Solucoes de Exerccios do Livro

Curso de Analise, Volume I,

de Elon Lages Lima

Cleber Fernando Colle,Edson Jose Teixeira,

Julio C. C. da Silva (jcconegundes@gmail.com) eRodrigo Carlos Silva de Lima (rodrigo.uff.math@gmail.com)

1 de fevereiro de 2014

Sumario

1 Conjuntos e Funcoes 7Exerccio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Exerccio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Exerccio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Exerccio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Exerccio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Exerccio 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Exerccio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Exerccio 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exerccio 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Exerccio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Exerccio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Exerccio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Exerccio 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Exerccio 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Exerccio 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Exerccio 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Exerccio 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Exerccio 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Exerccio 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Exerccio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Exerccio 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Conjuntos Finitos, Enumeraveis e Nao-Enumeraveis 30Exerccio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Exerccio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Exerccio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Exerccio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Exerccio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Exerccio 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Exerccio 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Exerccio 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exerccio 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Exerccio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Exerccio 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Exerccio 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Exerccio 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Exerccio 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Exerccio 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Exerccio 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Exerccio 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Exerccio 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Exerccio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Exerccio 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Exerccio 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1

Exerccio 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Exerccio 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Exerccio 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Exerccio 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Exerccio 2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Exerccio 2.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Exerccio 2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Exerccio 2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Numeros Reais 72Exerccio 3.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Exerccio 3.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Exerccio 3.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Exerccio 3.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Exerccio 3.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Exerccio 3.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Exerccio 3.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Exerccio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Exerccio 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Exerccio 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exerccio 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exerccio 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Exerccio 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Exerccio 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Exerccio 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Exerccio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Exerccio 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exerccio 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Exerccio 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Exerccio 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Exerccio 3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Exerccio 3.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Exerccio 3.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Exerccio 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Exerccio 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Exerccio 3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Exerccio 3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Exerccio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Exerccio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Exerccio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Exerccio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Exerccio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Exerccio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Exerccio 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Exerccio 3.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Exerccio 3.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Exerccio 3.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Exerccio 3.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Exerccio 3.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Exerccio 3.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Exerccio 3.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Exerccio 3.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Exerccio 3.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Exerccio 3.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Exerccio 3.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Exerccio 3.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Exerccio 3.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2

Exerccio 3.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Exerccio 3.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Exerccio 3.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Exerccio 3.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Exerccio 3.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Exerccio 3.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Exerccio 3.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Exerccio 3.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Exerccio 3.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Exerccio 3.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Exerccio 3.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4 Sequencias e Series de Numeros Reais 137Exerccio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Exerccio 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Exerccio 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Exerccio 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Exerccio 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Exerccio 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Exerccio 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Exerccio 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Exerccio 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Exerccio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Exerccio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Exerccio 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Exerccio 4.11a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Exerccio 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Exerccio 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Exerccio 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Exerccio 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Exerccio 4.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Exerccio 4.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Exerccio 4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Exerccio 4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Exerccio 4.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Exerccio 4.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Exerccio 4.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Exerccio 4.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Exerccio 4.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Exerccio 4.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Exerccio 4.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Exerccio 4.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Exerccio 4.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Exerccio 4.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Exerccio 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Exerccio 4.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Exerccio 4.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Exerccio 4.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Exerccio 4.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5 Topologia da Reta 178Exerccio 5.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Exerccio 5.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Exerccio 5.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Exerccio 5.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Exerccio 5.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Exerccio 5.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3

Exerccio 5.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Exerccio 5.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Exerccio 5.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Exerccio 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Exerccio 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Exerccio 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Exerccio 5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Exerccio 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Exerccio 5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Exerccio 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Exerccio 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Exerccio 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Exerccio 5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Exerccio 5.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Exerccio 5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Exerccio 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Exerccio 5.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Exerccio 5.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Exerccio 5.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Exerccio 5.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Exerccio 5.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Exerccio 5.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Exerccio 5.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Exerccio 5.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Exerccio 5.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Exerccio 5.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Exerccio 5.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Exerccio 5.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Exerccio 5.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Exerccio 5.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Exerccio 5.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Exerccio 5.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Exerccio 5.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Exerccio 5.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Exerccio 5.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Exerccio 5.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Exerccio 5.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Exerccio 5.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Exerccio 5.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Exerccio 5.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Exerccio 5.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Exerccio 5.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Exerccio 5.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Exerccio 5.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Exerccio 5.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Exerccio 5.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Exerccio 5.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Exerccio 5.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Exerccio 5.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Exerccio 5.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Exerccio 5.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Exerccio 5.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Exerccio 5.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Exerccio 5.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Exerccio 5.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Exerccio 5.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Exerccio 5.63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4

Exerccio 5.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6 Limites de Funcoes 247Exerccio 6.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Exerccio 6.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Exerccio 6.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Exerccio 6.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Exerccio 6.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Exerccio 6.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Exerccio 6.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Exerccio 6.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Exerccio 6.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Exerccio 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Exerccio 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Exerccio 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Exerccio 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Exerccio 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Exerccio 6.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Exerccio 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Exerccio 6.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Exerccio 6.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Exerccio 6.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Exerccio 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Exerccio 6.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Exerccio 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Exerccio 6.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Exerccio 6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7 Funcoes Contnuas 278Exerccio 7.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Exerccio 7.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Exerccio 7.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Exerccio 7.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Exerccio 7.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Exerccio 7.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Exerccio 7.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Exerccio 7.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Exerccio 7.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Exerccio 7.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8 Derivadas 298Exerccio 8.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Exerccio 8.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Exerccio 8.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Exerccio 8.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Exerccio 8.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Exerccio 8.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Exerccio 8.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Exerccio 8.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Exerccio 8.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Exerccio 8.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

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9 Integral de Riemann 310Exerccio 9.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Exerccio 9.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Exerccio 9.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Exerccio 9.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Exerccio 9.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10 Sequencias e Series de Funcoes 318Exerccio 10.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Exerccio 10.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Exerccio 10.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Exerccio 10.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323Exerccio 10.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Exerccio 10.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Exerccio 10.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Exerccio 10.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Exerccio 10.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Exerccio 10.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6

Captulo 1

Conjuntos e Funcoes

7

Exerccio 1.1:

Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

(1a) X A e X B,(2a) Se Y A e Y B entao Y X.Prove que X = A B.

A inclusao A B X e fornecida pela primeira hipotese. De fato, se x A X ou x B X (isto e, sex A B) entao x X.

E a segunda hipotese fornece a inclusao A B X pois A B A e A B B.Portanto, X = A B.

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Exerccio 1.2:

Enuncie e prove um resultado, analogo ao anterior, caracterizando A B.

Enunciado:Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

1a X A e X B,2a Se Y A e Y B entao Y X.

Prove que X = A B.Prova:A inclusao AB X e fornecida pela primeira hipotese. De fato, se x X temos que A X 3 x e B X 3 x.

Consequentemente, se x X entao x A B.E a segunda hipotese fornece a inclusao A B X pois A B A e A B B.Portanto, X = A B.

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Exerccio 1.3:

Sejam A,B E. Prove que A B = se, e somente se, A E\B. Prove tambem que A B = E se, e somentese, E\A B.

A B = se e somente se A E\B:

Suponhamos que A B = . Se x A devemos ter que x pertence a E\B. De fato, como x pertence a A eA esta contido em E, segue que x pertence a B ou E\B. Como A B = , temos que x / B. Logo, x E\B.Assim, A E\B.

Consideremos o caso em que A E\B. Se existisse x AB teramos que x A e x B. Mas, como A e umsubconjunto de E\B, teramos tambem que x E\B. Um absurdo, pois se x E\B entao x / B. Desta forma,concluimos que A B = .

A B = E se e somente se E\A B:

Suponhamos que A B = E. Se x E\A devemos ter que x pertence a B. De fato, como x pertence a E eE = A B, devemos ter que x A ou x B. Alem disso, como x E\A, temos tambem que x / A. O que nosgarante que x B. Logo, E\A B.

Consideremos o caso em que E\A B. Seja x E. Segue que, x A ou x E\A. Se x E\A entao xpertence a B pois E\A esta contido em B. Logo, x A ou x B. Ou seja, x A B. Assim, devemos ter queE A B. E, como A e B estao contidos em E, segue (veja o exercicio 1.1) que E = A B.

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Exerccio 1.4:

Dados A,B E, prove que A B se, e somente se, A (E\B) = .

Suponhamos que A B. Se existisse x A (E\B) teramos que x A e x E\B. Isto e, existiria x E talque x A e x / B. Mas, isto e um absurdo, pois, como A B, se x A entao x B. Portanto, A (E\B) = .

Consideremos, agora, o caso em que A (E\B) = . Seja x A. Como A E, temos que x E. Assim,x B ou x E\B. Logo, x B pois se x E\B teramos que x A (E\B) = .

11

Exerccio 1.5:

De exemplo de conjuntos A,B,C tais que (A B) C 6= A (B C).

Tome A = {1, 2, 3}, B = {1, 3} e C = {1, 2}. Desta forma, temos

(A B) C = {1, 2} 6= {1, 2, 3} = A (B C).

12

Exerccio 1.6:

Se A,X E sao tais que A X = e A X = E, prove que X = E\A.

