Cox Theorem Revisited

7/28/2019 Cox Theorem Revisited

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C o x ' s T h e o r e m R e v i s i t e d

J o s e p h Y . H a l p e r n h a l p e r n @ c s . c o r n e l l . e d u

C o r n e l l U n i v e r s i t y , C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t

I t h a c a , N Y 1 4 8 5 3

h t t p : / / w w w . c s . c o r n e l l . e d u / h o m e / h a l p e r n

A b s t r a c t

T h e a s s u m p t i o n s n e e d e d t o p r o v e C o x ' s T h e o r e m a r e d i s c u s s e d a n d e x a m i n e d . V a r i o u s

s e t s o f a s s u m p t i o n s u n d e r w h i c h a C o x - s t y l e t h e o r e m c a n b e p r o v e d a r e p r o v i d e d , a l t h o u g h

a l l a r e r a t h e r s t r o n g a n d , a r g u a b l y , n o t n a t u r a l .

I r e c e n t l y w r o t e a p a p e r ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) c a s t i n g d o u b t o n h o w c o m p e l l i n g a j u s t i c a t i o n

f o r p r o b a b i l i t y i s p r o v i d e d b y C o x ' s c e l e b r a t e d t h e o r e m ( C o x , 1 9 4 6 ) . I h a v e r e c e i v e d ( w h a t

s e e m s t o m e , a t l e a s t ) a s u r p r i s i n g a m o u n t o f r e s p o n s e t o t h a t a r t i c l e . H e r e I a t t e m p t t o

c l a r i f y t h e d e g r e e t o w h i c h I t h i n k C o x ' s t h e o r e m c a n b e s a l v a g e d a n d r e s p o n d t o a g l a r i n g

i n a c c u r a c y o n m y p a r t p o i n t e d o u t b y S n o w ( 1 9 9 8 ) . ( F o r t u n a t e l y , i t i s a n i n a c c u r a c y t h a t

h a s n o a e c t o n e i t h e r t h e c o r r e c t n e s s o r t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e s u l t s o f m y p a p e r . ) I

h a v e t r i e d t o w r i t e t h i s n o t e w i t h e n o u g h d e t a i l s o t h a t i t c a n b e r e a d i n d e p e n d e n t l y o f

( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) , b u t I e n c o u r a g e t h e r e a d e r t o c o n s u l t ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) , a s w e l l a s t h e t w o

m a j o r s o u r c e s i t i s b a s e d o n ( C o x , 1 9 4 6 ; P a r i s , 1 9 9 4 ) , f o r f u r t h e r d e t a i l s a n d d i s c u s s i o n .

H e r e i s t h e b a s i c s i t u a t i o n . C o x ' s g o a l i s t o \ t r y t o s h o w t h a t : : : i t i s p o s s i b l e t o d e r i v e

t h e r u l e s o f p r o b a b i l i t y f r o m t w o q u i t e p r i m i t i v e n o t i o n s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f t h e n o t i o n

o f e n s e m b l e a n d w h i c h : : : a p p e a l r a t h e r i m m e d i a t e l y t o c o m m o n s e n s e " ( C o x , 1 9 4 6 ) . T o

t h a t e n d , h e s t a r t s w i t h a f u n c t i o n B e l t h a t a s s o c i a t e s a r e a l n u m b e r w i t h e a c h p a i r ( U ; V )

o f s u b s e t s o f a d o m a i n W s u c h t h a t U 6= ; . W e w r i t e B e l ( V j U ) r a t h e r t h a n B e l ( U ; V ) , s i n c e

w e t h i n k o f B e l ( V j U ) a s t h e b e l i e f , c r e d i b i l i t y , o r l i k e l i h o o d o f V g i v e n U . C o x ' s T h e o r e m

a s i n f o r m a l l y u n d e r s t o o d , s t a t e s t h a t i f B e l s a t i s e s t w o v e r y r e a s o n a b l e r e s t r i c t i o n s , t h e n

B e l m u s t b e i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . T h e r s t o n e s a y s t h a t t h e b e l i e f i n V

c o m p l e m e n t ( d e n o t e d V ) g i v e n U i s a f u n c t i o n o f t h e b e l i e f i n V g i v e n U ; t h e s e c o n d s a y s

t h a t t h e b e l i e f i n V \ V

0

g i v e n U i s a f u n c t i o n o f t h e b e l i e f i n V

0

g i v e n V \ U a n d t h e b e l i e f

i n V g i v e n U . F o r m a l l y , w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e f u n c t i o n s S a n d F s u c h t h a t

A 1 . B e l ( V j U ) = S ( B e l ( V j U ) ) i f U 6= ; , f o r a l l U ; V W .

A 2 . B e l ( V \ V

0

j U ) = F ( B e l ( V

0

j V \ U ) ; B e l ( V j U ) ) i f V \ U 6= ; , f o r a l l U ; V ; V

0

W .

I f B e l i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e , t h e n w e c a n t a k e S ( x ) = 1 ? x a n d F ( x ; y ) = x y .

