Conférences Horizon Sciences UPMC · Conférences Horizon Sciences UPMC Du modèle à la simulation Pascal Frey Laboratoire J.L. Lions - Institut du Calcul et de la Simulation Université

Conférences Horizon Sciences UPMC

Du modèle à la simulationPascal Frey

Laboratoire J.L. Lions - Institut du Calcul et de la Simulation

Université Pierre et Marie Curie - Sorbonne Universités

Conférences Horizon Sciences UPMC, filière MIPI 12 novembre 2014 1

Matinée théâtrale

• Plan de l’exposé1. exposition : la simulation numérique2. exemples - illustrations : applications3. mathématisation : modèles, méthodes4. dénouement : conséquences sur la formation

Obéissance au "canon classique" (N. Boileau, Aristote) :

1. règle des trois unités : un seul lieu, unité de temps (40 mns), une seule action;

2. règle de la vraisemblance : ce qui est présenté doit être crédible;

3. règle de la bienséance : rien ne doit choquer l’audience.


Matinée théâtrale

• Plan de l’exposé1. exposition : la simulation numérique2. exemples - illustrations : applications3. mathématisation : modèles, méthodes4. dénouement : conséquences sur la formation

• Obéissance au "canon classique" (N. Boileau, Aristote) :

1. règle des trois unités : un seul lieu, unité de temps (40 mns), une seule action;

2. règle de la vraisemblance : ce qui est présenté doit être crédible;

3. règle de la bienséance : rien ne doit choquer l’audience.


Illustration

Figure 1: Un obstacle rigide dans de l’eau qui coule crée un sillage turbulent (L. De Vinci, 1509).


Illustration

What is CFD?

Computational Fluid Dynamics (CFD) provides a qualitative (and

sometimes even quantitative) prediction of fluid flows by means of

• mathematical modeling (partial di!erential equations)

• numerical methods (discretization and solution techniques)

• software tools (solvers, pre- and postprocessing utilities)

CFD enables scientists and engineers to perform ‘numerical experiments’

(i.e. computer simulations) in a ‘virtual flow laboratory’

real experiment CFD simulation

Why use CFD?

Numerical simulations of fluid flow (will) enable

• architects to design comfortable and safe living environments

• designers of vehicles to improve the aerodynamic characteristics

• chemical engineers to maximize the yield from their equipment

• petroleum engineers to devise optimal oil recovery strategies

• surgeons to cure arterial diseases (computational hemodynamics)

• meteorologists to forecast the weather and warn of natural disasters

• safety experts to reduce health risks from radiation and other hazards

• military organizations to develop weapons and estimate the damage

• CFD practitioners to make big bucks by selling colorful pictures :-)

What is CFD?

Computational Fluid Dynamics (CFD) provides a qualitative (and

sometimes even quantitative) prediction of fluid flows by means of

• mathematical modeling (partial di!erential equations)

• numerical methods (discretization and solution techniques)

• software tools (solvers, pre- and postprocessing utilities)

CFD enables scientists and engineers to perform ‘numerical experiments’

(i.e. computer simulations) in a ‘virtual flow laboratory’

real experiment CFD simulation

Why use CFD?

Numerical simulations of fluid flow (will) enable

• architects to design comfortable and safe living environments

• designers of vehicles to improve the aerodynamic characteristics

• chemical engineers to maximize the yield from their equipment

• petroleum engineers to devise optimal oil recovery strategies

• surgeons to cure arterial diseases (computational hemodynamics)

• meteorologists to forecast the weather and warn of natural disasters

• safety experts to reduce health risks from radiation and other hazards

• military organizations to develop weapons and estimate the damage

• CFD practitioners to make big bucks by selling colorful pictures :-)

Figure 2: écoulement autour d’un cylindre: expérience (haut) vs. simulation (bas).


Illustration

Figure 3: étude aérodynamique autour d’un profil de voiture (Bentley GT3, simulation TotalSim).


