Conduccion en Estado Estable Unidimensional Con Generacion

8/18/2019 Conduccion en Estado Estable Unidimensional Con Generacion

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Conducción en estadoestable unidimensional con

eneraciónDavid Fuentes Díaz

Escuela de Ingeniería MecánicaUniversidad Industrial de Santander


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Conducción con generación

Contenido

• Introducción

• Cálculo de la distribución de temperatura – Sistemas Cartesianos – Sistemas Cilíndricos

• Cálculo del flujo de calor – Sistemas Cartesianos

– Sistemas Cilíndricos

Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS Transferencia de calor en estado estable con generación 2


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Introducción• En algunas circunstancias, el comportamiento térmico se ve afectado por la

producción o adsorción de energía térmica. Ejemplos típicos: Las resistencias decalentadores, los embobinados eléctricos, los reactores nucleares y la combustión

del combustible en el hogar de una caldera. La disipación del calor, procedente defuentes internas, constituye otro aspecto importante para juzgar la potencia derégimen de motores eléctricos, generadores y transformadores.

La generación de calor se da dentro del sólido y se da como producto de:

1. Reacción Química.A + B reacciona y produce una elevación de temperatura.

• 2. Corriente Eléctrica.circulando a través del cuerpo.P = I2*R P = V*I

3. Reacción Nuclear.Se produce una generación de energía.

Todas estas formas de generación producen una elevación de la temperatura del cuerpo

Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS 3Transferencia de calor en estado estable con generación


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Introducción

Lr

R I q g 2

2''' =

Característica de la generación:

Por lo general, la generación se trabaja en términos de generación de calorpor unidad de volumen.

Corriente eléctrica


q g’’’ es uniforme y constante en todo el volumen

Por lo general, los procesos de generación de calor presentan unperiodo transitorio. Existe un compromiso entre el calor generado ycalor intercambiado al ambiente hasta que se establece un equilibrio.


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Introducción



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Cálculo de la distribución de temperatura

t

T

k

qT g

∂

∂=+∇ *

1'''

2

Ecuación General de Generación de Calor

Como el proceso es en condiciones de estado estable y no transitorio, 0=∂

∂

t T

'''q


Para condiciones unidimensionales

=+

k

=∇

esfericasscoordenadaen

scilindricascoordenadaen

dr dT

r dr d

r

scartesianascoordenadaendxT d

T 1

2

2

2


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Cálculo de la distribución de temperatura

Balance de Energía

t E E E E generadasaleentra ∆

∆=+−

Como al sistema no entra energía y la


( )

sup

'''

sup

supsup'''

Ah

V qT T

T T AhV q

E E

g

g

salegen

+=

−=

=

α

α


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Sistemas cartesianos

0'''

2 =+∇k

qT g

Pared Plana Con Generación

Para una pared plana tenemos que 2

22

dxT d

T =∇

De la ecuación general de generación de calor tenemos,


Por lo tanto tenemos: 0'''

2

2=+

k q

dxT d g

Integrando una vez:1

'''

C xk

q

dx

dT g =+

Integrando por 2ª vez: 212

'''

2C xC x

k

qT g +=+


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Sistemas cartesianos

212

'''

2C xC x

k

qT g +=+

Condiciones de frontera x=0 T=T 1 x=e T=T 2

Aplicando estas condiciones de frontera en

obtenemos: T 1 = C 2


1

'''12

11

2'''

2

2

2

C k

eq

eT T

T eC k eqT

g

g

=+−

+=+

Así tenemos la ecuación general parala pared plana:

( )1

'''122

'''

22T x

k

eq

e

T T x

k

qT gg ++

−+−=


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Temperatura máxima

Esta ecuación para la pared plana describe una parábola.¿Dónde se encuentra la temperatura máxima?

El punto máximo de la curva se encuentra en:

00

== x xdx

dT


Evaluando x=x 0

( )'''

'''

'''12

0 2 g

g

g qk

k

eq

k

eqT T

x +−

=

er van o a ecuac n e a emp en a pare

( )0

222

'''12

'''

=+−

+−=k

eq

eT T

xk

q

dxdT gg

( )2'''

120

e

k

eqT T

xg

+−

=entonces Si T 2=T1

→ X0= e/2


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Flujo de calor en las fronteras

Evaluando la ecuación de calor por conducción en x=0 :

( )

0

'''12

'''

00

2k

eq

eT T

k

xqk

dx

dT k q

x

gg

x x

+−

+−

−=

−=

=

==


( )

( )

0'''

''' 12'''

'''12

2

2

xq

e

k

eqT T

q

eqe

T T k

g

gg

g

−=

+−

−=

−−

−=

asi:

A xq AqQ g x 0'''

0 −== =

A xeqQ g )( 0''' −=

Similarmente, evaluando en x=e


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Problema 1

Evaluar el calor y el punto de temperatura máxima de una paredcuyas temperaturas son T 1 = T2 = 100º C con un e = 0.2 m; k = 40w/mk y una generación uniforme de 10 5 w/m3

Suposiciones: Condiciones de estado estable.


