ModuloII:Electrica2Indicegeneral1. Teoradeloscircuitos 51.1. Componentesdeloscircuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3. Inductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4. Fuentesdevoltajeindependientes . . . . . . . . . . . . 121.1.5. Fuentesdecorrienteindependientes . . . . . . . . . . . 131.2. An alisisdenodosymallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1. Conexiondeloselementoselectricos . . . . . . . . . . . 141.2.2. Topologadeuncircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. LeyesdeKirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4. Divisordevoltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.5. Divisordecorriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3. Teoremasderedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1. Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2. Superposici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.3. CircuitosequivalentesdeTheveninydeNorton . . . . 271.4. EnergayPasividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.1. Potenciadeentradaenunresistor,Pasividad . . . . . 341.4.2. Almacenaientodeenergaenuncapacitor . . . . . . . 351.4.3. Almacenamientodeenergadeuninductor . . . . . . . 361.5. Par ametroscuadripolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372. Introducci onase nalesysistemas 412.1. Panoramadesistemasyse nales . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.1. Se nales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.3. Se naleseneltiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4234INDICEGENERAL2.1.4. Sistemaseneltiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.5. Aplicacionenelcontrolautom atico . . . . . . . . . . . 432.2. Transformacionesdelavariableindependiente . . . . . . . . . 432.2.1. Reexionoinversi oneneltiempo . . . . . . . . . . . . 442.2.2. Desplazamientoeneltiempo. . . . . . . . . . . . . . . 442.2.3. Escalamientodelavariabletyn . . . . . . . . . . . . 472.2.4. Se nalesperiodicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.5. Se nalespareimpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3. Se nalesgeneralizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.1. Funcionessingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2. Funci onimpulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.3. Funci onescalonunitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.4. Funci onrampaunitariayparabola . . . . . . . . . . . 562.4. Sistemasentrada-salidaymapeoentrada-salida . . . . . . . . 572.4.1. Mapeodesistemasentrada-salida . . . . . . . . . . . . 572.4.2. Sistemascausalesynocausales . . . . . . . . . . . . . 572.4.3. Sistemasconysinmemoria . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.4. Sistemasvarianteseinvariantesconeltiempo . . . . . 592.5. Sistemaslinealesynolineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6. Sistemasdeconvoluc onysuestabilidad . . . . . . . . . . . . . 612.6.1. Estabilidaddelossistemasdeconvoluci on . . . . . . . 642.7. Interconexi ondesistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Captulo1Teoradeloscircuitos1.1. ComponentesdeloscircuitosUncircuitoelectricoesunconjuntodecomponenteselectricosinterconecta-dos entre los que puede circular corriente electrica.Los componentes electri-cos queformanlos circuitos son: resistores, diodos, transistores, tubos devaco, capacitores, inductores, transformadores, fuentes devoltajeycorri-ente, etc. En la gura 1.1 se muestran algunos de los componentes electricosm ashabiatuales,adem asdesussmbolosyunidades.Figura1.1:Smboloselectricosb asicos.56 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSLoscircuitoselectricosrealizanfuncionesmuydiversasdistribuyendoytransformandolaenergaelectrica.1.1.1. ResistoresUn elemento de dos terminales puede ser llamado resistor si en cualquierinstante del tiempo t, su voltaje v(t) y su corriente i(t) satisface una relaci ondenida por una curva en el plano vi.Esta es llamada curva caractersticadel resistorenel tiempot,yespecicaelconjuntodetodoslosposiblesvaloresqueel pardevariablesv(t)ei(t)puedentomarenel tiempot. Elresistor m as com unmente usado es el invariante en el tiempo; es decir, suscaractersticas no varan con el tiempo. Un resistor es variante en el tiemposi sus caractersticas varanconel tiempo. El diagramade unresistor semuestra en la gura 1.2. El punto clave de un resistor es que tiene una relaci onentreelvalorinstantaneodetensi onyelvalorinstantaneodecorriente.Lastpicascurvascaractersticassemuestranenlasguras1.3a1.5.Figura1.2:Smbolodeunresistor.ResistorlinealinvarianteeneltiempoEn un resistor lineal invariante en el tiempo, por denicion, se caracterizapornovariarconeltiempoytambienporserunalnearectaquepasaporelorigen,talcomosemuestraenlagura1.3.Aspues,larelaci onentresutensi onv(t)ysucorrientei(t)instantaneaesexpresadaporlaleydeOhm:v(t) = Ri(t) (1.1)dondeResindependientedeiyv,yesllamadaresistencia.Doscasosespecialesdeparticularinteresdelosresistoresinvariantesenel tiemposonel circuitoabierto yel circuitocorto. Unelementode dosterminalesesllamadocircuitoabiertosienlaramalacorrienteesiguala1.1. COMPONENTESDELOSCIRCUITOS 7Figura1.3: El comportamientodel resistorlineal secaracterizaporserunalnearectaquepasaporelorigen.Figura1.4:Uncircuitoabiertosecaracterizaporquelalneacoincideconelejev,yaquelacorrienteesigualacero.cero, independientementedelatensi ondelarama. Lacaractersticadeuncircuitoabiertoes el ejevdel planovi comosemuestraenlagura1.4.Podemos ver que tiene una pendiente innita; es decir, R = . Un elementode dos terminales es llamadocircuito cortosi el voltage enlaramaesigualacero,independientementedelacorrienteenlarama.Enestecasolapendienteesigualacero;esdecir,R = 0,comosemuestraenlagura1.5.ResistorlinealvarianteeneltiempoLacaractersticadeunresistorlinealvarianteeneltiempoest adescritaporlasiguienteecuaci on:v(t) = R(t)i(t) (1.2)8 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.5:Uncircuitoabiertosecaracterizaporquelalneacoincideconelejei,yaquelacorrienteesigualacero.La caracterstica obviamente satisface la propiedad de linealidad, pero cambiaconeltiempo.ResistornolinealUnejemplotpicodeunresistornolineal esundiododegermanio. Lacorrienteatravesdel diodoesunafuncionnolineal del voltajedel diodo,estoesi(t) = Is(eqv(t)/kT1) (1.3)dondeIsesunaconstantequerepresentalacorrientedesaturaci oninversa,por ejemplo, la corriente en el diodo cuando este est a polarizado inversamente(vnegativa) con una tension grande. Los otros par ametros en (1.3) son q(lacargadeunelectr on),k(laconstantedeBoltzmann),yT(temperaturaengradosKelvin).1.1.2. CapacitoresUncapacitor es undispositivode dos terminales que consiste endoscuerposconductoresseparadosporunmaterial noconductor. Tal materialnoconductorseconocecomoaislanteodielectrico. Acausadel dielectrico,las cargas no pueden moverse de un cuerpo conductor al otro dentro del dis-positivo. Por tanto, estas pueden transportarse entre los cuerpos conductoresvasistemadecircuitosexternosconectadosalasterminalesdel capacitor.Untipomuysencillo, denominadocapacitor deplacas paralelas, semues-1.1. COMPONENTESDELOSCIRCUITOS 9Figura1.6:Capacitordeplacasparalelas.traenlagura1.6.Loscuerposconductoressonunosconductoresplanosyrectangularesqueestanseparadosporunmaterialelectrico.Paradescribirlarelaci oncarga-voltajedeldispositivo,transramoscar-gadeunaplacaalaotra. Supongamos, porejemplo, quepormediodeuncircuitoexterno, tomamosunacargapeque naquedenominamosq, delaplacainferior alaplacasuperior. Esto, por supuesto, depositaunacarga+qenlaplacasuperiorydejaunacarga qenlaplacainferior.Comomover estas cargas requiere de la separaci on de cargas de diferente signo (re-cuerdese que cargas diferentes se atraen), se desarrolla una peque na cantidadde trabajo, y la placa superior se eleva a un potencial que designaremos v,conrespectoalaplacainferior.Cada elemento de carga qque transramos incrementa la diferencia depotencial entrelasplacasenunacantidadv. Portanto, ladiferenciadepotencialentrelasplacasesproporcionalalacargatranferida.Estosugierequeuncambioenelvoltajeentreterminalesenunacantidadvoriginauncambio correspondiente en la carga de la placa superior en una cantidad q.As, la carga es proporcional a la diferencia de potencial. Esto signica que siunvoltageentreterminalesvcorrespondeaunacargaqenelcapacitor(+qenlaplacasuperiory qenlaplacainferior),entonceselcapacitorhasidocargadoalvoltajev,elcualesproporcionalalacargaq.Aspues,podemosescribirq= Cv (1.4)donde Ces la constante de proporcionalidad, conocida como la capacitanciadel dispositivoencoulombsporvolt. Launidaddecapacitanciaseconocecomofarad(F).Loscapacitoresquesatisfacen(1.4)sedenominancapac-10 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.7:Smbolodelcircuitodeuncapacitor.itoreslinealespuestoquesuecuaci oncarga-voltajeeslaecuaciondeunalnearectaconpendienteC.Es importante comentar del ejemplo anterior, que la carga neta en el inte-rior del capacitor es siempre cero. Las cargas retiradas de una placa siempreaparecenenlaotrademodoquelacargatotalpermaneceencero.Tambienpodemosobservarquelascargasquesalendeunaterminalentranalaotra.Estehechoescongruenteconel requisitodequelacorrientequeentraporunaterminaldebedesalirdelaotraentododispositivodedosterminales.Puestoquelacorrientesedenecomolarazondecambiodelacarga,diferenciando(1.4),encontramosquei = Cdvdt(1.5)lacualeslarelacioncorrientevoltajedeuncapacitor.El