B e f o r e g o i n g o n , n o t i c e t h a t C o x ' s r e s u l t d o e s n o t c l a i m t h a t B e l i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e ,

j u s t t h a t i t i s i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . F o r m a l l y , t h i s m e a n s t h a t t h e r e i s a

c o n t i n u o u s o n e - t o - o n e o n t o f u n c t i o n g : I R ! I R s u c h t h a t g B e l i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e

o n W , a n d

g ( B e l ( V j U ) ) g ( B e l ( U ) ) = g ( B e l ( V \ U ) ) i f U 6= ; , ( 1 )

w h e r e B e l ( U ) i s a n a b b r e v i a t i o n f o r B e l ( U j W ) .

1


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I f w e a r e w i l l i n g t o a c c e p t t h a t b e l i e f i s r e a l v a l u e d ( t h i s i s a s t r o n g a s s u m p t i o n s i n c e ,

a m o n g o t h e r t h i n g s , c o m m i t s u s t o t h e a s s u m p t i o n t h a t b e l i e f c a n n o t b e p a r t i a l l y o r d e r e d |

f o r a n y t w o e v e n t s U a n d V , w e m u s t h a v e e i t h e r B e l ( U ) B e l ( V ) o r B e l ( V ) B e l ( U ) ; i t

c a n n o t b e t h e c a s e t h a t t h e b e l i e f s a r e i n c o m p a r a b l e ) , t h e n A 1 a n d A 2 a r e v e r y r e a s o n a b l e .

I f t h i s w e r e a l l i t t o o k t o p r o v e C o x ' s T h e o r e m , t h e n i t i n d e e d w o u l d b e a v e r y c o m p e l l i n g

a r g u m e n t f o r t h e u s e o f p r o b a b i l i t y .

U n f o r t u n a t e l y , i t i s w e l l k n o w n t h a t A 1 a n d A 2 b y t h e m s e l v e s d o n o t s u c e t o p r o v e

C o x ' s T h e o r e m . D u b o i s a n d P r a d e ( 1 9 9 0 ) g i v e a n e x a m p l e o f a f u n c t i o n B e l , d e n e d o n a

n i t e d o m a i n , t h a t s a t i s e s A 1 a n d A 2 w i t h F ( x ; y ) = m i n ( x ; y ) a n d S ( x ) = 1 ? x b u t i s

n o t i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . T h u s , i f w e a r e t o p r o v e C o x ' s T h e o r e m , w e n e e d

t o h a v e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s .

I t i s h a r d t o d i g o u t o f C o x ' s p a p e r s ( 1 9 4 6 , 1 9 7 8 ) e x a c t l y w h a t a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s

h i s p r o o f s n e e d . I s h o w i n m y p a p e r t h a t t h e r e s u l t i s f a l s e u n d e r s o m e q u i t e s t r o n g

a s s u m p t i o n s ( s e e b e l o w ) . M y r e s u l t a l s o s u g g e s t s t h a t m o s t o f t h e o t h e r p r o o f s g i v e n o f C o x -

s t y l e t h e o r e m s a r e a t b e s t i n c o m p l e t e ( t h a t i s , t h e y r e q u i r e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s b e y o n d

t h o s e s t a t e d b y t h e a u t h o r s ) ; s e e ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) f o r d i s c u s s i o n . T h e g o a l o f t h i s n o t e i s

t o c l a r i f y w h a t i t t a k e s t o p r o v e a C o x - s t y l e t h e o r e m , b y g i v i n g a n u m b e r o f h y p o t h e s e s

u n d e r w h i c h t h e r e s u l t c a n b e p r o v e d . A l l o f t h e p o s i t i v e v e r s i o n s o f t h e t h e o r e m t h a t I

s t a t e c a n b e p r o v e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d w a y b y a d a p t i n g t h e p r o o f g i v e n b y g i v e n b y P a r i s

( 1 9 9 4 ) . ( T h i s i s t h e o n e c o r r e c t , r i g o r o u s p r o o f t h e r e s u l t o f w h i c h I a m a w a r e , w i t h a l l t h e

h y p o t h e s e s s t a t e d c l e a r l y . ) N e v e r t h e l e s s , I b e l i e v e i t i s w o r t h i d e n t i f y i n g a l l t h e s e v a r i a n t s ,

s i n c e t h e y a r e p h i l o s o p h i c a l l y q u i t e d i e r e n t .

P a r i s ( 1 9 9 4 ) p r o v e s C o x ' s T h e o r e m u n d e r t h e f o l l o w i n g a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s :

P a r 1 . T h e r a n g e o f B e l i s 0 ; 1 ] .

P a r 2 . B e l ( ; j U ) = 0 a n d B e l ( U j U ) = 1 i f U 6= ; .

P a r 3 . T h e S i n A 1 i s d e c r e a s i n g .

P a r 4 . T h e F i s A 2 i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g ( i n e a c h c o o r d i n a t e ) i n ( 0 ; 1 ]

2

a n d c o n t i n u o u s .

P a r 5 . F o r a l l 0 ; ; 1 a n d > 0 , t h e r e a r e s e t s U

1

U

2

U

3

U

4

s u c h t h a t U

3

6= ; ,

a n d e a c h o f j B e l ( U

4

j U

3

) ? j , j B e l ( U

3

j U

2

) ? j , a n d j B e l ( U

2

j U

1

) ? j i s l e s s t h a n .