.Propiedades constantes para la pared.


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Problema 1

T 1 (ºC) x 0 (m)

25

50100150200

0.25

0.20.10

-0.1

Conservando la Temperatura T 2 = 100 ºC se varia laT1= como muestra la siguiente tabla y se determina elvalor de x0.



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Sistemas cilíndricos

• Cilindro sólido

01

'''

=+

k

q

dr dT

r dr d

r g

dr r k

q

dr dT

r d g'''

−=

De la ecuación general de generación en coordenadas cilíndricas


Integrando

1

2'''

2C

r k

q

dr dT

r g +−=

Integrando por 2ª vez

r C r

k

q

d dT g 1

'''

2+−= dr

r C r

k

qdT g +−= 1

'''

2

21

2'''

ln

4

C r C r

k

qT g ++−= Solución general para ladistribución de temperaturas


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• Condiciones de frontera

De la condición de simetría y la 1ª integración de laecuación general tenemos que C 1=0 en r=0

0)( 0sup ==

=r dr

dT T r T

(por condición de simetría)

2'''


Y aplicando la otra condición de frontera

2

21

'''

sup

4C

r

k

qT g +−=

Integrando por 2ª vez

Solución generalpara la distribución

de temperaturas

24 C k T g

+−=

21

'''

sup2

4r

k

qT C g+=

21

'''

sup2

'''

44

r

k

qT r

k

qT gg ++−= ( )221

'''

sup

4

r r

k

qT T g −+=


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• Cilindro hueco

22

11

T T r r

T T r r =→=

=→=

Condiciones de frontera


Aplicamos las condiciones de frontera y restamos las ecuaciones

211

21

'''

1

221

22

'''

2

ln4

ln4

C r C k

r qT

C r C k

r qT

g

g

++−=

++−=

1

21

21

22

'''

12 ln)(4 r

r C r r

k

qT T g +−−=−

(

1

2

21

22

'''

1

2

121

ln4lnr

r k

r r q

r

r T T

C g −

+−

=


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• Condiciones de fronteraCon la primera condiciones de frontera

212

21

22

'''

2

122

1'''

1 lnln4

)(

ln4C r

r k

r r qr T T

k

r qT gg +

−+

−+−=


Y así obtenemos la solución general

11 r

( ) 11

1

2

21

22

'''

1

2

122

12'''

lnln4

)(ln4

T r r

r r

k r r q

r r T T

k r r qT gg +−+−+−−=


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01 AxqQ g−=

−=

PARED PLANA

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS FLUJO DE CALORCASO

( ) ''''''

'''12

0 2 gg

g qk

k eq

k

eqT T x +−=


( ) 102

2T x

k xq x

k qT gg x ++−=

g

( ) ( ) 11

20

221

24T

r

r Lnr

k

qr r

k

qT ggr ++−=

( )20211 r r LqQ q −= π

20

222 r r LqQ q −= π

CILINDROHUECO( )

1

2

21

22

'''

1

2

122

ln2

12

lnr r

r r

q

k

r r

T T r

go

−+

−=


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Problema 2• El calentamiento volumétrico uniforme dentro de un tubo de acero

inoxidable se induce mediante una corriente eléctrica y el calor setransfiere por convección al aire que fluye a través del tubo. La pared

del tubo tiene radio interior y exterior de r1 = 25 mm y r2 = 35 mm, unaconductividad térmica de k = 15 W/m·K , una resistividad eléctrica de ρe = 0.7 x 10-6 Ω·m y una temperatura de operación máxima permisible de 1400 K.

• a) Suponiendo que la superficie externa del tubo esta perfectamente aislada yque el flujo de aire se caracteriza por una temperatura y un coeficiente deconvección de T∞∞∞∞ ,1 = 400 K y h1= 100 W/m2·K, determine la máxima corrienteeléctrica I permisible.

• b) Considere el uso de un material aislante refractario de conductividad termica k = 1.0 W/m·k y no considere radiación en la superficie externa. Para h1= 100 W/m2·K y la corriente de la parte a), calcule la distribución detemperaturas en la pared compuesta para espesores de aislante de δδδδ ==== 25252525 yyyy 50505050mmmmmmmm.... LaLaLaLa superficiesuperficiesuperficiesuperficie externaexternaexternaexterna deldeldeldel aislanteaislanteaislanteaislante sesesese exponeexponeexponeexpone aaaa T∞∞∞∞ ,2 = 400 K y h1= 100 W/m2·K.


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