CUADRADO_MAGIC0

7/30/2019 CUADRADO_MAGIC0

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Cuadrado mgico 1

Cuadrado mgico

Un cuadrado mgico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de nmeros enteros en un

cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nmeros por columnas, filas y diagonales principales sea la

misma, la constante mgica. Usualmente los nmeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a

n, siendo n el nmero de columnas y filas del cuadrado mgico.

Los cuadrados mgicos actualmente no tienen ninguna aplicacin tcnica conocida que se beneficien de estas

caractersticas, por lo que sigue recluido al divertimento, curiosidad y al pensamiento matemtico. Aparte de esto, en

las llamadas ciencias ocultas y ms concretamente en la magia tienen un lugar destacado.

Introduccin

Consideremos la sucesin matemtica 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los nmeros

ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Resulta evidente que cualquier par de nmeros alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos

desplazamos por las columnas, en la fila superior se aade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La

suma es en todos los casos la de los nmeros extremos:

1 2 3 4 5 6

12 11 10 9 8 7

13 14 15 16 17 18

24 23 22 21 20 19

25 26 27 28 29 30

36 35 34 33 32 31

Si disponemos el conjunto de nmeros en seis filas (ver tabla a la derecha), fcilmente se puede apreciar que las

sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los nmeros se encuentran agrupados por

pares tal y como estaban en el primer caso (comprese los pares de filas 1-6, 2-5 y 3-4 con la disposicin

original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas ( n/2), la suma ser:

cantidad que se denomina constante mgica, y que en nuestro caso es n(n + 1)/2 = 6(36 + 1)/2 = 111.

Ordenn 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

M2(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mgico, ya que al disponerse los nmeros de forma

consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de

nmeros comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante

mgica. Si en vez de la disposicin anterior colocamos los nmeros consecutivamente, obtenemos una disposicin en

la que los nmeros de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)n + a.

Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magiahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabla_%28matem%C3%A1ticas%29


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Cuadrado mgico 2

De nuevo la constante mgica. Ms an, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o

columna sumar la constante mgica. Escribiendo el trmino i,j de la matriz como (i-1)n +j, y tomando 6 trminos

cualesquiera con la condicin de que ni i, nij se repitan y varen de 1 hasta n, la ecuacin resultante ser exactamente

la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mgica.Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n nmeros que cumplan la condicin anterior es n!, 720

en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habamos obtenido seis que no estn

incluidas entre ellas.

De orden 3 existe un nico cuadrado mgico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotacin o reflexin), en

1693 Bernard Frenicle de Bessy estableci que hay 880 clases de cuadrados mgicos de orden 4. [1][2]

Posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mgicos de orden 5; el nmero de cuadrados de

mayor orden se desconoce an pero segn estimaciones de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998

mediante los mtodos de Montecarlo y de mecnica estadstica existen (1,7745 0,0016) 1019 cuadrados de orden

6 y (3,7982 0,0004) 1034 cuadrados de orden 7.

Por lo que respecta a rdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un nico cuadrado mgico, 1 ,

mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mgico a, b, c, dde

la figura; para que tal disposicin fuera un cuadrado mgico deberan cumplirse las siguientes ecuaciones (siendoM

la constante mgica o cualquier cantidad, si se quiere):

a b

c d

a + b =M

a + c =M

a + d=M

b + c =M

b + d=M

c + d=M

escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene

que es tres, mientras que el nmero de incgnitas es cuatro, de modo que el sistema slo tiene la solucin trivial a =

b = c = d=M/2 siendo imposible construir un cuadrado mgico en el que las cuatros cifras sean distintas.

Resumiendo: la cantidad de diferentes nn cuadrados mgicos para n entre 1 y 5, sin contar rotaciones y

reflexiones, son:

1, 0, 1, 880, 275305224 (sucesin A006052 [3] en OEIS).

Para n = 6 se ha estimado que hay aproximadamente 1.77451019.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).

Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Magic_square_Lo_Shu.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=OEIShttp://en.wikipedia.org/wiki/Oeis%3Aa006052http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Montecarlohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1998http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=C._Wieczerkowskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Klaus_Pinnhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Frenicle_de_Bessyhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1693http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Factorial


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Cuadrado mgico 3

edicin de la Dinasta Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

Historia

4 9 23 5 7

8 1 6

Muchos de los aspectos histricos de los cuadrados mgicos no se conservan. Y al ser comprobables, estos aspectos

resultan innecesarios. El cuadroMelancola I 1514 de Alberto Durero, sigue existiendo, lo mismo que el edificio de

la Sagrada Familia.

En la antigua China ya se conocan los cuadrados mgicos desde el III milenio a. C., como dice el Lo Shu.[2] Segn

la leyenda, un cierto da se produjo el desbordamiento de un ro; la gente, temerosa, intent hacer una ofrenda al dios

del ro Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacan, apareca una tortuga

que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazn de latortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo

las aguas a su cauce.

Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, rabes y griegos. A tales cuadrados, las

diferentes culturas les han atribuido propiedades astrolgicas y adivinatorias portentosas grabndose con frecuencia

en talismanes. As, como recoge Cornelius Agrippa enDe oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden

3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Jpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a

Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idntica atribucin puede encontrarse en la astrologa

hind.

La introduccin de los cuadrados mgicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV,autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos mtodos para construirlos. Con posterioridad,

el estudio de sus propiedades, ya con carcter cientfico, atrajo la atencin de grandes matemticos que dedicaron al

asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad prctica de los cuadrados mgicos. Entre ellos cabe citar a

Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frnicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,... dirase que ningn matemtico ilustre ha

podido escapar a su hechizo.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Joseph_Saurinhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Philippe_de_la_Hirehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriachttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Blaise_Pascalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Michael_Stifelhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Siglo_XIVhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Emanuel_Moschopouloshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lunahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mercurio_%28planeta%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Venus_%28planeta%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Solhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Marte_%28planeta%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%BApiter_%28planeta%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Saturno_%28planeta%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1533http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Enrique_Cornelio_Agripa_de_Nettesheimhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Talism%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Greciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Arabiahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Egiptohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Indiahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=III_milenio_a._C.http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Chinahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Templo_Expiatorio_de_la_Sagrada_Familiahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alberto_Durero


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Cuadrado mgico 4

Melancola I, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mgico

aparece en la esquina superior derecha.