smbolo de circuitos del capacitor y la convencion corriente voltaje quesatisfase(1.5)semuestranenlagura1.7. Sepuedenotarquemoverunacarga qen la gura 1.6 del conductor inferior al superior representa el ujodecorrienteuyendohacialaterminal superior. ELmoviemientodeestacarga origina que la terminal superior se haga m as positiva que la inferior enunacantidadv.Portanto,laconvenci ondelagura1.7quedasatisfecha.Si se invierten la polaridad del voltaje o la direcci on de la corriente, entonceslacorrientequeentraalaterminalpositivaes i,(1.5)setransformaeni = Cdvdt(1.6)1.1. COMPONENTESDELOSCIRCUITOS 11Figura1.8:Modelosimpledeuninductor.1.1.3. InductoresUn inductor es un dispositivo de dos terminales que conciste en un alam-bre conductor emobinado. Una corriente que que uya a traves del dispositivoproduce un ujo magnetico el cual forma trayectorias cerradas encerrandolasbobinasconstruidasenelinductor,comosemuestraenlagura1.8.Sup ongase que la bobina contiene Nvueltas y que el ujo pasa a travesdecada vuelta.Enestecaso,elujototalconcatenadoporlas vueltasNdelabobinaes = N (1.7)Esteujoseconoceporlocom uncomoujoconcatenado.Enuninductorlineal,elacoplamientoporujoesdirectamentepropor-cional alacorrientequeuyeatravesdel dispositivo. Portanto, podemosescribir = Li (1.8)dondeL,laconstantedeproporcionalidad,eslainductancia.LaunidadseconocecomoHenry(H),asllamadaporelfsiconorteamericanoJosephHenry(1797-1878).En (1.8) vemos que un incremento en i produce un incremento correspon-diente en . Este incremento en produce un voltaje en la N-esima vuelta dela bobina. El hecho de que los voltajes ocurren al cambiar el ujo magneticofuedescubiertoenprimer lugar por Henry. Sinembargo, Henryrepitioelerror de Cavendish con el resistor, al no publicar sus descubrimientos. Como12 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.9:Smbolodelcircuitodeuninductor.resultado de lo anterior, se otroga a Faraday el credito por el descubrimientodelaleydeinducci onelectromagnetica.Estaleyestablecequeelvoltajeesigualalarazondecambioeneltiempodelujomagneticototal.Enformamatempatica,laleyesv=ddt(1.9)lacual,juntocon(1.8)dav= Ldidt(1.10)Esevidentequesiiseincrementa,seestableceunvoltajeentrelaster-minales del inductor, cuya polaridad se mutesra en la gura 1.9. Este voltajeseoponeaunincrementodei, perosi estenofuerael caso, estoes, si lapolaridadseinvirtiera, el voltajeinducidoayudaraalacorriente. Estonopuedeserverdaderofsicamenteporquelacorrienteseincrementarain-denidamente.Elsmbolodecircuitosylaconvenci oncorriente-voltajedelinductorsemuestran en la gura 1.9. Justo como en los casos del resistor y el capacitor,siladirecci ondelacorrienteolaasignaci ondevoltajes,peronoambas,seinvierten,entoncesdebeemplearseunsignonegativoenelmiembroderechode(1.10).Un examen de (1.10) muestra que si i es constante, entonces el voltaje ves cero. Por tanto, un inductor act ua como un corto circuito ante la corrientecd. Por otro lado, mientras i cambie con mayor rapidez, mayor ser a el voltajequeaparezcaentreterminales.1.1.4. FuentesdevoltajeindependientesUna fuente de voltaje independiente es un elemento de dos terminales, talcomounabateraoungenerador, quemantieneunvoltajeespeccoentre1.1. COMPONENTESDELOSCIRCUITOS 13Figura1.10:Fuentedevoltajeindependiente.Figura1.11:Fuentedecorrienteindependiente.susterminales. El voltajeesporcompletoindependientedelacorrienteatravesdel elemento. El smbolodeunafuentequetengavvoltsentresusterminalessemuestraenlagura1.10. Lapolaridadescomosemuestra,indicandoquelaterminal +est avvoltssobrelaterminal . Portanto, siv>0, entonceslaterminal +est aaunpotencial m asaltoquelaterminal.Locontrarioesv alidos olosiv< 0.Enlagura1.10,delladoizquiero,elvoltajeesvarianteconeltiempo,opuedeserconstantecomoenelladoderecho,encuyocasoprobablementelodenominamosV .1.1.5. FuentesdecorrienteindependientesUna fuente de de corriente es un elemento de dos terminales a traves delcual uye una corriente especca. La corriente es independiente por comple-todel voltajeatravesdel elemento. El smbolodeunafuentedecorrienteindependientesemuestraenlagura1.11,ieslacorrienteespecicada.Ladirecci ondelacorrienteseindicamediantelaecha.Lasfuentesindependientesporlocom unsonmediosparaentregarpo-tenciaauncircuitoexternoynoparaabsorverla. Demodoquesi veselvoltaje atraves de lafuente ysucorriente i se dirige haciaafuerade laterminal positiva, entonceslafuenteest adescargandopotenciaal circuitoexternodadaporp = vi.Deotromodoestaraabsorviendopotencia.14 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSLasfuentesquesehandescrito, as comoloelementosdeloscircuitos,sonideales. Es decir, sonmodelos matem aticos querepresentanalos ele-mentosrealesofsicosenciertascondiciones. Porejemplo, unabateradeautom ovilidealsuministra12V constantes,sinimportarelcircuitoexternoconectado a ella. Puesto que su corriente es por completo arbitraria, en teorapodraentregarunacantidadinnitadepotencia.Porsupuestoestonoesposibleenel casodeundispositivoreal. Unabateradeautomovil real de12V suministraunvoltajeconstantes olomientraslacorrientequealimen-taesbaja.Cuandolacorrienteexcedeunoscuantosamperes,elvoltajecaeconsiderablemente.1.2. Analisisdenodosymallas1.2.1. ConexiondeloselementoselectricosTodosloselementosdeuncircuitosepuedenconectarentres dedosformasbasicas:enserieyenparalelo.ConexionenserieDos o mas elementos estan en serie cuando todos ellos son recorridos porlamismacorriente.Doselementosestanenseriesisecumplesimult aneamente:a) unextremodecadaelementoest aconectadoalmismopunto.b) nung unotroelementoestaconectadoaesepunto.Enel circuitodelagura1.12estanenserieloselementosByD. Porellos pasa la misma corriente I1, representada en la gura 1.12 por una echaconunsentidoarbitrario. TambienestanenserieloselementosEyAqueest anrecorridosporlacorrienteI2.Noest anenserieAyB,niAyC,porejemplo.ConexionenparaleloDos o mas elementos est an en paralelo cuando todos ellos est an sometidosalamismadiferenciadepotencial. Dos elementos estanenparalelosi secumplequelasterminalesdeamboselementosest anconectadosal mismo1.2. ANALISISDENODOSYMALLAS 15Figura1.12:Conexiondeelementosenseie.Figura1.13:Conexiondeelementosenparalelo.punto. Enel circuitodelagura1.13estanenparaleloAyB, el voltajeentre sus terminales es lamisma. Sus dos terminales estanconectadas almismopunto. Tambienest anenparaleloA, Byel conjuntoserieformadoporCyD.Noest anenparaleloByCporejemplo.1.2.2. TopologadeuncircuitoConsiderese el circuitode lagura1.14donde los smbolos represen-tancualquiercomponenteelectricodedosterminales.Enuncircuitosedis-tinguenlossiguienteselementos:Nodo:puntodeconexi ondetresomaselementoselectricos.Enelcir-cuitodeladelagura1.14haydosnodos: 1y2, mostradosenlagura1.15.Elnodo1eselpuntodeuni ondeloselementosA,ByDyel2deloselementosE,GyH.Rama: tramodecircuitocomprendidoentredosnodos. Portodosloselementos de una rama circuila la misma corriente. En el circuito de la gura1.14haytresramas.LaramaprimeraestaformadaporloselementosA,CyG,lasegundaporDyEylaterceraporB,FyH.16 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.14:Ejemplodeuncircuitoelectrico.Figura1.15:Nodos,ramasymallas.Lazo:cualquiercaminocerradoquepuedaserdenidoenelcircuito.Enel circuito existen tres lazos. El primero incluye los elementos: A, D, E, G, yC;elsegundolazoincluye:E,D,B,FyHyeltercerlazo,ellazoexterior,incluye:A,B,F,H,GyC.Malla: cualquierlazoquenocontengaramasensuinterior. Enel cir-cuitoexistens olodosmallas,M1yM2,formadasporlosdosprimeroslazosdescritosanteriormente.1.2. ANALISISDENODOSYMALLAS 171.2.3. LeyesdeKirchhoAdem asdelaleydeOhm,debemsotenerotrasleyesparaelan alisisdecircuitos. Setratadelasleyespostuladasporel alem anGustavKirchho(1824-1887) en 1847. Se trata de dos leyes que se conocen formalmente comolaleydecorrientes deKirchho(oprimeraleydeKirchho) ylaleydevoltajes de Kirchho (o segunda ley de Kirchho). Estas dos leyes, junto conlas caractersticas en las terminales de los diferentes elementos de un circuito,permitenmetodossistematicosdesoluciondecualquierredelectrica.Uncircuitoconstade de dos om as elementos de circuitoconectadosmedianteconductoresperfectos. Losconductoresperfectossonalambresderesistenciaceroloscualespermitenalacorrienteuirconlibertad,sinacu-mular carga ni energa. en este caso, puede considerarse la energa acumuladaoconcentradaporcompletodentrodecadaelementodelcircuito,aslaredsedenominacircuitodeparametrosconcentrados.LeydecorrientesdeKirchhoLaleydecorrientesKirchho(LCK)postulaque:Lasumaalgebraicadelascorrientesqueentranporcualquiernodoescero.Porejemplo,lacorrientesqueentranalnododelagura1.16soni1,i2,i3, ei4(yaquei3sale, entonces i3entra). Porlotanto, al aplicarLCKparaestecasosetienei1 + i2 + (i3) + i4= 0Sup ongase que del ejemplo anterior multiplicamos ambos lados de la LCKpor 1,obteniendo(i1) + (i2) + (i3) + (i4) = 0Delagura1.16vemosqueelladoizquierdoessimplementelasumadelas corrientes que salen del nodo. Esto demuestra el enunciaco equivalente delaLCK:La suma algebraica de las corrientes que salen de cualquier nodoescero18 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.16:Corrientesuyendohaciaunnodo.Rearreglamoslaecuacionanteriorenlaformai1 + i2 + i4= i3dondei1,i2ei4est anentrandoalnodoei3est asaliendo.Estaformadelaecuaci onilustraotropostuladodelaLCK,enunciadocomo:LasumadelacorrientesqueentranacualquiernodoesigualalasumadelascorrientesquesalendelmismoUnaexpresionmatem aticageneraldelaLCKesN

