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Traitement du Signal

Gerard Scorletti

To cite this version:

Gerard Scorletti. Traitement du Signal. Ecole dingenieur. STI tc2 Traitement du Signal, EcoleCentrale de Lyon, 2011, pp.177.

HAL Id: cel-00673929

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Submitted on 24 Feb 2012 (v1), last revised 19 Jan 2013 (v3)

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Departement Electronique Electrotechnique AutomatiqueEquipe Automatique Traitement du Signal

Tronc Commun - UE STICours STI tc2 Traitement du signal

2011-2012

Unite dEnseignementScience et Technologie de lInformation

Traitement du signal

Version de lannee 2011-2012

Gerard ScorlettiDepartement EEA, bat H9

e-mail : [email protected]

2SIGNAL , n. m. (v. 1220) secrit aussi seignal au XIIIe s. (v. 1265) ; le mot, qui correspond a`lancien provencal sennal (1174), est un emprunt au bas latin signale signe, neutre substantivedu bas latin signalis qui sert de signe, derive du latin classique signum ( signe).

Le mot apparat en francais avec des sens particuliers : quillon dune epee, sceau aveclequel on signe un acte (v. 1260, seignau), et cest aussi le nom dune constellation (v. 1265).Il signifie aussi ce dont un proprietaire marque un animal, marque sur la peau (v. 1298),gros grain de chapelet (1328), etc. Dans tous ces emplois, signal designe des signes naturels ouconventionnels qui cosntituent ou donnent des informations ; aujourdhui, dans lusage courant,signal correspond a` un signe de nature conventionnelle, meme si pour les theoriciens, le signalpeut etre forme par un signe naturel. Le mot designe en particulier (1540) un signe convenufait pour indiquer le moment dagir, dou` la locution donner le signal (1798). Il sest dit (1690)dun moyen utilise pour porter au loin une information ; il designe (1718) le fait par lequel unprocessus commence et qui constitue un signe, un symptome de ce processus aujourdhui (XXes.) surtout dans les emplois didactiques, par exemple en psychanalyse, signal dangoisse.

Avec la valeur signe conventionnel, il semploie pour bouee flottante (qui marque la placedes filets) (1769), en marine dans Code international des signaux (1868), couramment ceux quire`glent la circulation (1875, dans les chemins de fer), puis dans les telecommunications (1933),en informatique (v. 1970). Cest un concept essentiel, a` linterieur de la notion theorique largede signal , concernant tous les canaux de communication (signaux visuels, acoustiques, olfactifs,surtout en ethiologie, chimiques).

Le ROBERT, Dictionnaire Historique de la Langue Francaise, sous la direction dAlain Rey,page 3504, Janvier 1999

Table des matie`res

1 Introduction 91.1 Le signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Limportance du signal dans nos societes contemporaines . . . . . . . . . . . . . 101.3 Les signaux utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Ou` trouver linformation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Remarques sur lutilisation de ce document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Modeliser et caracteriser un signal : Analyse en temps et en frequence 152.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Signaux modelises par des fonctions definies sur un intervalle [T

2, T

2] : series de Fourier 17

2.3 Signaux modelises par des fonctions periodiques : series de Fourier . . . . . . . 212.4 Signaux modelises pour des fonctions non periodiques : transformee de Fourier . 25

2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Definition de la transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.3 Proprietes de la transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.5 Un exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Limites de la modelisation des signaux par des fonctions . . . . . . . . . . . . . 322.6 Au-dela` des fonctions : les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.1 Definition des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 Operations de base sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.3 Transformee de Fourier dune distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.4 Transformee de Fourier de fonctions (au sens des distributions) . . . . . 44

2.7 Exemples danalyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.1 Caracterisation de laudition humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.2 Description de la bande VHF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8 Resolution dequations differentielles ou de la transformee de Fourier a` la transformee de Laplace 42.9 En resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10 Annexe du chapitre : un exemple de script Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Modeliser et caracteriser un syste`me : Convolution et filtrage 573.1 Un exemple introductif : la compression MP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1 Produit de convolution et syste`me de convolution . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 Produit de convolution et distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.3 Reponse harmonique dun syste`me de convolution a` une entree sinusodale 653.2.4 Produit de convolution et transformees de Fourier et de Laplace . . . . . 66

3

43.2.5 Syste`me de convolution et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . 673.2.6 Simulation dun syste`me de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Filtrage frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.1 Lideal peut-il etre atteint ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2 Filtres analogiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4 Filtrage ou fenetrage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Une remarque en guise de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6 Annexe du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.6.1 Un environnement evolue de simulation signaux et syste`mes : Simulink 913.6.2 Exemple de script Matlab pour le calcul de filtres . . . . . . . . . . . . 93

4 Autocorrelation et intercorrelation des signaux deterministes 954.1 Energie et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1.2 Intercorrelation et autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.1.3 Densites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2.1 Autocorrelation appliquee a` lextraction dinformation dun signal degrade 1004.2.2 Intercorrelation appliquee a` la mesure dun temps de propagation . . . . 102

4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 De lanalogique au numerique 1055.1 Modelisation dun signal discret par peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.1 Transformee de Fourier dun signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.2 Transformee en Z dun signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.3 Expression dun signal discret basee sur un peigne . . . . . . . . . . . . 108

5.2 De la transformee de Fourier dun signal echantillonne . . . . . . . . . . . . . . 1095.3 Theore`me de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1 Lenseignement de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.2 De lart de bien echantillonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3.3 De lart de reconstituer un signal continu a` partir du signal echantillonne 118

5.4 De la transformee de Fourier discre`te aux analyseurs de spectre numeriques . . . 1185.4.1 TFD pour le calcul du spectre de signaux a` support fini . . . . . . . . . . 1205.4.2 TFD pour le calcul du spectre de signaux periodiques . . . . . . . . . . . 1255.4.3 Principe de lanalyseur numerique de spectre . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5 En resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.6 Annexe du chapitre : exemples de scripts Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 Filtrage numerique 1356.1 Convolution discre`te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.1 Produit de convolution discret et syste`mes de convolution discrets . . . . 1356.1.2 Syste`me de convolution discret et fonction de transfert . . . . . . . . . . 137

6.2 Conception de filtres a` reponse impulsionnelle infinie . . . . . . . . . . . . . . . 1406.3 Conception de filtres a` reponse impulsionnelle finie . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3.1 Conception par la methode du fenetrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3.2 Conception par echantillonnage frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4 Une remarque en guise de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.5 Annexe du chapitre : exemples de script Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5.1 Conception de filtres RIIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

56.5.2 Conception de filtres RIFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Des signaux deterministes aux signaux aleatoires 1617.1 Energie et puissance pour les signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2 Signaux aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2.2 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2.3 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3 Modelisation dun signal par un filtre generateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.3.1 Filtre generateur par la methode de Yule-Walker . . . . . . . . . . . . . 1687.3.2 La methode de Yule-Walker comme solution dun proble`me doptimisation 1747.3.3 Une application des filtres generateurs : le codage LPC en traitement de la parole174

7.4 Annexe du chapitre : exemples de script Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Modalites pratiques de STI tc2

MERCI DE LIRE ATTENTIVEMENT LES MODALITES DE FONCTIONNEMENT DE LEN-SEIGNEMENT STI TC2 TRAITEMENT DE SIGNAL.

Seances de TD :1. Les differentes activites commencent a` lheure planifiee. En particulier, les respon-

sables de TD sont autorises a` ne pas accepter les ele`ves nayant pas la delicatesse derespecter lhoraire. Dans ce cas-la`, ils seront portes absents. Lenseignement de traite-ment du signal est suffisamment dense pour ne pas pouvoir se payer le luxe de perdredu temps. 8 minutes de retard sur 7 seances font environ une heure en moins !

2. Un corrige des exercices traites en TD sera disponible sur le serveur pedagogiquelorsque tous les groupes de TD auront traites le sujet. Il ny aura pas de corrige pourles travaux preparatoires.

Travail preparatoire :1. Le travail preparatoire dune seance de TD est prepare par tous les ele`ves du groupe et

presente par un (ou plusieurs) ele`ve(s) designe(s) par lencadrant de TD a` partir de laliste des ele`ves, le jour de la seance. Paralle`lement, une ou (plusieurs) copie(s) serontramassees pour evaluation. En cas de travail non effectue ou dabsence non justifieedun ele`ve designe, la note sera de 0.

2. Un des exercices du test final sera pris dans lensemble des exercices des travauxpreparatoires.

3. Les presentations doivent etre claires, precises et efficaces. Elles contribuent a` preparerles ele`ves a` la communication technique.

Le controle des connaissances de la competence Savoir se decompose en premie`re sessionen 3 parties.

1. Correction du travail preparatoire de TD (10% de la note totale).2. Microtest : il sagit dun test de 1h lors de la 4ie`me seance de cours dans lequel le sujet

sera resolu par binomes (10% de la note totale).3. Test terminal (80 % de la note totale). ATTENTION, les seuls documents autorises

sont des formulaires qui seront distribues en cours de semestre et une feuille de papierA4 ou` les ele`ves pourront ecrire un resume de cours1 Ils rendront cette feuille avecleur copie.

1Un resume de cours ne doit pas comprendre dele`ments des TDs.

7

8 Apre`s publication aupre`s des ele`ves de la note totale, deux seances de consultation de copiesseront organisees.

Les ele`ves qui desirent des precisions sur la note totale ou constatent des proble`mes au-ront un delai de 3 semaines apre`s la publication des notes par le Service de Scolarite pourcontacter le responsable du cours. Passe ce delai, aucun demande ne sera prise en compte.

A lissue de la seconde session, la note de Savoir sera constituee par la note de test de laseconde session.

Assiduite : conformement au re`glement de scolarite, la presence est obligatoire pour toutesles activites de STI tc2. Si cest une condition necessaire, elle nest cependant pas suffisantepour pleinement profiter de lenseignement de traitement du signal.