El cuadrado mgico de Durero

16 3 2 13

5 10 11 89 6 7 12

4 15 14 1

El cuadrado mgico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancola Iest considerado el

primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante

mgica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden

2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los nmeros de las esquinas, los cuatro

nmeros centrales, los dos nmeros centrales de las filas (o columnas) primera y ltima, etc.

y siendo las dos cifras centrales de la ltima fila 1514 el ao de ejecucin de la obra.

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mgico de Durero que suman la constante mgica.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

[[Archivo:Ms sf 2.jpg|300px|thumb|Fachada de la Sagrada Familia]
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1514http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Melancol%C3%ADa_Ihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alberto_Durerohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AD%C3%BCrer_Melancholia_I.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alberto_Durerohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Melancol%C3%ADa_I


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Cuadrado mgico 5

El cuadrado mgico de la Sagrada Familia

La Fachada de la Pasin del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseada por el escultor Josep

Mara Subirachs, muestra un cuadrado mgico de orden 4.

La constante mgica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasin. Tambin se ha atribuido la eleccin de

este nmero como una velada alusin a la supuesta adscripcin masnica, que nunca ha sido demostrada, de Antonio

Gaud, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonera. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mgicodeMelancola, pero dos de los nmeros del cuadrado (el 12 y el 16) estn disminuidos en dos unidades (10 y 14) con

lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mgica en 1.

Construccin de cuadrados mgicos

Hay numerosas formas de construir cuadrados mgicos, pero las ms sencillas consisten en seguir ciertas

configuraciones o frmulas que generan patrones regulares. Adems pueden imponerse condiciones adicionales al

cuadrado, obtenindose cuadrados bi-mgicos, tri-mgicos, etc. Anlogamente pueden construirse crculos,

polgonos y cubos mgicos.

No existe un mtodo general para construir cuadrados mgicos de cualquier orden, siendo necesario distinguir entrelos de orden impar, los de orden mltiplo de 4 y el resto de orden par (4 m + 2).

Cuadrados mgicos de orden impar (I)

Estos cuadrados pueden generarse segn el mtodo publicado en 1691 por Simn de la Loubere, llamado a veces

mtodo siams, pas en el que desempe el cargo de embajador de Luis XIV, mtodo ya conocido por los astrlogos

orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer nmero, se rellena la diagonal quebrada

con los siguientes en sentido NO ( NE). Completada la primera diagonal se desciende una posicin y se rellena la

segunda en el mismo sentido que la anterior, repitindose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar

el cuadrado.

Obviamente, se podra haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales,

siendo en cada caso la direccin de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez

finalizada cada diagonal el dado por la posicin relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.

Resulta evidente que comenzando por cualquier otra casilla las sumas de las filas y columnas ser la constante

mgica, ya que la posicin relativa de las cifras ser la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal

paralela a la direccin de rellenado no se cumplir esta condicin (s en la otra). De hecho, la particular eleccin de

la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la direccin de llenado se coloquen

consecutivamente los cinco nmeros centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco nmeros consecutivos no

sumarn la constante mgica.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadrado_M%C3%A1gico_Impar.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Luis_XIV_de_Franciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1691http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Antonio_Gaud%C3%ADhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Antonio_Gaud%C3%ADhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Masoner%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Viacrucishttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Jes%C3%BAs_de_Nazaret%23Cronolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josep_Mar%C3%ADa_Subirachshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josep_Mar%C3%ADa_Subirachshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Barcelonahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Templo_Expiatorio_de_la_Sagrada_Familia


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Cuadrado mgico 6

Algoritmo simple en python.

defmagico_impar (n):

# Mtodo Siams -- 1691 Simn de la Loubere

i =0

j = n/2

contador =1arreglo = [0]*n

for y inrange(n):

arreglo[y] = [0]*n

arreglo[i][j] =1

x = (n*n)

while(contador < x):

if((i-1)>=0): if((j+1)


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Cuadrado mgico 7

else:

i +=1

contador +=1

arreglo[i][j] = contador

for p in arreglo:

print p

return arreglo

Cuadrados mgicos de orden impar (II)

Paso 1: Se escriben los nmeros del 1 al n. Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguir de forma

oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mgico ser un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.

1

6 2

11 7 3

16 12 8 4

21 17 13 9 5

22 18 14 10

23 19 15

24 20

25

Paso 2: Trasladamos los nmeros de las esquinas del rombo a las casillas vacas que hay en el lado opuesto del

cuadrado.

1

6 2

11 24 7 20 3

16 4 12 25 8 16 4

21 17 5 13 21 9 5

22 10 18 1 14 22 10

23 6 19 2 15

24 20

25

Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un cuadrado mgico de orden impar.


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Cuadrado mgico 8

11 24 7 20 3

4 12 25 8 16

17 5 13 21 9

10 18 1 14 22

23 6 19 2 15

Cuadrados mgicos de orden mltiplo de 4

Se construye un cuadrado con los nmeros dispuestos consecutivamente (vase el segundo cuadrado de orden seis de

la introduccin), disposicin en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mgica. Una vez

hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los

nmeros restantes se giran 180 respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente

(en ambos casos el resultado es el mismo).

Partiendo de la misma disposicin y escogiendo patrones simtricos similares de las cifras a conservar pueden

construirse cuadrados mgicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadrado_M%C3%A1gico_Parmente_par2.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadrado_M%C3%A1gico_Parmente_par.png


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Cuadrado mgico 9

Cuadrados mgicos de orden mltiplo de 4 ms 2

Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el mtodo LUX. En parte se basa en el mtodo de la Loubere,

que se usa en la construccin de cuadrados mgicos de orden impar (ver ms arriba).

Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mgico de lado 10.

1 paso:

Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma:

- Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la divisin entera del tamao del cuadrado entre cuatro, se

etiquetan con la letra L (3 filas en este caso).

- Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.

- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.

Estas letras ms adelante nos indicarn cmo rellenar cada subcuadrado de 2x2.

L L L L L

L L L L L

L L L L L

U U U U U

X X X X X

2 paso:

Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L inmediatamente superior.

L L L L L

L L L L L

L L U L L

U U L U U

X X X X X

3 paso:

Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un nmero siguiendo el mtodo de la Loubere. De esta forma

indicaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcuadrado.