n=1in= 0 (1.11)donde ines la n-esima corriente que entra (o sale) del nodo y Nes el n umerodecorrientesdenodo.Ejemplo1.1(LCK)Encontrar la corriente i de la gura 1.17. Sumando las corrientes que entranalnodo,obtenemos5 + i (3) 2 = 0obieni = 6AObservemosqueies 6Aentrandoal nodo, equivalentea6Asaliendodelmismo. Por tanto, no es necesario suponer la direccion correcta de la corrienteantes de resolver el problema. De cualquier manera llegaramos a la respuestacorrectaalnal.1.2. ANALISISDENODOSYMALLAS 19Figura1.17:EjemplodelaLCK.Podemos encontrar la corriente i m as directamente considerando qu entraal nodo e igualandola a las otras tres corrientes saliendo del nodo. El resultadoesi = 3 + 2 + (5) = 6Alacualcoindiceconlarespuestaanterior.

LeydevoltajesdeKirchhoLaleydelosvoltajesdeKirchho(LVK),postulaque:La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayec-toriacerradaescero.Parailustrarloanterior, seaplicael postuladoalatrayectoriacerradaabcddelagura1.18,dandov1 + v2 v3= 0 (1.12)dondeelsignoalgebraicodecadavoltajesehaconsideradopositivoalirde+a (demayoramenorpotencial)ynegativoalirde a+(demenoramayor potencial), al atravesar el elemento. Mediante el uso de esta convencionestamosigualandolasumadelascadasdevoltajealrededordelamallaacero. Podramos tambien utilizar la convenci on opuesta, en cuyo caso la sumadelaselevacionesdevoltajeseracero.Como en el caso de la LCK, no intentaremos probar la LVK. Sin embargo,para ilustrar la validacion de (1.12) supongamos que su miembro derecho noescero.Esdecir,20 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.18:Voltajesalrededordeunatrayectoriacerrada.v1 + v2 v3= = 0El miembroizquierdodeestaecuaci onespordenici onel trabajore-querido para mover una unidad de carga alrededor de la trayectoria abcd. Uncircuitodepar ametrosconcentradosesunsistemaconservativo,locualsig-nicaqueeltrabajorequeridoparamoverunacargaalrededordecualquiertrayectoriacerradaescero.As,nuestrasuposici onnoesvalida,yescero.Laaplicaci ondelaLVKesindependientedeladirecci onenlacual serecorralatrayectoria. Considerese por ejemplolatrayectoriaadcbaenlagura1.18.Sumandolosvoltajes,encontramosv3 v2 + v1= 0lacualesequivalentea(1.12).Unarepresentaci onmatem aticageneraldelaLVKesN

