Congrès Dédra-MATH-isons

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Modulus VS CryptographixL’arithmétique modulaire au service du chiffrement affine

• À l’ « Époque » :

• De nos jours :

Messages militaires & Diplomatiques

Transactions bancairesE-commerce

IntroIntro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Les Applications de la cryptographieLes Applications de la cryptographie

CryptanalysteCryptanalyste

ExpéditeurExpéditeurDestinataireDestinataireCléClé

ChiffrementChiffrement DéchiffrementDéchiffrement

CryptogrammeCryptogrammeTexte clairTexte clair

Le Vocabulaire du CryptologueLe Vocabulaire du Cryptologue


AD1 4BE2 5

…25 28

A B C D … X Y Z

1 2 3 4 … 24 25 26

+3

+3

+3 2

Et les Mathématiques là dedans ?Et les Mathématiques là dedans ?

Décalage de 3 lettres


1. Notions élémentaires de congruence arithmétique2. Chiffrement par substitution monoalphabétique3. Chiffrement par substitution polyalphabétique

Le plan que nous allons suivre :Le plan que nous allons suivre :


Notions élémentaires de congruence

arithmétique

Intro/ CongruenceCongruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

a congru à b modulo ma congru à b modulo m

Soit m 0, a, b

a-b est divisible par m.

4-9=-5

-5-3=-8


RésiduRésidu

a , ! b : ab(modm) 0b<m

b = reste de la division de a par m

b est le résidu b=a(modm)

47=3.15+2

puisque 47-2=45


Un nouvel ensembleUn nouvel ensemble

3-3

39

0


Travaillons en mod3mod3

30

28

53

-4

32

1

43

-2

7

31

33 2,1,0

Classe de résidusClasse de résidus


1,...,2,1,0 mm

baba :

baba :

Dans 3=,,:

+ =2+1==

. = 2.2==

Inversibilité d’un élément dans ZInversibilité d’un élément dans Zmm

x est inversible dans Zm

↨ x et m sont premiers entre eux.

↨PGCD(x,m)= 1

↨

ax+bm=1


Dans 6

-1= Car . =

-1n’existe pas !Car PGCD(2,6)=2

QuelQuel est l’inverse de 31 dans est l’inverse de 31 dans 9898 ??

31 et 98 sont-ilspremiers entre eux?98=3.31+531=6.5+1=>PGCD(31,98)=1

Cherchons l’inverse a.31+b.98=1(1) 31=6.5+1(2) 98=3.31+5

(1)-6.(2) 31-6.98=1-18.31

19.31-6.98=1

19=31-1(mod98)


m premierm premier

Si m est un nombre premier, Si m est un nombre premier, tous les éléments de tous les éléments de mm (hormis 0) ont (hormis 0) ont

un inverse pour la multiplication dans un inverse pour la multiplication dans mm..

Alphabet à 29 caractèresAlphabet à 29 caractères


A B C D E F G H I J K L M M O0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14P Q R S T U V W X Y Z15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

. , _26 27 28

Chiffrement par substitution

monoalphabétique

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétiqueChiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Formule générale de codageFormule générale de codage

(x)=(ax+b) mod 29

Conditions:

0a29,0 ba


Nba ,

Exemple de chiffrement

(x)=c=(2x+3) mod 29.

« Je ne suis pas intelligent, je suis incroyablement curieux. »

Message clairx

Equivalent numérique 2x+3

(2x+3)mod 29

Cryptogrammec

e 4 11 11 l

_ 26 55 26 _

n 13 29 0 a

e 4 11 11 l

vl_al_kotk_edk_tamlzztplam._vl_kotk_tahicwdfzl,lam_hoiulou

j 9 21 21 v


DéchiffrementDéchiffrement

c=(x)=(ax+b) mod 29

x=-1(c)= a-1 (c-b) mod 29

?