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11/26

Cuadrado mgico 11

Variantes

Existen multitud de variantes de los cuadrados mgicos simples que acabamos de describir, as como mtodos

alternativos de construccin de los mismos que pueden encontrarse en las pginas abajo indicadas, de modo que aqu

nos limitaremos a hacer una breve descripcin de algunas de la variantes existentes.

49 48 11 46 6 12 3

7 13 14 31 32 35 43

8 30 28 21 26 20 42

45 33 23 25 27 17 5

9 34 24 29 22 16 41

10 15 36 19 18 37 40

47 2 39 4 44 38 1

Hay, por ejemplo, cuadrados mgicos que continan siendo mgicos cuando se les quita una banda exterior; incluso

los hay que continan siendo mgicos si se les quita una banda y luego una segunda banda.El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene por constante mgica 175 (los cuarenta y nueve primeros

nmeros); el cuadrado interior de orden 5 que comprende los nmeros centrales de la serie anterior (13 a 37),

tambin es mgico y tiene por constante mgica 125, al igual que el cuadrado de orden tres central (nmeros 21 a 29)

que tiene una constante mgica de 75.

7 2 11 14

9 16 5 4

6 3 10 15

12 13 8 1

Algunos cuadrados conservan la suma mgica a lo largo de todas las diagonales quebradas, adems de filas,

columnas y diagonales principales, como el de la derecha. Estas disposiciones se suelen denominar cuadrados

diablicos, aunque tambin se llama a veces as al cuadrado de Durero que no cumple esta condicin. ste ltimo

tambin se ha llamado a veces cuadrado satnico porque existen muchas combinaciones, ciertamente peculiares, de

nmeros simtricamente distribuidos a lo largo de la matriz con los que se consigue la suma mgica, como ya

mostramos con anterioridad cuando hablamos de l. Al respecto cabe recordar que el nmero de combinaciones de n

cifras, tomadas de la serie aritmtica 1 a nn, es incluso superior al de cuadrados que se pueden construir con dichas

cifras, por lo que encontrar disposiciones aparentemente peculiares tales que se obtenga la suma mgica es ms

comn de lo que se cree. Si nos fijamos por ejemplo en el cuadrado diablico de la figura, veremos que tales

disposiciones tambin suman 34 (las cuatro esquinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices de orden cuatro,etc., y, adems, las diagonales quebradas. Aunque en l no aparece la fecha de creacin de Melancola I como

suceda en el cuadrado mgico de Durero, en el que existen ms de 34 combinaciones).

Si entendemos los cuadrados mgicos como matrices, con sus operaciones usuales de suma y producto, el cuadrado

mgico de orden 3 tiene la interesante propiedad de que su matriz inversa vuelve a ser un cuadrado mgico que tiene

valores fraccionarios positivos y negativos y cuya constante mgica es 1/15.

ste es el cuadrado mgico de orden 3 habitual...
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_de_matriceshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Suma_de_matriceshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_%28matem%C3%A1tica%29


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Cuadrado mgico 12

4 9 2

3 5 7

8 1 6

...y ste es su cuadrado mgico inverso.

23/360 -52/360 53/360

38/360 8/360 -22/360

-37/360 68/360 -7/360

Los cuadrados p-mgicos son aquellos tales que elevadas todas las cifras del cuadrado a la k potencia, siendo

1kp, siguen siendo mgicos:

El cuadrado bi-mgico menor conocido es el de orden 8 mostrado ms adelante y que tiene por constantes

mgicas 260 (k=1) y 11180 (k=2). Se conjetura que no existen cuadrados bi-mgicos de orden inferior, aunque no

existe prueba concluyente de ello. En 1998, J. R. Hendricks demostr que es imposible construir cuadrados

bi-mgicos de orden 3, salvo el que contiene 9 cifras iguales, que de mgico tiene ms bien poco.

Se han construido cuadrados tri-mgicos de rdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el nico de orden 12 fue construido por

el matemtico alemn Walter Trump en junio de 2002.

El primer cuadrado tetra-mgico, de orden 64, lo obtuvo Andrs Gonzlez, en junio de 1998, usando nmeros

del 1 al 4096 sin repetir ninguno de ellos. Puede segregarse en 64 tableros de ajedrez y siempre sumara igual,

indistintamende de la posicin en las que resulten las filas norte, sur, este y oeste. Segn Gonzlez, en esta obra

no se us ningn ordenador para cuadrarlo. El cuadro se encuentra registrado en el Archivo Internacional Central

de Objetos de Arte. [4]

El primer cuadrado tetra-mgico, de orden 512, fue obtenido por Andr Viricel y Christian Boyer en mayo de

2001; en junio del mismo ao presentaron el primer cuadrado penta-mgico, de orden 1024. Ya en 2003,presentaron un cuadrado tetra-mgico de orden 256 y el matemtico chino Li Wen uno penta-mgico de orden

729.

16 41 36 5 27 62 55 18

26 63 54 19 13 44 33 8

1 40 45 12 22 51 58 31

23 50 59 30 4 37 48 9

38 3 10 47 49 24 29 60

52 21 32 57 39 2 11 46

43 14 7 34 64 25 20 53

61 28 17 56 42 15 6 35

1 22 33 41 62 66 79 83 104 112 123 144

9 119 45 115 107 93 52 38 30 100 26 136

75 141 35 48 57 14 131 88 97 110 4 70

74 8 106 49 12 43 102 133 96 39 137 71

140 101 124 42 60 37 108 85 103 21 44 5

122 76 142 86 67 126 19 78 59 3 69 23

55 27 95 135 130 89 56 15 10 50 118 90

132 117 68 91 11 99 46 134 54 77 28 13

73 64 2 121 109 32 113 36 24 143 81 72

58 98 84 116 138 16 129 7 29 61 47 87

80 34 105 6 92 127 18 53 139 40 111 65

51 63 31 20 25 128 17 120 125 114 82 94

Cuadrado bi-mgico de orden 8

(constantes mgicas 260 y 11.180)

Cuadrado tri-mgico de orden 12

(constantes mgicas 870, 83.810 y 9 082.800)
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Cuadrado mgico 13

Pueden construirse cuadrados mgicos con nmeros extrados de cualquier sucesin aritmtica independientemente

del nmero inicial y de la razn de la serie. Siendo a0

el primer trmino y r la razn, fcilmente se demuestra que la

constante mgica ser en este caso:

Anlogamente, se pueden construir cuadrados mgicos a partir de sucesiones geomtricas, en cuyo caso sern losproductos los que den por resultado la constante mgica. Estos pueden construirse con las reglas dadas para los

cuadrados aritmticos, sin ms que sustituir el trmino de la serie geomtrica en la posicin indicada por la

correspondiente de la serie aritmtica:

Sucesin

aritmtica

6 1 8

7 5 3

2 9 4

Correspondencia

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 4 8 16 32 64 128 256

Sucesin

geomtrica

32 1 128

64 16 4

2 256 8

La constante mgica es en el caso general

cuya similitud con la ya obtenida para las series aritmticas es palpable.