n=1vn= 0 (1.13)dondevneseln-esimovoltajeenunamalladeNvoltajes.Elsignodecadavoltajeseescogecomosedescribi oantespara(1.12).Ejemplo1.2(LVK)Paraejemplicar el usodelaLVK, encontraremos venlagura1.19. Sirecorremoselcircuitoenelsentidodelasmanecillasdelreloj,tenemos15 + v + 10 + 2 = 01.2. ANALISISDENODOSYMALLAS 21Figura1.19:CircuitoparailustrarlaLVK.ov=3V . Supongasequeahorahacemosunrecorridoensentidocon-trario.Entalcaso15 2 10 v= 0o v =3V , el cual es, por supuesto, el mismoresultadoobtenido por elrecorridoenelsentidodelasmanecillasdelreloj.Otraversi ondelaLVKenlagura1.19producev + 10 + 2 = 15dondelasumadelosvoltajesdeunapolaridadseigualaconlasumadelosvoltajesdelapolaridadopuesta.Expresadodeotraforma,losaumentosdevoltajesonigualesalascadasdevoltaje, locual esotroenunciadodelaLVK.Finalmente,podemosdespejardirectamenteav(elvoltajevbc)queesigual alasumadelosvoltajesdebhastacatravesdelostreselementos.Estoes, el voltajeentredosterminalesesel mismosinimportarel caminoquesetomeentreellas.As,delagura2.19tenemosquev= 15 2 10 = 3VEncadaunode los ejemploanteriores, laLVKse aplic oatraves detrayectorias conductoras, tales como la anterior abcda. Sin embargo, la ley esv alida para cualquier trayectoria cerrada. Considerese por ejemplo la trayec-toriaacdadelagura2.19. Seobservaqueel movimientodirectodeaacnoesalolargodeunatrayectoriaconductora. AplicandolaLVKaestatrayectoriacerradadavac + 10 + 2=0,dondevaceselpotencialdelpuntoaconrespectoac.AsqueVac= 12V .Podramostambienhaberescogidolatrayectoriaabca,paralocual15 + v vac= 15 + 3 vac= 022 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.20:Circuitodivisordevoltaje.Por tanto, vac= 12V , lo cual demuestra el uso de diferentes trayectoriascerradasparaobtenerelmismoresultado.

1.2.4. DivisordevoltajeSupongamos que tenemos un circuito construido por una fuente de voltajeenseriecontresresistenciasenlaformaqueindicaenlagura1.20.Ahorabuscaremoslalatensi onenR2.Laaplicaci ondelasegundaleydeKirchhoalamalladelagura1.20nosquedavs= v1 + v2 + v3Utilizando la ley de Ohm y el hecho de que, por estar conectadas en serie,porlastresresistenciascirculalamismacorrientedeintensidadi,hallamosvs= R1i + R2i + R3iDespejandoi,i =vsR1 + R2 + R3Parahallarv2utilizaremosdenuevolaleydeOhm:v2= iR2yalsustituiraqui,obtenemoselresultado1.2. ANALISISDENODOSYMALLAS 23Figura1.21:Circuitodivisordecorriente.v2=vsR2R1 + R2 + R3Demaneraan alogahallaremoslosresultadosv1=vsR1R1+R2+R3v3=vsR3R1+R2+R3Al repasar estos resultados observamos un fen omeno interesante. En cadacaso, el voltaje en la resistencia en cuesti on es igual al valor de esta resistenciadivididoporlaresistenciatotal del circuitoytodoellomultiplicadoporelvoltajeaplicadoalcircuitoenserie.1.2.5. DivisordecorrienteEnlasredesenparalelo, el voltajeentodosloselementosesel mismo.Sin embargo, las corrientes a traves de los elementos son diferentes. La regladel divisor de corriente se usa para determinar que tanto de la corriente entraenunnodosedivideentrelosdiversosresistoresenparaleloconectadosalnodo.Considerelaredderesistores enparaleloquesemuestraenlagura1.21.Siestaredderesistoresrecibeunaenergadeunafuentedevoltaje,lacorrienteenelcircuitoesIT=ERT(1.14)24 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSYa que uno de los n resistores en paralelo tiene el mismo voltaje Eentresusterminales,lacorrientequepasaatravesdecualquierresistorenlaredest adadaporIx=ERx(1.15)Alreescribirlaecuaci on(1.14)comoE=ITRTysustituidaenlaecuaci on1,15,seobtienelaregladeldivisordecorrientecomosigue:Ix=RTRxIT(1.16)La regla del divisor de corriente permite calcular la corriente en cualquierresistordeunaredenparalelosiseconocelacorrientetotalqueentraenlared.Si la red consiste de solo dos resistores en paralelo, entonces la corriente atravesdecadaresistorpuededeterminarseenunaformauntantodiferente.Recuerdequeenlosdosresistoresenparalelo,laresistenciatotalestadadacomoRT=R1R2R1 + R2Ahora,alsustituiresta expresionparala resistenciatotalenlaecuacion1.16,seobtieneI1=ITRTR1=IT_R1R2R1+R2_R1LacualsesimplicaI1=R2R1 + R2ITDemanerasimilar:I2=R1R1 + R2IT1.3. Teoremasderedes1.3.1. ProporcionalidadEn esta secci on nos centraremos en los circuito lineales. La caractersticadedichoscircuitosesquelassalidasdelasse nalessonfuncioneslinealesde1.3. TEOREMASDEREDES 25susentradas.Desdeunpuntodevistamatem atico,sedicequeunafuncioneslinealsitienedospropiedades:f(AX) = Af(X) (homogeneidad) (1.17)yf(X1 + X2) = f(X1) + f(X2) (aditividad) (1.18)dondeAesunaconstante. Enloquesereereacircuitos, lapropiedaddehomogeneidadindicaquelasalidadeuncircuitolinealesproporcionalalaentrada. Lapropiedaddeaditividadsignicaquelasalidadebidaadosom asentradassepuedehallarsumandolassalidasqueseobtienencuandoseaplicaporseparadocadaunadelasentradas. Enanalisisdecircuitos, alaprimerapropiedadselellamaproporcionalidadyaladeaditividadselellamasuperposici on.Lacaractersticai v de unaresistencialineal es v =Ri yde elloresultaqueal duplicarlaintensidaddelacorriente(entrada)seduplicaelvoltaje(salida).Sinembargo,lapotenciaentregadaesp = i2Ryalduplicarlaintensidadsecuadriplicalapotencia. Obervamos, pues, queuncircuitoser alineal solamenteenlavariablesdeintensidadyvoltaje, peronoenlapotencia. Lapotenciaes proporcional al productodelaintensidadpor latensi onyesinherentementealineal,auncuandoelcircuitopuedaserlineal.Ejemplo1.3(Proporcionalidad)Para determinar la relaci on entrada-salida del circuito puente de la gura1.22, observemos que el circuito consiste en dos divisores de voltaje. Aplican-dolaregladeldivisordevoltajeacadaunodeellos,tenemosVA=R3R1 + R3VsVB=R4R2 + R4VsPerolasegundaleydeKirchhonospermiteescribirVo= VA VBluego26 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.22:Circuitopuentedelejemplo1.3.Vo=R3R1+R3R4R2+R4Vs=R2R3R1R4(R1+R3)(R2+R4)Vs= KVsNotemosquelasalidaV0esproporcionalalaentradaVsyquelaconstantedeproporcionalidadKpuedeserpositiva, negativaonula. Concretamente,siR2R3> R1R4entonces K> 0R2R3= R1R4entonces K= 0R2R3< R1R4entonces K< 0LacondicionK=0, salidanulaparatodaentrada, sedenominaequilibriodel puente y exige que sean iguales los productos de las resistencias opuestasdelosdosdivisoresdetensi on.