DéchiffrementDéchiffrement

zd_hoitcktml_lkm_oa_qtzdta_jlndom

Cryptogrammec

Equivalent numérique

15(c-3)15 (c-3) mod 29

Texte clairx

d 3 0 0 a

_ 26 345 26 _

h 7 60 2 c

La curiosité est un vilain défaut

(x)=c=(2x+3) mod 29

x=-1(c)= 2-1 (c-3) mod 29x=-1(c)= 15 (c-3) mod 29

z 25 330 11 l


CryptanalyseCryptanalyse

la curiosité est un vilain défaut

_e,ipjudlunm,mln,pb,ru_eub,kmoepn

_e_ipjudlune_eln_pb_ru_eub_keoepn

la_ipjudlune_eln_pb_rulaub_keoapn

lavipjudsute_est_pb_rulaub_keoapt

la_iujidsite_est_un_vilain_keoaut


Cryptogramme Equivalent numérique

c

Texte clair Equivalent numérique

x

, 27 - 26

m 12 e 4

27=(a.26+b)mod2912=(a.4+b)mod29

Pour trouver la cléPour trouver la clé


c=(x)=(ax+b) mod 29? ?

Chiffrement par substitution

polyalphabétique

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétiqueChiffrement polyalphabétique

Chiffrement

C = (AxM + B) mod29 , où

– C est la matrice du message codé

– M est la matrice du message clair

– A est la matrice clé de multiplication

– B est la matrice clé d’addition


La matrice du message clair

« Il faut détruire Carthage. »« IL_/FAU/T_D/ETR/UIR/E_C/ART/HAG/E. _ »A

M =


Les matrices clés

Conditions préalables sur le genre :

C = A x M + B[ ?x? ] = [ ?x? ] x [ lxm ] + [ ?x? ]

[ ?x? ] = [ lxl ] x [ lxm ] + [ lxm ]

[ ?x? ] = [ ?xl ] x [ lxm ] + [ ?x? ]

[ ?x? ] = [ lxl ] x [ lxm ] + [ ?x? ]

[ lxm ] = [ lxl ] x [ lxm ] +

[ lxm ]


Matrice clé de multiplication

A• Deux possibilités :

– Matrice quelconque [ 3x3 ]– Matrice [ 3x3 ] représentée par un mot de 9

lettres

déterminant de A ≠ 0

Soit A =

Genre de la matrice : [ 3x3 ]


132

001

153

Matrice clé d’addition B

• Deux possibilités :– Duplication m fois d’une matrice [ 3x1 ]

représentée par un mot clé de 3 lettres (Vigenère)

– Matrice quelconque de genre [ 3x9 ] (Vernam)

Soit B =

« KEY » dupliquée 9 fois

Genre de la matrice : [ 3x9 ]


24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

La matrice du message codé

« .MM/QJZ/_X,/SIT/LYS/JIZ/HEH/ILP/RIA »

C = (A x M + B) mod29

x

+


=

(

)mod 29

132

001

153

06192171732026

280172681926011

47042041958

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

0

8

17

15

11

8

7

4

7

25

8

9

18

24

11

19

8

18

27

23

26

25

9

16

12

12

28

Codage multiple

« .MM/QJZ/_X,/SIT/LYS/JIZ/HEH/ILP/RIA »

« IL_/FAU/T_D/ETR/UIR/E_C/ART/HAG/E.A »


Déchiffrement

• Opération utilisée pour le codage :

C = (AxM + B) mod 29• Opération utilisée pour le décodage :

C – B = AxM(A-1 (C – B)) mod 29 = M

?


Matrice du cryptogramme

EGQ/PXZ/QKQ/PIS/UBC/.XR/RMO/HDW

C =


(A-1 (C – B)) mod 29 = M

22

3

7

14

12

17

17

23

28

2

1

20

18

8

15

16

10

16

25

23

15

16

6

4

Les matrices clés

A-1 =


A-1 =

(A-1 (C – B)) mod 29 = M

AAt~ 29mod.

~ 1 AAt

513

111

020~ tA 29mod)2(29mod 11 A

171413

141415

010

1429mod1

A

La matrice du message clair

« CAR/THA/GE_/EST/_DE/TRU/ITE/.AA »


(A-1 (C – B)) mod 29 = Mx

-

=

(

))mod 29

171413

141415

010

(

22

3

7

14

12

17

17

23

28

2

1

20

18

8

15

16

10

16

25

23

15

16

6

4

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

24

4

10

0

0

28

4

19

8

20

17

19

4

3

26

19

18

4

26

4

6

0

7

19

17

0

2

Cryptanalyse

• Analyse fréquentielle… ?– Une lettre n’a pas qu’une correspondante– Multiplication des inconnues

Mauvaise méthode

Attaque à texte clair– Découverte d’équations avec les éléments des

clés comme inconnues


Conclusion

C = (Ax M + B)mod29


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