Tambin se han construido cuadrados mgicos con series de nmeros primos consecutivos, o con las cifras

decimales de los recprocos de la serie aritmtica de los nmeros naturales.

Por ltimo sealaremos la existencia de disposiciones mgicas n-dimensionales; as, con la serie 1 - n pueden

construirse cubos mgicos, y en general, con la serie 1 - nrcuadrados mgicos r-dimensionales de orden n, con sus

respectivas variantes multi-mgicas y cuya visualizacin no es inmediata, aunque pueden tratarse cmodamente

mediante el empleo de computadoras.

Cuadrados mgicos esotricos

Para el mago, un cuadrado mgico es mucho ms que para un matemtico la tabla de logaritmos.

El uso e importancia en la magia

Los cuadrados mgicos, se conocen desde la antigedad y han sido empleados siempre en rituales de magia. Para el

mago, los cuadrados mgicos expresan en diferentes planos, manifestaciones de la realidad espiritual, un

conocimiento directamente aplicable en diversas formas. Las ms frecuentes son:

Valores numricos obtenidos por diversas frmulas, que pueden utilizarse para conocer cantidades y proporciones

exactas para determinadas operaciones (por lo general deben cumplir ciertas normas).

Signos que resultan de unir con lneas nmeros concretos de un cuadrado mgico concreto. Tales signos se

conocen como firmas y refieren a atributos (cualidades) de la potencia a invocar. Dichos signos deben ser

revelados por la entidad a la que el cuadrado est destinado. Para usarlos luego, basta trazarlas con una tinta

especial sobre casi cualquier superficie y realizar un sencillo ritual para solicitar sus atributos.

El propio cuadrado mgico esotrico, grabado o realizado con materiales y frmulas precisas y luego consagrados

en un ritual (que consiste bsicamente en oraciones), puede luego ser llevado consigo como talismn.

Por un lado se considera que cada ngel y demonio (en general denominados inteligencias, sin entrar en jerarquas)

est en sintona (influencia) con un cuadrado determinado, algo as a lo que hoy entendemos por resonancia. Por otroel trazo de lneas seguidas que resulta de recorrer en el orden correcto de los valores, as como otros rdenes ms
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Resonanciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Demoniohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngelhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magiahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magia


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Cuadrado mgico 14

complejos, describen smbolos (firmas) asociados a entidades espirituales, donde en el ritual correcto, dibujar el

signo con la tinta elaborada exprofeso de forma precisa, equivale a invocar al espritu al que se hace referencia

(llamndolo por su nombre), y donde el espritu evocado est obligado a comparecer y/o a cumplir las virtudes

asociadas al signo trazado.

Invocar entidades con ayuda de los signos del cuadrado mgico

En magia, invocar a una entidad por su nombre slo es posible si se conoce previamente su nombre y se pronuncia

correctamente, lo que de alguna manera entraa ciertos riesgos. Con la multiplicidad de idiomas surge ese problema

y por tanto la pronunciacin correcta dejara inutilizado todo conocimiento previo, si no se ha trasmitido con el

mismo la correcta pronunciacin de los nombres.

Por ello, la ventaja del procedimiento de los trazos del cuadrado mgico, lo hace universal. An desconociendo el

nombre de un espritu, utilizando correctamente el modelo del trazo se efecta la invocacin de los espritus. Los

cuadrados mgicos son empleados para establecer un llamamiento correcto a una entidad espiritual, marcando los

trazos que dicha entidad tenga establecido para s. Una vez comparezca la entidad puede reclamrsele que exprese su

nombre e incluso que le ensee otros atributos que el mago desconoce sobre dicha entidad.

Hay dos acciones que en magia se distinguen claramente aunque coloquialmente suelen usarse indistintamente, espreciso diferenciarlas:

Evocar: Es solicitar la presencia de una entidad, para que comparezca ante el mago. All donde est el mago una

entidad hace manifiesta su presencia mediante sonidos, luces y sombras o formas ms o menos corpreas as

como olores y sonidos bastante indescriptibles algunos.

Invocar: Es solicitar que se cumpla una peticin. La entidad no hace acto de comparecer, aunque el mago puede

recibir impresiones internas de su manifestacin. dichas manifestaciones en cambio no tienen por qu recibirlas

otros asistentes en caso de haberlos.

Tambin son usados sin requerir la presencia de las entidades referenciadas, mediante peticiones por escrito, si ya se

conoce el efecto de los signos, en tal caso, basta trazar el signo y hacer uso de las oraciones pertinentes. Tambin,

cuando no se quieran usar signos o no se conozcan de modo ms general, puede trazarse completamente el cuadrado

que corresponda a la entidad que se quiera invocar, junto a alguno de sus nombres ste es el caso de los llamados

amuletos y talismanes.

Cuando se evoca o invoca a una entidad, puede hacerse uso de las propiedades (o poderes) que el ente espiritual tiene

asignados. Partiendo del cuadrado mgico del que le es asociado, existen diferentes trazos que invocan a cada uno de

sus poderes (atributos), y que recuerdan ms a cualquier frmula de oracin propia de otras tradiciones o religiones.

Es comn que una entidad tenga ms de 1 nombre, ya que cada nombre suele hacer referencia a uno de sus atributos.