1. Toute absence doit etre justifiee aupre`s de ladministration.

2. Pour la seance de microtest, en plus de la justification aupre`s de ladministration,toute absence doit etre signalee par email aupre`s du responsable de cours. Si ces deuxdemarches sont effectuees, la note finale sera calculee avec un poids de 90 % pour letest final. Sinon, la re`gle generale sapplique avec une note de microtest de 0.

3. En cas dabsence non justifiee dun ele`ve designe a` partir de la liste des ele`ves dugroupe de TD pour presenter le travail preparatoire ou pour donner sa copie, la note detravail preparatoire sera de 0. En cas dabsence justifiee, la note finale de Savoir seracalculee avec un poids de 90 % pour le test final au lieu de 80 %.

4. En cas dabsence non justifiee en seance de TP de 4h, lele`ve ne pourra pas se presentera` la seance de BE de 2h et aura 0 pour note de Savoir Faire de STI tc2. En cas depresence dans la seance de TP de 4h et dabsence non justifiee dans la seance de BEde 2h, la note de Savoir Faire sera calculee en prenant 0 pour note de BE. En casdabsence justifiee en seance de TP de 4h, lele`ve pourra participer a` une autre seancea` condition quil nait aucune activite programmee sur ce creneau et que leffectif dugroupe le permette. Un ele`ve ne peut se presenter en seance de BE de 2H que sil aeffectue la seance de TP 4h. En fin de semestre, le responsable de lAF essaiera enfonction des possibilites du planning dorganiser une seance de rattrapage pour le TP4h et le BE 2h. En cas dimpossibilite et dabsence justifiee de lele`ve, lele`ve naurapas de note de Savoir Faire pour lAF.

Chapitre 1

Introduction

1.1 Le signalUn signal est une grandeur qui depend du temps t. Cette grandeur est souvent physique.

La grandeur dun signal peut etre de different type : Information : par exemple le son qui est une variation de la pression de lair, voir figure 1.1 ;

Cliquer pour ecouter

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

Alleluia du Messie de Haendel

FIG. 1.1 Alleluia

Energie : par exemple la tension du secteur ; Matie`re : par exemple un debit deau en un point dun canal dirrigation.

Les outils presentes ici concernent plus particulie`rement les signaux porteurs dinformation.

Les signaux sont ce qui permet a` lhomme de percevoir son environnement et dinteragir aveclui.

Detection Lhomme detecte les signaux de son environnement (sons, odeurs, images, etc..) gracea` ces capteurs (oreilles, nez, yeux, etc...).

Traitement Il les traite et les interpre`te (par exemple, il isole un son particulier).Generation Il est capable de generer des signaux.

9

10 CHAPITRE 1 INTRODUCTION

1.2 Limportance du signal dans nos societes contemporainesCest un lieu commun que daffirmer que notre societe contemporaine est la societe de linforma-tion. Linformation y est vehiculee par les signaux. Face a` la masse des signaux quil est necessairede traiter, souvent en temps reel, des syste`mes technologiques dune grande complexite ont envahinotre societe. En reponse aux enjeux de la societe actuelle, des methodes scientifiques puissantesont ete developpees pour gerer une telle complexite. La matrise de ces methodes devient de plusen plus incontournable dans la pratique de lingenieur quelque soit le domaine auquel il se destine.Lobjectif de cet enseignement est de donner des bases minimales prealables a` lacquisition et a` lamatrise de ces methodes.

Dans le traitement de linformation, il est necessaire de mesurer le signal, souvent a` laide de capteurs (metrologie) ; caracteriser et extraire le signal utile (traitement du signal) ; le transmettre par un codage adequat (traitement du signal).

Pour cela, le traitement du signal developpe des methodes basees sur la modelisation mathemati-que, ces methodes etant ensuite mises en uvre en general en electronique (numerique) du signal(realisation technologique).

1.3 Les signaux utiles

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

8

6

4

2

0

2

4

6

k

x k

FIG. 1.2 Signal discret

Une premie`re classification des signaux peut etre faite :

Signaux en temps continu ou en temps discret :

Un signal en temps continu (ou signal continu) x est defini a` chaque instant t appartenanta` un intervalle de R, ou` R est lensemble des nombres reels, ou a` R tout entier1. Un si-gnal continu est un mode`le de signal analogique. Un signal analogique correspond a` unegrandeur physique reelle qui evolue au cours du temps. Un exemple de signal analogiqueest represente figure 1.1. Leur etude est fondamentale pour lingenieur car les signaux

1On peut aussi definir le signal sur R auquel on a soustrait des ensembles de mesure nulle.

G. SCORLETTI VERSION PROVISOIRE DU 24 AOUT 2011 11

analogiques representent lessentiel des signaux du monde physique.

Un signal en temps discret (ou signal discret) x nest defini qua` certains instants tk soitun vecteur de valeurs reelles {x(t = tk)}. Le cas le plus important en pratique est celui ou`k, (tk+1 tk) = Constante = Ts. Le vecteur de valeurs2 se reecrit donc {x(kTs) = xk}.Un exemple de signal discret est presente figure 1.2.

Un signal echantillonne est un signal discret dont les valeurs {xk} sont issues (mesurees)dun signal continu3. Ts est alors appelee periode dechantillonnage. Un exemple de si-gnal echantillonne est presente figure 1.3.

Les signaux discrets sont le support de linformation qui est traitee par les syste`mestechnologiques bases sur lelectronique numerique, lexemple le plus evident etant lesordinateurs. Ils constituent lecrasante majorite des syste`mes technologiques complexesgerant de linformation. Leur formidable developpement ces dernie`res decennies a ouvertdimmenses possibilites a` exploiter. Ils sont devenus incontournables y compris dans dessyste`mes qui traditionnellement nutilisaient pas de technologies electroniques4. Letudedes signaux discrets est donc fondamentale pour lingenieur car ils representent lessen-tiel des signaux traites par les syste`mes complexes gerant linformation.

Signaux periodiques ou non. Nous allons voir dans le chapitre qui suit que les signaux conti-nus sinusodaux constituent une classe fondamentale de signaux periodiques.

Signaux deterministes ou aleatoires. Cette distinction sera abordee en fin de cours, dans lechapitre 7.

1.4 Plan du cours

Les 6 chapitres qui suivent correspondent chacun a` un cours. Le chapitre 2 presente la modelisa-tion et lanalyse spectrale des signaux continus (detection). Le chapitre 3 introduit une techniquede traitement importante des signaux analogiques : le filtrage frequentiel. Le chapitre 4 traitedes notions denergie et de puissance et de leur application pour lextraction dinformation dessignaux. Le chapitre 5 developpe la modelisation des signaux discrets et lechantillonnage des si-gnaux continus. Le chapitre 6 etend le filtrage frequentiel aux signaux discrets. Enfin le chapitre 7est une introduction aux signaux aleatoires avec comme application la generation de signaux.

2Bien que tre`s simple, la representation par un vecteur de valeurs reelles presente linconvenient majeur detre unobjet mathematique radicalement different des fonctions qui modelisent les signaux continus. Nous verrons dans lasuite quun autre objet mathematique est generalement utilise, plus complexe quun vecteur. Neanmoins, il presentelavantage formidable detre plus proche des fonctions : on peut ainsi batir un ensemble doutils communs aux signauxcontinus et discrets.

3Il sagit de loperation dechantillonnage. Dans un syste`me electronique, cette operation est realisee par unconvertisseur Analogique Numerique ou CAN.

4Un exemple frappant est lautomobile qui dun syste`me purement mecanique est devenu un syste`memecatronique, cest-a`-dire un syste`me qui fait massivement appel aux technologies a` la fois mecaniques etelectroniques. De fait, cest un syste`me qui ge`re de linformation.


x x *

FIG. 1.3 Signal echantillonne

1.5 Ou` trouver linformation ?[]KlA :11

1. Sur le serveur pedagogique, sont disponibles ce document ainsi que les transparents de coursau format electronique. On y trouve aussi un document de cours complementaire.

2. Dans les livres cites en reference de ce document, page 176. Un livre que le lecteur peut lireavec grand profit est [9].

3. Sur Internet. Par exemple, les page WEB suivantes sont chaudement recommandees :(a) Pour un cours detaille sur les differents points du traitement du signal abordes ici :

http ://www.greyc.unicaen.fr/ gbinet/COURS.html(b) Pour les applications java illustrant differents aspects du traitement du signal :

http ://patrick.furon.free.fr/ traitementsignal/ cours tns/ PlanCoursTNS.htm

Ces sources dinformation ont servi de base a` la redaction de ce document.

1.6 Remarques sur lutilisation de ce documentCe document contient de nombreuses notes de bas de page. Elles peuvent se regrouper en 3

categories : Rappels de definitions parfois tre`s elementaires : elles sont destinees aux ele`ves etrangers

qui ne connaissent pas tout le vocabulaire scientifique et technique en Francais. Approfondissement de certains points du cours : dune part, le traitement du signal est par

nature multidisciplinaire et dautre part le volume horaire limite de lenseignement ne per-met pas de developper les differents points ; certaines notes en bas de page presentent deselements pour aller plus loin ;

Connaissance culturelle du domaine, a` travers par exemple des bibliographies sommaires.A certaines figures sont associes des sons : pour que cette fonctionnalite soit active, il est necessairede telecharger en complement du fichier .pdf du document de cours, les fichiers dextension .wavassocies.


Les applications du traitement du signal sont extremement nombreuses et variees. Vouloiren faire une presentation exhaustive consommerait lensemble du volume horaire consacre a` cetenseignement en interdisant de presenter les fondements scientifiques et les methodes principalesdu traitement du signal, ce qui est lobjectif principal de lenseignement. Neanmoins, chaquepartie (avec les TDs associes) sera illustree par des applications :

Le chapitre 2 est illustre par la caracterisation de laudition humaine et de la bande VHF Le codage MP3 de part ses multiples facettes permet dillustrer les chapitres 3, 5 et 6. Le chapitre 3 est aussi illustre par la caracterisation de lacoustique de salles, le filtrage

audio, la caracterisation de canaux de communication, la generation de notes dans les ins-truments de musique et la modulation damplitude (en TD).