Seja x X. Uma vez que x / = A X, temos que x / A. E, como x X E, devemos ter, tambem, quex E. Logo, x E\A. Portanto, como x X e arbitraro, devemos ter que X E\A.

Considere, agora, x E\A. Segue que x E e x / A. Como x E = A X e x / A, temos que x X.Portanto, como x E\A e arbitraro, devemos ter que X E\A.

13

Exerccio 1.7:

Se A B, entaoB (A C) = (B C) A,

para todo conjunto C. Por outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita, entao A B.

Primeiramente, mostremos que se A B entao, para qualquer conjunto C, temos

B (A C) = (B C) A.

Seja x B (A C). Assim, x B e (x C ou x A). Se x C temos que x B C. Logo, x (B C) A. Se x A temos imediatamente que x (B C) A.

Segue, em todo caso, que x (B C) A. Logo, concluimos que B (A C) (B C) A.Considere, agora, que x (B C) A. Assim, x B C ou x A. Se x B C entao x B e x C. Logo, x B, x A C e, consequentemente, x B (A C). Se x A temos que x B, ja que A B. Assim, x B e x A A C. Logo, x B (A C).

Em ambos os casos, x B (A B). Desta forma, tem-se que B (A C) (B C) A.Portanto, se A B entao B (A C) = (B C) A, para qualquer conjunto C.Reciprocamente, suponhamos que exista um conjunto C tal que x (B C) A = B (A C).Se x A temos que x (B C) A. Mas, como (B C) A = B (A C), devemos ter que x B. Logo,

conclui-se que A B.

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Exerccio 1.8:

Suponhamos que A e B sejam subconjuntos de E. Prove que A = B se, e somente se,(A (E\B)) ((E\A) B) = .

Suponhamos que A = B. Neste caso, temos que

E\A = E\B.

Logo,A (E\B) = A (E\A) =

eB (E\A) = B (E\B) = .

Portanto, (A (E\B)) (B (E\A)) = = .

Reciprocamente, consideremos o caso em que(A (E\B)) (B (E\A)) = .

Seja x A. Se supusermos, por absurdo, que x / B teremos que x A (E\B) e, consequentemente,

x (A (E\B)) (B (E\A)) = .Uma contradicao. De modo inteiramente analogo e impossvel que x B e x / A. Portanto, A = B.

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Exerccio 1.9:

Prove que(A\B) (B\A) = (A B)\(A B).

(A\B) (B\A) (A B)\(A B)

Seja x (A\B) (B\A). Neste caso, x A\B ou x B\A. Se x B\A entao temos que x A e x / B.Logo, x AB e x / AB, ou seja, x (AB)\(AB). Analogamente, x B\A implica x (AB)\(AB).

(A\B) (B\A) (A B)\(A B)

Seja x (AB)\(AB). Neste caso, x AB e x / AB. Se x A entao x / B, uma vez que x / AB.Isto e, se x A entao x A\B. Analogamente, se x B, temos que x B\A. Portanto, x (A\B) (B\A).

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Exerccio 1.10:

Para conjuntos A e B, definimos o conjunto

AB := (A\B) (B\A).

Prove que AB = AC implica que B = C. Examine a validade um resultado analogo com , ou em vez de.

Suponhamos que AB = AC.Mostraremos que os conjuntos B A e B\A estao contidos em C. Desta forma, como B = (B A) (B\A),

concluiremos que B C.Seja x BA. Temos que x / AB = (A\B) (B\A), pois x / A\B e x / B\A. Assim, como AB = AC,

temos que x / AC = (A\C) (C\A) e, consequentemente, x / A\C. Logo, x C pois x A e x / A\C. Comox B A e arbitrario, concluimos que B A C.

Seja x B\A. Logo, x (A\B) (B\A) = AB. E, como AB = AC, temos que x AC. Sendox AC = (A\C) (C\A), segue que x A\C ou x / C\A. Assim, ja que x / A, devemos ter que x C\A e,consequentemente, x C. Como x B\A e arbitrario, concluimos que B\A C.

Por fim, como B A e B\A estao contidos em C, devemos ter que B C. E, de forma analoga, prova-se queC A e C\A estao contidos em B. Logo, C B. Portanto, supondo que AB = AC, temos que B = C.

Consideremos agora a validade dos casos analogos para , e ao inves de .Existem A, B e C tais que

A B = A C e B 6= C. Por exemplo: A = {1}, B = {1, 2} e C = {1, 2, 3}; A B = A C e B 6= C. Por exemplo: A = {1}, B = {2} e C = {1, 2}; AB = A C e B 6= C. Por exemplo: A = , B = {1} e C = {2}.

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Exerccio 1.11:

Prove as seguintes afirmacoes:

(a) (A B) C = (A C) (B C);(b) (A B) C = (A C) (B C);(c) (AB) C = (A C) (B C);(d) A A, B B = AB A B.

(a) Temos que a igualdade (A B) C = (A C) (B C) e valida pois

(x, c) (A B) C x A B e c C (x A e c C) ou (x B e c C) (x, c) A C ou (x, c) B C (x, c) (A C) (B C).

(b) Temos que a igualdade (A B) C = (A C) (B C) e valida pois

(x, c) (A B) C x (A B) e c C (x A e c C) e (x B e c C) (x, c) A C e (x, c) B C (x, c) (A C) (B C).

(c) Temos que a igualdade (AB) C = (A C) (B C) e valida pois

(x, c) (AB) C x AB e c C (x A e c C) e (x / B e c C) (x, c) A C e (x, c) / B C (x, c) (A C) (B C).

(d) Seja (a, b) A B. Entao, a A e b B pois A A e B B. Logo, (a, b) A B. Portanto,concluimos que AB A B.

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Exerccio 1.12:

Dada uma funcao f : A B:(a) Prove que se tem f(X\Y ) f(X)\f(Y ), sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A;(b) Mostre que se f for injetora entao f(X\Y ) = f(X)\f(Y ) para quaisquer X e Y contidos em A.

(a)

Suponhamos que z f(X)\f(Y ). Desta forma, temos que z f(X) e, consequentemente, existe x X talque f(x) = z. Como z / f(Y ) e z = f(x), devemos ter que x / Y . Logo, x X\Y . Assim, concluimos quez = f(x) f(X\Y ).

Portanto, devemos ter que f(X\Y ) f(X)\f(Y ).

(b)

Pelo item (a), temos que f(X\Y ) f(X)\f(Y ). Logo, basta verificarmos que f(X\Y ) f(X)\f(Y ).Seja z f(X\Y ). Entao, podemos escolher x X\Y tal que f(x) = z. Assim, z = f(x) f(X) pois x X.

Por outro lado, como f e injetivo, f(x) = z e x / Y , nenhum y Y e tal que f(y) = z. Logo, z / f(Y ). Portanto,z f(X)\f(Y ).

Com isso, concluimos que f(X\Y ) = f(X)\f(Y ).

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Exerccio 1.13:

Mostre que a funcao f : A B e injetora se, e somente se, f(A\X) = f(A)\f(X) para todo X A.

Se f : A B e injetiva, pelo item (b) do exerccio 1.12, a igualdade f(A\X) = f(A)\f(X) e valida para todoX A.

Suponhamos que a igualdade f(A\X) = f(A)\f(X) seja valida para todo X A. Seja a A e denotemos porb o elemento f(a) B. Assim,

b / f(A\{a}) = f(A)\f({a}).Logo, nao existe a A\{a} tal que f(a) = b = f(a). Desta forma, como a A e arbitrario, concluimos que f einjetivo.

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Exerccio 1.14:

Dada a funcao f : A B, prove que:(a) f1(f(X)) X para todo X A;(b) f e injetora se, e somente se, f1(f(X)) = X para todo X A.

(a)

Se x X entao x f1(f(X)) pois f(x) f(X). Assim, devemos ter que f1(f(X)) X.

(b)

Suponhamos que f e injetora e fixemos X A. Provaremos que f1(f(X)) X e concluiremos, pelo item(a), que f1(f(X)) = X. Desta forma, podemos concluir que se f e injetora entao f1(f(X)) = X, para qualquerX A.

Seja y f1(f(X)). Segue que f(y) f(X). Assim, existe x X tal que f(x) = f(y). Sendo f injetiva,conclui-se que y = x X. Portanto, como y f1(f(X)) e arbitrario, temos que f1(f(X)) X.

Suponhamos, por outro lado, que f seja tal que f1(f(X)) = X, para qualquer X A. Sejam x e y Atais que f(x) = f(y). Neste caso, temos que f({x}) = f({x, y}). Assim, f1(f({x})) = f1(f({x, y})) e, pelahipotese,

{x} = f1(f({x})) = f1(f({x, y})) = {x, y}.Desta forma, y {x} e, consequentemente, x = y. Com isso, concluimos que se x e y A sao tais que f(x) = f(y)entao x = y. Portanto, f e injetiva.

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Exerccio 1.15:

Dada f : A B, prove:(a) Para todo Z B, tem-se que f(f1(Z)) Z;(b) f e sobrejetora se, e somente se, f(f1(Z)) = Z para todo Z B.

(a)

Seja z f(f1(Z)). Existe x f1(Z) tal que f(x) = z. Assim, como x f1(Z), z = f(x) Z.Portanto, podemos concluir que f(f1(Z)) Z.