En la alta magia, la primera operacin cuando una entidad concurre a la llamada es pedir que descubra al mago los

diferentes trazos que le son propios, para que ste con posterioridad pueda invocar sus poderes. Una vez conocidos

estos, el mago tiene la obligacin de guardar celosamente los mismos, cuidando que no caigan en manos afrentosas ya menudo el propio mago se cuida de alterarlos a voluntad (cifrarlos diramos hoy) para que en tal circunstancia no

puedan ser usados sin un conocimiento profundo tanto del trazo como de lo que suponen tales potencias.

Los rituales para invocar la ejecucin de los poderes son relativamente fciles una vez se conocen los trazos

(atributos de la entidad), todos son una derivacin del ritual principal de evocacin, donde se remplaza la exigencia

de comparecencia por la peticin de lo que se desea en forma de oracin, tanto en una como en otra se alaban las

virtudes del ente y la confianza ciega de que cumplir lo pedido, pactado o prometido. El ritual siempre conlleva

medidas de proteccin contra inteligencias hostiles a la raza humana.

Los magos siempre han insistido sobre los aspirantes en la importancia de no intentar hacer uso de ellos, sin un

conocimiento profundo terico antes de pasar al prctico, bajo la pena de sufrir en su propia carne tormentosindescriptibles.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ritualhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Oraci%C3%B3n_%28religi%C3%B3n%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ser_espiritualhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Talism%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amuletohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Invocarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Evocar


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Cuadrado mgico 15

Duracin de los efectos

El cuadrado mgico, los signos derivados, etc... carecen de toda utilidad si el mago no lo fabrica siguiendo ciertas

reglas sobre materiales a usar, aspectos zodiacales relativos a iniciar su elaboracin, etc... as como sin los rituales

finales de consagracin y uso.

Cuando se porta un cuadrado mgico como talismn basta el ritual de consagracin, los signos en cambio requieren

un ritual de uso, ya que slo sirven para el uso a que se haya declarado y slo para esa vez. El tiempo que deba durarsu efecto depende del uso a que se destina, por ejemplo si se reclama la comparecencia de un espritu su duracin es

efimera, dura por tanto hasta que se despida a la entidad, en cambio si se usa por ejemplo para hacer crecer una

planta, su efecto se prolonga algunos meses en el tiempo.

En general para efectos de larga duracin se emplea el cuadrado mgico entero como talismn. Y para efectos

inmediatos, suelen usarse los signos que se trazan sobre el cuadrado mgico. La evocacin es ms potente que la

invocacin pero tambin entraa elevados riesgos para el mago, especialmente para el aspirante a mago que puede

dejarse fcilmente impresionar y sucumbir a las exigencias de la entidad, especialmente si la entidad que comparece

es hostil a la raza humana o una entidad se hace pasar por otra y el mago o el aspirante a mago no toma las medidas

necesarias.

Descripcin de propiedades de los cuadrados mgicos esotricos

Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mgicos esotricos, se ha tomado otros colores, diferentes

a los empleados hasta aqu.

Un cuadrado mgico esotrico, utiliza criterios ms restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un

cuadrado mgico, tanto es as, que slo existe uno por cada n. A fin de reconocer cules son esotricos y cules no (o

siendo equivalentes reducirlos a su expresin correcta) es importante conocer las propiedades que los relacionan e

identifican.

La propiedad de equivalencia establece que 2 o ms cuadrados son semejantes si todas sus casillas varan en la

misma proporcin, el esotrico, no puede ser cualquiera, sino slo 1, tal como se expresa en su apartado, pero quepuede ser reducido al cuadrado mgico esotrico equivalente.

La propiedad de las esquinas propone un mtodo rpido de descartar cuadrados mgicos si no cumplen dicha

propiedad, los que pasen la criba no pueden todava ser admitidos.

Las propiedades del centro, posicionales y diagonales tiene por objeto aprender a reconocer cuadrados mgicos

esotricos, as como a fabricarlos.

Propiedad de equivalencia

28 21 26

23 25 27

24 29 22


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Cuadrado mgico 16

8 1 6

3 5 7

4 9 2

En sentido esotrico, solo se considera cuadrado mgico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el nmero de

casillas (que siguen la serie de nmeros naturales desde 1 hasta n). El cuadrado de la figura (color naranja, a la

izquierda) no es un cuadrado mgico esotrico. En este caso es el resultado de un cuadrado mgico de n=3 a cuyas

cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha) de n=3, viendo la ubicacin de las

cifras y su concordancia.

Propiedad de las esquinas

En sentido esotrico, un cuadrado mgico, debe reunir unas condiciones de suma de sus esquinas (que

llamamos Cifra mgica-2, o de segundo orden). Explicacin de como se halla:

Si llamamos Composicin al sumatorio de los nmeros que componen el cuadrado mgico: C= sum

(1+2+3....), o tambin C= ((n+1)(n/2)... ...y si llamamos Nmero base (Nb) a la Composicin dividida entre el nmero de casillas que componen el

cuadrado, tendremos que Nb= C / (n). El nmero base tambin puede calcularse de la siguiente manera: Nb=

(n+1)/2 (obsrvese en la tabla adjunta ms abajo la relacin de sus cifras entre ambas columnas donde Nb es

casi la mitad de n ). El nmero base en un cuadrado mgico esotrico de n= impar siempre aparece en la

casilla central, lo que en cierto modo ayuda a reconocer y rechazar de un simple vistazo los que no cumplan

dicha condicin. (Vase la seccin propiedades posicionales ms abajo para ms detalles).

Tambin obtenemos la Cifra mgica, al multiplicar el Nmero base por n Cm=Nbn (o a la inversa,

obtenemos Nb, al dividir la Cifra mgica entre n Nb= Cm/n).

r _ _ s

_ _ _ _

_ _ _ _

t _ _ u

r _ s

_ _ _

t _ u

Y siendo Cifra mgica-2 la suma de las esquinas entonces: Cm2= r+s+t+uEntonces Cm2, la suma de las esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))

O tambin (partiendo de que Cm=Nbn): Cm2= Nbn - (Nb(n-4)).

O reduciendo: Cm2= 4Cm / n.

Se sealan en los dibujos las casillas de esquina, para cuadrados de n=4 y n=3

Se deduce que si el cuadrado tiene menos esquinas de 4, entonces dicha cifra es sumada, que si es mayor de 4

esquinas, la cifra es restada. Para el caso de 4 esquinas exactas, ni se suma ni se resta, o bien se suma y se

resta, (como prefiera ser considerado).