Simulation numérique

• domaines d’applications :mécanique des structures, mécanique des fluides, science des matériaux, astrophysique,physique nucléaire, aéronautique, climatologie, météorologie, physique théorique, mé-canique quantique, chimie, biologie, médecine, ...

• nouveaux enjeux :d’ordre économique : réactivité, anticipation et compétitivitéde sûreté ou de sécurité : nucléaire, automobile, aéronautique,...

• méthodes numériques :grande diversité : différences / volumes finis, éléments finis, méthodes spectrales, ...



• simuler c’est reproduire artificiellement une situation réelle à des fins de démonstrationou d’explication (sans idée de tromperie)

• la simulation n’est ni une pure copie, ni une simple reproduction

• elle imite un original en introduisant des variations

• elle repose sur un modèle composé d’équations pour représenter un phénomène

• elle permet d’étudier le fonctionnement (actuel et futur) et les propriétés d’un système

• elle exhibe un surcroît de réalité en rendant explicite ce qui est implicite (caché) dansun modèle

• une "bonne simulation" procède de la révélation (E. Klein, CEA).



« à l’horizon de la simulation, non seulement le monde réel a disparu, maisla question de son existence même n’a plus de sens »

J. Baudrillard (1929-2007)

• caractéristiques de la simulation :

se "nourrit" de l’expérience

permet d’observer ou de prévoir (que se passe-t-il si ... ?)

en retour, la connaissance progresse



• peut-on tout simuler ?3 types de limitations

1. puissance de calculindisponible actuellement

2. compréhensiondifficulté à établir un modèle

3. théorieaucune méthode de résolution connue étude de la traînée d’un avion (ONERA).


Notion de modèle

• modèle: outil essentiel pour la compréhension du monde qui nous entoure

traduction d’un phénomène dans la langue des mathématiques (équations)

historiquement tiré d’observations studieuses ou d’expérimentations de laboratoires

puis déduits de théories conçues sans expérience (ex. relativité d’Einstein, théoriedes cordes,...)

(certaines théories ne pourront pas être testées en totalité par des protocoles expéri-mentaux)

généralement constitué d’une ou plusieurs équations aux dérivées partielles

• la modélisation d’un phénomène consiste à

prendre en compte ses principes fondamentaux (ex. lois de conservation)

déterminer les paramètres essentiels à la description de son état et de son évolution

ajouter des équations qui lient chaque objet du système à son environnement


EDP: équations aux dérivées partielles

• EDP : ensemble de relations entre les dérivées partielles d’une fonction, définie sur undomaine Ω

• fonction qui dépend du temps, de la position, etc.: f(t, x)

• parenthèse historique : évolution de la notion de dérivée

18ème : controverse Newton vs . Leibniz

19ème : la notion se précise et devient centrale, restrictive

20ème : apparition de nouvelles notions, variantes plus "faibles", branches del’analyse (Lebesgue, Sobolev, Leray, Schwartz, ...)

• signification de "être solution de"...


Notion de solution d’une EDP

• J. Fourier :

équation de la chaleur (1811)

c∂u

∂t(t, x) + div k(∇u)(t, x) = f(t, x) , pour tout (t, x) ∈]0, T ]×Ω

u(t = 0, x) = u0(x) pour tout x ∈ Ω

u(t, x) = 0 pour tout x on ∂Ω

(1)

(où k conductivité, c chaleur spécifique) décrit la conduction thermique

invente les séries de Fourier qui ont un impact considérable (analyse harmonique)

• B. Riemann :

équation basée sur une loi de conservation appliquée à une donnée constanteprésentant une discontinuité (choc)

équation hyperbolique (solution constante le long des caractéristiques)


Les EDP dans la réalité

• Comment apparaissent-elles ?

EDO : équations différentielles ordinairesrelation fondamentale de la dynamique f = mγ de Newton(m masse d’une particule, f force exercée sur celle-ci, γ accération qui en résulte).domaine discret: objet rigide (centre de gravité, point, ...)