1.3.2. SuperposicionEncualquier circuitoresistivolineal que contengados om as fuentesindependientes, cualquiervoltaje(ocorriente)del circuitopuedecalcularse1.3. TEOREMASDEREDES 27comolasumaalgebraicade todos los voltajes (ocorrientes) individualesoriginados por cada fuente independientes actuando por s sola, es decir, contodaslasdem asfuentesindependientesinactivas.Ejemplo1.4(Superposicon)Vamos adeterminar lasalidadel circuitorepresentadoenlagura1.23autilizandosuperposici on. Parahallarlasalidadebidaalafuentedevolta-jedesconectaremoslafuentedeintensidad(lasustituimosporuncircuitoabierto)yobtenemoselcircuitodelagura1.23b.Pordivisi ondetensi onVo=R2R1 + R2IsAcontinuaci ondesconectamoslafuentedetensi on(lasustituimosporuncircuitocorto)yobtenemosel circuitorepresentadoenlagura1.21c.Pordivisiondeintensidad,Io2=R1R1 + R2IsPeroporleydeOhm,Vo2= Io2R2=R1R2R1+R2IsUtilizaremoslasuperposici on,escribiendoentonces:Vo= Vo1 + Vo2=_R2R1+R2_Vs +_R1R2R1+R2_Is

1.3.3. CircuitosequivalentesdeTheveninydeNortonAhora vamos a ocuparnos de los circuitos de acoplamiento. Un acoplamien-to es una conexion entre dos o m as circuitos que realizan diferentes funciones.En el caso del acoplamiento de dos terminales representado en la gura 1.24a,solemospensarqueuncircuitoeslafuenteSyelotrolacargaL.Esdecir,pensamosqueelcircuitofuenteproducese nalesylasentregaalacarga.28 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.23:Circuitoparaelejemplo1.4,an alisisutilizandosuperposicion.Unapoderosaherramientaparatratarlosacoplamientosesel conceptodeloscircuitosequivalentesdeTheveninydeNortonrepresentadosenlasguras1.24by1.24c,respectivamente.Enunciemosformalmente:Dadounacoplamientodedosterminalesenelcualelcircuitofuentesealineal, existiranlasmismasse nalesenel acoplamientocuandosesustituyalafuenteporsucircuitoequivalentedeTheveninodeNorton.Observemosquelaequivalenciaexigequeel circuitofuentesealineal,pero no impone restricci on alguna a la naturaleza del circuito carga. La cargapuedeserlineal oalineal. Enestecasonosconcentraremosenlalineal. ElequivalentedeTheveninconstadeunafuentedevoltaje(VT)enserieconunaresistencia(RT). El equivalentedeNortonesunafuentedeintensidad(IN) enparaleloconunaresistencia(RN). Comounoyotroequivalentedejaninalterableslasse nalesenelacoplamiento,losdoscircuitosdebenserequivalentes uno de otro. Aplicando la segunda ley de Kirchho al equivalentedeTheveninseobtienelacaractersticai venlosterminalesAyB:v= VT iRT(1.19)AplicandolaprimeraleydeKirchhoylaleydeOhmal equivalentede1.3. TEOREMASDEREDES 29Figura1.24: Circuitos equivalentes fuente-carga. (a) Acoplamientodedosterminales.(b)EquivalentedeThevenin.(c)EquivalentedeNortonNortonseobtienelacaractrsticai venlosterminalesAyB:i = IN vRN(1.20)oseav= INRN iRN(1.21)Comodoscircuitosequivalentesdebentenerlamismacaractersticai v,comparandolasecuaciones(1.19)y(1.21)sedecucequeRN= RTINRn= VT(1.22)Enesencia, losequivalentesdeTheveninydeNortonest anrelaciona-dos por las relaciones de transformaci onde fuentes. Ellosignicaque nonecesitamos encontrar independientemente uno y otro circuito. Una vez hal-ladouno, el otrosepuedehallarmediantetransformaciondelafuente. Di-chodeotromodo,losdoscircuitosequivalentescomportancuatropar amet-ros(VT, RT, IN, RN),perolasecuaciones(1.22)dandosrelacionesentrelospar ametros. Luego, paradeterminar los dos circuitos equivalentes s olose30 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSnecesitandoscondiciones.Estasdoscondicionesseobtienenf acilmenteuti-lizando cargas en circuito abierto y en circuito corto. Es decir, si se desconectade la fuente la carga real, tal como se indica en la gura 1.25a, entre los termi-nales A y Baparecer a un voltaje en circuito abierto voc. Aplicando la mismacondici onalequivalentedeTheveninresultaraVT= voc.An alogamente,de-sconectandolacargayconectandouncircuitocorto, comoseindicaenlagura1.25b, circularaunacorriente de intensidadisc. Aplicandolamis-maconexi onal equivalentedeNortonresultaqueIN=isc. Enresumen, siencontramosel voltajeencircuitoabiertoylaintensidadencircuitocorto,podemos determinar los par ametros de los circuitos equivalentes de TheveninyNorton,loscualessonVT= vocIN= iscRN=RT=vociscEjemplo1.5(TeoremadeNorton)Determineel equivalentedeNortondel circuitoexternoal resistor RLenel circuitodelagura1.26. Useel circuitoequivalenteparadeterminarlacorrientedecargaILcuandoRL=0.2ky5k.Lasolucionsemostraraporpasos:Paso 1: primerose eliminael resistor de carga, luegose marcanlasterminalesrestantesconayb,despueslasfuentessejanacero,detodoloanteriorseobtienelagura1.27.Paso2:laresistenciadeNortondelcircuitoseencuentracomoRN= 6k2k = 1,5kPaso3: el valor de la fuente de corriente constante de Norton se encuen-traal determinarlosefectosdelacorrientedebidosacadafuenteindepen-dientequeact uaenelcircuitocortoentrelasterminalesayb.Fuente de voltaje E:en referencia a la gura 1.28b, el circuito corto entrelas terminales ayb eliminaaambos resistores R1yR2. Lacorrientedecircuitocortodebidaalafuentedecorrientees,portanto,Iab(2)= 5mA1.3. TEOREMASDEREDES 31Figura1.25: Determinaci ondeloscircuitosequivalentesdeTheveninydeNortonutilizandoconexionesencircuitoabiertoyencircuitocorto.Figura1.26:CircuitoparaejemplodelteoremadeNorton.32 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.27:CircuitoparaejemplodelteoremadeNortonI.Figura1.28:CircuitoparaejemplodelteoremadeNortonII.La corriente de Norton resultante se encuentra a partir de la superposiconcomoIN= Iab(1) + Iab(2)= 2,5mA + 5mA = 7,5mAPaso4:el circuitoequivalentedeNortonsemuestraenlagura1.29.SeaRL=0: lacorrienteILdebeser igual alacorrientedelafuente, demaneraqueIL= 7,5mASeaRL=2k: lacorrienteILsecalculaapartirdelaregladel divisordecorrientecomoIL=_1,5k1,5 + 2k_(7,5mA) = 3,21mASeaRL= 5k:siseusadenuevolaregladeldivisordecorriente,ILseencuentracomo1.4. ENERGIAYPASIVIDAD 33Figura1.29:CircuitoparaejemplodelteoremadeNortonIII.IL=_1,5k1,5 + 5k_(7,5mA) = 1,73mA