Podemos comprobar que en el cuadrado mgico de 4 la suma de las 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra mgica2=

Cifra mgica).


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Cuadrado mgico 17

Tambin la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que estn en el medio entre dos esquinas

adyacentes), suman Cm2. La particularidad de n=par_impar produce dos casos.

_ C _

R _ U

_ Z _

_ _ C1 C2 _ _

_ _ _ _ _ _

R1 _ _ _ _ U1

R2 _ _ _ _ U2

_ _ _ _ _ _

_ _ Z1 Z2 _ _

Para el caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (dibujo de la izquierda). Y para el caso de n=par las dos casillas adyacentes que forman la cruz en las mismas condiciones, solo que en

este caso al ser dos grupos de 4 casillas, es dos veces CM; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2

+Z1 +Z2 )/2 (dibujo de la derecha).

Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso impar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsrvese que

del caso par, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razn, por la que hay que dividir luego entre dos.

Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado sobre el cuadrado mgico con el caso de n= 7: al aplicar

C=1225; Nb=25; Cm= 257=175; Cm2= 175- (25(7-4)=100

Se puede comprobar Cm2=R+S+T+U, (las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

Igualmente se puede comprobar Cm2=C+R+U+Z,(los centros en cruz, en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U

lado n del cuadrado Casillas nn Sumatorio (n+1)(n/2) Cifra mgica C/n Nmero base Cm/n Cifra mgica-2 Cm2= 4Cm / n

n n C Cm Nb Cm2

1 1 1 1 1 4 No mg.

2 4 10 5 2,5 10 No mg.

3 9 45 15 5 20

4 16 136 34 8,5 34

5 25 325 65 13 52

6 36 666 111 18,5 74

7 49 1225 175 25 100

8 64 2080 260 32,5 130

9 81 3321 369 41 164


18/26

Cuadrado mgico 18

22 47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 29

30 6 24 49 18 36 12

13 31 7 25 43 19 37

38 14 32 1 26 44 20

21 39 8 33 2 27 45

46 15 40 9 34 3 28

.

Puede entenderse que el cuadrado de 1, no tiene 4 esquinas, y sin embargo su cifra mgica-2, es 4, al no poder

sumar ms que 1, queda fuera de ser un cuadrado mgico esotrico.

El cuadrado de dos, si tiene 4 esquinas, pero su cifra mgica-2 arroja un resultado de 10, lo cual es imposible

que resulte. Se explica ms arriba en este artculo, el porqu un cuadrado mgico de n=2, no lo es (Cm no

resulta), y aqu adems porqu no es esotrico.

Propiedades del centro

En un cuadrado mgico esotrico tambin se cumple la siguiente condicin (adems de todo lo anteriormente

explicado):

* En los casos impares: Obtenemos la Cifra Mgica-2 en los cuadrados mgicos esotricos al multiplicar el

valor central de la casilla por 4

* En el caso de los cuadrados pares: Obtenemos la Cifra Mgica-2 con la suma de sus 4 casillas centrales ( al

igual que sucede con los centros en cruz explicados ms arriba en que deben tomarse 2).

Es decir el 'peso especfico' del centro se mantiene en equilibrio. Si quisiramos usar una frmula general sera esta:

la media de las casillas centrales * 4. Dado que los casos impares no tiene una casilla central como nica, debe

considerarse el menor caso que rena esa condicin, siendo siempre 4 casillas.

Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de ms arriba, o con el de 3,etc.

Propiedades posicionales

Por la que se considera a un cuadrado mgico esotrico que est ordenado cuando se cumplen adems otras

condicones que son ligeramente distintas en los cuadrados de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado

o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotrico.

1.1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayor est encima de la casilla central y la inferior debajo.La

esquina r est ocupada por la cifra Nb-(n/2-(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). La esquina s estocupada por la cifra n/2+(1/2) y la casilla opuesta t, por 2Nb- (la cifra de s), o lo que es igual, por la cifra mayor

del cuadrado mgico, - (n/2-(1/2)).

Diagonales: La diagonal que va desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferor derecha

siempre lleva sus casillas numeradas correlativamente. La otra diagonal lleva sus casillas numeradas en

saltos de n comenzando justamente por (n +1)/2

1.1. n-par: La casilla r (la 1), es ocupada por la cifra n, la cifra 1 ocupa la casilla s, y la ltima cifra, la diagonal t, y la

casila u=t+s-r.Al ser par, no existe casilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, y no ocupa casilla.

Diagonales: la 1 diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n -1 empezando por n y la otra

diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n +1 empezando por 1 y acabando en n.


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Cuadrado mgico 19

Propiedades de las diagonales (diametrales)

Se verifica que la suma de dos casillas diametralmente opuestas siempre suman n + 1. Se aplica por igual a los

casos de n= impar como a los casos de n=par, siendo slo diferente, que para el caso impar el centro es una casilla y

para el caso par no hay casilla definida

Para no saturar su comprobacin se ilustran slo cuatro ejemplos denominados a, b, c, d con sucorrespondiente diametralmente opuesto respecto del centro (que se ha dejado a propsito).

Puede verificarse con los valores del cuadrado de la derecha. Siendo: DI= n + 1= 7 + 1= 50 se

demuestra que: para a DI= 47 + 3= 50, para b DI=42 + 8= 50, para c DI=6 + 44= 50, para d DI=31 +

19= 50...

- a - - - - 04

- - - - b 11 -

- c - - 18 - -

- d - 25 - d -

- - 32 - - c -

- 39 b - - - -

46 - - - - a -

22 47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 29

30 6 24 49 18 36 12

13 31 7 25 43 19 37

38 14 32 1 26 44 20

21 39 8 33 2 27 45

46 15 40 9 34 3 28

Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas es una consecuencia natural derivada de sta. Esta propiedad

junto con las propiedades posicionales proporcionan todas las reglas necesarias para elaborar una frmula general

con la que elaborar cuadrados mgicos esotricos de cualquier tamao que se aborda un poco ms abajo.