(b)

Suponhamos que f seja sobrejetora. Provaremos, para um Z B arbitrario, que f(f1(Z)) = Z.Pelo item (a), temos que f(f1(Z)) Z.Seja z Z. Como f e sobrejetiva, existe x A tal que z = f(x). Desta forma, como f(x) = z Z, segue que

x f1(Z). Logo, z = f(x) f(f1(Z)).Desta forma, concluimos que f(f1(Z)) Z.Portanto, devemos ter que f(f1(Z)) = Z.Suponhamos, por outro lado, que f(f1(Z)) = Z, para todo Z B.Seja z B. Definindo Z = {z}, temos que

f(f1(Z)) = Z = {z}.

Desta forma, temos que z f(f1(Z)). Assim, existe x f1(Z) A tal que f(x) = z.Portanto, neste caso, f e sobrejetiva.

22

Exerccio 1.16:

Dada uma famlia de conjuntos (A)L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

(1a) Para todo L, tem-se X A;(2a) Se Y A, para todo L, entao Y X.Prove que, nestas condicoes, tem-se X =

L

A.

Pela primeira condicao, temos que X A para cada L. Assim,L

A X pois cada x L

A pertence

a A X, para algum L.O conjunto

L

A e tal queL

A A, para todo L. Logo, pela segunda condicao,L

A X.

Portanto, X =L

A.

23

Exerccio 1.17:

Enuncie e demonstre um resultado analogo ao anterior, caracterizandoL

A.

Enunciado: Dada uma famlia de conjuntos (A)L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

(1a) Para todo L, tem-se X A;(2a) Se Y A para todo L, entao Y X.Nestas condicoes, tem-se X =

L

A.

Demonstracao:

Todo elemento x de X pertence aL

A pois x X A, pela primeira hipotese sobre X. Logo,L

A X.O conjunto

L

A e tal queL

A A, para todo L. Assim, pela segunda hipotese sobre X,L

A X.Portanto, X =

L

A.

24

Exerccio 1.18:

Seja f : P(A) P(A) uma funcao tal que X Y = f(Y ) f(X) e f(f(X)) = X. Prove que f(X) = f(X)e f(X) = f(X).[Aqui X,Y e cada X sao subconjuntos de A].

Facamos cada inclusao separadamente.

(i) f (X)

f (X)

Como X X, para todo , temos por hipotese que f(X) f(X), para todo . Da, f(X) f(X).

(ii) f (X)

f(X)

Por (ii), temos que f(f(X)) f(f(X)) = X. Da, f(f(f(X))) f(X). Logo, f(X) f(X).

(iii) f (X)

f (X)

Como X X, para todo , temos por hipotese que f(X) f(X), para todo . Da, f(X) f(X).

(iv) f (X)

f (X)

Por (i), temos que f(f(X)) f(f(X)) = X. Da, f(f(f(X))) f(X). Logo, f(X) f(X).

De (i) e (ii), temos que f(X) = f(X) e de (iii) e (iv), temos f(X) = f(X).

25

Exerccio 1.19:

Dadas as famlias (A)L e (B)M , forme duas famlias com ndices em LM considerando os conjuntos(A B)(,)LM e (A Bmu)(,)LM .

Prove que se tem (L

A

) M

B

= (,)LM

(A B),

(L

A

) M

B

= (,)LM

(A B).

Primeiramente provemos que(L

A

) M

B

= (,)LM

(A B).

Como L

A A A B,

para todo (, ) LM, temos que L

A

(,)LM(A B).

Analogamente, mostra-se que M

B

(,)LM(A B).

Assim, segue que (L

A

) M

B

(,)LM

(A B) .

Seja x (LA) (MB). Desta forma, x LA e x MB. Assim, existem L e Mtais que x A e x B. Logo,

x A B

(,)LM(A B) .

Com isso, podemos concluir que(L

A

) M

B

(,)LM

(A B) .

Mostremos agora que (L

A

) M

B

= (,)LM

(A B).

Como(A B) A

L

A,

para todo (, ) LM , temos que (,)LM

(A B) L

A.

26

Analogamente, mostra-se que (,)LM

(A B) M

B.

Assim, segue que (,)LM

(A B) (L

A

) M

B

.Seja x (,)LM (AB). Suponhamos, por absurdo, que x / (LA)(MB). Entao, x / LA

e x / MB. Assim, existem L e M tais que x / A e x / B. Com igual razao, existe (, ) LM talque x / AB. Um absurdo, pois como AB (,)LM (AB), teramos que x / (,)LM (AB).Logo, devemos ter que x (LA) (MB). Com isso, concluimos que

(,)LM

(A B) (L

A

) M

B

.

27

Exerccio 1.20:

Seja (Aij)(i,j)NN uma famlia de subconjuntos com ndices em N N. Prove, ou disprove por contra-exemplo, aigualdade

j=1

( i=1

Aij

)=

i=1

j=1

Aij

.A igualdade e falsa em geral. De fato, tomando-se

Aij :=

{ {1}, se i = j,, se i 6= j,

temos quej=1

( i=1

Aij

)=

j=1

() =

ei=1

j=1

Aij

= i=1

({1}) = {1}.

28

Exerccio 1.21:

Dados os conjuntos A,B,C, estabeleca uma bijecao entre F(AB;C) e F(A;F(B;C)).

Seja f : A B C. Podemos definir uma funcao f : A F(B;C) definindo f (a) : B C como sendo afuncao dada por (

f (a))(b) := f(a, b),

para todo b B. Verificaremos que a funcao : F(AB;C) F(A;F(B;C)), dada por

(f) := f ,

para cada f F(AB;C), e uma bijecao.Suponhamos que f e g F(AB;C) sejam tais que (f) = (g). Assim, f = g. Logo, dado (a, b) AB,

temos quef (a) = g(a)

e, consequentemente,f(a, b) =

(f (a)

)(b) =

(g(b)

)(b) = g(a, b).

Portanto, f = g. Com isso, concluimos que e injetiva.Seja : A F(B;C). Podemos definir uma funcao f : AB C por

f(a, b) :=((a)

)(b),

para todo (a, b) AB. Seja a A. Temos que(f (a)

)(b) = f(a, b) =

((a)

)(b),

para todo b B. Desta forma f (a) = (a). Portanto, como a e arbitrario, conclumos que f = . Com isso,concluimos que e sobrejetiva.

Portanto, : F(AB;C) F(A;F(B;C)) e uma bijecao como queramos demonstrar.

29

Captulo 2

Conjuntos Finitos, Enumeraveis eNao-Enumeraveis

30

Exerccio 2.1:

Prove que, na presenca dos axiomas P1 e P2, o axioma A abaixo e equivalente a P3:

A : Para todo subconjunto nao-vazio X N, tem-se X\s(X) 6= .

Relembremos as propriedades:

P1 : s : N N e injetora;P2 : N\s(N) = {1};P3 : Se X N e tal que 1 X e, para todo n X, s(n) X, entao X = N.

Suponhamos que as afirmacoes P1, P2 e P3 sejam validos. Concluiremos que o axioma A e valido mostrando quese X N e tal que X\s(X) = entao X = . Equivalentemente, se X s(X) entao N\X = N. Primeiramente,temos que 1 N\X, pois, caso contrario, 1 s(N) ja que

X s(X) s(N),

contradizendo P2. Por P1,s(N\X) = s(N)\s(X) s(N)\X.

Desta forma, se n N\X entao s(n) / X e, consequentemente, s(n) N\X. Assim, por P3, concluimos queN\X = N.

Reciprocamente, suponhamos que os axiomas P1, P2 e A sejam validos. Seja X N tal que 1 X e, paratodo n X, s(n) X. Provaremos que X = N e concluiremos da que P3 e valido. Suponhamos por absurdo queN\X 6= . Por A, segue que existe

n (N\X)\s(N\X).Como 1 / N\X, devemos ter que n 6= 1 e, por P2, existe m N tal que

s(m) = n.

Por P1, m / N\X ja que s(m) = n / s(N\X). Assim, m X e s(m) = n / X, contradizendo a hipotese sobre X.

31

Exerccio 2.2:

Dados os numeros naturais a e b, prove que existe um numero natural m tal que m a > b.

Se a = 1, basta tomar m = b+ 1, pois1(b+ 1) = b+ 1 > b.

Se a 6= 1 entao a > 1 ja que a Z+. Assim, pela monoticidade da multiplicacao em Z+,

ba > b.

Logo, para m := b, temos que ma > b.

32

Exerccio 2.3:

Seja a um numero natural. Se um conjunto X e tal que a X e, alem disso, n X n+ 1 X, entao X contemtodos os numeros naturais a.

SejaA := {k Z+ : a+ k X}.

Pela definicao da relacao 6 em Z+, b > a se e somente se b = a+k para algum k Z>0. Desta forma, provandoque A = Z+ podemos concluir que X contem todos os numeros naturais > a.

Como a X, temos, pela propriedade de X, que a+ 1 X. Logo, 1 A.Suponhamos que k A. Pela definicao de A, isto implica que a+ k X. Assim pela propriedade de X, temos

que a+ k + 1 X. Logo, k + 1 A.Portanto, pelo PIF, segue que A = Z+.

33

Exerccio 2.4:

Tente descobrir, independentemente, algumas das demonstracoes omitidas no texto.