1.4. EnergayPasividadSesabequeunresistornoalmacenaenerga, sinoqueabsorbeenergaelectrica, uncapacitoralmacenaenergaenformadecampoelectricoyuninductoralmacenaenergaenformadecampomagnetico.Supongamos que tenemos un circuito, y de este circuito sacamos dos hilosconductoresqueseconectanaotrocircuitoquellamaremosgenerador(vergura1.30).Porejemplo,elcircuitodeiniciopuedeserunaltavozdelcualsudosterminalesseconectanaunamplicadordepotencia;elamplicadordepotenciaseleconsideracomoel generador. Llamaremosal circuitoqueestamos considerando un circuitodedosterminales, ya que solo estamosinteresadosenel voltajeylacorrienteenlasdosterminalesyenlatran-ferenciadeenergaqueseproduceenestasterminales. Enlaterminologamoderna a un circuito de dos terminales se le llama de unpuerto. El termi-nounpuertoesapropiado, yaqueporpuertonosreferimosaunpardeterminales deuncircuito, entodomomento, lacorrienteinstant aneaqueuyeenunaterminal esigual acorrienteinstant aneaqueuyefueradelaotra.Estoseilustraenlagura1.30.Esunhechofundamental delafsicaquelapotenciainstantaneadeentradadeunpuertoesigual al productodel voltajedel puertoylacorri-entedel puerto. SeaPlapotenciainstant anea(enwatts)entregadaporel34 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura 1.30: La potencia instantanea a la entrada de un puerto en el tiempotesp(t) = v(t)i(t).generadoraunpuertoeneltiempot.Entoncesp(t) = v(t)i(t) (1.23)donde v est a en volts e i en ampers. Puesto que la energa (juls) es la integraldelapotencia, resultaquelaenergasuministradapor el generador alpuertodeuntiempot0auntiempotesW(t0,t)=_tt0p(t

)dt

=_tt0v(t

)i(t

)dt

(1.24)1.4.1. Potenciadeentradaenunresistor,PasividadPuestoqueunresistor secaracterizapor unacurvaenel planovi, lapotencia de entrada en un resistor en el tiempo t es determinada unicamentecadavezqueel puntodeoperaci on(i(t), v(t))esespecicado; lapotenciainstant anea es igual al area del rect angulo formado por el punto de operaci onylosejesenelplanoiv,comosemuestraenlagura1.31.Si el punto de operaci on est a en el primer o tercer cuadrante (iv> 0), lapotencia de entrada del resistor es positiva; es decir, el resistor recibe poten-ciadelmundoexterior.Sielpuntodeoperaci onest aenelsegundoocuartocuadrante(iv< 0),lapotenciadeentradadelresistoresnegativa;esdecir,el resistor entrega potencia al mundo exterior. Por esta raz on decimos que unresistorespasivosiparatodotiempotlacurvacaractersticaseencuentraenel primerytercercuadrante. Enestecasoel primerytercercuadranteincluyeel ejeiyv. Lasrestriccionesgeometricasenlacurvacaractersticadeunresistorpasivoesequivalenteap(t) 0entodoeltiempoindependi-entementedelaformadeondadelacorrientequepasaporelresistor.Estaes unapropiedadfundamental delos resistores pasivos: unresistor pasivo1.4. ENERGIAYPASIVIDAD 35Figura 1.31: La potencia a la entrada de un resistor en el tiempo t es v(t)i(t).nuncaentregapotenciaal mundoexterior.Unresistorsedicequeesactivosinoespasivo.1.4.2. AlmacenaientodeenergaenuncapacitorConsidereseuncapacitorquesehaconectadoaunabateraconvoltajev; uyeunacorrienteysealmacenaunacargaenlasplacasdel capacitor.Finalmente el voltaje a traves del capacitor llega a ser constante, y la corrientequepasapor elescero.Elcapacitorhaalmacenadoenergaentresusplacasen virtud de la separacion de sus cargas. Sobre estas cargas act ua una fuerzaelectrica.Sedicequelasfuerzasqueact uansobrelascargasalmacenadasenuncapacitor provienen de un campo electrico. Un campo electrico se dene comola fuerza que act ua sobre una carga unitaria positiva en determinada regi on.Puesto que las cargas estan sometidas a una fuerza que act ua en la direccionx,seadviertequelaenergarequeridaoriginalmenteparasepararlascargasest aahoraalmacenadaporelcapacitorenelcampoelectrico.Laenergaalmacenaenuncapacitoreswc=_tvidRecuerdese que ve i son funciones del tiempo y podran escribirse como v(t)36 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSei(t).Puestoquei = Cdvdtsetienewc= _tvCdvdd= C _v(t)v()=12Cv2v(t)v()Dado que el capacitor estaba descargado en t =, se establece quev() = 0.Porlotanto,wc(t) =12Cv2(t) (1.25)Entonces amedidaque se cargauncapacitor yv(t) est acambiando,tambien cambia la energa almacenada wc. Notese que wc 0 para todo v(t)porloquesedicequeelelementoespasivo.Puestoqueq= Cv,laecuaci on(1.25)puedereescribirsecomowc=12Cq2(t) (1.26)El capacitor es un elemento que almacena energa, pero que no la disipa.Porejemplo, considereseuncapacitorde100mFatravesdel cual hayunvoltajede100volts.Laenergaalmacenadaeswc=12Cv2=12(0,1)(100)2= 500JEntantoelcapacitorpermanezcadesconectadodecualquierotroelemento,laenergade500Jsemantienealmacenada.Siahoraseconectaelcapacitora las terminales de un resistor, se espera que la corriente uya hasta que todalaenergasedisipecomocalorenelresistor.Trasdisiparsetodalaenerga,lacorrienteesceroyelvoltajeatravesdelcapacitorescero.1.4.3. AlmacenamientodeenergadeuninductorLapotenciadeuninductoresp = vi =_Ldidt_i (1.27)1.5. PARAMETROSCUADRIPOLOS 37Laenergaalmacenadaenel inductorseencuentraenel campomagnetico.Laenergaalmacenadaenel inductorduranteel intervalot0atseobtieneporw =_tt0pd= L_i(t)i(t0)idiAlintegrarlacorrienteentrei(t0)ei(t),seobtienew =L2_i2(t)_i(t)i(t0)=L2i2(t) L2i2(t0) (1.28)Generalmente se selecciona t0=para el inductor yentonces lacorrientei() = 0.Aspues,setienew =12Li2(1.29)N otesequew(t) 0paratodai(t), por loqueel inductor esunele-mentopasivo.Elinductornogeneranidisipaenerga,s ololaalmacena.Esimportanteobservarquelosinductoresyloscapacitores, porsupropiedaddealmacenamientodeenergasedicenquetienenmemoria.1.5. ParametroscuadripolosLa red de la gura 1.32 es una red de dos puertos si se cumple que I1= I