EDP : équations aux dérivées partiellesdomaine continu : objet flexible (fonction)exemple fluides (Stokes) :

ρ∂u

∂t(t, x)− µ∆u+∇p = f

(ρ masse volumique, µ viscosité)


Genèse d’un modèle• exemple tiré de la mécanique des fluides

motivation : Frédéric II de Prusse confia l’étude d’une fontaine à Euler:

« Je voulais avoir un jet d’eau dans mon jardin:Euler a calculé la force des roues nécessaireafin d’élever l’eau jusqu’à un réservoir, d’oùelle doit redescendre à travers des canaux,pour enfin sortir de la fontaine. Mon moulin aété réalisé géométriquement mais ne peut pasélever une goutte d’eau à moins de cinquantepas du réservoir.Vanité des vanités ! Vanité de la géométrie !»


Genèse d’un modèle• exemple tiré de la mécanique des fluides

L. Euler (1755) : équation d’Euler pour un fluide parfait compressible ou non (sansfriction, sans diffusion thermique, sans capillarité)

ρ

(∂u

∂t+ (u · ∇)u

)+∇p = f (2)

mentionne que du point de vue physique, le problème est réglé mais qu’il subsistenéanmoins une légère difficulté analytique ... !ne prend pas en compte le phénomène de viscosité qui freine l’écoulement

d’Alembert : explique pourquoi les oiseaux ne peuvent voler sans viscositéun corps se mouvant à vitesse constante dans un fluide parfait ne subit ni traînée niportance

le modèle ne prend pas suffisamment en compte la réalité, il sera amélioré parNavier (1822), Boltzmann (1872) et Maxwell (1866).


A méditer...

« les vérités mathématiques (...) s’imposent non seule-ment à nous, mais à la nature elle-même. Elles enchaî-nent pour ainsi dire le Créateur...»

Henri Poincaré (1854-1912)

« la physique, ce sont les règles que Dieu a inventés.Les maths, ce sont les lois qu’il a dû suivre...»

Jean-Pierre Serre (1926- ).


Une démarche méthodologique

Modèle!(maths,!physique,!chimie,!

biologie,!!…)!

Analyse,mathéma1que,

(existence!et!unicité!solu9on,!régularité,…)!

Analyse,numérique,(approxima9on!des!solu9ons,!consistance!

stabilité,!…)!

Développement,informa1que!

Analyse,des,résultats,et!compréhension!

simula'on* maths*


Analyse mathématique

• démontrer l’existence et l’unicité d’une solution au problème, ainsi que sa stabilité parrapport aux donnés

J. Hadamard (1865-1963)

• problème bien posé

• caractériser la régularité de la solution.



• équations de Laplace et de Poisson

introduites pour les besoins de la mécanique newtonienne

plusieurs formulations du problème sont possibles:

1. formulation différentielle forte

−∆u = f dans Ω

2. formulation variationnelle faible

trouver u(x) ∈ X tel que∫

Ω(∇u · ∇v)(x) dx =

∫

Ω(f v)(x) dx

3. formulation minimisation

J(u) = infv∈X

1

2

∫

Ω(∇u · ∇v)(x) dx−

∫

Ω(f v)(x) dx



• équations de Laplace et de Poisson

introduites pour les besoins de la mécanique newtonienne

plusieurs formulations du problème sont possibles:

1. admettent-elles des solutions uniques ?

2. sont-elles équivalentes (au sens des solutions) ?

des difficultés dans la formalisation de la réalité physique nécessitent la mise aupoint d’espaces de fonctions adaptés (Banach, Hilbert, Sobolev, ...)

la théorie de Lax-Milgram apporte une réponse à l’existence, à l’unicité, à la stabilitédes solutions dans un cadre formel:

trouver u ∈ X telle que a(u, v) = L(v) pour tout v ∈ X




biologie,!!…)!




stabilité,!…)!



simula'on* maths*


Analyse numérique

• constat :

1. en général, pas de solution connue

2. problème continu (espace-temps) non résoluble par un ordinateur (discret)

• approche :

méthode d’approximation : discrétisation

analyse de convergence, consistance, stabilité, estimation de l’erreur d’approximation

considérations informatiques : coût calcul vs. précision, temps, mémoire, ...