Associatividade: m+ (n+ p) = (m+ n) + p.

Provada no livro.

Comutatividade: m+ n = n+m.

Primeiramente mostraremos quem+ 1 = 1 +m,

para todo m Z+. O caso em que m = 1 e tautologico. Supondo, como hipotese de inducao, quem+ 1 = 1 +m

para algum m Z+, segue ques(m) + 1 = s(s(m)) = s(m+ 1) = s(1 +m) = 1 + s(m).

Assim, pelo PIF, temos que m+ 1 = 1 +m, para todo m Z+.Por fim, provaremos, para m Z+ arbitrario e por inducao em n Z+, que

m+ n = n+m.

O caso n = 1 foi provado no paragrafo anterior. Supondo, como hipotese de inducao, que

m+ n = n+m

para algum n Z+, segue quem+ s(n) = s(m+ n) = s(n+m)

= n+ s(m) = n+ (m+ 1)= n+ (1 +m) = (n+ 1) +m= s(n) +m.

E o resultado segue pelo PIF.

Lei do Corte: m+ n = m+ p n = p.

Sejam n e p Z+. Provaremos, por inducao em m Z+, que se m+ n = m+ p entao n = p.O caso em que m = 1 resume-se a` injetividade da funcao s : Z+ Z+. Isto e, como

s(n) = n+ 1 = 1 + n = 1 + p = p+ 1 = s(p),

temos quen = p.

Suponhamos, como hipotese de inducao, que m+n = m+p implique que n = p. Assim, se s(m)+n = s(m)+pentao

s(m+ n) = s(n+m) = n+ s(m)= s(m) + n = s(m) + p= p+ s(m) = s(p+m)

= s(m+ p).

Assim, se s(m) + n = s(m) + p temos, novamente pela injetividade de s : Z+ Z+, que m + n = m + p e, pelahipotese de inducao, n = p.

E o resultado segue pelo PIF.

Tricotomia: Dados m e n Z+, exatamente uma das tres alternativas seguintes podem ocorrer: ou m = n,ou existe p Z+ tal que m = n+ p, ou, entao, existe q Z+ com n = m+ q.

Dizemos que (m,n) Z+Z+ satisfaz a condicao C se exatamente uma das exatamente uma das tres alterna-tivas ocorre:

34

m = n; m = n+ p, para algum p Z+; n = m+ q, para algum q Z+.

Seja X o subconjunto de Z+ Z+ definido por

T := {(m,n) Z+ Z+ : (m,n) satisfaz C}.

Observemos que, como

T =

mZ+{m} Tm,

ondeTm := {n Z+ : (m,n) satisfaz C},

mostrando queTm = Z+,

para cada m Z+, podemos concluir que

T =

mZ+{m} Tm =

mZ+

{m} Z+ = Z+ Z+.

Portanto, concluimos a Lei da Tricotomia.Procederemos com a demonstracao de que Tm = Z+ por inducao em m Z+.Consideremos o caso em que m = 1. Se n = 1 temos que n = m. Alem disso, como 1 / s(Z), segue que

m = 1 6= sp(n) = n+ p

en = 1 6= sq(m) = m+ q,

para todos p e q Z+. Logo, (1, 1) satisfaz a condicao C e, consequentemente, 1 T1. Supondo que n T1, comonao se pode ter que 1 = m+ q = sq(m) ja que 1 / s(Z+), temos que exatamente uma das duas alternativas ocorre: n = 1 e, equivalentemente, s(n) = 1 + 1; n = 1 + q e, equivalentemente, s(n) = s(1 + q) = 1 + s(q).

Logo, se n T1 entao s(n) T1. Com isso, concluimos, pelo PIF, que T1 = Z+.Suponhamos, como hipotese de inducao, que Tm = Z+. Provaremos que Ts(m) = Z+.Como X1 = Z+, temos imediatamente que (1, s(m)) satisfaz a condicao C e, consequentemente, (s(m), 1)

satisfaz a condicao C. Logo, 1 Ts(m). Supondo que n Ts(m), temos que exatamente uma das tres alternativasocorrem:

n = s(m): Neste caso, s(n) = s(s(m)) = s(m) + 1; n = s(m) + q, para algum q Z+: Neste caso, s(n) = s(s(m) + q) = s(m) + s(q); s(m) = n+ p, para algum p Z+: Neste caso, se p = 1 entao s(m) = s(n). E, se p Z+\{1} = s(Z+), existepZ+ tal que p = s(p), e assim

s(m) = n+ p = n+ s(p) = n+ (1 + p) = (n+ 1) + p = s(n) + p.

Assim, se n Ts(m), temos que exatamente uma das tres alternativas ocorrem: s(n) = s(m) (no caso em que n = s(m)); s(n) = s(m) + q (no caso em que n = s(m) ou n = s(m) + q, onde q = s(q)); s(m) = s(n) + p (no caso em que s(m) = n+ p, onde p = s(p)).

35

Logo, se n Ts(m) entao s(n) Ts(m). Com isso, concluimos, pelo PIF, que Ts(m) = Z+.Portanto, Xm = Z+, para todo m Z+.

Transitividade: se m < n e n < p entao m < p.

Se, para m, n e p Z+, tivermos que m < n e n < p entao existem r e s Z+ tais quem+ r = n

en+ s = p.

Desta forma,p = n+ s = (m+ r) + s = m+ (r + s).

Logo,m < p.

Tricotomia: dados m e n Z+ exatamente uma das alternativas seguintes pode ocorrer: ou m = n, ou m < nou n < m.

Sejam m e n Z+. Segundo a tricotomia da adicao (provada acima), exatamente uma das tres condicoes evalida: ou m = n; ou existe p Z+ tal que m = n+ p e, portanto, m > n; ou existe q Z+ tal que n = m+ q e,portanto, m < n.

Monoticidade da adicao: se m < n entao, para todo p Z+, tem-se m+ p < n+ p.

Provada no livro.

Associatividade: m (n p) = (m n) p.

Provada no livro.

Comutatividade: m n = n m.

Primeiramente, provaremos que m 1 = 1 m, para todo m Z+. Depois, supondo, como hipotese de inducao,que n Z+ e tal que m n = n m, para todo m Z+, provaremos que n+ 1 e tal que m (n+ 1) = (n+ 1) m.Como isso, o resultado segue pelo Princpio da Inducao Finita.

Provaremos a igualdade m 1 = 1 m por inducao em m Z+. Para m = 1 a igualdade e trivial. Suponhamos,como hipotese de inducao, que m 1 = 1 m, para algum m Z+. Desta forma, temos que

(m+ 1) 1 = m+ 1 = m 1 + 1 = 1 m+ 1 = 1 (m+ 1).Logo, pelo PIF, a igualdade e valida.

Suponhamos que n Z+ seja tal que m n = n m, para todo m Z+. Mostraremos, por inducao em m, quem (n+ 1) = (n+ 1) m, para todo m Z+. Para m = 1, o resultado segue do paragrafo anterior. E, supondo quem (n+ 1) = (n+ 1) m, temos que

(m+ 1) (n+ 1) = (m+ 1) n+ (m+ 1)= n (m+ 1) + (m+ 1)= n m+ n+m+ 1= m n+m+ n+ 1= m (n+ 1) + (n+ 1)= (n+ 1) m+ (n+ 1)= (n+ 1) (m+ 1).

E temos o resultado.

Distributividade: m(n+ p) = m n+m p.

36

Provada no livro.

Lei do Corte: m p = n p m = n.

Suponhamos que m, n e p Z+ sao tais que

m p = n p.

Pela tricotomia, exatamente uma das tres condicoes e satisfeita: ou m = n+ q, para algum q Z+; ou m = n+ q,m = n + q, para algum q Z+; ou m = n. Provaremos que as duas primeiras condicoes nao sao possveis e, comisso, teremos o resultado.

Suponhamos que m = n+ q, para algum q Z+. Segue que

n p = m p = (n+ q) p = p (n+ q) = p n+ p q = n p+ p q.

Contradizendo a tricotomia.De forma analoga, nao podemos ter n = m+ q, para algum q Z+.

Monoticidade: m < n m p < n p.

Sejam n e m Z+ tais quem < n.

Provaremos quem p < n p,

para todo p Z+, por inducao em p.Para p = 1, a desigualdade e imediata.Suponhamos, como hipotese de inducao, que m p < n p, para um certo p Z+. Como m < n, existe q Z+

tal quen = m+ q.

Assim,

n (p+ 1) = (m+ q) (p+ 1) = (p+ 1) (m+ q) = (p+ 1) m+ (p+ 1) q = m (p+ 1) + (p+ 1) q.

e, consequentemente,n (p+ 1) < m (p+ 1).

E o resultado segue, como queramos, pelo PIF.

37

Exerccio 2.5:

Um elemento a Z+ chama-se antecessor de b Z quando se tem a < b mas nao existe c Z+ tal que a < c < b.Prove que, exceto 1, todo numero natural possui um antecessor.