T h e o r e m 1 : ( P a r i s , 1 9 9 4 ) I f P a r 1 - 5 h o l d , t h e n B e l i s i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

T h e r e i s n o t h i n g s p e c i a l a b o u t 0 a n d 1 i n P a r 1 a n d P a r 2 ; a l l w e n e e d t o a s s u m e i s t h a t

t h e r e i s s o m e i n t e r v a l e ; E ] w i t h e < E s u c h t h a t B e l ( V j U ) 2 e ; E ] f o r a l l V ; U W ,

B e l ( ; j U ) = e , a n d B e l ( U j U ) = E . T h e s e a s s u m p t i o n s c e r t a i n l y s e e m r e a s o n a b l e , p r o v i d e d

w e a c c e p t t h a t b e l i e f s s h o u l d b e l i n e a r l y o r d e r e d . N o r i s i t h a r d t o o h a r d t o j u s t i f y P a r 3

a n d P a r 4 ( i n d e e d , C o x j u s t i e s t h e m i n h i s o r i g i n a l p a p e r ) . T h e p r o b l e m a t i c a s s u m p t i o n

h e r e i s P a r 5 ( c a l l e d A 4 i n ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) a n d C o 5 i n ( P a r i s , 1 9 9 4 ) ) . P a r 5 c a n b e t h o u g h t

o f a s a d e n s i t y r e q u i r e m e n t ; a m o n g o t h e r t h i n g s , i t s a y s t h a t f o r e a c h x e d V , t h e s e t o f

v a l u e s t h a t B e l ( U j V ) t a k e s o n i s d e n s e i n 0 ; 1 ] . I t f o l l o w s t h a t , i n p a r t i c u l a r , t o s a t i s f y

P a r 5 , W m u s t b e i n n i t e ; P a r 5 c a n n o t b e s a t i s e d i n n i t e d o m a i n s . W h i l e \ n a t u r a l " a n d

\ r e a s o n a b l e " a r e , o f c o u r s e , i n t h e e y e o f t h e b e h o l d e r , i t d o e s n o t s t r i k e m e a s a n a t u r a l

2


3/7

o r r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n i n a n y o b v i o u s s e n s e o f t h e w o r d s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e s i n c e

m a n y d o m a i n s o f i n t e r e s t i n A I ( a n d o t h e r a p p l i c a t i o n a r e a s a r e n i t e ) ; a n y v e r s i o n o f C o x ' s

T h e o r e m t h a t u s e s P a r 5 i s s i m p l y n o t a p p l i c a b l e i n t h e s e d o m a i n s . C a n w e w e a k e n P a r 5 ?

C o x d o e s n o t r e q u i r e a n y t h i n g l i k e P a r 5 i n h i s p a p e r . H e d o e s r e q u i r e a t v a r i o u s t i m e s

t h a t F b e t w i c e d i e r e n t i a b l e , w i t h a c o n t i n u o u s s e c o n d d e r i v a t i v e , a n d t h a t S b e t w i c e

d i e r e n t i a b l e .

1

W h i l e d i e r e n t i a b i l i t y a s s u m p t i o n s a r e p e r h a p s n o t a s c o m p e l l i n g a s c o n t i -

n u i t y a s s u m p t i o n s , t h e y d o s e e m l i k e r e a s o n a b l e t e c h n i c a l r e s t r i c t i o n s . U n f o r t u n a t e l y , t h e

c o u n t e r e x a m p l e I g i v e i n ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) s h o w s t h a t t h e s e a s s u m p t i o n s d o n o t s u c e t o

p r o v e C o x ' s t h e o r e m . W h a t I s h o w i s t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 2 : ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) T h e r e i s a f u n c t i o n B e l

0

, a n i t e d o m a i n W , a n d f u n c t i o n s

S a n d F s a t i s f y i n g A 1 a n d A 2 , r e s p e c t i v e l y , s u c h t h a t

B e l

0

( V j U ) 2 0 ; 1 ] f o r U 6= ; ,

S ( x ) = 1 ? x ( s o t h a t S i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g a n d i n n i t e l y d i e r e n t i a b l e ) ,

F i s i n n i t e l y d i e r e n t i a b l e , n o n d e c r e a s i n g i n e a c h a r g u m e n t i n 0 ; 1 ]

2

, a n d s t r i c t l y i n -

c r e a s i n g i n e a c h a r g u m e n t i n ( 0 ; 1 ]

2

. M o r e o v e r , F i s c o m m u t a t i v e , F ( x ; 0 ) = F ( 0 ; x ) =

0 , a n d F ( x ; 1 ) = F ( 1 ; x ) = x .

H o w e v e r , B e l

0

i s n o t i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

T o u n d e r s t a n d w h a t m a k e s t h e c o u n t e r e x a m p l e t i c k a n d t h e r o l e o f P a r 5 , i t i s u s e f u l t o

r e v i e w p a r t o f C o x ' s a r g u m e n t . I n t h e c o u r s e o f h i s p r o o f , C o x s h o w s t h a t A 2 f o r c e s F t o

b e a n a s s o c i a t i v e f u n c t i o n , t h a t i s , t h a t

F ( x ; F ( y ; z ) ) = F ( F ( x ; y ) ; z ) : ( 2 )

H e r e i s C o x ' s a r g u m e n t .

