CS101 Introduction to computing 

Problem Solving (Computing) 

&& Array and Pointer

A. Sahu and S. V .RaoDept of Comp. Sc. & Engg.Dept of Comp. Sc. & Engg.

Indian Institute of Technology Guwahati

1

Outline• Loop invariant and loop termination• Man Problem Sol ing E amples• Many Problem Solving Examples

–7 Problems (Solution Method not given)

–3 problems (Solution Method given)p (So u o e od g e )

f G “ l iReference : R G Dromey, “How to solve it by Computer”, Pearson Education India, 2009 

2

Problem Solving Example • Set A  (Solution Method not given)

1 N h f X1. Nth Power of X 2. Square root of a number 3. Factorial of N 4 Reverse a number4. Reverse a number 5. Finding value of unknown by  question 

answersanswers 6. Value of Nth  Fibonacci Number7. GCD to two numbers

3

Problem Solving Example 

• Set B  (Solution Method given)1. Finding values Sin(x) using series sum 2 Value of PI2. Value of PI 3. Finding root of a function Bisection  

Methods

4

Problem    7

GCD of two integer number

Greatest Common Divisor

• Given two numbers n and m find their di igreatest common divisor

• possible approachp pp– find the common primes in the prime factorizationsfactorizations

• Basic Approaches

C  Code: GCD using substractionint n1, n2;;// Put code for Input n1 and n2// Put code for Input n1 and n2while (n1!=n2) {

while (n1 > n2) n1 = n1 - n2;

while (n1 > n2) n1 = n1 n2;while (n2 > n1) n2 = n2 - n1;

}}//Put code to Display GCD=n1

7

C  Code: GCD using substractionint n1, n2;;// Put code for Input n1 and n2// Put code for Input n1 and n2while (n1!=n2) {

if (n1 > n2) n1 = n1- n2;if (n1 > n2) n1 = n1 n2;else n2 = n2 - n1;

}}//Put code to Display GCD=n1

S b h i li8

Same behavior as earlier code

Euclid’s AlgorithmEuclid s Algorithm• Euclid’s algorithm: one of the oldest algorithms

d l b ( )• Based on simple observation (assume n > m)gcd(n,m) = gcd(n‐m,m)   (and hence)gcd(n,m) = gcd(m, modulo(n,m))

• uses this property to reduce the smalleruses this property to reduce the smaller number repeatedly

• until the smaller number is 0• until the smaller number is 0• larger number then is the gcd

C  Code: GCD using reminder int n1, n2, GCD;// Put code for Input n1 and n2// Put code for Input n1 and n2while (!(n1==0 || n2==0)) {

//while (n1 > n2) n1 = n1 n2;//while (n1 > n2) n1 = n1 - n2;

if (n1>n2) n1=n1%n2;//while (n2 > n1) n2 = n2 - n1;

else n2=n2%n1; }if (n1==0) GCD=n2; else GCD=n1;//P t d t Di l GCD//Put code to Display GCD

10

Euclid’s Algorithm• A fixed number of operations performed in each iteration

• Time depends on number of iterations• after every 2 iterations value of m is reduced• after every 2 iterations, value of m is reduced by at least half

if d l ( ) > /2 th– if modulo(n,m) > m/2 thenmodulo(m,modulo(n,m)) < m/2

b f (l )• number of iterations is at most 2(log2m+1)

Problem Solving Example 

• Set B  (Solution Method given)1. Value of PI 2 Finding values sin(x) using series2. Finding values sin(x) using series3. Finding root of a function Bisection  

Methods

12

Set B  Problem   1

Estimating π using Randomized MethodMethod

Estimating π using Randomized h dMethod

• Area of Circle : π . r2

( )

Area of Circle : π . r• If r =1, A=π• Area of circle in (+ +)

M

(x,y)• Area of circle in  (+,+) quadrant  : π/4

• Area of unit squareN

M• Area of unit square     [x=0 to 1][y=0 to 1]  is 1G t N d i t• Generate N random points – Point have x, y valuesB t [ 0 t 1][ 0 t 1]– Between [x=0 to 1][y=0 to 1] 

Estimating π using Randomized Method

• The probability of a random point lying inside the unit circle:

Method

point lying inside the unit circle:

(x,y)

• If pick a random point N times andM of those times the point N

M

and M of those times the point lies inside the unit circle:

N

• If N becomes very large P=P0If N becomes very large,      P=P

Value of PI: Randomized Method#define N 10000

int M=0,i;double x,y,z; for ( i=0; i<N; i++) {

x = (double)rand()/RAND_MAX;y = (double)rand()/RAND MAX;_z = x*x+y*y;if (z<=1) M++;( )}

pi=4.0*(double)M/N;pi 4.0 (double)M/N;// Display value of PI

Set B Problem 2Set B  Problem   2

Fi di l Si ( ) i iFinding values Sin(x) using series sum 

Finding values Sin(x) using iseries sum

• Problem: Design an efficient approach to l t th f ti i ( ) d fi d bevaluate the function sin(x) as defined by 

infinite series of expansion i ( ) /1! 3/3! 5/5! 7/7!sin(x) =  x/1! – x3/3! +x5/5! –x7/7!+ …  

• Approach 1– For every term  to be used  : calculate the value of  ith term : Suppose we want to calculate xi/i!Sum all the terms upto Ti 1; j 1;– Sum all the terms uptoterm > accuracy

Ti=1; j=1; while(j<=i) {

Ti=Ti * x/j;Ti Ti x/j;j = j+1;

}

Finding values Sin(x) using iseries sum

• sin(x) =  x/1! – x3/3! +x5/5! –x7/7!+ …  • Approach 2

– Current  ith term = ‐x2/(i*(i‐1))  * Previous  i‐1th Term /( ( ))– Sum all the terms upto term > accuracy

Finding values Sin(x) using iseries sum

• sin(x) =  x/1! – x3/3! +x5/5! –x7/7!+ …  • Approach 2

– Current  ith term = ‐x2/(i*(i‐1))  * Previous  i‐1th Term /( ( ))– Sum all the terms upto term > accuracy

• Each iterationi = i+2;i = i+2;term = - term * x*x/(i*(i-1));Si V l Si V l+ tSinxVal= SinxVal+ term;

C Code Sin(x) using series sumC Code Sin(x) using series sum int i=1; fl t Si XV l 0 tfloat SinXVal=0, term;float x, sqrOfx, accuracy;// Put code for Input x & accuracy// Put code for Input x & accuracywhile (term < accuracy) {

i = i+2;i i 2;term = - term * x*x/(i*(i-1));SinxVal= SinxVal+ term;SinxVal SinxVal+ term;

}//Put code to Display SinxValp y

Set B  Problem   3

Finding root of a functionFinding root of a function Bisection  Methods

Bisection Method • Bisection Method is a numerical method in Mathematics to find a root of a given functiong f

• Root of a function f(x) is value a such that:f(a) = 0f(a)   0

• Example:Function: f(x) = x2 4Function:    f(x) = x ‐ 4 Roots:       x = ‐2,  x = 2

Because:Because: f(‐2) = (‐2)2 ‐ 4 = 4 ‐ 4 = 0       f(2) (2)2 4 4 4 0f(2)  =  (2)2 ‐ 4 = 4 ‐ 4 = 0

A Mathematical Property • If a function f(x) is continuous on the interval [a..b] and sign of f(a) ≠ sign of f(b), then 

• There is a value c [a..b] such that: f(c) = 0I.e., there is a root c in the interval [a..b] 

Bisection Method• Is a successive approximation methodthat narrows down an interval –that contains a root of the function f(x)Gi i iti l i t l [ b]• Given an initial interval [a..b]–Contains a root– sign of f(a) ≠ sign of f(b)

Bisection Method• Bisection Method will 

–Cut the interval into 2 halves and check which half interval contains a root of the function

–will keep cut the interval in halves until the resulting interval is extremely smallresulting interval is extremely small

The root is then approximately equal to l i th fi l ( ll) i t lany value in the final (very small) interval. 