Analyse numérique

• méthodes d’approximation

a) méthodes des différences finies

1. approcher localement l’opérateur par un quotient différentiel

2. discrétiser les dérivées par un schéma connu (Euler)

∂tu ≈u(tn+1, x)− u(tn, x)

tn+1 − tn

∆u ≈u(tn, x+ h)− 2u(tn, x) + u(tn, x− h)

h2

Analyse,numérique,

•  méthodes&d’approximaKon&:&&a)  méthodes&de&différences&finies&

–  approcher&&&&&&en&des&points&&&&&&&par&quoKents&différenKels,&–  discréKser&les&dérivées&par&un&schéma&connu&d’Euler&

&&

x

@tu u(x, tn+1) u(x, tn)

t

u u(x + h, tn) 2u(x, tn) + u(x h, tn)

h

1

P5

P2 P3

P4

P1

P2

P2 P3P1

P5

Fig. 1.2 – Discretisation differences finies bi-dimensionnelle

Dans le cas de points points ”vraiment interieurs”, tel que le point P1 sur la figure 1.2, i.e. dont tous lespoints voisins sont situes a l’interieur de Ω, les quotients differentiels

2u(P1)− u(P2)− u(P3)

h2et

2u(P1)− u(P5)− u(P4)

h2

sont des approximations consistantes a l’ordre 2 de −∂21u(P1) et −∂2

2u(P1).Par contre, pour un point “proche” du bord tel que le point P1, les memes approximations (avec lespoints P2, P3, P4 et P5) ne seront que d’ordre 1 en raison des differences de distance entre les points(faire les developpements de Taylor pour s’en convaincre.Une telle discretisation amene a un systeme lineaire AhUh = bh, ou la structure de Ah (en particulier sa“largeur de bande”, c.a.d. le nombre de diagonales non nulles) depend de la numerotation des noeuds.On peut montrer que la matrice Ah est monotone et le schema est stable. De la consistance et la stabilite,on deduit, comme en une dimension d’espace, la convergence du schema.

1.4.2 Volumes finis

Le probleme modele

On considere le probleme modele suivant (par exemple de conduction de la chaleur) :

−div(λi∇u(x)) = f(x) x ∈ Ωi, i = 1, 2 (1.4.42)

ou λ1 > 0, λ2 > 0 sont les conductivites thermiques dans les domaines Ω1 et avec Ω2, avec Ω1 =]0, 1[×]0, 1[et Ω2 =]0, 1[×]1, 2[. On appelle Γ1 =]0, 1[×0, Γ2 = 1×]0, 2[, Γ3 =]0, 1[×2, et Γ4 = 0×]0, 2[ lesfrontieres exterieures de Ω, et on note I =]0, 1[×1 l’interface entre Ω1 et Ω2 (voir Figure 1.3). Dans lasuite, on notera λ la conductivite thermique sur Ω, avec λ|Ωi = λi, i = 1, 2.

27

u0(x) ' Dh u(x) :=

u(x) u(x h)

h

Approximation décentrée à gauche

Principe de la méthode des différences finies

xx x + hx h

6


Analyse numérique


a) méthodes des différences finies

1. approcher localement l’opérateur par un quotient différentiel

2. discrétiser les dérivées par un schéma connu (Euler)

Analyse,numérique,

•  méthodes&d’approximaKon&:&&a)  méthodes&de&différences&finies&

–  approcher&&&&&&en&des&points&&&&&&&par&quoKents&différenKels,&–  discréKser&les&dérivées&par&un&schéma&connu&d’Euler&

&&

6.8 Numerical experiments 241

with the initial data corresponding to u0(x) = sin(2x). We recall from Chap-ter 3 and the Fourier analysis that the exact solution is given by the equation:

u(x, t) = exp(42t) sin(2x) .