S u p p o s e U

1

U

2

U

3

U

4

. L e t x = B e l ( U

4

j U

3

) , y = B e l ( U

3

j U

2

) , z = B e l ( U

2

j U

1

) ,

u

1

= B e l ( U

4

j U

2

) , u

2

= B e l ( U

3

j U

1

) , a n d u

3

= B e l ( U

4

j U

1

) . B y A 2 , w e h a v e t h a t u

1

= F ( x ; y ) ,

u

2

= F ( y ; z ) , a n d u

3

= F ( x ; u

2

) = F ( u

1

; z ) . I t f o l l o w s t h a t F ( x ; F ( y ; z ) ) = F ( F ( x ; y ) ; z ) .

N o t e t h a t t h i s a r g u m e n t d o e s n o t s h o w t h a t F ( x ; F ( y ; z ) ) = F ( F ( x ; y ) ; z ) f o r a l l x ; y ; z .

I t s h o w s o n l y t h a t t h e e q u a l i t y h o l d s f o r t h o s e x ; y ; z f o r w h i c h t h e r e e x i s t U

1

U

2

U

3

U

4

s u c h t h a t x = B e l ( U

1

j U

2

) , y = B e l ( U

2

j U

3

) , a n d z = B e l ( U

3

j U

4

) . P a r 5 g u a r a n t e e s t h a t

t h e s e t o f s u c h x ; y ; z i s d e n s e i n 0 ; 1 ]

3

. C o m b i n e d w i t h t h e c o n t i n u i t y o f F a s s u m e d i n

P a r 4 , t h i s t e l l s u s t h a t ( 2 ) h o l d s f o r a l l x ; y ; z .

I h a d c l a i m e d i n ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) t h a t n o n e o f t h e a u t h o r s w h o h a d p r o v e d v a r i a n t s o f

C o x ' s T h e o r e m , i n c l u d i n g C o x h i m s e l f , A c z e l , a n d R e i c h e n b a c h , s e e m e d t o b e a w a r e o f t h e

n e e d t o m a k e ( 2 ) h o l d s f o r a l l x ; y ; z .

2

I w a s w r o n g i n i n c l u d i n g C o x i n t h i s l i s t . ( T h i s

i s t h e g l a r i n g i n a c c u r a c y I r e f e r r e d t o a b o v e . ) A s S n o w ( 1 9 9 8 ) p o i n t s o u t , C o x a c t u a l l y

d o e s r e a l i z e t h a t F m u s t s a t i s f y ( 2 ) f o r a l l x ; y ; z , a n d e x p l i c i t l y m a k e s t h i s a s s u m p t i o n a t

1 . C o x n e v e r c o l l e c t s h i s a s s u m p t i o n s i n a n y o n e p l a c e , s o i t i s s o m e w h a t d i c u l t t o t e l l e x a c t l y w h a t h e

t h i n k s h e n e e d s f o r h i s p r o o f . M o r e o n t h i s l a t e r .

2 . A s I p o i n t e d o u t i n ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) , A c z e l r e c o g n i z e d t h i s p r o b l e m i n l a t e r w o r k ( A c z e l & D a r o c z y ,

1 9 7 5 ) .

3


4/7

a c e r t a i n p o i n t i n h i s r s t p a p e r ( C o x , 1 9 4 6 ) , a l t h o u g h h e d o e s n o t m a k e t h i s a s s u m p t i o n

e x p l i c i t l y i n h i s ( m o r e i n f o r m a l ) l a t e r p a p e r ( C o x , 1 9 7 8 ) .

U n f o r t u n a t e l y , a l t h o u g h C o x e s c a p e s f r o m m y c r i t i c i s m b y r e c o g n i z i n g t h e n e e d t o m a k e

t h i s a s s u m p t i o n , i t d o e s n o t m a k e h i s t h e o r e m a n y l e s s p a l a t a b l e . I n d e e d , i f a n y t h i n g , i t

m a k e s m a t t e r s w o r s e . A s s o c i a t i v i t y i s a r a t h e r s t r o n g a s s u m p t i o n , a s C o x h i m s e l f s h o w s .