1yI2=I

2.PuedecaracterizarsemediantelascuatrovariablesV1, V2, I1yI2,s olosi dos de las cuales puedenser independientes. Si se supone que V1yV2sonvariablesindependientesyquelaredeslineal ycontienefuentesnoindependintes, lasvariablesindependientesydependientesserelacionanmediantelosparametrosdeimpedanciadecircuitoabierto(osimplemente,losparametrosz)z11, z12, z21, z22,conelconjuntosdeecuacionesV1= z11I1 + z12I2V2= z21I1 + z22I2Se puede evaluar cadaunode los parametros z medianteel establec-imiento de la corriente apropiada a cero (o, en forma equivalente un circuitoabiertoenunpuertoapropiadodelared).Estospar ametrosson:38 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSFigura1.32:Reddedospuertos.z11=V1I1I2=0(1.30)z12=V1I2I1=0(1.31)z21=V2I1I2=0(1.32)z22=V2I2I1=0(1.33)De manerasimilar, si se supone que V1yI2sonvariables independ-intesresultaunacaracterizaci ondelareddedospuertospormediodelosparametroshbridos(o,simplemente,losparametrosh),seobtineV1= h11I1 + h12V2(1.34)I2= h21I1 + h22V2(1.35)Dos de los par ametros h se determinan medinate el puerto 2 en cortocircuito,mientras que los dos restantes se determinan mediante el puerto 1 en circuitoabierto:h11=V1V1V2=0(1.36)h12=V1V2I1=0(1.37)h21=V2V1V2=0(1.38)h22=V2V2I1=0(1.39)1.5. PARAMETROSCUADRIPOLOS 39Figura1.33:Ejemplodereddedospuertos.Ejemplo1.6(Parametroscuadripolos)Encuentre los par ametros zpara la red de dos puertos que se observa enlagura1.33.Con el puerto 2 (a la derecha) en circuito abierto, I2= 0 y usando (1.30)daz11=V1I1I2=0= R1||(R2 + R3) =R1(R2 + R3)R1 + R2 + R3Asimismo,lacorrienteIR2descendienteatravesdeR2seobtienepormediodelaecuaci ondeldivisordecorrienteIR2=R1R1 + R2 + R3I1PeroporlaleydeOhm,V2= IR2R2=R1R2R1 + R2 + R3I1Portanto,mediante(1.32),z21=V2I1I2=0=R1R2R1 + R2 + R3De manera an aloga, con el circuito abierto en el puerto 1, I1= 0 y (1.33)conducenaz22=V2I2I1=0= R2||(R1 + R3) =R2(R1 + R3)R1 + R2 + R3El uso del divisor de corriente para encontrar la corriente descendente a travesdeR1da40 CAPITULO1. TEORIADELOSCIRCUITOSIR1=R2R1 + R2 + R3I2YlaleydeOhmdaV1= R1IR1=R1R2R1 + R2 + R3I2Asque,por(1.31)z12=V1I2I1=0=R1R2R1 + R2 + R3