First, we solved the problem using the explicit scheme (H1). To this end,we choose N = 40 grid points in space and set t = 0.0001563 and wecompute the numerical solution at all times 0 tn 0.02. The analytical andnumerical solutions at time t = 0, t = 0.005, t = 0.01 and t = T are plottedin Figure 6.6, top. A piecewise linear interpolation is used between the grid

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t = 0

t = 0.005

c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c

ct = 0.01

???????? ? ? ? ? ? ?

?????????????? ? ? ? ? ? ?

???????

?t = T

-1

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t = 0

t = 0.005


ct = 0.01

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?t = T

Fig. 6.6. The finite di↵erence method with the explicit scheme for solving the heatequation on a fixed grid N = 40. Top: the numerical solution at times t = 0, t =0.005, t = 0.01 and t = T with a time step t = 0.0001563. Bottom: the numericalsolution for a time step t = 0.0006875 not preserving the stability condition.

Page: 241 job: book macro: svmono.cls date/time: 11-Aug-2010/13:41

6.8 Numerical experiments 241

with the initial data corresponding to u0(x) = sin(2x). We recall from Chap-ter 3 and the Fourier analysis that the exact solution is given by the equation:

u(x, t) = exp(42t) sin(2x) .

First, we solved the problem using the explicit scheme (H1). To this end,we choose N = 40 grid points in space and set t = 0.0001563 and wecompute the numerical solution at all times 0 tn 0.02. The analytical andnumerical solutions at time t = 0, t = 0.005, t = 0.01 and t = T are plottedin Figure 6.6, top. A piecewise linear interpolation is used between the grid

-1

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Fig. 6.6. The finite di↵erence method with the explicit scheme for solving the heatequation on a fixed grid N = 40. Top: the numerical solution at times t = 0, t =0.005, t = 0.01 and t = T with a time step t = 0.0001563. Bottom: the numericalsolution for a time step t = 0.0006875 not preserving the stability condition.

Page: 241 job: book macro: svmono.cls date/time: 11-Aug-2010/13:41

solu)on-numérique-de-l’équa)on-de-la-chaleur-avec-et-sans-condi)on-de-stabilité-

x

@tu u(x, tn+1) u(x, tn)

t

u u(x + h, tn) 2u(x, tn) + u(x h, tn)

h

1

solution numérique de l’équation de la chaleur avec et sans condition de stabilité.


Analyse numérique


b) méthodes variationnelles et d’éléments finis

1. à partir du problème sous la forme

trouver u ∈ X telle que a(u, v) = L(v) pour tout v ∈ X

2. remplacer par un problème "équivalent", pour Xh ⊂ X

trouver uh ∈ Xh telle que a(uh, vh) = L(vh) pour tout vh ∈ Xh

3. discrétiser le domaine

4. estimations d’erreur a priori et a posteriori




biologie,!!…)!




stabilité,!…)!



simula'on* maths*


Des équations au programme

« les simulations sont tributaires de l’ordinateur, mais les ordinateurs sont nés de l’idée desimulation»

J. Von Neumann (1903-1957)

• quelques étapes dans la mise en œuvre :

1. maillage, triangulation (discrétisation Ω)

2. mise sous forme matricielle

3. résolution d’un problème linéaire : Au = b

• stratégies de développement :tirer parti des architectures(parallèle, vectorielle),analyse de complexité des algorithmes

Des,équa'ons,au,programme,

•  stratégie&de&développement&:&–  Krer&parK&des&architectures&(vectorielle,&parallèle,…)&–  noKon&de&coût&–&complexité&des&algorithmes&–  «&librairies&logicielles&»&disponibles,&HPC&

&

Parallel mesh adaptationC. Dobrzynski and J.-F. Remacle

GCE - Universite catholique de Louvain

Introduction

Extending mesh adaptation algorithms to parallel is a recent trend in the field of meshgeneration. Most of today’s finite element solvers are working in parallel. They are able toscale reasonably when they are run on distributed memory clusters. Mesh adaptation shouldtherefore also be used in parallel.