I n f a c t , C o x s h o w s t h a t i f F i s a s s o c i a t i v e a n d h a s c o n t i n u o u s s e c o n d d e r i v a t i v e s , t h e n

F i s i s o m o r p h i c t o m u l t i p l i c a t i o n , t h a t i s , t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n f a n d c o n s t a n t C s u c h

t h a t C f F ( x ; y ) ] = f ( x ) f ( y ) . L e t m e s t r e s s t h a t t h e c o n c l u s i o n t h a t F i s i s o m o r p h i c t o

m u l t i p l i c a t i o n j u s t f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t i t i s a s s o c i a t i v e a n d h a s c o n t i n u o u s s e c o n d

d e r i v a t i v e s , a n d h a s n o t h i n g t o d o w i t h A 2 . O f c o u r s e , b y t h e t i m e w e a r e w i l l i n g t o a s s u m e

t h a t t h e r e i s a f u n c t i o n F t h a t i s i s o m o r p h i c t o m u l t i p l i c a t i o n t h a t s a t i s e s A 2 , t h e n w e

a r e w e l l o n t h e w a y t o s h o w i n g t h a t B e l i s i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . F o r f u t u r e

r e f e r e n c e , I r e m a r k t h a t P a r i s s h o w s ( i n h i s L e m m a 3 . 7 ) t h a t P a r 1 , P a r 2 , P a r 4 , a n d P a r 5

s u c e t o s h o w t h a t F i s i s o m o r p h i c t o m u l t i p l i c a t i o n ( a n d t h a t w e c a n t a k e C = 1 ) .

I n a n y c a s e , s u p p o s e w e a r e w i l l i n g t o s t r e n g t h e n P a r 4 s o a s t o r e q u i r e F t o b e a s s o c i a t i v e

a s w e l l a s c o n t i n u o u s a n d s t r i c t l y i n c r e a s i n g . D o e s t h i s s u c e t o g e t r i d o f P a r 5 a l t o g e t h e r ?

U n f o r t u n a t e l y , i t d o e s n o t s e e m t o .

L a t e r i n h i s a r g u m e n t , C o x s h o w s t h a t S m u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g t w o f u n c t i o n a l

e q u a t i o n s f o r a l l s e t s U

1

U

2

U

3

:

S S ( B e l ( U

2

j U

1

) ) ] = B e l ( U

2

j U

1

) ( 3 )

a n d

B e l ( U

2

j U

1

) S ( B e l ( U

3

j U

1

) = B e l ( U

2

j U

1

) ) = S S ( B e l ( U

2

j U

1

) ) = S ( B e l ( U

3

j U

1

) ) ] S ( B e l ( U

3

j U

1

) )

( 4 )

T h i s m e a n s t h a t f o r a l l x a n d y > 0 f o r w h i c h t h e r e e x i s t s e t s U

1

, U

2

, a n d U

3

s u c h t h a t

x = B e l ( U

3

j U

1

) a n d y = B e l ( U

2

j U

1

) , w e h a v e

S ( S ( y ) ) = y ( 5 )

a n d

y S ( x = y ) = S ( x ) S S ( y ) = S ( x ) ] : ( 6 )

C o x a c t u a l l y w a n t s t h e s e e q u a t i o n s t o h o l d f o r a l l x a n d y . P a r i s s h o w s t h a t t h i s f o l l o w s f r o m

P a r 1 { 5 . ( H e r e i s P a r i s ' s a r g u m e n t . U s i n g P a r 3 , i t c a n b e s h o w n t h a t S i s c o n t i n u o u s ( s e e

L e m m a 3 . 8 i n ( P a r i s , 1 9 9 4 ) ) . T h i s c o m b i n e d w i t h P a r 5 e a s i l y g i v e s u s t h a t ( 5 ) h o l d s f o r a l l

y 2 0 ; 1 ] . ( 6 ) f o l l o w s f r o m P a r 5 a n d t h e f a c t t h a t F m u s t b e i s o m o r p h i c t o m u l t i p l i c a t i o n ;

a s I m e n t i o n e d a b o v e , t h e l a t t e r f a c t i s s h o w n b y P a r i s t o f o l l o w f r o m P a r 1 , P a r 2 , P a r 4 , a n d

P a r 5 . ) W i t h o u t P a r 5 , w e n e e d t o a s s u m e t h a t ( 5 ) a n d ( 6 ) b o t h h o l d f o r a l l x a n d y , a n d

t h a t i s w h a t C o x d o e s .

3

I n t h e p r o o f g i v e n b y P a r i s f o r T h e o r e m 1 , t h e o n l y u s e m a d e o f P a r 5 i s i n d e r i v i n g t h e

a s s o c i a t i v i t y o f F a n d t h e f a c t t h a t S s a t i s e s ( 5 ) a n d ( 6 ) . T h u s , w e i m m e d i a t e l y g e t t h e

f o l l o w i n g v a r i a n t o f C o x ' s T h e o r e m .

3 . A c t u a l l y , C o x s t a r t s w i t h ( 4 ) a n d d e r i v e s t h e m o r e s y m m e t r i c f u n c t i o n a l e q u a t i o n y S S ( x ) = y ] =

x S S ( y ) = x ] , r a t h e r t h a n ( 6 ) . I t i s t h i s l a t t e r f u n c t i o n a l e q u a t i o n t h a t h e a s s u m e s h o l d s f o r a l l x a n d y

I f w e r e p l a c e x b y S ( x ) e v e r y w h e r e a n d u s e ( 5 ) , t h e n w e g e t ( 6 ) .