Alusiones a la cbala

Hay equivalencias entre las cifras de los cuadrados mgicos esotricos y las letras del alfabeto hebreo,considerado por los cabalistas, de modo que slo cuando se aplica al cuadrado adecuado, puede tomarse

correctamente el resultado cabalstico, siendo inexacto las conclusiones si se toma el cuadrado mgico

equivocado.

Las reglas particulares, as como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron

de desentraar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron

tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el nmero de acuerdo a las reglas de ste para interpretar

la palabra, y no la palabra se converta en nmero para interpretar la palabra, como tales pretendan. As como las

palabras tenan sus reglas, tambin las tenan los nmeros, y era as como se converta en sagrada su interpretacin,

pues no bastaba con conocer los nmeros si no se conocan sus reglas, igual que no basta para comprender un

idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1balahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alfabeto_hebreo


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Cuadrado mgico 20

Es de sealar que sin embargo, a pesar de lo indicado ms arriba en el artculo, los mencionados como cuadrados

satnicos, estrictamente en sentido esotrico, no son tenidos por tales si no tan solo el cuadrado de lado 6

esotrico, ya que la suma de sus cifras (Composicin), suma 666. Y es en donde los cabalistas buscan o debieran

buscar el nmero de la Bestia tal como se menciona en la Biblia.

Elaborar cuadrados mgicos esotricos El proceso de elaborar cuadrados mgicos esotricos se aborda en 2 fases. como se ha venido viendo a los largo

del artculo, los casos de n par o impar conllevan situaciones que requieren diferente trato.

De entrada y por abreviar acordamos llamar a cada diagonal con los siguientes smbolos: diagonal directa (arriba

izquierda hacia abajo derecha) con lo llamaremos d \. Diagonal inversa (arriba derecha hacia abajo izquierda) lo

llamaremos d /

Lista de figuras: para reconocer mejor el cambio operado en cada paso se ha despejado el cuadrado de todo lo no

necesario para entender el paso, por dicha razn a cada paso no necesariamente se va acumulando los valores ya

obtenidos.

Caso impar

Para explicar cmo elaborar un cuadrado mgico esotrico de lado impar, previamente decidimos n que para el

ejemplo ser 9

Siendo n=9 calculamos el n de casillas n=9*9=81 y a su vez calculamos NB con cualqiera de las

frmulas que se dieron anteriormente, al caso NB = (n+1) /2=41. NB no precisa ser calculado en este

instante, sin embargo sirve de verificacin para constatar que se trata de un cuadrado mgico esotrico y

no de otro cualquiera.

FI GU RA AA AA AA AA AA 01

- - - - - - - - -

- - - - - - - - -

- - - - - - - - -

- - - - 81 - - - -

- - - - 41 - - - -

- - - - 1 - - - -

- - - - - - - - -

- - - - - - - - -

- - - - - - - - -
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bibliahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_de_la_Bestia


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Cuadrado mgico 21


- - - - - - - - 5

- - - - - - - 14 -

- - - - - - 23 - -

- - - - 32 - - -

- - - - 41 - - - -

- - - 50 - - - -

- - 59 - - - - - -

- 68 - - - - - - -

77 - - - - - - - -

Se muestra el cuadrado vaco y donde irn los valores 1, NB y n como se indica en propiedades posicionales

ms arriba en el artculo. (ver figura-1 ). Se hace notar la importancia estratgica de NB, que se emplea en el

paso-3 Paso 1: elaborar la diagonal principal; d /como se indica en propiedades posicionales: calculamos la primera

cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primer valor por tanto 5, los siguientes sern ((n fila-1) * n) + valor 1 fila caso

de la fila 2= ((2-1) * 9) +5=14, sucesivamente aplicando el mismo clculo sern: 23,32,41,50,59,68 y 77 (ver

figura-2).

En la imagen (figura-8) 1 a la derecha de la figura 7 se muestra un mtodo rpido de rellenar ambas diagonales sin

necesidad de calcular.


- - - - - - - - 5

- - - - - - - 14 -

- - - - - - 23 - -

- - - - 32 - - -

- - - - 41 - - - -

- - - 50 42 - - -

- - 59 - - - 43 - -

- 68 - - - - - 44 -

77 - - - - - - - 45


* - - - - 5

- 38 - - - 14 -

- 39 - - 23 -

- - 40 32 - -

- - 41 - -

- - 50 42 - -

- 59 - 51 - 43 -

- 68 - 60 - 52 - 44 -

77 - 69 - 61 - 53 - 45


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Cuadrado mgico 22

Paso 2: elaborar las diagonales respecto de la princial; todas las d \que desembocan a d /tiene valores

correlativos por consiguiente, empezando por la casilla central hacia abajo sern: 42,43,44,45 (figura-3) y hacia

arriba sern: 40,39,38,37... proceder igualmente desde el resto de las casillas que forman d /. Con esto ya tenemos

resuelto la mitad del cuadrado, todas las casillas impares... (figura-4). Para no enturbiar la figura-4 se rellenan

slo unas pocas casillas y se marcan los dems afectados con el mismo color de fondo que stos...

Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2 a la derecha de la figura-7, ms abajo), cules casillas son estas, tomadas

del cuadrado original del que se toman los valores, y que al caso son correlativos. Obsrvese el giro a 45 de la

imagen para ver la concordancia claramente. La imagen ilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Por

ejemplo para la primera fila se ve que stas son: 37 - 29 - 21 - 13 y 5.


37 - 29 - 21 - 13 - 5

- 38 - 30 - 22 - 14 -

47 - 39 - 31 - 23 - 15

- 48 - 40 32 - 24 -

57 - 49 - 41 - 33 - 25

- 58 - 50 42 - 34 -

67 - 59 - 51 - 43 - 35

- 68 - 60 - 52 - 44 -

77 - 69 - 61 - 53 - 45


- 29 70 - -

- - - - -

- - - -

- - - -

17 41 -

- 58 - - 34 -

- 10 51 - 75

- - - - -

- - - -

Paso 3: Desde este momento hay que considerar el cuadrado en 4 zonas, primero en 2 separadas por d /y

nuevamente dividimos cada zona en 2 de acuerdo a d \(ver figura-5 donde pintamos cada rea de un color (slo

las casilla que faltan por resolver)). Cada una de las 4 zonas delimitadas se resuelve con suma o resta de un valor

ya existente en la casilla adhyacente operando con NB, siendo condicionado cada zona al siguiente criterio; El

valor de cada casilla resulta de operar la casilla inmediata al lado:

En la zona norte, izquierda + NB

En la zona sur, derecha - NB

En la zona oeste, inferior - NB

En la zona este, superior + NB. Esto es, una casilla en la zona este se calcula sumando el valor de la que est

encima de sta + NB.