We propose a parallel mesh adaptation procedure that make use of an existing serialmesh adaptation algorithm. In the parallel extension of the algorithm, edges that are oninter-processor boundaries are frozen i.e. are left unchanged during the iteration. At the endof the iteration, the elements that are situated at inter-processor boundaries are migrated sothat they can be modified at the next iteration.

The advantage of the approach is its simplicity. Yet, despite of the very naive nature of theprinciple, we are able to produce very large meshes that are well adapted i.e. that respectwell a given metric field. Moreover, a reasonable scaling was obtained up to 64 processors.

Parallel mesh algorithm

Principle: on each processor, we put contraints on a part of the boundary and we use an existing remeshing software. During the remeshing phase, the edge that is shared by several processorsis not touched. So the mesh is adapted with constraints independently on each processor. Then, inter processors boundaries are moved: if a vertex is shared by several processors, all its adjacentelements are migrated into a common processor. And the remeshing process is again applied.

Algorithm: Each figure represents a stage of the algorithm.

Initial mesh : each colorrepresents a partition. Theinterface edges are drawn inred.

Each partition has beenadapted without touchinginterface edges (red color).

The interface edges moved:if an edge was shared by sev-eral processor, the two adja-cent triangles are migratedinto a common processor.The new interface edges aredrawn in blue.

Each new partition has beenadapted.

The interface edges moved.The new interface edges aredrawn in red.

The new partitions havebeen adapted.

Mesh adaptation

Metric definition: the mesh adaptation procedure is based on metric tensor. Thismetric is a symetric definite positive matrix:

M = RΛR−1

with Λ = diag (λ1,λ2,λ3), R the eigenvector matrix and λi the eigenvalues of M.The eigenvectors of M are the directions wished for the mesh edges and its eigenvalues theirssizes.

Unit mesh: we search to generate an unit mesh: a mesh such that all its edges e has alength equal (or close) to one in M:

lM(e) = ⟨e, e⟩12

M =√

teMe = 1.

Mesh adaptation procedure: Given the mesh metric field defined over the domain,local mesh modification is applied to yield the desired anisotropic mesh. Mesh modificationoperators include entity (i) split, (ii) collapse, (iii) swap and (iv) reposition. To make anygiven mesh satisfying the given mesh size field by mesh modifications, we take philosophy asfollows:

• identify those mesh entities not satisfying the mesh size field;

• perform appropriate mesh modifications so that local mesh will better satisfy the meshsize field;

• repeat above steps until the mesh size field is satisfied to an acceptable degree.

Since it is not possible to ensure that all mesh edges exactly match the requested lengths,the goal of mesh modifications is to make the transformed length of all mesh edges fall intoan interval close to one. Particularly, we choose interval [0.5, 1.4] in the examples which islarge enough to avoid oscillations [1, 2].

References

[1] X. Li. Mesh Modification Procedures for General 3-D Non-manifold Domains. PhD thesis, RensselearPolytechnic Institute, August, 2003.

[2] X. Li, M.S. Shephard, and M.W. Beall. 3-d anisotropic mesh adaptation by mesh modifications. ComputerMethods in Applied Mechanics and Engineering, 2003. in preparation.