4


5/7

T h e o r e m 3 : I f P a r 1 - 4 h o l d a n d , i n a d d i t i o n , t h e F i n A 2 i s a s s o c i a t i v e a n d t h e S i n A 1

s a t i s e s b o t h ( 5 ) a n d ( 6 ) f o r a l l x ; y 2 0 ; 1 ] , t h e n B e l i s i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

W e c a n g e t a v a r i a n t e v e n c l o s e r t o w h a t C o x ( 1 9 4 6 ) s h o w s b y r e p l a c i n g P a r 4 b y t h e

a s s u m p t i o n t h a t F i s t w i c e d i e r e n t i a b l e . N o t e t h a t w e n e e d t o m a k e s o m e c o n t i n u i t y ,

m o n o t o n i c i t y , o r d i e r e n t i a b i l i t y a s s u m p t i o n s o n F . A s I m e n t i o n e d e a r l i e r , D u b o i s a n d

P r a d e s h o w t h e r e i s a B e l t h a t i s n o t i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y f u n c t i o n f o r w h i c h S ( x ) =

1 ? x a n d F ( x ; y ) = m i n ( x ; y ) . T h e m i n f u n c t i o n i s d i e r e n t i a b l e ( a n d a f o r t i o r i c o n t i n u o u s ) ,

b u t i s n o t t w i c e d i e r e n t i a b l e , n o r i s i t s t r i c t l y i n c r e a s i n g i n e a c h c o o r d i n a t e i n ( 0 ; 1 ]

2

( a l t h o u g h i t i s n o n d e c r e a s i n g ) .

T h e a d v a n t a g e o f r e p l a c i n g P a r 5 b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t F b e a s s o c i a t i v e a n d t h a t S

s a t i s f y ( 5 ) a n d ( 6 ) i s t h a t t h i s v a r i a n t o f C o x ' s T h e o r e m n o w a p p l i e s e v e n i f W i s n i t e . O n

t h e o t h e r h a n d , i t i s h a r d ( a t l e a s t f o r m e ) t o v i e w ( 6 ) a s a \ n a t u r a l " r e q u i r e m e n t . W h i l e

a s s u m p t i o n s l i k e a s s o c i a t i v i t y f o r F a n d i d e m p o t e n c y f o r S ( i . e . , ( 5 ) ) a r e c e r t a i n l y n a t u r a l

m a t h e m a t i c a l a s s u m p t i o n s , t h e o n l y j u s t i c a t i o n f o r r e q u i r i n g t h e m o n a l l o f 0 ; 1 ] s e e m s t o

b e t h a t t h e y p r o v a b l y f o l l o w f r o m t h e o t h e r a s s u m p t i o n s f o r c e r t a i n t u p l e s i n t h e r a n g e o f

B e l . I s t h i s r e a s o n a b l e o r c o m p e l l i n g ? O f c o u r s e , t h a t i s u p t o t h e r e a d e r t o j u d g e . I n a n y

c a s e , t h e s e a r e a s s u m p t i o n s t h a t n e e d e d t o b e h i g h l i g h t e d b y a n y o n e u s i n g C o x ' s T h e o r e m

a s a j u s t i c a t i o n f o r p r o b a b i l i t y , r a t h e r t h a n b e i n g s w e p t u n d e r t h e c a r p e t . T h e r e q u i r e m e n t

t h a t S m u s t s a t i s f y ( 6 ) i s n o t e v e n m e n t i o n e d b y S n o w ( 1 9 9 8 ) , l e t a l o n e d i s c u s s e d . S n o w i s

n o t a l o n e ; i t d o e s n o t s e e m t o b e m e n t i o n e d i n a n y o t h e r d i s c u s s i o n o f C o x ' s r e s u l t s e i t h e r

( o t h e r t h a n b y P a r i s ) . O f c o u r s e , w e c a n a v o i d m e n t i o n i n g ( 5 ) a n d ( 6 ) b y j u s t r e q u i r i n g

t h a t S ( x ) = 1 ? x ( a s C o x ( 1 9 7 8 ) d o e s ) . H o w e v e r , t h i s m a k e s t h e r e s u l t l e s s c o m p e l l i n g .

A n u m b e r o f o t h e r v a r i a n t s o f C o x ' s T h e o r e m w h i c h a r e c o r r e c t a r e d i s c u s s e d i n ( H a l p e r n ,

1 9 9 9 , S e c t i o n 5 ) . L e t m e c o n c l u d e b y f o r m a l i z i n g t w o o f t h e m t h a t a p p l y t o n i t e d o m a i n s ,

b u t u s e P a r 5 ( o r s l i g h t v a r i a n t s o f i t ) , r a t h e r t h a n a s s u m i n g t h a t F m u s t b e a s s o c i a t i v e a n d

t h a t S m u s t s a t i s f y ( 5 ) a n d ( 6 ) f o r a l l p a i r s x ; y 2 0 ; 1 ] .