Le chapitre 4 est illustre par le calcul de distance pour positionner un objet. Le chapitre 5 est illustre par le calcul de spectre de signaux physiques a` partir dune acqui-

sition lors dune experience et par une methode de compression de signaux echantillonnesutilisee dans les CDs audios (en TD).

Le chapitre 7 est illustre par la generation de la parole appliquee a` la telephonie mobile.Pour plus de detail, le livre [7] detaille un certain nombre dapplications du Traitement du Signalen utilisant Matlab.

1.7 RemerciementsJe tiens a` remercier tous les lecteurs attentifs qui par leurs nombreuses et constructives re-

marques ont permis de fortement ameliorer la qualite de ce document ainsi que celle de tous lessupports de lenseignement Traitement du Signal, que ce soit sur le fond ou sur la forme5 plusparticulie`rement des etudiants de la promotion 2011, Ronan Perrussel, Paule Blanchart, etc...

5Ce netait pas une mince tache !

Chapitre 2

Modeliser et caracteriser un signal :Analyse en temps et en frequence

Pour pouvoir disposer doutils efficaces pour le traitement du signal, il est dabord necessairede modeliser (representer) un signal par un objet mathematique. Puisquun signal est une grandeurqui depend du temps, une idee naturelle est de le modeliser par une fonction du temps dont ledomaine de definition est R ou un intervalle de R.

Dans ce chapitre, nous allons voir comment il est possible de caracteriser un signal representepar une fonction du temps a` travers la notion de frequence. Ce qui est remarquable, cest quecette caracterisation va mettre en evidence que meme si la representation des signaux par desfonctions est naturelle, elle admet de serieuses limitations. Afin daller au-dela`, une classe dobjetsmathematiques generalisant les fonctions sera introduite : les distributions.

Ce chapitre est consacre aux signaux continus. Nous verrons dans le chapitre 5 consacre auxsignaux discrets que pour cette classe de signaux (hegemoniques dans les syste`mes technologiquesactuels) la modelisation par les distributions est incontournable.

2.1 IntroductionLa notion de frequence est intimement liee a` une classe de signaux particuliers qui sont les

signaux modelisables par des fonctions sinusodales, cest-a`-dire les fonctions de la forme :

A sin

(2

t

T+

)Ces classes de signaux occupent une place importante dans la perception du son par lhomme.Letre humain est en effet sensible a`

la frequence 1T

qui correspond a` la notion de grave et daigu, voir le tableau de figures 2.1 ; lamplitude A qui correspond a` la notion de puissance, voir le tableau de figures 2.2.Il est aussi bien connu quun son constitue a` partir dune combinaison de fonctions sinusodales

bien choisies peut produire des sons agreables a` ecouter. Un exemple est presente tableau 2.1.

Au-dela` detre qualitativement interessant, les signaux sinusodaux presentent un interet beau-coup plus fondamental. Ils permettent une description mathematique precise de larges classes designaux. Nous allons expliciter ce que cela signifie dans ce chapitre.

15

16 CHAPITRE 2 ANALYSE EN TEMPS ET EN FREQUENCE

Cliquer pour ecoutery(t) = 0.6 sin(2600t)

0 1 2 3 4 5 6x 103

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0.6s

in(2pi

60

0t)


0 1 2 3 4 5 6x 103

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0.6s

in(2pi

10

00t)


0 1 2 3 4 5 6x 103

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0.6s

in(2pi

2000

t)

TAB. 2.1 Sons associes a` des fonctions sinusodales de differentes frequences


0 1 2 3 4 5 6x 103

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0.2

sin(2pi

60

0 t)


0 1 2 3 4 5 6x 103

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

0.6s

in(2pi

60

0t)

TAB. 2.2 Sons associes a` des fonctions sinusodales de differentes amplitudes

Cliquer pour ecoutery(t) = 0.3 (sin(2.440.t) + sin(2.554.t) + sin(2.659.t))

0 50 100 150 200 2501

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

0.3(s

in(2pi

.44

0.t)+

sin(2pi

.55

4.t)+

sin(2pi

.65

9.t))

Son agrable

FIG. 2.1 Un son agreable


Plan du chapitre En partant du principe quun signal est une fonction, la description de fonc-tions definies sur un intervalle par des fonctions sinusodales est presentee dans la section 2.2.Cette description est etendue aux fonctions periodiques dans la section 2.3. Dans la section 2.4,cette description est etendue a` une classe generale de fonctions non periodiques. Neanmoins, bienque generale, cette classe ne contient pas des fonctions representant des signaux elementairesutiles. Si on elargit la classe afin de les contenir, la section 2.5 illustre quun proble`me mathemati-que fondamental apparat. La notion de distribution introduite dans la section 2.6 offre une solutionelegante avec pour benefice de definir une description par fonctions sinusodales pour une classede signaux suffisamment riche pour nos objectifs pratiques.

2.2 Signaux modelises par des fonctions definies sur un inter-valle [T2 , T2 ] : series de Fourier

Soit L2([T2 , T2 ]) lespace des fonctions f reelles definies sur [T2 , T2 ] telles que T2

T2

f(t)2dt =

T2

T2

f(t)g(t)dt

et la norme associee par :

f2 = T2

T2

f(t)2dt

Cette norme est appelee norme L2. La norme f2 sinterpre`te comme la racine carree de lenergiede f . Avec ce produit scalaire, une base orthonormale {em}mZ de L2([T2 , T2 ]) est definie par :

em =

2Tcos

(2m t

T

)si m < 0

1T

si m = 02Tsin(2m t

T

)si m > 0

Par suite, toute fonction f de L2([T2 , T2 ]) peut secrire1 :

f =

m=< f, em > em.

Dapre`s le tableau 2.3, il existe alors des reels a0, an et bn presente dans le tableau 2.4 tels que2 :

1Sur la signification de cette egalite, voir la Remarque importante page 20.


em1T

2Tcos

(2m t

T

) 2Tsin(2m t

T

)

< f, em >1T

T2

T2

f(t)dt

2

T

T2

T2

f(t) cos

(2m

t

T

)dt

2

T

T2

T2

f(t) sin

(2m

t

T

)dt

TAB. 2.3 Coordonnees de f dans la base {em}mZ

a0 an bn

1

T

T2

T2

f(t)dt2

T

T2

T2

f(t) cos

(2n

t

T

)dt

2

T

T2

T2

f(t) sin

(2n

t

T

)dt

TAB. 2.4 Coefficients an et bn

t [T

2,T

2

], f(t) = a0 +

n=1

(an cos

(2n

t

T

)+ bn sin

(2n

t

T

)). (2.1)

Exemple 1 La fonction f dont la courbe representative est presentee figure 2.2 admet la decompositionen serie de Fourier suivante :

t [1, 1] , f(t) = cos(2

t

T

)+ 4 sin

(2

t

T

)+ 4 cos

(22

t

T

).

Exemple 2 La figure 2.3 represente la courbe caracteristique de la fonction f definie par ladecomposition en serie de Fourier suivante, avec T = 2 :

t [1, 1] , f(t) = 1.3959 + 92.108 cos (2 tT

)+ 1.9081 cos

(22 t

T

)+

+ 10.545 cos (23 tT

)+ 2.7034 cos

(24 t

T

)+ 3.5953 cos

(25 t

T

)+

+ 2.7778 cos (26 tT

)+ 1.9838 cos

(27 t

T

)+ 2.4283 cos

(28 t

T

)(2.2)

On constate quen sommant quelques courbes sinusodales, une forme tre`s eloignee dune courbesinusodale peut etre obtenue.

En utilisant la formule dEuler3, la decomposition en serie de Fourier dune fonction peut se2Une autre ecriture de legalite (2.1) est :

t [T

2,T

2

], f(t) = a0 +

n=1

n sin

(2n

t

T+ n

)Le terme de la somme correspondant a` n = 1, cest-a`-dire sin

(2 t

T+ 1

), est traditionnellement appele fondamen-

tal ; les termes de la somme correspondant a` n > 1, cest-a`-dire sin(2n t

T+ n

), sont traditionnellement appeles

harmoniques.3eix = cos(x) + i sin(x) ou` i represente limaginaire pur : i2 = 1.


1 0.5 0 0.5 110

8

6

4

2

0

2

4

6

t

cos(2pi/Tt)4sin(2pi/Tt)4cos(2pi/T2t)f(t)

FIG. 2.2 Representation de la fonction f par sa decomposition en serie de Fourier

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1100

50

0

50

100

150

t

FIG. 2.3 Representation de la courbe caracteristique de la fonction f definie par (2.2)


re-exprimer par :

t [T

2,T

2

], f(t) =

n=

cne2i n

Tt (2.3)

avec4

cn =1

T

T2

T2

f(t)e2in

Ttdt. (2.4)

Lequation (2.3) est appelee la decomposition en serie de Fourier (complexe) de la fonction fsur lintervalle

[T2, T

2

].

Remarque Dans le cas ou` la fonction f est1. reelle : les coefficients cn sont tels que cn = cn : |cn| = |cn et arg(cn) = arg(cn) ;2. paire5 : les coefficients cn sont reels ;3. impaire6, les coefficients cn sont imaginaires purs.

Remarque importante Legalite (2.3), ainsi que les egalites precedentes telles que (2.1), doiventse comprendre en realite comme la convergence de la serie :

SN(t) =N

n=Ncne

2i nTt

vers la fonction f au sens de la norme definie sur L2([T2 , T2 ]) :

limN

SN f2 = 0

(convergence en moyenne quadratique). Cela ne signifie pas forcement que pour tout t [T2, T

2

],

limN

SN(t) = f(t)

(convergence point par point ou ponctuelle). La convergence en moyenne quadratique nimpliquela convergence ponctuelle que pour des classes particulie`res de fonctions f . Une classe particulie`reest celle des fonctions continues et derivables et dont la derivee est continue (classe C1). Pour plusde details, voir [12, 8].