Seja x Z+\{1}. Mostraremos que x possui um antecesor.Pelo axioma de Peano P2, x = s(y) = y + 1 para algum y Z+. Logo, y < x.Suponhamos que z Z+ e tal que z < x. Mostraremos que z 6 y. Temos que

x = z + n,

para algum n Z+. Se n = 1 temos quey + 1 = x = z + 1

e, consequentemente, pela Lei do Corte, y = z. Se n Z+\{1} entao, novamente pelo axioma de Peano P2, existem Z+ tal que n = s(m). Assim,

s(y) = x = z + n = z + s(m) = s(z +m)

e, pela injetividade da funcao s (axioma de Peano P1),

y = z +m.

Logo, z < y.Portanto, y e um antecessor de x.

38

Exerccio 2.6:

Use inducao para demonstrar os seguintes fatos:

(a) 2(1 + 2 + 3 + + n) = n(n+ 1);(b) 1 + 3 + 5 + + (2n+ 1) = (n+ 1)2;(c) (a 1)(1 + a+ a2 + + an) = an+1 1, seja quais forem a, n Z+;(d) n 4 n! > 2n.

(a)

Para n = 1, temos a igualdade ja que2(1) = 2 = 1(1 + 1).

Supondo que a igualdade seja verdadeira para n = k, segue que

2(1 + 2 + 3 + + k + (k + 1)) = 2(1 + 2 + 3 + + k) + 2(k + 1)= k(k + 1) + 2(k + 1)= (k + 2)(k + 1)= (k + 1)((k + 1) + 1).

Portanto, pelo PIF, temos o resultado.

(b)

Para n = 1, temos a igualdade ja que1 + 3 = 4 = (1 + 1)2.

Supondo que a igualdade seja verificada para n = k, segue que

1 + 3 + 5 + + (2k + 1) + (2(k + 1) + 1) = (k + 1)2 + (2(k + 1) + 1)= (k + 1)2 + 2(k + 1)1 + 12

= ((k + 1) + 1)2.

Portanto, pelo PIF, temos o resultado.

(c)

Para n = 1, temos a igualdade ja que

(a 1)(1 + a) = a2 1.Supondo que a igualdade seja verdadeira para n = k, segue que

(a 1)(1 + a+ a2 + + ak + ak+1) = (a 1)(1 + a+ a2 + + ak) + (a 1)(ak+1)= (ak+1 1) + (ak+2 ak+1)= ak+2 1.

Portanto, pelo PIF, temos o resultado.

(d)

Para n = 4, temos a desigualdade ja que

4! = 24 > 16 = 24.

Supondo que a desigualdade seja verdadeira para n = k > 4, segue que

(k + 1)! > (k!)(k + 1) > 2k > 2k2 = 2k+1.

Portanto, pelo PIF, temos o resultado.

39

Exerccio 2.7:

Use o Segundo Princpio de Inducao para demonstrar a unicidade de decomposicao de um numero natural emfatores primos.

O resultado do enunciado e comumente demonstrado nos livros sobre Teoria do Numeros utilizando-se resultadosprovados com o uso do conceito de maximo divisor comum como, por exemplo, a implicacao: Se p Z+ e primoe p divide o produto mn dos elementos m e n Z+entao p divide m ou n. Para evitarmos a utilizacao deferramentas de fora do texto, faremos uma demonstracao mais longa, mas que usa somente as propriedades dasoma, multiplicacao (apresentadas neste captulo) e da subtracao (que sera muito brevemente tratada no proximocaptulo). Esta demonstracao e uma adapatacao de uma demonstracao encontrada em:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental theorem of arithmeticSeja n Z+ tal que todo m < n em Z+ possui uma unica decomposicao em fatores primos. Provaremos que

n possui uma unica decomposicao em fatores primos e concluiremos, do Segundo Princpio da Inducao, que todon Z+ possui uma unica fatoracao em fatores primos.

Suponhamos que 12 . . . p e 12 . . . q sejam duas decomposicoes de n em fatore primos i e j . Devemosmostrar que a sequencia 1, 2, . . . , p e uma permutacao da sequencia 1, 2, . . . , q.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que 1 6 1. Tambem podemos supor que m nao e primo, poispela propria definicao de numero primo, m teria imediatamente uma unica fatoraca em fatores primos. Ou seja, pe q sao maiores que 1.

Se 1 = i para algum i {1, . . . , q}, temos, pela Lei do Corte, que

23 . . . p = 1 . . . i1i+1 . . . q.

Assim, como 23 . . . p < n, devemos ter, pela hipotese de inducao que 2, 3, . . . , p e uma permutacao dasequencia 1, . . . , i1, i+1, . . . , q. Portanto, 1, 2, 3, . . . , p e uma permutacao da sequencia 1, . . . ,i1, i, i+1, . . . , q.

No restante desta demonstracao, encontraremos uma contradicao supondo que 1 {1, . . . , q}. Assim, comomostrado acima, teremos o resultado.

Suponhamos que 1 / {1, . . . , q}. Segue que 1 < 1.O inteiro

m := (1 1)(2 . . . q)e positivo, pois 1 1 > 0 e 2 . . . q > 0. Alem disso,

m = (1 1)(2 . . . q) = n 12 . . . q < n.

Devemos ter que 1 1 = 1 em = 2 . . . q;

ou 1 1 = 1 . . . s em = 1 . . . s2 . . . q,

para numeros primos 1, . . . , s Z+.Tambem temos que

m = (1 1)(2 . . . q)= n 12 . . . q= 12 . . . p 12 . . . q= 1(2 . . . p 2 . . . q)

Como m e 1 sao positivos, devemos ter que 2 . . . p2 . . . q tambem e positivo. Logo, 2 . . . p2 . . . q = 1e

m = 1;

ou 2 . . . p 2 . . . q = 1 . . . r em = 11 . . . r,

para numeros primos 1, . . . , r Z+.

40

Com isso, concluimos que{2, . . . , q} ou {1, . . . , s, 2, . . . , q}

e uma permutacao de{1} ou {1, 1, . . . , r},

ja que m < n possui uma unica fatoracao em fatores primos. Em especial, devemos ter que

1 {2, . . . , q} ou {1, . . . , s, 2, . . . , q}.

Logo, como 1 / {1, . . . , q}, devemos ter que

1 {1, . . . , s}.

Por fim, para algum k Z+,1k = 1 . . . s = 1 1

e, consequentemente,1(k + 1) = 1.

Contradizendo o fato de 1 ser primo.

41

Exerccio 2.8:

Seja X um conjunto com n elementos. Use inducao para provar que o conjunto das bijecoes (ou permutacoes)f : X X tem n! elementos.

Seja X o conjunto formado pelos elementos (distintos) x1, x2, . . . , xn. Provaremos, por inducao em n Z+,que o conjunto SX , das bijecoes f : X X, tem n! elementos.

O resultado e valido para n = 1 uma vez que, neste caso, so existe uma funcao f : X X e esta e bijetiva.Suponhamos que n > 1 e, como hipotese de inducao, que o conjunto Y = X\{xn} seja tal que o conjunto SY ,

das funcoes bijetivas g : Y Y , tenha (n 1)! elementos.Sejam

SX,k := {f SX : f(xn) = xk},para todo k = 1, . . . , n. Segue desta definicao que

SX,i SX,j =

quando i 6= j e queSX = SX,1 SX,2 SX,n.

Assim, pelo Corolario 1 do Teorema 6, temos que

card(SX) = card(SX,1) + card(SX,2) + + card(SX,n).

Desta forma, mostrando que

card(SX,1) = card(SX,2) = = card(SX,n) = SY = (n 1)!

concluiremos quecard(SX) = n (n 1)! = n!,

como queramos demonstrar.Dado f SX,n, temos que f(xn) = xn e, como f e uma bijecao, f(Y ) = Y . Assim, cada f SX,n define uma

bijecao (f) : Y Y dada por ((f)

)(y) = f(y),

em cada y Y . Com isso, temos uma funcao : SX,n SY . Se f1 e f2 SX,n sao tais que (f1) = (f2) entao

f1(y) =((f1)

)(y) =

((f2)

)(y) = f2(y),

f1(xn) = xn = f2(xn)

e, consequentemente,f1 = f2.

Dado g SY , podemos definir uma funcao f SX por

f(xi) =

{g(xi), se i = 1, . . . , n 1,xn, se i = n.

Desta forma,(f) = g.

Portanto, concluimos que : SX,n SY e uma bijecao e, consequentemente, que

card(SX,n) = card(SY ).

Provaremos, para k = 1, . . . , n 1, que

card(SX,k) = card(SX,n).

42

Considermos a bijecao SX dada por

(xi) =

xi, se i 6= k, n,xn, se i = k,xk, se i = n.

Segue desta definicao que = IX (a funcao identidade em X).Dado h SX,k, temos que h : X X e uma composicao de bijecoes e, logo, uma bijecao. Alem disso, como

h(xn) = (xk) = xn,

temos que h SX,n. Assim, podemos definir uma funcao : SX,k SX,n por

(h) = h,

para cada h SX,k.De forma analoga, verifica-se que uma funcao : SX,n SX,k fica bem definida pela igualdade

(f) = f,

para cada f SX,n.Por fim, para cada f SX,n,

(f) = ( f) = ( f) = ( ) f = f

e, para cada h SX,k, (h) = ( h) = ( h) = ( ) h = h.

Logo, e uma inversa para : SX,k SX,n. E, portanto,

card(SX,k) = card(SX,n).

Como queramos demonstrar.