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Cuadrado mgico 23

En ltima imagen (3 a la derecha de la figura-7) se muestra de donde proceden estas casillas en el cuadrado original,

y como se ubican en cada sector. Comprese cada sector con la ubicacin de la figura-9. Puede verse como los

sectores han sido trasladados. Todas las casillas corresponden a las que se muestran en la figura-7 en color amarillo.

Se ha calculado slo una casilla en cada zona (ver figura-6), para apreciar con ms claridad cada caso,

analicemos por ejemplo la de la zona este. Tomemos (ver figura-5) la casilla situada entre aquella que tiene el

valor 34 y la que tiene valor 44, valdr, lo que vale la casilla segn se indica por la zona a que corresponde,este caso la de encima de ella + NB= 34 + 41=75 ( ver resultado en figura-6 y comprobar con figura-7).

La figura-7 muestra el cuadrado completamente relleno y de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso.

Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1: marrn, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha se

muestra una imagen donde se relacionan las casillas que corresponden a las diagonales sin necesidad de calcular,

ntese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todas sus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81.


37 78 29 70 21 62 13 54 5

6 38 79 30 71 22 63 14 46

47 7 39 80 31 72 23 55 15

16 48 8 40 81 32 64 24 56

57 17 49 9 41 73 33 65 25

26 58 18 50 1 42 74 34 66

67 27 59 10 51 2 43 75 35

36 68 19 60 11 52 3 44 76

77 28 69 20 61 12 53 4 45

Rellenar las diagonales sin calcular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ADiagonalesCM.png


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Cuadrado mgico 24

Rellenar casillas diagonales respecto de la diagonal principal Rellenar las casillas del paso 3 sin calcular

Caso par

Los mtodos explicados detalladamente valen para cualquiera que sea el nmero de n, que por razones de espacio

se ha trabajado con ejemplos cuyo n resulta fcilmente manejable.

Cuando ya se conocen las reglas pueden construirse siguiendo otro criterio basndose en la relacin que

mantienen entre s las casillas. Con todo se recomienda seguir las instrucciones cuando se hace manualmente.

Una vez realizado un cuadrado mgico esotrico puede fcilmente mudarse en cualquier otro tipo de cuadrado

mgico simplemente por sustitucin, adicin, giro cualquier otro mtodo.

Bibliografa

[1] (http://www.artype.de/quadrate/index. html)

[2] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Oeis%3Aa006052

[4] http://www.artelista.com/aicoabasico.php?id=5763981249174076

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Cuadrado mgico 25

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Cuadrado mgicoCommons. Enciclopedia Libre (http://enciclopedia.us.es/wiki.phtml?title=Cuadrado_mgico)

Pgina de Blai Figueras lvarez (http://www.xtec.es/~bfiguera/curioso7.html#algoritqm) (10 de enero de

2004).

Cuadrados mgicos con las letras de diversos alfabetos (http://www.rodurago.de/en/index.php?site=correspondence&link=mq#mq) (en ingls)

Magic Squares (http://www.grogono.com/magic/) (en ingls)
http://www.grogono.com/magic/http://www.rodurago.de/en/index.php?site=correspondence&link=mq#mqhttp://www.rodurago.de/en/index.php?site=correspondence&link=mq#mqhttp://www.xtec.es/~bfiguera/curioso7.html#algoritqmhttp://enciclopedia.us.es/wiki.phtml?title=Cuadrado_m%E1gicohttp://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Magic_squareshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg


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Fuentes y contribuyentes del artculo 26

Fuentes y contribuyentes del artculoCuadrado mgicoFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=62152118 Contribuyentes: AlGarcia, Alhen, Antn Francho, Aperezdejuan, Aquiel, ArkBlitz, Armando-Martin, AveCsar Filito, BetoCG, Bingul, Carlos Alberto Carcagno, Cathlucky, Chlewey, Cookie, Crescent Moon, CruzAV, DAVID TORRES CHABLE, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Dodo, Dorieo,EL Willy, El filloco, Emijrp, Ezarate, Federicotg, Fernando Estel, Gatomon 123, Grillitus, Gusgus, Helmy oved, Hingelstein, Hscamplise, Huhsunqu, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Interwiki,Iulius, JMCC1, Javierito92, Jkbw, Jorge Egsquiza Loayza, Jorge c2010, JorgeGG, JoshAcevedo, Juan Andres Gonzalez Fernandez, LadyInGrey, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Linfocito B, Loboazul, Mailermar, Marcelicha, Marcelo, MarisaLR, Matdrodes, Nachosan, Nashosky, Neto, Nicoguaro, Nicop, Oblongo, Oscar ., Peejayem, Periku, Prinea, RaizRaiz, Rastrojo, Renraku, RobertoFiadone, Rosarinagazo, Ruiz, Sabbut, Samsam mama, Sanbec, Sasquatch21, Tano4595, Ted Alvram, Tirithel, Txo, VictorGonI, Vitamine, Vocin, Xavigivax, 162 , ediciones

annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Magic square Lo Shu.pngFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Magic_square_Lo_Shu.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: AnonMoos, MaximRazin, Rimshot, Vmenkov

Archivo:Drer Melancholia I.jpgFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Drer_Melancholia_I.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Bukk, Davemnt,Donarreiskoffer, Jan Arkesteijn, Jarekt, Karel K., Mattes, Rainer Zenz, Wutsje, 4 ediciones annimas

Archivo:Cuadrado Mgico Impar.pngFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadrado_Mgico_Impar.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:Original uploader was Willy at es.wikipedia

Archivo:Cuadrado Mgico Parmente par.pngFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadrado_Mgico_Parmente_par.png Licencia: GNU Free Documentation LicenseContribuyentes: Kilom691, Pau

Archivo:Cuadrado Mgico Parmente par2.pngFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadrado_Mgico_Parmente_par2.png Licencia: GNU Free DocumentationLicense Contribuyentes: Pau, Rafaelji

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