Egalite de Parseval A partir des coefficients cn, lenergie de la fonction f peut etre determinee : T2

T2

f(t)2dt = T

n=|cn|2.

4cn =anibn

2 et an = 2Re(cn), bn = 2Im(cn). Faire attention que, contrairement a` la somme (2.1), dans lasomme (2.3), n prend des valeurs negatives.

5f(t) = f(t).6f(t) = f(t).


2.3 Signaux modelises par des fonctions periodiques : series deFourier

On conside`re le cas dune fonction periodique7 reelle de periode T fp definie surR et telle que T2

T2

fp(t)2dt 1 frequence harmonique. Puisque n est un entier relatif, dans lexpressionci-dessus, la frequence peut etre negative dans le cas ou` n est negatif.

Ce qui est remarquable dans lequation (2.5), cest quelle met en evidence que les coeffi-cients de la decomposition en serie de Fourier cn caracterisent exactement8 la fonction fp. Ilsconstituent ainsi un mode de representation de fp appele spectre de fp.

Cest pour cela quil est commode de les representer graphiquement. Dans le cas ou` les coef-ficients cn sont reels, ils sont representes en fonction de ; sinon on represente |cn| en fonction de et arg(cn) en fonction de sur deux figures separees.

Exemple 1 Soit la fonction periodique fp definie par :

fp(t) = sin

(2

1

Tt

)=e2i

1Tt e2i 1T t2i

.

Par identification, on a c1 = i2 , c1 = i2 et cn = 0 pour n 6= 1 et n 6= 1. On obtient alors larepresentation presentee figure 2.4.

Exemple 2 A partir de la fonction rect, fonction rectangle definie par :t [1

2, 1

2] rect(t) = 1

sinon rect(t) = 0


1 /T 0 1/T 0.5

0

0.5

1

1.5

1/T 0 1/T

0

|cn|

arg(cn)pi/2

pi/2

radians

FIG. 2.4 Representation des coefficients cn de la serie de Fourier

1 0.5 0 0.5 10.5

0

0.5

1

1.5

t

rect

(t)

FIG. 2.5 Courbe caracteristique de la fonction rect


et dont la courbe caracteristique est representee figure 2.5, on peut definir la fonction periodiquede periode T fp par :

t [T

2,T

2

], fp(t) = rect

(t

T0

)avec 0 < T0 < T , voir la courbe caracteristique representee figure 2.6. Par application de (2.6),

3 2 1 0 1 2 30.5

0

0.5

1

1.5

t

f p(t)

T

T0

FIG. 2.6 Courbe caracteristique de la fonction periodique fp

on peut alors etablir que

cn =T0T

sinc

(nT0T

)avec sinc la fonction sinus cardinal definie par9

sinc(x) =sin(x)

x.

La courbe caracteristique de cette fonction est representee figure 2.7. On notera que : sinc(0) = 1 ; Pour tout entier relatif non nul n, sinc(n) = 0.

Les coefficients cn sont ici reels. Avec T = 2T0, on a la representation associee figure 2.8 ou`la courbe en trait continu fin est la courbe caracteristique de la fonction sinus cardinal.

Examinons ce que donne le somme des 2N + 1 premiers termes de la decomposition en seriede Fourier ainsi obtenue :

SN(t) =N

n=Ncne

2i nTt

pour N = 1, N = 3, N = 5 et pour N = 144, voir figure 2.9. On constate quau plus N est7fp(t+ T ) = fp(t)8Dans le sens presente dans la Remarque importante presentee page 20.9Si vous avez deja` croise la fonction sinus cardinal, la definition que vous avez eu a peut-etre ete differente.

Normal, il existe deux definitions de la fonction sinc lege`rement differentes. Pour ce qui est de cet enseignement deTraitement de Signal, seule la definition presentee dans cette page est consideree comme valable.


5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

sinc

(x)

FIG. 2.7 Courbe caracteristique de la fonction sinus cardinal

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

c n

c0

c1

c2

c4

c3

c6

c5 c8

c7c9

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

1/T

T0/T

FIG. 2.8 Coefficients de la serie de Fourier de la fonction periodique associee a` la fonction rect


3 2 1 0 1 2 30.5

0

0.5

1

1.5

t

N=1N=3N=5

3 2 1 0 1 2 30.5

0

0.5

1

1.5

t

N = 144

FIG. 2.9 Somme des N premiers termes de la decomposition en serie de Fourier avec N = 1,N = 3 et N = 5 (haut) et N = 144 (bas)

important, au plus on se rapproche de la fonction periodique fp sauf pour les valeurs de t quicorrespondent aux discontinuites de la courbe caracteristique de fp. Lexplication se trouve dansla remarque importante page 20 : dans lexemple considere ici la convergence nest pas ponctuellemais en moyenne quadratique.

2.4 Signaux modelises pour des fonctions non periodiques :transformee de Fourier

2.4.1 IntroductionLobjectif est de rechercher une decomposition du type serie de Fourier mais dans le cas

dune fonction non periodique f appartenant a` L1(R) L2(R), cest-a`-dire telle que : +

|f(t)|dt


0 0.5

0

0.5

1

f(t)

0 0.5

0

0.5

1

f Tm

(t)

0 0.5

0

0.5

1

t

f T(t)

T

T

FIG. 2.10 Fonction fT obtenue a` partir de f


pour T tendant vers linfini, voir figure 2.10. Puisque cette fonction fT admet une decompositionen serie de Fourier, comment celle-ci evolue-t-elle quand T tend vers linfini ?

On revient sur lexemple de la fonction presentee dans lexemple 2 page 21 avec T0 fixe : t R, f(t) = rect

(tT0

). Lexplication qui suit est avec les mains. La fonction fT etant periodique

et de carre integrable sur une periode, elle admet dapre`s la section 2.3 une decomposition en seriede Fourier :

t R, fT (t) =

n=cne

2i nTt (2.7)

avec

cn =1

T

T2

T2

fT (t)e2i n

Ttdt.

La decomposition en serie de Fourier fait intervenir lensemble des frequences :{nT

}nZ ou`

1T

estla frequence fondamentale. Evidement on peut ecrire legalite (2.7) simplement pour lintervalle[T

2, T

2

]et comme les fonctions f et fT concide sur cet intervalle, on a alors :

t [T

2,T

2

], f(t) =

n=

cne2i n

Tt

avec

cn =1

T

T2

T2

f(t)e2in

Ttdt.

Notons que cn est une fonction de nT .

Quand T tend vers +, lensemble discret de points { nT

}nZ se transforme en un ensemble

continu de points {}R :

{nT

}nZ {}R.

Par suite, la variable nT

est remplacee par la variable continue et la courbe Tcn fonction de nTse transforme en une courbe continue fonction de . La figure 2.11 represente les coefficients dela decomposition en serie de Fourier11 multiplies par T . En prenant successivement T = 2T0,T = 4T0, T = 8T0 et T = 16T0, on obtient les representations associees figure 2.11. Lecart entredeux points successifs etant de 1/T , celui-ci tend vers 0 quand T tend vers +.

Donc, quand T tend vers +,

{Tcn}nZ { +

f(t)e2itdt

}R

ce dernier ensemble definissant une fonction notee F . Enfin,

n=

1

TTcne

2i nTt

+

F ()e2itd

donc, on a :

f(t) =

+

F ()e2itd.

11qui ont le bon gout detre reels dans cet exemple : ce nest evidemment pas toujours le cas.


5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tcn

Tcn

T=2T0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

c n

Tcn

T=4T0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

c n

Tcn

T=8T0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

c n

Tcn

T=16T0

FIG. 2.11 {Tcn}nZ pour T = 2T0, T = 4T0, T = 8T0 et T = 16T0

2.4.2 Definition de la transformee de FourierDefinition 2.4.1 La fonction F telle que

R, F () = +

f(t)e2itdt (2.8)

est appelee transformee de Fourier de f et est notee F [f ]. On definit la transformee de Fourierinverse, notee F1[F ], par

t R, f(t) = +

F ()e2itd.

Notation : f(t) F () = F [f ]().On appelle transformation de Fourier lapplication qui a` une fonction associe sa transformee

de Fourier (si elle existe).

Remarque La transformee de Fourier et la transformee de Fourier inverse sont tre`s prochespuisque leur definition implique que12 :

F1[F ] = F [F ]. (2.9)On a le resultat suivant qui necessite la definition de lensemble L1(R) : cest lensemble desfonctions f de R dans R telles que : +

|f(t)|dt


Theore`me 2.4.1 Si f est une fonction13 de L1(R) alors la fonction F existe, est continue et F ()tend vers 0 quand || .

Exemple Avec T0 > 0, la fonction f definie sur R par :

f(t) = rect

(t

T0

)appartient a` L1(R).

Notation Dans la suite du document, afin dalleger les notations, on pourra designer la fonc-tion f par son expression dans laquelle la variable a ete remplacee par , ce qui donne dans cetexemple :

rect

( T0

).

Il sagit ici de bien faire la difference entre la fonction f et sa valeur f(t) pour la variable t.

Exemple (suite) Dapre`s le theore`me 2.4.1, cette fonction admet une transformee de Fourier. Deplus, par application directe de (2.8), on etablit que sa transformee de Fourier sexprime a` laidede la fonction sinus cardinal :

F[rect

( T0

)]() = T0. sinc(T0)

voir figure 2.12.

TEMPS FR EQUENCE

0 0.5

0

0.5

1

1.5

t

rect

(t/T0)

T0

T0/2T0/2 2/To1/To 0 1/To2 /To0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T 0si

nc(T 0

)

T0

FIG. 2.12 Fonction rectangle et sa transformee de Fourier

13Lextension de la transformee de Fourier aux fonctions de L2(R) peut se faire au sens des distributions car unefonction de L2(R) definit une distribution (temperee), voir la section 2.6.


Remarque Meme si dans lexemple precedent la fonction F est une fonction reelle, en general,elle est complexe. On represente graphiquement son module |F ()| en fonction de et son argu-ment arg(F ()) en fonction de . On parle de representation spectrale.