43

Exerccio 2.9:

Sejam X e Y conjuntos finitos.

a) Prove que card(X Y ) + card(X Y ) = card(X) + card(Y ).b) Qual seria a formula correspondente para tres conjuntos?

c) Generalize.

(a)

A funcoes dada porx X (1, x) {1} X

e uma bijecao entre X e {1} X. Logo,card(X) = card({1} X).

Analogamente, tambem temos quecard(Y ) = card({2} Y ).

card(X Y ) = card({3} (X Y ))e

card(X Y ) = card({4} (X Y )).Consideremos os conjuntos

A := ({1} X) ({2} Y )e

B :=({3} (X Y )) ({4} (X Y )).

Como({1} X) ({2} Y ) = ({3} (X Y )) ({4} (X Y )) = ,

temos, pelo Teorema 6 do Captulo II, que

card(A) = card({1} X) + card({2} Y )e

card(B) = card({3} (X Y ))+ card ({4} (X Y )).

Seja f : A B a funcao definida por

f(n, z) =

(3, z), se (n, z) {1} X,(3, z), se (n, z) {2} (Y \X),(4, z), se (n, z) {2} (X Y ).

E facil verificar que f e injetiva e sobrejetiva. Com isso,

card(A) = card(B).

Portanto, temos que

card(X Y ) + card (X Y ) = card ({3} (X Y ))+ card ({4} (X Y ))= card(B)= card(A)= card({1} X) + card({2} Y )= card(X) + card(Y ).

(b)

44

Sejam X, Y e Z conjuntos finitos. Temos, pelo item (a), que

card(X) + card(Y ) + card(Z) = card(X) + card(Y Z) + card(Y Z)= card

(X (Y Z))+ card (X (Y Z))+ card(Y Z)

= card(X Y Z) + card ((X Y ) (X Z))+ card(Y Z)= card(X Y Z)

+ card(X Y ) + card(X Z) card ((X Y ) (X Z))+ card(Y Z)

= card(X Y Z)+ card(X Y ) + card(X Z) + card(Y Z) card(X Y Z).

(c)

Provaremos, por inducao em n > 2 em Z+, que se Xi, i = 1, . . . , n, sao conjuntos finitos, entao

ni=1

card(Xi) = card

(ni=1

Xi

)+

nk=2

(1)k

16i1

Exerccio 2.10:

Dado um conjunto finito X, prove que uma funcao f : X X e injetora se, e somente se, e sobrejetora.

() Temos que g : X f(X) dada por g(x) = f(x) e uma bijecao. Se f(X) 6= X teramos um absurdo poisnao pode haver bijecao entre um conjunto finito e um subconjunto proprio deste conjunto.

() Seja X = {x1, x2, ..., xn}. Suponha que f nao seja injetora, ou seja, existem xi 6= xj em X tais quef(x1) = f(x2). Assim, f(X) = {f(x1), f(x2), ..., f(xn)} teria no maximo n 1 elementos e desta forma f(X) 6= X,o que e um absurdo. Logo, f e injetora.

46

Exerccio 2.11:

Formule matematicamente e demonstre o seguinte fato(conhecido como princpio das gavetas). Se m < n, entaode qualquer modo como se guardem n objetos em m gavetas, havera sempre uma gaveta, pelo menos, que conteramais de um objeto.

f : In Im com n > m nao e injetiva.

Se f nao e sobrejetora, f |In tambem nao sera. Logo, f |In tambem nao sera injetiva pelo exerccio anterior. Econsequentemente f tambem nao seria injetiva.

Por outro lado, mesmo que f fosse sobrejetiva, se fosse tambem injetiva, f seria uma bijecao entre um conjuntofinito e um subconjunto proprio dele, que e um absurdo.

47

Exerccio 2.12:

Seja X um conjunto com n elementos. Determine o numero de funcoes injetivas f : Ip X.

Princpio da contagem. Escolhamos um dos n elementos de X para ser f(1). Da escolhamos 1 dos n 1elementos restantes para ser f(2). E assim sucessivamente temos que o numero de funcoes injetivas possveis e

n(n 1)(n 2)...(n p+ 1).

48

Exerccio 2.13:

Quantos subconjuntos com p elementos possui um subconjunto X, sabendo-se que X tem n elementos?

Se n < p, vem de P1 que nao existe subconjunto de X com p elementos. Caso contrario podemos definir umafuncao f : [1, p] N X(pelo axioma da escolha). Pelo princpio da contagem, temos que f pode ser definida de

n!

p!(n p)! modos distintos. Porem, para cada imagem de f, f pode ter sido definida de p! formas. Sendo assim,

existemn!

p!(n p)! imagens de f.

49

Exerccio 2.14:

Prove que se A tem n elementos, entao P (A) tem 2n elementos.

Associemos a cada X P (A) uma funcao fX : A {0, 1} dada por f(x) = 1 se x X e f(x) = 0 se x / X.Temos entao que a aplicacao X fX e uma bijecao. E como, pelo princpio da contagem, e possvel se fazer 2funcoes f : A {0, 1} diferentes, temos que a ordem de P (A) e exatamente 2.

50

Exerccio 2.15:

Defina um funcao sobrejetiva f : N N tal que, para todo n N, o conjunto f1(n) seja infinito.

Seja f : N N tal que f(2n3m) = n e f(x) = 1 para x divisvel por qualquer primo diferente de 2 e 3. Portanto,

f1(N) {2n3, 2n32, ..., 2n3m, ...}.

51

Exerccio 2.16:

Prove que se X e infinito enumeravel, o conjunto das partes finitas de X tambem e (infinito) enumeravel.

Seja X = {x1, x2, ...}. Temos que

P =

i=1

{A {x1, x2, ..., xi}} =i=1

Fi.

Temos que cardFi = 2i. Como P e uma reuniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, P e enumeravel.

52

Exerccio 2.17:

Seja f : X X uma funcao. Um subconjunto Y X chama-se estavel relativamente a` f quando f(Y ) Y. Proveque um subconjunto X e finito se, e somente existe um funcao f : X X que so admite os subconjuntos estaveis e X.

() Seja X = {x1, x2, ..., xn} e f : X X dado por f(xi) = xi+1 se 1 i < n e f(xn) = x1. Se f e estavel emA e xp A, temos que xq = fqp(modn)(xp) A. Logo, A = X.

() Dado x0 X (se X 6= , X e finito) consideremos o conjunto A = {x0, f(x0), f2(x0), ..., fn(x0), ...}. DaX = A, pois f e estavel em A e A 6= .

Se nao existir k N tal que fk(x0) = x0, A {x0} e estavel por f e logo A {x0} = X {x0} = , ou seja,X = {x0}, ou A = X = A {x0}, absurdo.

Por outro lado, se existir k N tal que fk(x0) = x0 o conjunto {x0, f(x0), f2(x0), ..., fk1(x0)} e estavel por Ae nao vazio, logo e igual a X.

53

Exerccio 2.18:

Seja f : X X uma funcao injetiva tal que f(X) 6= X. Tomando x X f(X), prove que os elementosx, f(x), f(f(x)), ... sao dois a dois distintos.

Provaremos por inducao em n que para todo p N, temos que fn(x) 6= fn+p(x) e a proposic ao estarademonstrada. Com x / f(X), temos que x 6= fp(x), para todo p N. Suponhamos que fn(x) 6= fn+p(x). Entaofn+1(x) 6= fn+1+p(x) pois f e injetora. Pelo PIF o resultado segue.

54

Exerccio 2.19:

Dado um conjunto finito X, prove que uma funcao f : X X e injetora se, e somente se, e sobrejetora.

() Temos que g : X f(X) dada por g(x) = f(x) e uma bijecao. Se f(X) 6= X teramos um absurdo poisnao pode haver bijecao entre um conjunto finito e um subconjunto proprio deste conjunto.

() Seja X = {x1, x2, ..., xn}. Suponha que f nao seja injetora, ou seja, existem xi 6= xj em X tais quef(x1) = f(x2). Assim, f(X) = {f(x1), f(x2), ..., f(xn)} teria no maximo n 1 elementos e desta forma f(X) 6= X,o que e um absurdo. Logo, f e injetora.

55

Exerccio 2.20:

(a) Se X e finito e Y e enumeravel, entao F(X,Y ) e enumeravel.(b) Para cada funcao f : N N seja Af = {n N; f(n) 6= 1}. Prove que o conjunto X das funcoes f : N N

tais que Af e finito e um conjunto enumeravel.

Item (a)Seja X = {x1, ..., xn}. Definimos

: F(X,Y ) Y nf (f(x1), ..., f(xn)).

Temos que e claramente injetiva. Logo, F(X,Y ) esta em bijecao com o conjunto (F(X,Y )) Y n. ComoY e enumeravel, Y n e enumeravel (pois e produto finito de conjuntos enumeraveis). Assim, (F(X,Y )) Y n eanumeravel e, consequentemente, F(X,Y ) e enumeravel.

Item (b)Seja

Fn := {Y N; cardY = n}.Definimos

: Fn Y nY = {y1, ..., yn} (y1, ..., yn).

Claramente, e injetiva. Como Y n e enumeravel, segue que Fn e enumeravel. Portanto,

F :=

n=1

Fn

e enumeravel.Seja

: X Y FF(Y,N)f f |Af .