Examples

2d isotropic case: two Archimede’s spirals.The following size is defined:

h = min(hmax|ρ−a× θ1|+hmin1, hmax|ρ−a× θ2|+hmin2)

with a = 1, hmax = 0.8, hmin1 = 0.02, hmin2 = 0.05,ρ =!x2 + y2, θ1 = θ + ρ/π and θ2 = θ − ρ/π where θ =

atan(y/x) + π

nb vertex nb trianglesinit. mesh 12,705 25,016

adapt. mesh 745,000 1,490,000

nproc CPU migr.1 199 -2 146 294 85 188 53 916 43 532 36 3

2d anisotropic case: planar shocks.We defined the following analytical size field:

hxi = 0.6|1 − e−|x−xci|| + 0.003

hyi = 0.6|1 − e−|y−yci|| + 0.003

where xci = −20 + 2 × i and yci = −47 + 5 × i.The analytical metric is given by R = Id and

Λ = diag

"#min

i=0..20(hxi)

$−2 #min

i=0..20(hyi)

$−2

h−2max

%

nb vertex nb trianglesinit. mesh 6855 13,392

adapt. mesh 362,000 726,000

nproc CPU migr.1 698 -8 45 22

3d isotropic case: some portions of Archimede’s spiral.We use the following parameters: a = 0.1, hmax = 0.2and hmin1 = hmin2 = 0.008.

nb vertex nb trianglesinit. mesh 2992 16,653

adapt. mesh 430,000 2,500,000

nproc CPU migr.1 1297 -2 386 1474 244 1438 202 11416 179 10632 144 72

par))onnement-de-domaine-(C.-Dobrzynski)-Conférences Horizon Sciences UPMC, filière MIPI 12 novembre 2014 27



biologie,!!…)!




stabilité,!…)!



simula'on* maths*


Analyse des résultats

« rendre géométrique la représentation, c’est-à-dire dessiner les phénomènes et ordonner ensérie les évènements décisifs d’une expérience, voilà la tâche première où s’affirme l’espritscientifique.»

Gaston Bachelard (1884-1962)

• visualisation scientifique

1. créer une représentation visuelle

2. extraire une information pertinente des calculs

3. permettre de comprendre les phénomènes

• COMPRENDRE, CONCEVOIR, AGIR sont les trois finalités de la simulation numérique.


Dernier exemple

Transonic Falcon

Falcon at transonic speed cruise. Inviscid computation.

12 millions tetrahedra.

8 Cours ECP

étude du sillage d’un avion (INRIA).


Dénouement

• le monde est non linéaire !donc la plupart des EDP le sont aussi...

• effets de moyenne (hyp. statistiques) : chimie quantique (Hartree-Fock)

• phénomènes d’échelles et liens entre ces échelles (modèles)phénomènes asymptotiques

• importance de la notion de couplage (interdisciplinaire, entre modèles, ...)

• derrière toutes ces questions il y a

des considérations physiques

des difficultés mathématiques considérables (conjecture, problèmes ouverts, prixClay, ...)


Message

• sur la formation« il nous faut le plus possible introduire des formations qui soient multidisciplinaires.»

Pierre Louis Lions (1956- )

besoin de mathématiciens appliqués qui doivent être à l’aise avec la modélisation,des aspects d’analyse théorique, de simulation, avec les ordinateurs

exemples de simulations en prise directe avec des problèmes concrets, mais quirestent avant tout des enjeux mathématiques..


Multidisciplinarité en action

• chaire thématique FaciLe, Sorbonne Universitésd’un crâne à un visage, paradigme et défi virtuel : reconstruction cranio-faciale pour lamédecine légale

5 établissements AP-HP, IML MNHN UPMC UTC Paris V


Pour en savoir plus . . .

• mathématiques, modélisation et simulation,conférence de P.L. Lions, 2000, Université de tous les savoirswww.canal-u.tv/video/universite de tous les savoirs/mathematiques modelisation et simulation.1025

• leçons de mathématiques d’aujourd’huiedition Cassini, 4 tomesP.L. Lions, C. Villani, G. Godefroy, B. Perthame, N. El Karoui, H. Brézis, ...

• master spécialité Mathématiques de la Modélisation, UPMC6 majeures (ANEDP, COCV, EF, HPC, MBIO, OJD)


Documents

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