Bisection Method ExampleBisection Method Example

• Suppose the interval [a..b] is as follows:

Bisection Method ExampleBisection Method ExampleWe cut the interval [a..b] in the middle: m = (a+b)/2(a+b)/2

Bisection Method Example• Because sign of f(m) ≠ sign of f(a) , we proceedwith the search in the new interval [a b]:with the search in the new interval [a..b]: 

C Code: Bisection MethodC Code: Bisection Method For Function : x^3+2x‐5, a=2, b =3float a, b, Fa, Fb, Fx;//Code for Input a, b and accuracyF * * 2* 5 Fb b*b*b 2*b 5Fa=a*a*a-2*a-5; Fb=b*b*b-2*b-5;x=a;x1=b;while( abs(x x1)>accuracy) {while( abs(x-x1)>accuracy) {

x1=x; x=(a+b)/2;Fx=x*x*x-2x-5;Fx x x x 2x 5;if(Fa*Fx<0) b=x; else a=x;

}}//Code print root X

30

CS101 Introduction to computingCS101 Introduction to computing 

Array and PointerArray and Pointer

A. Sahu and S. V .RaoDept of Comp. Sc. & Engg.Dept of Comp. Sc. & Engg.

Indian Institute of Technology Guwahati

Outline• Array Definition, Declaration, Use• Array Examples• PointerPointer

–Memory access –Access using pointer 

• Basic Pointer Arithmetic• Basic Pointer Arithmetic 

ObjectivesObjectives• Be able to use 

–arrays,  pointers,  and strings in C programsprograms

• Be able to explain the p–Representation of these data types at the machine level including theirthe machine level including their similarities and differences 

Definition – ArrayDefinition  Array

• A collection of objects of the same typej ypstored contiguously in memory under one namename–May be type of any kind of variable–May even be collection of arrays!

• For ease of access to any member of arrayy y• Can be think as a group

Examples• int A[10]

• An array of ten integers• An array of ten integers• A[0], A[1], …, A[9]

• double B[20]• An array of twenty long floating point y y g g pnumbers

• B[0] B[1] B[19]B[0], B[1], …, B[19]

• Array indexes always start at zero in C

ExamplesExamples• int D[10][20]

• An array of ten rows, each of which is an array of twenty integers

• D[0][0], D[0][1], …, D[1][0], D[1][1], …, D[9][19]

• Not used so often as arrays of pointers

Array ElementArray Element

• May be used wherever a variable of the• May be used wherever a variable of the same type may be used

I i (i l di )• In an expression (including arguments)• On left side of assignment 

• Examples:–

A[3] = x + y;x = y – A[3];z = sin(A[i]) + cos(B[j]);z = sin(A[i]) + cos(B[j]);

Array ElementsArray Elements

• Generic form:––ArrayName[integer‐expression]ArrayName[integer expression] [integer–ArrayName[integer‐expression] [integer‐expression]

h d l i f h– Same type as the underlying type of the array

• Definition:– Array Index – the expression between the square bracketsq

Array Elements• Array elements are commonly used in loops• E.g., for(i=0; i < max; i++)

A[i] = i*i;A[i] i i;

sum = 0; for(j=0;j<max;j++) sum += B[j];

sum = 0;sum 0; for (count=0; count<30; count++){

scanf("%f", &A[count]);Sum += A[count];

}

Array: Initialization and AccessingArray: Initialization and Accessing

int A[5] i; //definingint A[5], i; //defining//initializingfor (i 0; i<5; i++)for (i=0; i<5; i++)

A[i]=i; ////accessing the array for (i=0; i<5; i++)

printf("%d, ", A[i]);

Memory Organization···

2n‐10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• All modern processors have memories organized as sequence of numbered bytesorganized as sequence of numbered bytes–Many (but not all) are linear sequences

• Definitions:––Byte: an 8‐bit memory cell capable ofByte: an 8 bit memory cell capable of storing a value in range 0 … 255

b b h h ll–Address: number by which a memory cell is identified

Memory Organization (continued)···

2n‐10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• Larger data types are sequences of bytes–short int – 2 B,  int – 4 B,  long –8 B , , g–float – 4 B,  double – 8 B

• (Almost) al a s aligned to m ltiple of si e in• (Almost) always aligned to multiple of size in bytes

• Address is “first” byte of sequence–May be low‐order or high‐order byteMay be low order or high order byte–Big endian or Little endian

Thanks

43