Temos que e injetiva. De fato, se f, g X sao tais que (f) = (g) temos que

f |Af = g|Agimplicando que Af = Ag,

f |Af = g|Ag ,e

f = g

ja quef |N\Af = 1 = g|N\Af .

Pelo item anterior,Y F F(Y,N) e uma uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis. Logo,

Y F F(Y,N) e

enumeravel. Assim, como e injetiva, segue que X e enumeravel.

56

Exerccio 2.21:

Obtenha uma decomposicao N = i=1Xi tal que os conjuntos Xi sao infinitos e dois a` dois disjuntos.

Para todo n N, existe um unico k Z>0 tal que

2k 6 n < 2k+1.

Por isso, fica bem definida a funcao f : N Z>0 dada por

f(n) = n 2k,

onde 2k 6 n < 2k+1. Desta forma, temos, para

Xi := f1(i 1),

que

N =i=1

Xi

com os conjuntos Xi sendo dois a` dois disjuntos. Adiante, como

Xi = {2k + i 1 | k Z>0, i 1 < 2k},

temos que cada Xi e infinito.

57

Exerccio 2.22:

Defina f : N N N, pondo f(1, n) = 2n 1 e f(m+ 1, n) = 2m(2n 1). Prove que f e uma bijecao.

Para cada numero natural p, temos, pela unicidade da decomposicao de numeros naturais em numeros primos,que existem unicos m e q Z+ tais que p = 2m1q e q e mpar. Sendo q mpar, existe um unico n Z+ tal queq = 2n 1. Assim, existem unicos m e n Z>0 tais que p = 2m1(2n 1). Portanto, e bem definida a funcao

g : Z+ Z+ Z+p = 2m1(2n 1) (m,n).

Como g e uma inversa para f , temos que f e bijetiva.

58

Exerccio 2.23:

Seja X N um subconjunto infinito. Prove que existe uma unica bijecao crescente f : N X.

Definimos, indutivamente f : N X porf(1) = min(X)

e

f(n) = min

(X

n1i=1

{f(i)}),

para n > 1. Temos, pelo PIF e pelo fato de X N ser bem ordenado, que f esta bem definida.Dados m < n N, temos que

f(m) < min

(X

n1i=1

{f(i)})

= f(n)

pois f(m) 6 x, para todo x X m1i=1 X n1i=1 , e f(m) / X n1i=1 . Com isso, concluimos que f eestritamente crescente e, consequentemente que f e injetiva.

Provaremos, agora que f e sobrejetiva. Comecaremos mostrando, por inducao que

n 6 f(n).

Para n = 1, temos de X N, que1 = min(N) 6 min(X) = f(1).

Usando o passo indutivo, temos quen 6 f(n) < f(n+ 1)

implicando quen+ 1 6 f(n+ 1).

Logo, vale a desigualdade acima. Adiante, dado x XN, provaremos que x f(N). Suponhamos por absurdo queexista x X f(N). Existe, pela arquimedianidade de N, n N tal que

x < n 6 f(n).

Mas, como

x X n1i=1

{f(i)},

teramos uma contradicao com o fato de que

x < min

(X

n1i=1

{f(i)}).

Portanto, f e sobrejetiva.Provaremos, agora, que se g : N X e uma bijecao crescente entao f = g. Devemos ter que

g(1) = min(X) = f(1)

pois, caso contrario, existiria n N, com n > 1, tal queg(n) = min(X) < g(1).

Contradizendo o fato de g ser crescente. Usando o passo indutivo,

g(k) = f(k),

para todo k < n+ 1, devemos que ter

g(n+ 1) = min

(X

ni=1

{g(i)})

= min

(X

ni=1

{f(i)})

= f(n+ 1)

59

pois, caso contrario, existiria p > n+ 1 tal que

g(p) = min

(X

ni=1

{g(i)})< g(n+ 1).

Contradizendo o fato de g ser crescente. E o resultado segue.

60

Exerccio 2.24:

Prove que todo conjunto infinito se decompoe como reuniao de uma infinidade enumeravel de conjuntos infinitos,dois a dois disjuntos.

Seja C um conjunto infinito.Pelo exerccio 2.21, existe uma decomposicao

N =iN

Xi

na qual os conjuntos Xi sao infitos e dois a` dois disjuntos.Se C e enumeravel, existe uma bijecao f : N C. Logo,

C =iN

f(Xi)

e uma decomposicao na qual os conjuntos f(Xi) sao infitos e dois a` dois disjuntos.Se C e nao-enumeravel, existe uma aplicacao injetiva f : N C tal que C f(N) e infinito. Assim,

C = (C f(N)) iN

f(Xi)

e uma decomposicao na qual os conjuntos C f(N) e f(Xi) sao infitos e dois a` dois disjuntos.

61

Exerccio 2.25:

Seja A um conjunto. Dadas funcoes f, g : A N, defina a soma f + g : A N, o produto f g : A N, e de osignificado da afirmacao f 6 g. Indicando com X a funcao caracterstica de um subconjunto X A, prove:a) XY = X Y ;b) XY = X + Y XY . Em particular, XY = X + Y X Y = ;c) X Y X 6 Y ;d) AX = 1 X .

Definimosf + g : A N

a f(a) + g(a)e

f g : A Na f(a)g(a).

E dizemos que f 6 g se e somente sef(a) 6 g(a)

para todo a A.a)Seja a A.Se XY (a) = 0, entao a / XY e, consequentemente, a / X ou a / Y . Assim, XY (a) = 0 implica X(a) = 0

ou Y (a) = 0. Logo, XY (a) = 0 implica X(a)Y (a) = 0 = XY (a).Se XY (a) = 1, entao a X Y e, consequentemente, a X e a Y . Assim, XY (a) = 1 implica X(a) = 1

e Y (a) = 1. Logo, XY (a) = 1 implica X(a)Y (a) = 1 = XY (a).Como XY (a) = 0 ou 1, temos que X(a)Y (a) = XY (a) em todos os casos. E, como a A e arbitrario,

temos que X Y = XY .b)Seja a A.Se XY (a) = 0, entao a / X Y e, consequentemente, a / X e a / Y . Assim, XY (a) = 0 implica X(a) = 0,

Y (a) = 0 e XY (a) = 0. Logo, XY (a) = 0 implica X(a) + Y (a) XY (a) = 0 = XY (a).Se XY (a) = 1 e XY (a) = 0, entao a XY XY = (XY )(Y X) e, consequentemente, a XY ou

a Y X. Se a XY entao X(a) = 1, Y (a) = 0 e, consequentemente, X(a)+Y (a) = 1. Se a Y X entaoX(a) = 0, Y (a) = 1 e, consequentemente, X(a) + Y (a) = 1. Logo, XY (a) = 1 e XY (a) = 0 implicam queX(a) + Y (a) = 1. Portanto, XY (a) = 1 e XY (a) = 0 implicam que X(a) + Y (a) XY (a) = 1 = XY (a).

Se XY (a) = 1 e XY (a) = 1, entao a X Y e, consequentemente, a X e a Y . Assim, XY (a) = 1 eXY (a) = 1 implicam que X(a) = Y (a) = 1. Logo, XY (a) = 1 e XY (a) = 1 implicam que X(a)+Y (a) = 2.Portanto, XY (a) = 1 e XY (a) = 1 implicam que X(a) + Y (a) XY (a) = 1 = XY (a).

Como XY (a) = 0 ou 1 e XY (a) = 0 ou 1, temos que X(a) + Y (a) XY (a) = XY (a) em todos oscasos. E, como a A e arbitrario, temos que X + Y XY = XY .

Em particular, temos que X Y = e equivalente a` XY = 0 (i.e. XY e a funcao nula) que e equivalente(pelo que foi demonstrado acima) a` X + Y = XY .

c)Suponhamos que X Y . Dado a A, temos que X(a) = 0 ou 1. No primeiro caso, temos imediatamente que

X(a) 6 Y (a) = 0 ou 1. No segundo, temos que a X Y e, consequentemente, X(a) = 1 = Y (a). Em todocaso, X(a) 6 Y (a). Como a A e arbitrario, concluimos que X 6 Y .

Suponhamos que X 6 Y . Dado x X, temos que X(x) 6 Y (x) e, consequentemente, Y (x) = 1. Logo,x X implica que x Y . E temos que X Y .

d)Seja a A.Se AX(a) = 0 temos que a / AX e, consequentemente, a X. Logo, AX(a) = 0 implica que X(a) = 0.

Assim, AX(a) = 0 implica que 1(a) X(a) = 0 = AX(a).Se AX(a) = 1 temos que a AX e, consequentemente, a / X. Logo, AX(a) = 1 implica que X(a) = 0.

Assim, AX(a) = 1 implica que 1(a) X(a) = 1 = AX(a).Em todos casos, temos que 1(a) X(a) = AX(a). E, como a A e arbitrario, temos que 1 X = AX .

62

Exerccio 2.26:

Prove que o conjunta das sequencias crescentes (n1 < n2 < n3 < ...) de numeros naturais nao e enumeravel.

Usaremos o argumento da diagonal de Cantor.Suponhamos, por absurdo, que exista um enumeracao a1, a2, a3, ... das sequencias crescentes de numeros naturais

ai, i N, dadas porai1 < a

i2 < a

i3 < ...

