: p qQuando dadas duas armaes p e q qualquer, consideramos uma implicao condicional e a sua recproca como vlidas, temos a implicao bicondicional, usualmente indicada pelo conectivo se e somente se , e usada para abreviar os casos em que p implica q e q implica p, ao mesmo tempo.

28

CAPTULO 5. AFIRMAES CONDICIONAIS

Denio 11: Nas condies dadas, denimos a armao bicondicional comoa conjuno entre uma armao condicional e sua recproca:

p q (p q) (q p)L-se "p se, e somente se, q " Usando a denio, podemos construir a tabela verdade bicondicional: p V V F F q V F V F P p q V F V V Q q p V V F V

P Q p q

V F F V

Em outras palavras, poderamos denir a bicondicional como sendo a armao que s verdadeira quando as subproposies so ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Exemplo 38: D o valor veritativo das proposies seguintes:p : Paris q : Paris r : Paris s : Parisca ca ca ca na na na na Frana se, e somente se, 2+2=4. Frana se, e somente se, 2+2=5. Inglaterra se, e somente se, 2+2=4. Inglaterra se, e somente se, 2+2=5.

Soluo: Pela propriedade vista, p = V , q = F , r = F , s = V . importante mencionar que o fato de o conectivo bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies so falsas ou verdadeiras simultaneamente estabelece a relao de equivalncia entre duas proposies; isto quer dizer que duas proposies unidas pelo conectivo bicondicional podem ser substitudas uma pela outra sem dano algum. comum aparecer o bicondicional na forma p o mesmo que q , ou ainda p necessrio e suciente a q , ou em termos equivalentes outros, no lugar do tradicional se, e somente se

Captulo 6 Lgica da argumentao6.1 Argumentop1 , p2 , p3 ,...,pn , q tais que as proposies pi produzem, ou permitem-nos concluir a proposio q . As proposies p1 , p2 , p3 ,...,pn so denominadas Premissas e a proposio q denomina-se Concluso. Indicamos: p1 , p2 , ..., pnO sinal signica portanto.

Denio 12 (Argumento): Denomina-se argumento todo sistema de proposies

q

Para ilustrar, considere os exemplos a seguir:

Exemplo 39: A assero a seguir um argumento:

(p1 ) Todos os homens so mortais, (p2 ) Paulo um homem; logo, (q ) Paulo mortal. Simbolicamente, podemos indicar esse argumento por p1 , p2 q

Exemplo 40: (p1 )Todos os gatos so mamferos; (p2 ) todos os mamferosso pssaros; logo, (q) Todos os gatos so pssaros. Simbolicamente, p1 , p2 q

6.2 Validez de um argumentoDenio 13 (Validez e sosma): Um argumento p1 , p2 , ..., pnq dito vlido quando podemos concluir q a partir das informaes fornecidas por p1 , p2 , ..., e pn . Do contrrio, dizemos que o argumento invlido, sosma, ou ainda falcia.29

30

CAPTULO 6. LGICA DA ARGUMENTAO

A denio acima nos diz, em outras palavras, que a validez de um argumento no depende do valor verdade das premissas, mas da relao que existe entre elas e a concluso, conforme exemplicamos a seguir:

Exemplo 41: O seguinte argumento vlido: p : Todos os homens so pssaros; q : Todos os pssaros voam; r : Todos os homens voam.Note que, segundo a nossa realidade, p falso, q verdadeiro, e r falso, mas ainda assim o argumento vlido, pois a partir de p e q podemos concluir r (deixando de lado aquilo que consideramos "absurdo")

Exemplo 42: O seguinte argumento um sosma:p: Todos os gatos tm patas q: Todos os cachorros tem patas r: todos os gatos miam.Note agora que p = V, q = V r = V mas ainda assim o argumento no vlido, pois nada h em p e q que permita-nos concluir r

6.3 Validez de um argumento denido por sua formaEstudamos na seo precedente que a validez de um argumento determinada pela relao entre premissas e concluso, e no pelo valor veritativo de cada armao em particular. Aqui abstrairemos essa idia, mostrando que o fato de um argumento ser considerado vlido ou sosmtico a forma que o dene simbolicamente, independentemente das proposies que o compem. Iniciemos considerando que todas as premissas e a concluso como sendo proposies (armaes variveis); logo, podem assumir qualquer dos dois valores veritativos possveis. No nos preocuparemos, pois, com a coerncia da armao avaliada segundo nossa experincia de verdadeiro e falso, admitindo que o valor veritativo desta pode variar, dependendo do sistema em que se queira situ-la. Nessas condies, deniremos como sendo vlido todo argumento em que a verdade das premissas s pode gerar a verdade da concluso, e sosmtico todo argumento em que a verdade das premissas no gera a verdade da concluso, ou gera sua verdade e falsidade simultaneamente. Temos, assim, a seguinte denio, variante da anterior:

6.3. VALIDEZ DE UM ARGUMENTO DEFINIDO POR SUA FORMA 31

Denio 14: Sejam p1 , p2 , p3 , ..., pn , q proposies quaisquer. O argumento p1 , p2 , ..., pn q ser dito vlido se p1 = V, p2 = V, p3 = V, ..., pn = V gerar unicamente q = V . Caso contrrio, ser um sosma. Exemplo 43: Vericar a validez do argumento dado pela formap, p q q

Soluo: Construindo a tabela verdade de cada premissa e da concluso,temos:

p V V F F

q V F V F

p q V F V V

Note que s na 1.a linha ocorre p = V, p q = V . Nesse caso tm-se q = V . Logo, pela Denio 14, o argumento vlido. Note que um exemplo de argumento com essa forma pode ser dado por: p :Eu fumo. q :Eu co doente. ento temos:(p) Eu fumo. (p q ) Se eu fumo ento co doente. Logo, (q) Eu carei doente.

Exemplo 44: Verique que um sosma o argumento seguinte: p q, q Soluo: Pela tabela anterior, temos:1.a linha: p q = V, q = V, p = V 2.a linha: p q = V, q = V, p = F

p:

Como as premissas geram dois valores-verdade diferentes para a concluso, temos que o argumento sosmtico. Um sosma com essa forma pode ser dado usando as armaes anteriores: p q :Se eu fumo eu co doente. q : Eu quei doente. p : Eu fumei. Sosma, pois eu posso car doente por diversos outros motivos, que no sejam

32 o fumo.

CAPTULO 6. LGICA DA ARGUMENTAO

Procedamos agora uma anlise mais profunda da ltima denio, agora luz da primeira parte de nosso curso. Para tanto, note que a armao

p1 = V, p2 = V, p3 = V, ... pn = V gera unicamente q = V equivalente a

Se p1 p2 p3 ... pn = V ento q = Vque por sua vez equivale a dizer que

(p1 p2 p3 ... pn ) q = Vcomo isto deve acontecer para quaisquer que sejam p1 , p2 , ...pn , q , temos ento

(p1 p2 p3 ... pn ) q vNisto, temos demonstrado o resultado seguinte, que une num s estudo as duas partes deste estudo, a lgebra proposicional e a lgica da argumentao:

Teorema 4: Um argumento p1 , p2 , ..., pn uma tautologia.

q vlido se, e somente se,

(p1 p2 p3 ... pn ) q

H duas formas argumentativas vlidas que merecem destaque, devido freqncia do seu uso. So elas:

Denio 15 (Lei da separao): O argumentop, p q chamado lei de separao.

q

Denio 16 (Silogismo): D-se o nome de Silogismo ao argumentop q, q r pr

Com o teorema visto, torna-se simples provar que tais argumentos so vlidos. o que faremos:

Exemplo 45: Prove que (i) a lei de separao e (ii) o silogismo so argumentos vlidos:

Soluo: (i) Precisamos mostrar que [p (p q)] q uma tautologia:

6.3. VALIDEZ DE UM ARGUMENTO DEFINIDO POR SUA FORMA 33 P p q V F V V Q pP V F F F

p V V F F

q V F V F

Qp V V V V

(ii) Queremos provar que [(p q) (q r)] (p r) v : P p q V V F F V V V V Q qr V F V V V F V V R P Q V F F F V F V V S pr V F V F V V V V

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

RS V V V V V V V V

Um outro mtodo que pode ser usado a da lgebra proposicional. demonstraremos (i) usando o que aprendemos:

[p (p q)] q [p ( p q)] q [ p ( p q)] q [ p (p q)] q [( p p) ( p q)] q [v ( p q)] q [(v p) (v q)] q [ p q] q p ( q q) p v v A demonstrao de (ii) anloga e ser deixada como exerccio p : Se um homem solteiro ele infeliz. q : Se um homem infeliz, ele morre jovem. r : Solteiros morrem jovens.

Exemplo 46: Verique se o argumento a seguir vlido:

34

CAPTULO 6. LGICA DA ARGUMENTAO

Soluo: em forma simblica, temos: p p1 p2 , q p2 q1 , p1 q1 ,que a forma do silogismo, logo, um argumento vlido.

Exemplo 47: Testar a validade do argumento:

S1 : Se dois lados de um tringulo so iguais, ento os ngulos opostos so iguais. S2 : Dois lados de um tringulo no so iguais. S : Os ngulos opostos no so iguais.

Soluo: Temos a forma p q, p, q . Construamos a tabela de[(p q) p] q

p V V F F

q V F V F

P p q V F V V

p F F V V

Q P p q F F F V V F V V

Q q V V F V

Como a proposio associada no uma tautologia, o argumento um sosma.