2.4.3 Proprietes de la transformee de FourierDans ce qui suit, a R, b R, f et g sont deux fonctions de L1(R). F () represente F [f ]().

2.4.3.1 Linearite

F [af + bg] = aF [f ] + bF [g]

2.4.3.2 Symetrie et conjugaison complexe

R, F[f()

]() = F ()

R, F [f()]() = F ()

2.4.3.3 Changement dechelle

R, F [f(a)]() = 1|a|F(a

)

2.4.3.4 Translation temporelle

R, F [f( t0)]() = e2it0F ()

2.4.3.5 Modulation

R, F [e2i0f()]() = F ( 0)

2.4.3.6 Transformee de Fourier de la derivee dune fonction

La fonction f est ici supposee derivable avec sa derivee14 f L1(R).

R, F [f ]() = 2iF ()

Cette relation se generalise a` lordre n :

R, F [f (n)]() = (2i)n F ()14La formule qui suit peut se calculer en faisant une integration par partie a` partie de lexpression (2.8) de la

transformee de Fourier.


2.4.3.7 Consequences

1. La partie reelle de la transformee de Fourier dune fonction reelle est paire et la partieimaginaire est impaire.

2. Le module de la transformee de Fourier dune fonction reelle est pair et son argument estimpair.

3. La transformee de Fourier dune fonction reelle et paire est reelle et paire.4. La transformee de Fourier dune fonction reelle et impaire est imaginaire et impaire.

2.4.4 EnergieUne fonction f de L2(R) est dite a` energie finie. Lenergie est dailleurs definie par

f(t)2dt

soit f22. Si de plus f appartient a` L1(R) alors elle admet une transformee de Fourier F . Peut-onevaluer lenergie de f a` partir de sa transformee de Fourier F ? On a le theore`me suivant.

Theore`me 2.4.2 (Parseval Plancherel) Soit f L1(R) L2(R). Alors

f(t)2dt =

|F ()|2d.

Lenergie peut donc aussi se calculer a` partir de lexpression de sa transformee de Fourier F danslespace des frequences. |F ()|2 est appelee densite spectrale denergie.

2.4.5 Un exemple illustratif

FIG. 2.13 Tourne-disque Teppaz http ://www.alienor.org/ARTICLES/scooters/image tourne-disque.htm

Soit un enregistrement sonore qui a ete enregistre sur un disque vinyle a` 45 tours par minutes.Ce signal est restitue en lisant le disque sur un tourne-disque avec une vitesse de 33 tours parminutes. Quelle est la relation entre le spectre du signal restitue par rapport au spectre du signalenregistre ?


Soit x le signal enregistre et x le signal restitue. Alors le signal restitue sexprime par x =x(a) avec a = 33

45. Il sagit donc dun changement dechelle temporelle. Par suite,

R, F [x] = F [x(a)]

Dapre`s la propriete de Changement dechelle :

R, F [x(a)]() = 1|a|F [x](a

)Par suite,

R, F [x]() = 4533F [x]

(45

33

)Le signal restitue sera donc plus grave que le signal enregistre.

Le signal restitue sera dautre part plus fort dans le sens ou` lenergie du signal sera plusimportante. En effet, dapre`s le theore`me de Parseval : +

x(t)2dt =

+=

|X()|2d =(45

33

)2 +=

X (4533)2 d.

En faisant le changement de variable = 4533, on obtient +

x(t)2dt =

(45

33

) +=

|X ()|2 d.

Dapre`s le theore`me de Parseval, on aura alors : +

x(t)2dt =

(45

33

) +

x(t)2dt,

Dou` la conclusion.

2.5 Limites de la modelisation des signaux par des fonctionsCertaines fonctions tre`s simples et potentiellement tre`s utiles nappartiennent pas a` lensemble

L1(R) (ni a` lensemble L2(R)). Un exemple simple est la fonction f definie par t R, f(t) = 1.Quelle pourrait etre la transformee de Fourier pour certaines de ces fonctions, si elle existe ? Onva examiner le cas de cette fonction f .

Exemple La fonction t R, f(t) = 1 peut etre interpretee comme la limite dune sequencede fonctions fT0 definies par fT0(t) = rect(t/T0), quand T0 tend vers . Pour une valeur de T0donnee, la transformee de Fourier de la fonction fT0 est representee figure 2.12. La figure 2.14represente la deformation du trace de la transformee de Fourier pour des valeurs croissantes deT0. Supposons que la transformee de Fourier fT0 converge vers une fonction quand T0 tend verslinfini. Cette fonction que lon va noter serait alors telle que

1. 6= 0, () = 02. (0) = +


1/To 1/To

0

T_0

T 0si

nc(T 0

)

T0

T0 T0

T0

5 0 50

5

10

15

20

25

30

T 0si

nc(T 0

)

T0=2

5 0 50

5

10

15

20

25

30

T 0si

nc(T 0

)

T0=4

5 0 50

5

10

15

20

25

30

T 0si

nc(T 0

)

T0=8

5 0 50

5

10

15

20

25

30

T 0si

nc(T 0

)

T0=16

5 0 50

5

10

15

20

25

30

T 0si

nc(T 0

)

T0=32

FIG. 2.14 Fonction rectangle et sa transformee de Fourier


De plus, puisquon peut demontrer que +

T0. sinc(T0)d = 1

si la fonction existe alors elle verifie probablement la propriete : +

()d = 1.

Cette integrale montre quen fait ne peut pas etre une fonction. En effet, lintegrale dune fonc-tion nulle presque partout ( 6= 0, () = 0) ne peut valoir que 0 et ici elle vaut 1 ! ! ! Donc on estface a` une absurdite si on fait lhypothe`se que est une fonction. est donc un objet mathematiqueetrange a` definir, ca ressemble a` une fonction mais ce nest pas une fonction...

La morale de cet exemple est quil existerait certaines fonctions interessantes nappartenantpas a` L1(R) (ni a` L2(R)) telles que si la transformee de Fourier existe alors cest un objetmathematique (a` definir) qui nest pas une fonction. Si ce nest pas une fonction, quel est donc cetetrange objet ? ? ?

Exemple On va essayer dimaginer ce que pourrait etre la transformee de Fourier inverse de lafonction definie par , F () = 1, si elle existe. Il semble possible de definir la fonction F () = 1comme la limite des fonctions :

FT0() = sinc(T0)

quand T0 tends vers 0, voir la courbe caracteristique de la fonction FT0 , figure 2.15. Comme on la

1/To 1/To

0

1

sinc

(T 0)

1

T0 0T0 0

FIG. 2.15 Courbe caracteristique de la fonction FT0

vu precedemment, la transformee de Fourier inverse est donnee par :

fT0(t) =1

T0rect

(t

T0

)dont la courbe caracteristique est representee figure 2.16. Il semble que quand T0 tend vers 0, fT0tende vers letrange objet introduit precedemment... Cet exemple met en evidence que cet objet semble avoir une autre propriete interessante.


T/2 0 T/2

0

1/T_0

t

1/T 0

rect

(t/T0)

T0

1/T0

T0 0T0 0

T0 0

FIG. 2.16 Courbe caracteristique de la fonction fT0(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t0

x(t0)

T0

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t0

x(t0)

T0

FIG. 2.17 Fonctions x (gauche) et rect(( t0)/T0)x (droite)

Avec x une fonction continue et localement integrable, on a

x(t0) = limT00

1

T0

t0+T0/2t0T0/2

x(t)dt (2.10)

ce qui se reecrit :

x(t0) = limT00

+

1

T0rect((t t0)/T0)x(t)dt

=

+

limT00

1

T0rect((t t0)/T0)x(t)dt

voir figure 2.17.Dapre`s ce qui prece`de, on aurait donc la propriete :

x(t0) =

+

(t t0)x(t)dt. (2.11)


2.6 Au-dela` des fonctions : les distributionsEn realite, est une distribution. Nous allons voir que les distributions sont des objets mathema-

tiques qui generalisent les fonctions. Pour plus dinformations sur les distributions, se reporter,par exemple, aux references [12, 8, 5, 6]. La theorie des distributions est due a` Laurent Schwartz,voir figure 2.18. Pour les besoins du Traitement de Signal, apre`s avoir defini les distributions, lesoperations de base effectuees sur les fonctions puis la Transformation de Fourier sont generaliseesaux distributions.

2.6.1 Definition des distributionsDefinition 2.6.1 Une fonction test deR dans C est une fonction nulle en dehors dun intervalleborne et indefiniment derivable. On note D lensemble des fonctions tests.

Les proprietes reclamees pour les fonctions tests sont si fortes quon peut se demander si lesfonctions tests existent15.

Exemple Les fonctions tests existent, jen ai rencontree une :{t ] 1, 1[ (t) = exp

(t2

t21

)t 1 et t 1 (t) = 0

voir figure 2.19. On peut demontrer que cette fonction est indefiniment derivable.

Definition 2.6.2 (Distribution) Une distribution T est une application lineaire continue de Ddans C. Notation

T : D C 7 < T, >

Exemple Etant donne a R, lapplication qui a` associe (a) est une distribution appeleeimpulsion de Dirac.

A travers la notion de distribution regulie`re, les distributions apparaissent en realite commeune generalisation des fonctions.

Definition 2.6.3 (Distribution regulie`re) Une distribution T est regulie`re sil existe une fonctionx localement integrable telle que

< T, >=

+

x(t)(t)dt. (2.12)

Une distribution T est dite singulie`re sil nexiste pas de fonction x telle que (2.12).15Dans ce qui suit, aussi curieux que cela puisse paratre, on peut se rendre compte que ce qui est important cest

de savoir que les fonctions tests existent et non de les determiner explicitement.


FIG. 2.18 Extrait de Laurent Schwartz, Generalisation de la notion de fonction, de derivation,de transformation de Fourier et applications mathematiques et physiques, Annales de lUniversitede Grenoble, Tome 21 (1945), p.57-74


2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 20.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

exp

(t2/(t2

1))

Courbe caractristique dune fonction test

FIG. 2.19 Courbe caracteristique dune fonction test

Remarque Si lobjet introduit dans lexemple page 32 etait une fonction alors dapre`s la rela-tion (2.11) : +

(t a)(t)dt = (a).