T h e r s t e s s e n t i a l l y a s s u m e s t h a t w e c a n e x t e n d a n y n i t e d o m a i n t o a n i n n i t e d o m a i n

b y a d d i n g a s u c i e n t l y m a n y \ i r r e l e v a n t " p r o p o s i t i o n s , s u c h a s t h e t o s s e s o f f a i r c o i n . A s

I o b s e r v e d i n ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) , t h i s t y p e o f e x t e n d a b i l i t y a r g u m e n t i s f a i r l y s t a n d a r d . F o r

e x a m p l e , i t i s m a d e b y S a v a g e ( 1 9 5 4 ) i n t h e c o u r s e o f j u s t i f y i n g o n e o f h i s a x i o m s f o r

p r e f e r e n c e . S n o w ( 1 9 9 8 ) e s s e n t i a l l y u s e s i t a s w e l l . F o r m a l l y , t h i s g i v e s u s t h e f o l l o w i n g

v a r i a n t o f C o x ' s T h e o r e m , w h o s e p r o o f i s a t r i v i a l v a r i a n t o f t h a t o f T h e o r e m 1 .

T h e o r e m 4 : G i v e n a f u n c t i o n B e l o n a d o m a i n W , s u p p o s e t h e r e e x i s t s a d o m a i n W

+

W

a n d a f u n c t i o n B e l

+

e x t e n d i n g B e l d e n e d o n a l l s u b s e t s o f W

+

s u c h t h a t A 1 a n d A 2 h o l d

f o r B e l

+

a n d a l l s u b s e t s U ; V ; V

0

o f W

+

a n d P a r 1 - 5 h o l d f o r B e l

+

. T h e n B e l

+

( a n d h e n c e

B e l ) i s i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

T h e p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h i s t h a t i t r e q u i r e s u s t o e x t e n d B e l t o e v e n t s w e w e r e n e v e r

i n t e r e s t e d i n c o n s i d e r i n g i n t h e r s t p l a c e , a n d t o d o s o i n a w a y t h a t i s g u a r a n t e e d t o

c o n t i n u e t o s a t i s f y P a r 1 - 5 .

T h e s e c o n d v a r i a n t a s s u m e s t h a t B e l i s d e n e d n o t j u s t o n o n e d o m a i n W , b u t o n a l l

d o m a i n s ( o r a t l e a s t , a l a r g e f a m i l y o f d o m a i n s ) ; t h e f u n c t i o n s F a n d S t h e n h a v e t o b e

u n i f o r m a c r o s s a l l d o m a i n s . M o r e p r e c i s e l y , w e w o u l d g e t t h e f o l l o w i n g .

5


6/7

T h e o r e m 5 : S u p p o s e w e h a v e a f u n c t i o n B e l d e n e d o n a l l d o m a i n s W i n s o m e s e t W o f

d o m a i n s , t h e r e e x i s t f u n c t i o n F a n d S s a t i s f y i n g A 1 a n d A 2 f o r a l l t h e d o m a i n s W 2 W ,

P a r 1 { 4 h o l d f o r t h e s e f u n c t i o n s F a n d S S , a n d t h e f o l l o w i n g v a r i a n t o f P a r 5 h o l d s :

P a r 5

0

. f o r a l l 0 ; ; 1 a n d > 0 , t h e r e e x i s t s W 2 W a n d s e t s U

1

; U

2

; U

3

; U

4

W

s u c h t h a t U

1

U

2

U

3

U

4

, U

3

6= ; , a n d e a c h o f j B e l ( U

4

j U

3

) ? j , j B e l ( U

3

j U

2

) ? j ,

a n d j B e l ( U

2

j U

1

) ? j i s l e s s t h a n .

T h e n B e l i s u n i f o r m l y i s o m o r p h i c t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e , i n t h a t t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n

g : I R ! I R s u c h t h a t f o r a l l W 2 W , w e h a v e t h a t g B e l i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n e a c h

W a n d f o r a l l U ; V W , w e h a v e

g ( B e l ( V j U ) ) g ( B e l ( U ) ) = g ( B e l ( V \ U ) ) i f U 6= ; .

T h e a d v a n t a g e o f t h i s f o r m u l a t i o n i s t h a t W c a n c o n s i s t o f o n l y n i t e d o m a i n s ; w e n e v e r

h a v e t o v e n t u r e i n t o t h e i n n i t e ( a l t h o u g h t h e n W w o u l d h a v e t o i n c l u d e i n n i t e l y m a n y

n i t e d o m a i n s ) . T h i s c o n c e p t i o n o f o n e f u n c t i o n B e l d e n e d u n i f o r m l y o v e r a f a m i l y o f

d o m a i n s s e e m s c o n s i s t e n t w i t h t h e p h i l o s o p h y o f b o t h C o x a n d J a y n e s ( s e e , i n p a r t i c u l a r ,

( 1 9 9 6 ) ) .

W h i l e t h e h y p o t h e s e s o f T h e o r e m s 4 a n d 5 m a y s e e m m o r e r e a s o n a b l e t h a n s o m e o t h e r s

( a t l e a s t , t o s o m e r e a d e r s ! ) , n o t t h a t t h e y s t i l l b o t h e s s e n t i a l l y r e q u i r e P a r 5 a n d , l i k e a l l

t h e o t h e r v a r i a n t s o f C o x ' s T h e o r e m t h a t I a m a w a r e o f , d i s a l l o w a n o t i o n o f b e l i e f t h a t h a s

o n l y n i t e l y m a n y g r a d a t i o n s . O n e c a n j u s t i f y a n o t i o n o f b e l i e f t h a t t a k e s o n a l l v a l u e s

i n 0 ; 1 ] b y c o n t i n u i t y c o n s i d e r a t i o n s ( a g a i n , a s s u m i n g t h a t o n e a c c e p t s a l i n e a r l y - o r d e r e d

n o t i o n o f b e l i e f ) , b u t i t i s s t i l l a n o n t r i v i a l r e q u i r e m e n t .