Exemplo 48: Testar a validade do argumento:

S1 : Se dois lados de um tringulo so iguais, ento os ngulos opostos so iguais. S2 : Dois lados de um tringulo no so iguais. S : Os ngulos opostos no so iguais.

Soluo: Temos a forma p q, p, q . Construamos a tabela de[(p q) p] q

p V V F F

q V F V F

P p q V F V V

p F F V V

Q P p F F V V

q F V F V

Q q V V F V

Como a proposio associada no uma tautologia, o argumento um sosma.

6.3. VALIDEZ DE UM ARGUMENTO DEFINIDO POR SUA FORMA 35

Exemplo 49: Determinar a validade do seguinte argumento:S1 : Se 7 menor que 4, ento 7 no um nmero primo. S2 : 7 no menor do que 4. 7 no um nmero primo.

Soluo: O argumento da forma: p q, p q

Utilizando o teorema, precisamos testar se a proposio [(p q) p] q uma tautologia: p V V F F q V F V F

q F V F V

P p q F V V V

p F F V V

Q P p F F V V

Q q V V F V

Portanto, no se trata de uma tautologia, e o argumento sosmtico.

36

CAPTULO 6. LGICA DA ARGUMENTAO

Captulo 7 Exerccios7.1 Problemas diversos1. Seja p : Est frio. q : Est chovendo. Dar uma sentena verbal simples que descreva cada uma das armaes seguintes: a) p; b) p q ; c) q p; d) p q ; e) q ; f) p q 2. Sejam p: Ele alto. q: Ele bonito. Escrever cada uma das seguintes armaes na forma simblica usando p e q : a) Ele alto e bonito. b) Ele alto, mas no bonito. c) falso que ele baixo ou bonito. d) Ele no alto nem bonito. e) Ele alto, ou ele baixo e bonito. f) No verdade que ele baixo ou no bonito. 3. Determinar o valor veritativo de cada uma das armaes seguintes a) 3+2=7 e 4+4=8 b) 2+1=3 e 7+2=9 c) 6+4=10 e 1+1=3 4. Determinar o valor veritativo de cada uma das armaes seguintes: a) Paris ca na Inglaterra ou 3+4=7 b) Paris ca na Frana ou 2+1=6 c) Londres ca na Frana ou 5+2=3 5. Determinar o valor veritativo de cada uma das armaes seguintes: a) No verdade que Londres ca na Frana b) No verdade que Londres ca na Inglaterra. 6. Determinar o valor veritativo de cada uma das armaes seguintes: 37

38

CAPTULO 7. EXERCCIOS

a) falso que 2+2=4 e 1+1=5 b) Copenhague ca na Dinamarca e 1+1=5 ou 2+2=4 c) falso que 2+2=4 ou Londres ca na Frana 7. Determinar a tabela-verdade de p q : 8. Determinar a tabela-verdade de (p q): 9. Determinar a tabela verdade de (p q): 10. Determinar a tabela-verdade em cada item: a) p (q r) b) (p q) (p r) 11. Seja p: Marcos rico e seja q: Marcos feliz. Escrever cada uma das seguintes proposies em forma simblica: a) Marcos pobre, mas feliz b) Marcos no nem rico, nem feliz. c) Marcos ou rico ou infeliz. d) Marcos pobre ou, ento, ambas as coisas: rico e infeliz. 12. Seja p: rica l jornal, seja q: rica l livro e seja r: rica l revista. Escrever cada uma das seguintes sentenas em forma simblica. a) rica l jornal ou livro, mas no revista. b) rica l jornal e livro ou ela no l jornal e revista. c) No verdade que rica l jornal, mas no revista. d) No verdade que rica l revista ou livro, mas no jornal. 13. Seja p: Andr fala francs e seja q: Andr fala dinamarqus. Dar uma sentena verbal simples, que descreva cada uma das proposies seguintes: a) p q b) p q c) p q d) p q e) p f) ( p q) 14. Determinar o valor veritativo de cada uma das seguintes armaes: a) 3+3=6 e 1+2=5. b) No verdade que 3+3=6 ou 1+2=3 c) verdade que 2 + 2 = 4 e 1+2=3 d) No verdade que 3 + 3 = 6 ou 1 + 2 = 5 15. Determinar a tabela-verdade de cada uma das seguintes proposies: a) p q b) p q c) ( q) d) ( p q) 16. Determinar a tabela-verdade de cada uma das seguintes proposies: a) (p q) r b) p (q r) c) (p r) (q r) d) (p

