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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS
SIMULACIÓN DE UN SISMO
MEDIANTE EL MOVIMIENTO
DE UN PÉNDULO DOBLE
PROYECTO SEMESTRAL
MATERIA | Análisis de vibraciones
HORARIO | Lunes a Viernes,
17:00-18:00hrs.ASESOR | Ing. Luis Carlos Rincón
Ruiz
EQUIPO 2 | Oscar Daniel Cruz MedranoEsteban de Jesús
González SalinaGloria Ivone Robledo CruzMario Alberto Rodríguez
FloresPatricia Mariel Sánchez Garza
H . M A T A M O R O S , T A M P S . D I C I E M B
R E 2 0 1 2
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SIMULACIÓN DE UN SISMO MEDIANTE MOVIMIENTO DE PÉNDULO
DOBLE P
ÁGINA
SIMULACIÓN DE UN SISMO MEDIANTE EL MOVIMIENTO DE UN PÉNDULO
DOBLE
OBJETIVOObservar la aplicación de un péndulo doble a través de
la simulación de un sismo. El movimiento
tectónico se emulará con la suma de las oscilaciones del teórico
péndulo enésimo.
MARCO TEÓRICOUn sistema es una combinación de
componentes que actúan conjuntamente para alcanzar unobjetivo
específico. Una componente es una unidad particular en
su función en un sistema. Unsistema se llama dinámico si
su salida en el presente depende de una entrada en el pasado.
Cualquier tentativa de diseño de un sistema debe empezar a
partir de una predicción de sufuncionamiento, antes de que el
sistema pueda diseñarse en detalle. Tal predicción se basa enuna
descripción matemática de las características dinámicas del
sistema, conocida como modelomatemático .
Una ecuación diferencial lineal invariante en el
tiempo es aquella en la cual una variabledependiente y
sus derivadas aparecen como combinaciones lineales. También se
denominaecuación diferencial lineal de coeficientes
constantes .
El péndulo doble es un sistema compuesto por dos
péndulos, con elsegundo colgando del extremo del primero. Este
sistema físico poseedos grados de libertad y exhibe un
comportamiento dinámico.
La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que
contiene, lacual se supone constante.
Un cuerpo atraído por la Tierra, y la magnitud de la fuerza que
laTierra ejerce sobre él, se llama peso .
El desplazamiento es un cambio en la posición desde un
punto a otro en un marco dereferencia. La velocidad es la
derivada, con respecto al tiempo, del desplazamiento. Laaceleración
es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad.
El desplazamiento angular se mide en radianes, y se define
como positivo cuando se mide endirección contraria a las manecillas
del reloj. Velocidad angular es la derivada, con respecto
altiempo, del desplazamiento angular. La aceleración angular
es la derivada, con respecto altiempo, de la velocidad angular.
Una respuesta libre es aquella que se debe a las
condiciones iniciales, almacenamientos deenergía iniciales.
El periodo es el tiempo requerido para que un movimiento
periódico vuelva arepetirse. La frecuencia es el número de
ciclos por segundo y su unidad estándar es el Hz.
El movimiento armónico simple es aquel que queda
descrito en función del tiempo por unafunción armónica (seno,
coseno).
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El número de grados de libertad que posee un sistema mecánico es
el número mínimo decoordenadas independientes requeridas para
especificar las posiciones de todos sus elementos.Un sistema con
dos grados de libertad requiere dos coordenadas independientes para
especificarla configuración del sistema.
La energía puede definirse como la capacidad de aptitud para
hacer trabajo. La energíapotencial es el trabajo hecho por la
fuerza externa, en un cuerpo de masa m en un campogravitacional, la
energía potencial U medida desde algún nivel de referencia es mg
veces laaltitud h medida desde el mismo nivel de referencia; si el
cuerpo cae, tiene la capacidad de hacertrabajo. Un cambio de
energía cinética de la masa m es igual al trabajo hecho sobre ella
por laaplicación de una fuerza que la acelera o desacelera.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las
cuales cierto tipo de problemavariacional alcanza un extremo.
Las ondas sísmicas son un tipo de onda elástica consistentes en
la propagación deperturbaciones temporales del campo de tensiones
que generan pequeños movimientos en unmedio.
Un terremoto también llamado sismo o seísmo es un fenómeno de
sacudida brusca y pasajerade la corteza terrestre producido por la
liberación de energía acumulada en formas de ondassísmicas. El
punto de origen de un sismo se denomina hipocentro. El epicentro es
el punto de lasuperficie terrestre directamente sobre el
hipocentro. Para la medición de la energía liberada porun terremoto
se emplean diversas escalas entres ellas la escala de Richter,
también conocidacomo escala de magnitud local, es una escala
logarítmica arbitraria que asigna un número paracuantificar la
energía liberada en un terremoto.