Captulo2Introducci onase nalesysistemas2.1. Panoramadesistemasyse nalesEl conceptodesistemasesaplicableacamposcomoel delaelectrica,lamec anica,laqumica;laingenieraaeron autica,bioingeniera,econ omica,entre otras. Por ejemplo, la economa de un pas puede ser considerada comoun sistema. Algunas entradas son el gasto gubernamental, las tasas de interes,ylaspolticasscalesymonetarias.Algunassalidassonelproductointernobruto(PIB),latasadedesempleo,elsalariopromedioporhora,yel ndicedepreciosalconsumidor.Lasrelacionesdecausasyefectosenestesistemasonmuycomplejosynoseconocencompletamente. Adem as, haymuchasincertidumbres, tales como la psicologa del consumidor, conictos laborales,y las crisis internacionales. Por lo cual la economa es un sistema s umamentecomplicado.2.1.1. Se nalesUna posible denicion sera: una se nal es una magnitud fsica sobre la queseapoyalainformaci on.Porejemplo:lavoz,enestecasolamagnitudfsicaeslapresi onac usticaquealvariarconeltiemponosaportainformaci on.Sinoseaplicanse nalesalsistema, estenoestaenoperaci onyessimplementeuna acumulaci on de dispositivos sin usar. Por lo tanto los sistemas y se nalessoninseparables.4142 CAPITULO2. INTRODUCCIONASENALESYSISTEMASFigura2.1:Se nalcontinua.En general, las se nales son representables mediante funciones matem aticas.Enellassedistingueentrelavariabledependiente,querepresentalamagni-tud fsica que contiene la informaci on, y la variable independiente. En el casodelavozlavariabledependienteeslapresi onac usticaylaindependienteeltiempo.2.1.2. SistemasUnsistemaescualquierprocesoquetransformase nales, comotal tieneunase nal deentradayotradesalida, estandoambasrelacionadasatravesdelatransformaci ondelsistema.2.1.3. Se naleseneltiempoEn muchos casos tenemos que tratar con sistemas cuyas se nales son fun-ciones del tiempo. Este tipo de se nales se llaman se nales de tiempo. La colec-ci on de instantes de tiempo en el que se dene la se nal se llama eje de tiempo.Unase nal detiempocontinuotesaquellaquesemaniestaenunintervalodevaloresrealesdelavariableindependiente.Una se nal de tiempo discreto n es aquella que se maniesta solamenteen ciertos instantes de tiempo, en un intervalo de valores enteros de la variableindependiente2.1.4. SistemaseneltiempoLossistemascontinuosydiscretosest anasociadosconse nalescontinuasydiscretas.2.2. TRANSFORMACIONESDELAVARIABLEINDEPENDIENTE 43Figura2.2:Se naldiscreta.Figura2.3:Sistemasentiempocontinuoydiscreto.Un sistema continuo es aquel cuyas variables principales o signicativassedesarrollanyexpresaneneldominiodeltiempocontinuot.Un sistemadiscreto es aquel cuyas variables principales se desarrollanyexpresanenel dominiodel tiempodiscreton, dondelantomavaloresenterosyselepuedeasociarconel numerodelamuestraqueconstituyealase nal.2.1.5. AplicacionenelcontrolautomaticoLaingenierade control se ocupadel dise node los controladores au-tom aticos, cuyopropositoes gobernar el comportamientodin amicodeunsistemadado. Amododeejemplo, seconsiderauncontroladorautom aticodecruceroenuncoche. Estecontroladorajustarautomaticamentelaacel-eraci ondel motor, detal maneraquelavelocidaddel cochemantieneunavelocidaddereferenciajadoporelconductor.2.2. Transformaciones de la variable indepen-dienteEn el an alisis de se nales, en ocasiones es conveniente modicar o transfor-mar la variable independiente para facilitar su procesamiento; de manera m as44 CAPITULO2. INTRODUCCIONASENALESYSISTEMASFigura2.4:(a)Unase nalcontinuax(t);sureejox(t)alrededordet = 0.especca, se pueden ralizar tres operaciones sobre la variable independiente.Reexi onoinversi oneneltiempo.Desplazamientoeneltiempo.Escalamientoeneltiempo.2.2.1. ReexionoinversioneneltiempoLareexi ondelase nalx(t)esx(t),obienladex[n]esx[n]ycorre-sponde respectivamente, a la se nal original vista en un espejo con respecto at = 0on = 0.2.2.2. DesplazamientoeneltiempoUnase nal desplazadaenel tiempocorrespondealamismase nal perodesplazadaocorridauntiempot0conrespectoalaoriginal; sedenotaentiempocontinuocomox(t t0) ysucorrespondiente entiempodiscretox[n n0]. Si t0on0sonpositivos, comoenx(t 3) yx[n 2], entoncessedicequelase nal est aatrasadayporotroladosi sonnegativosentonces2.2. TRANSFORMACIONESDELAVARIABLEINDEPENDIENTE 45Figura2.5:(a)Unase naldiscretax[n];sureejox[n]alrededorden = 0.46 CAPITULO2. INTRODUCCIONASENALESYSISTEMASFigura 2.6: Se nales continuas relacionadas mediante un corrimiento de tiem-po. Enlagurat0 0, de manera que x[nn0] es una versi on atrasada de x[n](esdecir,cadapuntoenx[n]ocurrem astardeenx[n n0]).Lase nalx3(t 0,1)seralase nalatrasadaenuntiempot = 0,1x3(t 0,1) = x1(t 0,1) + x2(t 0,1)x3(t 0,1) = sen(10(t 0,1)) + sen(20(t 0,1))Lasse nalesx3(t)yx3(t 0,1)semuestranenlagura2.8.2.2.3. EscalamientodelavariabletynEl escalamientoentiempodeunase nal correspondeacomprimiroex-pandirlase naleneltiempo,estoes,seescalalavariableindependienteme-diante cambios lineales en la misma. De manera general se puede expresar lase nalescaladadex(t)comox(t),dondeesunaconstantequerepresentaelfactordeescalamiento.De estamanera, x(t) ser aunase nal escaladaentiempode x(t). Si>1, x(t)corresponderaaunase nal comprimidayporel contrario, si0 tSe toman los lmites para los cuales el argumento del escal on es positivo, estoesyzs(t) =_t02e3(t)d= 2e3t_t0dyzs(t) = 2e3t_t0e3d=23e3t(e3t1)ylarespuestadeestadoceroesyzs(t) =23(1 e3t)u(t)2.6.1. EstabilidaddelossistemasdeconvolucionAgrandes rasgos, unsistemaes estable si las entradas sonpeque nasoacotadas yadem as las condiciones iniciales dancomoresultadosalidasacotadas. Si una entrada peque na o acotada o una condici on inicial producenunarespuestaquequecreceindenidamenteelsistemaesinestable.Unsistemadiscretoocontinuodeconvoluci ones estableconentradaacotada-salida acotada (BIBO, por sus siglas en ingles bounded input-boundedoutput)silarespuestayparatodaentradauconamplitudnitatiene amplitud nita, es decir, es decir, siu < implica quey < .Porlotanto,unsistemadeconvoluci onBIBOestablesecomportabienenelsentidode quesilaentrada esacotada,tambienloeslasalida.Debidoaquelarespuestadeunsistemadeconvolucionestotalmentedeterminada2.7. INTERCONEXIONDESISTEMAS 65por su respuesta Impulso h, no es de extra nar que la estabilidad BIBO de unsistemadeconvolucionpuedeservericadadesurespuestaalimpulso.Resumen:(a) Unsistemadeconvoluci ondiscretoocontinuoconrespuestaalimpulsohes BIBOestable si ysolosi larespuestaal impulsotiene unaacci onnita,esdecir,h 1< .(b)Sielsistemadeconvoluci onesBIBOestable,entonces y = h 1 u para cada entrada u con amplitud nita, donde y es la correspondiente salida.2.7. Interconexi ondesistemasMuchos sistemas reales est an construidos como interconexiones de variossubsistemas. Dosomassistemaspuedenserinterconectadosporel arreglode las salidas de algunos de los sistemas que sirven como entradas para otrossistemas. Una forma de representar tales interconexiones es por medio de undiagramadebloques.Existendos interconexiones basicas: enserieoenparalelo. Unainter-conexi on en serie o en cascada de dos sistemas se ilustra en la gura 2.19(a).Aqu la salida del sistema 1 es la entrada del sistema 2, y el sistema completotransforma una entrada al procesarla primero por sistema 1 y posteriormenteporelsistema2.Enlagura2.19(b) se ilustraunainterconexionenparalelo de dossistemas. Eneste lamismase nal de entradase aplicaalos sistemas 1y2. El smbolo enlaguradenominaadicion, demaneraquelasalidadelainterconexi onenparaleloes lasumadelas salidas delos sistemas 1y2. Adem as de lainterconexionenparalelosencillade lagra2.19(b), sepuedendenirinterconexionesdedosomassistemas, ypodemoscombinarambas interconexiones, casadayparalelo, paraobtener unainterconexi onm ascomplicada.Otro tipo muy importante de interconexi on de sistemas es la interconexionde retroalimentacion, cuyo ejemplo se ilustra en la gura 2.20. Aqu, la salidadel sistema 1 es la entrada del sistema 2, mientras que la salida del sistema 2se retroalimenta y se suma a la entrada externa para producir para producirunaentradarealalsistema1.66 CAPITULO2. INTRODUCCIONASENALESYSISTEMASFigura2.19: Interconexi ondedossistemas: (a)interconexi onenserie(cas-cada);(b)interconexionenparalelo;(c)interconexionenserie-paralelo.Figura2.20:Interconexionconretroalimentaci on.2.7. INTERCONEXIONDESISTEMAS 67Figura2.21:Ejemplodeinterconexi ondesistema.Ejemplo2.8(Interconexiondesistemas)Encuentreeldiagramaabloquesdey(t) = (2x(t) x2(t))2Elresultadosemuestraenlagura2.21.68 CAPITULO2. INTRODUCCIONASENALESYSISTEMASBibliografaParaelcaptulo1:Basic Circuit Theory. Desoer C. A. y Kuh E. S. Ed. McGraw-Hill.USA,1969.Circuitos electricos. Dorf, Richard. Ed. Alfaomega. Mexico 2006,6aedicion.Analisisbasicodecircuitoselectricos. Johnson, DavidE. Ed. PrenticeHall.Mexico,1996,3aedici on.Introduccion al analisis de circuitos electricos.Alvarez Ant on, Juancarlos; Pascual Marcos, Luca; Ferrero Martn, Francisco Javier. Ed.Ediuno.Circuitos y se nales: introduccion a los circuitos lineales y de acoplamien-to.AlvarezAnt on,Juancarlos;PascualMarcos,Luca;FerreroMartn,FranciscoJavier.Ed.Ediuno.Paraelcaptulo2:Modern Signals ans Systems. Kwakernaak, Huibert. Ed. PrenticeHall.USA,1991.Systems and Signal Analysis. Chen, Chi-Tsong. Ed. Sauders Col-legePublishing.USA,1989.Se nales y sistemas. Oppenheim, Alan V. Ed. Prentice Hall. USA,6970 BIBLIOGRAFIA1969.