7.1. PROBLEMAS DIVERSOS

39

q) ( p r)17. Vericar que a proposio p (p q) uma tautologia: 18. Vericar que a proposio (p q) (p q) uma contradio: 19. Demonstrar a lei associativa (p q) r p (q r): 20. Demonstrar que a disjuno distributiva em relao conjuno, isto , demonstrar que p (q r) (p q) (p r) 21. Demonstrar que p q ( p q): 22. Demonstrar as leis de De Morgan: 23. Simplicar cada uma das armaes seguintes: a) No verdade que a me dele inglesa ou o pai dele francs. b) No verdade que ele estuda Fsica, mas no Matemtica. c) No verdade que as vendas esto diminuindo e os preos esto aumentando. d) No verdade que no est frio ou est chovendo. 24. Simplicar a proposio p(pq) usando as leis da lgebra das proposies: 25. Simplicar a proposio (p q) ( p q) usando as leis da lgebra das proposies: 26. O conectivo proposicional denominado disjuno exclusiva, e p q signica p ou q , mas no ambos. tendo isto em vista: a) Construir uma tabela verdade para p q : b) Mostrar que p q (p q) (p q): 27. O conectivo proposicional denominado Negao conjunta. p q signica "nem p e nem q ": a) Construir uma tabela-verdade para p q : b) Demonstrar que p p p c) Demonstrar que p q (p p) (q q) d) Demonstrar que p q (p q) (p q) 28. Demonstrar que (p q) r p (q r) 29. Demonstrar que p (q r) (p q) (p r)

40

CAPTULO 7. EXERCCIOS

30. Demonstrar que (p q) p p q pela aplicao das leis da lgebra proposicional: 31. Demonstrar que p (p q) p recorrendo lgebra proposicional: 32. Demonstrar que (p q) ( p q) p recorrendo lgebra proposicional: 33. Simplicar: a) (p q) b) ( p q) c) ( p q)

34. Escrever a negao de cada uma das armaes seguintes da maneira mais simples possvel: a) Ele alto, mas bonito. b) Ele tem cabelos louros ou olhos azuis. c) Ele no rico, nem feliz. d) Ele perdeu seu emprego, ou ele no foi trabalhar hoje. e) Nem Marcos nem rica infeliz. f) Andr fala espanhol ou francs, mas no alemo. 35. Reescrever as seguintes armaes, sem usar a condicional: a) Se est frio, ele usa um chapu. b) Se a produtividade aumenta, ento os salrios sobem. 36. Determinar a tabela verdade de (p q) (p q) 37. Determinar a tabela verdade de p (q p) 38. Vericar que (p q) (p q) uma tautologia 39. Mostre que a operao condicional distributiva em relao conjuno, isto , prove que p (q r) (p q) (p r): 40. Determinar o valor veritativo de cada armao: a) 2+2=4 se, e somente se, 3+6=9 b) 2+2=7 se, e somente se, 5+1=2 c) 1+1=2 se, e somente se, 3+2=8 d) 1+2=5 se, e somente se, 3+1=4 41. Escreva a bicondicional em funo dos trs conectivos originais, isto , , , : 42. Determinar o valor veritativo de (p q) (p q):

7.1. PROBLEMAS DIVERSOS

41

43. Determinar o valor veritativo de (p q) (q p): 44. Verique pelas tabelas-verdade que a negao da condicional e da bicondicional so as proposies a) (p q) p q b) (p q) p q p q 45. Simplicar: a) (p q) b) ( p q) c) ( p q)

46. Escrever a negao de cada armao do modo mais simples possvel: a) Se ele estudar, ele passar no exame. b) Ele nada se, e somente se, a gua est quente. c) Se neva, ento ele no dirige o carro. d) Se est frio, ento ele usa palet mas no suter. e) Se ele estudar, ento ele ir para a faculdade ou para a escola de artes. 47. Determinar a contrapositiva de cada armao: a) Se Joo um poeta, ento ele pobre. b) Somente se Marcos estudar ele passar no exame. c) necessrio haver neve para rica poder esquiar. d) Se x menor do que zero, ento x no positivo. 48. Achar e simplicar: a) A contrapositiva da contrapositiva de p q b) A contrapositiva da recproca de p q c) A contrapositiva da inversa de p q 49. Indiquemos por p: Ele rico e por q: Ele feliz. Escrever cada armao na forma simblica, usando p e q : a) Se ele rico, ento infeliz. b) Ele no rico nem feliz. c) necessrio ser pobre para poder ser feliz. d) Ser pobre ser infeliz. e) Ser rico uma condio suciente para ser feliz. f) Ser rico uma condio necessria para ser feliz. g) Nenhuma pessoa feliz quando rica. h) Ele pobre somente se feliz. i) Ser rico signica o mesmo que ser feliz. j) Ele pobre, ou ento ele ao mesmo tempo rico e feliz. 50. Determinar o valor veritativo de cada armao:

42

CAPTULO 7. EXERCCIOS

a) Se 5