La distribution regulie`re associee a` (t a) est telle qua` une fonction test on associe la valeur(a) : on retrouve limpulsion de Dirac ! Il apparat quen realite (t a) est une distributionqui est singulie`re puisque nest pas une fonction. Dans ce qui suit, on notera a la distributionqui a` la fonction test associe la valeur (a). La distribution 0 est notee par . On associea` a la representation graphique presentee figure 2.20, gauche. Si est un reel alors a est la

0 a 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Reprsentaion graphique de

a

0 a

0

Reprsentaion graphique de a

FIG. 2.20 Representation graphique de a et de a

distribution qui a` la fonction test associe la valeur .(a) avec la representation graphique


presentee figure 2.20, droite.

Remarque Une suite de distributions regulie`res peut converger vers une distribution qui estsingulie`re ; un exemple peut etre obtenu a` partir de lexemple page 34.

Remarque Par un abus de notation et afin de limiter le nombre de notations manipulees, pour ladistribution regulie`re associee a` une fonction, on utilise souvent la meme notation pour designerla distribution regulie`re et la fonction associee.

2.6.2 Operations de base sur les distributionsLes operations de base sont maintenant generalisees des fonctions aux distributions. Elles sont

definies de telle facon a` ce que quand elles sont appliquees a` une distribution regulie`re, cest-a`-dire une distribution associee a` une fonction x, on obtienne la distribution regulie`re associee a` lafonction resultat de loperation effectuee sur x.

Translatee dune distribution T par la constante a La translatee dune distribution T par laconstante a est la distribution notee aT definie par :

D, < aT, >=< T, (+ a) >La justification vient des distributions regulie`res : il faut que quand on applique la definition dela translatee a` une distribution regulie`re associee a` une fonction x, on obtienne la distributionregulie`re associee a` la translatee de la fonction x. Soit la distribution regulie`re T associee a` lafonction x. Alors la translatee dune distribution T par la constante a doit correspondre a` la distri-bution regulie`re associee a` la fonction x( a). En utilisant la meme notation pour la distributionet sa fonction :

D, < x( a), >= +

x(t a)(t)dt

ce qui donne avec le changement de variable t = t a :

D, < x( a), >= +

x(t)(t+ a)dt =< T, (+ a) >

ce qui est coherent avec la definition de la translatee dune distribution.

Changement dechelle de constante a dune distribution T On appelle changement dechellede constante a de la distribution T la distribution note echaT et definie par

D, < echaT, >= 1|a| < T, (a

)>

La justification vient ici encore des distributions regulie`res : il faut que quand on applique ladefinition du changement dechelle a` une distribution regulie`re associee a` une fonction x, on ob-tienne la distribution regulie`re associee a` la fonction obtenue a` partir de la fonction x apre`s chan-gement dechelle. Soit la distribution regulie`re T associee a` la fonction x. Alors le changementdechelle de constante a dune distribution T par la constante a doit correspondre a` la distributionregulie`re associee a` la fonction x(a). Or

D, < x(a), >= +

x(at)(t)dt =1

|a| +

x(t)

(t

a

)dt =

1

|a| < T, (a

)>


ce qui donne avec le changement de variable t = at :

D, < x(a), >= 1|a| +

x(t)

(t

a

)dt =

1

|a| < T, (a

)>

ce qui est coherent avec la definition du changement dechelle dune distribution.

Exemple Determinons le changement dechelle dune impulsion de Dirac. Par application de ladefinition :

< echa0 , >=1

|a| < 0 , (a

)>=

1

|a|(0a

).

Cette dernie`re quantite peut sinterpreter comme le resultat de limage de la fonction test par ladistribution 1|a| 0a :

1

|a|(0a

)= .

Par suite,echa0 =

1

|a| 0a .

Ce qui nest pas forcement le resultat que lon aurait spontanement attendu du fait du facteur 1|a| !

Multiplication dune distribution par une fonction Pour toute distribution T et toute fonctionf indefiniment derivable, le produit f.T est une distribution definie par :

D, < f.T, >=< T, f. > .Nous utiliserons dans la suite la consequence de ce resultat lorsquil est applique a` la distributionimpulsion de Dirac :

f.a = f(a).a (2.13)

Derivation dune distribution La derivee T dune distribution T peut etre definie par :

D, < T , >= < T, > . (2.14)Cette formule a ete etablie de facon a` generaliser la derivation des fonctions aux distributions. Eneffet, il est naturel de definir la derivee dune distribution regulie`re de fonction derivable x commela distribution regulie`re associee a` la fonction x. Montrons que la formule (2.14) est coherenteavec cet objectif. La distribution associee a` x secrit en effet :

D, < T , >= +

x(t)(t)dt.

En faisant une integration par parties, on a alors : +

x(t)(t)dt = [x(t)(t)]+ 0

+

x(t)(t)dt = < T, > .

le premier terme de droite etant nul du fait que est une fonction test.

La formule (2.14) permet ainsi detendre la notion de derivation a` des fonctions discontinuesa` travers leurs distributions regulie`res associees.


Exemple Soit la fonction appelee echelon dHeaviside et definie part > 0, (t) = 1t = 0, (t) est non definiet < 0, (t) = 0

Si est considere comme une fonction alors pour t 6= 0, (t) = 0 et (0) nest pas definie. Enconsiderant la distribution regulie`re associee a` , on a :

D, < , >= < , >= +0

(t)dt = (0) =< 0, >

Par suite, au sens des distributions, = 0.

Exemple Lexemple precedent montre quil est possible au sens des distributions de definir laderivee dune fonction presentant des discontinuites. Une fonction qui secrit comme la sommedune fonction derivable et dune somme de fonctions echelons dHeaviside, par exemple :

f = g + 12

ou` g est derivable en est un exemple. Alors, au sens des distributions, on a :

f = g + 12.

Remarque Au-dela` de la generalisation de la notion de derivation, linteret de la derivation ausens des distributions est de permettre linversion entre limite ou somme infinie et derivation. Eneffet, si dans le cas des fonctions, il est necessaire de poser un nombre important dhypothe`ses,ce nest plus le cas lorsque linversion est effectuee au sens des distributions. Dans le cadre de cedocument de cours, cette remarque sera appliquee page 110 pour etablir la formule sommatoirede Poisson.

2.6.3 Transformee de Fourier dune distributionDans le droit fil de la definition de la derivation, on peut definir la transformee de Fourier dune

distribution T par D, < F [T ], >=< T, F [] > . (2.15)

Puisque F [T ] est une transformee de Fourier, la fonction test est une fonction de . Commeprecedemment, cette formule peut se justifier via les distributions regulie`res16 : nous allons voir

16En realite, il y a une subtilite theorique qui na cependant pas de repercussion sur lutilisation pratique que lonva faire de cette formule dans cet enseignement. Neanmoins, pour etre complet, on va en souligner les grandes lignes.

La difficulte est quon peut demontrer que meme si est une fonction test, ce nest pas forcement le cas de F [].Par suite, F [] nest pas dans le domaine de definition de T et donc lecriture < T, F [] > na pas de sens. Poursurmonter cette difficulte, on est amene a` definir les distributions temperees. Une distribution temperee se definit dela meme facon quune distribution si ce nest quau lieu de travailler sur lensemble des fonctions tests D on travaillesur lensemble des fonctions a` decroissance rapide S(R). Une fonction est a` decroissance rapide si pour tout p N,on a :

lim||

|p()| = 0.

On a la propriete que D S(R). Un exemple de distribution temperee est limpulsion de Dirac. Si S(R) alorsF [] S(R). Par suite, si T est une distribution temperee et si S(R) alors F [] S(R) et donc F [] appartientau domaine de definition de T .


que pour une distribution regulie`re definie par une fonction x de L1(R) L2(R), on retrouvebien la transformee de Fourier telle quelle a ete definie section 2.4.2. En notant que etant unefonction de , F [] sera une fonction17 de t :

< T, F [] > = +

x(t)F [](t)dt = +

x(t)

( +

()e2itd)dt

=

+

( +

x(t)e2itdt)

F [x]()

()d

= < F [T ], > .Par suite, la transformee de Fourier de la distribution regulie`re associee a` x est la distributionregulie`re associee a` F [x].

La transformee de Fourier dune distribution conserve les proprietes de la transformee de Fou-rier dune fonction, voir la sous-section 2.4.3. Notamment, la transformation de Fourier definiesur les distributions est une application lineaire et continue.

Transformee de Fourier inverse dune distribution D, < F1[T ], >=< T, F1[] > .

De la definition de la transformee de Fourier et de la transformee inverse, on deduit :F1[F [T ]] = T. (2.16)

Transformee de Fourier de limpulsion de Dirac On peut la determiner en appliquant ladefinition de la transformee de Fourier dune distribution :

< F [a], >=< a,F [] >= F [](a) = +

e2ia()d =< e2ia, > .

Par suite18,F [a]() = e2ia . (2.17)

Et donc, avec a = 0,F [] = 1.

Transformee de Fourier de la fonction 1 Cest lexemple de la page 32. Lastuce est de montrerqueF1[] = 1 et den deduireF [1]. Pour cela, on applique la meme demarche que precedemmentmais en utilisant la definition de la transformee de Fourier inverse.

< F1[], >=< ,F1[] >= F1[](0) = +

()d =< 1, > .

Par suite : F1[] = 1. Dapre`s la relation (2.16), on a alors :F [1] = .

17Noter que dans (2.8), t et interviennent de facon symetrique dans e2piit.18Lexpression < e2piia, > est un raccourci : il faudrait plutot ecrire < T, > ou` T est la distribution regulie`re

definie par la fonction e2piia.


0 0.5

0

0.5

1

1.5

00

|F()|

FIG. 2.21 Representation du module de F () = F [sin(20)]()

Application : determination de la transformee de Fourier de la fonction sin(20)

sin(20t) =1

2i

(e2i0t e2i0t) .