Temos que a sequencia b, definida indutivamente por

b1 = a1 + 1

ebn+1 = max(bn, an+1) + 1

nao pertence a` enumeracao acima. De fato, temos, pela definicao de b, que

aii < bi

e,consequentemente,b 6= ai

para todo i N.

63

Exerccio 2.27:

Sejan (N, s) e (N, s) dois pares formados, cada um, por um conjunto e uma funcao. Suponhamos que amboscumpram os axiomas de Peano. Prove que existe uma unica bijecao f : N N tal que f(1) = 1, f(s(n)) = s(f(n)).Conclua que:

a) m < n f(m) < f(n);b) f(m+ n) = f(m) + f(n);

c) f(m n) = f(m) f(n).

Como (N, s) e (N, s) satisfazem os axiomas de Peano, devemos ter que a funcao f : N N fica bem definidapor

f(1) = 1

ef(s(n)) = s(f(n))

para todo n N. De fato, f esta definida em todo N = {1} s(N) pois esta definida em {1} e s(N). Como se injetiva, segue que f esta bem definida. Em particular, segue que f e a unica funcao N N satisfazendo ascondicoes do enunciado. Temos, tambem, que f e injetiva. De fato, seja

X = {n N; f(n) / f(N {n})}.

Temos que 1 X pois, pela definicao de f ,

f(N {1}) = f(s(N)) s(N) = N {1} = N {f(1)}.

E, se n X, temos que s(n) X. De fato, temos que f(s(n)) 6= f(1) = 1 pois

f(s(n)) = s(f(n)) s(N) = N {1}

e, se m 6= n e f(m) 6= f(s(m)), entao temos que

f(n) 6= f(m),

pois n X, e, consequentemente,

f(s(n)) = s(f(n)) 6= s(f(m)) = f(s(m)).

Implicando, pelo PIF, que f(s(n)) / f(N {s(n)} ou, equivalentemente, s(n) X. Portanto, pelo PIF, temosque X = N e, da definicao de X, conclumos que f e injetiva. Temos, tambem, que f e sobrejetiva. De fato,1 = f(1) f(N) e, se n = f(k) f(N) temos que

s(n) = s(f(k)) = f(s(k)) f(N).

Assim, pelo PIF, temos que f(N) = N. Portanto, f e uma bijecao.a)Provaremos primeiro que m < n implica f(m) < f(n). Seja

X = {p N; f(n+ p) > f(n), n N}.

Temos que 1 N pois, dado n N,

f(n+ 1) = f(s(n)) = s(f(n)) > f(n).

Supondo que p X, temos, para qualquer n N, que

f(n+ s(p)) = f(s(n) + p) > f(s(n)) = s(f(n)) > f(n).

64

Logo, p X implica que s(p) X. Assim, conclumos, pelo PIF, X = N. Portanto, se m < n, temos, para p Ntal que n = m+ p, que

f(m) < f(m+ p) = f(n).

Agora, provaremos que f(m) < f(n) implica que m < n. Seja

X = {p N; f(n) = f(m) + p implica m < n}.Temos que 1 X. De fato,

f(n) = f(m) + 1

implica quef(n) = s(f(m)) = f(s(m))

e, consequentemente,n = s(m) > m.

Supondo que p X, temos quef(n) = f(m) + s(p)

implica quef(n) = s(f(m)) + p = f(s(m)) + p

e, consequentemente,n > s(m) > m.

Logo, p X implica que s(p) X. Assim, conclumos que X = N. Portanto, se f(m) < f(n), temos, para p Ntal que f(n) = f(m) + p, que

m < n.

b)Seja

X = {n N; f(n+m) = f(n) + f(m), m N}.Provaremos que X = N e teremos, assim, o resultado.

Comecamos mostrando que 1 X. Temos quef(1 + 1) = f(s(1)) = s(f(1)) = f(1) + 1 = f(1) + f(1).

E, sef(1 +m) = f(1) + f(m),

temos quef(1 + s(m)) = f(s(s(m))) = s(f(s(m))) = 1 + f(s(m)) = f(1) + f(s(m)).

Logo, pelo PIF, temos que f(1 +m) = f(1) + f(m) para todo m N. Ou seja, 1 X.Suponhamos que n X. Provaremos que s(n) X. Temos que

f(s(n) + 1) = f(s(s(n))) = s(f(s(n))) = f(s(n)) + 1 = f(s(n)) + f(1).

Adiante, sef(s(n) +m) = f(s(n)) + f(m),

temos quef(s(n) + s(m)) = f(s(s(n) +m))

= s(f(s(n) +m))= f(s(n) +m) + 1

= f(s(n)) + f(m) + 1

= f(s(n)) + f(1) + f(m)= f(s(n)) + f(1 +m)= f(s(n)) + f(s(m)).

Assim, conclumos, pelo PIF, que f(s(n) + m) = f(s(n)) + f(m) para todo m N. Logo, n X implica ques(n) X.

Portanto, conclumos, pelo PIF, que X = N.

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c)Seja

X = {n N; f(n m) = f(n) f(m), m N}.Provaremos que X = N e teremos, assim, o resultado.

Comecamos mostrando que 1 X. De fato, dado m N, temos que

f(1 m) = f(m) = 1 f(m) = f(1) f(m).

Suponhamos que n X. Provaremos que s(n) X. Temos que

f(s(n) 1) = f(s(n)) = f(s(n)) 1 = f(s(n)) f(1)

Adiante, sef(s(n) m) = f(s(n)) f(m),

temos quef(s(n) s(m)) = f(s(n) m+ s(n) 1)

= f(s(n) m) + f(s(n) 1)= f(s(n) f(m) + f(s(n)) 1= f(s(n)) (f(m) + 1)= f(s(n)) s(f(m))= f(s(n)) f(s(m)).

Assim, conclumos, pelo PIF, que f(s(n)m) = f(s(n))f(m) para todo m N. Logo, n X implica que s(n) X.Portanto, conclumos, pelo PIF, que X = N.

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Exerccio 2.28:

Dada uma sequencia de conjuntosA1, A2, ...,An, ..., considere os conjuntos lim supAn = n=1(i=nAi) e lim infAn =n=1(i=nAi).a) Prove que lim supAn e o conjunto dos elementos que pertencem a` An para uma infinidade de valores de n e que

lim infAn e o conjunto dos elementos que que pertencem a todo An salvo para um numero finito de valoresde n.

b) Conclua que lim infAn lim supAn;c) Mostre que se An An+1 para todo n entao lim infAn = lim supAn = n=1An;d) Por outro lado, se An An+1 para todo n entao lim infAn = lim supAn = n=1An;e) De exemplo de uma sequencia (An) tal que lim supAn = lim infAn;

f) De exemplo de uma sequencia para a qual os dois limites coincidem mas Am 6 An para todos m 6= n.

a)Sejam

X := {a n=1An | a An para uma infinidade de valores de n}e

Y := {a n=1An | a An para todos exceto uma quantidade finita de valores de n}.Dado a X, temos que

{i N | a Ai}e ilimitado. Sendo assim, dado n N, existe i N tal que n < i e a Ai. Isso implica que

a i=nAipara todo n N. Portanto,

a n=1(i=nAi) = lim supAn.E, como a e um elemento arbitrario de X, temos que X lim supAn.

Seja a lim supAn. Temos quea i=nAi

para todo n N. Segue da queI := {i N | a Ai}

e infinito, pois, caso contrario, existiria n N tal que n > i para todo i I e, consequentemente, teramos quea 6 i=nAi. Portanto, a X. E, como a e um elemento arbitrario de lim supAn, temos que X lim supAn.

Dado a Y , temos queI := {i N | a Ai} = N J,

para alum J N finito. E, como J e finito e, consequentemente, limitado, existe k N tal que i > k implicai 6 J . Logo, para todo i > k, temos que i I e, consequentemente,

a i=kAi.Assim, como i=kAi n=1(i=nAi), temos que

a n=1(i=nAi) = lim infAn.Como a e um elemento arbitrario de Y , conclumos da que Y lim infAn.

Seja a lim infAn. Temos que existe k N tal quea i=kAi.

Isso implica que o conjuntoI := {i N | a Ai}

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e tal queN I {1, ..., k 1}.

Logo, a Y . Como a e um elemento arbitrario de lim infAn, temos que Y lim infAn.b)Pelo tem anterior, temos que

lim supAn := {a n=1An | a An para uma infinidade de valores de n}

elim infAn := {a n=1An | a An para todos exceto uma quantidade finita de valores de n}.

Assim, segue quelim infAn lim supAn.

c)Como

i=nAi i=1Aipara todo n N, temos, imediatamente que

lim supAn = n=1(i=nAi) n=1An.

Por outro lado, dado a n=1An, temos que a Ak para algum k N. Por inducao em p N, prova-se que

Ak Ak+ppara todo p N. Portanto,

a Ak p=0Ak+p = i=kAi n=1(i=nAi) = lim infAn.

Assim, a lim infAn e, como a e um elemento arbitrario de n=1An, concluimos que n=1An lim infAn.Conclumos, entao, do tem b) e do que foi discutido acima, que

n=1An lim infAn lim supAn n=1An.

Logo, temos quelim infAn = lim supAn = n=1An.

d)Temos imediatamente que

n=1An = i=1Ai n=1(i=nAi) = lim infAn.

Seja a l