DESARROLLO DEL PROYECTOLa simulación del sismo se realizará
mediante el uso de un doble péndulo acoplado a una placaque se
encuentra unida a una estructura a través de resortes que le
permitirán oscilar debido almovimiento del mismo sistema. La
vibración transmitida a la placa será graficada a través de
undispositivo iPad de la compañía Apple, mediante la aplicación
Seismometer Sixth de la compañíaSkypaw.
El sistema dinámico de segundo orden, con dos grados de
libertad, llamado péndulo doble, estádescrito por dos coordenadas
y ; a su vez, el sistema está regido por las ecuaciones
demovimiento de Euler-LaGrange:
( ) ̈() ̈() ( )() ̈()
̈() ()
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Mediante los siguientes valores y condiciones iniciales, , ,()
() ̇() ̇() tenemos quePara la primera
ecuación:
()[ ] ()[] Para la segunda ecuación, obtenemos:
()[] ()[ ] Realizando las operaciones correspondientes,
obtenemos los valores para
() √
√
() √ √ Las ecuaciones anteriores se
introducirán al software de Simulink, el cual nos permite graficar
elmovimiento ideal y teórico del sistema bajo condiciones
iniciales.
Una vez situado el sistema en equilibrio se procederá a provocar
el movimiento armónico simpledel doble péndulo para que la suma de
sus oscilaciones genere el simulacro del sismo.
El dispositivo iPad graficará las vibraciones transmitidas, a la
placa, por el péndulo doble y losresultados representarán un valor
aproximado al equivalente de la escala logarítmica de Richter.La
fórmula para obtener esta escala es:
() En donde representa la amplitud máxima de
onda de la gráfica, representa el diferencial detiempo
transcurrido entre las ondas primarias y el inicio de las ondas
secundarias y la magnitudde la escala Richter.
RESULTADOS
Por medio del método analítico de determinación de las
características dinámicas de un sistemade segundo orden, obtuvimos
la respuesta de la variación de la amplitud de la oscilación
enfunción del tiempo. Esto, mediante la obtención de las funciones
de transferencia, de acuerdo alas condiciones iniciales, para su
posterior simulación en Simulink. A través del software
MATLAB,graficamos el mismo sistema por medio de sus ecuaciones de
movimiento.
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SIMULINK
Los osciloscopios desplegaron las siguientes respuestas:
Para el osciloscopio 1, que registra la salida de , se obtuvo la
siguiente gráfica.
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Para el osciloscopio 2, que registra la salida de , se obtuvo la
siguiente gráfica.
El tercer osciloscopio muestra la suma de las respuestas en
gráfica siguiente.
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MATLAB
Este software se utilizó para la representación de las
ecuaciones de movimiento del mismosistema.
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Las salidas obtenidas fueron las siguientes:
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Las respuestas anteriormente dadas se encuentran en unidades de
radianes (rad). Para facilitar lacomprensión de las mismas, se han
transformado a sus equivalentes en grados; los valores se danen la
tabla siguiente:
TABULACION
t θ1(rad) θ1(°) θ2(rad) θ2(°)
0 1 57.2958 -1 -57.2958
1 -0.2111 -12.0930 0.8263 47.3444
2 -0.6585 -37.7320 0.6438 36.8891
3 0.4830 27.6748 -1.9145 -109.6915
4 -0.1325 -7.5910 0.1715 9.8277
5 -0.4111 -23.5531 1.6951 97.1196
6 0.8327 47.7081 -0.8662 -49.6317
7 0.0458 2.6253 -0.3186 -18.2527
8 -0.9639 -55.2261 0.9452 54.15729 0.3534 20.2485 -1.2741
-73.0031
10 0.4370 25.0404 -0.3502 -20.0632
CONCLUSIONESA través del desarrollo de este proyecto se aplican
los conocimientos previamente adquiridostanto de herramientas de
simulación y cálculo, como de la aplicación de las transformadas
deLaplace en sistemas dinámicos. Algunas conclusiones
obtenidas:
El periodo de oscilación es directamente proporcional a la
longitud del péndulo; esto es, amayor longitud del péndulo, mayor
es el tiempo de oscilación, debido a que a mayor longitudde
péndulo, mayor es la distancia que recorre en una oscilación,
demorándose más tiempo.
La frecuencia es exactamente lo contrario; a mayor
longitud de péndulo, menor es lafrecuencia.
La masa varía la amplitud del péndulo, esto es, mayor
masa es igual a mayor amplitud.