La transformee de Fourier etant lineaire :

F [sin(20)] = 12i

(F [e2i0]F [e2i0]) .Dapre`s la relation vue section 2.4.3.5, avec f = 1 :

F [e2i0] = 0 .Par suite, F [e2i0] = 0 et

F [sin(20)] = 12i

(0 0) .

On obtient donc un spectre constitue de deux raies, voir figure 2.21.

Exemple Calculons la transformee de Fourier de la fonction cos(20a) a` partir de la trans-formee de Fourier de cos(20) par application de la propriete de Changement dechelle de latransformation de Fourier presentee section 2.4.3.3.

Dapre`s la propriete de changement dechelle :

F [cos(20a)] = 1|a|ech 1aF [cos(20)].

CommeF [cos(20)] = 1

2(0 0) , (2.18)

on a :

ech 1a

F [cos(20)] = 12

(ech 1

a

0 ech 1a

0). =

|a|2

(a0 a0) .


Et doncF [cos(20a)] = 1

2(a0 a0) . (2.19)

Bien entendu, on aurait pu utiliser directement la formule (2.18) pour obtenir en remplacant 0 para0 la formule (2.19).

2.6.4 Transformee de Fourier de fonctions (au sens des distributions)Dans la section 2.4.2, nous avons vu que la transformee de Fourier pouvait etre definie pour les

fonctions deL1(R). Lintroduction de la transformation de Fourier pour les distributions permet dedefinir la transformee de Fourier dune fonction (au sens des distributions) : par cette expression,il faut comprendre la transformee de Fourier de la distribution regulie`re associee a` la fonction(Yes !). De cette facon, on peut considerer :

les fonctions de L2(R) les fonctions localement integrables et a` croissance lente a` linfini. Une fonction f est a`

croissance lente a` linfini sil existe A > 0 et m N tels que |f(t)| A|t|m pour |t|suffisamment grand. Les fonctions periodiques ou encore les fonctions polynomiales (telleque la fonction 1) sont des fonctions a` croissance lente.

2.6.4.1 Fonctions periodiques

Le cas des fonctions periodiques est particulie`rement interessant. Soit fp une fonction periodiquede periode T admettant une decomposition de Fourier :

t R, fp(t) =

n=cne

2i nTt.

A partir de la linearite et de la continuite de la transformee de Fourier, on peut demontrer que :

F [fp] =

n=cnF [e2i nT ].

Dapre`s (2.17), F [e2i nT ] = nT. Dou`

F [fp] =

n=cn n

T.

La transformee de Fourier dun signal periodique est donc discre`te (non nulle seulement pourles frequences n

T). Si on reprend lexemple de la fonction representee figure 2.6, on obtient la

representation graphique figure 2.22. Generalement, on parle dun spectre de raies. On en avait vuun exemple avec la fonction sinus, voir figure 2.21.

Il est dailleurs interessant de mettre en vis-a`-vis un tel spectre avec celui de la fonction motif19correspondante, voir figure 2.24. Le spectre de fp est issu du spectre de sa fonction motif fm parune discretisation + un facteur dechelle de 1

T. Ce facteur dechelle decoule du fait que :

cn =1

T

T2

T2

fp(t)e2i n

Ttdt =

1

T

+

fm(t)e2i n

Ttdt =

1

TFm

(nT

).

19La fonction motif fm dune fonction periodique fp de periode T est une fonction nulle sauf sur un intervalle Ide longueur T telle que t I, fp(t) = fm(t). Un exemple est donne figure 2.23.


5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

c0

c1

c2

c4

c3

c6

c5 c8

c7c9

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

1/T

T0/T

FIG. 2.22 Spectre de la fonction periodique associee a` la fonction rect

5 0 5 100

0.02

0.04

0.06

0.08

t

fonction motif

5 0 5 100

0.02

0.04

0.06

0.08

t

fonction priodique

FIG. 2.23 Fonction periodique et fonction motif


TEMPS FR EQUENCE

0 0.5

0

0.5

1

1.5

t

rect

(t/T0)

T0

T0/2T0/2 2/To1/To 0 1/To2 /To0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T 0si

nc(T 0

)

T0

Periodisation du motif Discretisation

3 2 1 0 1 2 30.5

0

0.5

1

1.5

t

f p(t)

T

T0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

c0

c1

c2

c4

c3

c6

c5 c8

c7c9

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

1/T

T0/T

FIG. 2.24 Spectre dune fonction periodique et spectre de la fonction motif correspondante


2.6.4.2 Fonction echelon

Dans la note de bas de page20, on demontre que

F [] = 12i +

1

2.

2.6.4.3 Fonction sinus cardinal

F[sinc

( T

)]= T. rect(T). (2.22)

Voir la demonstration en TD.

2.7 Exemples danalyse frequentielle

2.7.1 Caracterisation de laudition humaineDans lair, le son se propage sous la forme dune variation de pression. Le niveau du son

decoule donc de la pression acoustique exprimee en Pascal (Pa). La sensation de niveau sonoredun auditeur humain appelee sonie depend de la pression acoustique mais aussi de la frequencedu son. La figure 2.2521 represente la pression que doit avoir un son en fonction de la frequenceafin dobtenir une meme perception de volume sonore pour un humain a` loue fine [15].

20 Dans lexemple page 41, nous avons vu que = . Dautre part, dapre`s la sous section 2.4.3.6,

F [f ]() = 2iF [f ] ().

Par suite2iF []() = F []() = 1. (2.20)

Ici, il faut faire attention que les termes de cette equation sont des distributions. On peut ainsi demontrer quau sensdes distributions :

() = 0

Par suite, la solution de lequation (2.20) secrit :

F [] = 12i + k (2.21)

ou` k est une constante a` determiner. Pour determiner k, on va regarder la valeur que prend la distribution definie parF [] pour une fonction test particulie`re definie par :

() =12

e2

2

Cette fonction test est telle que :F [](t) = 1

2e

t2

2 .

En utilisant cette expression de F [] et la relation (2.15), on demontre que < F [], >= 12

2pi. Dautre part, en

utilisant (2.21), on demontre que < F [], >= k 12pi

. Par suite, k = 12 .21Lordonnee a` gauche represente le niveau sonore defini par :

L = 20 log

(P

P0

)avec P la pression acoustique en Pascal et P0 = 2 105 la pression acoustique de reference : elle correspond auseuil de laudition.


FIG. 2.25 Courbes daudition isosoniques : Pression acoustique en Pascal (ordonnee a` droite)versus frequence (abscisse) (extrait de [15])


Au dela` de son interet scientifique, la caracterisation de laudition humaine a un interet pra-tique important pour lingenieur : elle va permettre de definir une partie du cahier des chargesdes syste`mes technologiques qui vont effectuer le traitement du son pour des applications biendeterminees 22. Ainsi, par exemple, un telephone est un syste`me technologique dont lobjectif estde traiter la parole. La figure 2.25 nous montre que le spectre dune parole comprend des compo-santes comprises entre 800 Hz et 8 kHz environ. Lorsque la parole va etre traitee par le telephone,il est donc primordial de ne pas alterer la partie du spectre qui est dans cette gamme de frequences.

2.7.2 Description de la bande VHFIl sagit de la bande de frequence radio qui setend de 30.525 a` 400 MHz. Elle est utilisee de

la facon decrite dans le tableau 2.5.

2.8 Resolution dequations differentielles ou de la transformeede Fourier a` la transformee de Laplace

Les proprietes de la Transformee de Fourier presentees section 2.4.3 peuvent etre exploiteespour la resolution dequations differentielles. Ceci est illustre dans lexemple qui suit.

Exemple Soit lequation differentielle :

t R, y(t) + ay(t) = bx(t). (2.23)

On desire determiner la fonction y solution de cette equation pour x = .

1. La premie`re etape consiste a` prendre la transformee de Fourier de cette equation. La trans-formee de Fourier a la propriete de linearite : F [af + bg] = aF [f ] + bF [g]. Dou`

F [y + ay] = F [y] + aF [y] .

Par la propriete sur la derivation : F [f (n)]() = (2i)n F (), on a :

F [y] = 2i F [y] .

Par suite, la transformee de Fourier de lequation differentielle me`ne a` :

(2i + a)Y () = bX().

Dou` on a Y () = G()X() avec

G() =b

2i + a.

22Les limites de la perception ont ete illustrees par le peinture belge Renee Magritte, voir par exemple le tableauLa Trahison des images. Lart de lingenieur est dexploiter au mieux les limites de la perception humaine. Pourcela, il est important de les connatre.