4

I w i l l s t o p a t t h i s p o i n t a n d l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o f r o m h i s o r h e r o w n b e l i e f s .

A c k n o w l e d g m e n t s

I ' d l i k e t o t h a n k P a u l S n o w f o r s o m e u s e f u l e m a i l e x c h a n g e s o n t h i s t o p i c ( a n d f o r p o i n t i n g

o u t t h a t C o x h a d i n f a c t r e a l i z e d t h e n e e d t o a s s u m e t h a t F w a s a s s o c i a t i v e f o r a l l ( x ; y ; z ) ) .

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N S F , u n d e r g r a n t I R I - 9 6 - 2 5 9 0 1 .

R e f e r e n c e s

A c z e l , J . , & D a r o c z y , Z . ( 1 9 7 5 ) . O n M e a s u r e s o f I n f o r m a t i o n a n d T h e i r C h a r a c t e r i z a t i o n s .

A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k .

C o x , R . ( 1 9 4 6 ) . P r o b a b i l i t y , f r e q u e n c y , a n d r e a s o n a b l e e x p e c t a t i o n . A m e r i c a n J o u r n a l o f

P h y s i c s , 1 4 ( 1 ) , 1 { 1 3 .

4 . S n o w ( 1 9 9 8 ) q u o t e s t h e c o n f e r e n c e v e r s i o n o f ( H a l p e r n , 1 9 9 9 ) ( w h i c h a p p e a r e d i n A A A I ' 9 6 , p p . 1 3 1 3 {

1 3 1 9 ) a s s a y i n g ` C o x ' s T h e o r e m \ d i s a l l o w s a n o t i o n o f b e l i e f t h a t t a k e s o n o n l y n i t e l y m a n y o r c o u n t a b l y

m a n y g r a d a t i o n s " , ' b u t w h a t I s a y d i s a l l o w s a n o t i o n o f b e l i e f i s n o t C o x ' s T h e o r e m , b u t t h e v i e w p o i n t

t h a t a s s u m e d t h a t B e l v a r i e s c o n t i n u o u s l y f r o m 0 t o 1 . I n f a c t , C o 5 i s c o m p a t i b l e w i t h a n o t i o n o f

b e l i e f t h a t t a k e s o n c o u n t a b l y m a n y ( a l t h o u g h n o t n i t e l y m a n y ) v a l u e s . ( E s s e n t i a l l y t h e s a m e s e n t e n c e

a p p e a r s i n t h e j o u r n a l v e r s i o n o f t h e p a p e r , w h e r e i t d o e s r e f e r t o C o x ' s T h e o r e m , b u t w i t h o u t t h e p h r a s e

\ o r c o u n t a b l y " . )

6


7/7

C o x , R . ( 1 9 7 8 ) . O f i n f e r e n c e a n d i n q u i r y : A n e s s a y i n i n d u c t i v e l o g i c . I n L e v i n e , R . D . ,

& T r i b u s , M . ( E d s . ) , T h e M a x i m u m E n t r o p y F o r m a l i s m , p p . 1 1 9 { 1 6 7 . M I T P r e s s ,

C a m b r i d g e , M a s s .

D u b o i s , D . , & P r a d e , H . ( 1 9 9 0 ) . T h e l o g i c a l v i e w o f c o n d i t i o n i n g a n d i t s a p p l i c a t i o n t o

p o s s i b i l i t y a n d e v i d e n c e t h e o r i e s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f A p p r o x i m a t e R e a s o n i n g ,

4 ( 1 ) , 2 3 { 4 6 .

H a l p e r n , J . Y . ( 1 9 9 9 ) . A c o u n t e r e x a m p l e t o t h e o r e m s o f C o x a n d F i n e . J o u r n a l o f A . I .

R e s e a r c h , 1 0 , 7 6 { 8 5 .

J a y n e s , E . T . ( 1 9 9 6 ) . P r o b a b i l i t y T h e o r y | T h e L o g i c o f S c i e n c e . U n p u b l i s h e d ; a v a i l a b l e a t

h t t p : / / b a y e s . w u s t l . e d u .

P a r i s , J . B . ( 1 9 9 4 ) . T h e U n c e r t a i n R e a s o n e r ' s C o m p a n i o n . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ,

C a m b r i d g e , U . K .

S a v a g e , L . J . ( 1 9 5 4 ) . F o u n d a t i o n s o f S t a t i s t i c s . J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k .

S n o w , P . ( 1 9 9 8 ) . O n t h e c o r r e c t n e s s a n d r e a s o n a b l e n e s s o f C o x ' s T h e o r e m f o r n i t e d o m a i n s .

C o m p u t a t i o n a l I n t e l l i g e n c e , 1 4 ( 3 ) , 4 5 2 { 4 5 9 .

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Cox Theorem Revisited