Frequence Utilisation30,525 a` 32,125 MHz Reseaux prives30,750 a` 32,075 MHz Appareils faible portee non specifiques31,300 MHz Radiomessagerie sur site32,125 a` 32,500 MHz Usage militaire32,500 a` 33,700 MHz Reseaux prives32,800 MHz Microphones sans fils33,000 a` 34,850 MHz Usage militaire34,850 a` 36,200 MHz Reseaux prives36,200 a` 36,400 MHz Microphones sans fils36,400 a` 37,500 MHz Usage militaire37,500 a` 38,250 MHz Radio-astronomie39,000 a` 40,600 MHz Reseaux prives40,660 a` 40,700 MHz Appareils faible portee non specifiques40,995 a` 41,105 MHz Aeromodelisme41,100 a` 41,200 MHz Modelisme41,205 a` 41,245 MHz Telealarme pour personnes agees jusquau 31/12/200541,310 a` 41,475 MHz Telephones sans fils47,000 a` 47,120 MHz Reseaux prives47,400 a` 47,600 MHz Reseaux prives en region parisienne seulement47,600 a` 47,700 MHz Reseaux prives50,200 MHz Liaison video sol-train, en region parisienne50,200 a` 51,200 MHz Trafic amateur55,750 a` 63,750 MHz Television bande I56,330 MHz Liaison video sol-train, en region parisienne62,860 MHz Liaison video sol-train, en region parisienne68,000 a` 68,460 MHz Usage militaire68,462 a` 69,250 MHz Reseaux prives69,250 a` 70,000 MHz Usage militaire70,250 a` 70,525 MHz Reseaux prives70,525 a` 70,975 MHz Usage militaire70,975 a` 71,950 MHz Reseaux prives71,300 a` 71,800 MHz Appareils faible portee non specifiques72,200 a` 72,500 MHz Modelisme72,500 a` 73,300 MHz Reseaux prives73,300 a` 74,800 MHz Gendarmerie nationale74,800 a` 75,200 MHz Radiolocalisation aeronautique (Marker)75,200 a` 77,475 MHz Reseaux prives, taxis77,475 a` 80,000 MHz Gendarmerie nationale80,000 a` 82,475 MHz Reseaux prives82,475 a` 83,000 MHz Usage militaire83,000 a` 87,300 MHz Police, pompiers, SAMU87,300 a` 87,500 MHz Radiomessagerie unilaterale : alphapage, biplus ou eurosignal87,500 a` 108,000 MHz Radiodiffusion FM bande II108,000 a` 117,950 MHz Radio Navigation Aeronautique (VOR et ILS)118,000 a` 136,000 MHz Trafic aeronautique, bande air ou aviation (frequence de detresse 121,5MHz)137,000 a` 138,000 MHz Liaisons satellitaires descendantes,(Satellites Meteo)138,000 a` 144,000 MHz Usage militaire143,9875 a` 144,000 MHz Frequence reservee vol libre144,000 a` 146,000 MHz Trafic amateur, bande des 2 me`tres146,000 a` 156,000 MHz Trafic aeronautique (liaisons satellitaires montantes de 148MHz a` 150MHz )151,005 a` 152,990 MHz Reseaux prives152,000 a` 152,020 MHz Radiomessagerie sur site152,570 a` 152,655 MHz Appareils faible portee non specifiques152,990 a` 155,995 MHz Reseaux prives154,980 a` 155,180 MHz Liaisons fixes dabonnes isoles155,995 a` 162,995 MHz Reseaux prives en dehors des cotes156,025 a` 157,425 MHz Trafic maritime et fluvial, bande VHF marine160,625 a` 160,950 MHz Trafic maritime et fluvial, bande VHF marine161,550 a` 162,025 MHz Trafic maritime et fluvial, bande VHF marine162,500 a` 162,525 MHz Trafic maritime et fluvial, bande VHF marine164,800 a` 168,900 MHz Reseaux prives169,410 a` 173,815 MHz Radiomessagerie norme ERMES169,795 a` 173,495 MHz Reseaux prives173,500 a` 174,000 MHz Police, pompiers, SAMU174,000 a` 223,000 MHz Television bande III174,000 a` 234,000 MHz DAB bande III175,500 a` 178,500 MHz Microphones sans fil183,500 a` 186,500 MHz Microphones sans fil223,500 a` 225,000 MHz Appareils faible portee non specifiques jusquau 31/12/2005225,000 a` 400,000 MHz Trafic aeronautique et liaisons satellitaires militaires

TAB. 2.5 Utilisation de la bande VHF


2. La seconde etape consiste a` remplacerX par son expression. Dapre`s la sous section 2.6.4.2 :

F [] = 12i +

1

2.

Dou`Y = G

1

2i +1

2G

Or, dapre`s 2.13, G = G(0) soit b/a.

3. La troisie`me etape consiste a` faire une decomposition en elements simples de la fonctionrationnelle Y ().

G()1

2i=

b

2i + a

1

2i=

b/a2i + a

+b/a

2i

par decomposition en elements simples. Dou` :

Y = b/a

12i +a + 12i + 12 F []

Dapre`s le TD 1 :

F [ea] = 12i +a

Dou`, en prenant la transformee de Fourier inverse, on obtient :

y = b/a(1 ea)

La demarche precedente na de sens que si pour les signaux x et y, il est possible de definirleur transformee de Fourier. Pour la fonction x = , nous savons dapre`s la sous section 2.6.4.2que celle-ci est definie au sens des distributions. La fonction y correspond elle a` une fonction quifait intervenir le terme eat.

Dans le cas ou` a > 0, y appartient a` L1(R) et donc dapre`s Theore`me 2.4.1, il admetforcement une transformee de Fourier.

Dans le cas ou` a < 0, y nappartient pas a` L1(R) et elle nest pas a` croissance lente a` linfini.Dapre`s la sous section 2.6.4, il nest donc pas evident que x admette une transformee deFourier, meme au sens des distributions23.

Par suite, la demarche appliquee dans lexemple precedent nest pas correcte dans le cas ou`a < 0. Comment ladapter pour pouvoir traiter correctement cet exemple ?

Pour cela, on a recourt a` une astuce qui consiste a` introduire le signal z tel que y = ez, avec telle que > a et w tel que x = ew, dans lequation 2.23, ce qui donne :

t R, etz(t) + (a+ ) etz(t) = betw(t)

soitt R, z(t) + (a+ ) z(t) = bw(t)

23Et cest effectivement le cas.


Avec > a, les fonctions z et w appartiennent a` L1(R) : il est alors possible de definir leurtransformee de Fourier.

Or, par definition,

Z() =

+

z(t)e2itdt

=

+

ety(t)e2itdt

=

+

y(t)e(+2i)tdt

Soit s = + 2i une variable complexe appelee variable de Laplace. La quantite ci-dessousdefinit une fonction de s appelee Transformee de Laplace bilaterale de y :

Y (s) =

+

y(t)estdt

et notee L[y](s). L[y] est une generalisation de la transformee de Fourier F [y] qui etait definiepar :

F [y]() = +

y(t)e2itdt

et ou` lon a remplace 2i par la variable complexe s. Attention que lintegrale ci-dessus nestbien definie que pour certaines valeurs de s, dans lexemple considere, les valeurs du nombrecomplexe s telles que Re(s) > a. a est appele abscisse de convergence.

Definir la transformee de Laplace de y avec un abscisse de convergence de a revient donc a`definir la transformee de Fourier de z qui est bien definie puisque z L1(R).

Il est aussi possible de definir la transformee de Laplace monolaterale

Y (s) =

+t=0

y(t)estdt.

Pour les signaux y tels que t < 0, y(t) = 0, les transformees de Laplace monolaterale et bilateraleconcident. Ces signaux sont appeles causaux. Souvent, la resolution des equations differentiellestelles que (2.23) se fait pour t 0, avec des conditions initiales donnees pour t = 0, par exemple :{

t 0, y(t) + ay(t) = bx(t)y(0) = y0

Ceci explique linteret particulier de la transformee de Laplace monolaterale. Un autre point estque le calcul dune transformee bilaterale peut se ramener au calcul de deux transformees mono-laterales car on a : +

y(t)estdt =

0

y(t)estdt+ +0

y(t)estdt

=

+0

y(t)estdt + +0

y(t)estdt


Temporel Laplace Ensemble de definition

1 C

a ea

C

1 C

ea 1+a Re(s) > aa R

ea sin(0) 0(+a)2+20 Re(s) > aa R

ea cos(0) +a(+a)2+20 Re(s) > aa R

TAB. 2.6 Transformees de Laplace usuelles

en faisant le changement de variable t t dans la premie`re integrale. Ces deux termes cor-respondent a` deux transformees monolaterales. Dans la suite, on ne sinteressera donc qua` latransformee de Laplace monolaterale.

Comme dans le cas de la transformee de Fourier, on peut etablir les transformees de Laplacede fonctions usuelles ainsi que de distributions. Un certain nombre dexemples sont presentes dansle tableau 2.6.

Du fait de la proximite des deux transformees, les proprietes de la transformee de Laplace sontsimilaires aux proprietes de la transformee de Fourier, voir tableau 2.7.

Exemple En appliquant la transformee de Laplace sur lequation :{t 0, y(t) + ay(t) = bx(t)y(0) = y0

et les proprietes du tableau 2.7 de la sous section, on obtient alors :

(s+ a)Y (s) y(0) = bX(s)

Dapre`s le tableau 2.6, on a alors

Y (s) =b

s+ a

1

s+

1

s+ ay(0) =

y(0) b/as+ a

+b/a

s

Dapre`s le tableau 2.6, on en deduit que :

t R, y(t) = (y(0) b/a)eat(t) + (b/a)(t).


Linearite L[af + bg] = aL[f ] + bL[g]

Changement L[f(a)](s) = 1|a|L[f ](sa

)dechelle

Translation L[f( t0)](s) = est0L[f ](s)temporelle

Modulation L[es0f ](s) = L[f ] (s s0)

Derivee L[f (n)](s) = snL[f ](s) (sn1f(0) + sn2f (1)(0) + + sf (n2)(0) + f (n1)(0))Integration L

[ 0

f(u)du

](s) =

1

sL[f ](s)

TAB. 2.7 Proprietes de la Transformation de Laplace (monolaterale)

2.9 En resume Sil est naturel de modeliser un signal par une fonction, une approche plus satisfaisante

consiste a` modeliser un signal par une distribution, notion qui etend la notion de fonction. Une distribution particulie`re et incontournable en traitement du signal est limpulsion de

Dirac a. Un signal peut etre caracterise par analyse frequentielle. La decomposition en serie de Fourier est un premier outil danalyse valable pour des fonc-

tions definies sur un intervalle (avec certaines proprietes) et pour des fonctions periodiques. La transformee de Fourier permet lanalyse frequentielle dune classe suffisamment riche

de signaux. Les spectres de signaux elementaires ont ete etudies a` travers des exemples :

1. Non periodiques : rect, tri24, sinc, ...2. Periodiques

La transformee de Fourier peut etre utilisee pour la resolution dequations differentielles a`condition de sassurer quelle est bien definie pour les signaux sur lesquels elle sapplique.

La transformee de Laplace est une extension de la transformee de Fourier qui est bien definiepour une classe de signaux plus importante que la transformee de Fourier, par exemple pourles signaux qui ont une divergence exponentielle a` linfini. Elle permet ainsi de resoudre defacon plus systematique les equations differentielles.

Dans la suite du document, par convention, une lett

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